数学建模 军事模型 1

数 学 建 模数 学 建 模 ———— 从自然走向理性之路 从自然走向理性之路

数学建模 2军事模型

第四讲 军事模型第四讲 军事模型

【主要内容】【主要内容】 介绍军事模型，包括： 介绍军事模型，包括： Lanchester Lanchester 作战作战模模

型、核武器竞赛模型和军备竞赛模型型、核武器竞赛模型和军备竞赛模型

【主要目的】【主要目的】 了解数学建模方法在军事研究中的应用， 了解数学建模方法在军事研究中的应用， 建模思路和方法为用数学模型讨论社会领建模思路和方法为用数学模型讨论社会领 域的实际问题提供了可借鉴的示例。域的实际问题提供了可借鉴的示例。

数学建模 3军事模型

Lanchester Lanchester 作战模型作战模型

第一次世界大战时第一次世界大战时 LanchesterLanchester 提出的预测战役提出的预测战役

结局的模型。结局的模型。

只考虑双方只考虑双方兵力多少兵力多少和和战斗力强弱战斗力强弱 兵力—兵力—因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加 战斗力—战斗力—与射击率（单位时间的射击次数）、射击命与射击率（单位时间的射击次数）、射击命

中率以及战争的类型 （正规战、游击战）等有关。 中率以及战争的类型 （正规战、游击战）等有关。

数学建模 4军事模型

模型没有考虑交战双方的政治、经济、 社会模型没有考虑交战双方的政治、经济、 社会等因素，而仅靠战场上兵力的优劣是很难估计战等因素，而仅靠战场上兵力的优劣是很难估计战争胜负的， 所以用这些模型判断整个战争的结争胜负的， 所以用这些模型判断整个战争的结局是不可能的，但是对于局部战役来说或许还有局是不可能的，但是对于局部战役来说或许还有参考价值。 更重要的是，建模的思路和方法为参考价值。 更重要的是，建模的思路和方法为我们借助数学模型讨论社会科学领域中的实际问我们借助数学模型讨论社会科学领域中的实际问题提供了可以借鉴的示例。 题提供了可以借鉴的示例。

数学建模 5军事模型

一般战争模型一般战争模型 用用 xx( ( tt ) ) 和和 yy( ( tt ) ) 表示甲乙交战双方 表示甲乙交战双方 t t 时刻的兵时刻的兵

力力

假设假设 1.1. 每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗

力，用力，用 f f ( ( x, y x, y ) ) 和 和 gg( ( x, y x, y )) 表示。 表示。 2. 2. 每一方的非战斗减员率（由疾病、逃跑等因素引每一方的非战斗减员率（由疾病、逃跑等因素引

起）与本方的兵力成正比。起）与本方的兵力成正比。 3. 3. 每一方的增援率是给定的函数，用每一方的增援率是给定的函数，用 uu( ( t t )) 和和 vv( ( t t ))

表示表示。。

数学建模 6军事模型

由此可以写出用微分方程表示的模型 由此可以写出用微分方程表示的模型

下面针对不同的战争类型讨论战斗减员率下面针对不同的战争类型讨论战斗减员率

f f ( ( x, y x, y )) 和 和 gg( ( x, y x, y )) 的具体表示形式，并分析影的具体表示形式，并分析影响战争结局的因素。 响战争结局的因素。

( ) ( ) 0(1)

( ) ( ) 0

dxf x y x u t

dtdy

g x y y v tdt

数学建模 7军事模型

正规战模型正规战模型

甲乙双方都用正规部队作战。我们只须分析甲方的战甲乙双方都用正规部队作战。我们只须分析甲方的战斗减员率斗减员率 f f ( ( x, y x, y )) . .

f f 可简单假设为可简单假设为 f f ＝＝ ayay

其中：其中： a a —— 乙方平均每个士兵对甲方士兵的杀伤率（单位乙方平均每个士兵对甲方士兵的杀伤率（单位 时间的杀伤数），称为乙方的战斗有效系数。时间的杀伤数），称为乙方的战斗有效系数。

a a ＝ ＝ rryy ppyy

其中：其中： rryy—— 乙方的射击率（每个士兵单位时间的射击次数乙方的射击率（每个士兵单位时间的射击次数 ))

ppyy—— 乙方的命中率乙方的命中率

数学建模 8军事模型

类似地，乙方的战斗减员率设为类似地，乙方的战斗减员率设为

g g = = bxbx

且甲方的战斗有效系数且甲方的战斗有效系数

b b == rrxx ppxx

rrxx 和 和 ppxx 是甲方的射击率和命中率。于是是甲方的射击率和命中率。于是

忽略非战斗减员与增援，则模型进一步简化为忽略非战斗减员与增援，则模型进一步简化为

( )(2)

