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CEPREUNTELS – Ciclo Académico 2016-II Pág. - 1 -

Deductivo simple. Diagramas de Venn, Lewis- Carrol.

Ecuaciones lineales con una variable. Trazos de figuras 1

EJERCICIOS DE CLASE 1. En una encuesta realizada a todos los alumnos del

aula 08 del Cepre Untels sobre los deportes que practican, entre ajedrez, tenis de mesa y vóley, se obtuvo la siguiente información: I. Todos practican al menos uno de los tres deportes

mencionados. II. Los que practican ajedrez y vóley, también

practican, tenis de mesa. III. No es cierto que algunos practican solo ajedrez o

solo vóley. ¿Qué afirmación siempre es verdadera? A) Los que practican sólo vóley no practican, tenis

de mesa. B) Algunos no practican, tenis de mesa. C) Ninguno practica sólo, tenis de mesa. D) Los que practican sólo ajedrez no practican, tenis

de mesa. E) Todos practican, tenis de mesa. Solución De los datos sacamos que “Todos practican tenis de mesa” como muestra el siguiente gráfico:

2. Raquel espera comprarse una Ipod de 440 soles con

su sueldo que recibiría al trabajar una semana. Ella analiza las tres ofertas de trabajo que tiene en las tiendas Ripley, Metro y en Plaza Vea. Al analizar las propuestas deduce lo siguiente: • Si le pagan más de 400 soles entonces no

trabajará en Ripley. • Si recibe a lo más 500 soles entonces no trabajará

en Metro. • Si recibe por lo menos 600 soles entonces no

trabajará en Plaza Vea. ¿Dónde le conviene trabajar, para que con seguridad se pueda comprarse la Ipod? A) Solo en Metro B) Solo en Ripley C) Solo en Plaza Vea D) En Metro o Plaza Vea E) En Ripley o Plaza Vea Solución Precio de la Ipod: 440 soles. Las deducciones equivalentes son:

- Si trabaja en Ripley, entonces recibe ≤ 400 - Si trabaja en Metro, entonces recibe > 500 - Si trabaja en Real, entonces recibe < 600 Para que se compre la Ipod, debe trabajar en Metro

3. En una carrera donde participan solo cuatro deportistas y no debe haber empates, se sacó las siguientes conclusiones verdaderas: “Abdías no ganará, si se coloca en segundo lugar Gastón. Si Abdías gana, entonces se coloca en segundo lugar Paulo o Gastón. Si Marcelo se coloca en segundo lugar, Paulo no se colocará en segundo lugar. Abdías ganará.” Entonces A) Paulo o Marcelo serán terceros. B) Paulo quedara último lugar. C) Marcelo quedará en segundo lugar. D) Gastón quedará tercero. E) Gastón o Miguel quedaran en cuarto lugar.

Solución Como Abdías ganará, entonces Paulo o Gastón se colocaran es segundo lugar. Pero si Abdías gana, Gastón no es segundo. De este último, Paulo es segundo. De (1) Marcelo o Gastón quedará en cuarto lugar.

4. En una urna, se tiene siete fichas y cada una con

numeración diferente del 1 al 7. Tres personas toman 2 fichas cada una, obteniendo cada uno de ellos la misma suma en los valores de sus fichas. Si esta suma es un número par, ¿qué número tiene la ficha que quedó en la caja? A) 4 B) 2 C) 5 D) 3 E) 1 Solución Se observa 1 2 3 4 5 6 7 La única combinación de tres parejas que suman igual y además par es (1,7) (2,6) y (3,5). Por lo tanto el número que se quedó en la urna es el 4

5. En el cumpleaños de Fernando se inflaron 5 globos, como se muestra en la figura, que al final se reventaron. Cuando se reventó el globo con la letra O, quedaban todavía 2 globos sin reventar. El globo con la letra P no se reventó al inicio ni al final, pero si después del que tiene la letra A, que se reventó segundo. El globo con la letra L fue el que se reventó al último. Indique cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas: I. El globo con la letra U se reventó primero. II. El globo con la letra O se reventó cuarto.

LÓGICO MATEMÁTICA

01 CIENCIAS

Tenis de mesa

Ajedrez Voley
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Lógico Matemática Teoría y ejercicios – Semana # 01


III. El globo con la letra A se reventó antes que el globo con la letra O.

A) I y II B) solo I C) solo II D) I y III E) II y III Solución De los datos se tiene el siguiente orden: Primero: U Segundo: A Tercero: O Cuarto: P Quinto: L Luego I es V; II es F y III es V

6. Eduardo quiere descubrir los dígitos que forman un código que permite hallar dinero, y dicho código está escondido en la siguiente tabla, para esto, él debe señalar en cada columna, dos dígitos que sumen 8; luego en cada fila hacer lo mismo. Si después de borrar todos los dígitos señalados, los que quedan forman el código buscado, ¿cuál es la suma de los dígitos del código buscado por Eduardo?

