Distribuciones de Probabilidad

DISTRIBUCIÓN BINOMIALY DISTRIBUCIÓN NORMAL

DISTRIBUCION BINOMIAL

Distribución Binomial. Definición Un experimento aleatorio que tiene las siguientes características sigue el modelo de una distribución binomial:

1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados, el suceso A, que se llama éxito, y su contrario Ac, al que se llama fracaso.

2. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos en las pruebas anteriores.

3. La probabilidad del suceso A es constante; por tanto, no varía de una prueba a otra. Se representa por p la probabilidad de A, y por q = 1 – p la probabilidad de Ac .

La variable X, que representa el número de éxitos obtenidos en n pruebas, se denomina variable aleatoria binomial. Esta variable es discreta, ya que si se realizan n pruebas se podrán obtener 0, 1, 2, …, n éxitos.Una distribución binomial se caracteriza por los parámetros número de pruebas realizadas, n, y probabilidad del suceso “éxito”, p, y se representa por B(n, p).

Ejemplos

Distribución binomial: función de probabilidad

Si realizamos n = 10 pruebas, la probabilidad de obtener r = 3 éxitos es:

Fenómeno aleatorio: lanzar un dado

Éxito: A = "obtener un 6"

Fracaso: A = "no obtener un 6"

p(A) = 1

6

p(A) = 5

6

B = A A A A A A A A A A P(B) = 1

6

3

5

6

7

Formas de obtener 3 éxitos: =

10

3

p(obtener 3 éxitos) = p(X = 3) =

10

3 . 1

6

3 . 5

6

7

Tabla de valores de B(10, 1/6)

r p(X = r)0 0,1615055831 0,3230111662 0,2907100493 0,1550453604 0,0542658765 0,0130238106 0,0021706357 0,0002480738 0,0000186059 0,000000827

10 0,000000017

X = “ Obtener el número de 6 al tirar un dado 10 veces” es B(10 , 1/6)

Función de probabilidad:

p(X = r) =

10

r .

1

6

r

.

5

6

10 - r

p(x)

0

0.07

0.14

0.21

0.28

0.35

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Gráfica de la función de probabilidad

Distribución binomial: función de probabilidad

Distribución Binomial: media y varianza

En una variable aleatoria binomial B (n , p)

Media:

Varianza:

Desviación típica: qpnσ

qpnσ 2

Ejemplo.- X = "número de 6 al tirar un dado 10 veces” es B(10 , 1/6)

Media = 10 · 1/6 = 10/6

Varianza = 10 · 1/6 · 5/6 = 50/36

Desviación típica = √50 / 6

μ = n p

DISTRIBUCION NORMAL

Curva Normal

Se basa en la suposición de que las diferencias con la media son debidas al azar (por casualidad).

La utilidad de la curva normal se basa en que establece un patrón contra el cual comparar lo que ocurre en las poblaciones naturales.

Utilidad

Se utiliza muy a menudo porque hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la norma.

Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie, por ejemplo: tallas, pesos, diámetros, distancias, perímetros,...

Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad de abono

Utilidad Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de

cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen

Caracteres psicológicos, por ejemplo: cociente intelectual, grado de adaptación a un medio,...

Errores cometidos al medir ciertas magnitudes

Valores estadísticos muéstrales como la media, varianza y moda

Variable aleatoria de la

Distribución Normal N(µ, )

f(x) = 1

2 e

- 12

x-

2

Una variable aleatoria continua X sigue una distribución normal de media y desviación típica , y se designa por N(, ) si se cumplen las siguientes condiciones.

1.ª La variable puede tomar cualquier valor real, es decir, x (–, +).

2.ª La función de densidad, que es la expresión en términos de ecuación matemática de la función de Gauss, es:

Cálculo de densidades en la curva normal

μ = media poblacional, σ = desviación típica de la poblaciónx = valor de la variable aleatoria, e = base de los logaritmos naturales = 2.71...

X

Y

x = m

Características de la función de densidad de la N(µ, )

f(x) = 1

2 e

- 12

x-

2

Campo de existencia = (– ,+ )

(m, )1 2

Creciente Decreciente

+ m s

I

- m s

I'

Área bajo la curva:1 unidad

y = 0

EJEMPLO

X son los valores de la variable aleatoria bajo consideraciónY es la frecuencia con que un valor en particular de la variable ocurre.En una distribución normal la media = mediana = moda.

