DRAFT - ivivanov.orgfree.comivivanov.orgfree.com/MehMat.pdf · Съдържаниеdraft 1...

DR

AFTМ Е Х А Н И К А

Н А

М А Т Е Р И А Л И Т Е

лекционни записки

за студентите от специалност "Индустриален мениджмънт"

доц. д-р инж. Ивелин Иванов

- 2009 -

DR

AFT

DR

AFT

Предговор

Този курс от лекции по механика на материалите е предназначен за студен-тите от специалностите

”Индустриален мениджмънт“ (ИМ) на Русенския

университет”Ангел Кънчев“. Продължителността на курса е един семестър

с аудиторна заетост от 30 академични часа лекции. Целта на курса е сту-дентите да се запознаят със силовите взаимодействия при твърдите тела ида изучат основните натоварвания, на които те могат да са подложени, как-то и поведението на материала. Дава се представа за съпротивлението наматериала при механично въздействие и обработка и от там за коравинатаи якостта на промишлените изделия в процеса на тяхната експлоатация иизработка, като се дават и методите за оценка. Материалът е изложен отпростото към сложното. В записките са дадени примери, които се използватза поясняване на лекционния материал, както и тези, които се изнасят насеминарните или практически упражнения. Необходимите за решаването назадачи формули са оградени. Записките могат да се ползват и от студенти-те от други специалности, като в бъдеще ще се обогатяват с допълнителенматериал — глави и задачи.

1

DR

AFT

2

DR

AFT

Съдържание

1 Въведение 51.1 Задачи и методи на науката механика на материалите . . . . . . . . . . . . . 51.2 Схематизация в механика на материалите . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Схематизация на свойствата на материалите . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Схематизация на формата на телата . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Сили и моменти 92.1 Сила . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Събиране на сили . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.2 Разлагане на силите . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Момент на сила . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.1 Момент на сила спрямо точка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.2 Момент на сила спрямо ос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.3 Двоица сили . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Схематизация на натоварването . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Равновесие на телата 193.1 Равновесие на тяло . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1.1 Първи закон на Нютон . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.1.2 Условия за равновесие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Връзки и опорни устройства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2.1 Трети закон на Нютон . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2.2 Схематизация на кинематичните връзки . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 Равновесие на система от тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 Редукция на система от сили 254.1 Динама на система сили . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2 Система успоредни сили. Център на тежестта . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5 Опън и натиск 315.1 Вътрешни сили . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.2 Деформиране на опънат (натиснат) прът . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.2.1 Мярка за деформацията . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.2.2 Връзка между деформации, напрежения и премествания . . . . . . . 34

5.3 Изследване на напреженията . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.3.1 Местни напрежения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.3.2 Напрежения в наклонени сечения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.4 Механични характеристики на материалите . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.4.1 Изпитване на опън и натиск . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3

DR

AFT

Съдържание

5.4.2 Механични характеристики и свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.4.3 Условие за якост . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6 Срязване и усукване 536.1 Срязване . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.1.1 Разрезни усилия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.1.2 Деформации и напрежения при срязване . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.1.3 Якостни изчисления на болтови, нитови и щифтови съединения . . . 55

6.2 Усукване на пръти с кръгово напречно сечение . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.2.1 Разрезни усилия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.2.2 Деформации и напрежения при усукване на пръти с кръгово напреч-

но сечение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.2.3 Напрежения в наклонена площадка при усукване . . . . . . . . . . . . 66

6.3 Усукване на пръти с некръгово напречно сечение . . . . . . . . . . . . . . . . 67

7 Огъване 717.1 Разрезни усилия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717.2 Деформации и напрежения при огъване . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717.3 Геометрични характеристики на сеченията при огъване . . . . . . . . . . . . 75

7.3.1 Правоъгълно и кръгово напречни сечения . . . . . . . . . . . . . . . . 757.3.2 Теорема на Щайнер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767.3.3 Рационална форма на напречните сечения при огъване . . . . . . . . 76

7.4 Премествания при огъване . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.4.1 Еластична линия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.4.2 Диференциално уравнение на еластичната линия . . . . . . . . . . . . 79

8 Изкълчване 838.1 Понятие за устойчивост . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838.2 Формула на Ойлер за критичната сила . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848.3 Критична сила при други начини на закрепване . . . . . . . . . . . . . . . . 868.4 Граница на валидност на формулата на Ойлер . . . . . . . . . . . . . . . . . 868.5 Определяне на критичното напрежение в нееластичната област . . . . . . . 88

4

DR

AFT

Глава 1

Въведение

§ 1.1. Задачи и методи на науката механика на материа-

лите

Механика на материалите е наука за якостта и коравината на твърдите тела, използва-ни като елементи на инженерните конструкции. Конструкциите са неподвижно закрепенисистеми от твърди тела със сравнително малки и ограничени премествания за разлика отмеханизмите. Тази наука може да се разглежда като дял на една по-обща наука, наре-чена механика на деформируемото твърдо тяло. Механика на материалите е комбинацияот Статика, като дял на Класическата механика и наука за силовите взаимодействия, иСъпротивление на материалите, като дял на Механика на деформируемото твърдо тяло,която се занимава с практическите инженерни изчисления при проектирането на изделияот твърди материали, касаещи тяхната здравина и податливост на силите, които им въз-действат. Името

”съпротивление на материалите“ идва от представата, че твърдите тела

се съпротивляват до определени граници на действието на външните сили за да запазятсвоята цялост, форма и размери. След преминаването на тази граница те се разрушават,загубвайки целостта си, или изменят в достатъчна степен формата и размерите си. Товаможе да е свързано със загубва на функционалността им като елементи на конструкциитеили с необходимите технологични сили за формоизменение при изработването на изделие.Предмет на науката механика на материалите са:

— силовото взаимодействие при твърдите тела;

— вътрешните сили в твърдите тела;

— якостните свойства на материалите;

— оразмеряването на конструктивните елементи;

Механизмите също могат да са предмет на разглеждане от страна на механика на мате-риалите, но при условие, че се разглежда само едно тяхно равновесно състояние и не сеинтересуваме от кинематиката — движението на отделните им елементи.

Проблемът с якостта на конструкциите, на техните елементи, както и на елементи-те на механизми, машини и др. съоръжения стои пред човечеството от дълбока древност.Поставянето на този проблем на научна основа става обаче през Средновековието. За родо-началник на науката съпротивление на материалите се смята Галилео Галилей (1564–1642)с публикуваната през 1638 г. книга

”Математически бележки и доказателства“. В книгата

5

DR

AFT

Глава 1. Въведение

се дискутира якостта на конзолна греда. Напоследък се появиха сведения, че още Лео-нардо да Винчи е изпитвал якостта на метални струни и е документирал първите научниопити в съпротивление на материалите. Основите на тази наука са положени от РобертХук (1678) и Исаак Нютон (1687). Науката съпротивление на материалите претърпяванай-бурно развитие през XVIII и XIX век.

Методите, използвани в науката механика на материалите са теоретични и експери-ментални. Теоретичните методи използват опростяващи предпостави и хипотези за да сеполучат по-прости и практични инженерни формули. Тези предпоставки и хипотези сеосновават както на резултати от експерименталните проучвания, така и на теоретичнитеизводи от други клонове на механиката на деформируемото твърдо тяло, какъвто е теорияна еластичността, теория на пластичността, механика на разрушението и др.

§ 1.2. Схематизация в механика на материалите

Всяка наука идеализира обектите, които изучава, като пренебрегва едни или другисвойства или явления свързани с тях за да разкрие по-добре и в чист вид връзките междудруги — по-важни. Тези абстракции на обектите често се наричат модели, а процесът наотстраняване на маловажните свойства и явления — схематизация.

Механика на материалите също използва схематизация на обектите, които изучава.Ще изредим по-нататък основните схематизации, които тази наука използва.

§ 1.2.1. Схематизация на свойствата на материалите

За описване на свойствата на материалите се използват няколко схематизации:

непрекъсната среда — функциите, описващи свойствата, са непрекъснати по от-ношение на пространствените координати;

еднородност (хомогенност) — независимост на свойствата от мястото и големи-ната на отделения от материала обем;

идеална еластичност — след отстраняване на външното силово въздействие, тя-лото възстановява напълно първоначалната си форма и размери;

изотропност — независимост на свойствата от ориентацията на отделения от ма-териала обем. (Обратното се нарича анизотропност.)

Първите две схематизации са задължителни в съпротивление на материалите, т.е. вся-ко твърдо тяло се приема, че представлява еднородна непрекъсната среда. Другите двеса опростяващи и се използват по подразбиране в повечето случаи, но понякога се разг-леждат обекти, за които тези схематизации не са приети и тогава това се уточнява.

§ 1.2.2. Схематизация на формата на телата

Твърдите тела заемат определен обем в пространството, който притежава форма, ха-рактеризираща се с определени размери. В случаите, когато един от размерите се отличавасилно от останалите могат да се приемат следните схематизации на формата на телата(фиг. 1.1):

прът — тяло, на което единият размер е много по-голям от останалите;

черупка — тяло, на което единият размер е много по-малък от останалите. Частенслучай са плоча – равнинна черупка и диск — кръгла плоча.

6

DR

AFT

1.2. Схематизация в механика на материалите

Фиг. 1.1. Схематизация на фор-мата: а) прът; б) черупка.

В този курс по механика на материалите се разглеждат изключително само пръти.

7

DR

AFT

Глава 1. Въведение

8

DR

AFT

Глава 2

Сили и моменти

Статиката е раздел на класическата механика, който се занимава с изучаване на ме-ханичното взаимодействие между телата. Принципите на статиката и правилното им раз-биране и прилагане са в основата за изучаването на якостните проблеми в промишленитеизделия и тяхното деформиране при силово въздействие.

§ 2.1. Сила

Телата — твърди, течни и газообразни, както и полетата — електростатично, електро-магнитно, гравитационно и др., си взаимодействат механично, т.е. поражда се стремеж нателата да променят своето състояние на покой или движение. Този стремеж може да сепрояви веднага и за него да съдим по параметрите на движение на тялото, но може и дане се прояви. Когато на тялото има наложени достатъчно връзки с околните тела, коитоне позволяват неговото относително движение спрямо тях, то тогава такъв стремеж има,но той може да се прояви чак след премахването на тези връзки. Следователно като едноопределение за това какво е сила можем да дадем:

Сила — мярка и обобщение на стремежа за изменение на състоянието на движение (вчастност покой), което едно тяло има при механичното въздейсвие на поле или ме-ханично взаимодействие с други тела.

Механичното взаимодействие между телата се получава когато те контактуват помеж-ду си. Следователно силата тогава ще е обобщение на този стремеж за изменение на със-тоянието на движение, който се е получил по цялата контактна повърхност, независимоот нейната големина и форма. При механичното въздействие на полета върху телата, тотова въздействие е върху цялата повърхност на тялото или върху целия му обем. Силатаотново трябва да е такова обобщение, което е независимо от формата и обема на тялото.Очевидно обаче, при това обобщение е необходимо да се зададе приложна точка на сила-та, която да зависи от формата и размерите на повърхнините или обемите, по които сеизвършва механичното взаимодействие или въздейсвие.

Стремежът за изменение на движението предполага, че силата има посока, защотосамото движение винаги се характеризира с такава. Големината на силата трябва да емярка за количеството на този стремеж. За единица мярка в международната система SIе избрана единица, която е кръстена на името на английския учен Исаак Нютон, чиитозакони на механиката ще изучаваме по-нататък. Основната мерна единица се отбелязвас голяма латинска буква N и се чете

”Нютон“, а нейните производни като например kN

(килонютон) се отбелязват с добавянето на малка латинска буква пред N. Директното

9

DR

AFT

Глава 2. Сили и моменти

измерване на силата обаче е много трудна задача и в световната практика тя се измерва поизменение на движението при движещи се тела и най-често по деформирането на изученивече тела.

Така се стига до изобразяване на силата и математическото опериране с нея катовектор, т.е. величина, характеризираща се с начало — приложна точка, големина — мярка,и посока. Графичното изобразяване на силата като вектор е дадено на фиг. 2.1. Силата еозначена като F и е дадена големината и. Дават се някакви указания за посоката, освенако нямаме мащабно начертана схема.

Фиг. 2.1. Изобразяване на силата като вектор

§ 2.1.1. Събиране на сили

Можем да събираме силите, действащи върху едно тяло, ако са приложени в еднаточка, за да намерим общия стремеж за промяна на движението. На фиг. 2.2 са дадени двесили събрани геометрично като вектори по правилото на паралелограма. След като знаем,че силити са приложени в една точка от някое твърдо тяло, то можем да ги разглеждамекато свободни вектори и да ги съберем по правилото на триъгълника (фиг. 2.3). Това водилогично до решаването на една тригонометрична задача при аналитичното намиране наголемината на резултантната сила R. Математически това може да се изрази и чрезравенството:

~F1 + ~F2 = ~R или F1 + F2 = R (2.1)

За конкретно дадените големини на силите и ъгъл между направленията им можем даприложим косинусовата теорема за да намерим големината на резултантната сила.

R = F 21 + F 2

2 − 2F1F2 cos 135◦

= 1002 + 2002 − 2 · 100 · 200 · (−0.7071) = 279.8 N

Фиг. 2.2. Правило на паралелограма

10

DR

AFT

2.1. Сила

Фиг. 2.3. Правило на триъгълника

Тук засега ще се ограничим в разглеждането само на равнинни сили. В този случайправилото на триъгълника за геометричното събиране на повече от два вектора може дабъде разширено с правилото за полигона от сили. Такова геометрично събиране на силитее дадено на фиг. 2.4.

Фиг. 2.4. Правило на полигона

§ 2.1.2. Разлагане на силите

Разлагане на силите е обратно на събирането действие, когато една сила — резултан-тната, се представи като сума от отделни сили — компоненти. На фиг. 2.5 са дадени дверазлични представяния на една сила. Този различен начин за представяне на един век-тор говори, че е възможно да си изберем направленията, по които търсим компоентитена една сила, произволно. Минималният брой компоненти, на които може да се разложиедна сила, е равен на размерността на пространството, т.е. в равнината имаме само двекомпоненти, а в тримерното пространство — 3. Направленията по които проектираме илиразлагаме силите обикновенно се избират да са ортогонални (взаимно перпендикулярни) ида представляват осите на правоъгълна координатна система както това е дадено на фиг.2.7. Компонентите, още наречени ортогоналните проекции, на силата F по осите могат дасе получат както следва:

Fx = F cos θ ; Fy = F sin θ (2.2)

Събирането на сили, които са представени с ортогоналните си проекции, е лесно защото

11

DR

AFT


Фиг. 2.5. Разлагане на силите

Фиг. 2.6. Ортогонални проекции на сила

представлява алгебричното сумиране на тези компоненти поотделно (по съответните оси):

Rx =∑

i

Fxi

Ry =∑

i

Fyi

Rz =∑

i

Fzi

R =∑

i

Fi (2.3)

Rx

Ry

Rz

=∑

i

Fxi

Fyi

Fzi

§ 2.2. Момент на сила

§ 2.2.1. Момент на сила спрямо точка

Моментът на сила отразява стремежът за завъртане на тялото около точката, коятоне е непременно точка от тялото. Можем да си представим, че тялото е привързано къмтази точка, която разглеждаме, и тогава силата се стреми да завърти тялото, ако действанапречно на разстоянието между приложната си точка и центъра на въртане.

12

DR

AFT

2.2. Момент на сила

Фиг. 2.7. Момент на сила спрямо точка

Разстоянието от правата, на която лежи вектора на силата, наречена още директри-

са, до точката на въртене наричаме рамо на силата (фиг. 2.7). Мярка за големината намомента на силата е произведението на големината на силата и големината на рамото.

MO = momOF = F · d =Fθ

cos θD cos θ = FθD (2.4)

Когато разглеждаме само сили, лежащи в една равнина — система съравнинни сили,моментите на силите се различават по големина и по посоката на въртене в тази равнина.Това позволява с тях да се оперира като с алгебрични числа. Алгебричната сума на мо-ментите на всички равнинни сили спрчмо дадена точка е мярка за стремежа на завъртанена тялото около точката под действие на системата сили.

Пример 2.1. Метална плоча с формата на равностранен триъгълник със страна 0,5 m. Еподложена на действието на сили както е показано на чертежа. Изчислете общия въртящмомент на плочата около върха .

Фиг. 2.8. Пример 2.1

Решение:

MA = 100 · 0 + 200 · d − 400 · 0, 5 + 300 · 0

d = 0, 5 sin 60◦

MA = 200 · 0, 5 sin 60◦ − 400 · 0, 5 = −113.4 N.m

Стремеж за завъртане обратно на часовниковата стрелка.

В тримерното пространство директрисата на дадена сила и точката, спрямо която оп-ределяме момента и, определят една равнина. Тази равнина е равнината на момента на

13

DR

AFT


Фиг. 2.9. Момент на сила като вектор

силата или равнината в която има стремеж за завъртане около точката. Правата перпен-дикулярна на тази равнина и прекарана през точката е оста, около която стремежът зазавъртане, който силата предизвиква е най-голям (фиг. 2.9). Моментът на сила спрямоточка може да се представи като вектор, лежащ на тази ос, насочен по посока определе-на по правилото на свитите пръсти на дясната ръка, както е показано на фигурата, и сголемина равна на големината на момента на силата.

