Теоретическая механика
description
Transcript of Теоретическая механика
![Page 1: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/1.jpg)
Теоретическая механика
![Page 2: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/2.jpg)
Литература
• Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики:: Учебник. -М., 1985.- т. 2 /и другие издания/
• Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики: Учебник. -М., 1998 /и другие издания/
• Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике: Учебное пособие. -М. 1998 /и другие издания/
• Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: Учебное пособие под ред. А.А. Яблонского. -М. 1998 /и другие издания/
![Page 3: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/3.jpg)
Формы отчетности:
• Дифф. зачет
• зачет по индивидуальным заданиям
• контрольные работы
• защита курсовой работы
• итоговое компьютерное тестирование
![Page 4: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/4.jpg)
Теоретическая механика
Кинематика Кинетика
Статика Динамика
![Page 5: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/5.jpg)
Раздел: Динамика
Основные понятия и определения
Динамикой называется раздел механики, в котором изучается
движение материальных тел под действием сил.
![Page 6: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/6.jpg)
ИнертностьКоличественной мерой инертности
является масса тела.
Модели:
1)Материальная точка:
геометрическая точка, обладающая
конечной массой.
![Page 7: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/7.jpg)
2) Система материальных точек.3) Абсолютно твердое тело.
![Page 8: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/8.jpg)
Системой называется такая совокупность материальных
точек, движения и положения которых взаимно связаны.
Неизменяемой будем называтьсистему, в которой взаимноерасположение точек остаетсянеизменным.
![Page 9: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/9.jpg)
Если вещество, образующее неизменяемую систему,
непрерывно заполняет некоторую часть пространства, то такая
система называется абсолютно твердым телом.
Расстояние между любыми двумя точками такого тела не изменяется.
![Page 10: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/10.jpg)
Законы (аксиомы) динамики
![Page 11: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/11.jpg)
1. Существует инерциальная система отсчета. В такой
системе материальная точка находится в покое или
движется прямолинейно и равномерно, если на нее не
действуют силы.
![Page 12: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/12.jpg)
2. В инерциальной системе отсчета вектор ускорения
материальной точки пропорционален вектору
силы, действующей на эту точку.
![Page 13: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/13.jpg)
3. Две материальные точки взаимодействуют так, что
силы взаимодействия равны по величине,
противоположны по направлению и имеют
общую линию действия.
![Page 14: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/14.jpg)
4. Систему сил, действующих на материальную точку, можно заменить равнодействующей.
Ускорение точки под действием системы сил равно ускорению
под действием равнодействующей.
![Page 15: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/15.jpg)
0,,
;,,2
bn
zyx
k
aV
adt
dVa
zayaxa
Fam
Дифференциальные уравнениядвижения точки
![Page 16: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/16.jpg)
m x = Fkx
m y = Fky
m z = Fkz
дифференциальные уравнениядвижения точки в декартовой с. к.
![Page 17: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/17.jpg)
.0
,
,
2
kb
kn
k
F
FV
m
Fdt
dVm
Дифференциальные уравнения движения точки в естественных
координатах
![Page 18: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/18.jpg)
Прямая задача:
Зная массу точки и ее уравнения движения, определить
равнодействующую приложенных к точке сил.
Два класса задач динамики:
прямые и обратные.
![Page 19: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/19.jpg)
Дано: m,x = x(t),y = y(t),z = z(t).
Найти: F.
![Page 20: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/20.jpg)
Решение:
m x = Fx
m y = Fy
m z = Fz
F = Fx2 + Fy
2 + Fz2 - модуль силы
![Page 21: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/21.jpg)
Обратная задача
По известным массе, силам, начальным условиям определить закон движения.
Эта задача называется ещеосновной задачей динамики.
![Page 22: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/22.jpg)
dt 2
d2z=m
dt 2
d2x=m
dt 2
d2y=m
Fx (t, x, y, z, x, y, z)
Fz (t, x, y, z, x, y, z)
Fy (t, x, y, z, x, y, z)
![Page 23: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/23.jpg)
Чтобы получить закон движения, необходимо
дважды проинтегрировать каждое
уравнение, используя начальные условия.
![Page 24: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/24.jpg)
Динамика относительного движения точки
• Можно ли решать задачи динамики в неинерциальных (подвижных) системах отсчета?
В неподвижной системе:
RFam (1)
![Page 25: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/25.jpg)
КориолисатеоремеПо
Корперотн aaaa )2(
)1()2( вПодставим
)()( Корпер
отн
amam
RFam
![Page 26: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/26.jpg)
инерциисила
переноснаяamF
Обозначим
пери
пер
:
инерциисила
акориолисовamF Кори
Кор
![Page 27: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/27.jpg)
иКор
ипер
отн
FFRF
am
![Page 28: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/28.jpg)
• Чтобы составить дифф. ур. движения точки в подвижной системе координат в форме второго закона Ньютона, необходимо к действующим на точку активным силам и реакциям связей добавить переносную и кориолисову силы инерции.
![Page 29: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/29.jpg)
• Можно считать, что силы инерции вводятся с целью
формального преобразования неинерциальной (подвижной)
системы отсчета в инерциальную (неподвижную).
![Page 30: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/30.jpg)
Пример
аm
![Page 31: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/31.jpg)
?
./3,17 2
иповерхностегонаточки
ойматериальнравновесиели
Возможносма
раполуцилиндУскорение
2/10 смg
![Page 32: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/32.jpg)
N
G
иперF
amamF пери
пер
0sincos иперFG
3
13,17
10 mamg
FG
tg ипер
030
:На
![Page 33: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/33.jpg)
Динамика механической системы
и твердого тела
![Page 34: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/34.jpg)
• Совокупность материальных точек или тел, движение которой рассматривается, назовем механической системой.
![Page 35: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/35.jpg)
Действующие на механическую систему
активные силы и реакции связей разделяют на
.ik
ek
Fсилывнутренние
иFсилывнешние
![Page 36: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/36.jpg)
Внешними называют силы, действующие на точки
системы со стороны точек, не входящих в систему.
• Внутренними называют силы, с которыми точки системы действуют друг на друга.
![Page 37: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/37.jpg)
Свойства внутренних сил:
• 1. Геометрическая сумма (главный вектор) внутренних сил системы равняется нулю.
• 2. Сумма моментов (главный момент) внутренних сил относительно любого центра или оси равняется нулю.
![Page 38: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/38.jpg)
Дифф. уравнения движения механической
системы
![Page 39: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/39.jpg)
Рассмотрим систему, состоящую из n точек.
Для точки №k:
.
,
kkk
kkk
rVa
Fam
![Page 40: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/40.jpg)
Для системы:
.
,
,
,
222
111
nnn Fam
Fam
Fam
![Page 41: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/41.jpg)
Можно составить уравнения в проекциях на оси координат.
В динамике редко прибегают к составлению и интегрированию
этих уравнений.
![Page 42: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/42.jpg)
Масса системы. Центр масс
![Page 43: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/43.jpg)
Масса системы
Центр масс системы
- сумма масс тел, входящих в систему.
- геометрическая точка, радиус-вектор которой :
mk k=1
n
m =
rc = mkrk
k=1
n
mk k=1
n
![Page 44: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/44.jpg)
Для того, чтобы получить координаты центра масс, надо найти проекции векторного равенства на оси
![Page 45: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/45.jpg)
xc =
zc =
yc =
mkxk k=1
n
m
mkyk k=1
n
m
mkzk k=1
n
m
![Page 46: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/46.jpg)
Ордината центра масс системы материальных точек yc= … см.
y, см
x, см
10
100m1=2m
m3=5m
m2=3m
Решение
m
ymy
n
kkk
c
1
Пример.
![Page 47: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/47.jpg)
y, см
x, см
10
100m1=2m
m3=5m
m2=3m
;532
0510302
mmm
mmmyc
yc=3 см
![Page 48: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/48.jpg)
Центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна массе системы, к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.
Теорема о движении центра масс системы
M ac = F e
![Page 49: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/49.jpg)
Следствия :1)
2)
Если F
e = 0 ,
Внутренними силами нельзя изменить движение центра масс системы.
Если главный вектор внешних сил системы равен нулю, то скорость движения центра масс системы постоянна.
то v c = const
![Page 50: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/50.jpg)
Если Fx
e = 0 , то v c x = const
3) Если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо ось равна нулю, то проекция скорости центра масс на эту ось - величина постоянная.
