Diaporamas mécanique des systèmes solides indéformables

8/17/2019 Diaporamas mécanique des systèmes solides indéformables

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1Cycle Intégré PréparatoireCycle Intégré Préparatoireaux Formations d’Ingénieursaux Formations d’Ingénieurs

École Nationale des Sciences Appliquées

Marrakech

COURS DE MÉCANIQUE DES SYSTÈMES DE

SOLIDES INDÉFORMABLES

Pr M.BourichPr M.Bourich

Filière:Filière: Enseignements Généraux et Techniques EGT!Enseignements Généraux et Techniques EGT!"i#eau:"i#eau: Cycle Intégré Préparatoire IICycle Intégré Préparatoire II

$emestre:$emestre: $$%%


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BIBLIOGRAPHIE

Mémoires couronnés par l’académie royale des sciences et belles-Lettres de Bruxelles, tome XI,chapitre VI, 1873.Luis Figuier, Les Merveilles de la science ou description populaire des inventions modernes, Librairie

Furne, Editeurs Jouvet et Cie, Tome 1 des suppléments, 1891P.Duhem, L’évolution de la mécanique, A. Hermann, Paris, 1905.R. Bricard, Calcul Vectoriel, Armand colin, Paris, 1929.

P.Costabel, Histoire du moment d’inertie, Revue d’histoire des sciences et leurs applications, tome3,n°4, pp. 315-336, 1950.F. Halbwachs, Angles d'Euler, rotation instantanée et opérateurs quantiques de rotation dans l'espacetemps, Volume 16, Partie 3 de Annales de l'Institut Henri Poincaré, 1959.F. Balibar, Galilée, Newton lus par Einstein, PUF,1984.C. Chauviré, L’essayeur de Galilée, Belles Lettres, 1989.AGATI, LEROUGE et ROSSETTO, Liaisons, mécanismes et assemblages, DUNOD 1994.S. Pommier & Y. Berthand, Mécanique générales, Dunod, Paris, 2010.

M.Hasnaoui et A. EL Maâchai, cours de mécanique 2, Première édition, FSSM, 2010.


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Conformément au descriptif de la mécanique des systèmes de solidesindéformables, le cours est articulé en sept chapitres :

Calcul vectoriel-Torseurs,

Cinématique du solide, Géométrie des masses, Cinétique du solide, Dynamique du solide,

Liaisons-Forces de liaison,

Mouvement d’un solide autour d’un point ou d’un axe fixes.

Cours: 30 h; TD: 30h; TP: 10h; Évaluation: 6h; VH globale=76Note Module: Contrôle 1: 40% ; Contrôle 2: 40% : et TD : 20% ;


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Chap I: Calcul vectoriel-Torseurs

Galilée : (1564-1642)

La philosophie est écrite dansce grand livre, l'univers, qui ne cessepas d'être ouvert devant nos yeux. Mais

ce livre ne peut se lire si on necomprends pas le langage et on neconnaît pas les caractères avec lesquelsil est écrit. Or, la langue est celle desmathématiques, et les caractères sonttriangles, cercles et d'autres guresgéométriques. !i on ne les connaît pas,

c'est humainement impossi"le d'encomprendre même pas un seul mot.!ans eux, on ne peut qu'aller # la dérivedans un la"yrinthe o"scur etinextrica"le$. %. %alilei, $&l !aggiatore$,ome, ()*+


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APPROCHE HISTORIQUE

Pour les problèmes de physique, l'Allemand Hermann Grassman (1809-1877) fut l’undes premiers à utiliser la notation vectorielle.

L'Américain Gibbs (1839-1903) et l'Anglais Heaviside (1850-1925), disciples deHamilton (l'un des premiers à utiliser la notion de vecteur), donnent au calcul vectoriel saforme quasi définitive.

L’intérêt de la maitrise du calcul vectoriel est fondamental pour la bonne application deslois de la mécanique.


