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8/19/2019 determiannate

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DETERMINANTES

1

MATEMÁTICAII


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Calcula la determinante de una matriz por los métodos

siguientes:

I. Determinante por método directos:Para orden 1x1 manera directa.

Para orden 2x2 método cruzado.Para orden 3x3 método sarrus.

II. Determinante por método de Cofactores.

III. Determinante por el método de Gauss.

PROPÓSITO DE LA CLASE


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DEFINICIÓN

Sea una matriz A= el determinante de A esun operador det(A) o que aplicada acualquier matriz le corresponde un únicovalor numérico.


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I. DETERMINANTE

POR MÉTODOSDIRECTOS


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MÉTODO DIRECTO PARA

ORDEN 1x1

Sea la matriz A =

= =

Halla la determinante de A=

= = – 4

Ejemplo


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MÉTODO CRUZADOS

PARA ORDEN 2x2Sea la matriz !

! !. .

Halla la determinante de A == = (4.7) – (!.7)= 4!

Ejemplo


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"n la ecuaci#n el $alor de x es :

x % 2 ! .

Calcule &x' satisface la ecuaci#n:

!11

"fectua:

% ( !

Ejemplos

1

2

3

13

21

−−

43

12 −−


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MÉTODO SARRUS PARA

ORDEN 3x3

Sea la matriz" A= =

A#re#ar dos primeras $las en la parte in%erior.

A =

suma de la izquierda

suma de la derecha

)a determinante ! suma derec*a + suma izquierda

..

..

..

..

..

..


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Si" A = . &alcule " A

,esuel$a

1

2

Ejemplos

341

235

312


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II. DETERMINANTEPOR COFACTORES

"s recomenda-le *acer uso de este

método para calcular determinante deorden maor /ue tres .


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Sea la matriz !

Para resolver por el método elegir la fila o columna /ue

contenga la maor cantidad de ceros si fuera la primera fila

resol$er0amos de la siguiente manera

= ''


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Si: ! .

Calcule :

Ejemplo

1


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II. DETERMINANTE

POR EL MÉTODO DE

GAUSS

"s recomenda-le *acer uso de este

método para calcular determinante deorden maor /ue tres .


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4

• l emplear el método de Gauss para transformar un determinante en otroe/ui$alente pero con todos los elementos nulos por de-ao de la diagonal

principal *a /ue tener en cuenta lo siguiente:• Si se multiplica o di$ide una fila o columna por un nmero el $alor del

determinante /ueda multiplicado o di$idido por dic*o nmero.

• Si se cam-ia el orden de las filas o columnas el $alor del determinantecam-ia de signo.

• Si se cam-ia el orden de los elementos en todas las filas o columnase/ui$ale a permutar cam-iando de signo el $alor.

• 4o se puede a5adir o suprimir ninguna fila aun/ue los elementos de unafila o columna sean com-inaci#n lineal de los de otras.

• Se suma o resta a una fila o columna otra multiplicada por unnúmero.

• "n determinantes s#lo se podr6 aplicar Gauss aplicando una propiedad deforma directa pues de lo contrario podr0a implicar errores.

• 4o o-stante si se puede es el meor método para desarrollar

determinantes.


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• Consiste en transformar el determinante:

• Donde am-os determinantes son e/ui$alentes.• )a soluci#n o $alor del determinante ser0a:

• 7 sea el producto de los elementos de la diagonal principal.

MÉTO O E GAUSS

11 12 13 14 11 12 13 14

21 22 23 24 22 23 24

31 32 33 34 33 34

41 42 43 44 44

0| | ... ... | |

0 0

0 0 0

a a a a b b b b

a a a a b b b A en B

a a a a b b

a a a a b

= =

11 12 13

11 12

44 22 23 44 33 11 22 33 4422

33

| | . 0 . . . . .00 0

b b bb b

A b b b b b b b b bbb

= = =


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Calcule la siguiente determinantes por el método de Gauss:

• |A|= ! 1.1.2.8(19 ! – 2

Ejemplo

1 0 1 1

1 1 0 0| |

0 1 1 1

1 1 0 1

A

− = −

−

1 0 1 1

0 1 1 1

0 1 1 1

0 1 1 2

= −

− −

1 0 1 1

0 1 1 1

0 1 1 1

0 0 0 1

= −

−

1 0 1 1

0 1 1 1

0 0 2 2

0 0 0 1

=

−


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7

Calcule la siguiente determinantes por el método de Gauss:

• |A|= 126

Ejemplo

1 2 0 1

3 1 2 0| |

2 0 4 11 1 0 3

A

− = −


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PROP!"A"!S #$S%AS "! "!&!R'(A(&!S

EL ETERMINANTE E UNA

MATRIZ RESULTA CERO

CUAN O:

Si la matriz es nula

Si la matriz tiene una $la o unacolumna de ceros

Si una $la o columna esi#ual o múltiplo de una$la o columna

Si es una matriz antisimétrica de orden impar


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EL DETERMINANTE DE UNA MATRIZRESULTA EL PRODUCTO DE SU

DIAGONAL PRINCIPAL SI Y SOLO SI:

Si la matriz esdia#onal

Si la matriz esescalar

Si la matriz es trian#ular

superior

Si la matriz es trian#ular

in%erior

*a matrizidentidadtienedeterminante

PROP!"A"!S #$S%AS "! "!&!R'(A(&!S


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Si multiplicamos a una $la o columna de una matriz sudeterminante queda multiplicado por dic+o escalar

Si multiplicamos a la matriz por un escalar su determinantequeda multiplicado por dic+o escalar elevado a su orden

Si intercam,iamos dos $las o dos columnas la determinantequeda cam,iada de si#no

=

=

PROP!"A"!S #$S%AS "! "!&!R'(A(&!S


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Ejemplos

Calcule la determinante de las siguientes matrices


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Aplicaci-n de ladeterminante en elclculo de reas de

pol/#onos con

coordenadas conocidasde los vérticesSe eli#e una coordenada del vértice

del pol/#ono lue#o se coloca de %ormaanti +oraria las coordenadasincrementando al $nal la primera $la 0

lue#o aplicar sarrus.


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Ejemplo

;se determinante los $értices dados para encontrar el

6rea del triangulo:


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“Pre cálculo”

Octava edición

Larson - Hostetler

BIBLIOGRAFÍA


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GRACIAS

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