( )

dxay x u t

dtdy

bx y v tdt

数学建模 9军事模型

不解方程，在相平面上讨论相轨线的变化规律不解方程，在相平面上讨论相轨线的变化规律 。 。

由由 (5)(5) 式确定的相轨线是双曲线族，如图 式确定的相轨线是双曲线族，如图

0 0

(3)

(0) (0)

dx aydtdy bxdtx x y y

(4)dy bx

dx ay

2 2 2 20 0 (5)ay bx k ay bx

数学建模 10军事模型

乙方获胜条件：乙方获胜条件：

k >k > 0 0

————平方律模型平方律模型

图 图 1. 1. 正规战模型的相轨线正规战模型的相轨线

2

0

0

x x

y y

y r pb

x a r p

数学建模 11军事模型

游击战模型游击战模型

甲乙双方都用游击部队作战。甲乙双方都用游击部队作战。

甲方士兵在乙方士兵看不到的某个面积为甲方士兵在乙方士兵看不到的某个面积为 SSxx 的隐蔽的隐蔽

区域内活动，乙方士兵不是向甲方士兵开火， 而是向这区域内活动，乙方士兵不是向甲方士兵开火， 而是向这个隐蔽区域射击，并且不知道杀伤情况。这时甲方战斗个隐蔽区域射击，并且不知道杀伤情况。这时甲方战斗减员率不仅与乙方兵力有关， 而且随着甲方兵力的增加减员率不仅与乙方兵力有关， 而且随着甲方兵力的增加而增加。 而增加。

数学建模 12军事模型

f f 可简单假设为可简单假设为 f f ＝＝ cxycxy

其中：其中： c c —— 乙方的战斗有效系数。乙方的战斗有效系数。

c c ＝ ＝ rryy ppyy = = rryy SSry ry / / SSxx

其中：其中： rryy—— 乙方的射击率乙方的射击率

ppyy—— 乙方的命中率乙方的命中率

SSxx — — 甲方士兵的甲方士兵的隐蔽区域面积隐蔽区域面积

SSryry— — 乙方一次射击的有效面积乙方一次射击的有效面积

数学建模 13军事模型

类似地，乙方的战斗减员率设为类似地，乙方的战斗减员率设为

g g = = dxydxy

且甲方的战斗有效系数且甲方的战斗有效系数

d d == rrxx ppx x == rrxx SSrx rx / / SSyy

rrxx 和 和 ppxx 是甲方的射击率和命中率，是甲方的射击率和命中率， SSyy 是是乙方士乙方士

兵兵

的隐蔽区域面积，的隐蔽区域面积， SSrxrx 甲方一次射击的有效面积甲方一次射击的有效面积 。 。

数学建模 14军事模型

于是，模型为于是，模型为

同样忽略非战斗减员与增援，则模型进一步简化为同样忽略非战斗减员与增援，则模型进一步简化为

( ) ( )(7)

( ) ( )

x t cxy x u t

y t dxy y v t

0 0

(8)

(0) (0)

x cxy

y dxy

x x y y

数学建模 15军事模型

解得相轨线方程为解得相轨线方程为

乙方获胜条件乙方获胜条件： ： mm > > 0 0

————直线律模型直线律模型 图 图 2. 2. 游击战争模型的相轨线游击战争模型的相轨线

0 0 (9)cy dx m cy dx

0

0

x rx x

y ry y

y r s sd

x c r s s

数学建模 16军事模型

混合战模型混合战模型

甲方为游击部队，乙方为正规部队。甲方为游击部队，乙方为正规部队。 根据对正规战和游击战模型的分析和假设：根据对正规战和游击战模型的分析和假设： f f ＝＝ cxy , g cxy , g = = bxbx

