Curso de Econometria Avanzado
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rhjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyu iopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnm qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklz xcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmrtyuiopasdfgh jklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuio pasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjk lzxcvbnmrtyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdf ghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyu iopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnm qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklz xcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopas dfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwert yuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbn ECONOMETRÍA CON SERIES DE FOURIER Francisco Parra Rodríguez Doctor en Ciencias Económicas. UNED
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ECONOMETRÍA CON SERIES DE FOURIER
Francisco Parra Rodríguez
Doctor en Ciencias Económicas. UNED
Contenido
TEMA I.- ANALISIS ESPECTRAL...................................................................... 4
Series temporales estacionarias..................................................................... 4
Análisis espectral............................................................................................ 8
TEMA II.- ESTIMACIÓN DEL PERIODOGRAMA DE UNAS SERIE ARMONICA
......................................................................................................................... 10
Series de Fourier .......................................................................................... 10
Coeficientes de Fourier................................................................................. 10
Ortogonalidad ............................................................................................... 11
Cálculo de los coeficientes Fourier ............................................................... 13
Forma compleja de la serie de Fourier ......................................................... 14
Transformada de Fourier. ............................................................................. 15
Cálculo del periodograma............................................................................. 16
Teorema de Paserval ................................................................................... 17
Test sobre el periodograma.......................................................................... 18
Calculo del periodograma a través de la Transformada Discreta de Fourier 26
Efecto Gibbs ................................................................................................. 37
TEMA III.- ANALISIS ARMONICO DE PROCESOS BIVARIANTES................ 42
Proceso bivariante ........................................................................................ 42
Análisis armónico de un proceso bivariante.................................................. 43
Multiplicación se series armónicas. .............................................................. 52
Regresión “band spectrum”. ......................................................................... 65
TEMA IV.- FILTROS LINEALES...................................................................... 73
Operadores de series de tiempo................................................................... 73
Filtros lineales............................................................................................... 74
Tipos de filtros .............................................................................................. 76
El filtro como producto de convolución ......................................................... 84
TEMA V.- APROXIMACIÓN DE UNA FUNCION UTILIZANDO EL ANALISIS
ARMÓNICO...................................................................................................... 90
Flexibilidad.................................................................................................... 90
Flexibilidad local ........................................................................................... 92
Forma Flexible de Fourier (FFF)................................................................... 94
La aproximación FFF multivariada.............................................................. 105
Aproximación FFF utilizando funciones paramétricas. ............................... 109
TEMA VI.- REGRESION ARMONICA. ........................................................... 150
Introducción ................................................................................................ 150
Métodos basados en el periodograma........................................................ 151
Método del espectro mixto.......................................................................... 155
Método de la regresión armónica dinámica ................................................ 156
BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................. 159
TEMA I.- ANALISIS ESPECTRAL
Series temporales estacionarias.
Sea )(tx un conjunto de observaciones de una variable aleatoria x ; en distintos
momentos del tiempo. Consideramos )(tx como una realización de un proceso
estocástico ergódico; debido a que solo disponemos de una realización del
proceso estocástico que ha generado la serie de datos; ante la imposibilidad de
observar distintas realizaciones de )(tx a lo largo de un periodo de tiempo.
Un proceso estocástico es estacionario en sentido estricto; cuando para todo
0>n la función de distribución conjunta de:
kxxxFxxxF kntktktnttt ∀= +++++++++ );,...,,(),...,,( 2121 .
Es decir; la función de distribución conjunta es independiente de t; invariante
ante traslaciones de tiempo.
En un sentido amplio; para que un proceso sea estacionario es suficiente que
su esperanza y su función de autocovarianza sea independiente de t.
Es decir;
kxExE ktt ∀= + );()( .
Si un proceso es estacionario en media; entonces ∑=
=n
iix
n 1
1µ es un estimador
insesgado y consistente de )( txE .
Si un proceso es estacionario en covarianza; se cumple la siguiente igualdad
[ ]{ } [ ]{ }( ) )()()()()(),( τγτττγ =+−+⋅−= txEtxtxEtxEt ; lo que significa que la
función de autocovarianza no depende de t; )()( τγτγ −= ; y el estimador de
)(τγ viene dado por ∑−
=+ −−=
kn
tktt xx
nKC
1
)ˆ)(ˆ(1
)( µµ . La varianza; )0(γ ; se
estimaría a partir de ∑=
−−=n
ttt xx
nC
1
)ˆ)(ˆ(1
)0( µµ .
Ejemplo 1
Generamos una serie aleatoria de 100 datos; con media 0 y desviación típica 1;
que representamos en la figura siguiente:
Tabla nº1 100 datos generados aleatoriamente
t x(t) t x(t) t x(t) t x(t)
1 -0;30023216 26 -0;5132074 51 -2;57758074 76 1;11118879
2 -1;27768317 27 1;97221198 52 1;44767 77 -1;20117875
3 0;24425731 28 0;86567297 53 -1;27976364 78 -1;55889211
4 1;27647354 29 2;37565473 54 -0;65357995 79 0;7113249
5 1;19835022 30 -0;65490667 55 0;75771368 80 0;63840616
6 1;7331331 31 1;66145583 56 0;46671175 81 2;20568836
7 -2;18358764 32 -1;61239768 57 0;87460876 82 1;44375463
8 -0;23418124 33 0;53894837 58 0;59574177 83 1;3039039
9 1;09502253 34 0;90219146 59 -1;37184998 84 0;11296038
10 -1;08670065 35 1;91891559 60 -1;11573854 85 0;00195087
11 -0;69020416 36 -0;08451707 61 0;69399448 86 0;45370143
12 -1;69043233 37 -0;52379505 62 0;32263642 87 -0;02551474
13 -1;84691089 38 0;67513838 63 -0;93983772 88 -1;05467507
14 -0;9776295 39 -0;38132384 64 -0;24094788 89 -1;77480615
15 -0;77350705 40 0;75761136 65 0;13153567 90 0;82833139
t x(t) t x(t) t x(t) t x(t)
16 -2;11793122 41 -1;44418664 66 0;55779765 91 0;4442245
17 -0;56792487 42 -0;84723752 67 0;138715 92 0;61790615
18 -0;40404757 43 -1;52157099 68 -0;91096126 93 0;21347319
19 0;13485305 44 -0;36287702 69 1;88484591 94 -1;02693093
20 -0;36549295 45 -0;03247919 70 0;48719812 95 1;23819518
21 -0;32699063 46 0;02811703 71 0;07223889 96 -0;31121317
22 -0;37024051 47 -0;32271601 72 0;82984116 97 -0;83992177
23 1;34264155 48 2;19450158 73 0;86200771 98 -0;8211282
24 -0;08528446 49 -1;74248271 74 -0;63653147 99 -0;42899273
25 -0;18615765 50 -0;73647698 75 -0;92319169 100 -0;45336151
Se comprueba que se trata de una serie estacionaria en media; ya que
cualquier promedio que calculemos con dichos datos dará un resultado cercano
a cero:
promedio t=1 a t=25 -0;338416294
promedio t=30 a t=50 -0;075718466
promedio t=40 a t=80 -0;118431073
promedio t=50 a t=100 0;011082193
Dado que la media es cero; el estimador de la función de autocovarianza será
∑−
=+=
kn
tktt xx
nKC
1
))((1
)(
Que calculado para diferentes valores de k; ofrece los siguientes resultados:
K C(K) 1 0;10422912 2 0;14519783 3 -0;05630359 4 0;14891627 5 -0;01897189 6 -0;02496519 7 -0;15232997 8 -0;02821422 8 0;05472689
10 0;10613953 11 -0;00643896 12 -0;02514981
Como se puede apreciar el valor de C(K) es independiente de K; tanto en su
valor como en su signo.
De esta forma que el proceso aleatorio que ha generado nuestros datos es
estacionario.
Si generamos a partir de estos datos una serie del tipo:
ttt uYY ++= −15,0
donde tu es la serie generada en el proceso anterior.
Yt=0,5+Yt-1+ut
-10
0
10
20
30
40
50
1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97
Obtenemos una serie que no es estacionaria; ya que los promedios que
obtenemos son diferentes
promedio t=1 a t=25 2;09588358
promedio t=30 a t=50 16;3471842
promedio t=40 a t=80 23;4497493
promedio t=50 a t=100 32;0157185
Y una función ∑−
−+ −−=
kn
nktt xx
nKC
1
)ˆ)(ˆ(1
)( µµ dependiente del tiempo:
Análisis espectral
La idea básica del análisis espectral es que todo proceso estocástico
estacionario admite una descomposición única de su varianza; en la aportación
que a la misma realizan armónicos de diferentes frecuencias. Un armónico de
frecuencia ω es una función de la forma:
)sin()cos( tbta ⋅+⋅ ωω ωω1
1 La expresión )sin()cos( tbta ⋅+⋅ ωω ωω da lugar a una función periódica de periodo ωπ2
En el análisis armónico; las series temporales no son consideradas funciones
continuas como tal; sino que se obtienen a partir de una suma de n ciclos con
una amplitud y un periodo determinado; o lo que es lo mismo n de diferentes
armónicos:
πωωωωω ≤<<<<⋅+⋅=∑=
n
n
iiiii tbtatx ...0;)sin()cos()( 21
1
(1)
Siendo ia y ib variables aleatorias con2
jibaE
jisi
jisibbEaaE
bEaE
ji
jiji
ii
,0)(
;0
;)()(
0)()(2
∀=
≠=
==
==
σ
En este tipo de procesos la función de autocovarianza )(τγ se obtiene:
)cos()(1
2 τωστγ ⋅=∑=
i
n
ii
En donde iσ es la varianza del armónico i-esimo; de manera que en
∑=
=n
ii
1
2)0( σγ se muestra que la varianza total del proceso es la suma de las
varianzas de cada armónico.
2 La estacionariedad de este proceso aleatorio puede seguirse en Contreras, D y Escolano J (1984): EI análisis espectral como instrumento para detectar la estacionalidad. ESTADISTICA ESPAÑOLA Núm. 104, i 984, págs. 101 a 144 http://www.ine.es/revistas/estaespa/104_6.pdf
TEMA II.- ESTIMACIÓN DEL PERIODOGRAMA DE UNAS SERIE
ARMONICA
Series de Fourier 3
Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una
función continua y periódica.
∑∞
=
⋅+⋅+=1
00 )sin()cos(21)(
nonn tnbtnaatf ωω
Donde T
πω 20 = se denomina frecuencia fundamental; na y nb se denominan
Coeficientes de Fourier.
Los coeficientes de una serie de fourier pueden calcularse gracias a la
ortogonalidad de las funciones seno y coseno.
Una manera alternativa de presentar una la serie de Fourier es:
∑∞
=
−+=1
00 )cos()(n
nn tnCCtf θω
Siendo;
20aCo = ; 22
nnn baC += y
=
n
nn a
barctanθ
Ya que cada par de términos:
)()cos( 0 tnsenbtna onn ωω +
3 Se puede seguir en "Series de Fourier, Transformadas de Fourier y Aplicaciones",Genaro González, disponible en www.dmae.upm.es/WebpersonalBartolo/VariableCompleja/VCParteI/9_Series_de_Fourier.ppt
se pueden expresar como:
++
++ )()cos( 022022
22 tnsenba
btn
ba
aba
nn
n
nn
nnn ωω
haciendo
=+
=+
n
nn
n
n
nn
n
senba
b
ba
a
θ
θ
22
22cos
y
=
n
nn a
barctanθ
la suma puede expresarse solo en función del coseno:
[ ] )cos()()cos(cos 000 nnnnn tnCtnsensentnC θωωθωθ −=+
Ortogonalidad
Se dice que las funciones del conjunto { })(tf k son ortogonales en el intervalo
bta << si dos funciones cualesquiera )(tfm ; )(tfn de dicho conjunto cumplen:
=≠
=∫ nmparar
nmparadt(t)(t)ff
n
b
a
nm
0
Las funciones sen t y cos t son ortogonales en el intervalo ptp <<− ; ya que:
02
cos2
==−−
∫π
ππ
π
tsentdtsent
Las funciones del conjunto:
{ }),...3sin(),2sin(),sin(),...,3cos(),2cos(),cos(,1 tttttt oooooo ωωωωωω ;
donde T
πω 20 = son ortogonales en el intervalo
22
Tt
T <<− ;
Se verifica probándolo a pares:
a) 1)( =tfn y . )cos()( 0tmtfm ω= :
0)222
cos1
00
0
2
2
0
02
2
0
===
==−−
∫
mω
sen(mπ
mω
)T/sen(mω
mω
t)sen(mωt)dt(mω
T/
T/T/
T/
b) 1)( =tfn y . )()( 0tmsentfm ω= :
02cos2cos1
cos1
000
2
2
0
02
2
0
=−=
=−=−−
∫
)]T/(mω)-T/(mω[mω
mω
t)(mωt)dtsen(mω
T/
T/T/
T/
c) )cos()( 0tntfn ω= y )cos()( 0tmtfm ω= :
≠=≠
=∫− 02/
0t)dtt)cos(ncos(m
2/
2/
00 nmparaT
nmparaT
T
ωω
utilizando las identidades trigonométricas
[ ])cos()cos(21coscos BABABA +++= y ( )θθ 2cos12
1cos2 += .
d) )()( 0tnsentfn ω= y )()( 0tmsentfm ω= :
≠=≠
=∫− 02
02
2
00 nmparaT/
nmparat)dtt)sen(nωsen(mω
T/
T/
utilizando las identidades trigonométricas
[ ])cos()cos(21 BABAsenAsenB −++−= y ( )θθ 2cos12
12 −=sen .
d) )()( 0tnsentfn ω= y )cos()( 0tmtfm ω= :
m,ncualquierparat)dt(nωt)sen(mωT/
T/
0cos2
2
00 =∫−
utilizando la identidades trigonométricas
[ ])()(21cos bAsenBAsenBsenA −++=
Cálculo de los coeficientes Fourier
Los coeficientes de fourier se calculan multiplicando )(tf por )ºcos( 0tmω e
integrando de –T/2 a T/2:
∑ ∫
∑ ∫∫∫∞
= −
∞
= −−−
++=
1
2/
2/
00
1
2/
2/
00
2/
2/
0021
2/
2/
0
cos
coscoscos)cos()(
n
T
T
n
n
T
T
n
T
T
T
T
t)dt(mωt)sen(nωb
t)dt(mωt)(nωat)dt(mωadttmtf ω
que dada la ortogonalidad de las funciones de seno y coseno implica que:
∫−
=2/
2/
0 )(2 T
T
dttfT
a
,...3,2,1)cos()(2/
2/
02 == ∫
−
mdttmtfaT
TTm ω
,...3,2,1)()(2/
2/
02 == ∫
−
mdttmsentfbT
TTm ω
Forma compleja de la serie de Fourier
Consideremos la serie de Fourier para una función periódica )(tf ; con periodo
0
2
ωπ=T :
∑∞
=
⋅+⋅+=1
00 )sin()cos(21)(
nonn tnbtnaatf ωω
Es posible obtener una forma alternativa usando las fórmulas de Euler:
sustituyendo:
dado que ii −=1
definiendo:
quedaría como:
expresión que se conoce como forma compleja de fourier.
)()(
)()cos(00
00
21
0
21
0
tintini
tintin
eetnsen
eetnωω
ωω
ωω
−
−
−=
+=
])()([)(1
21
21
021 0000∑
∞
=
−− −+++=n
tintinin
tintinn eebeeaatf ωωωω
])()([)(1
21
21
021 00∑
∞
=
−++−+=n
tinnn
tinnn eibaeibaatf ωω
)(),(, 21
21
021
0 nnnnnn ibacibacac +≡−≡≡ −
∑∞
−∞=
=n
tinn ectf 0)( ω
Y sus coeficientes nc pueden obtenerse a partir de los coeficientes na ; nb
como ya se dijo; o bien:
Transformada de Fourier.
La Transformada de Fourier; )(ωF ; se define para una función continua de
variable real; )(tf ; mediante la siguiente formula:
∫+∞
∞−
−= dtf(t)eF(ti2 ωπω )
siendo i = − 1 ; )isen(2)cos(2e i2 ttt πωπωωπ += y u una variable que representa
las distintas frecuencias.
La Transformada de Fourier es una función compleja con una parte real y otra
parte imaginaria; es decir:
)()()( ωωω IRF +=
donde )(ωR es la parte real y )(ωI es la parte imaginaria.
La representación gráfica de la función de magnitud )(ωF se le denomina
Espectro de Fourier y se expresa en términos del modulo del número complejo:
)()()( 22 ωωω IRF +=
y al cuadrado de dicha función 2
)(ωF se le denomina Espectro de potencias.
El gráfico de los módulos al cuadrado frente a la frecuencia es el periodograma
o espectro empírico de la sucesión )(xf .
El periodograma recoge la contribución que tiene cada armónico a la hora de
explicar la varianza de cada serie; y cada armónico esta caracterizado por la
∫−=
Ttin
Tn dtetfc0
1 0)( ω
frecuencia en que tienen lugar los ciclos. Los ciclos que tienen un elevado
periodo (desde que tiene lugar un máximo al siguiente máximo) tendrán una
baja frecuencia y viceversa.
Cálculo del periodograma.
