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Dipartimento di Matematica per le scienze economiche esociali Universita di Bologna
Modelli 1
lezione 21 15 dicembre 2011
Radon Nikodym in probabilita. Martingale
professor Daniele Ritelli
www.unibo.it/docenti/daniele.ritelli
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Radon-Nikodym in Probabilita
Valore atteso condizionato relativo ad una σ-algebra
Supponiamo assegnata una variabile aleatoriaX ∈ L1(P ) con (Ω,A, P )
spazio di probabilita. Abbiamo definito il valore atteso condizionato
E (X | G) di X ∈ L2(P ) relativo alla sotto σ-algebra G di A come
l’unica (q.d.) variabile aleatoria Y ∈ L2(G) (intendendo con questo la
G-misurabilita) che soddisfa la condizione∫G
Y dP =
∫G
XdP per ogni G ∈ G (E)
La costruzione e conseguenza dell’esistenza della proiezione ortogonale
nello spazio di Hilbert L2 e la successiva estensione a tutte le variabili
aleatorie sommabili ha richiesto una certa cautela
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Con il teorema di Radon-Nikodym si puo ottenere l’esistenza del
valore atteso atteso condizionato in modo relativamente semplice.
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Con il teorema di Radon-Nikodym si puo ottenere l’esistenza del
valore atteso atteso condizionato in modo relativamente semplice.
La misura (eventualmente segnata) e limitata ν(F ) =
∫F
XdP e asso-
lutamente continua rispetto a P . Restringendo le due misure a (Ω,G)
la proprieta di assoluta continuita permane, quindi esiste una funzio-
ne Y G-misurabile, unica, fatti salvi insiemi P -trascurabili tale che
ν(G) =
∫G
Y dP per ogni G ∈ G.
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Con il teorema di Radon-Nikodym si puo ottenere l’esistenza del
valore atteso atteso condizionato in modo relativamente semplice.
La misura (eventualmente segnata) e limitata ν(F ) =
∫F
XdP e asso-
lutamente continua rispetto a P . Restringendo le due misure a (Ω,G)
la proprieta di assoluta continuita permane, quindi esiste una funzio-
ne Y G-misurabile, unica, fatti salvi insiemi P -trascurabili tale che
ν(G) =
∫G
Y dP per ogni G ∈ G. D’altra parte per la stessa definizio-
ne di ν si ha che ν(G) =
∫G
XdP e cosı la relazione (E) che definisce
Y = E (X | G) e soddisfatta. D’ora in poi scriveremo E (X | G) al
posto di Y
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Definizione
Una variabile aleatoria E (X | G) e detta valore atteso condizionato di
X relativo alla σ-algebra G se
(i) E (X | G) e G misurabile
(ii)
∫G
E (X | G) dP =
∫G
XdP
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Definizione
Una variabile aleatoria E (X | G) e detta valore atteso condizionato di
X relativo alla σ-algebra G se
(i) E (X | G) e G misurabile
(ii)
∫G
E (X | G) dP =
∫G
XdP
Enunciamo le principali proprieta del valore atteso condizionato. Sup-
porremo che
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Definizione
Una variabile aleatoria E (X | G) e detta valore atteso condizionato di
X relativo alla σ-algebra G se
(i) E (X | G) e G misurabile
(ii)
∫G
E (X | G) dP =
∫G
XdP
Enunciamo le principali proprieta del valore atteso condizionato. Sup-
porremo che
1. Le variabili aleatorie sono in (Ω,A, P ) spazio di probabilita
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Definizione
Una variabile aleatoria E (X | G) e detta valore atteso condizionato di
X relativo alla σ-algebra G se
(i) E (X | G) e G misurabile
(ii)
∫G
E (X | G) dP =
∫G
XdP
Enunciamo le principali proprieta del valore atteso condizionato. Sup-
porremo che
1. Le variabili aleatorie sono in (Ω,A, P ) spazio di probabilita
2. X, Y e le successioni (Xn)n sono in L1 (Ω,A, P )
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Definizione
Una variabile aleatoria E (X | G) e detta valore atteso condizionato di
X relativo alla σ-algebra G se
(i) E (X | G) e G misurabile
(ii)
∫G
E (X | G) dP =
∫G
XdP
Enunciamo le principali proprieta del valore atteso condizionato. Sup-
porremo che
1. Le variabili aleatorie sono in (Ω,A, P ) spazio di probabilita
2. X, Y e le successioni (Xn)n sono in L1 (Ω,A, P )
3. G e H sono sotto σ-algebre di A
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Proprieta di E (X | G)
(i) E (E (X | G)) = E(X)
(ii) Se X e G misurabile allora E (X | G) = X
(iii) SeX e indipendente da G o, meglio, da 1G allora E (X | G) = E(X)
(iv) (Linearita) E (aX + bY | G) = aE (X | G) + bE (Y | G)
(v) (Positivita) Se X ≥ 0 allora E (X | G) ≥ 0 q.d.