X

Y

0a

Características de la distribución N(0,1):

1. Función de densidad:

2. Probabilidad:

Distribución normal estándar N(0, 1)

f(t) = e

-

12 t2 1

2

21

21

( ) e2

at

P Z a dt

De las infinitas distribuciones N(, ) tiene especial interés la distribución N(0, 1), es decir, aquella que tiene por media el valor cero ( = 0) y por desviación típica la unidad ( = 1). Se le designa como variable Z.

Tablas de la normal N(0, 1)

x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,090,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,53590,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,57530,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,61410,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,65170,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,68790,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,72240,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,75490,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,78520,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,81330,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,83891,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,86211,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,88301,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,90151,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177

21

21

( ) ( ) e2

xt

F x P Z x dt

x 0,00 0,01 0,02 0,030,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,51200,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,55170,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,59100,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,62930,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,66640,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,70190,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,73570,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,76730,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,79670,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,82381,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,84851,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,87081,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,89071,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082

Manejo de tablas

P(Z 1,23) = 0,8907

X

Y

01,23

x 0,00 0,01 0,02 0,030,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,51200,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,55170,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,59100,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,62930,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,66640,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,70190,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,73570,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,76730,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,79670,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,82381,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,84851,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,87081,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,89071,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082

Manejo de tablas

P(Z –1,23) =

X

Y

01,23–1,23

1 – P(Z 1,23) = 1 – 0,8907 = 0,1093

x 0,00 0,01 0,02 0,030,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,51200,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,55170,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,59100,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,62930,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,66640,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,70190,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,73570,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,76730,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,79670,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,82381,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,84851,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,87081,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,89071,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082

Manejo de tablas

P(1,01 Z 1,23) =

X

Y

01,23

P(Z 1,23) – P(Z 1,01) =

= 0,8907– 0,8438 = 0,1469

1,01

x 0,00 0,01 0,02 0,030,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,51200,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,55170,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,59100,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,62930,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,66640,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,70190,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,73570,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,76730,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,79670,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,82381,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,84851,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,87081,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,89071,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082

Manejo de tablas

P(–1,23 Z –1,01) =

X

Y

0

= P(Z 1,23) – P(Z 1,01) = 0,8907– 0,8438 = 0,1469

1,231,01–1,23 –1,01

P(1,01 Z 1,23) =

x 0,00 0,01 0,02 0,030,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,51200,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,55170,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,59100,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,62930,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,66640,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,70190,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,73570,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,76730,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,79670,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,82381,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,84851,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,87081,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,89071,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082

Manejo de tablas

P(–1,23 Z 1,01) =

X

Y

0

= P(Z 1,01) – (1 – P(Z 1,23)) = 0,8907– 1+ 0,8438 = 0,7345

P(Z 1,01) – P(Z –1,23) =

1,01–1,23

Area bajo la curva normal

µ-σ   a   µ+σ  = ~68% del área bajo la curva que tiene aproximadamente el 68% de probabilidad de estar en este rango, o sea el 68% de los valores observados.

µ-2σ   a   µ+2σ  = ~95% del área bajo la curva. Hay un 95% de probabilidad de que un valor caiga en esta área.

µ-3σ a  µ+3σ = ~99% la probabilidad de que una x esté en este rango.

Algunas probabilidades bajo la N(µ, )

X

Y

+ m s + 2m s m – 2s m – s + 3m s m – 3s0,683

0,954

0,997

TIPIFICACION DE LA VARIABLEN(µ, )

Tipificación de la variable N(µ, ) Dada una variable aleatoria X que sea N(µ, )

Con el cambio de variable Z = (X - µ)/

Se consigue una variable aleatoria Z que es N (0 , 1)

Se dice que Z es la variable tipo o tipificada.

Pasar el problema a esta variable nos permite poder resolverlo consultando la tabla N (0 , 1)

Conversión a Z

z es una variable nueva. Se calcula a partir de (x) y permite comparar distribuciones simétricas con diferentes medias y desviaciones estandar.

Areas: - 1z   a   1z    = ~68% - 2z   to   2z    = ~95% - 3z   to   3z    = ~99%

y

z

Pasos para determinar el área bajo la curva normal estándar

Paso 1 - Interpretar gráficamente el área de interés.

Paso 2 - Determinar el valor Z Paso 3 - Buscar en la tabla de

probabilidades. Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas

para encontrar la probabilidad deseada

Ejemplo.Sea X una N(5 , 0,4). Calcular P (X ≤ 5,8)

Variable tipificada: Z = (X – 5)/ 0,4

Entonces: P (X ≤ 5,8)= P [(X – 5)/ 0,4 ≤ (5,8 – 5)/ 0,4] = P (Z ≤ 2)

Buscamos en la tabla N (0 , 1): P (Z ≤ 2) =0,9772

P (X ≤ 5,8) =0,9772

FIN

Ejemplos

Supongamos que sabemos que el peso de los/as estudiantes universitarios/as sigue una distribución aproximadamente normal, con una media de 140 libras y una desviación estándar de 20 libras.

