1

EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS

1. Dadas as ecuacións seguintes, indica as que son lineais: a) 2x + 3x2 + 7y – 5z = 4, b) 3x – 5y + 6z – 6u = 1

c) 3x1 – 4x2 + 5x3 = 10, d) 2x + y – 3z = 6

2. Dada a ecuación lineal 2x – 3y + 4z = 2, comproba que as ternas (3, 2, 2

1) e

(–2, –2, 0) son algunhas das súas solucións. 3. Das seguintes cuaternas (0, 1, 0, 0), (2, –1, –4, 1) e (1, 2, 0, –2), indica as que son solucións da ecuación lineal –2x1 + 3x2 – x3 + x4 = 3. 4. Indica se o seguinte conxunto de valores (x, y, z) = (1, 0, 2) é solución dalgún dos sistemas seguintes:

a)

3zyx2

1zy3x, b)

2

1

1

x +

1

2

3

y +

4

0

1

z =

10

1

1

5. Expresa en forma matricial e vectorial o sistema

7yx3

0zy3x

3zyx2

.

6. Escribe en forma de conxunto de ecuacións e en forma matricial o sistema:

6

4

2

x +

1

2

1

y =

0

1

3

7. Transforma os sistemas seguintes en sistemas equivalentes con dúas ecuacións:

a)

0y4x4

3yx2

3y5x2

, b)

17y3x5

4y4x2

13yx3

, c)

13y3x2

4y2x

5yx4

, d)

2zy4x3

5zy3x2

3z2yx

8. Transforma cada un dos seguintes sistemas nun sistema equivalente graduado, clasifícaos e, no seu caso, resólveos.

a)

10z2y2x3

6zyx2

4z3yx

, b)

3zyx

6z3yx2

9z6y2x4

, c)

2z4y2x3

2z5y3x2

5z4yx

, d)

10z2y6x4

5zy3x2

9. Estuda e resolve os seguintes sistemas de ecuacións lineais homoxéneos:

a)

0zyx

0yx2

0z3y5x2

, b)

0z4yx2

0z5y2x3

0zyx

, c)

0z5yx3

0z3yx, d)

0z5y4x3

0z3y2x3

0z2y2x

2

10. Estuda e resolve os sistemas:

a)

37y4x3

17y3x2, b)

5y15x24

2y5x4, c)

1zyx

0yx

1zyx

, d)

1zy

1yx

0zy2x

11. Discute e, se é posible, resolve os sistemas seguintes:

a)

3zy

5zyx3

0z2yx2

, b)

8z2y4x

2z4yx

6z2y3x

4z3y2x

, c)

8z6y4x

3z4yx2

5z2y3x

, d)

0tzy2x2

0z2y3x

0zyx3

0ty3x

12. Discute, segundo os valores de a, o seguinte sistema:

1azyx

1zayx

1zyax

.

13. Un hipermercado inicia unha campaña de ofertas. Na primeira delas desconta un 4% nun produto A, un 6% no produto B e un 5% no produto C. Ás dúas semanas pon en marcha a segunda oferta descontando un 8% sobre o prezo inicial de A, un 10% sobre o prezo inicial de B e un 6% sobre o prezo inicial de C. Se un cliente compra durante a primeira oferta un produto A, dous B e tres C, aforra 16 euros respecto do prezo inicial; se compra tres produtos A, un B e cinco C na segunda oferta, o aforro é de 29 euros. Se compra un produto A, un B e un C, sen ningún tipo de desconto, debe aboar 135 euros. Calcula o prezo de cada produto antes das ofertas. 14. Atopa tres números A, B e C, tales que a súa suma sexa 210, a metade da suma do primeiro e do último máis a cuarta parte do outro sexa 95 e a media dos dous últimos sexa 80.

15. Resolve o sistema matricial

B2Y2X3

A3YX2, sendo A =

21

01 e B =

13

21.

3

EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS

(SOLUCIONARIO)

1. Dadas as ecuacións seguintes, indica as que son lineais: a) 2x + 3x2 + 7y – 5z = 4, b) 3x – 5y + 6z – 6u = 1

c) 3x1 – 4x2 + 5x3 = 10, d) 2x + y – 3z = 6

As ecuacións b) e c) son lineais e as ecuacións a) e d) son non lineais.