同样在忽略非战斗减员与增援的假设下，模型为同样在忽略非战斗减员与增援的假设下，模型为

0 0(0) (0)

dx cxydtdy bxdtx x y y

数学建模 17军事模型

相轨线相轨线

乙方获胜条件： 乙方获胜条件： n n > 0 > 0

————抛物线律模型抛物线律模型

2 20 02 2cy bx n cy bx

20

0

2 x x x

y ry

y r p s

x r s

数学建模 18军事模型

看具体数字。不妨设甲方兵力看具体数字。不妨设甲方兵力 xx00 = 100 = 100 ，命中，命中率率 ppxx = 0.1 = 0.1 ，火力，火力 rrxx 是乙方火力是乙方火力 rryy 的一半，活动区的一半，活动区域面积域面积 SSx x == 0.1 0.1 平方千米， 乙方每次射击的有效面平方千米， 乙方每次射击的有效面积积 SSryry = = 1 1 平方米，那么乙方取胜的条件为平方米，那么乙方取胜的条件为

即即 yy00 // xx0 0 >>1010 ，乙方必须 ，乙方必须 10 10 倍于甲方的兵力。倍于甲方的兵力。

美国人分析越南战争： 美国人分析越南战争： yy00 // xx0 0 ＝＝ 6 < 86 < 8 ，所以美，所以美国败。国败。

2 60

0

2 0 1 0 1 10100

2 1 100

y

x

数学建模 19军事模型

硫黄岛战役硫黄岛战役

JJ ．． HH ．． Engel Engel 用二次大战末期美日硫黄岛战役用二次大战末期美日硫黄岛战役中的美军战地记录，对正规战模型进行了验证， 发现模中的美军战地记录，对正规战模型进行了验证， 发现模型结果与实际数据吻合得很好。 型结果与实际数据吻合得很好。

数学建模 20军事模型

核武器竞赛模型核武器竞赛模型 超级大国进行核武器军备超级大国进行核武器军备竞赛时，都宣称是为了保卫自竞赛时，都宣称是为了保卫自己的安全，即要保证在遭到第己的安全，即要保证在遭到第一次攻击后，能有足够的核武一次攻击后，能有足够的核武器保存下来， 以便给予对方以致命的还击。器保存下来， 以便给予对方以致命的还击。 为此双方展开了一场竞争，方法有： 为此双方展开了一场竞争，方法有： 1. 1. 努力增加自己的核武器，从数量上压倒对方； 努力增加自己的核武器，从数量上压倒对方； 2. 2. 引进反弹道导弹和多弹头导弹； 引进反弹道导弹和多弹头导弹； 3. 3. 加固核基地，发展核潜艇。 加固核基地，发展核潜艇。 那么在这场竞赛中，是否有稳定区域呢？ 那么在这场竞赛中，是否有稳定区域呢？

数学建模 21军事模型

设甲、乙双方的核武器数目分别是 设甲、乙双方的核武器数目分别是 xx 和 和 yy 。。 假设存在增函数假设存在增函数 gg ((yy),),

xx = = gg ((yy)) 称为甲方的安全线，称为甲方的安全线，当当 xx > > gg ((yy)) 时甲方才感到安时甲方才感到安全全 ,,曲线与曲线与 xx 轴交点轴交点 xx00 表示二表示二次打击能力，即在乙方的全次打击能力，即在乙方的全部核武器用完时，甲方只要部核武器用完时，甲方只要有有 xx00 ，就能给乙方以致命性打击。，就能给乙方以致命性打击。同样， 同样， yy = = ff ((xx) ) 是乙方安全线，上方是乙方安全区。是乙方安全线，上方是乙方安全区。 两条安全线的交点两条安全线的交点 MM((xxm m , , yymm) ) 为平衡点，为平衡点， xxmm 与与 yymm 是是双方都感到安全时，分别拥有的最少的核武器的数目。 双方都感到安全时，分别拥有的最少的核武器的数目。

数学建模 22军事模型

【问题 】 双方安全线是否一定有交点【问题 】 双方安全线是否一定有交点 ?? 【 结论 】 在一次打击不能毁灭对方全部核武【 结论 】 在一次打击不能毁灭对方全部核武器的条件器的条件下，下，两条单调曲线 两条单调曲线 xx = = gg ((yy)) 与 与 yy = = ff ((xx) )

必必定相交。定相交。 与“ 实物交换模型”中对于无差别曲线的讨与“ 实物交换模型”中对于无差别曲线的讨论相仿，可以证明这两条曲线都是上凸的，从而必论相仿，可以证明这两条曲线都是上凸的，从而必有交点。有交点。

