Modélisation des actions mécaniques et statique des solides ...
Cinetique Des Solides
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Cinetique.doc page 1/4
Cinétique
1- Généralités
1.1- Objectif
L’objectif de la cinétique est de modéliser trois grandeurs physiques :
La quantité de mouvement d’un corps.
La quantité d’accélération d’un corps.
L’énergie cinétique (Energie de mouvement) d’un corps.
Ces trois grandeurs dépendent de la masse du corps (et de sa répartition dans l’espace) et de son
mouvement. Un mouvement ne pouvant être défini que par rapport à un repère (ou un solide) ces trois
grandeurs ne peuvent donc être définies que par rapport à un repère.
1.2- Cinétique d’une masse ponctuelle
Soit un corps dont toute la masse m est concentrée en un point M. On définit alors :
La quantité de mouvement du corps S par rapport au repère R comme le vecteur : m. →→→→
VM∈∈∈∈S/R
La quantité de d’accélération du corps S par rapport au repère R comme le vecteur : m. →→→→
ΓΓΓΓM∈∈∈∈S/R
L’énergie cinétique du corps S par rapport au repère R comme le réel : 1
2.m.
→→→→
VM∈∈∈∈S/R
2
1.3- Cinétique d’un corps volumique
1.3.1- Notions de base de géométrie des masses
Un corps volumique S est toujours la somme sur le volume occupé par ce corps de masses
élémentaires dm concentrées en des points P.
La masse dm est le réel : dm = ρ(P).dv Où : dv est un volume élémentaire autour du point P
et ρ(P), la masse volumique du corps autour du point P. Pour les calculs somatiques, sur le corps
volumique il faut bien sur passer par une intégrale triple sur le volume de ρ(P).dv. Cependant pour
simplifier les écritures nous écrirons l’intégrale sur le solide S des masses élémentaire dm.
La masse de ce corps M est donc le réel :
M = ⌡⌠S dm
Le centre d’inertie ou centre des masses est le point GI tel que :
⌡⌠S →→→→
GIP.dm = →→→→
0
Le centre de gravité ou centre des poids est le point Gg tel que :
⌡⌠S →→→→
GgP∧∧∧∧→→→→
g(P).dm = →→→→
0
Où : →
g(P) est le vecteur accélération gravitationnel en P. →
g(P) : le champ de gravité de la terre
Très souvent en mécanique, la dimension des corps étant faible devant le rayon de la terre, on
considère un champ de gravité uniforme.
Sous cette hypothèse, le centre de gravité et le centre d'inertie sont confondus.
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1.3.2- Quantité de mouvement
La quantité de mouvement du corps volumique S (défini comme la somme des masses dm) par
rapport au repère R est modélisée par le torseur cinétique :
CCCC(S/R) = A
→→→→
RC(S/R)
→→→→
σσσσA(S/R)
Où on a : La résultante cinétique : →→→→
RC(S/R) = ⌡⌠S
→→→→
VP∈∈∈∈S/R.dm
Le moment cinétique en A : →→→→
σσσσA(S/R) = ⌡⌠S
→→→→
AP∧∧∧∧→→→→
VP∈∈∈∈S/R.dm
1.3.3- Quantité d’accélération
La quantité d’accélération du corps volumique S (défini comme la somme des masses dm) par
rapport au repère R est modélisée par le torseur dynamique :
DDDD(S/R) = A
→→→→
RD(S/R)
→→→→
δδδδA(S/R)
On note : La résultante dynamique : →→→→
RD(S/R) = ⌡⌠S
→→→→
ΓΓΓΓP∈∈∈∈S/R .dm
Le moment dynamique en A : →→→→
δδδδA(S/R) = ⌡⌠S
→→→→
AP∧∧∧∧→→→→
ΓΓΓΓP∈∈∈∈S/R .dm
1.3.4- Energie cinétique
L’énergie cinétique du corps volumique S (défini comme la somme des masses dm) par rapport au
repère R est modélisée par le réel :
EC(S/R) = ⌡⌠
S 1
2 .
