diferansiye geometri notları

7/25/2019 diferansiye geometri notlar

1/58

TASL

AKJeodezi ve Fotogrametri Muhendisliginde

Diferansiyel Geometri

Lisans Ders Notlar

Aydn USTUN

Selcuk Universitesi

Harita Muh. Bolumu

Konya

2013


2/58

TASL

AK

Icindekiler

1 GIRIS 1

2 VEKTORLER ve VEKTOR FONKSIYONLAR 5

2.1 Vektorler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Vektorlerin toplam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.2 Bir vektorun bir skaler ile carpm . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.3 Dogrusal bagmllk ve dogrusal bagmszlk. . . . . . . . . . . 7

2.1.4 Baz vektorler ve bilesenleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.5 Vektorlerin skaler carpm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.6 Ortonormal bazlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.7 Vektorel carpm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.8 Skaler uclu carpm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Vektor Fonksiyonlar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.1 Vektor fonksiyonun turevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.2 Taylor acnm ve analitik fonksiyon . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Alstrmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 GENEL EGRI TEORISI 21


3/58

TASL

AK

ii Icindekiler

3.1 Egrinin Parametrik Gosterimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Egrinin Yay Uzunlugu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 Teget Birim Vektor ve Normal Duzlem . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.4 Egrilik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.5 Asal Normal Birim Vektor ve Oskulator Duzlemi. . . . . . . . . . . . 31

3.6 Hareketli Uclu Vektor Sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.7 Burulma ve Frenet-Serret Denklemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.8 Yerel Koordinat Sistemine Gore Egrinin Bagl Konumu . . . . . . . . 36

3.9 Alstrmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 UC BOYUTLU OKLIT UZAYINDA YUZEYLER 41

4.1 Giris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2 Fonksiyonlar ve Yuzeyler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2.1 Yuzey normali ve teget duzlemin denklemi . . . . . . . . . . . 43

4.3 Duzenli Parametrik Yuzeyler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.4 Birinci Temel Bicim. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.4.1 Yay uzunlugu, yuzey egrileri arasnda ac ve alan hesab. . . . 49

4.5 Ikinci Temel Bicim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.6 Alstrmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

JFMde Diferansiyel Geometri s.2013.09.25


4/58

TASL

AK

Bolum 1

GIRIS

Matematigi olusturan konular, yasanlan donemle dogrudan iliskili oldugundan ilgive anlamlandrmada zamana bagl degisimler gorulur. Ornegin antik Yunan cagndageometri, konumsal iliskilerin incelendigi bir matematik dal olarak alglanrken;

gunumuzde diferansiyel topoloji veya diferansiyellenebilir manifoldlarn incelendigioldukca karmask bir matematik dalna donusmustur. Benzer durum, geometrininbir alt kolu olan diferansiyel geometri icin de gecerlidir.

Klasik diferansiyel geometri, egri ve yuzeylerin yerel ozelliklerini ele alr.Burada yerel ozellikler denildiginde, egri ya da yuzeyin bir nokta civarndaki(komsulugundaki) davrans anlaslr. Modern yaklasmda, geometri ve diferansiyelgeometri arasndaki cizginin giderek kayboldugundan soz edilebilir. Bu nedenle,diferansiyel geometrinin tanm, geometrinin modern tanmndan cok da uzakdegildir:

Egri, y uzey ve manifoldlarn (cok katmanl yuzeyler) geometrisini diferansiyelve integral hesap yoluyla inceleyen matematik dal.

Tanmdan da anlaslacag gibi diferansiyel geometri diferansiyel denklemler teorisiuzerine kuruludur. Fiziksel ve geometrik anlamda, teorik jeodezi geometri,diferansiyel ve hesap kavramlarn kullanan diferansiyel geometriyi temel alr. Butemel bilgi, yeryuvarnn agrlk (gravite) alan icindeki yeryuzu noktasnda olusancekul egrisinin ve onu dik kesen nivo yuzeylerinin yerel ozelliklerini belirlenmesiniolanakl klar. Ote yandan, ayn bilgi yeryuvarnn haritasnn elipsoit, kure,duzlem gibi degisik yuzeylere aktarlmasnda da kullanlr. Bu acdan klasik

diferansiyel geometrinin temellerinin atlmasnda jeodezik problemlerin onemibuyuktur. Gaussun 18211825 yllar arasnda Hannover Krallgnn olcumu icin


5/58

TASL

AK

2 G IR IS

ac ve uzunluk gozlemleriyle tesis ettigi yuzey nirengi ag (Sekil 1.1), egriler veyuzeyler icin diferansiyel geometrinin teoriden pratige gectigi ilk ornek olmustur.

Sekil 1.1: C. F. Gaussun (18771855) Hannover Krallgnn olcumu icin kurdugunirengi ag

Jeodezide, kucuk olcekli yuzey kontrol aglarna ait olcu ve hesaplamalar, cogukez yeryuzunun bir duzlem oldugu varsaylarak gerceklestirilir ve kontrol noktalararasndaki konumsal iliskiler duzlem geometri yardmyla incelenir. Calsma alangenisledikce, bu varsaym gecerliligini kaybeder; olculen kenarlar yeryuvarnn basitanlamda kureye benzerligi nedeniyle buyuk daire parcalarna donusur. Verilenornegi bir adm daha ileriye goturelim ve yuzey agnn ulke olcmeleri icinkullanlacagn dusunelim. Bu durumda, referans yuzeyi artk donel ellipsoitolmaldr. Bununla birlikte, ag noktalarn birlestiren kenarlar buyuk daireyaylarndan giderek uzaklasr; baska bir yuzey egrileri olurlar. Ancak, tumbu degisimlere karsn, yuzey agnn kenarlar yeryuvarnn boyutlarna kyasladiferansiyel kabul edilebilecek kadar kucuktur; sonlu veya kapal yuzey egrilerinindiferansiyel buyuklukleri olarak gorulebilir. Ote yandan, gozlem sonuclarolarak elde edilen uzunluk ve aclardan yola cklarak, tersine bir islemleyuzeyin geometrisi hakknda da bilgi elde edilebilir. Iste, egri ve yuzeylerindiferansiyel geometrisinden yararlanarak yeryuzunun cok sayda yuzey agylakaplanmasnn nedeni, yeryuvarnn seklinin belirlenmesi ve bir baska yuzeye(haritaya) aktarlmasdr.1

Jeodezi ve fotogrametri muhendisligi uygulamalarnda diferansiyel geometribilgisine, genellikle degisik yuzeyler uzerindeki temel odev problemlerinin cozumuicin gereksinim duyulur. Burada soz konusu yuzeyler, yeryuvarnn geometrikreferans modelleri olarak kullanlan duzlem, kure ve donel elipsoittir. Temelodev problemlerinin esitlikleri egri ve yuzeylerin diferansiyel geometrisi yardmylackarlrlar. Genel diferansiyel esitlikler her turlu (diferansiyellenebilir) yuzey icinayn olsa da, mutlak esitlikler yuzeyden yuzeye farkllk gosterir. Yuzey egrilerininegrilik ozelliklerine gore formulasyon karmask gorunum alr. En yaln temel odevesitlikleri egriligin sfr kaldg duzlem olcmelerinde ortaya ckar. Bundan baska,

1Yer olcmesine karslk gelen geometri ve jeodezi kavramlarnn anlam benzerligi buyuzundendir.



6/58

TASL

AK

3

yeryuvarnn etrafnda dolanan yapay uydularnn hareketlerini incelemek ve biruydunun yorungesindeki konumunu belirlemek icin de bu temel bilgilere ihtiyacvardr.

Diferansiyel geometri, 19. yuzyln ortalarna kadar matematik anlamda ack baksacsna gore, baska bir deyisle, Oklit uzaynda egrilerin ve yuzeylerin diferansiyelgeometrisi olarak calslmstr. G. F. G. Riemanndan (18261866) itibaren ise,Oklit geometrisi genellestirilerek kapal baks acs Riemann geometrisi gelistirildi(Wikipedia, 2009). A. Einstein (18791955) genel gorelilik (izafiyet) kuramnRiemann geometrisini kullanarak acklamstr.



7/58

TASL

AK

4 G IR IS



8/58

TASL

AK

Bolum 2

VEKTORLER ve VEKTOR FONKSIYONLAR

Iki veya uc boyutlu uzaya iliskin egri ve yuzeylerin geometrik ozellikleri, bu dersinkonusunu olusturmaktadr. Egri ve yuzeyler, koordinat geometrisi olarak genelliklekartezyen koordinatlarla iliskilendirilir. Ksacas bu geometrik nesneler, kullanlan

koordinat sisteminin parametrelerine bagl birer analitik fonksiyon biciminde ifadeedilirler.

Bir nesnenin geometrik ozellikleri (ornegin bir skaler buyukluk) farkl koordinatsistemlerinde farkl denklemlerle gosterilir. Oysa buyuklugun kendisi, orneginiki nokta arasndaki uzunluk, hangi koordinat sistemi kullanlrsa kullanlsn aynkalmaldr. Iste bu gibi farkl koordinat sistemlerinin diferansiyel hesaba olan etkisi,vektorler kullanlarak basitlestirilebilir. Bu nedenle, esas konulara gecmeden oncetemel vektor cebrini ve gosterimini sunmak yararl olacaktr.

2.1 Vektorler

Vektor (yoney) bir siddet ve yon acklayan dogru parcalarna denir. Fiziktekarsmza ckan hz, ivme, kuvvet vb. buyuklukler birer vektordur. Uc boyutlu(E3) Oklit uzaynda bir vektorden soz edildiginde, a1, a2, a3 reel saylar olmak uzere

a = (a1, a2, a3) seklinde sralanms uclu say kumesi anlaslr. E3te bir nokta, buuclu say kumesinden biri ile gosterilir (Sekil 2.1). E3 vektor uzaynda bir vektore


9/58

TASL

AK

6 VEKTORLER ve VEKTOR FONKS IYONLAR

x

y

z

a

a3

a2a1

O

(a1, a2, a3)

Sekil 2.1: E3 uzaynda konum vektoru

iliskin baz tanmlar asagda verilmektedir:

a= (a1, a2, a3) Negatif vektor0= (0, 0, 0) Sfr vektor

a

= a21+a22+a23 Vektor uzunlugu (siddeti)

Buna gore; aicin asagdaki ozellikler gecerlidir:

a 0,a= 0 asfr vektor (a= 0),a= 1 abirim vektor.

2.1.1 Vektorlerin toplam

a = (a1, a2, a3) ve b = (b1, b2, b3) vektorleri verilsin. Bu iki vektorun toplamelemanlarnn karslkl toplamna esittir:

a + b= (a1+b1, a2+b2, a3+b3) (2.1)

(2.1)e gore vektor toplam asagdaki ozellikleri saglar:

a + b= b +a Degisme ozelligi

(a + b) + c= a + (b + c) Birlesme ozelligi

0 + a= a

a + (a) =0



10/58

TASL

AK

Vektorler 7

2.1.2 Bir vektorun bir skaler ile carpm

k reel bir say ve abir vektor olmak uzere ikisinin carpm,

ka= (ka1, ka2, ka3) (2.2)

biciminde gosterilir. Vektorlerin skaler saylarla carpm,

k1(k2a) =k1k2a Birlesme ozelligi

k(a + b) =ka +kb Yaylma ozelligi

1(a) =a

esitliklerini sagladgndan pozitif bir sayyla carpm, vektorun yonunu degistirmez;sadece siddetini (uzunlugunu) skaler saynn buyuklugu orannda degistirir. Negatifbir sayyla carpm, vektor yonunu tersine cevirir. Bir vektor uzunlugunun tersi ile

carplrsa kendi dogrultusunda birim vektor elde edilir:

e= a

a (2.3)

2.1.3 Dogrusal bagmllk ve dogrusal bagmszlk

k1, k2,...,kn skaler buyukluklerden en az biri sfrdan farkl olmak kosuluyla;

k1u1+k2u2+...+knun=0 (2.4)

esitligini saglayan u1, u2, ..., un vektor ailesi dogrusal (lineer) bagmldrdenir. Aksidurumda ya da bir baska deyisle, (2.4) esitligi sadece k1 = k2 = ... = kn = 0olmas durumunda saglanyorsa soz konusu vektorler dogrusal bagmszdr. Birdogru boyunca alnan iki vektor a ve b olsun. Bu vektorlerin baslangc noktalarayn ise, a ve b dogrusal bagmldr (esdo grusal). Bir duzlem boyunca alnan a, bvec vektorleri ayn baslangc noktasndan ckyorsa, soz konusu voktorler dogrusalbagmldr (esduzlemsel). Uc boyutlu uzayda ayn noktadan ckan dogrusal bagmszuc vektor her zaman bulunabilir. Ancak ayn uzayda 4. vektor bu vektor kumesinidogrusal bagml duruma getirir.