数学建模 23军事模型

如果甲方由于使用加固核设如果甲方由于使用加固核设施，反弹道导弹或其他一些手段，施，反弹道导弹或其他一些手段，则它的导弹更不容易遭受突然袭则它的导弹更不容易遭受突然袭击，所以曲线 击，所以曲线 xx = = gg ((yy)) 向左移动，向左移动，用虚线表示。用虚线表示。 xx00点不变。为了保点不变。为了保持稳定，双方只需要更少的导弹，持稳定，双方只需要更少的导弹，稳定点为稳定点为 MM’’ 。但由于甲方对其自。但由于甲方对其自身城市的防卫能力增加了，乙方要对甲方进行致命的第二身城市的防卫能力增加了，乙方要对甲方进行致命的第二次打击，就需要比 次打击，就需要比 yy00 更多的导弹， 于是 更多的导弹， 于是 yy = = ff ((xx) ) 向上移向上移动，要保持稳定，双方都需要更多的导弹动，要保持稳定，双方都需要更多的导弹 ((MM’’’’)) 。军备竞赛。军备竞赛进一步升级。 进一步升级。

数学建模 24军事模型

如果使用多弹头导弹，如果使用多弹头导弹，例如，甲方将它的每枚导例如，甲方将它的每枚导弹的单弹头改装为弹的单弹头改装为 NN 个弹个弹头，那么它在受打击后需头，那么它在受打击后需要保留的导弹数可以更少要保留的导弹数可以更少些（ 些（ xx00 // N N ），于是曲线），于是曲线

xx = = gg ((yy)) 向左移动。乙方向左移动。乙方在一次被偷袭中将面临在一次被偷袭中将面临 NN 倍之多的弹头。于是曲线倍之多的弹头。于是曲线 yy = = ff ((xx) ) 将向上变动。 将向上变动。

数学建模 25军事模型

军备竞赛模型军备竞赛模型

Richardson, 1939 Richardson, 1939 年，年， 军备竞赛理论模型。军备竞赛理论模型。

History shows that the existence of weapons increases History shows that the existence of weapons increases the likelihood of violent conflict. Without destructive wthe likelihood of violent conflict. Without destructive weapons, perhaps nations sometimes would settle disputeapons, perhaps nations sometimes would settle disputes by other means. It was this assumption that led Lewies by other means. It was this assumption that led Lewis Fry Richardson to begin his study and analysis of arms Fry Richardson to begin his study and analysis of arms races. His scientific training in physics led him to belis races. His scientific training in physics led him to believe that wars were a phenomena that could be studied eve that wars were a phenomena that could be studied and mathematically modeled.and mathematically modeled.

数学建模 26军事模型

假设每一方军备的增加都取决于下列三个因素：假设每一方军备的增加都取决于下列三个因素： 对方军备的大小：由于相互不信任，一方军备越对方军备的大小：由于相互不信任，一方军备越

大，另一方军备增加得越快； 大，另一方军备增加得越快； 自己军备的大小：由于经济的限制，军备越大，自己军备的大小：由于经济的限制，军备越大，就增加得越慢； 就增加得越慢；

双方固有的敌视程度：即使一方没有军备，由于双方固有的敌视程度：即使一方没有军备，由于存在敌视，另一方也会增加军备。 存在敌视，另一方也会增加军备。

数学建模 27军事模型

设甲、乙双方的军备分别为设甲、乙双方的军备分别为 x x ( ( tt ) ) 和和 y y ( ( t t )) ，，根据根据

上述三个假设可以作出进一步的简化假设： 上述三个假设可以作出进一步的简化假设：

x x ( ( tt ) ) 的增加率与 的增加率与 y y ( ( t t )) 成正比； 成正比；

x x ( ( tt ) ) 的减少率与 的减少率与 x x ( ( tt ) ) 成正比； 成正比；

由于固有敌视程度导致的由于固有敌视程度导致的 x x ( ( tt ) ) 的增加率设为常数。的增加率设为常数。

则有则有 (19)

dx x ky gdtdy lx y hdt

数学建模 28军事模型

利用此模型可以解释几个重要现象：利用此模型可以解释几个重要现象：

1. 1. 引起战争的原因很多，有一种论点偏重于“军备引起引起战争的原因很多，有一种论点偏重于“军备引起战 争”，另一种论点偏重于“领土冲突”或 “历史恩战 争”，另一种论点偏重于“领土冲突”或 “历史恩怨”，两种论点都可以从方程组怨”，两种论点都可以从方程组 (19)(19) 得到解释。持第得到解释。持第一种观点的人可以在一种观点的人可以在 (19) (19) 中把 中把 kk 与 与 ll 取得大一些，取得大一些，把 把 gg 与 与 hh 取得小一些；持后一种观点的人可把 取得小一些；持后一种观点的人可把 gg 与 与 hh 取得大一些， 而把 取得大一些， 而把 kk 与 与 ll 取得小一些。 取得小一些。

