La distribución de Poisson

Dato histórico

La distribución de Poisson se llama así

en honor a su creador, el francés

Simeón Dennis Poisson (1781-1840),

Esta distribución de probabilidades fue

uno de los múltiples trabajos matemáticos

que Dennis completó en su productiva trayectoria.

Utilidad La distribución de Poisson se utiliza en situaciones donde los

sucesos son impredecibles o de ocurrencia aleatoria. En otras palabras no se sabe el total de posibles resultados.

Permite determinar la probabilidad de ocurrencia de un suceso con resultado discreto.

Es muy útil cuando la muestra o segmento n es grande y la probabilidad de éxitos p es pequeña.

Se utiliza cuando la probabilidad del evento que nos interesa se distribuye dentro de un segmento n dado como por ejemplo distancia, área, volumen o tiempo definido.

Ejemplos de la utilidad La llegada de un cliente al negocio durante una hora.

Las llamadas telefónicas que se reciben en un día.

Los defectos en manufactura de papel por cada metro producido.

Los envases llenados fuera de los límites por cada 100 galones de producto terminado.

 

La distribución de Poisson se emplea para describir procesos con un elemento en común, pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta.

Propiedades de un proceso de Poisson

1. La probabilidad de observar exactamente un éxito en el segmento o tamaño de muestra n es constante.

2. El evento debe considerarse un suceso raro.

3. El evento debe ser aleatorio e independiente de otros eventos

Si repetimos el experimento n veces podemos obtener resultados para la construcción de la

distribución de Poisson.

La distribución de PoissonLa distribución de probabilidad de Poisson es un ejemplo de distribución de probabilidad discreta.

La distribución de Poisson parte de la distribución binomial.

Cuando en una distribución binomial se realiza el experimento muchas veces, la muestra n es grande y la probabilidad de éxito p en cada ensayo es baja, es aquí donde aplica el modelo de distribución de Poisson.

Se tiene que cumplir que:

p < 0.10

p * n < 10

La función P(x=k)

Donde:

P(X=K) es la probabilidad de ocurrencia cuando la variable discreta X toma un valor finito k.

λ = Lambda es la ocurrencia promedio por unidad (tiempo, volumen, área, etc.).

La constante e tiene un valor aproximado de 2.711828.

K es el número de éxitos por unidad

A continuación veremos la función de probabilidad de la distribución de Poisson.

λ = p * n

Ejemplo1 de la funciónF (x=k)

La probabilidad de que haya un accidente en una compañía de manufactura es de 0.02 por cada día de trabajo. Si se trabajan 300 días al año, ¿cuál es la probabilidad de tener 3 accidentes?

Como la probabilidad p es menor que 0.1, y el producto n * p es menor que 10 (300 * 0.02 = 6), entonces, aplicamos el modelo de distribución de Poisson:

Al realizar el cómputo tenemos que P(x = 3) = 0.0892

Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes laborales en 300 días de trabajo es de 8.9%.

Ejemplo 2 de la funciónF(x=k) La probabilidad de que un producto salga defectuoso es de 0.012. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 800 productos ya fabricados hayan 5 defectuosos?

En este ejemplo vemos nuevamente la probabilidad p menor que 0.1, y el producto p * n menor que 10, por lo que aplicamos el modelo de distribución de Poisson:

El resultado es P (x = 5) = 0.04602

Por lo tanto, la probabilidad de que haya 5 productos defectuosos entre 800 recién producidos es de 4.6%.

Tablas de probabilidad de Poisson Utilizando la tabla de probabilidad de Poisson se pueden

resolver los ejemplos anteriores.

Para esto, usted debe saber los valores X y λ.

X es el número de éxitos que buscamos. Este es el valor K.

λ es el número promedio de ocurrencias por unidad (tiempo, volumen, área, etc.). Se consigue multiplicando a p por el segmento dado n.

Del ejemplo 1: λ = 0.02 * 300 = 6

Del ejemplo 2: λ = 0.012 * 800 = 9.6

2-200811

Número de clientes que son atendidos en el banco en una hora

Clientes: Variable discretaHora: Rango de tiempo

Variable continua.

Sí aplica Poisson

2-200812

Número de personas que viven en Honduras por kilómetro cuadrado

Personas: Variable discreta

Kilometro: SuperficieVariable continua.

Sí aplica Poisson

2-200813

Distribución de Poisson

La distribución de Poisson tiene un parámetro que representa la media.