(2.4)e gore; herhangi bir vektor, dogrusal bagmsz vektorlerin dogrusal

kombinasyonu (fonksiyonu) biciminde gosterilebilir:u= k1u1+k2u2+...+knun (2.5)

2.1.4 Baz vektorler ve bilesenleri

Uc boyutlu uzayda e1 = (1, 0, 0) e2 = (0, 1, 0) e3 = (0, 0, 1) dogrusal bagmszvektorleri olusturur. Bu vektorlere baz vektorlerdenir. Uzayda herhangi bir vektor,baz vektorlerin dogrusal fonksiyonu olarak ifade edilebilir:

a= (k1

e1+k

2e

2+k

3e

3) (2.6)

Burada k1, k2, k3 skalerleri baz vektorlerine iliskin bilesenlerdir.



11/58

TASL

AK


Teorem 2.1 E3de dogrusal bagmsz herhangi uc vektor bir baz sistemi olusturur.

E3de herhangi uc vektorun,

a = a1e1 + a2e2 + a3e3b = b1e1 + b2e2 + b3e3c = c1e1 + c2e2 + c3e3

dogrusal bagml olup olmadgn anlamak icin baz vektor bilesenlerinin determi-nantna bakmak yeterlidir:

= deta1 a2 a3b1 b2 b3

c1 c2 c3 (2.7)

= 0 ise a, b, cvektorleri dogrusal bagmldr.

Ornek 2.1

a = (2, 1, 0), b = (1, 1, 2), c = (5, 8, 1) vektorlerinin E3de bir baz sistemi olusturupolusturmadgn belirleyiniz.

Vektor bilesenlerinin determinant,

= det2 1 01 1 2

5 8 1

= 25 , = 0oldugundan a, b, c vektorleri dogrusal bagmszdr; E3de bir baz sistemi olustururlar.

Ornek 2.2

u1, u2, u3 E3de bir baz sistemi olustursun. Bu baz sisteme gore tanml a = 2u1 u2,

b= u2 u3 vec= 3u1+ u3 vektorleri dogrusal bagmsz mdr? Belirleyiniz.a, b, c vektorleri icin yazlacak,

k1a + k2b + k3c= (2k1+ 3k3)u1+ (k1+ k2)u2+ (2k2+ k3)u3 = 0

esitliginin sadece k1=k2=k3= 0 olmasyla saglanmas, bu vektorleri dogrusal bagmszyapar. u1, u2, u3 bagmsz olduguna gore;

2k1+ 3k3 = 0

k1+ k2= 02k2+ k3= 0

denklem sisteminin cozumundenk1 = k2 = k3= 0 sonucu ckar. a, b, cvektorleri dogrusal

bagmszdr.



12/58

TASL

AK

Vektorler 9

2.1.5 Vektorlerin skaler carpm

Iki vektor a = (a1, a

2, a

3) veb = (b

1, b

2, b

3)nin skaler (ic) carpm reel bir say verir:

a b= a1b1+a2b2+a3b3 (2.8)Iki vektor arasndaki ac olmak uzere skaler carpmn bir baska gosterim bicimi,

a b= a b cos (2.9)esitligi ile gosterilir. a= b ise = 0 olacagndan,

a b= a2 (2.10)

sonucu ckar. Skaler carpm,

a b= b a simetri ozelligi(ka)b= k(a b) k= skaler

a (b + c) =a b + a c yaylma ozelligia a 0 ic carpm pozitif tanml

ozelliklerini yanstr. Bu ozelliklerden hareketle a ve b vektorleri Cauchy-Schwarzesitsizligini,

|a b| a b (2.11)saglar. Esitlik durumu, sadece vektorlerin dogrusal bagml olmasyla gecerlikkazanr.

Sfr vektoru olmayan iki vektor arasndaki ac = (a, b), skaler carpm ilebulunabilir. Burada, [0, ] (2.9)a gore ann sfrdan farkl bir baska vektordogrultusuna (skaler) izdusumunu,

Izdb(a) = a cos bb (2.12)

saglar (Sekil 2.2). Iki vektor birbirine dik ise ( = /2) izdusum sfra esittir

(ortagonal vektor).

a

b

Izdb(a)

Sekil 2.2: Ic carpm geometrisi (avektorunun b vektorune izdusumu)

Ornek 2.3



13/58

TASL

AK


a= (3, 4, 5) ve b= (2, 1, 1) vektorleri arasndaki acy hesaplaynz.

Iki vektorun skaler carpm ve uzunluklar,

a b= 3 2 + 4 1 + 5 1 = 15 , a = 52 , b = 6olduguna gore (2.9)dan

cos = a ba b =

15

5

12=

3

2 = 30

ckar.

2.1.6 Ortonormal bazlar

e1, e2, e3 karslkl olarak ortagonal baz vektorlerdir; cunku,

e1 e2=e1 e3=e2 e3 = 0 e1 e1 = e2 e2 = e3 e3= 1 (2.13)ya da ksaca,

ei ej =ij =

1 i= j

0 i =j (2.14)

esitligini saglarlar. Soz konusu birim vektorler ortonormal baz olarak olarakadlandrlan baz sistemi olustururlar.

2.1.7 Vektorel carpm

a= a1e1+a2e2+a3e3 veb= b1e1+b2e2+b3e3 olmak uzere vektorel carpm,

a b= (a2b3 a3b2)e1+ (a3b1 a1b3)e2+ (a1b2 a2b1)e3 (2.15)

= det

e1 e2 e3a1 a2 a3

b1 b2 b3

= det a2 a3b2 b3

e1 det a1 a3

b1 b3 e2+ det a1 a2

b1 b2 e3

esitligi ile tanmlanr. Sonuc sfr vektorunden farklysa (ab = 0), a ve b dogrusalbagmsz, aksi durumda dogrusal bagmldr.

Dogrusal bagmsz vektorlerin vektorel carpmna iliskin baz ozellikler asagdakigibidir:

a b a, b (Sekil2.3)a b= b a (ters yansma ozelligi)

a (b + c) =a b + a c (yaylma ozelligi)(ka)

b= k(a

b) (k : skaler)

a a= 0



14/58

TASL

AK

Vektorler 11

a b

b

a

b a

b

a

Sekil 2.3: Vektorel carpmn geometrik gosterimi

Teorem 2.2 Vektorel carpm sonucu ortaya ckan yeni vektorun siddeti

a

b,

a

veb vektorlerinin olusturdugu paralelkenarn alann verir:

a b = a b sin , = (a, b) (2.16)

Ornek 2.4

a= (3, 5, 2) ve b= (4, 4, 2) vektorlerinin vektorel carpm,

a b= (5 2 2 4)e1+ (2 4 3 2)e2+ (3 4 5 4)e3 = 2e1+ 2e2 8e3

ve olusturduklar paralelkenarn alan,

a b =

22 + 22 + (8)2 = 36

2

dir.

2.1.8 Skaler uclu carpm

a b c karsk ya da uclu skaler carpm olarak adlandrlr. Parantezkullanlmadgnda carpm genellikle a (b c) seklinde anlaslr.

a= a1e1+a2e2+a3e3 , b= b1e1+b2e2+b3e3 , c= c1e1+c2e2+c3e3

olmak uzere, uclu skaler carpm satr vektorlerinin determinantna esittir:

a b c = (a1e1+a2e2+a3e3) e1 e2 e3b1 b2 b3

c1 c2 c3

= det a1 a2 a3

b1 b2 b3c1 c2 c3

(2.17)



15/58

TASL

AK


x

y

z

c

a

b

h

Sekil 2.4: a, b, cvektorlerinin olusturdugu paralel yuzlu

Bir baska gosterim,[a b c] = a b c= a b c

ile verilir. Vektorlerden ikisi yer degisitirirse carpm isaret degistir:

c b a= a b ca, b, cvektorleri dogrusal bagml ise

[a b c] = 0

ckar. Vektorler ayn duzlem uzerindedir.

Teorem 2.3 a, b ve c bir paralel yuzlu olustururlar; bunlarn skaler uclu carpmparalel yuzlunun hacmini verir. Sekil2.4e gore paralel yuzlunun taban alanbc,yuksekligih= a cos oldugundan cismin hacmi,

V = a (b c) = b c a cos (2.18)esitliginden bulunabilir.

2.2 Vektor Fonksiyonlar

Her eleman bir skaler fonksiyon ile tanml vektore, vektor fonksiyon denir. E3debir vektor fonksiyon,

f(t) = [x(t), y(t), z(t)] =xe1+ye2+ze3 , t R (2.19)biciminde gosterilir. Burada vektor bilesenleri,

x= x(t) , y= y(t) , z= z(t) (2.20)



16/58

TASL

AK

Vektor Fonksiyonlar 13

x

y

z

f(t)

f(t) = [cos t, sin t, t]

y

x

f(t)

f(t) = [cos t, sin t]

Sekil 2.5: E3 ve E2 uzaynda f(t) vektor fonksiyonunun izi

bagmsz degisken tnin fonksiyonudurlar. (2.20), vektor fonksiyonun parametrikdenklemleridir. fvektor fonksiyonut zaman veya belli bir egri boyunca alnans yayuzunlugu veyahut da baska bir parametreye bagl olabilir. Diferansiyel geometridevektor fonksiyonlar genellikle bir ya da iki degiskenlidir. Ornegin,

f :t I E2 iki boyutlu uzayda f(t)g: u A, v B E3 uc boyutlu uzayda g(u, v)

(2.21)

vektor fonksiyonlar ayr ayr iki topolojik uzay arasndaki izdusumu (mapping)gerceklestirir. f(t) I E aralgnda tanml her t degerine E2 uzaynda karslkbulurken, g(u, v) srasyla A, B E aralklarnda tanml u, v degerlerini E3uzayndaki bir noktaya donusturmektedir. Buna gore her iki vektor tanml olduklararalklarda surekli oldugu surece uzayda duzenli noktalar kumesi olusturur. Tekparametreli bir vektorun uzaydaki izi egri, iki parametreli vektorun izi ise biryuzeydir. E3 ve E2 uzaynda tek parametreli vektor fonksiyonlara ait iki ornekSekil2.5de gosterilmektedir.

(2.21)de oldugu gibi, bir vektor fonksiyonun uzayda kesintisiz bir egri ya da yuzeybelirtebilmesi icin tanm aralg boyunca surekli olmas gerekir. Vektor degerlifonksiyonlarn surekliligi skaler degerli fonksiyonlar gibidir. f(t) vektor fonksiyonut0 noktas civarnda tanml olsun ve keyfi olarak secilen t icin f(t) f(t0) vektorelfarkn uzunlugu (normu) ile gosterilsin. >0 esitsizligini saglayan her degerinekarslk bir >0 degeri bulunabiliyorsa f(t)nin bir t0da limiti var demektir ve

limtt0

f(t) = lim0

f(t0+) =f(t0) (2.22)

biciminde gosterilir. (2.22) tersten okunursa =|t t0| > 0 esitsizligini saglayanher t degeri icin =f(t) f(t0) > 0 sonucunun elde edilebilecegi anlam ckar.Bir fonksiyonun t0 noktasnda limitinin varlg onun yerel ozelligini yanstr. Bu



17/58

TASL

AK


durumda f(t)ye, t = t0 noktasnda surekli vektor fonksiyon denir. Tek degiskenlibir fonksiyon icin egri grafiginin el kaldrmadan cizilebilmesi onun surekli olmasnnbir sonucudur.

