curso econometria avanzado
228
rhjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyu iopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnm qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklz xcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmrtyuiopasdfgh jklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuio pasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjk lzxcvbnmrtyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdf ghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyu iopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnm qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklz xcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopas dfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwert yuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbn ECONOMETRÍA CON SERIES DE FOURIER Francisco Parra Rodríguez Doctor en Ciencias Económicas. UNED CURSO DE ECONOMETRIA AVANZADO by Francisco Parra Rodríguez is licensed under a Creative Commons Reconocimiento-NoComercial 3.0 Unported License .
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Curso de econometría basado en series de fourier
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ECONOMETRÍA CON SERIES DE FOURIER
Francisco Parra Rodríguez
Doctor en Ciencias Económicas. UNED
CURSO DE ECONOMETRIA AVANZADO by Francisco Parra Rodríguez is licensed under a Creative Commons Reconocimiento-NoComercial 3.0
Unported License.
Contenido
TEMA I.- ANALISIS ESPECTRAL...................................................................... 5
Series temporales estacionarias..................................................................... 5
Análisis espectral............................................................................................ 9
TEMA II.- ESTIMACIÓN DEL PERIODOGRAMA DE UNAS SERIE ARMONICA
......................................................................................................................... 11
Series de Fourier .......................................................................................... 11
Coeficientes de Fourier................................................................................. 11
Ortogonalidad ............................................................................................... 12
Cálculo de los coeficientes Fourier ............................................................... 14
Forma compleja de la serie de Fourier ......................................................... 15
Transformada de Fourier. ............................................................................. 16
Cálculo del periodograma............................................................................. 17
Teorema de Paserval ................................................................................... 18
Test sobre el periodograma.......................................................................... 19
Calculo del periodograma a través de la Transformada Discreta de Fourier 28
Efecto Gibbs ................................................................................................. 39
TEMA III.- ANALISIS ARMONICO DE PROCESOS BIVARIANTES................ 44
Proceso bivariante ........................................................................................ 44
Análisis armónico de un proceso bivariante.................................................. 45
Teorema de Plancharel................................................................................. 48
Coeficiente de correlación de Pearson ......................................................... 50
Multiplicación se series armónicas. .............................................................. 54
Varianza y Covarianza de Procesos Estacionarios ...................................... 66
Regresión “band spectrum”. ......................................................................... 77
Regresión con coeficientes Beta dependientes del tiempo. ......................... 87
TEMA IV.- FILTROS LINEALES...................................................................... 97
Operadores de series de tiempo................................................................... 97
Filtros lineales............................................................................................... 98
Filtros elementales...................................................................................... 100
Filtros FIR ................................................................................................... 110
El filtro como producto de convolución ....................................................... 116
Series de tiempo......................................................................................... 126
Tipos de filtros ............................................................................................ 136
Diseño de Filtros......................................................................................... 142
TEMA V.- APROXIMACIÓN DE UNA FUNCION UTILIZANDO EL ANALISIS
ARMÓNICO.................................................................................................... 154
Flexibilidad.................................................................................................. 154
Flexibilidad local ......................................................................................... 155
Forma Flexible de Fourier (FFF)................................................................. 158
La aproximación FFF multivariada.............................................................. 168
Aproximación FFF utilizando funciones paramétricas. ............................... 173
TEMA VI.- REGRESION ARMONICA. ........................................................... 213
Introducción ................................................................................................ 213
Métodos basados en el periodograma........................................................ 214
Método del espectro mixto.......................................................................... 218
Método de la regresión armónica dinámica ................................................ 219
BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................. 222
TEMA I.- ANALISIS ESPECTRAL
Series temporales estacionarias.
Sea )(tx un conjunto de observaciones de una variable aleatoria x ; en distintos
momentos del tiempo. Consideramos )(tx como una realización de un proceso
estocástico ergódico; debido a que solo disponemos de una realización del
proceso estocástico que ha generado la serie de datos; ante la imposibilidad de
observar distintas realizaciones de )(tx a lo largo de un periodo de tiempo.
Un proceso estocástico es estacionario en sentido estricto; cuando para todo
0>n la función de distribución conjunta de:
kxxxFxxxF kntktktnttt ∀= +++++++++ );,...,,(),...,,( 2121 .
Es decir; la función de distribución conjunta es independiente de t; invariante
ante traslaciones de tiempo.
En un sentido amplio; para que un proceso sea estacionario es suficiente que
su esperanza y su función de autocovarianza sea independiente de t.
Es decir;
kxExE ktt ∀= + );()( .
Si un proceso es estacionario en media; entonces ∑=
=n
iix
n 1
1µ es un estimador
insesgado y consistente de )( txE .
Si un proceso es estacionario en covarianza; se cumple la siguiente igualdad
[ ] [ ] ( ) )()()()()(),( τγτττγ =+−+⋅−= txEtxtxEtxEt ; lo que significa que la
función de autocovarianza no depende de t; )()( τγτγ −= ; y el estimador de
)(τγ viene dado por ∑−
=+ −−=
kn
tktt xx
nKC
1
)ˆ)(ˆ(1
)( µµ . La varianza; )0(γ ; se
estimaría a partir de ∑=
−−=n
ttt xx
nC
1
)ˆ)(ˆ(1
)0( µµ .
Ejemplo 1
Generamos una serie aleatoria de 100 datos; con media 0 y desviación típica 1;
que representamos en la figura siguiente:
Tabla nºI.1 100 datos generados aleatoriamente
t x(t) t x(t) t x(t) t x(t)
1 -0;30023216 26 -0;5132074 51 -2;57758074 76 1;11118879
2 -1;27768317 27 1;97221198 52 1;44767 77 -1;20117875
3 0;24425731 28 0;86567297 53 -1;27976364 78 -1;55889211
4 1;27647354 29 2;37565473 54 -0;65357995 79 0;7113249
5 1;19835022 30 -0;65490667 55 0;75771368 80 0;63840616
6 1;7331331 31 1;66145583 56 0;46671175 81 2;20568836
7 -2;18358764 32 -1;61239768 57 0;87460876 82 1;44375463
8 -0;23418124 33 0;53894837 58 0;59574177 83 1;3039039
9 1;09502253 34 0;90219146 59 -1;37184998 84 0;11296038
10 -1;08670065 35 1;91891559 60 -1;11573854 85 0;00195087
11 -0;69020416 36 -0;08451707 61 0;69399448 86 0;45370143
12 -1;69043233 37 -0;52379505 62 0;32263642 87 -0;02551474
13 -1;84691089 38 0;67513838 63 -0;93983772 88 -1;05467507
14 -0;9776295 39 -0;38132384 64 -0;24094788 89 -1;77480615
15 -0;77350705 40 0;75761136 65 0;13153567 90 0;82833139
t x(t) t x(t) t x(t) t x(t)
16 -2;11793122 41 -1;44418664 66 0;55779765 91 0;4442245
17 -0;56792487 42 -0;84723752 67 0;138715 92 0;61790615
18 -0;40404757 43 -1;52157099 68 -0;91096126 93 0;21347319
19 0;13485305 44 -0;36287702 69 1;88484591 94 -1;02693093
20 -0;36549295 45 -0;03247919 70 0;48719812 95 1;23819518
21 -0;32699063 46 0;02811703 71 0;07223889 96 -0;31121317
22 -0;37024051 47 -0;32271601 72 0;82984116 97 -0;83992177
23 1;34264155 48 2;19450158 73 0;86200771 98 -0;8211282
24 -0;08528446 49 -1;74248271 74 -0;63653147 99 -0;42899273
25 -0;18615765 50 -0;73647698 75 -0;92319169 100 -0;45336151
Se comprueba que se trata de una serie estacionaria en media; ya que
cualquier promedio que calculemos con dichos datos dará un resultado cercano
a cero:
promedio t=1 a t=25 -0;338416294
promedio t=30 a t=50 -0;075718466
promedio t=40 a t=80 -0;118431073
promedio t=50 a t=100 0;011082193
Dado que la media es cero; el estimador de la función de autocovarianza será
∑−
=+=
kn
tktt xx
nKC
1
))((1
)(
Que calculado para diferentes valores de k; ofrece los siguientes resultados:
K C(K) 1 0;10422912 2 0;14519783 3 -0;05630359 4 0;14891627 5 -0;01897189 6 -0;02496519 7 -0;15232997 8 -0;02821422 8 0;05472689
10 0;10613953 11 -0;00643896 12 -0;02514981
Como se puede apreciar el valor de C(K) es independiente de K; tanto en su
valor como en su signo.
De esta forma que el proceso aleatorio que ha generado nuestros datos es
estacionario.
Si generamos a partir de estos datos una serie del tipo:
ttt uYY ++= −15,0
donde tu es la serie generada en el proceso anterior.
Yt=0,5+Yt-1+ut
-10
0
10
20
30
40
50
1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97
Obtenemos una serie que no es estacionaria; ya que los promedios que
obtenemos son diferentes
promedio t=1 a t=25 2;09588358
promedio t=30 a t=50 16;3471842
promedio t=40 a t=80 23;4497493
promedio t=50 a t=100 32;0157185
Y una función ∑−
−+ −−=
kn
nktt xx
nKC
1
)ˆ)(ˆ(1
)( µµ dependiente del tiempo:
Análisis espectral
La idea básica del análisis espectral es que todo proceso estocástico
estacionario admite una descomposición única de su varianza; en la aportación
que a la misma realizan armónicos de diferentes frecuencias. Un armónico de
frecuencia ω es una función de la forma:
)sin()cos( tbta ⋅+⋅ ωω ωω1
1 La expresión )sin()cos( tbta ⋅+⋅ ωω ωω da lugar a una función periódica de periodo ωπ2
En el análisis armónico; las series temporales no son consideradas funciones
continuas como tal; sino que se obtienen a partir de una suma de n ciclos con
una amplitud y un periodo determinado; o lo que es lo mismo n de diferentes
armónicos:
πωωωωω ≤<<<<⋅+⋅=∑=
n
n
iiiii tbtatx ...0;)sin()cos()( 21
1
(1)
Siendo ia y ib variables aleatorias con2
jibaE
jisi
jisibbEaaE
bEaE
ji
jiji
ii
,0)(
;0
;)()(
0)()(2
∀=
≠=
==
==
σ
En este tipo de procesos la función de autocovarianza )(τγ se obtiene:
)cos()(1
2 τωστγ ⋅=∑=
i
n
ii
En donde iσ es la varianza del armónico i-esimo; de manera que en
∑=
=n
ii
1
2)0( σγ se muestra que la varianza total del proceso es la suma de las
varianzas de cada armónico.
2 La estacionariedad de este proceso aleatorio puede seguirse en Contreras, D y Escolano J (1984): EI análisis espectral como instrumento para detectar la estacionalidad. ESTADISTICA ESPAÑOLA Núm. 104, i 984, págs. 101 a 144 http://www.ine.es/revistas/estaespa/104_6.pdf
TEMA II.- ESTIMACIÓN DEL PERIODOGRAMA DE UNAS SERIE
ARMONICA
Series de Fourier 3
Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una
función continua y periódica.
∑∞
=
⋅+⋅+=1
00 )sin()cos(21)(
nonn tnbtnaatf ωω
Donde T
πω 20 = se denomina frecuencia fundamental; na y nb se denominan
Coeficientes de Fourier.
Los coeficientes de una serie de fourier pueden calcularse gracias a la
ortogonalidad de las funciones seno y coseno.
Una manera alternativa de presentar una la serie de Fourier es:
∑∞
=
−+=1
00 )cos()(n
nn tnCCtf θω
Siendo;
20aCo = ; 22
nnn baC += y
=
n
nn a
barctanθ
Ya que cada par de términos:
)()cos( 0 tnsenbtna onn ωω +
3 Se puede seguir en "Series de Fourier, Transformadas de Fourier y Aplicaciones",Genaro González, disponible en www.dmae.upm.es/WebpersonalBartolo/VariableCompleja/VCParteI/9_Series_de_Fourier.ppt
se pueden expresar como:
++
++ )()cos( 022022
22 tnsenba
btn
ba
aba
nn
n
nn
nnn ωω
haciendo
=+
=+
n
nn
n
n
nn
n
senba
b
ba
a
θ
θ
22
22cos
y
=
n
nn a
barctanθ
la suma puede expresarse solo en función del coseno:
[ ] )cos()()cos(cos 000 nnnnn tnCtnsensentnC θωωθωθ −=+
Ortogonalidad
Se dice que las funciones del conjunto )(tf k son ortogonales en el intervalo
bta << si dos funciones cualesquiera )(tfm ; )(tfn de dicho conjunto cumplen:
=≠
=∫ nmparar
nmparadt(t)(t)ff
n
b
a
nm
0
Las funciones sen t y cos t son ortogonales en el intervalo ptp <<− ; ya que:
02
cos2
==−−
∫π
ππ
π
tsentdtsent
Las funciones del conjunto:
),...3sin(),2sin(),sin(),...,3cos(),2cos(),cos(,1 tttttt oooooo ωωωωωω ;
donde T
πω 20 = son ortogonales en el intervalo
22
Tt
T <<− ;
Se verifica probándolo a pares:
a) 1)( =tfn y . )cos()( 0tmtfm ω= :
0)222
cos1
00
0
2
2
0
02
2
0
===
==−−
∫
mω
sen(mπ
mω
)T/sen(mω
mω
t)sen(mωt)dt(mω
T/
T/T/
T/
b) 1)( =tfn y . )()( 0tmsentfm ω= :
02cos2cos1
cos1
000
2
2
0
02
2
0
=−=
=−=−−
∫
)]T/(mω)-T/(mω[mω
mω
t)(mωt)dtsen(mω
T/
T/T/
T/
c) )cos()( 0tntfn ω= y )cos()( 0tmtfm ω= :
≠=≠
=∫− 02/
0t)dtt)cos(ncos(m
2/
2/
00 nmparaT
nmparaT
T
ωω
utilizando las identidades trigonométricas
[ ])cos()cos(21coscos BABABA +++= y ( )θθ 2cos12
1cos2 += .
d) )()( 0tnsentfn ω= y )()( 0tmsentfm ω= :
≠=≠
=∫− 02
02
2
00 nmparaT/
nmparat)dtt)sen(nωsen(mω
T/
T/
utilizando las identidades trigonométricas
[ ])cos()cos(21 BABAsenAsenB −++−= y ( )θθ 2cos12
12 −=sen .
d) )()( 0tnsentfn ω= y )cos()( 0tmtfm ω= :
m,ncualquierparat)dt(nωt)sen(mωT/
T/
0cos2
2
00 =∫−
utilizando la identidades trigonométricas
[ ])()(21cos bAsenBAsenBsenA −++=
Cálculo de los coeficientes Fourier
Los coeficientes de fourier se calculan multiplicando )(tf por )ºcos( 0tmω e
integrando de –T/2 a T/2:
∑ ∫
∑ ∫∫∫∞
= −
∞
= −−−
++=
1
2/
2/
00
1
2/
2/
00
2/
2/
0021
2/
2/
0
cos
coscoscos)cos()(
n
T
T
n
n
T
T
n
T
T
T
T
t)dt(mωt)sen(nωb
t)dt(mωt)(nωat)dt(mωadttmtf ω
que dada la ortogonalidad de las funciones de seno y coseno implica que:
∫−
=2/
2/
0 )(2 T
T
dttfT
a
,...3,2,1)cos()(2/
2/
02 == ∫
−
mdttmtfaT
TTm ω
,...3,2,1)()(2/
2/
02 == ∫
−
mdttmsentfbT
TTm ω
Forma compleja de la serie de Fourier
Consideremos la serie de Fourier para una función periódica )(tf ; con periodo
0
2
ωπ=T :
∑∞
=⋅+⋅+=
100 )sin()cos(2
1)(n
onn tnbtnaatf ωω
Es posible obtener una forma alternativa usando las fórmulas de Euler:
sustituyendo:
dado que ii −=1
definiendo:
quedaría como:
expresión que se conoce como forma compleja de fourier.
)()(
)()cos(00
00
21
0
21
0
tintini
tintin
eetnsen
eetnωω
ωω
ωω
−
−
−=
+=
])()([)(1
21
21
021 0000∑
∞
=
−− −+++=n
tintinin
tintinn eebeeaatf ωωωω
])()([)(1
21
21
021 00∑
∞
=
−++−+=n
tinnn
tinnn eibaeibaatf ωω
)(),(, 21
21
021
0 nnnnnn ibacibacac +≡−≡≡ −
∑∞
−∞=
=n
tinn ectf 0)( ω
Y sus coeficientes nc pueden obtenerse a partir de los coeficientes na ; nb
como ya se dijo; o bien:
Transformada de Fourier.
La Transformada de Fourier; )(ωF ; se define para una función continua de
variable real; )(tf ; mediante la siguiente formula:
∫+∞
∞−
−= dtf(t)eF(ti2 ωπω )
siendo i = − 1 ; )isen(2)cos(2e i2 ttt πωπωωπ += y u una variable que representa
las distintas frecuencias.
La Transformada de Fourier es una función compleja con una parte real y otra
parte imaginaria; es decir:
)()()( ωωω IRF +=
donde )(ωR es la parte real y )(ωI es la parte imaginaria.
La representación gráfica de la función de magnitud )(ωF se le denomina
Espectro de Fourier y se expresa en términos del modulo del número complejo:
)()()( 22 ωωω IRF +=
y al cuadrado de dicha función 2
)(ωF se le denomina Espectro de potencias.
El gráfico de los módulos al cuadrado frente a la frecuencia es el periodograma
o espectro empírico de la sucesión )(xf .
El periodograma recoge la contribución que tiene cada armónico a la hora de
explicar la varianza de cada serie; y cada armónico esta caracterizado por la
∫−=
Ttin
Tn dtetfc0
1 0)( ω
frecuencia en que tienen lugar los ciclos. Los ciclos que tienen un elevado
periodo (desde que tiene lugar un máximo al siguiente máximo) tendrán una
baja frecuencia y viceversa.
Cálculo del periodograma.
Consideremos la serie temporal tX de la que disponemos de un conjunto
discreto y finito de observaciones T observaciones; generadas por un proceso
aleatorio )(tx como el descrito en el tema 1. Dado que se busca una
representación de tX que se ajuste a T observaciones; ajustamos los datos a
un polígono trigonométrico que se asemeje a una serie de fourier; escogiendo
iω como:
T
ii
⋅= πω 2
es decir:
( ) ( )∑=
⋅⋅+⋅⋅+=k
iiiot T
tibTtiaaX
1
2sin2cos21 ππ
( ) ( ) ( )∑=
⋅⋅+⋅⋅=−=k
iiitt T
tibTtiaXx
1
2sin2cosˆ ππµ 4
La forma habitual de obtener el periodograma; es estimar por mínimos
cuadrados los coeficientes ia y ib para cada 2Tk = armónico si el número de
4 nótese que T
Xa
T
it∑
== 102
1 , lo que implica que ∑=
=T
itX
Ta
10
2
observaciones es par T o ( )2
1−= Tk si es impar; en un modelo especificado
de la siguiente forma:
tt vtbtax +⋅+⋅= ωω sincos
En la que tx sería la serie armónica; Tp
p⋅== πωω 2 ; T es el tamaño de la
serie y coincide con el periodo de mayor ciclo que es posible estimar con el
tamaño de la serie; p indica el orden del armónico de los 2
Tciclos; tv es un
residuo no explicado al que se puede considerar irrelevante (caso
deterministico) o que verifica las propiedades clásicas de la perturbación de los
modelos econométricos.
El periodograma o estimador del espectro se obtendría entonces a partir de la
representación de ( ) ( )π
ω4
22pp
i
baTI
+= frente a los p armónicos; en tanto que la
contribución de la varianza por cada armónico; sería ( )
2
22pp ba +
.
Si una serie temporal de ciclos empíricos presenta en su periodograma unos
pocos ciclos que explican un porcentaje significativo de su varianza; se puede
obtener el ciclo teórico de dicha serie temporal a partir de los iω y de los
armónicos correspondientes a dichos ciclos.
Teorema de Paserval
Sea f una función continua en el intervalo [ ]ππ ,− de periodo π2 ; con
desarrollo de Fourier de f :
∑∞
−∞=
=x
inxnecxf )(
donde los coeficientes nc han sido obtenidos a partir de los coeficientes na , nb .
Entonces se verifica que:
( ) dxxfan
n ∫∑ −
∞
−∞=
=π
ππ22
2
1
Particularizando a la serie función periódica )(tf , con periodo 0
2
ωπ=T :
∑∞
=
⋅+⋅+=1
00 )sin()cos(21)(
nonn tnbtnaatf ωω
La identidad de Paaserval quedaría:
[ ] ∑∫∞
=
−++=
1
2222
2
1)(
1
nnno baatf
π
ππ
Las series temporales no son consideradas funciones continuas como tal; sino
muestras de señales continuas tomadas a una misma distancia temporal a
partir de un valor inicial oY y siendo T el tamaño de la serie. De acuerdo a lo
anterior; en la función periódica )(tf la potencia promedio está dada por:
[ ] ( )∑∫=
−++=
2
1
2222
2
2
2
1
4
1)(
1T
nnno
T
Tbaatf
T
que muestra así que el periodograma estudia de hecho la distribución de la
varianza o potencia de la serie en función de los diversos armónicos:
( ) 2,2
1 2
2
1
1
222 Tqaba T
q
nnn =++= ∑
−
=
σ
Test sobre el periodograma
Una forma de contrastar la existencia de algún ciclo en el periodograma de una
serie temporal es el test de Fisher; estadístico g (Fisher; 1929) o relación entre
la mayor varianza asociada a una determinada frecuencia ( iω ); y la varianza
total de la serie.
∑=
=2
1
2
2
2
maxn
Pp
p
wn
wg
Para probar la significación del periodo p se contrasta el estadístico g contra la
z de una distribución normal (0;1); siendo la regla de decisión rechazar la
hipótesis nula sobre un componente periódico en tY si la g calculada excede de
la z en un nivel de significación del 100α%.
La manera habitual de contrastar la existencia de algún ciclo en el
periodograma de una serie temporal a través del estadístico es calculando:
2
2
2
max
S
SG =
El ciclo es significativo si el valor G de esta relación es igual al valor crítico
calculado según la siguiente fórmula:
1)ln()ln(
1 −−
−= mmp
eGc
Siendo ln(p) el logaritmo neperiano del nivel de probabilidad elegido y m el
número total de datos de la serie (en series de más de 30 datos).
Una prueba para estudiar la dependencia serial (Durbin; 1969) en series de
observaciones estacionarias Tyy ,...,1 se realiza sobre la grafica del
periodograma acumulado:
∑∑=
=
=j
rm
rr
rj
p
ps1
1
donde mr ,...,1= es el periodograma ordinario:
( )2
1
22∑
=
=T
t
Tirttr ey
Tp π
El periodograma jp calculado para series Tyy ,...,1 de variables independientes
),( 2σµN ; se calcula:
∑=
=T
tij T
jty
Ta
1
2cos
2 π; ∑
=
=T
tij T
jty
Tb
1
2sin
2 π; ,
2
1,...,1,22
=+= Tjbap jjj
donde TT2
1
2
1 =
para T y 2
1
2
1 −T para el extremo de T; por simplicidad
asumimos que el extremo de T es 12 += mT .
Y su representación gráfica de jp contra j presenta una alta apariencia de
irregularidad en su inspección visual. Por ello; una mejor manera de presentar
la información de los sp j ' es hacerlo a través del gráfico del periodograma
acumulado; js .
Se presupone que cuando Tyy ,...,1 esta independientemente y normalmente
distribuida; 11,..., −mss se distribuye igual que el orden estadístico de 1−m
muestras independientes de la distribución uniforme (0;1). Bartlett’s
(1954;1966; p 361) sugiere para probar la independencia serial; probar la
máxima discrepancia entre js y su expectativa; ie. mj / . Para una probar un
exceso de bajas frecuencias relativas frente a altas frecuencias; que
equivaldría a la expectativa de presencia de correlación serial positiva este
enfoque conduce al estadístico:
−=+
m
jsc j
jmax
Por el contrario un test contra excesos de variaciones de alta frecuencia el
estadístico apropiado es:
−=−j
js
m
jc max
El estadístico que corresponde a las dos partes de la prueba sería:
( )−+=−= ccm
jsc j
j,maxmax
Este estadístico esta estrechamente relacionado con el de Kolmogoroiv-
Smirnov nnn DDD ,, −+ y su forma modificada nnn CCC ,, −+ considerado por Pyke
(1959) y Brunk (1962). Por ejemplo; )1()1(max −−−=− mjsD jj
n y +− = cCn .
Los valores críticos para estos estadísticos están dado en la Tabla nºI.1; y el
procedimiento para utilizar estos valores es como sigue. Si deseamos probar el
test de un exceso de bajas frecuencias frente a las altas frecuencias; entonces
el valor obtenido en la tabla, 0c es el valor crítico apropiado al valor de +c ;se
dibujaría en el gráfico la línea; mjcy o += y la trayectoria que muestra js ;
obteniendo los valores que sobrepasan la línea ( )jsmj , . Si js cruza la línea;
se rechaza la hipótesis de independencia serial. De igual manera; un test
sobre al exceso de altas frecuencias frente a las bajas frecuencias se rechaza
si el trayectoria de js cruza la línea mjcy o +−= .
Ejemplo 2
Partimos de una serie temporal generada a partir de un paseo aleatorio o
random walk: ttt uYY ++= −15,0 (Ejemplo 1).
La serie tY presenta una tendencia estocástica; y vamos a descomponerla
utilizando un modelo armónico; partiendo de una representación de la
tendencia ó movimiento relevante de la serie temporal obtenida a partir de una
tendencia cuadrática; 2T ciclos armónicos (k ) y un residuo aleatorio tv :
( ) t
k
poppt vtpbtpactbtaY +++++= ∑ ωω sincos 0
2
de manera que
( ) t
k
popptt vtpbtpaXctbtaY ++==−−− ∑ ωω sincos 0
2
En las figuras siguientes se representa la serie de tendencia y la serie de ciclo
en la que se va a estimar un modelo de regresión armónica:
-10
0
10
20
30
40
50
60
1 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99
serie
tendencia
El armónico de periodo 100 se elabora a partir de ( )1002cos t⋅π y
( )1002sin t⋅π para t=1;….;100. La representación gráfica de ambas series
aparece en la figura siguiente:
La regresión minimo cuadrática entre ambas series y la serie libre de tendencia
( tX ); ofrece el siguiente resultado:
( ) ( ) tt vttX +⋅+⋅= 1002sin1982775,0100
2cos9645989,1 ππ
El armónico de periodo 100 tendrá la apariencia de la figura siguiente:
Este proceso repetido para los 50 periodos permite obtener los coeficientes con
los que elaborar el peridograma (Tabla nºII.1) y obtener la contribución de cada
armónico a la varianza de la serie:
Tabla nºII.1 Peridograma de ttt uXX ++= −15,0
Frecuencia
Periodo
pa
pb ( ) ( )π
ω4
22pp
i
baTI
+=
( )2
22pp ba +
1 100 1,9646 0,1983 31,0270 1,9495
2 50 -4,5393 -1,2468 176,3435 11,0800
3 33,3 -0,8601 0,9800 13,5296 0,8501
4 25 0,0836 0,8487 5,7875 0,3636
5 20 0,4167 -0,3232 2,2129 0,1390
6 16,7 -0,2059 -0,3632 1,3872 0,0872
7 14,3 0,4043 -0,6204 4,3640 0,2742
8 12,5 0,9443 0,2493 7,5906 0,4769
9 11,1 0,3927 -0,0310 1,2347 0,0776
10 10 0,1284 -0,0895 0,1948 0,0122
11 9,1 0,5349 -0,1027 2,3605 0,1483
12 8,3 0,4158 -0,6016 4,2553 0,2674
13 7,7 -0,0914 -0,1204 0,1817 0,0114
14 7,1 -0,3283 -0,6568 4,2910 0,2696
15 6,7 0,2315 -0,3689 1,5093 0,0948
16 6,3 0,0229 -0,5384 2,3110 0,1452
17 5,9 0,6862 0,2823 4,3813 0,2753
18 5,6 -0,0680 0,2345 0,4745 0,0298
19 5,3 0,3849 -0,1703 1,4097 0,0886
20 5 0,0347 0,6666 3,5453 0,2228
21 4,8 0,1779 -0,4472 1,8437 0,1158
22 4,5 -0,4350 0,1164 1,6139 0,1014
23 4,3 0,1131 -0,3521 1,0885 0,0684
24 4,2 0,1497 -0,0947 0,2497 0,0157
25 4 -0,0408 -0,2790 0,6329 0,0398
26 3,8 0,4000 -0,0588 1,3008 0,0817
27 3,7 -0,1789 0,1668 0,4761 0,0299
28 3,6 0,0723 -0,0849 0,0989 0,0062
29 3,4 0,3224 -0,0274 0,8332 0,0524
30 3,3 -0,2087 0,0631 0,3784 0,0238
31 3,2 0,1048 -0,2653 0,6476 0,0407
32 3,1 0,1787 -0,3176 1,0568 0,0664
33 3 -0,1230 -0,1984 0,4337 0,0273
34 2,9 -0,0622 0,0264 0,0364 0,0023
Frecuencia
Periodo
pa
pb ( ) ( )π
ω4
22pp
i
baTI
+=
( )2
22pp ba +
35 2,9 -0,1591 -0,1623 0,4112 0,0258
36 2,8 0,1015 -0,1112 0,1803 0,0113
37 2,7 0,2003 -0,1354 0,4651 0,0292
38 2,6 0,0203 -0,3006 0,7224 0,0454
39 2,6 -0,1624 -0,1121 0,3100 0,0195
40 2,5 0,0803 -0,0196 0,0544 0,0034
41 2,4 0,2538 -0,0593 0,5406 0,0340
42 2,4 0,1154 0,0976 0,1817 0,0114
43 2,3 0,0424 -0,0466 0,0316 0,0020
44 2,3 -0,1813 0,0087 0,2621 0,0165
45 2,2 0,1713 -0,1175 0,3435 0,0216
46 2,2 0,1210 0,0457 0,1331 0,0084
47 2,1 0,2881 -0,3458 1,6119 0,1013
48 2,1 0,0071 0,0818 0,0536 0,0034
49 2 0,0804 -0,1184 0,1630 0,0102
50 2 0,0000 -0,0939 0,0701 0,0044
Como vemos es el segundo armónico; el ciclo de periodo 50; el que más
contribuye a la varianza de la serie.
La representación gráfica del periodograma de la serie de ciclo sería entonces
el siguiente:
Para comprobar la significación estadística del ciclo de o periodo 50;
calculamos es estadístico 37605,00681,182
07999,11
2
max2
2
=×
==S
SG
El ciclo es significativo para un nivel de probabilidad del 95% ya que el valor G
de esta relación superior al valor crítico calculado 1315,01 49)50ln()05,0ln(
=−=−
eGc .
La representación gráfica del test sobre el periodograma acumulado:
-0,2000000
0,0000000
0,2000000
0,4000000
0,6000000
0,8000000
1,0000000
1,2000000
1,40000000,
02
0,08
0,14 0,2
0,26
0,32
0,38
0,44 0,5
0,56
0,62
0,68
0,74 0,8
0,86
0,92
0,98
Contrastar la presencia de ciclos de baja frecuencia frente a los ciclos de alta
frecuencia; al cruzar la trayectoria de js ; la banda superior de los valores
críticos del test.
Calculo del periodograma a través de la Transformad a Discreta de
Fourier 5
Tomando N muestras de una señal periodica )( kk tfy = de periodo T en
instantes separados por intervalos regulares:
N
TNt
T
kTt
N
Tt
N
Ttt Nk
)1(,...,,...,
2,,0 1210
−===== −
5 Elaborado a partir de http://personal.us.es/contreras/t05fft.pdf (apuntes de Ampliación a las Mátemáticas, de Manuel D. Contreras, Escuela Técnica Superior de Ingenieria (Universidad de Sevilla)
Cabe aproximarla mediante una combinación )(tg de funciones T-periódicas
conocidas que tome en dichos puntos el mismo valor que f. Este procedimiento
se conoce como interpolación trigonométrica.
Las funciones T-periódicas que se utilizan son los armónicos complejos jnwte
con T
wπ2= y puesto que hay N puntos; si queremos que el problema tenga
solución única debemos combinar un total de N armónicos.
La función )(tg utilizada en la aproximación; toma entonces la forma general:
( ) ∑−
=
−− =++++=
1
0
)1(1
2210
1...
1)(
N
n
inwtn
wtNjN
wtjjwt eN
eeeN
tg βββββ
Tal que )( kk tgy = para cada k=0;1;…;N-1.
Entonces:
∑ ∑∑−
=
−
=
−
=
===1
0
1
0
21 111 N
n
N
n
nkN
NinkN
on
jnwtk w
Ne
Ne
Ny k
η
π
ηη βββ ; 1,...,1,0 −= Nk
Siendo
= N
jwNπ2exp la raíz primitiva N-ésima de la unidad.
En forma matricial se expresa:
( )
( )
( ) ( ) ( )( )
=
−−−−−−
−
−
−
− 1
2
1
0
111121
12
12242
12
1
2
1
0
,
.
