ElectrodinÆmica Clasica - INICIO · ElectrodinÆmica Clasica Antonio HernÆndez Cabrera...

Electrodinámica Clasica

Antonio Hernández CabreraDepartamento de Física BásicaUniversidad de La LagunaTenerife. Islas Canarias

26 de enero de 2009

Índice general

1. Relatividad especial. 71.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. Postulados de Einstein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1. Primer postulado de la relatividad. . . . . . . . . . . . 91.2.2. Segundo postulado de la relatividad. . . . . . . . . . . 9

1.3. Experimentos más o menos recientes. . . . . . . . . . . . . . . 101.3.1. Deriva del éter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.2. Velocidad de la luz desde una fuente en movimiento. . 121.3.3. Dependencia de la velocidad de la luz en el vacio con

la frecuencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4. Transformaciones de Lorentz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.1. Espacios pre-euclídeos y euclídeos. . . . . . . . . . . . . 141.5. Fórmula de Einstein de adición de velocidades. . . . . . . . . . 181.6. El espacio-tiempo de Minkowskii. . . . . . . . . . . . . . . . . 191.7. Dinámica de la relatividad especial. . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.7.1. Vector de velocidad unitario. Principio de inercia. . . . 221.7.2. Principio de inercia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.8. Ecuaciones de la dinámica relativista. . . . . . . . . . . . . . . 241.9. Tetravector energía-impulso y masa relativista. . . . . . . . . . 261.10. Inercia de la energía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.11. Tensor electromagnético. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.11.1. Ecuaciones de Maxwell-Lorentz. . . . . . . . . . . . . . 281.11.2. Tensor adjunto del campo electromagnético. . . . . . . 301.11.3. Vector corriente eléctrica. . . . . . . . . . . . . . . . . 301.11.4. Primer grupo de las ecuaciones de Maxwell-Lorentz. . . 311.11.5. Segundo grupo de las ecuaciones de Maxwell-Lorentz. . 321.11.6. Conservación de la electricidad. . . . . . . . . . . . . . 33

3

4 ÍNDICE GENERAL

1.11.7. Densidad de fuerza de Lorentz. . . . . . . . . . . . . . 331.11.8. Dinámica relativista. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.12. Trasformación de los campos electromagnéticos. . . . . . . . . 371.12.1. Un ejemplo sencillo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.13. Tensor energía-impulso del campo EM. . . . . . . . . . . . . . 391.14. Lagrangiano del campo electromagnético. . . . . . . . . . . . . 41

1.14.1. Lagangiano de Proca. Efecto de la masa del fotón. . . . 421.14.2. Tensor de tensiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.14.3. Solución de la ecuación de ondas tetradimensional. Fun-

ciones de Green invariantes. . . . . . . . . . . . . . . . 48

2. Colisiones entre partículas cargadas. 532.1. Colisiones de Coulomb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.1.1. Transferencia de energía a una carga ligada armónica-mente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.2. Fórmulas de la pérdida de energía. . . . . . . . . . . . . . . . 642.2.1. Fórmula clásica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.2.2. Fórmula cuántica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.3. Efecto de la densidad del medio. . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.3.1. Pérdida de energía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.4. Radiación de Cherienkov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.5. Dispersión elástica de partículas rápidas por átomos. . . . . . 76

3. Radiación de cargas en movimiento. 833.1. Potenciales e Lienard-Wiegert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.2. Potencia total radiada por una carga acelerada. . . . . . . . . 89

3.2.1. Fórmula de Larmor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.3. Distribución angular de la radiación. . . . . . . . . . . . . . . 93

3.3.1. Carga acelerada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.3.2. Movimiento rectilíneo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.3.3. Movimiento circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.4. Carga con movimiento arbitrario ultrarelativista. . . . . . . . 1013.5. Energía radiada por cargas aceleradas. . . . . . . . . . . . . . 104

3.5.1. Distribución angular y de frecuencias de la radiación. . 1043.6. Carga relativista en movimiento circular instantáneo. . . . . . 110

3.6.1. Espectro de frecuencias de la radiación emitida. . . . . 1103.7. Dispersión de Thomson de la radiación. . . . . . . . . . . . . . 116

ÍNDICE GENERAL 5

4. Otras alternativas. 1214.1. Mecánica relativista. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.1.1. Tetravelocidad de una partícula. . . . . . . . . . . . . . 1214.1.2. Tetraimpulso ó energía-impulso. . . . . . . . . . . . . . 122

4.2. Dinámica relativista. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.3. Tensor energía-impulso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.4. Potenciales de Lienard-Wiechert. . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.4.1. Componente de velocidades. . . . . . . . . . . . . . . . 1364.4.2. Campo de aceleraciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

4.5. Langrangiano del campo electromagnético. . . . . . . . . . . . 1404.5.1. Principio de mínima acción. . . . . . . . . . . . . . . . 1404.5.2. Impulso generalizado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.5.3. Acción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424.5.4. Ecuaciones de Proca (1936). . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.6. Radiación de una carga en movimiento. . . . . . . . . . . . . . 1464.6.1. Régimen no relativista. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1474.6.2. Régimen relativista. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

5. Guias de onda. 1575.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

5.1.1. Modo transversal eléctrico TE. . . . . . . . . . . . . . 1585.1.2. Modo transversal magnético TM. . . . . . . . . . . . . 161

5.2. Transporte de energía en una guía. . . . . . . . . . . . . . . . 1625.2.1. Modo TE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1625.2.2. Modo TM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

6 ÍNDICE GENERAL

Capítulo 1

Relatividad especial.

1.1. Introducción.

La Electrodinámica Clásica se ocupa del estudio de la interacción entrelos campos electromagnéticos y las partículas cargadas, que con�guran lamateria, en movimiento. Como su adjetivo indica, esta asignatura no tieneen cuenta las posibles correcciones cuánticas[1, 2, 3, 4].Para empezar es imprescindible el conocimiento de las cuatro ecuaciones

de Maxwell, ya que sientan las bases para explicar la evidencia experimentalde los campos y, por tanto, son el primer paso en la Teoría de Campos. Sinembargo, las ecuaciones de Maxwell presentan un pequeño (o enorme, segúnse vea) inconveniente: si se utilizan conjuntamente con la transformacionesclásicas de sistemas de referencia de Galileo, se organiza un pandemoniumde cuidado. Particularmente, presentan graves problemas de comodidad. Esdecir, a pesar de su brillantez, las ecuaciones de Maxwell llegan a no serprácticas siquiera desde el punto de vista clásico.Recordemos que, según el principio básico de la Relatividad, la física de

las interacciones ha de conservarse frente a transformaciones entre sistemasinerciales. En otras palabras, las interacciones han de verse de forma análogamírese de donde se mire. Obviamente, me re�ero a las interacciones físicas.Las teológicas dependen enormemente del sistema de referencia de cada su-persticioso y las políticas, de cada borrego. En principio, al tratar de uni�carla ecuaciones de Maxwell con la radiación electromagnética visible, Lorentz(1890) se vió obligado a replantear las tranformaciones entre inerciales, asen-tando los principios básicos de la Relatividad. En 1905 Einstein fue más allá,

7

8 CAPÍTULO 1. RELATIVIDAD ESPECIAL.

generalizando la Relatividad a cualquier problema físico, con independenciadel electromagnetismo o sin ella. Con referencia al electromagnetismo nosbastará con la llamada Relatividad Especial. A ella, y a nuestro programa,escapan los fenómenos macrogravitatorios, objetivos de la Relatividad Gen-eral.

1.2. Postulados de Einstein.

Veamos por qué las ecuaciones de Maxwell no son invariantes bajo trans-formaciones de Maxwell. Supongamos un sistema inercial K asociado a unapartícula libre, sistema que ha de ser homogéneo, isótropo e invariante tem-poral. En dicho sistema, asociadas a las leyes de conservación, existirán sieteintegrales primeras del movimiento relacionadas con la energía, los momentosy las posiciones. Si hubiera otro inercial, K�, moviéndose respecto a K convelocidad �!v , las transformaciones de Galileo nos dicen que, para la partícula,

�!x 0 = �!x ��!v t (1.1)

t0 = t:

Si nos planteamos una ecuación de ondas tridimensional en el inercial K,

@2�

@x2+@2�

@y2+@2�

@z2� 1

c2@2�

@t2= 0; (1.2)

que podemos simpli�car enormemente mediante la notación de Einstein, lla-mando a ct = x0, como

@2�

@x�= 0: (1.3)

Pero esta notación la veremos ampliamente más adelante. Si hacemos uncambio de coordenadas al inercial K�,

@2�

@x02+@2�

@y02+@2�

@z02� 1

c2@2�

@t02� 2

c2�!v � �!O 0�

� 1c2

��!O 0 � �!v��!v � �!O 0� = 0; (1.4)

con � = �(x0; y0; z0; t0): Para realizar la anterior transformación es convenienterecordar cómo se modi�ca el operador de Laplace bajo cambios de base. Perolo que ahora nos interesa es obsevar que la radiación electromagnética dada

1.2. POSTULADOS DE EINSTEIN. 9

por el potencial escalar � se mueve de forma totalmente distinta en los dossistemas de inerciales planteados. Cuando así ocurre se dice que la ecuaciónde ondas no es covariante galileana.Obviamente existe algo incorrecto en lo antes expuesto, ya que las leyes de

la física no deben depender de los sistemas de coordenadas. En otras palabras,no existen observadores privilegiados en la Física. En Mecánica Clásica lasecuaciones de ondas no son covariantes galileanas. Para solventar el problemase asociaron los términos adicionales que aparecen a ciertas velocidades dearrastre del medio material en que se propagan. Pero resulta que la luz sepropaga en el vacio también. (Curiosamente, la ecuación de Schrödinger síes invariante bajo transformaciones de este tipo). Las posibilidades que seplantearon en 1900 fueron tres:1.- Las ecuaciones de Maxwell son incorrectas. Una buena teoría debe ser

invariante ante transformaciones de Galileo.2.- El electromagnetismo ha de estudiarse en un sistema de referencia

�especí�co�, suponiendo que las ondas electromagnéticas se propagan en unmedio en reposo, el �éter�.3.- Debe existir un principio de relatividad único, diferente al galileano.

1.2.1. Primer postulado de la relatividad.

Las leyes de la naturaleza y los resultados experimentales obtenidos en unsistema de referencia han de ser independientes del movimiento de traslacióndel sistema de referencia como conjunto. En otras palabras, existe un conjun-to triplemente in�nito de sistemas de referencia euclídeos equivalentes quese mueven, unos respecto a otros, en trayectorias rectilíneas y con velocidadconstante. En ellos, los fenómenos físicos ocurren de manera idéntica. Sonlos llamados Sistemas de Referencia Inerciales. Este postulado había estadoimplícito desde la Grecia Clásica. Aunque planteado por Poincaré en 1890,la única novedad que presenta es la eliminación de los movimientos relativosrespecto al éter.

1.2.2. Segundo postulado de la relatividad.

La velocidad de la luz no depende del movimiento de la fuente. Estepostulado lo propuso Einstein sin comprobarlo. De hecho no se comprobóexperimentalmente hasta 1962. Este postulado exige variar las leyes de lamecánica, a efectos prácticos, para el caso de altas velocidades. O siempre


desde el punto de vista teórico. Y lo que es más importante, las interac-ciones no son instantáneas ya que su velocidad de propagación es�nita, cuestión que ya se había planteado Newton, pero que no se lo contóa nadie porque le daba mucha vergüenza.

1.3. Experimentos más o menos recientes.

1.3.1. Deriva del éter.

A �nales del siglo XIX surgió el problema de la detección del éter. Michel-son y Morley diseñaron un experimento con este único objetivo. (Piénsese quela idea de la necesidad de un medio material para la propagación de cualquieronda estaba totalmente asumida por la comunidad cientí�ca). El experimentose basaba en técnicas de interferometría óptica.La �gura (1) es un esquema del experimento. Hemos sucumbido a la

tentación de poner una S en la fuente (source, en inglés) y una M en losespejos (de mirror). De la fuente S parte un rayo de luz de longitud deonda �. En el espejo semiplateado M1 se divide en dos haces. Estos siguencaminos perpendiculares entre sí, se refejan en los espejos M2 y M3. Vuelvena pasar por M1, recombinándose en el observador O. En este punto existiráuna diferencia de fase entre los haces debida al tiempo que necesita cadahaz para recorrer M1M3 o M1M2, ida y vuelta. Supongamos que la Tierra semueve con velocidad �!v , paralela a M1M3, respecto al éter. De esta forma,

t =l

c� v+

l

c+ v=

2lc

c2 � v2: (1.5)

Por el otro camino, el recorrido ida y vuelta entreM1 yM2, que el haz nohace por el mismo camino, como puede verse en la Fig. (2), el haz tardará

t0 =2lp

c2 � v2(1.6)

La diferencia de fases entre los dos haces al llegar a O será

�� =c(t0 � t)

�=c

�

�2lc

c2 � v2� 2lp

c2 � v2

�(1.7)

1.3. EXPERIMENTOS MÁS O MENOS RECIENTES. 11

Figura 1.1: Esquema del experimento de Michelson-Morley.

Figura 1.2: Tiempo invertido en el recorrido por los haces.


Dado que v � c, podemos simpli�car:

�� =lv2

�c2: (1.8)

Michelson y Morley buscaron el diagrama de interferencias en la posición deldibujo y en la perpendicular. Es decir, intercambiando las dos ramas del in-terferómetro. La diferencia entre los corrimientos de fase obtenidos entre lasdos ramas eran mucho menores que los previstos si existiera el éter. Posteri-ormente, con sistemas más so�sticados, se comprobó que dicho corrimientoera nulo. Es decir, la velocidad de la luz es la misma en cualquier direc-ción, no detectándose ningún movimiento relativo del sistema de referenciarespecto al éter. Este resultado es válido localmente y pone en tela de juicioa las transformaciones de Galileo, en las cuales se fundamenta la existenciadel éter. Podría pensarse que, casualmente, la Tierra coincide con el sistemaprivilegiado del éter. También cabría pensar que la Tierra, en su desplaza-miento, arrastrara tras de sí al éter. En ambos casos el interferómetro estaríaen reposo respecto al éter y no detectaría nada. Sin embargo, años despuésse comprobó mediante la aberración de la luz de las estrellas, causada por elmovimiento orbital de la Tierra, así como de otras propiedades astronómicas,que no existía ningún sistema de referencia privilegiado, salvo el Vaticano.

1.3.2. Velocidad de la luz desde una fuente en movimien-to.

La velocidad de la radiación electromagnética en el vacio, c, es invariantee independiente de la velocidad del emisor. Este punto lo detallaremos másadelante cuando se estudie la ley de adición de velocidades de Einstein.

1.3.3. Dependencia de la velocidad de la luz en el vaciocon la frecuencia.

También detallaremos este fenómeno más adelante. Utilizando medidasde la radiación procedentes de pulsares se comprobó que, si bien la frecuenciadependía de la velocidad de la fuente respecto al observador (efecto Dopplerelectromagnético), la velocidad de la luz seguía siendo invariante. Es decir, lavelocidad de la radiación electromagnética es independiente de su frecuenciaen el vacio.

1.4. TRANSFORMACIONES DE LORENTZ. 13

Figura 1.3: Los dos sistemas de referencia inerciales propuestos, K y K�.

1.4. Transformaciones de Lorentz.

Supongamos que tenemos dos sistemas de coordenadas K y K�en los queconsideraremos que existe invariancia de rotación. Cualquier suceso puedede�nirse en cualquiera de los sistemas.Los sucesos se de�nen como los acontecimientos en el espacio-tiempo de 4

dimensiones. A este espacio tetradimensional lo vamos a llamarUniverso. Lospuntos del universo serán los sucesos. Estos pueden de�nirse como (x; y; z; t)en K ó (x0; y0; z; t0) en K 0. Un determinado suceso en K, el (x; y; z; t), puedetener efecto de causalidad sobre otro suceso en el mismo sistema K, siempreque el tiempo del primer suceso sea anterior. Si tomamos una señal que sepropaga a la velocidad de la luz ( una señal electromagnética), es evidenteque, para ella, el espacio recorrido entre dos instantes de tiempo diferentes hade ser igual a c multiplicada por el tiempo transcurrido entre los dos sucesos,

c2(t2 � t1)2 = (x2 � x1)

2 + (y2 � y1)2 + (z2 � z1)

2: (1.9)

De�nimos como intervalo a

s = (c2t2 � x2 � y2 � z2)1=2: (1.10)

Obviamente, para una señal que se mueva a velocidad c el intervalo es cero. Laanterior expresión es la métrica de un espacio no euclídeo (pre-euclideo, pseu-doeuclídeo, euclideano, etc.). Suponiendo que, como consecuencia del sistema


no-educativo (pseudoeducativo, educativiano o pedagógico a secas) instaladoen nuestro país por CC, los lectores no sepan de qué se está hablando, vamosa darles algunas nociones epiteliales al respecto.

1.4.1. Espacios pre-euclídeos y euclídeos.

Si a un espacio vectorial cualquiera le dotamos de una ley de composicióninterna conocida por producto escalar, generamos un espacio pre-euclídeo.El producto escalar se de�ne como una aplicación bilineal tal que, para dosvectores arbitrarios del espacio vectorial, �!x e �!y , 8(�!x ;�!y ) 2 E =) �!x ��!y =xi�!e i � yj�!e j = xiyj�!e i ��!e j = xiyjgij, donde las

�!e i son las bases del espaciovectorial y las xi las componentes de los vectores. Esta ley no es asociativa,pero tiene elemento neutro. El producto escalar es commutativo, por lo quela matriz gij es simétrica.Si los elementos de gij son todos positivos, el espacio vectorial es euclídeo.

Si no, el espacio es pseudoeuclídeo. Supongamos que tenemos dos puntos deun espacio de este tipo, P (x1; y1; z1) y Q(x2; y2; z2). La distancia entre ambospuntos es d = ((x2�x1)2+(y2� y1)2+(z2� z1)2)1=2. Como se puede ver, elintervalo no es más que una distancia. Si los puntos estuvieran in�nitamentepróximos, el cuadrado de la distancia sería d2 =

�!dr��!dr = dx2+dy2+dz2. Pero

esto sólo es cierto en coordenadas cartesianas. En general, d2 = gijdyidyj.En cartesianas los elementos de la matriz G, los gij, son constantes. A Gse le conoce como métrica. Es inmediato comprobar que, si hacemos x� �(ct; xi) � (x0; x1; x2; x3) la expresión s = (c2t2 � x2 � y2 � z2)1=2 = (x0)2 �(x1)2 � (x2)2 � (x3)2 no es más que una distancia en cuatro dimensiones con

G =

26641 0 0 00 �1 0 00 0 �1 00 0 0 �1

3775 : (1.11)

Es decir, el espacio 4D generado es pseudoeuclídeo y con coordenadas carte-sianas. Este es el conocido espacio de Minkovskii o Universo. Se puede trans-formar en euclídeo mediante un sencillo cambio. Si tomamos x0 = ict,s2 = (x�)2.NOTA: Es costumbre utilizar índices latinos para tres dimensiones y grie-

gos para más. Así mismo, se usan x para las coordenadas cartesianas e y paralas curvilíneas en general.


Veámos otra propiedad curiosa de la métrica. Si recordamos que�!e i��!e j =�ji , ya que

�!e j es la base del espacio recíproco o base recíproca y, dado que elproducto escalar es invariante,�!x ��!y = xi�!e i�yj�!e j = xiyjgij = xi

�!e iyj�!e j =xiyjg

ij:Si de�nimos las coordenadas covariantes como xj =

�!x ��!e j = xi�!e i��!e j =gijx

i, nos encontramos con que la métrica nos sirve para cambiar entrecontravarianza y covarianza. En el espacio geométrico ordinario, y dado quela métrica coincide con la matriz identidad, covarianza y contravarianza sonidénticas. Pero no en los espacios de Mikovski donde x0 = x0 pero xi = �xi.A partir de ahora y como norma general, los índices griegos harán referenciaa espacios de más tres dimensiones mientras que los latinos nos servirán paralos de tres o menos.Volvamos a las transformaciones de Lorentz, donde cualquier transforma-

ción de coordenadas ha de conservar el intervalo, ya que éste, que procede deun producto escalar, es invariante. Si en un instante t = t0 = 0 coinciden lossistemas arriba representados, y = y0 y z = z0, pero x(0) = vt y x0(0) = 0 enel sistema S 0.

x0 = a1x+ a2t = a1vt+ a2t = 0; (1.12)

t0 = b1x+ b2t:

Así,

a2 = �a1v; (1.13)

x0 = a1(x� vt):

Imponiendo la constancia del intervalo,

c2t2 � x2 = c02t02 � x02; (1.14)

por lo que

c2b21 � a21 = �1;2b1b2c

2 + 2a21v = 0;

b22c2 � a21v

2 = c2: (1.15)

Si llamamos � = vc, entonces

b1 = ��c

1p1� �2

;

b2 = � 1p1� �2

= a1; (1.16)


que de�nen las transformaciones de Lorentz con cierta ambigüedad de signo,y que podemos escribir como

x0 =x� vtp1� �2

;

t0 =t� �x

cp1� �2

: (1.17)

Si existieran sistemas inerciales que se movieran entre sí con velociadad v > c(� > 1), obtendríamos valores imaginarios para v0 y t0. Pero las coordenadasde un suceso no pueden ser imaginarias. Así, v < c necesariamente. Con ellopodemos representar un suceso en ambos sistemas inerciales. En el límite norelativista, cuando v << c, las transformaciones coinciden con las de Galileo,

x0 = x� vt

t0 = t: (1.18)

Más adelante veremos que las ecuaciones de Maxwell son invariantes bajotransformaciones de Lorentz. Casi se evidencia que no lo son bajo las deGalileo, pues las señales de interacción se propagan a velocidad c, con lo que� = 1 y x0; t0 se hacen in�nitos.Como hemos podido ver, el tiempo deja de ser un parámetro para con-

vertirse en una nueva variable x0 = ct. Llamando = 1p1��2

, podemos

generalizar las transformaciones de Lorentz monodimensionales como

x00 = (x0 � �x1);

x01 = (x1 � �x0);

x02 = x2;

x03 = x3: (1.19)

O, en forma matricial,0BB@x00x01x02x03

1CCA =

0BB@ � � 0 0� � 0 00 0 1 00 0 0 1

1CCA0BB@

x0x1x2x3

1CCA : (1.20)

Las transformaciones inversas son análogas, sólo que sustituyendo � por ��.Dado que sólo depende de j�!v j, o de �2, la sustitución no representa ningúnproblema.


Ocurre una cosa interesante. Como vemos j�j < 1 como las razonestrigonométricas seno y coseno ó tanh. Esto lleva a pensar que las relacionesentre x0; x1; x00 y x

01 puede hacerse a través de ellas. De�namos un ángulo

tal que � = tanh . Entonces, = cosh y, por tanto,�x00x01

�=

�cosh' � sinh'� sinh' cosh'

��x0x1

�(1.21)

que es un giro generalizado entre dos variables. Es decir, las transforma-ciones de Lorentz no van a ser más que un giro en el espacio pseudoeuclídeotetradimensional de Mikovskii. Al contrario de lo que ocurre en el espacio ge-ométrico ordinario (EGO), en 4D los giros no son conmutativos, y tampocolas transformaciones de Lorentz.En el caso de que la velocidad �!v tenga cualquier dirección, �!v = v�!n , con

�!n unitario y arbitrario, las transformaciones de coordenadas vedrían dadaspor

�!r0 = �!r � (�!r � �!n )�!n (1� cosh )� x0

�!n sinh ;x00 = x0 cosh ��!n � �!r sinh : (1.22)

Podríamos haber hecho lo mismo trabajando en un EGO, pero con ángulosde rotación imaginarios. Es decir, si tomamos tan' = iv

c, las rotaciones entre

dos variables o rotaciones en un plano respecto a un eje normal a éste serían�x01x00

�=

�cos' sin'� sin' cos'

��x1x0

�: (1.23)

Como

cos' =1q1� v2

c2

= :

sin' =iv=cq1� v2

c2

= �i� ;

la expresión (17) es inmediata. Las ecuaciones de Lorentz pueden irse gener-alizando. Si los ejes cartesianos permanecen paralelos pero el sistema K 0 semueve a velocidad cualquiera �!v (dirección arbitraria) respecto a K, de�ni-


mos�!� =

�!vc, con � =

��!� �� ; llegando ax00 = (x0 �

�!� � �!x );

�!x0 = �!x + ( � 1)

�2

��!� � �!x

��!� �

�!� x0: (1.24)

El proceso consiste en separar las componentes de �!x y de�!x0 paralelas

y perpendiculares�!� . Se tratan por separado, uniéndose al �nal. Suele ser

bastante útil escribir las transformaciones de Lorentz como un cambio decoordenadas procedentes de una operación del grupo contínuo de Lorentz,x0� = a�:�x

�, siendo a�:�(�!� ) los elementos de la matriz

Ap(�!� ) =

0BBBB@ � �1 � �2 � �3

� �1 1 + ( �1)�21�2

( �1)�1�2�2

( �1)�1�3�2

� �2( �1)�1�2

�21 + ( �1)�22

�2( �1)�2�3

�2

� �3( �1)�1�3

�2( �1)�2�3

�21 + ( �1)�23

�2

1CCCCA : (1.25)

En un Apéndice had hoc veremos el origen de esta matriz.

1.5. Fórmula de Einstein de adición de ve-locidades.

Clásicamente, si �!v es la velocidad del sistema K 0 respecto al K, y si unpunto material P tiene una velocidad

�!u0 respecto aK 0, su velocidad respecto

a K será�!u = �!v +

�!u0 : (1.26)

En la relatividad especial (restringida) las velocidades de P respecto a ambosinerciales serían

�!u = d�!rdt

;�!u0 =

d�!r0

dt0; (1.27)

con

d�!rdt

=

"d�!r0

dt0+ ( � 1)

d�!r0

dt0� �!v

! �!vv2+ �!v

#dt0

dt;

dt

dt0=

1 +�!u 0��!vc2p

1� �2: (1.28)

1.6. EL ESPACIO-TIEMPO DE MINKOWSKII. 19

Sustituyendo,

�!u = 1

1 +�!u0��!vc2

"�!u0

+ (1� 1

)

�!u0 � �!vv2

�!v +�!v#; (1.29)

expresión anecdótica que sólo indica que �!u ;�!u0 ;�!v son coplanarias. Si

�!u0 y

�!v fueran colineales tendríamos que

u =u0 + v

1 + u0vc2

; (1.30)

fórmula de Einstein de adición de velociades. De aquí es fácil ver que si u0 = c,

u =c+ v

1 + vc

=c(c+ v)

c+ v= c: (1.31)

En el caso extremo, en el cual un sistema de referencia se mueve a velocidadv = c respecto al otro,

u =c(2c)

2c= c; (1.32)

demostrándose que no es posible sobrepasar la velocidad de la luz.

1.6. El espacio-tiempo de Minkowskii.

Como hemos visto, en una variedad tetradimensional V4 dotada con elelemento de línea o métrica

ds2 = c2dt2 ��dxi�2; (1.33)

que describe la distancia entre dos sucesos in�nitamente próximos, éste esinvariante por proceder de un producto escalar. Tomemos ahora una distancia�nita dada por s2 = c2t2 � (xi)2 = (x0)2 � l2 = x�x�. Cuando x0 = �

pl2,

s = 0. Probablemente se vea mejor en el caso bidimensional, ya que s = 0 six0 = �x1, que representa a las diagonales del plano x0x1:Es decir, las diagonales representan las trayectorias seguidas por lo rayos

de luz que pasan por un observador situado en el origen. Evidentemente,

en tres dimensiones, x0 = ��(x1)

2+ (x2)

2�1=2

= �l, que representa unasuperfície cónica cuya generatriz tiene una pendiente de 45o. Éste es el cono


Figura 1.4: Figura 5. Cono de luz bidimensional

Figura 1.5: Cono de luz en 3D

1.6. EL ESPACIO-TIEMPO DE MINKOWSKII. 21

Figura 1.6: Imagen tridimensional del cono de luz. El observador está en elvértice del cono.

de luz. En el espacio 4D de Minkowskii tendríamos un hipercono. Comono lo sabemos dibujar en un papel, representaremos el caso tridimensional yque el lector extapole convenientemente. Cualquier señal que se propague convelocidad c y pase por el observador lo hará por la superfície cónica. Dadoque en Relatividad v < c para cualquier objeto con masa, ningún sucesoconectado con el observador puede estar en la región 1 o 2, ya que allí v > c.Realmente sólo hay una región, la exterior al cono, y 1 o 2 es la misma región.Ésta es la región no causal, desconectadas del observador. El apellido se debea que, para interacciones electromagnéticas, la causa es posterior al efecto.Un suceso emitido en cualquier punto de esta región jamás alcanzaría a otrocon lo que los sucesos no estarían ligados causalmente.