![Page 51: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/51.jpg)
Момент инерции тела относительно оси
(осевой момент инерции)
![Page 52: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/52.jpg)
Осевым моментом инерции тела (системы) относительно оси Оz называется сумма произведений
масс точек тела (системы) на квадраты их расстояний
от этой оси
.2
kkZ hmJ
![Page 53: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/53.jpg)
Осевой момент инерции является мерой инертности тела при
вращательном движении
Единица измерения момента инерции СИ
21 мкг
![Page 54: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/54.jpg)
Расстояния точек от осей можно выразить через координаты точек. Получим формулы:
.)(
,)(
,)(
22
22
22
kkkZ
kkkY
kkkX
yxmJ
xzmJ
zymJ
![Page 55: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/55.jpg)
Радиусом инерции тела относительно оси Оz
называется линейная величина
, определяемая равенствомz
тела
массаmгде
,2
zZ mJ
![Page 56: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/56.jpg)
В случае сплошного тела в формулах моментов инерции суммы обратятся в интегралы
)(
22 ..)(V
X дтиdVzyJ
)( материалаплотностьздесь
Зная радиус инерции, можно по формуле найти момент инерции
![Page 57: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/57.jpg)
Тонкий однородный стержень длиной l и массой т
z
3
2mlJ Z
Моменты инерции некоторых однородных тел
![Page 58: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/58.jpg)
x dx
z l
V
l
z
l
l
mdxx
l
mxdmJ
0
322
3
dxlm
dm
![Page 59: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/59.jpg)
C
Z
l
0,5l
Тонкое однородное кольцо радиусом R и массой m
zRC
2mRJC
12
2mlJC
12
2lmJ z
![Page 60: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/60.jpg)
Однородный цилиндр или диск
радиусом R и массой m
C
ZR
2
2mRJC
![Page 61: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/61.jpg)
rdr
h
drrhdVобъем 2
dVVm
dmмасса
drrRm
dm 2
2
![Page 62: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/62.jpg)
drrRm
dmrdJC 3
2
2 2
R
C
mRRRm
drrRm
J0
24
2
3
2 2422
drrRm
dm 2
2
![Page 63: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/63.jpg)
Моменты инерции тела относительно
параллельных осей(теорема Гюйгенса)
![Page 64: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/64.jpg)
Момент инерции тела относительно данной оси равен моменту инерции
относительно оси, ей параллельной, проходящей через
центр масс тела, сложенному с произведением
массы тела на квадрат расстояния между осями
![Page 65: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/65.jpg)
масс
центрC
2
1mdJJ CzOz
d
Z
O
C
Z
![Page 66: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/66.jpg)
Примерl=2R
R
O1
2 x
Дано: m1=0,75m, m2=2m,1-тонкий однородный стержень,2 - однородный диск.
Определить момент инерции и положение центра масс маятника.
![Page 67: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/67.jpg)
Решениеl=2R
R
O1
2 x mm
RmRmo
mm
xmxmxc
275,0
2275,
.121
2211
22
22
21
21 23.2 lm
RmlmJJJ OOO
xc=1,73R; Jo=10mR2.
![Page 68: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/68.jpg)
Принцип Даламбера для материальной точки
RFam
0
..
..
amRF
связейреакцравнодR
силактравнодF
![Page 69: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/69.jpg)
Вектор Fи , равный по модулю произведению массы точки на ее ускорение и направленный
противоположно вектору ускорения,называется силой
инерции.
amFОбозначим и
![Page 70: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/70.jpg)
Принцип Даламбера для материальной точки:
0 иFRF
В каждый момент движения сумма активных сил, реакции связи и силы инерции равна нулю.
![Page 71: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/71.jpg)
Определить натяжение троса
Пример
мR
радt
кгт
Дано
4,0
6,0
60
:
2
R
mg
![Page 72: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/72.jpg)
Решение
sz
а
mgFи
HS
agmS
FmgS
F
атF
см
Rа
срад
и
z
и
617
)(
0
:0
48,0
2,1
2
2
![Page 73: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/73.jpg)
Принцип Даламбера для механической системы:
Силы инерции точек механической системы «уравновешивают»
активные силы и реакции связей.
![Page 74: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/74.jpg)
Определить усилие в стержне А
Пример
АF1 F2
Дано:F1=3 kHF2=12 kH
Массыодинаковы
![Page 75: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/75.jpg)
Решение
1.3та=F1+F2
ma 52.
xs
aF1
Fи
Fи=та=5 кН
:0XF
S+F1-Fи=0
S=2 кН
(F1=3 kH, F2=12 kH)
![Page 76: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/76.jpg)
Следствия принципа Даламбера для системы
![Page 77: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/77.jpg)
Рассмотрим систему n материальных точек.
.0 и
K
i
K
e
K FFF
инерциисилаF
силавнутрF
силавнешнF
и
K
i
K
e
K
.
.
(*)
Для к-й точки:
![Page 78: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/78.jpg)
Умножим (*) векторно слева на rк
0 и
kk
i
kk
e
kk FrFrFr
(**)k=1,2,…,n
![Page 79: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/79.jpg)
Получили:
0,0 i
kk
i
k FrF
0,0 и
о
е
о
иe ММFF
Здесь
![Page 80: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/80.jpg)
-главные векторы и главные моменты внешних сил и сил
инерции
и
kk
и
о
и
k
и
e
kk
e
o
e
k
e
FrМFF
FrMFF
,
,
![Page 81: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/81.jpg)
Внешние силы включают в себя реакции внешних связей:
е
реакц
е
акт
e FFF
Главный вектор и главный момент сил инерции
![Page 82: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/82.jpg)
Главный вектор сил инерции:
k k
kk
и
k
и amFF
k
kkc rmm
r1 дифф.
дважды
kkC amam
![Page 83: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/83.jpg)
Главный вектор сил инерции равен произведению массы
системы (тела) на ускорение центра масс и направлен противоположно этому
ускорению.
C
и amF
![Page 84: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/84.jpg)
Приведение сил инерции твердого тела к удобному виду
![Page 85: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/85.jpg)
1. При поступательном движении тела силы инерции приводятся к равнодействующей,
приложенной в центре масс тела
c
и amF
![Page 86: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/86.jpg)
Вращательное движение
Z
krka
kk ra
иkF
2kk
kkkиz
rm
ramM
zиz JM
![Page 87: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/87.jpg)
2.Вращательное движение(центр приведения – т. О)
о εи
ozM
сас
FИ
x
y
Пл. мат. симм. oz
c
и
oz
И
oz
amF
JM
![Page 88: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/88.jpg)
Центр приведения – центр масс С
εо
сас
и
CZM
Fи
c
и
CZ
и
CZ
amF
JM
![Page 89: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/89.jpg)
2*. Ось вращения проходит через центр масс тела
cz
и
cz
и
JM
F 0
![Page 90: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/90.jpg)
Плоское движение
cz
и
cz
c
и
JM
amF
В центре масс:
![Page 91: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/91.jpg)
Пример 1
RO
Мтр
1 2G1
.
707,0
1,0
4
2
,
:
2
1
Найти
R
mgRM
mm
mm
Rm
Дано
тр
![Page 92: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/92.jpg)
Решение
0)( KO FMО
RO
Мтр
1 2G1
ε
а
Fи
Ми
Xo
Yo
По модулю:Fи=т2аМи=J1εa=εR. 2
11 mJ
![Page 93: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/93.jpg)
01 RGRFМM и
тр
и
024
1,02
2
mgRmR
mgRmR
Rg
38,0
![Page 94: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/94.jpg)
Пример 2
z Дано:т,l,α,ω=const.Найтинатяжениенити.
А y
ξ
αω
![Page 95: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/95.jpg)
Решение
А YA
ZA
h
S
Fи
mgc
.0)(
cos32
KA FM
lh
sin2
2
l
а
атF
с
с
и
![Page 96: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/96.jpg)
tgglmS
lmghFSl и
21
sin31
0sin2
cos
2
sin2
2
l
а
атF
с
с
и
.0)(
cos32
KA FM
lh
![Page 97: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/97.jpg)
Работа и мощность силы
ММо
М1F
Fn
τ
Fτ
vα
ЭЛЕМЕНТ.РАБОТА
СИЛЫ F:
dsFdA
![Page 98: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/98.jpg)
Другие выражения:
dzFdyFdxFdA
rdFdA
dsFdA
zyx
cos
![Page 99: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/99.jpg)
Работа силы на конечном перемещении
)(
)(
)(
1
1
M
M
MM
O
OdsFA
![Page 100: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/100.jpg)
В системе СИ единицей измерения работы является
джоуль
)111(2
2
смкг
мНДж
![Page 101: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/101.jpg)
МощностьМощностью называется
величина, определяющая работу в единицу времени
VFdtdsF
dtdA
N
![Page 102: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/102.jpg)
Мощность равна произведению касательной составляющей силы на
скорость.
VFN
VFN
![Page 103: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/103.jpg)
В системе СИ единицей измерения мощности является
ватт
сДж
Вт 11
![Page 104: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/104.jpg)
Работа и мощность сил, приложенных к вращающемуся
телуz
B
ds
d
F
F
r
drds
dsFdA
![Page 105: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/105.jpg)
0
)(
dMA
dMdA
FMrF
drFdA
Z
Z
Z
![Page 106: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/106.jpg)
Для постоянного момента
Z
Z
MN
Мощность
MA
![Page 107: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/107.jpg)
Пример
2 Н м от 0 до 4 рад сила тяжести
и момент М = 3 совершат работу … Дж.
При изменении углаР= 10 Н
Ответ: 16
![Page 108: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/108.jpg)
РешениеПеремещение груза 2
s
.842 мRs
0
dMsPA
4
0
2 ;3 dsP
.164810 3 DжA
![Page 109: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/109.jpg)
Аналитическая механика
В аналитической механике изучаются наиболее общие методы решения задач механики.
Связи
![Page 110: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/110.jpg)
Связями в динамике называют ограничения, которые
налагаются на положения и скорости точек механической
системы и выполняются независимо от того, какие силы
действуют на систему.
![Page 111: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/111.jpg)
Пример
xy
z
lM1
M2
связиуравнение
lzzyyxx
22
12
2
12
2
12 )()()(
![Page 112: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/112.jpg)
Классификация связей
Связи, не изменяющиеся с течением времени, называются стационарными, изменяющиеся – нестационарными.В уравнения нестационарных связей явно входит время t.
![Page 113: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/113.jpg)
Связи, налагающие ограничения только на координаты точек
системы, называются геометрическими, а налагающие ограничения еще и на скорости –
кинематическими или дифференциальными.
![Page 114: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/114.jpg)
Кинематическую связь, которую интегрированием можно свести
к геометрической, называют интегрируемой.