..1
.......
..1
.......
..1
..1
1.1.111
1
,
.
N
k
NNNNN
kNkkk
N
N
N
k
wwww
wwww
wwww
wwww
N
y
y
y
y
y
β
β
βββ
η
η
η
η
donde [ ] 1
0,
−== N
knnk
N wF la matriz de Fourier de orden N.
Al vector β se le denomina transformada discreta de Fourier del vector y ;
denotándose como : )(yDFT=β .
Una forma de obtener la DFT es a través del algoritmo FFT (Fast Fourier
Transform); desarrollado por diseñado por J.W. Cooley y John Tukey en 1965.
Si la función que interpolamos es una función real de periodo T; kk ytg =)( ;
donde 1,...,1,0 −= Nk ; que utiliza la forma general:
( )∑ +=n nn nwtbnwtatg )sin()cos()(
con Tw π2= ; suponiendo que MN 2= ; si )(yDFT=β ; entonces:
Nao
0β= ;
Na n
n
)Re(2 β= ;
Nb n
n
)Im(2 β−= ; ( )1,...,2,1 −= Mn ;
Na M
M
β= ;
y el polinomio trigonométrico:
( )∑−
=+++=
1
00 )cos()()cos()(
M
nMnn Mwtanwtbnwtaatg
Ejemplo 3
Utilizamos los datos del ejemplo 2; serie tX ; sin tendencia; que se cargan en
R:
y <- c(0.323027827 ; -0.738124684; -0.281638647; 1.202761696; 2.604736789; 4.537192839; 2.548626219; 2.505164067; 3.786603757; 2.882018343; 2.369627491; 0.852706545; -0.824994893; -1.637716864; -2.25061832; -4.212245866; -4.628168995; -4.884516748; -4.606265808; -4.832662799, -5.024859396 , -5.264607805; -3.795776075; -3.75917228; -3.827743607; -4.227666609; -2.146472166; -1.176118654; 1.299914689; 0.741084701; 2.494315284; 0.969390431; 1.591509703; 2.572570135; 4.566052768; 4.551800817; 4.093968956 ; 4.8307686; 4.506804092; 5.317472861; 3.922041704; 3.119257741; 1.637838373; 1.310811053; 1.30987963; 1.365242501; 1.065470411; 3.278613974; 1.550471324; 0.824032479; -1.747812061; -0.298707783; -1.581339071; -2.24208859;-1.495846423; -1.044908103; -0.190374706; 0.380989772; -1.01953942; -2.168259106; -1.511547698; -1.230496273; -2.216220919; -2.507357658; -2.430312769; -1.93130783; -1.855687473; -2.8340453; -1.020897877; -0.609700176; -0.617763633; 0.127473247; 0.900574754; 0.170835155; -0.849866595; 0.159510213; -1.147782448; -2.817090398; -2.220483265; -1.701096798; 0.381269939; 1.697401014; 2 .869379435; 2.846112408; 2.707533939; 3.016404109; 2.841756183; 1.633645998; -0.298897198; 0.367395225; 0.645278822; 1.092542147; 1.131070577; -0.075107037; 0.979539535; 0.480475826; -0.551598408; -1.569180997; -2.198930053; -2.85734981)
Se calcula la transformada de Fourier
z <- fft(y)
A través de la inversa se obtiene la serie y
y2 <- fft(z;inverse=TRUE)/100
Para representar el periodograma:
CF = abs(fft(y)/sqrt(100))^2
P = (4/100)*CF[1:51] # Solo se necesitan los (n/2)+1 valores de la FFT .
f=(0:50)/16 # Para crear las frecuencias armónicas de 1/100 en pasos de 0 a
0.5 . plot(f; P; type="l") # gráfica del periodograma; tipo = “l” gráficos de línea.
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
01
23
4
f
P
Se puede calcular directamente el espectro con:
spec.pgram(y)
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
1e-0
31e
-01
1e+0
1
frequency
spec
trum
Series: yRaw Periodogram
bandwidth = 0.00289
Ventanas
Hasta ahora hemos supuesto que las frecuencias eran frecuencias de Fourier y
por tanto Tp
p⋅== πωω 2 ; donde p indica el orden del armónico de los
2
Tciclos si T es par o
2
1−Tsi T es impar; y se interpreta como el número de
veces que un sinusoide (un armónico) de frecuencia pω ejecuta un ciclo
completo en la muestra considerada; es decir si 4=p ; la frecuencia asociada
T42
4⋅= πω al armónico determina que este ejecute 4 ciclos completos a lo
largo de T. A este tipo de frecuencias se denominan frecuencias de Fourier;
Si suponemos que existe un armónico que se repite cuatro veces y media;
dicha frecuencia no producirá ciclos enteros en la muestra y nos encontramos
con una frecuencia que no es de Fourier.
Estas frecuencias originan un problema que se denomina “leakage” o
distorsión; que determina que los pesos significativos del periodograma se
repartan entre frecuencias contiguas.
Una de las maneras de solucionar el “leakage” consiste en aplicar transformar
la serie original multiplicándola por una expresión que se denominan “Data
Windows” o “taper”; y obtener el periodograma a partir de la serie transformada.
Así es estimador de la función de densidad espectral puede considerarse
como:
Iwf ⋅=)(ˆ ω
Donde w es la función de pesos o ventana espectral y I es el periodograma.
Dado de que lo que se trata es de promediar algunos valores contiguos del
periodograma; podría utilizarse una media móvil de amplitud n :
−±±±±==casootroen
nt
nwt
;02
1...210;
1
Han sido propuestas gran número de ventanas; las más utilizadas son:
Ventana de Tuckey
+−=T
taawt πcos221 ; Tt ,....,2,1=
Cuando 41=a ; tenemos la ventana de Tuckey-Hamming.
• Ventana de Parzen
=
−
=
+
−
=T
Tt
M
t
Tt
T
t
T
t
wt
,...,2
,12
2,...,2,1,661
3
32
• “Boxcar”;
( )
( )
+−=
+−
−++=
=
+−
=
TmTtT
tmTmmt
mtm
t
wt
,...,1,212
cos12
1
,...2,1,1
,...,2,1,21
cos12
1
π
π
donde m es arbitrario; si bien suele elegirse un valor de mm tal que Tm2 se
sitúe entre 0;1 y 0;2.
Ejemplo 3
Partimos ahora de una serie temporal generada también a partir de un paseo
aleatorio: ttt uXX ++= −17,0
Xt=0,7+Xt-1+ut
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97
Al igual que en el ejemplo anterior la representamos a partir de una tendencia
cuadrática; 2T ciclos armónicos ( k ) y un residuo aleatorio tv :
( ) t
k
poppt vtpwbtpactbtaX +++++= ∑ sincos 0
2 ϖ
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99
serie
tendencia
ciclo
-15
-10
-5
0
5
10
1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97
En la Tabla nºII.2 figura el periodograma obtenido para la serie del ciclo; y la
contribución de cada armónico a la varianza de la serie del ciclo:
Tabla nºII.2. Peridograma de ttt uXX ++= −17,0
Frecuencia Periodo pa pb
( ) ( )π
ω4
22pp
i
baTI
+=
2
)( 22pp ba +
1 100,0 -0,2110 0,0378 0,3656849 0,022976663 2 50,0 1,1667 -1,8327 37,5595401 2,359935505 3 33,3 0,4941 1,5931 22,1396831 1,391077317 4 25,0 -1,2791 0,9271 19,8601863 1,24785231 5 20,0 -0,8241 0,1411 5,5625155 0,349503158 6 16,7 -0,4266 0,2616 1,9925024 0,125192617 7 14,3 0,0438 -0,1344 0,1590759 0,009995032 8 12,5 -0,0368 -0,6672 3,5529780 0,223240194 9 11,1 -0,6166 -0,1010 3,1062465 0,195171222
10 10,0 -0,0586 -0,0323 0,0356299 0,002238693 11 9,1 -0,1446 0,5501 2,5746528 0,161770205 12 8,3 0,0187 -0,1595 0,2052891 0,012898691 13 7,7 -0,0575 0,0127 0,0276274 0,001735882 14 7,1 0,0573 -0,0427 0,0406400 0,002553484 15 6,7 -0,1272 0,1242 0,2516629 0,015812449 16 6,3 0,0088 -0,1077 0,0928843 0,005836095 17 5,9 0,2229 -0,0498 0,4152326 0,026089834 18 5,6 -0,0960 0,0846 0,1303262 0,008188634 19 5,3 -0,0798 -0,0534 0,0733320 0,004607585 20 5,0 0,0093 0,1378 0,1517308 0,009533526 21 4,8 0,1882 0,3272 1,1337825 0,071237653 22 4,5 0,0061 0,0851 0,0579486 0,003641018 23 4,3 0,0606 0,2790 0,6486464 0,040755655 24 4,2 -0,1136 -0,0739 0,1461307 0,009181664 25 4,0 -0,0068 0,0668 0,0359289 0,002257479 26 3,8 0,0335 0,0219 0,0127292 0,0007998 27 3,7 -0,1061 -0,0313 0,0974683 0,006124116 28 3,6 -0,2058 0,0025 0,3371945 0,021186554 29 3,4 0,0969 0,1046 0,1617221 0,010161297 30 3,3 -0,0732 -0,0683 0,0797758 0,005012461 31 3,2 -0,0285 -0,0618 0,0368925 0,002318026 32 3,1 -0,0830 -0,0210 0,0583738 0,003667734 33 3,0 0,0538 0,0501 0,0430352 0,002703981 34 2,9 0,0214 -0,0774 0,0513593 0,003227 35 2,9 -0,0530 0,1101 0,1187947 0,007464089 36 2,8 -0,0487 0,1342 0,1621235 0,010186521 37 2,7 -0,1063 0,0886 0,1523580 0,009572936 38 2,6 -0,0133 0,1172 0,1106688 0,006953527 39 2,6 -0,0817 0,0276 0,0591299 0,003715241 40 2,5 -0,0455 0,0437 0,0316636 0,001989481 41 2,4 -0,1219 0,0317 0,1262841 0,007934661 42 2,4 0,1115 0,0068 0,0992150 0,006233859 43 2,3 -0,1221 -0,0584 0,1457501 0,009157751 44 2,3 -0,0587 -0,1023 0,1106862 0,006954617 45 2,2 -0,0336 -0,0322 0,0171901 0,001080084 46 2,2 -0,0320 0,0526 0,0301679 0,001895502 47 2,1 -0,1472 -0,1080 0,2652549 0,016666458 48 2,1 0,1568 0,0141 0,1972261 0,012392081 49 2,0 -0,1331 0,0702 0,1802987 0,011328502 50 2,0 -0,0357 0,0000 0,0101518 0,000637855
Como vemos es el segundo armónico; el ciclo de periodo 50 el que más
contribuye a la varianza de la serie; pero también tienen importancia los ciclos
de periodo 33 y 25; tercer y cuarto armónicos; tal y como se aprecia en la
representación del periodograma de la serie de ciclo:
El estadístico 1302,05386,62
3599,2
2
max2
2
=×
==S
SG ; esta en el límite de nivel de
probabilidad del 95%. Circunstancia que no concurre en los otros armónicos
relevantes.
Aplicamos la transformación de Tuckey-Hammond a la serie tX ; y obtenemos
el peridograma de la serie transformada tt wX ⋅ :
Tabla nºII.3. Peridograma de tt wX ⋅
Frecuencia Periodo ( ) ( )
πω
4
22pp
i
baTI
+=
( )it Iw ω
1 100,0 0,365684943 0,999013364 0,365324145 2 50,0 37,5595401 0,996057351 37,411456 3 33,3 22,13968313 0,991143625 21,9436058 4 25,0 19,86018634 0,984291581 19,54821421 5 20,0 5,562515516 0,975528258 5,426391072 6 16,7 1,992502383 0,964888243 1,922542124 7 14,3 0,159075869 0,952413526 0,151506009 8 12,5 3,55297804 0,93815334 3,333238216 9 11,1 3,106246475 0,922163963 2,864468559
10 10,0 0,035629913 0,904508497 0,032227559 11 9,1 2,574652777 0,885256621 2,279228419 12 8,3 0,205289051 0,864484314 0,177469164 13 7,7 0,027627417 0,842273553 0,023269843 14 7,1 0,040639967 0,818711995 0,033272429 15 6,7 0,251662938 0,793892626 0,199793351 16 6,3 0,092884333 0,767913397 0,071327124 17 5,9 0,415232604 0,740876837 0,307636219 18 5,6 0,130326164 0,712889646 0,092908173 19 5,3 0,073331992 0,684062276 0,050163649 20 5,0 0,15173078 0,654508497 0,099309085 21 4,8 1,133782468 0,624344944 0,707871351 22 4,5 0,057948604 0,593690657 0,034403545 23 4,3 0,648646395 0,562666617 0,364971673 24 4,2 0,146130718 0,53139526 0,077653171 25 4,0 0,035928901 0,5 0,017964451 26 3,8 0,012729209 0,46860474 0,005964968 27 3,7 0,097468327 0,437333383 0,042626153 28 3,6 0,337194483 0,406309343 0,137005269 29 3,4 0,161722065 0,375655056 0,060751711 30 3,3 0,079775802 0,345491503 0,027561862 31 3,2 0,036892537 0,315937724 0,011655744 32 3,1 0,058373807 0,287110354 0,016759724 33 3,0 0,043035199 0,259123163 0,011151417 34 2,9 0,051359306 0,232086603 0,011919807 35 2,9 0,118794665 0,206107374 0,024484456 36 2,8 0,162123518 0,181288005 0,029391049 37 2,7 0,152358011 0,157726447 0,024030888 38 2,6 0,110668814 0,135515686 0,01499736 39 2,6 0,059129903 0,114743379 0,006784765 40 2,5 0,031663576 0,095491503 0,003023602 41 2,4 0,126284059 0,077836037 0,009829451 42 2,4 0,099214953 0,06184666 0,006136113 43 2,3 0,145750137 0,047586474 0,006935735 44 2,3 0,110686164 0,035111757 0,003886386 45 2,2 0,017190072 0,024471742 0,000420671 46 2,2 0,030167853 0,015708419 0,000473889 47 2,1 0,265254924 0,008856375 0,002349197 48 2,1 0,197226098 0,003942649 0,000777593 49 2,0 0,180298716 0,000986636 0,000177889
50 2,0 0,010151779 0 0
+−=T
taawt πcos221
En la figura se comprueba el suavizado que introduce la ventana en el
espectro.
0
5
10
15
20
25
30
35
40
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49
Efecto Gibbs
Una de las muchas derivaciones interesantes; aunque desde luego no la más
importante; a que ha dado lugar el análisis de Fourier; es el llamado fenómeno
de Gibbs; que surge a mediados del siglo XIX. Este efecto investigado por J.W
Gibas se basa en la no convergencia uniforme de la serie de Fourier en las
cercanías de un punto de discontinuidad.
Si la serie de Fourier para una función f(t) se trunca para lograr una
aproximación en suma finita de senos y cosenos; es natural pensar que a
medida que agreguemos más armónicos; el sumatorio se aproximará más a
f(t). Pero esto se cumple excepto en las discontinuidades de f(t); en donde el
error de la suma finita no tiende a cero a medida que agregamos armónicos.
Por ejemplo; si consideremos la siguiente serie armónica:
[ ]...)5()3()(4
)( 051
031
0 +++= tsentsentsentf ωωωπ
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Serie con 3 arm ón icos
- 1 - 0 . 5 0 0 . 5 1- 1 . 5
- 1
- 0 . 5
0
0 . 5
1
1 . 5S e r ie c o n 1 a r m ó n ic o
[ ])(4
)( 0tsentf ωπ
=
- 1 - 0 . 5 0 0 . 5 1- 1 . 5
- 1
- 0 . 5
0
0 . 5
1
1 . 5 S e r ie c o n 7 a r m ó n ic o s
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 5 arm ón icos
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Serie con 50 armónicos
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5S erie con 1 3 arm ón icos
-1 -0 .5 0 0.5 1-1 .5
-1
-0 .5
0
0.5
1
1.5 S erie con 1 0 0 arm ón icos
TEMA III.- ANALISIS ARMONICO DE PROCESOS BIVARIANTE S
Proceso bivariante
Un proceso bivariante )(tz es un par formado por dos procesos univariantes;
)(tx y )(ty ; donde [ ] )()( ttxE xµ= y [ ] )()( ttyE yµ= .
La función de autocovarianza de )(tx será:
( )( ) )()()()(),( τµτµτγ +−+−= ttxttxEt xxx
en tanto que la función de autocovarianza de )(ty será:
( )( ) )()()()(),( τµτµτγ +−+−= ttyttyEt yyy
Se denomina función de cross-varianza o covarianza cruzada a:
( )( ) )()()()(),( τµτµτγ +−+−= ttyttxEt yxxy
Hay que señalar que ),( τγ txy no es igual a ),( τγ tyx ; pero existe una relación
entre las dos funciones; ya que
),(),( ττγτγ −+= tt yxxy
Señalar; por último; que la covarianza entre )(tx y )(ty sería )0,(tyxγ .
Si se asume la estacionariedad de )(tx y )(ty ; entonces [ ] xtxE µ=)( y
[ ] ytyE µ=)( ; y la función de cross-varianza no dependerá más que del retardo
τ .
Suponiendo que 0== yx µµ ; se comprueba que ),( τγ txy ; no depende más que
del retardo τ ; es decir ).(),( τγτγ xyxy t =
( )( ) ( )( ) tsstystxEtytxEtxy ,,)()()()(),( ∀+++=+= τττγ
La función de correlación cruzada se define como:
)0()0(
)()(
yx
xyxy γγ
τγτρ =
Cuando 0=τ ; )0(xyγ es la covarianza habitual y
)0()0(
)0()0(
yx
xyxy γγ
γρ =
el coeficiente de correlación de Pearson entre )(tx y )(ty .
Los estimadores de )(τγ xy y )(τρ xy se calculan así:
( )( )
( )( )
−−−−=−+−
−=−+−=
∑
∑−
=
−
=
)1(,...,2,1;)()(1
1,...,1,0;)()(1
)(
1
1
TkyktyxtxT
TkyktyxtxTkC kT
t
kT
txy
)0()0(
)()(
yx
xyxy
CC
kCkr
⋅=
Análisis armónico de un proceso bivariante.
La función de autocovarianza que obtenemos en el dominio temporal; tiene
también su correspondiente representación en el dominio frecuencial; esta es el
cross-espectro o espectro cruzado. Así; si partimos de dos procesos
estacionarios )(tx y )(ty ; con la siguiente representación espectral:
∫∫ ⋅+⋅=ππ
ωωωω00
)()(cos)( xx dVtsendUttx
∫∫ ⋅+⋅=ππ
ωωωω00
)()(cos)( yy dVtsendUtty
Donde )(ωiU e )(ωiV ; yxi ,= son procesos estocásticos con dominio definido
en ),0( π ; con media 0 y de incrementos incorrelacionados. Dado que dichos
procesos son conjuntamente estacionarios en covarianza; se demuestra que:
[ ] [ ] [ ] [ ] 0)'()()'()()'()()'()( =⋅=⋅=⋅=⋅ ωωωωωωωω yxyxyxyx dUdVEdVdUEdVdVEdUdUE
si 'ωω ≠
[ ] [ ] ωωωωωω dCdVdVEdUdUE yxyx )()()()()( =⋅=⋅
[ ] [ ] ωωωωωω dqdUdVEdVdUE yxyx )()()()()( =⋅−=⋅
Funciones que permiten expresar la cross-varianza como:
∫∫ ⋅+⋅=ππ
ωωωωωωτγ00
)()(cos)( dqtsendCtxy
Que implica que la covarianza entre )(tx e )(ty sea:
∫=π
ωωγ0
)()0( dCxy
El cross-espectro se formula como:
∑∞
−∞=
−⋅=τ
ωττγπ
ω ixyxy ef )(
1)( ; πω ≤≤0
Dado que en general el cross-espectro es complejo; se define el cross-espectro
(C) como la parte real de cross-espectro y el espectro de cuadratura (Q) como
la parte imaginaria; que además coinciden con )(ωC y )(ωq :
)()()( ωωω iqCf xy −=
Entonces se deduce que:
∑∞
−∞=⋅=
τωττγ
πω cos)(
1)( xyC
∑∞
−∞=⋅=
τωττγ
πω senq xy )(
1)(
Otra forma de presentar las funciones )(ωC y )(ωq ; sería la siguiente:
∑∞
−∞=⋅=
τωττγ
πω cos)(
2
1)( xyC
∑∞
−∞=⋅=
τωττγ
πω cos)(
2
1)( xyC ; πωπ ≤≤−
La representación trigonométrica del cross-espectro será:
)()()( ωφωαω xyixyxy ef ⋅=
Donde
)()()( 22 ωωωα qCxy +=
Se conoce como espectro de cross-amplitud.
Y
−=)(
)()(
ωωωφ
C
qarctgxy
Llamado espectro de fase.
Del cross-espectro y de la función de densidad espectral individual de las dos
series )(tx e )(ty se obtiene la función de coherencia:
)()(
)()()(
22
ωωωωω
yx ff
qCR
⋅+= .
El cross-espectro representa la aportación a la covarianza entre )(tx y )(ty de
sus diversos componentes armónicos. Como su interpretación no es simple; se
utilizan las funciones de espectro de fase y coherencia; ya que el espectro de
fase revela el desfase o retardo que en el comportamiento cíclico sigue una
serie respecto a la otra; y el análisis de la función de coherencia permite
identificar si la correlación que se da entre las dos series se debe a que ambas
siguen un comportamiento cíclico en determinados periodos; permitiendo
identificar la duración o periodo de los armónicos que dominan en ambas series
a la vez y que producen una alta correlación.
La construcción del cross-espectro cuando 0=τ ; y )0(xyγ es la covarianza
habitual; da lugar a las siguientes funciones )(ωC y )(ωq :
πγ
ω2
)0()( xyC =
0)( =ωq
Ya que el coseno de 0=ωτ ; es uno; y su seno es cero.
Si [ ] 0)( == xtxE µ y [ ] 0)( == ytyE µ ; es decir ambas series tienen un valor
medio igual a cero; la covarianza entre tx e ty ; sería ∑=
=T
tttxy yx
1
)0(γ ;y la parte
real del cross-espectro se obtendría a partir de:
∑=
=T
ttt yxC
12
1)(
πω
Teorema de Plancharel
Sean )(xA y )(xB dos funciones continuas de periodo π2 cuyos desarrollos de
Fourier son
∑∞
−∞==
x
inxneaxA )(
y
∑∞
−∞==
x
inxnebxB )(
Entonces se verifica la relación de Plancharel entre los correspondientes
productos escalares:
( ) ( )dxxBxAban
nn ∫∑ −
∞
−∞==
π
ππ2
1
Si )()( xBxA = se obtiene la identidad de Parseval
( ) dxxAan
n ∫∑ −
∞
−∞==
π
ππ22
2
1
De igual manera que la identidad de Parseval estudia la distribución de la
varianza de una serie desarrollada en sus armónicos, la de Plancharel estudia
la covarianza entre dos series desarrolladas en sus armónicos.
Partiendo de una serie armónica ( )∑=
+=k
poppt tpbtpax
10 sincos ωϖ y otra
definida como ( )∑=
+=k
poppt tpbtpay
1
*0
* sincos ωϖ , en donde 2Tk = armónicos si
el número de observaciones es par T o ( )2
1−= Tk si es impar, la expresión de
la igualdad de Plancharel sería:
( )∑∫=
−+=
2
1
**2
2 2
11T
nnnnnt
T
T t bbaaxyT
El producto escalar de tx por ty
( )( )∑ ∑∑= ==
++=⋅
T
t
k
poppopp
T
ttt tpbtpatpbtpayx
1 1
*0
*0
1
sincossincos ϖϖϖϖ
equivale a ( )
∑=
+2
1
**
22
T
t
pppp bbaaT , gracias a la ortogonalidad de las funciones seno
y coseno6 .
Coeficiente de correlación de Pearson
Dado que la covarianza entre las series armónicas tx e ty se desarrolla a partir
de los coeficientes de Fourier;
( )∑=
2
1
**
2
T
=p
ppppyx
b+baarr
σ
cabe considerar a cada expresión ( )
2
**pppp bbaa +
como la contribución del
armónico p a la formación de la covarianza, de manera que la representación
de ( ) ( )π4
**pppp
pxz
bbaaTwC
+= frente a los p armónicos permite apreciar las
frecuencias entre las que las series tx y ty covarían y su sentido positivo o
negativo. Se puede observar que un ciclo relevante en ambas series originará
6 Dado que 0)cos(1
0 =∑=
T
t
tpϖ y 0)(1
0 =∑=
T
t
tpsen ϖ siendo T
πω 20 = .
Utilizando las identidades trigonométricas [ ])cos()cos(21coscos BABABA +++= ,
[ ])cos()cos(21 BABAsenAsenB −++−= , [ ])()(2
1cos bAsenBAsenBsenA −++= ,
( )θθ 2cos1212 −=sen y ( )θθ 2cos12
1cos2 +=
Se llega a que
2cos1
02 Ttp
T
t
=∑=
ϖ , 2sin1
02 Ttp
T
t
=∑=
ϖ , y 0sincos1
00 =∑=
T
t
tntm ϖϖ y
0sinsin1
00 =∑=
T
t
tntm ϖϖ y 0coscos1
00 =∑=
T
t
ttm ϖϖ
un valor alto en ( )pxz wC , en tanto que un ciclo poco relevante en alguna de las
dos series dará lugar a un valor bajo en ( )pxz wC .
En tanto que el coeficiente de correlación de pearson se obtendría a partir de:
( )
( ) ( )
+⋅
+
+≈
∑∑
∑
==
=
k
ppp
k
ppp
k
ppppp
xy
baba
bbaa
1
2*2*
1
22
1
**
)0(ρ
Por otro lado, si utilizamos la definición alternativa de las series de fourier:
∑∞
=
−+=1
00 )cos()(n
nn tnCCtf θω , tenemos que ∑=
−+=k
ppp tpCCtx
100 )cos()( θω e
∑=
−+=k
pkn tpCCty
1
*0
**0 )cos()( θω , en donde 2
0aCo = , 22ppp baC += y,
=
p
pp a
barctanθ , 2
**0
0a
C = , ( ) ( )2*2**pp baC
n+= y,
=
*
** arctan
p
pp
a
bθ .
Se aprecia entonces que en cada armónico p , pθ determinara el ángulo de
desfase en radianes de cada serie de fourier, si queremos obtener el desfase
en unidades de tiempo, hay que dividirlo por la frecuencia fundamental ,
oω :0ω
θ p . Entonces la diferencia o
pppp
ωθθ
ωθ
ωθ *
0
*
0
−=− , determinara el desfase entre
los armónicos p de las dos series.
En definitiva; los coeficientes de Fourier también permiten analizar la
covarianza cruzada y los desfases que se dan entre las frecuencias relevantes
de dos series armónicas.
Ejemplo 4
Utilizando los coeficientes de Fourier de los peridogramas calculados en las
Tablas nºII.1 y nºII.2; se comprueba que la covarianza de los ciclos obtenidos
en las dos series de paseos aleatorios; se puede obtener a partir de:
( )2
**pppp bbaa +
Tabla nºII.4. Aproximación de la covarianza a partir de los coeficientes de
Fourier.
Frecuencia Periodo ( )2
**pppp bbaa +
1 100;0 0;01625604 2 50;0 3;432348057 3 33;3 -0;443051466 4 25;0 -0;50404475 5 20;0 0;162582224 6 16;7 0;050523557 7 14;3 -0;040761565 8 12;5 -0;319594953 9 11;1 -0;010262224
10 10;0 0;000551692 11 9;1 0;154544388 12 8;3 -0;038775457 13 7;7 0;00288197 14 7;1 -0;011791378 15 6;7 0;037848627 16 6;3 -0;003607017 17 5;9 0;014365564 18 5;6 -0;014137574 19 5;3 -0;003482801 20 5;0 0;005504241 21 4;8 -0;012993884 22 4;5 -0;018158192 23 4;3 0;005098359 24 4;2 -0;000153256 25 4;0 -0;000413749 26 3;8 0;003395964 27 3;7 -0;00605133 28 3;6 0;00883113 29 3;4 0;01553574 30 3;3 0;00482251 31 3;2 0;000538483 32 3;1 0;011315354 33 3;0 -0;008422354 34 2;9 0;002692719 35 2;9 -0;004455511 36 2;8 0;009515013 37 2;7 0;016067157 38 2;6 0;003185531 39 2;6 0;002334467 40 2;5 0;002199355 41 2;4 0;007634174 42 2;4 0;005829628
(2
2ppa+
43 2;3 0;001607622 44 2;3 0;009014749 45 2;2 -0;000784088 46 2;2 0;002453462 47 2;1 0;009902558 48 2;1 0;006459713 49 2;0 0;010706219 50 2;0 0;001676157
La covarianza de ambas series de ciclo es 5789,2)0( =xyC ; en tanto que
( )4789,2
21
**
≈+
∑=
k
p
pppp bbaay se comprueba que el ciclo de periodo 2 es el ciclo
más relevante para analizar dicha covarianza.
Obtenemos ahora el ciclo determinante del paseo aleatorio utilizado en el
ejemplo 1
−
− tsent100
22539,4
100
22cos2467,1
ππ y del paseo aleatorio utilizado
en el ejemplo 3:
−
tsent
100
225393,4
100
22cos1666,1
ππ; y los representamos en
el gráfico adjunto:
-6
-4
-2
0
2
4
6
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97
Segundo armónico del paseo aleatorio ejemplo 1
Segundo armónico del paseo aleatorio ejemplo 3
Utilizando la denominación alternativa )cos( 0 nn tnC θω − ; el segundo armónico
del ejemplo 1 se obtendría a partir de:
− 3027,1100
22cos7074,4 t
πy el del
ejemplo 3 a partir de:
+ 0039,1100
22cos1725,2 t
π. Se comprueba; entonces; que
el segundo armónico del ejemplo 1 esta en retrasado 1;3027 radianes; si
queremos obtener el retardo en unidades de tiempo; hay que dividirlo por la
frecuencia fundamental :
1002
307,1
0πω
θ=n ; es decir dicho armónico estaría retrasado
20;73 unidades de tiempo; en tanto que el segundo armónico del ejemplo 3
esta adelantado 15;98 unidades de tiempo (
1002
003,1
0πω
θ −=n ). En consecuencia
entre el segundo armónico del ejemplo 1 y el del ejemplo 3 median 4;75
unidades de tiempo.
Multiplicación se series armónicas.
La multiplicación de dos armónicos de diferente frecuencia,
[ ] [ ]t)(ωb+t)(ωat)(ωb+t)(ωa mk
mk
nq
nq ⋅⋅×⋅⋅ sincossincos
da lugar a la siguiente suma:
)sin()sin()cos()sin(
)sin()cos()cos()cos(
ttbbttab
ttbattaa
mnkq
mnkq
mnkq
mnkq
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+
+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅
ωωωωωωωω
que utilizando la identidad del producto7:
7
2
)cos()cos(coscos
βαβαβα −++=⋅
2
)cos()cos(sinsin
βαβαβα +−−=⋅
2
)sin()sin(cossin
βαβαβα −++=⋅
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]ttttbb
ttttab
ttttba
ttttaa
mnmn
kj
mnmn
kj
mnmn
kj
mnmn
kj
⋅+⋅−⋅−⋅+
+⋅−⋅+⋅+⋅+
+⋅−⋅−⋅+⋅+
+⋅−⋅+⋅+⋅
ωωωω
ωωωω
ωωωω
ωωωω
coscos2
sinsin2
sinsin2
coscos2
da como resultado:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )t)(ωt)(ωbaab
t)(ωt)(ωbbaa
t)(ωt)(ωbaab
t)(ωt)(ωbbaa
mn
kjkj
mn
kjkj
mn
kjkj
mn
kjkj
⋅+⋅⋅++⋅+⋅⋅−+
+⋅−⋅⋅−+⋅−⋅⋅+
sin2
cos2
sin2
cos2
una serie armómica con frecuencias angulares que se obtienen a partir de la
suma y diferencia de las frecuencias angulares de los armónicos múltiplos, con
coeficientes de Fourier obtenidos a partir de los coeficientes de los armónicos
múltiplos.
La obtención del término i-esimo del periodograma resultante de multiplicar
dos funciones periódicas con dos o más armónicos, es algo más complejo ya
que el resultado de la multiplicación es una suma de productos de armónicos,
que dan lugar a una suma de armónicos con diferentes frecuencias angulares
como consecuencia de las sumas y diferencias de las frecuencias angulares de
cada producto de armónicos.