(vi) (Convergenza monotona) Se (Xn)n e una successione non negativa
crescente e convergente a X allora (E (Xn | G))n converge crescendo a
E (X | G)
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Proptieta di E (X | G)
(vii) Se Y e G misurabile e XY e sommabile, allora
E (XY | G) = Y E (X | G)
(viii) (Proprieta della torre) Se H ⊂ G allora
E (E (X | G) | H) = E (X | H)
(ix) (Disuguaglianza di Jensen) Se ϕ : R→ R e una funzione convessa
e se ϕ(X) ∈ L1 allora
E (ϕ(X) | G) ≥ ϕ (E (X | G))
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Martingale: presentazione informale
Supponiamo di voler modellizzare il comportamento di un qualche
fenomeno aleatorio con una successione di variabili aleatorie (Xn)n.
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Martingale: presentazione informale
Supponiamo di voler modellizzare il comportamento di un qualche
fenomeno aleatorio con una successione di variabili aleatorie (Xn)n.
Il valore X(ω) potrebbe essere il risultato dell’n-ennesimo lancio di
una moneta che e lanciata 1000 volte. Se esce “Testa” segnamo 1, se
esce “Croce” segnamo 0, allora
Y (ω) =1000∑n=1
Xn(ω)
ci dice il numero di volte in cui e uscito “Testa”
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Tipicamente si ripete questo esperimento aleatorio molte volte prima
di fare affermazioni sulla probabilita che al lancio della moneta esca
“Testa”. Si potrebbe cercare di fare una media dei risultati, vale a
dire cercare di calcolare E(Y )
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Tipicamente si ripete questo esperimento aleatorio molte volte prima
di fare affermazioni sulla probabilita che al lancio della moneta esca
“Testa”. Si potrebbe cercare di fare una media dei risultati, vale a
dire cercare di calcolare E(Y )
Pero potrebbe essere interessante anche cercare di prevedere il valore
di Xn(ω) dopo k lanci (naturalmente k < n cioe, fissato ω ∈ Ω co-
noscere i valori di (Xi(ω))i≤k puo essere di aiuto nella previsione dei
valori di Xn(ω) per n > k.
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Tipicamente si ripete questo esperimento aleatorio molte volte prima
di fare affermazioni sulla probabilita che al lancio della moneta esca
“Testa”. Si potrebbe cercare di fare una media dei risultati, vale a
dire cercare di calcolare E(Y )
Pero potrebbe essere interessante anche cercare di prevedere il valore
di Xn(ω) dopo k lanci (naturalmente k < n cioe, fissato ω ∈ Ω co-
noscere i valori di (Xi(ω))i≤k puo essere di aiuto nella previsione dei
valori di Xn(ω) per n > k.
Nel caso di lanci di una moneta idealizzata si suppone che non sia
cosı, nel senso che i lanci successivi sono supposti essere indipendenti.
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Ci sono pero diverse situazioni in cui gli (Xn)n possono rappresen-
tare esiti in cui il comportamento precedente del processo che viene
modellizzato puo ragionevolmente influenzare il suo comportamento
futuro. Si cerca dunque di descrivere matematicamente il modo in cui
possiamo codificare le nostre conoscenze sul comportamento passato
di (Xn)n.
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Ci sono pero diverse situazioni in cui gli (Xn)n possono rappresen-
tare esiti in cui il comportamento precedente del processo che viene
modellizzato puo ragionevolmente influenzare il suo comportamento
futuro. Si cerca dunque di descrivere matematicamente il modo in cui
possiamo codificare le nostre conoscenze sul comportamento passato
di (Xn)n.
