Teoría de Conjuntos...2 1.3 Representación gráfica de conjuntos Los conjuntos se pueden...
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1 Teoría de Conjuntos
Se llama conjunto a toda agrupación, colección o reunión de individuos (cosas, animales, personas o
números) bien definidos que cumplen una propiedad determinada. A los objetos del conjunto se
denominan “elementos”.
Los siguientes son algunos ejemplos de conjunto:
El conjunto formado por los colores de la bandera de Argentina.
La colección de letras de la palabra “murciélago”.
El conjunto formado por los dígitos del número 345923238.
La agrupación de números naturales menores que 10
La agrupación de números impares entre 0 y 20.
1.1 Notación de conjuntos
Ejemplo: utiliza la notación correcta para escribir los conjuntos dados
A= El conjunto formado por los colores de la bandera de Argentina.
…………………………………………………………………………………..
B= La colección de letras de la palabra “murciélago”
……………………………………………………………………………………
C= El conjunto formado por los dígitos del número 345923238
………………………………………………………………………………….
D= La agrupación de números naturales menores que 10
……………………………………………………………………………………….
E= La agrupación de números primos entre 0 y 20
……………………………………………………………………………………
1.2 Determinación de conjuntos
La determinación de un conjunto corresponde a la manera como éste puede expresarse. Para
determinar un conjunto se utilizan dos formas: determinación por extensión y la determinación por
comprensión.
1.2.1 Determinación de conjuntos por extensión
Un conjunto se determina por extensión cuando se enumeran o se nombran los elementos del conjunto.
Cuando el conjunto es finito se escriben entre llaves, separados por comas. Cuando el conjunto es
infinito se escriben entre llaves algunos elementos y se ponen puntos suspensivos
Ejemplo: Planetas del sistema solar ………………………………………………………..
Números pares entre 1 y 15 ………………………………………………………..
1.2.2 Determinación de conjuntos por comprensión
Un conjunto se determina por comprensión enunciando la propiedad o cualidad que distingue a los
elementos. Para tal fin se utiliza lo siguiente:
{x/x cumple la propiedad},que se lee: el conjunto de las x tal que x cumple la propiedad
Ejemplo:Determina por comprensión los siguientes conjuntos A={luna}= ……………………………………………………………..
B={a;e;i;o;u}= ………………………………………………………………
C={a;b;c;c;e ……z} = ………………………………………………………….
2
1.3 Representación gráfica de conjuntos
Los conjuntos se pueden representar gráficamente mediante diagramas de Venn. Estos diagramas
fueron descubiertos por el lógico y matemático británico John Venn (1834–1923). Esta representación
más conocida como “diagramas de Venn”, consisten en figuras geométricas planas y cerradas; dentro
de cada figura se ponen los elementos que le corresponden. Estos diagramas serán los utilizados en el
desarrollo de este texto.
1.4 Relaciones de conjuntos
Las relaciones que se pueden dar entre conjuntos son: pertenencia, inclusión e igualdad.
1.4.1 Relación de pertenencia
El signo que representa la relación de pertenencia es, que fue descubierto por el matemático y
filósofo italiano, Giuseppe Peano (1858 –1932), quien es conocido por sus contribuciones a la Teoría
de conjuntos.
En efecto, sea A un conjunto cualquiera y x un elemento, para indicar que x es elemento de A o
simplemente que, x está en A se simbolizax A
1.4.2
1.4.3 Relación de Inclusión de conjuntos
es una relación que vincula a conjuntos conjuntos. Se simboliza con (está incluído en) o (no está
incluído en )
Ej.: Sea los conjuntos A= { a;e;i;o;u} B= { a;e;i;o;u;f;g;h} C= { f;g;h} D= { a;h;t; m}
A B A C A D C B B D
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1.5 Clases de conjuntos
1.5.1 Conjunto finito
Es aquel conjunto cuya cantidad de elemento se puede contar; es decir, es aquel conjunto en que sus
elementos se pueden nombrar o enumerar.