2
)sin()sin(sincos
βαβαβα −−+=⋅
Por ejemplo, el producto de dos series obtenidas a partir de dos armónicos:
t)(ωb+t)(ωat)(ωb+t)(ωatf ⋅⋅+⋅⋅= 1111
110
100
10 sincossincos)(
t)(ωb+t)(ωat)(ωb+t)(ωatg ⋅⋅+⋅⋅= 1211
210
200
20 sincossincos)(
Se obtendría la siguiente secuencia de funciones de seno y coseno y
coeficientes de Fourier:
Coeficientes de Fourier
Funciones coseno
Coeficientes de Fourier
Funciones seno
( )2
20
10
20
10 bbaa +
1)cos( =⋅−⋅ tt oo ωω ( )
2
20
10
20
10 baab −
0)sin( =⋅−⋅ tt oo ωω
( )2
20
10
20
10 bbaa −
)2cos(
)cos(
t
tt
o
oo
⋅==⋅+⋅
ωωω ( )
2
20
10
20
10 baab +
)2sin(
)sin(
t
tt
o
oo
⋅==⋅+⋅
ωωω
( )2
20
11
20
11 bbaa +
)cos( 1 tt o ⋅−⋅ ωω ( )
2
20
11
20
11 baab −
)sin( 1 tt o ⋅−⋅ ωω
( )2
20
11
20
11 aaaa −
)cos( 1 tt o ⋅+⋅ ωω ( )
2
20
11
20
11 baab +
)sin( 1 tt o ⋅+⋅ ωω
( )2
21
10
21
10 bbaa +
)cos(
)cos(
01
10
tt
tt
⋅−⋅==⋅−⋅
ωωωω ( )
2
21
10
21
10 baab −
)sin(
)sin(
01
10
tt
tt
⋅−⋅−==⋅−⋅
ωωωω
( )2
21
10
21
10 bbaa −
)cos( 10 tt ⋅+⋅ ωω ( )
2
21
10
21
10 baab +
)sin( 10 tt ⋅+⋅ ωω
( )2
21
11
21
11 bbaa +
1)cos( 11 =⋅−⋅ tt ωω ( )
2
21
11
21
11 baab −
0)sin( 11 =⋅−⋅ tt ωω
( )2
21
11
21
11 bbaa −
)2cos(
)cos(
1
11
t
tt
⋅==⋅+⋅
ωωω ( )
2
21
11
21
11 baab +
)2sin(
)sin(
1
11
t
tt
⋅==⋅+⋅
ωωω
Que daría lugar a la siguiente serie de Fourier:
t)t(ωb+t)t(ωat)ω(b+t)ω(a
t)t(ωb+t)t(ωat)ω(b+t)ω(atgtf
⋅−⋅⋅−⋅+⋅⋅+
+⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+=×
0120131212
1011010000
sincos2sin2cos
sincos2sin2cos)()(
ωωωωα
Donde:
( ) ( )2
21
11
21
11
20
10
20
10 bbaabbaa +++
=α
( )2
20
10
20
10
0
bbaaa
−=
( )2
20
10
20
10 baab
bo
+=
( ) ( )2
20
11
20
11
21
10
21
10
1
bbaabbaaa
−+−=
( ) ( )2
20
11
20
11
21
10
21
10
1
baabbaabb
+++=
( )2
21
11
21
11
2
bbaaa
−=
( )2
21
11
21
11
2
baabb
+=
( ) ( )2
21
10
21
10
20
11
20
11
3
bbaabbaaa
+++=
( ) ( )2
21
10
21
10
20
11
20
11
3
baabbaabb
−−−=
La multiplicación de dos series de longitud T obtenidas como sumas de
k armónicos, cuyas frecuencias angulares son obtenidas a partir de
T
ii
⋅= πω 2
es decir
( ) ( )∑ ⋅⋅⋅⋅k
=iii T
tb+Tta=tg
0
11 2πisin2πicos)(
e
( ) ( )∑ ⋅⋅⋅⋅k
=iii T
tb+Tta=tf
0
22 2πisin2πicos)(
da como resultado una nueva serie armónica de T/2 periodos
( ) ( )∑ ⋅⋅⋅⋅+⋅=k
=iii T
tib+Ttia=tgtfth
0
2πsin2πcos)()()( η
En donde8
∑−
+=1
0
2121
22
k
=ik
iiii ab+baaη
Partiendo de dos series armónicas de T=8, lo que da lugar a las dos series de
Fourier que se presentan a continuación:
t)(ωb+t)(ωat)(ωb+t)(ωa
t)(ωb+t)(ωat)(ωb+t)(ωatf
⋅⋅+⋅⋅+
+⋅⋅+⋅⋅=
3133
132
122
12
1111
110
100
10
sincossincos
sincossincos)(
t)(ωb+t)(ωat)(ωb+t)(ωa
t)(ωb+t)(ωat)(ωb+t)(ωatg
⋅⋅+⋅⋅
+⋅⋅+⋅⋅=
3233
232
222
22
1211
210
200
20
sincossincos
sincossincos)(
Donde
8 Notese queη es la covarianza poblacional entre )(tf y )(tg .
141,38
24
356,28
23
571,18
22
785,08
21
3
2
1
=⋅=
=⋅=
=⋅=
=⋅=
πω
πω
πω
πωo
La multiplicación sucesiva de los cuatro armónicos de )(tf por el primer
armónico de )(tg daría lugar a las siguientes frecuencias angulares:
230
12
010
0
8
23
8
24
8
218
22
8
23
8
218
21
8
22
8
21
08
21
8
21
ωπππωω
ωπππωω
ωπππωω
ππωω
−=⋅−=⋅−⋅=−
−=⋅−=⋅−⋅=−
−=⋅−=⋅−⋅=−
=⋅−⋅=−
o
o
πππωω
ωππππωω
ωπππωω
ωπππωω
+=⋅+⋅=+
==⋅=⋅+⋅=+
=⋅=⋅+⋅=+
=⋅=⋅+⋅=+
785,08
24
8
218
24
8
23
8
218
23
8
22
8
218
22
8
21
8
21
30
320
210
100
de forma que9
)cos()cos( 00 ωπω −−=+
)sin()sin( 00 ωπω −=+
9
)sin()sin(
)cos()cos(
ππ
+=−+−=−
xx
xx
La multiplicación sucesiva de los cuatro armónicos de )(tf por el segundo
armónico de )(tg daría lugar a las siguientes frecuencias angulares:
131
021
11
001
8
22
8
24
8
228
21
8
23
8
22
08
22
8
228
21
8
21
8
22
ωπππωω
ωπππωω
ππωω
ωπππωω
−=⋅−=⋅−⋅=−
−==⋅−=⋅−⋅=−
=⋅−⋅=−
=⋅=⋅−⋅=−
πωππωω
πωππππωω
ωππππωω
ωπππωω
+=⋅+⋅=+
+=⋅+⋅=⋅+⋅=+
==⋅=⋅+⋅=+
=⋅=⋅+⋅=+
131
021
311
201
8
24
8
228
24
8
21
8
23
8
228
24
8
22
8
228
23
8
21
8
22
de forma que
)cos()cos( 11 ωπω −−=+
)sin()sin( 11 ωπω −=+
La multiplicación sucesiva de los cuatro armónicos de )(tf por el tercer
armónico de )(tg daría lugar a las siguientes frecuencias angulares:
132
22
012
102
8
21
8
24
8
23
08
23
8
238
21
8
22
8
238
22
8
21
8
23
ωπππωω
ππωω
ωπππωω
ωπππωω
−=⋅−=⋅−⋅=−
=⋅−⋅=−
=⋅=⋅−⋅=−
=⋅=⋅−⋅=−
πωππωω
πωππππωω
πωππππωω
ωππππωω
+=⋅+⋅=+
+=⋅+⋅=⋅+⋅=+
+=⋅+⋅=⋅+⋅=+
==⋅=⋅+⋅=+
232
122
012
302
8
24
8
238
24
8
22
8
23
8
238
24
8
21
8
22
8
238
24
8
21
8
23
de forma que
)cos()cos( 22 ωπω −−=+
)sin()sin( 22 ωπω −=+
La multiplicación sucesiva de los cuatro armónicos de )(tf por el cuarto
armónico de )(tg daría lugar a las siguientes frecuencias angulares:
08
24
8
248
21
8
23
8
248
22
8
22
8
248
23
8
21
8
24
33
023
113
203
=⋅−⋅=−
=⋅=⋅−⋅=−
=⋅=⋅−⋅=−
=⋅=⋅−⋅=−
ππωω
ωπππωω
ωπππωω
ωπππωω
πππωω
ωπππωω
ωπππωω
ωπππωω
28
24
8
248
23
8
248
22
8
248
21
8
24
33
223
113
003
=⋅+⋅=+
+=⋅+⋅=+
+=⋅+⋅=+
+=⋅+⋅=+
Teniendo presente que:
1)2cos(
0)2sin(
1)cos(
0)sin(
1)0cos(
0)0sin(
==−=
===
ππ
ππ
se obtienen los coeficientes de fourier de la serie resultante de la multiplicación
de )()( tgtf ⋅ a partir del siguiente sistema matricial:
−−−−−−−−−
−−−+−+−−−−−−−+
−++−+−−−−+−−
+++
=+
0
22
22
220
202
22
22
2
2221
21
22
22
221
21
22
222
223
21
21
221
21
22
222
221
23
21
21
22
222
223
22
222
2
21
22
222
223
22
222
2
22
32
21
21
22
222
221
21
22
21
23
21
22
222
221
21
23
22
22
21
21
22
,1
oo
ooo
ooo
oooo
oooo
oo
oo
oo
ggii
bababa
babaabbaab
ababbaabaa
baabbaabba
abbaaabbaa
baabaabbab
abaabbaaba
abababa
&&θ
=
13
12
12
11
11
10
10
a
b
a
b
a
b
a
f&
f
a
b
a
b
a
b
a
h ggii
o
o
&& && ×=
= + ,1
3
2
2
1
1
2
1θ
η
Prescindiendo de la primera fila de ggii
&&
,1+θ se obtiene una matriz ii × ( ggii&&θ ) que da
lugar a la parte armónica de )(th , en consecuencia, cabría obtenerse
f& operando con los coeficientes de Fourier:
( ) hi
ggiif θθ 1
2−= &&&
En caso de que ( ) ( )∑ ⋅⋅⋅⋅+=k
=iiit T
tb+Tta=tgX
0
111 2πisin2πicos)( η , y T=8,
definimos:
−−−−−−−−−
−−−+−+−−−−−−−+
−++−+−−−−+−−
+++
+=
0
22
22
220
202
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
0
2
1
20
20
21
21
22
22
20
21
21
22
20
22
20
23
21
21
20
21
21
22
20
22
20
21
23
21
21
22
20
22
20
23
22
20
22
20
21
22
20
22
20
23
22
20
22
20
22
23
21
21
22
20
22
221
21
22
21
23
21
22
20
22
20
21
21
23
22
22
21
21
20
20
23
22
22
21
21
2
20
81
bababa
babaabbaab
ababbaabaa
baabbaabba
abbaaabbaa
baabaabbab
abaabbaaba
abababa
a
b
a
b
a
b
a
I
oo
XX ηθ &&
Demostrandose que:
YZ XX && &&θ=
Siendo tZAZ 1)'( −=& , tXAX 1)'( −=& y tYAY 1)'( −=& , y A una matriz TxT cuyo
elemento genérico es:
( )
( )( )
=∀−
−=∀
−−
−−=∀
−=∀
=
+ Tj
TTjT
tj
TTjT
tj
j
a
t
tj
1
,
)1(
/)1(,...,7,5,311
sin
)1/()2(,...,6,4,21
cos
11
π
π
Operando
( ) ( ) ( ) ( ) YAIXYAXAAYAXAYXZ Tttttt&&&& 11111 )'(')'(''' −−−−− ====
Es decir
YAIXZA Tt&& 11 )'()'( −− =
Operando
YYAIXAZ XXTt
&&& &&θ== −1)'()'(
Siendo
YAIXA TtXX &&& 1)'()'( −=θ
Y
( ) ZY XX && && 1−= θ
Ejemplo 5
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅=
8
22cos2,0
8
21sin2,1
8
21cos4,0
8
22sin2,0
8
22cos8,0
8
21sin5,0
8
21cos5,0)(
tt+
t
t+
tt+
ttf
πππ
ππππ
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅=
8
22cos2
8
21sin05,0
8
21cos6,0
8
22sin7,0
8
22cos3,0
8
21sin1,0
8
21cos9,0)(
tt+
t
t+
tt+
ttg
πππ
ππππ
el producto )()( tgtf ⋅ da como resultado10:
10 Dado que 013 =b en el ejemplo, se puede simplificar la multiplicación en el modo expuesto.
−
−
−
=
×
−−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−
0325,1
3075,0
04,1
305,1
2775,0
3525,2
26,2
265,2
3,0
99,0
2,0
2,1
4,0
2,0
8,0
5,0
5,0
09,01,03,07,06,005,0
01,09,07,03,005,06,0
2,03,07,03,005,07,37,0
8,17,03,015,05,17,03,4
4,13,015,0403,015,0
6,005,05,10405,05,1
1,07,37,03,005,03,07,0
2,17,03,415,05,17,03,0
06,005,03,07,09,01,0
405,06,07,03,01,09,0
2
1
Que da lugar a la siguiente serie:
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅+
+
⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅+=
8
24cos3075,0
8
23sin04,1
8
23cos305,1
8
22sin2775,0
8
22cos3525,2
8
21sin26,2
8
21cos265,299.0)(
ttt
tttttg
πππ
ππππ
Varianza y Covarianza de Procesos Estacionarios
Se define un proceso es estacionario coma aquel que su media es constante e
independiente del tiempo, su varianza es finita y constante, y el valor de la
covarianza entre dos periodos no depende del tiempo en el cual se ha
calculado, sino de la distancia o desfase entre aquellos. En el ejemplo 1, se
muestra un tipo de proceso estacionario particular es el denominado ruido
blanco, formado por una sucesión de variables aleatorias con distribución
Normal, esperanza cero, varianza constante e incorrelacionadas entre sí.
Pero, ¿por qué resulta importante para el investigador que el proceso analizado
sea estacionario? La razón fundamental es que el modelos de regresión de
series temporales están diseñados para ser utilizados con procesos
estacionarios. Si las características del proceso cambian a lo largo del tiempo,
resultará difícil representar la serie para intervalos de tiempo pasados y futuros
mediante un modelo lineal sencillo. Sin embargo, por regla general, las series
económicas no son series que procedan de procesos estacionarios, sino que
suelen tener una tendencia, ya sea creciente o decreciente, y variabilidad no
constante. Dicha limitación en la práctica no es tan importante porque las series
no estacionarias se pueden transformar en otras que sí lo son, ya que la mayor
parte de las series económicas se convierten en aproximadamente
estacionarias después de aplicar diferencias en una ó más etapas.
Tanto la varianza muestral como la covarianza muestral, se desarrollan según
los teoremas de Parseval y Plancharel, en:
( )∑
=
+=
2
1
222
2
T
n
nn baσ y ( )
∑=2
1
**
2
T
=p
ppppyx
b+baatt
σ ,
La multiplicación punto a punto de tx e ty da lugar a la serie :
( ) ( )t
T
p
pppp
T
popptt z
bbaatpbtpaxy +
+=++=⋅ ∑∑
==
2
1
**2
1
'0
'
2sincos ωϖµ
de igual manera que el cuadrado de tx da lugar a la serie :
( ) ( )t
T
p
pp
T
popptt z
batpbtpaxx +
+=++=⋅ ∑∑
==
2
1
222
1
'0
'
2sincos ωϖµ
Dado que 01 =∑
=
T
zT
tt
, entonces el producto escalar de de tx e ty y tx de tx , da
lugar a la covarianza y la varianza poblacional.
Cuando los procesos son estacionarios, las covarianzas y varianzas muestrales
han de coincidir con la poblacional, dado que ambas se consideran finitas y
constantes, e independientes de los periodos de tiempo utilizados en su
cálculo. En cuyo caso el coeficiente de correlación de Pearson es un estimador
eficiente en la regresión de una serie sobre la otra.
La coincidencia entre las covarianzas y varianzas de nuestra muestra coincida
con la de la población, implica que el proceso de fourier
( )∑=
+=2
1
'0
' sincosT
poppt tpbtpaz ωϖ de la covarianza y de la varianza de lugar a un
conjunto de observaciones estacionarias Tzz ,...,1 , de media cero, y una manera
de testearlo es utilizando el test de Durbin que se explicó en el tema I.
Ejemplo 6
Partimos de los datos de la Tabla nºIII.1.
Tabla nºIII.1 Consumo de Energía Final Eléctrica (TEP) y PIB (Mill de euros
constantes) de España correspondientes al periodo 1992-2010
Consumo de Energía Final Eléctrica (TEP)
PIB (Mill euros año 2000)
Xt=Ln(TEP) Yt=Ln(PIB) xt yt
1992 11244 484581 9,3276 13,0910 -0,3311 -0,2293
1993 11237 479583 9,3270 13,0807 -0,3317 -0,2397
1994 11777 491012 9,3739 13,1042 -0,2848 -0,2162
1995 12116 515405 9,4023 13,1527 -0,2564 -0,1677
1996 12655 527862 9,4458 13,1766 -0,2129 -0,1438
1997 13672 548284 9,5231 13,2145 -0,1356 -0,1058
1998 14202 572782 9,5611 13,2583 -0,0975 -0,0621
1999 15241 599966 9,6317 13,3046 -0,0269 -0,0158
2000 16205 630263 9,6931 13,3539 0,0344 0,0335
2001 17279 653255 9,7572 13,3897 0,0986 0,0693
2002 17759 670920 9,7846 13,4164 0,1260 0,0960
2003 18916 691695 9,8478 13,4469 0,1891 0,1265
2004 19834 714291 9,8952 13,4790 0,2365 0,1587
2005 20827 740108 9,9440 13,5146 0,2853 0,1942
2006 22052 769850 10,0012 13,5540 0,3425 0,2336
2007 22548 797367 10,0234 13,5891 0,3647 0,2687
El periodograma del logaritmo del PIB sería:
Tabla nºIII.2 Periodograma del logaritmo del PIB
Frecuencia Periodo
1 16 0,0586 -0,2688 0,9509 0,0378 2 8 0,0580 -0,1119 0,1995 0,0079 3 5;3333 0,0489 -0,0714 0,0942 0,0037 4 4 0,0442 -0,0449 0,0499 0,0020 5 3;2 0,0507 -0,0323 0,0454 0,0018 6 2;6667 0,0433 -0,0161 0,0268 0,0011 7 2;2857 0,0377 -0,0069 0,0184 0,0007 8 2 0,0234 0,0000 0,0069 0,0003
Y su varianza
( ) 0276,02
1 28
7
1
222 =++= ∑=
abap
ppxσ
El periodograma del logaritmo del Consumo de Energía Eléctrica Final sería:
Tabla nºIII.3 Periodograma del logaritmo del Consumo de Energía Eléctrica.
Frecuencia Periodo
1 16 0,0381 -0,1883 0,4638 0,0185 2 8 0,0439 -0,0767 0,0982 0,0039 3 5;3333 0,0390 -0,0522 0,0534 0,0021 4 4 0,0367 -0,0290 0,0275 0,0011 5 3;2 0,0337 -0,0180 0,0183 0,0007 6 2;6667 0,0296 -0,0121 0,0128 0,0005 7 2;2857 0,0314 -0,0071 0,0130 0,0005 8 2 0,0162 0,0000 0,0033 0,0001
Y su varianza:
pa pb( ) ( )
πω
4
22pp
i
baTI
+=
2
)( 22pp ba +
pa pa ( ) ( )π
ω4
2*2*pp
i
baTI
+=
2
)( 2*2*pp ba +
( ) 0557,02
1 2*8
7
1
2*2*2 =++= ∑=
abap
ppyσ
La covarianza del PIB y el Consumo de Energía Eléctrica se desarrollaría
entonces:
Tabla nºIII.4. Covarianza del PIB y el Consumo de Energía Eléctrica.
Logaritmos.
Consumo Energía Final
Eléctrica PIB
Frecuencia Periodo
1 16 0,0381 -0,1883 0,0586 -0,2688 0,0264 2 1 0,0439 -0,0767 0,0580 -0,1119 0,0056 3 0;3333 0,0390 -0,0522 0,0489 -0,0714 0,0028 4 0 0,0367 -0,0290 0,0442 -0,0449 0,0015 5 0;2 0,0337 -0,0180 0,0507 -0,0323 0,0011 6 0;1667 0,0296 -0,0121 0,0433 -0,0161 0,0007 7 0;1429 0,0314 -0,0071 0,0377 -0,0069 0,0006 8 0 0,0162 0,0000 0,0234 0,0000 0,0002
0391,02
*88
7
1
**
=+
=∑ aa
b+baa
=p
ppppµ
La serie armónica asociada a las multiplicaciones y cuadrados ambas series en
diferencias sobre sus medias, tiene en todos los casos un periodograma en
donde sobresalen los ciclos da baja frecuencia, tal y como muestra el test de
Durbín que se representa de forma gráfica junto a la serie:
papb *
pa
2
)( **pppp bbaa +
*
pb
Covarianza
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1 2 3 4 5 6 7 8
Banda superior
covarianza
Banda inferior
Varianza ln(PIB)
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1 2 3 4 5 6 7 8
Banda superior
varianza ln(PIB)
Banda inferior
Varianza (TEP)
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1 2 3 4 5 6 7 8
Banda superior
varianza ln(TEP)
Banda inferior
Dado que no se trata de series estacionarias el coeficiente de correlación de
correlación de Pearson calculado con los datos muestrales no asegura la
estabilidad de la estimación eficiente a través del coeficiente de correlación. Sin
embargo, esta regresión planteada en primeras diferencias logarítmicas, o
tasas de crecimiento si que garantiza una regresión estable, ya que tanto las
varianzas como las covarianzas de las series son estacionarias:
Tabla nºIII.5 Consumo de Energía Final Eléctrica (TEP) y PIB (Mill de euros
constantes) de España correspondientes al periodo 1992-2010, en diferencias
logarítmicas.
Consumo de Energía Final Eléctrica (TEP)
PIB (Mill euros año 2000)
Xt=Ln(TEP)-Lm(TEP)-1
Yt=Ln(PIB)-ln(PIB)-1
xt yt
1992 11244 484581 -0,0006 -0,0104 -0,0449 -0,0420
1993 11237 479583 0,0469 0,0236 0,0027 -0,0081
1994 11777 491012 0,0284 0,0485 -0,0159 0,0168
1995 12116 515405 0,0435 0,0239 -0,0007 -0,0078
1996 12655 527862 0,0773 0,0380 0,0331 0,0063
1997 13672 548284 0,0380 0,0437 -0,0062 0,0121
1998 14202 572782 0,0706 0,0464 0,0264 0,0147
1999 15241 599966 0,0613 0,0493 0,0171 0,0176
2000 16205 630263 0,0642 0,0358 0,0199 0,0042
2001 17279 653255 0,0274 0,0267 -0,0168 -0,0050
2002 17759 670920 0,0631 0,0305 0,0189 -0,0012
2003 18916 691695 0,0474 0,0321 0,0032 0,0005
2004 19834 714291 0,0489 0,0355 0,0046 0,0038
2005 20827 740108 0,0572 0,0394 0,0129 0,0077
2006 22052 769850 0,0222 0,0351 -0,0220 0,0035
2007 22548 797367 0,0119 0,0086 -0,0324 -0,0231
El periodograma de la primera diferencia del logaritmo del PIB sería:
Tabla nºIII.6 Periodograma de la diferencia del logaritmo del PIB
Frecuencia Periodo
1 16 -0,0189 -0,0020 0,0045 0,0002 2 8 -0,0076 -0,0083 0,0016 0,0001 3 5;3333 -0,0077 -0,0011 0,0008 0,0000 4 4 -0,0007 0,0007 0,0000 0,0000 5 3;2 -0,0115 -0,0021 0,0017 0,0001 6 2;6667 0,0032 -0,0030 0,0002 0,0000 7 2;2857 0,0133 -0,0011 0,0022 0,0001 8 2 -0,0025 0,0000 0,0001 0,0000
Y su varianza
( ) 000222,02
1 28
7
1
222 =++= ∑=
abap
ppxσ
El periodograma de la primera diferencia del logaritmo del Consumo de Energía
Eléctrica Final sería:
Tabla nºIII.7 Periodograma de la diferencia del logaritmo del Consumo de
Energía Eléctrica.
Frecuencia Periodo
1 16 -0,0116 -0,0002 0,0017 0,0001 2 8 -0,0038 -0,0086 0,0011 0,0000 3 5;3333 -0,0090 -0,0039 0,0012 0,0000 4 4 -0,0024 -0,0077 0,0008 0,0000 5 3;2 0,0001 -0,0062 0,0005 0,0000 6 2;6667 0,0042 -0,0004 0,0002 0,0000 7 2;2857 0,0001 0,0016 0,0000 0,0000 8 2 -0,0008 0,0000 0,0000 0,0000
pa pb( ) ( )
πω
4
22pp
i
baTI
+=
2
)( 22pp ba +
pa pa ( ) ( )π
ω4
2*2*pp
i
baTI
+=
2
)( 2*2*pp ba +
Y su varianza:
( ) 000447,02
1 2*8
7
1
2*2*2 =++= ∑=
abap
ppyσ
La covarianza del PIB y el Consumo de Energía Eléctrica se calcula entonces:
Tabla nºIII.8. Covarianza del PIB y el Consumo de Energía Eléctrica.
Logaritmos.
Consumo Energía Final
Eléctrica PIB
Frecuencia Periodo
1 16 -0,0116 -0,0002 -0,0189 -0,0020 0,00010995 2 1 -0,0038 -0,0086 -0,0076 -0,0083 4,9888E-05 3 0;3333 -0,0090 -0,0039 -0,0077 -0,0011 3,6707E-05 4 0 -0,0024 -0,0077 -0,0007 0,0007 -1,75E-06 5 0;2 0,0001 -0,0062 -0,0115 -0,0021 5,8618E-06 6 0;1667 0,0042 -0,0004 0,0032 -0,0030 7,3282E-06 7 0;1429 0,0001 0,0016 0,0133 -0,0011 1,0276E-07 8 0 -0,0008 0,0000 -0,0025 0,0000 9,6237E-07
000210,02
*88
7
1
**
=+
=∑ aa
b+baa
=p
ppppµ
Covarianza
-0,0005
0
0,0005
0,001
0,0015
0,002
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
papb *
pa
2
)( **pppp bbaa +
*
pb
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1 2 3 4 5 6 7 8
Banda superior
covarianza
Banda inferior
Varianza (1-L)ln(PIB)
00,0002
0,00040,0006
0,00080,001
0,0012
0,00140,0016
0,00180,002
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1 2 3 4 5 6 7 8
Banda superior
varianza (1-L)ln(PIB)Banda inferior
Varianza (1-L)ln(TEP)
0
0,0005
0,001
0,0015
0,002
0,0025
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1 2 3 4 5 6 7 8
Banda superior
varianza (1-L)ln(TEP)Banda inferior
Regresión “band spectrum”.
El parámetro mínimo-cuadrático de la estimación: ttt ebxy += es el siguiente:
∑∑ ⋅
=2
ˆt
ttMVCO x
yxb
La relación de Plancharel muestra que se verifica la siguiente correspondencia
de productos escalares:
( ) ( )γβ ,1
,N
xy =
donde )(yDFT=β y )(xDFT=γ .
Por su parte, la igualdad de Parserval que constituye el caso particular de
xy = .
( ) ( )γγ ,1
,N
xx =
En consecuencia:
( )( )γγ
γβ,,ˆ =MVCOb
Utilizando la notación de los coeficientes de Fourier, la covarianza de x e y se
obtendría a partir de:
( )
++= ∑
−
= 2
2
2
1
1
**
2
11TT
q
pppppyx aabbaa
Tttσ
La varianza del proceso tx quedaría definida a partir de:
( )
++= ∑
−
=
2
2
1
1
222
2
11T
q
pppx aba
Ttσ
Entonces:
( )
( )∑
∑−
−
+
⋅+≅
1
1
2
2
22
*
22
1
1
**
2
2ˆ
k
=pTpp
TT
k
=ppppp
MCO
ab+a
aab+baa
b
Hannan (1963) fue quien propuso la regresión en dominio de la frecuencia
(regresión band spectrum). Engle (1974), demostró que dicha regresión no
alteraba los supuestos básicos de la regresión clásica, cuyos estimadores eran
Estimadores Lineales Insesgados y Optimos (ELIO). Harvey (1978) apunta
varias de las ventajas de esta regresión, por un lado, la regresión en el dominio
de la frecuencia permite omitir determinadas bandas de frecuencia o
oscilaciones de periodos concretos, por otro lado, ofrece solución a las
regresiones en las que los residuos están serialmente correlacionados.
En Engel (1974) el periodograma de la explicativas xes definido como
( ) 2ˆ xwf kkx =θ
siendo kw el vector fila:
( )kkk iTiik eeew θθθ )1(2 ,...,,,1 −=
donde Tk
kπθ 2= ; y t=0;1;…;T-1;
Txwk sería el elemento k-ésimo de la
transformada finita de Fourier del vector columna de tx
y el cross-periodograma entre las series tx e ty
( ) ( ) ( )ywxwf kkkxy∗=θˆ
Donde * es la compleja conjugada de la transpuesta.
El periodograma es un estimador insesgado del espectro, sin embargo es
asintóticamente insesgado e inconsistente con la varianza de cada estimador
espectral a medida que la muestra tiende a infinito. Esta inconsistencia que
obligaría al uso de ventanas en el periodograma con el fin de obtener
estimaciones del espectro, no anula las propiedades de la regresión realizada
con el periodograma.
Haciendo
=
−1
2
1
0
.
tw
w
w
w
W
Se comple que WWIWW '' == debido a las ortogonalidad de los productos de
senos y cosenos.
Y obtendiendo el vector x~ como la transformada de Fourier de
xen T periodos, podemos transformar el modelo de regresión múltiple:
uxy += β (1)
En
uxy ~~~ += β (2)
Se trata de una regresión con variables aleatorias complejas pero que no
afecta a los supuestos básicos del modelo de regresión clásico. Las
propiedades del error u~ :
'
')'(
)''(
)'~~()~var(
2 WW
WuuWE
WWuuE
uuEu
u Ω===
=
σ
Si I=Ω , entonces Iu u2)~var( σ= .
Asumiendo que xes independiente de u , el teorema de Gauss-Markov
implicaría que
( ) yxxx ~'~~'~ˆ 1−=β
es un estimador ELIO con la siguiente matriz de varianza y covarianzas:
12 )~'~()ˆvar( −= xxuσβ
El estimador mínimo-cuadrático β en términos del periodograma se formularía:
( ) ( )∑∑−
=
−−
=
=1
0
11
0
ˆˆˆT
kkxy
T
kkxx ff θθβ
donde ( )kxxf θˆ es la matriz del cross-periodograma de cada frecuencia e
( )kxyf θˆ es el vector del cross-periodograma de tx e ty .
Estimar (1) manteniendo únicamente determinadas frecuencias, puede llevarse
a cabo omitiendo las observaciones correspondientes a las restantes
frecuencia en (2), si bien, dado que las variables en el dominio de la frecuencia
son complejas, Engle (1974) sugiere la transformada inversa de Fourier para
recomponer el modelo estimado en términos de tiempo.
Realizar dicha regresión requiere definir una matriz A de tamaño n x n de
ceros excepto en las posiciones de la diagonal principal correspondientes a las
frecuencias que queremos incluir en la regresión y premultiplicar y~ y x~ por A ,
de forma que reemplazariamos las frecuencias que de deseamos eliminar por
ceros, con las variables en el dominio de la frecuencia transformadas se
realizaría la regresión band spectrum.
Devolver al dominio del tiempo estas observaciones requiere:
tTT
t AWyWyAWy == ~*
tTT
t AWxWxAWx == ~*
(3)
Al regresar sobre *ty sobre
*tx obtenemos un *β identico al estimador que
obtendríamos al estimar por MCO yA~ frente a xA~ .
Cuando se realiza la regresión band spectrum de esta manera, ocurre un
problema asociado a los grados de libertad de la regresión de *ty sobre
*tx que
asumen los programas estadísticos convencionales, n - k, en vez de los grados
de libertad reales que serían n'- k, donde n' es el numero de frecuencias
incluidas en la regresión band spectrum.
Si la regresión espectral va a ser usada para obtener un estimador
asintóticamente eficiente de β en presencia de autocorrelación en el termino
de error, la matriz A ha de ser reemplazada por otra matriz diagonal, V . En
dicha diagonal principal ha de incluirse el estimador de ( )∫− 2/1
uλ , donde
( )∫u λes
la transformación del termino de error obtenido en (1) al dominio de la
frecuencia λ . Puede utilizarse un programa convencional para obtener β
haciendo una transformación análoga a (3); ver Engle and Gardner [1976]. Sin
embargo, si el procedimiento va a ser iterativo, lo que podría llevar a una
mejora en las propiedades de las muestra pequeñas, la transformada inversa
de fourier en (3) debería emplearse en cada iteración (Harvey, 1978).