Consideremos la serie temporal tX de la que disponemos de un conjunto
discreto y finito de observaciones T observaciones; generadas por un proceso
aleatorio )(tx como el descrito en el tema 1. Dado que se busca una
representación de tX que se ajuste a T observaciones; ajustamos los datos a
un polígono trigonométrico que se asemeje a una serie de fourier; escogiendo
iω como:
T
ii
⋅= πω 2
es decir:
( ) ( )∑=
⋅⋅+⋅⋅+=k
iiiot T
tibTtiaaX
1
2sin2cos21 ππ
( ) ( ) ( )∑=
⋅⋅+⋅⋅=−=k
iiitt T
tibTtiaXx
1
2sin2cosˆ ππµ 4
La forma habitual de obtener el periodograma; es estimar por mínimos
cuadrados los coeficientes ia y ib para cada 2Tk = armónico si el número de
4 nótese que T
Xa
T
it∑
== 102
1 , lo que implica que ∑=
=T
itX
Ta
10
2
observaciones es par T o ( )2
1−= Tk si es impar; en un modelo especificado
de la siguiente forma:
tt vtbtax +⋅+⋅= ωω sincos
En la que tx sería la serie armónica; Tp
p⋅== πωω 2 ; T es el tamaño de la
serie y coincide con el periodo de mayor ciclo que es posible estimar con el
tamaño de la serie; p indica el orden del armónico de los 2
Tciclos; tv es un
residuo no explicado al que se puede considerar irrelevante (caso
deterministico) o que verifica las propiedades clásicas de la perturbación de los
modelos econométricos.
El periodograma o estimador del espectro se obtendría entonces a partir de la
representación de ( ) ( )π
ω4
22pp
i
baTI
+= frente a los p armónicos; en tanto que la
contribución de la varianza por cada armónico; sería ( )
2
22pp ba +
.
Si una serie temporal de ciclos empíricos presenta en su periodograma unos
pocos ciclos que explican un porcentaje significativo de su varianza; se puede
obtener el ciclo teórico de dicha serie temporal a partir de los iω y de los
armónicos correspondientes a dichos ciclos.
Teorema de Paserval
Sea f una función continua a trozos en el intervalo [ ]ππ ,− ; Sean 0a ; na y nb
los coeficientes del desarrollo de Fourier de f. Entonces se verifica que:
[ ] ∑∫∞
=
−++=
1
2222
2
1)(
1
nnno baaxf
π
ππ
Las series temporales no son consideradas funciones continuas como tal; sino
muestras de señales continuas tomadas a una misma distancia temporal a
partir de un valor inicial Y0 .De acuerdo a lo anterior; en la función periódica
)(tf la potencia promedio está dada por:
[ ] ( )∑∫=
−++=
2
1
2222
2
2
2
1
4
1)(
1T
nnno
T
Tbaatf
T
que muestra así que el periodograma estudia de hecho la distribución de la
varianza o potencia de la serie en función de los diversos armónicos:
( ) 2,2
1 2
2
1
1
222 Tqaba T
q
nnn =++= ∑
−
=
σ
Test sobre el periodograma
Una forma de contrastar la existencia de algún ciclo en el periodograma de una
serie temporal es el test de Fisher; estadístico g (Fisher; 1929) o relación entre
la mayor varianza asociada a una determinada frecuencia ( iω ); y la varianza
total de la serie.
∑=
=2
1
2
2
2
maxn
Pp
p
wn
wg
Para probar la significación del periodo p se contrasta el estadístico g contra la
z de una distribución normal (0;1); siendo la regla de decisión rechazar la
hipótesis nula sobre un componente periódico en tY si la g calculada excede de
la z de tabla en un nivel de significación del 100α%.
La manera habitual de contrastar la existencia de algún ciclo en el
periodograma de una serie temporal a través del estadístico es calculando:
2
2
2
max
S
SG =
El ciclo es significativo si el valor G de esta relación es igual al valor crítico
calculado según la siguiente fórmula:
1)ln()ln(
1 −−
−= mmp
eGc
Siendo ln(p) el logaritmo neperiano del nivel de probabilidad elegido y m el
número total de datos de la serie (en series de más de 30 datos).
Una prueba para estudiar la dependencia serial (Durbin; 1969) en series de
observaciones estacionarias Tyy ,...,1 se realiza sobre la grafica del
periodograma acumulado:
∑∑=
=
=j
rm
rr
rj
p
ps1
1
donde mr ,...,1= es el periodograma ordinario:
( )2
1
22∑
=
=T
t
Tirttr ey
Tp π
El periodograma jp calculado para series Tyy ,...,1 de variables independientes
),( 2σµN ; se calcula:
∑=
=T
tij T
jty
Ta
1
2cos
2 π; ∑
=
=T
tij T
jty
Tb
1
2sin
2 π; ,
2
1,...,1,22
=+= Tjbap jjj
donde TT2
1
2
1 =
para T y 2
1
2
1 −T para el extremo de T; por simplicidad
asumimos que el extremo de T es 12 += mT .
Y su representación gráfica de jp contra j presenta una alta apariencia de
irregularidad en su inspección visual. Por ello; una mejor manera de presentar
la información de los sp j ' es hacerlo a través del gráfico del periodograma
acumulado; js .
Se presupone que cuando Tyy ,...,1 esta independientemente y normalmente
distribuida; 11,..., −mss se distribuye igual que el orden estadístico de 1−m
muestras independientes de la distribución uniforme (0;1). Bartlett’s
(1954;1966; p 361) sugiere para probar la independencia serial; probar la
máxima discrepancia entre js y su expectativa; ie. mj / . Para una probar un
exceso de bajas frecuencias relativas frente a altas frecuencias; que
equivaldría a la expectativa de presencia de correlación serial positiva este
enfoque conduce al estadistico:
−=+
m
jsc j
jmax
Por el contrario un test contra excesos de variaciones de alta frecuencia el
estadístico apropiado es:
−=−j
js
m
jc max
El estadístico que corresponde a las dos partes de la prueba sería:
( )−+=−= ccm
jsc j
j,maxmax
Este estadístico esta estrechamente relacionado con el de Kolmogoroiv-
Smirnov nnn DDD ,, −+ y su forma modificada nnn CCC ,, −+ considerado por Pyke
(1959) y Brunk (1962). Por ejemplo; { })1()1(max −−−=− mjsD jj
n y +− = cCn .
Los valores críticos para estos estadísticos están dado en la Tabla nº1; y el
procedimiento para utilizar estos valores es como sigue. Si deseamos probar el
test de un exceso de bajas frecuencias frente a las altas frecuencias; entonces
el valor obtenido en la tabla 0c es el valor crítico apropiado al valor de +c ;se
dibujaría en el gráfico la línea; mjcy o += y la trayectoria que muestra js ;
obteniendo los valores que sobrepasan la línea ( )jsmj , . Si js cruza la línea;
se rechaza la hipótesis de independencia serial. De igual manera; un test
sobre al exceso de altas frecuencias frente a las bajas frecuencias se rechaza
si el trayectoria de js cruza la línea mjcy o +−= .
Ejemplo 2
Partimos de una serie temporal generada a partir de un paseo aleatorio o
random walk: ttt uYY ++= −15,0 (Ejemplo 1).
La serie tY presenta una tendencia estocástica; y vamos a descomponerla
utilizando un modelo armónico; partiendo de una representación de la
tendencia ó movimiento relevante de la serie temporal obtenida a partir de una
tendencia cuadrática; 2T ciclos armónicos (k ) y un residuo aleatorio tv :
( ) t
k
poppt vtpbtpactbtaY +++++= ∑ ωω sincos 0
2
de manera que
( ) t
k
popptt vtpbtpaXctbtaY ++==−−− ∑ ωω sincos 0
2
En las figuras siguientes se representa la serie de tendencia y la serie de ciclo
en la que se va a estimar un modelo de regresión armónica:
-10
0
10
20
30
40
50
60
1 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99
serie
tendencia
El armónico de periodo 100 se elabora a partir de ( )1002cos t⋅π y
( )1002sin t⋅π para t=1;….;100. La representación gráfica de ambas series
aparece en la figura siguiente:
La regresión minimo cuadrática entre ambas series y la serie libre de tendencia
( tX ); ofrece el siguiente resultado:
( ) ( ) tt vttX +⋅+⋅= 1002sin1982775,0100
2cos9645989,1 ππ
El armónico de periodo 100 tendrá la apariencia de la figura siguiente:
Este proceso repetido para los 50 periodos permite obtener los coeficientes con
los que elaborar el peridograma (Tabla nº2) y obtener la contribución de cada
armónico a la varianza de la serie:
Tabla nº2 Peridograma de ttt uXX ++= −15,0
Frecuencia
Periodo
pa
pb ( ) ( )π
ω4
22pp
i
baTI
+=
( )2
22pp ba +
1
100;0 1;9645989 0;1982775 31;0269598 1;94948138
2 50;0 -4;5393342 -1;2467640 176;3434804 11;0799877
3 33;3 -0;8601427 0;9799692 13;5296423 0;8500925
4 25;0 0;0835776 0;8487047 5;7875496 0;36364247
5 20;0 0;4166653 -0;3232265 2;2129323 0;13904264
6 16;7 -0;2059344 -0;3631882 1;3871519 0;08715732
7 14;3 0;4043324 -0;6204093 4;3639683 0;27419622
8 12;5 0;9442994 0;2493234 7;5906052 0;47693179
9 11;1 0;3926785 -0;0310192 1;2347129 0;0775793
10 10;0 0;1283672 -0;0894678 0;1948265 0;01224131
11 9;1 0;5348622 -0;1026948 2;3604572 0;1483119
12 8;3 0;4157705 -0;6015541 4;2552659 0;26736624
13 7;7 -0;0913588 -0;1203558 0;1816908 0;01141597
14 7;1 -0;3283259 -0;6568280 4;2909838 0;26961046
15 6;7 0;2314942 -0;3688880 1;5093294 0;09483396
16 6;3 0;0228915 -0;5384152 2;3110490 0;14520749
17 5;9 0;6861954 0;2823306 4;3813344 0;27528736
18 5;6 -0;0680460 0;2345241 0;4745347 0;02981589
19 5;3 0;3848785 -0;1703442 1;4097036 0;08857429
20 5;0 0;0347357 0;6665654 3;5453033 0;22275798
21 4;8 0;1779031 -0;4472488 1;8436590 0;11584051
22 4;5 -0;4350383 0;1164205 1;6139270 0;10140602
23 4;3 0;1130713 -0;3521380 1;0885109 0;06839315
24 4;2 0;1497142 -0;0947065 0;2497433 0;01569184
25 4;0 -0;0408499 -0;2790311 0;6328565 0;03976354
26 3;8 0;4000049 -0;0587758 1;3007618 0;08172927
27 3;7 -0;1788847 0;1668144 0;4760862 0;02991338
28 3;6 0;0722675 -0;0849189 0;0989451 0;0062169
29 3;4 0;3224180 -0;0273876 0;8332036 0;05235173
Frecuencia
Periodo
pa
pb ( ) ( )π
ω4
22pp
i
baTI
+=
( )2
22pp ba +
30 3;3 -0;2087289 0;0631024 0;3783880 0;02377482
31 3;2 0;1048227 -0;2653191 0;6476174 0;040691
32 3;1 0;1786666 -0;3176133 1;0567885 0;06639998
33 3;0 -0;1230019 -0;1984293 0;4337265 0;02725184
34 2;9 -0;0622384 0;0264338 0;0363857 0;00228618
35 2;9 -0;1590939 -0;1623496 0;4111630 0;02583413
36 2;8 0;1014609 -0;1111765 0;1802790 0;01132727
37 2;7 0;2002842 -0;1353838 0;4650711 0;02922128
38 2;6 0;0203165 -0;3006128 0;7224110 0;04539042
39 2;6 -0;1624371 -0;1121361 0;3100362 0;01948015
40 2;5 0;0803258 -0;0195769 0;0543950 0;00341774
41 2;4 0;2538179 -0;0592717 0;5406229 0;03396834
42 2;4 0;1153917 0;0975809 0;1817332 0;01141864
43 2;3 0;0424267 -0;0466046 0;0316083 0;00198601
44 2;3 -0;1812651 0;0086732 0;2620665 0;01646612
45 2;2 0;1713397 -0;1175139 0;3435104 0;0215834
46 2;2 0;1209881 0;0456828 0;1330937 0;00836253
47 2;1 0;2881007 -0;3457646 1;6118830 0;1012776
48 2;1 0;0070527 0;0817615 0;0535929 0;00336734
49 2;0 0;0804486 -0;1183934 0;1630461 0;01024449
50 2;0 0;0000000 -0;0938575 0;0701016 0;00440461
Como vemos es el segundo armónico; el ciclo de periodo 50; el que más
contribuye a la varianza de la serie.
La representación gráfica del periodograma de la serie de ciclo sería entonces
el siguiente:
Para comprobar la significación estadística del ciclo de o periodo 50;
calculamos es estadístico 37605,00681,182
07999,11
2
max2
2
=×
==S
SG
El ciclo es significativo para un nivel de probabilidad del 95% ya que el valor G
de esta relación superior al valor crítico calculado 1315,01 49)50ln()05,0ln(
=−=−
eGc .
La representación gráfica del test sobre el periodograma acumulado:
-0,2000000
0,0000000
0,2000000
0,4000000
0,6000000
0,8000000
1,0000000
1,2000000
1,4000000
0,02
0,08
0,14 0,2
0,26
0,32
0,38
0,44 0,5
0,56
0,62
0,68
0,74 0,8
0,86
0,92
0,98
Contrastar la presencia de ciclos de baja frecuencia frente a los ciclos de alta
frecuencia; al cruzar la trayectoria de js ; la banda superior de los valores
críticos del test.
Calculo del periodograma a través de la Transformad a Discreta de
Fourier 5
Tomando N muestras de una señal periodica )( kk tfy = de periodo T en
instantes separados por intervalos regulares:
5 Elaborado a partir de http://personal.us.es/contreras/t05fft.pdf (apuntes de Ampliación a las Mátemáticas, de Manuel D. Contreras, Escuela Técnica Superior de Ingenieria (Universidad de Sevilla)
N
TNt
T
kTt
N
Tt
N
Ttt Nk
)1(,...,,...,
2,,0 1210
−===== −
Cabe aproximarla mediante una combinación )(tg de funciones T-periódicas
conocidas que tome en dichos puntos el mismo valor que f. Este procedimiento
se conoce como interpolación trigonométrica.
Las funciones T-periódicas que se utilizan son los armónicos complejos jnwte
con T
wπ2= y puesto que hay N puntos; si queremos que el problema tenga
solución única debemos combinar un total de N armónicos.
La función )(tg utilizada en la aproximación; toma entonces la forma general:
( ) ∑−
=
−− =++++=
1
0
)1(1
2210
1...
1)(
N
n
inwtn
wtNjN
wtjjwt eN
eeeN
tg βββββ
Tal que )( kk tgy = para cada k=0;1;…;N-1.
Entonces:
∑ ∑∑−
=
−
=
−
=
===1
0
1
0
21 111 N
n
N
n
nkN
NinkN
on
jnwtk w
Ne
Ne
Ny k
η
π
ηη βββ ; 1,...,1,0 −= Nk
Siendo
= N
jwNπ2exp la raíz primitiva N-ésima de la unidad.
En forma matricial se expresa:
( )
( )
( ) ( ) ( )( )
=
−−−−−−
−
−
−
− 1
2
1
0
111121
12
12242
12
1
2
1
0
,
.
..1
.......
..1
.......
..1
..1
1.1.111
1
,
.
N
k
NNNNN
kNkkk
N
N
N
k
wwww
wwww
wwww
wwww
N
y
y
y
y
y
β
β
βββ
η
η
η
η
donde [ ] 1
0,
−== N
knnk
N wF la matriz de Fourier de orden N.
Al vector β se le denomina transformada discreta de Fourier del vector y ;
denotándose como : )(yDFT=β .
Una forma de obtener la DFT es a través del algoritmo FFT (Fast Fourier
Transform); desarrollado por diseñado por J.W. Cooley y John Tukey en 1965.