Las regiones 3 y 4 son las causales, donde v < c. En la zona 3, t > 0,y los sucesos son posteriores a la situacíón temporal del observador. Éstaes la región del futuro causal. En la región 4, t < 0. Es decir, los sucesosson anteriores al tiempo del observador, razón por lo que esta región es ladel pasado causal. Cualquier suceso producido sobre el cono de luz recibeel nombre de suceso luz, con intervalo nulo. Los sucesos que ocurren el laregión causal se llaman sucesos tiempo, con s2 > 0. Finalmente, los sucesosde la región no causal, como el Alcón Milenario, las cohortes celestiales y loscuerpos gloriosos, son los sucesos espacio, que pululan por s2 < 0.


Ocurre que, cuando dos sucesos en el espacio de Minkowskii están rela-cionados con un intervalo de la clase tiempo, entonces existe otro sistemainercial en el que ambos sucesos ocurren en el mismo lugar (misma posiciónespacial). Esto es posible pues si, en el sistema K, s2 = c2t2 � l2 > 0, conl2 = x2i , en cualquier otro sistema K

0 en el cual se conserva el intervalo,s02 = c2t02 � l02 = s2, con ct02 > 0 . Buscando un sistema en el que l0 = 0,vemos que este sistema es único y en él los sucesos se producen en el mismolugar.Existe otro inercial, pero para sucesos de tipo espacio (s2 < 0), en el

que dos sucesos que ocurren en diferentes posiciones son simultáneos (el donde la ubicuidad de los cuerpos gloriosos): 0 > ct2 � l2 = s2 = s02 = �l02.Es decir, l02 < 0. Podría hacerse todo un tratado teológico asimilando laregión no causal con el cielo cristiano, siguiendo las líneas maestras trazadaspor Tertuliano, Orígenes y San Agustín. Lo dejaremos para otro apéndicedonde demostraremos de manera fehaciente y sin dejar lugar a ningún génerode duda de que el cielo existe. Aún más, que las profundas investigacionesrealizadas por los teólogos cristianos a cerca de las propiedades de los cuerposgloriosos tienen una sólida base relativista. Quién lo iba a decir.

1.7. Dinámica de la relatividad especial.

1.7.1. Vector de velocidad unitario. Principio de iner-cia.

Supongamos un punto material P moviéndose con velocidad v < c. Encoordenadas cualesquiera se de�ne como vector velocidad unitario de P alvector del universo de componentes

u� =dy�

ds(� : 0; � � � ; 3): (1.34)

Recordemos que es costumbre utilizar índices latinos para tres dimensionesy griegos para más. Así mismo, se usan x para las coordenadas cartesianas ey para las curvilíneas en general. En el EGO, las componentes de �!v son

vi =dxi

dt(i : 1; � � � ; 3): (1.35)

1.7. DINÁMICA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL. 23

Es decir, en cartesianas

ui =dxi

ds= vi

dt

ds; (1.36)

u0 =dx0

ds=cdt

dt

dt

ds= c

dt

ds:

Ahora bien,

ds =��dx0�2 � �dxi�2�1=2

= dt

�dx0

dt

�2��dxi

dt

�2!1=2

= dt�c2 � v2

�1=2= cdt

�1� v2

c2

�1=2=

cdt

: (1.37)

Es decir,

dt

ds=

c=)

�� ui = cvi

u0 = cc

=) u� = (1;�!� ): (1.38)

¿Por qué se le llama velocidad unitaria? Muy fácil, haciéndo su cuadrado,

u�u� = 2(1� �2) = 1: (1.39)

1.7.2. Principio de inercia.

Un punto material aislado admite como trayectoria del universo a unageodésica del elemento lineal de Minkowskii para la cual ds2 es positivo. Comoesto parece un galimatías, una geodésica es la trayectoria más corta en unespacio de Riemann, y corresponde a una trayectoria con aceleración nula. Esla extensión de la línea recta en un universo plano. Para u� constante, du

�

ds=

0. Las geodésicas vienen descritas por el sistema de ecuaciones, obtenidosmediante el principio de mínima acción,

d2y�

ds2� ��

dy�

ds

dy�

ds= 0; (1.40)


que en cartesianas se reduce a

d2x�

ds2= 0 =) du�

ds= 0; (1.41)

ya que los símbolos de Christo¤el �� = 0 en este tipo de sistema de coorde-nadas.

1.8. Ecuaciones de la dinámica relativista.

La fuerza�!f a la que está sometido un punto P puede depender de su

posición y velocidad. Deberíamos saber que, en mecánica clásica,

�!f = m

d�!vdt

: (1.42)

De esta expresión se deduce el teorema de las fuerzas vivas,�!f � �!v =

ddt

�12mv2

�. Estas ecuaciones no son invariantes bajo el grupo de Lorentz por

lo que hay que buscar unas que sí lo sean. De�nimos la tetraaceleración deP en el universo como

a� =�u�

�s: (1.43)

Si al punto P se le caracteriza por un parámetro m0, con dimensiones demasa, y que llamaremos masa en reposo de P , podemos escribir

m0c2 �u

�

�s= ��: (1.44)

La c2 se ha introducido para que c2 �u�

�stenga dimensiones de aceleración

y, por tanto, �� sea una fuerza. Estas ecuaciones fueron panteadas ya porMinkowskii.Resulta que, como u� es unitario, d

ds(u�u�) = 0 = u� du�

ds+ du�

dsu� =

2u� du�ds=) u� ? du�

ds. Es decir la velocidad unitaria y la tetraaceleración son

ortogonales y, en consecuencia, también lo son u� y ��. Esta tetrafuerza, quees constantemente perpendicular a la velocidad, se le conoce por fuerza deluniverso. En coordenadas galileanas, es decir, volviendo a tomar la variable

1.8. ECUACIONES DE LA DINÁMICA RELATIVISTA. 25

t,

m0c2du

�

dt

dt

ds= �� =)

m0c2du

�

dt=

��

=)�� m0c

ddt vi = �i

m0cddt = �0

; (1.45)

que podemos comparar con las leyes de Newton tomando f i = �i= : Como

��u� = 0 =) �0u0 = �iui: Como u0 = , �0 =�!f ��!vc 2: Y según (45)

�iui = f iui = 2�!f � �!vc

= �0 =)

�0

=

�!f � �!vc

=)

d

dt

m0c2p

1� �2=

�!f � �!v : (1.46)

Si llamamos

E =m0c

2p1� �2

; (1.47)

la ecuación (46) es típica de la mecánica clásica. E se de�ne como la energíatotal del punto P . Esta energía no se anula ni cuando v �! 0. LlamandoE = E0 + T , encontramos que

E0 = m0c2;

T = m0c2

"1p1� �2

� 1#= m0c

2 ( � 1) ; (1.48)

siendo E0 la energía en reposo de P y T la energía cinética relativista. Ob-viamente, para v << c, E � E0 = m0c

2 y T = 12mv2, energía cinética

clásica.


1.9. Tetravector energía-impulso y masa rel-ativista.

El vector energía-impulso es un vector del universo con la misma direcciónde u�, de componentes

p� = m0cu� (1.49)

que, en coordenadas de Galileo,

p0 = m0c =m0cp1� �2

=E

c;

pi = m0 vi =

m0vip

1� �2: (1.50)

Si llamamos �!p a la parte espacial,

m0d

dt �!v = �!f = d�!p

dt: (1.51)

Es decir, la ecuación relativista es idéntica a la clásica pero el punto materialse comporta como si tuviera una masa variable,

m = m0 (1.52)

llamada masa relativista de P: Ocurre que si v << c, m �! m0 pero siv �! c =) m �! 1: Por lo tanto, m0 =

Ec2y m0 =

E0c2, existiendo una

correlación entre masa y energía que no existe en mecánica clásica.

1.10. Inercia de la energía.

Consideremos una partícula y un sistema galileano K0 anclado sobre ella.Este es el sistema propio de dicha partícula, de forma que, en un puntodeterminado del universo�!p = �!0 . Supongamos que enK0 la partícula admiteuna energía total E0, en la forma que sea. E0 es la energía en reposo de dichapartícula. En K0 el vector energía-impulso tiene por componentes

p00 =E0c; pio = 0:

1.10. INERCIA DE LA ENERGÍA. 27

Vayamos a otro sistema inercialK respecto al cualK0 se mueve con velocidadconstante �!v . Haciendo una transformación de Lorentz el vector energía-impulso tiene por componentes en K

p0 = m0 c =E0c

c2p1� �2

=

cE0;

pi = m0 vi =

E0c2

vip1� �2

=

cE0�

i; (1.53)

de donde se deduce que cada forma de energía contribuye al vector energía-impulso del universo como si dicha energía correspondiese a una masa E0

C2.

Es decir, todo sistema físico que posea, bajo cualquier forma, una energía enreposo E0, tiene, al mismo tiempo, una masa inerte m0 =

E0c2: Este principio,

enunciado por Einstein, establece la equivalencia masa-energía.Si una partícula en K0, que no esté sometida a ninguna fuerza, emite

durante un intervalo �t una energía �E0 en forma de radiación electromag-nética (luz), ésta saldrá en forma de onda esférica (recordemos que en K0 lapartícula está en reposo), de forma que el impulso resultante en K0, debido ala radiación, es nulo. Si la partícula estaba en reposo antes de emitir, tambiénlo estará después. Si re�riéramos el mismo fenómeno desde otro inercial K,dado que el fenómeno partícula-radiación está aislado, se conservará el vectorenergía-impulso. En K, la radiación emitida admitirá el impulso y la energía

�!p =�E0c2

�!vp1� �2

;

E =�E0p1� �2

: (1.54)

La partícula deberá suministrar ese impulso y energía sin modi�car la veloci-dad. Ésto sólo es posible si la partícula modi�ca su masa en reposo. Si éstaes m0 antes de la emisión, las leyes de conservación serían

m0�!vp

1� �2=

m00�!vp

1� �2+�E0c2

�!vp1� �2

;

m0c2p

1� �2=

m00c2p

1� �2+

�E0p1� �2

; (1.55)

indicándonos que

m00 = m0 �

�E0c2

: (1.56)


Es decir, la masa de la partícula se ve reducida en �E0c2= energ�{a emitida

c2:

En dinámica relativista sólo existe una ley de conservación para la energíatotal de un sistema aislado, por la cual varían las masas en reposo cuandola energía cinética se transforma en otro tipo de energía o viceversa. Lasmasas en reposo pueden incluso variar de forma notable en interaccionescon energías del mismo orden que la masa en reposo. Este hecho se observaexperimentalmente en las reacciones nucleares.En mecánica no-relativista la energía viene determinada salvo una con-

stante aditiva, por no haber medida absoluta de la energía. Es decir, enmecánica no-relativista sólo se puede hablar de diferencias de energía.Dado que p� =

�Ec;��!p

�, p�p� = E2

c2� p2 = c2m2

0 =)

E2(p) = c2p2 +m20c4: (1.57)

Si la masa en reposo es nula. m0 = 0, la relación carece de sentido puesp� = 0. Pero no es estrictamente cierto. Si olvidamos trayectoria y velocidady pensamos en que los conceptos básicos son energía e impulso relativistas,la relación básica cuando m0 = 0 es

E = cp: (1.58)

Es decir, no existe límite no relativista para partículas de este tipo, como sonlos fotones y los gravitones.

1.11. Tensor electromagnético.

1.11.1. Ecuaciones de Maxwell-Lorentz.

Los campos electromagnéticos de�nidos por�!E (t) (campo eléctrico vari-

able en el tiempo) y�!H (t) (campo magnético variable en el tiempo) son

vectores del espacio ordinario válidos sólamente para transformaciones con-sistentes en desplazamientos espaciales y cambios del origen temporal. Perocon ellos podemos elaborar las ecuaciones de Maxwell. Supongamos que enun inercial K tenemos

�!H =

��!rot

�!A =

�!r ��!A;�!E = ��!grad �� 1

c

@�!A

@t; (1.59)

1.11. TENSOR ELECTROMAGNÉTICO. 29

siendo � el potencial escalar y�!A el vectorial. Si construímos un vector del

universo de componentes contravariantes y covariantes

'1 = �Ax; '2 = �Ay; '3 = �Az; '0 = ��;'1 = Ax; '2 = Ay; '3 = Az; '0 = ��; (1.60)

podemos comprobar que

Hx =@'3@y� @'2

@z; Ex =

@'0@x� @'1

c@t;

Hy =@'1@z� @'3

@x; Ey =

@'0@y� @'2

c@t;

Hz =@'2@x� @'1

@y; Ez =

@'0@z� @'3

c@t:

(1.61)

Es decir, las componentes de los vectores del espacio 3D�!E y

�!H están de-

scritas por 6 componentes covariantes de un tensor antisimétrico del universo

F�� = @�'� � @�'� =@'�@x�

� @'�@x�

: (1.62)

En coordenadas reducidas de Galileo tendríamos

F�� =

0BB@0 �Ex �Ey �EzEx 0 �Hz Hy

Ey Hz 0 �Hx

Ez �Hy Hx 0

1CCA =)

F�� =

0BB@0 Ex Ey Ez�Ex 0 Hz �Hy

�Ey �Hz 0 Hx

�Ez Hy �Hx 0

1CCA (1.63)

Las F�� son las componentes del tensor llamado campo electromagnético yque es igual al rotacional del vector del universo '�, conocido como poten-cial vector de universo. Con estos nuevos conceptos los campos eléctrico ymagnético forman una entidad intimamente ligada, permaneciendo esta in-timidad bajo tranformaciones de Lorentz. Supongamos dos sistemas K y K 0

ligados por una transformación de Lorentz. Entonces

F 0�� = a:�� a:�� F�� =) F 0 = AFA> =)

Ex = E 0x; Ey = (E 0y + �H 0z); Ez = (E 0z � �H 0

y);Hx = H 0

x; Hy = (H 0y � �E 0z); Hz = (H 0

z + �E 0y);(1.64)


donde hemos supuesto, por sencillez, que los dos sistemas de referencia sedesplazan, uno respecto al otro, a velocidad �!v en la dirección de X, per-maneciendo los otros ejes paralelos.La expresión F�� = @�'� � @�'� es válida en cualquier tipo de coorde-

nadas curvilíneas, aunque la hayamos planteado en cartesianas.Sin embargo, hay que recordar que el potencial vectorial no está biunívo-

camente de�nido por el campo. Cualquier vector de componentes

'�� = '� + @� ; (1.65)

donde es un escalar arbirario, sugue siendo válido. La adición del gradientedel escalar recibe el nombre de cambio de medida de Weyl. Se dice entoncesque el campo electromagnético tiene invariancia de medida.

1.11.2. Tensor adjunto del campo electromagnético.

Dado que F�� es antisimétrico admite un tensor adjunto. Éste tendrápor orden a la dimensión del espacio menos el orden del tensor de partida,4� 2 = 2. Por de�nición de adjunto,

F�% =1

2"��%F��; (1.66)

siendo "��% el tensor o indicador de permutaciones. Este tensor vale 1 si elnúmero de permutaciones necesarias para ordenar los índices es par, -1 si esimpar, y cero si hubieran dos índices repetidos. En otras palabras,

F01 = F23 = Hx; F23 = F04 = Ex;F02 = F31 = Hy; F31 = F02 = Ey;F03 = F12 = Hz; F12 = F03 = Hz:

(1.67)

1.11.3. Vector corriente eléctrica.

En sistema galileano en la ecuaciones de Maxwell aparecen productos ��!vque de�nen la corriente de carga (y en cualquier ecuación de continuidad decorriente de carga o de masa), donde % es la densidad de carga. Es decir,en un sistema K0, la carga elemental sería de = �dV . Resulta que la cargaes invariante de Lorentz. Sin embargo, no ocurre así con el volumen ya que,para un movimiento monodimensional, la dirección el la que se mueve el


volumen se contraería. Si el sistema K0 se mueve a velocidad�!v respecto a

otro sistema K, dV estaría ligado a dV0 por la relación

dV =dV0 ; (1.68)

con lo que

�dV0 = �0dV0 =) � = �0; (1.69)

indicando que la densidad de carga sí varia con el movimiento: Vamos acrear un vector corriente eléctrica del universo (tetradimensional) siguiendoel mismo patrón que hemos usado hasta ahora: ligar un escalar y un vector3D con las mismas dimensiones:

J� = �0cu� �

�c�;�!j�; (1.70)

que, en coordenadas de Galileo, sería:

J0 = �0c = �c; J i = �0vi = �vi: (1.71)

1.11.4. Primer grupo de las ecuaciones de Maxwell-Lorentz.

Recordemos que las ecuaciones de Maxwell inhomogéneas eran

�!rot

�!H � 1

c

@�!E

@t=

�!r ��!H � 1c

@�!E

@t= 4�

��!vc; (1.72)

div�!E =

�!5 � �!E = 4��;

que se pueden reescribir como

@�Fi� =

4�

cJ i; (1.73)

@�F0� =

4�

cJ0;

y que pueden agruparse en una única ecuación,

@�F��=4�

cJ� ; (1.74)

la cual es válida para cualquier sistema de coordenadas del universo.


1.11.5. Segundo grupo de las ecuaciones de Maxwell-Lorentz.

Tomemos ahora las ecuaciones homogéneas de Maxwell,

�!rot

�!E +

@�!H

cdt=

�!r ��!E +@�!H

cdt= 0: (1.75)

div�!H = 0:

Si proyectaramos sobre el eje cartesiano OX, tendríamos que@EZ@y

� @Ey@z

+@Hx

@t= 0 =)

@2F12 + @3F12 + @0F10 = 0 =)@�F i� = 0; (1.76)

en el universo y después de sumar las otras proyecciones. Análogamente, parala segunda ecuación de (73)

@Hx

@x+@Hy

@y+@Hz

@z= 0 =) (1.77)

@1F01 + @2F02 + @3F03 = @iF0i;

que, uniéndola a las anteriores, conduce a la sencilla ecuación

@�F�� = 0 ; (1.78)

que podemos reescribir en función del tensor electromagnético como

@��"��F��

�; (1.79)

válido en cualquier sistema de coordenadas curvilíneo o no. Ahora bien, como@�"

�� = 0, podemos escribir

"��@�F�� = 0: (1.80)

Como, además,@F��@x�

= @�F�� = @�F�� :::�� F�� :::�� F�� = F��;�:: (1.81)

Dado que, por simetría, "�� = 0 = "�� =)@�F�� + @�F�� + @�F�� = 0; (1.82)

que son las condiciones necesarias y su�cientes para que exista '� del uni-verso, tal que su rotacional sea F��:


1.11.6. Conservación de la electricidad.

De las ecuaciones de Maxwell clásicas se deduce que

@�

@t+�!r � (��!v ) = 0: (1.83)

Veámos cuál sería su forma tensorial en 4D. Para ello conviene recordar que@�F

�� = 4�cJ�. Derivando respecto a x�,

@�;�F�� =

4�

c@�J

�`: (1.84)

Como el tensor campo-magnético es antisimétrico, @�;�F �� = �@�;�F �� =�0 = 4�

c@�J

�` =)@�J

� = 0; (1.85)

equivalente a (81).

1.11.7. Densidad de fuerza de Lorentz.

Consideremos que�!K es la densidad de fuerza dada por la teoría de

Maxwell; si�!K es la fuerza que se ejerce sobre la cantidad de electricidad

contenida en la unidad de volumen,

�!K = �

�!E +

��!vc��!H; (1.86)

que es la fuerza de Lorentz por unidad de volumen, o densidad de fuerzade Lorentz. Siguiendo el esquema general, vamos a construir el tetravectorpertinente. Empezamos proyectando sobre un eje galileano

Kx = �Ex +�

c(vyHz � vzHy); (1.87)

que, en 4D sería

K1 =1

c

�J0F

01 + J2F21 + J3F

31�=1

cJ�F

�1; (1.88)

Puesto que J1F 11 = 0. Es decir, uniendo las otras dos coordenadas espaciales

Ki =1

cJ�F

�i ; (1.89)


con i = 1; 3 y � = 0; 3. Para completar la anterior ecuación añadimos

K0 =1

cJiF

0i (1.90)

que, en coordenadas espaciales de Galileo, sería

K0 =1

c��!v � �!E =

1

c

�!K � �!v : (1.91)

Esto se debe a que�!K � �!v =

��!E + �

c�!v ��!H

�� !v = �

�!E � �!v , que es

realmente una variación de trabajo por unidad de volumen, o densidad depotencia. Por tanto, salvo el factor c, K0 representa al trabajo por unidad devolumen correspondiente a la densidad de fuerza

�!K . Podemos generalizar a

K� =1

cJ�F

��; (1.92)

donde K� son las componentes del vector densidad de fuerza de Lorentz enel universo, válidas para cualquier sistema curvilíneo. Este vector es perpen-dicular al de densidad de corriente J�:

K�J� =1

cJ�F

��J� = �1

cJ�F

��J� = �K�J� = 0: (1.93)

1.11.8. Dinámica relativista.

Cuando uno trata de describir el movimiento de partículas sometidas aacciones externas ha de echar mano a la 2a Ley de Newton d�!p

dt=�!F , donde

�!F

son las fuerzas externas. La generalización a partículas relativistas se conocecomo Ley de Minkowskii

dp�

d�= F �: (1.94)

Notemos que hemos derivado respecto al tiempo propio y no respecto alintervalo. Además, se suele trabajar con densidad de impulso, por lo quela fuerza generalizada 4D realmente es una densidad de fuerza externa. Siutilizamos al tiempo propio como parámetro de integración, sabiendo que


p�p� = m2oc2;

dp�

d�p� + p�

dp�d�

= 0 =)

g��dp�d�

g��p� + p�

dp�d�

= 0 =)

��dp�d�

p� + p�dp�d�

= 0 =)

p�dp�d�

= 0: (1.95)

O bien, p� dp�d�= p�F� = 0 = m0u

�F� =)

u�F� = 0; (1.96)

resultado que ya conocíamos.

Si F� =�F0;�!F�, u� = dx�

d�= (c;�!v ), de�nida respecto al tiempo

propio, vemos que u�F� = (cF0 ��!v ��!F ) = 0 =)

F0 =�!v � �!Fc

: (1.97)

Si sustituimos en la componente temporal de la ecuación de Minkowskii,

dp0d�

= F0 =)1

c

dE

d�=�!v � �!Fc

; (1.98)

que es trabajo por unidad de tiempo y unidad de volumen realizado por unafuerza externa, dividido por c. Es decir, la densidad de energía, o densidadde trabajo total, sería

E =

Z�!v � �!F d�: (1.99)

Como todas las componentes de F � están relacionadas con la velocidad, latetrafuerza suele construirse como

F � = cte K��u� ; (1.100)

donde la constante ha de ser invariante de Lorentz. Dado que u�F� = 0 =)u�K

��u� = 0. Para que esto sea cierto K�� ha de ser antisimétrico. Se podría


solucionar el problema con el tensor electromagnético, pero es más correc-to hacerlo a través de la ecuación de la fuerza de Lorentz. Por ejemplo, sitomamos la constante igual a q=c, F 1 = q

cK1�u� . Si K1� = F 1� =)

F 1 = q

�E1 +

1

c(v2B3 � v3B2)

�=

q

c

�K10u0 +K11u1 +K12u2 +K13u3

�; (1.101)

que podemos generalizar a

F i =q

cF i�u� = q

��!E +

1

c�!v ��!B

�: (1.102)

Para la componente temporal,

F 0 =q

cK0�u�

=q

c

�F 00u0 + F 01u1 + F 02u2 + F 03u3

�=

q

c(E1 v1 + E2 v2 + E3 v3) =

q

c �!E � �!v : (1.103)

En conjunto,

F � =q

cF ��u� ; (1.104)

que encierra a la fuerza de Lorentz, cuya parte temporal está relacionada conla variación de la densidad de energía, y que sólo recibe contribuciones delcampo eléctrico. Por tanto, la componente temporal de esta fuerza va a serla única que realice trabajo.La expresión de la fuerza podría ser más compleja, como

F � = H��u�u�; (1.105)

donde existen acoplamientos de las velocidades con tensores de orden supe-rior. Por ahora no nos interesa.En general, la trayectoria de una carga se calcula de las cuatro ecuaciones

de la fuerza

m0du�

d�=q

cF��u�: (1.106)

1.12. TRASFORMACIÓNDE LOS CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS.37

Clásicamente, para cargas relativistas habría que calcular

m0d

dt( �!v ) = q(

�!E +

�!vc��!B ); (1.107)

donde tenemos que derivar la , lo que representa un grave inconveniente.Hasta ahora hemos tratado el caso relativista de una partícula sometida a

fuerzas externas. Veamos ahora la dinámica de un sistema de partículas,como son los casos de las colisiones, desintegración,etc. En particular nosinteresan las leyes de conservación para los procesos de interacción entrepartículas elementales.El marco natural para estos procesos es la mecánica cuántica relativista

(RQM), la electrodinámica cuántica (QED) o la cromodinámica (QCD).Nuestra presentación clásica es útil dentro de determinados límites y comocomparación con los resultados obtenidos mediante operadores. Pos ejemplo,las fuerzas electrodinámicas no satisfacen el principio newtoniano de acción yreacción, pero sí las leyes de conservación de impulso y energía. La mecánicaclásica relativista es útil para las llamadas interacciones de contacto, queocurren en un punto del universo, pero no para las interacciones de largoalcance. Esto se debe a que, si las partículas interactúan e un punto del uni-verso, siempre es posible encontrar un sistema de referencia en el que todasestén simultáneamente en reposo. En ese sistema y para el instante en consid-eración,�!v = �!0 , con d�!v

dt6= 0. Por tanto, F0 = 0 y

�!F =

�!f en dicho sistema.Se

puede usar el principio de acción y reacción newtoniano para obtener la leyde conservación energía-impulso, con

PNn=1 (p�)n independiente del tiempo.

1.12. Trasformación de los campos electro-magnéticos.

Los campos electromagnéticos se transforman como cualquier tensor alcambiar de sistema de coordenadas,

F 0�� =dy0�

dy dy0�

dy�F �; (1.108)

donde dy0�

dy son los elementos de la matriz Jacobiana de la transformación. En

nuestro caso, la matriz de transformación de Lorentz [véase Ec. (25)] conducea:

F 0 = ApFATp ; (1.109)


Figura 1.7: Carga en movimiento

que, en notación de Galileo sería

�!E 0 =

��!E + c

�!� ��!B

�� 2

+ 1

�!��!� � �!E

�;

�!B 0 =

��!B ��!� ��!E=c

�� 2

+ 1

�!��!� � �!B

�: (1.110)

1.12.1. Un ejemplo sencillo.

El caso más simple que se puede presentar es el de una carga puntualq, moviéndose en línea recta con velocidad �!v , y que generará un campoelectromagnético en un determinado punto del espacio que tomaremos como�observador�. Llamemos K 0 al sistema propio de la carga, donde ella está enreposo. Por sencillez tomaremos sistemas cartesianos, con la carga movién-dose en la dirección del eje x1, en sentido positivo.