§ 2.2.2. Момент на сила спрямо ос

Момент на сила спрямо ос наричаме стремежът за завъртане около дадена ос (права),която силата създава (фиг. 2.10а). Този момент представлява моментът на проекцията насилата в равнина перпендикулярна на оста спрямо прободната и точка с равнината. Акооста, спрямо която определяме момента на силата, е оста z, както е показано на фиг. 2.10бравнината, то изчислението на момента е както следва:

Fxy = F cos θMz = momzF = Fxyd = F cos θd

а) б)

Фиг. 2.10. Момент на сила спрямо ос

14

DR

AFT

2.3. Схематизация на натоварването

§ 2.2.3. Двоица сили

Двоица сили наричаме две равни по големина и противоположни по посока успоред-ни сили (фиг. 2.11). Тяхната равнодействаща е равна на нула, т.е. те нямат стремеж затранслационно движение, а само за завъртане на тялото.

Фиг. 2.11. Двоица сили

Моментът на двоицата сили дадени на фиг. 2.11 спрямо точка P е равен на

momPF = F (x + d) − Fx = Fx + Fd − Fx = Fd (2.5)

Моментът не зависи от положението на точката P , а само от големината на силите иразстоянието между тях. Той е по посока на часовниковата стрелка.

§ 2.3. Схематизация на натоварването

Всички реални натоварвания са или повърхнинни сили, които са резултат от контак-тното силово взаимодействие на две тела, или обемни сили, които са резултат от силово-то въздействие на полета — гравитационно, електромагнитно, инерционно (центробежноинерционно) и др. върху телата.

Фиг. 2.12. Означения на схематизираните натоварвания и ос-новните им мерни единици в система SI: F — съсредоточена си-ла; q — интензитет на разпределения товар; M — съсредоточенмомент.

Можем да изредим три схематизации на реалните натоварвания (фиг. 2.12):

разпределен по линия товар — силовото въздействие е приложено по тясна по-върхност от тялото;

съсредоточена сила — силовото въздействие е приложено върху много малка по-върхност от тялото;

15

DR

AFT


съсредоточен момент — силовото въздействие може да се представи като двоицасили — съсредоточени сили, които са равни по големина и противоположни попосока.

Пример 2.2. Щифт е монтиран със стегнатост в отвора на неподвижно тяло. Върху края нащифта действат сили както е показано на чертежа.

1) Да се определи големината на вертикалната сила опитваща се да измъкне щифта.2) Да се определи големината на хоризонталната сила, опитваща се да огъне щифта.3) Да се определи големината на направлението на резултантната сила приложена върху

щифта.


Решение:

1.

Fy = 100 sin 30◦ = 50 sin 60◦ = 93.3

2.

Fx = 100 cos 30◦ − 50 cos 60◦ = 61, 6 N

3.

F =√

F 2x + F 2

y =√

61, 62 + 93, 32 = 111, 8 N

tg x =Fy

Fx= 93,3

61,6 = 1, 5146

α = arctg 1, 5146 = 56, 57◦ = 56◦33‘56“

Пример 2.3. Определете резултантната сила действаща върху тялото и нейното направление.

16

DR

AFT

2.3. Схематизация на натоварването



Пример 2.4. Определете момента на силите действащи върху лоста спрямо оста му на вър-тене

Пример 2.5. Да се определи моментът на завъртане на правоъгълната плоча спрямо т. A.


17

DR

AFT


18

DR

AFT

Глава 3

Равновесие на телата

§ 3.1. Равновесие на тяло

§ 3.1.1. Първи закон на Нютон

Първи закон на Нютон: Едно тяло остава в състояние на покой или равномерно пра-волинейно движение докато върху него НЕ действат външни сили.

Когато механичното състояние се запазва, докато не действат външни сили, казваме,че тялото се намира в равновесие.

§ 3.1.2. Условия за равновесие

В равнината условията за равновесие са:

— Сумата от проекциите на всички външни сили по две взаимно перпендикулярнинаправления трябва да е нула. (Две проекционни условия).

— Сумата от всички моменти на силите спрямо което и да е точка трябва да е равнана нула. (Моментово условие за равновесие).

Това прави 3 условия за равновесие в равнината.В пространството условията за равновесие са:

— Сумата от проекциите на всички външни сили по три взаимно перпендикулярнинаправления трябва да е нула. (Три проекционни условия).

— Сумата от всички моменти на силите спрямо три взаимно перпендикулярни оси тряб-ва да е равна на нула. (Три моментови условия за равновесие).

Това прави общо 6 условия за равновесие в пространството.

§ 3.2. Връзки и опорни устройства

§ 3.2.1. Трети закон на Нютон

Трети закон на Нютон: На всяка сила съответства равна по големина и обратна попосока сила. (На всяка акция, съответства равна по големина и противоположна попосока реакция).

19

DR

AFT

Глава 3. Равновесие на телата

Третият закон на Нютон отразява условията за равновесие на несвободни тела, т.е.тела, на които са наложени връзки с останалите тела, които не разглеждаме — не саобект на нашите изследвания.

Принцип за освобождаване от връзките: Заменяме наложените на едно тяло връзкисъс съответните им реакции (сили противопоставящи се на активните). Ако тялотое в равновесие (кинематично неизменяемо), то реакциите трябва да са такива, че даосигурят това равновесие.

Когато на едно тяло е забранено преместването в определено направление, то му еналожена връзка, която има реакция, противопоставяща се на това преместване. Ако езабранено завъртането, то реакцията е съсредоточен момент. Под

”реакция“ ще разбираме

ортогоналните проекции на силите в опорите и/или съсредоточените моменти, с които тесе противопоставят на стремежа за движение.

§ 3.2.2. Схематизация на кинематичните връзки

Кинематичните връзки са ограничения на преместванията в конструкцията или на ней-ните елементи. Те се делят на външни връзки на конструкцията с други тела, наречениопори и вътрешни връзки между отделните елементи на конструкцията, наречени простовръзки. Кинематичните връзки трябва да осигурят кинематичната неизменяемост на кон-струкцията, т.е. невъзможността и да се движи като цяло. Системата от опори определяначина на закрепване (подпиране) на конструкцията.

Опорите могат да бъдат конструктивно оформени като сложни опорни устройства, ко-ито се състоят от много елементи. Така например, една лагерна опора може да се състоиот търкалящи лагери, лагерни тела, капачки, устройство за регулиране на хлабините влагерите и даже система за принудително мазане на лагерите. Понякога, обаче се при-бягва до доста прости начини на закрепване, които дори нямат конструктивно обособеначаст, като свободното подпиране например. Конструктивните елементи и особености наопорите се пренебрегват и те се схематизират. Важни са само възможностите за премест-ване на точката от конструкцията, в която са приложени, т.е. точката на закрепване. Тезивъзможности за преместване и завъртане на конструкцията в дадена точка, наричаме сте-пени на свобода. Те могат да са най-много шест — три независими премествания и тринезависими завъртания. Да разгледаме действието на някои основни опорни устройства:

запъване (конзолно закрепване) — отнема всички степени на свобода, т.е. точ-ката на закрепване не може да се премества в нито една посока и конструкциятане може да се завърта около тази точка;

става — позволява само завъртането на конструкцията, ако е сферична — околоточката, а ако е цилиндрична — около ос;

плъзгаща опора — позволява само движението по права линия на точката на зак-репване или по равнина;

свободно подпиране — не позволява преместването в една от посоките по опре-делено направление и във всички посоки в кое да е перпендикулярно на тованаправление, като завъртането е позволено само около една ос.

Най-често при свободното подпиране посоката, в която е разрешено преместването е без-смислена или невъзможна по други съображения и тогава тази опора се превръща в ци-линдрична става. Разликата е само в това, че цилиндричната става има конструктивно

20

DR

AFT

3.3. Равновесие на система от тела

обособено опорно устройство, докато свободното подпиране е само начин на закрепване.Схематизацията, обаче премахва точно тези различия.

Опорите, които използваме може да са и комбинация от горепосочените основни опори.Такива са например плъзгащата става — комбинация на става (сферична или цилиндрич-на) и плъзгаща опора, която отнема една степен на свобода ако е сферична, ставно-прътоваопора — комбинация на прът с две стави в краищата си, която отнема само една степенна свобода. Въобще, при определянето на опорите, ще си служим с имената на изброенитепо-горе опорни устройства и прилагателни, подчертаващи някои техни особености, катонапример неподвижна цилиндрична става. Примери с различни означения на опорите сададени на фиг. 3.1.

Фиг. 3.1. Схематично означение на опори: а) запъване; б) сферична става; в) цилиндричнастава; г) плъзгаща опора; д) просто подпиране; е) плъзгаща (подвижна) става; ж) подвижнопросто подпиране; з) ставно-прътова опора.

Отнемайки някоя степен на свобода на конструкцията в точката на закрепване, опор-ните устройства прилагат силово въздействие върху нея за да се противопоставят на стре-межа и за движение (ако има такъв). Това силово въздействие наричаме опорна реакция.Всъщност в практиката под опорна реакция се разбира един от елементите на динамата натова силово въздействие — една от проекциите на главната сила или на главния момент,на които се разлага динамата. Опорните реакции уравновесяват конструкцията в силовоотношение, което съответства на неподвижността и. При разглеждане на равновесието наконструкцията винаги е необходимо да поставим правилно опорните реакции.

Схематизирането на реални конструкции е творческа задача на инженера, която зависиот неговите умения, опит и познания. Няма наука или дисциплина, която да учи как сеправи това. В дисциплината съпротивление на материалите ще работим изключително съссхематизирани конструкции. Студентът трябва да приложи своята фантазия и техническипознания за да види в тях реалните конструкции, които го заобикалят или изучава поспециализиращите технически дисциплини.

§ 3.3. Равновесие на система от тела

Когато имаме система от тела, които са свързани по някакъв начин, и всички те са вравновесие поради наложените им връзки с околните тела и помежду им, то всяко от тезитела е в равновесие. Това означава, че условията на статиката за равновесие могат да сенапишат за всяко едно тяло, като то е освободено от връзките си с околните тела, а същотака и за системата от тела като цяло. Броят на уравненията, които можем да съставим еравен на 3(n+1) в равнината и 6(n+1) в пространството. Този брой трябва да е по-голямот сумата на броя на всички връзки, която системата има с околните и тела и тези междутелата в системата, за да може задачата да е статически определима.

21

DR

AFT


Пример 3.1. Товар G = 3 kN е окачен за тавана с две въжета, както е показано на схемата.Да се определят усилията във въжетата.


Решение:

tg α = 21 = 2

α = arctg 2 = 63, 43◦

sin α = 0, 8944cos α = 0, 4472

Условия за равновесие – само две проекционни (система съначални сили).

ΣXi = 0 ; −R1 cos α + R2 cos 45◦ = 0ΣYi = 0 ; R1 sinα + R2 sin 45◦ − 3 = 0

Две уравнения с две неизвестни

От първото R2 = R1cos 63,43◦

cos 45◦ = 0, 6325R1

Заместваме във второто

Решаваме го

R1 sin α + R1cos α

cos 45◦ sin 45◦ − 3 = 0R1 (sin α + cos α) = 3R1 = 3

sinα+cos α = 30,8944+0,4472 = 2, 236 kN

Връщаме се към първо уравнение

R2 = R1 0, 6325 = 1, 414 kN

Пример 3.2. По лек мост с дължина 35 m преминава товарен автомобил с тегло G = 50 kN.Определете силите в опорите на моста, когато той е на 15 m от единия край.

Решение:

Мостът е в равновесие – неподвижен

Освобождаване от връзките

22

DR

AFT

3.3. Равновесие на система от тела


Условия за равновесие: (две проекционни и едно моментово)

ΣHi = 0 , RAH = 0ΣVi = 0 , RAV + RB − G = 0ΣMAi = 0 , −G.15 + RB · 35 = 0RB = 50·15

35 = 21, 43 kNRAV = G − RB = 50 − 21, 43 = 28, 57 kN

Пример 3.3. Когато крановата количка на лек кулокран носи товар G и се намира на 5 mот опората на крановата стрела и на 3 m от обтегача, както е показано в схемата, в обтегачавъзниква усилие T =30 kN. Определете теглото на товара G.


Решение:Освобождаване от връзките

23

DR

AFT


ΣHi = 0 , RH = T cos 40◦ = 20 cos 40◦ = 15, 32 kNΣVi = 0 , RV − G + T sin 40◦ = 0

ΣMAi = 0 , G · 5 − T sin 40◦ · 8 = 0 ⇒ G = 20 sin 40◦

5G = 5.27 kN

24

DR

AFT

Глава 4

Редукция на система от сили

§ 4.1. Динама на система сили

Разглеждаме свободно тяло, на което действат система от сили, включително реак-циите на наложени връзки, които не е задължително да са осигурили кинематичнатанеизменяемост на тялото и то може и да не е в равновесие (фиг. 4.1).

Фиг. 4.1. Редукция на система от сили до динама в точка O

Ще редуцираме всички сили, приложени в различни точки на тялото, до еквивалентнасистема действаща в т. О. Силите трябва да бъдат представени от резултантната сила~F =

∑i~Fi или по проекциите на координатните оси на координатната система привързана

в O имаме:Fx =

∑

i

Fxi

Fy =∑

i

Fyi

Fz =∑

i

Fzi

Моментите на всички сили представени с техния резултантен момент спрямо т. O щеотразяват общия стремеж за завъртане около тази точка. За да извършим събирането намоменти спрямо точка, трябва да се отнасяме с тях като с вектори.

~MO =∑

i~MOi

Mx =∑

i MOx My =∑

i MOy Mz =∑

i MOz

25

DR

AFT

Глава 4. Редукция на система от сили

Системата сили се редуцира до сила ~F — главна сила и момент в т. О — ~MO, нареченглавен момент.

Главната сила и главният момент на дадена система сили се наричат общо Динама насистема сили.

Всяка система сили се редуцира до динама в дадена точка. Казваме, че се редуцира,защото една система от сили, с произволен брой на силите, не може да се представи с по-малко сили и моменти от динамата си, т.е. една сила и един момент като вектори. Еднаи съща система сили ще има различна динама в различните точки, но един и същ главенвектор на силите, т.е. различен е само главният момент.

Еквивалентна система сили – система от сили, която действа по същия начин катозададената. Две системи от сили са еквивалентни относно дадена точка, ако се ре-дуцират в една и съща динама спрямо тази точка.

Съсредоточените сили, с които се занимавахме досега, лесно могат да бъдат събирани,но те са една идеализация на стремежа за движение. В реалността силите са приложеникато разпределени сили като силата от теглото (гравитационното привличане), сила отстатично електричество, електромагнитни сили и др. са разпределени сили – сила от тег-лото на течност по стените на съда, сили от налягането на газ по стените на съда. За даоперираме лесно с тях, трябва да намерим техните еквивалентни системи редуцирани додинама и да ги заменим с тях.

§ 4.2. Система успоредни сили. Център на тежестта

Силата на гравитацията може да бъде разглеждана като разпределена в тялото. Рав-нодействащата на тази сила се дава със

”закона за всемирното притегляне“, определен от

Нютон

Fg = γM1M2

r2,

където M1 и M2 са масите на две тела на разстояние r едно от друго.

Фиг. 4.2. Привличане между телата

На неподвижните спрямо земната повърхност тела действа гравитационна сила и цен-тробежна сила, които донякъде варират, но може с достатъчна за практиката точност дасе считат насочени към центъра на земята, успоредни и пропорционални на масата натялото.

G = mg ,

където m е масата на тялото, а g = γ MR2 - земно ускорение (коефициент на пропорционал-

ност), определен от масата на земята M и нейният радиус R.

26

DR

AFT

4.2. Система успоредни сили. Център на тежестта

Фиг. 4.3. Сила на теглото на Земята

Фиг. 4.4. Център на тежестта на равнинна фигура

Центърът на тежестта на едно тяло е точката в която успоредната система сили натеглото няма момент (главният момент е нула).

Център на тежестта на равнинна фигура с дебелина t.

G = qSt

S =∑

i

∆Si

Моментово условие спрямо т. O за еквивалентност на системата на разпределени грави-тационни сили и теглото на фигурата приложена в т. C — център на тежестта на фигурата.

GdC =∑

i

q∆Sitdi

qStdC = qt∑

i

di∆Si

dC =

∑i di∆Si

S

От проекциите на рамената имаме

dC =xC

cos α, di =

xi

cos α

27

DR

AFT


dC =yC

sin α, di =

yi

sin α

xC =

∑i xi∆Si

S(4.1)

yC =

∑i yi∆Si

S(4.2)

Пример 4.1. Да се определят опорните реакции за мост с дължина 35 m, по който преминаватоварен автомобил с общо тегло 50 kN, в момента в който автомобилът е на 15 m от края намоста. За конструкцията на моста се знае, че всеки метър от нея тежи 2 kN.


Решение:Схематизация на моста

Моста като схематизирано свободно тяло

Условия за равновесие:

∑Hi = 0 , RAH = 0∑Vi = 0 , RAV − G − Q + RB = 0∑MAi = 0 , G · 15 + Q · 17, 5 − RB · 35 = 0

28

DR

AFT

4.2. Система успоредни сили. Център на тежестта

От моментовото условие получаваме третата – последна, реакция:

RAV = G + Q − RB = 50 + 70 − 56, 43 = 63, 57 kN

Пример 4.2. Прът от композитен материал с квадратно напречно сечение с размери 20х20mm и дължина 400 mm е подпрян неподвижно в точка на разстояние 100 mm от левия сикрай, а в десния е окачен на нишка прекарана през макара, закрепена за тавана неподвижно.На нишката е окачено блюдо с тежест, които имат общо тегло 2 N. По пръта започваме дадвижим тежест с тегло също 2 N от левият му край към десният и когато тежестта е на 156mm от опората вдясно, прътът застава в равномерно хоризонтално положение при ъгъл нанишката спрямо пръта 60◦. Намерете специфичното тегло на композитния материал. А колкое неговата плътност?


