PROFESOR: ING. ALEJANDRO VERA LAZARO

CURSO: MECANICA DE MATERIALES

INTEGRANTES: SANCHEZ CABRERA MONICA VASQUEZ GUERRERO ANTONY

Fundamentos del Método por Elementos Finitos

DEFINICIÓN El Método de Elementos Finitos (MEF), es una técnica o

método numérico general para la aproximación de soluciones a problemas dados de ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales.

Es una técnica computacional utilizada para obtener soluciones a problemas en el campo de la ingeniería, las cuales contienen una o más variables dependientes, denominadas variables de campo, que deben satisfacer cualquier ecuación diferencial dentro de un dominio (espacio donde se desarrollará el análisis del sistema) o campo conocido.

DEFINICIONES FUNDAMENTALES Dominio: Espacio Geométrico donde se desarrollará el análisis del sistema.  Condiciones de contorno: Son las variables conocidas y que condicionan el cambio del sistema:

cargas, desplazamientos, temperaturas, voltajes, etc.  Incógnitas: Son las variables que se desean conocer luego de que las condiciones de contorno

hayan actuado sobre el sistema: desplazamientos, tensiones, etc.  Elemento Finito: Es un pequeño elemento o subdominio del dominio, el cual al interconectarse

con otro de manera sucesiva forman al continuo o dominio, es decir que el dominio sufre una discretización, que es la división de este en pequeños elementos.

Malla: Es la representación de un dominio con elementos finitos.

Nodos: Son aquellos puntos en donde los elementos finitos se encuentran interconectados. Además, es una ubicación en el espacio donde se definen los grados de libertad.

Grados de Libertad: Está referido al mínimo número de parámetros que se necesita especificar para determinar completamente la velocidad de un mecanismo o el número de reacciones en una estructura.

Elemento: Es un bloque básico de construcción del análisis por elementos finitos.

PARTES DEL MÉTODO POR ELEMENTOS FINITOS

RESEÑA HISTÓRICA El método del elemento finito tiene su origen en el campo del análisis estructural de

la industria aeronáutica, donde sus investigadores batallaron para diseñar la membrana delgada del fuselaje y de las alas de un avión a reacción.

Argyris en 1955 publica sobre teoremas de energía y método matriciales Turner, Clough, Martin y Toop desarrollaron matrices de rigidez para armaduras, vigas y otros elementos

En 1960, Ray Clough acuña el término “método del elemento finito” en un documento que se publicó en las actas de la Segunda Conferencia sobre Cálculos en Electrónica, auspiciada por la Sociedad Americana de Ingenieros Civiles.

En 1967 aparece el primer libro sobre elementos finitos, publicado por Zienklewicz y Cheng. Las bases matemáticas se fijaron en la década de 1970.

Hoy el método permite resolver prácticamente cualquier situación física que pueda formularse mediante un sistema de ecuaciones diferenciales.

APLICACIÓN DEL MÉTODO POR ELEMENTOS FINITOSEl Método por Elementos Finitos consiste en dividir y analizar el cuerpo, estructura, medio continuo o dominio, sobre el que están definidas ciertas ecuaciones integrales que caracterizan el comportamiento físico del problema dado, en subdominios o elementos finitos no intersectantes entre sí, siendo este proceso llamado discretización o modelaje. DISCRETIZACIÓN DE UNA ESTRUCTURA

DISCRETIZACIÓN DE UN CUERPO

APLICACIÓN DEL MÉTODO POR ELEMENTOS FINITOSEn forma general la aplicación del método consiste en plantear, por cada elemento finito, una matriz de rigidez, el cual relaciona las fuerzas con las deformaciones. Luego se ensambla la matriz de rigidez total para toda la estructura.

Matriz de Rigidez K

𝑲=𝑬𝒙𝑨𝑳

APLICACIÓN DEL MÉTODO POR ELEMENTOS FINITOS

Donde:

Al ensamblar las matrices de cada elemento nos queda:

Donde:F=Vector de las fuerzas nodales totalesK=Matriz total de rigidez (cuadrada y simétrica)d=Vector de los grados de libertad o desplaza- miento nodales conocidos o desconocidos de la estructura

APLICACIÓN DEL MÉTODO POR ELEMENTOS FINITOS DE MANERA COMPUTACIONAL.