Ejemplo: A={x/x es un número entero mayor o igual que -3 y menor que 5}. Este conjunto está
formado por 8 elementos. En efecto, A={-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,4}
1.5.2 Conjunto vacío
Existe un conjunto especial denominado “conjunto vacío” o “conjunto nulo” y algunos definen como
un conjunto sin elementos.
Ej: ………………………………………………………………………………………………………...
1.5.3 Conjunto unitario
El conjunto unitario es aquel solamente tiene un elemento.
Ej.: A={x/x es un pontífice entre los años 1985 y 2005}={Juan Pablo II} es un conjunto unitario.
1.5.4 Conjunto binario
El conjunto binario es aquel que está formado por dos elementos.
Ej: ………………………………………………………………………………………………………
1.5.5 Conjunto universal
El conjunto universal es el conjunto formado por todos los objetos de estudio en un contexto dado. Se denota por U y también se le llama conjunto universo. Si en un estudio intervienen los conjuntos A={a, b, c}, B={f, g, h, i, j} y C={x, y}, entonces el conjunto universal U del contexto es: U={a, b, c, f, g, h, i, j, x, y}
1.5.6 Conjunto infinito
Es aquel conjunto cuya cantidad de elemento no se puede contar; es decir, es aquel conjunto en que sus
elementos no se pueden nombrar o enumerar.
Son ejemplos de conjuntos infinitos los conjuntos numéricos como los naturales (N)
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1.6 Operaciones entre conjuntos
Las operaciones que pueden realizar con conjuntos son: la intersección, la unión, la diferencia y el
complemento.
1.6.1 Intersección de conjuntos
La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos comunes de
ambos conjuntos es decir, es el conjunto formado por todos los elementos repetidos y se denota
Ej.: Dados A={a, b} y B={a, b, u, v}; se tiene que A ∩ B=……………………………….. Ej.: Dados A={a, b, c, d, e, f, g} y B={d, e, f, g, h, i}; se tiene que A ∩ B=………………….
1.6.2 Unión de conjuntos
La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos comunes y no
comunes de ambos conjuntos (sin repetir elementos) y se denota
Ej.: Dados A={a, b} y B={a, b, u, v}; se tiene que A U B=……………………………….. Ej.: Dados A={a, b, c, d, e, f, g} y B={d, e, f, g, h, i}; se tiene que A U B=………………….
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1.6.3 Diferencia de conjuntos
La diferencia entre de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos no
comunes del conjunto B respecto al conjunto A; es decir, los elementos que están en A, pero no están
en B y se denota A-B
Ej.: Dados A={a, b} y B={a, b, u, v}; se tiene que A - B =……………………………….. Ej.: Dados A={a, b, c, d, e, f, g} y B={d, e, f, g, h, i}; se tiene que A - B=………………….
1.6.4 Complemento de un conjunto
El complemento de un conjuto A respecto de su Universal (U) es un conjunto formado por los
elementos que pertenecen a U y no pertenecen a A
𝐴 = U-A = {x/x U ^ x A}
Ej: Sean U = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21} A = {17, 18} B = { 11, 12, 13}
Represéntalos gráficamente y halla 𝐴 y 𝐵
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2 Funciones. Generalidades 2.1 Coordenadas cartesianas
Para ubicar puntos en un plano, se utiliza un sistema de referencia llamado sistema de ejes
cartesianos .Consiste en dos rectas perpendiculares que se cortan en un punto llamado origen de
coordenadas. La recta horizontal recibe el nombre de eje de abscisas ( se la simboliza con x), y la
recta vertical se denomina eje de ordenadas (se la simboliza con y)
La primera coordenada del punto siempre es xy la segunda coordenada siempre seráy; a partir de
esta característica se lo denomina par ordenado.
2.2 Relación
Una relación es una característica o propiedad que relaciona a los elementos del conjunto de partida
con los elementos de un conjunto de llegada.
Ej:
…es amigo de …..
….. calza el nº …….
……tiene como hermano a ……
……es autor del libro……
……es menor que …..
2.3 Función
Una función es una relación que le hace corresponder a cada elemento del conjunto de partida
(Dominio) uno y solo un elemento en el conjunto de llegada (Codominio).
