BioestadísticaDistribución Normal

Competencias

Qué es distribución Normal y Distribución Normal estándar.

Como es la distribución Normal y Normal estándar.

Propiedades de la distribución Normal estándar.

Como estandarizar valores de una variable para convertirlos en una distribución Normal estándar.

Introducción

La Distribución Normal Estandarizada, es una de las distribuciones de frecuencia más importantes en la estadística

Se utiliza para variables aleatorias continuas (aquellas que pueden asumir cualquier valor en un intervalo especifico de valores.

La distribución de probabilidad conocida como distribución normal es, por la cantidad de fenómenos que explica, la más importante de las distribuciones estadísticas.

Variables cuantitativas

Pueden tomar muchos valores y pueden ir de valores negativos a positivos.

Distribución de glucosa en sangre en 500 personas

0

20

40

60

80

100

120

<40 40-69 70-99 100-129 130-159 160-189 190-219 220+

Nivel de glucosa en sangre mg/100 ml

N°

de

pe

rso

na

s

Variables cuantitativas

Distribución de glucosa en sangre en 500 personas

0

5

10

15

20

25

<40 40-69 70-99 100-129 130-159 160-189 190-219 220+

Nivel de glucosa en sangre mg/100 ml

Po

rce

nta

je (

%)

Variables cuantitativas

¿Qué pasaría si la muestra fuera más grande? ¿Cambiaría el histograma?

Distribución de glucosa en sangre en 3,500 personas

0

200

400600

800

1000

1200

<40 40-69 70-99 100-129 130-159 160-189 190-219 220+

Nivel de glucosa en sangre mg/100 ml

N°

de

pe

rso

na

s

Variables cuantitativas

Las distribuciones de muchas variables son simétricas a ambos lados de la media, especialmente cuando la muestra es muy grande.

Estatura en mts. n=10

012345

1.5 1.6 1.7 1.8

Estatura (cm)

N°

de p

erso

nas

Estatura en mts. n=1000

0

100

200

300

400

1.5 1.6 1.7 1.8

Estatura (cm)

N°

de p

erso

nas

Distribución Normal

Se usa para representar la distribución de valores que deberían ser observados, si incluimos a toda la población. Muestra la distribución de valores si repetimos muchas veces la medición, en una gran población.

A esto se debe que el eje Y de la distribución Normal se le llama probabilidad.

Un histograma muestra la distribución de los valores observados en una muestra

Un trazo Normal muestra la distribución de los valores que se piensa puedan ocurrir en la población de la cual fue extraída la muestra.

A la distribución normal también se la denomina con el nombre de campana de Gauss, pues al representar su función de probabilidad, ésta tiene forma de campana.

Distribución Normal

Ejemplo: misma Media, diferente desviasion estandard

Caracteristicas de la Curva Normal

• La curva normal tiene forma de campana y un solo pico en el centro de la distribución.

• La media aritmética, la mediana y la moda de la distribución son iguales y se localizan en el pico.

• La mitad del área bajo la curva se encuentra a la derecha de este punto central y la otra mitad está a la izquierda de dicho punto.

• La distribución de probabilidad normal es simétrica alrededor de su media.

Caracteristicas de la Curva Normal

• La curva normal desciende suavemente en ambas direcciones a partir del valor central.

• Es asintótica, lo que quiere decir que la curva se acerca cada vez más al eje X pero jamás llega a tocarlo.

• Las “colas” de la curva se extienden de manera indefinida en ambas direcciones

• Las áreas bajo la curva normal representan las probalildades de distribución normal. El área total bajo la curva normal es igual a 1

Distribución Normal

Podemos usar la distribución Normal, para responder preguntas como: ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre

adulto tenga un nivel de glicemia < o igual de 150 mg/100 ml?

Podemos responder, tomando el porcentaje de hombres observados, que tienen niveles de glicemia menores de 150 mg/100 ml.

Distribución Normal estándar

La distribución Normal es definida por una fórmula matemática complicada.

Pero tenemos tablas publicadas que definen el área debajo de la curva Normal: la Distribución Normal estándar.

En ella, su media es 0 y la desviación estándar es ±1.

Estas tablas están en cualquier texto de estadística.

Distribución Normal estándar

La población se distribuye aproximadamente como sigue:

68% dentro de más o menos 1 desviación estandar

95% dentro de más o menos 2 desviaciónes estandar

99.73% dentro de más o menos 3 desviaciónes estandar

Distribución Normal estándar

-1 0 +1

Rango Área dentro del rango

Área fuera del rango

-1, + 1 68.3% 31.7%

-2, +2 95.4% 0.6%

-3, +3 99.7% 0.3%

-4, +4 99.99% 0.01%

Valores estandarizados

Cualquier distribución Normal puede convertirse en una distribución Normal estándar.

Para estandarizar valores, se resta de cada valor su media y se divide entre la desviación estándar.

Primero, convertiremos la distribución real en una distribución normal estándar utilizando un valor llamado Z, o estadístico Z que será la distancia entre un valor seleccionado, designado X, y la media µ, dividida por la desviación estándar σ.

XZ

Ejemplo

El promedio de estaturas es de 1.58 cm con desviación estándar de = 0.12

El valor estandarizado para una estatura de 1.7 es 1.7 - 1.58/0.12 = 0.12/0.12 = 1.00

Z=1,

Valores estandarizados

¿Para que aplicamos lo que hemos aprendido? ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de la

población, tenga menos de 1.6 mts de estatura? Sabemos que debemos calcular cuál es el área debajo

de la curva a la izquierda de 1.6 mt, bajo una curva Normal con media de 1.58 y s de 0.12.

1.6 -1.58/0.12 = 0.167 Usando las tablas de la distribución Normal estándar el

valor de p bajo (a la izquierda de la media) para 0.167 es 0.5675 = 56.75%

Podemos responder que la probabilidad de que un individuo de esta población mida menos de 1.6 mt es del 56.75%

¡Es una población de baja estatura!

Valores estandarizados

Precauciones Tamaño de muestra

Hemos usado una muestra de 1000 mediciones, si el tamaño de muestra es menor, los resultados serán diferentes.

La suposición Los resultados dependen de la suposición de que

las estaturas están distribuidas Normalmente con la misma media y desviación estándar encontrada en la muestra.

Si la suposición es incorrecta, los resultados serán erróneos

Distribución no Normal

No todas las variables cuantitativas tendrán una distribución Normal. Se midieron los niveles de glicemia en 10 personas; la

distribución está sesgada. ¿Podemos usar las propiedades de la distribución Normal?

Distribución de medición de glucosa en sangre n=10

01234

Glucosa en sangre (mg/100 ml)

Nú

mero

de

pacie

nte

Distribución no Normal Si están sesgadas a la derecha, podemos aplicar

transformaciones logarítmicas. Si están sesgadas a la izquierda, se eleva cada valor al

cuadrado. Se convierten los valores originales en logaritmo natural (ln en

calculadoras científicas).

Distribución de medición de glucosa en sangre n=10

01234

Glucosa en sangre (mg/100 ml)

Nú

mer

o d

e p

acie

nte

Distribución de medición de glucosa en sangre n=10

01234

log glucosa en sangre (mg/100 ml)

Nú

mer

o d

e p

acie

nte