Решение:Схематизацията на пръта като свободно тяло

Условия за равновесие:

∑Hi = 0 , RH + T cos 60◦ = 0∑Vi = 0 , RV − q · 0, 4 + T sin 60◦ = 0∑MBi = 0 , q · 0, 4 · 0, 1 + G · 0, 156 − T sin 60◦ · 0, 3 = 0

q =T sin 60◦ · 0, 3 − G · 0, 156

0, 4 · 0, 1 =2 · sin 60◦ · 0, 3 − 2 · 0.156

0, 4 · 0, 1 = 5, 19 N/m

γ — относително тегло (специфично тегло) N/m3.

Gn = q · lγk = Gn

Vn= q·l

l·S = qS = 5,19

0,0282

= 12980 N/m3 = 12, 98 N/m3

29

DR

AFT


ρ — масова плътност kg/m3.

ρk =mn

Vn=

Gn

gVn=

γk

g=

12, 980

9, 81= 1322 kg/m3

g = 9, 81 m/s2 - константа, която има смисъл на ускорение

30

DR

AFT

Глава 5

Опън и натиск

§ 5.1. Вътрешни сили

Да разгледаме призматичен прав прът, натоварен с две равни и взаимно противопо-ложни осови сили F , както е показано на фиг. 5.1а. Прътът е в равновесие, поради равенс-твото на силите и противоположните им посоки, т.е. алгебричният сбор на проекциите импо оста на пръта е нула. Следователно, прътът е в покой или равномерно праволинейнодвижение, съгласно първия закон на Нютон. Под действието на противоположните силиF , материалът на пръта има стремеж да бъде разделен и придвижен в две противополож-ни посоки. До определена граница на нарастване на силите F прътът запазва целостта сии материалът успешно се съпротивлява на външното въздействие. При това състояние наматериала и на външното въздействие, мислено да разрежем пръта с една напречна напръта равнина α и да разгледаме равновесието на отделената лява част, както е показанона фиг. 5.1б.

Фиг. 5.1. Разрезни усилия при опън (натиск)

Мислено отделената лява част от пръта е също в покой или равномерно праволинейнодвижение, както целия прът. Следователно, тя е в равновесие по отношение на силите ив напречното сечение трябва да има сили, които да уравновесяват единствената външнасила F и в същото време да представляват силовото въздействие на отделената дясна частот пръта върху разглежданата лява.

Вътрешни сили — породените от външното натоварване сили, с които си взаимодейст-ват отделните части от едно твърдо тяло.

31

DR

AFT

Глава 5. Опън и натиск

Метод на сечението — методът на мислено разрязване на твърдото тяло с равнина, прикойто в сечението се проявяват вътрешните сили.

Вътрешните сили са дадени на фиг. 5.1б като система повърхнинни сили−→f . Те могат

да имат различен интензитет в различните точки от напречното сечение. Ако вземемедна точка A от напречното сечение и отделим малка площ ∆S около нея (фиг. 5.1б), торавнодействащата на вътрешните сили по тази елементарна площ е елементарната сила

∆−→F . Въвеждаме величината механично напрежение −→p , като граница на отношението:

−→p = lim∆S→0

∆−→F

∆S. (5.1)

Механично напрежение — мярка за интензитета на вътрешните сили в точка от твър-дото тяло.

Мерната единица за механично напрежение е сила за единица площ или в основни еди-ници на система SI е N/m2. Тази мерна единица е наречена на името на френския ученПаскал и се означава Pa, т.е. 1 Pa = 1 N/m2. Паскалът е много малка мерна единицаза повечето случаи на напрежения в техниката и се използват неговите кратни единицимегапаскал и гигапаскал, като 1 MPa = 106 Pa и 1 GPa = 109 Pa = 103 MPa. Можем даотбележим още, че 1 MPa = 1 N/mm2.

Напрежението −→p е векторна величина, която за удобство се разлага по нормалата итангентата на сечението в точката, в която действат, както е показано на фиг. 5.1в. Проек-цията на напрежението −→p по нормалата n наричаме нормално напрежение и отбелязвамес гръцката буква σ, а проекцията по тангентата t наричаме тангенциално напрежение иотбелязваме с гръцката буква τ .

Равнодействащата на всички вътрешни сили в напречното сечение на пръта от фиг. 5.1трябва да е осова сила, т.е. нормална на напречното сечение, която е равна по големинаи противоположна по посока на силата F , действаща в левия край на пръта, за да яуравновесява.

Нормално разрезно усилие Nx — равнодействащата на всички вътрешни сили в нап-речно сечение на пръта по оста му x.

Когато нормалното разрезно усилие Nx е насочено по външната нормала на напречнотосечение, т.е. навън от мислено отрязаната част от пръта, то е положително (Nx > 0) итогава натоварването наричаме опън. В обратния случай когато Nx е насочено навътрекъм отрязаната част от пръта, то е отрицателно (Nx < 0) и тогава натоварването наричаменатиск.

От проекционното условие за равновесие на силите по оста x, приложено за мисленоотделената лява част от пръта имаме

∑

i

Xi = 0 : Nx − F = 0 ; Nx = F .

От условието за равновесие на силите следва една алтернативна дефиниция за нормалноторазрезно усилие. Големината на нормалното разрезно усилие в едно напречно сечение

на пръта е равна на абсолютната стойност на алгебричната сума от проекциите на

всички сили по оста на пръта, които действат върху едната от двете части на пръта,

на които той е разделен от напречното сечение.

Нормалното разрезно усилие за дясната част от мислено разрязания прът е насоченопротивоположно на това от лявата и равно по големина на него. Това важи и за вът-решните сили въобще, което съответства на третия закон на Нютон. Така положителното

32

DR

AFT

5.2. Деформиране на опънат (натиснат) прът

нормалното усилие Nx за дясна част е насочено отново по положителната нормала нанапречното сечение, но е противоположно на оста x.

§ 5.2. Деформиране на опънат (натиснат) прът

§ 5.2.1. Мярка за деформацията

Под действието на външните сили твърдите тела изменят своите размери и форма, т.е.деформират се. В каква степен става това зависи от свойствата на материала, от койтоса направени твърдите тела. Така например едно каучуково тяло се деформира видимомного повече отколкото едно стоманено тяло със същата форма и размери и под дейст-вието на едни и същи сили. При стоманеното тяло дори може да не успеем да забележимдеформирането му с просто око.

Деформация — изменение на формата и размерите на твърдите тела под действието навъншни сили.

От дефиницията за деформация става ясно, че тя има две страни: едната е изменениетона формата, а другата е изменението на размерите на тялото. Прието е за изменението наформата да се използва терминът дисторсия, а за изменението на размерите — дилатация.

Деформирането на прът подложен на опън (натиск) можем да наблюдаваме най-добре,ако той е от по-еластичен материал, като каучук например, и по външната повърхност напръта нанесем правоъгълна мрежа с боя. Ако запънем пръта в единия край и приложимопънова осова сила в другия край, както това е показано на фиг. 5.2, прътът ще се удъл-жи по оста си и ще се свие в напречно направление. При натискова сила става обратното.Мрежата при това деформиране запазва ортогоналността си и правите линии остават пра-ви, като разстоянието между напречните линии става по-голямо, а между надлъжните —по-малко. При това, увеличаването или намаляването на разстоянието между съответнитесъседни линии е едно и също.

Фиг. 5.2. Деформиране на прът подложен на опън

Да схематизираме опънатия прът от фиг. 5.2 и изменението на размерите му, кактое показано на фиг. 5.3. Прътът с дължина ℓ и напречен размер b след деформиранетопридобива дължина ℓ′ и напречен размер b′. Преместването на свободния край на прътасме означили с δ. Изменението на размерите на пръта се характеризира с абсолютната

33

DR

AFT


промяна на дължината ∆ℓ = ℓ′ − ℓ и на напречния размер ∆b = b′ − b, както и с относи-телната промяна на дължината ∆ℓ/ℓ и на напречните размери ∆b/b. Произволна отсечкас елементарна дължина dx и ориентирана по оста на пръта x, след деформирането му еотново по направлението на оста му, но има вече нова дължина dx′.

Линейна деформация — техническа мярка на деформацията (дилатацията), която пред-ставлява границата на относителната промяна на дължината на елементарна отсечкав точката и направлението, които характеризира, при намаляването на дължинатана отсечката.

В нашия случай, линейната деформация по направление на оста x е:

εx = limdx→0

dx′ − dx

dx(5.2)

Линейната деформация означаваме с гръцката буква ε и индекс, определящ направлени-ето, което тя характеризира. Линейната деформация е безразмерна величина.

Фиг. 5.3. Промяна на размерите на опънат прът

Линейната деформация по оста x за опънатия прът е еднаква във всяка негова точ-ка, според деформирането на праволинейната ортогонална мрежа, и е положителна, т.е.εx > 0. Тогава надлъжната линейна деформация може да се изчисли от относителнотоудължение на пръта

εx =∆ℓ

ℓ. (5.3)

Напречната деформация в кое да е напречно на оста на пръта направление също е еднакваза коя да е точка от пръта и е отрицателна при опън, т.е. ε < 0. Тя също може да се изчислиот относителното изменение на напречните размери

ε =∆b

b. (5.4)

При натиск знаците на линейните деформации се сменят — отрицателна надлъжна ли-нейна деформация и положителна напречна линейна деформация.

§ 5.2.2. Връзка между деформации, напрежения и премествания

Каква е връзката между външните сили, които действат на тялото и деформациите,които то получава? Очевидно, при увеличаване на големината на силата, ще нарастваголемината на деформациите, но линейна ли е тази зависимост или не? След многобройниопити, през 1676 г. Роберт Хук заявява:

”Каквато силата, такова преместването“. Тази

сентенция е най-общата формулировка на закона на Хук.

34

DR

AFT


Закон на Хук — линейната зависимост на преместванията в твърдото тяло от външнитесили, при деформирането му.

В нашия случай на закрепване на пръта и на прилагане на натоварването, можем дазапишем този закон като зависимостта:

δ = kF , (5.5)

където k е коефициент на пропорционалност.От линейната зависимост на преместванията от силите, веднага следва принципа за

независимото действие на силите или както още се нарича — принципа на суперпозицията.

Принцип на суперпозицията — ефектът от действието на система от сили е сума отефектите на всяка от силите, действащи поотделно.

Преместването на свободния край на пръта δ, както и линейните деформации в прътазависят не само от силата, но и от размерите му. За да игнорираме влиянието на размеритеи да изучим поведението на материала на пръта при този вид натоварване — опън илинатиск, трябва да прибегнем до търсенето на зависимост между напреженията, като мярказа интензитета на вътрешните сили в материала, и наблюдаваните линейни деформации,като мярка за деформирането на материала.

Фиг. 5.4. Деформирне на елементарноквадратче

Ако разгледаме деформирането на едно елемен-тарно квадратче от правоъгълната мрежа нанесенана пръта (фиг. 5.4), то линейните деформации по ос-та на пръта x могат да се предизвикат само от нор-мални напрежения σx, действащи в напречното сече-ние. Поради еднаквите надлъжни линейни деформа-ции εx в пръта, ще имаме равномерно разпределениена нормалните напрежения σx в напречните сеченияна пръта, както е показано на фиг. 5.5 върху мисле-но отделена дясна част. От равномерното разпреде-ление на нормалните напрежения следва, че те могатда се определят по най-елементарен начин от нормалното разрезно усилие:

σx =Nx

S, (5.6)

където S е лицето на напречното сечение на пръта. При изпитването на материалите наопън и натиск, което ще бъде разгледано по-нататък, е установена линейна зависимостмежду нормалните напрежения в напречните сечения и линейните надлъжни деформациипри не много големи натоварвания.

Закон на Хук при чист опън (натиск)

σx = E εx , (5.7)

където E е материална константа, наречена модул на еластичност на линейнитедеформации (още модул на Юнг или модул от I-ви род), с основна мерна единицав система SI — Pa, но поради обикновено много голямата и стойност се използванай-често мерната единица GPa (гигапаскал — 109 Pa).

35

DR

AFT


Фиг. 5.5. Разпределение на нормалните напрежения

Напречните деформации ε савинаги противоположни по знакна надлъжните εx. Експеримен-тално е установено, че отношени-ето на големините на тези дефор-мации зависи само от свойства-та на материала. Зависимостта нанапречните деформации от над-лъжните се изразява с

закон на Поасон при чист опън (натиск)

ε = −µ εx , (5.8)

където µ е безразмерна материална константа, наречена коефициент на Поасон(още коефициент на напречната линейна деформация) и има стойност −1 ≤µ ≤ 0, 5 (повечето известни материали имат µ > 0).

Освен под действието на външните сили, твърдите тела променят размерите си и врезултат на изменението на температурата им. Те се разширяват с увеличение на тем-пературата и се свиват с нейното намаление. Установено е, че тази зависимост също елинейна. Можем да дефинираме това относително изменение на размерите на твърдитетела в резултат на изменението на температурата ∆T като

температурна деформацияεT = α ∆T , (5.9)

където α е материална константа, наречена коефициент на линейно темпера-турно разширение и има основна мерна единица в система SI — K−1 (келвин наминус първа, която е равна на 1/◦C).

Физичните свойства на някои често срещани в машиностроенето метали и сплави сададени в табл. 5.1.

Табл. 5.1. Материални константи на някои метали и сплави

МатериалМодул на елас-тичност E, GPa

Коефициент наПоасон µ, —

Коефициент на темпе-ратурно разширение α,×10−6 K−1

алуминий 70 0,33 23,0бронз 96÷120 0,34 18,0÷21,0мед 110÷120 0,33÷0,36 16,6÷17,6месинг 100 0,34 19,1÷21,2стомана 190÷210 0,27÷0,3 10,0÷18,0чугун 83÷170 0,20÷0,30 9,9÷12,0

Линейните деформации, надлъжни и напречни, са еднакви във всички точки на опъ-натия (натиснати) прът. Следователно, нормалните напрежения във всички точки на нап-речните сечения и във всички напречни сечения са еднакви. Напреженията в една точкаопределят нейното напрегнато състояние. Когато всички точки от натовареното с външ-ни сили твърдо тяло се характеризират с еднакви по големина напрежения казваме, ченапрегнатото състояние в твърдото тяло е хомогенно.

36

DR

AFT


Когато в един прът или част от прът има хомогенно напрегнато състояние, то про-мените на размерите на този прът или част от прът могат лесно да се определят. Да сеопитаме да определим преместването на свободния край на опънатия прът (фиг. 5.3), катоизползваме формулите посочени по-горе:

δ = ∆ℓ = ℓ(εx + εT) =

= ℓ(σx

E+ α ∆T

)=

= ℓ

(Nx

ES+ α ∆T

)=

=Nxℓ

ES+ α ∆T ℓ .

∆ℓ =Nxℓ

ES+ α ∆T ℓ . (5.10)

Пример 5.1. Да се определи промяната на дължината и на диаметрите на съставния прътпоказан на фиг. 5.6.


Решение:Прътът е натоварен на натиск с осова сила F . Това

със сигурност може да се разбере, когато се определи раз-резното усилие Nx по метода на сечението. Разрязвайкипръта на две части, разглеждаме дясната част със сили-те, които действат на нея, и нормално разрезно усилие,

което се появява в мястото на разрязване и е насочено по положителната нормала, т.е. обратнона оста x за дясна част. От равновесието на силите по оста на пръта x, имаме:

∑

i

Xi = 0 : −Nx − F = 0 ; Nx = −F .

Нормалното разрезно усилие е отрицателно, Nx < 0, и следователно имаме натиск. При това,то постоянно по дължината на пръта, тъй като няма други сили, които да действат по оста му,освен силата F , приложена в десния край на пръта и опорната реакция в левия му край.

Напрежението в пръта зависи от лицето на напречното сечение и поради промяната му подължината на пръта, ще има два участъка от съставния прът — I и II, с различно напрежение:

σIx =

Nx

SI

=−Fπ d2

I

4

= − F

πd2,

σIIx =

Nx

SII=

−Fπ d2

II

4

= −4F

πd2.

37

DR

AFT


Във десния участък напрежението е 4 пъти по-голямо от това в първия участък.Напрегнатото състояние в съставния прът не е хомогенно, но то е хомогенно във всеки един

от двата му участъка (или двата пръта, от които е съставен). Промяната на дължината на прътаможе да се определи по участъци:

∆ℓ = ∆ℓI + ∆ℓII ,

∆ℓI =Nx ℓI

E SI=

−F a

Eπ d2

I

4

= − Fa

π E d2,

∆ℓII =Nx ℓII

E SII=

−F 2a

Eπ d2

II

4

= −8Fa

π E d2,

∆ℓ = − Fa

π E d2− 8

Fa

π E d2= −9

Fa

π E d2.

Промяната на дължината на съставния прът е отрицателна, което означава, че той се скъсява.Скъсяването на пръта от втори участък е 8 пъти по-голямо отколкото това на пръта от първиучастък.

Промяната на напречните размери (диаметри) на пръта определяме както следва:

∆dI = dIεI = −dIµεIx = −2d

µσIx

E= 2

µF

πEd,

∆dII = dIIεII = −dIIµεIIx = −d

µσIIx

E= 4

µF

πEd.

В резултат на натиска, диаметрите се увеличават, като увеличението във втория участък е 2

пъти по-голямо от това в първия.

Пример 5.2. Да се определят напреженията в дадения прът, както и изменението на дължи-ната и външния му диаметър, след прилагането на осовия товар G. С колко ще се повдигнетовара с тегло G, ако околната температура се понижи с ∆T = 30◦C? Материалът, от койтое направен пръта, е алуминий с модул на еластичност E = 70 GPa, коефициент на Поасонµ = 0, 33 и коефициент на линейно температурно разширение α = 23 · 10−6 K−1.