Pre ProcesamientoEn este nivel se incluyen todas se realiza el ingreso de datos como coordenadas de los nodos, conexión entre los nodos, condiciones de frontera, cargas aplicadas, propiedades del elemento, entre otros.

Procesamiento En este nivel se realiza una evaluación del modelo para verificar que no haya ningún error en el archivo generado en el nivel anterior.

Post-ProcesamientoEn este nivel se incluye la presentación de datos como deformaciones, distribuciones de esfuerzos, etc.

ANÁLISIS DE UN CUERPO POR EL MEF EN AUTOFEM

Tipos de Elementos ELEMENTO 1DAptos para modelar celosías, pórticos, torres de transmisión, puentes, redes de tuberías, etc. Los elementos línea pueden ser lineales con 2 nodos, cuadráticos (3 nodos), cúbicos (4 nodos) etc.

 ELEMENTO 2DPueden ser lineales-lados rectos- o cuadráticos y cúbitos de lato orden- lados curvos- triángulos de 3-9 nodos y cuadriláteros de 4-12 nodos.

 ELEMENTO 3DLas formas más comunes para los elementos #D son: tetraedros (especialmente indicados en mallado automático) de 4-10 nodos, pentaedros de 6-15 nodos y hexaedros de 8-20 nodos.

TIPOS DE ANÁLISIS POR ELEMENTOS FINITOSAnálisis Lineal Este análisis contiene ecuaciones algebraicas, las cuales varían

dependiendo al tamaño del modelo.

En este tipo de análisis la rigidez nunca cambia, las ecuaciones al agruparse se solucionan una sola vez.

Análisis no LinealEn este análisis se debe abandonar la idea de rigidez constantes

puesto a que esta tiende a variar

Estas iteraciones aumentan la cantidad de tiempo que se tarda en obtener resultados precisos.

EJEMPLO DEL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

Hallar los desplazamientos para los nodos 2 y 3K=AxELK1=3.7500-3.75000-3.75003.75000000K2=00009.0000-9.00000-9.00009.0000K=K1+K2K=37500000000.00-37500000000.000-37500000000.00127500000000.00-90000000000.000-90000000000.0090000000000.00u1=0, se elimina la primera fila y primera columnaF=40000.00-100000.00

FUNDAMENTOS DEL MÉTODO POR ELEMENTOS FINITOS.El Método por Elementos Finitos puede llegar a ser un método matemático muy complejo, Para emplear este método debemos tener en cuenta ciertas asunciones: Una función continua bajo un dominio global.

El dominio global del cuerpo está subdividido en subdominios llamados elementos.

Los puntos que definen las uniones y conexiones entre elementos son llamados puntos nodales.

Los elementos son especificados como uniones en sus nodos comunes.

La función que existe bajo el dominio, es resuelta explícitamente para los puntos nodales.

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DEL MÉTODO POR ELEMENTOS FINITOS

OPERADORES

SERIES DE TAYLOR Las series de Taylor son importantes en los métodos de Diferencias Finitas y de volúmenes

Finitos.

Cuando solo se toman los primeros términos de una serie de Taylor se denominan

polinomios de Taylor.

Una serie de Taylor permite aproximar el valor de una función en un punto cercano x

alrededor de un punto conocido 0 x mediante una suma de términos obtenidos de la forma:

TEOREMAS DE GREEN E INTEGRACIÓN POR PARTESCLos teoremas o identidades Green permiten reducir la

dimensionalidad del problema. Los teoremas de Green pueden considerarse como casos de

integración por partes, puesto que una integral se descompone en integrales que deben ser más simples de resolver.

INTEGRACIÓN GAUSSIANA Existen varios métodos de integración numérica para

calcular una integral definida de una función. Estos métodos aun cuando son muy fáciles de

implementar en muchos casos son ineficientes.

Donde:

La variable npg indica el número de puntos de Gauss.

Las variables i x y i w representan respectivamente los

puntos de Gauss y los pesos de Gauss.