Engineering Mathematics IIocw.snu.ac.kr/sites/default/files/NOTE/4333.pdf · 2018-01-30 ·...

EEngineering Mathematics IIngineering Mathematics II

Prof. Dr. Yong-Su Na g(32-206, Tel. 880-7204)

Text book: Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics,

9th Edition, Wiley (2006)

Ch. 10 Vector Integral Calculus. Ch. 10 Vector Integral Calculus. Ch. 10 Vector Integral Calculus. Ch. 10 Vector Integral Calculus. Integral TheoremsIntegral Theorems

10.1 Line Integrals

10.2 Path Independence of Line Integralsp g

10.3 Calculus Review: Double Integrals

10 4 Green’s Theorem in the Plane10.4 Green s Theorem in the Plane

10.5 Surfaces for Surface Integrals

10.6 Surface Integrals

10.7 Triple Integrals. Divergence Theorem of Gauss

10.8 Further Applications of the Divergence Theorem

10.9 Stokes’s Theorem10.9 Stokes s Theorem

2

Ch. 10 Vector Integral Calculus. Ch. 10 Vector Integral Calculus. Ch. 10 Vector Integral Calculus. Ch. 10 Vector Integral Calculus. Integral TheoremsIntegral Theorems

10.1 Line Integrals

10.2 Path Independence of Line Integralsp g

10.3 Calculus Review: Double Integrals

10 4 Green’s Theorem in the Plane10.4 Green s Theorem in the Plane

10.5 Surfaces for Surface Integrals

10.6 Surface Integrals

10.7 Triple Integrals. Divergence Theorem of Gauss

10.8 Further Applications of the Divergence Theorem

10.9 Stokes’s Theorem10.9 Stokes s Theorem

3

Ch. 10 Vector Integral Calculus. Ch. 10 Vector Integral Calculus. ggIntegral TheoremsIntegral Theorems((벡터적분법벡터적분법. . 적분정리적분정리))

적분을 곡선(선적분), 면(면적분), 고체에 대한 적분으로 확장

((벡터적분법벡터적분법. . 적분정리적분정리))

적분을 곡선(선적분), 면(면적분), 체에 대한 적분 확장

: 고체역학, 유체흐름, 열역학에서 공학적 기본 응용으로 활용

적분의 변환은 계산을 간단히 하거나, 유용한 일반적인 공식을얻기 위해 수행

예. 퍼텐셜 이론(Potential Theory)

적분변환 공식

: Green의 공식, Gauss 공식, Stokes 공식

1010.1 Line Integrals .1 Line Integrals ((선적분선적분))1010.1 Line Integrals .1 Line Integrals ((선적분선적분))

선적분의 개념: 미적분학에서 공부한 정적분의 간단한 일반화

• 선적분(Line Integral) 또는 곡선적분(Curve Integral)

: 피적분함수(Integrand)를 공간(혹은 평면)내의 곡선을 따라 적분.

• 적분경로(Path of Integration) : 곡선• 적분경로(Path of Integration) : 곡선

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )btatztytxt, zt, ytxtC ≤≤++== : kjir

일반적인 가정

: 선적분의 모든 적분경로를 구분적으로 매끄럽다(Piecewise Smooth)

선적분의 정의와 계산

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )dtddtttdtC:

b

aC

rrrrFrrFrFr =•=• ∫∫ ' ' : 선적분 의벡터함수 에서 곡선

b

( ) ( ) ( )∫∫∫ ++=++=•aCC

dtzFyFxFdzFdyFdxFd ''' 321321rrF

1010.1 Line Integrals .1 Line Integrals ((선적분선적분))1010.1 Line Integrals .1 Line Integrals ((선적분선적분))Ex.1 평면에서 선적분의 계산

( ) [ ] 구하라.값을선적분의때원호일까지의에서가이고 BACxyyxyy jirF −−=−−= ,( ) [ ] 구하라.값을선적분의 때 원호일까지의에서가이고 BACxyyxyy jirF ,



( ) [ ] ( )( ) ( ) sincos

2/0sincossincos==⇒

≤≤+==ttyttx

πt, tttt, tC jir 표현 로 를

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) [ ] ii'

sincossin sin ,cos

+

−−=−−=⇒==⇒

ttttt

ttttytxtytttyttx

ji

jijirF

( ) [ ]

( ) [ ] [ ]cossinsincossin

cossincossin'2

0

−•−−=•⇒

+−=−=

∫∫π

dttt, ttt, d

tttt, t

C

rrF

jir

( ) ( ) ( ) 4521.0310

42cos1

21sincossin

0

1

22

0

2

0

22 ≈−−=−−−=−= ∫∫∫π

ππ

duudttdtttt



( ) [ ] ( )( ) ( ) sincos

2/0sincossincos==⇒

≤≤+==ttyttx

πt, tttt, tC jir 표현 로 를

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) [ ] ii'

sincossin sin ,cos

+

−−=−−=⇒==⇒

ttttt

ttttytxtytttyttx

ji

jijirF

( ) [ ]