Решение:Разрезни усилия:

∑

i

Xi = 0 : −Nx + G = 0 ; Nx = G = 30 kN.

Лица на напречните сечения:

SI =πD2

4=

π302

4= 706, 86 mm2;

SII =π(D2 − d2)

4= SI −

πd2

4

= 706, 86 − π202

4= 392, 70 mm2.

Напрежения:

σx I =Nx

SI=

30 · 103

706, 86= 42, 441 = 42, 4 MPa ;

σx II =Nx

SII=

30 · 103

392, 70= 76, 394 = 76, 4 MPa ;

38

DR

AFT

5.3. Изследване на напреженията

Удължение:

∆ℓ =NxℓI

ESI+

NxℓII

ESII=

Nx

E

(ℓI

SI+

ℓII

SII

);

∆ℓ =30 · 103

70 · 109

(300 · 10−3

706, 86 · 10−6+

600 · 10−3

392, 70 · 10−6

);

∆ℓ = 0, 83670 · 10−3 m = 0, 837 mm .

Надлъжни линейни деформации:

εx I =σx I

E=

42, 441 · 106

70 · 109= 0, 6063 · 10−3 = 0, 606 0/00 ;

εx II =σx II

E=

76, 394 · 106

70 · 109= 1, 0913 · 10−3 = 1, 09 0/00 ;

Напречни линейни деформации:

εI = −µ εx I = −0, 33 · 0, 6063 · 10−3 = −0, 20008 · 10−3 = −0, 200 0/00 ;

εII = −µ εx II = −0, 33 · 1, 0913 · 10−3 = −0, 36014 · 10−3 = −0, 360 0/00 .

Изменение на външния диаметър:

∆DI = D εI = 30(−0, 20008 · 10−3) = −6, 0024 · 10−3 mm = −6, 00 µm ;

∆DII = D εII = 30(−0, 36214 · 10−3) = −10, 804 · 10−3 mm = −10, 8 µm .

Повдигане на товара при понижение на температурата:

∆ℓT = α ℓ∆T = 23 · 10−6 · 900 · 30 = 0, 621 mm .

§ 5.3. Изследване на напреженията

§ 5.3.1. Местни напрежения

Разпределението на напреженията и деформациите при опън-натиск е всъщност по-сложно при реалните твърди тела, които са схематизирани като пръти. Причината за товае начинът на прилагане на силите, който не съответства точно на тяхната схематизация,както и промените на формата и размерите на прътите, които са били пренебрегнати присхематизацията. На фиг. 5.8а е даден пример на един обтегач, който в краищата си имауши и отвор в средата си. Обтегачът работи на опън, но прилагането на силата в уши-те от шарнирите става чрез сложно разпределени повърхнинни сили по контактната имповърхност (фиг. 5.8б). Това, заедно със сложната форма на ушите, предизвиква сложнонапрегнато състояние, което обаче с отдалечаване от тях и при навлизане в тази частна пръта, която има регулярна форма и размери на напречните сечения, се превръща впознатото ни хомогенно напрегнато състояние (тъмните области на фиг. 5.8а). В мястотона отвора, напрежението трябва да се повиши, поради отслабването на сечението (нама-ляване на лицето му). Това обаче става с висока концентрация на напреженията близо доотвора (фиг. 5.8в).

Принцип на Сен-Венан — начинът на прилагане на силите оказва влияние на напрег-натото състояние само в точките близо до местата на прилагане на силите.

Концентрация на напреженията — местно увеличение на напреженията, което се по-лучава в местата с рязко изменение на формата и размерите на твърдите тела, на-ричани концентратори на напрежението.

39

DR

AFT


Фиг. 5.8. Местно разпределение на напреженията при опън-натиск

§ 5.3.2. Напрежения в наклонени сечения

Да разгледаме напреженията в наклонено сечение на опънат прът. Ако по метода насечението разрежем мислено опънат прът в две сечения: едното напречно, а другото нак-лонено (фиг. 5.9а), то и в двете сечения напреженията са разпределени равномерно и санасочени по направление на оста на пръта x (фиг. 5.9б). В напречното сечение с нормала,съвпадаща с оста x, напреженията са σx = Nx/S, където S е лицето на напречното сече-ние. Напречното сечение с лице S е проекция на наклоненото сечение с нормала n и лицеSn:

S = Sn cos α .

В наклоненото под ъгъл α сечение, напрежението е означено с pn и представлява пъл-

Фиг. 5.9. Напрежения в наклонено сечение при опън-натиск

ното механично напрежение. Равнодействащите на вътрешните сили и в двете сечения санормалните разрезни усилия, които са равни помежду си:

σxS = pnSn = pnS

cos αили окончателно за пълното напрежение в наклонено сечение имаме:

pn = σx cos α . (5.11)

Сега да разложим пълното напрежение pn по нормалата n и тангентата t на наклоненотосечение на нормално напрежение σn и тангенциално напрежение τn:

σn = pn cos α = σx cos2 α ,

40

DR

AFT

5.3. Изследване на напреженията

τn = pn sin α = σx cos α sin α .

След прилагане на тригонометричните формули за двойни ъгли окончателно се получава:

σn = σx2

(1 + cos 2α)

τn = σx2

sin 2α

}. (5.12)

Диаграмите на получените функции за нормалните и тангенциалните напрежения в зави-симост от ъгъла α са дадени на фиг. 5.10а.

Фиг. 5.10. Диаграми на изменение на напреженията при опън-натиск

Разглеждайки диаграмите на изменение на нормалните и тангенциални напрежения внаклонени под ъгъл α сечения при опън-натиск, можем да направим следните изводи:

• Максималните по големина нормални напрежения се появяват в напречните сечения;

• В надлъжните сечения не действат никакви напрежения — няма напречно взаимо-

действие между надлъжните влакна на пръта(фиг. 5.10б);

• Максималните по големина тангенциални напрежения се намират в сеченията подъгъл 45◦ спрямо оста на пръта(фиг. 5.10в);

• Тангенциалните напрежения в две взаимно перпендикулярни сечения са равни поголемина и противоположни по знак.

Последният извод е валиден за което и да е напрегнато състояние и представлява закон.

Закон за реципрочност на тангенциалните напрежения — тангенциалните напре-жения в две взаимно перпендикулярни площадки прекарани през една точка са на-сочени по един и същи начин към общия им ръб (фиг. 5.11) и са равни по големина:

τα = −τα+90◦ . (5.13)

41

DR

AFT


Фиг. 5.11. Закон за реципрочност на тангенциалните напрежения

Законът за реципроч-ност на тангенциалнитенапрежения изисква дабъде доказан в най-общвид на натоварването ина напрегнатото състоя-ние. Изводите от изслед-ването на напрежениятапри опън-натиск не садостатъчни за доказване-то на валидността на закона. Ние ще го приемем, обаче без доказателства и ще го прила-гаме по-нататък, където се налага.

§ 5.4. Механични характеристики на материалите

§ 5.4.1. Изпитване на опън и натиск

Механичните характеристики на материалите се определят при изпитването им наопън и на натиск. От материала, който ще се изпитва, се изработват образци (фиг. 5.12).Образците могат да имат кръгово или правоъгълно напречно сечение. Образците за изпит-ване на опън имат удебеления(фиг. 5.12а), с които се захващат в челюстите на машинатаза изпитване. Преходите към тези удебеления — захвати, трябва да са плавни с радиусна закръгление, който заедно с съотношението на другите размери на образеца е стан-дартизиран. Спазването на стандарта гарантира повторяемостта и съпоставимостта нарезултатите от изпитването. Образците за изпитване на натиск (фиг. 5.12б) също трябвада отговарят на определени изисквания. Тяхната дължина ℓ не трябва да е по-голяма отдва пъти най-малкият им напречен размер d за да не може образеца да се изкълчи принатиска.

Фиг. 5.12. Образци за изпитване на материалите: а) на опън; б) на натиск

Машините за изпитване на опън и натиск са комбинирани и могат да извършват идвете изпитвания. Най-често те са хидравлични. При изпитването на опън или натиск серегистрира и измерва преместването на единия — подвижен край на образеца, докато дру-гият е неподвижно закрепен, или със залепени датчици (тензометрични преобразуватели)се измерва и регистрира линейната деформация. Измерва се и се регистрира изменениетона силата F , с която се опъват или натискат образците, като нормалното напрежение внапречното сечение се получава като разделим силата F на лицето на напречното сечениеS на образеца преди изпитването. Така за всеки материал при изпитването на опън илина натиск може да се начертае диаграмата σ − ε.

Механичните характеристики, респективно диаграмите σ−ε на различните материалиса различни и имат различен характер. На фиг. 5.13 са дадени типични характеристи-ки на някои материали. При някои, поведението на материала при опън (положителни

42

DR

AFT

5.4. Механични характеристики на материалите

Фиг. 5.13. Типични механични характеристики на материалите

напрежения и деформации) е различно от това при натиск (отрицателни напрежения идеформации). Повечето метали винаги имат една линейна част от диаграмата в началотона натоварването на материала. Основната разлика при материалите е остатъчната де-формация при разрушение, която се различава драстично — при едни е много голяма, апри други — много малка.

Деформацията, която се е появила при натоварване на твърдо тяло и след това напълное изчезнала при разтоварването му, се нарича еластична деформация. Тази деформация,която след разтоварването остава в тялото, се нарича остатъчна деформация или плас-тична деформация. В зависимост от остатъчната деформация, която претърпяват приразрушението си, материалите се делят на две основни групи:

пластични материали — материали, които при разрушението си претърпяват го-леми пластични деформации.

43

DR

AFT


крехки материали — материали, които при разрушението си имат много малкипластични деформации.

§ 5.4.2. Механични характеристики и свойства

Пластичните материали имат напълно симетрично поведение при опън и при натиск,т.е. диаграмата σ−ε при натиск е симетрична спрямо координатното начало на диаграматапри опън. При изпитване на натиск, обаче пластичните материали не могат да се разрушатпоради голямото сплескване на образеца между плочите на машината и невъзможносттада се доведе изпитването до край. Поради симетричността на диаграмите от опън и натиск,достатъчно е да се изпитват пластичните материали само на опън. Една типична диаграмаот изпитване на опън на нисковъглеродна стомана е дадена на 5.14.

Фиг. 5.14. Характеристика на нисковъглеродна стомана при опън

Различават се четири зони в диаграмата на нисковъглеродна стомана. В зона OA, на-речена зона на еластичност, материалът има линейно поведение и претърпява само елас-тични деформации εe, т.е. след пълно разтоварване в материала няма да останат деформа-ции. Следва зоната AB — площадка на провлачване. В тази зона материалът претърпяваголеми пластични деформации при почти постоянна съпротива — напрежението оставаконстанта при нарастващо деформиране. С продължаване на деформирането материалътпридобива отново способността да се съпротивлява срещу него и напрежението започвада се повишава в зоната BC — зона на уякчаване. В един момент от продължаващотодеформиране на материала, развитието на тези деформации става неустойчиво и те сесъсредоточават в една малка и непрекъснато изтъняваща част от образеца — появява сешийка. Това е зоната на местно провлачване CD, като в точка D настъпва окончателноторазрушение.

44

DR

AFT


Механичните свойства на материалите се определят от границите на зоните от диаг-рамата σ − ε от изпитване на материала. За пластичните материали можем да определимдве такива граници: граница на провлачване σs и граница на якост σB. Наклонът надиаграмата в еластичната зона определя модулът на еластичност на линейните дефор-мации E на материала. Поради наличието на шийка и локализиране на деформациитепреди разрушението, отчетените деформации δ не представляват остатъчни деформациипри разрушение, а относително удължение на образеца при разрушение, което все пак епоказател за свойството пластичност на материала.

Фиг. 5.15. Характеристика на крехък материалпри опън и натиск

Характерно за поведението на пластич-ните материали е, че след натоварване надграницата на провлачване σs, в материа-ла се появяват големи деформации ε. Акоразтоварим материала достигнал тези зони,напрежението в него ще намалее по правалиния, съвпадаща по наклон със зоната наеластичност. Така част от деформациите щесе възстановят — еластичните εe, и ще оста-нат само пластичните εp. Подходящо е об-щата деформация тогава винаги да предс-тавяме като сума две деформации:

ε = εe + εp . (5.14)

Цветните метали нямат обособена пло-щадка на провлачване в диаграмата си, как-то и легираните стомани. Легираните сто-мани имат по-стръмна характеристика науякчаване отколкото цветните метали. Имаоще две механични граници, които се изпол-зват за определяне на механичните свойства на материалите: граница на пропорционал-ност σp — там където се появява първото отклонение от линейното поведение в зонатана еластичност и граница на еластичност σE — появата на първите по-значителни плас-тични деформации. Двете граници са много близки до границата на провлачване σs припластичните материали и може да се счита, че съвпадат.

Крехки материали са керамичните материали, бетон, скали, чугун и др. На фиг. 5.15е дадена диаграмата на опън и натиск на крехък материал. Крехките материали иматпо-големи отклонения от линейното поведение и след появата на пластични деформациите се разрушават. Тук разликата в границите на пропорционалност и на еластичност епо-голяма в сравнение с тази при пластичните материали. Напрежението, при което серазрушава материала определя границата му на якост. Характерното за крехките мате-риали е голямата разлика в големината на границата на якост при опън σB,оп и границатана якост при натиск σB,нат. Отношението на тези две граници

k =σB,оп

σB,нат

(5.15)

е в границите от 0,2 до 0,4, т.е. якостта при натиск е от 2,5 до 5 пъти по-голяма от якосттана опън.

45

DR

AFT


§ 5.4.3. Условие за якост

Остатъчните деформации при крехките материали след разрушение са по-малко от 5%,докато при пластичните са повече от 10%. Очевидно, при крехките материали, граница-

та на якост на материала е граничното напрежение, определящо работоспособността

на конструкцията, съответно при опън или натиск. При пластичните материали, обачетова не е така. След натоварване на опън или натиск с напрежение над границата напровлачване, конструкцията има възможността да получи големи пластични деформа-ции, от там много големи премествания и отклонения от формата и размерите и, коитонай-често водят до загубата на работоспособност, макар да не е нарушена целостта наконструкцията. Така за пластичните материали, за граничното напрежение, определя-

що работоспособността на конструкциите се приема границата на провлачване, а не

границата на якост.За да се гарантира работоспособността на конструкцията е необходимо изчислените

при проектирането и максимални напрежения в нея да са достатъчно по-малки от съот-ветните гранични σ∗.

Допустими напрежения [σ] — граничните напрежения σ∗, разделени на коефициентна сигурност n:

[σ] =σ∗

n. (5.16)

Коефициент на сигурност n — коефициент по-голям от единица, n > 1, който има зацел да гарантира работоспособността на конструкцията при експлоатацията и.

Гранично напрежение σ∗ — напрежение, което определя границата на работоспособ-ност на конструкцията:

σ∗ =

σs при пластични материалиσB,оп при опън (σx > 0) на крехки материалиσB,нат при натиск (σx < 0) на крехки материали

. (5.17)

Якостно условие при опън-натиск — максималните по големина изчислителни нап-режения да не надвишават допустимите:

max |σx| ≤ [σ] . (5.18)

Изпълнението на якостното условие при проектирането гарантира запазването на ра-ботоспособността на конструкцията по време на експлоатацията и. То е важно ограниче-ние при оразмеряването на елементите на конструкцията. Освен това ограничение, коетовинаги съществува, при проектирането на конструкцията могат да се налагат и другиограничения, като ограничаването на преместванията в конструкцията:

max δ ≤ [δ] . (5.19)

Такива изисквания за коравина на конструкцията се поставят например на металорежещи-те машини. Това определя тяхната точност на обработката, която постигат. Съществуват иредица други — конструктивни ограничения при проектирането на конструкцията, коитообаче не са предмет на съпротивление на материалите.

Оразмеряването на конструкциите е оптимизационна задача, която трябва да миними-зира икономическите разходи за изработването им (минимален обем или маса на необходи-мия материал) при спазването на редица ограничения, гарантиращи работоспособността и

46

DR

AFT


качеството на конструкцията. Съпротивление на материалите се занимава само с част оттези ограничения, а именно якостните и коравинни условия, които поставят изискваниянай-често за минимални размери.

Пример 5.3. Да се оразмери показаната ставно-прътова конструкция, ако за материала напрътите са приети следните допустими напрежения: [σ]оп = 120 MPa, [σ]нат = 100 MPa. Дасе определи пълното преместване на възела B, ако модулът на еластичност на материала напрътите е E = 200 GPa.


Решение:В прътите на ставно-прътова конструкция възникват само нормални разрезни усилия, т.е. те

са натоварени само на опън или натиск. За определянето на нормалните разрезни усилия изпол-зваме метода на изрязване на възлите. В случая изрязваме възел B и разглеждаме равновесиетому по вертикала и хоризонтала:

∑

i

Vi = 0 : 120 − N2 sin α = 0 ; N2 =120

sin α;

∑

i

Hi = 0 : −N1 − N2 sin α = 0 ; N1 = −N2 cos α = 0 ;

ℓ2 = BC =√

0, 62 + 0, 82 = 1 m ;

sin α =AC

BC= 0, 8 ; cos α =

AB

BC= 0, 6 ;

N2 =120

sinα=

120

0, 8= 150 kN (опън) ;

N1 = −N2 cos α = −150 · 0, 6 = −90 kN (натиск) .

От якостното условие

|σx| =|Nx|S

≤ [σ]

следва, че

[S] =|Nx|[σ]

.