Si la función que interpolamos es una función real de periodo T; kk ytg =)( ;
donde 1,...,1,0 −= Nk ; que utiliza la forma general:
( )∑ +=n nn nwtbnwtatg )sin()cos()(
con Tw π2= ; suponiendo que MN 2= ; si )(yDFT=β ; entonces:
Nao
0β= ;
Na n
n
)Re(2 β= ;
Nb n
n
)Im(2 β−= ; ( )1,...,2,1 −= Mn ;
Na M
M
β= ;
y el polinomio trigonométrico:
( )∑−
=
+++=1
00 )cos()()cos()(
M
nMnn Mwtanwtbnwtaatg
Ejemplo 3
Utilizamos los datos del ejemplo 2; serie tX ; sin tendencia; que se cargan en
R:
y <- c(0.323027827 ; -0.738124684; -0.281638647; 1.202761696; 2.604736789; 4.537192839; 2.548626219; 2.505164067; 3.786603757; 2.882018343; 2.369627491; 0.852706545; -0.824994893; -1.637716864; -2.25061832; -4.212245866; -4.628168995; -4.884516748; -4.606265808; -4.832662799, -5.024859396 , -5.264607805; -3.795776075; -3.75917228; -3.827743607; -4.227666609; -2.146472166; -1.176118654; 1.299914689; 0.741084701; 2.494315284; 0.969390431; 1.591509703; 2.572570135; 4.566052768; 4.551800817; 4.093968956 ; 4.8307686; 4.506804092; 5.317472861; 3.922041704; 3.119257741; 1.637838373; 1.310811053; 1.30987963; 1.365242501; 1.065470411; 3.278613974; 1.550471324; 0.824032479; -1.747812061; -0.298707783; -1.581339071; -2.24208859;-1.495846423; -1.044908103; -0.190374706; 0.380989772; -1.01953942; -2.168259106; -1.511547698; -1.230496273; -2.216220919; -2.507357658; -2.430312769; -1.93130783; -1.855687473; -2.8340453; -1.020897877; -0.609700176; -0.617763633; 0.127473247; 0.900574754; 0.170835155; -0.849866595; 0.159510213; -1.147782448; -2.817090398; -2.220483265; -1.701096798; 0.381269939; 1.697401014; 2 .869379435; 2.846112408; 2.707533939; 3.016404109; 2.841756183; 1.633645998; -0.298897198; 0.367395225; 0.645278822; 1.092542147; 1.131070577; -0.075107037; 0.979539535; 0.480475826; -0.551598408; -1.569180997; -2.198930053; -2.85734981)
Se calcula la transformada de Fourier
z <- fft(y)
A través de la inversa se obtiene la serie y
y2 <- fft(z;inverse=TRUE)/100
Para representar el periodograma:
CF = abs(fft(y)/sqrt(100))^2
P = (4/100)*CF[1:51] # Solo se necesitan los (n/2)+1 valores de la FFT .
f=(0:50)/16 # Para crear las frecuencias armónicas de 1/100 en pasos de 0 a
0.5 . plot(f; P; type="l") # gráfica del periodograma; tipo = “l” gráficos de línea.
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
01
23
4
f
P
Se puede calcular directamente el espectro con:
spec.pgram(y)
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
1e-0
31e
-01
1e+0
1
frequency
spec
trum
Series: yRaw Periodogram
bandwidth = 0.00289
Ventanas
Hasta ahora hemos supuesto que las frecuencias eran frecuencias de Fourier y
por tanto Tp
p⋅== πωω 2 ; donde p indica el orden del armónico de los
2
Tciclos si T es par o
2
1−Tsi T es impar; y se interpreta como el número de
veces que un sinusoide (un armónico) de frecuencia pω ejecuta un ciclo
completo en la muestra considerada; es decir si 4=p ; la frecuencia asociada
T42
4⋅= πω al armónico determina que este ejecute 4 ciclos completos a lo
largo de T. A este tipo de frecuencias se denominan frecuencias de Fourier;
Si suponemos que existe un armónico que se repite cuatro veces y media;
dicha frecuencia no producirá ciclos enteros en la muestra y nos encontramos
con una frecuencia que no es de Fourier.
Estas frecuencias originan un problema que se denomina “leakage” o
distorsión; que determina que los pesos significativos del periodograma se
repartan entre frecuencias contiguas.
Una de las maneras de solucionar el “leakage” consiste en aplicar transformar
la serie original multiplicándola por una expresión que se denominan “Data
Windows” o “taper”; y obtener el periodograma a partir de la serie transformada.
Así es estimador de la función de densidad espectral puede considerarse
como:
Iwf ⋅=)(ˆ ω
Donde w es la función de pesos o ventana espectral y I es el periodograma.
Dado de que lo que se trata es de promediar algunos valores contiguos del
periodograma; podría utilizarse una media móvil de amplitud n :
−±±±±==casootroen
nt
nwt
;02
1...210;
1
Han sido propuestas gran número de ventanas; las más utilizadas son:
Ventana de Tuckey
+−=T
taawt πcos221 ; Tt ,....,2,1=
Cuando 41=a ; tenemos la ventana de Tuckey-Hamming.
• Ventana de Parzen
=
−
=
+
−
=T
Tt
M
t
Tt
T
t
T
t
wt
,...,2
,12
2,...,2,1,661
3
32
• “Boxcar”;
( )
( )
+−=
+−
−++=
=
+−
=
TmTtT
tmTmmt
mtm
t
wt
,...,1,212
cos12
1
,...2,1,1
,...,2,1,21
cos12
1
π
π
donde m es arbitrario; si bien suele elegirse un valor de mm tal que Tm2 se
sitúe entre 0;1 y 0;2.
Ejemplo 3
Partimos ahora de una serie temporal generada también a partir de un paseo
aleatorio: ttt uXX ++= −17,0
Xt=0,7+Xt-1+ut
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97
Al igual que en el ejemplo anterior la representamos a partir de una tendencia
cuadrática; 2T ciclos armónicos ( k ) y un residuo aleatorio tv :
( ) t
k
poppt vtpwbtpactbtaX +++++= ∑ sincos 0
2 ϖ
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99
serie
tendencia
ciclo
-15
-10
-5
0
5
10
1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97
En la tabla nº3 figura el periodograma obtenido para la serie del ciclo; y la
contribución de cada armónico a la varianza de la serie del ciclo:
Tabla nº3. Peridograma de ttt uXX ++= −17,0
Frecuencia Periodo pa pb
( ) ( )π
ω4
22pp
i
baTI
+=
2
)( 22pp ba +
1 100;0 -0;2110003 0;0378442 0;3656849 0;02297666 2 50;0 1;1666539 -1;8327001 37;5595401 2;35993551 3 33;3 0;4941013 -0;2110003 22;1396831 1;39107732 4 25;0 -1;2791003 1;1666539 19;8601863 1;24785231 5 20;0 -0;8240684 0;1411294 5;5625155 0;34950316 6 16;7 -0;4265556 0;2616019 1;9925024 0;12519262 7 14;3 0;0437887 -0;1344344 0;1590759 0;00999503 8 12;5 -0;0367961 -0;6671780 3;5529780 0;22324019 9 11;1 -0;6165606 -0;1009724 3;1062465 0;19517122
10 10;0 -0;0586220 -0;0322621 0;0356299 0;00223869 11 9;1 -0;1445715 0;5501268 2;5746528 0;1617702 12 8;3 0;0186580 -0;1595283 0;2052891 0;01289869 13 7;7 -0;0575354 0;0127058 0;0276274 0;00173588 14 7;1 0;0572704 -0;0427442 0;0406400 0;00255348 15 6;7 -0;1272382 0;1242391 0;2516629 0;01581245 16 6;3 0;0088206 -0;1076772 0;0928843 0;00583609 17 5;9 0;2229230 -0;0498500 0;4152326 0;02608983 18 5;6 -0;0960159 0;0846063 0;1303262 0;00818863 19 5;3 -0;0797698 -0;0534037 0;0733320 0;00460758 20 5;0 0;0093360 0;1377675 0;1517308 0;00953353 21 4;8 0;1882444 0;3271687 1;1337825 0;07123765 22 4;5 0;0061163 0;0851154 0;0579486 0;00364102 23 4;3 0;0606271 0;2789904 0;6486464 0;04075565 24 4;2 -0;1135872 -0;0739005 0;1461307 0;00918166 25 4;0 -0;0068206 0;0668464 0;0359289 0;00225748 26 3;8 0;0334680 0;0218973 0;0127292 0;0007998 27 3;7 -0;1061454 -0;0313270 0;0974683 0;00612412 28 3;6 -0;2058317 0;0025358 0;3371945 0;02118655 29 3;4 0;0968601 0;1045979 0;1617221 0;0101613 30 3;3 -0;0731819 -0;0683325 0;0797758 0;00501246 31 3;2 -0;0284913 -0;0618409 0;0368925 0;00231803 32 3;1 -0;0830430 -0;0209601 0;0583738 0;00366773 33 3;0 0;0538377 0;0500945 0;0430352 0;00270398 34 2;9 0;0214412 -0;0774227 0;0513593 0;003227 35 2;9 -0;0529943 0;1100899 0;1187947 0;00746409 36 2;8 -0;0487378 0;1341554 0;1621235 0;01018652 37 2;7 -0;1062800 0;0886027 0;1523580 0;00957294 38 2;6 -0;0132742 0;1171787 0;1106688 0;00695353 39 2;6 -0;0816537 0;0276254 0;0591299 0;00371524 40 2;5 -0;0455215 0;0436664 0;0316636 0;00198948 41 2;4 -0;1219242 0;0316829 0;1262841 0;00793466 42 2;4 0;1114522 0;0067912 0;0992150 0;00623386 43 2;3 -0;1221094 -0;0583505 0;1457501 0;00915775 44 2;3 -0;0587289 -0;1022749 0;1106862 0;00695462 45 2;2 -0;0335511 -0;0321636 0;0171901 0;00108008 46 2;2 -0;0319621 0;0526254 0;0301679 0;0018955 47 2;1 -0;1472337 -0;1079590 0;2652549 0;01666646 48 2;1 0;1568000 0;0140684 0;1972261 0;01239208 49 2;0 -0;1331254 0;0702469 0;1802987 0;0113285 50 2;0 -0;0357171 0;0000000 0;0101518 0;00063786
Como vemos es el segundo armónico; el ciclo de periodo 50 el que más
contribuye a la varianza de la serie; pero también tienen importancia los ciclos
de periodo 33 y 25; tercer y cuarto armónicos; tal y como se aprecia en la
representación del periodograma de la serie de ciclo:
El estadístico 1302,05386,62
3599,2
2
max2
2
=×
==S
SG ; esta en el límite de nivel de
probabilidad del 95%. Circunstancia que no concurre en los otros armónicos
relevantes.
Aplicamos la transformación de Tuckey-Hammond a la serie tX ; y obtenemos
el peridograma de la serie transformada tt wX ⋅ :
Tabla nº4. Peridograma de tt wX ⋅
Frecuencia Periodo pa pb
( ) ( )π
ω4
22pp
i
baTI
+=
2
)( 22pp ba +
1 100;0 -0;8550554 1;1842112 16;9776612 1;06673791 2 50;0 -1;1413339 -2;5075756 60;4039018 3;79528908 3 33;3 1;4381418 -0;7779409 21;2745907 1;33672195 4 25;0 1;0888654 0;3007921 10;1549101 0;63805182 5 20;0 0;1784373 0;5595931 2;7452978 0;17249215 6 16;7 0;1503196 0;0516189 0;2010166 0;01263025 7 14;3 0;1364739 0;1459084 0;3176286 0;01995719 8 12;5 0;3278321 0;4048790 2;1597397 0;13570045 9 11;1 -0;0245414 0;2868346 0;6595093 0;04143819
10 10;0 0;0398662 0;1599286 0;2161838 0;01358323 11 9;1 0;0227716 0;4306292 1;4798234 0;09298004
Frecuencia Periodo pa pb
( ) ( )π
ω4
22pp
i
baTI
+=
2
)( 22pp ba +
12 8;3 -0;4080321 0;2804188 1;9506420 0;12256245 13 7;7 -0;1720955 -0;0116378 0;2367613 0;01487615 14 7;1 -0;2396204 -0;1552283 0;6486658 0;04075687 15 6;7 -0;0302919 0;0103265 0;0081506 0;00051212 16 6;3 -0;1132906 -0;2342787 0;5389087 0;03386063 17 5;9 0;1868499 0;1009090 0;3588586 0;02254775 18 5;6 0;0913739 -0;0709517 0;1065011 0;00669166 19 5;3 -0;0857895 0;1057649 0;1475849 0;00927303 20 5;0 0;2859615 0;0729684 0;6931069 0;04354919 21 4;8 -0;3201378 0;2192024 1;1979427 0;07526896 22 4;5 0;0709720 -0;1883912 0;3225138 0;02026414 23 4;3 -0;0445707 0;1086493 0;1097470 0;00689561 24 4;2 -0;0034966 0;0642131 0;0329096 0;00206777 25 4;0 -0;0644292 -0;0604126 0;0620767 0;0039004 26 3;8 -0;0234301 0;1056218 0;0931448 0;00585246 27 3;7 0;0636891 -0;1064999 0;1225375 0;00769926 28 3;6 0;0474177 0;0732285 0;0605652 0;00380542 29 3;4 -0;0368184 0;1756339 0;2562622 0;01610143 30 3;3 0;0142093 -0;0278126 0;0077623 0;00048772 31 3;2 -0;0676061 0;1499094 0;2152045 0;0135217 32 3;1 -0;1851943 0;0915465 0;3396183 0;02133884 33 3;0 -0;1318589 -0;1295865 0;2719913 0;01708971 34 2;9 0;0360898 -0;0532993 0;0329713 0;00207165 35 2;9 -0;0017041 -0;0670182 0;0357649 0;00224717 36 2;8 0;0567025 0;0487639 0;0445084 0;00279655 37 2;7 -0;0383015 0;1188865 0;1241488 0;0078005 38 2;6 -0;1747960 -0;0236642 0;2475944 0;01555681 39 2;6 -0;0012678 -0;1720045 0;2354471 0;01479358 40 2;5 0;1088985 -0;0191105 0;0972763 0;00611205 41 2;4 0;0162935 0;0750553 0;0469409 0;00294938 42 2;4 0;0304216 0;0378806 0;0187835 0;0011802 43 2;3 -0;0576875 0;0351610 0;0363203 0;00228207 44 2;3 0;0527899 -0;0714896 0;0628466 0;00394877 45 2;2 0;0264767 0;1022642 0;0888003 0;00557949 46 2;2 0;0675935 0;1104654 0;1334633 0;00838574 47 2;1 -0;2003501 0;1500707 0;4986434 0;03133069 48 2;1 -0;0164360 -0;0244295 0;0068989 0;00043347 49 2;0 -0;1017020 0;0838890 0;1383108 0;00869033 50 2;0 -0;0788269 0;0000000 0;0494469 0;00310684
0,0000000
10,0000000
20,0000000
30,0000000
40,0000000
50,0000000
60,0000000
70,0000000
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49
En la figura se comprueba el suavizado que introduce la ventana en el
espectro.
Efecto Gibbs
Una de las muchas derivaciones interesantes; aunque desde luego no la más
importante; a que ha dado lugar el análisis de Fourier; es el llamado fenómeno
de Gibbs; que surge a mediados del siglo XIX. Este efecto investigado por J.W
Gibas se basa en la no convergencia uniforme de la serie de Fourier en las
cercanías de un punto de discontinuidad.
Si la serie de Fourier para una función f(t) se trunca para lograr una
aproximación en suma finita de senos y cosenos; es natural pensar que a
medida que agreguemos más armónicos; el sumatorio se aproximará más a
f(t). Pero esto se cumple excepto en las discontinuidades de f(t); en donde el
error de la suma finita no tiende a cero a medida que agregamos armónicos.
Por ejemplo; si consideremos la siguiente serie armónica:
[ ]...)5()3()(4
)( 051
031
0 +++= tsentsentsentf ωωωπ
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Serie con 3 arm ón icos
- 1 - 0 . 5 0 0 . 5 1- 1 . 5
- 1
- 0 . 5
0
0 . 5
1
1 . 5S e r ie c o n 1 a r m ó n ic o
[ ])(4
)( 0tsentf ωπ
=
- 1 - 0 . 5 0 0 . 5 1- 1 . 5
- 1
- 0 . 5
0
0 . 5
1
1 . 5 S e r ie c o n 7 a r m ó n ic o s
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 5 arm ón icos
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Serie con 50 armónicos
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5S erie con 1 3 arm ón icos
-1 -0 .5 0 0.5 1-1 .5
-1
-0 .5
0
0.5
1
1.5 S erie con 1 0 0 arm ón icos
TEMA III.- ANALISIS ARMONICO DE PROCESOS BIVARIANTE S
Proceso bivariante
Un proceso bivariante )(tz es un par formado por dos procesos univariantes;
)(tx y )(ty ; donde [ ] )()( ttxE xµ= y [ ] )()( ttyE yµ= .
La función de autocovarianza de )(tx será:
( )( ){ })()()()(),( τµτµτγ +−+−= ttxttxEt xxx
en tanto que la función de autocovarianza de )(ty será:
( )( ){ })()()()(),( τµτµτγ +−+−= ttyttyEt yyy
Se denomina función de cross-varianza o covarianza cruzada a:
( )( ){ })()()()(),( τµτµτγ +−+−= ttyttxEt yxxy
Hay que señalar que ),( τγ txy no es igual a ),( τγ tyx ; pero existe una relación
entre las dos funciones; ya que
),(),( ττγτγ −+= tt yxxy
Señalar; por último; que la covarianza entre )(tx y )(ty sería )0,(tyxγ .
Si se asume la estacionariedad de )(tx y )(ty ; entonces [ ] xtxE µ=)( y
[ ] ytyE µ=)( ; y la función de cross-varianza no dependerá más que del retardo
τ .
Suponiendo que 0== yx µµ ; se comprueba que ),( τγ txy ; no depende más que
del retardo τ ; es decir ).(),( τγτγ xyxy t =
( )( ){ } ( )( ){ } tsstystxEtytxEtxy ,,)()()()(),( ∀+++=+= τττγ
La función de correlación cruzada se define como:
)0()0(
)()(
yx
xyxy γγ
τγτρ =
Cuando 0=τ ; )0(xyγ es la covarianza habitual y
)0()0(
)0()0(
yx
xyxy γγ
γρ =
el coeficiente de correlación de Pearson entre )(tx y )(ty .
