DINAMIČKA ANALIZA 1. Pojam i značaj
Transcript of DINAMIČKA ANALIZA 1. Pojam i značaj
135
GLAVA IX
DINAMIČKA ANALIZA
1. Pojam i značaj
Promena jedne pojave je posledica delovanja niza drugih pojava, ali
uspostavljanjem veze izmeĎu vremena i date pojave, sve druge pojave koje utiču
na posmatranu pojavu definišu se trajanjem vremena. Znači, varijacije pojava
možemo posmatrati kao funkcije vremena.
Dinamička analiza posmatra kvantitativne promene kako u obimu tako i u strukturi,
odnosno u kvalitetu samih pojava tokom vremena. Zasniva se na posmatranju
vremenskih serija, koje formiramo tako što vreme shvatamo kao jedno obeležje, a
posmatranu pojavu kao drugo. Pri formiranju vremenskih serija najbolje je da
koristimo jednake vremenske intervale čija dužina zavisi od prirode pojave, ali i od
cilja istraživanja. Kod pojava koje su relativno stabilne dovoljno je raspolagati
godišnjim, petogodišnjim ili čak desetogodišnjim podacima. Na primer, ako se
bavimo dohotkom, društvenim proizvodom, kapacitetima u privredi, najčešće
koristimo godišnje podatke, dok o nekim strukturnim odnosima stanovništva
možemo koristiti i desetogodišnje podatke. Znači za vremenska obeležja se
najčešće upotrebljavaju kalendarska razdoblja kao što su godina, semestar, kvartal,
mesec, nedelja i dan.
Važna pretpostavka za valjanost dinamičke analize je uporedivost podataka, pa je
problem uporedivosti veoma čest u formiranju i analizi vremenskih serija. Naime,
tokom vremena mogu se promeniti metodi merenja, definicija pojedinih pojava, pa
i sama koncepcija pojedinih kategorija.
2. Metode dinamičke analize
Zadatak analize konkretnih pojava je utvrĎivanje zakona u toku varijacije tih
pojava. Uočeno je da postoje ponavljanja u varijacima svake pojave, što naravno ne
znači identičnost već sličnost u načinu i dužini varijacija na višem kvantitativnom i
kvalitativnom nivou.
Kod ispitivanja vremenskih serija se najčešće koristimo podacima o veličini pojave
na godišnjem nivou. Vremenski razmaci kraći od godinu dana karakteristični su za
pojave čiji se ciklusi varijacije ponavljaju u toku godine. Na primer, sezonska vrsta
kretanja karakteristična je za proizvodnju poljoprivrednih i industrijskih proizvoda
čije su varijacije pod jakim uticajm kratkoročnih klimatskih promena i broja dana u
mesecu odnosno broja radnih dana.
Pri analizi vremenskih serija koristimo se grafičkim prikazom, metodom indeksnih
brojeva i metodom trenda.
Indeksni brojevi su relativni brojevi koji predstavljaju odnos nivoa pojave u
jednom periodu sa nivoom pojave u drugom periodu.
Dinamička analiza
136
Trend predstavlja osnovni tok razvoja pojave u dužem periodu dobijen kao
prosečno kretanje kakvo bi imali u primeru da su promene pojave ravnomerne.
2.1 Indeksni brojevi
Varijacije vremenskih serija se mogu posmatrati kao apsolutne i relativne promene.
Apsolutne varijacije se izračunavaju kao razlika izmeĎu nivoa pojava u dva
vremenska perioda. Iako pružaju korisne informacije o dinamici pojava, nisu
pogodne za analizu varijacija različitih pojava tokom vremena, pa se češće koriste
relativni pokazatelji ili indeksni brojevi.
2.1.1 Individualni indeksni brojevi
Individualni indeksi pokazuju relativne promene samo jedne pojave (npr.
proizvodnja mesa, prodaja jednog nedeljnog časopisa, itd.).
Označimo sa:
n21 Y ..., , ..., , , tYYY ........................................................................................ (1)
članove vremenskog niza, odnosno nivoe pojava u jednakim vremenskim
intervalima.
Tada indeksne brojeve možemo izračunavati na dva načina:
1. Svaki član niza (1) stavljamo u odnos sa jednim njegovim članom koga
zovemo bazni indeks i tako dobijamo indekse sa stalnom bazom ili bazne
indekse.
2. Svaki član niza uporeĎujemo s prethodnim članom niza i tako dobijamo
lančane indekse, odnosno, indekse s promenljivom bazom.