![Page 115: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/115.jpg)
Пример: качение без скольжения
RC
CV
RVC
RxC
![Page 116: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/116.jpg)
Геометрические и интегрируемые кинематические связи (вместе)
называют голономными, неинтегрируемые
дифференциальные связи – неголономными.
Механические системы с неголономными связями мы не
изучаем.
![Page 117: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/117.jpg)
Связи, налагающие ограничения, которые сохраняются при любом
положении механической системы, называются удерживающими.
Связи, от которых система может освободиться,
называются неудерживающими.
![Page 118: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/118.jpg)
Удерживающие связи математически выражаются
уравнениями, неудерживающие – неравенствами.
![Page 119: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/119.jpg)
Пример
22
12
2
12 )()( lyyxx
22
12
2
12 )()( lyyxx
![Page 120: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/120.jpg)
:Пример
0),,,,( txzyxf
аянеголономн
рнаянестациона
связь
ющаянеудержива
![Page 121: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/121.jpg)
Виртуальные (возможные) перемещения
![Page 122: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/122.jpg)
Виртуальным перемещением механической системы называют
любую совкупность элементарных перемещений ее точек
из занимаемого в данный момент положения ,
допускаемую наложенными на систему связями.
![Page 123: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/123.jpg)
В изображении виртуального перемещения используют символ
),,( 21 nrrr ,
![Page 124: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/124.jpg)
Число независимых между собой виртуальных перемещений
механической системы называется
числом степеней свободы этой системы.
![Page 125: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/125.jpg)
У механической системы с голономными связями
число независимых координат, определяющих положение системы,
совпадает с числом степеней свободы.
![Page 126: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/126.jpg)
Пример. Число степеней свободы механизма …
Ответ: 2
![Page 127: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/127.jpg)
Виртуальная работа
А = Fk· rkk = 1
n
Дадим системе виртуальное перемещение и подсчитаем элементарную работу сил
на этом перемещении
![Page 128: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/128.jpg)
Идеальные связиСвязи называются идеальными,
если работа реакций связей на любом виртуальном перемещении системы
из любого ее положения равна нулю.
![Page 129: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/129.jpg)
Условие идеальности связей:
Примеры идеальных связей
n
kKK rR
1
0
![Page 130: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/130.jpg)
1.
R
r
0 rRA
![Page 131: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/131.jpg)
R
0r
2.
![Page 132: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/132.jpg)
N
Fсц
0r
3. Качение без проскальзывания
![Page 133: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/133.jpg)
R r
4.
0 rRA
![Page 134: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/134.jpg)
AB
RA
RB
VA
VBRA=-RB
Сумма мощностей:
5.
![Page 135: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/135.jpg)
.0
.)(
BAB
BAAB
ABB
BBAA
VRN
VVV
VVR
VRVRN
![Page 136: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/136.jpg)
Вывод: стержень с шарнирами на концах является идеальной связью.
![Page 137: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/137.jpg)
Принцип виртуальных перемещений
(АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИКА)
![Page 138: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/138.jpg)
Система материальных точек находится в равновесии,
если силы, действующие на каждую точку системы,
взаимно уравновешиваются и скорости всех точек равны нулю.
![Page 139: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/139.jpg)
Для того, чтобы система, подчиненная идеальным
стационарным удерживающим связям, находилась в равновесии,
необходимо и достаточно, чтобы сумма работ всех активных
сил на любом виртуальном перемещении была равна нулю.
![Page 140: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/140.jpg)
.0
0
1
1
n
kkk
n
kkk
VF
или
rF
Вместо работы на виртуальном перемещении можно рассматривать
мощность на виртуальном движении системы
![Page 141: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/141.jpg)
Замечания
• Если есть неидеальные связи, то их реакции (например, силы трения) следует отнести к активным силам.
![Page 142: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/142.jpg)
Если требуется определить реакцию идеальной связи,
следует мысленно отбросить эту связь,
а соответствующую ей реакцию рассматривать как активную
силу.
![Page 143: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/143.jpg)
Считая силу F известной,
определить силу Р при равновесии
системы.
F
P
120
Пример 1
![Page 144: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/144.jpg)
Решение
F
P
120
PVFV
0 FP VFVP
030cos FP VV
0)30cos( 0 FVFP
3
230cos 0
FFP
![Page 145: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/145.jpg)
Определить усилие в
стержне 1 фермы, если
F=6 kH.
F
6060
1
23
A
B
C
Пример 2
![Page 146: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/146.jpg)
SS CV
BV
Уравнение связи:
0
0
60cos
30cos
C
B
V
V
Принцип:
0
30cos
1
0
C
B
VS
VF
F
A
B
C
Решение
kHS 31
![Page 147: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/147.jpg)
Кинетическая энергия
материальной точки:
2
21
mV
Кинетическая энергия
![Page 148: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/148.jpg)
T = mkvk
2
k=1
n12
Кинетическая энергия системы –это сумма кинетических энергий точек, входящих в систему
![Page 149: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/149.jpg)
Теорема Кёнига
rC TVmT 2
2
1
![Page 150: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/150.jpg)
Кинетическая энергия механической системы равна сумме
кинетической энергии поступательного движения c
центром масс системы и кинетической энергии движения
системы относительно центра масс.
![Page 151: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/151.jpg)
Рассмотрим движение механической системы в двух
системах координат: неподвижной и подвижной.
01x1y1z1 - неподвижная система
Система координат 02x2y2z2 перемещается поступательно.
![Page 152: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/152.jpg)
k
y2
x2
z2
O2
Mk
ro
rk
y1
x1
z1
O1
![Page 153: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/153.jpg)
Вектор rk определяет положение точки относительно неподвижной системы координат, а вектор k - относительно подвижной системы координат;
;kOk rr
дифференцируем уравнение по времени:
;rkOk VVV
![Page 154: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/154.jpg)
Tr = mkvk r2
k=1
n12
- кинетическая энергия системы относительно подвижной системы
координат
vk r - скорость точки относительно подвижной системы координат
![Page 155: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/155.jpg)
= mkv0
2 +12 mkv0 vk r +
+ mkvk r2 =1
2
+ v0 mkvk r +
v0
2 mk +12
Tr
T = mk(v0 + vk r)
2 = k=1
n12
![Page 156: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/156.jpg)
mk k
mc =
Дифференцируем по времени:
c - радиус-вектор, определяющий положение центра масс системы относительно подвижной системы координат
;rkkrC VmVm
![Page 157: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/157.jpg)
0vc r =
Совместим начало подвижной системы координат с центром масс системы:
vc r - скорость центра масс относительно подвижной
системы координат
Получили формулу Кенига
![Page 158: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/158.jpg)
Кинетическая энергия твёрдого тела
![Page 159: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/159.jpg)
При поступательном движении:
mkvk
212T = vk = v
T = v
2 mk =12 v
2 m
12
T = v
2 m
12
Кинетическая энергия системы
где
![Page 160: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/160.jpg)
При вращательном движении:
z
hkMk
vk
mkvk
212Tk =
vk = hk
![Page 161: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/161.jpg)
mk hk
2 212Tk =
mkvk
2 =12T = 2mk hk
212
mk hk
2 = Iz
T = 2 Iz
12
Кинетическая энергия системы:
- момент инерции тела
![Page 162: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/162.jpg)
При плоскопараллельном движении
m v0
2 +12
кинетическая энергия определяется по формуле Кенига -
T = m vC
2 +12 2 1
2 CI
T = Tr
![Page 163: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/163.jpg)
Пример. Дано: r, m - радиус и масса однородного диска.
Vc - скорость центра масс.Диск катится без скольжения.
Определить кинетическую энергию диска.
С
rCV
![Page 164: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/164.jpg)
2c
2c ωI
2
1mV
2
1T +=
r
Vω c=2
C mr2
1I =
=••+= 2
2C22
c r
Vmr
2
1
2
1mV
2
1T
2CmV
4
3=
![Page 165: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/165.jpg)
Силовое поле
Силовым полем называется область, в каждой точке которой на
помещенную в нее материальную точку действует сила, однозначно
определенная по величине и направлению в любой момент
времени.
![Page 166: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/166.jpg)
Силовое поле называется стационарным,
если проекции силы не зависят от времени.
![Page 167: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/167.jpg)
• Стационарное силовое поле называется потенциальным,если существует такая функция координат П(x,y,z), называемая потенциальной энергией, что проекции силы могут быть представлены через нее следующим образом:
![Page 168: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/168.jpg)
Потенциальная энергия определяется с точностью до
постоянного слагаемого.
![Page 169: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/169.jpg)
Потенциальная энергия в данной точке равна работе,
производимой силами поля при перемещении точки
из данного положения в начальное положение,
в котором она равна нулю.
![Page 170: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/170.jpg)
Работа силы по любому замкнутому контуру в
потенциальном силовом поле равна нулю.
![Page 171: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/171.jpg)
Потенциальная энергия поля силы тяжести
• Если принять • П(0)=0, • то П(z)=mgz
Z
mg
z
O
![Page 172: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/172.jpg)
Потенциальная энергия восстанавливающей силы
пружины
20
2
21
xxСП
oxx, - конечное и начальное удлинения пружины
![Page 173: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/173.jpg)
Обобщенные координатыи
обобщенные скорости
![Page 174: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/174.jpg)
Рассматриваем только системы с геометрическими связями
(голономные). У такой системы число независимых
координат, определяющих положение системы,
совпадает с числом степеней свободы.
![Page 175: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/175.jpg)
Независимые между собой параметры любой размерности,
число которых равно числу степеней свободы системы
и которые однозначно определяют ее положение,
называют обобщенными координатами
системы.