Los estimadores de )(τγ xy y )(τρ xy se calculan así:
( )( )
( )( )
−−−−=−+−
−=−+−=
∑
∑−
=
−
=
)1(,...,2,1;)()(1
1,...,1,0;)()(1
)(
1
1
TkyktyxtxT
TkyktyxtxTkC kT
t
kT
txy
)0()0(
)()(
yx
xyxy
CC
kCkr
⋅=
Análisis armónico de un proceso bivariante.
La función de autocovarianza que obtenemos en el dominio temporal; tiene
también su correspondiente representación en el dominio frecuencial; esta es el
cross-espectro o espectro cruzado. Así; si partimos de dos procesos
estacionarios )(tx y )(ty ; con la siguiente representación espectral:
∫∫ ⋅+⋅=ππ
ωωωω00
)()(cos)( xx dVtsendUttx
∫∫ ⋅+⋅=ππ
ωωωω00
)()(cos)( yy dVtsendUtty
Donde )(ωiU e )(ωiV ; yxi ,= son procesos estocásticos con dominio definido
en ),0( π ; con media 0 y de incrementos incorrelacionados. Dado que dichos
procesos son conjuntamente estacionarios en covarianza; se demuestra que:
[ ] [ ] [ ] [ ] 0)'()()'()()'()()'()( =⋅=⋅=⋅=⋅ ωωωωωωωω yxyxyxyx dUdVEdVdUEdVdVEdUdUE
si 'ωω ≠
[ ] [ ] ωωωωωω dCdVdVEdUdUE yxyx )()()()()( =⋅=⋅
[ ] [ ] ωωωωωω dqdUdVEdVdUE yxyx )()()()()( =⋅−=⋅
Funciones que permiten expresar la cross-varianza como:
∫∫ ⋅+⋅=ππ
ωωωωωωτγ00
)()(cos)( dqtsendCtxy
Que implica que la covarianza entre )(tx e )(ty sea:
∫=π
ωωγ0
)()0( dCxy
El cross-espectro se formula como:
∑∞
−∞=
−⋅=τ
ωττγπ
ω ixyxy ef )(
1)( ; πω ≤≤0
Dado que en general el cross-espectro es complejo; se define el cross-espectro
(C) como la parte real de cross-espectro y el espectro de cuadratura (Q) como
la parte imaginaria; que además coinciden con )(ωC y )(ωq :
)()()( ωωω iqCf xy −=
Entonces se deduce que:
∑∞
−∞=
⋅=τ
ωττγπ
ω cos)(1
)( xyC
∑∞
−∞=
⋅=τ
ωττγπ
ω senq xy )(1
)(
Otra forma de presentar las funciones )(ωC y )(ωq ; sería la siguiente:
∑∞
−∞=
⋅=τ
ωττγπ
ω cos)(2
1)( xyC
∑∞
−∞=
⋅=τ
ωττγπ
ω cos)(2
1)( xyC ; πωπ ≤≤−
La representación trigonométrica del cross-espectro será:
)()()( ωφωαω xyixyxy ef ⋅=
Donde
)()()( 22 ωωωα qCxy +=
Se conoce como espectro de cross-amplitud.
Y
−=)(
)()(
ωωωφ
C
qarctgxy
Llamado espectro de fase.
Del cross-espectro y de la función de densidad espectral individual de las dos
series )(tx e )(ty se obtiene la función de coherencia:
)()(
)()()(
22
ωωωωω
yx ff
qCR
⋅+= .
El cross-espectro representa la aportación a la covarianza entre )(tx y )(ty de
sus diversos componentes armónicos. Como su interpretación no es simple; se
utilizan las funciones de espectro de fase y coherencia; ya que el espectro de
fase revela el desfase o retardo que en el comportamiento cíclico sigue una
serie respecto a la otra; y el análisis de la función de coherencia permite
identificar si la correlación que se da entre las dos series se debe a que ambas
siguen un comportamiento cíclico en determinados periodos; permitiendo
identificar la duración o periodo de los armónicos que dominan en ambas series
a la vez y que producen una alta correlación.
La construcción del cross-espectro cuando 0=τ ; y )0(xyγ es la covarianza
habitual; da lugar a las siguientes funciones )(ωC y )(ωq :
πγ
ω2
)0()( xyC =
0)( =ωq
Ya que el coseno de 0=ωτ ; es uno; y su seno es cero.
Si [ ] 0)( == xtxE µ y [ ] 0)( == ytyE µ ; es decir ambas series tienen un valor
medio igual a cero; la covarianza entre tx e ty ; sería ∑=
=T
tttxy yx
1
)0(γ ;y la parte
real del cross-espectro se obtendría a partir de:
∑=
=T
ttt yxC
12
1)(
πω
Partiendo de una serie armónica ( ) t
k
poppot vtpbtpaax +++= ∑
=10 sincos ωω y otra
definida como ( ) t
k
poppot utpbtpaay +++= ∑
=1
*0
** sincos ωω ; la contribución de los
diferentes armónicos a la covarianza entre ambas series sería entonces
( )2
**pppp bbaa +
. En donde 2Tk = armónicos si el número de observaciones es
par T o ( )2
1−= Tk si es impar.
El producto de:
( )( )∑ ∑∑= ==
++=−−
T
t
k
poppopp
T
totot tpbtpatpbtpaayax
1 1
*0
*0
1
* sincossincos))(( ϖϖϖϖ ;
Se aproxima a ( )
∑=
+k
t
pppp bbaaT1
**
22 ; gracias a la ortogonalidad de las funciones
seno y coseno6.
En consecuencia ( )
∑=
+k
p
pppp bbaa
1
**
2 se aproximaría a la covarianza cruzada; de
manera que cabe considerar a cada expresión ( )
2
**pppp bbaa +
la contribución del
armónico p a la formación de la covarianza ( )0(γ ); de manera que la
representación de ( ) ( )π4
**pppp
pxz
bbaaTwC
+= frente a los p armónicos permite
apreciar las frecuencias entre las que las series tx y ty covarían y su sentido
6 Dado que 0)cos(1
0 =∑=
T
t
tpω y 0)(1
0 =∑=
T
t
tpsen ω siendo T
πω 20 = .
Utilizando las identidades trigonométricas [ ])cos()cos(21coscos BABABA +++= ,
[ ])cos()cos(21 BABAsenAsenB −++−= , [ ])()(2
1cos bAsenBAsenBsenA −++= ,
( )θθ 2cos1212 −=sen y ( )θθ 2cos12
1cos2 +=
Se llega a que
2cos1
02 Ttp
T
t
=∑=
ω , 2sin1
02 Ttp
T
t
=∑=
ω , y 0sincos1
00 =∑=
T
t
tntm ωω y
0sinsin1
00 =∑=
T
t
tntm ωω y 0coscos1
00 =∑=
T
t
ttm ωω
positivo o negativo; pudiéndose observar que un ciclo relevante en ambas
series originará un valor alto en ( )pxz wC ; en tanto que un ciclo poco relevante
en alguna de las dos series dará lugar a un valor bajo en ( )pxz wC .
En tanto que el coeficiente de correlación de Pearson se obtendría a partir de:
( )
( ) ( )
+⋅
+
+≈
∑∑
∑
==
=
k
ppp
k
ppp
k
ppppp
xy
baba
bbaa
1
2*2*
1
22
1
**
)0(ρ
Por otro lado; si utilizamos la definición alternativa de las series de fourier:
∑∞
=
−+=1
00 )cos()(n
nn tnCCtf θω ; tenemos que ∑=
−+=k
ppp tpCCtx
100 )cos()( θω e
∑=
−+=k
pkn tpCCty
1
*0
**0 )cos()( θω ; en donde 2
0aCo = ; 22ppp baC += y;
=
p
pp a
barctanθ ; 2
**0
0a
C = ; ( ) ( )2*2**pp baC
n+= y;
=
*
** arctan
p
pp
a
bθ .
Se aprecia entonces que en cada armónico p ; pθ determinara el ángulo de
desfase en radianes de cada serie de Fourier; si queremos obtener el desfase
en unidades de tiempo; hay que dividirlo por la frecuencia fundamental; oω :0ω
θ p .
Entonces la diferencia o
pppp
ωθθ
ωθ
ωθ *
0
*
0
−=− ; determinara el desfase entre los
armónicos p de las dos series.
En definitiva; los coeficientes de Fourier también permiten analizar la
covarianza cruzada y los desfases que se dan entre las frecuencias relevantes
de dos series armónicas.
Ejemplo 4
Utilizando los coeficientes de Fourier de los peridogramas calculados en las
Tablas nº2 y nº4; se comprueba que la covarianza de los ciclos obtenidos en
las dos series de paseos aleatorios; se puede obtener a partir de:
( )2
**pppp bbaa +
Tabla nº 5. Aproximación de la covarianza a partir de los coeficientes de
Fourier.
Frecuencia Periodo ( )2
**pppp bbaa +
1 100;0 0;01625604 2 50;0 3;432348057 3 33;3 -0;443051466 4 25;0 -0;50404475 5 20;0 0;162582224 6 16;7 0;050523557 7 14;3 -0;040761565 8 12;5 -0;319594953 9 11;1 -0;010262224
10 10;0 0;000551692 11 9;1 0;154544388 12 8;3 -0;038775457 13 7;7 0;00288197 14 7;1 -0;011791378 15 6;7 0;037848627 16 6;3 -0;003607017 17 5;9 0;014365564 18 5;6 -0;014137574 19 5;3 -0;003482801 20 5;0 0;005504241 21 4;8 -0;012993884 22 4;5 -0;018158192 23 4;3 0;005098359 24 4;2 -0;000153256 25 4;0 -0;000413749 26 3;8 0;003395964 27 3;7 -0;00605133 28 3;6 0;00883113 29 3;4 0;01553574 30 3;3 0;00482251 31 3;2 0;000538483 32 3;1 0;011315354 33 3;0 -0;008422354
(2
2ppa+
34 2;9 0;002692719 35 2;9 -0;004455511 36 2;8 0;009515013 37 2;7 0;016067157 38 2;6 0;003185531 39 2;6 0;002334467 40 2;5 0;002199355 41 2;4 0;007634174 42 2;4 0;005829628 43 2;3 0;001607622 44 2;3 0;009014749 45 2;2 -0;000784088 46 2;2 0;002453462 47 2;1 0;009902558 48 2;1 0;006459713 49 2;0 0;010706219 50 2;0 0;001676157
La covarianza de ambas series de ciclo es 5789,2)0( =xyC ; en tanto que
( )4789,2
21
**
≈+
∑=
k
p
pppp bbaay se comprueba que el ciclo de periodo 2 es el ciclo
más relevante para analizar dicha covarianza.
Obtenemos ahora el ciclo determinante del paseo aleatorio utilizado en el
ejemplo 1
−
− tsent100
22539,4
100
22cos2467,1
ππ y del paseo aleatorio utilizado
en el ejemplo 3:
−
tsent
100
225393,4
100
22cos1666,1
ππ; y los representamos en
el gráfico adjunto:
-6
-4
-2
0
2
4
6
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97
Segundo armónico del paseo aleatorio ejemplo 1
Segundo armónico del paseo aleatorio ejemplo 3
Utilizando la denominación alternativa )cos( 0 nn tnC θω − ; el segundo armónico
del ejemplo 1 se obtendría a partir de:
− 3027,1100
22cos7074,4 t
πy el del
ejemplo 3 a partir de:
+ 0039,1100
22cos1725,2 t
π. Se comprueba; entonces; que
el segundo armónico del ejemplo 1 esta en retrasado 1;3027 radianes; si
queremos obtener el retardo en unidades de tiempo; hay que dividirlo por la
frecuencia fundamental :
1002
307,1
0πω
θ=n ; es decir dicho armónico estaría retrasado
20;73 unidades de tiempo; en tanto que el segundo armónico del ejemplo 3
esta adelantado 15;98 unidades de tiempo (
1002
003,1
0πω
θ −=n ). En consecuencia
entre el segundo armónico del ejemplo 1 y el del ejemplo 3 median 4;75
unidades de tiempo.
Multiplicación se series armónicas.
La multiplicación de dos series armónicas permite analizar el cross-espectro; la
covarianza cruzada y los desfases que se dan entre las frecuencias relevantes
de dos series armónicas de media cero.
La multiplicación de dos series armónicas tx e ty ; da lugar al siguiente
resultado:
( ) t
k
popptt ztpbtpaxy +=++=⋅ ∑
=
µωϖµ1
'0
' sincos
donde ∑=k
=p
pppp b+baa
1
**
2µ ; en tanto que '
pa y 'pb serían combinaciones lineales
de las coeficientes de Fourier de tx e ty .
La multiplicación de dos armónicos de diferente frecuencia;
[ ] [ ])sin()cos()sin()cos( tbtatbta mk
mk
nj
nj ⋅+⋅×⋅+⋅ ωωωω da lugar a la siguiente
suma:
)sin()sin()cos()sin(
)sin()cos()cos()cos(
ttbbttab
ttbattaa
mnkj
mnkj
mnkj
mnkj
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+
+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅
ωωωωωωωω
que utilizando la identidad del producto7:
7
2
)cos()cos(coscos
βαβαβα −++=⋅
2
)cos()cos(sinsin
βαβαβα +−−=⋅
2
)sin()sin(cossin
βαβαβα −++=⋅
2
)sin()sin(sincos
βαβαβα −−+=⋅
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]ttttbb
ttttab
ttttba
ttttaa
mnmn
kj
mnmn
kj
mnmn
kj
mnmn
kj
⋅+⋅−⋅−⋅+
+⋅−⋅+⋅+⋅+
+⋅−⋅−⋅+⋅+
+⋅−⋅+⋅+⋅
ωωωω
ωωωω
ωωωω
ωωωω
coscos2
sinsin2
sinsin2
coscos2
da como resultado una serie armónica con frecuencias angulares que se
obtienen a partir de la suma y diferencia de las frecuencias angulares de los
armónicos múltiplos; y con coeficientes de Fourier obtenidos a partir de los
coeficientes de los armónicos múltiplos:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )t)(ωt)(ωbaab
t)(ωt)(ωbbaa
t)(ωt)(ωbaab
t)(ωt)(ωbbaa
mn
kjkj
mn
kjkj
mn
kjkj
mn
kjkj
⋅+⋅⋅++⋅+⋅⋅−+
+⋅−⋅⋅−+⋅−⋅⋅+
sin2
cos2
sin2
cos2
La obtención del término i-ésimo del periodograma resultante de multiplicar
dos funciones periódicas con dos o más armónicos; es algo más complejo ya
que el resultado de la multiplicación es una suma de productos de armónicos;
que dan lugar a una suma de armónicos con diferentes frecuencias angulares
como consecuencia de las sumas y diferencias de las frecuencias angulares de
cada producto de armónicos; algunas de las cuales aparecen asociadas a
diferentes coeficientes.