Indeksi sa stalnom bazom
Ako nivo pojave u posmatranom periodu t označimo sa n ..., ,1tYt , a u baznom
sa 0Y , tada se bazni indeks dobija na sledeći način:
1000
Y
YI t
t .............................................................................................. (2)
Primer:
1. Na osnovu podataka vremenske serije o proizvodnji mesa u periodu od 2001.
do 2005. godine, koji su dati u tabeli 1, izračunati bazne indekse sa bazom u
2001. godini.
Umesto opšte oznake za vremenski period 5 ,4 ,3 ,2 ,1t koristićemo oznaku
za godinu za koju računamo indeks (na primer, umesto I3 koristićemo oznaku
I2003). Naznačićemo i informaciju koju smo godinu koristili kao bazu, pa u
našem primeru za i = 3, pišemo
100 2001 2003 I .
Dr Veda Kilibarda
137
Bazni indeks u svakoj godini računamo prema izrazu (2):
100100130
130100
2001
2001100 2001 2001
Y
YI
9,106100130
139100
2001
2002100 2001 2002
Y
YI itd.
Slično izračunavamo i indekse za ostale godine, a serija dobijenih podataka
prikazana je u tabeli 1.
Tabela 1. Proizvodnja mesa od 2001. do 2005. godine
Godina Proizvodnja u (000) tona Bazni indeksi 100 2001tI
2001. 130 100,0
2002. 139 106,9
2003. 142 109,2
2004. 144 110,7
2005. 145 111,5
Vidimo da bazni indeks u 2002. godini iznosi 106,9, što znači da je
proizvodnja mesa u 2002. godini u odnosu na proizvodnju u baznoj 2001.
godini povećana za 6,9%, a u 2003. godini rast proizvodnje je 9,2% u odnosu
na baznu 2001. godinu, itd.
Važno je napomenuti da pri izboru bazne godine moramo voditi računa o
varijacijama posmatrane pojave i za bazu se ne uzima veličina pojave u
vremenskom periodu (godini) kad je zbog „vanrednih“ okolnosti ostvareno
visoko povećanje ili smanjenje veličine pojave. TakoĎe, ako analiziramo
relativno dug period i za bazu izaberemo početni period, to nas isto može
odvesti nekorektnom zaključku o dinamici posmatrane pojave. Tako da u
statističkoj praksi, bazna godina se menja na svakih pet do deset godina.
Indeksi sa promenljivom bazom
Indekse sa promenljivom bazom, odnosno, lančane indekse dobijamo na sledeći
način:
1001
t
tt
Y
YL n ..., 2, ,1t ......................................................................... (3)
Koristeći podatke iz primera 1. možemo izračunati lančane indekse. Jasno je da ne
možemo izračunati lančani indeks za 2001. godinu, jer nemamo podatak za
prethodnu 2000. godinu. Znači, svaka serija lančanih indeksa je za jedan podatak
kraća u odnosu na originalnu vremensku seriju.
Na osnovu izraza (3) sledi:
Dinamička analiza
138
9,106100130
139100
2001
20022002
Y
YL
1,102100139
142100
2002
20032003
Y
YL itd.
Lančani indeks 2002L pokazuje da se proizvodnja povećala u odnosu na prethodnu
2001. godinu za 6,9%, a lančani indeks 2003L pokazuje na porast proizvodnje od
2,1% u odnosu na prethodnu 2002. godinu. Računamo lančane indekse i u ostalim
godinama, a rezultati su dati u tabeli 2.
Tabela 2.
Godina Proizvodnja u (000) tona Lančani indeksi tL
2001. 130 /
2002. 139 106,9
2003. 142 102,1
2004. 144 101,4
2005. 145 100,6
Ako imamo seriju lančanih indeksa bez originalnih podataka, tada se za
izračunavanje baznih indeksa možemo koristiti izrazom:
1001
t
tt
L
II ................................................................................................ (4)
odakle je
100
1 tt
t
ILI ................................................................................................... (5)
Postupak izračunavanja baznih indeksa je sledeći:
- odaberemo baznu godinu i označimo je sa 100 i prepišemo lančani indeks za
sledeću godinu kao već dati bazni indeks;
- za godine koje prethode baznoj, označenoj sa 100, bazne indekse dobijamo
deleći dobijeni bazni indeks naredne godine sa lančanim indeksom te godine,
odnosno za 1t godinu prema izrazu (4);
- za godine koje slede baznoj godini, bazne indekse izračunavamo prema
izrazu (5).
U tabeli 3. dobili smo kolonu baznih indeksa iz lančanih indeksa dinamike
proizvodnje pšenice u periodu 1997. – 2004. godine.
Dr Veda Kilibarda
139
Tabela 3.