( ) [ ] [ ]cossinsincossin

cossincossin'2

0

−•−−=•⇒

+−=−=

∫∫π

dttt, ttt, d

tttt, t

C

rrF

jir

( ) ( ) ( ) 4521.0310

42cos1

21sincossin

0

1

22

0

2

0

22 ≈−−=−−−=−= ∫∫∫π

ππ

duudttdtttt

Example 2


선적분의 일반적인 성질

( )∫∫ •=• CC

kdkdk rFrF 상수 는

( )

∫∫∫

∫∫∫

+

•+•=•+CCC

ddd

ddd

FFF

rGrFrGF

∫∫∫ •+•=•21 CCC

ddd rFrFrF


Ex.3 변하는 힘에 의해 행하여진 일

•

• ( ) 변위에서 따른 현을 작은 의 는 일 행해진 때, 변할 가 힘 변위에서 따르는 를 곡선

이다. 일 의한 에 힘 일정한 변위에서 따른 를 직선분

CWFtC:

dFWFd

r

•=

• 같다. 것과 정하는 를 선적분으로

있다. 수 정의할 극한으로 합의 일의 행해진

W

Ex.4 행해진 일은 운동에너지에서 증가와 같다.

( )( ) ( )b

dtdt =

∫∫

vrF 속도이다. 는 하면 시간이라 를 일이다. 선적분은 힘이면 가

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )btbb

aC

mdtmdttt'mWt'mt''mNewton

dtttdW

=

=⎟⎞

⎜⎛ •

=•=⇒==⇒

•=•=

∫∫

∫∫

2' vvvvvvrF

vrFrF

제2법칙의 ( ) ( ) ( ) ( )ataa

dtmdtttmWtmtmNewton=

=⎟⎠

⎜⎝

=•=⇒==⇒ ∫∫ 22 vvvvrF 제2법칙 의

1010.1 Line Integrals .1 Line Integrals ((선적분선적분))1010.1 Line Integrals .1 Line Integrals ((선적분선적분))선적분의 다른 형식

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]∫∫∫bb

선적분벡터인값이 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]∫∫∫ ==aaC

dttFtFtFdttdt rrrrFrF 321 , ,:선적분 벡터인 값이

Ex.5 ( ) [ ] .적분하라 를 따라서 나선을 xy, yz,z=rF

( )( ) [ ]22

0

222

0

6 ,6 ,023 ,cos3sin3 ,cos

21 ππ

ππ

−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−=∫ tttttdttrF

경로 관련성

선적분은 일반적으로 피적분함수와 경로의 끝점과 관련이 있을 뿐 아니라 적분이

취해지는 경로 그 자체와도 관련이 있다.

Ex.6 ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] .000010 22211 적분해보자 를 취해서 을 포물선 과 직선 에서 , xy, , t, tt:Ct, t, t:Ct ===≤≤ Frr

( )( ) ( ) ( )∫ =•⇒=•31 ' 11

211 dttt rrFrrF ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )∫

∫

=•⇒=•2

1

52 2'

3

224

22

1111

C

C

dttt rrFrrF


( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]∫∫∫bb

선적분벡터인값이 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]∫∫∫ ==aaC



( )( )( )( )

( )( ) [ ]22

0

222

0

6 ,6 ,023 ,cos3sin3 ,cos

21

]3,sin3,sin[cos

ππππ

−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−=

=

∫ tttttdtt

tttttt

rF

rF

경로 관련성




( )( ) ( ) ( )∫ =•⇒=•31 ' 11

211 dttt rrFrrF ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )∫

∫

=•⇒=•2

1

52 2'

3

224

22

1111

C

C

dttt rrFrrF


( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]∫∫∫bb

선적분벡터인값이 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]∫∫∫ ==aaC



( )( )( )( )

( )( ) [ ]22

0

222

0

6 ,6 ,023 ,cos3sin3 ,cos

21

]3,sin3,sin[cos

ππππ

−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−=

=

∫ tttttdtt

tttttt

rF

rF

경로 관련성




1( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )∫

∫

=•⇒=•

=•⇒=•1

52 2'

31 '

224

22

112

11C

dttt

dttt

rrFrrF

rrFrrF

( )( ) ( ) ( )∫2

52222C


( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]∫∫∫bb

선적분벡터인값이 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]∫∫∫ ==aaC



( )( )( )( )

( )( ) [ ]22

0

222

0

6 ,6 ,023 ,cos3sin3 ,cos

21

]3,sin3,sin[cos

ππππ

−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−=

=

∫ tttttdtt

tttttt

rF

rF

경로 관련성




( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )∫

∫

=•⇒=•

=•⇒=•1

22'

31 '

4

112

11C

dttt

dttt

rrFrrF

rrFrrF

( )( ) ( ) ( )∫ =•⇒=•2

5 2 2222

C

dttt rrFrrF


PROBLEM SET 10.1

HW 10 18 19 20HW: 10, 18, 19, 20

17

1010.2 .2 Path Independence of Path Independence of Line Integrals Line Integrals pp gg((선적분의선적분의 경로경로 무관성무관성))

경로 무관성

• [ ]= 321321 f, F, FF, F, FFD F 의 함수 어떤 가 만약 선적분은 연속인 가 에서 영역 공간의

( ) ( ) ( )∫ −=++⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=∂∂

=∂∂

==B

321321 , , grad

.