(19)

dx x ky gdtdy lx y hdt

数学建模 29军事模型

2.2. 相互和解，双方裁军可达持久和平。相互和解，双方裁军可达持久和平。 设 设 g g = = h h = 0= 0 ，即双方没有仇恨，没有领土要求，那么，即双方没有仇恨，没有领土要求，那么 x x ( ( tt ) = ) = y y ( ( t t )) ＝ ＝ 0 0 是 是 (19) (19) 的 平衡解。 如果某个时刻的 平衡解。 如果某个时刻 x x ( ( tt ) ) 、 、 y y ( ( t t )) 为零，就将永远保持为零。为零，就将永远保持为零。3. 3. 未消除敌视的双方裁军是不会持久的。未消除敌视的双方裁军是不会持久的。 g g 、 、 h h ≠ 0 ≠ 0 ，，即使某个时刻 即使某个时刻 x x ( ( tt ) ) 、 、 y y ( ( t t )) 为零，由为零，由

于这时于这时 xx’’( ( t t ) = ) = gg ， ， yy’’( ( t t ) = ) = hh , , x x ( ( tt ) ) 、 、 y y ( ( t t )) 仍将增仍将增加。 加。

4. 4. 单方面裁军不会持久。单方面裁军不会持久。 如果在某个时刻如果在某个时刻 x x ( ( tt ) ) ＝ ＝ 0 0 ，并且 ，并且 g g = = 0 0 ，但由于，但由于

xx’’( ( t t ) = ) = kyky ， ， x x ( ( tt ) ) 也不会保持为零。也不会保持为零。

数学建模 30军事模型

线性常系数微分方程组 线性常系数微分方程组 XX’’ = = AX + RAX + R 的平衡点是稳定的平衡点是稳定

的 的 AA的所有特征根都具有负实部。 的所有特征根都具有负实部。

下面讨论方程下面讨论方程 (19)(19) 的平衡点的平衡点 ( ( xx00 , y , y0 0 )) 的稳定性的稳定性。。

当当 αβαβ － － klkl ≠≠ 0 0 时，时， (19) (19) 的系数矩阵的特征方程为 的系数矩阵的特征方程为

(19)

dx x ky gdtdy lx y hdt

( )( ) 0kl

数学建模 31军事模型

特征根为特征根为

由此可知，两个特征根都是实数且不等于零，当由此可知，两个特征根都是实数且不等于零，当 αβαβ － － klkl > 0 > 0 时，时，两个特征根均是负的， 此时平衡点两个特征根均是负的， 此时平衡点 ( ( xx00 , y , y0 0 )) 是稳定的。当是稳定的。当 αβαβ － － klkl

< 0< 0 时，一个特征根是正的，从而此时平衡点时，一个特征根是正的，从而此时平衡点 ( ( xx00 , y , y0 0 )) 是不稳定的。 是不稳定的。 所以当且仅当所以当且仅当 αβαβ － － klkl > 0> 0 时，时， ( ( xx00 , y , y0 0 )) 是稳定的。或即是稳定的。或即

αβαβ > > klkl （（ 2020））（（ 2020）式表明，当约束程度（ ）式表明，当约束程度（ αβαβ ）大于 刺激程度（）大于 刺激程度（ klkl ）时，军备）时，军备竞赛能够稳定在某一点上， 否则，竞赛将无限制地进行下去竞赛能够稳定在某一点上， 否则，竞赛将无限制地进行下去。 。

2 1 2

2 1 2

( ) [( ) 4( )]

2

( ) [( ) 4 ]

2

kl

kl

数学建模 32军事模型

为了利用为了利用 (20)(20) 式判断平衡点的稳定性，要估计式判断平衡点的稳定性，要估计 αα ，， ββ ，， k k ，，ll . .

