離散数学 I 第7 - Gunma University...離散数学I 第7回...
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離散数学 I 第 7回関数(2):全射・単射・全単射
荒木 徹
電子情報理工学科
2019年度
荒木 徹 (電子情報理工学科) 離散数学 I 第 7 回 2019 年度 1 / 22
前回の演習
演習 1
任意の集合 A,B,任意の関数 f : A → B,任意の部分集合 X ,X ′ ⊆ Aに対して,
f (X ∩ X ′) ⊆ f (X ) ∩ f (X ′)
が成り立つことを証明せよ.
証明.
b ∈ f (X ∩ X ′)と仮定する.
定義より,ある要素 a ∈ X ∩ X ′が存在して,f (a) = bとなる.
a ∈ X ∩ X ′であるので,a ∈ X かつ a ∈ X ′である.
a ∈ X であるので,f (a) ∈ f (X )がいえる.
同様に a ∈ X ′であるので,f (a) ∈ f (X ′)がいえる.
b = f (a)であるので,b ∈ f (X ) ∩ f (X ′)である.
荒木 徹 (電子情報理工学科) 離散数学 I 第 7 回 2019 年度 2 / 22
続き
また,任意の部分集合 X ,X ′ ⊆ Aに対して,
f (X ) ∩ f (X ′) ⊆ f (X ∩ X ′)
は成り立つか?
解答.この命題は成り立たない.反例を示す.
A = {1, 2, 3}, B = {a, b}とし,関数 f : A → B を以下のように定義する.
f (1) = a, f (2) = b, f (3) = a.
X = {1, 2}, X ′ = {2, 3}とすると,X ∩ X ′ = {2}であるので,
f (X ) = {a, b}, f (X ′) = {a, b}, f (X ∩ X ′) = {b}
となるので,f (X ) ∩ f (X ′) ̸⊆ f (X ∩ X ′)である.
荒木 徹 (電子情報理工学科) 離散数学 I 第 7 回 2019 年度 3 / 22
演習 2
A = {1, 2, 3, 4, 5}とし,関数 f : A → Aを,以下のように定義する.
f (1) = 2, f (2) = 2, f (3) = 4, f (4) = 4, f (5) = 4.
f ◦ f = f であることを確かめよ.また g ◦ f = f かつ f ◦ g = f となる関数 g : A → Aを見つけよ.ただし g ̸= f かつ g ̸= idAであること.
(f ◦ f )(1) = f (f (1)) = f (2) = 2 = f (1)
(f ◦ f )(2) = f (f (2)) = f (2) = 2
(f ◦ f )(3) = f (f (3)) = f (4) = 4 = f (3)
(f ◦ f )(4) = f (f (4)) = f (4) = 4
(f ◦ f )(5) = f (f (4)) = f (4) = 4 = f (5)
g : A → Aは,例えば以下の関数.
g(1) = 2, g(2) = 2, g(3) = 3, g(4) = 4, g(5) = 5.
荒木 徹 (電子情報理工学科) 離散数学 I 第 7 回 2019 年度 4 / 22
中間試験について
内容
6月 5日(水) 12:50~14:00(70分間) J3教室にて
40点満点
中間試験 40点+期末試験 60点= 100点
成績 S:90点以上,A:80点以上,B:70点以上,C:60点以上
講義で話したことが理解できていれば,6割は取れる問題を出します
4割くらいは,初めて見る問題が出ます.自力で解決してください.
荒木 徹 (電子情報理工学科) 離散数学 I 第 7 回 2019 年度 5 / 22
大事なポイント
証明とは「自分が示したい数学的事実を,正しく相手に伝えるため
に書く」もの
書いてあることが(荒木が)理解できるかどうか
論理的に誤りがないかどうか
証明を進めるための根拠を示しているかどうか
やってはいけないこと
読めない字を書く(雑,字が小さすぎる,など)
「自分が分かるのだから,ちゃんと書かなくてもみんな分かるはず」
荒木 徹 (電子情報理工学科) 離散数学 I 第 7 回 2019 年度 6 / 22
全射とは
全射(surjection)
関数 f : X → Y が全射であるとは,以下を満たすこと
任意の y ∈ Y に対して,ある x ∈ X が存在して f (x) = y となる.