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DÉFINITIONS

ESPACE VECTORIELESPACE VECTORIEL EUCLIDIENESPACE AFFINE-ESPACE MÉTRIQUE

VECTEURS-MOMENT D’UN VECTEUR

On appelle vecteur lié, tout couple (A, ) formé de A ∈ ξ appelé origine ou pointd’application et d’un vecteur de E appelé grandeur vectorielle. Notation: (A, ) = (A) : on lit vecteur lié au point A.

Exemples: - Force résultante appliquée à un point. - Champ électrique créé par une charge électrique en un point.


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Opérations sur les vecteurs

Produit scalaire:

Le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois s'appliquant aux vecteurs.À deux vecteurs, elle associe leur produit, qui est un nombre (ou scalaire, d'où son nom). Elle

permet d'exploiter les notions de la géométrie euclidienne traditionnelle : longueurs, angles,orthogonalité.

Produit vectoriel

Le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans les espaces euclidiens

orientés de dimension 3. Le formalisme utilisé actuellement est apparu en 1881 dans unmanuel d'analyse vectorielle écrit par Josiah Willard Gibbs pour ses étudiants en physique.


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TORSEURS

Un torseur est un outil mathématique utilisé principalement en mécanique du solideindéformable, pour décrire les mouvements des solides et les actions mécaniques qu'ilssubissent de la part d'un environnement extérieur. Un certain nombre de vecteurs utilisés en

mécanique sont des moments : moment d'une force, moment cinétique, momentdynamique. Les champs vectoriels utilisés en mécanique (moment d'une force, momentcinétique, moment dynamique..) possèdent des propriétés communes, d’où l’intérêt d’êtremodélisés par un même objet mathématique appelé « torseur ».

Application antisymétriqueChamp antisymétrique


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Opération sur les torseurs

Addition des torseurs

Multiplication d’un torseur par un scalaire

Comoment ou produit scalaire de deux torseurs

Égalité de deux torseurs


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Axe central d’un torseur

Classification des torseurs

GlisseurCouple


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Chap II: Cinématique du Solide

René Descartes : (1596-1650)

ené escartes a écrit lesprincipes de la philosophie en ()--, dontlo"/ecti0 est de 1 donner des 0ondementsrigoureux # la philosophie2. La physique

cartésienne est 0ondée surlidentication de la matière avec laquantité géométrique 3 la pesanteur et lemouvement sont ramenés # uneexplication mécaniste. !a description dumonde est essentiellementcinématique, le mouvement setransmettant de proche en proche parcontact. ans les 4rincipes de la4hilosophie, escartes distingue la causepremière de tous les mouvements 5ieu,auteur de la nature6, des causessecondes appelées les lois

e la nature, qui régissent lemouvement des parties de la matière.


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7pproche historique

En mécanique, la cinématique (tiré du nom grec : kinêma) est

l'étude des mouvements des corps sans tenir compte des causes

qui les produisent. Au côté de la notion d'espace qui fut l'objetde la géométrie, la cinématique introduit en outre la notion

du temps. n peut dater la naissance de la cinématique moderne

! l'allocution de "ierre #arignon en $%&& qui a démontré quil

est possible de déduire laccélération de la vitesse instantanée !

l'aide d'une simple procédure de calcul différentiel.


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Solide rigide:

Un solide rigide ou indéformable est un ensemble de points matérielsdont les distances mutuelles restent constantes au cours du temps.

&dtAdA =⋅

Champ des vitesses d’un solide:


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Champ des accélérations d’un solide:

A)A(Adt

d) *A() *(

+

&&

&

Ω−Ω⋅Ω+∧Ω

+γ =γ

En général, le terme :

n’est pas nul. Par conséquent, le champ des accélérations d’un solide n’est pas un torseur.

