Una ecuación (o igualdad) expresa que dos cantidades o expresiones son

iguales. Se utilizan ecuaciones en todos los campos que emplean números rea-

les; como ilustración, la ecuación

o distancia 5 (rapidez)(tiempo),

se usa para resolver problemas que comprenden un cuerpo que se mueve con

rapidez constante. Si la rapidez r es 45 mi/h (millas por hora), entonces la dis-

tancia d (en millas) recorrida después del tiempo t (en horas) está dada por

Por ejemplo, si t 5 2 h, entonces . Si deseamos hallar

cuánto tarda el cuerpo en recorrer 75 millas, hacemos d 5 75 y resolvemos la

ecuación

o bien, lo que es equivalente,

Si dividimos entre 45 ambos lados de la última ecuación, obtenemos

Por lo tanto, si r 5 45 mi/h, entonces el tiempo necesario para recorrer 75 mi-

llas es horas o sea 1 hora y 40 minutos.

Nótese que la ecuación d 5 rt contiene tres variables: d, r y t. En gran

parte de nuestro trabajo en este capítulo consideraremos ecuaciones que con-

tienen sólo una variable. La siguiente tabla aplica a una variable x, pero se

puede considerar cualquier otra variable. Las abreviaturas LI y LD de la se-

gunda ilustración representan el lado izquierdo y el lado derecho de la ecua-

ción respectivamente.

12

3

t 575

45 55

3 .

45t 5 75.75 5 45t

d 5 45 ? 2 5 90 mi

d 5 45t.

d 5 rt,

60 C A P Í T U L O 2 E C U A C I O N E S Y D E S I G U A L D A D E S

2.1

Ecuaciones

Terminología Definición Ejemplos

Ecuación en x Enunciado de igualdad que

contiene una variable, x

Solución o raíz, de Número b que da un 5 es una solución de ,

una ecuación en x enunciado verdadero porque la sustitución nos da

al sustituirlo por x LI: y

LD: ,

y es un enunciado verdadero.

Un número b satisface b es una solución 5 satisface a .

una ecuación en x de la ecuación

Ecuaciones Ecuaciones que tienen

equivalentes exactamente las

mismas soluciones

Resolver una Encontrar todas las Para resolver ,

ecuación en x soluciones de la ecuación iguale a cero cada factor:

, ,

obteniendo las soluciones 23 y 5.

x 2 5 5 0x 3 5 0

sx 3dsx 2 5d 5 0

x 5 3

2x 5 6

2x 5 7 2 1

2x 1 5 7

x22 5 5 4x

20 5 20

4 ? 5 5 20

522 5 5 25 2 5 5 20

x22 5 5 4x

x22 5 5 4x

Una ecuación algebraica en x contiene sólo expresiones algebraicas tales

como polinomios, expresiones racionales, radicales y otros. Una ecuación de

este tipo se denomina ecuación condicional si hay números en los dominios

de las expresiones que no sean soluciones. Por ejemplo, la ecuación x2 5 9 es

condicional porque el número x 5 4 (y otros) no es una solución. Si cada nú-

mero en el dominio de las expresiones en una ecuación algebraica es una so-

lución, la ecuación se denomina identidad.

A veces es difícil determinar si una ecuación es condicional o una identidad.

Una identidad con frecuencia estará indicada cuando, después de aplicar las pro-

piedades de números reales, se obtiene una ecuación de la forma p5 p, donde p

es alguna expresión. Para ilustrar, si multiplicamos ambos lados de la ecuación

por x2 2 4, obtenemos x 5 x. Esto nos pone en alerta sobre el hecho de que

podemos tener una identidad entre manos, pero no demuestra nada. Un mé-

todo estándar para verificar que una ecuación es una identidad es demostrar,

usando propiedades de números reales, que la expresión que aparece en un

lado de la ecuación dada se puede transformar en la expresión que aparece en

el otro lado de la misma ecuación. Esto es fácil de hacer en la ilustración pre-

cedente, puesto que sabemos que x2 2 4 5 (x 2)(x 2 2). Desde luego que

para demostrar que una ecuación no es una identidad, sólo necesitamos hallar

un número real en el dominio de la variable que no satisface la ecuación ori-

ginal.