Por ejemplo; el producto de dos series obtenidas a partir de dos armónicos:
t)(ωb+t)(ωat)(ωb+t)(ωaxt ⋅⋅+⋅⋅= 1111
110
100
10 sincossincos
t)(ωb+t)(ωat)(ωb+t)(ωayt ⋅⋅+⋅⋅= 1211
210
200
20 sincossincos
Se obtendría la siguiente secuencia de funciones de seno y coseno y
coeficientes de Fourier:
Coeficientes de Fourier
Funciones coseno
Coeficientes de Fourier
Funciones seno
( )2
20
10
20
10 bbaa +
1)cos( =⋅−⋅ tt oo ωω ( )
2
20
10
20
10 baab −
0)sin( =⋅−⋅ tt oo ωω
( )2
20
10
20
10 bbaa −
)2cos(
)cos(
t
tt
o
oo
⋅==⋅+⋅
ωωω ( )
2
20
10
20
10 baab +
)2sin(
)sin(
t
tt
o
oo
⋅==⋅+⋅
ωωω
( )2
20
11
20
11 bbaa +
)cos( 1 tt o ⋅−⋅ ωω ( )
2
20
11
20
11 baab −
)sin( 1 tt o ⋅−⋅ ωω
( )2
20
11
20
11 aaaa −
)cos( 1 tt o ⋅+⋅ ωω ( )
2
20
11
20
11 baab +
)sin( 1 tt o ⋅+⋅ ωω
( )2
21
10
21
10 bbaa +
)cos(
)cos(
01
10
tt
tt
⋅−⋅==⋅−⋅
ωωωω ( )
2
21
10
21
10 baab −
)sin(
)sin(
01
10
tt
tt
⋅−⋅−==⋅−⋅
ωωωω
( )2
21
10
21
10 bbaa −
)cos( 10 tt ⋅+⋅ ωω ( )
2
21
10
21
10 baab +
)sin( 10 tt ⋅+⋅ ωω
( )2
21
11
21
11 bbaa +
1)cos( 11 =⋅−⋅ tt ωω ( )
2
21
11
21
11 baab −
0)sin( 11 =⋅−⋅ tt ωω
( )2
21
11
21
11 bbaa −
)2cos(
)cos(
1
11
t
tt
⋅==⋅+⋅
ωωω ( )
2
21
11
21
11 baab +
)2sin(
)sin(
1
11
t
tt
⋅==⋅+⋅
ωωω
Que daría lugar a la siguiente serie de Fourier:
t)t(ωb+t)t(ωat)ω(b+t)ω(a
t)t(ωb+t)t(ωat)ω(b+t)ω(ayx tt
⋅−⋅⋅−⋅+⋅⋅+
+⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+=⋅
0120131212
1011010000
sincos2sin2cos
sincos2sin2cos
ωωωωα
Donde:
( ) ( )2
21
11
21
11
20
10
20
10 bbaabbaa +++
=α
( )2
20
10
20
10
0
bbaaa
−=
( )2
20
10
20
10 baab
bo
+=
( ) ( )2
20
11
20
11
21
10
21
10
1
bbaabbaaa
−+−=
( ) ( )2
20
11
20
11
21
10
21
10
1
baabbaabb
+++=
( )2
21
11
21
11
2
bbaaa
−=
( )2
21
11
21
11
2
baabb
+=
( ) ( )2
21
10
21
10
20
11
20
11
3
bbaabbaaa
+++=
( ) ( )2
21
10
21
10
20
11
20
11
3
baabbaabb
−−−=
La multiplicación de dos series de longitud T obtenidas como sumas de
2
T=k armónicos; cuyas frecuencias angulares son obtenidas a partir de
T
ii
⋅= πω 2
es decir
( ) ( )∑ ⋅⋅⋅⋅k
=iiit T
tb+Tta=x
1
11 2πisin2πicos
e
( ) ( )∑ ⋅⋅⋅⋅k
=iiit T
tb+Tta=y
1
22 2πisin2πicos
da como resultado una nueva serie armónica de T/2 periodos
( ) ( )∑ ⋅⋅⋅⋅+⋅k
=iiitt T
tib+Ttia=yx
10
2πsin2πcosµ
En donde8
∑=k
=i
iiii b+baa
1
2121
2µ
Partiendo de dos series armónicas de T=8; que dan lugar a las dos series de
Fourier que se presentan a continuación:
t)(ωb+t)(ωat)(ωb+t)(ωa
t)(ωb+t)(ωat)(ωb+t)(ωatf
⋅⋅+⋅⋅+
+⋅⋅+⋅⋅=
3133
132
122
12
1111
110
100
10
sincossincos
sincossincos)(
t)(ωb+t)(ωat)(ωb+t)(ωa
t)(ωb+t)(ωat)(ωb+t)(ωatg
⋅⋅+⋅⋅
+⋅⋅+⋅⋅=
3233
232
222
22
1211
210
200
20
sincossincos
sincossincos)(
Donde
141,38
24
356,28
23
571,18
22
785,08
21
3
2
1
=⋅=
=⋅=
=⋅=
=⋅=
πω
πω
πω
πωo
8 Nótese que µ es la covarianza armónica, y coincidirá con la covarianza muestral entre )(tf y )(tg cuando
( ) ( ) 02πsin2πcos1
=⋅⋅⋅⋅∑k
=iii T
tib+Ttia , lo que ocurre cuando la serie armónica se muestran sin desfase,
en cuyo caso, µ=+⋅+ )()( nTgnTf . En general se puede asumir que a medida que es mayor el tamaño
de la serie la covarianza muestral se acercará a la covarianza armónica.
La multiplicación sucesiva de los cuatro armónicos de tx por el primer armónico
de ty daría lugar a las siguientes frecuencias angulares:
230
12
010
0
8
23
8
24
8
218
22
8
23
8
218
21
8
22
8
21
08
21
8
21
ωπππωω
ωπππωω
ωπππωω
ππωω
−=⋅−=⋅−⋅=−
−=⋅−=⋅−⋅=−
−=⋅−=⋅−⋅=−
=⋅−⋅=−
o
o
πππωω
ωππππωω
ωπππωω
ωπππωω
+=⋅+⋅=+
==⋅=⋅+⋅=+
=⋅=⋅+⋅=+
=⋅=⋅+⋅=+
785,08
24
8
218
24
8
23
8
218
23
8
22
8
218
22
8
21
8
21
30
320
210
100
de forma que9
)cos()cos( 00 ωπω −−=+
)sin()sin( 00 ωπω −=+
9
)sin()sin(
)cos()cos(
ππ
+=−+−=−
xx
xx
La multiplicación sucesiva de los cuatro armónicos de tx por el segundo
armónico de ty daría lugar a las siguientes frecuencias angulares:
131
021
11
001
8
22
8
24
8
228
21
8
23
8
22
08
22
8
228
21
8
21
8
22
ωπππωω
ωπππωω
ππωω
ωπππωω
−=⋅−=⋅−⋅=−
−==⋅−=⋅−⋅=−
=⋅−⋅=−
=⋅=⋅−⋅=−
πωππωω
πωππππωω
ωππππωω
ωπππωω
+=⋅+⋅=+
+=⋅+⋅=⋅+⋅=+
==⋅=⋅+⋅=+
=⋅=⋅+⋅=+
131
021
311
201
8
24
8
228
24
8
21
8
23
8
228
24
8
22
8
228
23
8
21
8
22
de forma que
)cos()cos( 11 ωπω −−=+
)sin()sin( 11 ωπω −=+
La multiplicación sucesiva de los cuatro armónicos de tx por el tercer armónico
de ty daría lugar a las siguientes frecuencias angulares:
132
22
012
102
8
21
8
24
8
23
08
23
8
238
21
8
22
8
238
22
8
21
8
23
ωπππωω
ππωω
ωπππωω
ωπππωω
−=⋅−=⋅−⋅=−
=⋅−⋅=−
=⋅=⋅−⋅=−
=⋅=⋅−⋅=−
πωππωω
πωππππωω
πωππππωω
ωππππωω
+=⋅+⋅=+
+=⋅+⋅=⋅+⋅=+
+=⋅+⋅=⋅+⋅=+
==⋅=⋅+⋅=+
232
122
012
302
8
24
8
238
24
8
22
8
23
8
238
24
8
21
8
22
8
238
24
8
21
8
23
de forma que
)cos()cos( 22 ωπω −−=+
)sin()sin( 22 ωπω −=+
La multiplicación sucesiva de los cuatro armónicos de tx por el cuarto armónico
de ty daría lugar a las siguientes frecuencias angulares:
08
24
8
248
21
8
23
8
248
22
8
22
8
248
23
8
21
8
24
33
023
113
203
=⋅−⋅=−
=⋅=⋅−⋅=−
=⋅=⋅−⋅=−
=⋅=⋅−⋅=−
ππωω
ωπππωω
ωπππωω
ωπππωω
πππωω
ωπππωω
ωπππωω
ωπππωω
28
24
8
248
23
8
248
22
8
248
21
8
24
33
223
113
003
=⋅+⋅=+
+=⋅+⋅=+
+=⋅+⋅=+
+=⋅+⋅=+
Teniendo presente que:
1)2cos(
0)2sin(
1)cos(
0)sin(
1)0cos(
0)0sin(
==−=
===
ππ
ππ
se obtienen los coeficientes de Fourier de la serie resultante de la multiplicación
de tt yx ⋅ a partir del siguiente sistema matricial:
−−−−−−−−−
−−−+−+−−−−−+−
−++−+−−−−+−−
+++−−−−
=
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
22
22
220
202
22
22
2
2
20
20
21
21
22
22
20
20
21
21
22
22
20
21
21
22
20
22
20
23
21
21
20
21
21
22
20
22
20
21
23
21
21
22
20
22
20
23
22
20
22
20
21
22
20
22
20
23
22
20
22
20
22
23
21
21
22
20
22
20
21
21
22
21
23
21
22
20
22
20
21
21
23
22
22
21
21
20
20
23
22
22
21
21
20
20
ababab
bababa
babaabbaab
ababbaabaa
baabbaaabb
abbaaabbaa
baabaabbab
abaabbaaba
bababab
abababa
A
=
13
12
12
11
11
10
10
a
b
a
b
a
b
a
B
BA
b
a
ba
b
a
b
a
C ×=
=2
1
3
3
2
2
1
1
0
0
βµ
Prescindiendo de los coeficientes que multiplican a senos con valor cero; el
sistema se reduce a :
−−−−−−−−−
−−−+−+−−−−−+−
−++−+−−−−+−−
+++
=
0
22
22
220
202
22
22
2
20
20
21
21
22
22
20
21
21
22
20
22
20
23
21
21
20
21
21
22
20
22
20
21
23
21
21
22
20
22
20
23
22
20
22
20
21
22
20
22
20
23
22
20
22
20
22
23
21
21
22
20
22
20
21
21
22
21
23
21
22
20
22
20
21
21
23
22
22
21
21
20
20
*
bababa
babaabbaab
ababbaabaa
baabbaaabb
abbaaabbaa
baabaabbab
abaabbaaba
abababa
A
BA
a
b
a
b
a
b
a
C ×=
= *
3
2
2
1
1
0
0
2
1
µ
Una serie de Fourier de 5 armónicos; T=10; da lugar al siguiente sistema
matricial:
−−−−−−−−−−−−
−−−+−−+−+−−−−−−−−+
−+−−++−+−−−−−−−−+
−+++−+−−−−+−−+−−
+++++
=
0
22
22
22
22
22
22
22
22
2
20
20
21
21
22
22
23
23
20
21
21
22
20
22
20
23
21
23
21
24
22
22
20
21
21
22
20
22
20
23
21
23
21
22
24
22
21
22
20
22
20
23
23
24
20
20
23
21
23
21
21
22
20
22
20
23
23
20
24
20
23
21
23
21
22
23
21
23
21
24
20
20
23
23
22
20
22
20
22
23
21
23
21
20
24
20
23
23
22
20
22
20
23
24
22
22
23
21
23
21
22
20
22
20
21
21
23
22
24
22
23
21
23
21
22
20
22
20
21
21
24
23
23
22
22
21
21
20
20
*
babababa
babaabbaabbaab
ababbaabbaabaa
baabbabaabaabb
abbaababaabbaa
baabbaababaabb
abbaabaababbaa
baabaabbaabbab
abaabbaabbaaba
ababababa
A
=
14
13
12
12
12
11
11
10
a
b
a
b
a
b
a
a
B
BA
a
b
a
b
a
b
a
b
a
C ×=
=2
1
4
3
3
2
2
1
1
0
0
µ
En definitiva; los coeficientes de la función de desfase de la covarianza cruzada
entre dos series armónicas se obtienen a partir de la multiplicación matricial:
BAC ×= *
2
1
En tanto que las frecuencias angulares de la serie tt yx ⋅ serían: 0 ; 102π ;
104π ; 10
6π ; 108π ; π .
Ejemplo 5
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅=
10
25cos2,0
10
24sin3,0
10
24cos1,0
10
23sin2,1
10
23cos4,0
10
22sin2,0
10
22cos8,0
10
21sin4,0
10
21cos5,0
tt+
tt+
t
t+
tt+
txt
πππππ
ππππ
f(t)
-2
-1
0
1
2
3
1 7
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅=
10
25cos1,0
10
24sin5,0
10
24cos9,0
10
23sin05,0
10
23cos6,0
10
22sin7,0
10
22cos3,0
10
21sin1,0
10
21cos9,0
tt+
tt+
t
t+
tt+
tyt
πππππ
ππππ
g(t)
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
1 7
el producto tt yx ⋅ da como resultado:
−
−
=
×
−−−−−−−−
−−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−−−−
3,0
2025,0
85,0
4525,0
7125,0
4475,0
265,1
3175,0
0175,2
725,0
2,0
3,0
1,0
2,1
4,0
2,0
8,0
4,0
5,0
01,09,07,03,005,06,05,09,0
2,03,07,03,005,06,02,04,005,0
8,17,03,015,05,12,12,105,08,0
4,13,015,09,05,07,01,06,02,1
6,005,05,15,09,01,01,12,02,1
1,06,02,17,01,09,05,03,015,0
2,12,02,11,01,15,09,005,05,1
14,005,06,02,03,005,03,07,0
8,105,08,02,12,115,05,17,03,0
2,05,09,005,06,07,03,01,09,0
2
1
Que da lugar a la siguiente serie:
( )
( )πππππ
ππππ
cos3,010
26sin2025,0
10
26cos85,0
10
24sin4525,0
10
24cos7125,0
10
22sin4475,0
10
22cos265,1
10
2sin3175,0
10
2cos0175,20cos725,0
⋅+
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
⋅⋅−
⋅⋅+⋅=⋅
tttt
t+
tttyx tt
f(t)*g(t)
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
1 7
Nótese que la covarianza entre tx e ty es 0,725.
Regresión “band spectrum”.
La multiplicación de dos series armónicas de media cero da como resultado:
( ) t
k
popptt ztpbtpaxy +=++=⋅ ∑
=
µωϖµ1
'0
' sincos
donde *
22
1
1
**
2 TT
k
=p
pppp aab+baa
+
=∑
−
µ sería la covarianza cruzada; en tanto que
'pa y '
pb serían combinaciones lineales de los coeficientes de Fourier de tx e ty ;
que dan lugar a la función de desfases que se dan entre las frecuencias
relevantes de dos series armónicas.
Cuando 0=tz ; la covarianza cruzada coincide con la covarianza del proceso
bivariado.
El regresor mínimo-cuadrático de la estimación: ttt ebxy += es el siguiente:
∑∑ ⋅
=2
ˆt
ttMVCO x
yxb
∑∑==
+⋅=⋅T
tt
T
ttt zTxy
11
µ
Teniendo en cuenta la relación de Parseval que muestra que el periodograma
estudia de hecho la distribución de la varianza o potencia de la serie en función
de los diversos armónicos.
La varianza del proceso tx quedaría definida a partir de:
( ) 2
2
1
1
222
2
1T
q
pppx aba ++= ∑
−
=
σ
En consecuencia
+
+
+
=
∑
∑∑
−
=
−
2
2
1
1
22
1
*
22
1
1
**
2
2ˆ
T
k
=p
pp
T
ttTT
k
=p
pppp
MCO
ab+a
T
zaab+baa
T
b
Dado que 01
≅∑=
T
ttz entonces:
( )
( )∑
∑−
−
+
⋅+≅
1
1
2
2
22
*
22
1
1
**
2
2ˆ
k
=pTpp
TT
k
=ppppp
MCO
ab+a
aab+baa
b
El error mínimo-cuadrático tµ ; se calcula como:
( )
( )tk
=pTpp
TT
k
=ppppp
ttMCOttt xab+a
aabb+aa
yxbyyy
∑
∑−
−
+
⋅+−=−=−
1
1
2
2
22
*
22
1
1
**
2
2ˆˆ
Y su varianza:
( ) ( )( )
( )
+
⋅+
−+=−∑
∑∑ −
−
−
1
1
2
2
22
2
*
22
1
1
**
1
1
2*
2
2*2*2
22
1
22
1
22
1ˆ
k
=pTpp
TT
k
=pppppk
=pTpptt
ab+a
aab+baa
ab+anyy
Considerando ahora las series aperiódicas; es decir series que no se pueden
describir exclusivamente por los 2
T armónicos; en estos casos el
periodograma es definido como
( ) 2ˆ xwf kkx =θ
siendo kw el vector fila:
( )kkk iTiik eeew θθθ )1(2 ,...,,,1 −=
donde Tk
kπθ 2= ; y t=0;1;…;T-1;
Txwk sería el elemento k-ésimo de la
transformada finita de Fourier del vector columna de tx
y el cross-periodograma entre las series tx e ty
( ) ( ) ( )ywxwf kkkxy∗=θˆ
Donde * es la compleja conjugada de la transpuesta.
Hannam (1963) y Engle (1972) formularon el estimador mínimo-cuadrático en
términos del periodograma:
( ) ( )∑∑−
=
−−
=
=1
0
11
0
ˆˆˆT
kkxy
T
kkxx ff θθβ
donde ( )kxxf θˆ es la matriz del cross-periodograma de tx .
Utilizando las transformadas discretas de Fourier; )(yDFT=β y )(xDFT=γ .
La relación de Plancharel muestra que se verifica la siguiente correspondencia
de productos escalares:
( ) ( )γβ ,1
,N
xy =
en tanto que la igualdad de Parserval constituye el caso particular de xy = .
Por tanto utilizando las Transformadas Discretas de Fourier cabría calcular el
regresor mínimo cuadrado a partir de
( )( )γγ
γββ,
,ˆ =MCO
en series cuyo valor esperado fuese cero.
Ejemplo 6
En la tabla nº 6 figuran las cifras de Consumo de energía final eléctrica (TEP) y
del PIB en Millones de euros de España en el periodo 1992 y 2007.
Tabla nº 6. Consumo de energía final eléctrica (TEP) y del PIB en Millones de
euros de España de 2000
Consumo de Energía Final Eléctrica (TEP)
PIB (Mill euros año 2000)
1992 11244 484580;9 1993 11237 479583;3 1994 11777 491011;6 1995 12116 515405 1996 12655 527862;4 1997 13672 548283;8 1998 14202 572782 1999 15241 599965;8 2000 16205 630263 2001 17279 653255 2002 17759 670920;4 2003 18916 691694;7 2004 19834 714291;2 2005 20827 740108 2006 22052 769850;2 2007 22548 797366;8
Transformando estas cifras en logaritmos y tomadas como diferencia sobre la
media; obtenemos las series tx (PIB ) e ty (Consumo Energía); la regresión
Mínimo Cuadrática de ambas series ofrece los siguientes resultados:
Tabla nº 7. Resultados de la regresión MCO entre el Consumo de energía final
eléctrica (TEP) y del PIB en Millones de euros de España de 2000. Logaritmos.