Ej:
….. calza el nº …….
……tiene como DNI a ……
……profesa la religión ……
2.4 Formas de expresión de una función
2.4.1 Coloquial
Ej:
….. es novio de …….
……tiene como doble a ……
7
……va al colegio ……
2.4.2 Mediante Diagramas de Venn:
2.4.3 Mediante LEY
En las funciones numéricas se llama ley a la expresión simbólica de la relación matemática que vincula
a los elementos de partida (a los que se llama genéricamente x) con los elementos de llegada ( a los
que se llama genéricamente y o imágenes)
Ej: ……tiene por doble a …….
Y = 2. X y= 2.x f(x)= 2.x Ley de la función
X: variable independiente
F(x) o y : variable dependiente o imagen de x
Ej.: Dadas las siguientes funciones representadas por diagramas de Venn, analiza la relación entre los
valores de partida y llegada y escribe la ley de la función
F(x) = …………… F(x) = …………… F(x) = ……………
Ej: Dada la función f(x) = 3.x – 2 , halla f(3), f(-1) y f(1/3)
…………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
Ej.: Dada la función f(x) = 2x + 4 halla x tal que f(x) = 6
…………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
2.4.4 Mediante el uso de tablas:
Ejemplo:
x F(x)= 2.x A los valores de f(x) (que
también llamamos “y”,
los calculamos
reemplazando el valor de
A los valores de x los
proponemos
1
2
3
2
3
4
2
3
4
3
5
7
2
3
4
4
9
16
8
x en la ley de la función
2.4.5 Mediante Gráficas Cartesianas:
Además de la expresión analítica de una función (f(x) = 2x), se suelen utilizar gráficas para
visualizarlas y entenderlas de una forma rápida:
Al unir los puntos, la curva representada se
llama gráfica de la función.
En este caso la gráfica de la función es una
…………..
2.5 Reconocimiento de Funciones
2.5.1 A partir de representación por diagramas de Venn
Recordemos que para que una relación sea función, a cada elemento del conjunto de partida (Dominio)
le debe corresponder un UNICO elemento en el conjunto de llegada (CODOMINIO).
Ej.: Analiza si las siguientes relaciones son funciones
……………………. ……………………. ……………………. …………………….
2.5.2 A partir de gráficas cartesianas
Si al trazar una vertical cualquiera, dicha vertical corta a la grafica cartesiana en más de un punto,
entonces, NO SE TRATA DE UNA FUNCIÓN.
Ej.: comprueba cuáles de las siguientes gráficas representan funciones
x F(x) = 2.x Puntos
-3 2. (-3)= -6 P1 (-3;-6)
-2 2. (-2)= -4 P2 (-2;-4)
-1 2. (-1)= -2 P3 (-1;-2)
0 2.0= 0 P4 (0;0)
1 2.1= 2 P5 (1; 2)
2 2.2= 4 P6 (2;4)
3 2.3= 6 P7 (3;6)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
9
2.6 Dominio, Codominio y Rango o Recorrido
Dominio: es el conjunto de valores de partida de una función. A sus elementos se los identifica con la
letra x. Estos valores deben hacer posible la existencia de un valor de llegada también llamado Imagen.
Ej: f(x) = 3.x – 5 el dominio de esta función es R porque ………………………………………….…..
………………………………………………………………………………………………………..….
……………………………………………………………………………………………………..…….
Ej: f(x) = 1/x el dominio de esta función es {R – 0} porque ………………………….………………..
…………………………………………………………………………………………..……………….
………………………………………………………………………………………………………..….
Ej.:
Cuando hay un problema en el dominio, la
gráfica de una función no tiene imagen en ese
valor de x. Se dice que la gráfica se hace asíntota
a una vertical que pasa por ese valor de x y
escapa hacia el +∞ o el -∞
…………………………………………………..
………………………………………………..
…………………………………………………..
Codominio: es el conjunto de valores de llegada de una función. A sus elementos se los identifica con
la letra y. En nuestro caso, en este curso estamos estudiando funciones reales, por lo tanto el
Codominio de todas las funciones que estudiemos será el conjunto R.