La ecuación más básica en álgebra es la ecuación lineal, definida en la

tabla siguiente, donde a y b denotan números reales.

x

x 22 4

5x

sx 2dsx 2 2d

2 . 1 E c u a c i o n e s 61

Terminología Definición Ejemplo

Ecuación lineal en x Una ecuación que se puede

escribir de la forma

, donde x 5 25

4a ± 0ax b 5 0

4x 5 25

4x 5 5 0

La ilustración de la tabla precedente indica un método típico de resolver

una ecuación lineal. Siguiendo el mismo procedimiento, vemos que

si , entonces

siempre que . Entonces, una ecuación lineal tiene exactamente una so-

lución.

A veces resolvemos una ecuación al hacer una lista de ecuaciones equiva-

lentes, cada una en algún sentido más sencilla que la precedente, terminando

la lista con una ecuación de la cual las soluciones se pueden obtener fácil-

mente. A veces simplificamos una ecuación al sumar la misma expresión a

ambos lados o sustrayendo la misma expresión de ambos lados. También po-

demos multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por una expresión

que representa un número real diferente de cero. En los ejemplos siguientes,

las frases en color indican la forma en que se obtuvo una ecuación equivalente

a partir de la ecuación precedente. Para acortar estas frases, al igual que en el

ejemplo 1, hemos usado “sumar 7” en lugar de la más precisa pero larga sumar

7 a ambos lados. Del mismo modo, “restar 2x” se usa en lugar de restar 2x de

ambos lados y “dividir entre 4” significa dividir ambos lados entre 4.

a ± 0

x 5 2b

a,ax b 5 0

E J E M P L O 1 Resolver una ecuación lineal

Resolver la ecuación 6x 2 7 5 2x 5.

SO LUC I ÓN Las ecuaciones de la lista siguiente son equivalentes:

enunciado

sumar 7

simplificar

restar

simplificar

dividir entre 4

simplificar

P r u e b a LI:

LD:

Como 11 5 11 es un enunciado verdadero, x 5 3 es prueba de solución. L

Como se indica en el ejemplo anterior, con frecuencia comprobamos una

solución al sustituirla en la ecuación dada. Estas pruebas pueden detectar erro-

res introducidos por manipulaciones incorrectas o errores en aritmética.

Decimos que la ecuación dada en el ejemplo 1 tiene la solución x5 3. Del

mismo modo. Diríamos que la ecuación x2 5 4 tiene soluciones x 5 2 y

x 5 22.

2s3d 5 5 6 5 5 11

6s3d 2 7 5 18 2 7 5 11x 5 3

x 5 3

4x

45

12

4

4x 5 12

2x 6x 2 2x 5 s2x 12d 2 2x

6x 5 2x 12

s6x 2 7d 7 5 s2x 5d 7

6x 2 7 5 2x 5

62 C A P Í T U L O 2 E C U A C I O N E S Y D E S I G U A L D A D E S

U

TI-83/4 Plus TI-86

Para probar la solución del ejemplo 1, guardaremos 3 en X y hallaremos el valor del lado iz-

quierdo de la ecuación y el valor del lado derecho de la ecuación

3 3

6 7 6 7

2 5 2 5

A medida que se haga más difícil el nivel de ecuaciones, la prueba de una calculadora de grá-

ficas se hace de gran valor.

ENTER x-VARENTER X,T,!,n

ENTER2x-VARENTER2X,T,!,n

ENTERx-VARSTOENTERX,T,!,nSTO

Prueba de ecuaciones

xx

El siguiente ejemplo ilustra que una ecuación aparentemente complicada

puede simplificarse a una ecuación lineal.

E J E M P L O 2 Resolución de una ecuación

Resuelva la ecuación .