Resumen
Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple 0;9986985 Coeficiente de determinación R^2 0;99739868 R^2 ajustado 0;93073202 Error típico 0;01242767
Observaciones 16 ANÁLISIS DE VARIANZA
Grados de
libertad Suma de
cuadrados Promedio de los
cuadrados F Valor crítico
de F Regresión 1 0;88827222 0;88827222 5751;31267 1;0441E-19 Residuos 15 0;0023167 0;00015445 Total 16 0;89058893
Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad Inferior
95% Superior
95% Intercepción 0 #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A PIB (Mill euros año 2000) 1;41816621 0;01870009 75;8374094 8;3389E-21 1;37830792 1;4580245
El periodograma del PIB sería:
Tabla nº 8. Periodograma del PIB en Millones de euros de España de 2000.
Logaritmos.
Frecuencia Periodo
1 16 0;0586 -0;2688 0;9509 0;0378 2 8 0;0580 -0;1119 0;1995 0;0079 3 5;3333 0;0489 -0;0714 0;0942 0;0037 4 4 0;0442 -0;0449 0;0499 0;0020 5 3;2 0;0507 -0;0323 0;0454 0;0018 6 2;6667 0;0433 -0;0161 0;0268 0;0011 7 2;2857 0;0377 -0;0069 0;0184 0;0007 8 2 0;0234 0;0000 0;0069 0;0003
Y su varianza
( ) 0276,02
1 28
7
1
222 =++= ∑=
abap
ppxσ
El periodograma del Consumo de Energía Eléctrica Final sería:
Tabla nº 9. Periodograma del Consumo de Energía Eléctrica en TEP.
Logaritmos.
pa pb pa( ) ( )
πω
4
22pp
i
baTI
+=
2
)( 22pp ba +
Frecuencia Periodo
1 16 0;0381 -0;1883 0;4638 0;0185 2 8 0;0439 -0;0767 0;0982 0;0039 3 5;3333 0;0390 -0;0522 0;0534 0;0021 4 4 0;0367 -0;0290 0;0275 0;0011 5 3;2 0;0337 -0;0180 0;0183 0;0007 6 2;6667 0;0296 -0;0121 0;0128 0;0005 7 2;2857 0;0314 -0;0071 0;0130 0;0005 8 2 0;0162 0;0000 0;0033 0;0001
Y su varianza:
( ) 0557,02
1 2*8
7
1
2*2*2 =++= ∑=
abap
ppyσ
La covarianza cruzada del PIB y el Consumo de Energía Eléctrica sería
entonces:
Tabla nº 10. Covarianza cruzada entre el PIB en Millones de euros de España
de 2000 y el del Consumo de Energía Eléctrica en TEP . Logaritmos.
Consumo Energía Final
Eléctrica PIB
Frecuencia Periodo
1 16 0;0381 -0;1883 0;0586 -0;2688 0;0264 2 1 0;0439 -0;0767 0;0580 -0;1119 0;0056 3 0;3333 0;0390 -0;0522 0;0489 -0;0714 0;0028 4 0 0;0367 -0;0290 0;0442 -0;0449 0;0015 5 0;2 0;0337 -0;0180 0;0507 -0;0323 0;0011 6 0;1667 0;0296 -0;0121 0;0433 -0;0161 0;0007 7 0;1429 0;0314 -0;0071 0;0377 -0;0069 0;0006 8 0 0;0162 0;0000 0;0234 0;0000 0;0002
0391,02
*88
7
1
**
=+
=∑ aa
b+baa
=p
ppppµ
pa pb pa( ) ( )
πω
4
2*2*pp
i
baTI
+=
2
)( 2*2*pp ba +
papb *
pa
2
)( **pppp bbaa +
*
pb
La estimación mínimo cuadrática sería entonces:
4182,10276,0
0391,0
2
2ˆ
7
1
28
22
*88
7
1
**
==
+
+
≅
∑
∑
=p
pp
=p
pppp
MCO
ab+a
aab+baa
b
La varianza del error mínimo cuadrático:
( ) ( )( )
( )00232,0
0276,0
0391,00557,016
22
1
22
1
22
1ˆ
2
1
1
2
2
22
2
*
22
1
1
**
1
1
2*
2
2*2*2 =
−=
+
⋅+
−+=−∑
∑∑ −
−
−
k
=pTpp
TT
k
=pppppk
=pTpptt
ab+a
aab+baa
ab+anyy
El error de regresión; cuyo DW=2;006; figura calculado en la tabla nº 12.
Tabla nº 11. Error de la regresión MCO entre el Consumo de energía final
eléctrica (TEP) y del PIB en Millones de euros de España de 2000. Logaritmos.
ty tx ty tu
-0;3311 -0;2293 -0;3253 -0;0058 -0;3317 -0;2397 -0;3400 0;0082 -0;2848 -0;2162 -0;3066 0;0218 -0;2564 -0;1677 -0;2378 -0;0186 -0;2129 -0;1438 -0;2039 -0;0090 -0;1356 -0;1058 -0;1501 0;0145 -0;0975 -0;0621 -0;0881 -0;0094 -0;0269 -0;0158 -0;0224 -0;0046 0;0344 0;0335 0;0475 -0;0131 0;0986 0;0693 0;0983 0;0002 0;1260 0;0960 0;1362 -0;0102 0;1891 0;1265 0;1794 0;0097 0;2365 0;1587 0;2250 0;0115 0;2853 0;1942 0;2754 0;0100 0;3425 0;2336 0;3312 0;0112 0;3647 0;2687 0;3810 -0;0163
La representación gráfica del error de regresión figura a continuación:
Error de regresión
-0,0250-0,0200-0,0150-0,0100-0,00500,00000,00500,01000,01500,02000,0250
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
La representación gráfica de los residuos mínimo-cuadráticos se ha realizado
calculando las bandas superior e inferior del test de Durbin con un nivel del 1%
de correlación serial positiva; siendo T=16 y k=2; m’=7. Con el 1% de
significación para m’ el valor que se obtiene de la tabla es 24165,00 =c .
Tabla nº 12 .- Periodograma acumulado del error mínimo-cuadrático
Frecuencia Periodo
1 16 0;0046 -0;0017 0;0003 0;0826 0;5762 0;5048 2 8 -0;0043 -0;0030 0;0003 0;1771 0;7191 0;6477 3 5;3333 -0;0065 0;0025 0;0006 0;3447 0;8619 0;7905 4 4 -0;0079 -0;0037 0;0009 0;6057 1;0048 0;9334 5 3;2 0;0029 -0;0067 0;0007 0;7928 1;1477 1;0762 6 2;6667 0;0013 0;0010 0;0000 0;8015 1;2905 1;2191 7 2;2857 -0;0069 0;0031 0;0007 0;9995 1;4334 1;3619 8 2 0;0004 0;0000 0;0000 1;0000 1;5762 1;5048
0,0000
0,2000
0,4000
0,6000
0,8000
1,0000
1,2000
1,4000
1,6000
1,8000
1 2 3 4 5 6 7 8
pa pb ( ) ( )π
ω4
22pp
i
baTI
+= js 2, =+ kc 2, =− kc
TEMA IV.- FILTROS LINEALES
Operadores de series de tiempo
El operador de retardo se define como:
jttk xxL −=
Para ℜ∈k . Los polinomios en el operador de rezago toman la siguiente
forma:
ppLLLL φφφφ ++++= ...1)( 22
Las p raíces del polinomio se obtienen resolviendo para 0)( =Lφ .
Los operadores de diferenciación; o de diferencia; se definen como:
dd L)1( −=∆ ó )1( dd L−=∆
Finalmente; en el contexto de ajuste estacional se define la diferencia
estacional como:
∑−
=
− =++++=1
0
12 ...1s
j
js LLLLϑ
Donde s es el número de periodos observados por año.
Filtros lineales 10
Un filtro lineal se define como:
∑∞
−∞=
=j
jj LaLa )(
donde los ponderadores son números reales; i. e. ℜ∈ja ; no dependen del
tiempo y satisfacen ∑∞
−∞=
∞<j
ja2 . Aplicando el filtro lineal )(La a un proceso
estocástico estacionario; tx ; da como resultado un nuevo proceso estocástico:
∑∞
−∞=−==
jjtjtt xaxLay )( (1)
donde las propiedades de tx se transmiten a ty por medio del filtro lineal )(La .
Para examinar el efecto que tiene un filtro lineal hay que analizarlo en el
dominio de la frecuencia.
Utilizando la transformada de Fourier; se obtiene el espectro del filtro lineal
aplicado a tx :
)()()(2
ωω ωx
iy SeaS −=
donde: ( ) ∑∞
−∞=
−− =j
ji
ji eaea
ωω
10 Para mas detalle ver Francisco G. Villarreal. Elementos teóricos del ajuste estacional de series económicas
utilizando X-12-ARIMA y TRAMO-SEATS. Serie 38. Estudios estadísticos y prospectivos División de Estadística y
Proyecciones Económicas. Santiago de Chile, Diciembre del 2005. www.eclac.org/publicaciones/xml/9/24099/lcl2457e.pdf
es conocido como la respuesta de frecuencia del filtro lineal o función de
transferencia. Esta función describe como el espectro de la serie tx es afectado
por la aplicación del filtro )(La .
Dado que la respuesta de frecuencia puede resultar en valores complejos
resulta conveniente expresarla como:
( ) ( ) )(ωω ω iFi eGea −− =
donde:
( ) ( )ωω ieaG −=
y
−=
∑
∑∞
−∞=
∞
−∞=−
jj
jj
ja
ja
F)cos(
)sin(
tan)( 1
ω
ωω
son respectivamente el módulo y el argumento de la respuesta de frecuencia.
En este contexto el módulo; )(ωG ; es conocido como la ganancia del filtro; el
cual determina la medida en la que la amplitud de los movimientos observados
en cierta frecuencia en el espectro de tx son transferidos al espectro de ty .
Por ejemplo una ganancia de cero alrededor de la frecuencia [ ]1
,01 πω ∈
significa que el proceso filtrado no mostrará movimientos alrededor de dicha
frecuencia.
Por su parte el argumento; )(ωF ; es conocido como el desplazamiento de fase
del filtro; el cual esta asociado a desplazamientos de la serie en el dominio del
tiempo11. Es importante notar que cuando jj aa −= para toda j ; es decir
cuando se trata de un filtro simétrico; el desplazamiento de fase del filtro es
igual a cero 12; lo que implica que 0)( =ωF .
Tipos de filtros 13
Los filtros más utilizados en el análisis de series temporales son las tasas de
variación y las medias móviles.
Las tasas de variación son operadores lineales invariantes en el tiempo pero no
lineales. Dado que la teoría elemental de los filtros se refiere a operadores
lineales invariantes; hay que aproximar las tasas a operadores de diferencia.
Así la primera diferencia de un logaritmo es una buena aproximación de una
tasa de variación mensual.
11 A veces el desplazamiento de fase se expresa como ωω)(F
, lo cual permite expresar el desfase en unidades
de tiempo.
12 Para entender esta propiedad de los filtros lineales, se utilizan las siguientes funciones trigonométricas:
0)sin()sin( =+− ωω
0)0sin( =
Esto implica que cuando jj hh −= , el producto en ∑
∞
−∞=jj jh )sin(ω sea igual a cero, lo cual a su vez implica
que 0)( =ωF dado que 0)0(tan 1 =− .
13 Para mayor detalle Francisco Melis Maynar: La Estimación del ritmo de variación de las series económicas. Estadística Española. Vol 22. Num. 126, 1991, págs 7 a 56. http://www.ine.es/revistas/estaespa/126_1.pdf
Sea t
ttx
xxT )( 1−−= ; utilizando operadores de diferencia obtenemos el filtro
lineal invariante más elemental:
)()1()()( tt xLnLxLnLa −=
Las aproximaciones lineales de las tasas más utilizadas y los filtros lineales
equivalentes aparecen en la Tabla nº 14.
Tabla nº14.- Tasas de Variación y Filtros Lineales equivalentes
Expresión Filtro lineal Equivalente
100112
1
11 ⋅
−
−t
tx
xT
)1( L−
10012
6
16 ⋅
−
−t
tx
xT
)1( 6L−
100112
112 ⋅
−
−t
tx
xT
)1( 12L−
100112
1
31 ⋅
−
−t
tz
zT ( )
321 −− ++= ttt
txxxz
)1()1)(1( 32 LLLL −=++−
10014
1
33 ⋅
−
−t
tz
zT ( )
321 −− ++= ttt
txxxz
2323 )1)(1()1)(1( LLLLLL ++−=++−
100112
1
61 ⋅
−
−t
tz
zT ( )
6... 51 −− +++= ttt
txxxz
)1()...1)(1( 652 LLLLL −=++++−
100112
1
121 ⋅
−
−t
tz
zT ( )
12... 111 −− +++= ttt
txxxz
)1()...1)(1( 12112 LLLLL −=++++−
100112
12
1212 ⋅
−
−t
tz
zT ( )
12... 111 −− +++= ttt
txxxz
)1()1()...1)(1(
21211212
LLLLLL −
−=++++−
Fuente: Melis (1991)
Una media móvil simple es la media aritmética de los n datos anteriores
Mientras más grande sea n; mayor será la influencia de los datos antiguos.
Las medias móviles centradas se caracterizan porque el número de
observaciones que entran en su cálculo es impar; asignándose cada media
móvil a la observación central. Así; una media móvil centrada en t de longitud
2n + 1 viene dada por la siguiente expresión:
12
......
12
1)12( 11
+++++++
=+
=+ +−++−−
−=+∑
n
xxxxxx
nnMM ntnttntnt
n
niitt
Como puede observarse; el subíndice asignado a la media móvil; t; es el mismo
que el de la observación central; Yt. Obsérvese también que; por construcción;
no se pueden calcular las medias móviles correspondientes a las n primeras y
a las n últimas observaciones.
En las medias móviles asimétricas se asigna cada media móvil al período
correspondiente a la observación más adelantada de todas las que intervienen
en su cálculo. Así la media móvil asimétrica de n puntos asociada a la
observación t tendrá la siguiente expresión:
n
xxxxY
nnMMA ttntnt
t
ntiitt
++++== −+−+−
+−=+∑ 121
1
...1)(
Los filtros lineales asociados a las medias móviles se denotan de la siguiente
forma:
∑=
=n
jt
jt xL
nxLa
0
1)(
Ejemplo 7
Partimos de la serie ( )3sin txt⋅= π y aplicamos el filtro lineal LLa −= 1)( .
El resultado se ilustra en la figura siguiente:
-1
-0,5
0
0,5
1
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27
Serie original Serie filtrada
A partir de la respuesta de frecuencia del filtro:
( ) ( ) ( )
=
=
−=−= −−−−−−
2sin2
2sin21 222222 ωω ωπωωωωωϖ iiiiiii eieeeeeea
Donde se ha hecho uso de la igualdad 12 =πi
e y del Teorema de Moivre14.
Se obtienen su función de ganancia y de fase:
14 )sin()cos( ωωω ie i −=− y )sin()cos( ωωω iei +=
=2
sin2)(ωωG
22)(
ωπω −=F
La función de ganancia aparece en la figura siguiente:
Función de ganancia del filtro LLa −= 1)(
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
-0,36 0,14 0,64 1,14 1,64 2,14 2,64 3,14
El desfase temporal de este filtro 4
222)( −=
−= TF
ω
ωπ
ωω
; si se
considera Tπω 2= .
Ejemplo 8
Partimos de la serie ( )3sin txt⋅= π y aplicamos el filtro lineal ∑
=
=2
03
1)(
j
jLLa .
El resultado se ilustra en la figura adjunta:
-1
-0,5
0
0,5
1
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27
Serie original Serie filtrada
En el gráfico se observa que las oscilaciones de la serie filtrada son de
amplitud menor a las de la serie original; y que hay un desplazamiento de la
serie filtrada con respecto a la original.
A partir de la respuesta de frecuencia del filtro:
( ) ( )ωωϖ iii eeea 213
1 −−− ++=
se obtienen su ganancia15 y desplazamiento de fase:
( ))cos(213
1)( ωω +==G
ωω −=)(F
15 ( ) ( ) ( ))cos(2111 2 ωωωωωωω +=++=++ −−−−− iiiiii eeeeee
ya que 1=− ωω ii ee , ( ) ( ))cos(2 ωωω =+ −ii ee ,aplicando el teorema de De Moivre y las
igualdades )sin()sin( ωω −=− y )cos()cos( ωω −=−
1)( −=−=ωωωφ
La función de ganancia aparece en la siguiente figura:
Función de ganancia del filtro ∑=
=2
03
1)(
j
jLLa
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
-0,36 0,14 0,64 1,14 1,64 2,14 2,64 3,14
Se aprecia que la ganancia del filtro es igual a cero en la frecuencia 32πω = .
Esto significa que el filtro anula el efecto de cualquier componente de la serie
que tenga fluctuaciones con periodo 3. Por ejemplo; si se trata de una serie de
tiempo mensual el filtro eliminará cualquier efecto cuatrimestral presente en la
serie.
Normalizando el desplazamiento de fase se obtiene que 1)( −=ωωF . Esto
significa que el filtro introduce un desfase temporal de un periodo en la serie
filtrada. Por esta razón en las herramientas de ajuste estacional los filtros
utilizados siempre son simétricos.