Rango, Recorrido o conjunto Imagen:El es subconjunto del codominio formado por los valores que
efectivamente son imágenes de valores del dominio.
Ej,:
x
x
x
y
y
y
10
2.7 Raíces de una Función
Dado un valor de partida x0, se dice que x0 es raíz de la función f(x) si y solo si f(x0) = 0
Ej: Verifica si x0= 3 es raíz de la función f(x) = x2 – 6x + 9
……………………………………………………………………………………………………
Ej: Verifica si x0= 5 es raíz de la función f(x) = x2 – 6x + 9
……………………………………………………………………………………………………
Desde el punto de vista geométrico, las raíces son los puntos donde la gráfica cartesiana de f(x) corta al eje x.
Ej. : Identifica en cada gráfica las raíces de cada función
2.8 Intervalos de Monotonía
Se llama así a los intervalos o conjuntos de valores de partida (x) para los cuales la función f(x) se comporta de una misma manera es decir: crece, decrece o permanece constante.
2.8.1 Función creciente
F(x) crece en el intervalo (a;b)
dados x1;x2 (a;b) si x2>x1 f(x2) >f(x1)
2.8.2 Función decreciente
F(x) decrece en el intervalo (a;b)
dados x1;x2 (a;b) si x2>x1 f(x2) <f(x1)
2.8.3 Función constante
F(x) es constante en el intervalo (a;b)
dados x1;x2 (a;b) si x2>x1 f(x2) =f(x1)= K K R
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2.9 Intervalos de conservación de signo
2.9.1 Función positiva
F(x) es positiva en el intervalo (a;b) para toda x (a;b) f(x) >0
2.9.2 Función Negativa
F(x) es negativa en el intervalo (a;b) para toda x (a;b) f(x) <0
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2.10 Análisis de Gráfica cartesiana
Ejemplo: Analiza la siguiente gráfica e informa:
a) F(-1), f(2) y f(-4) b) Raíces c) Intersección con el eje y (ordenada al
origen) d) Intervalos de monotonía e) Intervalos de conservación de signo ……………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………. ……………………………………………………………. ………………………………………………………………
2.11 Función Inversa
Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1
que cumple que:
Si f(a) = b, entonces f−1
(b) = a.
Veamos un ejemplo a partir de la función f(x) = x + 4
Podemos observar que:
El dominio de f−1
es el codomino de f.
El codominio de f−1
es el dominio de f.
Las gráficas de f y f-1
son simétricas respecto de la bisectriz
del primer y tercer cuadrante.
2.11.1 Ley de la función inversa
1.Se escribe la ecuación de la función con x e y.
2.Se despeja la variable x en función de la variable y.
3.Se intercambian las variables.
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Ej.: Sea f(x)= 2x – 6, halla la ley de f-1 (x) Y= 2x – 6 Y + 6 = 2x (𝑦 +6)
2= x
y/2 + 6/2 = x
½. Y + 3 = x f-1(x)= 𝑦 = 1
2 𝑥 + 3
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3 Función Lineal 3.1 Su ley
La función lineal tiene como ley un polinomio de primer grado o de grado cero. Su ley tiene esta forma
F(x) = m.x + hm;h R m= pendiente h= ordenada al origen
Ej.: f(x) = 2x – 4 ……………………………………………………………………………………………………………………… f(x) = 5x ……………………………………………………………………………………………………………………… f(x) = -3 ………………………………………………………………………………………………………………………
3.2 Su gráfica
La gráfica de una función lineal es una ………………..