→→→→
VP∈∈∈∈S/R 2
. dm
1.4- Cinétique d’un ensemble de solides
Soit un système S constitué d’un nombre fini n de solides Si . : S = S1 ∪∪∪∪ S2 ∪∪∪∪ …. ∪∪∪∪ Sn
1.4.1- Quantité de mouvement
La quantité de mouvement du système S est la somme des quantités de mouvement des n solides Si :
CCCC(S/R) =
n
Σi=1
CCCC(Si/R)
1.4.2- Quantité d’accélération
La quantité d’accélération du système S est la somme des quantités d’accélération des n solides Si :
DDDD(S/R) =
n
Σi=1
DDDD(Si/R)
1.4.3- Energie cinétique
L’énergie cinétique du système S est la somme des énergies cinétiques des n solides Si :
EC(S/R) =
n
Σi=1
EC(Si/R)
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2- Torseur cinétique d’un solide S
2.1- Torseur cinétique au centre de gravité
Soit un solide S de masse M de centre d’inertie G et d’opérateur d’inertie en G : JG(S) .
Alors le torseur cinétique est de la forme : CCCC(S/R) =
G
M . →→→→
VG∈∈∈∈S/R
JG(S) . →→→→
ΩΩΩΩ(S/R)
C'est-à-dire que : →→→→
RC(S/R) = M . →→→→
VG∈∈∈∈S/R Voir démonstration A
→→→→
σσσσG(S/R) = JG(S) . →→→→
ΩΩΩΩ(S/R) Voir démonstration B
2.2- Torseur cinétique en un point O de S fixe dans R
Soit un solide S de masse M de centre d’inertie G et d’opérateur d’inertie en O : JO(S) . Où le
point O appartenant au solide S est fixe dans R : →→→→
VO∈∈∈∈S/R = →→→→
0
Alors le torseur cinétique est de la forme : CCCC(S/R) =
O
M . →→→→
VG∈∈∈∈S/R
JO(S) . →→→→
ΩΩΩΩ(S/R)
C'est-à-dire que : →→→→
RC(S/R) = M . →→→→
VG∈∈∈∈S/R Voir démonstration A
→→→→
σσσσO(S/R) = JO(S) . →→→→
ΩΩΩΩ(S/R) Voir démonstration C
2.3- Torseur cinétique en un point M quelconque
Pour déterminer le torseur cinétique en un point M quelconque, on détermine le torseur cinétique au
centre de gravité G ou en un point O de S fixe dans R, puis on transporte le moment cinétique en M :
→→→→
σσσσM(S/R) = →→→→
σσσσG(S/R) + →→→→
MG ∧ M . →→→→
VG∈∈∈∈S/R = →→→→
σσσσO(S/R) + →→→→
MO ∧ M . →→→→
VG∈∈∈∈S/R
3- Torseur dynamique d’un solide S
3.1- Torseur dynamique au centre de gravité
Soit un solide S de masse M de centre d’inertie G et de moment cinétique en G : →→→→
σσσσG(S/R)
Alors le torseur dynamique est de la forme : DDDD(S/R) =
G
M .
→→→→
ΓΓΓΓG∈∈∈∈S/R
d
→→→→
σσσσG(S/R)
dt R
C'est-à-dire que : →→→→
RD(S/R) = M . →→→→
ΓΓΓΓG∈∈∈∈S/R Voir démonstration D
→→→→
δδδδG(S/R) =
d
→→→→
σσσσG(SR)
dtR
Voir démonstration E
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3.2- Torseur dynamique en un point O de S fixe dans R
Soit un solide S de masse M de centre d’inertie G et de moment cinétique en O : →→→→
σσσσO(S/R). Où le
point O appartenant au solide S est fixe dans R : →→→→
VO∈∈∈∈S/R = →→→→
0
Alors le torseur dynamique est de la forme : DDDD(S/R) =
O
M .