荒木 徹 (電子情報理工学科) 離散数学 I 第 7 回 2019 年度 7 / 22
例題 1
次の関数 f : R → Rが,全射であるかどうかを示せ.f (x) = 3x + 1
f (x) = x2
ポイント
定義に立ち戻る.
任意の y ∈ Y に対して,ある x ∈ X が存在して f (x) = y となる.
思い出そう
「~が存在する」を証明するには,「具体的な要素が」「考えている性
質を満たす」ことを示す
反証するには,命題の逆を証明すること
荒木 徹 (電子情報理工学科) 離散数学 I 第 7 回 2019 年度 8 / 22
証明.f (x) = 3x + 1とする.
任意の実数 b ∈ Rを考える.a = (b − 1)/3とする.このとき a ∈ Rである.f (a) = 3 · (b − 1)/3 + 1 = bとなる.
よって,任意の bに対して,ある aが存在して f (a) = bを満たす.
以上より,f (x) = 3x + 1は全射である.
f (x) = x2は全射ではない.
何を証明する?
ある b ∈ Rが存在して,任意の a ∈ Rに対して f (a) ̸= bとなる.
−1 ∈ Rを考える.任意の a ∈ Rに対して,a2 ≥ 0である.よって a2 ̸= −1.
したがって,任意の a ∈ Rに対して,f (a) ̸= −1である.
荒木 徹 (電子情報理工学科) 離散数学 I 第 7 回 2019 年度 9 / 22
単射とは
単射(injection)
関数 f : X → Y が単射であるとは,以下を満たすこと
任意の x , x ′ ∈ X に対して,f (x) = f (x ′)ならば x = x ′である.
または「任意の x , x ′ ∈ X に対して,x ̸= x ′ならば f (x) ̸= f (x ′)である」
荒木 徹 (電子情報理工学科) 離散数学 I 第 7 回 2019 年度 10 / 22
例題 2
次の関数 f : R → Rが,単射であるかどうかを示せ.f (x) = 3x + 1
f (x) = x2
ポイント
定義に立ち戻る.
任意の x , x ′ ∈ X に対して,f (x) = f (x ′)ならば x = x ′である.
証明.f (x) = 3x + 1とする.
任意の a, a′ ∈ Rを考える.f (a) = f (a′)と仮定する.すなわち 3a+ 1 = 3a′ + 1.
したがって a = a′である.
よって f (x) = 3x + 1は単射である.
荒木 徹 (電子情報理工学科) 離散数学 I 第 7 回 2019 年度 11 / 22
(証明つづき)f (x) = x2は単射ではない.
何を証明するか?
ある a, a′ ∈ X が存在して,f (a) = f (a′)であるが,a ̸= a′である.
a = 1,a′ = −1を考える.
このとき f (a) = 12 = 1,f (a′) = (−1)2 = 1であるので,f (a) = f (a′).
しかし a ̸= a′である.
したがって f (x) = x2は単射ではない.
おまけ
「新幹線の指定席」は全射?単射?
「あみだくじ」は全射?単射?
荒木 徹 (電子情報理工学科) 離散数学 I 第 7 回 2019 年度 12 / 22
全射と単射
全射
関数 f : X → Y が全射であるとする.
任意の y ∈ Y に対して,f (x) = y となる要素 x ∈ X が少なくとも 1個存在する.(1個以上)
Range f = Y である.
X ,Y がどちらも有限集合ならば,|X | ≥ |Y |である.
単射
関数 f : X → Y が単射であるとする.
任意の y ∈ Y に対して,f (x) = y となる要素 x ∈ X が高々1個存在する.(0個か 1個)
X ,Y がどちらも有限集合ならば,|X | ≤ |Y |である.
荒木 徹 (電子情報理工学科) 離散数学 I 第 7 回 2019 年度 13 / 22
全単射とは
全単射(bijection)
関数 f : X → Y が,全射であり,かつ単射であるとき,全単射であるという.