A) 11 B) 10 C) 9 D) 21 E) 8 Solución Números de forma vertical que sumen 8, se muestra la tabla ya sacando estos.

Números de forma horizontal que suman 8, se muestra la tabla ya sacando estos.

Ahora trasladando al arreglo original, los números que quedan son el código secreto.

Por lo tanto el código secreto es 5+1+1+1+1 = 9

7. En un establo hay 1008 cabezas de ganado caprino, se sabe que de las hembras 3/8 son crías, los 2/5 del número total de hembras es igual al número de machos, y los 2/5 del número de hembras adultas están preñadas. ¿Cuántas hembras adultas no están preñadas? A) 180 B) 270 C) 300 D) 260 E) 280 Solución

hembras machos

crías

preñadas

5k 2k

2m

3m

3m

Hembras = 5k = 8 m Machos = 2k Total = hembras + machos Total = 7k = 1008 → k = 144 → 5k = 720 = 8m → m = 90 Por lo tanto, no preñadas = 3m = 270

8. De un total de 250 personas encuestadas sobre sus hábitos al tomar el desayuno, se obtuvo las siguientes respuestas: 30 personas tomaban soya con leche, 40 personas tomaban quinua con leche, 80 personas tomaban leche, 130 personas tomaban soya o leche y 150 tomaban quinua o leche. Si ninguno mezcla soya y quinua, ¿cuántas personas no tomaban ninguna de estas bebidas en el desayuno? A) 35 B) 45 C) 50 D) 30 E) 25 Solución De los datos se tiene el siguiente diagrama Total: 250

Soya Leche Quinua

50

7040

10

3050

Por lo tanto, 50 encuestados no toman ninguna de estas bebidas.

9. En un concurso de belleza, participan 96 señoras cuyas edades son de 55 a 58 años. Se sabe lo siguiente: Hay 4 señoras que no usaron vestido negro ni

blanco y no son menores de 57 años. Hay 3 docenas de señoras que tienen vestido

negro, pero no tienen 55 años.

2 5 1 3 5 2 6 1 6 1 3 5 1 3 2 6

1 5 2 1 1 3 1 6

2 5 1 6 1 1 3

1 5 1 1 1

P

A

U O

L



De las que no son mayores de 56 años, 2 docenas de señoras no tienen vestido negro ni blanco.

Cada vestido es de un solo color. ¿Cuántas señoras de 55 años tienen vestido negro, si esta cantidad es la tercera parte del número total de señoras que tienen vestido blanco? A) 10 B) 6 C) 7 D) 9 E) 8 Solución

55 años 56 años 57 años 58 años

V. negro

V. blanco

V. ni negroni blanco

x 36

24 4

x+36

3x

28

96

X+36+3x+28 = 96 4x + 64 = 96 X = 8 ∴ Tenemos 8 señoritas de 55 años que usaron vestido negros.

10. Don Bernabé dice lo siguiente: si reparto 15

caramelos a cada una de mis hijos me sobran 4 caramelos, pero si repartiese 22 caramelos a cada una de ellos me faltaría 10 caramelos. ¿Cuántos caramelos tendrá que dar a cada uno para que no le sobre ni le falte? A) 16 B) 19 C) 18 D) 17 E) 20 Solución # hijos = X 15X + 4 = C # caramelos = C 22X – 10 = C → 15X + 4 = 22X – 10 → 14 = 7X → X = 2 # Hijos = 2 C = 15(2) + 4 = 34 Número de caramelos 34, tendrá que dar a cada uno 17 caramelos

11. Yolanda escribió un número en su cuaderno y luego dibujó un rectángulo. Ella se dio cuenta de que el largo del rectángulo, en centímetros, es tanto como el triple del número que escribió en su cuaderno, más tres; y el ancho, en centímetros, es tanto como el exceso del número 8 sobre el duplo del número que escribió en su cuaderno. Si el perímetro del rectángulo que dibujó es 28 centímetros, halle el área del rectángulo. A) 15 cm2 B) 24 cm2 C) 18 cm2 D) 12 cm2 E) 36 cm2 Solución Número escrito: x De los datos: Largo: 3x + 3 Ancho: 8 – 2x 2(3x + 3) + 2(8 – 2x) = 28 Entonces x = 3 El área será: 12x2 = 24 cm2

12. Isela dijo: “Hoy gané el doble de dinero que gané ayer, pero mañana ganaré el triple de lo que gané ayer y hoy juntos”. Si por los tres días que trabajó en la Pre le pagaron S/. 840, ¿cuánto ganó Isela por el tercer día que trabajó? A) S/. 580 B) S/. 720 C) S/. 630 D) S/. 480 E) S/. 600 Solución Lo que gané ayer: x ayer hoy mañana → x + 2x + 3(x + 2x) = 840 → x = 70 Isela ganará = 9x = 9(70) = 630

13. ¿Cuántas de las figuras siguientes se puede dibujar con un solo trazo continúo ni pasar dos veces por una misma línea?