3.3 Significado geométrico de m
15
3.4 Significado geométrico de h
Dada una función lineal del tipo y= m.x + h, si evaluamos a la función en x=0 queda:
y=m. 0 + h y= h P(0;h) pertenece a la recta
Por eso, como la recta intersecta al eje y justo en el punto h, dicho valor h se llama “ordenada al
origen”
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3.5 Trazado simplificado de una función lineal
3.6 Pertenencia de un punto a una recta
Se dice que un punto P( x1 ; y1 ) pertenece a una recta "r" cuando alreemplazar en la ley de la función
se cumple que
y1= m.x1 + h
Ej.: Verifica si los puntos P1(3;5) y P2 (5;7), pertenecen a la recta y=2x – 1
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
3.7 Intersección de una recta con los ejes coordenados
cartesianos
Para hallar la intersección con el eje x
debemos plantear que la coordenada y del
punto en cuestión debe ser cero y=0
m.x + h = 0
m.x= -h
x= -h/m Ej.: La recta graficada tiene como ley
y= -2/3 x +2 entonces -2/3 x + 2= 0
Para hallar la intersección con el eje y
debemos considerar que la coordenada x
vale cero, entonces y= m.0 + h y= h
Ej.: En la recta que estamos estudiando y =
-2/3.0 + 2 y= 2
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3.8 Condiciones de Paralelismo y Perpendicularidad
Sean las rectas r1 y r2 de pendientes m1 y m2 respectivamente, se cumple que: a) r1 // r2 si y solo si m1 = m2
b) r1 ↓ r2 si y solo si m2 = - 1/m1
Ej.: Contesta Verdadero o falso
a) y = 2x + 1 es paralela a y = 2
b) y = 1/3x es perpendicular a y = -3x + 2
c) y = x - 1 es paralela a y = -x + 1
d) y = 2 es paralela a y = -5
e) y = 1 - x es perpendicular a y = -1 + x
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
Ej. Halla la ley de una función f(x) que sea paralela a g(x) = 3x – 2 y corte al eje y en 7. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
Ej. Halla la ley de una función f(x) que sea perpendicular a g(x) = 2x – 4 y corte al eje y en 8.
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
3.9 Ley de la recta que pasa por dos puntos
Ej. Halla la ley de la función lineal que pasa por los puntos P(3; 7) y Q (1;5).
Si el punto P pertenece a la recta entonces sus coordenadas deben cumplir la ley, por lo tanto vamos a
reemplazar las coordenadas de ambos puntos en la ley de la función.
Y= m.x + h 7 = m. (3) + h
5= m.1 + h
Escribamos más sencillo…. 7 = 3m + h
5= 1 m + h
Y más sencillo aún... 3m + h= 7 Nos quedó un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas!!
1m + h = 5 Restemos m.a m.
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2m= 2 Nos quedó una ecuación con una incógnita, podemos
despejar m
m= 1
Reemplacemos la m hallada en cualquiera de las ecuaciones y podremos despejar h
1. (1) + h = 5 h= 5 - 1 = 4 . Entonces la función lineal que pasa
por los puntos dados es y= 1 x +4
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4 Función cuadrática 4.1 Ley de la Función Cuadrática
Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:
f(x) = ax2 + bx + c
donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser
mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero.
En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.
Así,
ax2es el término cuadrático bxes el término lineal c es el término independiente
Ej.: f(x)= 3x2 – 2x + 5 a= 3 b= -2 c= 5
4.2 Su gráfica
Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva
llamada parábola.
La función cuadrática más sencilla es f(x) = x2 cuya gráfica es:
x f(x) = x2
-3
-2
-1
-0.5
0
0.5
1
2
3
4.3 Orientación o concavidad
Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola
cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexasi sus ramas o
brazos se orientan hacia abajo.
Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax2):
Si a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o
con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x2 −
3x − 5
Si a < 0 (negativo) la parábola es convexa o
con puntas hacia abajo, como en f(x) = −3x2 +
2x + 3
20
Además, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola.
4.4 Forma canónica de una función cuadrática
Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente
manera:
Siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k)
las coordenadas del vértice de la parábola.
21
Ej.: f(x) = 3. (x – 2)2 +1
4.5 Forma Factorizada de una función cuadrática
Toda función cuadrática se puede escribir en forma factorizada en función de sus raíces como:
siendo a el coeficiente principal de la función, y x1 y x2 las raíces de f(x)
Ej.: f(x) = -2. (x – 1). (x + 3)
4.6 Forma Polinómica de una función cuadrática
Ordenada al Origen
Es el punto de intersección de la parábola con el eje y.