La distancia más próxima al observador P a la que pasa la carga es b. En elinstante t = t0 = 0 coinciden ambos sistemas de referencia. Las coordenadas

1.13. TENSOR ENERGÍA-IMPULSO DEL CAMPO EM. 39

de P en el sistema K 0 serían:

x01 = vt0

x02 = bx03 = 0:

(1.111)

Ahora bien, en este sistema la distancia del observador a la carga es r0 =qb2 + (vt0)2 en el instante t0. Para expresar r0 en el sistema K sólo hay que

transformar el tiempo, pues x1 = 0 para el punto P . Es decir,

t0 = �t� v

c2x1�= t: (1.112)

En K 0, donde la carga está en reposo, los campos creados en P serán, en elsistema SI,

E 01 = � qvt0

4��0r03E 02 =

qb4��0r03

E 03 = 0

B01 = 0 B0

2 = 0 B03 = 0:

(1.113)

En función de las coordenadas de K, las componentes no nulas del camposon

E 01 = � q vt

4��0 (b2 + 2v2t2)3=2;

E 02 =qb

4��0 (b2 + 2v2t2)3=2: (1.114)

Usando la matriz de transformación de Lorentz llegamos a que

E1 = E 01; E2 = E 02; B3 = �cE 02 =

�cE2; (1.115)

son las únicas componentes no nulas del campo creado por la carga que veel observador.

1.13. Tensor energía-impulso del campo EM.

También el procedimiento para generar un tensor del universo es bastantegeneral, pero hay que partir, usualmente de dos vectores. Vamos a considerarque estamos en un medio continuo formado por muchas cargas. Supongamosque conocemos el campo electromagnético F�� que actúa sobre dichas cargas.El medio se encontrará bajo la acción de la densidad de fuerza de Lorentz.


En mecánica tendríamos, para una distribución de masas, que r�P�� =

@�P�� = 1

c2�� (ver apéndice). En electrodinámica,

@�P�� =

1

c2K�: (1.116)

Como @�F �� = 4�cJ�, sustituyendo J� enK� = 1

cJ�F

�� =) K� = � 14�F��@�F

��:Integrando por partes el segundo miembro,

4�K� = �@�(F��F ��) + F ��@�F��: (1.117)

Dado que el tensor F �� es antisimétrico,

F ��@�F�� =1

2(F ��@�F�� + F ��@�F��) =

1

2F �� (@�F�� + @�F��) : (1.118)

Como, además, @�F�� + @�F�� + @�F�� = 0;

F ��@�F�� = �12F ��@�F�� = �

1

4@� (F

��F��) =)

�4�K� = @�(F��F��) +

1

4@��F��F��

�: (1.119)

Cambiando los índices

�4�K� = @�

��F��F �� +

1

4g::�� F

��F��

�: (1.120)

Ahora creamos el tensor

M�� =1

4�c2

�1

4g::�� F

��F�� F��F��

�: (1.121)

Este tensor es simétrico, y nos permite escribir la tetradivergencia

@�(P�� +M��) = 0: (1.122)

Al tensor M�� se le denomina tensor impulso-energía del campo electromag-nético, y P �� +M�� es el tensor energía-impulso total del medio continuo.Más adelante volveremos sobre él.

1.14. LAGRANGIANO DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO. 41

1.14. Lagrangiano del campo electromagnéti-co.

Una forma interesante de enfocar los problemas de la electrodinámica esa través de la formulación Lagrangiana. Se suelen tomar las distribucionesde carga como contínuas y trabajar con densidades de carga. Para el campoelectromagnético, cuando interacciona con fuentes externas, cargas, etc. elprocedimiento es el siguiente: Los i grados de libertad corresponderán a lospuntos x . Las coordenadas generalizadas qi a los potenciales '�(x

). Porúltimo, los momentos generalizados ( o velocidades generalizadas)

�qia los

gradientes @�'�(x ). Es decir, para un Lagrangiano genérico

L =nXi=1

Li(qi;�qi) �!

ZL('k; @�'k)d3x: (1.123)

Las ecuaciones de Euler-Lagrange quedarán como

d

dt

@L

@�qi

!=@L

@qi=) @�

@L@ (@�'k)

=@L@'k

; (1.124)

siendo L una densidad Lagrangiana, correspondiente a un Lagrangiano par-cial.Insisto, en un campo electromagnético las coordenadas y velocidades

vienen sustituidas por el cuadrivector potencial '� y su gradiente @�'�. Laacción vendrá descrita por

S =

ZZLd3xdt = 1

c

ZLd4x: (1.125)

Para que la acción sea invariante L ha de ser una escalar de Lorentz. Poranalogía con el caso de partículas discretas, si el campo es libre, se esperaque L sea cuadrática en las "velocidades"@�'� ó, lo que es la mismo, F��:Pero los únicos invariantes de Lorentz cuadráticos son F��F�� y F��F��.Es decir, L tendrá un término proporcional a F��F��. Además, tendrá otrotérmino que incluya las interacciones con las fuentes, densidades de carga, etc.Como estas últimas vienen descritas por el cuadrivector densidad de corrienteJ�(x), para que la interacción tenga aspecto de energía ha de ocurrir que Lintse comporte como J�'�. Bajo estas circunstancias se postula que

L = ��0c2

4F��F

�� J�'�: (1.126)


Los coe�cientes y signos proceden de ajustar el Lagrangiano con las ecua-ciones de Maxwell. Para llegar a las ecuaciones de Euler-Lagrange convienereescribir el Lagrangiano como

L = ��0c2

4g��g�� (@

�'� � @�'�)�@�'� � @�'�

�� J�'

� =)

@L@ (@�'�)

= ��0c2

4g��g��

��

��F

�� F

�� + ��F

�� F

��:(1.127)

Como g�� es simétrico y F�� antisimétrico, todos los términos son iguales.Es decir,

@L@ (@�'�)

= ��0c2F�� = �0c2F��: (1.128)

A su vez@L@'�

= �J�; (1.129)

con lo que�0c

2@�F�� = J�; (1.130)

que, haciendo un pequeño cambio en los índices y constantes nos conduce a

@�F�� = �'� = �0J

�; (1.131)

que no son más que las ecuaciones de Maxwell contravariantes no homogéneaso ecuaciones del "movimiento". Según el sistema de unidades la constantepuede aparecer como 4�

csi se utiliza el SI. Las ecuaciones de Maxwell ho-

mogéneas se satisfacen implícitamente pues F�� se ha construído a partir delos potenciales '� de forma que

@�J� = 0: (1.132)

1.14.1. Lagangiano de Proca. Efecto de la masa delfotón.

Las ecuaciones de Maxwell, así como el anterior Lagrangiano, están planteadassuponiendo que la masa del fotón (portador de la interacción electromagnéti-ca) es nula. Si se incluyera dicha masa m aparecería un nuevo término en elLagrangiano (1936):

LPr oca = ��0c

2

4F��F

�� J�'� +

�0c2�2

2'�'

�; (1.133)


donde � = m c=~ es una inversa de longitud (inversa de la longitud de ondade Compton). En ese caso las ecuaciones del "movimiento"de Proca serían

@�F�� + �2'� = �0J�; (1.134)

que puede escribirse como

�'� � �2'� = ��0J�; (1.135)

recordando que el operador D�Alambertiano es � =�@20 ;�r2

�. En el límite

estático, independiente del tiempo, tendríamos la ecuación 3D

r2'� � �2'� = ��0J�: (1.136)

Si la fuente fuese una carga puntual en reposo q, sólo se anularía la partetemporal del potencial en el origen '0 = �=c. En el resto del espacio elpotencial toma simetría esférica, análoga a la del potencial de Yukawa

�(x) =q exp(��r)4��0r

(SI) =q exp(��r)

r(cgs); (1.137)

que es discontínuo en el origen. Es decir, los potenciales y campos estáticosdecrecen exponencialmente cuando se incluye la masa fotónica. En el casohabitual, con m = 0, recuperamos los potenciales Coulombianos ordinarios.

1.14.2. Tensor de tensiones.

Recordemos que, en mecánica clásica, el momento canónico de una partícu-la i era

pi =@L

@�qi

(1.138)

y el Hamiltoniano correspondiente al sistema de partículas

H =Xi

pi�qi � L: (1.139)

Para los campos electromagnéticos tendremos una densidad hamiltoniana

H =Xk

@L@�@�k@t

� @�k@t

� L: (1.140)


Tensor de tensiones canónico.

La generalización del anterior hamiltoniano a 4 variables conduce a

T�� =Xk

@L@ (@��k)

@��k � g��L; (1.141)

que se conoce como el tensor de tensiones canónico. Veamos por qué. Para uncampo electromagnético libre (sin fuentes externas), la densidad lagrangianaera

Lem = ��0c2

4F��F

�� =)

T�� =@Lem

@ (@�'�)@�'� � g��Lem

= ��0c2g��F��@�'� � g��Lem: (1.142)

Si tomamos únicamente la componente temporal y sustituimos los valores delas componentes galileanas de los campos,

L = �02

��!E 2 + c2

�!B 2�; (1.143)

obtenemos que

T 00 =�02

��!E 2 + c2

�!B 2�+ �0

�!r ��!E�;

T 0i = �0c��!E ��!B

�i+ �0c

�!r ��Ai�!E�;

T i0 = �0c��!E ��!B

�i+ �0c

��!r � ��!B�i� 1c

@

@x0(�Ei);

�(1.144)

donde hemos tenido en cuenta que�!r ��!E = 0 y

�!r��!B = 1c@�!E

@x0para el campo

libre.Si los campos están localizados en una región �nita del espacio, las inte-

grales extendidas a todo el espacio de T 00 y T 0i en un inercial dado conducen,mediante el teorema de la divergencia o de Gauss generalizado, aZ

T 00d3x =�02

Z ��!E 2 + c2

�!B 2�d3x; (1.145)


que es la energía total Ecampo del campo. Por tanto T 00es una densidad deenergía. Z

T 0id3x = �0c

Z ��!E ��!B

�id3x = cpicampo; (1.146)

o momento total del campo. Hemos despreciado los términos �0R �!r��!E� d3x

y �0cR �!r ��Ai�!E� d3x pues, para ellos se utiliza el teorema de Gauss por ser

dos divergencias. Las dos integrales de superfície en el in�nito a las que se lle-ga son nulas ya que campos y potenciales son nulos en el in�nito. Además, siderivamos T�� respecto a una de sus componentes (divergencia) obtenemos,para un sistema de k cargas,

@�T�� =

Xk

@�

"@L

@�@�'�k

�@�'�k#� @�L: (1.147)

Como también hay una suma en �, por ser índice mudo, abreviaremos escri-biendo '�k = �k. Por lo tanto,

@�T�� =

Xk

�@�

@L@ (@��k)

@��k +@L

@ (@��k)� @� (@��k)

�� @�L

= @�L (�k; @��k)� @�T�� = 0:

Por lo tanto,@�T

�� = 0: (1.148)

Si � = 0 (componente temporal), entonces ddtECampo = 0 y d

dt�!p campo = 0 (teo-

rema de Poynting). Pero la arriba comentado sólo es válido para un inercialdeterminado pues las integrales expuestas no se transforman educadamenteentre distintos inerciales, conduciendo a resultados no válidos. Vamos a tratarde resolver este inconveniente.

Tensor de tensiones simétrico.

A la hora de trabajar con él, T�� presenta el inconveniente de no sersimétrico y de conducir a expresiones no habituales de la energía y el mo-mento. Supongamos que consideramos el momento cinético del campo, dadopor

�!L =

Z�!x �

��!E ��!B

�dx3 (1.149)


en coordenadas de Galileo. La densidad de momento cinético será�!L = �!x ��!

E ��!B�. Como

�!E ��!B también son términos de T��, excepto divergencias

despreciables o nulas, creamos un tensor de tercer orden

M�� = T��x � T� x� (1.150)

con la condición adicional de tener divergencia nula @�M�� = 0 para quese conserve el momento cinético total. Como vemos, las divergencias nulasestán ligadas de forma natural con cantidades que se han de conservar. Esdecir, �

@�T��x + T � � (@�T� )x� � T � = 0: (1.151)

Esto es de cajón de madera de tabla ya que @x�

@x�= �� : Como @�T

�� = 0, esevidente que T � � T � = 0. Es decir, ha de ser simétrico, cosa que no erainicialmente. Para simetrizarlo se construye un nuevo tensor �� simétrico,de traza nula, y que sea invariante bajo transformaciones de Lorentz, cosaque no es T��. Lo habitual es sustituir @�'� = �F �� + @�'�, de forma que

T�� =

�g��F��F

�� +1

4g��F��F

��

�� g��F��@

�'�; (1.152)

donde hemos tomado unidades atómicas (c = 1, �0 = 1). Además,

�g��F��@�'� = F ��@�'� � T��D

= F ��@�'� + '�@�F

��

= @��F ��'�

�(1.153)

donde T��D satisface que @�T��D = 0 =)ZZZ

T 0�D d3x =

ZZ@�T

��D d2x = 0 (1.154)

por el teorema de Gauss generalizado. Por lo tanto, el tensor de tensionessimétrico a crear es

�� = T�� T��D = g��F��F�� +

1

4g��F��F

��: (1.155)

Recordemos que le tensor energía-impulso electromagnético era

T��;elect =1

4�

�F��F�� +

1

4�� F��F

��

�; (1.156)


que nos indica que ambos tensores son la misma cosa, salvo constante quedepende del sistema de unidades. Sustituyendo el tensor electromagnéticovemos que

�00 =1

2

��!E 2 + c2

�!B 2�= u, densidad de energía,

�0i =�!E ��!B = c�!g , vector de Poynting,

�ij = ��EiEj + c2BiBj �

1

2�ij

��!E 2 + c2

�!B 2��

: (1.157)

que, en forma matricial tiene por componentes

�� =

0BB@u cg1 cg2 cg3cg1 �T (M)11 �T (M)12 �T (M)13

cg2 �T (M)21 �T (M)22 �T (M)23

cg3 �T (M)31 �T (M)32 �T (M)33

1CCA ; (1.158)

siendo T (M)ij el tensor electromagnético de Maxwell y �!g el vector de Poynt-ing. O sea,

�� =

�u c�!gc�!g �T (M)ij

�(1.159)

Además, como se ha de cumplir que @�� = 0, para � = 0,

@��0� =

@u

@t+�!r � �!g = 0; (1.160)

expresión conocida como teorema de Poynting. Para � = i,

@��i� =

@gi@t�

3Xj=1

@

@xjT (M)ij; (1.161)

que son las leyes de conservación del campo en ausencia de fuentes.Si existieran fuentes el Lagrangiano sería, como hemos visto, L = �1

4F��F

��J�'

�. El tensor de tensiones simétrico tendría el mismo aspecto pero elacoplamiento con la fuente, dado por la corriente, conduce a que la divergen-cia no es nula:

@�� = @�

�F��F

��+1

4@��F��F

��

= (@�F��)F�� + F��@

�F �� +1

2F��@

�F ��: (1.162)


Como, por las ecuaciones de Maxwell inhomogéneas, @�F�� = J�, tendremosque

@�� + F ��J� = F��

�@�F �� + @�F ��

�= 0 (1.163)

por ser el producto contraído en �; � de un ente antisimétrico por otro simétri-co. Por lo tanto,

@�� = �F ��J� = �f�; (1.164)

que es la densidad de fuerza de Lorentz. Esta ecuación tiene por componentesa:

Componente temporal,@u

@t+�!r � �!s = ��!j � �!E : (1.165)

Componentes espaciales,@gi@t�Xj

@

@xjT(M)ij = ��Ei �

��!j ��!B

�i;

que no son más que una generalización de las ecuaciones de continuidad.

1.14.3. Solución de la ecuación de ondas tetradimen-sional. Funciones de Green invariantes.

Cuando existen fuentes externas (cargas), la ecuación de continuidad era

@�F�� = �0J

�(�o4�

cJ�): (1.166)

Si escribimosF�� = @�'� � @�'�; (1.167)

y derivamos nuevamente respecto a x�

�'� � @� (@�'�) = �0J

�: (1.168)

Si se cumpliera la condición de Lorentz @�'� = 0, entonces

�'�(x) = �0J�(x): (1.169)

La anterior ecuación es una ecuación de ondas de Poisson (inhomogénea)tetradimensional. Buscamos una solución a través de las funciones de Green,dejando a �0J

�(x) como una perturbación. Para una inhomogeneidad uni-taria,

�xD(x; x0) = �(4)(x� x0); (1.170)


siendo x; x0 tetravectores y la funcion de distribución de Dirac

�(4)(x� x0) = �(x0 � x00)�(�!x ��!x�): (1.171)

Si el Universo no está limitado, la función de Green sólo puede dependerde la diferencia entre posiciones z� = x�� x0�, es decir, de la distancia entrela fuente (x0) y el observador (x). Así,

D(x; x0) = D(x� x0) = D(z) =)�zD(z) = �(4)(z0): (1.172)

En este punto conviene hacer la transformada de Fourier de la ecuación deondas

D(z) =1

(2�)4

ZD(k) exp(�ik � z)d4k; (1.173)

con la k tetradimensión, al igual que z, y

k � z = k�z� = k0z0 �

�!k � �!z : (1.174)

Por otra parte

�(4)(z) =1

(2�)4exp(�ik � z)d4k; (1.175)

tranformada TF de la unidad, con lo que, operando,

D(k) =

ZD(z) exp(ik � z)d4z =)Z

�zD(z)eikzd4z =

Z�(4)(z) exp(ik � z)d4z = 1

= �k � kZD(z) exp(ik � z)d4(z): (1.176)

Es decir,

D(k) = � 1

k � k = �1

k20 ��!� 2: (1.177)

Deshaciendo la transformada,

D(z) = � 1

(2�)4

Zexp(�ik � z)

k � k d4k

= � 1

(2�)4

Zexp(i�!� � �!z )d3�

Z 1

�1

exp(�ik0z0)k20 � j�!� j

2 dk0; (1.178)


siendo �!� la parte espacial del tetravector k y � = j�!� j :La integral tiene dos polos en k0 = ��. Utilizando el teorema de los

residuos, para z0 > 0,Ir

exp(�ik0z0)k20 � j�!� j

2 dk0 = �2�

�sin(�z0): (1.179)

donde z0 = x0 � x00; z0 > 0 corresponde al resultado retardado r. Pasando aesféricas, por conveniencia,

D(z) =�(z0)

(2�)3

Zexp(i�!� � �!z )sin(�z0)

�d3k

=�(z0)

2�2R

Z 1

0

sin(�R) sin(�z0)d�

=�(z0)

2�2R

Z +1

�1

�ei(z0�R)� � ei(z0+R)�

�d�; (1.180)

donde R = j�!z j = j�!x ��!x 0j y d3� = �2 sin �d�d�d�:Las integrales que quedan son � de Dirac, es decir

Dr(z) = Dr(x� x0) =�(x0 � x00)

4�R�(x0 � x00 �R): (1.181)

Esta es la función de Green retardada o causal, puesto que el instante x00 dela fuente es anterior al instante x0 del observador. Para z0 < 0 tenemos que

Da(z) = Da(x� x0) =�(x00 � x0)

4�R[�(x0 � x00 �R)� �(x0 � x00 +R)] ;

(1.182)que es la función de Green avanzada. Las funciones de Green pueden ree-scribirse aprovechando sus propiedades, de tal forma que, como

� [g (x)] =Xn

1

jg0 (xn)j� (x� xn) ; (1.183)

donde las xn son las raices de g (x). Así, si g (x) = (x� a) (x � b) =)� [g (x)] = � [x2 � x(a+ b) + ab] = 1

a�b [� (x� a) + �(x� b)]. Otro caso par-ticular es el de g (x) = ax =) � (ax) = 1

jaj� (x) : Y, para el caso que nosatañe,

�h(x� x0)

2i= �

h(x0 � x00)

2 � j�!x ��!x 0j2i

= � [(x0 � x00 �R) (x0 � x00 +R)]

=1

2R[� (x0 � x00 �R) + � (x0 � x00 +R)] : (1.184)


Por lo tanto, podemos escribir que

Dr(x� x0) =1

2�� (x0 � x00) �

h(x� x0)

2i;

Da(x� x0) =1

2�� (x00 � x0) �

h(x� x0)

2i: (1.185)

Estas expresiones son invariantes de Lorentz por serlo las funciones escalón� y � de Dirac. Los potenciales serán

'�(x) = '�ent(x) + �0

ZDr(x� x0)J�(x0)d4x0;

'�(x) = '�sal(x) + �0

ZDa(x� x0)J�(x0)d4x0; (1.186)

siendo '�ent(x) y '�sal(x) las soluciones de la ecuación homogénea (D�Alambert).

Esta última suele resolverse por separación de variables en cada caso.Cuando resulta que x0 !1, se anula la integral extendida a las fuentes,

pues se supone que éstas están localizadas en el espacio y el tiempo, ya quela función de Green es retardada. Por ello la función '�ent(x) tiene sentido depotencial entrante, dado para x0 ! �1. '�sal(x) es un potencial asintóticosaliente para '�sal(x). Los campos de radiación se de�nen como

'�rad(x) = '�ent(x)� '�sal(x)

= �0

ZD(x� x0)J�(x0)d4x0; (1.187)

conD(z) = Dr(z)�Da(z): (1.188)

El ejemplo clásico que suele utilizarse es el una partícula cargada movién-dose a lo largo de una trayectoria cualquiera. Si la partícula fuera puntual,con carga e y posición �!r (t) en un inercial K, las densidades de carga ycorriente serían

�(�!x ; t) = e� [�!x ��!r (t)] ;�!J (�!x ; t) = e�!v (t)� [�!x ��!r (t)] ; (1.189)

con �!v (t) = d�!r (t)dt

en el sistema K. Utilizando el tiempo propio � en vez dela variable t, y pasando al universo 4D,

J�(x) = ec

ZU�(�)�4 [x� r(�)] d� ; (1.190)


siendo U�(�) = @x�

@�= @x�

@tdtd�= (c;�!v ), con r� = [ct;�!r (t)] en K. Por lo

tanto,

'�rad(x) = �0ec

ZD(x� x0)

�U� (�) �4 [x� r (�)]

d4x0: (1.191)

Más adelante veremos cómo se resuelve este problema que conduce a los po-tenciales de Lienard-Wiechert y los campos generados por una carga puntual.

Capítulo 2

Colisiones entre partículascargadas.

Vamos a estudiar la transferencia de energía desde partículas cargadas aun medio material, formado también por cargas. El tratamiento clásico estáformado por un conjunto de aproximaciones, debidas fundamentalmente aBohr, y realizadas en el primer cuarto del siglo XX. Un estudio más minu-cioso acarrea el tratamiento mecanocuántico relativista. Sin embargo, dentrode ciertos márgenes de validez, los resultados son bastante aceptables. Bási-camente, estudiaremos las colisiones de partículas cargadas a alta velocidadcon otras cargas.

2.1. Colisiones de Coulomb.

Esencialmente tendremos como proyectil a una partícula cargada de masaM y carga ze. Como blanco empezaremos analizando a los electrones de unátomo hipotético, con masa (la del electrón, listos) m << M . Una carac-terística de la colisión será que �!v M >> �!v electr�on orbital. Esta aproximaciónes interesante pues permite considerar al electrón como si estuviera en re-poso en su órbita. Esta es la primera aproximación que vamos a usar, conlos electrones como si fueran libres.Por otra parte se considera que la transferencia de momento �p es pe-

queña. Es decir, el proyectil M se desvía poco de su trayectoria al colisionar,y que el electrón que hace de víctima se mueve de forma despreciable, den-tro de su órbita, durante el tiempo de colisión. Para ello el proyectil ha de

53

54 CAPÍTULO 2. COLISIONES ENTRE PARTÍCULAS CARGADAS.

Figura 2.1: Colisión de una partícula cargada con un electrón.

pasar a cierta distancia del blanco. Esta el la segunda aproximación. Comovemos, ambas aproximaciones son bastante drásticas, pero servirán de puntode partida.Para calcular la transferencia de energía del proyectil al blanco sólo se

requiere calcular el impulso causado por el campo eléctrico generado por Men la posición de electrón m. Supongamos al electrón en reposo. El problemapara calcular los campos es análogo al plantado en el apartado 1.12.1. Parala partícula de masa M , moviéndose con velocidad �!v , la energía total esE = mc2. Esta partícula pasa a una distancia b del electrón, distanciaconocida como parámetro de impacto. Los campos que creaM en la posicióndel electrón serán, en el sistema SI,

E1 = E 01 = zevt

4��0(b2+ 2v2t2)3=2 ;

E2 = E 02 = zeb

4��0(b2+ 2v2t2)3=2 ;

E3 = 0:

(2.1)

Consideraremos despreciable al campo magnético creado porM en la posicióndel electrón. La fuerza creada por los campos sobre el electrón será

�!f =

d�!pdt

= e�!E; (2.2)

2.1. COLISIONES DE COULOMB. 55

Figura 2.2: Variación del impulso en la colisión.

con lo que la variación del impulso del proyectil vendrá dado por

��!p =Z +1

1e�!E (t)dt = e

Z +1

1eE2

�!j (t)dt; (2.3)

puesto que la integral de la otra componente, E1, es nula por simetría. Esdecir,

�p =2ze2

4��0bv; (2.4)

que es independiente de . La energía transferida al electrón viene dada por

�E(b) = (�p)2

2m=

z2e4

8�2�20mv2

�1

b2

�: (2.5)

La desviación angular de la partícula pesada incidente viene dada, enprimera aproximación y para pequeñas desviaciones, por la relación � = �p

p,

donde hemos considerado que tan � � � para �p� p. Por lo tanto,

� ' ze2

2��0pvb: (2.6)

Para partículas no relativistas nos encontramos con la dispersión de Ruther-ford, donde la desviación es mayor. Recordemos que esta dispersión se debía


a la colisión con blancos pesados (partículas � contra núcleos de oro z0e), nohabiendo transferencia de energía por choques con electrones. El ángulo dedispersión venía dado por

2 tan�

2=

zz0e2

2��0pvb; (2.7)

expresión que coincide con la anterior para ángulos muy pequeños.Como vemos, la transferencia de energía depende de la carga y la velocidad

de la partícula incidente, pero no de su masa. Varía de forma �inversamenteproporcional al cuadrado del parámetro de impacto. Esto sugiere que se hade imponer un límite a este parámetro para evitar las divergencias e in�nitos,ya que, para choques frontales la transfrencia de energía sería in�nita. Ob-viamente eso es imposible. Nuestro planteamiento sólo es cierto para valoresde b apreciables. La transferencia de energía viene acotada por

�Em�ax ' 2 2v2me = �E(bm��n); (2.8)

para M � me, según el problema (11.23) del Jackson. Haciendo un acto defe (o resolviendo el problema). Para M = me, �Em�ax � ( � 1)me:

bm��n =ze2

4��0 mv2: (2.9)

El tratamiento geométrico exacto de la energía cedida sería

�E (b) ' z2e4

8�2�20mv2

�1

b2m��n + b2

�; (2.10)

que estaría acotado cuando b �! 0, reduciéndose al arriba calculado parab� bm��n:Existe otra forma clásica, más correcta, de calcular el parámetro de im-

pacto mínimo. Consiste en no suponer que el electrón está �jo durante eltiempo de colisión, sino que recorre cierta distancia d. Si d � b, las ante-riores expresiones para la transferencia de energía son aceptables. El valorde d puede obtenerse considerando que la velocidad media que adquiere elelectrón durante el choque viene dada por hvei = �p

2m. Si la colisión dura un

tiempo aproximado de �t ' b v, tiempo en el que el proyectil M está en el

entorno del electrón, la distancia recorrida por éste e� puede estimarse por

d � hvei�t =�p

2m��t = �p

2m

b

v

=ze2

4��0 mv2= bm��n: (2.11)


Es decir, si b� d, las expresiones (179) y (184) son válidas. Como podemosobservar, el choque frontal es imposible en nuestro caso y habría que estudi-arlo de otra forma.