(I) (II) (III) (IV)

(V) (VI) (VII) (VIII)

A) 5 B) 4 C) 7 D) 6 E) 8 Solución Teniendo en cuenta las proposiciones del teorema de Euler para el recorrido tenemos Son posibles trazar: I, II, III, IV, V; VII y VIII

14. En la figura los hexágonos son regulares y el mayor

de todos tiene por lado 20 cm; además, cada diagonal del hexágono mayor ha sido dividida en partes iguales. Para dibujar dicha figura con un lápiz, de un solo trazo continuo, ¿cuál es la longitud mínima que debe recorrer la punta del lápiz? A) 460 cm B) 420 cm C) 480 cm D) 540 cm E) 520 cm Solución Long. Red: 6(5+10+15+20)=420 cm Long. Repet: 2x20=40 cm Por lo tanto, la long min. del recorrido es 460 cm

15. La figura que se muestra está formada por un cuadrado de lado 8 cm y cuatro semicircunferencias congruentes. Para dibujar dicha figura, de un solo trazo continuo, ¿cuál es la longitud mínima del recorrido de la punta del lápiz?

(3x+3) cm

(8-2x) cm



A) (44 + 9𝜋𝜋√2) cm B) (60 + 8𝜋𝜋√2) cm C) (40 + 8𝜋𝜋√2) cm D) (32 + 8𝜋𝜋√2) cm E) (48 + 7𝜋𝜋√2) cm Solución Long de la red = 32 + 8 2π cm Long repet: 8 cm Long. Min recorrido (32 + 8 2π ) cm


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Ecuaciones lineales con una variable. Trazos de figuras 1

EJERCICIOS DE EVALUACIÓN 1. Ruth asignó un número diferente a una letra

mediante un “OK”, como se observa en el cuadro, pero todas estaban equivocadas. Si se sabe que el número asignado a la vocal A es menor que el número asignado a la vocal E, pero mayor que el número asignado a la vocal O, ¿cuál es la diferencia positiva de los números asignados a las vocales I y U? A) 5 B) 6 C) 4 D) 2 E) 8 Solución 10 12 15 16 18 A OK E I OK O OK U

La diferencia positiva es entonces: 18 – 10 = 8

2. Fernando decide repartir 6 naranjas entre sus 3

sobrinos Abel, Betty y Cirila; antes de hacer el reparto decide escuchar a cada sobrino y le mencionan lo siguiente: Abel: “me gustaría recibir 2 o 3 naranjas”. Betty: “si no recibo 3 naranjas, Cirila recibirá solo

una naranja”. Cirila: “que Betty reciba menos naranja que Abel”. Si Fernando realiza el reparto quedando todos conforme, ¿cuál es la suma de naranjas que recibieron Abel y Cirila? A) 3 B) 4 C) 5 D) 2 E) 6 Solución Hay 10 maneras de repartir las 6 naranjas entre 3 personas.

Abel Betty Cirila 1 1 4 1 2 3 1 3 2 1 4 1 2 1 3 2 2 2 2 3 1

3 1 2 3 2 1 4 1 1

De los cuales solo cumple: Abel = 3, Betty = 2 y Cirila =1

3. En la figura, se muestra 6 fichas numeradas. ¿Cuántas fichas numeradas como mínimo deben ser cambiadas de posición, para que la suma de cada grupo de dos fichas sea la misma? A) 3 B) 2 C) 4 D) 5 Grupo I Grupo II Grupo III E) 6 Solución La suma es 21 y por ende debe ser repartido 7 en cada grupo.

3 fichas numeradas se deben mover.

4. Se tiene 3 fichas circulares, que tienen escrito en sus caras, seis números diferentes del 1 al 6. Al lanzarlos por primera vez, se obtienen 3 números cuya suma es 15; al lanzarlos por segunda vez, se obtiene tres números que suman 11. Si solamente un número de los seis no ha salido en los dos lanzamientos, ¿cuál es dicho número? A) 3 B) 2 C) 1 D) 5 E) 6 Solución Los números en las fichas son del 1 al 6. Tres números con suma 15, serán 6, 5, 4. En el segundo lanzamiento, debe salir uno de esos tres números y dos de los tres que quedan (3, 2, 1) entonces única posibilidad: 6 + 3 +2 =11 Entonces, el número que no salió en los lanzamientos es el 1.

5. Si Fernando lleva pareja de ases, lleva póker o gana;

si lleva póker, no lleva pareja de ases; si no sabe jugar al póker, no gana. Luego, si Fernando lleva pareja de ases, entonces A) sabe jugar al póker. B) ganará. C) sabe jugar al póker, pero no ganará. D) no ganará.