2. Dada a ecuación lineal 2x – 3y + 4z = 2, comproba que as ternas (3, 2, 2

1) e

(–2, –2, 0) son algunhas das súas solucións. Substitúense as ternas na ecuación para comprobar que cumpren a igualdade.

2·3 – 3·2 + 4·2

1 = 2 ⟹ (3, 2,

2

1) é solución

2·(–2) – 3·(–2) + 4·0 = 2 ⟹ (–2, –2, 0) é solución

3. Das seguintes cuaternas (0, 1, 0, 0), (2, –1, –4, 1) e (1, 2, 0, –2), indica as que son solucións da ecuación lineal –2x1 + 3x2 – x3 + x4 = 3. Substitúense as cuaternas na ecuación para comprobar se cumpren ou non a igualdade.

–2·0 + 3·1 – 0 + 0 = 3 ⟹ (0, 1, 0, 0) é solución –2·2 + 3·(–1) – (–4) + 1 = 0 ⟹ (2, 1, –4, 1) non é solución

–2·(1) + 3·2 – 0 + (– 2) = 2 ⟹ (1, 2, 0, –2) non é solución 4. Indica se o seguinte conxunto de valores (x, y, z) = (1, 0, 2) é solución dalgún dos sistemas seguintes:

a)

3zyx2

1zy3x, b)

2

1

1

x +

1

2

3

y +

4

0

1

z =

10

1

1

a)

32012

12031

A terna (1, 0, 2) non cumpre a segunda ecuación do sistema, polo tanto non é solución.

b)

2

1

1

·1 +

1

2

3

·0 +

4

0

1

·2 =

10

1

1

Os termos independentes son combinación lineal dos coeficientes mediante a terna de valores (1, 0, 2), polo tanto é solución.

4

5. Expresa en forma matricial e vectorial o sistema

7yx3

0zy3x

3zyx2

.

Forma matricial:

013

131

112

z

y

x

=

7

0

3

Forma vectorial:

3

1

2

x +

1

3

1

y +

0

1

1

z =

7

0

3

6. Escribe en forma de conxunto de ecuacións e en forma matricial o sistema:

6

4

2

x +

1

2

1

y =

0

1

3

Conxunto de ecuacións:

0yx6

1y2x4

3yx2

Forma matricial:

16

24

12

y

x =

0

1

3

7. Transforma os sistemas seguintes en sistemas equivalentes con dúas ecuacións:

a)

0y4x4

3yx2

3y5x2

, b)

17y3x5

4y4x2

13yx3

, c)

13y3x2

4y2x

5yx4

, d)

2zy4x3

5zy3x2

3z2yx

a) A terceira ecuación obtense ao sumar a oposta da primeira coa segunda, polo que o

sistema dado é equivalente ao seguinte:

3yx2

3y5x2.

b) A terceira ecuación é suma da primeira e a segunda, polo que o sistema dado é

equivalente ao seguinte:

4y4x2

13yx3.

c) A terceira ecuación é a primeira máis a segunda por menos dous, polo que o

sistema dado é equivalente ao seguinte:

4y2x

5yx4.

d) A terceira ecuación é a primeira menos a segunda, polo que o sistema dado é

equivalente ao seguinte:

5zy3x2

3z2yx.

5

8. Transforma cada un dos seguintes sistemas nun sistema equivalente graduado, clasifícaos e, no seu caso, resólveos.

a)

10z2y2x3

6zyx2

4z3yx

, b)

3zyx

6z3yx2

9z6y2x4

, c)

2z4y2x3

2z5y3x2

5z4yx

, d)

10z2y6x4

5zy3x2

a) Utilizando a notación matricial os pasos serían:

10223

6112

4311

⟹

2710

2710

4311

⟹

0000

2710

4311

Esta é a matriz asociada ao sistema graduado:

0z0

2z7y

4z3yx

.

Empézase resolvendo a terceira ecuación, 0z = 0, calquera valor de z cumpre a ecuación, polo que ten infinitas solucións, que serán as infinitas solucións do sistema; trátase dun sistema compatible indeterminado.

O sistema que resulta é:

2z7y

4z3yx.