A efectos de transformar los datos originales del dominio del tiempo al dominio
de la frecuencia utilizando series finitas de senos y cosenos en la regresión
band spectrum y evitar el uso de las transformadas de Fourier, Harvey (1978)
sugiere utilizar una matriz ortogonal W, con el elemento (j,t)th :
( )
( )( )
=∀−
−=∀
−−
−−=∀
−
=∀
=
+ TjT
TTjT
tj
T
TTjT
tj
T
jT
w
t
tj
12
1
2
1
2
1
2
1
,
)1(1
/)1(,...,7,5,311
sin2
)1/()2(,...,6,4,21
cos2
11
π
π
De esta forma los problemas derivados del uso de la transformada compleja de
Fourier pueden ser eludidos. Asimismo afirma que el vector de residuos da
lugar a un vector de residuos del modelo transformado a través de A
( ) uWXyWv ˆˆ =−= β
De manera que :
=
==
−=+=
−=+=
= +
+
21
22
212
22
212
22
ˆ22
,ˆ2
2
1,...,1,ˆˆ
12
,...,1,ˆˆ
vp
imparTyT
jvp
imparTsiT
jvvp
parTsiT
jvvp
p
o
jj
jjj
jjj
j
Puede ser utilizado de forma consistente como estimador del periodograma
de u .
Hui T and Ashley R (1999), proponen un procedimiento para la realización de la
regresión band-spectrum que consta de tres etapas:
1.- Transformar los datos originales del dominio del tiempo al dominio de la
frecuencia utilizando series finitas de senos y cosenos. Implicaría premultiplicar
los datos originales por una matriz ortogonal, A, sugerida por Harvey (1978).
2.- Permitir la variación de kβ a través de m bandas de frecuencia usando
variables Dummy )...( 1 mjj DD . Estas variables se elaboran a partir de
submuestras de las T observaciones del dominio de frecuencias, de esta forma
jksj xD ~= si la observación j está en la banda de frecuencias s y 0=s
jD , en el
resto de los casos. Para obtener las submuestras proponen el “stabilogram”
test (Ashley, 1984).
3.- Re-estimar el resultado del modelo de regresión en el dominio del tiempo
con las estimaciones kββ ...1 y los coeficientes de las m variables Dummy.
Implicaría premultiplicar la ecuación de regresión ampliada por las variables
Dummy por la transpuesta de A.
Ejemplo 6
En la Tabla nºIII.1 figuran las cifras de Consumo de energía final eléctrica
(TEP) y del PIB en Millones de euros de España en el periodo 1992 y 2007.
La transformación de los datos del dominio del tiempo al dominio de la
frecuencia se realiza premultiplicando los datos originales por la siguiente
matriz ortogonal (W):
wj,t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250
2 0,354 0,327 0,250 0,135 0,000 -0,135 -0,250 -0,327 -0,354 -0,327 -0,250 -0,135 0,000 0,135 0,250 0,327
3 0,000 0,135 0,250 0,327 0,354 0,327 0,250 0,135 0,000 -0,135 -0,250 -0,327 -0,354 -0,327 -0,250 -0,135
4 0,354 0,250 0,000 -0,250 -0,354 -0,250 0,000 0,250 0,354 0,250 0,000 -0,250 -0,354 -0,250 0,000 0,250
5 0,000 0,250 0,354 0,250 0,000 -0,250 -0,354 -0,250 0,000 0,250 0,354 0,250 0,000 -0,250 -0,354 -0,250
6 0,354 0,135 -0,250 -0,327 0,000 0,327 0,250 -0,135 -0,354 -0,135 0,250 0,327 0,000 -0,327 -0,250 0,135
7 0,000 0,327 0,250 -0,135 -0,354 -0,135 0,250 0,327 0,000 -0,327 -0,250 0,135 0,354 0,135 -0,250 -0,327
8 0,354 0,000 -0,354 0,000 0,354 0,000 -0,354 0,000 0,354 0,000 -0,354 0,000 0,354 0,000 -0,354 0,000
9 0,000 0,354 0,000 -0,354 0,000 0,354 0,000 -0,354 0,000 0,354 0,000 -0,354 0,000 0,354 0,000 -0,354
10 0,354 -0,135 -0,250 0,327 0,000 -0,327 0,250 0,135 -0,354 0,135 0,250 -0,327 0,000 0,327 -0,250 -0,135
11 0,000 0,327 -0,250 -0,135 0,354 -0,135 -0,250 0,327 0,000 -0,327 0,250 0,135 -0,354 0,135 0,250 -0,327
12 0,354 -0,250 0,000 0,250 -0,354 0,250 0,000 -0,250 0,354 -0,250 0,000 0,250 -0,354 0,250 0,000 -0,250
13 0,000 0,250 -0,354 0,250 0,000 -0,250 0,354 -0,250 0,000 0,250 -0,354 0,250 0,000 -0,250 0,354 -0,250
14 0,354 -0,327 0,250 -0,135 0,000 0,135 -0,250 0,327 -0,354 0,327 -0,250 0,135 0,000 -0,135 0,250 -0,327
15 0,000 0,135 -0,250 0,327 -0,354 0,327 -0,250 0,135 0,000 -0,135 0,250 -0,327 0,354 -0,327 0,250 -0,135
16 0,250 -0,250 0,250 -0,250 0,250 -0,250 0,250 -0,250 0,250 -0,250 0,250 -0,250 0,250 -0,250 0,250 -0,250
Las variables transformadas al dominio de la frecuencia figuran en la Tabla nº
III.9.
Tabla nºIII.9: Consumo de Energía Final Eléctrica y PIB de España
correspondientes al periodo 1992-2008. Transformados en el dominio de la
frecuencia.
t
Consumo de Energía Eléctrica (CEE) PIB Constante
CEE estimado en el dominio de
CEE estimado en el dominio del tiempo
1 67.284 2.551.717 4 67.284 10.995 2 -1.713 -56.628 0 -2.083 11.416
3 -12.669 -334.387 0 -12.302 12.313 4 -2.162 -52.088 0 -1.916 12.772 5 -5.702 -160.516 0 -5.905 13.523 6 -2.397 -70.960 0 -2.611 14.424 7 -3.077 -89.304 0 -3.286 15.424 8 -2.053 -64.772 0 -2.383 16.539 9 -2.023 -60.838 0 -2.238 17.385
10 -2.129 -62.400 0 -2.296 18.035 11 -1.083 -38.099 0 -1.402 18.799 12 -2.069 -57.905 0 -2.130 19.630 13 -924 -26.001 0 -957 20.580 14 -2.306 -55.621 0 -2.046 21.675 15 -557 -11.901 0 -438 22.687 16 -1.366 -38.885 0 -1.431 22.939
La regresión MCO realizada con las variables transformadas en el dominio de
la frecuencia quedaría:
Resumen
Estadísticas de la regresión
Coeficiente de correlación múltiple 0,99991214
Coeficiente de determinación R^2 0,99982429
R^2 ajustado 0,92838317
Error típico 244,666006
Observaciones 16
ANÁLISIS DE VARIANZA
Grados de libertad Suma de cuadrados Promedio de los cuadrados F Valor crítico de F
Regresión 2 4768817773 2384408886 39832,1241 2,4097E-25
Residuos 14 838060,364 59861,45454
Total 16 4769655833
Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad Inferior 95% Superior 95% Inferior 95,0%
Intercepción 0 #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A
X 0,03679065 0,00057906 63,53565298 1,2357E-18 0,0355487 0,0380326 0,0355487
Cte -6648,76729 374,426101 -17,7572217 5,3573E-11 -7451,8314 -5845,70317 -7451,8314
Para realizar la regresión band spectrum con las frecuencias de periodo 16 y 8,
las altas frecuencias hay que transformar los datos en el dominio de frecuencia
tal y como figuran en la Tabla nºIII.10:
Tabla nºIII.10: Consumo de Energía Final Eléctrica y PIB de España
correspondientes al periodo 1992-2008. Transformados en el dominio de la
frecuencia y seleccionado las frecuencias de periodo 16 y 8.
t
Consumo de Energía Eléctrica (CEE) PIB Constante
CEE estimado en el dominio de
CEE estimado en el dominio del tiempo
1 67284 2551717 4 67284 15385 2 -1713 -56628 0 -2116 12454 3 -12669 -334387 0 -12493 11049 4 -2162 -52088 0 -1946 11441 5 -5702 -160516 0 -5997 13092 6 0 0 0 0 15012 7 0 0 0 0 16347 8 0 0 0 0 16835 9 0 0 0 0 16881
10 0 0 0 0 17217 11 0 0 0 0 18353 12 0 0 0 0 20175 13 0 0 0 0 21926 14 0 0 0 0 22601 15 0 0 0 0 21536 16 0 0 0 0 18833
La regresión band spectrum realizada con las frecuencias de periodo 16 y 8 da
lugar a los siguientes resultados:
Resumen
Estadísticas de la regresión
Coeficiente de correlación múltiple 0,99996541
Coeficiente de determinación R^2 0,99993082
R^2 ajustado 0,66657443
Error típico 330,175829
Observaciones 5
ANÁLISIS DE VARIANZA
Grados de libertad Suma de cuadrados Promedio de los cuadrados F Valor crítico de F
Regresión 2 4727474268 2363737134 21682,4636 4,6118E-05
Residuos 3 327048,234 109016,0778
Total 5 4727801317
Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad Inferior 95% Superior 95% Inferior 95,0%
Intercepción 0 #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A
X 0,03736108 0,00087161 42,86467177 2,7946E-05 0,03458724 0,04013491 0,03458724
Cte -7012,65771 562,116073 -12,47546199 0,00111006 -8801,56193 -5223,75348 -8801,56193
En la figura siguiente, se han representado los datos centrados de las
diferencias logarítmicas del consumo de energía eléctrica centradas, y los
resultados de la regresión en el domino de frecuencias realizada
exclusivamente con las frecuencias de periodo 16 y 8, una vez transformados
al dominio del tiempo:
Regresión con coeficientes Beta dependientes del ti empo.
El objetivo es estimar un modelo de tipo
tttt uXY += β (1)
Donde tX es un vector de T x 1 observaciones de la variable independiente,
tβ , is un vector de T x 1 parámetros , e tY es un vector de T x 1 observaciones
de la variable independiente y tu es un vector de T x 1 errores de media cero y
varianza constante, asumiendo que las series tX , tβ e tY son transformadas en series de Fourier:
( ) ( )[ ]∑=
++=N
jj
yjj
yj
yt baY
1
sincos ωωη
( ) ( )[ ]∑=
++=N
jjjjjt ba
1
sincos ωωηβ βββ
( ) ( )[ ]∑=
++=N
jj
ujj
uj
ut bau
1
sincos ωωη
(2)
Pre-multiplicado cada observación de (2) por TW se obtiene:
β&&& XY = (3)
Donde tTYWY =& , t
T XWX =& , y tTW ββ =& .
El sistema (3) puede reescribirse como:
uWWIWIWXY TN
TNt &&& += β
Si denominamos uWWIe TN && = , se buscaría una solución que
minimizara la suma cuadrática de los errores: eWe Tt &= .
Una vez encontrada la solución a dicha optimización se transformarían las
variables y parámetros al dominio del tiempo para obtener el sistema (1).
Cabe obtener una solución a la minimización de los errores e& utilizando los
mínimos cuadrados ordinarios, para ello habría que utilizar una matriz de
regresores X cuya primera columna sería el vector de tamaño T (1,0,0,...), la
segunda columna sería la primera fila de la matriz TNt WIWX y las columnas,
corresponderían las filas de TNt WIWX correspondientes a las frecuencias de
senos o cosenos que queremos regresar.
Los coeficientes de la solución MCO serían:
( ) yXXXMCO && '' 1−=β
Donde MCOo,β& sería el parámetro asociado a la constante, MCO,1β& el asociado a
la pendiente, y MCOj ,β& los asociados a las frecuencias de senos y cosenos
elegidas.
Ejemplo 7.
En la Tabla nºIII.11 figuran las cifras de Consumo de energía final eléctrica
(TEP) y del PIB en Millones de euros de España en el periodo 1993 y 2008.
Tabla nºIII.11 Consumo de Energía Final Eléctrica (TEP) y PIB (Mill de euros
constantes) de España correspondientes al periodo 1993-2008
España
Consumo de Energia Final Electrica (TEP) PIB (Mill euros año 2000)
1993 11237 479583,3
1994 11777 491011,6
1995 12116 515405
1996 12655 527862,4
1997 13672 548283,8
1998 14202 572782
1999 15241 599965,8
2000 16205 630263
2001 17279 653255
2002 17759 670920,4
2003 18916 691694,7
2004 19834 714291,2
2005 20827 740108
2006 22052 769850,2
2007 22548 797366,8
2008 22817 804223,1
Tabla nºIII.12. Regresión mínimo cuadrada del Consumo de energía (Y) y el
PIB (X)
Resumen
Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple 0,99827044 Coeficiente de determinación R^2 0,99654387
R^2 ajustado 0,99629701
Error típico 244,666006
Observaciones 16
ANÁLISIS DE VARIANZA
Grados de
libertad Suma de
cuadrados Promedio de los
cuadrados F Valor crítico
de F
Regresión 1 241647475 241647474,6 4036,7792 1,2357E-18
Residuos 14 838060,364 59861,45454
Total 15 242485535
Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad Inferior 95% Superior 95%
Intercepción -6648,76729 374,426101 -17,7572217 5,3573E-11 -7451,8314 -5845,70317
X 0,03679065 0,00057906 63,53565298 1,2357E-18 0,0355487 0,0380326
La transformación de los datos del dominio del tiempo al dominio de la
frecuencia se realiza premultiplicando los datos originales por la siguiente
matriz:
Tabla nºIII.13. Matriz W
aj,t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250
2 0,354 0,327 0,250 0,135 0,000 -0,135 -0,250 -0,327 -0,354 -0,327 -0,250 -0,135 0,000 0,135 0,250 0,327
3 0,000 0,135 0,250 0,327 0,354 0,327 0,250 0,135 0,000 -0,135 -0,250 -0,327 -0,354 -0,327 -0,250 -0,135
4 0,354 0,250 0,000 -0,250 -0,354 -0,250 0,000 0,250 0,354 0,250 0,000 -0,250 -0,354 -0,250 0,000 0,250
5 0,000 0,250 0,354 0,250 0,000 -0,250 -0,354 -0,250 0,000 0,250 0,354 0,250 0,000 -0,250 -0,354 -0,250
6 0,354 0,135 -0,250 -0,327 0,000 0,327 0,250 -0,135 -0,354 -0,135 0,250 0,327 0,000 -0,327 -0,250 0,135
7 0,000 0,327 0,250 -0,135 -0,354 -0,135 0,250 0,327 0,000 -0,327 -0,250 0,135 0,354 0,135 -0,250 -0,327
8 0,354 0,000 -0,354 0,000 0,354 0,000 -0,354 0,000 0,354 0,000 -0,354 0,000 0,354 0,000 -0,354 0,000
9 0,000 0,354 0,000 -0,354 0,000 0,354 0,000 -0,354 0,000 0,354 0,000 -0,354 0,000 0,354 0,000 -0,354
10 0,354 -0,135 -0,250 0,327 0,000 -0,327 0,250 0,135 -0,354 0,135 0,250 -0,327 0,000 0,327 -0,250 -0,135
11 0,000 0,327 -0,250 -0,135 0,354 -0,135 -0,250 0,327 0,000 -0,327 0,250 0,135 -0,354 0,135 0,250 -0,327
12 0,354 -0,250 0,000 0,250 -0,354 0,250 0,000 -0,250 0,354 -0,250 0,000 0,250 -0,354 0,250 0,000 -0,250
13 0,000 0,250 -0,354 0,250 0,000 -0,250 0,354 -0,250 0,000 0,250 -0,354 0,250 0,000 -0,250 0,354 -0,250
14 0,354 -0,327 0,250 -0,135 0,000 0,135 -0,250 0,327 -0,354 0,327 -0,250 0,135 0,000 -0,135 0,250 -0,327
15 0,000 0,135 -0,250 0,327 -0,354 0,327 -0,250 0,135 0,000 -0,135 0,250 -0,327 0,354 -0,327 0,250 -0,135
16 0,250 -0,250 0,250 -0,250 0,250 -0,250 0,250 -0,250 0,250 -0,250 0,250 -0,250 0,250 -0,250 0,250 -0,250
Las variables transformadas aparecen en la Tabla nºIII.14:
Tabla nºIII.14 Consumo de Energía Final Eléctrica y PIB de España
correspondientes al periodo 1992-2008. Transformados en el dominio de la
frecuencia .
i Y X Constante
Y ajustado dominio de la frecuencia
Y Estimado dominio del
tiempo
1 67284,25 2551716,58 4 67284,25 10995,4155
2 -1712,850273 -56627,9807 0 -2083,38039 11415,87012
3 -12669,46413 -334386,633 0 -12302,3026 12313,31924
4 -2161,559936 -52088,3923 0 -1916,36597 12771,63512
5 -5701,71026 -160515,662 0 -5905,47602 13522,95176
6 -2396,857138 -70960,1582 0 -2610,67056 14424,25654
7 -3077,379938 -89303,8083 0 -3285,54542 15424,36629
8 -2052,730986 -64771,759 0 -2382,99531 16539,02007
9 -2022,678948 -60837,8765 0 -2238,2652 17384,91076
10 -2128,982034 -62399,9286 0 -2295,73412 18034,83236
11 -1083,228957 -38098,6509 0 -1401,67425 18799,13243
12 -2069,059936 -57904,5423 0 -2130,34593 19630,47242
13 -923,7897398 -26000,6882 0 -956,582298 20580,28935
14 -2305,988899 -55620,8061 0 -2046,32578 21674,52431
15 -556,6151114 -11901,0902 0 -437,84888 22686,87799
16 -1366,25 -38885,375 0 -1430,61834 22939,12575
La matriz XX &&θ = TNt WIWX figura en la tabla nºIII.15:
Tabla nºIII.15. Matriz XX &&θ
Xjjθ
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 637929 -14157 -83597 -13022 -40129 -17740 -22326 -16193 -15209 -15600 -9525 -14476 -6500 -13905 -2975 -9721
2 -14157 628721 -28375 -22555 -74899 -20658 -39130 -23575 -22522 -21686 -15351 -20863 -8839 -19958 -4596 -13905
3 -83597 -28375 647137 43325 2534 17621 2242 9052 -1513 6158 -1214 4631 -1198 4596 -515 2975
4 -13022 -22555 43325 626479 -10755 -21041 -65847 -19444 -32972 -22377 -17891 -21171 -10755 -20863 -4631 -14476
5 -40129 -74899 2534 -10755 649379 52377 1020 23779 1028 13683 -2712 10755 -1729 8839 -1198 6500
6 -17740 -20658 17621 -21041 52377 627693 -4596 -19843 -61216 -18929 -28375 -22377 -13683 -21686 -6158 -15600
7 -22326 -39130 2242 -65847 1020 -4596 648165 57008 -178 28375 513 17891 -2712 15351 -1214 9525
8 -16193 -23575 9052 -19444 23779 -19843 57008 628208 0 -19843 -57008 -19444 -23779 -23575 -9052 -16193
9 -15209 -22522 -1513 -32972 1028 -61216 -178 0 647650 61216 -178 32972 1028 22522 -1513 15209
10 -15600 -21686 6158 -22377 13683 -18929 28375 -19843 61216 627693 4596 -21041 -52377 -20658 -17621 -17740
11 -9525 -15351 -1214 -17891 -2712 -28375 513 -57008 -178 4596 648165 65847 1020 39130 2242 22326
12 -14476 -20863 4631 -21171 10755 -22377 17891 -19444 32972 -21041 65847 626479 10755 -22555 -43325 -13022
13 -6500 -8839 -1198 -10755 -1729 -13683 -2712 -23779 1028 -52377 1020 10755 649379 74899 2534 40129
14 -13905 -19958 4596 -20863 8839 -21686 15351 -23575 22522 -20658 39130 -22555 74899 628721 28375 -14157
15 -2975 -4596 -515 -4631 -1198 -6158 -1214 -9052 -1513 -17621 2242 -43325 2534 28375 647137 83597
16 -9721 -13905 2975 -14476 6500 -15600 9525 -16193 15209 -17740 22326 -13022 40129 -14157 83597 637929
La matriz de regresores 'X considerando los dos ciclos de bajas frecuencias
quedaría:
Tabla nºIII.16. Matriz de regresores 'X
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
637929 -14157 -83597 -13022 -40129 -17740 -22326 -16193 -15209 -15600 -9525 -14476 -6500 -13905 -2975 -9721
-14157 628721 -28375 -22555 -74899 -20658 -39130 -23575 -22522 -21686 -15351 -20863 -8839 -19958 -4596 -13905
-83597 -28375 647137 43325 2534 17621 2242 9052 -1513 6158 -1214 4631 -1198 4596 -515 2975
-13022 -22555 43325 626479 -10755 -21041 -65847 -19444 -32972 -22377 -17891 -21171 -10755 -20863 -4631 -14476
-40129 -74899 2534 -10755 649379 52377 1020 23779 1028 13683 -2712 10755 -1729 8839 -1198 6500
Los coeficientes de la solución mínimo cuadrática quedarían:
MCOo,β& -20721,14907
MCO,1β& 0,137708056
MCO,2β& 0,000254003
MCO,3β& -0,001743429
MCO,4β& -0,00046199
MCO,5β& -0,000230558
En la Tabla nºIII.17 se recogen los resultados en términos de dominio de
frecuencia y de tiempo
Tabla nºIII.17
j/t Y& tY 0β tβ e& te
1 67284 11295 -5180,29 0,03435348 0,00 -58,07
2 -1713 11564 -5180,29 0,03410096 0,17 213,32
3 -12668 12330 -5180,29 0,03397314 1,49 -213,64
4 -2161 12741 -5180,29 0,03394976 0,10 -85,52
5 -5694 13447 -5180,29 0,03397396 7,44 224,92
6 -2481 14292 -5180,29 0,03399631 -84,41 -90,19
7 -3058 15224 -5180,29 0,03400917 19,25 16,95
8 -2248 16280 -5180,29 0,0340503 -195,44 -75,36
9 -2083 17144 -5180,29 0,03417387 -59,87 135,03
10 -2157 17904 -5180,29 0,03440679 -28,32 -144,93
11 -1305 18834 -5180,29 0,03471786 -221,29 82,13
12 -2000 19834 -5180,29 0,03501998 69,51 -0,18
13 -890 20877 -5180,29 0,03520675 33,88 -49,51
14 -1920 21922 -5180,29 0,03520399 385,65 130,49
15 -408 22734 -5180,29 0,03500789 149,04 -185,84
16 -1342 22717 -5180,29 0,03468801 24,01 100,39
El periodograma de eAe XXt &
&&
'ˆ θ= y su representación gráfica figura a
continuación:
Tabla nºIII.18 Periodograma de te
Frecuencia Periodo ap bp Periodograma sj c0+j/m -c0+j/m
1 16 0,17 1,49 2,849786802 0,0000081 0,5583700 -0,3083700 2 8 0,10 7,44 70,54491094 0,0002080 0,6833700 -0,1833700 3 5 -84,41 19,25 9544,292064 0,0272526 0,8083700 -0,0583700 4 4 -195,44 -59,87 53196,21836 0,1779889 0,9333700 0,0666300 5 3 -28,32 -221,29 63368,80313 0,3575501 1,0583700 0,1916300 6 3 69,51 33,88 7612,459849 0,3791207 1,1833700 0,3166300 7 2 385,65 149,04 217645,6808 0,9958394 1,3083700 0,4416300 8 2 24,01 0,00 1468,320911 1,0000000 1,4333700 0,5666300
La respresentación del periodograma de te quedaría:
0
50000
100000
150000
200000
250000
1 2 3 4 5 6 7 8
Los resultados del Test de Durbin aplicado al periodograma de te
-0,4000000
-0,2000000
0,0000000
0,2000000
0,4000000
0,6000000
0,8000000
1,0000000
1,2000000
1,4000000
1,6000000
1 2 3 4 5 6 7 8
sj
c0+j/m
-c0+j/m
Finalmente se representan las estimaciones del Consumo de consumo de
energía final eléctrica, según los diversos procedimientos:
10000
12000
14000
16000
18000
20000
22000
24000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Estimacion regresión dependiente del tiempo
Datos originales
Estimación MCO
TEMA IV.- FILTROS LINEALES
Operadores de series de tiempo
El operador de retardo se define como:
jttk xxL −=
Para ℜ∈k . Los polinomios en el operador de rezago toman la siguiente
forma:
ppLLLL φφφφ ++++= ...1)( 22
Las p raíces del polinomio se obtienen resolviendo para 0)( =Lφ .
Los operadores de diferenciación, o de diferencia, se definen como:
dd L)1( −=∆ ó )1( dd L−=∆
Finalmente, en el contexto de ajuste estacional se define la diferencia
estacional como:
∑−
=
− =++++=1
0
12 ...1s
j
js LLLLϑ
Donde s es el número de periodos observados por año.
Filtros lineales 11
Un filtro lineal se define como:
∑∞
−∞=
=j
jj LaLa )(
donde los ponderadores son números reales, i. e. ℜ∈ja ; no dependen del
tiempo y satisfacen ∑∞
−∞=
∞<j
ja2 . Aplicando el filtro lineal )(La a un proceso
estocástico estacionario, tx , da como resultado un nuevo proceso estocástico:
∑∞
−∞=−==
jjtjtt xaxLay )( (1)
donde las propiedades de tx se transmiten a ty por medio del filtro lineal )(La .
Para examinar el efecto que tiene un filtro lineal hay que analizarlo en el
dominio de la frecuencia.
Utilizando la transformada de Fourier, se obtiene el espectro del filtro lineal
aplicado a tx :
)()()(2
ωω ωx
iy SeaS −=
donde:
11 Para mas detalle ver Francisco G. Villarreal. Elementos teóricos del ajuste estacional de series
económicas utilizando X-12-ARIMA y TRAMO-SEATS. Serie 38. Estudios estadísticos y prospectivos
División de Estadística y Proyecciones Económicas. Santiago de Chile, Diciembre del 2005. www.eclac.org/publicaciones/xml/9/24099/lcl2457e.pdf
( ) ∑∞
−∞=
−− =j
ji
ji eaea
ωω
es conocido como la respuesta de frecuencia del filtro lineal o función de
transferencia. Esta función describe como el espectro de la serie tx es afectado
por la aplicación del filtro )(La .
Dado que la respuesta de frecuencia puede resultar en valores complejos
resulta conveniente expresarla como:
( ) ( ) )(ωω ω iFi eGea −− =
donde:
( ) ( )ωω ieaG −=
y
−=
∑
∑∞
−∞=
∞
−∞=−
jj
jj
ja
ja
F)cos(
)sin(
tan)( 1
ϖ
ϖω
son respectivamente el módulo y el argumento de la respuesta de frecuencia.
En este contexto el módulo, )(ωG , es conocido como la ganancia del filtro; el
cual determina la medida en la que la amplitud de los movimientos observados
en cierta frecuencia en el espectro de tx son transferidos al espectro de ty .
Por ejemplo una ganancia de cero alrededor de la frecuencia [ ]1
,01 πω ∈
significa que el proceso filtrado no mostrará movimientos alrededor de dicha
frecuencia.
Por su parte el argumento, )(ωF , es conocido como el desplazamiento de fase
del filtro, el cual esta asociado a desplazamientos de la serie en el dominio del
tiempo12. Es importante notar que cuando jj aa −= para toda j , es decir
cuando se trata de un filtro simétrico; el desplazamiento de fase del filtro es
igual a cero 13, i. e 0)( =ωF .
Filtros elementales14
Los filtros más utilizados en el análisis de series temporales son las tasas de
variación y las medias móviles.
Las tasas de variación son operadores lineales invariantes en el tiempo pero no
lineales. Dado que la teoría elemental de los filtros se refiere a operadores
lineales invariantes, hay que aproximar las tasas a operadores de diferencia.
12 A veces el desplazamiento de fase se expresa como ωω)(F
, lo cual permite expresar el desfase en unidades de tiempo.
13 Para entender esta propiedad de los filtros lineales, se utilizan los siguientes resultados trigonométricos:
0)sin()sin( =+− ωω
0)0sin( =
Esto implica que cuando jj hh −= , el producto en
∑∞
−∞=jj jh )sin(ω
(1) es igual a cero, lo cual a su vez
implica que 0)( =ωF dado que 0)0(tan 1 =− .
14 Para mayor detalle Francisco Melis Maynar: La Estimación del ritmo de variación de las series económicas. Estadística Española. Vol 22. Num. 126, 1991, págs 7 a 56. http://www.ine.es/revistas/estaespa/126_1.pdf
Así la primera diferencia de un logaritmo es una buena aproximación de una
tasa de variación mensual.
Sea t
ttx
xxT )( 1−−= , utilizando operadores de diferencia obtenemos el filtro
lineal invariante más elemental:
)()1()()( tt xLnLxLnLa −=
Las aproximaciones lineales de las tasas más utilizadas y los filtros lineales
equivalentes aparecen en el Tabla nºIV.1.
Una media móvil simple es la media aritmética de los n datos anteriores
Mientras más grande sea n, mayor será la influencia de los datos antiguos.
Las medias móviles centradas se caracterizan porque el número de
observaciones que entran en su cálculo es impar, asignándose cada media
móvil a la observación central. Así, una media móvil centrada en t de longitud
2n + 1 viene dada por la siguiente expresión:
12
......
12
1)12( 11
+++++++
=+
=+ +−++−−
−=+∑
n
xxxxxx
nnMM ntnttntnt
n
niitt
Como puede observarse, el subíndice asignado a la media móvil, t, es el mismo
que el de la observación central, Yt. Obsérvese también que, por construcción,
no se pueden calcular las medias móviles correspondientes a las n primeras y
a las n últimas observaciones.
En las medias móviles asimétricas se asigna cada media móvil al período
correspondiente a la observación más adelantada de todas las que intervienen
en su cálculo. Así la media móvil asimétrica de n puntos asociada a la
observación t tendrá la siguiente expresión:
n
xxxxY
nnMMA ttntnt
t
ntiitt
++++== −+−+−
+−=+∑ 121
1
...1)(
Los filtros lineales asociados a las medias móviles se denotan de la siguiente
forma:
∑=
=n
jt
jt xL
nxLa
0
1)(
Tabla nºIV.1.- Tasas de Variación y Filtros Lineales equivalentes
Expresión Filtro lineal Equivalente
100112
1
11 ⋅
−
−t
tx
xT )1( L−
10012
6
16 ⋅
−
−t
tx
xT )1( 6L−
100112
112 ⋅
−
−t
tx
xT )1( 12L−
100112
1
31 ⋅
−
−t
tz
zT ( )
321 −− ++= ttt
txxxz
)1()1)(1( 32 LLLL −=++−
10014
1
33 ⋅
−
−t
tz
zT ( )
321 −− ++= ttt
txxxz
2323 )1)(1()1)(1( LLLLLL ++−=++−
100112
1
61 ⋅
−
−t
tz
zT ( )
6... 51 −− +++= ttt
txxxz
)1()...1)(1( 652 LLLLL −=++++−
100112
1
121 ⋅
−
−t
tz
zT
( )12
... 111 −− +++= tttt
xxxz )1()...1)(1( 12112 LLLLL −=++++−
100112
12
1212 ⋅
−
−t
tz
zT
( )12
... 111 −− +++= tttt
xxxz
)1(
)1()...1)(1(212
11212
LLLLLL −
−=++++−
Fuente: Melis (1991)
El método idóneo de análisis de filtros es el estudio de las correspondientes
funciones de respuesta frecuencial, que se obtienen al sustituir en la función de
transferencia el operador de retraso por la exponencial compleja tieϖ .
La función tieϖ es la función propia o característica (autofunción) de los
operadores lineales e invariantes, porque al someterla a la acción del filtro
obtenemos como salida la misma función multiplicada por una expresión que
no depende de t y que es, precisamente, la función de respuesta frecuencial.
Si aplicamos una primera diferencia, por poner el ejemplo más simple, a la
función característica, obtenemos como salida:
titiititi eaeeeLeLa ϖϖϖϖϖ ϖ )()1()1()( =−=−= −
La función de respuesta ( )ϖa es una función compleja de la frecuencia cuyo
módulo se conoce como función de ganancia del filtro y cuyo argumento se
denomina función de fase del filtro.
A partir de la función de respuesta de frecuencia del filtro:
( ) ( ) ( )
=
=
−=−= −−−−−−
2sin2
2sin21 222222 ϖϖ ϖπϖϖϖϖϖϖ iiiiiii eieeeeeea
Donde se ha hecho uso de la igualdad 12 =πi
e y del Teorema de Moivre15.
Se obtienen su función de ganancia y de fase:
=2
sin2)(ϖωG
22)(
ϖπω −=F
15 )sin()cos( ωωω ie i −=− y )sin()cos( ωωω iei +=
El desfase temporal de este filtro 4
222)( −=
−= TF
ϖ
ϖπ
ϖϖ
, si se
considera Tw π2= .