Godina Lančani indeksi Bazni indeksi (2000 = 100)
1997. - 113,79
1998. 86,1 97,98
1999. 108,1 105,92
2000. 94,4 100,00
2001. 86,7 86,7
2002. 137,0 118,77
2003. 116,3 138,12
2004. 95,5 131,90
U prethodnom primeru smo pokazali kako se računaju individualni (bazni i
lančani) indeksi količina. MeĎutim, individualni indeksi se mogu odnositi i na
druge ekonomske veličine, kao što su cena i vrednost. Sledeći izrazi pokazuju
individualne indekse cene, količina i vrednosti rasta:
1000
p
pI t
tp , 1000
q
qI t
tq i 10000
qp
qpI tt
tpq ...................................... (6)
gde su 0p , 0q i 00qp cena, količina i vrednost pojedinačnog proizvoda u baznom
periodu, dok tp , tq i ttqp predstavljaju cenu, količinu i vrednost istog proizvoda
u tekućem periodu.
Srednji pokazatelj dinamike
Umesto lančanih indeksa kojima se izražavaju promene iz perioda u period,
koristimo sintetičke pokazatelje, kojim opisujemo prosečnu relativnu promenu
pojave u čitavom periodu obuhvaćenom vremenskom serijom.
Geometrijska sredina lančanih indeksa predstavlja srednji tempo rasta:
1
1
1
12
3
1
221 ......
nn
n
n
ninn
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
YLLLG .......................................... (7)
odnosno u logaritamskoj transformaciji
1loglog
1-n
1loganti YYG n .................................................................. (8)
Koristeći se podacima iz tabele 2. dobijamo da je
73,102118175,0antil130log145log4
1loganti
ogG
što pokazuje srednji godišnji tempo proizvodnje mesa u periodu od 2001. – 2005.
godine.
Dinamička analiza
140
Da bismo utvrdili za koliko u procentima pojava u proseku raste ili opada na
osnovu geometrijske sredine G, izračunavamo prosečnu stopu rasta gr :
100Grg .................................................................................................... (9)
Tako, u našem primeru na osnovu geometrijske sredine dobijamo dalje prosečnu
geometrijsku stopu rasta:
%73,2100Grg .
Prosečna stopa rasta od 2,73% pokazuje da se proizvodnja mesa u periodu od 2001.
do 2005. godine u proseku godišnje povećavala po stopi od 2,73%.
2.1.2 Grupni indeksi
Grupnim indeksnim brojevima izražavamo dinamičke, odnosno, relativne promene
više pojava. Radi se o zajedničkom vremenskom indeksu kao statističkom
pokazatelju varijacija različitih, ali (relativno) srodnih pojava (npr. proizvodnja
mlečnih proizvoda, prodaje svih nedeljnih časopisa neke izdavačke kuće i slično).
Grupni indeksi, kao i individualni, mogu biti bazni ili lančani, kao i indeksi cene,
količine i indeksi vrednosti. Nadalje, pokazaćemo postupak konstrukcije grupnih
indeksa pomoću metoda agregata i metoda preseka.
Metod agregata
Metodom agregata grupni indeks se konstruiše kao odnos zbira podataka svih
sastavnih serija u tekućem periodu i zbira podataka istih serija u izabranom baznom
periodu, tj.:
100
1
0
1
n
i
i
n
i
it
tp
p
p
I - indeks cene
100
1
0
1
n
i
i
n
i
it
tq
q
q
I - indeks količine ............................................................. (10)
100
1
00
1
n
i
ii
n
i
itit
tpq
qp
qp
I - indeks vrednosti.
Dr Veda Kilibarda
141
Primer:
1. Na osnovu podataka iz tabele 4. odredite kolike su relativne promene cene,
količine i vrednosti proizvodnje mleka, šećera i ulja u 1981. godini u odnosu na
1980. godinu.
Tabela 4.
Proizvod
Cena (din/kg, din/l) Ostvarena proizvodnja
Vrednost proizvodnje (mil. din.)
1980.
0p
1981
1p
1980.
0q
1981
1q
1980.