Tómase como parámetro z = λ e substitúese na segunda ecuación: y = –2 + 7λ. Substitúense os valores anteriores na primeira ecuación:

x + 2 – 7λ + 3λ = 4 ⟹ x = 4 – 2 + 7λ – 3λ ⟹ x = 2 + 4 λ A solución será: (x, y, z) = (2 + 4 λ, –2 + 7λ, λ). Trátase dun sistema compatible indeterminado uniparamétrico. b) Utilizando a notación matricial os pasos serían:

3111

6312

9624

⟹

9624

6312

3111

⟹

3220

0110

3111

⟹

3000

0110

3111

Esta é a matriz asociada ao sistema graduado:

3z0

0zy

3zyx

.

A terceira ecuación, 0z = –3, non ten solución; calquera número multiplicado por cero é cero. Trátase dun sistema incompatible. c) Utilizando a notación matricial os pasos serían:

2423

2532

5411

⟹

13850

8350

5411

⟹

5500

8350

5411

2ªF – 2·1ªF 3ªF – 3·1ªF

3ªF – 2ªF

2ªF – 2·1ªF 3ªF – 4·1ªF

3ªF – 2ªF 1ªF ↔ 3ªF

2ªF + 2·1ªF 3ªF + 3·1ªF

3ªF – 2ªF

6

Esta é a matriz asociada ao sistema graduado:

5z5

8z3y5

5z4yx

.

A terceira ecuación ten unha solución. O sistema é compatible determinado.

Da terceira ecuación: z = 5

5

= –1.

Substitúese na segunda ecuación: 5y – 3·(–1) = 8 ⟹ 5y + 3 = 8 ⟹ 5y = 8 – 3 ⟹

⟹ 5y = 5 ⟹ y = 5

5 = 1.

Substitúese na primeira ecuación: –x + 1 – 4·(–1) = 5 ⟹ –x + 1 + 4 = 5 ⟹ –x + 5 = 5

⟹ x = 5 – 5 ⟹ x = 0. A solución do sistema será: (x, y, z) = (0, 1, –1). d) Utilizando a notación matricial os pasos serían:

10264

5132 ⟹

0000

5132

Esta é a matriz ampliada asociada ao sistema:

0z0

5zy3x2.

A terceira ecuación ten infinitas solucións. O sistema é compatible indeterminado. O número de parámetros vén dado pola diferenza entre o número de incógnitas menos o de ecuacións; neste caso, 3 – 1 = 2, é un sistema biparamétrico. Faise x = λ, y = μ e substitúese na primeira ecuación: 2λ – 3μ + z = 5 ⟹ z = 5 – 2λ +3μ A solución do sistema será: (x, y, z) = (λ, μ, 5 –2λ + 3μ). 9. Estuda e resolve os seguintes sistemas de ecuacións lineais homoxéneos:

a)

0zyx

0yx2

0z3y5x2

, b)

0z4yx2

0z5y2x3

0zyx

, c)

0z5yx3

0z3yx, d)

0z5y4x3

0z3y2x3

0z2y2x

Os sistemas lineais homoxéneos sempre teñen solución, é dicir, son compatibles. Estúdanse e resólvense no seu caso polo método de Gauss. a) Matriz ampliada:

0111

0012

0352

⟹

0352

0012

0111

⟹

0170

0230

0111

⟹

0800

0230

0111

Esta é a matriz ampliada asociada ao sistema:

0z8

0z2y3

0zyx

.

A terceira ecuación ten solución única. O sistema é compatible determinado. Solución trivial: (x, y, z) = (0, 0, 0).

2ªF – 2·1ªF

2ªF – 2·1ªF 3ªF – 2·1ªF

3ªF + 7·1ªF 1ªF ↔ 3ªF

7

b) Matriz ampliada:

0412

0523

0111

⟹

0210

0210

0111

⟹

0000

0210

0111

Esta é a matriz ampliada asociada ao sistema:

0z0

0z2y

0zyx

.

A terceira ecuación ten infinitas solucións. O sistema é compatible indeterminado. Faise z = λ.

Substitúese na segunda ecuación: –y – 2λ = 0 ⟹ y = –2λ. Substitúese na primeira ecuación: x – 2λ – λ = 0 ⟹ x = 3λ. A solución do sistema será: (x, y, z) = (3λ, –2λ, λ).

c) Matriz ampliada:

0513

0311 ⟹

01440

0311

Esta é a matriz ampliada asociada ao sistema:

0z14y4

0z3yx.