Sus coordenadas son siempre: P(0;c)
Raíces
Como las raíces de cualquier función, son los valores de
x tales que f(x) es cero.
x es raíz de f(x) f(x)=0
Entonces, como en este caso f(x)= ax2 + bx + c,
pediremos que f(x)= ax2 + bx + c =0
Nos queda entonces una ecuación cuadrática que podrá
tener hasta dos soluciones, que obtendremos a través de
la siguiente fórmula…
Ej; Sea f(x)= 2x
2 -5x-2, halla el valor de sus raíces
…………………………………………………………………………………………………………..
22
………………………………………………………………………………………………………….
.
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
Vértice de la parábola
El vértice de una parábola es un punto con las siguientes coordenadas V(vx: vy)
Donde vx y vy se pueden calcular a partir de los datos a, b y c que son los coeficientes que aparecen en
la ley de la función
Vx= −𝑏
2𝑎
Vy= − (𝑏2−4𝑎𝑐 )
4𝑎
Ej; Sea f(x)= 2x2 -5x-2, halla las coordenadas del vértice
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
4.7 Discriminante. Concepto y Propiedades
Al plantear las raíces tuvimos que encontrar solución a la ecuación:ax2 +bx +c = 0 Esas solución se obtiene a partir de la fórmula de la Resolvente, pero dentro de dicha fórmula podemos definir un valor importante: el discriminante
Podemos distinguir tres casos:
Si el discriminante = b2 – 4ac< 0 , entonces no hay soluciones reales de la ecuación. (Necesita
de números complejos para manejar este caso adecuadamente)
Si el discriminante = b2 – 4ac = 0, hay únicamente una solución.
Si el discriminante = b2 – 4ac> 0, entonces el símbolo ± significa que obtiene dos respuestas.
Las soluciones de esta ecuación corresponden a las intersecciones en el eje x de la parábola que
es gráfica de la función cuadrática
Así, se puede usar el discriminante para encontrar el número de intercepciones en x de una parábola.
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Parábola con dos
intersecciones en x
(discriminante positivo)
Parábola con una
intersección en x
(discriminante cero)
Parábola sin intersección
en x
(discriminante negativo)
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5 El conjunto de los Números Reales 5.1 El conjunto de los números racionales (Q)
Un número racional es un número que se puede escribir comofracción .
Todo número racional se puede expresar como un número decimal exacto o como un
número decimal periódico, es decir con infinitas cifras decimales que se repiten
Escribamos como fracción a los siguientes números:
a) 3= ………… b) 0,25= ………. c) 1,5= ………….. d) 0,02= ………… e) 0,2222222..= ………..
5.2 El conjunto de los números Irracionales (I)
Un número irracional es un número que no se puede escribir en fracción (el decimal sigue para
siempre sin repetirse) .Se llama irracional porque no se puede escribir en forma de razón (o
fracción).Ejemplo: Pi es un número irracional. El valor de Pi es
3,1415926535897932384626433832795 (y más...) Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna fracción que tenga el valor Pi.
5.2.1 Números irracionales famosos
Pi es un número irracional famoso. Se han calculado más de un millón de cifras decimales y sigue
sin repetirse. Los primeros son estos:3,1415926535897932384626433832795 (y sigue...)
El número e (el número de Euler) es otro número irracional famoso. Se han calculado muchas cifras
decimales de e sin encontrar ningún patrón. Los primeros decimales son:
2,7182818284590452353602874713527 (y sigue...)
La razón de oro es un número irracional. Sus primeros dígitos son:1,61803398874989484820... (y
más...)
Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son irracionales. Ejemplos:
√3 1,7320508075688772935274463415059 (etc)
√99 9,9498743710661995473447982100121 (etc)
Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las raíces son irracionales.
5.3 El conjunto de los números reales (R)
Al conjunto de los números reales se llega por sucesivas ampliaciones del campo numérico a partir de los
números naturales. En cada una de las ampliaciones se avanza y mejora respecto de la anterior.