AfBfdzFdyFdxFfFfFfFfF

무관하다 경로에 영역에서 기울기이면

•

•

( ) ( ) ( )∫⎟⎠

⎜⎝ ∂∂∂ 321321 ,,g

A

ffyzyx

f

경로무관하다. 에서 영역 적분은이면, 적분값이 선적분의 곡선에서 닫힌 모든 의 영역 DD 0

를계수함수연속적인에서영역가미분형식 FFFDdzFdyFdxFd ++=• rF

완전(E t)

무관하다. 경로 에서 영역 선적분은 완전하면, 가지고

를,,계수함수연속적인에서영역가 미분형식

D

FFFDdzFdyFdxFd 321321 ++=• rF

완전(Exact)

성립 관계가 의 존재하여 가 함수 미분가능한 곳에서 모든 의 영역 dfdfD =• rF


Ex.1 경로 무관성

( )422 보이고 무관함을 경로 임의영역에서 가 적분 zdzydyxdxC∫ ++

( ) ( ) .222000 구하라 적분값을 까지 에서 , , B:, , A:

C

[ ] 2 4 ,2 ,2 gradz4 ,22 222321 ++=⇒==

∂∂

==∂∂

==∂∂

⇒== zyxfFzzfFy

yfFx

xffyx, F

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 168440 ,0 ,02 ,2 ,2422 =++=−=−=++

∴

∫ ffAfBfzdzydyxdxC

무관하다. 경로와 적분은

1010.2 .2 Path Independence of Path Independence of Line Integrals Line Integrals

완전성과 경로 무관성에 대한 판별기준

pp gg((선적분의선적분의 경로경로 무관성무관성))

완전성과 경로 무관성에 대한 판별기준

( ) ( ) 321 에서선적분 dzFdyFdxFdCC∫∫ ++=• rrF

•

.321 하자 가진다고 일차편미분도함수를 연속적인 연속적이고, 에서 영역 가, F, FF

++=• dzFdyFdxFd 321 완전이 미분형식 rF

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

=⇒yF

xF,

xF

zF,

zF

yF

y

123123

321

curl 즉,

이미 형식

0F

•

무관하다경로선적분은

완전 은단순연결 가 성립하고 이 curl 321

⇒

++=•⇒= dzFdyFdxFdD rF0F

무관하다.경로 선적분은 ⇒


A sphere is simply connected because every loop can be contracted (on the surface) to a point.

A torus is not simply connected. Neither of the colored loops can be contracted to a point without leavingcontracted to a point without leavingthe surface.


Ex.3 완전성과 경로 무관성. 퍼텐셜 결정


적분기호 내의 미분형식이 완전함을 보여라.

( ) ( )[ ]dzyzyyzxdyyzzzxdxxyzIC

cos2cos2 2222∫ ++++=

( ) ( ) 구하라. 값을 의 적분 까지의 에서 그리고

된다. 무관하게 경로완전하며, 적분은

I, π, B:, , A: 241000

이

완전성 :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )yxxzzy FxzFFxyzFFyzyzyzzxF 12

23122

3 2 ,4 ,sincos2 =====−+=

f 구하기를

( ) ( ) ,sincos

22222 ++=+== ∫∫ zxgyzyzxdyyzzzxdyFf

f 구하기 를

( )

0' cos2'cos2

0 22

23

2

21

2

=⇒=⇒+==++=

=⇒=⇒==+=⇒

hhyzyyzxFhyzyyzxf

zhggxyzFgxyzf

z

xxx

상수

( ) ( ) 102

sin44

1 ,sin 22 +=−+⋅⋅=−+=∴ πππAfB fyzyzxf


Ex.4 단순연결성 가정에 대하여


, 0 , , 3222221 때일=+

=+

−= Fyx

xFyx

yF

( ) . 2221 관찰하자무관성을경로구하여을∫∫ ++−

=+=CC yx

xdyydxdyFdxFI

22 22222222 xyyyyxFxyxxyxF −⋅−+∂−⋅−+∂

( ) ( ) ( ) ( ) . 2 ,2222222

1222222

2 완전하다에서미분형식이이므로 Dyx

xy

yx

yyyxyF

yx

xy

yx

xxyxxF

+

−=

+

⋅−+−=

∂∂

+

−=

+

⋅−+=

∂∂

0이다곡선에서닫힌임의의무관하면경로에에서가적분만약 =IDDI .0 이다곡선에서닫힌임의의무관하면경로에에서가적분만약 =IDDI

=−=⇒=== θθθθθθ cos ,sin 1 ,sin ,cos , ddyddxrryrx그러나

∫ ==⇒=+=+−⇒π

πθθθθθθ2

0

22 21

cossin dIdddxdyydx 적분방향반시계

ID 없다수내릴결론을무관하다고경로가에서아니므로단순연결이가D∴ . I D , 없다수내릴결론을무관하다고경로가에서아니므로단순연결이가D∴


PROBLEM SET 10.2

HW 3 10 16HW: 3, 10, 16

28

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