Surekli bir vektor fonksiyon icin bilesenlerinin de surekli olmas gerek ve yeterlidir:

limtt0

f(t) = limtt0

x(t)e1+ limtt0

y(t)e2+ limtt0

z(t)e3 (2.23)

Surekli fonksiyonlarn toplam, carpm, skaler ve vektorel carpmlar da sureklidir.

Ornek 2.5

f(t) =a + bt + ct2 vektor fonksiyonunda a, b, c sabit vektorler olsun. t0 noktasnda limit,

limtt0

f(t) = limtt0

(a + bt + ct2) =a + bt0+ ct20 = f(t0)

sonucunu verdiginden tnin tum degerleri icin f(t) sureklidir.

Ornek 2.6

Asagdaki vektor fonksiyonun tnin tum degerleri icin surekli olup olmadgn inceleyelim.

f(t) =

t = 1 icin t2 1t 1 e1+ t

3e2

t= 1 icin 2e1+ e2

t0= 1 icin,limtt0

f(t) = limtt0

t2 1t 1 e1+ t

3e2

=

t20 1t0 1 e1+ t

30e2= f(t0)

t0= 1 icin,

limt1

f(t) = limt1

t2 1t 1 e1+ t

3e2

= lim

t1((t+ 1)e1+ t

3e2) = 2e1+ e2 = f(1)

olur. Buna gore f(t), tum t degerleri icin sureklidir.

2.2.1 Vektor fonksiyonun turevi

Turev, herhangi bir fonksiyonun belirli bir noktadaki egimini veren denklemdir.Vektor fonksiyon acsndanf(t)nint0noktasndaki turevit0vet0 +tdeki degerleri,

t= t0 icin f(t0)

t= t0+ t icin f(t0+ t)

yardmyla incelenebilir. Burada t,tdeki cok kucuk bir degisimi ifade etmektedir.Girdiler ve cktlar arasndaki farklarn oran,

f(t0+ t) f(t0)t t0 =

f(t)t



18/58

TASL

AK

Vektor Fonksiyonlar 15

olusturulsun. t t0 veya t 0 icin bu orann limiti,

limtt0

f(t) f(t0)t t0

= limt0

f(t)

t

(2.24)

varsa, bulunan limit degerine f(t)nin t= t0 noktasndaki turevi denir ve

f(t0) =

df(t)

dt

t=t0

(2.25)

ile gosterilir. Turevlenebilirlik, fonksiyonunt0da surekli oldugunun gostergesidir. t,t0a yaklastkca f(t) f(t0) vektoru t0 noktasnda uzay egrisinin tegetine donusur(Sekil2.6).

Vektor fonksiyonun bir noktadaki turevi,

f(t0) =

dxdt

,dydt

,dzdt

(2.26)

bilesenlerinin turevi ile tanmldr. (2.26) yeniden turevlenebilir bir vektorfonksiyondur. Ikinci mertebeden turev,

f(t0) =

d2x

dt2,

d2y

dt2,

d2z

dt2

(2.27)

olmak uzere, daha yuksek mertebeli turevler benzer bicimde ifade edilebilir.

x= t

y = t3

f(t0)

f(t)

f(

t)

f(

t0

)

t

f(t0)

t0

Sekil 2.6: Turevin geometrik yorumu

f(t), g(t) veh(t) belirli bir aralkta tanml fonksiyonlar olsun. Bu fonksiyonlar icinasagdaki turev kurallar gecerlidir:

d

dt(f+ g) =

df

dt+

dg

dt (2.28)

d

dt(hf) =h

df

dt+ f

dh

dt (2.29)

d

dt(f g) =g df

dt+ f

dg

dt (2.30)

ddt

(f g) =g dfdt

+ fdgdt

(2.31)



19/58

TASL

AK


Skaler degerli fonksiyonlarda oldugu gibi, belirli bir aralkta sabit vektor degerlifonksiyonun turevi soz konusu aralgn her noktasnda sfra esittir. Dolaysyla,ornegin ebirim vektorun turevi kendisine diktir:

ede

dt = 0 (2.32)

Bilesik bir vektor fonksiyonun turevi zincir kural yardmyla alnabilir:

df(t)

d =

df(t)

dt

dt()

d (2.33)

Ornek 2.7

< t < + aralgnda tanml,f(t) = t2e1+ ate2

g(t) =a cos te1+ b sin te2

vektor fonksiyonlarnn skaler carpmlarnn turevi,

d

dt(f(t) g(t)) =f(t)g(t) + f(t)g(t)

= (2te1+ ae2) (a cos te1+ b sin te2) + (t2e1+ ate2) (a sin te1+ b cos te2)=at cos t(2 + b) + a sin t(b t2)

Vektor fonksiyon ve turevinin uygulamadaki onemi, ozellikle hareket eden nesnelerinincelenmesi srasnda karsmza ckar. Ornegin bir uydunun yerkure etrafndakizamana bagl yorunge hareketi r(t) yer vektoruyle; hareketin yonu ve hz bu yervektorunun turevi dr/dt ile gosterilebilir. r(t) uydunun mutlak konumu oldugunagore r(t + t) r(t) uydunun t birim zamannda diferansiyel yer degistirmevektorudur. Soz konusu vektor t birim zamanna bolunurse uydunun yonunuve ortalama hzn gosteren vektor elde edilir. t anndaki anlk hz vektorunubulmak icin, (2.24)e uygun bicimde, birim zaman aralg sfra goturulerek limithesaplanmaldr.

2.2.2 Taylor acnm ve analitik fonksiyon

[a, b] aralgndam. mertebeye kadar surekli turevleri alnabilen vektor fonksiyonlarasoz konusu aralkta gecerli Cm snf vektor fonksiyon denir. Turev vektorbilesenlerini de kapsadgndan, tanm skaler degerli fonksiyonlar icin de gecerlidir.Tum mertebelerden turevlenebilen fonksiyonlar ise C snf ile gosterilir.

t0 baslangc noktasna gore Cm snfna ait f(t) vektor fonksiyonu Taylor serisine,

f(t) =f(t0)+f(t0)

1 (tt0)+ f

(t0)2

(tt0)2 + + f(m)(t0)

m! (tt0)m+Rm(t, t0) (2.34)



20/58

TASL

AK

Alstrmalar 17

aclabilir. Burada Rm(t, t0),

t t0 Rm(t, t0)

(t t0)m 0 (2.35)ozelligine sahip kalan anlamndadr.

C snfna ait f(t) fonksiyonunun her m ve [a, b] aralgndaki tum t vet0 degerleriicin Taylor acnm (2.34) ile gosterilir. Burada, kalan lim

mRm(t, t0) = 0 esitligini

saglyorsa soz konusu fonksiyon kuvvet serileriyle,

f(t) =n=0

an(t t0)n =n=0

f(n)(t0)

n! (t t0)n (2.36)

ifade edilebilir. Bu durumda t [a, b] aralg icin f(t) analitik fonksiyondur.Analitik fonksiyon, bir fonksiyonun yaknsak kuvvet serileri cinsinden yerel anlamdaifadesidir. Polinom (gercek ya da karmask), oransal, trigonometik, logaritmik veustel fonksiyonlar surekli olduklar her hangi bir aralkta analitiktirler. C snfnaait her fonksiyonun analitik olmas gerekmez.

2.3 Alstrmalar

Alstrma 2.1 a = (2, 1, 3) ve b = (1, 1, 2) vekorlerinin olusturdugu duzleme dikbirim vektoru belirleyiniz.

Cozum: a b a, b oldugundan,

a b= det e1 e2 e3a1 a2 a3

b1 b2 b3

= det

e1 e2 e32 1 3

1 1 2

= det

1 31 2

e1 det

2 31 2

e2+ det

2 11 1

e3

= (

2 + 3)e1

(

4

3)e2+ (2 + 1)e3

=e1+ 7e2+ 3e3

a b =

12 + 72 + 32 =

59

Birim vektor: a ba b =

159

(e1+ 7e2+ 3e3)

Alstrma 2.2 f= sin te2 + ete3ve g = 2e1 + (t2 + 1)e2 + 5e3 vektorleri tanml oldugunagore;



21/58

TASL

AK


ddt[f g] =? ddt[f g] =?

Cozum: (2.30) ve (2.31)e gore;

d

dt(f g) =g df

dt + f

dg

dtd

dt(f g) =g df

dt+ f dg

dt

esitlikleri gecerlidir. Turevler olusturulur,

f= sin te2+ ete3 g= 2e1+ (t

2 + 1)e2+ 5e3

f = cos te2+ ete3 g

= 2te2

ve yukardaki esitliklerde yerine yazlrsa,

d

dt[f g] = 2e1+ (t2 + 1)e2+ 5e3 cos te2+ ete3 + sin te2+ ete3 (2te2)

= (t2 + 1) cos t + 5et + 2t sin t

d

dt[f g] = det

e1 e2 e30 cos t et

2 (t2 + 1) 5

+ det

e1 e2 e30 2t 0

0 sin t et

= (5cost

(t

2 + 1

2t)e

t)e1

+ 2e

te2

2coste

3

sonuclar elde edilir.

Alstrma 2.3 f(t) = sin te1+ (t2 + 1)e2 vektor fonksiyonunu t0 =/2 icin 3. dereceye

kadar Taylor serisine acnz.

Alstrma 2.4 a= 5e1+ 4e2 ve b= e1+ 3e2 vektorleriverilsin. Yandaki sekle gore;

B noktasndaki ic acy ABC ucgeninin alann

belirleyiniz. A

C

B

ab

Alstrma 2.5 A =2i 3j , B = i+ 2j+ 3k , C =i+ 2k verildigine goreasagdaki vektor islemlerini sonuclandrnz:

||A 2B + C|| =?

A ve Cvektorleri arasndaki ac

A, B veC vektorlerinin skaler uclu carpm



22/58

TASL

AK

Alstrmalar 19

Alstrma 2.6 p0 = (1, 2, 2) noktasndan gecen ve t = 3i j + 5k vektoruneparalel dogrunun denklemini olusturunuz. (10, 1, 16) noktasnn bu dogru uzerinde olupolmadgn belirleyiniz.

Alstrma 2.7 a= e1 2e2+ 3e3, b= 2e1 e2 e3 vec= e2+ e3 vektorleri verilsin.Asagdaki vektor islemlerini sonuclandrnz.

1. a b=?2. a b c= [abc] =?

Alstrma 2.8 f(t) = cos te1+ (t2 + 2t+ 1)e2 vektor fonksiyonunu t = 0 icin ilk dort

terime kadar Taylor serisine acnz.

Alstrma 2.9 c= c uzunlugunu veren kosinus teoremibagntsn a, b ve elemanlarn kullanarak vetorlerin

skaler carpm kuralndan elde ediniz.

B

A

C

ba

c

Alstrma 2.10 a = (1, 2, 3) ve b = (2, 3, 4) vektorleriyle tanmlanan paralelkenarn

alann hesaplaynz.

Alstrma 2.11 Yandaki sekilde a = OA, b =OB, c= OC esilikleri gecerli olduguna gore, OD, DF , CF

vektorlerini a, bve c cinsinden bulunuz.

c

O

A

C

B

D

EG

F

a

b



23/58

TASL

AK




24/58

TASL

AK

Bolum 3

GENEL EGRI TEORISI

En sade bicimiyle matematikte egri kavram, tek boyutlu ve sureklibir geometriknesneyi ifade etmek icin kullanlr. Kavram ayn zamanda matematiksel birfonksiyonun grafigiyle es anlaml kullanlr. Verilen tanm dogruyu, kareyi, coklu

dogrular vb. geometrik nesneleri icine alsa da, bunlar egrilerin ozel durumlar olupdiferansiyel geometrinin konular arasnda yer almazlar; baska bir deyisle duzenliparametrik egri degillerdir.