47

DR

AFT


Така определяме необходимите лица на напречните сечения, съобразявайки се с това, кой пръте подложен на натиск и кой на опън.

[S1] =90 · 103

100 · 106= 9 · 10−4 m2 = 9 cm2 ;

[S2] =150 · 103

120 · 106= 12, 5 · 10−4 m2 = 12, 5 cm2 ;

S1 = a2 =⇒ a ≥√

[S1] =√

9 = 3 cm ;

S2 =πd2

4=⇒ d ≥

√4 · [S2]

π=

√4 · 12, 5

π= 3, 9 cm ;

Окончателно за размерите приемаме a = 3 cm и d = 4 cm.Промяната на дължините на прътите изчисляваме по форму-

лата

∆ℓ =Nxℓ

ES,

т.е.

∆ℓ1 =−90 · 103 · 0, 6

200 · 109 · 9 · 10−4= −0, 3 · 10−3 m = −0, 3 mm (скъсяване) ;

∆ℓ2 =150 · 103 · 1

200 · 109 · π42

4 · 10−4= 0, 597 · 10−3 m ≈ 0, 6 mm (удължение) ;

За да определим преместването на възела B ще използвамепринципа на началните размери. Според този принцип конфигура-

цията на елементите на конструкцията не се изменя с дефор-

мирането и, тъй като преместванията са много малки в сравнениес началните размери на елементите на конструкцията. Това озна-чава, че ъгълът между двата пръта α се запазва след деформира-нето. Разглеждайки преместването на възела B, приемаме, че тойсе е преместил в новото си положение B′, като прътите 1 и 2 саостанали успоредни на себе си в новото си положение, съответно1 ′ и 2 ′. Спускаме перпендикуляри от B′ към старата ос на пръта2 и от B към новото положение на пръта 1 — 1 ′.

От △B′KB, който е правоъгален, имаме

δ =

√B′K

2+ KB

2.

Отсечката B′K = ∆ℓ1, но трябва да намерим другата отсечка KB. А тя може да се представикато

KB = KL + LB .

От правоъгълния триъгълник △B′KL имаме

KL =∆ℓ1

tg α,

тъй като ∡KLB′ = ∡MLB = ∡α като кръстни ъгли и ъгли с взаимно-перпендикулярни рамене.От друга страна, от правоъгълния триъгълник △BML, където BM = ∆ℓ2, се получава

LB =∆ℓ2

sin α,

Така окончателно заместваме и получаваме:

δ =

√

∆ℓ21 +

(∆ℓ1

tg α+

∆ℓ2

sin α

)2

=

√

0, 32 +

(0, 3 · 0, 6

0, 8+

0, 6

0, 8

)2

= 1, 02 mm .

48

DR

AFT


Пример 5.4. Да се направи проверка на напреженията в стоманените пръти при зададенотонатоварване, ако за материала са дадени [σ] = 160 MPa и E = 200 GPa. Тялото ABCD е многокораво и може да се приеме за идеално твърдо. Какви биха били напреженията в прътите,ако след натоварването на конструкцията температурата се повиши с 20◦C, а α = 12 · 10−6

K−1.


Решение:1) Определяне на усилията в прътите.

а) Степен на статична неопределимост.Броят на неизвестните опорни реакции надхвърля броя на независимите условия за равнове-

сие, които можем да напишем. Тяхната разлика наричаме степен на статична неопределимост:4 неизвестни опорни реакции

– 3 независими условия за равновесие в равнината

1 път статитично неопределима конструкцияб) Статична страна на задачата.

Статиката ни дава три условия за равновесие в равнината. В случая можем да използва-ме едно проекционно условие по хоризонтала, едно проекционно условие по вертикала и едномоментово условие спрямо точка C:

∑

i

Hi = 0 : RH = 0 ;

49

DR

AFT


∑

i

Vi = 0 : N1 + N2 + RV − F = 0 ;

∑

i

MC i = 0 : N1 · 2 − F · 1 − N2 · 1 = 0 .

От първото от тези уравнения, едната опорна реакция е определена, но остават последните двеуравнения, които съдържат три неизвестни. За тяхното определяне е необходимо още едно урав-нение, което трябва да се появи като се разгледа геометрията на деформиране на конструкцията,поради наложените връзки, които са повече от необходимото за кинематичната и неизменяемост.

в) Геометрична страна на задачата.Разглеждаме възможните премествания в конструкцията в резултат на деформиране на пръ-

тите под действие на силите. Установяваме, че при това деформиране коравото тяло ABCD сезавърта около опората C така, че винаги

uA = 2uD .

Сега да превърнем тази зависимост в зависимост между разрезните усилия в прътите или всеедно между реакциите на опорите.

г) Физична страна на задачата.Разглеждайки начина, по който се деформират прътите установяваме, че горепосочената за-

висимост между преместванията се превръща в следната зависимост между удълженията напрътите

∆ℓ1 = −2∆ℓ2 .

Тук знакът минус е поставен поради отрицателното удължение, т.е. скъсяване, на пръта 2, ко-ето не е получено от приетото положително, т.е. опъново, нормално разрезно усилие в пръта, аобратно — от отрицателно по алгебрична стойност нормално разрезно усилие. От формулата заопределяне на удълженията имаме

N1ℓ1

ES1= −2

N2ℓ2

ES2.

Така за разрезното усилие в първия прът получаваме:

N1 = −2S1

S2

ℓ2

ℓ1N2 ;

N1 = −23

5

1

2N2 = −0, 6 N2 .

Сега остава да използваме последната зависимост, получена за нормалните разрезни усилияв прътите, заедно с останалите, които имаме от статиката. Можем да използваме последнотоуравнение на статиката, което е следствие от моментовото условие за равновесие и също съдържасамо двете търсени разрезни усилия като неизвестни.

д) Съвместно решаване на уравненията.Заместваме израза за N1 в моментовото условие

−2 · 0, 6N2 − F − N2 = 0 ;

N2 = − F

2, 2= −120

2, 2= −54, 545 kN ;

N1 = −0, 6N2 = −0, 6 · 54, 545 = 32, 727 kN .

2) Напрежения в прътите.

σx 1 =N1

S1=

32, 727 · 103

3 · 10−4= 109, 09 · 106 Pa = 109 MPa < [σ] = 160 MPa ;

σx 2 =N2

S2=

−54, 545 · 103

5 · 10−4= −109, 09 · 106 Pa = −109 MPa , |σx 2| < [σ] = 160 MPa .

50

DR

AFT


3) Усилия в прътите след повишаване на температурата.Уравненията от физичната страна на задачата трябва да включат и температурното раз-

ширение, с което ще се променят. Това се отразява на резултата от съвместното решаване науравненията.

а) Физична страна на задачата.

∆ℓ1 =N1ℓ1

ES1+ α ∆T ℓ1 =

N1 · 2200 · 109 · 3 · 10−4

+ 12 · 10−6 · 20 · 2 =

(N1

30+ 480

)· 10−6

∆ℓ2 =N2ℓ2

ES2+ α ∆T ℓ2 =

N2 · 1200 · 109 · 5 · 10−4

+ 12 · 10−6 · 20 · 1 =

(N2

100+ 240

)· 10−6

∆ℓ1 = −2∆ℓ2

N1

30+ 480 = −2

N2

100− 480

N1 = −0, 6N2 − 28 800 N .

б) Съвместно решаване на уравненията.

−1, 2N2 − 2 · 28 800 − F − N2 = 0 ;

N2 =−57 600 − 120 000

2, 2= −80 727 N = −80, 7 kN ;

N1 = −0, 6N2 − 28 800 = −0, 6 (−80 727) − 28 800 = 19 636 N = 19, 6 kN .

4) Напрежения в прътите след повишаване на температурата.

σx 1 =N1

S1=

−19 636

3 · 10−4= 65, 453 · 106 Pa = 65, 5 MPa ;

σx 2 =N2

S2=

80727

5 · 10−4= −161, 45 · 106 Pa = −161 MPa ;

Напреженията в пръта 1 са се понижили, като σx 1 < [σ], но в пръта 2 те са нарастнали поголемина и са |σx 2| > [σ]. Якостното условие не е изпълнено, но с не по-вече от 5%, което егрешката на методите в съпротивление на материалите, и все още се счита за допустимо. Така,че може да се приеме, че прътите са работоспособни и при това натоварване.

51

DR

AFT


52

DR

AFT

Глава 6

Срязване и усукване

§ 6.1. Срязване

§ 6.1.1. Разрезни усилия

Ако натоварим един неподвижно закрепен прът с напречни на оста му сили (фиг.6.1а), то в напречно сечение на пръта (фиг. 6.1б), по метода на сечението ще се появят дверазрезни усилия:

тангенциално разрезно усилие Qz — равнодействащата на вътрешните сили поос z, напречна на оста на пръта x.

огъващ момент My — момента на вътрешните сили около оста y, напречна на остана пръта x.

Фиг. 6.1. Натоварване с напречни сили

Ще се придържаме към тази координатна система, при която оста z е насочена надолу,а оста y срещу нас, при равнинно изобразяване на хоризонтални пръти. Координатнатасистема при всички случаи трябва да е дясно ориентирана, като оста на пръта винагисъвпада с оста x. При най-общо натоварване в напречните сечения на пръта могат да сепоявят разрезни усилия и по другите оси, като Qy и Mz. Разрезните усилия се приематза положителни, ако векторите им са насочени за лява част по осите и за дясна част —обратно на осите.

От условието за равновесие на мислено разделените по метода на сечението частина пръта следва и едно алтернативно определение за разрезните усилия. Големината на

53

DR

AFT

Глава 6. Срязване и усукване

тангенциалното разрезно усилие Qz в едно напречно сечение на пръта е равна на абсо-

лютната стойност на алгебричната сума от проекциите на всички сили по оста z,които действат върху едната от двете части на пръта, на които той е разделен от

напречното сечение. Големината на огъващия момент My в едно напречно сечение на

пръта е равна на абсолютната стойност на алгебричната сума от моментите спрямо

оста y на всички сили, които действат върху едната от двете части на пръта, на

които той е разделен от напречното сечение.

Ако напречните сили имат много малки рамена спрямо напречното сечение, коеторазглеждаме, то огъващият момент е много малък и можем да видим само ефекта от раз-резното усилие Qz. Натоварване, при което напречните на оста на пръта сили създаваттангенциално разрезно усилие, но огъващият момент е пренебрежимо малък, наричамесрязване. Най-често срязването се реализира от прилагането на две взаимно противопо-ложни и равни по големина напречни сили, действащи много близо една до друга върхупръта. Такива примери са ножиците, гилотината и щанците. Срязване може да възникнев заваръчните, болтовите, нитовите и щифтовите съединения.

§ 6.1.2. Деформации и напрежения при срязване

На фиг. 6.2а е даден много къс прът с нанесена ортогонална мрежа по външната муповърхност. При прилагане на напречна сила в свободния край на пръта той се деформира,както е показано на фиг. 6.2б. Ако материалът на пръта е много еластичен, напримеркаучук, то показаният начин на деформиране може да се наблюдава с просто око. Такъвпример може да е гуменият тампон с вулканизирани метални планки в двата си края, скойто се окачва двигателят на автомобила или скоростната кутия към рамата му. Всичкинапречни прави линии остават прави след деформирането и на еднакво разстояние едни отдруги, като се изключи малък краеви ефект, който може да се наблюдава в непосредственаблизост до горната и долна повърхности и е свързан с тяхното изкривяване. Тези линии непроменят наклона си, ако действително огъващият момент е незначителен. Надлъжнителинии остават прави и на равни разстояния, но се наклоняват под един и същ ъгъл γ. Такапървоначално перпендикулярните надлъжни и напречни линии стават коси, като ъгълътγ е ъгълът, с който се променя правият ъгъл между тях — едни от ъглите се увеличават(стават тъпи), други намаляват (стават остри).

Фиг. 6.2. Деформиране при срязване

Ъглова деформация — техническа мярка за деформацията на телата (дисторсията),която представлява ъгъла на изменение на правия ъгъл между две взаимно перпен-дикулярни направления, прекарани в дадена точка от тялото.

54

DR

AFT

6.1. Срязване

Ъгловата деформация е безразмерна величина и като мярка на ъгъл се определя в радиани(rad).

Да разгледаме едно елементарно квадратче от мрежата на късия прът подложен насрязване. След деформирането му неговите страни не се изменят по дължина и оставатуспоредни (фиг. 6.3). Само правите ъгли на квадрата се изменят и той се превръща вромб. Такова деформиране е възможно само ако по площадките (сеченията), очертава-щи страните на квадрата действат тангенциални напрежения. Опитно е установено, четангенциалните напрежения τ са пропорционални на ъгловите деформации γ:

закон на Хук при чисто плъзгане

τ = G γ , (6.1)

където G е модул на еластичност на ъгловите деформации (модул на еластичност отвтори род). Основната мерна единица в система SI е Pa, но по-подходяща за повечетоматериали е GPa (109 Pa). Модулът на еластичност на ъгловите деформации G есвързан с модула на еластичност на линейните деформации E и с коефициента наПоасон µ със следната зависимост:

G =E

2 (1 + µ), (6.2)

чието доказателство ще пропуснем.

Фиг. 6.3. Деформиране наелементарно квадратче

Ъгловите деформации на всички квадратчета в едно нап-речно сечение са еднакви, следователно тангенциалните нап-режения в напречно сечение са равномерно разпределени посечението (фиг. 6.4). От това разпределение следва, че тан-генциалните напрежения τxz могат да се получат по елемен-тарен начин от тангенциалното разрезно усилие Qz:

τxz =Qz

S, (6.3)

където S е лицето на напречното сечение. Разбира се, притази хипотеза за разпределението на тангенциалните напре-жения изключваме напълно краевите ефекти, които се по-

лучават в близост до външните повърхнини. Всъщност от закона за реципрочност натангенциалните напрежения става ясно, че след като по външните повърхнини няма тан-генциални напрежения, няма такива и в непосредствена близост до общия с тях ръб нанапречното сечение.

За означаването на тангенциалните напрежения използваме два индекса: първия нанормалата на площадката, в която те действат, втория на направлението, по което дейс-тват. Същите са индексните означения на съответните ъглови деформации, но те иматсмисъл на взаимно перпендикулярните направления, изменението на правия ъгъл, междукоито представлява тази ъглова дформация.

§ 6.1.3. Якостни изчисления на болтови, нитови и щифтови съеди-

нения

На фиг. 6.5а е изобразено нитово съединение между два плоски пръта, подложени наопън. Взаимодействието между отделните части на съединението става по-ясно, ако серазгледа разреза, показан на фиг. 6.5б.

55

DR

AFT


Фиг. 6.4. Разпределение на напреже-нията при срязване

На мястото на нита може да имаме болт или щифт и това не променя нещата. Стеблотона нита е подложено на силовото въздействие на планките (прътите), всяка от които сепритиска със сила F по контактната си повърхнина с нита — полуцилиндрична околнаповърхнина (фиг. 6.5в).

Фиг. 6.5. Нитово съединение

В резултат от действието на близко приложените сили F , в нита се появява стремежза срязване по едно от напречните му сечения (фиг. 6.5г). Тангенциалните напрежения отсрязване в застрашеното сечение са

τср =Q

Sнит

=Fπd2

4

.

Якостното условие за срязване е

τср ≤ [τ ]ср , (6.4)

където допустимото тангенциално напрежение на срязване [τ ]ср се определят или в резул-тат на специални изпитвания на срязване или от практически съображения се приема:

[τ ]ср ≈{

0, 6 [σ] за пластични материали0, 8 [σ]оп за крехки материали

.

По контактната повърхнина между нита и планките може да настъпи смачкване наматериала, което се изразява в повърхнинно пластично течене на материала навън ототвора и увеличаване на хлабавините в съединението. Сложно разпределеното контактноналягане p съвсем хипотетично се представя като равномерно разпределено по надлъжно

56

DR

AFT

6.1. Срязване


диаметрално сечение от нита напрежение на смачкване σсм (фиг. 6.5д). В такъв случайусловното напрежение на смачкване може да се определи като:

σсм =Q

Sсм

. (6.5)

В нашия случай имаме

σсм =F

d h.

Якостното условие за смачкване можем да напишем по подобен начин

σсм ≤ [σ]см , (6.6)

където за допустимото напрежение на смачкване [σ]см се приема

[σ]см = (2 ÷ 2, 5) [σ]нат .

По подобен начин се изчисляват на якост болтови и нитови съединения. При по-сложнисъединения, с повече на брой нитове, болтове или щифтове или повече на брой планки,трябва да се внимава в разпределението на натоварването между отделните елементикакто и кои и колко на брой са сеченията, подложени на срязване.

Пример 6.1. Да се оразмери показаното болтово съединение, подложено на опън със силаF = 80 kN, ако елементите му са от стомана със [σ]оп = 160 MPa, [τ ]ср = 120 MPa и[σ]см = 320 MPa.

Решение:1) Оразмеряване на болтовете от условието за срязване

57

DR

AFT


На срязване със сила F са подложени по две напречни сечения отвсеки болт

Sср = 2πd2

42 = πd2

Якостното условие за срязване е

τср =Q

Sср

=F

πd2≤ [τ ]ср

Тогава за диаметъра на болта се получава

d ≥√

F

π[τ ]ср=

√80 · 103

π120= 14, 57 mm

За номинален диаметър на болтовете приемаме d = 16 mm.