A su vez, la anterior aproximación tampoco es válida para parámetros deimpacto grandes, pues no podríamos considerar libres a los electrones, sinoligados a sus órbitas atómicas a causa del enlace. Sólo si el tiempo de col-isión es muy pequeño (choque brusco) el electrón puede tratarse como libre.Si el tiempo de colisión es grande, el electrón realizará hasta varias órbitasmientras el proyectil pasa en su entorno (proyectil lento). El tratamiento eneste caso es el conocido como Aproximación Adiabática. En pocas palabras,también existe un parámetro de impacto máximo, bm�ax, para el cual el tiem-po de colisión �t es del orden del período T = 2�

!de una órbita. Si ! es la

frecuencia orbital, la condición anterior puede expresarse como

�t(bm�ax) �1

!=) bm�ax �

v

!: (2.12)

Para b > bm�ax la transferencia de energía disminuye rápidamente, tendiendoa cero cuando b � bm�ax, donde el átomo es transparente a los proyectiles(aproximación adiabática).

En realidad, cuando una partícula rápida atraviesa la materia se encuen-tra con una colección de electrones ubicados a diferentes distancias de latrayectoria del proyectil. Si la densidad atómica es N (no de átomos porunidad de volumen) y existen Z electrones por cada átomo, el número deelectrones localizados de tal forma que sus parámetros de impacto esten com-prendidos entre b y b+ db, en un trozo de materia de largo dx, será

dn = NZ2�bdbdx:

La pérdida de energía por unidad de distancia recorrida dentro del mate-rial será

dEdx= 2�NZ

Z�E(b)bdb: (2.13)


Figura 2.3: Porción de materia en torno a la trayectoria de un proyectil,

Utilizando las aproximaciones anteriores para la transferencia de energía,

dEdx

' NZ

4��0

z2e2

mv2

Z bm�ax

bm��n

1

b2bdb

=NZ

4��0

z2e2

mv2ln b��bm�axbm��n

=NZ

4��0

z2e2

mv2ln

�bm�axbm��n

�=

NZ

4��0

z2e2

mv2ln

�4��20

2mv3

ze2!

�; (2.14)

Resultado clásico de Bohr (1915). El límite superior sólo es aproximado ytrataremos de ajustarlo mejor. El límite inferior debería calcularse cuánti-camente, teniendo en cuenta el Principio de Incertidumbre y la naturalezaondulatoria de las partículas. Si conociéramos la velocidad del proyectilM , suposición estaría deslocalizada. Lo que es peor, los proyectiles también puedenencontrar en su trayectoria núcleos más pesados que ellos, en cuyo caso, envez de transferencia de energía se produce dispersión de Rutherford.


Figura 2.4: Energía transferida en función del parámetro de impacto.


Figura 2.5: Electrón ligado armónicamente a un núcleo

2.1.1. Transferencia de energía a una carga ligada ar-mónicamente.

Cuando b < bm�ax, los electrones pueden considerarse libres. Por otra parte,cuando b > bm�ax, los electrones son vistos por el proyectil como ligados al nú-cleo. Utilizando la aproximación adiabática puede verse que la transferenciade energía es casi nula en este caso. Para estudiar el límite bm�ax analizaremosla colisión de un proyectilM , ze con un electrónm, e�, ligado armónicamentea un núcleo. Obviamente, es un modelo muy simpli�cado de la interacciónpartícula-materia. Al igual que en el caso anterior supondremos que el proyec-til se desvía poco de su trayectoria, la cual consideramos recta.El parámetrode impacto b lo mediremos desde el punto O, origen de la fuerza armónica.Ahora nos interesan b grandes, para que el proyectil pueda "ver"que el elec-trón está ligado a su núcleo, con transferencias de energía no muy grandes. Laamplitud de la oscilación es pequeña frente a b, y el movimiento del electrón,�!x (t) es no relativista. En este caso incluiremos sólo el campo eléctrico creadopor M , despreciando su variación en la posición O. Es decir tomaremos sólosu valor efectivo en el origen. Esta es la conocida por Aproximación Dipolar,en analogía con la interacción radiación-materia.


La ecuación del movimiento electrónico es

��!x (t) + ��!x (t) + !20

�!x (t) = � e

m

�!E (t); (2.15)

siendo�!E (t) el campo creado por el proyectil ze en O, !0 es la frecuen-

cia propia de oscilación del electrón y � una pequeña constante de amor-tiguamiento que se introduce para evitar la singularidad (resonancia) queaparece al resolver la ecuación. Los puntos indican derivación respecto altiempo.Si transformamos por Fourier la ecuación diferencial (189),

�!x (t) =1p2�

Z +1

�1

�!x (!)e�i!td!;

�!E (t) =

1p2�

Z +1

�1

�!E (!)e�i!td!: (2.16)

Si �!x (t) e �!E (t) son reales, �!x (�!) = �!x �(!) y �!E (�!) = �!E �(!); con lo que

��!x (t) = � i!p2�

Z +1

�1

�!x (!)e�i!td!;

��!x (t) = � !2p2�

Z +1

�1

�!x (!)e�i!td!; (2.17)

con lo que

�!x (!)�� !2p

2�� i!�p

2�+

!20p2�

�= � e

m

1p2�

�!E (!) : (2.18)

Despejando,

�!x (!) = � e

m

�!E (!)

!20 � i�! � !2: (2.19)

Si conociéramos analíticamente a�!E (t) no habría problema para calcular

�!x (t), siempre que las integrales a realizar sean factibles. Pero no nos interesasaber cuál es el movimiento del electrón, sino la trasferencia de energía querecibe del proyectil. Esta puede calcularse a través del trabajo realizado porel proyectil M sobre el blanco m. La variación del trabajo (o velocidad con


la que actúa) es:

dEdt

=�!f � d

�!xdt

=�!f � �!v e =

Z �!E � �!J d3x0

=) �E =Z +1

�1dt

Z �!E � �!J d3x0; (2.20)

con�!J = �e�!v e� (�!x ��!x 0(t)), ya que la fuente de la corriente es el electrón.

Utilizando la de�nición de la � de Dirac,

�E = �eZ +1

�1dt

Z �!E (t) � �!v e� (�!x ��!x 0(t)) d3x0

= �eZ +1

�1dt

Z �!E (t) �

�� i!p

2�

Z +1

�1

�!x (!)e�i!td!�� (�!x ��!x 0(t)) d3x0

= 2eRe

Z +1

�1i!�!x (!) � �!E (!) d!: (2.21)

Sustituyendo �!x (!) y, teniendo en cuenta que no existen frecuencias negati-vas,

�E = e2

m

Z 1

0

��!E (!)��2 2!2�

(!20 � !2) + !2�2d!; (2.22)

que es una Lorentziana centrada en !0, de anchura � y altura��!E (!)��2. Para

un campo �jo la integral está tabulada y es independiente de !0 y �: Engeneral, para � pequeñas (Lorentzianas muy estrechas) se puede integrar enun entorno estrecho del pico, llegando a

�E = 2e2

m

��!E (!0)��2 Z 1

0

x2dxh!20�2� x2

i2+ x2

; (2.23)

donde x = !�. Esta integral está tabulada dando

�E = �e2

m

��!E (!0)��2 : (2.24)

Vemos que el resultado es independiente deM , z, �. Es decir, que el resultadoes igualmente válido para fotones.


Si retomamos el valor del campoE2(t), calculado para colisiones de Coulomb,su transformada de Fourier es

E2(!) =zeb

4��0p2�

Z +1

�1

ei!tdt

(b2 + 2v2t2)3=2(2.25)

Haciendo el cambio x = vt=b,

E2(!) =ze

4��0vbp2�

Z +1

�1

ei!bx= v

(1 + x2)3=2dx

=ze

4��0vb

�2

�

�1=2 �!b

vK1

�!b

v

��; (2.26)

siendo K1 la función modi�cada de Bessel de orden 1. Análogamente,

E1(!) =�ize4��0vb

�2

�

�1=2 �!b

vK0

�!b

v

��: (2.27)

Ahora se puede calcular de forma explícita la energía cedida al electrón:

�E(b) = z2e2

8�2�20mv2

�1

b2

�"�2K2

1 (�) +�2

2

2

K20 (�)

#; (2.28)

con � = !0b v= b

bm�ax.

Vemos que el factor que multiplica el corchete es el que habíamos calcu-lado en la primera aproximación. Se pueden calcular los límites del corchetepara las expresiones asintóticas desarrolladas de las funciones de Bessel mod-i�cadas. Es decir, para � � 1 y � � 1, ya que si b � bm�ax =) � �! 0 y sib� bm�ax =) � �!1. Por tanto,

l��m��!0

"�2K2

1 (�) +�2

2

2

K20 (�)

#= 1; para � � 1;

l��m��!1

"�2K2

1 (�) +�2

2

2

K20 (�)

#=

�1 +

1

2

��

2�e�2�: (2.29)

Como � = bbm�ax

= !0b v, para b � bm�ax la transferencia de energía viene

dada por la primera aproximación que hicimos. Cuando b & bm�ax, la energíatransferida decae exponencialmente.


2.2. Fórmulas de la pérdida de energía.

2.2.1. Fórmula clásica.

Supongamos que trabajamos con un material que tiene N átomos porunidad de volumen. Que cada uno de estos átomos tiene Z electrones, todosellos oscilando armónicamente, de los cuales fj oscilan con frecuencia !j. Afj se le conoce como intensidad de oscilador. Es obvio queX

j

fj = Z: (2.30)

Si un proyectil cargado recorre una distancia dx dentro de la materia, lapérdida de energía del proyectil será en ese trayecto

dEdx= 2�N

Xj

fj

Z 1

bm��n

�Ej(b)bdb; (2.31)

donde

�Ej(b) =z2e4

8�2�20mv2

1

b2

"�2jK

21

��j�+�2j 2j

2

K20

��j�#; (2.32)

con �j =!jb

jv:

Lo normal es no indicar el límite superior de integración, integrando hasta1, puesto que hemos visto que las integrales tienden rápidamente a cero apartir de cierto valor. Realizando las integrales de las funciones de Bessel,

dEdx=

Nz2e4

4�2�20mv2

Xj

fj

��2m��nK1 (�m��n)K0 (�m��n)�

v2

2c2�m��n

�K21 (�m��n)�K2

0 (�m��n)��

;

(2.33)donde �m��n =

!jbm��n jv

: Como �m��n � 1, podemos usar los límites asintóticos delas funciones de Bessel modi�cadas, con lo que

dEcdx

=NZz2e4

4��20mv2

�lnBc �

v2

2c2

�; (2.34)

dónde el subíndice c hace referencia a que la expresión es cl�asica. En laanterior expresión

Bc =1;123 c

h!i bm��n=1;123 � 4��0 2mv3

ze2 h!i =bm��nbm�ax

; (2.35)

2.2. FÓRMULAS DE LA PÉRDIDA DE ENERGÍA. 65

fórmula de Bohr (1915), en la que la frecuencia media h!i no es más que unamedia geométrica dada por

h!i = Z

sYj

!fjj =) Z ln h!i =

Xj

fj ln!j: (2.36)

2.2.2. Fórmula cuántica.

Los resultados obtenidos mediante la anterior expresión son bastanteaceptables para proyectiles como partículas � o núcleos pesados pero lentos.Si el bombardeo se realiza con proyectiles pequeños los resultados son lamenta-bles ya que se requiere un análisis mecanocuántico del problema. Esto se debe,básicamente, a que:1. La transferencia de energía ha de ser discreta.2. Interviene el Principio de Incertidumbre, debido a la naturaleza ondu-

latoria de las partículas.Si suponemos que sólo existe una única frecuencia de oscilación para loselectrones, como sería una nube de hidrógeno, la transferencia de energíasería, cuando se bombardea con pertículas rápidas, �E(bm�ax)� ~!0, donde!0 es la frecuencia de enlace del hidrógeno. Con lo cual jamás se absorberíaenergía por los electrones del hidrógeno y éste no se enteraría de que lo estánbombardeando. Ésto es experimentalmente falso, por lo que las expresionesde Bohr no son válidas para proyectiles ligeros. Para ser más exactos,

�E(bm�ax) �1

2z2�v0v

�4~!0

�h!0IH

�; (2.37)

donde IH = 13;6 eV ( potencial de ionización de l hidrógeno) y v0 = c=137(velocidad del electrón en el hidrógeno).Cuánticamente, el estudio de la transferencia de energía ha de hacerse

estadísticamente, calculándose una transferencia media de energía en un grannúmero de impactos, la mayoría de los cuales no son efectivos. Aquí es dondeentra en juego el término de sección e�caz de dispersión del proceso. Másadelante retomaremos el término. Pero hay que tener en cuenta que, parapoder hacer una comparación entre resultados clásicos y mecanocuánticos,cantidades como fj y !j han de calcularse cuánticamente y llevarlas despuésa las expresiones clásicas.Por otra parte sabemos, por el Principio de Incertidumbre, que �x &

~=�p. En cuanto el parámetro de impacto b sea menor que ~=�p no se


pueden hacer aproximaciones clásicas. Es decir, �x & ~=�p determina elparámetro de impacto mínimo.Es más, en la colisión de una partícula pesada con otra ligera (como el

electrón), el centro de masas (CM) está, aproximadamente, en el entorno dela partícula pesada. En este sistema CM el proyectil estará en reposo, perono el blanco. El momento electrónico será

�p = hp0i = m hvi (2.38)

siendom la masa electrónica y hvi el valor esperado de la velocidad del proyec-til. A través del Principio de Incertidumbre obtenemos que el parámetro deimpacto mínimo cuántico es

bqm��n =~

m hvi : (2.39)

Si los proyectiles son ligeros (electrones), el sistema de centro de masas noestá localizado en ninguna partícula, sino más bien entre ambas. En este caso

la transferencia de momento al blanco sería �p = mcq

�12, y

[bqm��n]elec =~mc

r2

� 1 : (2.40)

Para proyectiles pesados, la relación entre las expresiones clásica y cuánticade bm��n es

� =ze2

4��0~ hvi; (2.41)

es decir, si � > 1 se pueden utilizar las expresiones clásicas. En el casocontrario, si � < 1, lo anterior no es posible . Si de�nimos

Bq =bqm�axbqm��n

= �Bc = hvi = h!i~= m hvi =

2m hv2i~ h!i ; (2.42)

llegamos a que

dEqdx

=NZz2e4

4��20m hvi2

"ln

2 2m hvi2

~ h!i

!� hvi

2

c2

#; (2.43)

expresión calculada por el recientemente fallecido (Marzo 2005) Hans Betheen 1930.

2.3. EFECTO DE LA DENSIDAD DEL MEDIO. 67

Figura 2.6: Energía perdida por unidad de recorrido en función de la energíacinética adimensional

Para proyectiles ligeros (electrones) la cosa cambia. Con algo de pacienciase llega a que

Bel � ( � 1)r + 1

2

mc2

~ h!i ; (2.44)

donde se han despreciado las contribuciones del espín y del intercambio elec-trónico.

2.3. Efecto de la densidad del medio.

2.3.1. Pérdida de energía.

En general, cuando se bombardea un medio con partículas cargadas rel-ativistas, éstas pueden pasar �cerca�o �lejos�de los electrones y núcleos dela materia. Un factor importante en las pérdidas de energía va a ser la den-sidad del medio. El parámetro de impacto límite entre colisiones próximasy lejanas va a venir determinado por el tamaño atómico a. Si nos situamosen b � a, supondremos que el proyectil ve al medio como un dieléctrico con-tinuo, de función dieléctrica compleja �(!). Para calcular el campo eléctrico


en el medio, creado por una carga incidente, lo más cómodo es resolver laD�Alambertiana de los potenciales, transformando por Fourier los potenciales'�(x) y la ecuación. De�nimos la transformada

F (�!x ; t) = 1

(2�)2

Zd3k

Zd!F(�!k ; !)e�i(

�!k ��!x�!t) (2.45)

con lo que la ecuación de los potenciales, cuando hay fuentes o sumideros,quedaría como

�'� + �2'� = �0J�: (2.46)

Separando el potencial escalar (componente 0 del tetrapotencial) del po-tencial vectorial

�!A y transformando por Fourier, se obtiene el sistema de

ecuaciones �k2 � !2�(!)

c2�0

��(�!k ; !) =

1

�(!)�(�!k ; !);�

k2 � !2�(!)

c2�0

��!A (�!k ; !) = �0

�!J (�!k ; !): (2.47)

Ahora bien,

�(�!x ; t) = Ze�(�!x ��!v t) =) �(�!k ; !) =

Ze

2��(! � k�!v );

�!J (�!x ; t) = �!v �(�!x ; t) =) �!

J (�!k ; !) = �!v �(�!k ; !): (2.48)

que nos permite despejar los potenciales como:

�(�!k ; !) =

ze

2��(!)

�(! � k�!v )k2 � !2

c2�(!)�0

;

�!A (�!k ; !) =

�(!)

�0

�!vc

(2.49)

Con estas expresiones podemos obtener la transformadas de los campos

�!E (�!k ; !) = i

�!�(!)

c�0

�!vc2��!k

��(�!k ; !);

�!B (�!k ; !) = i

�(!)

�0

��!k ��!v

��(�!k ; !): (2.50)


Figura 2.7: Esquema para el cálulo de las integrales

Recordemos que, para la pérdida de energía, nos interesa conocer la TFrespecto al tiempo de los campos, a cierta distancia b, perpendicular a latrayectoria del proyectil. Si éste se mueve a lo largo del eje X tendremos que�!k ��!x = kixi = k1x+k2y+k3z = k2b. Es decir, en el momento del impacto sesupone que el observador está en (0; b; 0) que puede está dentro del material.Si E1(!) es la componente del campo

�!E (!) paralela a �!v ; donde �!v sólo tiene

una componente, v en la dirección de X,

E1(!) =ize

2��(!)

1

(2�)3=2

Zd3keibk2

�!�(!)

c�0

v

c2� k1

��(! � k1v)

k2 � !2

c2�(!)�0

: (2.51)

Integrando en k1, debido a la delta de Dirac dicha k1 pasa a !v= !c

�. Es decir,

E1(!) = �ize

2� (2�)3=2 v2

��0�(!)

� �2�Z 1

�1dk2e

ibk2

Z 1

�1

dk3

k22 + k23 + �2;

(2.52)

con �2 = !2

v2� !2

c2�(!)c�0

= !2

v2

�1� �2 �(!)

�0

�. Ahora bien, la última integral en

k3 tiene dos polos. Como � es complejo por serlo �(!), y está en el cuarto


cuadrante,Z 1

�1

dk3

k22 + k23 + �2=

��2 + k22

�1=2 =)E1(!) = � ize!

4��0p2�v2

�2

�

�1=2��0�(!)

� �2�K0(�b)

= E1(!; y = b): (2.53)

De forma análoga,

E2(!) = E2(!; y = b) =ze

4�v

�2

�

�1=2�

�(!)K1(�b);

B3(!) =�(!)

�0

v

c2E2(!): (2.54)

Cuando �(!) �! �0 se recuperan los resultados vistos en la sección anterior,como era de esperar.La energía transferida a un átomo situado a distancia b del proyectil será,

por tanto,

�E(b) = 2eXj

fj Re

Z 1

0

i!�!x j(!)�!E �(!)d! =

Z �!J � �!Edt

= �eZ�!v e �

�!Edt; (2.55)

siendo �!x j (!) la amplitud del movimiento de un electrón en su átomo. Ahorabien, como �e

Pj fj�!x j (!) = 1

N�(!)

�!E (!), llegamos a que

�E(b) = 2

NRe

Z 1

0

�i!�(!)��!E (!)��2 d!: (2.56)

Como la pérdida de energía por unidad de recorrido es, para parámetros deimpacto superiores al tamaño atómico,�

dEdx

�b>a

= 2�N

Z 1

0

�E (b) bdb

=(ze)2

2�2�0v2Re

Z 1

0

i!��aK1 (��a)K0 (�a)

��0� (!)

� �2�d!:(2.57)


Se puede llegar a la misma expresión calculando el �ujo de energía a travésde la pared de un cilindro que rodee a la trayectoria del proyectil dx = vdt,de radio a. Es decir,�

dEdx

�b>a

=1

v

dEdt= � 1

�0v

Z 1

�12�aE1(t)B3(t)dx: (2.58)

Según el Sr. Jackson, la integral en dx realizado en un instante �jo es equiv-alente a la integral en un punto del cilindro a lo largo del tiempo. En realidahace un cambio de variables de dx a dt:�

dEdx

�b>a

= �2�a�0

Z 1

�1E1(t)B3(t)dt: (2.59)

Transformando por Fourier llegamos a que�dEdx

�b>a

= �4�a�0

Re

Z 1

0

B�3 (!)E1 (!) d!: (2.60)

Sustituyendo los campos (227) y (228) se llega al mismo resultado de (231).Las anteriores expresiones se deben a Enrico Fermi y, al parecer, sólo podemoscompararlas con las de Bohr si la polarización es nula. De todos modos, elefecto de la densidad del medio sólo tiene importancia para energías elevadas.Un resultado de cierto interés es el ultrarelativista, para frecuencias ópticas ycuando el radio a es del orden del tamaño atómico. En ese caso, como � � 1y j�aj �

�!ac

�� 1, se pueden tomar los límites asintóticos de las funciones

de Bessel en la expresión de Fermi:�dEdx

�b>a

' (ze)2

2�2�0c2Re

Z 1

0

i!

��0� (!)

� 1��

ln

�1;123c

!a

�� 12ln

�1� �0

� (!)

��d!: (2.61)

Un resultado aproximado no relativista de la anterior expresión, cuando sedesprecia la polarización, es�

dEdx

�b>a

'(ze)2 !2p4��0c2

ln

�1;123c

!pa

�; (2.62)

donde !p = NZe2

�0mes la frecuencia del plasma electrónico. El análogo rela-

tivista sería �dEdx

�b>a

'(ze)2 !2p4��0c2

�ln

�1;123c

h!i a

�� 12

�: (2.63)


2.4. Radiación de Cherienkov.

Se conoce por este nombre a la emisión de radiación como respuesta deun medio, por efecto de su densidad, al paso de una partícula relativista através de él.En los cálculos anteriores hemos supuesto que a era del tamaño de las

dimensiones atómicas, es decir, j�aj � 1 para b ' a. Si variamos el parámetrode impacto b, alejándonos hasta que j�bj � 1 obligatoriamente debemos estartrabajando con un medio poco denso. Si no, nos encontraríamos con otroátomo enseguida, con lo que se romperia la desigualdad. En el caso de unmedio poco denso, podemos tomar las expresiones asintóticas de las funcionesde Bessel, reduciéndose los campos a

E1(!; b) �! ize!

4��0c2

�1� �0

�� (!)

�e��bp�b;

E2 (!; b) �! ze

4�v� (!)

r�

be��b;

B3 (!; b) �! v

�0c2� (!)E2 (!; b) ; (2.64)

con lo que�dEdx

�b>a

�! Re

((ze)2

4��0c2

�ir��

�

!!

�1� �0

�� (!)

�e�(�+�

�)b

): (2.65)

La parte real nos proporciona la energía perdida lejos de la trayectoria dela partícula proyectil. La expresión anterior se anula a grandes valores de bdebido a la exponencial. Esto nos indica que la energía se pierde casi en sutotalidad en el entorno próximo a la trayectoria. Para que esto sea cierto elexponente ha de ser real. Es decir, �+ �� ha de ser real.Todo lo anterior se derrumba cuando � es imaginaria pura, ya que la

exponencial será la unidad para cualquier valor de b o de a, por ser elexponente identicamente nulo. En dicho caso, habrá energía que escape alin�nito en forma de radiación. Este fenómeno se produce cuando � (!) es realy no existe absorción por parte del medio. Además, ha de cumplirse que

�2 =!2

v2

�1� �2

�(!)

�0

�< 0: (2.66)

2.4. RADIACIÓN DE CHERIENKOV. 73

Es decir, cuando �2�(!) > �0 =) v > cp�(!)=�0

= vf . Recordemos que v

es la velocidad del proyectil y que vf es la velocidad de fase de la ondaelectromagnética emitida.Si nos limitamos a la ausencia de absorción y v > cp

�(!)=�0, para que

haya radiación de Cherienkov es preciso que la velocidad de la partícula seamayor que la velocidad de fase del campo electromagnético creado, a ciertafrecuencia !. Recordemos que � es complejo. A medida que �2� (!) varíaentre 0 y �0, donde supondremos a � (!) con parte imaginaria in�nitesimalpositiva, podemos ver que

� = �i j�j , si �2� (!) > �0; (2.67)

lo que nos indica queq

��

�= i, con lo que la radiación emitida es real e

independiente de a. Es decir,�dEdx

�rad

=(ze)2

4��0c2

Z�0=�(!)>�

2

!

�1� �2

�(!)

�0

�d!; (2.68)

expresión obtenida por Frak-Tamm en 1937.La región de la función dieléctrica para la que se produce la radiación

Cherienkov, como función de la frecuencia, puede dibujarse con facilidadcomo se ve en la �gura 2.8. Es evidente que, si � = v

c� 1, la banda de

Cherienkov es muy amplia, abarcando un gran margen de frecuencias.La radiación de Cherienkov tiene propiedades direccionales, siendo emi-

tida en un ángulo determinado conocido por ángulo de Cherienkov, �c. Agrandes distancias de la trayectoria los campos de radiación son transver-sales. En un pequeño entorno la onda electromagnética puede considerarsecomo plana. Su dirección de propagación viene dada por

�!E ��!B . El ángulo

de Cherienkov viene determinado por

tan �c = �E1E2: (2.69)

Para campos muy lejanos, teniendo presente la relación (2.64) entre lascomponentes del campo, cos �c = 1

�p�(!)=�0

. Como �2�(!) > 1, �c < 1. La

radiación de Cherienkov está polarizada linealmente en el plano formado porla trayectoria de la partícula y la dirección de observación. Otra forma de


Figura 2.8: Banda de Cherenkov en funcion de la frecuencia.

2.4. RADIACIÓN DE CHERIENKOV. 75

Figura 2.9: Esquema del caso v < vf

ver la dirección de Cherienkov es hacer un análogo grá�co al cono de Mach.En el presente caso lo que tenemos es que la velocidad de la partícula puedesuperar, en un medio muy poco denso, a la velocidad de fase del campoelectromagnético emitido (velocidad de la luz). Si lo estudiamos en términosde frentes de onda nos encontramos que, en el caso ordinario, la partícula esmás lenta que la radiación emitida.

Suponiendo esféricas las ondas de radiación emitidas, puede observarseun aumento de la densidad de radiación en la dirección de avance de lapartícula cargada. Cuando v = cp

�(!)=�0las ondas se agrupan formando un

frente de ondas: todas las esferas serían tangentes en un punto donde estaríala carga. En cuanto v > cp

�(!)=�0, se produce un frente de ondas cónico que, a

gran distancia de la trayectoria de la partícula proyectil, podemos considerarplano (Fig. 2.10). Un observador en reposo vería acercarse la radiación comoun frente de ondas plano, de cierto color, y con ángulo complementario alde Cherienkov. Como vemos �c también depende de la frecuencia (color).La radiación de Cherienkov se utiliza para calcular trayectorias de partículasen la física de altas energías en el seno de gases enrarecidos, y también paramedir velocidades de cargas.


Figura 2.10: La velocidad del proyectíl supera a la e la radiación emitida.

2.5. Dispersión elástica de partículas rápidaspor átomos.

Hasta el momento hemos estudiado la pérdida de energía de una partícu-la cargada que atraviesa la materia considerando que dicho proyectil no sedesviaba apenas de su trayectoria. Esta aproximación es bastante burda yaque cualquier variación del momento implica una variación de la dirección.Como los electrones son pequeños en relación a proyectiles tales como pro-tones y núcleos atómicos, estos prácticamente no se desvían de su trayectoria,aunque cedan energía. No ocurre así cuando los proyectiles se encuentran conlos núcleos de la materia.Una partícula cargada, de momento �!p = M�!v ; que pasa a cierta distan-

cia b de un núcleo de carga Ze; se desvía de forma apreciable de su trayectoria.La desviación, debida a la interacción de Coulomb, viene dada por

� ' zZe2

2��0pvb; (2.70)

que, para ángulos pequeños, se puede reducir a � � �pp.