El símbolo para denotar la distribución de poisson es la letra griega Lambda (λ).

2-200814

Distribución de Poisson

!)(

x

exXP

xλλ−

==

e = 2.71828

La fórmula de la distribución es:

2-200815

Si λ=4. ¿A qué es igual P(X=2)?

146525.02

29305.0

12

)16)(0183156.0()2(

!2

4)2(

!)(

24

====

==

==

−

−

xXP

eXP

x

exXP

xλλ

La probabilidad de que x=2 es del 14.65%

2-200816

Si λ=2.5. ¿A qué es igual P(X=4)

1336.024

2064.3

1234

)06.39)(082085.0()4(

!4

5.2)4(

!)(

45.2

====

==

==

−

−

xxxXP

eXP

x

exXP

xλλ

La probabilidad de que x=4 es del 13.36%

2-2008 17

En estudios anteriores, en una agencia bancaria, en promedio llegan 3 clientes a una ventanilla para ser atendido durante la hora del almuerzo. Si en la actualidad queremos hacer modificaciones en la ventanillas, una de las preguntas que se pueden hacer los del depto. de Mercadeo es:

¿Cuál es la probabilidad de que lleguen dos clientes en un minuto dado.

2-200818

En el enunciado el promedio es de 3 clientes por minuto; λ=3; al preguntar por la probabilidad de que 2 clientes lleguen en un minuto dato se quiere calcular x=2

224.012

)9)(049787.0()2(

!2

3)2(

!)(

23

===

==≡==−−

xXP

eXP

x

exXP

xλλ

La probabilidad que lleguen 2 clientes por minuto es 22.4%

2-200819Desigualdades en la Distribución Poisson

La probabilidad de que un evento sea menor o igual que 2, se denota así:

Cuando la población es infinita, la probabilidad en mayor se convierten en tipo menor, de la siguiente manera:

)0()1()2()2( =+=+==≤ XPXPXPXP

)2(1)2( ≤−=> XPXP

2-200820

Calcular P(X < 2), si λ=3

199147.0)2(

049787.014936.0)2(1

)1)(049787.0(

1

)3)(049787.0()2(

!0

3

!1

3)2(

)0()1()2(0313

=<+=<

+=<

+=<

=+==<−−

XP

XP

XP

eeXP

XPXPXP

La probabilidad de que x<2 es de 19.91%

2-200821

Si λ=3, calcular P(X ≤ 2)

423187.0)2(

049787.014936.022404.0)2(1

)1)(049787.0(

1

)3)(049787.0(

12

)9)(049787.0()2(

!0

3

!1

3

!2

3)2(

)0()1()2()2(031323

=≤++=≤

++=≤

++=≤

=+=+==≤−−−

XP

XPx

XP

eeeXP

XPXPXPXP

La probabilidad de que x ≤ 2 es de 42.32%

2-200822

Si λ=3 y n=5, calcular P(X > 2)

49289.0)2(

10082.016803.022404.0)2(1234

)243)(049787.0(

1234

)81)(049787.0(

123

)27)(049787.0()2(

!5

3

!4

3

!3

3)2(

)5()4()3()2(534333

=>++=>

++=>

++=>

=+=+==>−−−

XP

XPxxxxxxxxx

XP

eeeXP

XPXPXPXP

La probabilidad de que x ≤ 2 es de 42.32%

La media μ y la varianza σ2

17

Características de la distribución Poisson

k = 5 λ = 0.1

k = 5 λ = 0.5

Media

µ= E(X) = λ

Varianza

λ = σ2

0.2.4.6

0 1 2 3 4 5

X

P(X)

.2

.4

.6

0 1 2 3 4 5

X

P(X)

0

En resumenEn este módulo hemos determinado la probabilidad de Poisson mediante el uso de la función de Poisson, aprendimos que:

1. La distribución de Poisson se forma de una serie de experimentos de Bernoulli.

2. La media μ o valor esperado en la distribución de Poisson es igual a λ.

3. La varianza (σ2 ) en la distribución de Poisson también es igual a λ.

4. La desviacion estándar es la raíz de λ.

Ejercicios de pruebaLos siguientes ejercicios de prueba fueron resueltos utilizando la distribución binomial en el módulo con ese mismo nombre. Refiérase a los ejercicios en ambos módulos y compare la diferencia de cada pregunta.