![Page 176: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/176.jpg)
q - обобщенная координатаs –число степеней свободы
Положение системы определяется обобщенными
координатами
.,,, 21 sqqq
![Page 177: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/177.jpg)
Производные обобщенных координат по времени называются
обобщенными скоростями
.,,, 21 sqqq
.
,
;
,
скоростьугловаяqто
уголqесли
скоростьлинейнаяqто
величиналинейнаяqЕсли
![Page 178: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/178.jpg)
Вектор виртуального перемещения точки
s
ki
i
kk q
qr
r1
Радиус-вектор любой точки системы
.),,,( 21 skk qqqrr
![Page 179: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/179.jpg)
Обобщенные силы
Составим сумму элементарных работ сил системы на ее
виртуальном перемещении:
n
kkk rFA
1
![Page 180: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/180.jpg)
Перейдем к обобщенным координатам
;1 1
n
k
s
ii
i
kk q
q
rFA
Изменим порядок суммирования
.1 1
s
ii
n
k i
kk q
q
rFA
![Page 181: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/181.jpg)
Введем обозначения
.,,2,1
,1
si
qr
FQn
k i
kki
Виртуальная работа
s
iii qQA
1
.2211 ss qQqQqQ
![Page 182: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/182.jpg)
Обобщенные силы – это величины, равные коэффициентам при приращениях обобщенных
координат в выражении элементарной работы
действующих на систему сил.
![Page 183: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/183.jpg)
Вычисление обобщенных силСообщим системе виртуальное перемещение:
)0,,0,0( 21 sqqq
Виртуальная работа .111 qQA
Обобщенная сила
И так далее.
.1
11 q
AQ
![Page 184: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/184.jpg)
Вместо виртуального перемещения можно рассматривать виртуальное
движение
)0,,0,0( 21 sVVV
Виртуальная мощность .111 VQN
Обобщенная сила
И так далее.
1
11 V
NQ
![Page 185: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/185.jpg)
Если все действующие на систему силы потенциальны, то
.,,,2
21
1s
s qП
QqП
QqП
Q
![Page 186: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/186.jpg)
Пример
.
.300
10
120
3,0
:
2
QНайти
HG
мНМ
мНМ
мR
Дано
тр
.
МтрM
2G
![Page 187: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/187.jpg)
Решение
.
2G
МтрM
Виртуальное движение:
2,0 V
02V
Уравнение связи:
RV2
Мощность:
.2
22
RGMM
VGMM
N
тр
тр
Q
![Page 188: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/188.jpg)
мHQ
RGMMQ тр
20
2
![Page 189: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/189.jpg)
Общее уравнение динамикиПринцип виртуальных перемещений
дает общий метод решения задач статики.
Принцип Даламбера придает уравнениям динамики вид уравнений
статики.Их совместное применение
приводит к принципу Даламбера-Лагранжа:
![Page 190: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/190.jpg)
- общее уравнение динамики.
При движении материальной системы с идеальными связями сумма работ активных сил и сил инерции на любом виртуальном
перемещении равна нулю.
(Fk – mk ak) rk = 0
![Page 191: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/191.jpg)
Пример
![Page 192: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/192.jpg)
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
Преобразование общего уравнения динамики позволяет получить
уравнения Лагранжа :
siQqT
qT
dtd
i
ii
,,2,1,
![Page 193: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/193.jpg)
Т - кинетическая энергия системы
s- число степеней свободы
координатыобобщенныеqi
силыобобщенныеQi
![Page 194: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/194.jpg)
• Изобразить на чертеже все активные силы, действующие на систему. Реакции идеальных связей не изображать. Силы трения присоединить к активным силам.
• Определить число степеней свободы и ввести обобщенные координаты.
Порядок решения:
![Page 195: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/195.jpg)
• Вычислить кинетическую энергию системы,выразив ее через обобщенные координаты и скорости;
• Найти обобщенные силы системы;
• Выполнить действия, указанные в уравнениях Лагранжа.
![Page 196: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/196.jpg)
Частное дифференцирование:
При частном дифференцировании все величины в скобках
рассматриваются как независимые
),,,,,,,,( 2121 tqqqqqqTT SS
![Page 197: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/197.jpg)
Пример 1
Дано: АВ=L, ползуны безмассовые, связи идеальные
(нет трения).
Составить дифференциальное
уравнение движения.
![Page 198: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/198.jpg)
С
X
А
В
Y
γ
mg
Решение
1. gm2. S=1, q
3. 22
21
21 CC JmVT
22
,ll
VC
Р.
122mlJC
22
61 mlT
![Page 199: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/199.jpg)
4.Обобщенная сила
CV
.Р
С
gm
А
В
Виртуальное движение:
Виртуальная мощность:
sin2
sin
lmg
mgVN C
sin21
mglQ
CBA VVV ,,,0
![Page 200: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/200.jpg)
siQqT
qT
dtd
i
ii
,,2,1,
222
31
61
mllmqT
i
061 22
lm
qT
i
![Page 201: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/201.jpg)
22
31
31
lmlmdtd
qT
dtd
i
0sin21
31 2 lgmlm
![Page 202: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/202.jpg)
Особенности применения уравнений Лагранжа к
системам с неидеальными и неудерживающими связями
![Page 203: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/203.jpg)
Уравнения Лагранжа для случая потенциальных сил
i
i qQИмеем
:
0
iii qqT
qT
dtd
![Page 204: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/204.jpg)
Функция Лагранжа L=T-П
Tqq
Тпоэтому
ii
,iqотзависитне
энергиянаяПотенциаль
![Page 205: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/205.jpg)
Уравнения Лагранжа (силы потенциальны)
0
ii qL
qL
dtd
![Page 206: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/206.jpg)
1 2
Пример. Дано: .;; 021 lCmmm Определить закон движениясистемы (начальные условия ?)
С–коэффициент жесткости пружины
0l - свободная длина пружины
![Page 207: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/207.jpg)
Общие теоремы динамики
Теорема об изменении кинетической энергии системы
![Page 208: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/208.jpg)
Дифференциальная форма:• Полная производная кинетической
энергии по времени равна сумме мощностей всех внешних и
внутренних сил, приложенных к системе.
ie NNdt
dT
![Page 209: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/209.jpg)
Для точки второй закон Ньютона
Ftd
VdmFam
Умножим ур. на V VFtd
VdVm
VFmV
td
d
2
2
Ntd
dT
![Page 210: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/210.jpg)
Пусть система состоит из n материальных точек.
Делим все силы, действующие на систему, на внешние и внутренние и для каждой точки запишем теорему об изменении кинетической энергии:
![Page 211: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/211.jpg)
k k k
i
k
e
kk NN
dt
dT
ie NNdt
dT
nkNNdt
dT ik
ek
k ,,2,1,
![Page 212: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/212.jpg)
Если система переместилась из начального положения в конечное, то в интегральной форме теорема об изменении кинетической энергии будет иметь вид:
T - T0 = ie AA
![Page 213: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/213.jpg)
Изменение кинетической энергии системы при перемещении ее из
начального положения в конечное равно сумме работ внешних и внутренних сил.
![Page 214: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/214.jpg)
ЗАМЕЧАНИЯ
• Кинетическая энергия составляется по абсолютным скоростям.
• Не требуется учитывать реакции идеальных стационарных связей и внутренние силы твердого тела и нерастяжимой нити.
• Теорема дает одно скалярное уравнение.
![Page 215: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/215.jpg)
Пример 1
• Однородный цилиндр катится без скольжения.
• Найти ускорение центра С.
Какой вариант теоремы применить?
с
030
![Page 216: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/216.jpg)
NdtdT 22
21
21 CC JVmT
RVC
2
2RmJC
2
43
CVmT
.
mg CV30
c 030sinCVgmN
CC aVmdtdT
23
21
30sin 0
![Page 217: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/217.jpg)
21
23
CCC VgmaVm
3g
aC
![Page 218: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/218.jpg)
Пример 2Чтобы однородный диск из показанного на рисунке положения повернулся на четверть оборота, ему надо сообщить начальную
угловую скорость … рад/с.
Решение
![Page 219: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/219.jpg)
T - T0 = ie AA
;RgmA
Т=0;
о
;2
3 20 RmJ ;
2
1 2000 JT
;4
3 20
2 mgRmR .3
20 R
g
![Page 220: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/220.jpg)
Закон сохранения полной механической энергии
• Если все силы потенциальны, то
ППAk 0
constПТПТ 00
![Page 221: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/221.jpg)
При движении под действием потенциальных сил сумма
кинетической и потенциальной энергий системы в каждом ее
положении остается постоянной.
В предыдущем примересила тяжести – потенциальная,
значит, применим закон сохранения энергии.
![Page 222: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/222.jpg)
ПримерЧтобы однородный диск из показанного на рисунке положения повернулся на четверть оборота, ему надо сообщить начальную
угловую скорость … рад/с.
Решение
![Page 223: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/223.jpg)
constПТПТ 00
В начальном положении:
.0,4
30
20
20 принялиПRmT
В конечном положении:
.,0 RgmПT
.,4
30
20
2 RmRgm
![Page 224: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/224.jpg)
Количеством движения материальной точки называется
векторная величина, равная произведению массы точки на ее
скорость
Vm
Тема: Теорема об изменении количества движения
![Page 225: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/225.jpg)
vk = r k
- количество движения системы: сумма количеств движений точек, входящих в систему
Q = mkvk k=1
n
dr k
dt=Q = mk
k=1
nddt
n
kkk rm
1
![Page 226: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/226.jpg)
Q = ddt
(mr c ) Q = mdr c
dt
=>- количество движения системы: произведение массы системы на скорость ее центра масс
CVmQ
![Page 227: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/227.jpg)
А
В
D
VD
VA
системыQ
Определить
VVV
mmmm
Дано
DA
BDA
:
.