00qp
1981
11qp
Mleko (mil.l) 6,03 6,05 341 350 2056,23 2117,50
Ulje (000t) 18,59 21,69 187 196 3476,33 4251,24
Šećer (000t) 12,89 13,02 667 783 8597,63 9022,86
Ukupno: 37,51 40,76 1195 1329 14130,19 15391,60
Indeks cene, količine i vrednosti sve tri vrste proizvoda po metodu agregata
dobijamo:
60,10810051,37
76,40100
89,1259,1803,6
02,1369,2105,6100
3
1
0
3
1
i
i
i
it
tp
p
p
I
21,1111001195
1329100
3
1
0
3
1
i
i
i
it
tq
q
q
I
93,10810019,14130
60,153913
1
00
3
1
i
ii
i
itit
tpq
qp
qp
I
Metod prosečnih odnosa
Metodom prosečnih odnosa grupni indeks se računa kao prosečna vrednost
individualnih indeksa sastavnih serija. Može biti aritmetički, geometrijski,
harmonijski u zavisnosti koju srednju vrednost individualnih indeksa koristimo. Mi
ćemo koristiti samo aritmetički grupni indeks, odakle:
n
p
p
n
I
I
n
i io
itn
i
p
tp
ti100
11
- indeks cene
Dinamička analiza
142
n
q
q
n
I
I
n
i io
itn
i
q
tq
ti100
11
- indeks količine............................................. (11)
n
I
I
n
i
tqp
tpq
ii 1 - indeks vrednosti
Primer:
2. Koristeći podatke iz tabele 4. i prethodno izračunate individualne indekse date
u tabeli 5, izračunaćemo grupne indekse cena, količina i vrednosti sve tri vrste
proizvoda po metodu prosečnih odnosa.
Tabela 5. Individualni indeksi
Proizvod tI p tIq tI pq
Mleko 100,33 102,64 102,98
Ulje 116,67 104,81 122,29
Šećer 101,01 103,90 104,94
00,1063
01,10167,11633,100
3
10089,12
02,13
59,18
69,21
03,6
05,6
tpI
78,1033
90,10381,10464,202
tqI
07,1103
94,10429,12298,102
tpqI
2.1.3 Ponderisanje grupnih indeksa
U našem primeru smo korišćenjem proste (neponderisane) aritmetičke sredine svim
sastavnim serijama dali podjednak značaj, iako u suštini nije tako. Naime, primena
metoda agregata i metoda prosečnih odnosa opravdana je samo kada sve sastavne
serije imaju približno jednak značaj. MeĎutim u praksi je najčešće suprotno, tj.
sastavne serije agregata za koje računamo grupni indeks nemaju isti značaj. Na
primer, ako ne bi ponderisali grupni indeks cena u trgovini na malo, onda bi skuplji
proizvodi imali veći uticaj za opšti nivo cena, bez obzira što ti proizvodi imaju
manji obim prometa u trgovini. Znači, da kad konstruišemo grupne indekse
moramo imati na umu koliko se puta cena svakog proizvoda javlja, tj. mora se
pridati veći značaj (ponder) cenama onih proizvoda koje imaju veći uticaj na opšti
nivo cena, odnosno, cenama proizvoda koji imaju veće učešće u prometu.
Dr Veda Kilibarda
143
Ponderisanjem grupnih indeksa ističemo relativni značaj svake sastavne serije koju
uključujemo u grupni indeks i na taj način povećavamo reprezentativnost grupnih
indeksa.
Ponderisanje indeksa dobijenih po metodu proseka.
Izračunavanje grupnog indeksa metodom proseka pretpostavlja izračunavanje
individualnih indeksa koje množimo sa svojim panderom, a potom sumu ovih
proizvoda delimo sa sumom pandera:
n
i
i
n
i
iti
t
I
I
1
1
........................................................................................... (12)
gde su tiI individualni indeksi količine ili cene, a za panderacioni faktor i se
najčešće koristi vrednost iz baznog perioda 00qp .
Primer:
1. Koristeći podatke iz tabela 4. i 5. izračunaćemo indeks cena i količina
izabranih proizvoda metodom proseka.
70,10463,859733,347623,2056
63,859701,10133,347667,11623,205633,100
tpI
94,10363,859733,347623,2056
63,859790,10333,347681,10423,205664,102
tqI
Ponderisanje indeksa dobijenih po metodu agregata
Grupne indekse je podesnije izračunavati metodom agregata. Razlikujemo
Laspejresov i Pašeov metod ponderisanja, u zavisnosti da li se ponderi odreĎuju
prema strukturi sastavnih serija u baznom ili tekućem periodu.
Laspejresov agregatni indeks:
100
1
00
1
n
i
ii
n
i
ioit
tp
qp
qp
I cene,
odnosno ......................................................................................................... (13)
100
1
00
1
n
i
ii
n
i
ioit
tq
pq
pq
I količine.
Dinamička analiza
144
Vidimo da Laspejresov metod ponderisanja kao pondere koristi cene ili količine iz
baznog perioda. tačnije, ako računamo agregatni indeks cena po Laspejresovom
metodu množimo cenu svakog od n proizvoda u tekućem i u baznom periodu sa
količinom istog proizvoda iz baznog perioda. Kako množimo cene sa količinama iz
baznog perioda, vidimo da će dobijeni rezultati pokazati samo relativnu promenu
cena. Slično, pri računanju agregatnog indeksa količine po Laspejresovom metodu
za pondere uzimamo cene iz baznog perioda, pa grupni indeks pokazuje relativne
promene samo količine.