Определяне на дебелината на планките (прътите) от условието за смачкванеНа смачкване със сила F е подложена контактната повърхнина между двата болта и средната

планка с дебелина δ, която се намира в отворите. Ефективната площ на тази повърхност е

Sсм = d δ · 2

Якостно условие

σсм =Q

Sсм

=F

2d δ≤ [σ]см

За дебелината се получава

δ ≥ F

2d[σ]см=

80 · 103

2 · 16 · 320 = 7, 812 mm

Друга такава повърхнина се образува между тънките странични планки с дебелина δ/2 и бол-товете, но силата F е разпределена между двете планки, така че се получава същото якостноусловие. Така окончателно приемаме δ = 8 mm.

3) Определяне на ширината a от якостното условие за опън

Всеки от прътите е подложен на опън, като прътът с дебелина δ е подложен на опън съссила F , докато тези с дебелина δ/2 със сила F/2. Достатъчно е да разгледаме един от тях. Замеждинния прът застрашено е отслабеното от двата отвора напречно сечение с лице

Sотсл = (a − 2d)δ

58

DR

AFT

6.2. Усукване на пръти с кръгово напречно сечение

Якостно условие:

σx =Nx

Sотсл

=F

(a − 2d)δ≤ [σ]оп

За размера a се получава

a ≥ F

δ[σ]оп+ 2d =

80 · 103

8 · 160 + 2 · 16 = 94, 5 mm

Окончателно приемаме a = 95 mm.4) Определяне на размера b от условието за срязване на планките зад отворите

(изпрошване).При натиска си върху отворите на планката болтовете се опитват да изтласкат материала зад

тях извън планката, т.е. да срежат планката зад отворите. Зад всеки отвор могат да се образуватпо два среза с дължина между b и b − d/2. За по-сигурно ще приемем, че дължината на среза еb − d/2, т.е. по-малката дължина.

Sизпр = 2

(b − d

2

)δ · 2 = (4b − 2d)δ

Якостно условие:

τср =F

(4b − 2d)δ≤ [τ ]ср

За размера b се получава

b ≥(

F

δ[τ ]ср+ 2d

)1

4=

(80 · 103

8 · 120 + 2 · 16)

1

4= 28, 83 mm

Може да се приеме b = 30 mm.

§ 6.2. Усукване на пръти с кръгово напречно сечение

§ 6.2.1. Разрезни усилия

Усукването на пръти е най-типично за въртящите се части на машините. Въртящисе части — пръти, които предават въртящ момент се наричат валове. Трансмисионнитевалове предават както въртеливо движение с ъглова скорост ω, така и въртящ момент M ,или най-общо казано, те предават мощност P = Mω. Ако скоростта на въртене на вала езададена като честота на въртене n в обороти за минута, т.е. tr/min или просто min−1, тоза ъгловата скорост ω в основни единици на система SI — радиани за секунда (rad/s) сеполучава

ω =π n

30. (6.7)

Тогава за въртящия момент, предаван от вала, имаме

M =P

ω. (6.8)

Разглеждайки вал с постоянна скорост на въртене, той е в равновесие и може да сепредстави като прът, натоварен в краищата си с два осови момента, равни по големина навъртящия момент M (фиг. 6.7а). Въртящите моменти M създават стремеж за усукванена вала, т.е. завъртане на крайните сечения едно спрямо друго около оста на пръта. Акоразрежем мислено вала по метода на сечението, то вътрешните сили, които действат внапречното сечение, трябва да създават уравновесяващ момент Mx за да има равновесиена мислено отделената част от вала (фиг. 6.7б).

59

DR

AFT


Фиг. 6.7. Разрезни усилия при усукване

Усукващ момент Mx — главният момент спрямо оста x на вътрешните сили, действащив напречното сечение на пръта.

Прието е усукващият момент да се счита за положителен, когато векторът му е насочен повъншната (положителна) нормала на напречното сечение. От равновесието на вала следваалтернативно определение за усукващия момент. Големината на усукващия момент Mx

в едно напречно сечение на пръта е равна на абсолютната стойност на алгебричната

сума от моментите спрямо оста на пръта x на всички сили, които действат върху

едната от двете части на пръта, на които той е разделен от напречното сечение.

§ 6.2.2. Деформации и напрежения при усукване на пръти с кръго-

во напречно сечение

За да наблюдаваме деформациите в прав прът с кръгово напречно сечение, подложенна усукване, можем да нанесем с боя ортогонална мрежа по външната повърхност на ка-учуков прът (фиг. 6.8а). В крайните напречни сечения, мрежата представлява система отрадиални линии и концентрични окръжности. След усукването на пръта под действиетона усукващ момент M мрежата се деформира, като образувателните линии от цилиндрич-ната повърхност се наклоняват на един и същи ъгъл, образувайки система от успореднивинтови линии (фиг. 6.8б). В напречните сечения мрежата не се деформира и те се завър-тат като корави дискове едно спрямо друго.

Фиг. 6.8. Деформиране на прът при усукване

Да отделим мислено един диск от усукания прът с кръгово напречно сечение с де-белина dx и да го обстържем до радиус ρ (фиг. 6.9). Правият ъгъл, образуван междуобразувателната линия по цилиндричната повърхност и окръжността от напречното се-чение, се изменя след деформирането с ъгъл γ — ъглова деформация. Дъгата

⌢a може да

60

DR

AFT


се изрази чрез тази ъглова деформация:

⌢a= γ dx .

Фиг. 6.9. Ъглова деформация при усукване

От друга страна същата дъга⌢a може да се

изрази чрез елементарния ъгъл dϕ, на койтосе завъртат двете

”съседни“ напречни сече-

ния, и чрез радиуса ρ:

⌢a= ρ dϕ .

От тук следва, че ъгловата деформация е про-порционална на радиуса:

γ = ρdϕ

dx

с коефициент на пропорционалност, нареченотносителен ъгъл на усукване.

Относителен ъгъл на усукване θ — мярка за интензитета на усукването:

θ =dϕ

dx. (6.9)

Окончателно за ъгловата деформация при усукване се получава линейната зависимост

γ = ρ θ . (6.10)

Фиг. 6.10. Разпределение на тангенциалните напрежения в кръгови сечения при усукване

От закона на Хук при чисто плъзгане τ = γ G и последната зависимост се получавалинейна зависимост и за тангенциалните напрежения при усукване

τ = ρ θ G . (6.11)

Тази зависимост определя диаграмата на разпределение на тангенциалните напреженияот усукване в плътни кръгови напречни сечения (фиг. 6.10а) и тръбни кръгови напречнисечения (фиг. 6.10б). Ако в тези напречни сечения с лице S, отделим елементарна площdS около точка на радиус ρ от центъра C на сечението, в която действа напрежение τ ,

61

DR

AFT


то елементарната сила, действаща там е τ dS, която има елементарен момент ρ τ dS спря-мо центъра на сечението. Интегрирайки елементарните моменти по лицето на сечението,трябва да получим момента на вътрешните сили, т.е. разрезното усилие Mx

Mx =

∫

S

ρ τ dS = θ G

∫

S

ρ2dS .

Последният интеграл се нарича полярен инерционен момент на сечението.

Полярен инерционен момент IC — геометрична характеристика на сечението:

IC =

∫

S

ρ2dS . (6.12)

с основна мерна единица в система SI — m4 и подходяща мерна единица за повечетослучаи — cm4.

Така за относителния ъгъл на усукване получаваме

θ =Mx

G IC

, (6.13)

където израза GIC наричаме коравина на пръта при усукване.Като заместим (6.13) в (6.11) и съкратим на G, за тангенциалните напрежения се

получава:

τ =|Mx|IC

ρ . (6.14)

Максималните тангенциални напрежения се появяват в периферните точки от напречнотосечение, които са на максимален радиус ρ = r — външния радиус на сечението

max τус =|Mx|IC

r =|Mx|

IC

r

=|Mx|WC

,

където WC е геометрична характеристика.

Полярен съпротивителен момент WC — геометрична характеристика на сечението

WC =2IC

d, (6.15)

където d е външният диаметър на сечението. Основна мерна единица в система SI еm3, а подходяща в повечето случаи е cm3.

Така окончателно, максималните тангенциални напрежения от усукване на пръти с кръ-гови напречни сечения се определят по формулата:

max τус =|Mx|WC

. (6.16)

Геометричните характеристики могат лесно да се изчислят за кръговите сечения отсамата им дефиниция. Резултатите от интегрирането могат да се видят в табл. 6.1.

От дефиницията за относителен ъгъл на усукване (6.9) следва, че

dϕ = θ dx .

62

DR

AFT


Табл. 6.1. Геометрични характеристики при усукване на кръгови напречни сечения

Сечение IC WC Размери

плътно πd4

32πd3

16

тръбно πD4

32

[1 −

(dD

)4]

πD3

16

[1 −

(dD

)4]


Замествайки θ с (6.13), се получава

dϕ =Mx

GICdx .

Ъгълът ϕℓ, на който се завъртат две напречни сечения, отстоящи на разстояние ℓ едно отдруго, при усукване на прав прът се получава след интегриране на последно равенство:

ϕℓ =

∫

ℓ

Mx

GIC

dx . (6.17)

Най-често прътите подложени на усукване (валовете) имат усукващ момент Mx = const икоравина GIC = const по дължината си или поне могат да се разделят на такива участъци.Тогава интегрирането на (6.17) води до по-проста и приложна формула за определяне наъгъла на усукване

ϕℓ =Mxℓ

GIC. (6.18)

Пример 6.2. Да се оразмери показаният вал, предаващ мощност P = 30 kW при честотана въртене n = 286, 5 min−1, ако допустимото напрежение е [τ ] = 80 MPa и допустимияотносителен ъгъл на усукване е [θ] = 0, 6◦/m при модул на еластичност на ъгловите дефор-мации за материала G = 80 GPa. Да се начертае диаграмата на действителните напреженияв застрашеното сечение на вала при така определените му размери.

Решение:

63

DR

AFT


Ъгловата скорост на вала се определя от честота му на въртене

ω =πn

30=

π286, 5

30= 30 rad/s .

Въртящият момент предаван от вала е

M =P

ω=

30000

30= 1000 N.m .

Валът е подложен на чисто усукване, тъй като, ако мислено го разрежем, в напречното сечениена разрязването различно от нула е само разрезното усилие усукващ момент Mx. От условиетоза равновесие на отрязаната лява част от вала имаме:

∑

i

Mx i = 0 : Mx + M = 0 =⇒ Mx = −M .

Оразмеряването на вала според якостното условие заусукване

max τус =|Mx|WC

=|Mx|πd3

16

=16|Mx|

πd3≤ [τ ]

d ≥ 3

√16|Mx|π[τ ]

=3

√16 · 1 000

π · 106= 39, 9 · 10−3 m

Окончателно избираме d = 40 mm.

Оразмеряване на вала според условието за достатъч-на коравина

|θ| =|Mx|GIC

=|Mx|Gπd4

32

=32|Mx|π Gd4

≤ [θ]

[θ] = 0, 6◦/m =0, 6π

180= 0, 01047 rad/m

d ≥ 4

√32|Mx|π G [θ]

= 4

√32 · 1000

π 80 · 109, 0, 01047= 59, 05 · 10−3 m

Условието за достатъчна коравина е по-строго отколкотоякостното условие и окончателно приемаме d = 60 mm.

При така избрания размер максималните напрежения отусукването в напречните сечения на вала са

max τус =|Mx|WC

=|Mx|πd3

16

=16|Mx|

πd3

max τус =16 · 1 000

π0, 063= 23, 6 · 106 Pa = 23, 6 MPa

и диаграмата на действителните тангенциални напрежения от усукването е както е според чер-тежа.

Максималните тангенциални напрежения се оказват 3,4 пъти по-малки от допустимите.

Пример 6.3. Да се определят максималните тангенциални напрежения и ъгълът на завър-тане на сечение A от показания усукан прът с кръгово напречно сечение с диаметър d = 50mm, ако модулът на еластичност на ъгловите деформации за материала е G = 80 GPa.

64

DR

AFT



Решение:1) Определяне на разрезните усилия

Участък AB

∑

i

Mx i = 0 : −1 + Mx = 0

Mx = 1 kN.m

Участък BC

∑

i

Mx i = 0 : −1 + 1, 5 + Mx = 0

Mx = −0, 5 kN.m

Построяваме диаграмата на изменение на усукващия момент по дължината на вала.

2) Напрежения в застрашените сече-ния

Застрашени са напречните сечения от учас-тъка AB с максималния усукващ момент отMx = 1 kN.m. Там се получават и най-големитетангенциални напрежения от усукването.

max τус =|Mx|WC

WC =πd3

16=

=π0, 053

16= 24, 5 · 10−6 m3

max τус =1000

24, 5 · 10−6= 40, 75 · 106 Pa = 41 MPa

3) Завъртане на сечение A

ϕAC = ϕAB + ϕBC =Mx ABℓAB

GIC+

Mx BCℓBC

GIC=

ℓ

GIC(Mx AB + Mx BC)

ϕAC =32ℓ

Gπd4(Mx AB + Mx BC) =

32 · 180 · 109π0.054

(1000 − 500) = 0, 0102 rad

ϕAC = 0, 0102180◦

π= 0, 5836◦ = 0◦35′

65

DR

AFT


§ 6.2.3. Напрежения в наклонена площадка при усукване

Да разгледаме равновесието на малък сегмент с дължина dx от пръстен с дебелина dρот прът с кръгово напречно сечение, подложен на усукване (фиг. 6.13а). По тънките стенисе появяват тангенциалните напрежения τ . Погледнат в план, този сегмент от пръстенизглежда като правоъгълник (фиг. 6.13б). От него е отрязан триъгълникът ABC, чиятострана BC има нормала n под ъгъл α спрямо оста на пръта x. От правоъгълния △ABCс ∡α при върха си C имаме:

AC = CB cos α , AB = CB sin α . (6.19)

Фиг. 6.13. Напрежения в наклонена площадка при усукване

Проекционните условия на равновесие по нормалата n и по тангентата t

∑

i

Fn i = 0 ,

∑

i

Ft i = 0 .

са съответно:σn CB dρ + τ AC dρ sin α + τ AB dρ cos α = 0

τn CB dρ − τ AC dρ cos α + τ AB dρ sin α = 0

}(6.20)

След заместване на (6.19) в (6.20) и деление на равенствата на CB dρ, се получава:

σn = −2τ sin α cos α

τn = τ (cos2 α − sin2 α)

}.

След преминаваме към тригонометрични функции от двойни ъгли, за функциите на нап-реженията в наклонена под ъгъл α площадка се получава:

σn = −τ sin 2α

τn = τ cos 2α

}. (6.21)

Диаграмите на функциите (6.21), по които се изменят напреженията в наклонена пло-щадка при усукване, са дадени на фиг. 6.14а. Разглеждайки изменението на напреженията,могат да се направят следните изводи за тяхната големина:

66

DR

AFT

6.3. Усукване на пръти с некръгово напречно сечение

Фиг. 6.14. Изменение на напрежения в наклонена площадка

• Максималните тангенциални напрежения са в площадките от изходното напрегнатосъстояние (фиг. 6.14б);

• Максималните по големина нормални напрежения действат в площадките под ъгъл±45◦, като едните са най-големите опънови, а другите — най-големите натисковинормални напрежения, но и двете напрежения имат големина равна на τ (фиг. 6.14в).

§ 6.3. Усукване на пръти с некръгово напречно сечение

Усукването на пръти с некръгово напречно сечение е по-сложно и изводите за разпре-делението на деформациите и напреженията в напречните сечения могат да се направятвъз основа на по-високи познания по висша математика и механика на деформируемо-то тяло. Тук ще се ограничим в използването наготово на резултатите от изследваниятана този проблем в теория на еластичността за три вида сечения: плътно правоъгълно,затворено тънкостенно и отворено тънкостенно. На фиг. 6.15 са дадени диаграмите наразпределение на тангенциалните напрежения за тези напречни сечения.

При плътното правоъгълно сечение, тангенциалните напрежения са разположени вет-рилообразно около центъра, като най-големите са в средата на дългата страна на право-ъгълника. При затворените тънкостенни сечения, напреженията са равномерно разпре-делени по всяка линия, перпендикулярна на средната линия на стената. За тези сечения,произведението на напреженията τ и дебелината на стената t е постоянна величина по дъл-жината на средната линия, т.е. τ t = const. От тук следва, че максималните тангенциалнинапрежения от усукване на затворени тънкостенни профили се получават в най-тънкотомясто от стената на профила. При отворените тънкостенни профили напреженията саразпределени по линеен закон по линия перпендикулярна на средната линия на стенатана профила, като са нула в точките от средната линия и нарастват с един и същи темпс отдалечаването им от нея. Следователно, максималните тангенциални напрежения отусукване на отворени тънкостенни профили се намират в крайните точки от сечението нанай-дебелото място от стената.

67

DR

AFT


Фиг. 6.15. Разпределение на тангенциалните напрежения от усукване в некръгови напречнисечения: а) плътно правоъгълно, б) затворено тънкостенно, в) отворено тънкостенно.

Подобно на кръговите напречни сечения, тук също могат да се ползват формулата заотносителния ъгъл на усукване

θ =Mx

GIT(6.22)

и формулата за максималните тангенциални напрежения от усукване

max τус =|Mx|WT

. (6.23)

Тук IT е инерционен момент при усукване, а WT — съпротивителен момент на сечениетосрещу усукване, като и двете характеристики са псевдо-геометрични характеристики насечението. Формулите за тяхното изчисляване се дават в справочните таблици по съп-ротивление на материалите. За плътното правоъгълно сечение се дават в табличен видкоефициенти, които зависят от съотношението на страните на правоъгълника. Среднаталиния на стената играе важна роля при определянето на геометричните характеристикиза тънкостенните сечения.