Con los números naturales, que son enteros y positivos, (N) se puede sumar y multiplicar pero no se puede
restar a – b si b es mayor que a; por ejemplo si hacemos 3-5= -2 y ya no nos da como resultado un número
natural. Se definen así los números negativos o enteros negativos que al unirse con el cero y los naturales
constituyen el conjunto de los números enteros (Z).
Con los números enteros (Z) se puede sumar, restar, multiplicar pero no dividir a / b si a no es múltiplo
de b; por ejemplo si hacemos 1 2= 0,5 no es un número entero.
Se definen así los números fraccionarios que unidos a los enteros constituyen el conjunto de los
números racionales.
25
Con los números racionales se puede sumar, restar, multiplicar y dividir (a/bsi b 0).
Si bien el conjunto de los números racionales tiene una muy buena estructura para realizar las
diferentes operaciones quedan algunas situaciones que no se pueden considerar dentro de él ( ,
π , entreotros). Surgen los números irracionales para dar respuesta a estas instancias.
Los números irracionales (I) unidos a los racionales (Q) definen el conjunto de los números reales (R).
5.4 Algunos símbolos que usaremos a lo largo del curso
5.5 Radicales Aritméticos
Se llama Radical aritmético a toda expresión algebraica (producto de números y/o letras) donde uno de
los factores es una raíz irracional
Ej: 8 ; ……………………………………………………………………………………
5.6 Propiedades de los Radicales Aritméticos
Ej.:
Ej: …………………..
El valor de una raíz no varía si multiplicas o divides por un mismo número al índice y al exponente del
radicando.
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Ej.: =
Ej.: ……………………………………..
Ej.: Cuando el número bajo el radical es grande es conveniente descomponerlo en factores primos
Ej.:
El producto de las raíces con igual índice es la raíz del producto.Esta propiedad nos indica que
resolver el producto de dos o más raíces con igual índice es igual a la raíz del producto de las cantidades sub-
radicales con el mismo índice, en términos generales:
Ej.: ……………………..
El cociente de las raíces con igual índice es la raíz del cociente.Esta propiedad nos indica que
resolver el cociente de dos o más raíces con igual índice, es igual a la raíz del cociente de las cantidades sub-
radicales con el mismo índice, entérminos generales:
Ej.: …………………………………………. Potencia de una raíz:Escribir una raíz elevada a una expresión, es igual a escribir bajo el signo radical
la cantidad sub-radical elevada a esa misma expresión, es decir:
Ej.: …………………… Raíz de una raíz:Resolver esto es muy fácil, sólo se deben multiplicar los índices de los radicales y
escribir un nuevo radical con este resultado como índice y se conservan las cantidades
sub-radicales. Esta regla o propiedad se enuncia de la siguiente forma:
27
Ej.: …………………………… NOTA: No existe ninguna propiedad que distribuya la suma o la resta en un radical.
5.7 Simplificación de Radicales Aritméticos
Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando,
se obtiene un radical equivalente.
5.8 Extracción de factores de los Radicales Aritméticos
Se descompone el radicando en factores. Si:
Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando.
Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando.
Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente
obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor
dentro del radicando.
5.9 . Operaciones con Radicales Aritméticos
5.9.1 Suma y resta de Radicales Aritméticos
Para sumar y restar radicales se debe tener en cuenta que los radicales han de ser semejantes.
Son radicales semejantes: ya que en ambos el índice de la raíz es 4 y la parte literal es x
No son radicales semejantes: porque los índices de los radicales son distintos, aunque la parte literal es la misma.
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No son radicales semejantes: porque la parte literal es distinta.
Son radicales semejantes: aunque tienen distinto coeficiente numérico, tienen igual raíz e igual parte literal
Ejemplos:
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
5.9.2 Producto y cociente de Radicales Aritméticos
Multiplicación de raíces de igual índice
Según una propiedad de los radicales:
Esto significa que si dos números están multiplicándose dentro de una raíz, se puede extraer la raíz de cada uno
de ellos en forma separada y luego multiplicarlos; o también que si hay dos raíces de igual grado
multiplicándose se pueden multiplicar los números y obtener la raíz después.