集合の濃度(23ページ)
有限集合 X と Y の間に全単射が存在するdef⇐⇒ |X | = |Y |である.
荒木 徹 (電子情報理工学科) 離散数学 I 第 7 回 2019 年度 14 / 22
置換
置換(permutation)(22ページ)
Aを有限集合とする.Aから Aへの全単射 f をA上の置換という.A上の置換 f を,特に次のように表記する.
f =
(1 2 3 · · · n − 1 n
f (1) f (2) f (3) · · · f (n − 1) f (n)
)
例.A = {1, 2, 3, 4}とする.A上の置換
f =
(1 2 3 42 3 1 4
)は,以下と同じ.
f (1) = 2, f (2) = 3, f (3) = 1, f (4) = 4.
荒木 徹 (電子情報理工学科) 離散数学 I 第 7 回 2019 年度 15 / 22
関数の合成と全射・単射
関数の合成と全射
任意の関数 f : X → Y と g : Y → Z を考える.f , g が全射なら,g ◦ f : X → Z は全射である.
ポイント:全射の定義
任意の y ∈ Y に対して,ある x ∈ X が存在して f (x) = y となる.
証明.
荒木 徹 (電子情報理工学科) 離散数学 I 第 7 回 2019 年度 16 / 22
関数の合成と単射
f : X → Y と g : Y → Z が単射ならば,g ◦ f : X → Z は単射である.
ポイント:単射の定義
任意の x , x ′ ∈ X に対して,f (x) = f (x ′)ならば x = x ′である.
証明.
荒木 徹 (電子情報理工学科) 離散数学 I 第 7 回 2019 年度 17 / 22
関数の合成と全射・単射
関数の合成
f : X → Y,g : Y → Z とする.
f , g が全射ならば,g ◦ f : X → Z は全射である.
f , g が単射ならば,g ◦ f : X → Z は単射である.
f , g が全単射ならば,g ◦ f : X → Z は全単射である.
荒木 徹 (電子情報理工学科) 離散数学 I 第 7 回 2019 年度 18 / 22
逆関数とは
逆関数(inverse function)
関数 f : X → Y の逆関数とは,f −1 : Y → X であり,任意の x ∈ X,y ∈ Y に対して,f (x) = y と f −1(y) = xが同値であるもののことである.
逆関数の存在
逆関数 f −1は,f が全単射であるときのみ定義できる.
荒木 徹 (電子情報理工学科) 離散数学 I 第 7 回 2019 年度 19 / 22
例題
例
Rから Rへの関数 f (x) = 3x + 1は全単射である.f の逆関数はf −1(y) = (y − 1)/3である.
例題
f : {1, 2, 3} → {2, 4, 8}を f (n) = 2nとし,g : {2, 4, 8} → {1, 2, 3}をg(n) = ⌈n/3⌉とする.f と g は互いに逆関数であることを示せ.
荒木 徹 (電子情報理工学科) 離散数学 I 第 7 回 2019 年度 20 / 22
逆関数の性質
逆関数の合成
f : X → Y を全単射とする.このとき,
f −1 : Y → X は全単射である.
f ◦ f −1 = idX,f −1 ◦ f = idY.
証明.
任意の x ∈ X を考え,f (x) = y とする.このとき,x = f −1(y)である.したがって f −1は全射である.
y , y ′ ∈ Y に対して f −1(y) = f −1(y ′) = aであったとする.定義より,f (a) = y かつ f (a) = y ′が成り立つので,y = y ′である.したがって,f −1は単射である.
以上より,f −1は全単射である.
荒木 徹 (電子情報理工学科) 離散数学 I 第 7 回 2019 年度 21 / 22
今日の演習
演習 1
空でない集合 X ,Y ,Z に対して,関数 f : X → Y と g : Y → Z を考える.合成関数 g ◦ f : X → Z が全単射であると仮定する.
1 f は単射であることを証明せよ.
2 g は全射であることを証明せよ.
3 f も g も全単射ではないが,g ◦ f が全単射となる例を示せ.
荒木 徹 (電子情報理工学科) 離散数学 I 第 7 回 2019 年度 22 / 22