→→→→
ΓΓΓΓG∈∈∈∈S/R
d
→→→→
σσσσO(S/R)
dt R
C'est-à-dire que : →→→→
RD(S/R) = M . →→→→
ΓΓΓΓG∈∈∈∈S/R Voir démonstration D
→→→→
δδδδO(S/R) = =
d
→→→→
σσσσO(S/R)
dtR
Voir démonstration F
3.3- Torseur dynamique en un point M quelconque
Pour déterminer le torseur dynamique en un point M, on détermine le torseur dynamique au centre
de gravité G ou en un point O de S fixe dans R, puis on transporte le moment dynamique en M :
→→→→
δδδδM(S/R) = →→→→
δδδδG(S/R) + →→→→
MG ∧ M . →→→→
ΓΓΓΓG∈∈∈∈S/R = →→→→
δδδδO(S/R) + →→→→
MO ∧ M . →→→→
ΓΓΓΓG∈∈∈∈S/R
4- Energie cinétique d’un solide S
4.1- Energie cinétique calculée par l’opérateur d’inertie en un point O de S fixe dans R
Soit un solide S de masse M de centre d’inertie G et d’opérateur d’inertie en O : JO(S) . Où le
point O appartenant au solide S est fixe dans R : →→→→
VO∈∈∈∈S/R = →→→→
0
Alors l’énergie cinétique peut être calculée par la relation :
EC(S/R) = 1
2 .
→→→→
ΩΩΩΩ(S/R) . JO(S) . →→→→
ΩΩΩΩ(S/R) Voir démonstration G
4.2- Energie cinétique calculée par l’opérateur d’inertie au centre d’inertie
Soit un solide S de masse M de centre d’inertie G et d’opérateur d’inertie en G : JG(S) .
Alors l’énergie cinétique peut être calculée par la relation :
EC(S/R) = 1
2 .
→→→→
ΩΩΩΩ(S/R) . JG(S) . →→→→
ΩΩΩΩ(S/R) + 1
2 . M .
→→→→
VG∈∈∈∈S/R 2 Voir démonstration H
On écrit aussi parfois :
EC(S/R) = EC(S/RG) + 1
2 . M .
→→→→
VG∈∈∈∈S/R 2
Où EC(S/RG) est l’énergie cinétique par rapport à RG : le repère barycentrique du solide S lié à R.
Ce repère barycentrique est un repère dont le centre est constamment en G centre d’inertie du solide
S et dont les axes sont constamment parallèles aux axes du repère R.
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Géométrie des masses : Opérateur d’inertie
1- Cas général
L’opérateur d’inertie est un objet mathématique modélisant la répartition des masses d’un solide
autour d’un point dans les trois directions de l’espace.
Il peut s’écrire de différentes manières suivant le point où on l’exprime et le repère dans lequel on
l’exprime. Dans tout les cas il s’écrit sous la forme d’une matrice symétrique.
Si on pose dans le repère RS lié au solide S les coordonnées du vecteur →
GP : →
GP
x
y
z RS
Alors :
JG(S) =
A -F -E
-F B -D
-E -D C RS
où :
A, B et C sont respectivement les moments d’inertie de S par rapport aux axes (O,→
X ) , (O,→
Y ) , (O,→
Z ).
A = ⌡⌠S (y
2 + z
2).dm B =
⌡⌠S (x
2 + z
2).dm C =
⌡⌠S (x
2 + y
2).dm
Et D, E et F sont les produits d’inertie ou balourds perpendiculaires
D = ⌡⌠S y.z.dm E =
⌡⌠S x.z.dm F =
⌡⌠S x.y.dm
2- Cas particuliers
2.1- Un plan de symétrie
Si le solide accepte un plan de symétrie, alors dans un repère dont deux les axes sont inclus dans ce
plan de symétrie, la matrice a deux produits d’inertie nuls.
Exemple : Si on a une symétrie de plan (G,→
X ,→
Y ) alors : JG(S) =
A -F 0
-F B 0
0 0 C RS
2.2- Deux plans de symétrie
Si le solide accepte deux plans de symétrie, alors dans un repère dont deux les axes sont inclus dans
ces plans de symétrie, la matrice a tous ses produits d’inertie nuls.
