EEE335 EqMax - Departamento de Engenharia El trica...
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Universidade Federal do Rio de Janeiro
EEE 335 Eletromagnetismo II
Prof. Antonio Carlos Siqueira de Lima
0 2 4 6 8 10
!0.2
0
0.2
0.4
0.6J0
J1J2 J3
Sobre as notações
❖ Vetores em negrito nos slides!
❖ Sistema SI!
❖ Coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas !
❖ Operador nabla para simplificar notação de rotacional divergente e gradiente
Operador Nabla r❖ Não é um vetor mas pode ser tratado como tal
r = x
@
@x
+ y
@
@y
+ z
@
@z
em coordenadas cartesianas
rf = x
@f
@x
+ y
@f
@y
+ z
@f
@z
gradiente
r · F =@F
x
@x
+@F
y
@y
+@F
z
@z
divergente
r⇥ F = det
2
4x y z
@
@x
@
@y
@
@z
F
x
F
y
F
z
3
5 rotacional
Operador Nabla r❖ Equação de Laplace de um escalar
r2f =
@
2f
@x
2+
@
2f
@y
2+
@
2f
@z
2
❖ Equação de Laplace de um vetor
r2F = x
@
2F
x
@x
2+ y
@
2F
y
@y
2+ z
@
2F
z
@z
2
em outros sistemas de !coordenadas pode ficar
bem estranho
r⇥ (r⇥ F) = r(r · F)�r2F
❖ rotacional de um rotacional (importante para ondas)
Equações de Maxwell❖ Juntam Eletricidade e
Magnetismo!❖ Permitiram o desenvolvimento
de motores, geradores elétricos e da transmissão de energia!
❖ Generaliza Leis de Faraday e Gauss!
❖ Inclui as correntes de deslocamento!
❖ tem validade limitada a dimensões acima de 0,1 mm
Equações de Maxwell❖ Juntam Eletricidade e
Magnetismo!❖ Permitiram o desenvolvimento
de motores e geradores elétricos!
❖ Generaliza a Lei de Faraday e de Gauss!
❖ Inclue as correntes de deslocamento!
❖ tem validade limitada, acima de 0,1 mm
Equações de Maxwell❖ Juntam Eletricidade e
Magnetismo!❖ Permitiram o desenvolvimento
de motores e geradores elétricos!
❖ Generaliza a Lei de Faraday e de Gauss!
❖ Inclue as correntes de deslocamento!
❖ tem validade limitada, acima de 0,1 mm
Formulações das Eq. Maxwell❖ Equações diferenciais envolvendo rotacional, divergente,
gradiente!
❖ melhor para meios semi-infinitos!
❖ usa transformada de Fourier ou Laplace para a solução !
❖ Envolvendo integrais de superfície, linha e volume!
❖ melhor quando as dimensões do problema são conhecidas
Formulações das Eq. Maxwell❖ Tensão induzida por um campo magnético variante no
tempo
Formulações das Equações de Maxwell❖ Tensão induzida por um campo magnético variante no
tempo
Tensão
Na eletrostática a tensão resultante é nula
Formulações das Eq. Maxwell❖ Tensão induzida por um campo magnético variante no
tempo!
❖ Aplicando o teorema de Stokes
Formulações das Equações de Maxwell
❖ Aplicando o teorema de Stokes
=
B = µHB = µHB = µHB = µHB = µHB = µHB = µHB = µHB = µHB = µH
Lei de Faraday para Sistemas Móveis❖ Gerador elementar
v =
I
`
E · n d` = � @
@t
ZZ
S
B · dSLei de Faraday para Sistemas Móveis
❖ Gerador Elementar
N S
Corrente de Deslocamento❖ Contribuição de Maxwell para determinar o
comportamento concreto de elementos de circuitos em corrente alternada
Corrente de Deslocamento❖ Contribuição de Maxwell para determinar o
comportamento das correntes alternadas
ANTES DEPOIS
r⇥H = J+@D
@t
❖ Da equação de continuidade da carga
❖ Tem comportamento similar às correntes de condução
Corrente de Deslocamento❖ Contribuição de Maxwell para determinar o
comportamento das correntes alternadas
ANTES DEPOIS
r⇥H = J+@D
@t
❖ Da equação de continuidade da carga
❖ Tem comportamento similar às correntes de condução
Equações de Maxwell ❖ Formulação Diferencial
r·D = ⇢ r·B = 0
r⇥E = �@B
@tr⇥H = J+
@D
@tCorrente de Condução
Corrente de Convecção
Jc = �E
Jcv = ⇢ v⇢Corrente de Deslocamento
D = "E
Equações de Maxwell no Domínio da Frequência❖ Todas as variações temporais passam a ser representadas a
partir de exponenciais complexas�!E (x, y, z, t) ! E (x, y, z,!)
d
dt! j!
Z! 1
j!
E(t) = < [(Er + jEi) exp(j!t)] = Er cos!t�Ei sin!t
Equações de Maxwell Domínio da Frequência
❖ Equações diferenciais viram equações algébricas
r·E =⇢
"r·H = 0
r⇥E = �j!µH r⇥H = Jf + (� + j!")E
❖ Supondo meio sem cargas e fontes e resolvendo para o campo magnético
� 1
j!µr⇥ (r⇥E) = (� + j!✏)E
�r (r ·E) +r2E = j!µ (� + j!✏)E
0 ⌘2
Equações de Maxwell Domínio da Frequência
❖ Supondo meio sem cargas e fontes e resolvendo para o campo elétrico
r⇥r⇥H = �j!µ (� + j!✏)H r ·H = 0
r2H = ⌘2H
Equações de Maxwell Formulação IntegralI
S
D · dS =
ZZZ
V
⇢ dV
ZZ
S
B · dS = 0
I
`
E · n d` = �j!µ
ZZ
S
H · dS
I
`
H · n d` =
ZZ
S
J · dS+ j!"
ZZ
S
E · dS
Prefere-se a formulação diferencial no domínio da frequência!A gente não gosta tanto assim da matemática!!