¿Puede responder por qué se resuelven esta vez utilizando la distribución de Poisson?

Demuestre su razonamiento.

Ejercicio de prueba #1 Un comerciante de verduras tiene conocimiento de que el 3% de la caja está descompuesta. Si un comprador elige 100 verduras al azar, encuentre la probabilidad de que,

a) las 4 estén descompuestas.

b) de 1 a 3 estén descompuestas

Para resolver la pregunta “b” repase el módulo de las reglas de probabilidad.En este caso se resuelve sumando las

probabilidades P(x=1) + P(x=2) + P(x=3)= 0.1494 + 0.2240 + 0.2240

Ejercicio de prueba #2

En pruebas realizadas a un amortiguador para automóvil se encontró que el 0.04 presentaban fuga de aceite. Si se instalan 150 de estos amortiguadores, hallar la probabilidad de que,

a) 4 salgan defectuosos,

b) más de 5 tengan fuga de aceite.

c) de 3 a 6 amortiguadores salgan defectuosos.

d) Determine el promedio y la desviación estándar de amortiguadores con defectos.

La pregunta “b” debe sumar las probabilidades desde P(x=6) en adelante.

En la “c” debe sumar P(x=3) + P(x=4) + P(x=5) + P(x=6).

Ejercicio de prueba #3

Un ingeniero que labora en el departamento de control de calidad de una empresa eléctrica, inspecciona una muestra al azar de 200 alternadores de un lote. Si el 2% de los alternadores del lote están defectuosos. Cuál es la probabilidad de que en la muestra,

a) ninguno esté defectuoso,

b) uno salga defectuoso,

c) al menos dos salgan defectuosos

d) más de tres estén con defectos

Para la pregunta “d” puede realizarla siguiente operación:

1 – [P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)]

Ejercicio de prueba #4

La probabilidad de que un CD de música dure al menos un año sin que falle es de 0.95, calcular la probabilidad de que en una muestra de 15,

a) 12 duren menos de un año,

b) a lo más 5 duren menos de un año,

c) al menos 2 duren menos de un año.

Ejercicio de prueba #5

Si 8 de 100 viviendas violan el código de construcción. ¿cuál es la probabilidad de que un inspector de viviendas, que selecciona aleatoriamente a 50 de ellas, descubra que:

a) ninguna de las casas viola el código de construcción

b) una viola el código de construcción

c) dos violan el código de construcción

d) al menos tres violan el código de construcción

Glosario de términos

Aleatorio – que ocurre al azar.

Distribución de Poisson – Distribución discreta que se aplica cuando se realizan más de una vez y de forma independiente el experimento de Bernoulli.

Éxitos – Es la ocurrencia del evento de interés como cantidad de defectos, llamadas recibidas, servicios completados.

Experimento independiente – Cuando el resultado de un experimento no tiene influencia en el resultado de otro experimento.

 

Glosario de términos Resultado discreto – Son resultados con un número finito de

valores (3 defectos, menos de 8, hasta 5, etc.)

Suceso raro – Un evento que ocurre con poca frecuencia. Segmento - es un intervalo, porción, fragmento o tamaño de

muestra, ya sea en unidades de distancia, área, volumen, tiempo o cualquier otra medida.

Variable Aleatoria Discreta - Variable que puede obtener un número finito de valores de forma impredecible o al azar.

Variable Discreta – Variable que puede obtener un número finito de valores como 0, 1, 2, 3.

 

Referencias

Anderson, S. (2006).  Estadísticas para administración y economía. (8tva ed.). México:Thomson.

Newbold P. (2003).  Statistics for Business And Economics. (2003). (5ta. Ed.).  New Jersey: Prentice Hall.

Bluman, A. G.  (2007).   Statistics. (6ta ed.). New York:  Mc Graw Hill.

http://cyber.gwc.cccd.edu/faculty/jmil ler/Binom_Tab.pdf

http://stattrek.com/Tables/poisson.aspx#calculator 

Referencias http://www.udc.es/dep/mate/estadistica2/documen

tos-pdf/dmtablas.pdf  http://karnak.upc.es/teaching/estad/MC/taules/co

m-usar-taules.pdf  http://www.capdm.com/demos/software/html/capd

m/qm/poissondist/usage.html  http://www.uv.es/zuniga/09_La_distribucion_de_Poiss

on.pdf  http://www.matematicas.net/paraiso/download.php

?id=formula/fr_poisson.zip