El operador de medias móviles ∑
=
=n
jt
jt xL
nxLa
0
1)(
tiene la función de respuesta
frecuencial siguiente:
( ) ( )iwiwiw eeea 213
1 −−− ++=
A partir de la respuesta de frecuencia del filtro:
( ) ( ) ( ))cos(213
11
3
11
3
1 2 ωωωωωωω +=++=++ −−−−− iiiiii eeeeee
se obtienen su ganancia16 y desplazamiento de fase:
( ))cos(213
1)( ωω +==G
ωω −=)(F
1)( −=−=ωωωφ
Ejemplo 8
Partimos de la serie ( )3sin txt⋅= π y aplicamos el filtro lineal LLa −= 1)( . El
resultado se ilustra en la siguiente figura:
16 ya que 1=− ωω ii ee , ( ) ( ))cos(2 ωωω =+ −ii ee ,aplicando el teorema de De Moivre y las
igualdades )sin()sin( ωω −=− y )cos()cos( ωω −=−
-1
-0,5
0
0,5
1
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27
Serie original Serie filtrada
La función de ganancia del filtro LLa −= 1)( es:
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
-0,36 0,14 0,64 1,14 1,64 2,14 2,64 3,14
Cuando aplicamos el filtro lineal ∑=
=2
03
1)(
j
jLLa , el resultado obtenido es:
-1
-0,5
0
0,5
1
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27
Serie original Serie filtrada
En el gráfico se observa que las oscilaciones de la serie filtrada son de
amplitud menor a las de la serie original, y que hay un desplazamiento de la
serie filtrada con respecto a la original.
La función de ganancia del filtro ∑=
=2
03
1)(
j
jLLa es:
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
-0,36 0,14 0,64 1,14 1,64 2,14 2,64 3,14
Se aprecia que la ganancia del filtro es igual a cero en la frecuencia 32πω = .
Esto significa que el filtro anula el efecto de cualquier componente de la serie
que tenga fluctuaciones con periodo 3. Por ejemplo, si se trata de una serie de
tiempo mensual el filtro eliminará cualquier efecto trimestral presente en la
serie.
Normalizando el desplazamiento de fase se obtiene que 1)( −=ωωF . Esto
significa que el filtro introduce un desfase temporal de un periodo en la serie
filtrada.
Las funciones de ganancia (modulo) fase y desfase de los principales filtros
lineales figuran en la Tabla nºIV.2.
Tabla nºIV.2.- MODULO, FASE y DESFASE TEMPORAL DE LOS FILTROS
DE LA TABLA NºIV.1
Filtro Modulo Periodo de máxima
ganancia
Fase Desfase
temporal
para un
periodo p
)1( L− ( )2sin2 ω 2
22
ωπ − 4
2−p
)1( 3L− ( )23sin2 ω 6,2
23
2
ωπ − 4
6−p
)1( 6L− ( )26sin2 ω 12,4,24
26
2
ωπ − 4
12−p
)1( 12L− ( )212sin2 ω 24,8,4.8,3.43,2.7,2.
8 2
122
ωπ −
4
24−p
2323 )1)(1()1)(1( LLLLLL ++−=++−
( )( )2sin3
23sin2 2
ω
ω
8
25
2
ωπ − 4
10−p
)1()1()...1)(1(
21211212
LLLLLL −
−=++++− ( )( )2sin12
212sin2 2
ω
ω
32
223
2
ωπ −
4
46−p
Fuente: Melis (1991)
Filtros FIR
Las tasas y las medias móviles forman parte de lo que en señales digitales se
denominan filtros de respuesta impulsional finita (FIR), ya que se basan en
obtener las salidas a partir, exclusivamente, de las entradas actuales y
anteriores. Generalizando, para un filtro lineal de longitud N:
∑−
=−+−−− =+++=
1
01111 ...
N
jjtjNtNttot xaxaxaxay
donde ja son los coeficientes del filtro.
Una media móvil de orden tres, sería entonces el siguiente filtro FIR:
21 3
1
3
1
3
1−− ++= tttt xxxy
Y una tasa de crecimiento:
1−−= ttt xxy
Los filtros FIR se clasifican según los siguientes tipos:
Tipo Número de términos Simetría
I Impar Simétrico jNj aa −−= 1
II Par Simétrico jNj aa −−= 1
III Impar Antisimétrico jNj aa −−−= 1
IV Par Antisimétrico jNj aa −−−= 1
La media móvil de orden tres es por tanto un filtro FIR tipo I, es decir simétrico
de orden impar, y la tasa de crecimiento sería un filtro FIR tipo IV, es decir
antisimétrico de orden par.
La función de respuesta frecuencial de un filtro tipo I es17
( )
+
−−= ∑−
−
=
−
−−
12
1
0 2
12
1
2
1.cos2
N
jNj
Ni
iw ajN
aeea ϖϖ
Con lo que:
∑−
−
=
−+
−−==1
2
1
0 2
12
1.cos2)(
N
jNj aj
NaG ϖω
( )2
1−−= NF ϖϖ
Un filtro media movil de 3 términos (N=3), donde 3
10 =a y
3
12
2
1 ==
− aa N ,
tendrá entonces las siguientes funciones de ganancia y fase:
17
( ) ( )
+++++=
=+++++=
−−
−−
−−
−−−−
−
−−−−−
..
...
42
1
4
32
1
3
22
1
2
12
1
12
1
2
1
44
33
221
Niw
Niw
Niw
NiwN
iw
o
Niw
iwiwiwiwo
iw
eaeaeaeaeae
eaeaeaeaaea
ya que 102
1
2
1
2
1
2
1
===−
−−−−
−eeee
Niw
Niw
Ni
Niw ω
y iw
Ni
Niw
iwN
iN
iweeeee
−−−
−−−
−= 2
1
2
1
2
1
2
1 ωω
( )3
1cos
3
12)( += ϖωG y ( ) ϖϖ −=F
Un filtro tipo II tiene la siguiente función de ganancia y fase:
∑−
=
−−=1
2
0 2
1.cos2)(
N
jj j
NaG ϖω
( )2
1−−= NF ϖϖ
Un promedio móvil anual, es una tasa Tipo II, con doce coeficientes N=12 de
valor 12
1=ja . Con lo que:
+
+
+
+
+
=
=
−−+
−−+
−−+
−−+
−−+
−=
=
−−= ∑−
=
2
1cos
2
3cos
2
5cos
2
7cos
2
9cos
2
11cos
6
1
52
112cos4
2
112cos3
2
112cos2
2
112cos1
2
112cos
2
112cos
6
1
2
112.cos
12
12)(
12
12
0
ϖϖϖϖϖϖ
ϖϖϖϖϖϖ
ϖωj
jG
( )2
11ϖϖ −=F .
Ejemplo 9
Partimos de la serie ( ) ( )12sin3sin ttxt⋅+⋅= ππ y aplicamos el filtro lineal
∑=
=11
012
1)(
j
jLLa .
El resultado se ilustra en la figura siguiente:
-2,5-2
-1,5-1
-0,50
0,51
1,52
2,5
1 3 5 7 9 111315171921232527293133353739414345474951
Serie original Serie filtrada
El promedio movil de 12 términos produce una salida en donde se promedian
las oscilaciones de periodo inferior a 12 “t”, si se tratara de datos mensuales, la
función representada incluye como se ve un ciclo de 6 meses que es el que
generalmos con la función ( )3sin t⋅π y otro de 2 años (24 meses) que es el que
generamos con la función ( )12sin t⋅π , la serie filtrada elimina las oscilaciones de
6 meses, que son las más frecuentes (en un conjunto de 50 datos dan lugar a 8
ciclos), las que más se dan, y nos presenta las de dos años, que son menos
frecuentes que las anteriores (dos ciclos en el conjunto de datos representado).
El promedio móvil de 12 términos es por tanto un filtro desestacionalizador, en
el sentido de que anula las oscilaciones estacionales, es decir la que tienen
lugar al cabo de un año.
La función de ganancia del filtro ∑=
=11
012
1)(
j
jLLa es:
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-0,86 0,14 1,14 2,14 3,14
La ganancia del filtro es igual a cero en la frecuencia 32,4
2,62,12
2 ππππω = .
Esto significa que el filtro anula el efecto de cualquier componente de la serie
que tenga fluctuaciones con periodo 12, 6, 4 ó 3. Por ejemplo, si se trata de
una serie de tiempo mensual el filtro eliminará cualquier oscilación
cuatrimestral, semestral o anual presente en la serie.
Normalizando el desplazamiento de fase se obtiene que 5,5)( −=ωωF . Esto
significa que el filtro introduce un desfase temporal de 5,5 meses en la serie
filtrada.
Un filtro tipo III tiene a su vez la siguiente función de ganancia y fase:
∑−
−
=
−−=1
2
1
0 2
1.sin2)(
N
jj j
NaG ϖω
( )2
1
2
−−= NF ϖπϖ
Y un filtro tipo IV tiene la siguiente función de ganancia y fase:
∑−
=
−−==1
2
0 2
1.sin2)(
N
jj j
NaG ϖω
( )2
1
2
−−= NF ϖπϖ
La tasa de crecimiento trimestral 31)( LLa −= sería un filtro tipo IV, de 4
coeficientes (N=4), con los siguientes valores 10 =a , 01 =a , 02 =a y 13 −=a .
Su función de ganancia se calcularía:
=
=
−−+
−=
=
−−= ∑−
=
2
3sin2
12
14cos.0
2
14sin12
2
14.sin2)(
12
4
0
ϖ
ϖϖ
ϖωj
j jaG
Su función de desfase será ( ) ϖπϖ −=2
F
La tasa de crecimiento interanual 121)( LLa −= sería un filtro tipo III, de 13
coeficientes (N=13), con los siguientes valores 10 =a , 0... 111 =aa y 112 −=a . Su
función de ganancia se calcularía:
=
=
−−+
−−+
−−+
−−+
−−+
−=
=
−−= ∑−
−
=
2
12sin2
52
113sin04
2
113sin03
2
113sin02
2
113sin01
2
113cos.0
2
113sin12
2
113.sin2)(
12
113
0
ϖ
ϖϖϖϖϖϖ
ϖωj
j jaG
y su función de desfase ( )2
12
2ϖπϖ −=F
El filtro como producto de convolución
Sean y y z dos vectores de dimensión N. Se define su producto de
convolución zy∗ ; como el vector:
++++++++++
++++++++++
+++++
=∗
−−−−−
−−−−−−
−−
−−−
−−−−
0112322110
1102423120
3142021120
2132120110
1122221100
...
...
.
...
...
...
yzyzyzyzyz
yzyzyzyzyz
yzyzyzyzyz
yzyzyzyzyz
yzyzyzyzyz
zy
NNNNN
NNNNNN
NN
NNN
NNNN
El producto de convolución se puede expresar de forma matricial:
⋅
=∗
−
−
−−−
−−−−
−
−−
1
2
3
1
01321
10432
3412
2211
1221
.
.
.
......
.
.
.
N
N
o
NNN
NNNN
o
No
NNo
z
z
z
z
z
yyyyy
yyyyy
yyyyy
yyyyy
yyyyy
zy
La matriz cuadrada del producto de convulsión recibe el nombre de matriz
circulante ya que los elementos de la primera columna van rotando su posición
en las columnas sucesivas.
La transformada discreta de Fourier del producto de convolución de zy∗ es el
producto de Hadamard de las correspondientes transformadas de y y de z :
( ) )()( zDFTyDFTzyDFT ⋅=∗
Una forma de calcular zy∗ es a traves de la multiplicación coordenada a
coordenada de las transformadas de y y de z ; obteniendo la transformada
inversa de este vector ( ( )zyDFT ∗ ).
Filtrar una serie puede entenderse como el producto de una convolución; así
por ejemplo al emplear el filtro lineal )1( L− se realizaría el siguiente producto
de convolución:
⋅
−−
−−
−
=∗
−
−
1
2
3
1
.
10.001
11.000
......
00.100
00.110
00.011
N
N
o
z
z
z
z
z
zy
En donde el vector y sería
−
=
1
0
0
0
0
1
y
Una media móvil centrada de tres términos se expresaría por el siguiente
producto de convolución:
⋅
=∗
−
−
1
2
3
1
.
310.03
13
13
13
1.0031
......
00.3100
00.31
310
00.31
31
31
N
N
o
z
z
z
z
z
zy
En donde el vector y sería
=
313
1.
0
03
1
y
Para obtener los gráficos de las funciones de ganancia y desfase utilizando la
transformada discreta de Fourier, se emplean las siguientes expresiones:
)()()( ϖϖ IRwG +=
−= −
)(
)(tan)( 1
ϖϖω
R
IF
Centrar el filtro equivale a realizar la siguiente multiplicación matricial
( )[ ] ( )[ ] [ ]1212
.
31
31.000
031.000
......
00.3100
00.31
310
00.31
31
31
1
2
3
1
×××−=×−
⋅
=∗
−
−
NNNN
z
z
z
z
z
zy
N
N
o
Es decir habría que eliminar las dos últimas filas de la matriz que desarrolla el
filtro lineal.
Ejemplo 10
Utilizando R vamos a filtrar la serie
t <- seq(0, 49, by=1)
Z <- sin(pi*t/3)+sin(pi*t/12)
# transformadas
z <- fft(Z)
#filtro de media móvil de 12 términos
Y <- c(1/12, rep(0, 38), rep(1/12,11))
y <- fft(Y)
X <- fft(y*z,inverse=TRUE)/50
plot.ts (X[1 :39], type="l")
Time
MV
Z[1
:39]
0 10 20 30 40
-0.6
-0.2
0.2
0.4
0.6
# Función de ganancia del filtro
GW = abs(y)
P = GW[1:25]
f = (0:24)*pi/25
plot(f, P, type="l")
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
f
P
La instrucción en R para filtrar series es:
convolve(x, y, conj = TRUE, type = c("circular", "open", "filter"))
De tal manera que el filtrado de una serie por una media móvil de 12 términos
centrada con R utilizamos la siguiente instrucción:
Y <- c(rep(1,12))/12
X <- convolve(Z,Y,type="filter")
plot (t [6:44], Z[6:44], main="Filtro MM12 utilizando convolve(.)" )
lines(t[6:44], X, col="red")
10 20 30 40
-10
1Filtro MM12 utilizando convolve(.)
t[6:44]
Z[6
:44]
Los filtros pueden ser aplicados en serie, por ejemplo la tasa media de
crecimiento trimestral )1)(1( 23 LLL ++− , sería la multiplicación matricial de
×
−
−−
=
×
−−
−−
−
×
=××=××
−
−
−
−
1
2
3
1
1
2
3
1
.
31.03
100
0.00310
0.00031
0.....
0.00310
0.31003
1
.
10.001
11.000
......
00.100
00.110
00.011
310.03
13
13
13
1.0031
......
00.3100
00.31
310
310.03
13
1
)()(
N
N
o
N
N
o
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
zyxzyx
Utilizando la transformada discreta de Fourier, el filtro se desarrollaría:
( ) )()()( zDFTyDFTxDFTzyxDFT ××=××
siendo
−
=
1
0
0
0
0
1
y
=
313
1.
0
03
1
x
O bien: ( ) )()( zDFTyxDFTzyxDFT ××=××
siendo
−
=
0
03
1.
03
1
x
Ejemplo 11
Utilizando R vamos a filtrar la serie
t <- seq(0, 49, by=1)
Z <- sin(pi*t/3)+sin(pi*t/12)
# transformadas
z <- fft(Z)
#filtro de diferencia regular
Y <- c(-1, rep(0, 48), 1)
y <- fft(Y)
MVZ <- fft(y*z,inverse=TRUE)/50
plot.ts (MVZ[1 :50], type="l")
#filtro de media movil de 3 términos
X <- c(1/3, rep(0, 47), rep(1/3,2))
x <- fft(Y)
#filtro multiplicativo
MVZ <- fft(x*y*z,inverse=TRUE)/50
plot.ts (MVZ[1 :39], type="l")
Time
MV
Z[1
:39]
0 10 20 30 40
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
# Función de ganancia del filtro
GW = abs(x*y)
P = GW[1:25]
f = (0:24)*pi/25
plot(f, P, type="l")
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
01
23
4
f
P
Series de tiempo
Por definición, una serie temporal es una sucesión de observaciones de una
variable realizadas a intervalos regulares de tiempo.
El objetivo fundamental del estudio de las series temporales es el conocimiento
de su comportamiento a través del tiempo para, a partir de dicho conocimiento,
y bajo el supuesto de que no van a producirse cambios relevantes, poder
realizar predicciones, es decir, determinar qué valor tomará la variable objeto
de estudio en uno o más períodos de tiempo situados en el futuro. Dado que en
la mayor parte de los problemas económicos, los agentes se enfrentan a una
toma de decisiones bajo un contexto de incertidumbre, la predicción de una
variable reviste una importancia notoria pues supone, para el agente que la
realiza, una reducción de la incertidumbre y, por ende, una mejora de sus
resultados.
Antes de profundizar en el análisis de las series temporales es necesario
señalar que, para llevarlo a cabo, hay que tener en cuenta los siguientes
supuestos:
• Se considera que existe una cierta estabilidad en la estructura del
fenómeno estudiado. Para que se cumpla este supuesto será necesario
estudiar períodos lo más homogéneos posibles.
• Los datos deben ser homogéneos en el tiempo, o, lo que es lo mismo,
se debe mantener la definición y la medición de la magnitud objeto de
estudio. Este supuesto no se da en muchas de las series económicas,
ya que es frecuente que las estadísticas se perfeccionen con el paso del
tiempo, produciéndose saltos en la serie debidos a un cambio en la
medición de la magnitud estudiada. Un caso particularmente frecuente
es el cambio de base en los índices de precios, de producción, etc.
Tales cambios de base implican cambios en los productos y las
ponderaciones que entran en la elaboración del índice que repercuten
considerablemente en la comparabilidad de la serie en el tiempo.
Indudablemente, la calidad de las previsiones realizadas dependerán, en buena
medida, del proceso generador de la serie: así, si la variable observada sigue
algún tipo de esquema o patrón de comportamiento más o menos fijo (serie
determinista) seguramente obtengamos predicciones más o menos fiables, con
un grado de error bajo. Por el contrario, si la serie no sigue ningún patrón de
comportamiento específico (serie aleatoria), seguramente nuestras
predicciones carecerán de validez por completo.
Generalmente, en el caso de las series económicas no existen variables
deterministas o aleatorias puras, sino que contienen ambos tipos de elementos.
El objeto de los métodos de previsión cuantitativos es conocer los
componentes subyacentes de una serie y su forma de integración, con objeto
de realizar de su evolución futura.
Tradicionalmente, en los métodos de descomposición de series temporales, se
parte de la idea de que la serie temporal se puede descomponer en todos o
algunos de los siguientes componentes:
• Tendencia (T), que representa la evolución de la serie en el largo plazo
• Fluctuación cíclica (C), que refleja las fluctuaciones de carácter
periódico, pero no necesariamente regular, a medio plazo en torno a la
tendencia. Este componente es frecuente hallarlo en las series
económicas, y se debe a los cambios en la actividad económica18.
• Variación Estacional (S): recoge aquellos comportamientos de tipo
regular y repetitivo que se dan a lo largo de un período de tiempo,
generalmente igual o inferior a un año, y que son producidos por
factores tales como las variaciones climatológicas, las vacaciones, las
fiestas, etc.
• Movimientos Irregulares (I), que pueden ser aleatorios, la cual recoge los
pequeños efectos accidentales, o erráticos, como resultado de hechos
no previsibles, pero identificables a posteriori (huelgas, catástrofes, etc.)
En este punto, cabe señalar que en una serie concreta no tienen por qué darse
los cuatro componentes. Así, por ejemplo, una serie con periodicidad anual
carece de estacionalidad.
La asociación de estos cuatro componentes en una serie temporal, Y, puede
responder a distintos esquemas; así, puede ser de tipo aditivo:
Y=T+C+S+I
También puede tener una forma multiplicativa:
18 Para la obtención de la tendencia es necesario disponer de una serie larga y de un número de ciclos completo, para que ésta no se vea influida por la fase del ciclo en que finaliza la serie, por lo que, a veces, resulta difícil separar ambos componentes. En estos casos resulta útil englobar ambos componentes en uno solo, denominado ciclo-tendencia o tendencia generalizada.
Y=TCSI
O bien ser una combinación de ambos, por ejemplo:
Y=TCS+I
Una forma sencilla para ver como están asociadas las componentes de una
serie temporal es representar gráficamente la serie que estamos analizando. Si
al realizar la representación gráfica se observa que las fluctuaciones son más o
menos regulares a lo largo de la serie, sin verse afectadas por la tendencia
(véase adjuntas), se puede emplear el esquema aditivo.
Esquema aditivo
Si, por el contrario, se observa que la magnitud de las fluctuaciones varía con
la tendencia, siendo más altas cuando ésta es creciente y más bajas cuando es
decreciente (véase Fig. 9.2), se debe adoptar entonces el esquema
multiplicativo.
Esquema multiplicativo.
El modelo básico de tendencia puede expresarse entonces así:
ototott atbtaT =⋅+⋅= )0sin()0cos(
Las componentes cíclica y estacional:
)sin()cos( twbtwas jjtjjtpjt ⋅+⋅=
Y la componente irregular
te
De tal forma que el modelo completo de una serie temporal puede describirse:
[ ] t
R
jjjtjjtt etwbtwaY +⋅+⋅=∑
=0
)sin()cos(
Vista así una serie temporal así cabe utilizar la teoría de filtros lineales para
describir los componentes de una serie temporal.
Ejemplo 12
Generamos la serie temporal tt ett
Y +
⋅+
⋅+=12
cos50,03
cos25,02ππ
donde
te es una distribución normal de números aleatorios con media cero y varianza
0,25 )25,0;0(Net → .
La representación gráfica de esta serie sería:
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
1 3 5 7 9 1113151719212325272931333537394143454749
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Serie temporal Ciclo
Se aprecia que la serie temporal sigue el perfil del ciclo creado, si bien difiere
de este en el mayor nivel que introduce la tendencia (de valor constante igual a
2), y la mayor irregularidad que le incorpora de la serie aleatoria. El ciclo como
se aprecia es un ciclo largo de 24 datos (periodo 24) (de máximo a máximo),
que tiene lugar dos veces al cabo de los 50 datos, y un ciclo corto o más
frecuente ya que se repite unas 8 veces a los largo del conjunto de datos, y que
tiene lugar cada 6 datos (periodo 6).
Pretendemos ahora extraer las señales relevantes de la serie, en este caso
serían los dos ciclos a través de filtros lineales, si queremos representar el ciclo
largo tenemos varias posibilidades de filtros la media móvil de 12 términos que
anulan las siguientes frecuencias 32,4
2,62,12
2 ππππω = , ó una media móvil
de 6 datos, ∑=
=5
06
1)(
j
jLLa que anularía las frecuencias 32,6
2 ππω = , y cuya
función de ganancia sería:
+
+
=
=
−−+
−−+
−=
=
−−= ∑−
=
2
1cos
2
3cos
2
5cos
3
1
22
16cos1
2
16cos
2
16cos
3
1
2
16.cos
6
12)(
12
6
0
ϖϖϖ
ϖϖϖ
ϖωj
jG
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-0,36 0,14 0,64 1,14 1,64 2,14 2,64 3,14
El desfase de la media móvil de 12 datos sabemos que es de -5,5 y la de 6
términos:
( )5,22
16
−=
−−=
ww
Fϖϖ
. En los resultados gráficos se aprecia que una y otra
nos representan el ciclo largo pero la media móvil de 12 términos con un coste
informativo menor:
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49
Serie temporal MV(12)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49
Serie temporal MV(6)
El menor coste informativo de la media móvil de 6 términos la hace más
deseable para extraer en este caso el ciclo de periodo 24 que la media móvil de
12 datos.
La media móvil de 3 datos, cuya función de ganancia también hemos
representado anteriormente iguala a cero la frecuencia 32πω = , es decir las
que tienen lugar cada 3 datos (periodo 3), que nosotros no tenemos y atenúa
sin anularlas completamente las de menor periodo, es decir el efecto de esta
media móvil a nuestro conjunto de datos es anular las frecuencias más altas,
es decir las oscilaciones que más veces se dan, que en este caso las que
induce la serie aleatoria irregular y dejar pasar las de periodo superior a tres. El
resultado gráfico de utilizar esta media móvil es el siguiente:
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49
Serie temporal MV(3)
Como vemos ahora el filtro deja pasar la tendencia y los dos ciclos que forman
la serie, el de 24 datos y el de 6 datos.
Todos los filtros que hemos utilizado tienen en la función de ganancia un uno
en las muy bajas frecuencias, esto quiere decir que dejan pasar los ciclos de
muy largo plazo, esto es las tendencias, y por el contrario atenúan cuando no
anulan las mas altas frecuencias, por ello en su salida las tres medias móviles
ha suavizado las oscilaciones irregulares, que persisten en la serie pero muy
atenuadas.
El filtro tttt xLxxy )1( 33 −=−= − tiene el efecto contrario, ya que su función de
ganancia es:
( )23sin2)( ωϖ =G
0
0,5
1
1,5
2
2,5
-0,36 0,14 0,64 1,14 1,64 2,14 2,64 3,14
En la representación gráfica vemos que el filtro anula las oscilaciones de baja
frecuencia, es decir, las tendencias, y anula únicamente oscilaciones las que
tienen lugar cada tres datos, dejando pasar las de mayor frecuencia. El efecto
de este filtro sobre nuestro conjunto de datos sería el siguiente:
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
1 8
15
22
29
36
43
50
Serie temporal T(3,1)
Como se aprecia el filtro ha eliminado la tendencia de la serie, ya que la ha
centrando la serie en cero y ha dejado pasar su perfil más irregular. En
consecuencia a partir de la función de ganancia se podría construir un filtro
lineal a nuestros datos que dejara pasar ó anulara la componente deseada.
Tipos de filtros
En la literatura de proceso de señales digitales, los filtros como la media movíl
de orden 2
+= )1(2
1)( 2LLa se conocen como filtros de corte (notch filter),
son aquellos que contienen uno o más profundos cortes o muescas en su
función de ganancia. Este en concreto anula las frecuencias de periodo 4
( )42πω = , siendo su función de ganancia la que se representa en el gráfico
siguiente:
( )ϖϖϖω cos02
13cos0
2
13.cos
2
12)(
12
13
0
=
−−=+
−−= ∑−
−
=j
jG , ya que 2
10 =a y
02
13 =
−a , y 2
12 =a
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
-0,36 0,14 0,64 1,14 1,64 2,14 2,64 3,14
Si el filtro introduce ceros uniformemente espaciados en el eje de frecuencias,
como el sumador estacional se denominan filtros en peine (comb filters). Los
filtros ∑=
=5
06
1)(
j
jLLa y ∑=
=11
012
1)(
j
jLLa , son filtros de peine, en los que se
introduce un cero en el período p (frecuencia 2π/p).
El operador autoregresivo )1(
1)(
LLa
−= , equivale a una media móvil de ∞
términos; cuyo desarrollo sería : ∞+++= LLLLa ...1)( 2 . La función de ganancia
del filtro )1(
1)(
LLa
−= , sería
=
2sin2
1)(
ϖωG , (ver Tabla nºIV.2). Un operador
autoregresivo de la forma )1(
1)(
2LLa
+= , se desarrolla en el siguiente proceso
de medias móviles ∞−+−= LLLLLa ...1)( 642 , y tendría una función de ganancia
del tipo : ( )ϖ
ωcos2
1)( =G . Este filtro se comporta de forma opuesta a
21)( LLa += , acentuando las oscilaciones de cuatro meses. La ganancia del
filtro es muy pequeña salvo en las proximidades del cero estacional, en donde
crece muy rápidamente, como puede verse en el Gráfico siguiente.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
Los filtros pueden estar constituidos por un operador autoregresivo y una media
media móvil, )1(
)1()(
4
L
LLa
−−= , es un ejemplo de este tipo de filtros, y cuando lo
desarrollamos, obtenemos el siguiente filtro lineal:
)1(
)...()...1()...1)(1()1(
)1()(
32
6542244
LLL
LLLLLLLLLLLL
LLa
+++=
=++++−++++=++++−=−−= ∞∞∞
Cuya función de ganancia es
+
=
−−= ∑−
= 2cos2
2
3cos2
2
14.cos2)(
12
4
0
ϖϖϖωj
jG ,
otra forma alternativa de obtener esta función de ganancia es
=
2sin
2
4sin
)(ϖ
ϖ
ωG ,
que se obtendría dividiendo las funciones de ganancia de ambos filtros
⋅2
4sin2
ϖ y
⋅2
sin2ϖ .
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
-0,36 0,14 0,64 1,14 1,64 2,14 2,64 3,14
Si el operador autorregresivos es de la forma )1(
1)(
aLLa
−= , el filtro lineal que
lo desarrolla es ∞∞+++= LaLaaLLa ...1)( 22 , si 1<a ,la potencia ∞a llegará un
punto en que acercara a cero y el filtro podrá desarrollarse en términos finitos,
expresado en su forma más general un filtro autoregresivo toma la forma de
∑−
=
=1
0
1)(
M
j
jj L
Lα
α ;de igual manera el operador de medias móviles se expresa en
la forma mas general como ∑−
=
=1
0
)(N
j
jj LL ββ , y en consecuencia un filtro
ARMA(M,N) daría lugar a la siguiente expresión:
∑
∑−
=
−
==1
0
1
0)(M
j
jj
N
j
jj
L
L
Laα
β.
Ejemplo 13
El modelo ARMA(1,1), ( ) tt eYL )8,01(5,01 −=− da lugar al siguiente filtro
teL
LLa
5,01
8,01)(
−−= , su linearización sería
( )
t
tt
eLLLLL
eLLLY
...).1005,300078125,00125,005,01,02,0(
...)8,01(5,0)8,01(5,0)8,01(5,0)8,01(46432
3322
+⋅+++++=
=⋅+−+−+−+−=−
Haciendo N=4, el filtro quedaría
⋅
=∗
−
−
1
2
3
1
.
.
.
2,0.0000078125,00125,005,01,0
1,0.00000078125,00125,005,0
05,0.000000078125,00125,0
0125,0.0000000078125,0
........
.0.0125,005,01,02,00.0
0.00078125,00125,005,01,02,00
0.000078125,00125,005,01,02,0
N
N
o
z
z
z
z
z
zy
En donde el vector y sería
=
1,0
05,0
0125,0
00078125,0.
02,0
y
Utilizando R representamos su función de ganancia
#filtro ARMA
Y <- c(0.2, rep(0, 45), 0.00078125, 0.0125,0.05, 0.1)
y <- fft(Y)
# Función de ganancia del filtro
GW = abs(y)
P = GW[1:25]
f = (0:24)*pi/25
plot(f, P, type="l")
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
f
P
El filtro diseñado atenúa las altas frecuencias y deja pasar las bajas
frecuencias. Este tipo de filtros se denominan de paso bajo.
Diseño de Filtros 19
Los filtros digitales se aplican usualmente en el dominio del tiempo
convolucionando el dato con los coeficientes del filtro , pero también pueden
diseñarse en el dominio de las frecuencias .
Existen varias estrategias para el diseño de filtros. En general se busca
reproducir, de la manera más precisa posible con un número predeterminado
de coeficientes, la respuesta en frecuencia (espectro) deseada del filtro. Una
vez diseñado el espectro del filtro a través del cálculo de la Transformada de
Fourier Inversa se obtendrían los coeficientes. Dado que no es posible obtener
un filtro de longitud finita que se ajuste en forma exacta al espectro deseado, es
en este punto donde entran en juego diversas estrategias que buscan obtener
un filtro lo más aproximado al efecto que de el se desea. La longitud del filtro
es, entonces, uno de los elementos más importantes a tener en cuenta. Por
razones prácticas, cuanto más corta es la respuesta impulsiva del filtro, mejor,
pero un filtro muy corto puede producir efectos indeseados en las frecuencias
cercanas a la que pretendemos atenuar, en tanto que un filtro muy largo, si
bien se aproxima más a la respuesta en frecuencias deseada, presenta como
desventaja los desfases o su tiempo de respuesta. El uso de ventanas
apropiadas para truncar la respuesta impulsiva convenientemente es una
técnica muy usual. Otra técnica consiste en modificar iterativamente los
coeficientes del filtro obtenidos hasta satisfacer el espectro de frecuencia
deseado. Y en el dominio de las frecuencias existen métodos basados en
digitalizar funciones racionales de la frecuencia (filtros de Chebyshev,
Butterworth, elípticos, etc.).
El uso de ventanas (“window carpentry”), surgió hace ya tres décadas y
consiste en toda una batería de métodos y ventanas especialmente diseñadas
para obtener un filtro “ideal”. Cada ventana tiene sus propias características en
19 Elaborado a partir de http://ocw.uv.es/ingenieria-y-arquitectura/filtros-digitales/tema_3._diseno_de_filtros_fir.pdf
el sentido que producen filtros con determinadas propiedades en la banda de
paso, de rechazo y/o de transición. Entre las ventanas más conocidas podemos
mencionar: triangular (Bartlet), Hamming, hanning, Parzen, Daniell, etc., siendo
la de Hamming una de las más utilizadas.
Consideremos la ventana mas sencilla; la ventana rectangular. La ventana se
define como:
≥−≤≤
Nn
Nnnw
0
101)(
su expresión en el dominio iwe− es:
( )iw
iwNiwNNiwiwiw
e
eeeeea −
−−−−−
−−=++++=
1
1...1 )2(
con lo que su respuesta en frecuencia resulta,
( )
=
−−
2sin
2sin
2
1
ϖ
ϖN
eeaN
iwiw
Su función de ganancia sería
=
2sin
2sin
)(ϖ
ϖN
WG y su desfase
−−2
1N
Una ventana rectangular o boxcar, tiene el efecto de una media móvil, por
ejemplo una media móvil de 6 términos es igual a cero las frecuencia 32πω =
y 62πω =
y deja pasar la oscilaciones o ciclo de frecuencia más baja y atenúa
relativamene las de frecuencia más alta, y las intermedias entre 32π
y 62π
.