Pero nos encontramos que, en cualquier experimento, no hay un sóloproyectil, sino legión de ellos. Y que la materia está formada por N átomos

2.5. DISPERSIÓNELÁSTICADEPARTÍCULAS RÁPIDAS PORÁTOMOS.77

Figura 2.11: Densidad de partículas incidentes y dispersadas

por unidad de volumen. Y que cada proyectil se desvía con diferente ánguloal colisionar pues pasará a distinta distancia del blanco que sus amiguitos.Este tipo de problemas se analiza mediante un parámetro estadístico conocidocomo sección e�caz diferencial de dispersión d�

dque, obviamente, es diferente

para cada proceso físico. En colisiones la sección e�caz diferencial se de�necomo

nbdbd� = nd�

dsin �d�d� = nd�; (2.71)

siendo n el número de proyectiles por unidad de área y tiempo que incidensobre un átomo. Por tanto, nbdbd� es el número de proyectiles que inciden,por unidad de tiempo, sobre un blanco, con ángulos azimutales compren-didos entre � y � + d�, y con parámetros de impacto comprendidos entreb y b + db. Al llegar al núcleo se desvían con distintos ángulos de salida,dependiendo de sus parámetros de impacto. A la salida tendremos que losproyectiles que salen desviados, por unidad de tiempo, y con ángulos entre(�; �) y (� + d�; �+ d�) son n d�

dsin �d�d� = n d�

dd; siendo d es ángolo

sólido elemental. Como b y � están interrelacionados, la relación anterior noes más que una ley de conservación de las partículas. Por lo tanto,

d�

d=

b

sin �

��dbd�� ; (2.72)

El módulo es imprescindible ya que, al ser la sección e�caz una probabilidad,ha de ser obligatoriamente positiva. Para ángulos pequeños se obtiene, tras


sustituir b (�), la expresión de Rutherford

d�

d'�zZe2

2��0pv

�21

�4: (2.73)

Esta expresión también es válida cuánticamente si se obvian los efectos deespín de los proyectiles. Para ángulos grandes, como tan � = zZe2

2��0pvb,

d�

d'�

zZe2

2��0Mv2

�cosh4

�

2: (2.74)

Para ángulos tanto grandes como pequeños, la anterior aproximación de con-siderar las interacciones Coulombianas como puntuales es bastante chusca. Sib es grande, los electrones apantallan a los núcleos con lo que los proyectilessólo "ven"parte de la carga de estos. El potencial deja de ser Coulombiano yno decrece como r�1, sino exponencialmente. Se suele utilizar la aproximaciónde Fermi-Thomas,

V (r) ' zZe2

4��0rexp(�r

a); (2.75)

siendo a el radio de apantallamiento atómico, a ' 1;4a0Z�1=3, y a0 = 4��0~2me2

elradio de Bohr. Cuando b � a, V (r) decrece rápidamente, por lo que tambiénlo hace � al ir aumentando b. Es decir, � � tan � ' zZe2

2��0pvbexp

�� ba

�. En este

caso d�d, para ángulos sólidos pequeños (b grandes), no decrece como ��4 sino

que tiende a un valor �jo � = 0. Utilizando un límite Coulombiano de cortepara evitar singularidades podemos escribir

d�

d'�zZe2

2��0pv

�21�

�2 + �2m��n�2 ; (2.76)

siendo �m��n el impuesto por el límite Coulombiano, por debajo del cual losresultados experimentales discrepan.Clásicamente, el límite coulombiano se aproxima en el punto b = a, es

decir,

�(c)m��n =

zZe2

2��0pva; (2.77)

donde �(c)m��n corresponde a un bm�ax.


Por otra parte, cuánticamente, como �p � ~=a, si �p es muy grandefrente a ~=a se pueden utilizar expresiones clásicas. En caso contrario dadoque la trayectoria cuántica es difusa, �(q)m��n ' ~=pa, con lo que

�(c)m��n

�(c)m��n

' zZe2

2��0~v: (2.78)

Cuánticamente, si se utiliza el radio de apantallamiento, el ángulo mínimopuede expresarse como

�(q)m��n '

Z1=3

192

�mc

p

�; (2.79)

con p = Mv, momento del proyectil. Para � grandes, con perdón (b pe-queños) existen efectos nucleares entre las partículas ya que los proyectilespueden penetrar el núcleo. Si consideramos el núcleo como una distribuciónesférica de carga, de radio �nito R; donde la carga tiende rápidamente a ceropara r > R, los potenciales del núcleo no son Coulombianos sino parabólicos.En este caso no divergen en r = 0, sino que tienden a un valor �nito:

V (r) =

(32zZe2

4��0R

�1� r2

3R3

�; si r < R (núcleo no puntual),

zZe2

4��0r, si r � R (núcleo puntual).

(2.80)

Dado que los proyectiles llevan asociados ondas de De Broglie, la dispersiónen un núcleo es mayor que la clásica, si se considera que éste no es puntual.El problema tiene un análogo clásico: la difracción de ondas en una esfera.Para � grandes, con perdón, existen incluso interferencias entre las ondasincidentes, con decrecimiento rápido de éstas y posibles máximos y mínimosde interferencia. Como la longitud de onda del proyectil es �

2�= }=p, el

ángulo de dispersión máximo, fuera del cual la sección e�caz se aparta de laanteriormente comentada (250) haciéndose muy pequeña, es

�m�ax '}pR : (2.81)

Experimentalmente se ha estimado que el tamaño nuclear viene dado por

R '�

e2

8��0mc2

�A1=3 = 1;4A1=3 cm�13; (2.82)


Figura 2.12: Dispersión de cargas incidentes en átomos, incluyendo efectosde apantallamiento electrónico y tamaño nuclear.

donde A es el número de nucleones, con lo que

�m�ax '274

A1=3

�mc

p

�� m��n: (2.83)

La sección e�caz total del proceso será

� =

Zd�

dsin �d�d� ' 1

2�

�zZe2

�0pv

�2 Z 1

0

d��2 + �2m��n

�2=

1

4�

�zZe2

�0pv

�21

�2m��n=a2

4�

�zZe2

�0~v

�2; (2.84)

lo que nos indica que, a grandes velocidades, � � �a2. Es decir, la seccióne�caz del proceso es mucho menor que el área clásica geométrica del átomo.

De por cierto, la expresión (2.75) es la correcta y no la obtenida en elJackson, que es imposible. Para ángulos grandes la sección e�caz diferencialva como exp (��) y no como csc4 �=2. La cosecante de un ángulo va como

2iexp(i�)�exp(�i�) , y jamás tiende a cero al aumentar el ángulo. La expresión


correcta es con cosecante hiperbólica. Por otra parte la �gura 13.9 del Jacksonindica ángulos de dispersión máximos superiores a 2�, cuando � ya indicauna dispersión de retroceso.

Capítulo 3

Radiación de cargas enmovimiento.

3.1. Potenciales e Lienard-Wiegert.

Son los campos creados por cargas en movimiento. Habíamos vistoque, si no existen campos incidentes de otro tipo, el tetrapotencial creadopor una carga en movimiento era

'�(x) = �0

Zd4x0Dr(x� x0)J�(x0); (3.1)

siendo Dr(x� x0) la función de Green retardada y la densidad de corriente

J�(x0) = ec

Zd�U�(�)�(4) [x0 � x (�)] : (3.2)

Esto se debe a que las densidades de carga y corriente, en coordenadasgalileanas, eran

�(�!x ; t) = e� [�!x ��!r (t)] ;�!j (�!x ; t) = e�!v � [�!x ��!r (t)] :

83

84 CAPÍTULO 3. RADIACIÓN DE CARGAS EN MOVIMIENTO.

Ahora bien, en un sistema inercial K, la carga lleva velocidad �!v = d�!r (t)dt. Si

pasamos al espacio de Minkovski, debemos recordar que

r� = [ct;�!r (t)] ;U� = [c;�!v ] = c

h1;�!�i;

u� = h1;�!�i=U�

c: (3.3)

Aquí la mayoría de los textos organizan un lío, tendiendo a escribir la veloci-dad respecto al tiempo propio como u� y no como U�. Lo indicaremos encada caso. Si reescribimos la densidad de corriente en 4D tenemos

J� = e fc� [�!x ��!r (t)] ;�!v � [�!x ��!r (t)]g= ce� [�!x ��!r (t)]

�1;�!��

=e

� [�!x ��!r (t)]U�(t): (3.4)

Ahora bien, como dt = (t)d� , podemos hacer un cambio para eliminar elfactor aprovechando las propiedades de las � de Dirac:

J� = e

Z� [�!x ��!r (t)] �

hx0c� �

c

iU�(�)

= ec

Z� [�!x ��!r (t)] �

hx0c� �

c

iu�(�)d� ; (3.5)

y como

Dr(x� x0) =1

2�� (x0 � x00) �

h(x� x0)

2i;

llegamos a

'�(x) = �0ec

ZDr(x� x0)

�ZU�(�)�4 (x� r(�)) d�

�dx04 (3.6)

=�0ec

4�

Zd�U�� [x0 � r0(�)] �

�[x� r(�)]2

: (3.7)

La integral que queda sólo es no nula en el punto � = � 0, donde � 0 vienede�nido por el punto de espacio 4D (suceso) [x� r(� 0)]

2 = 0, que no esmás que el punto donde la trayectoria de la carga corta al cono de luz deun observador en x. Además, dado que trabajamos con funciones de Green

3.1. POTENCIALES E LIENARD-WIEGERT. 85

Figura 3.1: Intersección de la trayectoria de una carga con el cono de luz deun observador

retardadas, hemos de exigir retardo. Es decir, x0 > r0(� 0). La función deGreen sólo es no nula en el cono de luz correspondiente al pasado del puntode observación. Como los campos emitidos se mueven a velocidad c, sólopueden estar sobre el cono de luz. El resto no contribuye en absoluto. Esdecir, r�(�) es la ínica parte de la trayectoria que contribuye a los camposen x�.

Para calcular la integral utilizamos la propiedad de las � de Dirac

� [f (x)] =Xi

� (x� xi)�� dfdx�x=xi�� ; (3.8)

donde, como ya vimos, las xi son las raices de la función f(x). Por lo

tanto, nos interesa conocer dd�[x� r(�)]2 = d

d�

n[x� r(�)]� [x� r(�)]�

o=


�2 [x� r (�)]� U�(�) en la raiz � = � 0. Es decir,

'� (x) =�0ce

2�

Zd�U� (�) � [x� r (�)]

� (� � � 0)

�2 [x� r (� 0)]� U� (� 0)

=�0ceU

� (�)

4�U� [x� r (�)]�j�=�0 ; (3.9)

que son los conocidos por potenciales de Lienard-Wiechert. Una forma máscompacta y elegante de escribirlos es

'�� = �e�z�

(x% � z%)�z%j��=0; (3.10)

donde z� (�) es la posición de la carga,�z� (�) su velocidad, x� (�) la posición

del observador y �� = j�!x ��!z j� (x0 � z0). Los anteriores potenciales suelenescribirse de forma más útil en coordenadas de Galileo. La restricción al conode luz se traduce por

x0 � r0 (� 0) = j�!x ��!r (� 0)j = R; (3.11)

distancia entre el observador y la fuente en el punto de corte con el cono deluz, con lo que

U� (x� r)� = U0 [x0 � r0 (� 0)]��!U [�!x ��!r (� 0)]

= cR� �!v �!n R= cR

�1��!� � �!n

�(3.12)

siendo �!n un vector unitario en la dirección de (�!x ��!r ). Sustituyendo, yseparando la componente temporal de las espaciales,

'�(x) =�0ce

�1;�!��

4� cR�1��!� � �!n

� =)� (�!x ; t) =

24 e

4��0R�1��!� � �!n

�35ret

;

�!A (�!x ; t) =

24 �0e�!v

4�R�1��!� � �!n

�35ret

: (3.13)

3.1. POTENCIALES E LIENARD-WIEGERT. 87

Figura 3.2: Funciones � y �

que, para � � 1, recuperan los resultados no relativistas conocidos.El siguiente paso consiste en calcular los campos a través del tensor F��.

Se puede hacer usando los potenciales o bien volviendo a la integral respectoal tiempo propio (263). Quizás sea más útil calcular @�'� respecto al pun-to de observación (coordenadas del observador). Para la función escalón �encontramos que su derivada es una � de Dirac

@�� [x0 � r0(�)] = � [x0 � r0(�)] ; (3.14)

con una discontinuidad en x0 = r0(�). Esta nueva delta restringe a la queacompaña a la función � conduciendo a una � (R2). La diferenciación sólodará contribucionaes en R = 0 = j�!x ��!r (� 0)j. Excluyendo ese punto, decontribución nula,

@�'� =�0ec

2�

Zd�U�(�)� [x0 � r0(�)] @

��n[�!x ��!r (�)]2

o: (3.15)

Como

@�� [f ] = @�f � ddf� [f ] = @�f

d�

df

d

d�� [f ] ; (3.16)


nos encontramos con

@��n[�!x ��!r (�)]2

o=

(x� r)�

U� (x� r)�d

d��n[�!x ��!r (�)]2

o; (3.17)

o bien,

@�'� =�0ec

2�

Zd�

d

d�

"(x� r)� U�

U (x� r)

#� [x0 � r0(�)] �

n[�!x ��!r (�)]2

o:

(3.18)Integrando por partes y teniendo en cuenta la actuación de � [x0 � r0(�)],vemos que la integral es la misma que nos proporcionaba el valor de '�, perocambiando la velocidad por una derivada de ella. Así,

F�� =e

4��0cU (x� r)

d

d�

"(x� r)� U� � (x� r)� U�

U (x� r)

#�=�0

; (3.19)

que es una expresión covariante. Para obtener los campos�!E y

�!B indepen-

dientes del tiempo propio hacemos los siguientes cambios:

(x� r)� = (R;R�!n ) ;U� = c

�1;�!��= cu�;

dU�

d�=

"c 4�!� �

��!� ; c2

��!� + c 4

�!�

�!� �

��!�

!#;

d

d�

hu (x� r)

i= c2 � (x� r)

du

d�: (3.20)

Tras un poco de álgebra, en el sistema MKS,

�!E (�!x ; t) =

e

4��0

264 �!n ��!�

2�1��!� � �!n

�3R2

375ret

+

e

4��0

266664�!n �

(��!n ��!� �� !�

)�1��!� � �!n

�3R

377775ret

;

�!B (�!x ; t) =

1

c

h�!n ��!E iret; (3.21)

3.2. POTENCIATOTALRADIADAPORUNACARGAACELERADA. 89

Figura 3.3: Aceleración y dirección de observación en un sistema adecuado.

Al primer sumando del campo eléctrico se le conoce como campo de veloci-dades y al segundo como campo de aceleraciones.

3.2. Potencia total radiada por una carga acel-erada.

3.2.1. Fórmula de Larmor.

Si escojemos un sistema de referencia adecuado para observar una cargaacelerada, de forma que su velocidad sea v � c, el campo de aceleracionespuede escribirse como

�!E a =

e

4��0

266664�!n �

�!n �

��!�

!R

377775ret

(3.22)

El �ujo de energía por unidad de tiempo vendrá dado por por el vector de


Poynting

�!S =

c

4�

�!E ��!B =

c

4�

��!E a

��2�!n (en cgs) ó

�!S =

c

4�

r�0�0

��!E a

��2�!n = 1

c�0

�!E ��!B =

1

c�0

��!E a

��2�!n (en MKS) =)

�!S =

e2

4�c2

��!n � �!n �

��!�

!��2

R2�!n : (3.23)

Como��!S �� = dP

R2d=) dP

d= R2

��!S ��, la potencia radiada por unida de ángulosólido vendrá dada por

dP

d=

1

c�0

��R�!E a

��2 = e2

16�2�0c3

��!n � �!n �

��!�

!��2

: (3.24)

La densidad de energía promediada en el tiempo será

u =c

4�

��!E a

��2Si � es el ángulo entre �!n y �!v , la intensidad de radiación o potencia será

dP

d=

dIn(t)

d=

e2

16�2�0c3

�� !v ��2 sin2 � (MKS),

=e2

4�c3

�� !v ��2 sin2 � (CGS). (3.25)

Es de notar que la radiación está polarizada en el plano formado por la acel-

eración��!v y la dirección de observación �!n . La potencia total sería, después

de integrar a todos los ángulos sólidos,

P =

ZdP

dsin �d�d� =

2

3

e2

4��0c3

�� !v ��2 (MKS),=

2

3

e2

c3

�� !v ��2 (CGS), (3.26)

que es la conocida fórmula de Larmor.

3.2. POTENCIATOTALRADIADAPORUNACARGAACELERADA. 91

La anterior expresión es no relativista pero es fácilmente generalizable.Para cualquier velocidad se busca, como siempre, una expresión covariantede Lorentz, de forma que la potencia sea invariante de Lorentz. La técnicahabitual es crear un cuadrivector como la energía. Dado que la potencia esun escalar, la tomaremos como componente cero de este cuadrivector másgeneral. La expresión que se obtenga ha de reducirse a la fórmula de Larmorcuando � �! 0. Escribiremos la fórmula de Larmor como

P =2

3

e2

4��0c3m2

��d�!pdt � d�!pdt��2 : (3.27)

Dado que �!p = m�!v , E = mc2 y d� = dt , es inmediato que

P =2

3

e2

4��0c3m2

�dp�d�

� dp�

d�

�: (3.28)

A su vez, como

dp�d�

� dp�

d�=

1

c2

�dEd�

�2��d�!pd�

�2= �2

�dp

d�

�2��d�!pd�

�2; (3.29)

mediante un poco de álgebra se llega a la expresión obtenida por Lienard en1898

P =2

3

e2

c 6

24 ��!�

!2� �!� �

��!�

!235 : (3.30)

Estas potencias tienen importancia en el diseño de los aceleradores de partícu-las, limitando la energía máxima que éstos pueden alcanzar. Como se observa,la potencia radiada debida a la variación del momento (fuerza externa) es in-versamente proporcional al cuadrado de la masa. Por esta razón los electronesirradian mayor energía, cosa insospechable viendo la expresión de Lienard,pues ésta es totalmente independiente de las masas.En los aceleradores lineales, cuyo movimiento es monodimensional,

P =2

3

e2

4��0c3m2

�dp

dt

�2=

2

3

e2

4��0c3m2

�dEdx

�2; (3.31)


que depende sólamente de la fuerzas exteriores. En este caso, las pérdidas porradiación son despreciables. Podemos poner la potencia suministrada por lasfuentes externas como Ps = dEs

dt= dEs

dxdxdt= v dEs

dx: Si llamamos rendimiento

� = PrPs, nos encontramos que

� =PrPs=2

3

e2

4��0c3m2v

�dEdx

�2dEsdx

=2

3

e2=mc2

4��0c3mvc

dEdx

�! (l��m � ! 1) �! 2

3

e2=mc2

4��0c3mc2dEdx: (3.32)

Pues � es prácticamente nulo y la energía irradiada en un acelerador lineales más despreciable que (a rellenar por el alumno). Para que se note laradiación emitida mc2 � 0;5 MeV a lo largo de 2;82� 10�15 m, cifras que seinventa Jackson sin ninguna justi�cación. Por cierto, a la energía por unidadde recorrido la denomina ganancia, a saber por qué. En general la gananciasería aquí de 10MeV/m. Es decir, las partículas pierden esa cantidad, que noes gran cosa, independientemente del tipo de partícula. Es decir, y siempresegún Jackson, las partículas pierden ganancia. Les auguro un gran porveniren los negocios.El caso de los aceleradores circulares (ciclotrón, betatrón, sincrotrón) es

bien diferente, ya que el momento de las partículas cambia rápidamente dedirección pero manteniéndose normal a la velocidad. Si una partícula rotacon velocidad angular !, la variación respecto al tiempo propio de cualquiervector viene dada por

d�!pd�

= �!! ��!p ; (3.33)

con lo que

��d�!pd�� = ! j�!p j � 1

c

dEd�; (3.34)

por ser muy pequeña la energía perdida por revolución, donde ! = c��, siendo

� el radio de la órbita. Según Lienard, la potencia radiada puede escribirse

3.3. DISTRIBUCIÓN ANGULAR DE LA RADIACIÓN. 93

como

Pr =2

3

e2

4��0c3m2 2!2 j�!p j2

=2

3

e2c

4��0�2 2�4: (3.35)

En cada revolución de la carga se pierde una energía

�E =P�t = 4�

3

e2

��3 4 � 1keV, (3.36)

que es menor que la energía ganada.

3.3. Distribución angular de la radiación.

3.3.1. Carga acelerada.

Vimos que, según la fórmula de Larmor, la potencia radiada por una cargaen el caso no relativista, era

dP

d=

e2

16�2�0c3

�� !v ��2 sin2 � (MKS),

=e2

4�c3

�� !v ��2 sin2 � (CGS), (3.37)

siendo � el ángulo formado entre la dirección de observación y la aceleración.En el caso relativista calcularemos la componente radial, en la dirección

de observación, del vector de Poyntingh�!S � �!n

iret

=c

4�

��!E a

��2

=e2

16�2�0c

8>>>>><>>>>>:1

R2

��!n �

"��!n ��!� �� !�

#�1��!� � �!n

�3��

2

ret

9>>>>>=>>>>>;: (3.38)


donde el campo de aceleraciones ha sido obtenido a través de los potencialesde Lienard-Wiechert. Existen dos efectos relativistas que emanan de la an-

terior expresión. Uno de ellos lo determina el ángulo entre�!� y

��!� , que dará

cuenta de la distribución angular. Otro de los efectos surge de pasar del sis-tema propio de la partícula acelerada al sistema de referencia del observador(detector), y procede del término

�1��!� � �!n

�. A altas velocidades v � c

este término va a ser determinante en la distribución angular.Recordemos que

�!S � �!n es la energía por unidad de área y tiempo, o

densidad de potencia, detectada por el observador en el instante t, pero quefué emitida por la carga en el instante t0 = t � R(t0)=c. Es decir, hay unademora en la llegada al observador. Para calcular la energía radiada en unintervalo �nito de aceleraciones hemos de integrar en el tiempo. Supongamosque el intervalo es �T = T2 � T1. Entonces,

E =

Z t=T2+R(T2)=c

t=T1+R(T1)=c

h�!S � �!n

iretdt

=

Z t0=T2

t0=T1

h�!S � �!n

iret

dt

dt0dt0; (3.39)

dondeh�!S � �!n

iret

dtdt0 es la potencia radiada por unidad de área pero referida

al tiempo en el que emitió la partícula. La potencia radiada por unidad deángulo sólido será

dP (t0)

d= R2

h�!S � �!n

iret

dt

dt0= R2

�!S � �!n

�1��!� � �!n

�

=e2R2

16�2�0c

8>>>>><>>>>>:1

R2

��!n �

"��!n ��!� �� !�

#�1��!� � �!n

�3��

2

ret

�1��!� � �!n

�9>>>>>=>>>>>;

=e2

16�2�0c

8>>>>><>>>>>:

��!n �"��!n ��!� �� !

�

#��1��!� � �!n

�52

ret

9>>>>>=>>>>>;: (3.40)


Figura 3.4: Radiación emitida en un movimiento rectilíneo no relativista

3.3.2. Movimiento rectilíneo.

En este caso�!� k

��!� y no varían de dirección en un intervalo �t. Por lo

tanto,

dP (t0)

d=

e2�v2

16�2�0c3sin2 �

(1� � cos �)5: (3.41)

La forma de la radiación, para v � c, sería como se muestra en la �gura3.4, con � � �=2 para un observador situado lejos de la carga. En el casorelativista sólo subsiste la simetría de rotación en torno a la dirección delmovimiento como muestra la �gura 3.5. El ángulo para el cual la intensidadde radiación es máxima se obtiene derivando:

d

d�

dP (t0)

d= 0 =) � = arc cos

�1

3�

�q1 + 15�2 � 1

��; (3.42)

lo que nos indica que, si � �! 1, � �! 12 . En este extremo, la intensidad

del pico de radiación va como dP (t0)d

� 8. Como vemos, para partículasrelativistas � es muy pequeño, del orden de Ereposo

Etotal . La distribución angular


Figura 3.5: Radiación emitida en un movimiento rectilíneo relativista

se produce en un estrecho cono en la dirección del movimiento. Para ángulosmuy pequeños o velocidades ultrarelativistas,

dP (t0)

d' 2e2

�v2

�0�2c3 8

( �)�1 + ( �)2

�5 2: (3.43)

La radiación tiene sus máximos en � = � 12 . El ángulo cuadrático medio de

emisión es�2�1=2

= 1 = mc2

E , que es independiente del ángulo formado entrela velocidad y la aceleración. Integrando a todos los ángulos se obtiene lapotencia total radiada

P (t0) =2

3

e2�v2 6

4��0c3: (3.44)

3.3.3. Movimiento circular.

En este caso�!� ?

��!� . Además, cambian constantemente de dirección. Hay

que escoger un sistema de referencia adecuado y trabajar en esféricas. Ahora


Figura 3.6: Distribución angular de la radiación en el caso ultrarelativista.


Figura 3.7: Sistema de coordenadas escogido para el movimiento circular.

el ángulo � es el formado entre la velocidad y la dirección de observación.Operando adecuadamente,

dP (t0)

d=

e2

16�2�0c3

�� !v ��2(1� � cos �)3

�1� sin2 � cos2 �

2 (1� � cos �)2

�: (3.45)

En este caso sigue existiendo un pico de radiación relativista hacia adelante.Como cuando � � 1 tenemos que � 1 (caso ultra relativista), el ángulo �es muy pequeño y podemos aproximar la anterior expresión por

dP (t0)

d=

e2�� !v ��2

2�2�0c3 6

1�1 + 2�2

�3"1� 4

2�2 cos2 ��1 + 2�2

�2#

(3.46)

que también conduce a que el ángulo medio de emisión es�2�1=2

= 1 . La

potencia total radiada será

P (t0) =2

3

e2�� !v ��2

4��0c3 4: (3.47)


Figura 3.8: Movimiento circular relativista


Figura 3.9: Radiación emitida por un movimiento circular instantáneo.

3.4. CARGACONMOVIMIENTOARBITRARIOULTRARELATIVISTA. 101

Se pueden comparar la expresiones de la potencia radiada para los movimien-tos circular y rectilíneo, cuando la fuerza externa aplicada es la misma (mis-

ma��!v ). Recordemos que en el movimiento rectilíneo la potencia radiada era

Pr =23

e2

4��0m2c3

�dpdt

�2. Como quiera que la fuerza externa aplicada es igual al

ritmo de cambio del momento en el circular,�!f = m

��!v = d�!pdt,

Pcir(t0) =

2

3

e2 2m2

�� !v ��24��0c3 2m2

4 =2

3

e2�d�!pdt

�24��0c3m2

2; (3.48)

que es 2veces mayor que la correpondiente al caso rectilíneo para la mismafuerza externa aplicada.

3.4. Carga con movimiento arbitrario ultra-relativista.

Cuando tenemos una carga con movimiento arbitrario conviene descom-poner la aceleración en sus componentes paralela y perpendicular a la veloci-dad. La radiación emitida vendrá dada por la suma de las dos componentescorrespondientes. En caso de que las fuerzas paralela y perpendicular a �!vsean del mismo orden, la radiación debida a la componente paralela es de-spreciable frente a la perpendicular debido al factor 2. Por esta razón setoma sólo la componente perpendicular; es decir, la radiación emitida porla partícula relativista es casi la misma que la correspondiente a la mismapartícula movéndose "instantáneamente.en un arco de curva con radio decurvatura � = v2

�v?' c2

�v?. La distribución angular es la ya vista en el epígrafe

anterior, expresión (303), radiación que está con�nada en un estrecho conoparalelo a la velocidad. La radiación sólo es detectable cuando la velocidadde la carga (dirección del movimiento) está dirigida hacia el observador. Sólose detectaría un destello en un intervalo �t muy pequeño. Si el movimientode la carga fuera periódico se detectaría una serie periódica de destellos.Supongamos que, entre dos pasos cosecutivos en los que el movimiento

de la carga apunta al observador, hay una distancia L0. Durante un destellola partícula recorre una distancia d = �

, siendo � el radio de curvatura de la

trayectoria y �1 la amplitud angular del haz, como se observa en la �gura


Figura 3.10: Carga siguiendo una trayectoria espiral periódica

Figura 3.11: Trayectoria arbitaria de una carga acelerada y detector no pun-tual.