A)A( +Ω−Ω⋅Ω


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MOUVEMENTS DE TRANSLATION-ROTATION-TANGENT:

Mouvement de translation:

Rotation d’un solide autour d’un axe fixe:


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Mouvement hélicoïdal


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Mouvement tangent:

Composition des Mouvements:

)(v)(v∧) * () *(v) *(v) *(v er $&$&$$& +=Ω++=


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Composition des vecteurs rotations:) * () * () * () * () *-() *-( &nn$n.++$$& Ω+Ω++Ω+Ω+Ω=Ω −

Composition des accélérations:


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Cinématique des solides en contact:

Vitesse de glissement:


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Roulement et pivotement:


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Mouvement plan d’un solide:


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Centre instantané de rotation CIR:


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Base et roulante-Étude analytique:


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Chap III: Géométrie de masse

Roger ose! "osco#ic$ : (1%11-1%&%)

4our .8. 9oscovich,les corps ne sont continusquen apparence, en réalité, ilssont 0ormés de pointsmatériels isolés ; 1 un corpscontinus soit un conceptintuiti0, primiti0, on peuttou/ours le penser comme un

ensem"le de points matériels,liés entre eux par des lienssans masse, de telle sorte quela masse totale soit la sommede la masse des tous lespoints, et que la 0orme, donc ladisposition des ces points, soit

garantie par le $squelette$ desliens ima inaires 2.


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'roc$e $istorique

La notion de "arycentre est utilisée en physique, et enparticulier en mécanique et en astronomie, pour simplierl'étude du mouvement dun système. Le premier # avoirétudié le "arycentre en tant que centre des poids 5ce qu'onappelle de nos /ours le centre de gravité6 est le

mathématicien et physicien 7rchimède. &l est un despremiers # comprendre et expliciter le principe desmoments, le principe des leviers et le principe du"arycentre. &l écrit dans son traité sur le centre de gravitéde sur0ace plane 3 1


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asse

La mécanique classique associe # tout corps matériel une grandeurqui représente sa masse notée m. La masse vérie les trois axiomes

suivants3*ositi#ité: ∀ le système matériel 5!6, m5!6 ≥ >;

'++iti#ité: ∀ la 0ragmentation de 5!6 en sous=systèmes 5! i6,m5!6 ? Σim5!i6;

,n#ariailité: La masse de tout système est invariante dans toutmouvement de ce système 5vitesses très 0ai"les devant la célérité

de la lumière6.


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.$éor/me +e Gul+in/es mét0odes pratiques de rec0erc0e de 1 dans le cas de corps 0omog2nes :

a- @uand cest possi"le, on décompose le système en éléments plussimples dont on connaît les centres de masse, puis on détermine le"arycentre de ceux=ci 5exemple 3 centre de masse du systèmesphère = cylindre6.

- Atiliser les symétries du système lorsquelles existent 3 le centrede masse appartient aux éléments de symétrie.

c- Lorsquil sagit de déterminer les centres de masse darcs, decour"es planes ou de sur0aces planes on regarde sil y a unepossi"ilité dutiliser un des deux théorèmes de %uldin.


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oment +inertie - érateur +inertie

La notion de moment d'inertie présente un grand intérêt sur le plande la vérita"le histoire de la mécanique et sur celui de laphilosophie et de ses principes. B'est en ()C+ que Duygens, dans lasolution du pro"lème du centre d'oscillation du pendule composé5livre 3


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MATRICE D’INERTIE

+−−=−+−=

−−=

3 4 j4i4)3 )(-,(5

3 4 j4i4) j)(-,(5

3 4 j4i4)i)(-,(5

67686

76787

86878

)$()u)(-,(5descomposante

9E;

E;A

)$(udescomposante

)(inertie'dmatrice

9E;

E;A

×

γ +β−α− γ −β+α−

γ −β−α+

=

×

γ β

α

×

×

+−− −+−

−−+

É


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Matrice principale d’inertie

É


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9onsidérons le cas de la figure suivante:

n a: 4(∆,-) < ⋅5(,-)( ) < ⋅5(1,-)( ) = ⋅5(,m1)( )

< 4(∆1 ,-) = m ⋅> ∧( ∧ )?

< 4(∆1 ,-) = m( ∧ )⋅( ∧ )

< 4(∆1 ,-) = m( ∧ )+

@0éor2me de u7gens classique

u u u u u u

u

1→

u

1→

u

1→

u

1→

u

1→

( ) ( ) ( )4 - 4 - md 11∆ ∆ ∆, , ,= + +

Théorème de Huygens

É


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Chap IV: Cinétique du Solide

o$an amuel 3nig(3oenig) : (1%12-1%5%)

Les travaux de Goeningpu"lié dans son livre1 Hlément de géométriecontenant les six premierslivres dHuclide 2,permettent lerapprochement des

concepts de la cinématique5vitesse, accélération6 etceux de la géométrie desmasses 5centre de masse,moment dinertie6 donnantnaissance # La cinétique

5appellée aussicinématique des masses6.