La ventana de Hanning por ejemplo, para N=6 da lugar a los siguientes
coeficientes :
( )( )
06
12cos1
2
1)6(
5,06
10cos1
2
1)5(
5,15
8cos1
2
1)4(
25
6cos1
2
1)3(
5,15
4cos1
2
1)2(
5,05
2cos1
2
1)1(
00cos12
1)0(
1
2cos1
2
1)(
=
−=
=
−=
=
−=
=
−=
=
−=
=
−=
=−=
−⋅−=
π
π
π
π
π
π
π
w
w
w
w
w
w
w
N
nnw
su expresión en el dominio iwe− es:
( ) iwiwiwiwiwiwiw eeeeeeea 54432 05,05,125,15,00 −−−−−− ++++++=
Se trata de un filtro FIR simétrico impar (tipo I), que daría lugar a la siguiente
respuesta en frecuencia:
( )
+
−−= ∑−
−
=
−
−−
12
1
0 2
12
1
2
1.cos2
N
jNj
Ni
iw ajN
waeeaϖ
( ) ( ) ( )( )2cos32cos3 +⋅+= − wweea wiiw
Es decir tendría un desfase de -2 periodos y una función de ganancia de
( )( )12cos)( += wwG y un desfase de 3
2
1 −=
−− N
La representación de la función de ganancia es:
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
Se comprueba que el filtro atenúa considerablemente las altas frecuencias, las
que superan los 32π
.
El método de las ventanas se basa en truncar la respuesta impulsional infinita
de un filtro ideal.
Como el producto en el dominio del tiempo equivale a una convolución en el
dominio de la frecuencia, podemos estudiar el efecto que este enventanado
tiene sobre la respuesta frecuencial del filtro:
La convolución de una ventana boxcar y una ventana de Hanning ambas con
N=6, da lugar a una función de ganancia que se obtendría multiplicando punto
a punto las funciones de ganancia calculadas para la media móvil de 6
términos y la ventana de Hanning (6):
Da lugar a un filtro en el que ahora están considerablemente atenuadas las
oscilaciones de periodo superior a 6 datos, o las frecuencias más altas a 62π .
El desarrollo lineal del filtro lo resolvemos con el operador de retardos:
( )( )6543265432 05,05,125,15,001)( LLLLLLLLLLLLa +++++++++++=
Que una vez operado da lugar al siguiente filtro FIR tipo II:
( )101098765432 05,0245,5665,5425,00)( LLLLLLLLLLLLa +++++++++++=
Cuya función de ganancia también puede calcularse como:
⋅+
⋅+
⋅+
⋅+
= wwwwwwG2
1cos12
2
3cos11
2
5cos8
2
7cos4
2
9cos)(
Ejemplo 14
Generamos la serie temporal tt ett
Y +
⋅+
⋅=12
sin3
sinππ
donde te es una
distribución normal de números aleatorios con media cero y varianza 0,25
)25,0;0(Net → . Esta serie genera como vemos en la gráfica ciclos de periodo
24 y de periodo 6, y la irregularidad que introduce el error aleatorio incorporado.
En la representación gráfica de la serie se puede comprobar los efectos de las
ventanas boxcar20, la ventana Hanning, y la convolución de ambas, en la
convolución se puede apreciar como se ha eliminado las pequeñas
oscilaciones que presentaba la media móvil de 6 términos, quedando
prácticamente aisladas las oscilaciones de periodo 24:
20 Para reducir la amplitud de las ventanas hay que dividir por 6 la boxcar y la ventan Hanning, y consecuentemente por 36 la convolución de las dos ventanas.
Los filtros de Butterworth, de Chebyshev (tipo I y tipo II) y de Jacobi (elípticos),
son filtros RC analógicos cuya respuesta en frecuencia es bien conocida y
ajustable de acuerdo a la selección apropiada de sus componentes. Su
características es que los espectros de potencia de estos filtros se pueden
expresar como funciones racionales de ω, lo que permite, en principio, su
factorización.
No obstante diseñar filtros es una tarea compleja que requiere el uso de
software matemático y un buen conocimiento de la teoría de filtros digitales. En
general requiere tres pasos:
• Establecer las especificaciones del filtro para unas determinadas
prestaciones (frecuencias de paso, atenuaciones, ganancias, etc…)
• Determinar la función de transferencia que cumpla dichas
especificaciones
• Realizar la función de transferencia con el software estadístico utilizado
Ejemplo 15
El paquete Signal de R, ofrece diversas utilidades para el diseño de filtros,
http://cran.r-project.org/web/packages/signal/index.html, cuyo manual se
descarga en : http://cran.r-project.org/web/packages/signal/signal.pdf
Aquí se desarrolla un ejercicio similar al ejercicio 13 utilizando ventanas:
n <- 51
op <- par(mfrow = c(3,3))
plot(bartlett(n), type = "l", ylim = c(0,1))
plot(blackman(n), type = "l", ylim = c(0,1))
plot(boxcar(n), type = "l", ylim = c(0,1))
plot(flattopwin(n), type = "l", ylim = c(0,1))
plot(gausswin(n, 5), type = "l", ylim = c(0,1))
plot(hanning(n), type = "l", ylim = c(0,1))
plot(hamming(n), type = "l", ylim = c(0,1))
plot(triang(n), type = "l", ylim = c(0,1))
par(op)
0 20 40
0.0
Index
bart
lett(
n)
0 20 40
0.0
Index
blac
kman
(n)
0 20 40
0.0
Index
boxc
ar(n
)
0 20 40
0.0
Index
flatto
pwin
(n)
0 20 40
0.0
Index
gaus
swin
(n, 5
)
0 20 40
0.0
Index
hann
ing(
n)
0 20 40
0.0
Index
ham
min
g(n)
0 20 40
0.0
Index
tria
ng(n
)
n <- length(x <- -20:24)
y <- sin(pi*x/6) +sin(pi*x/12) + rnorm(x)/8
n <- length(x <- -20:24)
Filtro <- function(y)
convolve(y, hanning(6)/6, type = "filter")
plot(x,y, main="Using Hanning(.) for filters")
lines(x[-c(1:3 , (n-1):n) ], Filtro(y), col="red")
-20 -10 0 10 20
-2-1
01
Using Hanning(.) for filters
x
y
Filtro <- function(y)
convolve(y, convolve( boxcar(6)/6, hanning(6)/6) , type = "filter")
plot(x,y, main="Using convolve(.) for filters")
lines(x[-c(1:3 , (n-1):n) ], Filtro(y), col="red")
-20 -10 0 10 20
-2-1
01
Using convolve(.) for filters
x
y
TEMA V.- APROXIMACIÓN DE UNA FUNCION UTILIZANDO EL
ANALISIS ARMÓNICO.
Flexibilidad
Dado que la forma funcional de la relación entre la variable dependiente y los
regresores es en general desconocida; uno puede preguntarse si existe un
modelo paramétrico que pueda aproximar una amplia variedad de relaciones
funcionales. Flexibilidad es así un concepto multidimensional; y dar una
definición técnica de flexibilidad puede no ser adecuado a todas las
situaciones.
La flexibilidad local (a veces Diewert flexibilidad o simplemente flexibilidad)
implica que una aproximación a una forma funcional converge a error cero
(aproximación perfecta) para una función arbitraria en sus dos primeras
derivadas en un punto particular.
Las series de expansión de Taylor han dominado el campo de las formas de
flexibilidad local pero no es la única posibilidad de ofrecer flexibilidad local
(Barnett). Ignorando las complicaciones de la estimación estadística se puede
asumir se puede aproximar funcionalmente una relación conocida a una forma
flexibles imponiendo amplios errores en la aproximación funcional y sus
derivadas lejos del punto de aproximación perfecta (Despotakis; 1980).
Los problemas asociados a la estimación de estos modelos ha reducido el
atractivo de las formas de flexibilidad local. El ejemplo propuesto por White
(1980) demuestra que los estimadores mínimo cuadrados de las series de
expansión de Taylor no son indicadores muy reales del vector de los
parámetros para una expansión cierta de una función conocida. Como
consecuencia de estas y otras investigaciones; las propiedades predictivas de
las formas de flexibilidad local han sido encontradas poco satisfactorias.
La flexibilidad global (a menudo flexibilidad de Sobolev) se prefiere a la
flexibilidad local por la ausencia de restricciones de segundo orden en cualquier
punto (Gallant 1981; 1982). En principio; los únicos requerimientos exigidos a
estas formas flexibles son que; en primer lugar; deben poseer suficientes
parámetros como para que puedan considerarse una aproximación adecuada a
la verdadera función; y; en segundo lugar; deben generar funciones
potencialmente integrables; es decir; capaces de verificar las restricciones
teóricas.
En su aplicación; a menudo; la norma de Sobolev no permite obtener
parámetros estimados; entonces la estimación de las formas flexibles globales
podría usar las tradicionales medidas de distancia de mínimos cuadrados
(Elbadawi; Gallant; y Souza; 1983).
Flexibilidad local
La flexibilidad se entiende como local (flexibilidad de Diewert); cuando da lugar
a una aproximación que converge a error cero (aproximación perfecta) a una
función arbitraria y sus dos primeras derivadas en un punto concreto. Las
series de expansión de segundo orden de Taylor han dominado el campo de
las formas de flexibilidad local; pero las inferencias basadas en series de Taylor
pueden estar seriamente sesgadas; debido al comportamiento problemático del
término residual de la aproximación.
Supongamos que el modelo es
( ) exgy +=
Una serie de expansión de segundo orden de Taylor (que remaineder term) de
la función g(x) en el punto x=0 es
RxgDx
gDxgxg xx +++=
2
)0(')0(')0()(
2
Usamos la aproximación; que simplificamos ocultando el término residual;
como una aproximación de g(x):
2
)0(')0(')0()()(
2 xgDxgDxgxgkxg x
x ++=≈
Cuando x →0; la aproximación viene a ser más o menos exacta; en el sentido
de que gk(x) → g(x); Dxgk(x) → Dxg(x) y D2xgk(x)→ D2
xg(x) . Para x=0; la
aproximación es exacta; en la primera y segunda derivada. La idea que esta
detrás es que en muchas formas funcionales flexibles g(0); Dxg(0) y D2xg(0)
son constantes. Si nosotros tratamos estas como parámetros; la aproximación
podría tener suficientes parámetros libres para aproximar la función g(x);
cuando es desconocida la forma; en concreto; el primero y segundo orden; en
el punto x=0.
El modelo es:
xxxxgk Γ++= '21')( βα
Entonces el modelo de regresión a estimar es
xxxy Γ++= '21'βα
Entre las formas flexibles más usadas que proceden de aproximaciones de
Taylor destaca las formas Translog; introducidas por Christensen; Jorgenson y
Lau (1975). Sin embargo; tal como han mostrado Caves y Christensen (1980);
Guilkey y Lovell (1980); Barnett (1983); o Gallant (1981); las inferencias
derivadas de funciones basados en series de Taylor pueden estar seriamente
sesgadas; debido al comportamiento problemático del término residual de la
aproximación; este hecho no es de extrañar21; ya que las aproximaciones de
21 En el modelo de regresión Diewert-flexible, se plantea la siguiente cuestión: Es )0(ˆlim gp =α ? Es
)0(ˆlim gDp x=β ? Es )0(ˆlim 2gDp x=Γ ?
La respuesta es no, en general, ya que si encontramos los valores ciertos de los parámetros en estas derivadas, entonces e (error) forma parte del termino residual, el cual es función de x, entonces x y e están correlacionados, lo que implica que el estimador esta sesgado. (Creel M “Econometrics” Version 0.80, February, 2006 Dept. of Economics and Economic history, Universitat autònoma de Barcelona). http://pareto.uab.es/mcreel/Econometrics/econometrics.pdf
Taylor poseen un carácter inherentemente local; “funcionando bien” en un
entorno pequeño (de tamaño desconocido) de un punto específico.
En la literatura han surgido varias alternativas que han intentado mejorar (no
sin dificultades) los problemas de la reducida dimensión de la región regular de
los modelos Taylor-flexibles (también denominados modelos localmente
flexibles. Entre ellas destacan las propuestas hechas por Barnett (1983);
Gallant (1981;1982); o Diewert y Wales (1987;1988).
Barnett (1983) propone el uso de aproximaciones de Laurent en lugar de las
tradicionales de Taylor debido a que las primeras producen errores (de
aproximación) con un comportamiento global mucho menos volátil que el de las
segundas. De hecho; sus trabajos muestran que la forma Minflex-Laurent (que
resulta de restringir algunos parámetros de la aproximación original); aún sin
ser globalmente regular; da lugar a sistemas de demanda con regiones de
regularidad mucho más amplias que las derivadas de aproximaciones de
Taylor.
La aproximación completa de Laurent a la función ( )xΦ que utiliza Barnett
(1983) se escribe en notación matricial como:
( ) ( ) ( )ωωωωωωωω RBbAaax o +−−++=Φ=Φ ''2''2*
Donde ( ) ( )ni xxxw ,...,, 21==ω ;
==
nwww1,...,1,1
21ω y ( )ωR es el error
de la aproximación; y donde se supone que las matrices de los parámetros
[ ]ijaA = y [ ]ijbB = son simétricas. La aproximación Minflex-Laurent se obtiene
al imponer las restricciones 0=b ; 0=iib sobre la matriz B y 0≥ija y 0≥ijb para
ji ≠ sobre las matrices A y B. Por otro lado; cuando el vector b y las matrices
A y B son nulas; la expresión anterior da lugar a la función Leontief-
Generalizado (Diewert; 1971).
En Diewert y Wales (1987) se utiliza la misma base de expansión (Minflex-
Laurent) que en los trabajos anteriores; dando lugar a un modelo que ellos
denominan Barnett-Generalizado. El modelo es completamente regular; pero
sólo localmente cuasi-flexible; lo que supone limitar sensiblemente el rango de
inferencias que se deriva de dicho modelo.
Forma Flexible de Fourier (FFF)
Gallant (1981;1982) introdujo una forma funcional con capacidades muy
distintas a las propuestas hasta el momento; cuyas propiedades de flexibilidad
eran en todos los casos locales. La forma de Fourier que utiliza Gallant posee
la propiedad de flexibilidad global; es decir; permite aproximar arbitrariamente
cerca tanto a la función como a sus derivadas sobre todo el dominio de
definición de las mismas. La idea que subyace en este tipo de aproximaciones
(que podrían denominarse semi-no-paramétricas) es ampliar el orden de la
base de expansión; cuando el tamaño de la muestra aumenta; hasta conseguir
la convergencia asintótica de la función aproximante a la verdadera función
generadora de los datos y a sus derivadas.
Por tratarse de una forma Sobolev-flexible22 (frente a la Diewert-flexibilidad de
las anteriores) es capaz de estimar consistentemente las elasticidades precio y
renta sobre todo el espacio de datos (ElBadawi; Gallant y Souza; 1983);
además; asintóticamente pueden conseguirse contrastes estadísticos
insesgados (Gallant; 1981; 1982) y la eliminación del problema de inferencias
aumentadas provocado por la especificación de un determinado modelo. Por
último; Gallant y Souza (1991) han mostrado la normalidad asintótica de las
estimaciones derivadas de la forma de Fourier.
En la parte negativa; el modelo de Fourier puede conseguir la regularidad
global; pero las restricciones paramétricas que ello implica son excesivamente
22 Para consultar la norma Sebolev: http://pareto.uab.es/mcreel/Econometrics/econometrics.pdf
fuertes (Gallant; 1981); sin embargo; existen condiciones más débiles (que no
destruyen ni la flexibilidad ni la consistencia de los estimadores) con las que se
puede conseguir la regularidad teórica al menos sobre un conjunto finito de
puntos (Gallant y Golub; 1983); aunque la implemenntación de tales
restricciones resulta compleja (McFadden; 1985).
En cualquier caso; las simulaciones de Monte Carlo realizadas por Fleissig;
Kastens y Terrell (1997) y Chalfant y Gallant (1985) han mostrado que la
región de regularidad de la forma de Fourier libre -sin restricciones de ningún
tipo- es mucho mayor que la correspondiente a las formas Leontief-
Generalizada o Translog.
Un polinomio de Fourier viene dado por la expresión:
( ) ( )( )∑=
++k
jojoj tjwvtjwu
a
1
sincos2
Donde k es el número de ciclos teóricos o armónicos que consideramos; siendo
el máximo n/2.
nw
π20 = es la frecuencia fundamental (también denominada frecuencia angular
fundamental).
t toma los valores enteros comprendidos entre 1 y n (es decir; t = 1; 2; 3; ...n).
Los coeficientes de los armónicos vienen dados por las expresiones:
( )( ) ( )∑∑∑===
===n
iioij
n
iiij
n
ii jtwy
nvjtwy
nuy
n
a
110
1
sin2
,cos2
,2
2
La aproximación a una función no periódica )(xg por una serie de expansión de
Fourier se realiza en Gallart (1981) añadiendo es esta un término lineal y
cuadrático. De esta forma que la aproximación univariada se escribe como:
( ) ( ) ( )jxsvjxucxbxaxg j
J
jj sincos2
2
1/
1
2 −+++= ∑=
θ (1)
El vector de parámetros es ( )JJ vuvucba ,,...,,,, 11=θ de longitud JK 23+= ;
siendo nJ ≈ .
Suponiendo que los datos siguieran el modelo iii exgy += )( para i=1;2;…;n
estimariamos θ por mínimos cuadrados; minimizando
( ) ( ) ( )[ ]∑=
−=n
iiKin xgyns
1
2/1 θθ
Considerando 0θ la solución al problema de minimización anterior; podríamos
obtener diferentes soluciones mínimocuadráticas para )(xg ; considerando
diferentes valores de n y K y elegir aquel de ellos que mejor aproxime; )(xg ;
)()/( xgdxd ; y )()/( 22 xgdxd . La norma de Sobolev permite evaluar dichos
errores de aproximación.
La expresión de la primera y segunda derivada de la función (1) son las
siguientes:
( ) ( ) ( )( )∑=
−−++=J
jjjx jjxvjxucxbxgD
1
cossin/θ (2)
( ) ( ) ( )( )∑=
+−+=J
jjjx jjxsenvjxucxgD
1
22 cos/θ (3)
Dado que la variable exógena ix no esta expresada en forma periódica; debe
de transformase o normalizarse en un intervalo de longitud menor que π2 ;
[ ]π2,0 .
Ejemplo 16
Siguiendo a Gallant (1981) vamos a estimar una forma de flexibilidad global
para la función )1ln()( += xxg ; )1ln()( += xxg ; utilizando 50 observaciones de
xt para un intervalo comprendido entre [ ]6;01,0 .
Tabla nºV.1
X X 0;01 0;01 3;01 1;39
0;13 0;12 3;13 1;42
0;25 0;22 3;25 1;45
0;37 0;31 3;37 1;47
0;49 0;4 3;49 1;5
0;61 0;48 3;61 1;53
0;73 0;55 3;73 1;55
0;85 0;62 3;85 1;58
0;97 0;68 3;97 1;6
1;09 0;74 4;09 1;63
1;21 0;79 4;21 1;65
1;33 0;85 4;33 1;67
1;45 0;9 4;45 1;7
1;57 0;94 4;57 1;72
1;69 0;99 4;69 1;74
1;81 1;03 4;81 1;76
1;93 1;08 4;93 1;78
2;05 1;12 5;05 1;8
2;17 1;15 5;17 1;82
2;29 1;19 5;29 1;84
2;41 1;23 5;41 1;86
2;53 1;26 5;53 1;88
2;65 1;29 5;65 1;89
2;77 1;33 5;77 1;91
2;89 1;36 5;89 1;93
La aproximación utilizada es la descrita en (1) con una única variable
dependiente; y se utilizan 7 armónicos. Los regresores y el resultado de la
estimación mínimo cuadrática de (1) aparecen en la tabla adjunta:
Tabla nºV.2 Resultados y regresores utilizadas para la aproximación FFF de la
función )1ln( +x
X
22x
COS (x) SENO(x) COS(2x) SENO(2x) COS(3x) SENO(3x) COS(4x) SENO(4x) COS(5x) SENO(5x) COS(6x) SENO(6x) COS(7x) SENO(7x) ( )θ/xg
0;01 0 1;000 0;010 1;000 0;020 1;000 0;030 0;999 0;040 0;999 0;050 0;998 0;060 0;998 0;070 0;010
)1ln()( += xxg )1ln()( += xxg
X
22x
COS (x) SENO(x) COS(2x) SENO(2x) COS(3x) SENO(3x) COS(4x) SENO(4x) COS(5x) SENO(5x) COS(6x) SENO(6x) COS(7x) SENO(7x) ( )θ/xg
0;13 0;01 0;992 0;130 0;966 0;257 0;925 0;380 0;868 0;497 0;796 0;605 0;711 0;703 0;614 0;790 0;122
0;25 0;03 0;969 0;247 0;878 0;479 0;732 0;682 0;540 0;841 0;315 0;949 0;071 0;997 -0;178 0;984 0;223
0;37 0;07 0;932 0;362 0;738 0;674 0;445 0;896 0;091 0;996 -0;276 0;961 -0;605 0;797 -0;852 0;524 0;315
0;49 0;12 0;882 0;471 0;557 0;830 0;101 0;995 -0;379 0;925 -0;770 0;638 -0;980 0;200 -0;959 -0;284 0;399
0;61 0;19 0;820 0;573 0;344 0;939 -0;256 0;967 -0;764 0;645 -0;996 0;091 -0;869 -0;495 -0;428 -0;904 0;476
0;73 0;27 0;745 0;667 0;111 0;994 -0;580 0;814 -0;976 0;220 -0;874 -0;487 -0;326 -0;945 0;387 -0;922 0;548
0;85 0;36 0;660 0;751 -0;129 0;992 -0;830 0;558 -0;967 -0;256 -0;446 -0;895 0;378 -0;926 0;945 -0;327 0;615
0;97 0;47 0;565 0;825 -0;361 0;933 -0;973 0;230 -0;740 -0;673 0;137 -0;991 0;895 -0;447 0;874 0;485 0;678
1;09 0;59 0;462 0;887 -0;572 0;820 -0;992 -0;128 -0;345 -0;939 0;673 -0;740 0;967 0;254 0;222 0;975 0;737
1;21 0;73 0;353 0;936 -0;751 0;661 -0;883 -0;469 0;127 -0;992 0;973 -0;231 0;560 0;829 -0;578 0;816 0;793
1;33 0;88 0;238 0;971 -0;886 0;463 -0;661 -0;750 0;571 -0;821 0;933 0;359 -0;126 0;992 -0;993 0;115 0;846
1;45 1;05 0;121 0;993 -0;971 0;239 -0;355 -0;935 0;886 -0;465 0;568 0;823 -0;749 0;663 -0;748 -0;663 0;896
1;57 1;23 0;001 1;000 -1;000 0;002 -0;002 -1;000 1;000 -0;003 0;004 1;000 -1;000 0;005 -0;006 -1;000 0;944
1;69 1;43 -0;119 0;993 -0;972 -0;236 0;350 -0;937 0;888 0;459 -0;561 0;828 -0;755 -0;656 0;741 -0;672 0;990
1;81 1;64 -0;237 0;972 -0;888 -0;460 0;658 -0;753 0;576 0;817 -0;931 0;366 -0;135 -0;991 0;995 0;103 1;033
1;93 1;86 -0;352 0;936 -0;753 -0;658 0;881 -0;473 0;134 0;991 -0;975 -0;223 0;552 -0;834 0;587 0;810 1;075
2;05 2;1 -0;461 0;887 -0;575 -0;818 0;991 -0;133 -0;339 0;941 -0;678 -0;735 0;965 -0;263 -0;211 0;977 1;115
2;17 2;35 -0;564 0;826 -0;364 -0;931 0;974 0;225 -0;735 0;678 -0;145 -0;989 0;899 0;438 -0;869 0;495 1;154
2;29 2;62 -0;659 0;752 -0;132 -0;991 0;833 0;554 -0;965 0;262 0;439 -0;899 0;387 0;922 -0;949 -0;316 1;191
2;41 2;9 -0;744 0;668 0;107 -0;994 0;584 0;812 -0;977 -0;214 0;870 -0;494 -0;317 0;948 -0;397 -0;918 1;227
2;53 3;2 -0;819 0;574 0;341 -0;940 0;261 0;965 -0;768 -0;641 0;997 0;084 -0;864 0;504 0;418 -0;908 1;261
2;65 3;51 -0;882 0;472 0;554 -0;832 -0;096 0;995 -0;385 -0;923 0;775 0;632 -0;982 -0;191 0;955 -0;295 1;295
2;77 3;84 -0;932 0;363 0;736 -0;677 -0;440 0;898 0;084 -0;996 0;283 0;959 -0;612 -0;791 0;857 0;515 1;327
2;89 4;18 -0;969 0;249 0;876 -0;482 -0;728 0;685 0;535 -0;845 -0;308 0;951 0;061 -0;998 0;189 0;982 1;358
3;01 4;53 -0;991 0;131 0;966 -0;260 -0;923 0;385 0;865 -0;502 -0;791 0;612 0;704 -0;710 -0;605 0;796 1;389
3;13 4;9 -1;000 0;012 1;000 -0;023 -0;999 0;035 0;999 -0;046 -0;998 0;058 0;998 -0;069 -0;997 0;081 1;418
3;25 5;28 -0;994 -0;108 0;977 0;215 -0;948 -0;320 0;907 0;420 -0;857 -0;516 0;796 0;606 -0;726 -0;688 1;447
3;37 5;68 -0;974 -0;226 0;897 0;441 -0;774 -0;633 0;611 0;792 -0;416 -0;909 0;199 0;980 0;028 -1;000 1;475
3;49 6;09 -0;940 -0;341 0;767 0;642 -0;502 -0;865 0;176 0;984 0;170 -0;985 -0;497 0;868 0;763 -0;646 1;502
X
22x
COS (x) SENO(x) COS(2x) SENO(2x) COS(3x) SENO(3x) COS(4x) SENO(4x) COS(5x) SENO(5x) COS(6x) SENO(6x) COS(7x) SENO(7x) ( )θ/xg
3;61 6;52 -0;892 -0;451 0;592 0;806 -0;165 -0;986 -0;298 0;954 0;697 -0;717 -0;946 0;325 0;991 0;137 1;528
3;73 6;96 -0;832 -0;555 0;384 0;923 0;193 -0;981 -0;705 0;709 0;980 -0;198 -0;925 -0;379 0;559 0;829 1;554
3;85 7;41 -0;759 -0;651 0;153 0;988 0;526 -0;850 -0;953 0;303 0;921 0;390 -0;446 -0;895 -0;244 0;970 1;579
3;97 7;88 -0;676 -0;737 -0;086 0;996 0;792 -0;610 -0;985 -0;171 0;540 0;842 0;255 -0;967 -0;885 0;466 1;603
4;09 8;36 -0;583 -0;812 -0;320 0;947 0;956 -0;292 -0;795 -0;607 -0;030 1;000 0;829 -0;559 -0;937 -0;348 1;627
4;21 8;86 -0;482 -0;876 -0;536 0;844 0;998 0;064 -0;425 -0;905 -0;589 0;808 0;992 0;127 -0;366 -0;930 1;651
4;33 9;37 -0;373 -0;928 -0;722 0;692 0;912 0;411 0;041 -0;999 -0;942 0;335 0;662 0;749 0;448 -0;894 1;673
4;45 9;9 -0;259 -0;966 -0;865 0;501 0;708 0;706 0;498 -0;867 -0;967 -0;256 0;004 1;000 0;965 -0;263 1;696
4;57 10;4 -0;142 -0;990 -0;960 0;281 0;414 0;910 0;842 -0;539 -0;653 -0;757 -0;657 0;754 0;840 0;543 1;717
4;69 11 -0;022 -1;000 -0;999 0;045 0;067 0;998 0;996 -0;089 -0;112 -0;994 -0;991 0;134 0;156 0;988 1;739
4;81 11;6 0;097 -0;995 -0;981 -0;194 -0;289 0;957 0;925 0;381 0;469 -0;883 -0;833 -0;553 -0;631 0;776 1;759
4;93 12;2 0;216 -0;976 -0;907 -0;422 -0;607 0;794 0;644 0;765 0;886 -0;464 -0;262 -0;965 -0;999 0;048 1;780
5;05 12;8 0;331 -0;944 -0;781 -0;625 -0;848 0;529 0;219 0;976 0;993 0;117 0;439 -0;898 -0;702 -0;712 1;800
5;17 13;4 0;442 -0;897 -0;610 -0;793 -0;980 0;197 -0;257 0;966 0;754 0;657 0;923 -0;386 0;062 -0;998 1;820
5;29 14 0;546 -0;838 -0;404 -0;915 -0;987 -0;161 -0;674 0;739 0;251 0;968 0;948 0;318 0;784 -0;620 1;839
5;41 14;6 0;642 -0;766 -0;175 -0;985 -0;867 -0;499 -0;939 0;344 -0;340 0;941 0;503 0;864 0;985 0;170 1;858
5;53 15;3 0;730 -0;684 0;064 -0;998 -0;636 -0;772 -0;992 -0;128 -0;811 0;585 -0;192 0;981 0;531 0;847 1;876
5;65 16 0;806 -0;592 0;300 -0;954 -0;323 -0;946 -0;820 -0;572 -1;000 0;024 -0;792 0;611 -0;276 0;961 1;895
5;77 16;6 0;871 -0;491 0;518 -0;855 0;031 -1;000 -0;464 -0;886 -0;839 -0;544 -0;998 -0;062 -0;900 0;436 1;913
5;89 17;3 0;924 -0;383 0;706 -0;708 0;381 -0;924 -0;002 -1;000 -0;385 -0;923 -0;709 -0;705 -0;925 -0;380 1;930
La representación gráfica de los resultados obtenidos aparece en la figura
siguiente:
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 1 2 3 4 5 6 7
g(x)=ln(x+1)
FFF_MCO
En la Tabla nºV.3 figuran los coeficientes obtenidos en la estimación MCO de la
expansión de Gallant(1981):
Tabla nºV.3.- Coeficientes utilizados en la aproximación FFF de la función
)1ln( +x
Coeficientes COEFICIENTE VARIANZA
X 0;8255 0;0063
-0;1639 0;0021
COS (x) 0;1709 0;0042
SENO (x) 0;0931 0;0009
COS (2x) 0;0279 0;001
SENO (2x) 0;0171 0;0004
COS (3x) 0;009 0;0004
SENO (3x) 0;005 0;0002
COS (4x) 0;0037 0;0002
SENO (4x) 0;0016 0;0002
COS (5x) 0;0017 0;0001
SENO (5x) 0;0005 0;0001
COS (6x) 0;0008 0;0001
SENO (6x) 0;0001 0;0001
COS (7x) 0;0004 0
SENO (7x) 0 0;0001
Constante -0;214 0;0058
22x
Ejemplo 17
Vamos a estimar una forma de flexibilidad global para el PIB trimestral de
España; en índices de volumen ajustados a estacionalidad y calendario; y
utilizando como regresor los puestos de trabajo equivalentes a tiempo
completo; todas las series están obtenidas de la Contabilidad Nacional
Trimestral de España del INE.
Tabla nºV.4.- Contabilidad Nacional Trimestral Base 2000. Datos corregidos de
estacionalidad y calendario.
Puestos de trabajo equivalentes a tiempo completo
Producto interior bruto
Puestos de trabajo equivalentes a tiempo completo
Producto interior bruto
1995TI 12974 81;35 2001TIII 16290 104;12
1995TII 13027 81;62 2001TIV 16333 104;79
1995TIII 13043 81;85 2002TI 16354 105;25
1995TIV 13036 82;28 2002TII 16530 106;14
1996TI 13021 82;75 2002TIII 16702 106;79
1996TII 13123 83;44 2002TIV 16608 107;62
1996TIII 13310 84;14 2003TI 16763 108;61
1996TIV 13358 84;68 2003TII 16871 109;33
1997TI 13458 85;57 2003TIII 17108 110;02
1997TII 13630 86;36 2003TIV 17053 111;03
1997TIII 13756 87;35 2004TI 17230 111;81
1997TIV 13828 88;69 2004TII 17291 112;71
1998TI 13974 89;5 2004TIII 17574 114;01
1998TII 14186 90;35 2004TIV 17524 114;8
1998TIII 14391 91;43 2005TI 17646 115;85
1998TIV 14481 92;24 2005TII 17874 116;93
1999TI 14655 93;14 2005TIII 18225 117;93
1999TII 14869 94;56 2005TIV 18136 119;02
1999TIII 15026 95;99 2006TI 18280 120;14
1999TIV 15132 97;08 2006TII 18493 121;41
2000TI 15360 98;56 2006TIII 18702 122;48
2000TII 15592 99;65 2006TIV 18692 123;83
2000TIII 15867 100;36 2007TI 18887 125;04
2000TIV 15859 101;44 2007TII 19080 126;21
2001TI 15972 102;51 2007TIII 19253 127;13
2001TII 16106 103;17 2007TIV 19148 128;14
Fuente: INE
La aproximación utilizada es la descrita en (1) con la variable dependiente
transformada en un intervalo menor a 2π utilizando la siguiente función de
transformación )max(
2
X
Xx
⋅= π . En la ecuación se utilizan 7 parámetros; la
constante; el parámetro asociado a x ; el asociado a 22x y los parámetros
asociados a los dos primeros armónicos. El resultado de la estimación mínimo
cuadrática de (1) aparecen en la Tabla nºIV.5.