Una idea naturale e quella di usare la σ-algebra
Ak = σXi | 0 ≤ i ≤ k
generata dalla successione (Xn)n in quanto rappresentativa delle co-
noscenze ottenute conoscendo i primi k esiti del nostro esperimento.
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Diremo che (Xn)n e un processo stocastico discreto, per sottoli-
neare che il nostro interesse e sulla dinamica della successione degli
“outcomes”
Includeremo un passo di indice zero per fissare uno stato iniziale prima
che l’esperimento abbia inizio in modo che A0 contiene le informazioni
disponibili prima che il processo inizi.
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Diremo che (Xn)n e un processo stocastico discreto, per sottoli-
neare che il nostro interesse e sulla dinamica della successione degli
“outcomes”
Includeremo un passo di indice zero per fissare uno stato iniziale prima
che l’esperimento abbia inizio in modo che A0 contiene le informazioni
disponibili prima che il processo inizi.
Le informazioni disponibili al tempo k circa lo “stato del mondo” ω
e data dai valori (Xi(ω))0≤i≤k e queste sono incapsulate conoscendo
quali insiemi di Ak contengono il punto ω.
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Diremo che (Xn)n e un processo stocastico discreto, per sottoli-
neare che il nostro interesse e sulla dinamica della successione degli
“outcomes”
Includeremo un passo di indice zero per fissare uno stato iniziale prima
che l’esperimento abbia inizio in modo che A0 contiene le informazioni
disponibili prima che il processo inizi.
Le informazioni disponibili al tempo k circa lo “stato del mondo” ω
e data dai valori (Xi(ω))0≤i≤k e queste sono incapsulate conoscendo
quali insiemi di Ak contengono il punto ω.
Questo approccio e anche possibile immaginando di disporre di una
successione di σ-algebre (An)n senza far riferimento ad alcuna succes-
sione di variabili aleatorie
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Le nostre informazioni su in particolare ω sono fornite al passo k ≥ 1
conoscendo quali insiemi Ak contengano ω
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Le nostre informazioni su in particolare ω sono fornite al passo k ≥ 1
conoscendo quali insiemi Ak contengano ω
Definizione
Dato uno spazio di probabilita (Ω,A, P ) una filtrazione discreta e
una successione crescente di sotto-σ-algebre (An)n≥0 di A cioe A0 ⊂A1 ⊂ · · · ⊂ An ⊂ · · · ⊂ A. Scriveremo F = (An)n≥0
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Le nostre informazioni su in particolare ω sono fornite al passo k ≥ 1
conoscendo quali insiemi Ak contengano ω
Definizione
Dato uno spazio di probabilita (Ω,A, P ) una filtrazione discreta e
una successione crescente di sotto-σ-algebre (An)n≥0 di A cioe A0 ⊂A1 ⊂ · · · ⊂ An ⊂ · · · ⊂ A. Scriveremo F = (An)n≥0
Diremo che la successione (Xn)n e adattata alla filtrazione F se Xn
e An-misurabile per ogni n ≥ 0.
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Le nostre informazioni su in particolare ω sono fornite al passo k ≥ 1
conoscendo quali insiemi Ak contengano ω
Definizione
Dato uno spazio di probabilita (Ω,A, P ) una filtrazione discreta e
una successione crescente di sotto-σ-algebre (An)n≥0 di A cioe A0 ⊂A1 ⊂ · · · ⊂ An ⊂ · · · ⊂ A. Scriveremo F = (An)n≥0
Diremo che la successione (Xn)n e adattata alla filtrazione F se Xn
e An-misurabile per ogni n ≥ 0.
(Ω,A,F, P ) viene detto spazio di probabilita filtrato
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Nelle applicazioni si suppone che sia A0 = ∅, Ω per rappresen-
tare il fatto che l’esperimento comincia in assenza di informazioni
e, molto spesso si assume che la σ-algebra finale generata da tutta
la successione: A∞ = σ
(⋃n≥0
An
)coincida con A in modo alla fine
dell’esperimento siano disponibili tutte le informazioni possibili.