:
Пример
![Page 228: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/228.jpg)
2 варианта решения:
CVmQ .1 k
kkVmQ.2
b
PAD
B.
C
0 DA QQ
030cos2
bbV
PBV AB
3VVB BVmQ
VmQ 73,1DV
BV
AV
![Page 229: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/229.jpg)
Элементарным импульсом силы называется векторная величина
dtFSd
Импульс силы за конечное время t:
t
dtFS0
![Page 230: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/230.jpg)
Пример. F
Определить импульс силы F ,равномерно движущейся поокружности и совершающейполный оборот за время Т.
Ответ: S=0
![Page 231: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/231.jpg)
Теорема об изменении количества движения механической системы в
дифференциальной форме:
производная по времени вектора количества движения системы равна главному вектору внешних сил.
![Page 232: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/232.jpg)
dQdt
= F e
eFQ
- количество движения системы
- главный вектор внешних сил
![Page 233: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/233.jpg)
Следствия :
1)
Если F e = 0 ,
то
Если главный вектор внешних сил системы равен нулю, то вектор количества движения постоянен по величине и направлению .
constQ
![Page 234: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/234.jpg)
2) Если сумма проекций внешних сил на ось равна нулю, то проекция
количества движения системы на эту ось есть величина постоянная
.
,0
constQто
FЕсли
x
ex
![Page 235: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/235.jpg)
Следствия выражают закон сохранения количества движения
системы.
• Из них следует, что внутренние силы не могут изменить количество движения системы.
Рассмотрим доказательство теоремы
![Page 236: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/236.jpg)
dvk
dt= mk
Fk
e + Fk
i
ddt
mkvk =
F e
dQdt
= F e
Для системы точек:
Теорема об изменении количества движения:
![Page 237: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/237.jpg)
Теорема об изменении количества движения системы
в интегральной форме
![Page 238: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/238.jpg)
Изменение количества движения системы за конечное время равно сумме импульсов внешних сил за
то же время
е
kSQQ
01
![Page 239: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/239.jpg)
Пример
1
2
s
покойt
мts
кгmкгm
Дано
0
,)(cos05,02,0
,8,2
:
21
ctctмоментыв
теласкоростьОпределить
5,0,2
2
21
![Page 240: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/240.jpg)
Решение 0 x
ekS Закон
сохранения:
0 Oxx QconstQ1
2
s 1V
2VxО
2211 VmVmQx
tVSVV sin
20221
0sin20 2221
VmtVm
![Page 241: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/241.jpg)
tmm
mV
sin2021
12
tV sin0314,02
:2)1 1 ct 02sin 0)( 12 tV
ct 5,0)2 2 12
sin
222 0314,0)(см
tV
![Page 242: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/242.jpg)
Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс мало отличаются одна от другой. Действительно:
CC amVmtd
d
td
Qd
ekF
td
Qd ekC Fam
![Page 243: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/243.jpg)
Момент количества движения
(Кинетический момент)
![Page 244: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/244.jpg)
Моментом количества движения материальной точки относительно центра О называется векторная
величина, определяемая равенством
VmrVmM O
)(
оr
Vm
![Page 245: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/245.jpg)
K0 = K0k = k=1
n
rk mkvk k=1
n
Момент количеств движения системы:векторная сумма моментов количеств движения точек, входящих в систему.
![Page 246: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/246.jpg)
Кинетический момент твердого тела, вращающегося вокруг
неподвижной оси
Другое название:кинетический момент
Кинетический момент системы может рассматриваться как
характеристика ее вращательного движения
![Page 247: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/247.jpg)
z
hzdm v
![Page 248: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/248.jpg)
v =z·hz
v dm = z hz dm
v dm hz = z hz2 dm
момент количества движения точки:
Количество движения точки массой dm :
![Page 249: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/249.jpg)
Для тела кинетический момент относительно оси вращения:
)(
2
V
zzz dmhK
Kz = zzJ
V
z mdhJ 2
![Page 250: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/250.jpg)
Пример
z
)(
:
10
5,0
3,0
:
1
1
2
2
tK
Определить
ct
радt
мкгI
Дано
z
z
![Page 251: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/251.jpg)
Решение
tz с
радtz 101
смкг
tItK zzz
2
11 3103,0
![Page 252: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/252.jpg)
При плоском движении:
о
y
x
cCV
zCCOZOZ IVmMK )(
rc
![Page 253: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/253.jpg)
или
.zcccOz JVmrK
![Page 254: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/254.jpg)
Пример. Дано:
1
2
A
B
P
R
R
.15,0
,3,6 2
мR
кгmс
рад
Определить кинетичес-кий момент колеса 2относительно точки Р.
?PK(Кепе, 14.5.13)
![Page 255: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/255.jpg)
Теорема об изменении кинетического момента механической системы
(теорема моментов)
![Page 256: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/256.jpg)
Производная по времени вектора кинетического момента системы
относительно неподвижного центра равна главному моменту внешних сил
относительно того же центра.
)( e
kOO FM
dtKd
О – неподвижный центр
(1)
![Page 257: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/257.jpg)
Следствия :
1)
Если M0
e = 0 ,
Если главный момент внешних сил системы равен нулю, то вектор кинетического момента системы - величина постоянная.
то K0 = const
![Page 258: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/258.jpg)
2) Если проекция главного момента внешних сил на какую-
либо ось равна нулю, то кинетический момент
относительно оси - величина постоянная.
Если Mxe = 0 , то Kx = const
![Page 259: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/259.jpg)
=dKx dt
Mxe
=dKz dt
Mze
=dKy dt
Mye
Теорема в проекциях на оси координат
![Page 260: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/260.jpg)
Доказательство теоремы
Для материальной точки по второму закону Ньютона
Ftd
VdmилиFam
![Page 261: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/261.jpg)
Пусть r - радиус-вектор, определяющий положение точки относительно какой либо системы координат.Умножим векторно слева уравнение на r:
внесем r под знак дифференциала:
Frtd
Vdmr ;
![Page 262: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/262.jpg)
r m =dvdt
ddt
(r m v ) - dr
dt m v-
K0 = r m v
M0 = r F
Обозначим:
- момент количества движения точки
относительно центра О
- момент силы F относительно центра О
=0
![Page 263: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/263.jpg)
Получили теорему об изменении момента количества движения
материальной точки
ddt
(r m
v )=M0
M0=dK dt
о
![Page 264: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/264.jpg)
=dK01 dt M0 ( F1
e ) + M0 ( F1
i )
. . . . . . . . . . . . . . .
=dK0n dt M0 ( Fn
e ) + M0 ( Fn
i )
Для всех точек системы:
![Page 265: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/265.jpg)
k=1
n
=dK0k dt
M0 ( Fke
) + M0 ( Fki )
k=1
n
k=1
n
Почленно сложим уравнения системы:
M0
e k=1
nddt
K0k =
=0
M0
e=dK0 dt
(1)
![Page 266: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/266.jpg)
Пример
Дано:m1, J2, Mтр.Найти:
Решение
ekoz
oz FMdt
dK
о
трM
1G
x
y
![Page 267: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/267.jpg)
о
трM
1G
RVmJKoz 12
RV .2
12 RmJKoz
.1 трe
koz MRGFM
трMRgmRmJ 12
12
212
1
RmJ
MRgm тр
![Page 268: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/268.jpg)
P
Что будет, если при применении теоремы
выбрать подвижный центр ?
Р?
![Page 269: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/269.jpg)
Теорема об изменении кинетического момента (для произвольного
подвижного центра Р)1.Кинетический момент механической системы в сложном движении
Ox1y1z1 – неподвижная система коорд.Pxyz – движется поступательно;С – центр масс.
![Page 270: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/270.jpg)
mkVkBk
rk
k
y
z
Prp
.c
xO
x1
z
y1
(*)kpk rr
.kkkkkpkkk VmVmrVmr
Для точки:
![Page 271: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/271.jpg)
Пусть k=1,2, …,n. Просуммируем:
Если Р совпадает с С:
2.Теорема для неподвижного центра:
(**).pcpo KVmrK
.ccco KVmrK
k
eko
o FMdtKd
)1(
![Page 272: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/272.jpg)
k k k k
ekk
ekp
ekk
eko FFrFrFM .
;dt
KdamrVmV
dt
Kd pcpcp
o
.
k
ekk
k
ekp
pcpcp
FFr
dt
KdVmVamr
.ekpcp
p FMVmVdt
Kd(2)
![Page 273: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/273.jpg)
Выводы:1.Для подвижного центра уравнение (1) несправедливо.2.Если в качестве подвижного центравзять центр масс С, то уравнение (2)примет форму уравнения (1):
.ekc
c FMdtKd
3.Если ,// cp VV то уравнение (2)имеет такой же вид, как уравнение (1).
![Page 274: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/274.jpg)
Пример
M
сR
Дано: R,Jc,M. Найти: .
Решение
![Page 275: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/275.jpg)
“O” или “P” ?
G
M
рN
FТо x
y
VP
VC
CP VV //
.PP M
dt
dKс
.2
3
222
22 RmRm
RmRmJJ CP
; PP JK
![Page 276: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/276.jpg)
;
;2
3 2
MFM
RmK
kP
P
;2
3 2 MRm
.3
22Rm
M
![Page 277: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/277.jpg)
C
P
CV
PV
![Page 278: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/278.jpg)
Удар
Явление, при котором скорости точек тела за очень малый промежуток времени изменяются на конечную величину, называется ударом.