Bu bolumde Oklit uzayndaki egrilerin diferansiyel geometrisi hakknda bilgiedinmek icin 1. bolumde anlatlan konulardan yararlanacagz. Konulara iliskinornekler iki ya da uc boyutlu uzay icin verilse denboyutlu uzaya genellestirilebilirler.

3.1 Egrinin Parametrik Gosterimi

Duzlemde, y = sin x ack fonksiyonu sinus egrisini, x2

a2 + y

2

b2 = 1 kapal fonksiyonu

yareksen uzunluklar a ve b olan bir elipsi, r kutupsal koordinat eleman olmakuzere r = sabit egrisi r yarcapl bir daireyi tanmlar (bak. Sekil 3.1). Bu ucfarkl matematiksel ifade duzlem analitik geometride bir egri icin kullanlan yaygngosterim bicimleridir. Ote yandan, ayn egrilerx,y vernin bagml oldugu bir baskadegisken ya da degiskenler ile de tanmlanabilir. Asagda kinematik esaslardan yolackarak egrilerin parametrik denklemlerle gosterimi ele alnmaktadr.

Oklit uzaynda bir egriyi hareketli bir noktann izledigi yol olarak dusunebiliriz.Noktann E3deki koordinatlar (x , y, z ) kapal bir [a, b] aralgndaki t degiskenine


25/58

TASL

AK

22 GENEL EGRI TEOR IS I

1

190 18090180 x

y

y= sin x

x

y

ab

x2

a2 + y

2

b2 = 1

x

y

r

r= sabit

Sekil 3.1: Analitik geometride egrinin degisik gosterim bicimleri

bagl uc surekli fonksiyonla ifade edilebilir:

x= x(t) , y= y(t) , z=z(t) ; a t b (3.1)

t degiskenine egrinin parametresi denir. Bu egri aslnda (2.19) ile gosterilen f(t)vektor fonksiyonunun tanmladg noktalar kumesidir. f(t) fonksiyonunun kendisineya da x(t), y(t), z(t) fonksiyon uclusune egrinin parametrik gosterimidenir.

Duzenli parametrik egri, t [a, b] aralgnda,

birinci turevi mevcut (C1 snf) ve

sfrdan farkl (f(t) = 0)

bir vektor fonksiyonu f(t) veya onun goruntu kumesidir. Fonksiyonun turevininbulunmadg veya sfr vektorune esit oldugu noktalar, tekil (singuler) noktalarolarak adlandrlr. Sekil 3.2, Neil parabolu ad verilen egrinin t = 0 i cin duzenliolmadgn gostermektedir. t= 0 dsndaki noktalarda, f(t)= 0 durumu egrininkrlmadgn, yumusak bir gorunume sahip oldugunu ve yerel anlamda bir dogruile egrinin diger noktalarna yaklaslabilecegini bize soyler. Matematiksel jeodezininkonusunu bu tur egriler olusturur. Dolaysyla, buradaki ilgi alanmz tekil nokta

icermeyen egriler ile snrldr.[a, b] aralgnda duzenli bir parametrik egri,f(t1) =f(t2) esitligini gecerli klan birdenfazla noktaya (t1=t2) sahip olabilir. Fonksiyon degerlerinin esitligi, ilgili noktalardafonksiyonun ayn yerel ozelliklere sahip oldugu anlamna gelmez: f(t1) =f(t2).

3.2 Egrinin Yay Uzunlugu

Bir egriye iliskin soylenebilecek onemli geometrik bilgilerin basnda, egrinin belirli

bir aralktaki uzunlugu gelir. t [a, b] aralgnda, f(t) fonksiyonunun izi,Cegrisininyay uzunlugu belirlenmek istensin. Egriyi, a = t0 t1 t2 tn1



26/58

TASL

AK

Egrinin Yay Uzunlugu 23

x= t2

y=t3

Sekil 3.2: Neil parabolunde tekil nokta (t= 0)

tn=b noktalar yardmyla yeterince kucuk parcalara ayrdgmz dusunelim (Sekil3.3). Bu noktalar ardsk olarak birbirine baglayan dogru parcalarnn (kiris) toplamuzunlugu,

ni=1

f(ti) f(ti1) (3.2)

Cnin gercek yay uzunluguna yaklask bir sonuc verir. Istenildigi kadar ksa yada uzun secilebilen kiris uzunluklarnn olusturdugu poligon geckilerinin Suzunlukdegerleri kumesindeki olas en buyuk say (supremum1), gercek yay uzunluguna esitolur. Yay uzunlugu, [a, b] aralgndaki diferansiyel kiris uzunluklar toplam,

s(t) =

ba

f(t)dt (3.3)

veya daha ack bicimde,

s(t) = b

adx

dt

2

+ dydt

2

+ dzdt

2

dt (3.4)

ile gosterilir.

Ornek 3.1

Vektor fonksiyonu,f(t) = [et cos t, et sin t]

olarak verilen Logaritmik spiral egrisinin uzunlugunu veren bagnty bulalm.

f(t) = [et cos t et sin t, et sin t + et cos t] = (et(cos t sin t), et(sin t + cos t)]1Bir gercek say kumesinin alabilecegi en kucuk ust snr anlamndadr. Ornegin, sup {1, 2, 3} =

3.



27/58

TASL

AK


Sekil 3.3: Kiris elemanlar yardmyla yay uzunlugunun belirlenmesi

C

t0

ts

Sekil 3.4: Parametre olarak yay uzunlugu

ve normu,

f(t) =et

(cos t sin t)2 + (sin t + cos t)2=et

2

sonucunu verir. Bu durumda, egrinin yay uzunlugunu veren bagnt icin,

s(t) =

t0

et

2dt=

2ett

0=

2(et 1)

bulunur.

Yay uzunlugu hesabnda, (3.3) integral sonucu her zaman kapal bir esitlik vermez.Cember, parabol, zincir egrisi (catenary), cevrim egrisi (cycloid) ve yukardakiornekten anlasldg gibi logaritmik spiral kapal esitlikleri var olan baz egriturleridir. Yay uzunlugunun bulunmas icin saysal integrasyonu zorunlu klan en

onemli egrilerin basnda elips gelir.

f(t) = [x(t), y(t), z(t)] duzenli bir C egrisinin vektor fonksiyonu olsun. C egrisiuzerinde keyfi bir t0 baslangc noktas ve bu baslangca gore keyfi bir yonu pozitifsecelim (Sekil 3.4). t > t0 olacak sekilde egri uzerinde belirlenen herhangi birnoktann baslangca uzaklg, baska bir deyisle yay parcas uzunlugu (s > 0), buegrinin parametresi olarak t yerine kullanlabilir. t < t0 ise bu durumda yayuzunlugu eksi isaretli (s


28/58

TASL

AK

Teget Birim Vekt or ve Normal Duzlem 25

esitligi ilgili aralkta parametre degisikliginin yaplabilecegini gosterir. (3.3) ile eldeedileceks = s(t)yeyay parametresiveyadogal parametredenir. Dogal parametreyegore vektor fonksiyonun dogal gosterimi,

f(t(s)) =x(t(s))e1+y(t(s))e2+z(t(s))e3 (3.6)

olur. Bu durumda (3.6)nn normu,dfds =

dfdt dtds

=dfdt

/dsdt

=dfdt

/dfdt

= 1 (3.7)sonucunu verir. Ayn sonuca, dogal parametreye gore teget vektorun bilesenleriyardmyla da,

dfds = dxds2

+dy

ds2

+ds

ds2

=dx2 +dy2 +dz2

ds2 = 1 (3.8)

ulaslabilir.

Ornek 3.2

Ornek3.1deki logaritmik spiralin [0, t] aralgndaki yay uzunlugu,

s(t) =

t0

et

2dt=

2ett

0=

2(et 1)

olarak bulunmustu. Dogal parametreye dayal gosterim icin yay uzunlugu denklemindet,

sye bagl olarak yazlrsa,

et = s

2+ 1 t= ln(s/

2 + 1)

ckar. Buna gore dogal parametrik gosterim,

f(s) = (s/

2 + 1) cos ln(s/

2 + 1)e1+ (s/

2 + 1) sin ln(s/

2 + 1)e2

olur.

Jeodezik uygulamalarda, dogal parametrenin onemi temel odev cozumlerinde ortayackar. Elipsoit yuzeyinde iki noktadan gecen yuzey egrisi analitik bir fonksiyondur.Bu egri uzerinde bir baslangc noktasna gore ikinci bir nokta, aralarndaki yayparcas uzunluguna (sye) gore yaknsak Taylor serileriyle tanmlanabilir:

f(s0+ s) = f(s0) +f(s0)

1! s+

f(s0)

2! s2 +

f(s0)

3! s3 + (3.9)

3.3 Teget Birim Vektor ve Normal Duzlem

Bir uzay egrisinin herhangi bir noktadaki turevi, egrinin o noktadaki tegetini verir.

Parametrik olarak f(t) vektor fonksiyonuyla gosterilen bir egrinin turevi ise dahaonce (2.25) ile verilmisti. Burada, f(t) en az C1 snfnda duzenli bir egri olmaldr.



29/58

TASL

AK


t= t0 noktasnda teget vektor ile ayn yonlu birim vektor,

t(t0) =

f(t0)

f(t0) (3.10)

ile bulunur. f(t) zamanna bagl olarak hareketli bir kitlenin konumunu temsil ettigivarsaylrsa, turevin normuf(t0), bu cismin t= t0 anndaki hzdr. Eger vektorfonksiyon dogal parametre, bir baska deyisle egrinin uzunlugu (s) cinsinden ifadeedilmisse birim vektor daha basit bir gorunum alr:

t(s) = f(s) (3.11)

Matematiksel gosterimde, herhangi bir parametre ile dogal parametreye gore alnanturevleri birbirinden ayrt etmek icin, turev isereti icin srasyla us,

f =df(t)

dt , f =

d2f(t)

dt2 vb.

ve uzeri nokta,

f=df(s)

ds , f=

d2f(s)

ds2 vb.

kullanlr. Aksi belirtilmedikce, sonraki bolumlerde bu kurala uyulacaktr.

Ornek 3.3

f(t) =a cos te1+ a sin te2+ bte3 vektor fonksiyonunun birim teget vektorunu, t ve dogalparametre s icin bulalm.

Oncelikle turev yardmyla f(t)nin teget vektorunu elde edelim:

f(t) = a sin te1+ a cos te2+ be3Teget vektorun normu,

f(t) =

a2 cos2 t + a2 sin2 t + b2 =

a2 + b2

olur. Buna gore teget birim vektor icin,

t= f(t)f(t) = (a

2 + b2)1/2 [a sin te1+ a cos te2+ be3]

sonucu ckar.

Ayn sonuc dogal parametre s icin de bulunabilir. Bunun icin oncelikle f(t) dogalparametre cinsinden gosterilmelidir. (3.3)e gore t = 0 ve t = t aralgnda kalan egriuzunlugu,

s=

t0

a2 + b2dt= t

a2 + b2

sonucunu verir. Buradan t cekilir,

t= sa2 + b2



30/58

TASL

AK

Teget Birim Vekt or ve Normal Duzlem 27

vef(t)de yerine yazlrsa, dogal parametreye gore vektor fonksiyon,

f(s) =a cos sa2 + b2 e1+ a sin s

a2 + b2 e2+ b s

a2 + b2e3

biciminde gosterilir. sye gore turev,

t= f(s) = aa2 + b2

sin

sa2 + b2

e1+

aa2 + b2

cos

sa2 + b2

e2+

ba2 + b2

e3

= 1a2 + b2

a sin

sa2 + b2

e1+ a cos

sa2 + b2

e2+ be3

= (a2 + b2)1/2 [a sin te1+ a cos te2+ be3]

dogrudan dogruya teget birim vektore karslk gelir.