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12/19 Pi?22333ML232
Nelle applicazioni si suppone che sia A0 = ∅, Ω per rappresen-
tare il fatto che l’esperimento comincia in assenza di informazioni
e, molto spesso si assume che la σ-algebra finale generata da tutta
la successione: A∞ = σ
(⋃n≥0
An
)coincida con A in modo alla fine
dell’esperimento siano disponibili tutte le informazioni possibili.
Chiaramente (Xn)n e adattata alla sua filtrazione naturale (An)n≥0
se, per ogni n si definiscono le σ-algebre An = σ (Xi | 0 ≤ i ≤ n) ed
e adattata a qualsiasi altra filtrazione contente la filtrazione naturale.
Puo accadere che anche qualche altro processo (Yn) sia tale per cui
ogni Yn risulti An misurabile questo implica che esiste una funzione
Borel-misurabile fn : Rn+1 → R tale che Yn = f(X0, X1, . . . , Xn)
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Definizione
Sia (Ω,A,F, P ) uno spazio di probabilita filtrato. Una successione di
variabili aleatorie (Xn)n≥0 in (Ω,A, P ) e una martingala rispetto alla
filtrazione F = (An)n≥0 se
(i) (Xn) e adattata ad F
(ii) Xn ∈ L1(Ω, P )
(iii) per ogni n ≥ 0, E (Xn+1 | An) = Xn
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Conseguenze immediate della definizione di Martingala
1. Se m > n ≥ 0 allora E (Xm | An) = Xn in conseguenza della
proprieta della torre, infatti, quasi certamente si ha
E (Xm | An) = E (E (Xm | Am−1) | An) = E (Xm−1 | An)
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Conseguenze immediate della definizione di Martingala
1. Se m > n ≥ 0 allora E (Xm | An) = Xn in conseguenza della
proprieta della torre, infatti, quasi certamente si ha
E (Xm | An) = E (E (Xm | Am−1) | An) = E (Xm−1 | An)
Cosı procedendo abbiamo
E (Xm | An) = E (Xm−1 | An) = · · · = E (Xn+1 | An) = Xn
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Conseguenze immediate della definizione di Martingala
1. Se m > n ≥ 0 allora E (Xm | An) = Xn in conseguenza della
proprieta della torre, infatti, quasi certamente si ha
E (Xm | An) = E (E (Xm | Am−1) | An) = E (Xm−1 | An)
Cosı procedendo abbiamo
E (Xm | An) = E (Xm−1 | An) = · · · = E (Xn+1 | An) = Xn
2. Ogni martingala (Xn) ha valore atteso costante
E(Xn) = E (E (Xn | A0)) = E(X0)
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Una martingala rappresenta una “scommessa equa” come ad esempio
il risultato del lancio di una moneta: la nostra vincita alla “giocata n”
sara ∆Xn = Xn −Xn−1 vale a dire la differenza di quello che avremo
fra prima e dopo la giocata, avendo posto X0 = 0. Se il gioco e equo, la
nostra previsione al tempo n− 1, prima di conoscere il risultato della
giocata n e che sia E (∆Xn | An−1) = 0 dove An−1 = σ(Xi | i ≤ n−1)
sono le σ-algebre della filtrazione naturale del processo (Xn).
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Una martingala rappresenta una “scommessa equa” come ad esempio
il risultato del lancio di una moneta: la nostra vincita alla “giocata n”
sara ∆Xn = Xn −Xn−1 vale a dire la differenza di quello che avremo
fra prima e dopo la giocata, avendo posto X0 = 0. Se il gioco e equo, la
nostra previsione al tempo n− 1, prima di conoscere il risultato della
giocata n e che sia E (∆Xn | An−1) = 0 dove An−1 = σ(Xi | i ≤ n−1)
sono le σ-algebre della filtrazione naturale del processo (Xn).
Cio e conseguenza del fatto che le informazioni disponibili all’istante
n− 1 sono inglobate in An−1 e che in un gioco equo la vincita globale
a qualsiasi stadio sia nulla in media
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In un gioco favorevole allo scommettitore dovremmo aspettarci che
E (∆Xn | An−1) ≥ 0 e cioe E (Xn | An−1) ≥ Xn−1 quasi certamente.
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In un gioco favorevole allo scommettitore dovremmo aspettarci che
E (∆Xn | An−1) ≥ 0 e cioe E (Xn | An−1) ≥ Xn−1 quasi certamente.