![Page 279: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/279.jpg)
Силы, возникающие при ударе, будем называть ударными силами .удF
Время удара обозначим через Действие ударной силы оценивают ударным импульсом
0
.dtFS удуд
Ударный импульс – конечная величина.
![Page 280: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/280.jpg)
Обозначения:
V
V
скорость точки до удара
скорость точки после удара
Применим к явлению удара теорему об изменении количества движения:
,SVVm
![Page 281: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/281.jpg)
Изменение количества движения материальной точки за время удара
равно действующему на точку ударному импульсу.
Это – основное уравнение теории удара.
![Page 282: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/282.jpg)
Основные положения теории удара:
1.Удар происходит мгновенно.2.Тело при ударе не изменяет своего положения.3.Действие неударных сил (таких, как сила тяжести) можно не учитывать.4.Изменения скоростей точек тела завремя удара определяются основным уравнением теории удара.
![Page 283: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/283.jpg)
Пример.(не конспектировать!) Стальной шарик массой 100 г падает с высоты 4 м,
ударяясь о плиту со скоростью 9 м/с и отскакивая со скоростью 5 м/с.
Продолжительность удара ;0002,0 cСредняя сила удара 7000 Н.
Анализ:1.Средняя сила удара в 7000 раз больше силы тяжести шарика.
2.Время удара в 5000 раз меньше времени падения (1секунда).
![Page 284: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/284.jpg)
3.Во время удара шарик соприкасался с плитой, координата его центра масс (в сравнении с высотой падения 4 м) менялась очень мало.
![Page 285: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/285.jpg)
Коэффициент восстановления(гипотеза Ньютона)
Коэффициент восстановления равен отношению модуля нормальной составляющей относительной скороститочек контакта тел после удара к его значению до удара.
nB
nA
nB
nA
VV
VVk
![Page 286: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/286.jpg)
..АВ
AV
AVBV
BVn
А, В – точки контакта
![Page 287: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/287.jpg)
Относительные скорости точек контакта:
BA VV скорость сближения перед ударом;
BA VV скорость разлета после удара.
Коэфф. восстановления учитывает физические свойства тел. Определяется экспериментально.
![Page 288: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/288.jpg)
При прямом ударе тела о неподвижную преграду
коэффициент восстановления равен отношению модуля скорости тела в конце удара к модулю скорости в
начале удара: k=V+/V- .V
VS
n
Предельные случаи:
- абсолютно упругий удар (k=1);
- абсолютно неупругий удар (k=0).
![Page 289: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/289.jpg)
В первом случае (k=1) кинетическая энергия после удара
полностью восстанавливается,
во втором (k=0) вся кинетическая энергия теряется на нагревание, деформацию и пр.
![Page 290: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/290.jpg)
Теорема об изменении количества движения механической системы
при ударе
Изменение количества движения системы за время удара равно сумме всех внешних ударных импульсов, действующих на систему.
ekSQQ 01
![Page 291: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/291.jpg)
В проекциях на любую координатную ось x
ekxxx SQQ 01
Импульсы обычных сил при ударе не учитывают.
![Page 292: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/292.jpg)
Следствия:
1.Если геометрическая сумма всехвнешних ударных импульсов равнанулю, то количество движения системы за время удара не изменяется. 2.Внутренние ударные импульсы не могут изменить количества движения системы.
![Page 293: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/293.jpg)
смjiV /23
(1,8 2,4 )S i j Н с
... ( / )V м с
Пример 1. На материальную точку массой 0,6 кг, движущуюся со скоростью
подействовал ударный импульс
После удара модуль скорости
,
.
.
Решение
![Page 294: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/294.jpg)
Основное уравнение теории удара
,SVVm Vm
SV уд
;
jijiV 236,0
4,2
6,0
8,1
./6;6 смVмодульjV
![Page 295: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/295.jpg)
смV /101 смV /22
кгmкгm 1,3 21 ... /V м с
Пример 2. После абсолютно неупругого удара тел с массами
их общая скорость
.
.
Решение
![Page 296: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/296.jpg)
0еудS QQ
221121 VmVmVmm
21
2211
mm
VmVmV
.8
с
мV
![Page 297: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/297.jpg)
Теорема об изменении кинетического момента механической системы (теорема моментов) при ударе
Изменение за время удара кинетического момента системы относительно какого-нибудь центраравно сумме моментов относительно
ekooo SMKK
![Page 298: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/298.jpg)
того же центра всех действующих на систему внешних ударных импульсов.
В проекциях на любую ось x
Следствия:1.Если сумма моментов внешних ударных импульсов относительно какого-нибудьцентра (или оси) равна нулю, то кинетический момент системы
.ekxxx SMKK
![Page 299: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/299.jpg)
относительно этого центра (или оси) за время удара не изменяется.
2.Внутренние ударные импульсы не могут изменить кинетический момент системы.
![Page 300: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/300.jpg)
Пример 1
.AB.bbbx
y .
Дано: Однородный куб,
2
32
bmJ Az
015k=0, V0=0.
Куб после удара об упор:
а) остановится,
б) опрокинется.?
![Page 301: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/301.jpg)
1.Определим скорость перед ударом
;sin bgmA
Т0=0; 2
21
VmT
ATT 0
sin2 bgV
![Page 302: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/302.jpg)
2. Удар .удBzBzBz SMKK
0удBz SM BzBz KK
;2b
VmKBz ; BzBz JK
(1)
Подставляем в (1):
.sin2
43 b
gx
удS
В
Vm
y
![Page 303: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/303.jpg)
Условие опрокидывания:
В
045
С
G.
;0 ATT
20 2
1 BzJT
.45cos122 0
bgm
A
0
1T
A
ATT 0 >0
![Page 304: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/304.jpg)
Результат вычислений:
1>0,97
Вывод:
куб опрокинется.
![Page 305: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/305.jpg)
Н с/рад с
Пример 2. Однородный стержень массой 4 кг двигался поступательно. После приложения ударного импульса S=1,6
угловая скорость .
Решение
![Page 306: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/306.jpg)
SS
x
y
CS
.2
,l
SSSM z
удCzCzCz SMKK 0CzK;
CzCz JK12
2lmJCz
212
2 lS
lm
lm
S6
с
рад2;
;
![Page 307: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/307.jpg)
Пример 3. После удара об упор угловая скорость 3,5 /рад с ;
коэффициент восстановления Угловая скорость
k = 0,7.перед ударом
/рад с .O
Решение
V
Vk ;
l
l .
k
./57,05,3 срад
![Page 308: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/308.jpg)
Удар материальной точки об идеально гладкую поверхность
n
S
V
V
Зная скорость
,Vдо удара и величину k,найдем скорость ,Vпосле удара и ударный импульс S .
Поверхность идеальногладкая, .SnS Используем основное уравнение теории удара:
![Page 309: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/309.jpg)
.nSVVm
В проекциях на оси nи
,0 VV .
1S
mVV nn
Касательная составляющая скоростисохраняет величину и направление.
Нормальная составляющая меняет направление, а величина ее .nn VkV
Из чертежа:
![Page 310: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/310.jpg)
n
S
V
V
,cos VV n ,sin VV
,cos VV n .sin VV
;sin
sin
VVVVИз
n
n
V
Vk
cos
cos
V
V
sincos
cossin.
ctg
ctg
ctgkctg Ударный импульс
.nn VVmS .nn VkVНо
![Page 311: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/311.jpg)
cos1 VkmS
Импульс максимален при прямом 0 абсолютно упругом 1kударе:
При прямом абсолютно неупругом (k=0) ударе .mVS
.2 mVS
![Page 312: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/312.jpg)
Пример Дано:n
V V
,45,1 0 смVk=0,5.
Найти: ., V
Решение
ctgkctg ;6263,5,0 0 ctg
.8945,0sin
sin
sin VV .79,0
8945,0
707,01
с
мV
![Page 313: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/313.jpg)
Колебания
Устойчивость положения равновесия
Равновесие системы в данном положении называется устойчивым, если, выведенная из этого положения малым возмущением, во все последующее время она движется в малой окрестности положения равновесия или возвращается к нему.
![Page 314: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/314.jpg)
.G
a)
G
б)
![Page 315: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/315.jpg)
Теорема Лагранжа - Дирихле
Если потенциальная энергия консервативной системы имеет в положении равновесия строгий минимум, то равновесие системы в этом положении является устойчивым.
Это условие – достаточное.
![Page 316: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/316.jpg)
Для консервативной системы с одной степенью свободы достаточные
условия устойчивости положения равновесия имеют вид:
.0,00
2
2
0
qП
qП
![Page 317: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/317.jpg)
Пример. Механическая система состоит из обращенного математического маятника массой m и длиной l и
спиральной пружины с коэффициентом жесткости С. При каких значениях
параметров верхнее положение равновесиямаятника будет устойчивым?
Решение
![Page 318: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/318.jpg)
Для рассматриваемой системы
;cos121 2 lgmCП
!4!2
cos142
отбросим
.2
2lgmCП
![Page 319: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/319.jpg)
;0)( 00
lgmCП
,002
2
lgmCП
или C > mgl - условиеустойчивости.
![Page 320: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/320.jpg)
Свободные прямолинейные колебания материальной точки
.xx
F MO
сила
ивающаявосстанавлF
Fx=-Cx Дифференциальное уравнение движения:
.CxxmилиFxm x
![Page 321: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/321.jpg)
Обозначение: С/m=k2,
- дифференциальное
уравнение свободных линейных колебаний при отсутствии сопротивления.