Tabla nºV.5. Resultados y regresores utilizados en la expansión FFF del PIB.
x COS (x) SENO(x) COS(2x) SENO(2x) )/( θxg 4;2340 17;9271 -0;4603 -0;8878 -0;5762 0;8173 81;645
4;2513 18;0739 -0;4449 -0;8956 -0;6042 0;7969 82;087
4;2566 18;1183 -0;4402 -0;8979 -0;6124 0;7905 82;22
4;2543 18;0989 -0;4423 -0;8969 -0;6088 0;7933 82;162
4;2494 18;0572 -0;4466 -0;8947 -0;601 0;7992 82;038
4;2827 18;3413 -0;4166 -0;9091 -0;6529 0;7575 82;875
4;3437 18;8677 -0;3604 -0;9328 -0;7402 0;6724 84;356
4;3594 19;004 -0;3457 -0;9383 -0;7609 0;6488 84;725
4;392 19;2896 -0;3149 -0;9491 -0;8016 0;5978 85;48
4;4481 19;7858 -0;2612 -0;9653 -0;8636 0;5043 86;735
4;4892 20;1534 -0;2213 -0;9752 -0;9021 0;4316 87;622
4;5127 20;3649 -0;1983 -0;9801 -0;9213 0;3888 88;118
4;5604 20;7972 -0;1514 -0;9885 -0;9541 0;2993 89;101
4;6296 21;433 -0;0827 -0;9966 -0;9863 0;1649 90;486
4;6965 22;0569 -0;0159 -0;9999 -0;9995 0;0318 91;79
4;7259 22;3337 0;0135 -0;9999 -0;9996 -0;0269 92;357
4;7826 22;8736 0;0702 -0;9975 -0;9901 -0;14 93;446
4;8525 23;5465 0;1396 -0;9902 -0;961 -0;2765 94;789
4;9037 24;0464 0;1902 -0;9818 -0;9277 -0;3734 95;785
4;9383 24;3868 0;224 -0;9746 -0;8996 -0;4366 96;466
5;0127 25;1273 0;2958 -0;9552 -0;825 -0;5652 97;958
5;0884 25;8921 0;3672 -0;9301 -0;7303 -0;6832 99;525
5;1782 26;8134 0;4491 -0;8935 -0;5966 -0;8026 101;453
5;1756 26;7864 0;4468 -0;8946 -0;6008 -0;7994 101;396
5;2124 27;1695 0;4795 -0;8776 -0;5402 -0;8415 102;21
5;2562 27;6273 0;5174 -0;8558 -0;4647 -0;8855 103;191
5;3162 28;2621 0;5678 -0;8232 -0;3552 -0;9348 104;566
5;3302 28;4115 0;5793 -0;8151 -0;3288 -0;9444 104;891
5;3371 28;4847 0;5849 -0;8111 -0;3159 -0;9488 105;05
5;3945 29;101 0;6305 -0;7762 -0;205 -0;9788 106;397
5;4507 29;7098 0;673 -0;7396 -0;0941 -0;9956 107;73
5;42 29;3763 0;65 -0;7599 -0;155 -0;9879 107
5;4706 29;9272 0;6876 -0;7261 -0;0544 -0;9985 108;206
5;5058 30;3141 0;7128 -0;7014 0;0161 -0;9999 109;05
5;5832 31;1718 0;7648 -0;6442 0;1699 -0;9855 110;909
5;5652 30;9717 0;7531 -0;6579 0;1345 -0;9909 110;477
22x
x COS (x) SENO(x) COS(2x) SENO(2x) )/( θxg 5;623 31;6179 0;7899 -0;6133 0;2478 -0;9688 111;864
5;6429 31;8422 0;8019 -0;5974 0;2861 -0;9582 112;341
5;7352 32;8931 0;8536 -0;5209 0;4573 -0;8893 114;538
5;7189 32;7061 0;845 -0;5348 0;428 -0;9038 114;152
5;7587 33;1631 0;8656 -0;5007 0;4985 -0;8669 115;093
5;8332 34;0256 0;9004 -0;435 0;6216 -0;7834 116;835
5;9477 35;3751 0;9443 -0;3292 0;7832 -0;6217 119;491
5;9187 35;0305 0;9343 -0;3565 0;7458 -0;6662 118;819
5;9656 35;589 0;95 -0;3122 0;805 -0;5932 119;908
6;0352 36;4232 0;9694 -0;2455 0;8795 -0;476 121;533
6;1034 37;2511 0;9839 -0;1789 0;936 -0;3519 123;171
6;1001 37;2113 0;9833 -0;1821 0;9337 -0;358 123;091
6;1637 37;9917 0;9929 -0;1192 0;9716 -0;2366 124;686
6;2267 38;7721 0;9984 -0;0564 0;9936 -0;1127 126;372
6;2832 39;4784 1 0 1 0 128;013
6;2489 39;049 0;9994 -0;0343 0;9977 -0;0685 127
La representación gráfica de los resultados obtenidos aparece en la figura
siguiente.
75
85
95
105
115
125
135
19
95TI
19
96TI
19
97TI
19
98TI
19
99TI
20
00TI
20
01TI
20
02TI
20
03TI
20
04TI
20
05TI
20
06TI
20
07TI
Aproximación FFF
PIB (IV)
A continuación figuran los coeficientes obtenidos en la estimación MCO de la
expansión de Fourier:
Tabla nºV.6. Coeficientes estimados en la aproximación FFF del PIB.
coeficientes COEFICIENTE VARIANZA
SENO (2X) 25;7726 48;4461
COS (2X) 30;509 27;1992
SENO (x) -452;1873 644;8903
COS(x) 153;4978 389;0007
22x 163;5181 267;6648
x -1623;8053 2811;5767
Constante 3691;2378 6689;6026
La aproximación FFF multivariada
La aproximación multivariada se describe en Gallant (1984):
( ) ( ) ( )[ ]∑ ∑= =
+++++=A J
jjjo zjknzjkmuCxxxbuxg
1 1
''0 sincos2'
2
1'/
ααααααθ
Donde; x es un vector de Nx1 variables; b es un vector de Nx1 coeficientes;
C es una matriz simétrica de de NxN coeficientes; z es un vector Nx1 de
valores transformados de x ; αjm y αjn son coeficientes; [ ]Nxxx kkkk ,...,,
21
' =α son
multi-índices; vectores de 1xN elementos que representan a la derivadas
parciales de una función de producción de Fourier para los diferentes tipos de
expansión.
Dado que las variable exógenas no están expresada en forma periódica; deben
de transformase o normalizarse en un intervalo de longitud menor que π2 .
Fulginiti et all (2003) sugieren transformar el vector de variables x definiendo
0lnln >+= iii xal ; Ni ,...,2,1=
donde 510ln −+−= ii xMina
entonces el valor de las variable transformada sería:
( )ttit xakjz lnln' += αλ
siendo
Nil i ,...,2,1:max
2
=−= επλ
donde ε es valor positivo arbitrario y pequeño; si bien se recomienda escoger:
Nil i ,...,2,1:max
6
==λ
La forma flexible que aproxima a una ecuación con tres variables exógenas; y
j=1 sería:
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]∑∑
∑∑
∑∑
∑ ∑∑∑
= >
= >
= >
= = >=
+−++−+
−−+−−+
−+−+++
++++=
3
1
3
22
3
1
3
11
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
23
10
sincos
sincos
sincossincos
2
1
i iktktitiktititik
i iktktitiktititik
i kktitikktitiktttt
i i kktitikiiii
iitit
zzznzzzm
zzznzzzm
zznzzmznzm
xxcxcxbY µ
Es habitual en este tipo de trabajos incluir una tendencia temporal como
variable exógena; en cuyo caso la forma flexible sería23:
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]∑∑
∑∑
∑∑
∑∑ ∑∑∑
= >
= >
= >
== = >=
+−++−+
−−+−−+
−+−+++
++++++=
3
1
3
22
3
1
3
11
3
1
3
1
3
1
23
1
3
1
3
1
23
10
sincos
sincos
sincossincos
2
1
2
1
i iktktitiktititik
i iktktitiktititik
i kktitikktitiktttt
iititttt
i i kktitikiiii
iitit
zzznzzzm
zzznzzzm
zznzzmznzm
txbtbtbxxcxcxbY µ
Ejemplo 18
Partiendo de las cifras del PIB a precios básicos; empleo y Stock de Capital de
la economía española; se va a estimar de una función de producción para la
economía española.
Tabla nºV.7. Capital (mill. de euros año 2000); Empleo (miles) y PIB (mill. de
euros año 2000)
Capital neto real (millones) Empleo PIB
Aproximación FFF
1.971 243.448 12.743 265.269 265.664 1.972 262.107 12.878 286.886 285.827 1.973 284.333 13.194 309.231 310.323 1.974 307.959 13.262 326.605 324.996 1.975 328.363 13.028 328.376 330.521 1.976 346.791 12.889 339.225 339.164 1.977 363.943 12.786 348.855 348.988 1.978 379.636 12.443 353.957 351.632
23 Carbo S. y Rodriguez F. (2005) estiman una función de coste para el sector bancario español utilizando tres variables explicativas cuya especificación puede consultarse en: www.revecap.com/encuentros/anteriores/viieea/autores/R/26.doc
1.979 393.268 12.176 354.106 354.800 1.980 406.561 11.901 358.712 357.626 1.981 417.897 11.590 358.079 358.447 1.982 429.637 11.483 363.686 365.732 1.983 440.562 11.429 371.759 373.518 1.984 448.413 11.156 377.213 375.094 1.985 459.117 11.350 387.067 386.409 1.986 474.688 11.509 399.453 399.784 1.987 496.304 12.029 421.987 422.312 1.988 523.763 12.433 443.768 443.197 1.989 559.321 12.860 464.793 463.993 1.990 597.434 13.322 482.179 483.305 1.991 635.839 13.450 493.115 493.370 1.992 668.924 13.241 496.504 495.461 1.993 691.947 12.852 490.728 493.235 1.994 715.836 12.788 501.775 499.432 1.995 744.264 13.020 515.405 514.710 1.996 769.988 13.203 527.862 529.070 1.997 799.170 13.668 548.284 549.004 1.998 835.577 14.258 572.782 572.497 1.999 878.412 14.921 599.966 599.656 2.000 923.074 15.670 630.263 628.414 2.001 968.182 16.176 653.255 652.736 2.002 1.011.559 16.549 670.920 673.418 2.003 1.056.437 16.949 691.695 693.443 2.004 1.103.659 17.405 714.291 713.723 2.005 1.157.349 17.970 740.108 738.021 2.006 1.217.898 18.564 769.850 768.513 2.007 1.284.160 19.090 797.367 801.090 2.008 1.344.152 18.988 804.223 802.123 2.009 1.380.015 17.733 774.285 774.089 2.010 1.413.146 17.281 771.809 772.304
Fuente: CNE-INE y Series de Stock de capital fijo del BBVA
Las series de PIB y Empleo se han construido enlazando las cifras de la serie
1995-2009 de la CNE del INE Base 2000; y la serie histórica de contabilidad
nacional Base 1986.
La ecuación utilizada para la aproximación es la siguiente:
( ) ( )( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tttttt
tttttt
ttttttt
eknekmenem
knkmenemknkm
EKbEbKbEbKbY
++++++++++++
+++++=
sincos2sin2cos
2sin2cossin)cos(sincos
lnlnlnlnlnlnln
1211212222
11112211
122
222
11210µ
Los coeficientes estimados por MCO serían:
Tabla nºV.8. Coeficientes estimados en la aproximación FFF del PIB.
parámetro t y=α -112,85 -1,76 x -8,29 -0,90 z 23,71 5,45 x2 1,89 4,69 z2 -0,14 -1,29 x*z -2,03 -3,70 cos(x) -0,01 -0,20 sen(x) 0,01 0,79 cos(z) 0,10 2,10 sen(z) 0,06 2,53 cos(2*x) -0,01 -2,37 sen(2*x) 0,01 0,81 cos(2*z) 0,02 3,15 sen(2*z) -0,06 -6,59 cos(x+z) 0,02 1,24 sen(x+z) 0,04 2,45 F =3;57 R2 =0;99989 Grados de libertad 22
Los resultados de la aproximación se han representado en la figura siguiente:
0
100000
200000300000
400000
500000
600000700000
800000
900000
1971
1974
1977
1980
1983
1986
1989
1992
1995
1998
2001
2004
2007
PIB PIB*
En las aproximaciones de la FFF descritas aparece el efecto Gibbs en los
extremos inicial y final de la serie; ya que ambos extremos constituyen las
discontinuidades de las series a aproximar.
Aproximación FFF utilizando funciones paramétricas.
La aproximación FFF multivariada de Gallant (1981,1983) presenta dificultades
prácticas ya que precisa de una gran cantidad de datos para ser estimada por
los métodos convencionales, la reducción de grados de libertad que ocasiona
el utilizar secuencias de series de senos y cosenos en una regla de difícil
aplicación práctica, puede solventarse parametrizando los ángulos que
determinan la relación polar en un eje de tres dimensiones.
Se denominan ecuaciones paramétrica a aquellas ecuaciones en que las
variables X e Y, cada una separadamente, están expresadas en función de la
misma tercera variable, t, a la que se denomina variable paramétrica, estas
ecuaciones se representan en la siguiente forma general:
( )( )
==
tvY
tuX
Una ecuación paramétrica permite representar curvas o superficies en el plano
o en el espacio, mediante valores arbitrarios (parámetros). En el uso estándar
del sistema de coordenadas, una o dos variables (dependiendo de si se
utilizan dos o tres dimensiones respectivamente) son consideradas
como variables independientes, mientras que la restante, a la que se denomina
variable dependiente, toma un valor en función de los valores que toman las
variable(s) independiente(s). Así por ejemplo la expresión de un punto
cualquiera ),( yx equivale a la expresión ))(,( xfx .
Esta representación tiene la limitación de requerir que la curva sea una función
de X en Y, es decir que todos los valores X tengan un valor y sólo un valor
correspondiente en Y, y no todas las curvas cumplen con dicha condición. En
una ecuación paramétrica, tanto X como Y son considerados variables
dependientes, cuyo resultado surge de una tercera variable (sin representación
gráfica) conocida como parámetro, lo que la representación de funciones
circulares en donde un valor de X puede dar lugar a dos valores de Y.
Por ejemplo, en la ecuación2XY = , una parametrización tendrá la
forma
( )( )
==
tvY
tuX
, por lo que una parametrización posible sería
==
2tY
tX
Una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio r verifica
que222 rYX =+ , y una expresión paramétrica sería
==
trY
trX
sin
cos
La representación paramétrica de una curva en un espacio n-dimensional
consiste por tanto en “n” funciones de una variable t que actúa como variable
independiente o parámetro (habitualmente se considera que t es un número
real y que los puntos del espacio n-dimensional están representados
por n coordenadas reales), de la forma ( ) [ ] ℜ→= baftfe iii ,:, ,
donde ie representa la i-ésima coordenada del punto generado al asignar
valores del intervalo [a, b] a t. Por ejemplo, para representar una curva en el
espacio se usan 3 funciones )(tuX = , )(tvY = y )(tgZ = .
Es común que se exija que el intervalo [a, b] sea tal que a cada punto
bya <≤ le corresponda un punto distinto de la curva; si las coordenadas del
punto obtenido al hacer t = a son las mismas del punto correspondiente a t =
b la curva se denomina cerrada.
Se dice que un punto de la curva correspondiente a un valor t del intervalo es
un punto ordinario si las derivadas de las funciones paramétricas existen en y
son continuas en ese punto y al menos una es distinta de 0. Si un arco de
curva está compuesto solamente de puntos ordinarios se denomina suave.
Es común resumir las ecuaciones paramétricas de una curva en una sola
ecuación vectorial
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑=
++==n
innii etfetfetfetftr
12211 ˆ...ˆˆˆ
r
donde ie representa al vector unitario correspondiente a la coordenada i-ésima.
Por ejemplo, las funciones paramétricas de un círculo unitario con centro en el
origen son x = cos t, y = sen t. Podemos reunir estas ecuaciones como una sola
ecuación de la forma
( ) jtittr ˆ)sin(ˆ)cos( +=r
Una superficie parametrizada en 3ℜ es la imagen de una función continua S
definida en una región 2ℜ⊆D que toma valores en 3ℜ , esto es,
( ) 32 ),(),,(),,(),(),(: ℜ∈=→ℜ⊆∈ vuzvuyvuxvnSDvuS
Las variables independientes de la función S se llaman parámetros de la
superficie y la propia función S recibe el nombre de parametrización de la
superficie. La imagen por S de la frontera de la región D se llama borde o
contorno de la superficie. Si S es inyectiva, lo que significa que no hay puntos
dobles, entonces se dice que la superficie es simple.
Dadas n observaciones de la variables aleatorias ( )2, yt xNx σ→ .
=
n
t
x
x
x
x
.
.2
1
A cada observación ),( txt le corresponde un punto tP en el eje cartesiano, de
forma que
),();.....,2();,1( 2211 nn xnPxPxP ⇒⇒⇒
que a su vez, se hace corresponder con una forma polar tr γ para cada par
),( txt , siendo:
22tt xtr += y
=t
xArcTg t
tγ
Dado que ( ) ( ) ( )trtrttt xrixrixtxtP sincos, +=+= , se obtiene que )sin( ttt rx γ= o
ttgx tt ⋅= )(γ
Si se estima la variable aleatoria tγ , a partir de una expansión FFF de la forma:
∑=
⋅+
⋅+
⋅+⋅+=2
1
212
21
2(sin
2cos
22n
tttot n
tc
n
tc
n
t
n
t πππγπγγγ si n es par, y
)1( −n si n es impar.
ó
( ) ( ) ( )tjt
J
jjttt jsvjucbag γγγγθγ sincos2
2
1/
1
2 −+++= ∑=
La función ttgx tt ⋅= )(γ quedaría parametrizada en función de t
Ejemplo 19
Utilizando el empleo equivalentes a tiempo completo de la CNE de España
para el periodo 1971-201124, vamos a construir dicha serie temporal a partir de
la representación en armónicos del ciclo empírico del argumento, es decir de
ttgy tt ⋅= )(γ
siendo
∑=
⋅+
⋅+
⋅+⋅+=2
1
212
21
2(sin
2cos
22n
tttot n
tc
n
tc
n
t
n
t πππγπγγγ, si n es par, y
)1( −n si n es impar.
En la Tabla nºV.9 figuran los cálculos realizados para obtener la serie tγ
radianes:
24 Para disponer de esta serie se han enlazado las series de contabilidad nacional 1971-1997 base 86; 1995-2009 base 2000 y 2009-2011 elaborada con la base 2008. El enlace se ha realizado utilizando como
coeficiente de enlace 20001995
861995
L
LC =
Tabla nºV.9. Empleo equivalente a tiempo completo. 1971-2011. Miles.
Empleo equivalente total (x) t t/x γ radianes γ radianes FFF
Empleo equivalente total (FFF)
1971 12.743 1 12742,72 1,5707 1,5707 7491
1972 12.878 2 6439,10 1,5706 1,5706 10969
1973 13.194 3 4398,00 1,5706 1,5706 12534
1974 13.262 4 3315,56 1,5705 1,5705 13154
1975 13.028 5 2605,59 1,5704 1,5704 13300
1976 12.889 6 2148,23 1,5703 1,5703 13210
1977 12.786 7 1826,50 1,5702 1,5703 13013
1978 12.443 8 1555,40 1,5702 1,5702 12775
1979 12.176 9 1352,93 1,5701 1,5701 12537
1980 11.901 10 1190,13 1,5700 1,5700 12317
1981 11.590 11 1053,60 1,5698 1,5699 12127
1982 11.483 12 956,88 1,5698 1,5698 11974
1983 11.429 13 879,12 1,5697 1,5697 11861
1984 11.156 14 796,83 1,5695 1,5696 11788
1985 11.350 15 756,68 1,5695 1,5695 11756
1986 11.509 16 719,32 1,5694 1,5694 11765
1987 12.029 17 707,57 1,5694 1,5694 11815
1988 12.433 18 690,72 1,5693 1,5693 11905
1989 12.860 19 676,84 1,5693 1,5692 12034
1990 13.322 20 666,12 1,5693 1,5692 12202
1991 13.450 21 640,46 1,5692 1,5691 12408
1992 13.241 22 601,86 1,5691 1,5691 12651
1993 12.852 23 558,77 1,5690 1,5690 12929
1994 12.788 24 532,81 1,5689 1,5690 13241
1995 13.020 25 520,79 1,5689 1,5690 13584
1996 13.203 26 507,80 1,5688 1,5689 13954
1997 13.668 27 506,22 1,5688 1,5689 14348
1998 14.258 28 509,21 1,5688 1,5689 14761
1999 14.921 29 514,50 1,5689 1,5689 15185
2000 15.670 30 522,32 1,5689 1,5689 15613
2001 16.176 31 521,79 1,5689 1,5689 16036
2002 16.549 32 517,14 1,5689 1,5689 16444
2003 16.949 33 513,60 1,5688 1,5688 16828
2004 17.405 34 511,90 1,5688 1,5688 17175
2005 17.970 35 513,43 1,5688 1,5688 17477
2006 18.564 36 515,67 1,5689 1,5688 17724
2007 19.090 37 515,93 1,5689 1,5687 17908
2008 18.988 38 499,69 1,5688 1,5687 18026
2009 17.733 39 454,68 1,5686 1,5686 18073
2010 17.281 40 432,02 1,5685 1,5686 18052
2011 16.988 41 414,33 1,5684 1,5685 17965
Teniendo en cuenta el peridograma de la serie tγ radianes que se representa
a continuación se ha estimado la siguiente aproximación de Fourier:
−⋅+
−⋅−=
1
2cos00014.0
1
200028,057044,1
n
t
n
tt
ππγ
La representación del argumento en radianes y la tendencia calculada
aparecen en la figura siguiente:
0
1e-007
2e-007
3e-007
4e-007
5e-007
6e-007
7e-007
8e-007
9e-007
0 5 10 15 20
41.0 10.3 5.9 4.1 3.2 2.6 2.2
frecuencia escalada
Espectro de v1
años
1,5680
1,5685
1,5690
1,5695
1,5700
1,5705
1,5710
1971
1974
1977
1980
1983
1986
1989
1992
1995
1998
2001
2004
2007
2010
g radianes
g radianes FFF
La representación de la serie de empleos equivalentes a tiempo completo
estimada se recoge en la figura siguiente:
9.000
11.000
13.000
15.000
17.000
19.000
21.000
1971
1975
1979
1983
1987
1991
1995
1999
2003
2007
2011
Empleo equivalente total (x)
Empleo equivalente total (FFF)
Tenemos ahora n observaciones de dos variables aleatorias ( )2, xt xNx σ→ e
( )2, yt yNy σ→.
=
n
t
x
x
x
x
.
.2
1
=
n
t
y
y
y
y
.
.2
1
A cada observación ),( tt yx le corresponde un punto tP en el eje cartesiano, de
forma que
),();.....,();,( 222111 nnn yxPyxPyxP ⇒⇒⇒
que su vez, se hace corresponder un forma polar trα para cada par ),( tt yx ,
siendo:
22ttt yxr +=
y
=
t
tt x
yArcTgα
Dado que )()cos(),( ttttttttt senririyxyxP αα +=+= ,se obtiene que:
)cos( ttt rx α= , )sin( ttt ry α= e ttt xtgy )(α= .
La variable aleatoria tx puede parametrizase entonces como
ttgtgy ttt ⋅⋅= )()( λα
Las ecuaciones paraméticas serían entonces:
⋅⋅=⋅=
ttgtgy
ttgx
ttt
tt
)()(
)(
γαγ
Estimándose los ángulos tα con la forma general:
∑=
⋅+
⋅+
⋅+⋅+=2
1
212
21
2(sin
2cos
22n
tttot n
tc
n
tc
n
t
n
t πππγπγγγ si n es par, y
)1( −n si n es impar.
Ejemplo 20
Utilizamos ahora las cifras de Empleo a tiempo completo y PIB en euros
constantes de la CNE (Tabla nºV.10).
Tabla nºV.10.- Producto Interior Bruto en euros constantes del año 2000 y
Empleo equivalente a tiempo completo. 1971-2011. Millones de euros y miles
de empleos.
Producto Interior Bruto (euros año 2000)
Empleo equivalente total (x) y/x t α radianes
α radianes FFF
Producto Interior Bruto (FFF)
1971 265.269 12.743 20,8173 1 1,5228 1,5231 266.947
1972 286.886 12.878 22,2769 2 1,5259 1,5256 284.980
1973 309.231 13.194 23,4372 3 1,5282 1,5279 307.676
1974 326.605 13.262 24,6267 4 1,5302 1,5299 324.464
1975 328.376 13.028 25,2055 5 1,5311 1,5316 332.525
1976 339.225 12.889 26,3181 6 1,5328 1,5331 341.336
1977 348.855 12.786 27,2852 7 1,5342 1,5343 349.795
1978 353.957 12.443 28,4458 8 1,5357 1,5353 350.876
1979 354.106 12.176 29,0815 9 1,5364 1,5364 353.714
1980 358.712 11.901 30,1406 10 1,5376 1,5374 356.395
1981 358.079 11.590 30,8967 11 1,5384 1,5384 358.012
1982 363.686 11.483 31,6728 12 1,5392 1,5394 365.742
1983 371.759 11.429 32,5287 13 1,5401 1,5403 374.506
1984 377.213 11.156 33,8138 14 1,5412 1,5410 374.572
1985 387.067 11.350 34,1023 15 1,5415 1,5416 388.528
1986 399.453 11.509 34,7076 16 1,5420 1,5420 399.700
1987 421.987 12.029 35,0819 17 1,5423 1,5423 422.393
1988 443.768 12.433 35,6927 18 1,5428 1,5426 440.941
1989 464.793 12.860 36,1429 19 1,5431 1,5429 461.096
1990 482.179 13.322 36,1933 20 1,5432 1,5433 484.146
1991 493.115 13.450 36,6637 21 1,5435 1,5437 496.796
1992 496.504 13.241 37,4979 22 1,5441 1,5442 498.088
1993 490.728 12.852 38,1838 23 1,5446 1,5447 492.466
1994 501.775 12.788 39,2394 24 1,5453 1,5451 498.272
1995 515.405 13.020 39,5862 25 1,5455 1,5455 514.164
1996 527.862 13.203 39,9814 26 1,5458 1,5457 526.306
1997 548.284 13.668 40,1144 27 1,5459 1,5459 547.990
1998 572.782 14.258 40,1727 28 1,5459 1,5459 573.464
1999 599.966 14.921 40,2106 29 1,5459 1,5460 601.276
2000 630.263 15.670 40,2223 30 1,5459 1,5460 632.564
2001 653.255 16.176 40,3855 31 1,5460 1,5461 654.389
2002 670.920 16.549 40,5424 32 1,5461 1,5461 671.263
2003 691.695 16.949 40,8111 33 1,5463 1,5462 689.686
2004 714.291 17.405 41,0401 34 1,5464 1,5463 711.073
2005 740.108 17.970 41,1855 35 1,5465 1,5465 738.260
2006 769.850 18.564 41,4701 36 1,5467 1,5467 769.017
2007 797.367 19.090 41,7699 37 1,5469 1,5470 800.561
2008 804.223 18.988 42,3538 38 1,5472 1,5474 809.929
2009 774.285 17.733 43,6643 39 1,5479 1,5478 772.540
2010 771.809 17.281 44,6624 40 1,5484 1,5484 770.578
2011 775.034 16.988 45,6238 41 1,5489 1,5489 774.112
Tendiendo en cuenta el espectro de la serie tα radianes , se calcula la
siguiente expansión FFF:
−⋅+
−⋅+
−⋅+
−⋅+
−⋅−
−⋅+=
1
6sin0003,0
1
4sin0003,0
1
2sin0013,0
1
2cos0003.0
1
20021.0
1
20110,05201,1
2
n
t
n
t
n
t
n
t
n
t
n
tt
ππππππα
0
1e-005
2e-005
3e-005
4e-005
5e-005
6e-005
7e-005
0 5 10 15 20
41.0 10.3 5.9 4.1 3.2 2.6 2.2
frecuencia escalada
Espectro de v1
años
La estimación de la serie tα radianes a partir de la expansión FFF se
representa en la figura siguiente:
1,5200
1,5250
1,5300
1,5350
1,5400
1,5450
1,5500
1,5550
1,5600
1971
1974
1977
1980
1983
1986
1989
1992
1995
1998
2001
2004
2007
2010
a radianes a radianes FFF
La estimación del PIB en euros constantes a partir del empleo aparece en la
figura siguiente:
0
100.000
200.000
300.000
400.000
500.000
600.000
700.000
800.000
1971
1974
1977
1980
1983
1986
1989
1992
1995
1998
2001
2004
2007
2010
Producto Interior Bruto (euros año 2000) Producto Interior Bruto (FFF)
Se considera ahora la relación ),( ttt zxFy = en donde tx y tz actúan como
variables explicativas. En este caso las relaciones geométricas a considerar
son las que aparecen en la figura adjunta:
Se parte ahora de la representación polar entre cada tx y tz . que vendrá dada
por un modulo 22ttt zxr +=
y un argumento
=
t
tt x
zArcTgα
. de forma que se
puede construir un nuevo plano entre el modulo tr la variable dependiente ty .
Dado que el modulo tr puede tener un valor diferente según se cambie el nivel
de la variable parece aconsejable normalizar dichas variables.
En consecuencia ahora tenemos dos variables tr e ty cuya representación
polar tendrá a su vez un módulo 22ttt yr +=ρ
y un argumento
=
t
tt r
yArcTgβ
.
Operando222tttt yzx ++=ρ
Las representación polar del sistema vendría dada a partir de:
)cos( tttr βρ= )( ttt seny βρ= e 22)( tttt zxtgy += β
(1)
Dado que ttt xtgz )(α= , entonces
( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ]2222)( tttttttttt tgtgtgxxtgxtgy αββαβ ⋅+=+=
por otro lado y dado que
=−
t
tt z
xArcTgαπ
2 . entonces
( )[ ] ( )2
2
2
−⋅+= ttttt tgtgtgzy απββ
considerando tanto la sucesión de ángulos tα y tβ como series de Fourier, se
puede afirmar que el conjunto de datos ( tx , ty , tz ), puede parametrizarse en
función de una de ellas cualesquiera, y t .
Supongamos que en nuestro conjunto de datos la dimensión tx , es exógena,
entonces:
( )[ ] ( ) ( )[ ]
⋅+==
=
22
)(
ttttt
ttt
tt
tgtgtgxy
xtgz
xx
αββα
(2)
Siendo
∑=
⋅+
⋅+
⋅+⋅+=2
1
212
21
2(sin
2cos
22n
tttot n
tc
n
tc
n
t
n
t πππαπααα
∑=
⋅+
⋅+
⋅+⋅+=2
1
2
21
2(sin
2cos
22n
tttot n
tc
n
tb
n
t
n
t πππβπβββ
La parametrización sobre la dimensión tz :
( )[ ] ( )
−⋅+=
−=
=
22
2
)2
(
ttttt
tt
tt
tgtgtgzy
xtgz
zz
απββ
απ
(3)
Por último, la parametrización sobre ty
( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )[ ] ( )
−⋅+
=
⋅+=
=
22
22
2 ttt
tt
ttt
tt
tt
tgtgtg
yz
tgtgtg
yx
yy
απββ
αββ
(4)
Ejemplo 21
En el ejemplo 18 planteamos una estimación de la función de producción de la
economía española utilizando los datos de empleo equivalente a tiempo
completo, el Producto Interior Bruto de la CNE, valorada está última en euros
constantes y el Stock neto de de capital de la Fundación del BBVA valorada en
miles de euros constantes base 2000, y sin considerar el valor de la vivienda
(ver Tabla nºV7).
La estimación de la función de producción se puede abordar restringiendo
alguna de las tres variables, esto es si se restringe el Empleo equivalente
estaríamos en un modelo de función de producción en el que esta magnitud
estaría limitando la producción nacional y lo consideraríamos exógeno a la
función de producción, si restringimos el stock de capital sería este otro factor
de producción el limitativo y por tanto sería exógeno, si restringimos el PIB
estaríamos ante un modelo en el que la demanda agregada limitaría el PIB y
este último establecería la cantidad de empleo y stock capital necesaria para
alcanzar el volumen anual de producción, en este caso el PIB sería la variable
exógena al modelo.
En primer lugar hay que aproximar las trayectorias temporales de los ángulos
tα y tβ .