É


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É l N ti l d S i A li é


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Définitions des cinq quantités cinétiques:



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oment inétique :

/e moment cinétique, est la grandeur p07sique qui joue dans le cas d'une

rotation, un rôle analogue ! celui de la quantité de mouvement pour une

translation B si la conservation de la quantité de mouvement pour un

s7st2me isolé est liée ! l'invariance par translation dans l'espace (propriété

d'0omogénéité de l'espace), la conservation du moment cinétique est liée !

l'isotropie de l'espace.

) *m,() *-,1() *-,( &1&& σ+σ=σσ

cinétiquerésultante:) *1(vm

cinétiquemoment:) *-,(

&

&

) *-,1() *-,1( 1& σ=σ

u) *-,A() *-,( 1& ⋅σ=∆σ



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Moment dynamique :

γ δ

d7namiquerésultante:) *1(m

d7namiquemoment:) *-,(

&

&

u) *-,A() *-,( && ⋅δ=∆δ

∧+

σ=δ

σ=δ

σ=δ

) *1(vm) *4(vdt

) *-,4(d) *-,4(

!rapport par )(-deglissementdeabsencea7ils':dt

) *-,4(d) *-,4(

dt

) *-,1(d) *-,1(

&&

&

&&

&$

&

&$$&$$

&

&&



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nergie inétique

Hn histoire des sciences, %. Lei"niI, s'opposant #escartes, qui estimait que la quantité de mouvement seconservait tou/ours, développa l'idée de la 1 0orce vive 2 5visviva6, # laquelle il attri"uait la valeur mv*. La 0orce vive estdonc le dou"le de l'énergie cinétique. La 0orce vive est unconcept o"solète oJ on trouve la première expressionmathématique de ce qui sera connu comme la loi de laconservation de l'énergie. Hlle peut être considérée commeune sorte d'énergie cinétique ou d'énergie reliée aumouvement des o"/ets. oJ la naissance du concept

énergie cinétique 5du %rec1

énergeia2

6, qui déterminelénergie que possède un corps du 0ait de son mouvementpar rapport # un ré0érentiel donné.



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Deuxième théorème de Kœnig :

5 6 +&1c&c ) *1(vm+

$) *-(E) *-(E

K?

)$.(

) * (

)..(

)-,A(44

).$(

) * (+

$) *-(E &&

t&c

LLL

? ΩΩ

ntranslatio

) *1(vm+$

rotation

) * ()-,1(44) * (+$) *-(E

+

&

C

&

C

&

Ct

&c

+ΩΩ=



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Chap V: Dynamique du Solide

,saac 7e8ton : (1642-1%2%)

eNton 0ormule l'hypothèseaudacieuse selon laquelle la

Lune1

tom"e2

sur la


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'roc$e $istorique :

La cinématique ne peut constituer # elle seule la science dumouvement, dans la mesure précisément oJ elle ne tient compte nides causes qui le produisent ni de ce # quoi il s'applique. La sciencegaliléenne laisse sans réponse la question des rapports entre la matière

et le mouvement, qui, par contre, était au cur de la théorie d'7ristote.On verra comment eNton, par l'introduction d'une dynamique 0ondéesur les concepts renouvelés de masse et de 0orce, pensera avoir réglécette question. On constatera que, comme l'ont souligné les auteurs duP&Pe siècle, et notamment Mach, eNton n'est pas parvenu # remplirentièrement son programme, dans la mesure oJ il n'a pas su donner dumouvement de translation uni0orme, dit 1inertiel2, une explication1matérialiste2, c'est=#=dire uniquement en termes d'espace, de temps etde matière. On verra comment Hinstein, avec la théorie de la relativitégénérale et l'idée que la structure géométrique de l'espace estdéterminée par la distri"ution des masses qui s'y trouvent, analement résolu le pro"lème du lien entre la cinématique et ladynamique.