Definizione
Sia (Ω,A,F, P ) uno spazio di probabilita filtrato. Una successione di
variabili aleatorie (Xn)n≥0 in (Ω,A, P ) e una sub-martingala rispetto
alla filtrazione F = (An)n≥0 se
(i) (Xn) e adattata ad F
(ii) Xn ∈ L1(Ω, P )
(iii) per ogni n ≥ 0, E (Xn | An−1) ≥ Xn−1
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In un gioco sfavorevole allo scommettitore dovremmo aspettarci che
E (∆Xn | An−1) ≤ 0 e cioe E (Xn | An−1) ≤ Xn−1 quasi certamente.
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In un gioco sfavorevole allo scommettitore dovremmo aspettarci che
E (∆Xn | An−1) ≤ 0 e cioe E (Xn | An−1) ≤ Xn−1 quasi certamente.
Definizione
Sia (Ω,A,F, P ) uno spazio di probabilita filtrato. Una successione
di variabili aleatorie (Xn)n≥0 in (Ω,A, P ) e una super-martingala
rispetto alla filtrazione F = (An)n≥0 se
(i) (Xn) e adattata ad F
(ii) Xn ∈ L1(Ω, P )
(iii) per ogni n ≥ 0, E (Xn | An−1) ≤ Xn−1
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Esempio 1
Data una variabile aleatoria X ∈ L1 ed una filtrazione F = (An)n≥0
di sotto σ-algebre di A definiamo, per ogni n ≥ 0, Xn = E(X | An)
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Esempio 1
Data una variabile aleatoria X ∈ L1 ed una filtrazione F = (An)n≥0
di sotto σ-algebre di A definiamo, per ogni n ≥ 0, Xn = E(X | An)
Per la proprieta della torre abbiamo che:
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Esempio 1
Data una variabile aleatoria X ∈ L1 ed una filtrazione F = (An)n≥0
di sotto σ-algebre di A definiamo, per ogni n ≥ 0, Xn = E(X | An)
Per la proprieta della torre abbiamo che:
E(Xn+1 | An) = E (E(X | An+1 | An)
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Esempio 1
Data una variabile aleatoria X ∈ L1 ed una filtrazione F = (An)n≥0
di sotto σ-algebre di A definiamo, per ogni n ≥ 0, Xn = E(X | An)
Per la proprieta della torre abbiamo che:
E(Xn+1 | An) = E (E(X | An+1 | An) = E(X | An)
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Esempio 1
Data una variabile aleatoria X ∈ L1 ed una filtrazione F = (An)n≥0
di sotto σ-algebre di A definiamo, per ogni n ≥ 0, Xn = E(X | An)
Per la proprieta della torre abbiamo che:
E(Xn+1 | An) = E (E(X | An+1 | An) = E(X | An) = Xn
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Esempio 1
Data una variabile aleatoria X ∈ L1 ed una filtrazione F = (An)n≥0
di sotto σ-algebre di A definiamo, per ogni n ≥ 0, Xn = E(X | An)
Per la proprieta della torre abbiamo che:
E(Xn+1 | An) = E (E(X | An+1 | An) = E(X | An) = Xn
Cio puo essere interpretato pensando che Xn ci fornisca tutte le infor-
mazioni relative alla variabile aleatoria X che sono a disposizione al
tempo n e sono contenute nella σ-algebra An
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Esempio 2
Sia (Zn)n≥1 una successione di variabili aleatorie a media nulla.
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Esempio 2
Sia (Zn)n≥1 una successione di variabili aleatorie a media nulla.
Poniamo X0 = 0, A0 = ∅, Ω e Xn =n∑
k=1
Zn.
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Esempio 2
Sia (Zn)n≥1 una successione di variabili aleatorie a media nulla.
Poniamo X0 = 0, A0 = ∅, Ω e Xn =n∑
k=1
Zn.
Definiamo le σ-algebre: An = σ (Zk | k ≤ n)
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Esempio 2
Sia (Zn)n≥1 una successione di variabili aleatorie a media nulla.
Poniamo X0 = 0, A0 = ∅, Ω e Xn =n∑
k=1
Zn.
Definiamo le σ-algebre: An = σ (Zk | k ≤ n)
(Xn)n≥0 e una martingala relativa alla filtrazione F = (An)n≥0