Ejemplo 1:
Dentro de la raíz cuadrada tenemos una multiplicación (9x4), sacamos la raíz cuadrada a cada uno de los
números para finalmente multiplicarlos.
Ejemplo 2:
………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Ejemplo 3:
Calcular el producto de =
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
Ejemplo 4:
Calcular el producto de
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
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………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
Multiplicación de raíces de distinto índice
Para realizar una multiplicación de radicales que tengan distinto índice es obligatorio reducir esos índices
distintos a un índice común(igual para todos los radicales).
¿Cómo hacerlo?
El primer paso es hallar el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los índices, que será el índice común.
Luego, dividimos ese índice común por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por
sus exponentes correspondientes.
Veamos un ejemplo:
Si tenemos …………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
Otro ejemplo: =……………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
División de radicales
El proceso es parecido, veamos el ejemplo:
= ………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
5.10 Racionalización de Denominadores
Cuando tenemos fracciones con radicales en el denominador conviene obtener fracciones equivalentes
pero que no tengan radicales en el denominador. A este proceso es a lo que se llama racionalización
de los denominadores.
Se pueden dar DOS casos: CASO 1: Si el denominador sólo tiene un término con una raíz de índice cualquiera se multiplica y divide
por una misma expresión, cuya raíz tiene el mismo índice. El contenido va a ser el mismo pero los nuevos
exponentes, al sumarse con los anteriores, deben dar como resultado el índice de la raíz
Por ejemplo:
1
253 =
1
523 . 53
53 =
53
533 = 53
5
30
Otro ejemplo: 6
24 =
CASO2: Si el denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales o en los dos hay una
raíz cuadrada, se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. O sea si es una
suma se multiplica por la resta, y viceversa.
Por ejemplo , multiplicamos numerador y denominador por
En el denominador siempre va a aparecer un producto de una suma por una diferencia, o sea una expresión del
tipo (Diferencia de cuadrados!!)
Otro ejemplo:
5.11 Potencia de exponente fraccionario
Toda raíz puede convertirse en una potencia de exponente fraccionario. Este exponente será una fracción cuyo
numerador será el exponente del contenido de la raíz y cuyo denominador será el índice de la raíz.
Ejemplos:
La suma de los exponentes debe dar igual que el índice de la raíz, o sea 3
31
6 Números Complejos 6.1 Unidad imaginaria
La unidad imaginaria es el número y se designa por la letra i lo que implica que = i
Ej.:
6.1.1 Potencias de la unidad imaginaria
i 0 =1 i
4 =i
2 .i
2 =(-1).(-1)=1 i
8 =i
4 .i
4 =(-1).(-1)=1
i 1 =i i
5 =i
4 .i=1.i= i i
9 =i
8 .i=-1.i=-i i= - i
i 2 = −1
2
2 = -1 i
6 =i
4 .i
2 =1.(-1)=-1 i
10=i
8 .i
2 =1.(-1)= -1
i 3 =i
2 .i=-1.i= -i i
7 =i
6 .i=(-1).i = - i i
11 =i
10 .i=(-1).i = - i
Revisando los cálculos anteriores se puede comprobar que las primeras cuatro potencias se repiten, por
lo tanto podemos establecer un algoritmo para calcular cualquier potencia de la unidad imaginaria. Por
ejemplo:
i22 = i2
= − 1
6.2 Números imaginarios
Un número imaginario se denota por bi, donde :b es un número real.i es la unidad imaginaria. Ej.:
……………………………………………………………………………
6.3 Números complejos en forma binómica
Al número a + bile llamamos número complejo en forma binómica.El número ase llama parte real
del número complejo. El número bse llama parte imaginaria del número complejo
Ej.: ………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a + 0i = a.
Si a = 0 el número complejo se reduce abi, y se dice que es un número imaginario puro.
El conjunto de todos números complejos se designa por:
Los números complejosa + bi y −a − bi se llaman opuestos.
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Los números complejosz = a + bi y z = a − bi se llaman conjugados.
Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma
componente imaginaria.