3.4. CARGACONMOVIMIENTOARBITRARIOULTRARELATIVISTA. 103

3.11. El tiempo de duración del destello, que es la diferencia de tiempos entrela posición 1 (el destello empieza a entrar en el detector) y la posición 2 (laseñal abandona totalmente al detector), será

�t =�

v=d

v: (3.49)

Si despreciamos la posible curvatura de la trayectoria durante el in�nitésimode tiempo �t en que el detector recibe al destello, y suponiendo rectangularal pulso de radiación, el frente del pulso recorrerá en �t una distancia

D = c�t =�

�: (3.50)

Como la partícula se mueve en la misma dirección que el destello durante eltiempo de observación y, durante ese tiempo la carga recorre una distanciad, la cola del pulso estará en

L = D � d =

�1

�� 1��

� �

2 3(3.51)

por detrás del frente. Por tanto, el impulso tiene una longitud espacial L, yuna duración temporal L

c. Así, el impulso tendrá un espectro limitado por

una frecuencia crítica

!c �c

L=

�c

�

� 3:

Para un movimiento circular, basándonos en las �guras 3.10 y 3.12, tenemosque !0 = c=�.


Figura 3.12: Dos pulsos consecutivos en un caso periódico.

3.5. Energía radiada por cargas aceleradas.

3.5.1. Distribución angular y de frecuencias de la ra-diación.

En general, la potencia irradiada por unidad de ángulo sólido puede pon-erse, en tiempos del observador como

dP (t)

d=

��!A (t)��2 ;�!A (t) =

1pc�0

hR�!Eiret(CGS),

=

rc

4�

hR�!Eiret

(SI). (3.52)

Si la observación dura un tiempo �nito supondremos que la aceleración de lacarga también se produce durante un tiempo �nito y la energía radiada será�nita. Si, a su vez, el observador está alejado de la carga, la región en la cualla carga está acelerada se verá bajo un ángulo sólido elemental. La energíatotal radiada por unidad de ángulo sólido (o densidad de energía por ángulosólido) será:

dW

d=

Z 1

�1

��!A (t)��2 dt (3.53)

3.5. ENERGÍA RADIADA POR CARGAS ACELERADAS. 105

Si transformamos esta expresión por Fourier, tendremos la distribución es-pectral de la densidad de energía. De�nimos la transformada como

�!A (!) =

1p2�

Z 1

�1

�!A (t)ei!tdt;

�!A (t) =

1p2�

Z 1

�1

�!A (!)e�i!td!; (3.54)

con lo que la densidad de energía es

dW

d=1

2�

Z 1

�1dt

Z 1

�1d!

Z 1

�1d!0�!A�(!)

�!A (!)ei(!

0�!)t; (3.55)

donde hemos hecho uso de que��!A (t)��2 = �!

A�(t)�!A (t) =)

R1�1

��!A (t)��2 dt =12�

R1�1 d!

R1�1 d!

0�!A�(!)�!A (!)ei(!0�!)t. Si integramos respecto al tiempo laanterior expresión de la densidad de energía, su resultado es una � de Dirac:

dW

d=

Z 1

�1d!

Z 1

�1d!0�!A�(!)

�!A (!)� (!0 � !) =

Z 1

�1

��!A (!)��2 d! (3.56)

La anterior expresión es el conocido teorema de Parseval (Marc-Antoine Par-seval de Chêsnes, que no tiene que ver un carajo con Parseval (Parsifal), deChrètien de Troyes (Echenbach), cuyo mito es mucho más bonito e intere-sante. Ya se los contaré. Mientras tanto, escuchen atentamente la ópera deWagner dedicada a él).Dado que no existen frecuencias negativas podemos escribir

dW

d=

Z 1

0

d2I(!;�!n )dd!

d! (3.57)

donde hemos introducido la densidad energía irradiada por unidad de ángulosólido y frecuencia

d2I(!;�!n )dd!

=��!A (!)��2 + ��!A (�!)��2 : (3.58)

Dado que�!A (t) es real,

�!A (�!) = �!A�(!) con lo que

d2I(!;�!n )dd!

= 2��!A (!)��2 : (3.59)


Figura 3.13: Parceval ante el Rey Pescador

Recordemos que el campo eléctrico es el generado por una carga acelerada.Sustituyendo en (309),

�!A (!) =

�e2

32�3�0c

�1=2 Z 1

�1ei!t

266664�!n �

"��!n ��!� �� !�

#�1��!� � �!n

�3377775ret

dt; (3.60)

que ha de calcularse para el tiempo t = t0+ R(t0)c, correspondiente al retardo.

Es decir,

�!A (!) =

�e2

32�3�0c

�1=2 Z 1

�1ei!ht0+R(t0)

c

i266664�!n �

"��!n ��!� �� !�

#�1��!� � �!n

�2377775ret

dt0:

(3.61)

Esto se debe a que el retardo obliga a que dtdt0 =

ddt0

ht0 + R(t0)

c

ió dt0

dt=

R

R��!v ��!R=c= 1

1��!� ��!n. Un resultado más general puede encontrarse calculan-

do dtdx�

= S�S�u�

:


Figura 3.14: Lohengrin, caballero del cisne, hijo de Parceval.


Figura 3.15: Trayectoria de una carga acelerada y su distancia a un obser-vador.

Como hemos supuesto que el observador está muy alejado de la trayectoriade la carga, �!n es prácticamente constante en el tiempo y podemos aproximar

R(t0) ' ��!n � �!r : (3.62)

Salvo un factor de fase ei!�=c, independiente del tiempo, tenemos que

�!A (!) =

�e2

32�3�0c

�1=2 Z 1

�1ei![t�

�!n ��!r (t)=c]

266664�!n �

"��!n ��!� �� !�

#�1��!� � �!n

�2377775ret

dt:

(3.63)La energía irradiada por unidad de ángulo sólido y frecuencia será

d2I

dd!=

e2

32�3�0c

��Z 1

�1

�!n �"��!n ��!� �� !

�

#�1��!� � �!n

�2 ei![t��!n ��!r (t)=c]dt

��

2

: (3.64)


Para integrar la anterior expresión deberíamos conocer la forma analítica de

�!r (t), �!� (t) y��!� (t). Sin embargo, se da la casualidad de que

�!n �"��!n ��!� �� !

�

#�1��!� � �!n

�2 =d

dt

24�!n ��!n ��!� �

1��!� � �!n

35 ; (3.65)

lo que nos permite hacer por partes una primera integral,

d2I

dd!=

e2!2

32�3�0c

��Z 1

�1

�!n ��!n ��!� � ei![t��!n ��!r (t)=c]dt��2 : (3.66)

En el caso de que hubieran varias cargas aceleradas, el término e�!� e�i(!=c)

�!n ��!r (t)

se generaliza comoPN

j=1 ej�!� je

�i(!=c)�!n ��!r j(t) . Si la distribución de cargas escontínua el sumatorio se transforma en integral. Como sabemos que la densi-dad de corriente

�!j = ne�!v , es fácil ver que la integral sería 1

c

Rd3x�!J (�!x ; t) e�i(!=c)�!n ��!x ,

con lo que la distribución de la intensidad pasa a ser

d2I

dd!=

!2

16�3�0c3

��Z dt

Zd3x�!n �

h�!n ��!J (�!x ; t)i ei![t��!n ��!x (t)=c]��2 :(3.67)

Un caso curioso, según estima Jackson, es el de la radiación emitida por undipolo magnético acelerado. Conviene recordar que la densidad de imanación(o momento magnético)

�!M genera una densidad de corriente�!J M =

�!r��!M,es decir, el rotacional de la densidad de imanación. Pero una imanación enmovimiento lleva asociada una polarización eléctrica

�!P adicional, de tal fomaque la corriemte efectiva es

�!J ef =

�!r ��!M+@�!P@t

: (3.68)

Sustituyendo esta densidad de corriente e integrando por partes se obtiene

d2I

dd!=

!2

16�3�0c3

��Zdt

Zd3x�!n �

"�!Mc+�!n ��!P

#ei![t�

�!n ��!x (t)=c]

��2

:

(3.69)


Si tuvieramos un momento magnético puntual�!� , la imanación sería�!M (�!x ; t) =�!� (t)� [�!x ��!r (t)]. Deberíamos saber, además, que �!B = ��0

�!M y que�!E =�!P =�0:Si una partícula tiene únicamente momento magnético en su sistema

propio, en otro sistema que se mueva a velocidad�!� respecto a él la pártícu-

la tendrá también un momento dipolar, de forma que �!p =��!�c

�� !� :

En tal caso, la densidad de polarización eléctrica sería�!P (�!x ; t) = 1

c

�!� �

�!� (t)� [�!x ��!r (t)]. La radiación correspondiente sería

d2I

dd!=

!4

16�3�0c5

��Z dt�!n �h�!� +�!n � ��!� ��!� �i ei![t��!n ��!x (t)=c]��2 :

(3.70)que se diferencia en un factor !

2

c2de la debida a cargas.

3.6. Carga relativista en movimiento circularinstantáneo.

3.6.1. Espectro de frecuencias de la radiación emitida.

Este caso es similar al del movimiento arbitrario. Los impulsos van a serde corta duración, por lo que sólo hay que conocer �!r (t) y �!� en pequeñosarcos de la trayectoria, arcos cuya tangente es paralela a la velocidad yapunta hacia el observador. Vamos a basarnos en la �gura auxiliar 3-16:La trayectoria está incluída en el plano XY, con radio de curvatura in-

stantáneo �, también en ese plano. La dirección de observación �!n está elplano XZ, formando ángulo � con el eje X. Evidentemente, el ángulo � hade ser muy pequeño para observar la radiación emitida. Tomando t = 0 elmomento de paso de la partícula por el origen,

�!n ��!n ��!� � = �

��!� k sin

�vt

�

�+�!� ? cos

�vt

�

�sin �

�(3.71)

siendo �!� k = �!� 2 un vector unitario que, en nuestro caso apunta en la direc-ción Y. �!� ? = �!n ��!e 2.El argumento de la exponencial será

!

�t�

�!n � �!r (t)c

�= !

�t� �

csin

�vt

�

�cos �

�: (3.72)

3.6. CARGARELATIVISTAENMOVIMIENTOCIRCULAR INSTANTÁNEO.111

Figura 3.16: Esquema del nuevo triedro ortonormal para analizar el casocircular instantáneo.


Como nos interesan entornos pequeños en torno a t = 0 y � = 0, desarrol-lamos en serie las razones trigonométricas,

sinvt

�' vt

�� 1

3!

�vt

�

�3+ � � � ;

cos � ' 1� �2

2!+ � � � ;

�

csin

vt

�cos � ' 1

2

��2� �2

��t� 1

3�3t3

c2

�2

�=

1

2

��1

2+ �2

��t� 1

3�3t3

c2

�2

�: (3.73)

La última igualdad se debe a Mr. Jackson y es indemostrable. Por tanto,

d2I

dd!=

e2!2

16�3�0

��!� kAk(!) +�!� ?A?(!)��2 ; (3.74)

donde, tomando � � 1,

Ak(!) ' c

�

Z 1

�1t exp

�i!

2

��1

2+ �2

�t+

c2t3

3�2

��dt;

A?(!) ' �

Z 1

�1exp

�i!

2

��1

2+ �2

�t+

c2t3

3�2

��dt: (3.75)

Si ahora hacemos el cambio de variables x = ct

��1 2+ �2

�1=2��1y, por

economía, escribimos � = !�3c

�1 2+ �2

�3=2, resulta que

Ak(!) ' �

c

�1

2+ �2

�Z 1

�1x exp

�i3

2�

�x+

x3

3

��dx;

A?(!) ' ��

c

�1

2+ �2

�1=2 Z 1

�1exp

�i3

2�

�x+

x3

3

��dx: (3.76)

Las integrales son la conocida como funciones de Airy, combinaciones defunciones de Bessel modi�cadas de orden �1

3;�2

3, y soluciones de la ecuación

diferencial de 2o grado d2ydx2�xy = 0. Así, como las integrales de las funciones


de Bessel están tabuladas (Abramowitz y Stegun), llegamos a

d2I

dd!=

e2

12�3�0c

�!�c

�2� 1 2+ �2

�2 24K22=3(�) +

�2�1 2+ �2

�K21=3(�)

35 :(3.77)

La primera de las funciones de Bessel modi�cadas, K22=3(�), da cuenta de la

radiación polarizada en el plano de la órbita de la partícula, mientras que elotro término corresponde a la radiación polarizada en el plano perpendiculara la órbita.Para calcular la distribución angular de la radiación emitida se integra a

todas las frecuencias, quitando la dependencia espectral,

dI

d=

dW

d=

Z 1

0

d2I

dd!

=7

16

e2

4��0�

1�1 2+ �2

�5=2241 + 5

7

�2�1 2+ �2

�35 : (3.78)

Al igual que antes, el primer sumando corresponde a la polarización en elplano de la órbita y el segundo, a la polarización en el plano perpendicular.La energía irradiada en el plano de la órbita es 7 veces mayor que la irradiadaen el plano perpendicular. En otras palabras, la radiación está fuertementepolarizada en el plano de la órbita.Dada la forma de las funciones de Bessel modi�cadas,K� , la intensidad de

la radiación es despreciable cuando � � 1, lo cual se produce para ángulos deobservación � grandes. Esto indica que la radiación está con�nada en el planode la órbita. La radiación también depende de la frecuencia: a mayor !, elángulo crítico �c es menor. Sin embargo, cuando ! es muy grande, � tambiénes grande valga lo que valga �, pues la energía emitida a esa frecuencia esdespreciable. Podemos analizar la situación en función de los parámetrosclave.La frecuencia crítica !c es aquella a partir de la cual la radiación puede

considerarse despreciable para cualquier ángulo de observación. Se elige en� = 1 con � = 0, por conveniencia:

!c = 3 3

�c

�

�= 3

�Emc2

�3�c

�

�: (3.79)


Si el movimiento fuera estrictamente circular entonces tedríamos una frecuen-cia fundamental de rotación !0 = c

�. La frecuencia crítica sería un armónico

de de esta frecuencia fundamental. Es decir, !c = nc!0. Y

nc = 3

�Emc2

�3; (3.80)

sorprendente por lo demás, pues nada hace indicar que ésta cantidad sea unentero ya que puede valer cualquier cosa.Para partículas altamente relativistas, � 1, y la radiación está contenida

estrictamente en el plano � = 0. Para frecuencias relativamente pequeñas,! � !c, aproximando las funciones de Bessel,

d2I

d!dj�=0 '

e2

4��0

�3

4

�1=3 �!�c

�2=3 �� (2=3)�

�2; (3.81)

pues � = !�3c

�1 2+ �2

�! 0.

En el caso opuesto, ! � !c, como para ! = !c =) � � 3 3( c�)�3c

1 3= 1,

d2I

d!dj�=0 '

3e2

8�2�0c

!

!c 2e�2!=!c : (3.82)

En realidad, para ! � !c =) � ! 0, y para ! � !c =) � � 0. Es decir,para � = 0, el espectro va aumentando como !2=3, alcanza un máximo entorno a ! = !c, y decae exponencialmente hasta anularse para frecuenciasmayores.Si �jamos la frecuencia, se puede aproximar la amplitud angular crítica

�c del espectro tomando los dos primeros términos del desarrollo de Taylor�(�c) ' 1 + �(0). A partir de aquí se determina la amplitud angular delespectro de forma harto aleatoria:Bajas frecuencias: (! � !c): aquí �(0) � 0 =) �(�c) ' 1. Sustituyendo

en la de�nición de � con � 1,

�c '�3c

!�

�1=3' 1

�!c!

�1=3: (3.83)

Como ! es pequeño, obligatoriamente �c es grande, mayor que su valorcuadrático medio

�2�1=2 � �1.


Figura 3.17: Espectro de la radiación emitida en función del ángulo.

Altas frecuencias (! � !c): ahora el término dominante del desarrollo es�(0)� 1, por lo que �(�c) ' �(0) y la intensidad decrece como

d2I

d!d' d2I

d!dj�=0 e�3!

2�2=!c ; (3.84)

que decrece con la frecuencia. Se de�ne el ángulo crítico en el punto en quela exponencial se reduce a 1=e, es decir, en 3! 2�2 = !c; lo que conduce a

�c '1

�!c3!

�1=2� 1

: (3.85)

Grá�camente, La distribución de frecuencias de la energía emitida, al pasarlas partículas por delante de un detector, se obtiene integrando a todos losángulos posibles:

dI

d!= 2�

Z �=2

��=2

d2I

d!dcos �d�

' 2�

Z 1

�1

d2I

d!dd�; (3.86)


Figura 3.18: Espectro de energía de la radiación de sincrotón.

ya que � � 1. A bajas frecuencias, dado que el integrando es independientede �; suele tomarse

R1�1 d� = �c de forma bastante arbitraria. En dicho caso,

dI

d!� e2

4��0c

�!�c

�1=3; (3.87)

y el espectro va como !1=3. Para altas frecuencias (! � !c),

dI

d!� e2

4��0c

p3�

�!

!c

�1=2e�2!=!c : (3.88)

Estos resultado podían haberse deducido de la integral del caso general, peroa Jackson le gusta divagar. En general,

dI

d!=

e2

2��0c

p3

!

!c

Z 1

2!=!c

K5=3(x)dx; (3.89)

expresión conocida como radiación de sincrotón.

3.7. Dispersión de Thomson de la radiación.

Supongamos que tenemos una partícula libre (e;m). Si sobre ella incideuna onda electromagnética plana monocromática, la carga se acelerará y,

3.7. DISPERSIÓN DE THOMSON DE LA RADIACIÓN. 117

por tanto, emitirá radiación. Si la carga es no relativista la radiación emitidatendrá la misma frecuencia que la de la onda incidente aunque se emitirá endistintas direcciones (choque elástico) si existen varias partículas.La potencia instantánea emitida por la carga sería

dP

d=

e2

16�2c�0

��!n � �!n �

��!�

!��2

Flujo de energía radiadatiempo� ángulo sólido =

c

4�

��R�!E a

��2=

e2

16�2c3�0

�� !v ��2 sin2 �: (3.90)

La potencia radiada en un estado de polarización �!� será

dP

d=

e2

16�2c3�0

��!� � � ��!v��2 : (3.91)

Si el campo eléctrico asociado a la onda electromagnética es

�!E (�!x ; t) = �!� 0E0ei(k0x�!t); (3.92)

la aceleración de la partícula en el caso no relativista es (de la ley de Lorentz)

��!v = �!� 0e

mE0e

i(k0x�!t): (3.93)

Si utilizamos la aproximación adiabática, el movimiento de la carga duranteun ciclo 1

!es mucho menor que � = 2�c

!, y la media temporal de la aceleración�� !v ��2 se puede calcular mediante 1

2Re

� ��!v ��!v��. La potencia media por

unidad de ángulo sólido sería�dP

d

�=

1

2c�0jE0j2

�e2

4�mc2

�2j�!� � � �!� 0j2 : (3.94)

Como el fenómeno es de dispersión y la radiación puede dispersarse encualquier dirección, es costumbre trabajar con secciones e�caces diferen-ciales del problema, la cual es una magnmitud estadística del proceso:

d�

d=Energía radiada/(tiempo x ángulo sólido)Flujo de energía incidente(tiempo x área)

: (3.95)


Figura 3.19: Sistema de referencia elegido

La nedia temporal del �ujo de energía incidente viene dado por el vector dePoyntig.jE0j2 =2c�0. Por lo tanto,

d�

d=

�e2

4�mc3�0

�2j�!� � � �!� 0j2 : (3.96)

Si descomponemos a la base f�!� 1;�!� 2;�!� zg en función de la cartesiana es-tándar f�!� x;�!� y;�!� zg,

�!� 1 = cos � (�!� x cos�+�!� y sin�)��!� z sin �;�!� 2 = ��!� x sin�+�!� y cos�: (3.97)

�!� 1 y �!� 2 son las componentes de �!� 0 en el plano �!n ��!k 0, formando un

triedro trirectángulo con �!n .Para el caso de una onda polarizada linealmente (paralelamente al eje X

o al eje Y, respectivamente), la distribución angular iría como

d�

d=

e2

4�mc3�0

�cos2 � cos2 �+ sin2 �

�;

d�

d=

e2

4�mc3�0

�cos2 � sin2 �+ cos2 �

�: (3.98)

3.7. DISPERSIÓN DE THOMSON DE LA RADIACIÓN. 119

Si la radiación incidente no estuviera polarizada la sección e�caz de dispersiónsería

d�

d=

�e2

4��0mc2

�21

2

�1 + cos2 �

�; (3.99)

que es la conocida fórmula de Thomson, especialmente útil en la dispersiónde rayos X por electrones o de rayos gamma por protones. Integrando obten-dríamos la sección e�caz total,

�T =8�

3

�e2

4��0mc2

�2: (3.100)

Da la casualidad de que la cantidad entre paréntesis es el radio clásico delelectrón rc = 2;82 � 10�3�A, cantidad que no coincide con el radio de BohrrB = 0;53�A. Es decir, �T � 0;665� 10�24cm2 para electrones.Este resultado clásico sólo es válido para bajas frecuencias, donde puede

despreciarse el momento del fotón ~��!k �� = ~!

c' (2m~!)1=2. Si ~!

c& mc la

cosa cambia, dado que el fotón no tiene masa en reposo pero sí momento yenergía. Ahora el problema pasa a ser mecano-cuántico. LAs discrepanciasfueron observadas por Compton, el cual introdujo las correcciones cuánticaspertinentes. Al hacer consideraciones relativistas mediante la cinemática dedos çuerpos", para que se conserven energía y momento antes y después dela colisión fotón-partícula, ha de ocurrir que

k0

k=

1

1 + ~!mc2(1� cos �)

; (3.101)

que es la fórmula de Compton para un fotón de energía inicial ~!; siendo elángulo � de dispersión en el sistema laboratorio. La sección e�caz de Comptonpuede escribirse como

d�

d=

�e2

4�mc3�0

�2�k0

k

�2j�!� � � �!� 0j2 ; (3.102)

donde no se incluyen efectos de espín y se consideran partículas puntuales.El cálculo de la sección e�caz total de Compton es engorroso y se sale delobjetivo de esta asignatura, pero podemos escribir dos casos límites:

~! � mc2 (bajas frecuencias) =) � = �T

�1� 2 ~!

mc2

�;

~! � mc2 (altas frecuencias) =) � = �T3~!4mc2

:


Figura 3.20: Sección e�caz diferencial de dispersión de la radiación porpartículas cargadas inicialmente en reposo. Las líneas a trazos correspondena electrones e incluyen el espín.

Capítulo 4

Otras alternativas.

4.1. Mecánica relativista.

4.1.1. Tetravelocidad de una partícula.

1. En primer lugar, la mecánica relativista ha de reducirse a la newtonianacuando � ! 0, como ya sabemos.2. Siempre que se quiera conservar la covarianza de las leyes de la física

hay que mantener la notación tensorial.Recordemos que habíamos creado un tetravector velocidad de una partícu-

la. Si lo creamos con el invariante intervalo ds tendremos la velocidad uni-taria. Si lo hacemos con el tiempo propio d� , el tetravector no es unitario.La mayoría de las veces conviene trabajar con este último:

u� =dx�d�

; u� =dx�

d�: (4.1)

Dado que d� = dt =) u� = dx

�

dt=

�cdtdt; d�!xdt

�= (c;�!v ). En este caso el

módulo de la tetravelocidad es

u�u� =dx�d�

dx�

d�=ds2

d� 2

= 2�c2 � v2

�=(c2 � v2)

1� v2

c2

= c2: (4.2)

Es decir, la tetravelocidad tiene módulo constante e igual a la velocidad dela luz.

121

122 CAPÍTULO 4. OTRAS ALTERNATIVAS.

4.1.2. Tetraimpulso ó energía-impulso.

p� = m0u�; (4.3)

donde m0 es la masa en reposo de la partícula, que es invariante de Lorentz.El módulo de p� es

p�p� = m20u�u� = m2

0c2; (4.4)

que, como vemos, es invariante como debe ser. De aquí podemos despejar lamasa en reposo m2

0 =p�p�c2. Las componentes del impulso serán

p� = m0 (c;�!v ) ;

p� = m0 (c;��!v ) : (4.5)

En el límite de bajas velocidades, v=c � 1, las componentes espaciales re-cobran el impulso tridimensional ya que ! 1. Es decir, como p0 = m0c,�!p = m0

�!v , ó p0 = m0c=q1� v2

c2, podemos desarrollar en serie de Taylor

para velocidades bajas,

l��mv=c!0

p0 =1

c

�m0c

2 +1

2m0v

2 + � � ��: (4.6)

La expresión entre paréntesis tiene dimensiones de energía. Vemos que lesegundo es, además, la energía cinética. Podemos escribir

p0 =Ec: (4.7)

Es decir, el término temporal del impulso es una energía partido por la ve-locidad de la luz. En otras palabras, la mecánica relativista �ja un origen deenergías para las partículas en cierto valor m0c

2, conocido como energía enreposo. En la mecánica no relativista la energía viene determinada salvo unaconstante aditiva, ya que no existe una medida absoluta de la energía. Esdecir, la mecánica relativista sólo da cuenta de diferencias de energías. Como

p� =

�Ec;�!p�; (4.8)

resulta que

p�p� =E2c2� p2 = m0c

2; (4.9)

4.2. DINÁMICA RELATIVISTA. 123

o bien,E2(p) = c2p2 +m2

0c4; (4.10)

expresión muy útil en la resolución de problemas de conservación. Si la masaen reposo fuera nula la anterior relación parece carecer de sentido pues p� = 0.Pues no es así. Si olvidamos ideas clásicas como trayectoria o velocidad y pen-samos en que ahora los conceptos básicos son energía e impulso relativistas,la relación crucial cuando m0 = 0 es

E = cp: (4.11)

Por lo tanto, no existe límite no relativista para partículas con m0 = 0. Estaspartículas son los fotones, los neutrinos y los gravitones.Si construímos m = m0, entonces

p0 = mc;�!p = m�!v : (4.12)

La anterior ecuación es de sobra conocida. A m se le conoce como masadinámica o relativista. Es evidente que, si v ! c, m ! 1 =) p ! 1 yE también se va a in�nito. La energía requerida para mover una partículamásica a la velocidad de la luz es in�nita, razón por la que las partículasmásicas no pueden moverse a la velocidad de la luz (los ángeles no debentener masa).

