Distribución normal presentación
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© 2001 Alfaomega Grupo Editor
• Estadística
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Características de la distribución probabilística normal
• La curva normal tiene forma de campana con un solo pico justo en el centro de la distribución.
• La media, mediana y moda de la distribución aritmética son iguales y se localizan en el pico.
• La mitad del área bajo la curva está a la derecha del pico, y la otra mitad está a la izquierda.
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Características de la distribución probabilística normal
• La distribución normal es simétrica respecto a su media.
• La distribución normal es asintótica - la curva se acerca cada vez más al eje x pero en realidad nunca llega a tocarlo.
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- 5
0 . 4
0 . 3
0 . 2
0 . 1
. 0
x
f(
x
r a l i t r b u i o n : = 0 , = 1
Características de una distribución normal
La media, mediana ymoda son iguales
La curva normal essimétrica
En teoría,la curva seextiende hastainfinito
a
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Distribución normal estándar
• Una distribución normal que tiene media igual a 0 y desvición estándar igual a 1 se denomina distribución normal estándar.
• Valor z: la distancia entre un valor seleccionado, designado como X, y la población media , dividida entre la desviación estándar de la población ,
X
z
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EJEMPLO 1
• El ingreso mensual que una corporación grande ofrece a los graduados en IPN tiene una distribución normal con media de $2000 y desviación estándar de $200. ¿Cuál es el valor z para un ingreso de $2200? y ¿cuál para uno de $1700?
• Para X = $2200, z = (2200 - 2000) /200 = 1.
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EJEMPLO 1 continuación
• Para X = $1700, z = (1700 - 2000) /200 = - 1.5
• Un valor z igual a 1 indica que el valor de $2200 es mayor que la desviación estándar de la media de $2000, así como el valor z igual a -1.5 indica que el valor de $1700 es menor que la desviciación estándar de la media de $2000.
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Áreas bajo la curva normal
• Cerca de 68% del área bajo la curva normal está a menos de una desviación estándar respecto a la media.
• Alrededor de 95% está a menos de dos desviaciones estándar de la media.
• 99.74% está a menos de tres desviaciones estándar de la media.
1
2 3
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0 . 4
0 . 3
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0 . 1
. 0
x
f(
x
r a l i t r b u i o n : = 0 , = 1
Áreas bajo la curva normal
1
2
3 1
2
3
Entre:1.68.26%2.95.44%3.99.74%
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EJEMPLO 2
• El consumo de agua diario por persona en el Distrito Federal tiene una distribución normal con media de 20 galones y desviación estándar de 5 galones.
• Cerca de 68% del consumo de agua diario por persona en New Providence está entre cuáles dos valores.
• . Esto es, cerca de 68% del consumo diario de agua está entre 15 y 25 galones.
).5(1201
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EJEMPLO 3
• ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de en el D.F. seleccionada al azar use menos de 20 galones por día?
• El valor z asociado es z = (20 - 20) /5 = 0. Así, P(X<20) = P(z<0) = .5
• ¿Qué porcentaje usan entre 20 y 24 galones?
• El valor z asociado con X = 20 es z = 0 y con X = 24, z = (24 - 20) /5 = .8. Así, P(20<X<24) = P(0<z<.8) = 28.81%
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- 5
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0 . 3
0 . 2
0 . 1
. 0
x
f(
x
r a l i t r b u i o n : = 0 ,
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
P(0 < z < .8)= .2881
EJEMPLO 3
0 < X < .8
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EJEMPLO 3 continuación
• ¿Qué porcentaje de la población utiliza entre 18 y 26 galones?
• El valor z asociado con X = 18 es z = (18 -20) /5 = -.4, y para X = 26, z = (26 - 20) /5 = 1.2. Así, P(18<X<26) = P(-.4<z<1.2) = .1554 + .3849 = .5403
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EJEMPLO 4
• La profesora Aura determinó que el promedio final en su curso de estadística tiene una distribución normal con media de 72 y desviación estándar de 5. Decidió asignar las calificaciones del curso de manera que 15% de los alumnos reciban una calificación de A. ¿Cuál es el promedio más bajo que un alumno puede tener para obtener una A?
• Sea X el promedio más bajo. Encuentre X de manera que P(X > X) = .15. El valor z correspondiente es 1.04. Así se tiene (X - 72) / 5 = 1.04, o X = 77.2
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0 . 1
. 0
f(
x
r a l i t r b u i o n : = 0 , = 1EJEMPLO 4
0 1 2 3 4
Z=1.04
15%
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EJEMPLO 5
• La cantidad de propina que un mesero recibe por turno en un restaurante exclusivo tiene una distribución normal con media de $80 y desviación estándar de $10. Shelli siente que ha dado un mal srvicio si el total de sus propinas del turno es menor que $65. ¿Cuál es la probabilidad de que ella haya dado un mal servicio?
• Sea X la cantidad de propina. El valor z asociado con X = 65 es z = (65 - 80) /10 = -1.5. Así P(X<65) = P(z<-1.5) =.5 - .4332 = .0668.
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Aproximación normal a la binomial
• Utilizar la distribución normal (una distribución continua) como sustituto de una distribución binomial (una distribución discreta) para valores grandes de n, parece razonable porque conforme n aumenta, una distribución binomial se acerca más a una distribución normal.
• La distribución de probabilidad normal, en general, se considera una buena aproximación a la binomial cuando
• n y n(1 - ) son ambos mayores que 5.
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Aproximación normal continuación
• Recuerde el experimento binomial :· existen sólo dos resultados mutualmente
excluyentes (éxito o fracaso) en cada ensayo.
· una distribución binomial es el resultado de contar el número de éxitos en una cantidad fija de ensayos.
· cada ensayo es independiente. · la probabilidad es fija de un ensayo a otro,
y el número de ensayos n también es fijo.
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Distribución binomial para n igual a 3 y 20,
donde =.50
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n=20
0
0.05
0.1
0.15
0.2
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20n ú m e r o d e e v e n t o s
P(x)
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Factor de corrección por continuidad
• El valor .5 se resta o se suma, dependiendo del problema, a un valor seleccionado cuando una distribución de probabilidad binomial (una distribución discreta) se aproxima por una distribución de probabilidad continua (la distribución normal).
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EJEMPLO 6
• Un estudio reciente de una compañía de investigación de mercados mostró que 15% de las casas en la Delegación Benito Juárez, D.F. poseen una cámara de video. Se obtuvo una muestra de 200 casas.
• De las 200 casas en la muestra ¿cuántas se espera que tengan una cámara de video? n (. )( )15 200 30
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EJEMPLO 6
• ¿Cuál es la varianza?
• ¿Cuál es la desviación estándar?
• ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 40 casas de la muestra tengan cámara de video? Se necesita P(X<40) = P(X< 39). Así, Al usar la aproximación normal,
P(X<39.5) P[z (39.5-30)/5.0498] =P(z 1.8812) P(z<1.88)=.5+.4699 +.9699
2 1 30 1 15 255 n ( ) ( )( . ) .
255 50498. .
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- 5
0 . 4
0 . 3
0 . 2
0 . 1
. 0
f(
x
r a l i t r b u i o n : = 0 , = 1
EJEMPLO 6
0 1 2 3 4
P(z = 1.88).5 + .4699= .9699
z = 1.88
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