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τ+σ∧′+τ∧+∧=→

σ+τ+=→

∫ ∫ ∫ ∑

∫ ∫ ∑

τστ

στ

---i

ii

--i

i

:d)(9d)'(f Ad)(f A)(f A)-;,A(

:)'(d)'(f )(d)(f )(f )-;(

momeM

résultante

Torseur des forces appliquées à (S):

Classification des forces :



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Principe fondamental de la dynamique (PFD) ou axiome de la dynamique :

→=δ

→=γ

cinétiquemomentdu@0éor2me:)-;,A() *-,A(

massedecentredu@0éor2me:)-;( ) *1(m

e8tu

e8tu

M



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Théorème des interactions ou théorème de l’action et de la réaction:

[ ] [ ]

[ ]

nultorseur &

-;-;-;) *-( +-$-e8tu $+

=

→+→+→=

→−=→

→−=→

)-;,A()-;,A(

)-;( )-;(

$-+-

$-+-

+$

+$

MM

[ ] [ ][ ]

[ ]

[ ]

&

-;

&

-;-;

ji

ji-

n

$i

ii-!intint

=

→+

=

→=→ ∑∑≠=



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Changement de repère - Repère galiléen :

Le choix du ré0érentiel d'étude n'est pas uniquement guidé par des considérationstechniques de complexité plus ou moins grande d'écriture des équations dumouvement, par exemple selon l'orientation des axes, le système de coordonnées5cartésiennes, sphériques, etc.6, ou l'origine des dates, mais détermine égalementdu point de vue 0ondamental le cadre spatio=temporel d'étude des phénomènesconsidérés.

Hn eQet, pour un ré0érentiel quelconque, l'espace n'apparaîtra pas nécessairementhomogène et R ou isotrope, ni le temps uni0orme. 7insi, par exemple, l'étude dumouvement d'un corps par rapport au ré0érentiel lié # un Nagon en mouvementaccéléré par rapport aux voies 0era apparaître une direction privilégiée, celle de duvecteur accélération, soit un anisotropie de l'espace. &l en sera de même pour unré0érentiel lié un corps en mouvement de rotation autour d'un axe 0era # la 0oisapparaître une direction privilégiée, celle de l'axe de rotation 5anisotropie6, mais

aussi des eQets $centri0uges$ dépendant de la distance # l'axe 5non=homogénéité del'espace6, voire du temps si la vitesse de rotation n'est pas constante 5non=uni0ormitédu temps6.

Ane telle situation conduirait # devoir écrire les équations de la 4hysique, etnotamment celle de la mécanique, d'une 0aSon distincte selon le ré0érentiel d'étude,c'est=#=dire sous une 0orme non covariante, # moins de dénir une classe deré0érentiels particuliers, dits galiléens, par rapport auxquels ces équations prennent

/ustement une 0orme covariante.



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Torseur dynamique d’entra î nement-Torseur dynamique de Coriolis :

[ ]

γ ∧γ = ∫ ∫

*moment

dm)(

résultante

,dm)()-(: ee)(e

[ ]

γ ∧γ = ∫ ∫

*moment

dm)(

résultante

,dm)()-( cc)(c

Les torseurs dynamiques d’entra î nement et de Coriolis sont nuls dans les repères Rg animés d’unmouvement de translation rectiligne uniforme par rapport à Ru : ces repères sont appelés galiléens.Dans la pratique, un réf érentiel lié à des corps réels ne peut être qu'approximativement, localement etmomentanément galiléen.