Ejemplo 1

Determine la probabilidad de que una persona tenga un peso menor o igual a 150 libras

 Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.Gráficamente si decimos que a=150 libras, el área de la curva que nos interesa es la siguiente:

Ejemplo 1

Determine la probabilidad de que una persona tenga un peso menor o igual a 150 libras

Paso 2 - Determinar el valor Z:

 

50.020

140150

X

Z

Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.

Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=0.50 y obtenemos el área de 0.6915

Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad deseada.

En este ejemplo no es necesario realizar ningún computo adicional ya que el área es la misma que se representa en la Tabla 1

Ejemplo 2

Si deseamos la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso mayor o igual a 150 libras

Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés. Gráficamente si decimos que a=150 libras, el área de la curva que nos

interesa es la siguiente:

 

Ejemplo 2

Si deseamos la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso mayor o igual a 150 libras

Paso 2 - Determinar el valor Z:

 

Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.

 Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=0.50 y obtenemos el área de 0.6915.

 

Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad deseada.

En este ejemplo el área de 0.6915 no representa el área que nos interesa sino la contraria. En este caso debemos restarle 1 a la probabilidad encontrada.

 1 - .6915 = 0.3085

50.020

140150

X

Z

Ejemplo 3

Determine la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso menor o igual a 115 libras

Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés. Gráficamente si decimos que a=115 libras, el área de la curva

que nos interesa es la siguiente: 

Ejemplo 3

Determine la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso menor o igual a 115 libras

Paso 2 - Determinar el valor Z:

 

Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.

 Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=-1.25 y obtenemos el área de 0.8944.

  

Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad deseada.

 En este ejemplo el área de 0.8944 no representa el área que nos interesa sino la contraria. En este caso debemos restarle 1 a la probabilidad encontrada.

 1 - .8944 = 0.2212

25.120

140115

X

Z

Ejemplo 4

Si deseamos la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso entre 115 y 150 libras.

Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés. Gráficamente si decimos que a=115 libras y b=150 libras, el

área de la curva que nos interesa es la siguiente

Ejemplo 4

Si deseamos la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso entre 115 y 150 libras.

Paso 2 - Determinar el valor Z

Cuando X=115 

25.120

140115

X

Z

Cuando X=150  

50.020

140150

X

Z

Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades. Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=-1.25 y obtenemos el área de 0.8944.  Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=0.50 y obtenemos el área de 0.6915

Ejemplo 4

Si deseamos la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso entre 115 y 150 libras.

Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad deseada.

 El área de 0.8944 se le resta la diferencia de 1-.6915.  0.8944 – (1-.6915) = .5859

 

Ejemplo 5

Determine la probabilidad de que una persona tenga un peso menor o igual a 150libras

Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés. Gráficamente si decimos que a=150 libras y b= 160 libras, el área de la curva que

nos interesa es la siguiente:  

Ejemplo 5

Determine la probabilidad de que una persona tenga un peso menor o igual a 150libras

Paso 2 - Determinar el valor Z

 

Como vimos en el ejemplo 1 y 2 E valor Z cuando X=150 es 0.50.

Para X=160 el valor Z será: 

Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.

Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=0.50 y obtenemos el área de 0.6915.

Cuando Z = 1.0 el área es de 0.8413.

0.120

140160

X

Z

Ejemplo 5

Determine la probabilidad de que una persona tenga un peso menor o igual a 150libras

Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad deseada.

 En este ejemplo se resta el área mayor menos el área menor

como se interpreto en el paso 1.  0.8413 - .6915 = 0.1498

 

Ejemplo 6

Determine la probabilidad de elegir a una persona que pese entre 115 y 130 libras.

Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.  Gráficamente si decimos que a=115 libras y b= 130 libras, el

área de la curva que nos interesa es la siguiente:  

Ejemplo 6

Determine la probabilidad de elegir a una persona que pese entre 115 y 130 libras.

Paso 2 - Determinar el valor Z

 

Cuando X=115 

para X=130 

Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades. Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=-1.25 y obtenemos el área de (1-0.8944.)=0.1056  Para Z = -.050 el área es de (1-.6915)=.3085

25.120

140115

X

Z

50.020

140130

X

Z

Ejemplo 6

Determine la probabilidad de elegir a una persona que pese entre 115 y 130 libras.

 

Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad deseada.

 

En este ejemplo el área será la diferencia de .3085-.1056=.2029.