Duzenli bir C egrisi uzerinde t0 ile belirli f0 = [x(t0), y(t0), z(t0)] baslangcnoktasndan gecen teget vektore paralel vektor,

f=f0+kt0 , k R (3.12)ile tanmldr. Burada f, teget vektor uzerindeki bir noktann konum vektoru; k,bu nokta ile baslangc noktas arasnda kalan ve teget vektor boyunca olculen dogruparcas uzunlugudur. f0daki teget dogrunun skaler parametrik denklemleri,

x= x0+kx(t0) , y=y0+ky

(t0) , z=z0+kz(t0) (3.13)

olduguna gore teget dogru denklemi,x x0x(t0)

=y y0

y(t0) =

z z0z(t0)

(3.14)

esitligi ile gosterilir.

Teget vektore f0 noktasnda her yonde dik vektorlerin olusturmus oldugu duzlemenormal duzlemad verilir. Soz konusu duzlem vektorel olarak,

(f f0)t0= 0 (3.15)

esitligi ile ifade edilirken, skaler buyuklukler cinsinden karslg,

(x x0)x(t0) + (y y0)y(t0) + (z z0)z(t0) = 0 (3.16)olur.

Ornek 3.4

f(t) = 3t3e1+ 2t2e2+te3 egrisine t= 1deki tegetin denklemini ve bu noktadaki normal

duzlemi bulalm.

Vektor fonksiyonun skaler bilesenleri x(t) = 3t2, y(t) = 2t2 ve z(t) = t olduguna gore

turevleri,x(t) = 9t2 , y(t) = 4t , z(t) = 1



31/58

TASL

AK


dir. f(t)nin bilesenleri ve turevlerinin t = 1deki degerleri,

x(1) = 3 y(1) = 2 z(1) = 1

x(1) = 9 y(1) = 4 z(1) = 1

sonucunu verdiginden, soz konusu noktadaki teget dogrunun denklemi (3.14)e gore,

x 39

=y 2

4 =

z 11

ve normal duzlemin denklemi (3.16)ya gore,

9(x 3) + 4(y 2) + z 1 = 0esitligi olarak elde edilir.

3.4 Egrilik

Verilen bir uzay egrisi uzerinde birbirine sonsuz anlamda yaknt1vet2noktalarndangecen teget dogrular arasndaki sapma acsnnt1t2 yay uzunluguna oran,

lims0

s=

d

ds= (3.17)

egri parcasnn ortalama egriligidir. Sekil 3.5den de anlaslacag gibi egrilik, egrinin

teget dogrudan (veya duzlemden) ne kadar uzaklastgnn bir olcutudur. Bu anlamdaegrilik degeri kuculdukce uzay egrisi dogruya yaklasr, buyudukce daha kapal birgorunume sahip olur. Sekil 3.6uzay egrisinin Pnoktasndaki egriligini tanmlayan

t1

t2

f(t1) f(t2)

s

Sekil 3.5: Egriligin geometrik yorumu

teget dogruyu ve ona dik dogrultudaki egrilik vektorunu gostermektedir. Egrilikvektoru k ayn noktada bu dogruya teget cemberin yarcap vektoruyle ayn yonuisaret eder. Egrilik cemberi teget ve egrilik vektorlerinden gecen oskulator duzlemiuzerinde yer aldgndan oskulator cemberiolarak da adlandrlr.

Egrilik vektoru, birim teget vektorun s dogal parametre veya herhangi bir tdegiskenine gore turevi,

k= t(s) = dtds

= dtdt

dtds

= dtdt

/ dsdt

= dtdt

/df(t)dt

(3.18)JFMde Diferansiyel Geometri s.2013.09.25


32/58

TASL

AK

Egrilik 29

Sekil 3.6: Egrilik vektoru ve oskulator cemberi

yardmyla bulunur. k, uzay egrisini ifade eden vektor fonksiyonun iki kez turevialnarak elde edileceginden egrinin ait oldugu snf en az iki olmaldr. tnin birimvektor oldugu goz onune alndgnda, (2.32)ye gore bu birim vektor (3.18) ilebulunan vektore diktir. Bu nedenle, k ayn zamanda Pnoktasndan gecen normalduzlemin icinde yer alr.

Egrilik vektorunun yonuCuzay egrisininPnoktasnda hangi yone dogru ilerlediginigosterir. Yon, egrinin bu noktada konkav oldugu taraftadr. Egrilik vektorununbuyuklugu,

= k (3.19)ayn noktadaki egrilik degerini verir. Soz konusu noktada uzay egrisiyle ayn egrilikdegerine sahip cemberin yarcap, bir baska deyisle egrilik yarcap,

= 1

=

1

k (3.20)

esitligi ile hesaplanr.

Keyfi bir t parametresi ile gosterilen f=f(t) vektor fonksiyonunun egriligi,

=f f

f3 (3.21)

bagnts ile egrilik vektoru belirlenmeksizin dogrudan elde edilebilir.

Teorem 3.1 Egriligi her noktasnda sfra esit ckan uzay egrisi bir dogrudur.

Ornek 3.5



33/58

TASL

AK


Duzlem cember icin vektor fonksiyon f() =r cos e1+r sin e2 olduguna gore egrilik veegrilik yarcapn belirleyelim.

Cember icin teget vektor ve normu,

f() = r sin e1+ r cos e2 ,df()d

= f() =rdir. Buradan birim teget vektor,

t= f()f() = sin e1+ cos e2

olarak elde edilir. (3.18) esitligi yardmyla egrilik vektoru,

k= t=

dt

d /df()d = 1r (cos e1+ sin e2)

ckar. Sonuc olarak srasyla egrilik ve egrilik yarcap icin,

= k = 1r

, = 1

=r

bulunur.

Ornek 3.6

Duzlemde, f(t) = te1

+ t2e2

vektor fonksiyonu ile verilen parabolun egriligini ve egrilikyarcapn bulalm.

Parabole iliskin vektor fonksiyonun birinci ve ikinci turevleri,

f(t) =e1+ 2te2 , f(t) = 2e2

olduguna gore bunlarn vektorel carpmlar ve normu,

f f= dete1 e2 e31 2t 0

0 2 0

= 2e3 f f = 2

sonucunu verir. Ote yandan birinci turevin normu icin,

f= e1+ 2te2 f =

1 + 4t2

bulunacagndan (3.21)e gore egrilik,

=f f

f3 = 2

(1 + 4t2)3/2

ve egrilik yarcap,

= 1

=

1

2(1 + 4t2)3/2

ckar.



34/58

TASL

AK

Asal Normal Birim Vektor ve Oskulator Duzlemi 31

3.5 Asal Normal Birim Vektor ve Oskulator

Duzlemi

Normal vektor, bir yuzey veya egriye dik yonundeki vektor olarak alglanr. Egrilerindiferansiyel geometrisinde, egrilik vektoru k ile ayn gosterir. Bu nedenle, zamanzaman egrilik vektoruyle ozdes kabul edilir. k = 0 olmadg surece, egrilik vektoruasal normal birim veya ksaca normal vektor,

n= k

k =t

(3.22)

haline getirilebilir. Daha once soz edildigi gibi, egrilik vektoru egrinin konkavoldugu yone baktgndan, egri boyunca ilerleyen bir cismin hangi tarafa yoneldigi

normal vektorun yonu yardmyla kolayca anlaslabilir. Soldan saga veya sagdan soladonuslerde normal vektor ters yonleri gosterir. Yonun degismesine dogru, egrilikvektorlerinin boyu giderek ksalr ve oyle bir noktada egrilik degeri sfra ulasr.Bu noktada egrilik ve normal vektor tanml olmaz (bkz. Sekil3.7).

t3

t

Egrilik vektoru k

t3

t

Normal vektor n= k/||k||

Sekil 3.7: f(t) = [t, t3] uzay egrisi boyunca egrilik vektoru ve asal normal birim

vektor

Uzay egrisi uzerinde f(t0) = [x0, y0, z0] noktasndan gecen normal vektore paraleldogrunun vektorel denklemi,

f=f0+kn (3.23)

esitligi ile ifade edilir. Buradak Rteget dogrunun denkleminde oldugu gibi skalerbir saydr.

Normal ve teget vektorlerin olusturmus oldugu duzleme oskulator (dokunum)duzlemidenir. Uzay egrisi uzerinde bir t0 noktas ile birlikte buna sonsuz anlamda

yakn iki komsu noktadan gecen duzlemin limit durumunu ifade eder. Oskulatorduzlemi, t ve n vektorlerinden gectigine gore, bunlarn vektorel carpmlar ile



35/58

TASL

AK


olusan vektore dik olmaldr. Iki vektor ve bunlarn vektorel carpmyla elde edilenucuncu vektor dogrusal bagml olacagndan, karsk uclu carpmlar sfra esittir.Bu durumda, f(t0) noktasnda oskulator duzleminin denklemi, (2.17)den

(f f0) (t n) = [(f f0)tn] = detx x0 y y0 z z0x0 y0 z0

x0 y0 z

0

= 0 (3.24)

soz konusu uc vektorun uclu skaler carpm seklinde yazlabilir. foskulator duzlemiuzerinde herhangi bir noktann konumunu (x,y,z) gosterir.

3.6 Hareketli Uclu Vektor Sistemi

Uc boyutlu Oklit uzaynda surekli, diferansiyellenebilir bir egri (snf 2) boyuncailerleyen bir cismin yerel davranslar, baslangc egri uzerinde bulunan hareketli biruclu vektor sistemiyle incelenebilir. Yerel koordinat sistemi egrinin egrilik, donme,burulma vb. ozelliklerini global koordinat sistemine (x,y,z) gore cok daha kolayacklar. Cismin hareketine bagl olarak baslangc surekli hareket eden bu sistemineksen yonelimleri de noktadan noktaya degisir (Sekil3.8).

x

y

z

n

t

b

Sekil 3.8: Hareketli uclu vektor sistemi

Belirli bir noktada, cismin hareket dogrultusunu gosterentteget birim vektor Bolum3.3de, cismin hangi yone dondugunu gosteren n asal normal birim vektor Bolum3.5de acklanmst. t ve n yukarda soz edilen hareketli uclu vektor sistemin ikibilesenine karslk gelir. Ucuncu vektor, bunlarn vektorel carpmlarna,

b= t n (3.25)

esittir. t ve n ile birlikte egri uzerinde bir sag el koordinat sisteminin olusmasnsaglayan bye binormal birim vektor ad verilir. t, n ve b Frenet uclusu olarak da



36/58

TASL

AK

Hareketli Uclu Vektor Sistemi 33

Cizelge 3.1: Frenet vektorlerinin olusturdugu duzlemler ve denklemleri

Ad Vektor cifti Vektorel denklemiOskulator duzlemi tven (f f0) b= 0Teget duzlem tveb (f f0) n= 0Normal duzlem nve b (f f0) t= 0

bilinen hareketli ortonormal,

t t= n n= b b= 1t n= t b = n b= 0 (3.26)

vektor sistemini meydana getirir. Egriligin olmadg (k= 0) noktada Frenet uclusutanml degildir.

Uzay egrisi uzerindeki konumu s ile gosterilen bir noktadaki Frenet uclusununeksenleri karst yon icin (s) farkl bir gorunum alr. Cismin hareketi aksi yondengerceklesecegi icintnin ayn noktadaki yonu de ters olur. Buna karsn normal vektornnin yonu degismez. Ancak, teget vektore bagl olarak binormal vektor b de aksiyone bakar.

t n

b

NormalDuzlemTeg

et

Duzlem

Osk ulator

Duzlem

i

Sekil 3.9: Frenet uclusu ile tanml dogrular ve duzlemler

Frenet vektor ciftleri Frenet ucyuzlusu ad verilen duzlemleri belirler. Sekil 3.9dagorulen teget, normal ve binormal dogrular bu duzlemlerin arakesitidir. Cizelge3.1her bir duzlemi belirleyen vektor ciftini ve onun duzlem denklemini (vektorel)vermektedir.