Tabla nº 15.- MODULO; FASE y DESFASE TEMPORAL DE LOS FILTROS DE
LA TABLA Nº14
Filtro Modulo Periodo de
máxima ganancia
Fase Desfase
temporal
para un
periodo
p
)1( L− ( )2sin2 ω 2
22
ωπ − 4
2−p
)1( 3L− ( )23sin2 ω 6;2
23
2
ωπ −
4
6−p
)1( 6L− ( )26sin2 ω 12;4;24
26
2
ωπ −
4
12−p
)1( 12L− ( )212sin2 ω
24;8;4.8;3.43;2.7
;2.8 2
122
ωπ −
4
24−p
2323 )1)(1()1)(1( LLLLLL ++−=++−
( )( )2sin3
23sin2 2
ω
ω
8
25
2
ωπ −
4
10−p
)1()...1)(1(212
11212 LLLLL −=++++−
( )( )2sin12
212sin2 2
ω
ω
32
223
2
ωπ −
4
46−p
Fuente: Melis (1991)
El filtro como producto de convolución
Sean y y z dos vectores de dimensión N. Se define su producto de
convolución zy∗ ; como el vector:
++++++++++
++++++++++
+++++
=∗
−−−−−
−−−−−−
−−
−−−
−−−−
0112322110
1102423120
3142021120
2132120110
1122221100
...
...
.
...
...
...
yzyzyzyzyz
yzyzyzyzyz
yzyzyzyzyz
yzyzyzyzyz
yzyzyzyzyz
zy
NNNNN
NNNNNN
NN
NNN
NNNN
El producto de convolución se puede expresar de forma matricial:
⋅
=∗
−
−
−−−
−−−−
−
−−
1
2
3
1
01321
10432
3412
2211
1221
.
.
.
......
.
.
.
N
N
o
NNN
NNNN
o
No
NNo
z
z
z
z
z
yyyyy
yyyyy
yyyyy
yyyyy
yyyyy
zy
La matriz cuadrada del producto de convulsión recibe el nombre de matriz
circulante ya que los elementos de la primera columna van rotando su posición
en las columnas sucesivas.
La transformada discreta de Fourier del producto de convolución de zy∗ es el
producto de Hadamard de las correspondientes transformadas de y y de z :
( ) )()( zDFTyDFTzyDFT ⋅=∗
Una forma de calcular zy∗ es a traves de la multiplicación coordenada a
coordenada de las transformadas de y y de z ; obteniendo la transformada
inversa de este vector ( ( )zyDFT ∗ ).
Filtrar una serie puede entenderse como el producto de una convolución; así
por ejemplo al emplear el filtro lineal )1( L− se realizaría el siguiente producto
de convolución:
⋅
−−
−−
−
=∗
−
−
1
2
3
1
.
10.001
11.000
......
00.100
00.110
00.011
N
N
o
z
z
z
z
z
zy
En donde el vector y sería
−
=
1
0
0
0
0
1
y
Una media móvil centrada de tres términos se expresaría por el siguiente
producto de convolución:
⋅
=∗
−
−
1
2
3
1
.
310.03
13
13
13
1.0031
......
00.3100
00.31
310
310.03
13
1
N
N
o
z
z
z
z
z
zy
En donde el vector z sería
=
313
1.
0
03
1
y
Ejemplo 9
Utilizando R vamos a filtrar la serie
Y <- PIB
# transformadas
y <- fft(Y)
#filtro de diferencia
F <- c(-1, rep(0, 36), 1)
f <- fft(F)
D_Y <- fft(fft(F)*y,inverse=TRUE)/38
plot.ts (D_Y[1 :37], type="l")
Time
D_Y
[1:3
7]
0 5 10 15 20 25 30 35
010
000
2000
030
000
# periodograma de filtro
CF = abs(fft(F)/sqrt(38))^2
P = CF[1:20]/(2*pi)
f = (0:19)/38
plot(f, P, type="l")
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0.00
00.
005
0.01
00.
015
f
P
El periodograma del filtro de primeras diferencias filtra las bajas frecuencias, y
amplifica las altas frecuencias o los movimientos de corto plazo.
#filtro de media movil
F <- c(1/4, rep(0, 34), rep(1/4,3))
f <- fft(F)
M_Y <- fft(fft(F)*y,inverse=TRUE)/38
plot.ts (M_Y[1:34], type="l")
Time
M_Y
[1:3
4]
0 5 10 15 20 25 30 35
-2e+
05-1
e+05
0e+0
01e
+05
2e+0
5
# periodograma de filtro
CF = abs(fft(F)/sqrt(38))^2
P = CF[1:20]/(2*pi)
f = (0:19)/38
plot(f, P, type="l")
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0.00
00.
001
0.00
20.
003
0.00
4
f
P
El periodograma de filtro de medias móviles de cuatro términos filtra las bajas
frecuencias, y amplifica las altas frecuencias o los movimientos de largo plazo.
TEMA V.- APROXIMACIÓN DE UNA FUNCION UTILIZANDO EL
ANALISIS ARMÓNICO.
Flexibilidad
Dado que la forma funcional de la relación entre la variable dependiente y los
regresores es en general desconocida; uno puede preguntarse si existe un
modelo paramétrico que pueda aproximar una amplia variedad de relaciones
funcionales. Flexibilidad es así un concepto multidimensional; y dar una
definición técnica de flexibilidad puede no ser adecuado a todas las
situaciones.
La flexibilidad local (a veces Diewert flexibilidad o simplemente flexibilidad)
implica que una aproximación a una forma funcional converge a error cero
(aproximación perfecta) para una función arbitraria en sus dos primeras
derivadas en un punto particular.
Las series de expansión de Taylor han dominado el campo de las formas de
flexibilidad local pero no es la única posibilidad de ofrecer flexibilidad local
(Barnett). Ignorando las complicaciones de la estimación estadística se puede
asumir se puede aproximar funcionalmente una relación conocida a una forma
flexibles imponiendo amplios errores en la aproximación funcional y sus
derivadas lejos del punto de aproximación perfecta (Despotakis; 1980).
Los problemas asociados a la estimación de estos modelos ha reducido el
atractivo de las formas de flexibilidad local. El ejemplo propuesto por White
(1980) demuestra que los estimadores mínimo cuadrados de las series de
expansión de Taylor no son indicadores muy reales del vector de los
parámetros para una expansión cierta de una función conocida. Como
consecuencia de estas y otras investigaciones; las propiedades predictivas de
las formas de flexibilidad local han sido encontradas poco satisfactorias.
La flexibilidad global (a menudo flexibilidad de Sobolev) se prefiere a la
flexibilidad local por la ausencia de restricciones de segundo orden en cualquier
punto (Gallant 1981; 1982). En principio; los únicos requerimientos exigidos a
estas formas flexibles son que; en primer lugar; deben poseer suficientes
parámetros como para que puedan considerarse una aproximación adecuada a
la verdadera función; y; en segundo lugar; deben generar funciones
potencialmente integrables; es decir; capaces de verificar las restricciones
teóricas.
En su aplicación; a menudo; la norma de Sobolev no permite obtener
parámetros estimados; entonces la estimación de las formas flexibles globales
podría usar las tradicionales medidas de distancia de mínimos cuadrados
(Elbadawi; Gallant; y Souza; 1983).
Flexibilidad local
La flexibilidad se entiende como local (flexibilidad de Diewert); cuando da lugar
a una aproximación que converge a error cero (aproximación perfecta) a una
función arbitraria y sus dos primeras derivadas en un punto concreto. Las
series de expansión de segundo orden de Taylor han dominado el campo de
las formas de flexibilidad local; pero las inferencias basadas en series de Taylor
pueden estar seriamente sesgadas; debido al comportamiento problemático del
término residual de la aproximación.
Supongamos que el modelo es
( ) exgy +=
Una serie de expansión de segundo orden de Taylor (que remaineder term) de
la función g(x) en el punto x=0 es
RxgDx
gDxgxg xx +++=
2
)0(')0(')0()(
2
Usamos la aproximación; que simplificamos ocultando el término residual;
como una aproximación de g(x):
2
)0(')0(')0()()(
2 xgDxgDxgxgkxg x
x ++=≈
Cuando x →0; la aproximación viene a ser más o menos exacta; en el sentido
de que gk(x) → g(x); Dxgk(x) → Dxg(x) y D2xgk(x)→ D2
xg(x) . Para x=0; la
aproximación es exacta; en la primera y segunda derivada. La idea que esta
detrás es que en muchas formas funcionales flexibles g(0); Dxg(0) y D2xg(0)
son constantes. Si nosotros tratamos estas como parámetros; la aproximación
podría tener suficientes parámetros libres para aproximar la función g(x);
cuando es desconocida la forma; en concreto; el primero y segundo orden; en
el punto x=0.
El modelo es:
xxxxgk Γ++= '21')( βα
Entonces el modelo de regresión a estimar es
xxxy Γ++= '21'βα
Entre las formas flexibles más usadas que proceden de aproximaciones de
Taylor destaca las formas Translog; introducidas por Christensen; Jorgenson y
Lau (1975). Sin embargo; tal como han mostrado Caves y Christensen (1980);
Guilkey y Lovell (1980); Barnett (1983); o Gallant (1981); las inferencias
derivadas de funciones basados en series de Taylor pueden estar seriamente
sesgadas; debido al comportamiento problemático del término residual de la
aproximación; este hecho no es de extrañar16; ya que las aproximaciones de
Taylor poseen un carácter inherentemente local; “funcionando bien” en un
entorno pequeño (de tamaño desconocido) de un punto específico.
En la literatura han surgido varias alternativas que han intentado mejorar (no
sin dificultades) los problemas de la reducida dimensión de la región regular de
los modelos Taylor-flexibles (también denominados modelos localmente
flexibles. Entre ellas destacan las propuestas hechas por Barnett (1983);
Gallant (1981;1982); o Diewert y Wales (1987;1988).
16 En el modelo de regresión Diewert-flexible, se plantea la siguiente cuestión: Es )0(ˆlim gp =α ? Es
)0(ˆlim gDp x=β ? Es )0(ˆlim 2gDp x=Γ ?
La respuesta es no, en general, ya que si encontramos los valores ciertos de los parámetros en estas derivadas, entonces e (error) forma parte del termino residual, el cual es función de x, entonces x y e están correlacionados, lo que implica que el estimador esta sesgado. (Creel M “Econometrics” Version 0.80, February, 2006 Dept. of Economics and Economic history, Universitat autònoma de Barcelona). http://pareto.uab.es/mcreel/Econometrics/econometrics.pdf
Barnett (1983) propone el uso de aproximaciones de Laurent en lugar de las
tradicionales de Taylor debido a que las primeras producen errores (de
aproximación) con un comportamiento global mucho menos volátil que el de las
segundas. De hecho; sus trabajos muestran que la forma Minflex-Laurent (que
resulta de restringir algunos parámetros de la aproximación original); aún sin
ser globalmente regular; da lugar a sistemas de demanda con regiones de
regularidad mucho más amplias que las derivadas de aproximaciones de
Taylor.
La aproximación completa de Laurent a la función ( )xΦ que utiliza Barnett
(1983) se escribe en notación matricial como:
( ) ( ) ( )ωωωωωωωω RBbAaax o +−−++=Φ=Φ ''2''2*
Donde ( ) ( )ni xxxw ,...,, 21==ω ;
==
nwww1,...,1,1
21ω y ( )ωR es el error
de la aproximación; y donde se supone que las matrices de los parámetros
[ ]ijaA = y [ ]ijbB = son simétricas. La aproximación Minflex-Laurent se obtiene
al imponer las restricciones 0=b ; 0=iib sobre la matriz B y 0≥ija y 0≥ijb para
ji ≠ sobre las matrices A y B. Por otro lado; cuando el vector b y las matrices
A y B son nulas; la expresión anterior da lugar a la función Leontief-
Generalizado (Diewert; 1971).
En Diewert y Wales (1987) se utiliza la misma base de expansión (Minflex-
Laurent) que en los trabajos anteriores; dando lugar a un modelo que ellos
denominan Barnett-Generalizado. El modelo es completamente regular; pero
sólo localmente cuasi-flexible; lo que supone limitar sensiblemente el rango de
inferencias que se deriva de dicho modelo.
Forma Flexible de Fourier (FFF)
Gallant (1981;1982) introdujo una forma funcional con capacidades muy
distintas a las propuestas hasta el momento; cuyas propiedades de flexibilidad
eran en todos los casos locales. La forma de Fourier que utiliza Gallant posee
la propiedad de flexibilidad global; es decir; permite aproximar arbitrariamente
cerca tanto a la función como a sus derivadas sobre todo el dominio de
definición de las mismas. La idea que subyace en este tipo de aproximaciones
(que podrían denominarse semi-no-paramétricas) es ampliar el orden de la
base de expansión; cuando el tamaño de la muestra aumenta; hasta conseguir
la convergencia asintótica de la función aproximante a la verdadera función
generadora de los datos y a sus derivadas.
Por tratarse de una forma Sobolev-flexible17 (frente a la Diewert-flexibilidad de
las anteriores) es capaz de estimar consistentemente las elasticidades precio y
renta sobre todo el espacio de datos (ElBadawi; Gallant y Souza; 1983);
además; asintóticamente pueden conseguirse contrastes estadísticos
insesgados (Gallant; 1981; 1982) y la eliminación del problema de inferencias
aumentadas provocado por la especificación de un determinado modelo. Por
último; Gallant y Souza (1991) han mostrado la normalidad asintótica de las
estimaciones derivadas de la forma de Fourier.
En la parte negativa; el modelo de Fourier puede conseguir la regularidad
global; pero las restricciones paramétricas que ello implica son excesivamente
fuertes (Gallant; 1981); sin embargo; existen condiciones más débiles (que no
destruyen ni la flexibilidad ni la consistencia de los estimadores) con las que se
puede conseguir la regularidad teórica al menos sobre un conjunto finito de
puntos (Gallant y Golub; 1983); aunque la implemenntación de tales
restricciones resulta compleja (McFadden; 1985).
En cualquier caso; las simulaciones de Monte Carlo realizadas por Fleissig;
Kastens y Terrell (1997) y Chalfant y Gallant (1985) han mostrado que la
región de regularidad de la forma de Fourier libre -sin restricciones de ningún
tipo- es mucho mayor que la correspondiente a las formas Leontief-
Generalizada o Translog.
Un polinomio de Fourier viene dado por la expresión:
17 Para consultar la norma Sebolev: http://pareto.uab.es/mcreel/Econometrics/econometrics.pdf
( ) ( )( )∑=
++k
jojoj tjwvtjwu
a
1
sincos2
Donde k es el número de ciclos teóricos o armónicos que consideramos; siendo
el máximo n/2.
nw
π20 = es la frecuencia fundamental (también denominada frecuencia angular
fundamental).
t toma los valores enteros comprendidos entre 1 y n (es decir; t = 1; 2; 3; ...n).
Los coeficientes de los armónicos vienen dados por las expresiones:
( )( ) ( )∑∑∑===
===n
iioij
n
iiij
n
ii jtwy
nvjtwy
nuy
n
a
110
1
sin2
,cos2
,2
2
La aproximación a una función no periódica )(xg por una serie de expansión de
Fourier se realiza en Gallart (1981) añadiendo es esta un término lineal y
cuadrático. De esta forma que la aproximación univariada se escribe como:
( ) ( ) ( )jxsvjxucxbxaxg j
J
jj sincos2
2
1/
1
2 −+++= ∑=
θ (1)
El vector de parámetros es ( )JJ vuvucba ,,...,,,, 11=θ de longitud JK 23+= ;
siendo nJ ≈ .
Suponiendo que los datos siguieran el modelo iii exgy += )( para i=1;2;…;n
estimariamos θ por mínimos cuadrados; minimizando
( ) ( ) ( )[ ]∑=
−=n
iiKin xgyns
1
2/1 θθ
Considerando 0θ la solución al problema de minimización anterior; podríamos
obtener diferentes soluciones mínimocuadráticas para )(xg ; considerando
diferentes valores de n y K y elegir aquel de ellos que mejor aproxime; )(xg ;
)()/( xgdxd ; y )()/( 22 xgdxd . La norma de Sobolev permite evaluar dichos
errores de aproximación.
La expresión de la primera y segunda derivada de la función (1) son las
siguientes:
( ) ( ) ( )( )∑=
−−++=J
jjjx jjxvjxucxbxgD
1
cossin/θ (2)
( ) ( ) ( )( )∑=
+−+=J
jjjx jjxsenvjxucxgD
1
22 cos/θ (3)
Dado que la variable exógena ix no esta expresada en forma periódica; debe
de transformase o normalizarse en un intervalo de longitud menor que π2 ;
[ ]π2,0 .
Ejemplo 9
Siguiendo a Gallant (1981) vamos a estimar una forma de flexibilidad global
para la función )1ln()( += xxg ; )1ln()( += xxg ; utilizando 50 observaciones de
xt para un intervalo comprendido entre [ ]6;01,0 .