10 12 15 16 18 A Ok E Ok I Ok O Ok U Ok

LÓGICO MATEMÁTICA

01 CIENCIAS

1 2 3 6 4 5



E) no sabe jugar al póker. Solución Si lleva pareja de ases, entonces lleva póker o gana, y además no lleva póker Como lleva póker o gana, y de lo anterior no lleva póker, entonces Fernando ganará el juego.

6. En una reunión de 120 alumnos, 30 son varones que no les gusta chicharrón y 50 son mujeres que sí les gusta chicharrón. Si el número de varones que les gusta chicharrón es la tercera parte de las mujeres que no les gusta chicharrón, ¿a cuántas personas les gusta chicharrón? A) 60 B) 80 C) 70 D) 40 E) 10 Solución Con los datos construimos el siguiente cuadro: Hombres Mujeres Gustan chicharrón x 50 No gustan chicharrón 30 3x

x + 3x + 50 + 30 = 120 x = 10 x + 50 = 60 ∴ personas que gustan chicharrón = 60

7. En una reunión mundial sobre preservación del medio ambiente, 200 representantes de diferentes países discuten sobre alternativas de sustitución de recursos energéticos formando tres grupos de trabajo. Si 80 de ellos eligen trabajar en el grupo A, 78 en el M y 96 en el C; además, 20 de ellos deciden trabajar en los tres grupos; 42 no están de acuerdo con ninguno de los grupos y se retiran de la reunión, 18 se dedican a trabajar con los grupos A y M discrepando con el grupo C, y 38 se dedican exclusivamente al grupo C. ¿Cuántos trabajan en un solo grupo? A) 62 B) 76 C) 78 D) 82 E) 86 Solución

Del gráfico Se tiene a + b=38 m + a = 42 n + b = 40 de estas tres igualdades se tiene

m + n = 44 Por tanto, los que trabajan en un solo grupo: m + n + 38 = 82

8. En un ómnibus viajan 38 pasajeros entre los cuales se observa que: 20 personas están sentadas, hay 13 mujeres en total, de los que están parados 8 son varones que no

leen, y de las 10 mujeres sentadas 8 no leen. ¿Cuántos varones que están parados leen? A) 8 B) 9 C) 7 D) 6 E) 5 Solución Colocamos los datos como en la figura:

Como x+8+3 = 18 x = 7

9. Marcos pensó en repartir su fortuna en partes

iguales entre sus “p” hijos. A cada uno le tocaría S/. 28 800, pero como uno de los hijos falleció en un accidente, entonces cada uno de los restantes recibió S/. 32 400. Calcule el valor de “p –1”. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 Solución

10. El número de chocolates que tiene Rosario es igual

a los cuatro quintos del número de chocolates que tiene Gisela. Gisela tiene 2 tercios del número de chocolates que tiene Lucy y Noelia tiene el doble del número de chocolates que tiene Lucy. Si Noelia tiene 22 chocolates más que Rosario, ¿cuántos chocolates tiene Gisela? A) 10 B) 25 C) 20 D) 5 E) 15 Solución Si colocamos adecuadamente: Rosario = 8k Gisela = 10k Lucy = 15k Noelia = 30k Luego Noelia – Rosario = 22k = 22 → k = 1 ∴ Gisela = 10

11. Ocho niños compraron igual cantidad de dulces, por

los que cada uno debe pagar una misma cantidad de soles. Dos de ellos solo pueden pagar la mitad y

M(78)



otros dos sólo la cuarta parte de lo que les corresponde, obligando de este modo a cada uno de los restantes a pagar S/.10 más de lo que le corresponde. ¿Cuánto debía pagar cada uno? A) S/.28 B) S/.25 C) S/.18 D) S/ 16 E) S/.21 Solución

12. Aquí mostramos los planos de ciertos departamentos. ¿Cuál o cuáles de ellos se prestan para pasar por todas las puertas de una sola vez empezando y terminando afuera?

(I) (II)

A) Solo I B) solo II C) I y II D) Ni I ni II E) faltan datos Solución Teniendo en cuenta los criterios de los recorridos Eulerianos tenemos: En I hay dos cuartos que tienen número impar de puertas por lo que se puede pasar por todas las puertas pero al iniciar afuera no se puede realizar el trazo. En II encontramos todos los cuartos tienen número para de puertas se puede pasar por todas Respuesta solo II

13. ¿Cuál es la menor longitud, en centímetros, que

debe recorrer la punta de un lápiz, sin levantarla del papel, para dibujar un triángulo equilátero de 10 cm de lado junto con sus tres alturas?

A) (40 + 15√3) cm B) (50 + 15√3) cm C) (40 + 20√3) cm D) (55 + 25√3) cm A) (45 + 20√3) cm Solución

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