Ornek 3.7



37/58

TASL

AK


f(t) = a cos te1+a sin te2+bte3 (a >0 veb= 0) helis egrisinin Frenet vektor uclusunuolusturalm.

Teget birim vektor,

t= (a2 + b2)1/2(a sin te1+ a cos te2+ be3)

ornek3.3de bulunmustu. kegrilik vektoru,

k=dt

dt/

dfdt = 1a2 + b2 (a cos te1 a sin te2) 1a2 + b2 = aa2 + b2 (cos te1+ sin te2)

ve buradan birim normal vektor,

n= k

k

= (cos te1+ sin te2)

ckar. Binormal vektor tve nnin vektorel carpmna esittir:

b= t n= det e1 e2 e3a sin t

a2+b2a cos ta2+b2

ba2+b2

cos t sin t 0

= (a2 + b2)1/2(b sin te1 b cos te2+ ae3)

3.7 Burulma ve Frenet-Serret Denklemleri

Burulmayay uzunluguna gore bbirim vektorun donme hznn bir olcusudur:

b=db

ds = n (3.27)

Binormalin donus hzna, egrinin belirli bir noktadaki burulmas veya torsiyonu denirve ile gosterilir. Burulma, oskulator duzleminin donus hzn, veya baska birdeyisle, egrinin oskulator duzleminden uzaklasmasn ifade ettiginden zaman zaman2. egrilik olarak da adlandrlr.

(3.27)nin nasl elde edildigi, Frenet uclusunun (3.26) ile verilen ortonormal ozellikleriyardmyla acklanabilir. Daha once soylendigi gibi, herhangi bir birim vektorunturevi kendisine diktir. Bu nedenle, b binormal birim vektore dik olacaktr. Oteyandan, t b= 0 esitliginin turevi olusturulursa,

t b + t b= 0 (3.28)

ve buradan da,t b= t b= n b= 0 (3.29)

sonucu ckar. (3.29)dan anlaslmaktadr ki, bayn zamanda teget vektore de diktir.

Bu durumda, hem b hem de tye dik olan b, normal vektore (n) paralel olmaldr.Sonuc olarak, binormal vektorun turevi (3.27)ye gore normal birim vektorden belirli



38/58

TASL

AK

Burulma ve Frenet-Serret Denklemleri 35

bir katsay () kadar farkldr. Burada, eksi b ve nnin ters yonlu vektorleroldugunu isaret etmektedir. Burulmay hesaplamak icin (3.27)de esitligin her ikiyann n ile skaler olarak carpmak yeterlidir:

=(s) = b n (3.30)

Uzay egrisinin dogal parametrenin fonksiyonu olarak verilmesi durumunda burulma,f = f(s) vektor fonksiyonunun turevleri cinsinden elde edilebilir. Srasyla birinci,ikinci ve ucuncu turev,

f=t

f=n

...f = dds((s)n) =

n +(t +b)(3.31)

esitliklerinden uclu skaler carpm duzenlenirse,

[f f...f] =

2[t n b]

=2(3.32)

sonucu ckar. (3.32)de cekilir ve 2 icin (3.19) esitligi goz onune alnrsa,

=[f f

...f]

2

= [f f

...f]

k2

= [f f

...f]

f

2(3.33)

bulunur. f vektor fonksiyonu, herhangi bir t parametresine bagl olarak ifadeediliyorsa, benzer bir yol izlenerek ayn sonuca,

= [f f f]

f f2 (3.34)

esitligiyle de ulaslabilir. Her iki esitlik burulmann hesaplanag noktada = 0olmak kosuluyla gecerlidir.

Burulmann tersi, = 1/burulma yarcap olarak adlandrlr. Burulma yarcap

turetilmis bir kavramdr; egrilik cemberi veya yarcap gibi geometrik bir yorumuyoktur.

Teorem 3.2 Egri boyunca= 0 sonucu ckyor ise uzay egrisi bir duzlem egridir.

Ornek 3.8

f(t) = a cos te1+ a sin te2+ bte3 helisinin burulmasn hesaplayalm.

Ornek3.7de elde edilen

b= (a2 + b2)1/2(b sin te1 b cos te2+ ae3)



39/58

TASL

AK


binormal vektorun turevi,dfdt = (a2 + b2)1/2 olmak uzere,

b= db

ds =

db

dt/ df

dt = b

a2 + b2(cos te

1+ sin te

2)

ckar. Soz konusu ornekte normal vektor,

n= (cos te1+ sin te2)

olarak bulunduguna gore, (3.30)dan burulma icin,

= b n= ba2 + b2

(cos te1+ sin te2) (cos te1+ sin te2) = ba2 + b2

sonucu elde edilir.

t, n ve b uc boyutlu vektor uzaynda ortonormal baz vektorleri olusturdugundan,bunlarn turevleri kendilerinin dogrusal kombinasyonlar,

t=dt

ds=n (3.35a)

n=dn

ds=b t (3.35b)

b=db

ds= n (3.35c)

veya tn

b

=

0 0 0

0 0

tn

b

(3.36)

matris biciminde gosterilebilir. Bu esitliklere Frenet-Serret denklemleri denir. (3.35ave c) esitlikleri, zaten daha once srasyla (3.22) ve (3.27) esitlikleriyle bulunmustu.(3.35b) Frenet vektorlerinin ortonormal ozellikleri kullanlarak belirlenebilir (bkz.Goetz,1970, s. 55). Frenet-Serret denklemleri, yerel davranslar (kinematigi) egrilikve burulma ile acklanan hareketli bir cismin, uzayda nasl bir yol izleyeceginin tekanlaml olarak tanmlanabilecegini gosterir. Bu nedenle, = (s) ve = (s)

surekli fonksiyonlarna egrinin dogalveya gercek denklemleridenir.

3.8 Yerel Koordinat Sistemine Gore Egrinin

Bagl Konumu

Burulma ve egrilige geometrik bir baks acs, baslangc noktas s0a egri uzerindes = ss0 kadar uzak ikinci bir nokta i cin vektor fonksiyonun Taylor aclmyardmyla,

f(s) =f(s0) +f(s0)s+12

f(s0)s2 +1

6...f(s0)s

3 + (3.37)



40/58

TASL

AK

Alstrmalar 37

getirilebilir. snin burada dogal parametre oldugunu goz onune alrsaks0da vektorfonksiyonun turevleri,

f(s0) = t0

f(s0) =dt0

ds =0n0

...f(s0) =

d

ds(0n0) = 0n0+0n0 = 20t0+ 0n0+00b0

(3.38)

(3.37)de yerlerine konulur,

f(s) = f(s0) + t0s+1

20n0s

2 +1

6(20t0+ 0n0+00b0)s3 + (3.39)

ves0 = 0 alnrsa,

f(s) =

s 1

620s

3

t0+

1

20s

2 +1

60s

3

n0+

1

600

b0+ o(s

3) (3.40)

esitligi bulunur. Burada f(0) = 0 oldugu varsaylmstr. Son esitlikte o(s3), s3 vedaha yuksek dereceli terimlerin goz ard ediligi anlamndadr. Sonuc olarak t0,n0,b0vektorleriyle ile olusan yerel koordinat sistemine gore egrinin (bagl) koordinatlar,

x(s) =s 16

20s3 +o(s3) (3.41a)

y(s) =1

2

0s2 +

1

6

0s3 +o(s3) (3.41b)

z(s) =1

600s

3 +o(s3) (3.41c)

esitlikleriyle hesaplanr.

3.9 Alstrmalar

Alstrma 3.1 r() = cos3 e1 + sin3 e2 vektor fonksiyonu ile cizilen egrinin [0,

2 ]

aralgndaki yay uzunlugunu hesaplaynz.

Alstrma 3.2 x(t) =

2t, t2, 13 t3

vektor fonksiyonu icin k egrilik vektorunu bulunuz.

Alstrma 3.3 r(t) = (cos t, sin t, t) vektor fonksiyonunun Frenet vektor uclusunu

olusturunuz.

Alstrma 3.4 r(t) = (cos(ln t),

t, sin(ln t)) hareketli bir cismin konum vektoru olsun.Soz konusu vektorun,

v(t) hz ve



41/58

TASL

AK


a(t) ivme vektorlerini ve

belirleyiniz.

Alstrma 3.5 f(t) = 2te1+ 23 t

3/2e2 vektor fonksiyonu ile cizilen egrinin,

duzenli oldugunu gosteriniz. [5, 12] aralgndaki uzunlugunu bulunuz.

Alstrma 3.6 r() =

13

cos + 12

sin , 13

cos , 13

cos 12

sin

vektor fonksiy-

onunu dogal parametre (yay uzunlugu) cinsinden tanmlaynz.

Alstrma 3.7 r(t) =< cos t, sin t, t > vektor fonksiyonu icin t = 4 noktasndaki birim

teget vektoru ve bu noktadan gecen teget dogrunun denklemini bulunuz.

Alstrma 3.8 0 t aralgnda x= et cos te1+ et sin te2+ ete3 vektor fonksiyonu ilecizilen egrinin uzunlugunu bulunuz.

Alstrma 3.9 x(t) =et + et vey(t) = 5 2t parametrik denklemleriyle verilen egrinin[0, 3] aralgndaki uzunlugunu bulunuz.

Alstrma 3.10 r= (tsin t)e1 +(1cos t)e2 +te3vektor fonksiyonun egriligini bulunuz.

Alstrma 3.11 f(t) = (t3 2t2)e1+ t2e2 duzlem egrisinin [0, t] aralgndaki uzunlugunuhesaplaynz.

Alstrma 3.12 r(t) = 3ti+ t2j 4t2k vektor fonksiyonu ile verilen egrinin egriliginihesaplaynz.

Alstrma 3.13 x(t) = (t sin t, t cos t,

83 t

3/2) vektor fonksiyonu ile tanml bir uzay

egrisinin t = 0 ve t = 1 aralgndaki yay parcas uzunlugunu hesaplaynz.

Alstrma 3.14 y(t) = (sin t,t, cos t) vektor fonksiyonu ile tanml bir cisminhznn egri boyunca degismedigini gosteriniz ve ayn egriyi dogal parametre cinsinden

tanmlaynz.

Alstrma 3.15 r(t) = (3t t3, 3t2, 3t+ t3) vektor fonksiyonunun,

Frenet vektor sistemini olusturunuz,



42/58


43/58

TASL

AK


Egrilik degeri icin yukarda belirlenen egrilik vektoru yardmyla,

=

k

=

1

3(1 + t2)34t2 + 1 2t

2 + t4

= 1

3(1 + t2)3(1 + t2) =

1

3(1 + t2)2

veya,

=r r

r3esitliginde,

r = (3 3t2, 6t, 3 + 3t2) r = 3

2(1 + t2)

r= (6t, 6, 6t)

r r= det e1 e2 e33 3t2 6t 3 + 3t2

6t 6 6t

= 18[(t2 1)e1 2te2+ (1 + t2)e3] r r = 18

2(1 + t2)

elde edilir ve yerlerine yazlrsa,

= 18

2(1 + t2)

54

2(1 + t2)3 =

1

3(1 + t2)2

ckar.



44/58

TASL

AK

Bolum 4

UC BOYUTLU OKLIT UZAYINDA YUZEYLER

4.1 Giris

Yuzey, E3 uzaynda sonsuz anlamda kucuk bir kesimi duzlem gibi gorulebilennoktalar kumesidir. Yaplan tanmla, bu bolum altnda ele alnacak yuzeykavramnn sadece yumusak (smooth) yuzeyleri ilgilendirdigi anlaslmaldr. Baskabir deyisle, yuzey uzerindeki herhangi nokta, en yaknndaki diger noktalarlatopolojik iliskiye (komsuluk iliskisine) sahip olmaldr. Anlan gerekcelerle,topolojide yuzey kavram iki boyutlu olarak degerlendirilir. Iki boyut, yuzeyuzerinde bir noktann gosterilebilmesi icin gerekli parametre saysn ifade eder.Kure yuzeyinde acsal buyukluklere karslk gelen enlem [/2, /2] ve boylam[0, 2] bilgisinin fiziksel yeryuzunde belli bir noktay tanmlamas yuzeyin geometrikgosterimine ve onun pratik kullanmna basit bir ornektir.