За участък от пръта с постоянен относителен ъгъл на усукване θ = const, може лесно дасе определи ъгълът на усукване ϕℓ на крайните сечения, които се намират на разстояниеℓ по формулата:

ϕℓ =Mxℓ

GIT, (6.24)

която следва от определението за относителен ъгъл на усукване (6.9) и (6.22).

Пример 6.4. Определете максималното напрежение от усукването на прът с даденото затво-рено тънкостенно напречно сечение при усукващ момент Mx = 1, 5 kN.m. Определете относи-телният ъгъл на усукване на пръта при G = 80 GPa. Какви ще са максималните тангенциалнинапрежения и относителният ъгъл на усукване, ако профилът се превърнал в тънкостененотворен поради появила се пукнатина в стената му?

Решение:1) Затворено тънкостенно сечение

68

DR

AFT

6.3. Усукване на пръти с некръгово напречно сечение


WT = 2Aδmin = 2(7 · 3, 5)0, 5 = 24, 5 cm3

max |τ |ус =|Mx|WT

=1500

24, 5 · 10−6= 61, 2 · 106 Pa = 61 MPa

IT =4A2

∑i

Li

δi

=4(7 · 3, 5)22 7

0,5 + 23,51

= 68, 6 cm4

θ =|Mx|GIT

=1500

80 · 109 · 68, 6 · 10−8

= 0, 0273 rad/m (×180◦

π= 1, 6◦/m)

2) Отворено тънкостенно сечение

IT =1

3

∑

i

δ3i Li =

1

32(0, 53 · 7 + 13 · 3, 5) = 2, 917 cm4

WT =IT

δmax=

2, 917

1= 2, 917 cm3

max |τ |ус =|Mx|WT

=1500

2, 917 · 10−6

= 514, 3 · 106 Pa = 514 MPa

θ =|Mx|GIT

=1500

80 · 109 · 2, 917 · 10−8

= 0, 643 rad/m (×180◦

π= 36, 8◦/m)

Както напреженията така и относителният ъгъл на усукване са неимоверно високи и неп-риемливи за повечето конструктивни материали. Това показва колко опасно е спукването назатворено тънкостенно сечение и колко по-ниска носеща способност има отвореното тънкостенносечение в сравнение със затвореното.

69

DR

AFT


70

DR

AFT

Глава 7

Огъване

§ 7.1. Разрезни усилия

В предходната глава, при разглеждане на срязването, беше изяснено, че под действиена напречните сили, в прътите се появяват две разрезни усилия — тангенциалното разрез-но усилие и огъващият момент (при равнинно натоварване съответно Qz и My). Когатопод действието на външното натоварване в пръта се появява разрезното усилие

”огъващ

момент“, натоварването наричаме огъване.Наличието на тангенциално разрезно усилие при огъването не е задължително. Мо-

жем да осъществим чисто огъване, като натоварим пръта със съсредоточени равниннимоменти, като е показано на фиг. 7.1а. За да изучаваме натоварването

”огъване“ в чист

вид, ще разглеждаме точно такова натоварване, но трябва да имаме предвид, че наличи-ето на тангенциално разрезно усилие не променя съществено деформирането на прътитеи преместванията, които те получават. На фиг. 7.1б са дадени положителните огъващимоменти съответно за лява и за дясна част от пръта.

Фиг. 7.1. Разрезни усилия при огъване

Прътите, които работят на огъване е прието да се наричат греди.

§ 7.2. Деформации и напрежения при огъване

В тази глава ще се ограничим в разглеждането на греди само със симетрични напречнисечения. Да изследваме деформирането при огъване по вече познатия ни начин, като върху

71

DR

AFT

Глава 7. Огъване

каучуков прът нанесем с боя ортогонална мрежа от линии (фиг. 7.2а). Прътът се огъвапод действието на два взаимно противоположни момента, приложени в двата му края идействащи в равнината на симетрия на напречните му сечения (фиг. 7.2б).

Фиг. 7.2. Деформиране на прът подложен на огъване

След деформирането напречните линии остават прави. Надлъжните линии стават дъ-ги от окръжност, които са перпендикулярни на напречните линии. Някои от дъгите сапо-дълги от другите и от първоначалната дължина на хоризонталните линии преди де-формирането, а други — по-къси от първоначалната си дължина. Ако приемем, че прътътсе състои от сноп успоредни на оста му влакна, то долните му влакна са опънати и са сеудължили, горните са натиснати и са се скъсили, а по средата има един слой от влакна,наречен неутрален където влакната са запазили дължината си като само са се извили въвформата на дъга.

Геометрията на деформирането при огъване можем да определим като разгледаме ед-на елементарна дължина от пръта dx отрязана от две

”съседни“ напречни сечения (фиг.

7.3а). След деформирането под действието на външните сили, в напречните сечения въз-никва разрезното усилие огъващ момент My. Неутралният слой има формата на дъга отокръжност с радиус ρ, център O и централен ъгъл dθ в равнината на огъване xz, която е иравнината на симетрия на напречните сечения на пръта (фиг. 7.3б). Дъгата на неутралнияслой е запазила първоначалната си дължина dx. Дъгата на разстояние ζ от неутралнияслой се е удължила и има дължина dx′. Полученото удължение на тази дъга се виждапод същия ъгъл dθ (като ъгли с успоредни рамена) и радиус ζ . Линейната деформацияεx, получена от слоя на разстояние ζ от неутралния слой, може да се изрази така:

εx =dx′ − dx

dx=

ζ dθ

ρ dθ.

Следователно линейните деформации при огъване са разпределени линейно спрямо неут-ралната линия, която представлява пресечницата на повърхнината на неутралния слой иравнината на напречното сечение,

εx = κ ζ , (7.1)

където κ е кривината на огънатия прът, т.е. κ = 1/ρ.Съгласно закона на Хук при чист опън σx = E εx и при чисто огъване получаваме:

σx = κ E ζ . (7.2)

Това означава, че при чисто огъване в напречните сечения възникват само нормалнинапрежения, които са разпределени по линеен закон спрямо неутралната линия n − n,която разделя напречното сечение на две зони — опънова и натискова, както е показано нафиг. 7.4а. Разположението на неутралната линия n−n в напречното сечение и кривината

72

DR

AFT

7.2. Деформации и напрежения при огъване

Фиг. 7.3. Определяне на деформациите при огъване

Фиг. 7.4. Напрежения в напречните сечения на прът подложен на чисто огъване

на огънатия прът κ се определят от разрезните усилия в пръта, появили се в резултат надействието на външните сили.

Да намерим равнодействащата на вътрешните сили, като ги интегрираме по лицетона напречното сечение. За целта мислено отделяме елементарна площ dS около точка наразстояние ζ от неутралната линия n − n в напречното сечение с лице S, където действанормалното напрежение σx, както е показано на фиг. 7.4б. Равнодействащата на вътреш-ните сили би представлявала нормалното разрезно усилие Nx, което е равно на нула причисто огъване, т.е.:

Nx =

∫

S

σx dS = κE

∫

S

ζ dS

︸︷︷︸Sn

= κESn = 0 .

Това равенство може да бъде изпълнено само ако неутралната линия е разположена така,че Sn = 0.

Статичен момент на сечението Sn — геометрична характеристика на сечението спря-

73

DR

AFT


мо ос n − n:

Sn =

∫

S

ζ dS (7.3)

с основна мерна единица в система SI — m3 и подходяща мерна единица в повечетослучаи — cm3.

Статичният момент на една фигура се нулира само за централна ос, т.е. ос, ми-

наваща през центъра на фигурата, и обратно — центърът на една фигура лежи на ос,

спрямо която величината статичен момент се нулира. От тук следва, че неутралната

линия при чисто огъване на симетрично сечение минава винаги през центъра на сечение-

то и е перпендикулярна на оста на симетрия z, следователно тя съвпада с централната

ос y на сечението.Възползвайки се от факта, че координатата ζ съвпада с координатата z, да изразим

момента на вътрешните сили — разрезното усилие My:

My =

∫

S

σx z dS = κ E

∫

S

z2 dS

︸︷︷︸Iy

= κ E Iy .

Осов инерционен момент Iy — геометрична характеристика на сечението спрямо остаму y:

Iy =

∫

S

z2 dS (7.4)

с основна мерна единица в система SI — m4 и подходяща мерна единица за повечетослучаи cm4.

От последното изведено уравнение можем да изразим кривината κ:

κ =My

EIy, (7.5)

където изразът EIy се нарича коравина на пръта при огъване.Можем да заместим израза за κ (7.5) във формулата за нормалните напрежения (7.2).

След съкращаване на E, се получава:

σx =My

Iyz . (7.6)

Най-често от якостна гледна точка ни интересуват максималните по големина напреже-ния:

max |σx| =|My|Iy

max |z| =|My|Wy

.

Осов съпротивителен момент Wy — геометрична характеристика на сечението спрямооста му y:

Wy =Iy

max |z| (7.7)

с основна мерна единица в система SI — m3 и подходяща мерна единица за повечетослучаи — cm3.

74

DR

AFT

7.3. Геометрични характеристики на сеченията при огъване

Така максималните по големина нормални напрежения от огъване се получават в най-отдалечените от неутралната линия точки на сечението и могат да се определят по фор-мулата:

max |σx| =|My|Wy

. (7.8)

Поради факта, че при огъване в напречните сечения се появяват опънови и натисковинормални напрежения, то и якостното условие е същото като при опън и натиск, т.е:

max |σx| ≤ [σ] .

За да можем да определяме напреженията от огъване в коя да е точка от напречнотосечение по формула (7.6) или максималните по големина напрежения по формула (7.8)трябва да определим геометричните характеристики на сеченията осов инерционен моменти осов съпротивителен момент.

§ 7.3. Геометрични характеристики на сеченията при огъ-

ване

§ 7.3.1. Правоъгълно и кръгово напречни сечения

Определянето на осовият инерционен момент Iy на едно сечение с правилна формастава с подходящо интегриране по формула (7.4). Осовият съпротивителен момент Wy

се определя лесно от осовия инерционен момент по формула (7.7) след като се определиразстоянието от центъра C на сечението до най-отдалечената по височината на сечениетоточка max |z|. За две от най-често срещаните основни форми на напречните сечения, аименно правоъгълна и кръгова, са определени геометричните им характеристики в табл.7.1.

Табл. 7.1. Геометрични характеристики при огъване

Сечение Iy Wy Размери

правоъгълно bh3

12bh2

6

кръгово πd4

64πd3

32

Тук е прието огъването да е около ос y, а равнината на огъване да съвпада с равнинатана симетрия на напречните сечения на гредата xz, където x е оста на пръта (гредата). Акосе разглежда огъване около ос z, при същото означение на размерите на правоъгълнотонапречно сечение, то геометричните характеристики, които ще ни интересуват, ще означимIz и Wz, а във формулите за Iy и Wy трябва да се разменят означенията b и h за да гиопределим правилно. При кръговото напречно сечение, изборът на означение за осите

75

DR

AFT


няма никакво значение — геометричните характеристики спрямо всяка централна ос саедни и същи.

§ 7.3.2. Теорема на Щайнер

Теоремата на Щайнер определя връзката между осовите инерционни моменти на едносечение спрямо успоредни оси. Да разгледаме едно сечение с лице S и център C (фиг. 7.5).Две взаимно перпендикулярни централни оси на сечението са означени с y′ и z′. Трябва дасе намери осовият инерционен момент на сечението спрямо ос y, успоредна на централнатаму ос y′.

Фиг. 7.5. Осови инерцион-ни моменти спрямо успоред-ни оси

Изхождаме направо от определението за осов инерционенмомент (7.4). За целта си избираме една произволна точка отсечението с координати z спрямо y и z′ спрямо y′ и определямеелементарна площ dS. Като имаме предвид, че координататана центъра C спрямо y е означена с zC , се получава:

Iy =

∫

S

z2 dS =

∫

S

(zC + z′)2dS

=

∫

S

(z2

C + 2zCz′ + z′2)dS

= z2C

∫

S

dS

︸︷︷︸S

+2zC

∫

S

z′ dS

︸︷︷︸Sy′

+

∫

S

z′2dS

︸︷︷︸Iy′

= z2CS + 2zCSy′ + Iy′

Понеже оста y′ е централна за сечението, то статичният мумомент Sy′ е равен на нула, т.е. Sy′ = 0. Така окончателно достигаме до теоремата на Щай-нер, определяща зависимостта между осовите инерционни моменти на сеченията спрямоуспоредни оси:

Iy = z2CS + Iy′ . (7.9)

Теоремата на Щайнер се използва широко при намирането на осовите инерционнимоменти на сложни съставни сечения, когато се налага те да се разбиват на няколко по-прости по форма фигури. Осовият инерционен момент на сечението спрямо централнатаму ос е сума от инерционните моменти на съставящите го фигури, като последните сеопределят по формулата на Щайнер от собствените централни осови моменти на фигуритеи разстоянието им до централната ос на съставното сечение.

§ 7.3.3. Рационална форма на напречните сечения при огъване

Максималните нормални напрежения от огъване са ограничени от допустимите напре-жения за материала, съгласно якостното условие. Максималните напрежения се определятпо формулата max |σx| = My/Wy. Колкото по-голям е осовия съпротивителен момент Wy

на сечението, толкова по-голям може да бъде огъващия момент My, с който е натоваре-на гредата, при дадено допустимо напрежение. Т.е., по-голяма е носещата способност нагредата.

Големината на осовия съпротивителен момент Wy е пропорционална на винаги поло-

жителния осов инерционен момент Iy на сечението. Той от своя страна е толкова по-голям, колкото сечението е разположено по-отдалечено от оста на огъване (неутралната

76

DR

AFT

7.3. Геометрични характеристики на сеченията при огъване

Фиг. 7.6. Сечения с рационална форма при огъване

линия). Това може да се види от самото определение за осов инерционен момент (7.4).По ясно е може би от теоремата на Щайнер (7.9). При едно и също лице на елементитена сечението S, така наречената поправка на Щайнер — израза z2

CS, е пропорционалнана квадрата на разстоянието до оста zC . Така става ясно, че сечения с едно и също лице(разход на материал) могат да имат различна носеща способност при огъване и рацио-нални ще са тези сечения, при които материалът е разположен по-отдалечено от оста наогъване.

Рационално сечение при огъване е”двойно Т“-образното сечение (фиг. 7.6а). Друго

рационално сечение може да се постигне чрез сдвояването на два”П“-образни профила

(фиг. 7.6б). От диаграмата на разпределение на напреженията при огъване (фиг. 7.6в)също може да се разсъждава за рационалността на сечението при огъване. Близо до не-утралната линия на сечението, където напреженията са много малки и даже нулеви, нетрябва да има материал, защото той не се използва рационално. Следователно материа-лът на сечението трябва да е изтеглен към поясите на сечението и само тънко стебло дасвързва симетричните пояси.

Пример 7.1. Да се определят максималните напрежения от огъване с огъващ момент My =66kN.m в показаното на фиг. 7.7а напречно сечение.


Решение:

Разделяме напречното сечение на два правоъгълника, както е показано на фиг. 7.7б.

1) Център на сечението.

Нека по горния ръб на сечението да минава ос η, а перпендикулярно на нея ос ζ. Спрямо тезиоси да определим къде по височина се намира центърът на сечението. По ширина на сечението,

77

DR

AFT


центърът се намира на оста на симетрия z. Координатата на центъра определяме по формулата:

ζC =

∑i ζiSi∑i Si

. (7.10)

ζC =ζ1S1 + ζ2S2

S1 + S2=

25 · 10000 + 150 · 800010000 + 8000

= 80, 56 mm .

2) Геометрични характеристики на сечението.За фигура (1):

I(1)y1

=b1h

31

12=

20 · 53

12= 208, 3 cm4 ;

I(1)y = I(1)

y1+ z2

C1S1 = 208, 3 + (8, 056 − 2, 5)220 · 5 = 3295, 2 cm4 .

За фигура (2):

I(2)y2

=b2h

32

12=

4 · 203

12= 2666, 7 cm4 ;

I(2)y = I(2)

y2+ z2

C2S2 = 2666, 7 + (15 − 8, 056)220 · 4 = 6524, 2 cm4 .

Осов инерционен момент за съставното напречно сечение:

Iy = I(1)y + I(2)

y = 3295, 2 + 6524, 2 = 9819, 4 cm4

Осов съпротивителен момент:

Wy =Iy

max |z| =9819, 4

16, 944= 579, 52 cm3 .

3) Напрежения в сечението.Максималните по големина напрежения при положителен огъващ момент в сечението се по-

явяват по долния ръб на сечението (фиг. 7.7в):

max |σx| =|My|Wy

=66 · 103

579, 52 · 10−6= 113, 9 · 106 Pa = 113, 9 MPa .

Максималните по големина напрежения са опънови, а максималните натискови напрежения сепоявяват по горния ръб на сечението:

maxσx,нат =My

Iyzmin =

66 · 103

9819, 4 · 10−8(−8, 056 · 10−2) = 54, 15 · 106 Pa = 54, 15 MPa .

§ 7.4. Премествания при огъване

§ 7.4.1. Еластична линия

Еластична линия — деформираната в резултат на огъването ос на пръта (гредата).

Еластичната линия лежи винаги в равнината на напречните линейни премествания, коитоса винаги перпендикуляри на неутралния слой. В случая на равнинно натоварване в рав-нината на симетрия на греди със симетрични напречни сечения напречните преместваниясе явяват по оста z и се означават с w. Еластичната линия е напълно определена с фун-кцията на напречните премествания w(x), която наричаме още функция на еластичнаталиния.

Ъгълът на завъртане на напречните сечения θ е и ъгъл на наклона на допирателните,прекарани към еластичната линия (фиг. 7.8). При малки премествания w(x),

w′(x) =dw

dx= tg θ ≈ θ(x) .