A segunda ecuación ten dúas incógnitas, polo tanto infinitas solucións. O sistema é compatible indeterminado. Faise z = λ.

Substitúese na segunda ecuación: 4y – 14λ = 0 ⟹ y = 4

14 =

2

7.

Substitúese na primeira ecuación: x – 2

7 + 3λ = 0 ⟹ x =

2

.

A solución do sistema será: (x, y, z) =

,

2

7,

2.

d) Matriz ampliada:

0543

0323

0221

⟹

0120

0340

0221

⟹

0340

0120

0221

⟹

0100

0120

0221

Esta é a matriz ampliada asociada ao sistema:

0z

0zy2

0z2y2x

.

A terceira ecuación ten solución única. O sistema é compatible determinado. Solución trivial: (x, y, z) = (0, 0, 0).

2ªF – 3·1ªF 3ªF – 2·1ªF

3ªF – 2ªF

2ªF – 3·1ªF

2ªF – 3·1ªF 3ªF – 3·1ªF

3ªF – 2·2ªF 2ªF ↔ 3ªF

8

10. Estuda e resolve os sistemas:

a)

37y4x3

17y3x2, b)

5y15x24

2y5x4, c)

1zyx

0yx

1zyx

, d)

1zy

1yx

0zy2x

Estes sistemas teñen o mesmo número de ecuacións que de incógnitas, calcúlase o determinante da matriz dos coeficientes.

a) A =43

32 = 17 ≠ 0 ⟹ Trátase dun sistema compatible determinado

Resólvese pola matriz inversa:

X = A–1·B =

17

2

17

317

3

17

4

37

17 =

17

1

23

34

37

17 =

17

1

125

43 =

17

12517

43

Solución: (x, y) =

17

125,

17

43.

b) A =1524

54

= –180 ≠ 0 ⟹ Trátase dun sistema compatible determinado

Resólvese por Cramer: x =

1524

54

155

52

=

180

55

=

36

11, y =

1524

54

524

24

= 180

28

=

45

7.

Solución: (x, y) =

45

7,

36

11.

c) A =

111

011

111

= 1 + 1 – 1 + 1 = 2 ≠ 0 ⟹ Trátase dun sistema compatible

determinado Resólvese por Cramer:

x =

111

011

111

111

010

111

= 2

2 = 1, y =

111

011

111

111

001

111

= 2

2 = 1, z =

111

011

111

111

011

111

= 2

2 =1

Solución: (x, y, z) = (1, 1, 1).

d) A =

110

011

121

= –1 + 1 + 2 = 2 ≠ 0 ⟹ Trátase dun sistema compatible

determinado

9

Resólvese pola matriz inversa: X = A–1·B = 2

1

111

111

131

1

1

0

= 2

1

0

2

4

=

0

2

2

Solución: (x, y, z) = (–2, 1, 0). 11. Discute e, se é posible, resolve os sistemas seguintes:

a)

3zy

5zyx3

0z2yx2

, b)

8z2y4x

2z4yx

6z2y3x

4z3y2x

, c)

8z6y4x

3z4yx2

5z2y3x

, d)

0tzy2x2

0z2y3x

0zyx3

0ty3x

a) Fórmase a matriz dos coeficientes e a ampliada: AA =

3

5

0

110

113

212

.

Vese se o rango da matriz A é tres (máximo que pode alcanzar):

110

113

212

= 13 ≠ 0 ⟹ rango(A) = 3 = rango( A ) ⟹ Sistema compatible determinado

Resólvese por Cramer:

x =

110

113

212

113

115

210

= 13

12, y =

110

113

212

130

153

202

= 13

34, z =

110

113

212

310

513

012

= 13

5

Solución: (x, y, z) =

13

5,

13

34,

13

12.

b) Fórmase a matriz dos coeficientes e a ampliada: AA =

8

2

6

4

241

411

231

321

.

A matriz A é de orde catro, véxase se o seu rango é catro, en cuxo caso o sistema sería incompatible, posto que o máximo rango de A é tres:

8241

2411

6231

4321

= 0 ⟹ rango( A ) ≤ 3

Menor de orde dúas das dúas matrices: 31

21

= –1 ≠ 0 ⟹ O rango das matrices é

maior ou igual a dous.