Diferansiyel geometride metrik tensor elemanlaryla tanml uzunluk, en ksa yol, ac,alan gibi buyukluklerin belirlenmesi bir yuzeye iliskin temel problemlerin en basndayer alr. Bir uzay egrisinin yerel konumu, onun baslangctan diferansiyel sapmasna(yay uzunlugu cinsinden), egrilik ve burulma degerlerine bagl ifade edilebildigionceki bolumde gosterilmisti. Jeodezik uygulamalarda olculen uzunluklar uzayegrileri olmakla birlikte cogunlukla yuzey egrileridir. Bu nedenle bu egrileruzerindeki noktalarn global ya da yerel koordinatlar, egrinin dogal denklemlerikadar yuzey icin secilen parametre sistemine (iki boyutlu) de bagldr. Bu bolumde,

egriler ve yuzeyler arasndaki yakn iliskiden yola cklarak, yuzey parametrelericinsinden egrilerin temel ozelliklerinin belirlenmesi konusu ele alnacaktr.


45/58

TASL

AK

42 UC BOYUTLU OKL IT UZAYINDA YUZEYLER

4.2 Fonksiyonlar ve Yuzeyler

Matematikte iki degiskenli fonksiyonlardan soz edildiginde, genellikle x ve y ilegosterilen iki gercek say ciftine bagl ucuncu bir gercek say anlaslr:

z=f(x, y) (4.1)

D, x, y degiskenlerinin alabilecegi degerler kumesini belirten xy duzleminde kapalbir bolge olsun. (4.1) ileDbolgesindeki her noktaya karslk gelen vexyduzlemindenzkadar uzak bir noktalar kumesi,

S= {x,y,z E3 | (x, y) D} (4.2)

baska bir deyisle E

3

uzaynda S yuzeyi olusur (Sekil 4.1). Yuzey uzerinde ayn zdegerine sahip noktalarn olusturdugu egrilere esyukseklik (seviye ya da nivo) egrileridenir. z = sb. egrileriyle olusturulan esyukseklik haritas E3 uzayndaki yuzeyin,duzleme (xy) indirgenmis bir baska gosterim bicimidir.

x

y

z

z=f(x, y)

D

S

Sekil 4.1: Iki degiskenli fonksiyon, xy duzleminde tanm kumesi ve yuzey gosterimi

Matematikte cogu kez S yuzeyinin gosterimi icin bagml degiskenin ack bicimde

yazlmadg,f(x , y, z ) = 0 (4.3)



46/58

TASL

AK

Fonksiyonlar ve Yuzeyler 43

kapal esitligi tercih edilir.

Ornek 4.1

a,b,c,d sabit saylar olmak uzere duzlem denklemi,

ax + by+ cz+ d= 0

kapal esitligiyle gosterilir. Merkezi koordinat sisteminin merkezi ile caksk elipsoitdeklemi icin,

x2

a2 +

y 2

b2 +

z 2

c2 1 = 0

esitligi yazlabilir. Burada a, b ve c srasyla x,y ,z yonunde elipsoidin boyutlarn

(yareksen uzunluklarn) tanmlar.

Kartezyen koordinatlar cinsinden fnin ksmi turevleri,

f=

f

x,f

y,f

z

(4.4)

gradyent vektorunun bilesenlerini olusturur. (4.4),f= 0 kosulunu saglyorsayuzey bu noktada duzgundur denir. S yuzeyinin duzgun her noktasnda, gradyentvektor ile belirli yuzey normali ve bu normale dik teget (yatay) duzlem vardr.Normalin yonu yuzeyin dsna dogrudur.

4.2.1 Yuzey normali ve teget duzlemin denklemi

f(x,y,z) = 0, E3 uzaynda bir yuzey denklemi, x(t) = [x(t), y(t), z(t)] yuzeyin P0noktasndan gecen egrinin denklemi olsun. Yuzey egrisi boyuncaf(x(t), y(t), z(t)) =0 esitligi saglanacagndan, sabit bir say olarakf fonksiyonuntye bagl turevi (zincirkural yardmyla),

f

x

dx

dt +

f

y

dy

dt+

f

z

dz

dt

0

= 0 (4.5)

sonucunu verir. (4.5), gercektefgradyent ve x(t) teget vektorun ic carpmdr:f

x,f

y,f

z

0

dx

dt,dy

dt,dz

dt

0

= 0 (4.6)

Bu sonuca gore yuzey normali ve yuzey egrisine teget vektor, P0 noktasndabirbirlerine diktir. P0 noktasndan gecen farkl yonlerdeki tum yuzey egrileri icin(4.6) gecerlidir. Egrilerin teget vektorleri bu noktada gradyent (normal) vektore dikdurumdaki yatay duzlem ile caksr. Sekil 4.2P0 baslangc noktasndan gecen tegetvektorlerin olusturdugu teget duzlemi ve ona dik gradyent vektoru gostermektedir.

(4.5) esitligi yardmyla teget duzlem denklemine kolayca gecilebilir:

fx

0

(x x0) +

fy

0

(y y0) +

fz

0

(z z0) = 0 (4.7)



47/58

TASL

AK


Teget duzleme karslk, k Rolmak uzere yuzey normali,

x= x0+kf

x

0 , y= y0+kf

y

0 , z=z0+kf

z

0 (4.8)

biciminde parametrik olarak ya da

x x0fx

0

=y y0

fy

0

=z z0

fz

0

(4.9)

esitligiyle de gosterilebilir.

Ornek 4.2

f(x,y ,z) =x2yz y + z 5 = 0 kapal esitligi ile tanml bir yuzeyin, (1, 1, 3) noktasndakinormal vektorunu, dogru deklemini ve teget duzlemin denklemini bulalm.

Soz konusu yuzeyin normal vektoru icin,

f= fx

e1+ f

ye2+

f

ze3= 2xyze1+ (x

2z 1)e2+ (x2y+ 1)e3

ckar. x0= 1, y0 = 1, z0= 3 koordinatlarna karslk gelen gradyent vektorun bilesenleri,f

x

0

= 6 ,

f

y

0

= 2 ,

f

z

0

= 2

olur. Sonuc olarak ayn noktada normal dogru denklemi,

x 16

=y 1

2 =

z 32

ve teget duzlemin denklemi,

(x 1)6 + (y 1)2 + (z 3)2 = 3x + y+ z 7 = 0

ile ifade edilir.

f

P0

Sekil 4.2: Yuzey normali ve teget duzlem



48/58

TASL

AK

Duzenli Parametrik Yuzeyler 45

4.3 Duzenli Parametrik Yuzeyler

Uzay egrilerinde oldugu gibi yuzey noktalarnn kartezyen koordinatlar parametrikdenklemler kullanlarak ifade edilebilir. Parametrik gosterim yuzeylerin matematik-sel olarak tanmlanmasnn standart yoludur. Bir bakma, kartezyen koordinatlarcinsinden verilen kapal esitlikler de parametrik denklemler olarak degerlendirilebilir.Nasl ifade edilirse edilsin, ksaca yuzey duzlemdeki kapal bir bolgenin uc boyutluuzaya surekli izdusumudur:

x: D E2 S E3 (4.10)

Burada xvektor fonksiyonu,

x(u, v) =x(u, v)e1+y(u, v)e2+z(u, v)e3 (4.11)

yuzey uzerinde iki parametre yardmyla tanmlanabilen bir noktann yervektorudur. u ve v egrisel yuzey koordinatlar vektor fonksiyonun parametrelerinitemsil eder; ilk kez Gauss tarafndan kullanldklar icin Gauss yuzey parametreleriolarak adlandrlrlar. Kartezyen koordinatlar icin yazlan,

x= x(u, v) , y=y(u, v) , z=z(u, v) (4.12)

esitlikleri yuzeyin parametrik denklemleridir. uvev parametrelerindeki her degisim

uzayda farkl bir noktaya karslk gelir. D bolgesindeki bir nokta u = sb. ve v= sb.dogrularnn kesisimi iken, S yuzeyinde ayn nokta u = sb. ve v = sb. egrilerininkesisimi ile bellidir. x(u, v), E2 uzayndaki D duzlem alann, E3 uzayndaki Syuzeyine donusturur (Sekil 4.3).

v

v= sb.

O u

=

sb.

u

(u, v)

D

x(u

,v)

y(u, v)

z(u, v)

(u, v)

Sx: D

S

x y

z

O

x

u

=sb

.e

grisi

v=

sb.egrisi

Sekil 4.3: D duzlem bolgesinin Syuzey parcasna izdusumu

Parametrik yuzeylerin duzenli olma ozelligi, diferansiyel izdusum matrisi, baska bir



49/58

TASL

AK


deyisle x vektor fonksiyonun Jakobi matrisi,

J=xu xvy

uyv

zu

zv

(4.13)

yardmyla incelenebilir. Rank(J) 2, (4.13)de dogrusal bagmsz satrlarnsaysdr. Rank(J) = 2 esitligi, S yuzeyinin duzenli oldugunun isaretidir. Rangn2den kucuk olmas durumunda, yuzey uzerinde tekil noktalardan soz edilir. Jakobimatrisin sutun elemanlar,

xu=x

u=

x

u,y

u,z

u

(4.14)

xv =

x

v =x

v ,

y

v ,

z

v

(4.15)

Syuzeyine dogrusal yaklasm saglayan, srasyla, u = sb., v= sb. egrilerinin kesisimnoktasndaki teget vektorleridir (Sekil 4.4). Eger yuzey bu noktada duzenliyse dscarpm,

xu xv= 0 (4.16)xu ve xv vektorleri ile tanml teget duzleme dik (yuzeyin dsna dogru) gradyentvektor dogrultusunu gosterir. Yuzey normalini birim vektore donusturen esitlik,

n= xu xv

||xu

xv

||

(4.17)

ile verilir.

xu xv

P0xu

xv

v =sb.

u

=sb.

Sekil 4.4: Parametrik yuzeye teget duzlem ve yuzey normali

Teorem 4.1 P0 noktasndan gecen tum yuzey egrilerinin teget vektorleri tegetduzlemin icindedir.



50/58

TASL

AK

Duzenli Parametrik Yuzeyler 47

uvev yuzey parametreleritnin fonksiyonu olsunlar: u= u(t), v= v(t). Buna goreyuzey uzerindeki egrinin parametrik denklemi,

x(t) = (x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t)))= (x(t), y(t), z((t))

(4.18)

vektor esitligiyle gosterilir. (4.18) vektor fonksiyon bilesenlerinin turevleri (zincirkuralna gore),

dx

dt =

x

u

du

dt +

x

v

dv

dtdy

dt =

y

u

du

dt +

y

v

dv

dtdz

dt =

z

u

du

dt +

z

v

dv

dt

(4.19)

xu vexvnin fonksiyonlar oldugundan yuzey egrisinin teget vektoru,

x(t) =dx

dt =xu

du

dt + xv

dv

dt (4.20)

biciminde yazlabilir. (4.20) esitligi, teget vektorun xu vexv vektorlerinin dogrusalkombinasyonu oldugunu soylemektedir. Bu nedenle x(t), yuzeye teget duzleminicinde kalr ve ayn zamanda yuzey normaline diktir (Sekil 4.5).

xu

xv

P0

xu

xv

x(t)

x(t)

v

=sb.

u=sb

.