78

DR

AFT

7.4. Премествания при огъване

Фиг. 7.8. Еластична линия при огъване

§ 7.4.2. Диференциално уравнение на еластичната линия

Доказано бе (виж (7.5)), че при огъване на греда, кривината на деформираната ос нагредата, т.е. кривината на еластичната линия, е

κ =1

ρ=

My

EIy

.

От математиката е известно, че кривината на една равнинна линия описана с функциятаw(x) (фиг. 7.9) е

κw(x) = − w′′

(1 + w′2)3/2.

Така стигаме до точното диференциално уравнение на еластичната линия:

w′′

(1 + w′2)3/2= − My

EIy

. (7.11)

Точното диференциално уравнение доста трудно се интегрира и не се използва в инженер-ната практика за определяне на преместванията. При малки премествания и по-точно при

Фиг. 7.9. Функция на еластичната линия и нейната кривина

малки завъртания w′ ≪ 1. Тогава знаменателят на точното диференциално уравнение еприблизително равен на единица, т.е. (1 + w′2)3/2 ≈ 1, и може да се формира приближенодиференциално уравнение на еластичната линия:

w′′ = − My

EIy. (7.12)

Това уравнение може вече лесно да се интегрира за да се получат преместванията w отогъването.

79

DR

AFT


Непосредствено интегрирайки диференциалното уравнение (7.12) при условие, че ко-равината EIy = const, а само My(x) е функция на абсцисата x, получаваме функцията наъгъла на завъртане на сеченията θ(x):

θ(x) ≡ w′ = − 1

EIy

∫My(x) dx + A . (7.13)

Тук A е интеграционна константа, която се определя от условията за закрепване и загладкост на еластичната линия. След още едно непосредствено интегриране, този път на(7.13), се получава функцията на еластичната линия:

w =

∫θ(x) dx + B , (7.14)

където B е интеграционна константа, която се определя от условията за закрепване и занепрекъснатост на еластичната линия.

Пример 7.2. Да се определи максималното по големина преместване и завъртане на сече-нията за конзолната греда, натоварена със съсредоточена напречна сила при свободния сикрай.


Решение:1) Функция на огъващия момент

∑

i

MA i = 0 : My = −F (ℓ − x) = F x − F ℓ .

2) Завъртане на сеченията

θ(x) = w′ = − 1

EIy

∫My(x) dx + A

θ(x) = − 1

EIy

∫(F x − F ℓ)dx + A

= − 1

EIy

(F

x2

2− F ℓ x

)+ A

Граничните условия от закрепването са θ(0) = 0 и w(0) = 0.

80

DR

AFT

7.4. Премествания при огъване

Използваме едното условие за да определим константата A:

θ(0) = A = 0 .

θ(x) = − 1

EIy

(F

x2

2− F ℓ x

)

θmax = θ(ℓ) = − 1

EIy

(F

ℓ2

2− F ℓ2

)=

F ℓ2

2EIy

3) Еластична линия

w(x) =

∫θ(x) dx + B

w(x) = − 1

EIy

∫ (F

x2

2− F ℓ x

)dx + B

w(x) = − 1

EIy

(F

x3

6− F ℓ

x2

2

)+ B

От граничното условие w(0) = 0 определяме константата B:

w(0) = 0 + B = 0 =⇒ B = 0

Окончателно за уравнението на еластичната линия получаваме:

w(x) = − 1

EIy

(F

x3

6− F ℓ

x2

2

)

wmax = w(ℓ) = − 1

EIy

(F

ℓ3

6− F

ℓ3

2

)

wmax =F ℓ3

3EIy

81

DR

AFT


82

DR

AFT

Глава 8

Изкълчване

§ 8.1. Понятие за устойчивост

Под действие на външните сили твърдите тела се деформират по определен начин взависимост от закрепването им и от начина на прилагане на силите. Съществуват формина деформиране на телата, които при определени условия — с нарастване на натоварва-нето над някакво критично ниво, се превръщат в неустойчиви равновесни форми, защотоса станали възможни и други равновесни форми при тези условия. Тогава, при наличиетона най-малки смущаващи фактори, деформируемото твърдо тяло преминава от неустой-чивата си форма в друга устойчива равновесна форма. Примери за това са измятането нагреда подложена на огъване и местното изкълчване на тънкостенни цилиндри, било поддействието на външно налягане, било под действието на осов натиск (фиг. 8.1).

Фиг. 8.1. Примери за загуба на устойчивост при деформиране на телата

Ще разгледаме загубата на устойчивост на центрично натиснат прът (фиг. 8.2). Когатонатисковата сила F е по-малка от определена критична сила Fкр, устойчива е праволи-нейната равновесна форма. При нарастване на натоварването над критичното F > Fкр,възможна става и друга равновесна форма — криволинейната. Праволинейната е неус-тойчива и при най-малките смущаващи фактори, като начална кривина на пръта, ексцен-тричност на прилагане на силата, допълнителни напречни, макар и много малки сили,прътът преминава внезапно в криволинейната равновесна форма.

83

DR

AFT

Глава 8. Изкълчване

Изкълчване на прът — внезапното преминаване на натиснатия прът от праволинейна-та си равновесна форма в криволинейна.

За да осигурим натиснатия прът срещу изкълчване е необходимо да дефинираме до-пустима сила [F ], която представлява намалената с коефициент на сигурност срещу загубана устойчивост nуст критична сила Fкр:

[F ] =Fкр

nуст

. (8.1)

Фиг. 8.2. Изкълчване на прът

Така условието за устойчивост на натиснатия прът сеявява

F ≤ [F ] . (8.2)

Коефициентът на сигурност срещу загуба на устойчи-вост nуст е аналогичен на коефициента на сигурност присъставяне на якостните условия за другите натоварва-ния, но обикновено е по-голям, поради катастрофалнитенай-често последици от изкълчването. Той е от порядъка1, 8÷3 за строителни конструкции от стомана, 5÷5, 5 застроителни конструкции от чугун и 4 ÷ 5 за машиност-роителни конструкции от стомана.

Често пъти вместо критичната сила Fкр ще използ-ваме критично напрежение σкр, което представлява кри-тичното натисково напрежение в пръта или критичнатасила разделена на лицето на напречното му сечение S:

σкр =Fкр

S. (8.3)

§ 8.2. Формула на Ойлер за критичната сила

Ойлер е разгледал задачата за натиснатия прът, който е в равновесно криволинейноположение. Така е определил минималната сила, при която това равновесно състояниесъществува, т.е. критичната сила Fкр. Да разгледаме тази задача. При нея прътът е ставноподпрян в двата си края (фиг. 8.3а) и натиснат със сила F , която е достигнала своятакритична стойност Fкр, при която е възможно криволинейното състояние на огъване вравнината xy, т.е. около оста с най-малък инерционен момент z. Можем да отбележим, чеIz = Imin. Оста z е насочена срещу равнината на чертежа и поради това условната линияе нанесена над гредата.

Разглеждайки равновесието на мислено отделената лява част от деформиралия се прът(фиг. 8.3б), става ясно, че в напречното сечение с абсциса x имаме следните различни отнула разрезни усилия:

Nx = −Fкр ;

Mz = −Fкрv(x) .

От диференциалното уравнение на еластичната линия в равнината xy имаме:

EIminv′′(x) = Mz .

84

DR

AFT

8.2. Формула на Ойлер за критичната сила

Фиг. 8.3. Задача на Ойлер

Като заместим Mz и го прехвърлим в лявата част на равенството се получава:

EIminv′′(x) + Fкрv(x) = 0 ,

което е диференциално уравнение от втора степен и можем да го представим във вида:

v′′(x) + α2v(x) = 0 . (8.4)

Тук коефициентът α представлява

α2 =Fкр

EImin.

Решението на диференциалното уравнение (8.4) е:

v(x) = C cos αx + D sin αx , (8.5)

където C и D са интеграционни константи, които се определят от условията на закрепване(в случая това са граничните условия). От условието, че при x = 0 v ≡ 0 следва, че C = 0и решението (8.5) се превръща в

v(x) = D sin αx .

От другото гранично условие, че при x = ℓ v ≡ 0 следва, че D sin αℓ = 0, което може да еизпълнено или за D ≡ 0, или за sin αℓ = 0. В първия случай, когато D ≡ 0, уравнениетона еластичната линия (8.5) се превръща в нулево, т.е. възможна е само праволинейнатаформа на пръта. В случая когато D 6= 0 трябва да е изпълнено условието sin αℓ = 0 и елас-

тичната линия има форма на полувълна от синусоида. Точно този случай представляваслучая на изкълчване, който ни интересува.

Изразът sin αℓ е равен на нула когато αℓ = 0, π, 2π, . . . , nπ или все едно когатоα = nπ/ℓ. От тук следва, че

Fкр

EImin=

n2π2

ℓ2.

Най-малката критична сила се получава, когато n = 1 и тя е:

Fкр =π2EImin

ℓ2. (8.6)

Последната формула се нарича формула на Ойлер и определя критичната сила за натис-нат прът само в случая, когато той е ставно закрепен в двата си края (Ойлеров случай).За други случаи на закрепване трябва да се намери решение, като те се приведат къмОйлеровия случай.

85

DR

AFT


§ 8.3. Критична сила при други начини на закрепване

Диференциалното уравнение (8.4) от задачата на Ойлер е валидно и за други начинина закрепване на натиснатия прът. За да определим интеграционните константи в реше-нието му (8.5) трябва да разглеждаме всеки отделен случай на закрепване. Но той не битрябвало да променя характера на решението, т.е. формата на еластичната линия остававинаги част от синусоида. Тогава вместо да търсим каква част от синусоидата е форма-та на изкълчения прът, можем да си представим формата на изкълчения прът според

наложените от опорите ограничения и да търсим дължината, равна на полувълна от

синусоида. Тази дължина наричаме ефективна или приведена дължина ℓеф. За тази дъл-жина на пръта критичната сила е определена от решението на задачата на Ойлер:

Fкр =π2EImin

ℓ2еф

.

Отношението на ефективната дължина при дадено закрепване към дължина на прътанаричаме коефициент на привеждане на дължината κ = ℓеф/ℓ. Този коефициент показвакаква част от дължината на пръта е дължината на полувълната от синусоида, по форматана която ще се изкълчи пръта. Ефективните дължини и съответните им коефициенти напривеждане на дължините при различни начини на закрепване на натиснати пръти сададени на фиг. 8.4. Формулата на Ойлер за ефективните дължини добива вида:

Fкр =π2EImin

(κℓ)2. (8.7)

§ 8.4. Граница на валидност на формулата на Ойлер

Формулата на Ойлер е валидна докато е валиден закона на Хук, т.е. докато материалъте идеално еластичен. Граничното напрежение за това състояние на материала е границатана пропорционалност σp. Така условието за валидност на формулата на Ойлер е:

σкр ≤ σp .

Да намерим σкр.

σкр =Fкр

S=

π2EImin

(κℓ)2S

Величината

imin =

√Imin

S(8.8)

се нарича инерционен радиус на сечението. В случая това е минималният инерционенрадиус. Мерната му единица е като за дължина например cm или mm. Тогава

σкр =π2E

(κℓ

imin

)2

Величината

λmax =κℓ

imin(8.9)

86

DR

AFT

8.4. Граница на валидност на формулата на Ойлер

Фиг. 8.4. Ефективни дължини и коефициенти на привеждане на дължината при различниначини на закрепване

се нарича стройност на пръта и е важна негова характеристика, определяща способносттаму да се изкълчва. В случая това е максималната стройност на пръта. Тя е безразмерна

величина. Дотук се предполагаше, че закрепването е еднакво за всички възможни равнинина изкълчване на пръта и тогава то се появява в равнината, в която прътът има минималнакоравина на огъване. Сега става ясно, че изкълчването зависи от стройността на пръта ипри различни начини на закрепване ще се появи в равнината, в която тя е максимална,т.е. от раличните комбинации на инерционен радиус и коефициент на привеждане надължината, определяща е тази, за която имаме λmax.

Критичното напрежение може да се изрази лесно чрез стройността на пръта:

σкр =π2E

λ2max

. (8.10)

От условието за валидност на формулата на Ойлер се получава:

π2E

λ2max

≤ σp .

λmax ≥√

π2E

σp

87

DR

AFT


Въвеждаме величината гранична стройност, зависеща само от материала на пръта:

λгр = π

√E

σp. (8.11)

Тогава формулата на Ойлер е валидна, когато

λmax ≥ λгр .

За стомана модулът на еластичност е E = 200 GPa, а границата на пропорционалностможе да се приеме равна на границата на провлачване σp ≈ σs ≈ 200 MPa и тогава заграничната стройност получаваме:

λгр = π

√E

σp= π

√200 000

200= π

√1 000 ≈ 100 .

§ 8.5. Определяне на критичното напрежение в неелас-

тичната област

Има много изследвания, главно експериментални, за определяне на критичните нап-режения за изкълчване на натиснати пръти в нееластичната област, т.е. когато σкр > σp

или все едно когато λmax < λгр. Резултатите от експерименталните изследвания се апрок-симират с регресионни формули, описващи зависимостта на критичното напрежение отмаксималната стройност на пръта.

Една от най-популярните формули за определяне на критичното напрежение в неелас-тичната област е формулата на Ясински-Тетмайер:

σкр = σ0(1 − bλ) , (8.12)

където σ0 и b са емпирично определени коефициенти зависещи от вида на материала.Тези коефициенти могат да се намерят в справочниците. Формулата на Ясински-Тетмайеропределя линейна зависимост на критичното напрежение от максималната стройност.

При много малка максимална стройност на пръта (под някаква стойност λ0) нямасмисъл да се говори за изкълчване, защото тогава прътът се изражда в масивно тяло,подложено на натиск. Тогава якостта се определя от граничното напрежение на натиск,което е границата на провлачване σs при пластичните или границата на якост σB нат прикрехките материали. Така можем да изобразим на една диаграма кривите ограждащибезопасната зона на изменение на натисковото напрежение в зависимост от изменениетона максималната стройност (фиг. 8.5). При максимална стройност 0 ≤ λmax < λ0 границатасе определя от граничното за материала напрежение на натиск — хоризонтална линия.При максимална стройност λ0 ≤ λmax < λгр границата се определя от правата на Ясински-Тетмайер, а при λmax ≥ λгр — от хиперболата на Ойлер.

За критичното напрежение при натиснат прът можем да направим следното обобще-ние:

σкр =

σs или σB,нат , ако λmax ≤ λ0

σ0(1 − b λmax) , ако λ0 < λmax < λгр

π2E

λ2max

, ако λгр ≤ λmax

(8.13)

88

DR

AFT

8.5. Определяне на критичното напрежение в нееластичната област

Фиг. 8.5. Зависимост на критичното (граничното) напрежение от максималната стройност

Пример 8.1. Изправен прът (колона) от Ст 3 с правоъгълно напречно сечение е натиснатсъс сила F = 50 kN. Колоната е запъната в долния си край и е свободна в края, къдетое приложена силата. Да се направи проверка за изкълчване на колоната и при опасност дасе предприемат мерки чрез укрепване, като приетият коефициент на сигурност е nуст = 3, аE = 200 GPa.


Решение:Закрепването е едно и също във всички възможни равнини на

изкълчване. Колоната ще се изкълчи в равнината с минималнаогъвна коравина при това закрепване. Геометрични характеристи-ки на сечението в равнината с минимална огъвна коравина:

S = 6 · 4 = 24 cm4

Iz =6 · 43

12= 32 cm4

iz =

√Iz

S=

√32

24= 1, 155 cm

imin = iz = 1, 155 cm , κ = 2

λmax =κℓ

imin=

2 · 701, 155

= 121, 2

λmax = 121, 2 > λгр = 100 =⇒ валидна е формулата на Ойлер

Fкр =π2ES

λ2max

=π200 · 109 · 24 · 10−4

121, 22=

= 322, 4 · 103 N = 322 kN

[F ] =Fкр

nуст

=322, 4

3= 108 kN

Условието за устойчивост не е изпълнено, защото натоварването е по-голямо от допустиматасила:

F = 150 kN > [F ] = 108 kN

Трябва да се вземат мерки чрез укрепване, например да закрепим свободния край на колонатав равнината с максимална стройност.

89

DR

AFT


Сега имаме различни начини на закрепване в отделните равнини на огъване при изкълчванена пръта и се налага изчисляването на геометричните характеристики на сечението и за оста y:

Iy =4 · 63

12= 72 cm4

iy =

√Iy

S=

√72

24= 1, 732 cm

Трябва да се изчислят стройностите и за двете оси, за да се намери максималната стройност,определяща изкълчването:

λz =κzℓ

iz=

0, 7 · 701, 155

= 42, 42

λy =κyℓ

iy=

2 · 701, 732

= 80, 83

λmax = λy = 80, 83 < λгр = 100 λmax = 80, 83 > λ0 = 40

Валидна е формулата на Ясински-Тетмайер σкр = σ0(1 − bλ)

σкр = 310(1 − 0, 00368 · 80, 83) = 217, 8 MPa

Fкр = σкрS = 217, 8 · 106 · 24 · 10−4 = 522, 7 · 103 N = 523 kN

[F ] =Fкр

nуст

=522, 7

3= 174 kN

След укрепването условието за устойчивост е изпълнено:

F = 150 kN < [F ] = 174 kN

90

DRAFT - ivivanov.orgfree.comivivanov.orgfree.com/MehMat.pdf · Съдържаниеdraft 1...

Documents

Transcript of DRAFT - ivivanov.orgfree.comivivanov.orgfree.com/MehMat.pdf · Съдържаниеdraft 1...