Exemple : Si on a 2 symétries de plans (G,→
X ,→
Y ) et (G,→
Y ,→
Z ) alors : JG(S) =
A 0 0
0 B 0
0 0 C RS
2.3- Solide de révolution
Si le solide est de révolution d’axe confondu avec celui du repère. Alors la matrice a tous ses
produits d’inertie nuls et deux moments d’inertie identiques :
Exemple : Si on a solide de révolution d’axe (G,→
Z ) alors : JG(S) =
A 0 0
0 A 0
0 0 C RS
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2.4- Epaisseur très faible : Tôle
Si le solide est plan et a une épaisseur très faible (C’est par exemple une tôle plane), alors dans un
repère dont deux les axes sont inclus dans ce plan, la matrice a deux produits d’inertie nuls et un moment
d’inertie est égal à la somme des deux autres
Exemple : Si on a solide très mince dans le plan (G,→
X ,→
Y ) alors : JG(S) =
A -F 0
-F B 0
0 0 A+B RS
2.5- Cylindre
Si le solide est un cylindre homogène de masse M de rayon r et de Hauteur h. La matrice d’inertie
dans le repère RS dont l’axe (G,→
Z ) est celui du cylindre est de la forme :
JG(S) = M
12
3 . r2 + h
2 0 0
0 3 . r2 + h
2 0
0 0 6.r2
RS
2.6- Parallélépipède
Si le solide est un parallélépipède homogène de masse M de largeur a (Sur →
X ) de longueur b (Sur →
Y ) et de hauteur h (Sur →
Z ). La matrice d’inertie dans le repère RS dont l’axe (G,→
Z ) est orienté suivant
la hauteur et dont l’axe (G,→
Y ) est orienté suivant la longueur est de la forme :
JG(S) = M
12
b2 + h
2 0 0
0 a2 + h
2 0
0 0 a2 + b
2RS
2.7- Barre
Si le solide est une barre de masse M de dimensions très petites devant la longueur L alors la
matrice d’inertie dans le repère RS dont l’axe (G,→
Z ) est orienté suivant la longueur est de la forme :
JG(S) = M.L
2
12
1 0 0
0 1 0
0 0 0 RS
2.8- Sphère
Si le solide est une sphère homogène de masse M alors la matrice d’inertie dans tout repère RS est :
JG(S) = 2.M.R
2
5
1 0 0
0 1 0
0 0 1 RS
2.9- Cube
Si le solide est un cube homogène de masse M alors la matrice d’inertie dans tout repère RS est :
JG(S) = M.a
2
6
1 0 0
0 1 0
0 0 1 RS
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Geometrie des Masses.doc page 3/3
3- Théorème de Huygens
3.1- Théorème de Huygens généralisé
Soit : Un solide S de masse M et de centre d’inertie G
JG(S) L’opérateur d’inertie du solide S en G
JA(S) L’opérateur d’inertie du solide S en A
Alors quelque soit le point A et le vecteur →
U on a :
JA(S) . →→→→
U = JG(S) . →→→→
U + M . →→→→
AG ∧∧∧∧ →→→→
U ∧∧∧∧ →→→→
AG Voir démonstration I
Si on pose : JG(S) =
A -F -E
-F B -D
-E -D C RS
JA(S) =
A' -F' -E'
-F' B' -D'
-E' -D' C' RS
et : →
AG
a
b
c RS
On a alors :
A' -F' -E'
-F' B' -D'
-E' -D' C' RS
=
A -F -E
-F B -D
-E -D C RS
+ M .
b2 + c
2 −−−− a . b −−−− a . c
−−−− a . b a2 + c
2 −−−− b . c
−−−− a . c −−−− b . c a2 + b
2 RS
3.2- Remarque
Le théorème de Huygens ne s’applique que entre un point A quelconque et le centre d’inertie. Mais
pas entre deux points quelconques :
JA(S) . →→→→
U ≠≠≠≠ JB(S) . →→→→
U + M . →→→→
AB ∧∧∧∧ →→→→
U ∧∧∧∧ →→→→
AB
3.4- Cas du moment d’inertie
Soit un solide S : - de masse m
- de centre d’inertie G appartenant à l’axe ∆
- De moment d’inertie J∆ par rapport à l’axe ∆
Soit un axe ∆’ parallèle à l’axe ∆ et distant de celui-ci d’une distance d. Alors
J∆’ le moment d’inertie du solide S par rapport à l’axe ∆’ peut se calculer par :
∆
∆ '
d
G
J∆∆∆∆’ = J∆∆∆∆ + M . d2