Pašeov grupni indeks
100
1
0
1
n
i
iti
n
i
itit
tp
qp
qp
I cene,
odnosno ......................................................................................................... (14)
100
1
0
1
n
i
iti
n
i
itit
tq
pq
pq
I .
Kod Pašeove metode grupisanja za pondere se koriste cene ili količine iz tekućeg
perioda. Na primer, prilikom računanja ponderisanog indeksa cena, cenu svakog od
n proizvoda i u tekućem i u baznom periodu množimo sa količinom istog
proizvoda iz tekućeg perioda.
Nameće se pitanje koji od ova dva metoda daje bolji rezultat. Kao što smo videli
Laspejresov metod koristi pondere iz baznog perioda, a tokom vremena dolazi do
promena u strukturi posmatranih sastavnih serija u agregatu, pa što je tekući period
udaljeniji od baznog, relativni značaj pondera se sve više menja.
MeĎutim, i Pašeov metod ima svoje mane. Najčešće nemamo podatke o ponderima
iz tekućeg perioda, a samo korišćenje pondera iz tekućeg perioda znači da bi se
svake godine morao menjati sistem pondera, pa u praksi ovaj metod se retko
primenjuje.
Da bi otklonili nedostatke oba metoda ponderisanja, možemo primeniti Fišerov
indeks koji predstavlja geometrijsku sredinu Laspejresovog i Pašeovog agregatnog
indeksa:
PLF III .
MeĎutim, primena Fišerovog indeksa se u praksi izbegava zbog složenog načina
izračunavanja, pa u praksi se najčešće koristi Laspejresov metod ponderisanja, a
periodično se revidira sistem baznih pondera.
Dr Veda Kilibarda
145
Primer:
2. Koristeći podatke iz tabela 4. i 5. izračunati grupni indeks cena i količina
izabranih proizvoda po Laspejresovom i Pašeovom metodu.
Tabela 6. Radna tabela
Proizvod 00 ii qp iti qp 0 0iitqp ititqp
Mleko 2056,23 2110,5 2063,05 2117,50
Ulje 3476,33 3643,64 4056,03 4251,24
Šećer 8597,63 10092,87 8684,34 9022,86
Ukupno 14130,19 15847,01 14803,42 15391,60
Kod računavanja Laspejresovog indeksa cena kao ponder koristimo količinu i-
tog proizvoda iz baznog perioda:
76,10410019,14130
42,14803100
3
1
00
3
1
0
i
ii
i
iit
tp
qp
qp
I
Slično, pri računanju Laspejresovog indeksa količine kao ponder koristimo
cenu i-tog proizvoda iz baznog perioda:
15,11210019,14130
01,15847100
3
1
00
3
1
0
i
ii
i
iit
tq
pq
pq
I
2.2 Ispitivanje razvojne tendencije pojave
Promene koje pojava pokazuje tokom vremena, a koje su nastale pod uticajem
drugih pojava s kojima je u uzročnoj vezi, definišemo kao razvoj pojave. Osnovni
tok kretanja pojave u dužem vremenskom periodu je trend ili razvojna tendencija
pojave. Trend se može odrediti i iz vremenskih nizova na kvartalnom ili mesečnom
nivou, kada su izražene sezonske varijacije. Statistika je razvila metode za
izolovanje sezonskog ritma što doprinosi odreĎivanju cikličkih i neregularnih
varijacija. Vremensku seriju možemo zamisliti kao rezultat četiri faktora: trenda,
sezonskog ritma, cikličnih fluktuacija i neregularnih promena. U slučaju analize
podataka na godišnjem nivou, stvarno kretanje pojave se razlaže na dve
komponente: trend i rezidium (ostatak), jer iz godišnjih podataka se ne može
utvrditi uticaj sezonskih faktora.
Pri odreĎivanju sekularnih tendencija vremenske serije služimo se raznim
empirijskim i analitičkim postupcima. Najčešće primenjivan empirijski postupak je
metod pokretnih sredina, a analitički metod najmanjih kvadrata.
Dinamička analiza
146
2.2.1 Metod pokretnih sredina
Kod metoda pokretnih sredina računaju se aritmetičke sredine iz odreĎenog broja
podataka u seriji, tj. svaki podatak iz serije se zamenjuje sa aritmetičkom sredinom
zbira toga podatka i jednog ili više prethodnih i narednih podataka.