10

Menor de orde tres das dúas matrices:

241

231

321

= 1 ≠ 0 ⟹ = rango das matrices é

tres, igual ao número de incógnitas; o sistema é compatible determinado. Fórmase o sistema coas ecuacións que forman o menor de orde tres anterior:

8z2y4x

6z2y3x

4z3y2x

Resólvese por Cramer:

x =

241

231

321

248

236

324

= 1

0 = 0, y =

241

231

321

281

261

341

=

1

2 = 2, z =

241

231

321

841

631

421

= 1

0 = 0

Solución: (x, y, z) = (0, 2, 0).

c) Fórmase a matriz dos coeficientes e a ampliada: AA =

8

3

5

641

412

231

.

Vese se o rango da matriz A é tres (máximo que pode alcanzar):

641

412

231

= 0 ⟹ rango(A) ≥ 2

Menor de orde dúas das dúas matrices:12

31 = 7 ≠ 0⟹rango(A) = 2 e rango( A ) ≥ 2.

Estudo da matriz A :

Menores de orde tres da matriz A :

841

312

531

= 0,

861

342

521

= 0 e

864

341

523

= 0 ⟹ rango( A ) = 2

Cúmprese rango(A) = rango( A ) = 2 < 3 ⟹ O sistema é compatible indeterminado uniparamétrico.

Elíxense como ecuacións principais as dúas primeiras que forman as filas do menor de orde dúas distinto de cero.

3z4yx2

5z2y3x

As incógnitas principais serán x e y cuxos coeficientes forman as columnas do menor de orde dúas distinto de cero.

z43yx2

z25y3x

Aplícase a regra de Cramer ao sistema anterior:

11

x =

12

31

1z43

3z25

=7

z104 =

7

4 +

7

10z, y =

12

31

z432

z251

=7

z813 =

7

13 +

7

8z

Se se fai z = λ, a solución exprésase así: (x, y, z) =

,

7

8

7

13,

7

10

7

4.

d) Trátase dun sistema homoxéneo, polo tanto é compatible.

Estudo da matriz dos coeficientes: A =

1122

0231

0113

1031

.

A matriz é de orde catro, véxase se o seu rango é catro:

1122

0231

0113

1031

= 0 ⟹ rango(A) < 4.

O rango da matriz dos coeficientes é menor que o número de incógnitas; o sistema é compatible indeterminado.

Menor de orde dúas: 13

31 = –8 ≠ 0 ⟹ rango(A) ≥ 2.

Menor de orde tres:

231

113

031

= –10 ⟹ rango(A) = 3 ⟹ O sistema é compatible

indeterminado uniparamétrico. Fórmase o sistema coas ecuacións que forman o menor de orde tres anterior:

0z2y3x

0zyx3

0ty3x

⟹

0z2y3x

0zyx3

ty3x

Resólvese por Cramer:

x =

231

113

031

230

110

03t

= 10

t5

=

2

t, y =

231

113

031

201

103

0t1

= 10

t5

=

2

t, z =

231

113

031

031

013

t31

= 10

t10

= –t

Se se fai t = 2λ, a solución exprésase así: (x, y, z, t) = (λ, –λ, –2λ, 2λ).

12

12. Discute, segundo os valores de a, o seguinte sistema:

1azyx

1zayx

1zyax

.

Fórmase a matriz dos coeficientes e a ampliada: AA =

1

1

1

a11

1a1

11a

.

Calcúlanse os valores do parámetro a que anulan o determinante da matriz dos coeficientes do sistema.

A =

a11

1a1

11a

= a3 – 3a + 2

Aplicando a regra de Ruffini, obtense que a = 1 (raíz dobre) e a = –2.

Primeiro caso: a ≠ 1 e a ≠ –2 ⟹ rango(A) = rango ( A ) = 3 ⟹ Sistema compatible determinado Aplícase a regra de Cramer e obtense a solución en función do parámetro a.

x =

a11

1a1

11a

a11

1a1

111

= 2a3a

1a2a3

2

=

2a1a

1a2

2

=

2a

1

y =

a11

1a1

11a

a11

111

11a

= 2a3a

1a2a3

2

=

2a1a

1a2

2

=

2a

1

z =

a11

1a1

11a

111

1a1

11a

= 2a3a

1a2a3

2

=

2a1a

1a2

2

=

2a

1

A solución exprésase así: (x, y, z) =

2a

1,

2a

1,

2a

1.