Общее решение имеет вид x=C1sinkt+C2coskt
или
02 xkx
.)sin( tkAx (1)
![Page 322: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/322.jpg)
Скорость точки
.cos ktkAxVx
Колебания, совершаемые точкой по закону (1), называются гармоническими колебаниями.
А – амплитуда колебаний;
tk фаза колебаний;
начальная фаза.
(2)
![Page 323: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/323.jpg)
k – круговая частота колебаний.
Промежуток времени Т, в течение которого точка
совершает одно полное колебание, называется периодом колебаний.
Период .2k
T
![Page 324: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/324.jpg)
:
,,
колебанийчастотойназывается
периодуобратнаяВеличина
;1 T
.1
,
секундузахсовершаемы
колебанийчисло
![Page 325: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/325.jpg)
условиямначальнымпо
иАеОпределени
Начальные условия:при t=0 x=xo и Vx=Vo .
Из (1) и (2) получим:
.cos,sin 00 A
kV
Ax
![Page 326: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/326.jpg)
Отсюда найдем:
,220
20 kVxA .00 Vxktg
Свойства свободных линейных колебаний
1.Амплитуда и начальная фаза колебаний зависят от начальных
условий.
![Page 327: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/327.jpg)
2.Частота k и период Т колебаний не зависят от начальных условий
и являются неизменными характеристиками данной колебательной системы.
Отсюда, в частности, следует, что еслив задаче требуется определить толькочастоту (период) колебаний, то надосоставить дифференциальное уравнение движения в виде
![Page 328: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/328.jpg)
02 xkx ,
после чего k определяется без интегрирования.
Влияние постоянной силы на свободные линейные колебания точки
На точку М действуют: - восстанавливающая сила
F ;
- постоянная сила .P
![Page 329: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/329.jpg)
x.y
O O1
ст xM PF
Модуль .OMCF
Положением равновесия, относит. которого колеблется точка М, будетточка О1. .СРст
ст статическое отклонение.Составим дифф. уравнение движения:
., PPxCF xстx
![Page 330: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/330.jpg)
;xx PFxm
;PxCxm ст
;0 PC ст
.02 xkxилиxCxm
Вывод:
![Page 331: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/331.jpg)
Постоянная сила Р, не изменяя характера колебаний, смещает центр колебаний в сторону действия силы на величину статического отклонения .ст
![Page 332: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/332.jpg)
Пример. Определить период малых
свободных колебаний однородного диска массой 2 кг ;
коэффициенты жесткости пружин С1=900 Н/м, С2=700 Н/м.
![Page 333: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/333.jpg)
С1
С2
x
y
ez
z Mdt
dK
. JJK z
RRCRRCM ez 21
.2
2RmJ .2
21 RCCM ez
![Page 334: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/334.jpg)
.02
21 CCm
02 k
.2
221
2
RCCmR
.221 CC
mk
.20
2c
kT
![Page 335: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/335.jpg)
Свободные колебания при наличии вязкого трения
Пример
![Page 336: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/336.jpg)
Вынужденные колебания
![Page 337: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/337.jpg)
Малые свободные колебания линейной системы с двумя степенями
свободы
Пусть положение системы определя-ется обобщенными координатами q1,q2
и при q1=q2=0 система находится в устойчивом равновесии.
Тогда, с точностью до квадратов малых величин,
![Page 338: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/338.jpg)
;221 2
22221122111 qaqqaqaT
.221 2
22221122111 qcqqcqcП
Подставим Т и П в ур. Лагранжа:
.2,1
,0
i
qП
qT
qT
dtd
iii
![Page 339: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/339.jpg)
i=1. 01
qT
;2121111
qcqcqП
;2121111
qaqaqT
.0212111212111 qcqcqaqa
![Page 340: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/340.jpg)
i=2 ;02
qT
;2221122
qcqcqП
;2221122
qaqaqT
.0222112222112 qcqcqaqa
![Page 341: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/341.jpg)
Дифференциальные уравнения колебаний линейной системы с двумя
степенями свободы:
.0222112222112 qcqcqaqa (1)
Будем искать решение ур. (1) в виде:
,sin1 ktAq .sin2 ktBq (2)
.0212111212111 qcqcqaqa
![Page 342: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/342.jpg)
,021212
21111 BkacAkac
.022222
21212 BkacAkac
(3)
Чтобы уравнения (3) давали для А и В решения, отличные от нуля, опреде-литель системы должен быть равен нулю или, иначе, коэффициенты при Аи В должны быть пропорциональны
![Page 343: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/343.jpg)
.22222
21212
21212
21111 n
AB
kackac
kackac
(4)
Для определения k2 получаемуравнение частот:
.022
12122
22222
1111 kackackac
Корни 22
21 , kk вещественны и
положительны.
![Page 344: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/344.jpg)
Корням k1, k2 соответствуют две совокупности частных решений:
(5)
.sin
,sin
22222
2
2222
1
tkAnq
tkAq(6)
21 nиn найдены из (4) при k=k1
и k=k2 соответственно.
;sin
,sin
11111
2
1111
1
tkAnq
tkAq
![Page 345: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/345.jpg)
Колебания, определяемые уравнениями (5) и (6), называются главными
колебаниями, а их частоты k1 и k2 –собственными частотами системы.
Колебание с частотой k1 (всегда меньшей) называют первым главнымколебанием, а с частотой k2 – вторымглавным колебанием.
![Page 346: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/346.jpg)
Числа n1 , n2 , определяющие отношения амплитуд в каждом из этих колебаний, называют
коэффициентами формы.
Суммы частных решений (5) и (6) будут общим решением уравнений (1):
![Page 347: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/347.jpg)
,sinsin 2221111 tkAtkAq
.sinsin 222211112 tkAntkAnq
Произвольные постоянные А1,А2, 21,определяются по начальным условиям.
Собственные частоты k1,k2 и коэфф. формы n1,n2 не зависят от начальных условий и являются основными характеристиками колебательной системы.
![Page 348: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/348.jpg)
Пример. Определить собственные частоты и коэффициенты формы
малых колебаний двойного физического маятника,
образованного однородными стержнями 1 и 2 одинаковой
массы m и длины l.
![Page 349: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/349.jpg)
O
A
gm
gm1
C2
Колебания малы:
2121 ,,, малыевеличины
3/21 lmJ O
12/22 lmJ C
222
2210 2
121
21
CC JVmJT 1
![Page 350: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/350.jpg)
AV
O
A
gm
gm1
C2 CAV
;5,0, 21 lVlV CAA
;CAAC VVV
;cos2 12
222
CAA
CAAC
VV
VVV
!21cos 21212 отбр.
;22CAAC VVV .5,0 2
2122 lVC
![Page 351: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/351.jpg)
Сравнивая с
;221 2
22221122111 qaqqaqaT
найдем:
.31
,21
,34 2
222
122
11 lmalmalma
;31
34
21 2
22121
2
lmT
![Page 352: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/352.jpg)
O
A
gm
gm1
C2
.cos12
cos1cos12 211 l
gmlgml
gmП
;2
cos12
Сравнивая с
.221 2
22221122111 qcqqcqcП
.341 2
221 lgmП
![Page 353: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/353.jpg)
найдем: .21
,0,23
221211 lgmcclgmc
Значения aik , cik подставим в уравнение частот
.022
12122
22222
1111 kackackac
Получим: .0727
62
24
lg
klg
k
Корни: .30,2,86,0 21 lgklgk
![Page 354: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/354.jpg)
Подставляя в одно из уравнений (4) сначала k1 , затем k2 , найдем коэффициенты формы:
.22222
21212
21212
21111 n
AB
kackac
kackac
(4)
.10,2,43,1 21 nn
![Page 355: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/355.jpg)
При первом главном колебании оба стержня в каждый момент времени
отклонены от вертикали в одну сторону и
.43,112
![Page 356: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/356.jpg)
При втором главном колебании стержни отклоняются в разные стороны и 10,212
![Page 357: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/357.jpg)
Вынужденные колебанияОбобщенные непотенциальные силы:
.sin,sin 2211 ptHQptHQ Дифф. ур. колебаний:
р – частота возмущающих сил.Частное решение:
.sin,sin 2211 ptAqptAq
.sin
,sin
2222121222121
1212111212111
ptHqcqcqaqa
ptHqcqcqaqa
![Page 358: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/358.jpg)
.
,)(
222
222212
2121
122
121212
1111
HApacApac
HApacApac
02 p
.21
212122
211112 pHpacHpacA
.222
221
2122211
2 pkpkaaap
,/ 22
212121
222221 pHpacHpacA
21 , kpkp условиярезонанса
![Page 359: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/359.jpg)
При вынужденных колебаниях линейной системы с двумя
степенями свободы резонанс возникает дважды:
(р– частота возмущающей силы).
21 kpприиkp при
![Page 360: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/360.jpg)
Динамический поглотитель колебаний
![Page 361: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/361.jpg)
1
2
С1
С2
l1+q1
l2+q2
F
F=Hsinpt ;22
221
221
1 qqm
qm
T
;2
1
2
1 222
211 qcqcП
212111
qqmqmq
T
;111
qcq
П
222
qcq
П
;2122
qqmq
T
![Page 362: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/362.jpg)
1
2
С1
С2
l1+q1
l2+q2
F
F=Hsinpt ,sin11
22121
ptHqc
qmqmm
.022
2212
qc
qmqm
.sin
,sin
22
11
tpBq
tpBq
![Page 363: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/363.jpg)
.0
,
22
2212
2
22
212
211
BpmcBpm
HBpmBpmmc
;422
222
2211 pmpmcpmmc
.0
2222
22
22
1 pmcHpmc
pmH
Для q1 амплитуда .11 B
![Page 364: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/364.jpg)
.2
2
222
221
p
mcmHpmcH
B
С2
2
22 mc парциальная частота
Если ,22 mcp то В1=0 и .01 q
.22
cHB
Динамический поглотительколебаний.