Neka je dat jedan vremenski niz
nn yyyyy ..., , ..., , , , 1321 ................................................................................ (15)
Uzimajući grupe od po tri člana, prva sredina će biti
3
3212
yyyy
i u vremenskom nizu će zameniti 2y .
Sredina
3
4323
yyyy
je druga pokretna sredina i zameniće 3y . Na kraju, dobijamo pokretnu sredinu
3
121
nnnn
yyyy
.
Ovako smo dobili niz pokretnih sredina
1232 ..., , ..., , , n-n yyyy . .............................................................................. (16)
UporeĎujući nizove (15) i (16) zaključujemo da su prvi i zadnji član niza (15) ostali
bez svoje sredine, što je jasno kod računanja pokretnih sredina od po tri člana. Ovaj
postupak se može nastaviti i za grupe od pet, sedam i više članova.
U slučaju grupisanja parnog broja članova niza (15), neophodno je uraditi
„centriranje“, gde posle odreĎivanja pokretnih sredina, računamo sredine dve
uzastopne pokretne sredine i na taj način dobijamo pokretne sredine koje
odgovaraju i -tom članu serije.
Na primer, za grupe od četiri člana niza prva pokretna sredine je
4
3,2 4321 yyyyy
,
a druga pokretna sredina je
4
4,3 5432 yyyyy
,
dok je centrirana pokretna sredina
2
4,33,23
yyy
Dr Veda Kilibarda
147
i ona u nizu (15) odgovara članu 3y . I ovde, po dva člana s početka i kraja će ostati
bez odgovarajućih proseka.
Izračunavanjem pokretnih proseka, kao aritmetičkih sredina, izravnavaju se
apsolutne varijacije u seriji i na taj način se eliminiše veći deo varijacija date
pojave i lakše se uočava razvojna tendencija pojave. Pokretne proseke koristimo za
izračunavanje apsolutnih varijacija vremenskih serija prilagoĎenih potrebama
istraživanja, ali oni imaju ograničenu analitičku vrednost, jer se na osnovu njih ne
mogu predvideti buduće promene.
2.2.2 Metod najmanjih kvadrata
Da bi odredili model koji najadekvatnije izražava kretanje date pojave, treba
odrediti matematičku funkciju čije vrednosti odgovaraju najpribližnije vrednostima
vremenske serije. Tip funkcije najčešće odreĎujemo metodom najmanjih kvadrata,
polazeći od činjenice da seriju koju posmatramo najbolje aproksimira funkcija čije
je odstupanje od te serije minimalno, odnosno zbir kvadrata odstupanja je
minimalan.
Podatke vremenskog niza označimo sa iy , periode sa ix , a vrednost funkcije koje
tražimo sa ty , onda metod najmanjih kvadrata izražavamo:
0tyy .............................................................................................. (17)
odnosno
.min2
ti yy ...................................................................................... (18)
Oblik funkcije koji najbolje odgovara datoj seriji podataka odreĎujemo na osnovu
dijagrama rasturanja i pokretnih sredina. Jednačine za odreĎivanje parametara
funkcije dobijamo zamenom opšteg oblika funkcije u izraze (17) i (18).
2.2.3 Linearni trend
Ako smo zaključili da je kretanje pojave približno pravolinijsko, onda opšti oblik
funkcije koja odgovara tom kretanju je oblika
it bxay ,................................................................................................... (19)
gde je ty vrednost funkcije trenda za svaku datu godinu ix , a i b su parametri
funkcije. Na osnovu izraza (17), (18) i (19) parametre a i b odreĎujemo iz
normalnih jednačina (analogno pravolinijskoj regresiji):
n
i
n
i
ii
n
i
ii
n
i
n
i
ii
yxxbxa
yxbna
1 11
2
1 1, ............................................................................ (20)
gde je n broj perioda date vremenske serije.
Dinamička analiza
148
Dalje, iz (20) sledi:
22
ii
iiii
xxn
yxyxnb
xbya
. ................................................................................. (21)
Kako ix predstavlja periode (godine) koji se razlikuju za jedan, u praktičnom radu
zamenjujemo ih rednim brojevima, koje možemo uvek označiti tako da zbir rednih
brojeva bude 0.
U slučaju neparnog broja podataka u seriji, središnju godinu označavamo nulom, a
prethodne godine sa negativnim rednim brojevima, a naredne sa pozitivnim rednim
brojevima.
U slučaju parnog broja podataka dve središnje godine, označimo sa -0,5 i +0,5, a
potom unazad za jedan manje, a unapred za jedan više.