4.2. Dinámica relativista.

Describe el comportamiento de las partículas cometidas a acciones exter-nas. Recordemos que la 2a Ley de Newton clásica era d�!p

dt=�!F , siendo

�!F las

fuerzas externas. La generalización a partículas relativistas se conoce comoLey de Minkovski

dp�

d�= F�: (4.13)

Normalmente se suele trabajar con densidades de momento y fuerza. F� esel 4-vector fuerza o fuerza generalizada, dada externamente. Como

p�p� = m0c2 =) d

d�(p�p�)

=dp�

d�p� + p�

dp�d�

= 0: (4.14)


�Haciéndo un poco de álgebra,

g��dp�d�

g��p� = ��:�

dp�d�

p� =) ��:�dp�d�

p� + p�dp�d�

= 2p�dp�d�

= 0: (4.15)

o bien,

p�dp�d�

= 0 = p�F� = m0u�F�

=) u�F� = 0: (4.16)

Es decir, velocidad y fuerza son ortogonales en el espacio de Minkovskii, cosaque ya habíamos visto con el campo magnético. Si

F� =�F0;�!F�

(4.17)

y u� = (c;�!v ), entonces

u�F� = 0

= cF0 � �!v � �!F

=) F0 =�!v � �!Fc

: (4.18)

Si sustituímos en la componente temporal de la ecuación de Minkovskii,F0 =

dp0d�= 1

cdEd&, obtenemos que

dEcd�

=�!v � �!Fc

; (4.19)

que es el trabajo por unidad de tiempo y volumen realizado por una fuerzaexterna dividido por c. El trabajo total vendría dado por

E =Z�!v � �!F d�: (4.20)

Como todas las componentes de F� están relacionadas con la velocidad, sesuele construir a la fuerza generalizada como

F� = cte:K��u� (4.21)


donde la constante ha de ser un invariante de Lorentz. Además, F�u� = 0 =)K��u

�u� = 0. Esta igualdad obliga a que el tensor K�� sea antisimétrico. Sepodría relacionar con el tensor campo electromagnético, que también lo es.Pero resulta más lógico relacionarlo con la fuerza de Lorentz, ya que estamoshablando de fuerzas. Por ejemplo, tomemos la constante como q

c. Entonces,

la segunda componente de la fuerza es

F1 =q

cK1�u

� : (4.22)

Si K1� = F1� ; entonces F1 = q �E1 +

1c(v2B3 � v3B2)

�=

qc(K10u

0 +K11u1 +K12u

2 +K13u3), que podemos generalizar a

Fi =q

cFi�u

� =)

�!F = q

��!E +

1

c�!v ��!B

�=

�!f : (4.23)

La componente temporal sería

F0 =q

cK0�u

� =q

cF0�u

�

=q

c

�Ei v

i�=q

c �!E � �!v : (4.24)

En conjunto,

F� =q

cF��u

� ; (4.25)

expresión que encierra a la fuerza de Lorentz, incluyendo una parte tem-poral relacionada con la variación de la energía, recibiendo contribucionesdel campo eléctrico. Curiosamente, va a ser la única componente que realicetrabajo.Podríamos haber escrito una expresión de la fuerza aún más compleja

comoF� = H��u

�u�; (4.26)

donde existen ciertos acoplamientos de las velocidades con tensores de ordensuperior. Por de pronto no nos interesan tales relaciones.


En general, la trayectoria de una carga en un campo se calcula medianteel sistema de cuatro ecuaciones diferenciales acopladas

F� =dp�d�

= m0du�d�

=q

cF��u

� : (4.27)

Clásicamente, para cargas relativistas, las componentes espaciales puedenreducirse a

d

dt m0

�!v = q

��!E +

�!vc��!B

�; (4.28)

donde hay que derivar respecto a � , lo que es un inconveniente.Hasta ahora hemos tratado el caso relativista de una partícula sometida a

fuerzas externas. Veamos ahora la dinámica de un sistema de partículas, comoes el caso de colisiones, desintegraciones, etc. En particular, nos interesanlas leyes de conservación para los procesos de interacción entre partículaselementales.El marco natural para estos procesos es la Mecánica Cuántica Relativista

(RQM), la electrodinámica cuántica (QED) ó la cromodinámica (QCD).Nuestra presentación clásica es útil dentro de determinados límites y co-mo comparación con los correspondientes operadores mecanocuánticos. Porejemplo, las fuerzas electrodinámicas no satisfacen el principio newtonianode acción y reacción, pero sí satisfacen las leyes de conservación del impulso yenergía. LaMecánica Clásica Relativista (RCM) es útil para las interaccionesde contacto, que ocurren en un punto del Universo (espacio-tiempo), pero nopara interacciones de largo alcance. Esto se debe a que, si las partículas in-teractúan en un punto del Universo, siempre es posible encontrar un sistemade referencia en el que todas estén simultáneamente en reposo. En ese sis-tema y para el instante en consideración �!v =

�!0 , con d�!v

dt6= 0. Por tanto,

F0 = 0 y�!F =

�!f en dicho sistema. Se puede usar el principio de acción

y reacción newtoniano para obtener la ley de conservación energía-impulsocon

PNn=1 (p�)n independiente del tiempo. En cualquier reacción la diferen-

cia de las tetravectores energía-impulso inicial y �nal es nula. Esto es ciertopara cualquier sistema de referencia inercial, es decir, al que se pueda llegarmediante una transformación de Lorentz:

nXl=1

(p�)inicial =mXj=1

(p�)final ; (4.29)


siendo n; m el número de partículas en los estados inicial y �nal. Podemosdescomponer la igualdad en sus componentes

ENERG�IAnPl=1

(m2l c2 +�!p 2l )

1=2

inic =mPj=1

�m2jc2 +�!p 2j

�1=2final

;

IMPULSOnPl=1

�!p l;inic =mPj=1

�!p j;final:(4.30)

Estas expresiones se han comprobado en experimentos de interacción y desin-tegración.La energía se conserva si el impulso se conserva en cualquier sistema de

referencia. Para comprobarlo supongamos que los impulsos se conservan endos sisyemas relacionados por una transformación de Lorentz:

�n+mPk=1

�!p k =�!0 ; �

n+mPk=1

�!p 0k =�!0 ; (4.31)

donde� indica la variación del impulso entre el estado inicial y el �nal, k es elíndice de una partícula y n+m el número total de ellas. Por multilinealidad,cualquier combinación lineal de vectores se transforma como uno de ellos:

�n+mXk=1

pi(k) =3X

�=0

ai:��m+nXk=1

p0�(k); (4.32)

donde i sólo afecta a las componentes espaciales en la matriz de transforma-ción ai:�, que son las qie teníamos arriba. Es decir,

�n+mXk=1

pi(k) = 0 = ai:��m+nXk=1

p0�(k) = ai;0�n+mXk=1

p00(k): (4.33)

Como ai;0 6= 0 =) �Pm+n

k=1 p00(k) = 0, l.q.q.d.

Hemos obviado un problema que se resuelve mediante la formulación La-grangiana. En las interacciones entre cargas, cada una genera un campo queafecta a las otras, incluyendo sus campos, creándose un problema in�nito.Esta inconsistencia de debe a la no localidad espacio-temporal de los campos.Ya veremos como se aborda.Vimos que toda partícula relativista transporta un tetraimpulso p�. De

forma análoga a la que utilizamos para construir el tetravector densidad decorriente construiremos el tensor energía-impulso para un sistema de partícu-las.


4.3. Tensor energía-impulso.

De�nimos la densidad de energía-impulso como

T�0mec�anica (�!x ; t) =

NXn=1

cp�(n)(t)�3 [�!x ;�!x n(t)] ; (4.34)

que tiene dimensiones de energía ( o densidad de energía para ser más pre-cisos). La delta de Dirac nos indica que estamos trabajando con partículaspuntuales localizadas. De�nimos la densidad de corriente energía-impulso,

T�jmec�anica (�!x ; t) =

NXn=1

p�(n)(t)�3 [�!x ;�!x n(t)]

dxjndt

; (4.35)

que es un momento por una velocidad, con dimensiones de densidad de en-ergía también. Uniendo ambas expresiones

T��mec�anica (�!x ; t) =

NXn=1

p�(n)(t)�3 [�!x ;�!x n(t)]

dx�ndt

: (4.36)

Aprovechando las propiedades de las � de Dirac, podemos reescribir estetensor como

T��mec�anica (�!x ; t) =

Z(cdt0)

NXn=1

p�(n)(t0)�4 [�!x ;�!x n(t0)]

dx�n(t0)

dt0; (4.37)

o mejor aún, pasando totalmente a 4D,

T��mec�anica (x) =

Zd�

NXn=1

p�(n)(�)�4 [�!x ;�!x n(�)]u�n (�) ; (4.38)

que es el tensor energía-impulso mecaánico. Como u� = dx�dt, p� = m0u� =�E

c;�!p, entonces

p� = m0u� = m0

dx�

dt: (4.39)

Ahora bien, p0 = Ec= m0u

0 = m0 c =) m0 =Ec2=)

p� =Ec2dx�(t)

dt: (4.40)

4.3. TENSOR ENERGÍA-IMPULSO. 129

En base a esta igualdad podemos escribir el tensor mecánico como


NXn=1

c2p�(t)p�(t)

En�3 [�!x ;�!x n(t)] ; (4.41)

que prueba que el tensor es simétrico, T��(x) = T ��(x).El signi�cado de sus componentes es el siguiente. Escribimos


�T 00 T 0j

T i0 Tij

�=

�densidad de energía corriente de energía �!s =c

�!s =c corriente de impulso

�;(4.42)

donde, en coordenadas de Galileo, T 00mec =PN

n=1c2p0(t)p0(t)

En �3 [�!x ;�!x n(t)] ó

T 00mec =NXn=1

En�3 [�!x ;�!x n(t)] (4.43)

y T 0jmec =PN

n=1c2p0n(t)p

�n(t)

En �3 [�!x ;�!x n(t)] =PN

n=1 cpjn(t)�

3 [�!x ;�!x n(t)] ó

T 0jmec =NXn=1

c�!p n(t)�3 [�!x ;�!x n(t)] : (4.44)

Por último, T ijmec =PN

n=1c2pin(t)p

jn(t)

En �3 [�!x ;�!x n(t)] =

T ijmec =NXn=1

c2p2n(t)

En�3 [�!x ;�!x n(t)] ; (4.45)

en cartesianas.Si la energía de un sistema se conserva, se ha de satisfacer la relación de

continuidad@E@t+�!r � �!s = 0; (4.46)

o bien,

@T 00

@t+@T 0i

@xi= 0

=) @T��

@x�= 0; (4.47)


que es la forma covariante de la conservación del tensor (tensor solenoidal).Para un conjunto de N partículas se puede generalizar a

3X�=0

@

@x�T��mec = c2

3X�=0

@

@x�

NXn=1

p�n(t)p�n(t)

En�3 [�!x ;�!x n(t)]

= c23X�=0

@

@x�

NXn=1

p�n(t)Enc2dx�ndt

En�3 [�!x ;�!x n(t)]

=

3X�=0

@

@x�

NXn=1

p�n(t)�3 [�!x ;�!x n(t)]

dx�ndt

=NXn=1

(@@t

�p�n(t)�

3 [�!x ;�!x n(t)]�+P3

i=0@@xi

hp�n(t)�

3 [�!x ;�!x n(t)] dxin

dt

i )

=NXn=1

8><>:hdp�n(t)dt

�3 [�!x ;�!x n(t)]i+P3

i=1 p�n(t)

@�3[�!x ;�!x n(t)]@xin

dxindt

+P3

i=1

�p�n(t)

@�3[�!x ;�!x n(t)]@xi

dxindt

�9>=>; :(4.48)

Agrupando términos,3X�=0

@

@x�T��mec =

NXn=1

dp�n(t)

dt�3 [�!x ;�!x n(t)]

=NXn=1

dp�n(t)

d�

d�

dt�3 [�!x ;�!x n(t)] : (4.49)

Como la derivada del tetraimpulso es, por de�nición, la tetrafuerza que actúasobre la partícula n-ésima, el miembro de la derecha es la densidad de fuerza

f� (�!x ; t) =NXn=1

F�nd�

dt�3 [�!x ;�!x n(t)] : (4.50)

Si las partículas fueran libres, F�n = 0 =) @@x�

T��mec = 0 = f�. Si las partículassufren colisiones locales puntuales,

f� (�!x ; t) =NXn=1

dp�n(t)

dt�3 [�!x ;�!x n(t)]

=Xp:d:c:

�3 [�!x ;�!x n(t)]d

dt

Xm2g

p�m(t); (4.51)

4.3. TENSOR ENERGÍA-IMPULSO. 131

donde m 2 g indica la suma sobre las partículas que participan en la colisióng-ésima. Recordemos que en este tipo de colisiones

PNn=1 (p

�)n es independi-ente del tiempo, por lo que f� (�!x ; t) = 0:Cuando las partículas llevan carga eléctrica y hay fuerzas electromagnéti-

cas,f�n =

qncF��u�n. (4.52)

Como la densidad de fuerza es

f� (�!x ; t) =NXn=1

f�nd�

dt�3 [�!x ;�!x n(t)]

=NXn=1

qncF��u�n

d�

dt�3 [�!x ;�!x n(t)]

=1

cF��

NXn=1

qnu�nd�

dt�3 [�!x ;�!x n(t)] : (4.53)

Ahora bien, sabemos que la densidad de corriente J� =PN

n=1 qnu�nd�dt�3 [�!x ;�!x n(t)].

Por lo tanto,

f� (�!x ; t) = 1

cF��J�: (4.54)

En este caso nos encontramos conque @T��mec@x�

6= 0. Es decir, el tensor T��mecno se conserva debido a las contribuciones del campo electromagnético. Sireemplazamos J� = c

4�

@F��@x�

en la expresión (413),

f� (�!x ; t) = 1

4�F��J�: (4.55)

Con unpoco de álgebra podemos escribir

f� (�!x ; t) = 1

4�

�@

@x�

�F��F��

�� F��

@F��

@x�

�: (4.56)

Como los índices � y � son mudos reescribimos

f� (�!x ; t) = 1

4�

�@

@x�

�F��F��

�� 12

�F��

@F��

@x�+ F��

@F��

@x�

��: (4.57)

Haciéndo uso de la hemisimetría de F��,

f� (�!x ; t) = 1

4�

�@

@x�

�F��F��

�� 12F��

�@F��

@x�+ F��

@F ��

@x�

��: (4.58)


Dado que @F��@x�

+ @F��@x�

+ @F��@x�

= 0,

f� (�!x ; t) =1

4�

�@

@x�

�F��F��

�� 14

@

@x�

�F��F

��

=@

@x�T�(elect):� : (4.59)

O bien,

T�(elect):� =1

4�

�F��F�� +

1

4�:�� F��F

��

�; (4.60)

que es el tensor energía-impulso electromagnético. El tensor energía-impulsototal es

T��total = T��mec + T��elect; (4.61)

y la cantidad que se conserva es ésta:

@

@x�T��total = 0: (4.62)

Si hubieran más campos de distinto origen se conservaría el T��total al quehabría que añadir las distintas contribuciones.Hasta el momento no hemos indicado ningún método para construir

los tensores energía impulso. Normalmente se construyen mediante los la-grangianos de los sistemas involucrados. Sin embargo, podemos ver sus com-ponentes para el caso electromagnético. Por ejemplo, en cartesianas 3D,

Tij =�04��

EiEj +�00

4��0�0BiBj �

1

2�ij

��04��E

2 +�00

4��0B2

�;

T0j = Tj0 = ��0�

00c

4��

��!E ��!B

�j=

�!S

c;

T00 =1

8�

��0�E2 +

�00

�0�0B2

�: (4.63)

El término T00 es la densidad de energía electromagnética. Al término Tij sele denomina tensor de Maxwell. En general se usa la notación

T�� =

"Uem

�!Sc�!

Sc

Tensor Maxwell

#: (4.64)

He puesto aquí una expresiones que incluyen ciertas constantes que dancuenta del sistema de unidades usado. Para que el alumno escoja el preferidolas tablas siguiente indican sus valores en cada sistema.

4.4. POTENCIALES DE LIENARD-WIECHERT. 133

cgs ee cgs em cgs Gauss�0 1 1 1�0 1 1 1� 1 c2; [l]2 [t]�2 1�0 1

c2; [l]�2 [t]2 1 1

c; [l]�1 [t]

Cuadro 4.1: Valores de las constantes en los distintos cgs.

�0

�107

4�c2

�Coulombio2�seg2

Kg�m3 ; [M ]�1 [l]�3 [t]2 [Q]2

�0 4�10�7 Kg�mCoulombio2

; [M ] [l] [Q]�2

� 14�

�0 14�

Cuadro 4.2: Valores de las constantes en sl sistema MKS.

o bien, el sistema MKS racionalizado,

y, para completar, �00 =

��0

�c2(�0�0)

. O sea, de locos. Para colmo, los sistemas detipo cgs son mecánicos, y la carga viene �jada por otras magnitudes comolongitud, tiempo y masa. En estos sistema

�!D y

�!E tienen la msima dimen-

sión, al igual que�!B y

�!H . Sin embargo, en el sistema MKS la carga tiene

unidad propia, el coulombio. También existe un cgs racionalizado o Heaviside-Lorentz. Los europeos orientales suelen usar el cgs ee. Los ingleses y esbirroscirculan por la izquierda y los italianos ya no tocan la lira.Retomando al tensor energía-impulso, el hecho de que sea solenoidal,

@T��total@x�

= 0 =) p�total =RT�0d3x es constante en el tiempo, donde se ha

realizado ya una primera integral temporal. La demostración es un ejerciciointeresante que dejamos para el alumno. Para ello conviene recordar queT 0� = cp�� [�!x ;�!x n(t)].

4.4. Potenciales de Lienard-Wiechert.

Al igual que para el tensor energía-impulso, vamos a ver una alternativamás estética para obtener los potenciales de Lienard-Wiechert. Recordemos


que son los potenciales creados por una carga ultrarelativista (v � c). Real-mente basta que sea relativista. Ya vimos que estos potenciales se puedencalcular por las bravas, resolviendo la ecuación de Poisson

�2A� = �4�

cJ�; (4.65)

o, mediante transformaciones de Lorentz, partiendo de las soluciones en elsistema propio de la carga, donde se encuentra en reposo. En este sistema,con las componentes de la tetravelocidad u�rep = u0� =

�u0rep;

�!u rep�y �!u rep =

�!u 0 = uirep�!e i =

�!0 , u0rep = c, tenemos que

A0 (�!r ) = ' =q

r;�!A =

�!0 : (4.66)

Por lo tanto,

A�rep (�!r ) = A0� =

1

c

q

ru�rep =

1

c

q

ru0�; (4.67)

siendo �!r la distancia entre el punto donde está la carga en reposo y un puntodel campo generado. La anterior expresión no es válida (no es covariante)mientras la distancia no se exprese en forma covariante. Para ello debemosrecordar que los potenciales han de ser retardados para que tengan signi�cadofísico. Es decir, la acción de la carga toma un cierto tiempo en alcanzar elpunto del campo elegido para estudiar el efecto. EL valor del potencial encierto punto e instante (suceso del universo) está ligado con el estado de lafuente (carga) en cierto instante anterior. El retardo es el tiempo que la luz(o el campo) tardan en ir desde la carga al punto en estudio.En el sistema de referencia de un observador exterior, el tetravector in-

tervalo tipo luz ess� = x� � x�p ; (4.68)

donde x indica la posición del punto campo y xp la posición donde estabala carga en el instante en el que emitió la señal observada en el detector,instante tp = t��t. Y s� es tal que su parte espacial coincide con el vectorque une el punto campo con la posición retardada de la carga:

�!s = �!x ��!x p = �!r ; (4.69)

mientras que el retardo (parte temporal de s�) nos da

s0 = ct� ctp = c�t = j�!r j = r: (4.70)


Evidentemente,s�s� = c2�t2 � r2 = 0; (4.71)

puesto que la información entre fuente y observador se propaga a la velocidadde la luz.Vamos a calcular s�u� en el sistema del observador, en el cual la partícula

se mueve con velocidad �!v .

s�u� = (r;�!r ) ( c; �!v ) = (rc��!r � �!v ) : (4.72)

En el sistema propio de la carga s0�u0� = cr, ya que = 1. Es decir, el

tetravector potencial A0� = qcru0�, o bien,

A0� =qc

c

u0�

s0�u0�=

qu0�

s0�u0�: (4.73)

Ahora bien, si dos tetravectores son iguales en un sistema de referencia, loserán en todos. Separemos las partes espacial y temporal en el sistema delaboratorio, donde A� = qu�

s�u�:

� (�!x ; t) = qc

c�r � �!v ��!r

c

� = q�r � �!v ��!r

c

� ;�!A (�!x ; t) =

1

c2q�!v�

r � �!v ��!rc

� : (4.74)

Usando �!r = �!x � �!x p (tp) = �!x � �!x p (t��t) podemos construir el tensorcampo electromagnético a partir de los potenciales

F�� =@A�@x�

� @A�@x�

: (4.75)

Necesitamos las derivadas de s0�u0�, es decir,

@s�

@x�=

@

@x��x� � x�p

�= �:��

@x�p@x�

: (4.76)

La posición de la carga es función de tp. Y tp es función de las coordenadasdel punto campo debido al retardo. Es decir,

@x�p@x�

=dx�pdtp

:@tp@x�

; (4.77)


que, en tiempo propio de la carga será

@x�p@x�

=dx�pd�

:@�

@x�= u�

@�

@x�=)

@s�

@x�= �:�� u�

@�

@x�: (4.78)

Como s�s� = c2�t2 � r2 = 0, entonces

s�@s�

@x�= 0 = s� � s�u

� @�

@x�=)

@�

@x�=

s�s�u�

=)

@s�

@x�= �:�� u�

s�s u

: (4.79)

Es inmediato ver que las derivadas de A� van a tener dos contribuciones,dependiendo del estado de movimeiento de la carga. Resulta convenienteescribir

F�� = F��;velocidades + F��;aceleraciones: (4.80)

4.4.1. Componente de velocidades.

Corresponde al caso en que la velocidad de la carga es constante (acel-eración nula):

@A�@x�

= qu�@

@x�1

s u = qu�

1

(s u )2u

@s

@x�

= qu�1

(s u )2u

��: � � u

s�s u

�= qu�

1

(s u )2

�u� �

u u s�

s u

�= qu�

1

(s u )2

�u� �

c2s�s u

�: (4.81)


Sustituyendo,

F��;vel = qu�1

(s u )2

�u� �

c2s�s u

��qu�

1

(s u )2

�u� �

c2s�s u

�= c2q

�u�s� + u�s�

(s u )3 : (4.82)

Pasando a coordenadas de Galileo,

�!E vel = Fi0;vel = c2q

1

3uis0 � u0si

(cr ��!v � �!r )3

= c2q1

2� r�!v + c�!r

c3 (r ��!v � �!r =c)3

=q

2

�!r ��!v =c��!r(r ��!v � �!r =c)3

: (4.83)

Análogamente, como Fij = cBk (ó Bk, dependiendo de cómo se de�nan losTeslas),

�!B vel =

q

c21

2

�!v ��!r(r ��!v � �!r =c)3

=1

c2�!v ��!E vel; (4.84)

que se reducen a los ya calculados para una carga en movimiento si escogemoslos ejes de forma que uno de ellos coincida con la dirección de �!v . Se puedeobservar que las líneas de fuerza de

�!B son círculos centrados en la trayectoria

de la carga.Es útil representar los campos anteriores em función de la posición actual

de la carga, en el instante en el que el observador recibe la señal. Para ellorecordemos que �!r es el vector que une la posición de la carga cuando emite(antes de que se detecte), o posición retardada, con el punto dende se quiereconocer el campo. En el momento de observación �!r a es la posición requeridacon

�!r = �t�!v +�!r a: (4.85)

Como el retardo es �t = r=c, �!r a = �!r ��!vcr que, casualmente, coincide con

el numerador que habíamos obtenido para el campo eléctrico. Vemos en el


dibujo que el campo apunta hacia la posición de la carga si esta es positiva,y

�!E vel =

q

2

�!r a(r ��!v � �!r =c)3

=q

21�

1� v2

c2sin2 �

��!r ar3a: (4.86)

Es interesante comparar este campo con el producido por una carga estáti-ca situada en la posición actual de la partícula. Para ello consideraremosobservadores sobre la trayectoria o en su perpendicular.

a) Observador en la trayectoria de la carga: �!r k�!v k�!r a.

En este caso, �!v � �!r = vr, con lo que el denominados de�!E vel se reduce

a r�1� v

c

�. Además, ra = r

�1� v

c

�=)

�!E kvel =

q

2

�!r ar3a: (4.87)

Es decir,�!E kvel =

1 2

�!E est�atico por lo que

�!E kvel <

�!E est�atico siempre. Es obvio

que si v �! c, �! 1 y�!E kvel �! 0. No volvemos a reproducir las �gura

vistas en el apartado anterior.

b) Observador perpedicular a la trayectoria: �!r a � �!v = 0:

Aquí�!r ��!v =��!r a + �!v

c� r��!v = r

cv2 y, sustituyendo, (r ��!v � �!r =c) =�

r �rcv2

c

�= r

�1� v2

c2

�= r

2: Por otra parte, �!r = �!r a +

�!vcr =) r2 =


r2a+v2r2

c2�2�!r a��!v

c= r2a+

v2r2

c2=) ra = r

�1� v2

c2

�1=2y r = ra

�1� v2

c2

��1=2=

ra =)�!E ?vel = q

�!r ar3a

= �!E est�atico (4.88)

=) �!E ?vel >

�!E est�atico, con lo que

�!E ?vel diverge si v �! c. En este caso los

campos eléctricos y magnéticos tienden a concentrarse en el plano perpen-dicular a la dirección del movimiento de la carga.

4.4.2. Campo de aceleraciones.

En este caso no queda más remedio que calcular las derivadas de u�

s�u�,

pero incluyendo la variación de u� solamente, con s� = cte. Recordemos ques� = x� � x�p = (r;

�!r ), tetravector de posición. Para simpli�car la notaciónintroducimos la velocidad v� = u�= = (c;

�!v ), con lo cual

u�s�u�

=v�s�v�

: (4.89)

Recordemos también que A� = �q u�s�u�

. Además, v�, en el sistema del obser-vador, depende del tiempo:

dv�dtp

=�v� = (0;

�!a ) : (4.90)

El gradiente de u�s�u�

será

@

@x�

�v�s�v�

�=

d

dtp

�v�s�v�

�@tp@x�

=

" �v�s�v�

� s��v�

s�v�v�

#@tp@xp

: (4.91)

Habíamos visto que d�dx�

= s�s�u�

, por lo que @tp@x�

= dtpd�

@�@x�

= dtpd�

s�s�u�

= s�s�u�

=s�s�v�

. Es decir,

@

@x�

�v�s�v�

�=

�v�s�

(s�v�)2 �

s��v�

(s�v�)3v�s�: (4.92)


Sustituyendo en el campo de aceleraciones,

F��;aceler =@A�@x�

� @A�@x�

jaceler

= q

" �v�s� �

�v�s�

(s�v�)2 � v�s� � v�s�

(s�v�)3 s�

�v

#: (4.93)

Como Ei;aceler = Fi0;aceler, y s� = (r;�!r )

�!E aceler = q

"�

�!a r(cr ��!v � �!r )2

��!v r � c�!r

(cr ��!v � �!r )3�!a � �!r

#

=q

c2

264� �!a r�r � �!v ��!r

c

�2 + �!r � �!vcr�

r � �!v ��!rc

�3�!a � �!r375 : (4.94)

Haciendo lo mismo para las componentes Fij obtenemos

�!B aceler =

q

c3

�!rr�

264� �!a r�r � �!v ��!r

c

�2 + �!r � �!vcr�

r � �!v ��!rc

�3�!a � �!r375

=�!rcr��!E aceler: (4.95)

4.5. Langrangiano del campo electromagnéti-co.

4.5.1. Principio de mínima acción.

Al igual que en el apartado anterior, vamos a repetir algunos puntos yavistos, pero desde otra óptica.La función de Lagrange es un invariante de Lorentz, al igual que la acción,

razón por la que las ecuaciones de Euler-Lagrange son covariantes:

d

dt

@L

@�qi� @L

@qi= 0; (4.96)

4.5. LANGRANGIANO DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO. 141

para un conjunto de i = 1; : : : ; n partículas. Para una partícula cargada, concarga e,

L�q;�q; t�=m

2

�qj�qj � e�+ e

�qjAj (4.97)

en coordenadas de Galileo, que no es más que L = T � U , siendo U elpotencial generalizado. Las ecuaciones de Euler-Lagrange serían

d

dt

�m�qi + eAi

�+ e

@�

@�qi� e

�qj@Aj@qi

= 0: (4.98)

Comod

dtAi =

@Ai@t

+@Ai@qj

�qj; (4.99)

podemos escribir

m��q i + e

�@Ai@t

+@Ai@qj

�qj

�+ e

@�

@�qi� e

�qj@Aj@qi

= 0 =)

m��q i = e

� @�@�qi� @Ai

@t

!

+e

��qj@Aj@qi

� @Ai@qj

�qj

�:(4.100)

4.5.2. Impulso generalizado.

pi =@L

@�qi= pi

�q;�q; t�

= m�qi + eAi = pi + eAi (4.101)

Ahora ya podemos escribir el Hamiltoniano del campo

H = pi�qi � L =

m

2

�qi�qi � e�

=m

2

��!p � e�!A�+ e�; (4.102)

correspondiendo el primer sumando a la energía cinética y, el segundo, a lapotencial.