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Théorème de l’énergie cinétique :

( ) [ ]) *(f ") *(v+

dm

dt

dg

+

g

g

=

( )ge8t

gc *-;"

dt

) *-(dE

g

→=

[ ] [ ] ( )gnce8t) gm) pgc *-;") *-(Edtd

E) *-(Edt

d

gg

→==+



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Mouvement dans un repère non galiléen :

dm)(dm)(dm) *()(f dm) *( cer g γ +γ +γ ==γ

dm

&

) *(v)() *(v

)(f

dm)() *(v)(f dm) *(v) *(r cr

ie

er r r =

⋅γ −⋅

=

γ −⋅=⋅γ →

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ])-(-)-(;)-(-;

-;" *-;") *(E

dt

d

r ier e8t

ier e8t r c r

TT ⋅→+⋅→=

→+→=



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Chap VI: Liaisons-Forces de Liaison

$arles oulom : (1%6-1&06)

La loi de Boulom" enmécanique, nommée enl'honneur de Bharles de

Boulom", exprime sous une0orme très simpliée l'intensitédes 0orces de 0rottements quis'exercent entre deux solides.!elon que ces solides glissentou non l'un contre l'autre, onparle de glissement50rottement dynamique6 oud'adhérence 50rottementstatique6. ans les deux cas,les actions réciproques quis'exercent entre ces solidescomportent 3 une composante

normale qui les presse l'uncontre l'autre, une



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pp q

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,ntro+uction

Dn mécanisme est l'association de plusieurs pi2ces liées entre elles par des contacts

p07siques qui les rendent totalement ou partiellement solidaires, selon qu'ils autorisent ou

non des mouvements relatifs. /a liaison mécanique est le mod2le utilisé pour décrire cette

relation dont la considération est primordiale dans l'étude des mécanismes. Elle emploie

des représentations mat0ématiques qui diff2rent suivant qu'on l'aborde sous l'aspect

cinématique (étude des mouvements ou guidages) ou sous l'aspect statique (étude de latransmission d'efforts).

/a notion de liaison mécanique se définit plus généralement entre groupes de pi2ces,

appelés classes d'équivalence contenant respectivement des pi2ces enti2rement solidaires.



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pp q

Marrakech

Actions de contact :

Définition :

Lorsqu’on étudie le mouvement d’un solide en contact avec un autre solide, on doitprendre en considération de nouvelles forces dites forces de contact.

;orces decontact

Considérons un système matériel (S) constitué de p solides et de q points matériels. Si lesystème est entièrement libre (absence des forces de contact), la position d’un solide dansl’espace, par rapport à un repère R, est définie par 6 paramètres ( xG, yG, zG, ψ , θ , ϕ ), celled’un point matériel est définie par 3 paramètres (coordonnées du point).



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pp q

Marrakech

≤≤→=δ≤≤=γ

) pi$,ic0aque pour équations.()-;,()-,(

) pi$,ic0aque pour équations.( )1(m

ii

ii-i

Liaisons :



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Marrakech

Liaison holonomeUne liaison est dite holonome si la relation de cette liaison fait appara î treles paramètres de position (coordonnées et angles) sans faire appara î treleurs dérivées par rapport au temps. Si la relation de liaison contient desdérivées des paramètres par rapport au temps, la liaison sera dite nonholonome.

π 4

(-$)

(-+)

Γ t

Γ nΓ -+-$

@

F -+-$

[ ]

Γ−=Γ=

−==

→→→

→→

→

$++$+$

$++$

+$

------

----

--

) ,4(

MU



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pp q

Marrakech

Lois de Coulomb Approche historique

Ces lois, largement empiriques, ont été introduites par Coulomb en 1871. Elles dépendent del’état des surfaces en contact. Trop souvent considéré comme un élément perturbateur pourles calculs, on s’aperçoit très vite que le frottement est tout simplement indispensable : si les

vis de fixation restent serrées, le clou en place, les échelles debout et les voitures sur la route,c’est grâce au frottement. C’est aussi sur ce phénomène que repose le fonctionnement desfreins et embrayages.



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Réaction normale :

a- Son sens: la réaction normale exercée par (S2) sur (S1) est dirigée vers l’intérieur de(S1): c’est une force répulsive.b- Sa norme: elle a une valeur arbitraire qui dépend du mouvement ou de l’équilibre et desactions qui s’exercent sur (S1).

Réaction tangentiel :

Contact sans glissement : Ff @ &≤

Contact avec glissement: Ff @ =



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Puissance totale des actions de contact :

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