Na ovaj način postižemo da je 0 ix i 0x , pa izrazi (21) dobijaju oblik:
2i
ii
x
yxb
ya
. .................................................................................................. (22)
Primer:
1. Na osnovu podataka o prometu u jednom trgovinskom preduzeću u periodu od
1966. do 1970. godine u milionima dinara (tabela 7), odrediti frekvenciju
trenda.
Tabela 7. Promet u trgovinskom preduzeću u mil. dinara
Godina Redni
broj ix Promet iy ix iy 2
ix ty ti yy 2ti yy
1966. 1 20 20 1 24 -4 16
1967. 2 30 60 4 31 -1 1
1968. 3 50 150 9 38 12 144
1969. 4 40 160 16 45 -5 25
1970. 5 50 250 25 52 -2 4
Suma 15 190 640 55 190 0 190
Rešenje:
Kako apsolutne promene parametra ne pokazuju veće oscilacije, može se uzeti
da takvom kretanju odgovara najbolje model linearnog trenda. Zaključak se
može izvesti i iz dijagrama rasturanja (slika 1.). Na osnovu vrednosti iz tabele i
sistema jednačina (20) imamo:
Dr Veda Kilibarda
149
190155 ba
6405515 ba ,
odakle dobijamo da je 17a i 7b , pa je funkcija trenda
xyt 717 .
Slika 72.
Srednje kvadratno odstupanje stvarnih podataka od vrednosti trenda predstavlja
standardnu grešku trenda i izračunavamo je prema izrazu:
n
yyS ti
t
2
........................................................................................... (23)
U našem primeru je
2,65
190tS .
Ako znamo funkciju trenda i standardnu grešku, onda možemo predvideti
kretanje pojave i u budućnosti. Na primer, prosečni promet u 1971. godini
dobijamo iz funkcije trenda za 6x :
5967171971 y
Procena nije dovoljno pouzdana, jer su moguće i neravnomernosti u kretanju
pojave. Ako uzmemo u obzir prosečnu meru odstupanja, standardnu grešku
trenda, možemo da odredimo interval u kome se može očekivati visina prometa
u 1971. godni. Polazimo od modela:
ttitt tSyySty . ................................................................................ (24)
Broj standardnh grešaka, za utvrĎivanje širine intervala poverenja, odreĎujemo
na osnovu unapred date verovatnoće procene, a vrednost t računamo prema
formuli Čebiševa
2
11
tps . ................................................................................................... (25)
Na primer 75,0sp za 2t ili 84,0sp za 5,2t itd. iz (25), sledi da je:
Dinamička analiza
150
spt
1
1. .................................................................................................. (26)
Za 75,0sp interval očekivanja visine prometa je:
2,62592,6259 iy
4716,46 iy
tj. izmeĎu 46,6 i 71,4 miliona dinara.
Procenjivanje budućeg kretanja prema modelu (24) je opravdana, samo u
slučaju da se sa velikom verovatoćom može očekivati u naredom periodu
kretanja pojave u približno istim uslovima.
2.2.4 Krivolinijski trend
U slučaju da skup tačaka ii yx , u ravni xOy ima tendenciju da zauzme
krivolinijski raspored, onda za funkciju trenda najčešće uzimamo kvadratnu
funkciju:
2iit cxbxay ........................................................................................... (27)
čije koeficijente cba , , odreĎujemo metodom najmanjih kvadrata na osnovu kog
smo dobili sistem normalnih jednačina:
iiiii
iiiii
iii
yxxcxbxa
yxxcxbxa
yxcxbna
2432
32
2
............................................................. (28)
U slučaju da redne brojeve perioda (godina) označimo tako da je 0 ix , sistem
(28) prelazi u sistem:
iiii
iii
ii
yxxcxa
yxxb
yxcna
242
2
2
, .......................................................................... (29)
odakle izrazi za izračunavanje paraboličkog trenda su:
224
22
2
2
ii
iiii
i
ii
i
xxn
xyyxnc
x
yxb
xn
cya
........................................................................... (30)
Dr Veda Kilibarda
151
Primer:
1. Na osnovu podataka iz tabele 8. utvrditi oblik trenda i njegovu funkciju.
Tabela 8. Potrošnja jednog artikla u periodu 1980 – 1987. godine u hiljadama dinara
Godina Vreme
ix
Potrošnja
iy 2ix
3ix
4ix ix iy 2
ix iy
yty
1980 1 12,1 1 1 1 12,1 12,1 11,9
1981 2 11,5 4 8 16 23,0 46,0 11,5
1982 3 10,6 9 27 81 31,8 95,4 11,5
1983 4 11,2 16 64 256 44,8 179,2 11,6
1984 5 12,9 25 125 625 64,5 322,5 12,1
1985 6 13,2 36 216 1296 79,2 475,2 12,7
1986 7 13,6 49 343 2401 95,2 666,4 13,6
1987 8 14,5 64 512 4096 116,0 928,0 14,7
36 99,6 204 1296 8772 466,6 2724,8 99,6
Rešenje:
Na bazi dijagrama rasturanja (slika 2.) uočavamo da potrošnja artikla pokazuje
neravnomeran rast i takvom kretanju odgovara parabolični trend. Normalne
jednačine su:
6,99204368 cba
6,446129620436 cba
8,172487721296204 cba
odakle je 41,12a , 67,0b , 12,0c te je parabola oblika:
212,067,041,12 iit xxy
odakle zamenom vrednosti 8 ,..., 2 ,1ix dobijamo vrednosti ty što je
prikazano u gornjoj tabeli.
Slika 2.
Dinamička analiza
152
2.2.5 Eksponencijalni trend
U slučaju da se kretanje pojave menja tako da iz perioda u period pokazuje istu
relativnu promenu, tada to kretanje najbolje se izražava pomoću esponencijalnog
modela trenda čiji je oblik:
ixt aby ....................................................................................................... (31)
gde ix označava redne brojeve perioda (godina), a a i b su parametri trenda.
Da bi odredili parametre trenda izvršićemo transformaciju modela i tako dobijamo
linearni logaritamski trend:
bxay it logloglog .................................................................................. (32)
Korišćenjem metode najmanjih kvadrata dobijamo sistem normalnih jednačina:
iiii
ii
yxxbxa
yxban
logloglog
logloglog
2
............................................................ (33)
pomoću kojeg ćemo odrediti parametre a i b . U slučaju da periode označimo
tako da je 0 ix , onda sistem (33) prelazi u sistem:
2
loglog
loglog
i
ii
i
x
yxb
n
ya
....................................................................................... (34)
Primer:
1. U tabeli 9. dati su podaci o prometu trgovine na malo u jednom preduzeću u
periodu od 1980. do 1988. godine u milionima dinara. Odrediti oblik funkcije
koja najbolje aproksimira datu seriju podataka.
Tabela 9. Promet trgovinskog preduzeća od 1981. do 1988. godine u milionima dinara
Godina Vreme ix Promet iy iylog ix iylog 2ix tylog
1980. -4 395 2,59659 -10,38636 16 2,60270
1981. -3 459 2,66118 -7,98543 9 2,66744
1982. -2 558 2,74663 -5,49326 4 2,73218
1983. -1 607 2,78319 -2,78319 1 2,79692
1984. 0 751 2,87564 0,00000 0 2,86166
1985. 1 816 2,91169 2,91169 1 2,92640
1986. 2 956 2,98046 5,96092 4 2,99114
1987. 3 1137 3,05576 9,16728 9 3,05588
1988. 4 1328 3,12320 12,49280 16 3,12062
0 7007 25,75497 3,88445 60 25,75494
Dr Veda Kilibarda
153
Rešenje:
Na osnovu dijagrama rasturanja (slika 3.) vidimo da se eksponencijalni model
funkcije može prilagoditi kretanju prometa preduzeća, pa ćemo prema izrazima
(33) odrediti parametre linearnog logritamskog trenda:
86166,29
75497,25log a
06474,060
88445,3log b
odakle dobijamo funkciju linearnog logaritamskog trenda:
it xy 06474,086166,2log .
Zamenom vrednosti ix u dobijenoj funkciji linearnog logaritamskog trenda
izračunali smo njegove vrednosti, koje smo iskazali u poslednjoj koloni tabele
9. Vidimo da je ti yy loglog . Antilogaritmovanjem funkcije linearnog
logaritamskog trenda dobijamo funkciju eksponencijalnog trenda:
xty 161,14,727 .
Kako smo metod najmanjih kvadrata primenili na logaritamske vrednosti iy ,
to zbir vrednosti eksponencijalnog trenda nije identičan zbiru originalnih
podataka tj. it yy . Ali, te razlike nisu velike, pa se u praksi
zanemaruju ili se uradi korekcija vrednosti ty , tako što vrednosti
eksponencijalnog trenda pomnožimo sa korektivnim faktorom
t
i
y
yk .
Slika 3.
U našem primeru je 161,1b , odnosno u procentima 116,1%, pa srednji tempo
rasta prometa izražen indeksom iznosi 116,1%, a izražen stepen rasta iznosi
16,1%.
U slučaju 1b , imamo opadajući trend, pa srednji indeks pada je manji od 100.
U rastućim razvojnim tendencijama pojave, parametar a je takoĎe pozitivan.