SO LUC I ÓN Las ecuaciones de la lista siguiente son equivalentes:

enunciado

multiplicar factores

restar

restar

sumar 8

dividir entre 12

Por tanto, la solución de la ecuación dada es . L

No probamos la solución precedente porque cada paso da una ecuación

equivalente; no obstante, cuando el lector trabaje ejercicios o tome un examen,

siempre es buena idea comprobar respuestas para evitar errores.

Si una ecuación contiene expresiones racionales, a veces eliminamos de-

nominadores al multiplicar ambos lados por el mínimo común denominador

de estas expresiones. Si multiplicamos ambos lados por una expresión que sea

igual a cero para algún valor de x, entonces la ecuación resultante puede no ser

equivalente a la ecuación original, como se ilustra en el siguiente ejemplo.

E J E M P L O 3 Una ecuación sin soluciones

Resuelva la ecuación .

SO LUC I ÓN

enunciado

multiplicar por

simplificar

simplificar

restar x

dividir entre 2

P r u e b a LI:

Como la división entre 0 no es permisible, x 5 2 no es una solución. Por lo

tanto, la ecuación dada no tiene soluciones. L

3s2d

s2d 2 25

6

0x 5 2

x 5 2

2x 5 4

3x 5 x 4

3x 5 sx 2 2d 6

x 2 2 3x

x 2 2!sx 2 2d 5 s1dsx 2 2d 6

x 2 2!sx 2 2d

3x

x 2 25 1

6

x 2 2

3x

x 2 25 1

6

x 2 2

5

12

x 55

12

12x 5 5

14x 12x 2 8 5 23

24x 2 26x 2 8 5 14x 2 3

24x2 26x 2 8 5 24x2

14x 2 3

s8x 2 2ds3x 4d 5 s4x 3ds6x 2 1d

s8x 2 2ds3x 4d 5 s4x 3ds6x 2 1d

2 . 1 E c u a c i o n e s 63

U

En el proceso de resolver una ecuación se puede obtener, como posible so-

lución, un número que no es una solución de la ecuación dada. Ese número se

denomina solución extraña o raíz extraña de la ecuación dada. En el ejem-

plo 3, x 5 2 es una solución (o raíz) extraña de la ecuación dada.

Las siguientes directrices también se pueden usar para resolver la ecua-

ción del ejemplo 3. En ese caso, observando la directriz 2 haría innecesario

comprobar la solución extraña x 5 2.

64 C A P Í T U L O 2 E C U A C I O N E S Y D E S I G U A L D A D E S

Directrices para resolver una ecuación que contenga

expresiones racionales

1 Determinar el mínimo común denominador (mcd) de las expresiones ra-

cionales.

2 Encontrar los valores de variable que hagan cero al mcd. Estas no son

soluciones, porque dan al menos un denominador cero cuando se susti-

tuye en la ecuación dada.

3 Multiplicar cada término de la ecuación por el mcd y simplificar, con lo

cual se eliminan todos los denominadores.

4 Resolver la ecuación obtenida en la directriz 3.

5 Las soluciones de la ecuación dada son las soluciones halladas en la di-

rectriz 4, con la exclusión de los valores hallados en la directriz 2.

Seguiremos estas directrices en el siguiente ejemplo.

E J E M P L O 4 Una ecuación que contiene expresiones racionales

Resuelva la ecuación .

SO LUC I ÓN

Directriz 1 Al reescribir el denominador 2x 2 4 como 2(x 2 2), vemos que

el mcd de las tres expresiones racionales es 2(x 2 2)(x 3).

Directriz 2 Los valores de x que hacen cero al mcd 2(x 2 2)(x 3) son 2 y

23, de modo que estos números no pueden ser soluciones de la ecuación.

Directriz 3 Multiplicando cada término de la ecuación por el mcd y simplifi-

cando nos da lo siguiente:

cancelar factores semejantes

multiplicar factores 3x 9 2 10x 20 5 4x 12

3sx 3d 2 10sx 2 2d 5 4sx 3d

52

x 2 22sx 2 2dsx 3d

3

2sx 2 2d2sx 2 2dsx 3d 2

5

x 32sx 2 2dsx 3d

3

2x 2 42

5

x 35

2

x 2 2