Tabla nºV.11. Empleo equivalente a tiempo completo, Producto Interior Bruto
de la s y el Stock neto de de capital en logaritmos y su representación polar.
Producto
Interior
Bruto
Empleo
equivalentes
a tiempo
completo
Stock de
Capital r β radianes β FFF α radianes
1971 12,4885 9,4527 12,4027 15,5942 0,6753 0,6755 0,9196
1972 12,5668 9,4633 12,4765 15,6594 0,6763 0,6761 0,9219
1973 12,6418 9,4875 12,5579 15,7389 0,6767 0,6764 0,9238
1974 12,6965 9,4927 12,6377 15,8058 0,6767 0,6765 0,9266
1975 12,7019 9,4749 12,7019 15,8465 0,6757 0,6764 0,9299
1976 12,7344 9,4642 12,7565 15,8839 0,6758 0,6761 0,9325
1977 12,7624 9,4561 12,8048 15,9179 0,6758 0,6758 0,9347
1978 12,7769 9,4289 12,8470 15,9358 0,6758 0,6754 0,9377
1979 12,7774 9,4072 12,8822 15,9514 0,6754 0,6752 0,9401
1980 12,7903 9,3844 12,9155 15,9649 0,6754 0,6751 0,9424
1981 12,7885 9,3579 12,9430 15,9716 0,6752 0,6752 0,9448
1982 12,8040 9,3486 12,9707 15,9886 0,6752 0,6754 0,9463
1983 12,8260 9,3439 12,9958 16,0062 0,6755 0,6758 0,9474
1984 12,8406 9,3197 13,0135 16,0065 0,6761 0,6761 0,9493
1985 12,8664 9,3370 13,0371 16,0357 0,6762 0,6763 0,9493
1986 12,8979 9,3509 13,0704 16,0709 0,6763 0,6765 0,9498
1987 12,9527 9,3950 13,1149 16,1328 0,6765 0,6764 0,9492
1988 13,0031 9,4281 13,1688 16,1959 0,6765 0,6761 0,9494
1989 13,0493 9,4619 13,2345 16,2689 0,6760 0,6757 0,9501
1990 13,0861 9,4972 13,3004 16,3431 0,6752 0,6751 0,9507
1991 13,1085 9,5067 13,3627 16,3994 0,6743 0,6745 0,9524
1992 13,1153 9,4911 13,4134 16,4317 0,6736 0,6739 0,9550
1993 13,1036 9,4612 13,4473 16,4421 0,6729 0,6733 0,9577
1994 13,1259 9,4562 13,4812 16,4670 0,6730 0,6729 0,9591
1995 13,1527 9,4742 13,5202 16,5093 0,6727 0,6726 0,9596
1996 13,1766 9,4882 13,5541 16,5451 0,6725 0,6724 0,9601
1997 13,2145 9,5228 13,5913 16,5954 0,6725 0,6723 0,9596
1998 13,2583 9,5651 13,6359 16,6562 0,6723 0,6722 0,9591
1999 13,3046 9,6105 13,6859 16,7232 0,6720 0,6720 0,9586
2000 13,3539 9,6595 13,7355 16,7919 0,6718 0,6718 0,9579
2001 13,3897 9,6913 13,7832 16,8492 0,6715 0,6716 0,9580
2002 13,4164 9,7141 13,8270 16,8982 0,6710 0,6712 0,9584
2003 13,4469 9,7379 13,8704 16,9474 0,6707 0,6708 0,9587
2004 13,4790 9,7645 13,9141 16,9985 0,6704 0,6704 0,9589
2005 13,5146 9,7965 13,9616 17,0557 0,6701 0,6700 0,9590
2006 13,5540 9,8290 14,0126 17,1162 0,6698 0,6696 0,9591
2007 13,5891 9,8569 14,0656 17,1756 0,6693 0,6692 0,9595
2008 13,5976 9,8516 14,1113 17,2099 0,6687 0,6687 0,9613
2009 13,5597 9,7832 14,1376 17,1925 0,6678 0,6681 0,9655
2010 13,5565 9,7574 14,1613 17,1974 0,6676 0,6674 0,9675
Las aproximaciones FFF se han realizado con las siguientes funciones:
⋅+
⋅−
⋅−
⋅+
+
⋅+
⋅−
⋅+
⋅−
⋅+⋅+=
n
t
n
t
n
t
n
t
n
t
n
t
n
t
n
t
n
t
n
tt
ππππ
ππππππα
10sin0002,0
8cos0005,0
6sin0002,0
6cos0003,0
4sin0005,0
4cos0017,0
2sin0014,0
2cos0051.0
20021.0
20009,09321,0
2
⋅+
⋅+
⋅+
⋅−
⋅−⋅+=n
t
n
t
n
t
n
t
n
t
n
tt
ππππππβ 6sin0003,0
4cos0004,0
2sin0002,0
2cos0009.0
20015.0
20038,06720,0
2
Los resultados gráficos de las aproximaciones se recogen en las figuras
siguientes:
Serie tα radianes y estimación FFF
0,8900
0,9000
0,9100
0,9200
0,9300
0,9400
0,9500
0,9600
0,9700
0,9800
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40
a radianes
a FFF
Serie tβ radianes y estimación FFF
0,6600
0,6620
0,6640
0,6660
0,6680
0,6700
0,6720
0,6740
0,6760
0,6780
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40
b radianes
b FFF
La obtención del modelo que restringe el empleo a tiempo parcial ( tx ) se
calcula en la Tabla nºV.12 utilizando el sistema de ecuaciones (2), los
resultados gráficos se representan seguido a la tabla.
Tabla nºV.12. Parametrización del modelo que restringe el empleo a tiempo
completo.
β FFF α FFF
Empleo a
tiempo
completo (x)
Estimación de
Stock de
Capital
Estimación del
Producto
Interior Bruto
1971 0,6755 0,9196 9,4527 12,4031 12,4941
1972 0,6761 0,9216 9,4633 12,4702 12,5573
1973 0,6764 0,9241 9,4875 12,5662 12,6396
1974 0,6765 0,9268 9,4927 12,6433 12,6941
1975 0,6764 0,9295 9,4749 12,6923 12,7139
1976 0,6761 0,9323 9,4642 12,7513 12,7396
1977 0,6758 0,9350 9,4561 12,8129 12,7665
1978 0,6754 0,9376 9,4289 12,8464 12,7666
1979 0,6752 0,9401 9,4072 12,8838 12,7745
1980 0,6751 0,9424 9,3844 12,9151 12,7818
1981 0,6752 0,9445 9,3579 12,9356 12,7848
1982 0,6754 0,9464 9,3486 12,9729 12,8107
1983 0,6758 0,9479 9,3439 13,0072 12,8391
1984 0,6761 0,9489 9,3197 13,0023 12,8333
1985 0,6763 0,9495 9,3370 13,0418 12,8740
1986 0,6765 0,9496 9,3509 13,0644 12,8984
1987 0,6764 0,9494 9,3950 13,1226 12,9552
1988 0,6761 0,9494 9,4281 13,1676 12,9929
1989 0,6757 0,9498 9,4619 13,2259 13,0347
1990 0,6751 0,9509 9,4972 13,3060 13,0880
1991 0,6745 0,9527 9,5067 13,3703 13,1174
1992 0,6739 0,9550 9,4911 13,4124 13,1211
1993 0,6733 0,9572 9,4612 13,4348 13,1076
1994 0,6729 0,9590 9,4562 13,4789 13,1227
1995 0,6726 0,9600 9,4742 13,5327 13,1580
1996 0,6724 0,9601 9,4882 13,5561 13,1744
1997 0,6723 0,9596 9,5228 13,5910 13,2096
1998 0,6722 0,9589 9,5651 13,6301 13,2515
1999 0,6720 0,9583 9,6105 13,6779 13,2997
2000 0,6718 0,9581 9,6595 13,7410 13,3577
2001 0,6716 0,9582 9,6913 13,7893 13,3961
2002 0,6712 0,9584 9,7141 13,8292 13,4230
2003 0,6708 0,9586 9,7379 13,8691 13,4490
2004 0,6704 0,9587 9,7645 13,9089 13,4755
2005 0,6700 0,9588 9,7965 13,9560 13,5091
2006 0,6696 0,9591 9,8290 14,0118 13,5487
2007 0,6692 0,9600 9,8569 14,0788 13,5931
2008 0,6687 0,9617 9,8516 14,1238 13,6067
2009 0,6681 0,9644 9,7832 14,1061 13,5484
2010 0,6674 0,9679 9,7574 14,1749 13,5609
Parametrización del stock capital en el modelo que restringe el empleo.
11,5
12,0
12,5
13,0
13,5
14,0
14,5
1971
1974
1977
1980
1983
1986
1989
1992
1995
1998
2001
2004
2007
2010
Stock de Capital (z) Estimación de Stock de Capital
Parametrización del Producto Interior Bruto en el modelo que restringe el
empleo.
12,012,212,412,612,813,013,213,413,613,814,0
1971
1974
1977
1980
1983
1986
1989
1992
1995
1998
2001
2004
2007
2010
Producto Interior Bruto (y). Estimación del Producto Interior Bruto
La obtención del modelo que restringe del stock de capital neto ( tz ) se calcula
en la Tabla nºV.13 utilizando el sistema de ecuaciones (3), los resultados
gráficos se incluyen a continuación.
Tabla nºV.13. Parametrización del modelo que restringe el stock de capital
β FFF αFFF
Stock
de
Capital
(z)
Estimación
del Empleo
equivalente
a tiempo
completo
Estimación
del
Producto
Interior
Bruto
1971 0,6755 0,9196 12,4027 9,4524 12,4936
1972 0,6761 0,9216 12,4765 9,4681 12,5637
1973 0,6764 0,9241 12,5579 9,4812 12,6312
1974 0,6765 0,9268 12,6377 9,4885 12,6885
1975 0,6764 0,9295 12,7019 9,4820 12,7235
1976 0,6761 0,9323 12,7565 9,4680 12,7448
1977 0,6758 0,9350 12,8048 9,4501 12,7583
1978 0,6754 0,9376 12,8470 9,4294 12,7672
1979 0,6752 0,9401 12,8822 9,4061 12,7730
1980 0,6751 0,9424 12,9155 9,3847 12,7822
1981 0,6752 0,9445 12,9430 9,3632 12,7921
1982 0,6754 0,9464 12,9707 9,3470 12,8085
1983 0,6758 0,9479 12,9958 9,3357 12,8279
1984 0,6761 0,9489 13,0135 9,3277 12,8443
1985 0,6763 0,9495 13,0371 9,3336 12,8694
1986 0,6765 0,9496 13,0704 9,3552 12,9044
1987 0,6764 0,9494 13,1149 9,3896 12,9477
1988 0,6761 0,9494 13,1688 9,4290 12,9941
1989 0,6757 0,9498 13,2345 9,4680 13,0432
1990 0,6751 0,9509 13,3004 9,4932 13,0825
1991 0,6745 0,9527 13,3627 9,5013 13,1100
1992 0,6739 0,9550 13,4134 9,4918 13,1221
1993 0,6733 0,9572 13,4473 9,4700 13,1197
1994 0,6729 0,9590 13,4812 9,4578 13,1249
1995 0,6726 0,9600 13,5202 9,4654 13,1458
1996 0,6724 0,9601 13,5541 9,4868 13,1725
1997 0,6723 0,9596 13,5913 9,5231 13,2099
1998 0,6722 0,9589 13,6359 9,5691 13,2571
1999 0,6720 0,9583 13,6859 9,6161 13,3074
2000 0,6718 0,9581 13,7355 9,6556 13,3523
2001 0,6716 0,9582 13,7832 9,6869 13,3901
2002 0,6712 0,9584 13,8270 9,7125 13,4208
2003 0,6708 0,9586 13,8704 9,7389 13,4502
2004 0,6704 0,9587 13,9141 9,7682 13,4805
2005 0,6700 0,9588 13,9616 9,8004 13,5146
2006 0,6696 0,9591 14,0126 9,8296 13,5495
2007 0,6692 0,9600 14,0656 9,8476 13,5803
2008 0,6687 0,9617 14,1113 9,8428 13,5946
2009 0,6681 0,9644 14,1376 9,8050 13,5787
2010 0,6674 0,9679 14,1613 9,7480 13,5479
Parametrización del empleo equivalente a tiempo completo en el modelo que
restringe el stock de capital
9,09,19,29,39,49,59,69,79,89,9
10,0
1971
1974
1977
1980
1983
1986
1989
1992
1995
1998
2001
2004
2007
2010
Empleo a tiempo completo (x)
Estimación del Empleo equivalente a tiempo completo
Parametrización del Producto Interior Bruto en el modelo que restringe el stock
de capital
12,0
12,2
12,4
12,6
12,8
13,0
13,2
13,4
13,6
13,8
1971
1974
1977
1980
1983
1986
1989
1992
1995
1998
2001
2004
2007
2010
Producto Interior Bruto (y). Estimación del Producto Interior Bruto
La obtención del modelo que restringe del Producto Interior Bruto ( ty ) se
calcula en la Tabla nºV.14 utilizando el sistema de ecuaciones (4), y se
representan en las figuras que le preceden.
Tabla nºV.14. Parametrización del modelo que restringe el Producto Interior
Bruto
β FFF α FFF
Producto
Interior
Bruto (y).
Estimación
del Empleo
equivalente
a tiempo
completo
Estimación
de Stock de
Capital
1971 0,6755 0,9196 12,4885 9,4485 12,3976
1972 0,6761 0,9216 12,5668 9,4705 12,4796
1973 0,6764 0,9241 12,6418 9,4892 12,5685
1974 0,6765 0,9268 12,6965 9,4945 12,6457
1975 0,6764 0,9295 12,7019 9,4659 12,6803
1976 0,6761 0,9323 12,7344 9,4603 12,7461
1977 0,6758 0,9350 12,7624 9,4531 12,8088
1978 0,6754 0,9376 12,7769 9,4366 12,8568
1979 0,6752 0,9401 12,7774 9,4094 12,8867
1980 0,6751 0,9424 12,7903 9,3906 12,9236
1981 0,6752 0,9445 12,7885 9,3606 12,9393
1982 0,6754 0,9464 12,8040 9,3438 12,9662
1983 0,6758 0,9479 12,8260 9,3344 12,9939
1984 0,6761 0,9489 12,8406 9,3250 13,0097
1985 0,6763 0,9495 12,8664 9,3315 13,0340
1986 0,6765 0,9496 12,8979 9,3505 13,0638
1987 0,6764 0,9494 12,9527 9,3932 13,1201
1988 0,6761 0,9494 13,0031 9,4355 13,1779
1989 0,6757 0,9498 13,0493 9,4725 13,2407
1990 0,6751 0,9509 13,0861 9,4958 13,3040
1991 0,6745 0,9527 13,1085 9,5003 13,3612
1992 0,6739 0,9550 13,1153 9,4869 13,4065
1993 0,6733 0,9572 13,1036 9,4584 13,4308
1994 0,6729 0,9590 13,1259 9,4586 13,4822
1995 0,6726 0,9600 13,1527 9,4704 13,5273
1996 0,6724 0,9601 13,1766 9,4897 13,5583
1997 0,6723 0,9596 13,2145 9,5264 13,5961
1998 0,6722 0,9589 13,2583 9,5700 13,6371
1999 0,6720 0,9583 13,3046 9,6141 13,6830
2000 0,6718 0,9581 13,3539 9,6567 13,7371
2001 0,6716 0,9582 13,3897 9,6866 13,7828
2002 0,6712 0,9584 13,4164 9,7093 13,8224
2003 0,6708 0,9586 13,4469 9,7364 13,8670
2004 0,6704 0,9587 13,4790 9,7671 13,9126
2005 0,6700 0,9588 13,5146 9,8004 13,9616
2006 0,6696 0,9591 13,5540 9,8328 14,0172
2007 0,6692 0,9600 13,5891 9,8540 14,0747
2008 0,6687 0,9617 13,5976 9,8450 14,1144
2009 0,6681 0,9644 13,5597 9,7913 14,1178
2010 0,6674 0,9679 13,5565 9,7542 14,1703
Parametrización del empleo equivalente a tiempo completo en el modelo que
restringe el Producto Interior Bruto
9,00009,10009,20009,30009,40009,50009,60009,70009,80009,9000
10,0000
1971
1974
1977
1980
1983
1986
1989
1992
1995
1998
2001
2004
2007
2010
Empleo a tiempo completo (x)
Estimación del Empleo equivalente a tiempo completo
Parametrización del stock de capital en el modelo que restringe el Producto
Interior Bruto
11,5000
12,0000
12,5000
13,0000
13,5000
14,0000
14,5000
1971
1974
1977
1980
1983
1986
1989
1992
1995
1998
2001
2004
2007
2010
Stock de Capital (z) Estimación de Stock de Capital
Ejemplo 22
A través de la aproximación FFF de tβ radianes puede estimarse directamente
el Producto Interior Bruto ( ty ) a partir de (1). Los cálculos necesarios se
recogen en la Tabla nºV.15.
Tabla nºV.15. Estimación del Producto Interior Bruto a través de la
aproximación FFF de tβ radianes
Producto Interior Bruto (Ctes).
Empleo a tiempo completo
Stock de Capital β FFF r r*tgβ
FFF Multivariada
1971 12,4885 9,4527 12,4027 0,6755 15,5942 12,4938 12,4900
1972 12,5668 9,4633 12,4765 0,6761 15,6594 12,5614 12,5631
1973 12,6418 9,4875 12,5579 0,6764 15,7389 12,6342 12,6454
1974 12,6965 9,4927 12,6377 0,6765 15,8058 12,6905 12,6916
1975 12,7019 9,4749 12,7019 0,6764 15,8465 12,7201 12,7084
1976 12,7344 9,4642 12,7565 0,6761 15,8839 12,7430 12,7342
1977 12,7624 9,4561 12,8048 0,6758 15,9179 12,7612 12,7628
1978 12,7769 9,4289 12,8470 0,6754 15,9358 12,7670 12,7703
1979 12,7774 9,4072 12,8822 0,6752 15,9514 12,7735 12,7793
1980 12,7903 9,3844 12,9155 0,6751 15,9649 12,7821 12,7872
1981 12,7885 9,3579 12,9430 0,6752 15,9716 12,7896 12,7895
1982 12,8040 9,3486 12,9707 0,6754 15,9886 12,8092 12,8097
1983 12,8260 9,3439 12,9958 0,6758 16,0062 12,8317 12,8307
1984 12,8406 9,3197 13,0135 0,6761 16,0065 12,8406 12,8349
1985 12,8664 9,3370 13,0371 0,6763 16,0357 12,8709 12,8647
1986 12,8979 9,3509 13,0704 0,6765 16,0709 12,9023 12,8987
1987 12,9527 9,3950 13,1149 0,6764 16,1328 12,9502 12,9535
1988 13,0031 9,4281 13,1688 0,6761 16,1959 12,9937 13,0018
1989 13,0493 9,4619 13,2345 0,6757 16,2689 13,0403 13,0476
1990 13,0861 9,4972 13,3004 0,6751 16,3431 13,0844 13,0884
1991 13,1085 9,5067 13,3627 0,6745 16,3994 13,1125 13,1090
1992 13,1153 9,4911 13,4134 0,6739 16,4317 13,1218 13,1132
1993 13,1036 9,4612 13,4473 0,6733 16,4421 13,1157 13,1087
1994 13,1259 9,4562 13,4812 0,6729 16,4670 13,1242 13,1212
1995 13,1527 9,4742 13,5202 0,6726 16,5093 13,1498 13,1514
1996 13,1766 9,4882 13,5541 0,6724 16,5451 13,1731 13,1789
1997 13,2145 9,5228 13,5913 0,6723 16,5954 13,2098 13,2159
1998 13,2583 9,5651 13,6359 0,6722 16,6562 13,2553 13,2578
1999 13,3046 9,6105 13,6859 0,6720 16,7232 13,3049 13,3041
2000 13,3539 9,6595 13,7355 0,6718 16,7919 13,3541 13,3510
2001 13,3897 9,6913 13,7832 0,6716 16,8492 13,3921 13,3889
2002 13,4164 9,7141 13,8270 0,6712 16,8982 13,4216 13,4201
2003 13,4469 9,7379 13,8704 0,6708 16,9474 13,4498 13,4494
2004 13,4790 9,7645 13,9141 0,6704 16,9985 13,4789 13,4782
2005 13,5146 9,7965 13,9616 0,6700 17,0557 13,5128 13,5117
2006 13,5540 9,8290 14,0126 0,6696 17,1162 13,5492 13,5522
2007 13,5891 9,8569 14,0656 0,6692 17,1756 13,5845 13,5937
2008 13,5976 9,8516 14,1113 0,6687 17,2099 13,5986 13,5950
2009 13,5597 9,7832 14,1376 0,6681 17,1925 13,5688 13,5594
2010 13,5565 9,7574 14,1613 0,6674 17,1974 13,5521 13,5571
En la última columna de la tabla se ha realizado una aproximación a una FFF
con dos variables (Gallant, 1981,1982) con el procedimiento descrito en el
ejemplo 11. Este tipo de aproximación tienen el inconveniente que necesitan
muchas variable explicativas.
Los resultados gráficos de ambas expansiones se representan junto a la serie
original en las figuras siguientes, en la primera se recogen los niveles de las
series y en la segunda las diferencia en las series, que al venir expresadas en
logaritmos adquieren el significado de tasa de crecimiento anuales.
Aproximación al Producto Interior Bruto, utilizando una función parametrizada y
la FFF multivariada.
12,000012,200012,400012,600012,800013,000013,200013,400013,600013,8000
1971
1974
1977
1980
1983
1986
1989
1992
1995
1998
2001
2004
2007
2010
Producto Interior Bruto. r*tg(b) FFF Multivariada
Diferencias logarítmicas del Producto Interior Bruto, utilizando una función
parametrizada y FFF multivariada.
-0,06
-0,04
-0,02
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
1972
1975
1978
1981
1984
1987
1990
1993
1996
1999
2002
2005
2008
Producto Interior Bruto. r*tg(b) FFF Multivariada
Los resultados son muy similares, si bien el error cuadrático medio de la
aproximación FFF Multivariada es menor (0,003845 frente a 0,0014638).
TEMA VI.- REGRESION ARMONICA.
Introducción
La aplicación de la forma de Fourier a los modelos de series temporales ha
dado lugar a los modelos de regresión armónica.
Una regresión armónica dinámica es una particularización del conjunto de
modelos de componentes no observables que adopta la siguiente forma:
( ) ( )0
( ) cos sin ; 1,2,...,R
i i i i ti
x t a t b t t Nϖ ϖ ν=
= + + = ∑ (1)
donde tv es un residuo con la forma de un proceso estacionario; que puede ser
representado por un modelo ARMA; ia ; ib y iω son parámetros desconocidos.
El número de armónicos R se puede considerarse conocido o desconocido;
existiendo diferentes procedimientos para determinar el número de armónicos a
considerar en el método de estimación. Una vez se establece el número de
armónicos y se determinan las frecuencias iω ; se realiza una regresión para
obtener una estimación de los parámetros ia y ib . A partir de esta regresión se
obtiene el residuo vt; y se procede a identificar y estimar un modelo ARMA para
tv .
El problema esta entonces en determinar el número de armónicos R y las
frecuencias iω . Existiendo para ello cinco procedimientos25:
25 Para mayor detalle consultar Artis M., Clavel J.G., Hoffmann M. y Nachane D. (2007) “Harmonic Regression
Models: A Comparative Review with Applications”. Institute for Empirical Research in Economics”. University of Zurich.
Working Paper Series .September 2007 SSRN-Harmonic Regression Models: A Comparative Review with Applications
by Michael Artis, José Clavel, Mathias Hoffmann, DILIP NACHANE
1- Los métodos basados en el periodograma o la transformada discreta de
fourier (TDF) (Wittle (1952); Walter (1973); Hannan (1973); Campbell y
Walter (1977)).
2- Los métodos del espectro mixto (Priestley (1964;1981) y Bhansali
(1979)).
3- Los métodos autoregresivos (Marple; (1987); Troung Van’s (1990)).
4- Métodos de autovalores (Pisarenko (1973) y Kay Marple (1981)).
5- Métodos de regresión dinámica (Young; Pedregal y Tych; 1999).
Métodos basados en el periodograma.
Los métodos basados en el periodograma; proporcionan estimaciones de las
frecuencias iω cuando se asume que tv es un error gausiano.
En cuyo caso el modelo de regresión armónica anteriormente descrito se
asemeja al obtenido partir de la aproximación univariada en la forma de
Gallant (81;82); para el caso particular en donde x=t.
( ) ( ) ( )tjt
J
jjttt jsvjucbag ωωωωθω sincos2
2
1/
1
2 −+++= ∑=
(2)
Donde 1
2
−⋅=
T
tt
πω ; el vector de parámetros es ( )JJ vuvucba ,,...,,,, 11=θ de
longitud JK 23+= ; siendo nJ ≈ .
Ejemplo 23
Utilizando datos de los puestos de trabajo de la Contabilidad Nacional
Trimestral de España (Tabla nºVI.1); se pretende estimar un modelo de
regresión armónica; utilizando los procedimientos descritos en el apartado
anterior.
Tabla nºVI.1.- Puestos de trabajo equivalentes a tiempo completo. España
1995TI 12.974 2001TIII 16.290 1995TII 13.027 2001TIV 16.333 1995TIII 13.043 2002TI 16.354 1995TIV 13.036 2002TII 16.530 1996TI 13.021 2002TIII 16.702 1996TII 13.123 2002TIV 16.608 1996TIII 13.310 2003TI 16.763 1996TIV 13.358 2003TII 16.871 1997TI 13.458 2003TIII 17.108 1997TII 13.630 2003TIV 17.053 1997TIII 13.756 2004TI 17.230 1997TIV 13.828 2004TII 17.291 1998TI 13.974 2004TIII 17.574 1998TII 14.186 2004TIV 17.524 1998TIII 14.391 2005TI 17.646 1998TIV 14.481 2005TII 17.874 1999TI 14.655 2005TIII 18.225 1999TII 14.869 2005TIV 18.136 1999TIII 15.026 2006TI 18.280 1999TIV 15.132 2006TII 18.493 2000TI 15.360 2006TIII 18.702 2000TII 15.592 2006TIV 18.692 2000TIII 15.867 2007TI 18.887 2000TIV 15.859 2007TII 19.080 2001TI 15.972 2007TIII 19.253 2001TII 16.106 2007TIV 19.148
Fuente: . Contabilidad Nacional Trimestral Base 2000. INE.
En primer lugar obtenemos una tendencia cuadrática; y definimos la serie de
ciclo empírico como diferencia entre el empleo y la tendencia cuadrática
calculada.
y = -0,0943x2 + 135,07x + 12463
120001300014000150001600017000180001900020000
1
995T
I
1
995T
IV
1
996T
III
1
997T
II
1
998T
I
1
998T
IV
1
999T
III
2
000T
II
2
001T
I
2
001T
IV
2
002T
III
2
003T
II
2
004T
I
2
004T
IV
2
005T
III
2
006T
II
2
007T
I
2
007T
IV
empleo Polinómica (empleo)
A continuación obtenemos el periodograma o espectro de Fourier de la serie
del ciclo empírico de los puestos de trabajo de la CNE; en la que observamos
como dominantes los armónicos de frecuencia 2 y 13; que corresponden con
los ciclos de 6;5 años y de 4 meses.
Tabla nºVI.2. Peridograma de los Puestos de trabajo equivalentes a tiempo
completo. España.
Frecuencia Periodo ( ) ( )
π4
22pp
p
baTwI
+=
pa pb
1 52 97.124 -44;8839 -19;0674 2 26 1.271.162 172;5818 -36;6115 3 17;3 43.935 11;68 30;6486 4 13 30.814 22;5298 15;7129 5 10;4 55.447 5;4648 36;4387 6 8;7 18.406 8;9678 19;2418 7 7;4 27.946 11;529 23;4809 8 6;5 33.012 -24;6934 14;0904 9 5;8 11.135 -11;3012 12;0382
10 5;2 25.418 -17;3912 17;8862 11 4;7 3.233 -7;0126 5;475 12 4;3 3.762 2;041 9;3782
13 4 145.365 -33;2122 -49;5608 14 3;7 29.981 -25;2479 9;8311 15 3;5 17.997 -14;8858 14;8012 16 3;3 28.661 -15;3284 21;6059 17 3;1 3.673 -3;4292 8;8415 18 2;9 8.698 -14;5876 -0;4207 19 2;7 14.945 -18;6105 4;4264 20 2;6 8.364 -13;3873 -5;0579 21 2;5 8.104 -11;8068 7;6833 22 2;4 5.931 -10;1339 -6;5204 23 2;3 9.875 -14;3231 6;0527 24 2;2 905 -4;4452 -1;5507 25 2;1 18.164 -8;548 -19;279 26 2 27.241 -25;8263 0
Utilizamos entonces; una especificación para la aproximación FFF de la
siguiente forma:
( ) )sin()cos()sin()cos(/ 1313131323222 twvtwutwvtwuctbtatx ++++++=θ
La estimación mínimo cuadrática de dicha función ofrece los siguientes
resultados:
Tabla nºVI.3. Coeficientes de la aproximación FFF de los Puestos de trabajo
equivalentes a tiempo completo
COEFICIENTES COEFICIENTE VARIANZA
SENO (13t) -44;2734 16;3836
COS (13t) 27;4862 16;6780
SENO (2t) -27;9863 17;9325
COS(2t) 189;2846 17;1038
t2 -0;2613 0;0605
t 142;5817 3;3144
Constante 12416;8330 38;3522
La aproximación realizada aparece en la figura siguiente:
10000
11000
12000
13000
14000
15000
16000
17000
18000
19000
20000
1
995T
I
1
996T
I
1
997T
I
1
998T
I
1
999T
I
2
000T
I
2
001T
I
2
002T
I
2
003T
I
2
004T
I
2
005T
I
2
006T
I
2
007T
I
Aproximación FFF
empleo
Método del espectro mixto
El método espectro mixto parte de que el espectro F(ω) puede descomponerse
como:
F(ω)= F1(ω)+ F2(ω)
donde F1(ω) es un espectro discreto (correspondiente a la suma
trigonométrica) y F2(ω) es un espectro continuo correspondiente a proceso
ARMA vt.
El modelo (1) se reformula como:
( )1
( ) sinR
i i i ti
x t d tλ φ ν=
= + +∑
donde di; λi y R son parámetros desconocidos; y Φi; es independiente y
regularmente distribuido en (-π; π) y vt; es un proceso lineal estacionario con
espectro continuo.
Se prueba la hipótesis nula:H0: Di=0 ; i=1;2;…;R contra la alternativa H1: Di≠0 ;
para algún 1≤i≤R. El no rechazar la hipótesis significa que x(t) es un preceso
ARMA estacionario con un espectro continuo.
Para testear H0 Priestley (1981) propuso el test P(λ):
ˆ ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )n mP f fλ λ λ= −
donde ˆnf y
ˆmf sin dos “window” del espectro estimado de x(t); obtenidas
truncando la serie por los puntos m y n; donde n>2m; y λ las frecuencias de
fourier 2
; 0,1,...., 2j
jj N
N
πλ = = .
Si di no es cero; P(λ) puede tener varios “picos” bien definidos; es decir ω1<
ω2<..<ωR. La significancia estadística de estos picos puede testearse; según
van ocurriendo; usando el estadístico llamado qJ% (Priestley; 1981).
Método de la regresión armónica dinámica
El método de la regresión armónica dinámica considera que
( ) ( )0
cos sinR
t it i it i ti
z a t b tϖ ϖ ν=
= + + ∑ (2)
donde zt representa la serie temporal escalar y vt es ruido blanco de la misma
forma que en (1); ωi ; i=1;2;…;R hace referencia al conjunto de la frecuencia
fundamental y sus harmónicos que contiene la serie temporal; por último ait y bit
son los parámetros variantes en el tiempo (TVP) estocásticos; cuya naturaleza
estocástica sigue un paseo aleatorio generalizado; tal que:
+
=
+
+
it
it
it
it
it
it
w
w
x
x
x
x**
1
1
0 γβα
(3)
donde xit representa cualquiera de los TVP’s en (2); x*it es un estado adicional
en el modelo sin una clara interpretación; en general; α ; β y γ son parámetros
adicionales; w it y w*it son ruidos Gaussianos. Este modelo general abarca
casos particulares tanto como otros generalmente usados en la literatura como
el IRW (Integrated Random Walk; α = β = γ= 1 ; wit=0); el RW (Random
Walk: α = β = γ= 1 ; w*it=0); el LLT (Local Linear Trend: α = β = γ= 1) y el DT
(Damped Trend: β = γ= 1).
El modelo (2) puede ser escrito explícitamente en términos de componentes no
observables; tal que:
t t t tz T S v= + +
donde Tt; St y vt pueden ser interpretados como un término de tendencia
estocástica; un componente estacional estocástico y un componente irregular;
respectivamente.
De forma que el sistema puede ser descrito en forma de un espacio de estados
estándar en donde (2) sería la ecuación de observación y (3) la ecuación de
estado.
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