Uslovna vjerovatnoća i Bayesov teorem sa praktičnim primjerima

Mentor: doc. dr. Emina Resić

Student: Adnan Mahmutović

Sadržaj rada:

1. Uvod

2. Pojam vjerovatnoće

3. Uslovna vjerovatnoća i nezavisnost događaja

4. Teorem totalne vjerovatnoće i Bayesov teorem

5. Zaključak

Literatura

2. Pojam vjerovatnoće

Historijat Definicija vjerovatnoće

• Eksperimentalna (a posteriori)

• Teorijska (a priori)

n

AnAp

n

)()( lim

A

in

pAp

pppp

p

1

)()(.2

1)(0,1)()()(.1

1,0)(:

1

21

P

3. Uslovna vjerovatnoća i nezavisnost događaja

Definicija uslovne vjerovatnoće

Nezavisni događaji

1. odnosno

2.

)(

)()(

Ap

ABpABp

)()( ApBAp )()( BpABp

)()()( BpApBAp

Uslovna vjerovatnoća: Primjer 1.

Proizvođač kućanskih aparata razmatra žalbe vezane za kvalitet svojih proizvoda. Sve žalbe su razvrstane u tri grupe, prema razlogu za žalbu: elektronske, mehaničke i dizajnerske, prije i po isteku garantnog perioda. Distribucija žalbi prema navedenim kategorijama data je u sljedećoj tabeli:

Ukoliko je poznato da je žalba podnesena u garantnom roku, zanima nas procenat žalbi za svaki od pojedinih razloga za žalbu.

Razlozi za žalbu

Elektronski Mehanički Dizajnerski Ukupno

Prije isteka garantnog roka

14 12 25 51

Nakon isteka garantnog roka

21 18 10 49

Ukupno 35 30 35 100

Rješenje primjera 1:

Događaji:

• E – razlog za žalbu je elektronske prirode

• M – razlog za žalbu je mehaničke prirode

• D – razlog za žalbu je dizajnerske prirode

• G – žalba je podnesena prije isteka garantnog roka

• Zaključujemo da od svih žalbi podnesenih u garantnom roku, njih 27,5% je iz razloga elektronskog kvara.

275,051,0

14,0

)(

)()|(

14,0100

14)(

51,0100

51)(

Gp

GEpGEp

GEp

Gp

Rješenje primjera 1 - nastavak

Slično:

Od svih žalbi podnesenih u garantnom roku, 23,5% njih je iz razloga mehaničkog kvara a 49% zbog nedostataka dizajnerske prirode.

49,051,0

25,0

)(

)()|(

235,051,0

12,0

)(

)()|(

Gp

GDpGDp

Gp

GMpGMp

4. Teorem totalne vjerovatnoće i Bayesov teorem

Historijat

Potpun sistem događaja

Teorem totalne (potpune) vjerovatnoće:

• Neka događaji H1, H2,..., Hn čine potpun sistem događaja. Tada, za bilo koji događaj B vrijedi:

n

iii HBpHpBp

1

)|()()(

Teorem totalne vjerovatnoće: Primjer 2

Sijalice se proizvode u tri fabrike: A, B i C. Poznato je da fabrike A i B proizvode 2% a fabrika C 3% neispravnih sijalica. Fabrika A proizvodi dva puta više sijalica od fabrike B a fabrike B i C jednak broj sijalica u određenom vremenskom periodu. Sijalice iz sve tri fabrike drže se u istom skladištu. Postavlja se sljedeće pitanje: Ako sasvim slučajno odaberemo jednu sijalicu iz tog skladišta, kolika je vjerovatnoća da je ona neispravna?

Rješenje primjera 2:

Događaji: B – sijalica je neispravna H1 – sijalica je proizvedena u fabrici A

H2 – sijalica je proizvedena u fabrici B

H3 – sijalica je proizvedena u fabrici C

H1, H2, H3 čine potpun sistem događaja:

25,0)()(,5,0)(

1)(2

1)(

2

1)(

)(2

1)()(

1)()()(

321

111

132

321

HpHpHp

HpHpHp

HpHpHp

HpHpHp

Rješenje primjera 2 - nastavak

Na osnovu teksta zadatka imamo uslovne vjerovatnoće:

Vjerovatnoća da je na slučaj odabrana sijalica neispravna jednaka je:

Vjerovatnoća da je na slučaj odabrana sijalica iz tog skladišta neispravna iznosi 2.25%.

Pitanje: Ukoliko je na slučaj odabrana sijalica neispravna, kolika je vjerovatnoća da je proizvedena u fabrici A?