Sekil 4.5: Yuzey egrisi x(t) ve teget vektor x(t)

xu, xv ve xu xv, uc boyutlu yerel (yuzey) koordinat sistemlerini olustururlar.Fiziksel yeryuzunde jeodezik amacl yaplan gozlemler yerel gradyent vektor ve onadik teget duzlemle yakndan iliskilidir. Duzeclenmis bir teodolitin asal dusey ekseni,zt yonlu gradyent vektor dogrultusu ile caksk cekul dogrultusunu temsil eder.Ayn sekilde yatay ac tablas cekul dogrultusuna dik oldugu varsaylan nivo yuzeyine

tegettir. Bu noktadan degisik hedeflere yaplan yatay dogrultu gozlemlerix(t) tegetvektorune karslk gelir.



51/58

TASL

AK


4.4 Birinci Temel Bicim

Izdusum fonksiyonu x(u, v)nin diferansiyelini olusturalm:

dx=x

udu+

x

vdv

=xudu+ xvdv(4.21)

dx diferansiyel yer degistirme vektoru, (4.20)de oldugu gibi yuzeye teget duzleminelemandr. Egrisel yuzey koordinatlardaki du,dv kadarlk diferansiyel artmnsonucu olarak, yuzey noktasnn dogrusal konumsal degisimi gosterir. (4.21),gercekte x(u, v)nin baslangc noktas P0a gore Taylor serisine acnmnn,

x(u, v) =x(u0, v0) +x

u

0du+

xv

0

dv+

+1

2

2x

u2

0

du2 +1

2

2x

v 2

0

dv2 +

2x

uv

0

dudv+. . . (4.22)

bir parcasdr (dogrusal terimler).

dx vektorunun kendisiyle skaler carpm,

dx dx= (xudu+ xvdv) (xudu+ xvdv)I = (xu xu)du2 + 2(xu xv)dudv+ (xv xv)dv2 (4.23)

Gaussun birinci temel bicimi ad verilen esitligi ortaya ckarr. Katsaylar icin,

E=xu xu=

x

u

2+

y

u

2+

z

u

2(4.24a)

F =xu xv = xu

x

v+

y

u

y

v+

z

u

z

v (4.24b)

G= xv xv =

x

v

2+

y

v

2+

z

v

2(4.24c)

ksaltmalar kullanlrsa birinci temel bicim, (3.5)e gore,

ds=dxdt

dt (4.25)oldugu goz onune alnarak,

I :ds2 = dx2 =Edu2 + 2Fdudv+Gdv2 (4.26)biciminde yazlabilir. Buradads, Sekil 4.6da goruldugu gibi yuzey uzerinde (u, v)ve (u+ du,v + dv) noktalar arasndaki diferansiyel uzunluk elemandr. (4.26)yuzeyin metrik ozelliklerini tam olarak tanmlayan bir denklemdir. Birinci derecetemel buyukler E , F , G yuzey egrilerinin uzunluklarn yan sra bunlarn u = sb.

ve v = sb. egrileriyle yaptg aclarn ve yuzey alanlarnn hesaplanmasna olanaksaglar.



52/58

TASL

AK

Birinci Temel Bicim 49

4.4.1 Yay uzunlugu, yuzey egrileri arasnda ac ve alan

hesab

t parametresine gore yuzey egrisinin t1 ve t2 noktalar arasndaki uzunlugu(4.25)den,

s= s(t) =

t2t1

dxdt dt=

t2t1

dx

dt dx

dt

1/2dt

=

t2t1

xu

du

dt + xv

dv

dt

xudu

dt + xv

dv

dt

1/2

= t2

t1E

du

dt

2

+ 2Fdu

dt

dv

dt

+Gdv

dt

2

dt (4.27)

bulunur. (4.27) birinci temel bicimint parametresine bagl ifadesidir.

ds

P

dx

xu

xvxu xv

u=

sb.

u+

du=sb

. v=

sb.

v+

dv

=sb.

Sekil 4.6: (u, v) veu +du,v + dvyuzey egrileri ile snrlandrlan diferansiyel uzunlukeleman ds

uvev yuzey egrileri arasndaki ac, teget vektorlerxuvexvyardmyla bulunabilir.Bu iki vektorun skaler carpm,

xu xv = xu xu cos , cos = xu xvxu xu (4.28)

olusturulur ve (4.24) esitlikleri goz onune alnrsa Gauss parametre egrileri arasndakiac icin,

cos = xu xvxu xuxv xv =

FEG

(4.29)

esitligi elde edilir. u vev paremetre egrileri ortogonal ( = /2) ise (4.29)a goreF= 0 sonucu ortaya ckar. Uygulamada cogu kez yuzey egrilerinin F = 0 ozelligini



53/58

TASL

AK


gosterecek sekilde secilmesi hedeflenir. Boylelikle yuzey egrilerinin duzlemdekinebenzer diferansiyel bir kare ag olusturmasnn onu aclms olur.

Pden gecen yuzey egrisininu = sb. egrisi ile yaptg acy bulmak isteyelim. Yuzeyegrisine teget vektor x(t) ile u= sb. egrisine teget xv arasndaki acs (Sekil 4.6),dxin, x(t) dogrultusundaki yer degistirme vektoru oldugu goz onune alnarak,

cos = xv x(t)xv x(t) =

xv dxxv dx (4.30)

esitliginden elde edilir. (4.30)da (4.21), (4.24) ve (4.26) esitlikleri yerlerine yazlrsa,

cos =F du+Gdv

G

ds(4.31)

ckar. Ortogonal yuzey aglarnda F= 0 nedeniyle (4.31),

cos =

G dvds

(4.32)

esitligine donusur. u = sb. ve v = sb. egrileri boyunca diferansiyel koordinatdegisimlerine karslk (4.26)dan,

dsu =

Edu , dsv =

Gdv (4.33)

diferansiyel yay uzunluklar elde edileceginden (4.32),

cos =dsv

ds (4.34)

biciminde de yazlabilir. Son esitlik yuzey uzerindeki aclarn da birinci temel bicimebagl olarak tanmlandgn ortaya koymaktadr.

Yuzey uzerindeu, vveu+du,v+dvegrilerinin snrlandrdg alandAolsun. (4.33)egore dsu vedsv soz konusu parametre egrileri ile tanml diferansiyel paralelkenarnkenar uzunluklar olmus olur.

E =xu ve

G =xv esitlikleri goz onune

alndgnda diferansiyel alan,

dA= dsudsvsin = xu xv sin dudv (4.35)

ile gosterilir. (4.35), (2.16)ya gore,

dA= xu xvdudv (4.36)

bicimine donusturulur ve

xu xv = dete1 e2 e3

xu yu zuxv

yv

zv

= EG F2 (4.37)



54/58

TASL

AK

Ikinci Temel Bicim 51

sonucu denklemde yerine konursa,

dA=

EG

F2dudv (4.38)

bulunur. Esitligin her iki yan icin uygulanacak integral, = EG F2 ksaltmasile, parametre egrileri arasndakiB bolgesinin yuzey alann,

A=

B

dudv (4.39)

verir. degeri yuzey normalinin normu (pozitif tanml) yardmyla hesaplananbir buyukkluk oldugundan yuzeyin duzenli oldugu her noktada > 0 esitsizliginisaglar.

4.5 Ikinci Temel Bicim

E3 uzaynda parametrik denklemi x = x(u, u) ile verilen bir yuzey uzerinde birimnormal vektoru,

n= xu xv||xu xv|| =

xu xv

(4.40)

ile tanmlamstk. x(u, v) en az iki kez turevlenebilir olmak uzere parametrik yuzeyinikinci temel bicimi,

II =Ldu2 + 2Mdudv+N dv2 (4.41)

esitligiyle gosterilir. (u, v) koordinatlar bilinen bir noktada L,M,N katsaylar(ikinci temel buyuklukler), xin ikinci derceden ksmi turevlerinin birim normalvektor dogrultusuna izdusumu biciminde hesaplanr:

L= xuu n = 2x

u2 n (4.42a)

M=xuv n= 2x

uv n (4.42b)

N=xvv n = 2x

v 2 n (4.42c)

(4.40), (4.42) esitliklerinde yerine konulur ve skaler uclu carpm uygulanrsa,

L= [xuxvxuu]

=1 det

xu

yu

zu

xv

yv

zv

2xu2

2yu2

2zu2

(4.43a)

M= [xuxvxuv]

=1 det

xu

yu

zu

xv

yv

zv

2xuv

2yuv

2zuv

(4.43b)

N= [xuxvxvv ]

=1 det

xu

yu

zu

x

v

y

v

z

v2xv2

2yv2

2zv2

(4.43c)



55/58


56/58

TASL

AK

Alstrmalar 53

4.6 Alstrmalar

Alstrma 4.1 r(, ) = [R cos cos , R cos sin , R sin ] vektor fonksiyonu icin 1.temel bicimi olusturunuz, katsaylarn belirleyiniz.

Alstrma 4.2 f(x,y ,z) = 2x + 3y2 sin(z) ile tanml yuzeyin (1, 1, /2) noktasndakigradyent vektoru ve teget duzlemin denklemini belirleyiniz.

Alstrma 4.3x2 + y2

4 +z2

9 = 3 kapal esitligiyle verilen bir yuzeyinP(1, 2, 3) noktasndaki

normal vektorunu,

teget duzlemin denklemini ve normalin denklemini

bulunuz.

Alstrma 4.4 Bir yuzeyde ve parametre egrilerine teget vekorler

x= Msin cos i Msin sin j + Mcos kx = Ncos sin i + Ncos cos j

esitlikleriyle verildigine gore bu yuzey icin Gaussun 1. derece temel buyukluklerini(E,F,G) belirleyiniz.

Alstrma 4.5 x= x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k vektor fonksiyonu ile tanml bir yuzeyin

herhangi bir noktasnda yerel koordinat sistemi nasl olusturulur? Sekil cizerek gosteriniz.

Alstrma 4.6 x(u, v) =ue1+ 2v2e2+ (u

2 + v)e3 ile verilen yuzeyin,

duzenli olup olmadgn irdeleyiniz, yuzey normalini tanmlaynz.

Cozum: Yuzey parametrelerine (u, v) gore turev,

xu= x

u =e1+ 2ue3

xv = x

v = 4ve2+ e3

buradan jakobi matris olusturulursa,

J= 1 00 4v

2u 1

Rank(J) = 2JFMde Diferansiyel Geometri s.2013.09.25


57/58

TASL

AK


oldugundan yuzey her noktasnda duzenlidir.

Yuzey normali, xu vexv teget vektorleri yardmyla tanmlanabilir:

= dete1 e2 e31 0 2u

0 4v 1

= 8uve1 e2+ 4ve3



58/58

TASL

AK

Kaynaklar

Biran, L. (1975). Diferansiyel Geometri Dersleri. IstanbulUniversitesi Fen FakultesiBasmevi, 2 edition.

Carmo, M. P. D. (1976). Differential Geometry of Curves and Surface. PrenticeHall Inc., London.

Gibson, C. G. (2001). Elementary Geometry of Differentiable Curves: An

Undergradute Introduction. Cambridge University Press, Cambridge.

Goetz, A. (1970). Introduction to Differential Geometry. Addison-Wesley PublishingCompany.

Gray, A. (1998). Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces withMathematica. CRC Press LLC, Boca Raton.

Lipschutz, M. M. (1969). Teory and Problems of Differential Geometry. McGrawHill Book Company, New York.

Pessley, A. (2001). Elemantary Differential Geometry. Springer Verlag. Springer

Undergraduate Mathematics Series.

Sabuncuoglu, A. (2001). Diferensiyel Geometri. Nobel Yayn Dagtm, Ankara.

Senatalar, M. (1977). Diferensiyel Geometri (Egriler ve Yuzeyler Geometrisi).Number 151.IDMMA Yaynlar, Istanbul.

Wikipedia (2009). Differential geometry Wikipedia, the free encyclopedia.

diferansiye geometri notları

Documents

Transcript of diferansiye geometri notları