下面是 下面是 Richardson Richardson 提出的一种估计方法。提出的一种估计方法。 设设 gg ＝＝ 0, 0, yy ＝＝ yy11 （乙方军备为常数），（乙方军备为常数）， xx ＝ ＝ 00 时，时，

(21)(21) 式表示不存在敌视时， 式表示不存在敌视时， 1/1/k k 是甲方军备从零赶上乙方军备是甲方军备从零赶上乙方军备 yy11 所需要的时间。所需要的时间。

一战结束后，根据凡尔赛条约，战败国德国的军队减到了十一战结束后，根据凡尔赛条约，战败国德国的军队减到了十几万人，而在二战前夕，几万人，而在二战前夕， 19331933～～ 1936 1936 年， 德国重整军备用三年， 德国重整军备用三年时间赶上了它的邻国，假设减缓效应年时间赶上了它的邻国，假设减缓效应 αα 被强烈仇恨所抵消。 于被强烈仇恨所抵消。 于是对于德国而言，可以认为是对于德国而言，可以认为 1/1/kk = 3 = 3 （年），即 （年），即 k k = 1/3 = 1/3 . .

11

1(21)

yx ky

k x

数学建模 33军事模型

再来看 再来看 αα . . 设 设 gg ＝＝ 0, 0, yy ＝＝ 00 , , 由方程由方程 (19)(19)得 得

解得解得 即 即

(22)(22) 式表示在不存在敌视且乙方无军备时， 式表示在不存在敌视且乙方无军备时， 1/ 1/ αα 是军备减是军备减少到原来的少到原来的 1/ 1/ ee 所需要的时间。 所需要的时间。 αα 称为松驰时间，称为松驰时间， RichRichardson ardson 认为 认为 1/ 1/ αα 是一个国家议会的任期，例如对于美是一个国家议会的任期，例如对于美国来说，美国议会的任期是五年，所以国来说，美国议会的任期是五年，所以 αα ＝＝ 0.20.2 。 。

,x x

0( )0( ) ( ) t tx t x t e

10 0

1( ) ( ) (22)x t x t e

数学建模 34军事模型

RichardsonRichardson 关于两伊战争的例子关于两伊战争的例子 基本差分模型基本差分模型 X(n) = X(n) = 1Y(n-1) - 1Y(n-1) - 1X(n-1) + g 1X(n-1) + g

Y(n) = Y(n) = 2X(n-1) - 2X(n-1) - 2Y(n-1) + h2Y(n-1) + h

YearYear Iran Iran Iraq Iraq YearYear Iran Iran Iraq Iraq YearYear Iran Iran Iraq Iraq YearYear Iran Iran Iraq Iraq

19551955 107107 6767 19601960 292292 145145 19651965 435435 402402 19701970 612612 723723

19561956 126126 9494 19611961 320320 185185 19661966 460460 450450 19711971 732732 781781

19571957 151151 102102 19621962 345345 206206 19671967 473473 480480 19721972 840840 921921

19581958 243243 110110 19631963 387387 271271 19681968 498498 513513 19731973 980980 12921292

19591959 271271 129129 19641964 425425 359359 19691969 534534 549549 19741974 13081308 16321632

数学建模 35军事模型

由以上数据作多元线性回归得到（由以上数据作多元线性回归得到（ MINITABMINITAB

））

X(n) = 0.651 X(n-1) + 0.432 Y(n-1) + 37.1X(n) = 0.651 X(n-1) + 0.432 Y(n-1) + 37.1

Y(n) = 0.195 X(n-1) + 1.13 Y(n-1) + Y(n) = 0.195 X(n-1) + 1.13 Y(n-1) + - 52.9- 52.9

写成矩阵形式写成矩阵形式( ) 0.651 0.432 ( 1) 37.1

( ) 0.195 1.13 ( 1) 52.9

X n X n

Y n Y n

数学建模 36军事模型

利用系数矩阵的特征根与特征向量，解的齐次部分为利用系数矩阵的特征根与特征向量，解的齐次部分为

非齐次部分为非齐次部分为

最终解为最终解为

1 2

( ) 0.701 1(1.2668) (0.5142)

( ) 1 0.317n nX n

c cY n

1

1 0.349 0.432 37.1 213.531( )

0.195 0.13 52.9 86.626D I R B

1 2

( ) 0.701 1(1.2668) (0.5142)

( ) 1 0.317n nX n

c c DY n

数学建模 37军事模型

关于关于 - 52.9- 52.9 的解释：的解释： 数据尾部上翘，造成拟合直线斜率过数据尾部上翘，造成拟合直线斜率过

大，从而在大，从而在 YY轴上的截距为负。轴上的截距为负。

数学建模 38军事模型

The End !The End !

ThanThanks !ks !