03,0)|(,02,0)|(,02,0)|( 321 HBpHBpHBp

025,003,025,002,025,002,05,0

)|()()|()()|()()( 332211

HBpHpHBpHpHBpHpBp

Bayesov teorem (zakon inverzne vjerovatnoće)

Neka događaji H1, H2, ..., Hn čine potpun sistem događaja. Tada vrijedi:

Neke primjene Bayesovog teorema u teoriji:• Bayesova teorija odlučivanja (odabir akcije sa

najvećom očekivanom vrijednošću)• Bayesove igre (korigovanje polaznih uvjerenja o

ostalim učesnicima igre)• Medicinska istraživanja (određivanje najvjerovatnijeg

uzroka nastalog simptoma)

)(

)|()(

)|()(

)|()()|(

1

Bp

HBpHp

HBpHp

HBpHpBHp jj

n

iii

jjj

Bayesov teorem: Primjer 3

Preduzeće ALFA uvodi novi proizvod na tržište. Direktor marketinga procjenjuje da je vjerovatnoća da će novi proizvod biti superiorniji u odnosu na proizvod najbližeg konkurenta jednaka 90%. Međutim, nije posve siguran u svoju procjenu. Zato je angažirao poznatu konsultantsku tvrtku da napravi preliminarno istraživanje tržišta radi provjere početne procjene. Direktor konsultantske tvrtke saopštio je svome klijentu da će njegovo istraživanje biti pouzdano sa vjerovatnoćom 80%, zbog veličine predviđenog uzorka i problema sa mjernim instrumentima.Takva 80%-tna pouzdanost zapravo znači da će istraživanje pokazati superiornost ili inferiornost proizvoda: ako je proizvod stvarno superioran, istraživanje će pokazati superiornost sa vjerovatnoćom 80% a ako je proizvod stvarno inferioran, istraživanje će pokazati inferiornost sa vjerovatnoćom od 80%.

Bayesov teorem: Primjer 3 - nastavak

Situacija A: Istraživanje je pokazalo da je novi proizvod superioran svom najbližem konkurentu

Događaji:

• D1 – novi proizvod je superioran konkurentskom

• D2 – novi proizvod je inferioran konkurentskom

• X – istraživanje je pokazalo superiornost

Poznate su polazne (subjektivne) vjerovatnoće:

i uslovne vjerovatnoće:

Događaji D1 i D2 čine potpun sistem događaja.

1,0)(,9,0)( 21 DpDp

.2,0)|(,8,0)|( 21 DXpDXp

Bayesov teorem: Primjer 3 - nastavak

Vjerovatnoća da je proizvod superioran svom najbližem konkurentu u situaciji kada je istraživanje pokazalo superiornost jednaka je:

Vjerovatnoća da je proizvod inferioran svom najbližem konkurentu u situaciji kada je istraživanje pokazalo superiornost jednaka je:

97,02,01,08,09,0

8,09,0

)|()()|()(

)|()()|(

2211

111

DXpDpDXpDp

DXpDpXDp

03,097,01)|(1)|( 12 XDpXDp

Bayesov teorem: Primjer 3 - nastavak

Situacija B: Istraživanje je pokazalo da je novi proizvod inferioran svom najbližem konkurentu – događaj X.

Uslovne vjerovatnoće su:

Vjerovatnoća da je proizvod superioran na tržištu ukoliko istraživanje pokaže inferiornost jednaka je:

Vjerovatnoća da je proizvod inferioran na tržištu ukoliko istraživanje pokaže inferiornost jednaka je:

8,0)|(,2,0)|( 21 DXpDXp

69,08,01,02,09,0

2,09,0

)|()()|()(

)|()()|(

2211

111

DXpDpDXpDp

DXpDpXDp

31,069,01)|(1)|( 12 XDpXDp

Literatura

Knjige:• Anderson, D., R., Sweeney, D., J., Williams, T., A.,

Freeman, J., Shoesmith, E., Statistics for Business and Economics, Thomson Learning, London, 2007.

• Elazar,S., Matematička statistika, Zavod za izdavanje udžbenika Sarajevo, 1972.

• Ivković, Z., Matematička statistika, Naučna knjiga, Beograd, 1975.

• Lovrić., M., Komić, J., Stević, S., Statistička analiza: metodi i primjena, Grafid d.o.o., Banja Luka, 2006.

• Mališić, J., Verovatnoća i statistika, Krug, Beograd, 2001.• McClave, J., T., Dietrich, F., H., Sincich, T., Statistics,

Prentice-Hall, Inc., Upper Saddle River, 1997.• Somun – Kapetanović,R., Statistika u ekonomiji i

menadžmentu, Ekonomski fakultet, 2006.

Literatura:

Internet izvori:• Bayes, Thomas, www.gametheory.net• Bayes’ theorem, www.arnoldkling.com• Probability and Bayes theorem,

www.cee.hw.ac.uk• Dodatna informacija i odlucivanje, Darko

Tipuric, • http://web.efzg.hr/dok//OIM/dtipuric//10-

Informacija%20i%20odlu%C4%8Divanje.pdf