X. MANUEL BESTEIRO ALONSO

CONCEPTO DE ECUACIÓN

Identidade: igualdade que se verifica para calquera valor numérico das letras que aparecen nela

Ex: 5·(x + y) = 5x + 5y

Ecuación: igualdade que se verifica só para algúns valores numéricos das letras que aparecen nelas

Solución ou raízSolución ou raíz dunha ecuación é o valor ou valores das letras que cumplen a igualdade

Ex: x + 5 = 4x -1

Incógnita: letra ou letras que aparecen na ecuación

x+ 5 = 4x -1

1º membro 2º membro

Incógnita

ECUACIÓNS EQUIVALENTES

Dúas ecuacións son equivalentes cando teñen a mesma solución

Regras que nos permiten pasar dunha ecuación a outra equivalente

Regra da suma:

Se aos dous membros dunha ecuación se lles suma ou resta o mesmo nº ou unha mesma exp alxébrica, obtense outra ecuación equivalente

Transposición de termos: (O que suma nun membro pasa para o outro restando e viceversa)

Ex:

3x + 4 = 19

3x + 4 -4 = 19 – 4

3x = 15

Directamente:

3x + 4 = 19

3x = 19 - 4

3

15

3

3x

ECUACIÓNS EQUIVALENTES

Regras que nos permiten pasar dunha ecuación a outra equivalente

Regra do produto:

Se aos dous membros dunha ecuación se multiplican ou dividen por un mesmo nº distinto de cero, obtense outra ecuación equivalente

“Os números que multiplican ou dividen a todo un membro poden pasar para o outro dividindo e viceversa”

Ex:

3x = 15

5xDirectamente:

3x = 15

x = 15/3

x = 5

Ecuacións

Ecuación Alxébrica

Racional Irracional

Enteira Fraccionaria

Ecuacións Alxébricas

• Se ten unha soa cantidade descoñecida diremos que é unha ecuación cunha incógnita.

• Se a incógnita está afectada polas operacións da suma, resta, produto, potencia ou cociente chámase ecuación alxébrica racional

Ecuación alxébrica racional

• Unha ecuación alxébrica racional é enteira se a incógnita non está en ningún denominador

• Exemplos

0)1)(15( xx

32

13 xx

Ecuación alxébrica racional

• Unha ecuación alxébrica racional é fraccionaria se a incógnita está nalgún denominador.

• Exemplo

3113

2

xx

Ecuación alxébrica irracional

• Se a incógnita aparece nun radicando dise que é unha ecuación alxébrica irracional

• Exemplo

51 x

RESOLUCIÓN DE ECUACIÓNS DE 1º GRAO

Resolver unha ecuación consiste en calcular o valor da incógnita que cumple a ecuación

• Se hai denominadores, eliminamos denominadores calculando o m.c.m dos denominadores dos dous membros

• Se hai parénteses elimínanse aplicando a propiedade distributiva

• Transposición de termos ( incógnitas para un membro e termos independentes para o outro)

• Redución de termos semellantes

• Despexamos a incógnita

TIPOS DE ECUACIÓNS DE 1º GRAO SEGUNDO AS SOLUCIÓNS

1. Ecuacións compatibles: teñen solución Compatibles determinadasCompatibles determinadas:

teñen unha soa solución

Ex: x + 3 = 7 Compartibles indeterminadasCompartibles indeterminadas:

teñen infinitas solucións

Ex: x +2 = x +2

2. Ecuacións incompatibles : non teñen solución

Ex: x + 5 = x - 1

RESOLUCIÓN DE ECUACIÓNS DE 1º GRAO

Exemplo:

7x – 6 + 6 = 5x + 3 + 6

1º transposición de termos

7x-5x=6+3+6-6

2º redución de termos semellantes

2x=9

3º despexamos a incógnita

x=9/2

RESOLUCIÓN DE ECUACIÓNS DE 1º GRAO

Exemplo:

- 3 ( 2x + 1 ) + 5 ·( - x + 6 ) = 7

1º elimamos parénteses aplicando a propiedade distributiva

-6x – 3 – 5x + 30 = 7

2º transposición de termos

-6x – 5x = 7 - 30 + 3

3º redución de termos semellantes

-11x = -20

4º multiplicamos por (-1) para cambiar de signo ás x

11x = 20

5º despexamos a incógnita

RESOLUCIÓN DE ECUACIÓNS DE 1º GRAO

Exemplo:

1º m.c.m de(4,2,6,12 ) = 12

12

25

12

1452

12

536

12

233

xxx

25141053629 xxx

RESOLUCIÓN DE ECUACIÓNS DE 1º GRAO

Exemplo:

2º eliminamos parénteses

3º Transposición de termos

4º Redución de termos semellantes

25141053629 xxx

2510403018189 xxx

3018251040189 xxx

1313 x

RESOLUCIÓN DE ECUACIÓNS DE 1º GRAO

Exemplo:

5º Multiplicamos aos dous membros por (-1) para que o termo da incógnita quede positivo

6º Despexamos a incógnita

13

13x

1313 x

1x

Exemplo:

1º Potencias: desenrolamos o cadrado da suma

2º Propiedade distributiva para sacar parénteses

3º Transposición de termos

4º Reducimos termos semellantes

5º Multiplicamos aos dous membros por (-1)

6º Despexamos a incógnita

RESOLUCIÓN DE ECUACIÓNS DE 1º GRAO

22 23253 xxx

121236153 22 xxxx

443253 22 xxxx

612123153 22 xxxx

627 x

627 x

27

6x

Resolución de ecuacións racionaisNeste caso temos "fracciones" con polinomios no denominador

Ex:

1. Factorizar sempre os denominadores para poder buscar o m.c.m

2. Eliminamos denominadores

3. Eliminamos parénteses

4. Transposición de termos

5. Reducimos termos semellantes

6. Despexamos a incógnita

7. Desprezar as solucións que anulan o m.c.m

Resolución de ecuacións racionais

Exercicios:

1· x – 2· (4x – 5) = 3· 3x x – 8x + 10 = 9x

x – 8x –9x = -10 - 16x = -10

Un exemplo máis e exercicios

m.c.m. (6,3,2) = 6 ;

Resolución de problemas

1. Comprensión do enunciado(Ler atentamente)

2. Elección da incógnita

3. Coller datos

4. Plantexar a ecuación.

5. Resolver a ecuación.

6. Comprobar a solución.

7. Responder á pregunta do problema

Exemplo

1) Identifica:Prezo xelado :

Prezo cómic:

Prezo videoxogo

2) Plantexa:

3) Resolve:

4) Comproba: 11+2,2+1,1=14,3

5) Expresa: O videoxogo custaba 11€, o cómic 2,20€, e o xelado 1,10€

2x

5·2 x = 10x

x

Por un videoxogo, un cómic e un xelado, Andrés pagou 14,30 €. O videoxogo é cinco veces máis caro co cómic, e, este costa o dobre do xelado. ¿Cal era o prezo de cada artículo?

Problemas

• Unha modista desexa cortar unha cinta de 213 cm de lonxitud en tres tramos. Se cada tramo debe ter 2 cm máis co anterior, ¿como debe facer os cortes?

• Un cable que mide 60 cm córtase en 4 tramos, e cada tramo sucesivo ten o dobre de lonxitude co anterior. Calcular a lonxitude do tramo máis longo.

Problema• Asfaltar unha rúa costou 33.000.000. € Os

veciños pagaron o dobre do que aportou o concello, mentras que a deputación contribuíu coas dúas terceiras partes do aporte Municipal.

¿Canto diñeiro puxeron os veciños?

Problema• Quérense separar 77 gramos de ouro en dúas

partes de tal maneira que a maior teña 19,5 gramos máis ca menor ¿Cantos gramos debe conter cada parte?

• Calcular un número sabendo que se o seu triplo se lle resta un obtense o mesmo que se a súa terceira parte se lle suma un.

• ¿Cal é o número cuxo dobre supera en 15 a súa metade?

Problema

Solución

Xoan ten 2 canicas máis ca Pedro. Se o dobre das canicas de Xoaan se xuntan coas de Pedro, obténense 103 canicas. ¿Cantas ten cada un?

Pedro: x canicas

Xoan : x + 2 canicas

2 2 103x x

3 4 103x 99

333

x Pedro: x = 33 canicas

Xoan : x + 2= 35 canicas