4.5.3. Acción.

Partamos de su de�nición

S =

Z t2

t1

L(t)dt: (4.103)

Segín el Principio de Mínima Acción, de las in�nitas trayectorias físicas posi-bles en el espacio de con�guración, el sistema realiza aquella que resulta deun mínimo de la acción

�S

�qi(t)= 0; i = 1; : : : ; n: (4.104)

lo que implica que se veri�can la ecuaciones de Euler-Lagrange. Como lonormal es trabajar con densidades de carga o masa, se de�ne la densidadlagrangiana L, tal que

S =

Z t2

t1

L(t)dt =

Z t2

t1

ZL(t)d3xdt (4.105)

con�S = 0: (4.106)

La construcción del Lagrangiano relativista para partículas puntuales es algocomplicada, ya que dt no es un invariante. El Lagrangiano también ha de serun invariante de Lorentz. La propuesta más simple es

L = m0c (u�u�)1=2 : (4.107)

Dado que u�u� = c2, la propuesta conduce a un Lagrangiano constante, loque es trivial. Otra forma es introducir un parámetro p; invariante de Lorentz,que incluso puede ser el intervalo s, de forma que

v� =dx�

dp=dx�

d�

d�

dp= u�

d�

dp

=) v�v� = u�u�

�d�

dp

�2= c2

�d�

dp

�2: (4.108)

Es decir,

d�

dp=

1

c(v�v�)

1=2

=) u� = v�dp

d�=

cv�

(v�v�)1=2: (4.109)


Las ecuaciones de Euler-Lagrange serían

d

dp

�@L

@v�

��@L

@x�

�= 0: (4.110)

Para una partícula en un campo electromagnético;

L = m0c (v�v�)1=2 +

e

cv�A�(x

�); (4.111)

que conduce a las ecuaciones del movimiento

d

dp

m0

v�

(v�v�)1=2+e

cA�(x

�)

!

�ecv�@A�(x

�)

@x�= 0: (4.112)

Si ahora sustituímos ddppor d

d�d�dp, junto a u� = cv�

(v�v�)1=2 , llegamos a que

d

d�m0u� =

e

c

�@A�@x�

� @A�@x�

�u� =

e

cF��u

� ; (4.113)

que es la ecuación del movimiento de Minkovskii de las cargas.Para una distribución de cargas trabajaremos con la densidad Lagrangiana

L = L�;

d

dx�

�; (4.114)

siendo los campos. Este Lagrangiano es único salvo el gauge de la tetradi-vergencia. El principio de mínima acción de Hamilton conduce a las ecua-ciones de Euler-Lagrange

@

@x�

24 @L@�@@x�

�35� @L

@= 0: (4.115)

Consideremos la siguiente densidad Lagrangiana como ejemplo:

L = �12

�@�

@x�

��@�

@x�

�� U

��: (4.116)


En forma explícita, usando coordenadas galileanas

L = �12

"1

c2

�@�

@t

�2��@�

@xi

�2#� U

��; (4.117)

donde U��es una densidad de energía potencial. En el caso del campo

electromagnético se pueden construir dos invariantes de Lorentz que son

F ��F�� ;

"��F��F��; (4.118)

que, en coordenadas de Galileo, valen 2 (c2B2 � E2) y�!E ��!B . Realmente, el

segundo no es invariante bajo inversiones espaciales, es decir, no se conservabajo transformaciones de paridad razón por la que se le suele obviar.En presencia de fuentes externas podemos escribir

L = �14F ��F�� + 4�J

�A�: (4.119)

Recordemos que, si cambiamos A� por A� + @�@x�, la densidad Lagrangiana

adquiere una contribución adicional. Esta contribución es una divergenciaque conduce a la conservación de la corriente @J�

@x�= @�J

� = 0. Por tanto,J� @�

@x�= @(J��)

@x�, que no modi�ca las ecuaciones del movimiento.

Tomemos como variables de campos independientes a las A�:

@

@x�@L

@�@A�@x�

� = �14

@

@x�

8<: @

@�@A�@x�

� � �@A�@x�

� @A�@x�

��@A�@x�

� @A�@x�

� �9=;

= �14

@

@x�

8<: @

@�@A�@x�

� �2@A�@x�

@A�@x�

� @A�@x�

@A�@x�

�9=;= �1

4

@

@x�

�4@A�@x�

� 4@A�@x�

�= �@F��

x�; (4.120)

y@L@A�

= 4�J� (4.121)

que satisface la ecuación propuesta anteriormente.


4.5.4. Ecuaciones de Proca (1936).

Se parte de la siguiente pregunta: ¿Es cierto que el gauge de la divergenciaanterior se cumple siempre? Si incluímos en la densidad Lagrangiana untérmino de masas tendríamos, por ejemplo,

L = 1

2m2A�A�: (4.122)

Este término no respeta la invarianza gauge ya que, al pasar de A� a A�+ @�@x�

encontramos que

A�A� �!�A� +

@�

@x�

��A� +

@�

@x�

�6= A�A�: (4.123)

Es decir, la invarianza gauge no es compatible con un campo electromagnéticomasivo. O lo que es lo mismo, con fotones con masa en reposo no nula. Comode la densidad Lagrangiana podían obtenerse las ecuaciones del movimiento,a través de las ecuaciones de Euler-Lagrange,

@F��@x�

+m2A� =4�

cJ� ; (4.124)

que son las conocidas por ecuaciones de Proca.En realidad no es más que una ecuación de Poisson generalizada �2A� +

m2A� =4�cJ� , con un término no lineal debido a la masa. Pasando a coorde-

nadas 3D,

�!r � �!E = 4��m2�;

�!r � �!E = �@�!H

@t;

�!r � �!H = 0;

�!r � �!H = 4�

�!j +

1

4�

@�!E

@t

!�m2c

�!A: (4.125)

De ser ciertas, el término másico produciría alteraciones en magnitudes med-ibles, dando lugar a límites de la posible masa fotónica. A través del campomagnético de Júpiter (sonda Pioneer 10) se ha determinado que la masa


fotónica mf < 4;5� 10�16 eVc � 2;4� 10�38g. Esto corresponde a una modi-

�cación del campo coulombiano que debería comportarse como

� � qe� rr0

r; (4.126)

que es del tipo Yukawa, con r > 4;4 � 105Km. Esta longitud característi-ca está ligada a la inversa de la masa del fotón. Como vemos, mf es másdespreciable que un cura pedó�lo, por caer dentro del orden de error de lasmedidas. Es decir, las variaciones naturales del campo magnético de Júpiterson del orden de m2c

�!A . Se puede concluir que esta ruptura de la invarianza

gauge del campo realmente no existe.

4.6. Radiación de una carga en movimiento.

Es un hecho experimental que las cargas aceleradas emiten radiación elec-tromagnética. Este hecho es de enorme utilidad práctica. Vamos a caracteri-zar la radiación emitida por las cargas en movimiento por la potencia radiada,su distribución angular y su distribución espectral.

A gran distancia de la carga los campos de velocidad y de aceleración secomportan de forma diferente ya que

�!E vel y

�!B vel � 1

r2;

�!E acel y

�!B acel � 1

r: (4.127)

Es decir, el vector de Poynting, a grandes distancias, está dominado por loscampos de aceleración e irá como

�!S � r�2. Si los campos se desarrollaran

esféricamente en torno a la posición de la carga, irían distribuyéndose en todala esfera. Sólo el campo de aceleraciones compensa tal tipo de distribución.Una carga en el vacio, con movimiento uniforme, no puede entregar energíapor radiación ya que sólo da lugar a campos de velocidad. Otra cosa es enpresencia de materia pues puede producirse el efecto Cherenkov.

4.6. RADIACIÓN DE UNA CARGA EN MOVIMIENTO. 147

4.6.1. Régimen no relativista.

Cuando � = v=c �! 0, el campo de aceleraciones se puede aproximarpor

�!E acel � q

c2

�!r � (�!r ��!a )r3

;

�!B acel � 1

c

�!rr��!E acel =

q

c3

�!a ��!rr3

: (4.128)

El vector de Poynting sería

�!S =

1

4�

�!E acel �

�!B acel �

q2

4�c3(�!a ��!r )2

r5�!r : (4.129)

Si tomamos la aceleración �!a en la dirección del eje polar, el vector �!S sería

�!S acel �

q2

4�c3

�!rr3a2 sin2 �: (4.130)

El vector de Poynting es el �ujo de la energía por unidad de área y tiempo.Como un elemento de área perpendicular a �!r es

d�!A = r2

�!rrd = r2�!r 0d; (4.131)

la distribución angular de energía, o la potencia radiada por unidad de ángulosólido es

dP

d=�!S acel � r2

�!rr=q2a2

4�c3sin2 �; (4.132)

siendo �!r la dirección de observación.Vemos que la radiación es simétricarespecto al plano perpendicular a �!a . Estrictamente esto no es cierto. Lasimetría de la radiación es axial. Es decir, tenemos una �gura de revoluciónrespecto a un eje en la dirección de �!a y que pasa por la carga, cual si fuerauna rosquilla casi sin agujero.Como existe un impulso asociado al vector de Poynting, existirá una den-

sidad de impulso transportada por el campo. Es decir, la carga aceleradadebe desprender un impulso neto. Por simetría, los impulsos en una direc-ción se compensan con los de la dirección contraria. Esto indica que, en el


Figura 4.1: Radiación de una carga no relativista con movimiento rectilíneo.

caso no relativista, no se emite impulso. La potencia total emitida será

P =q2

4�c3

�I0

Z 2�

0

a2 sin2 �d�d'

=2

3

q2a2

c3; (4.133)

que es la conocida fórmula de Larmor.

4.6.2. Régimen relativista.

Este régimen es de gran interés en los aceleradores de partículas, tantolineales como circulares. Estudiaremos primero los casos más simples:1) La aceleración de la carga es paralela a la velocidad.2) La aceleración es perpendicular a la velocidad.

Caso paralelo: movimiento rectilíneo con �!v k�!a :

Evidentemente, si �!v k�!a =) �!v ��!a = �!0 : Por lo tanto,

�!E acel =

q

c2

�!r � (�!r ��!a )�r � �!v ��!r

c

�3 : (4.134)


Vemos que tiene la misma dependencia vectorial que para bajas velocidades.Calculemos el vector de Poynting

�!S =

q2

4�c3a2r4�

r � �!v ��!rc

�6 �!rr sin2 �: (4.135)

Esta expresión es exacta para culaquier �. Pero�!S depende de la aceleración

y la velocidad.Ahora, para calcular la distribución de energía hay que tener en cuenta

el retardo de la señal entre el punto de emisión y el de observación, ya queserá un factor dominante en el caso ultrarelativista. La energía perdida porla partícula en t, durante el intervalo temporal �t, en un ángulo sólido d,será

�dE (�) =�!S acel

�!rrr2ddt

=q2

4�c3a2r6�

r � �!v ��!rc

�6 sin2 �ddt; (4.136)

que corresponde a la radiación emitida por la carga en su instante tp. La po-tencia radiada por ángulo sólido, que cruza el elemento de área a la distancia�!r y al tiempo t, es igual a la energía por unidad de tiempo cedida por lacarga en tp:

dP

d= �dE (�)

dtp=

q2

4�c3a2r6�

r � �!v ��!rc

�6 sin2 � dtdtp : (4.137)

Recordemos que el retardo S viende dado por

dtpdx�

=s�s�u�

=s�

cr ��!v � �!r

=s�

c�r � �!v ��!r

c

� =)dtpcdt

=r

c�r � �!v ��!r

c

� =)dtpdt

=r�

r � �!v ��!rc

� ; (4.138)


donde s�u� = cr en el sistema propio o cr��!v ��!r en el del observador. Portanto,

dP

d=

q2

4�c3a2�

1� �!v ��!rcr

�5 sin2 �=

q2

4�c3a2 sin2 �

(1� � cos �)5: (4.139)

La forma de la radiación ya está representada en la �gura 25. La distribuciónangular se dirige hacia adelante cuando � aumenta, por lo que la carga nosólo radia energía, sino que emite un impulso neto. La potencia total será

P =q2a2

4�c3

Z �

0

Z 2�

0

sin2 �

(1� � cos �)5sin �d�d'

=2q2a2 6

3c3; (4.140)

que coincide con la fórmula de Larmor cuando � �! 0 y �! 1. Estaradiación es bastante parecida a la que emiten las cargas al frenarse con lamateria. Por esta razón es conocida como radiación de frenado.

Radiación


Figura 4.2: Esquema de las variables angulares utilizadas para el movimientocircular.

Caso perpendicular: �!v ?�!a =) �!v � �!a = 0:

El ejemplo más simple de este caso es el de la órbita circular. El álgebravectorial es algo más tediosa. Si tomamos � como el ángulo entre la direcciónde observación �!r la velocidad, y � como el ángulo azimutal que forma �!rcon el plano perpendicular a la velocidad, medido respecto a �!a ,

dP

d=q2a2

4�c3

"1

(1� � cos �)3��1� �2

�sin2 � cos2 �

(1� � cos �)5

#: (4.141)

Esta radiación es simétrica respecto al plano (�!v ;�!a ) y se anula en las direc-ciones en la que cos � = arc cos � (ver �gura 26). En el plano (�!v ;�!a ) y para� = 0;5 la radiación tiene la forma indicada en la �gura. Como se ve, laradiación es máxima en la dirección de la velocidad de la carga. La potenciatotal radiada es

P =q2a2 4

4�c3: (4.142)

Si � �! 0 vuelve a recuperarse la fórmula de Larmor. Este es el caso mástípico de los aceleradores. En éstos, la partícula se acelera con un intenso


Figura 4.3: Distribución angular de la radiación para el movimiento circularcon � = 0:

campo magnético que la mantiene en una órbita circular. Estos son los sin-crotones que se usan para emitir radiación en el ultravioleta y rayos X.

Tratamiento general.

Se hace a través del tensor energía-impulso generado por los campos deaceleración de las partículas cargadas. La variación de tetravector energía-impulso �p� (que es absorbida por el campo electromagnético) representala transferencia de momento desde la partícula al campo. Dentro de estapanorámica, la trayectoria de la partícula ha de analizarse en el espacio deMinkovskii.La pérdida de energía-impulso, en cierta región del Universo, que será

transportada por el campo a través de la super�cie � que limita al volumende la mencionada región del Universo, es

�p� = �ZT ��d��: (4.143)

Recordemos que si este tensor es solenoidal, @T��

@x�= 0, entonces p� =

RT 0�d3x


Figura 4.4: Línea de Universo para la carga.

es constante en el tiempo, pues

@T��

@x�=

dp�

dt�3 (�!x ��!x (t))

=)Z@T��

@x�dV =

ZT��d�� = �p

�: (4.144)

Como vemos, no es más que una generalización del teorema de Gauss a 4D.Calculemos ahora la radiación, a través de �, cuando la carga recorre untrayecto in�nitesimal dl a lo largo de su línea del Universo caracterizada porun elemento de tiempo propio d� . Recordemos que xp era la posición de lacarga sobre su línea del Universo y tp, su tiempo. Es decir, x�p = (ctp;

�!x p). Lasupersicie � limita al volumen de�nido por los conos de luz con vértices en elprincipio y �n de dl. Vemos que xp se conecta con el punto de observación xmediante un rayo de luz. Es decir, x es un punto del cono de luz cuyo vérticeestá en la carga, que es la intersección del cono con su línea del Universo.


El campo en x será

F��;acel =

�@A�@x�

� @A�@x�

�=

q

P 3

�Ps�

�u� � s�u�Q

�; (4.145)

con A� = �qu�=s�u�; P = s�u�; y Q = s��u�;con

�u� =

du�d�, u�u� = c2 y

u��u� = 0.El tensor energía-impulso del campo era

T�elec;� =1

4�

�F��F�� +

1

4��F��F

��

�: (4.146)

De este tensor sólo nos interesa la contribución de los campos de aceleración.Se puede comprobar que F��;acelF

��acel = 0. Por tanto,

T��elec =1

4�q21

P 4s�s�

��u� �u� � c2

Q2

P 2

�: (4.147)

Sabemos que, como T��elec es proporcional al tetravector s�, la contribución

a la integralRT��d�� procedente de los conos de luz es nula, por ser d��

perpendicular a los conos (el elemento de área es normal a los conos). Estoes lo mismo que decir que no hay transporte de energía-impulso a través delos conos. La única contribución no nula es la que atraviesa los elementos deárea d�.En la �gura 42 � es el plano que pasa por el punto x y es ortogonal al

tetravector velocidad u, por construcción ( en la �gura es Ru=c2). M es elpunto en el que la tangente a la trayectoria (línea del universo) en xp cortaa �. Si n es el tetravector en el plano � que une a M con x,

s� = �(P u�

c+ n�); (4.148)

siendo s� = x� � x�p . Como u es perpendicular a n, u�n� = 0. Por lo tanto,

s�s� = (Pu�

c+ n�)(P

u�c+ n�)

= P 2u�u�c2

+ n�n� + 2Pu�n�c2

= P 2 + n�n� = 0

=) n�n� = �P 2

c2; (4.149)


pues, para la radiación electromagnética s�s� = 0. Según esto, el tetravectorn es tipo espacio mientras que u es tipo tiempo. También se puede escribirque s�n� = �(P u�

c+ n�)n� = �P u�n�

c� P 2

c2=) s�n� = �P 2

c2:

Para calcular la integral inicial tomamos un sistema de referencia en elque u sólo tenga componente temporal, es decir, el sistema propio de la carga.En este sistema

d�� = dldPn�; (4.150)

siendo d el ángulo sólido espacial. Tenemos que Pn� = s�u�n� 6= s� y,

además, s�u� = rc��!r � �!v = P , dl = (cd� ;�!dx), y n� =

�1;�!?�, luego

�p� = �Zd��T

��acel

=q2

4��l

Zd1

P

�Pu�

c+ n�

��c2Q2

P 2� �u� �u�

�; (4.151)

donde �l =Rdl. Como quiera que en el sistema propio de la partícula este

tetravector �p� está contenido en el plano �, elegimos la dirección de lacomponente espacial de la aceleración �!a como la dirección a partir de lacual medimos el ángulo de la componente espacial de n�. Así,Z

dn� = 0;

Q2 =P 2

c2cos2 �: (4.152)

De este modo,

�p� =q2

4��lu�

�u� �u�

Zdcos

�1� cos2 �

�=

2

3q2�lu�

�u� �u�; (4.153)

que es covariante. Tomando el límite �l �! 0.

dp�

dl=2

3q2�su�

�u� �u� = Ru� (4.154)

donde R es un escalar.


Analicemos este invariante de Lorentz. Para ello empecemos por la com-ponente cero de p� =

�Ec;�!p�, recordando la relación entre � y tp :

P =dE

dtp=dEdtp

= c3R

=2

3q21

c 6h�!� � �!� �

��!� ��!�

��!� ��!�

�i; (4.155)

que no es simétrica.

Capítulo 5

Guias de onda.

5.1. Introducción.

Para completar con un ejemplo actual, vamos a estudiar la propagación deondas electromagnéticas por conductos o tubos con paredes conductoras. Porsencillez consideraremos los tubos con sección uniforme y longitud supuesta-mente in�nita. En este caso basta con estudiar cualquier plano perpendicularal eje del tubo o guía de ondas. El interior de la guía lo supondremos rel-leno de un dieléctrico (nata, crema pastelera, nada). Lo más interesante dela guias es que las ondas son estacionarias en la dirección perpendicular aleje, propagándose a lo largo de éste.También existen guías de onda estrictamente dieléctricas, donde la pared

exterior del tubo es una interfase entre dos dieléctricos, como son el aire yun plástico. Este es el caso de las �bras ópticas.Si a la guía de ondas se le con�na por los extremos (longitud �nita) ten-

dremos una cavidad resonante. El sistema sólo mantiene ondas estacionariasen su interior si las pérdidas óhmicas eb las paredes son despreciables.El problema general se reduce a resolver la ecuación de ondas homogénea

cuando las fronteras son conductoras perfectas. Es decir, sólo existe compo-nente normal del campo eléctrico E? y componente tangencial del magnéticoHk.Si tomamos al eje de la guía en la dirección x, supondremos que los

campos son�!E =

�!E 0e

i(kx�!t);�!B =

�!B 0e

i(kx�!t); (5.1)

157

158 CAPÍTULO 5. GUIAS DE ONDA.

que conducen a las ecuaciones de Maxwell, partiendo de la ley de Faraday

@Ez@y

� @Ey@z

= i!�rHx;

@Ex@z

� ikEz = i!�rHy;

@Ex@y

� ikEy = �i!�rHz: (5.2)

O partiendo de la ley de Ampère-Maxwell a

@Hz

@y� @Hy

@z= 4�

�� i!

"r

4�

�Ex;

@Hx

@z� ikHz = 4�

�� i!

"r

4�

�Ey;

@Hx

@y� ikHy = 4�

�� i!

"r

4�

�Ez: (5.3)

Las ondas que se propagan por la guía pueden dividirse en dos tipos in-dependientes conocidos como modo transversal eléctrico (TE) y transversalmagnético (TM).

5.1.1. Modo transversal eléctrico TE.

Está formado por las ondas H por venir determinado por la condición

Ex = 0; Hx 6= 0; (5.4)

lo cual nos dice que sólo el campo magnético tiene componentes en la direc-ción de propagación. Con esta condición podemos buscar soluciones de lasanteriores ecuaciones:

@Ez@y

� @Ey@z

= i!�rHx;

�ikEz = i!�rHy;

�ikEy = �i!�rHz: (5.5)

5.1. INTRODUCCIÓN. 159

y

@Hz

@y� @Hy

@z= 0;

@Hx

@z� ikHz = 4�

�� i!

"r

4�

�Ey;

@Hx

@y� ikHy = 4�

�� i!

"r

4�

�Ez: (5.6)

con lo que

@2Hx

@z2+@2Hx

@y2=

�k2 � 4�

�� i!

"r

4�

�i!�r

�Hx: (5.7)

Si la guía contiene un dieléctrico,

� � "r

4�; (5.8)

con lo que@2Hx

@z2+@2Hx

@y2= �K2Hx (5.9)

con

K =!2

v2� k2;

v2 =1

"r�r: (5.10)

Es inmediato que

Hy =ik

K2@Hx

@y;

Hz =ik

K2@Hx

@y;

Ey = �r!

kHz;

Ez = ��r!kHy: (5.11)

Se pueden agrupar usando el operador cartesiano gradiente en el plano yz,

�!r?� �@�@y

�!j +

@�@z

�!k (5.12)


con lo que

�!H? = Hy

�!j +Hz

�!k =

ik

K2�!r?Hx;

�!E ? = Ey

�!j + Ez

�!k = �r

!

k

�!i ��!H?: (5.13)

Es decir, conociendo la componente Hx, el resto de componentes queda de-terminado.Si las paredes de la guía son conductores perfectos la componente tan-

gencial Ek tiene que anularse en la super�cie. Para una guía de sección cuad-rangular, con paredes paralelas a los ejes y, z (coordenadas trasversales);tenemos otra condición de contorno: Ey = Ez = 0 en las paredes, con lo que@Hx@y

= @Hx@y

= 0 en dichas paredes. Como la conductividad debe ser in�nitaen las paredes (teóricamente), en ellas

@Hx

@n= 0; (5.14)

siendo n la normal a la pared. En general,

r2?Hx +K2Hx = 0; (5.15)

con la condición de contorno anterior. Habrán una serie de modos normalesdados por

k2m =!2

v2�K2: (5.16)

Para buscar soluciones oscilantes dentro de la guía hay que garantizar quekm no es negativo. Por tanto, se busca una frecuencia de corte !c;m = vKm,y

km =1

v

q!2 � !2c;m; (5.17)

dando lugar a que si ! < !c;m el modo correspondiente decae exponencial-mente, no pudiendo propagarse. A partir de la última expresión la velocidadde grupo de la onda dentro de la guía es

vg =d!

dk= v

"1�

�!

!c

�2#1=2; (5.18)

5.1. INTRODUCCIÓN. 161

siendo v la velocidad de fase en el espacio libre (sin condiciones de contorno).La velocidad de fase para cada modo m sería

vf;m =!

km=

vq1�

�!c;m!

�2 : (5.19)

Es evidente que la velocidad de fase dentro de la guía es mayor que la de laonda libre. Es fácil ver que

vfvg = v2:

5.1.2. Modo transversal magnético TM.

En este caso las condiciones son

Hx = 0; Ex 6= 0: (5.20)

Sólo hay componente del campo eléctrico en la dirección de propagación.Siguiendo los mismos pasos del apartado anterior se llega a que

r2?Ex +K2Ex = 0: (5.21)

Pero Ex tiene componente tangencial nula en las paredes de la guía: Ex = 0en las paredes, dando lugar a soluciones análogas a las de una membranavibrando. El análisis es paralelo al del caso TE, sólo que en al TM se leconoce por ondas E:

Modo transversal electromagnético TEM.

Existe un tercer modo degenerado llamado TEM que también es solucióndel problema. Es el caso en que

Ex = 0; Hx = 0: (5.22)

Las únicas soluciones no triviales corresponden a

k =!

v: (5.23)

Vemos que las ondas TEM tienen las mismas relaciones e dispersión que lasondas en el espacio libre in�nito sin paredes. Al igual que en las ondas planasse satisface que

�!H TEM =

�!i

v��!E TEM : (5.24)


Para mantener un modo TEM se requiere una guía con sección multiplementeconexa, es decir, por lo menos dos super�cies cilíndricas ya que

r2?ETEM = 0;

r2?HTEM = 0: (5.25)

Por tanto, para matener un modo TEM se necesita un cable coaxial o dosconductores paralelos.

5.2. Transporte de energía en una guía.

Vamos a analizar el �ujo el promedio temporal de energía que transportaun modo aislado en el interior de una guía de ondas.

5.2.1. Modo TE.

El vector de Poynting en este caso es

�!S c =

1

2

�r

4�

!k

K4��!r?Hx

��2�!i : (5.26)

Como vemos, sólo hay transporte de energía en la dirección del eje de laguía de ondas. En realidad, y para un caso realista donde las paredes noson conductores perfectos, aparece una pequeña componente transversal delvector de Poynting que da lugar a pérdidas óhmicas a través de las paredesde la guía.

5.2.2. Modo TM.

Ahora�!S c =

1

2

"r

4�

!k

K4��!r?Ex

��2�!i : (5.27)

El �ujo de potencia viene dado por

P =

ZA

�!S c � d�!� ; (5.28)

siendo d� un elemento diferencial de la super�cie transversal al eje de la guía.La integral se realiza mediante la primera integral de GreenZ

V

��r2+

�!r�!r��dV =

Z�V

��!r � d�!� ; (5.29)

5.2. TRANSPORTE DE ENERGÍA EN UNA GUÍA. 163

siendo �V la super�cie que encierra al volumen V . En nuestro caso, conbastante álgebra y teniendo en cuenta que sólo trabajamos en el plano, seobtiene

P =1

2

�r

4�

!k

K4

�IC

H�x

@Hx

@ndl �

ZA

H�xr2

?Hxd�

�(5.30)

para el modo TM, y

P =1

2

"r

4�

!k

K4

�IC

E�x@Ex@n

dl �ZA

E�xr2?Exd�

�(5.31)

para el modo TE. Aquí C es el contorno que rodea a la super�cie A, ocontorno de la guía de ondas. Dadas las condiciones de contorno las integralescurvilíneas se anulan, así que, para el modo TM,

P =1

2

�r

4�

!k

K4Nv�!

!c

�2 "1�

�!

!c;m

�2#1=2; (5.32)

y para el modo TE,

P =1

2

"r

4�

!k

K4Nv�!

!c

�2 "1�

�!

!c;m

�2#1=2: (5.33)

En ambas expresiones N es la integral de super�cie del cuadrado del módulode los campos transversales. Como puede verse, la potencia se anula para! = !c;m.

Bibliografía

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