Segundo caso: Para a = 1, fórmase o sistema:

1zyx

1zyx

1zyx

.

As tres ecuacións son iguais, polo tanto o sistema queda reducido á ecuación:

x + y + z = 1 ⟹ rango(A) = rango ( A ) = 1 ⟹ O sistema é compatible indeterminado biparamétrico

13

Faise y = λ e z = μ para expresar a ecuación: (x, y, z) = (1 – λ – μ, λ, μ).

Terceiro caso: Para a = –2, fórmase o sistema:

1z2yx

1zy2x

1zyx2

.

Fórmase a matriz dos coeficientes e a ampliada: AA =

1

1

1

211

121

112

.

Calcúlase o rango da matriz A.

Menor de orde dúas da matriz A: 21

12

= 3 ≠ 0 ⟹ rango(A) = 2.

Calcúlase o rango da matriz A . O seu rango é maior ou igual a dous, o menor de orde dous anterior é tamén da matriz

A e órlase coa última columna.

Menor de orde tres de A :

111

121

112

= 9 ≠ 0 ⟹ rango( A ) = 3 ≠ 2 = rango(A) ⟹ O

sistema é incompatible

13. Un hipermercado inicia unha campaña de ofertas. Na primeira delas desconta un 4% nun produto A, un 6% no produto B e un 5% no produto C. Ás dúas semanas pon en marcha a segunda oferta descontando un 8% sobre o prezo inicial de A, un 10% sobre o prezo inicial de B e un 6% sobre o prezo inicial de C. Se un cliente compra durante a primeira oferta un produto A, dous B e tres C, aforra 16 euros respecto do prezo inicial; se compra tres produtos A, un B e cinco C na segunda oferta, o aforro é de 29 euros. Se compra un produto A, un B e un C, sen ningún tipo de desconto, debe aboar 135 euros. Calcula o prezo de cada produto antes das ofertas. Sexan x, y, z, respectivamente, os prezos dos produtos A, B e C antes da oferta. As condicións do problema tradúcense no seguinte sistema:

29z4x2135z5940y900x3920

16z2y135z3950y2940x960

135zyx

⟹

106z700y900x760

119z850y880x960

135zyx

⟹

⟹

10600z70y90x76

11900z85y88x96

135zyx

Resólvese por Cramer:

x =

709076

858896

111

709010600

858811900

11135

= 202

5050 = 25

14

y =

709076

858896

111

701060076

851190096

11351

= 202

10100 = 50

z =

709076

858896

111

106009076

119008896

13511

= 202

12120 = 60

Os prezos iniciais serán: A = 25 euros, B = 50 euros e C = 60 euros. 14. Atopa tres números A, B e C, tales que a súa suma sexa 210, a metade da suma do primeiro e do último máis a cuarta parte do outro sexa 95 e a media dos dous últimos sexa 80. Sexan A, B e C os tres números. As condicións do problema tradúcense no seguinte sistema:

802

CB

954

Bx

2

CA

210CBA

⟹

160CB

380C2BA2

210CBA

Resólvese por Cramer:

x=

110

212

111

11160

21380

11210

= 1

50

= 50, y=

110

212

111

11600

23802

12101

= 1

40

= 40, z=

110

212

111

16010

38012

21011

= 1

120

= 120

Os tres números son: A = 50, B = 40 e C = 120.

15. Resolve o sistema matricial

B2Y2X3

A3YX2, sendo A =

21

01 e B =

13

21.

Resólvese por redución:

B2Y2X3

A3YX2 ⟹

A6B2X

A3YX2

Despéxase X na segunda ecuación e substitúese na primeira:

2ªE – 2·1ªE

15

X = 6A – 2B; 2(6A – 2B) + Y = 3A ⟹ 12A – 4B + Y = 3A ⟹ Y = –9A + 4B Substitúense A e B polos seus valores:

X = 6

21

01 – 2

13

21 =

1012

48

Y = –9

21

01 + 4

13

21 =

1421

813