![Page 365: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/365.jpg)
1
2
С1
С2
l1+q1
l2+q2
F
F=Hsinpt
.sin
,sin
22
11
tpBq
tpBq
,22 mcp
В1=0 .01 q
.22
cHB
q1=0
![Page 366: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/366.jpg)
Сведения из теории моментов инерции
![Page 367: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/367.jpg)
Центробежные моменты инерции
z
x
ydm
)(
)(
)(
,
,
V
zx
V
yz
V
xy
dmzxI
dmyzI
dmxyI
![Page 368: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/368.jpg)
Ось Z называется главной, если центробежные моменты инерции,
содержащие индекс оси, оба равны нулю
Ось называется центральной, если она проходит через центр масс тела
)0( ZXYZ II
![Page 369: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/369.jpg)
Динамические реакции подшипников при вращении тела вокруг неподвижной оси
![Page 370: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/370.jpg)
z
xy
B
A yA
xA
yBxB
F
и
F1
e
F2
e
F
и
Fne
zA
,AB =h
kDkr
k
k
![Page 371: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/371.jpg)
Axyz – вращается вместе с телом;
XA,YA,ZA,XB,YB –
– вращаются с телом.
![Page 372: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/372.jpg)
y
x
kkr
kkk rx cos
kkk ry sin
и
nkFи
kF
![Page 373: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/373.jpg)
Для точки Dk :
;; 2 kkи
knkkи
k rmFrmF
kи
kkи
knи
kx FFF sincos
;2 kkkk ymxm
ku
kku
knu
ky FFF cossin
;2 kkkk xmym .0u
kzF
![Page 374: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/374.jpg)
Главный вектор сил инерции:
n
k
ukz
uz
n
k
uky
uy
n
k
ukx
ux
FF
FF
FF
1
1
1
;
;
;
![Page 375: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/375.jpg)
Главный вектор сил инерции:
.0
,
,2
2
и
z
cc
и
y
cc
и
x
F
xmymF
ymxmF
![Page 376: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/376.jpg)
Моменты сил инерции в точке Dk
относительно осей: ku
kyu
kx zFFM;2 kkkkkk xzmzym
ku
kxu
ky zFFM
;2 kkkkkk zymxzm =
;2 kkku
ku
kz rmrFFM
![Page 377: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/377.jpg)
Главный момент сил инерции:
.
,
,2
2
z
и
z
zxyz
и
y
yzxz
и
x
IM
IIM
IIM
Здесь
n
kkkkzx xzmJ
1
, и т.д.
![Page 378: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/378.jpg)
Уравнения кинетостатики:
,02 CCBAkx myxmXXF
,02 CCBAky mxmyYYF
,0Akz ZF
,02 yzzxBkx JJhYFM
,02 zxyzBky JJhXFM
.0zkz JFM
![Page 379: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/379.jpg)
Выполним разложение:
.., дтиXXX d
A
CT
AA
![Page 380: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/380.jpg)
Для динамических реакций:
.0
,0
,0
,0
2
2
2
2
zxyz
д
B
yzxz
д
B
CC
l
B
д
A
CC
д
B
д
A
IIhX
IIhY
mxmyYY
mymxXX
![Page 381: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/381.jpg)
Динамическая реакция в т. В:
.1
,1
,1
4222
2
2
YZZX
д
B
YZZX
д
B
ZXYZ
д
B
IJh
R
IIh
Y
IIh
X
![Page 382: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/382.jpg)
Условия отсутствия динамических реакций:
Izx=Iyz=0; xc=yc=0.
Ось вращения должна быть главной центральной осью
инерции тела
![Page 383: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/383.jpg)
Динамическая балансировка:
Лазерная
Электронная
Механическая
Точность
![Page 384: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/384.jpg)
Гироскопический момент
`
F
F
+MГ
; zГ JMМодуль
Пара сил ,, FF момент которой равен
гироскопическому моменту, стремится совместить ось гироскопа с осью
прецессии.
.sin zГ JM
![Page 385: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/385.jpg)
Правило Грюэ-Жуковского:
при сообщении оси гироскопапринудительной прецессии ось гироскопа стремится кратчайшим путем установиться параллельно осипринудительной прецессии таким образом, чтобы направления векторов и совпали.
![Page 386: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/386.jpg)
Пример. Гироскопический измеритель угловой скорости (гиротахометр).
;cos zГ JМ
.
1
zГ JМ
для
С – коэфф. жесткости
; zJC
zy
z
![Page 387: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/387.jpg)
zJ
C
Шкала размечена в единицах угловой скорости
![Page 388: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/388.jpg)
Рассмотрим быстро вращающийся ротор, ось которого установлена в подшипниках.
QQ , гироскопические давления наподшипники.
угловая скоростьпринудительнойпрецессии.
МГ - гироскопическиймомент.
.МГ
0,5l0,5l
Q
Q`
![Page 389: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/389.jpg)
Пример. Корабль испытывает килевуюкачку с амплитудой 90 и периодом 15 с. Ось ротора турбины // оси корабля.Масса ротора 200 кг, момент инерцииJ=128 кгм2, n=18000 об/мин;расстояние между подшипниками 1 м.
При этих условиях максимальныегироскопические давления наподшипники Q=16 кН. Это в 16 раз больше нагрузки от веса ротора.
![Page 390: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/390.jpg)
Сравнение принципа Даламбера с общими теоремами динамики
Как следствие принципа Даламберадля механической системы полученыуравнения:
)2(.0
)1(,0иo
еko
иek
MFM
FF
ио
и МF , главный вектор и главныймомент сил инерциисоответственно.
![Page 391: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/391.jpg)
В уравнения (1) и (2) не входят внутренние силы, так как главный
вектор и главный момент внутренних сил равны нулю.
Главный вектор сил инерции
; kkkkи Vm
dtd
amF
QVm kk Q количество движения системы.
(3).dtQd
F и
![Page 392: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/392.jpg)
Главный момент сил инерции
;dtVd
mramrM kkkkkk
иo
;kkkk
kk Vmrdtd
dt
Vdmr
kkko VmrK
- кинетический момент системы.
.dtKd
M oиo (4)
![Page 393: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/393.jpg)
)2(.0
)1(,0иo
еko
иek
MFM
FF
.dtQd
F и (3)
.dtKd
M oиo (4)
Подставим (3) в (1), (4) в (2), получим:
![Page 394: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/394.jpg)
.
,
еko
o
еk
FMdtKd
FdtQd Теоремы об изменении
количества движенияи кинетического
момента.
Вывод: уравнения принципа Даламбера эквивалентны двум общим теоремам динамики.
Достоинство общих теорем – наличиеследствий (законов сохранения).
![Page 395: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/395.jpg)
Общее уравнение динамики в обобщенных координатах
- общее уравнение динамики.
(Fk – mk ak) rk = 0
![Page 396: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/396.jpg)
Вектор виртуального перемещения точки
s
ki
i
kk q
qr
r1
![Page 397: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/397.jpg)
Перейдем к обобщенным координатам
;1 1
n
k
s
ii
i
kk q
q
rFA
Изменим порядок суммирования
.1 1
s
ii
n
k i
kk q
q
rFA
![Page 398: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/398.jpg)
Введем обозначение
Аналогично
n
k i
kkk
ui q
ramQ
1
;
.,,2,1
,1
si
qr
FQn
k i
kki
![Page 399: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/399.jpg)
Общее уравнение динамики в обобщенных координатах:
.,,2,1,0 siQQ uii
Число уравнений равно числустепеней свободы механической
системы.
![Page 400: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/400.jpg)
Обоснование ур. Лагранжа
n
k i
kkk
и
i
и
ii
bqr
dtVd
mQ
asiQQ
1
)(
)(,,2,1,0
Имеем:Имеем:
![Page 401: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/401.jpg)
)(cqr
dtd
Vmqr
Vmdtd
q
r
dt
Vdm
i
kkk
i
kkk
i
kkk
![Page 402: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/402.jpg)
Докажем, что
)(,, dqV
qr
dtd
qr
qV
i
k
i
k
i
k
i
k
;,,,1 tqqrr skk
![Page 403: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/403.jpg)
;t
rq
q
rq
q
r ks
s
ki
i
k
1
1
r
td
rdV kk
k
i
k
i
k
q
r
q
V
![Page 404: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/404.jpg)
;22
11
2
tq
rq
r
qqq
r
q
r
dt
d
i
ks
si
k
i
k
i
k
1
1
2
qqq
r
q
V
i
k
i
k
![Page 405: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/405.jpg)
;22
i
ks
is
k
qt
rq
r
i
k
i
k
q
V
q
r
td
d
Сравниваем:
![Page 406: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/406.jpg)
Подставим (d) в (с):
i
kkk
i
kkk
i
kkk
qV
VmqV
Vmdtd
qr
dtVd
m
![Page 407: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/407.jpg)
:;,,2,1
222
222
nk
Vmq
Vmq
Vmqdt
d kk
i
kk
i
kk
i
![Page 408: Теоретическая механика](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062309/56813f64550346895daa376f/html5/thumbnails/408.jpg)
n
k iii
kkk q
TqT
dtd
qr
dtVd
m1
siQqT
qT
dtd
i
ii
,,2,1,