Tabla nº 16
X X 0;01 0;01 3;01 1;39
0;13 0;12 3;13 1;42
0;25 0;22 3;25 1;45
0;37 0;31 3;37 1;47
0;49 0;4 3;49 1;5
0;61 0;48 3;61 1;53
0;73 0;55 3;73 1;55
0;85 0;62 3;85 1;58
0;97 0;68 3;97 1;6
1;09 0;74 4;09 1;63
1;21 0;79 4;21 1;65
1;33 0;85 4;33 1;67
1;45 0;9 4;45 1;7
1;57 0;94 4;57 1;72
)1ln()( += xxg )1ln()( += xxg
1;69 0;99 4;69 1;74
1;81 1;03 4;81 1;76
1;93 1;08 4;93 1;78
2;05 1;12 5;05 1;8
2;17 1;15 5;17 1;82
2;29 1;19 5;29 1;84
2;41 1;23 5;41 1;86
2;53 1;26 5;53 1;88
2;65 1;29 5;65 1;89
2;77 1;33 5;77 1;91
2;89 1;36 5;89 1;93
La aproximación utilizada es la descrita en (1) con una única variable
dependiente; y se utilizan 7 armónicos. Los regresores y el resultado de la
estimación mínimo cuadrática de (1) aparecen en la tabla adjunta:
Tabla nº 17.- Resultados y regresores utilizadas para la aproximación FFF de la
función )1ln( +x
X
22x
COS (x) SENO(x) COS(2x) SENO(2x) COS(3x) SENO(3x) COS(4x) SENO(4x) COS(5x) SENO(5x) COS(6x) SENO(6x) COS(7x) SENO(7x) ( )θ/xg
0;01 0 1;000 0;010 1;000 0;020 1;000 0;030 0;999 0;040 0;999 0;050 0;998 0;060 0;998 0;070 0;010
0;13 0;01 0;992 0;130 0;966 0;257 0;925 0;380 0;868 0;497 0;796 0;605 0;711 0;703 0;614 0;790 0;122
0;25 0;03 0;969 0;247 0;878 0;479 0;732 0;682 0;540 0;841 0;315 0;949 0;071 0;997 -0;178 0;984 0;223
0;37 0;07 0;932 0;362 0;738 0;674 0;445 0;896 0;091 0;996 -0;276 0;961 -0;605 0;797 -0;852 0;524 0;315
0;49 0;12 0;882 0;471 0;557 0;830 0;101 0;995 -0;379 0;925 -0;770 0;638 -0;980 0;200 -0;959 -0;284 0;399
0;61 0;19 0;820 0;573 0;344 0;939 -0;256 0;967 -0;764 0;645 -0;996 0;091 -0;869 -0;495 -0;428 -0;904 0;476
0;73 0;27 0;745 0;667 0;111 0;994 -0;580 0;814 -0;976 0;220 -0;874 -0;487 -0;326 -0;945 0;387 -0;922 0;548
0;85 0;36 0;660 0;751 -0;129 0;992 -0;830 0;558 -0;967 -0;256 -0;446 -0;895 0;378 -0;926 0;945 -0;327 0;615
0;97 0;47 0;565 0;825 -0;361 0;933 -0;973 0;230 -0;740 -0;673 0;137 -0;991 0;895 -0;447 0;874 0;485 0;678
1;09 0;59 0;462 0;887 -0;572 0;820 -0;992 -0;128 -0;345 -0;939 0;673 -0;740 0;967 0;254 0;222 0;975 0;737
1;21 0;73 0;353 0;936 -0;751 0;661 -0;883 -0;469 0;127 -0;992 0;973 -0;231 0;560 0;829 -0;578 0;816 0;793
1;33 0;88 0;238 0;971 -0;886 0;463 -0;661 -0;750 0;571 -0;821 0;933 0;359 -0;126 0;992 -0;993 0;115 0;846
1;45 1;05 0;121 0;993 -0;971 0;239 -0;355 -0;935 0;886 -0;465 0;568 0;823 -0;749 0;663 -0;748 -0;663 0;896
1;57 1;23 0;001 1;000 -1;000 0;002 -0;002 -1;000 1;000 -0;003 0;004 1;000 -1;000 0;005 -0;006 -1;000 0;944
X
22x
COS (x) SENO(x) COS(2x) SENO(2x) COS(3x) SENO(3x) COS(4x) SENO(4x) COS(5x) SENO(5x) COS(6x) SENO(6x) COS(7x) SENO(7x) ( )θ/xg
1;69 1;43 -0;119 0;993 -0;972 -0;236 0;350 -0;937 0;888 0;459 -0;561 0;828 -0;755 -0;656 0;741 -0;672 0;990
1;81 1;64 -0;237 0;972 -0;888 -0;460 0;658 -0;753 0;576 0;817 -0;931 0;366 -0;135 -0;991 0;995 0;103 1;033
1;93 1;86 -0;352 0;936 -0;753 -0;658 0;881 -0;473 0;134 0;991 -0;975 -0;223 0;552 -0;834 0;587 0;810 1;075
2;05 2;1 -0;461 0;887 -0;575 -0;818 0;991 -0;133 -0;339 0;941 -0;678 -0;735 0;965 -0;263 -0;211 0;977 1;115
2;17 2;35 -0;564 0;826 -0;364 -0;931 0;974 0;225 -0;735 0;678 -0;145 -0;989 0;899 0;438 -0;869 0;495 1;154
2;29 2;62 -0;659 0;752 -0;132 -0;991 0;833 0;554 -0;965 0;262 0;439 -0;899 0;387 0;922 -0;949 -0;316 1;191
2;41 2;9 -0;744 0;668 0;107 -0;994 0;584 0;812 -0;977 -0;214 0;870 -0;494 -0;317 0;948 -0;397 -0;918 1;227
2;53 3;2 -0;819 0;574 0;341 -0;940 0;261 0;965 -0;768 -0;641 0;997 0;084 -0;864 0;504 0;418 -0;908 1;261
2;65 3;51 -0;882 0;472 0;554 -0;832 -0;096 0;995 -0;385 -0;923 0;775 0;632 -0;982 -0;191 0;955 -0;295 1;295
2;77 3;84 -0;932 0;363 0;736 -0;677 -0;440 0;898 0;084 -0;996 0;283 0;959 -0;612 -0;791 0;857 0;515 1;327
2;89 4;18 -0;969 0;249 0;876 -0;482 -0;728 0;685 0;535 -0;845 -0;308 0;951 0;061 -0;998 0;189 0;982 1;358
3;01 4;53 -0;991 0;131 0;966 -0;260 -0;923 0;385 0;865 -0;502 -0;791 0;612 0;704 -0;710 -0;605 0;796 1;389
3;13 4;9 -1;000 0;012 1;000 -0;023 -0;999 0;035 0;999 -0;046 -0;998 0;058 0;998 -0;069 -0;997 0;081 1;418
3;25 5;28 -0;994 -0;108 0;977 0;215 -0;948 -0;320 0;907 0;420 -0;857 -0;516 0;796 0;606 -0;726 -0;688 1;447
3;37 5;68 -0;974 -0;226 0;897 0;441 -0;774 -0;633 0;611 0;792 -0;416 -0;909 0;199 0;980 0;028 -1;000 1;475
3;49 6;09 -0;940 -0;341 0;767 0;642 -0;502 -0;865 0;176 0;984 0;170 -0;985 -0;497 0;868 0;763 -0;646 1;502
3;61 6;52 -0;892 -0;451 0;592 0;806 -0;165 -0;986 -0;298 0;954 0;697 -0;717 -0;946 0;325 0;991 0;137 1;528
3;73 6;96 -0;832 -0;555 0;384 0;923 0;193 -0;981 -0;705 0;709 0;980 -0;198 -0;925 -0;379 0;559 0;829 1;554
3;85 7;41 -0;759 -0;651 0;153 0;988 0;526 -0;850 -0;953 0;303 0;921 0;390 -0;446 -0;895 -0;244 0;970 1;579
3;97 7;88 -0;676 -0;737 -0;086 0;996 0;792 -0;610 -0;985 -0;171 0;540 0;842 0;255 -0;967 -0;885 0;466 1;603
4;09 8;36 -0;583 -0;812 -0;320 0;947 0;956 -0;292 -0;795 -0;607 -0;030 1;000 0;829 -0;559 -0;937 -0;348 1;627
4;21 8;86 -0;482 -0;876 -0;536 0;844 0;998 0;064 -0;425 -0;905 -0;589 0;808 0;992 0;127 -0;366 -0;930 1;651
4;33 9;37 -0;373 -0;928 -0;722 0;692 0;912 0;411 0;041 -0;999 -0;942 0;335 0;662 0;749 0;448 -0;894 1;673
4;45 9;9 -0;259 -0;966 -0;865 0;501 0;708 0;706 0;498 -0;867 -0;967 -0;256 0;004 1;000 0;965 -0;263 1;696
4;57 10;4 -0;142 -0;990 -0;960 0;281 0;414 0;910 0;842 -0;539 -0;653 -0;757 -0;657 0;754 0;840 0;543 1;717
4;69 11 -0;022 -1;000 -0;999 0;045 0;067 0;998 0;996 -0;089 -0;112 -0;994 -0;991 0;134 0;156 0;988 1;739
4;81 11;6 0;097 -0;995 -0;981 -0;194 -0;289 0;957 0;925 0;381 0;469 -0;883 -0;833 -0;553 -0;631 0;776 1;759
4;93 12;2 0;216 -0;976 -0;907 -0;422 -0;607 0;794 0;644 0;765 0;886 -0;464 -0;262 -0;965 -0;999 0;048 1;780
5;05 12;8 0;331 -0;944 -0;781 -0;625 -0;848 0;529 0;219 0;976 0;993 0;117 0;439 -0;898 -0;702 -0;712 1;800
X
22x
COS (x) SENO(x) COS(2x) SENO(2x) COS(3x) SENO(3x) COS(4x) SENO(4x) COS(5x) SENO(5x) COS(6x) SENO(6x) COS(7x) SENO(7x) ( )θ/xg
5;17 13;4 0;442 -0;897 -0;610 -0;793 -0;980 0;197 -0;257 0;966 0;754 0;657 0;923 -0;386 0;062 -0;998 1;820
5;29 14 0;546 -0;838 -0;404 -0;915 -0;987 -0;161 -0;674 0;739 0;251 0;968 0;948 0;318 0;784 -0;620 1;839
5;41 14;6 0;642 -0;766 -0;175 -0;985 -0;867 -0;499 -0;939 0;344 -0;340 0;941 0;503 0;864 0;985 0;170 1;858
5;53 15;3 0;730 -0;684 0;064 -0;998 -0;636 -0;772 -0;992 -0;128 -0;811 0;585 -0;192 0;981 0;531 0;847 1;876
5;65 16 0;806 -0;592 0;300 -0;954 -0;323 -0;946 -0;820 -0;572 -1;000 0;024 -0;792 0;611 -0;276 0;961 1;895
5;77 16;6 0;871 -0;491 0;518 -0;855 0;031 -1;000 -0;464 -0;886 -0;839 -0;544 -0;998 -0;062 -0;900 0;436 1;913
5;89 17;3 0;924 -0;383 0;706 -0;708 0;381 -0;924 -0;002 -1;000 -0;385 -0;923 -0;709 -0;705 -0;925 -0;380 1;930
La representación gráfica de los resultados obtenidos aparece en la figura
siguiente:
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 1 2 3 4 5 6 7
g(x)=ln(x+1)
FFF_MCO
En la tabla nº 18 figuran los coeficientes obtenidos en la estimación MCO de la
expansión de Gallant(1981):
Tabla nº 18.- Coeficientes utilizados en la aproximación FFF de la función
)1ln( +x
Coeficientes COEFICIENTE VARIANZA
X 0;8255 0;0063
-0;1639 0;0021
COS (x) 0;1709 0;0042
SENO (x) 0;0931 0;0009
COS (2x) 0;0279 0;001
SENO (2x) 0;0171 0;0004
COS (3x) 0;009 0;0004
SENO (3x) 0;005 0;0002
COS (4x) 0;0037 0;0002
SENO (4x) 0;0016 0;0002
COS (5x) 0;0017 0;0001
SENO (5x) 0;0005 0;0001
COS (6x) 0;0008 0;0001
SENO (6x) 0;0001 0;0001
COS (7x) 0;0004 0
SENO (7x) 0 0;0001
Constante -0;214 0;0058
Ejemplo 10
Vamos a estimar una forma de flexibilidad global para el PIB trimestral de
España; en índices de volumen ajustados a estacionalidad y calendario; y
utilizando como regresor los puestos de trabajo equivalentes a tiempo
completo; todas las series están obtenidas de la Contabilidad Nacional
Trimestral de España del INE.
Tabla nº 19.- Contabilidad Nacional Trimestral Base 2000. Datos corregidos de
estacionalidad y calendario.
Puestos de trabajo equivalentes a tiempo completo
Producto interior bruto
Puestos de trabajo equivalentes a tiempo completo
Producto interior bruto
1995TI 12974 81;35 2001TIII 16290 104;12
1995TII 13027 81;62 2001TIV 16333 104;79
1995TIII 13043 81;85 2002TI 16354 105;25
1995TIV 13036 82;28 2002TII 16530 106;14
1996TI 13021 82;75 2002TIII 16702 106;79
22x
1996TII 13123 83;44 2002TIV 16608 107;62
1996TIII 13310 84;14 2003TI 16763 108;61
1996TIV 13358 84;68 2003TII 16871 109;33
1997TI 13458 85;57 2003TIII 17108 110;02
1997TII 13630 86;36 2003TIV 17053 111;03
1997TIII 13756 87;35 2004TI 17230 111;81
1997TIV 13828 88;69 2004TII 17291 112;71
1998TI 13974 89;5 2004TIII 17574 114;01
1998TII 14186 90;35 2004TIV 17524 114;8
1998TIII 14391 91;43 2005TI 17646 115;85
1998TIV 14481 92;24 2005TII 17874 116;93
1999TI 14655 93;14 2005TIII 18225 117;93
1999TII 14869 94;56 2005TIV 18136 119;02
1999TIII 15026 95;99 2006TI 18280 120;14
1999TIV 15132 97;08 2006TII 18493 121;41
2000TI 15360 98;56 2006TIII 18702 122;48
2000TII 15592 99;65 2006TIV 18692 123;83
2000TIII 15867 100;36 2007TI 18887 125;04
2000TIV 15859 101;44 2007TII 19080 126;21
2001TI 15972 102;51 2007TIII 19253 127;13
2001TII 16106 103;17 2007TIV 19148 128;14
Fuente: INE
La aproximación utilizada es la descrita en (1) con la variable dependiente
transformada en un intervalo menor a 2π utilizando la siguiente función de
transformación )max(
2
X
Xx
⋅= π . En la ecuación se utilizan 7 parámetros; la
constante; el parámetro asociado a x ; el asociado a 22x y los parámetros
asociados a los dos primeros armónicos. El resultado de la estimación mínimo
cuadrática de (1) aparecen en la tabla nº19.
Tabla nº 20.- Resultados y regresores utilizados en la expansión FFF del PIB.
x COS (x) SENO(x) COS(2x) SENO(2x) )/( θxg 4;2340 17;9271 -0;4603 -0;8878 -0;5762 0;8173 81;645
4;2513 18;0739 -0;4449 -0;8956 -0;6042 0;7969 82;087
4;2566 18;1183 -0;4402 -0;8979 -0;6124 0;7905 82;22
4;2543 18;0989 -0;4423 -0;8969 -0;6088 0;7933 82;162
4;2494 18;0572 -0;4466 -0;8947 -0;601 0;7992 82;038
4;2827 18;3413 -0;4166 -0;9091 -0;6529 0;7575 82;875
4;3437 18;8677 -0;3604 -0;9328 -0;7402 0;6724 84;356
4;3594 19;004 -0;3457 -0;9383 -0;7609 0;6488 84;725
4;392 19;2896 -0;3149 -0;9491 -0;8016 0;5978 85;48
22x
x COS (x) SENO(x) COS(2x) SENO(2x) )/( θxg 4;4481 19;7858 -0;2612 -0;9653 -0;8636 0;5043 86;735
4;4892 20;1534 -0;2213 -0;9752 -0;9021 0;4316 87;622
4;5127 20;3649 -0;1983 -0;9801 -0;9213 0;3888 88;118
4;5604 20;7972 -0;1514 -0;9885 -0;9541 0;2993 89;101
4;6296 21;433 -0;0827 -0;9966 -0;9863 0;1649 90;486
4;6965 22;0569 -0;0159 -0;9999 -0;9995 0;0318 91;79
4;7259 22;3337 0;0135 -0;9999 -0;9996 -0;0269 92;357
4;7826 22;8736 0;0702 -0;9975 -0;9901 -0;14 93;446
4;8525 23;5465 0;1396 -0;9902 -0;961 -0;2765 94;789
4;9037 24;0464 0;1902 -0;9818 -0;9277 -0;3734 95;785
4;9383 24;3868 0;224 -0;9746 -0;8996 -0;4366 96;466
5;0127 25;1273 0;2958 -0;9552 -0;825 -0;5652 97;958
5;0884 25;8921 0;3672 -0;9301 -0;7303 -0;6832 99;525
5;1782 26;8134 0;4491 -0;8935 -0;5966 -0;8026 101;453
5;1756 26;7864 0;4468 -0;8946 -0;6008 -0;7994 101;396
5;2124 27;1695 0;4795 -0;8776 -0;5402 -0;8415 102;21
5;2562 27;6273 0;5174 -0;8558 -0;4647 -0;8855 103;191
5;3162 28;2621 0;5678 -0;8232 -0;3552 -0;9348 104;566
5;3302 28;4115 0;5793 -0;8151 -0;3288 -0;9444 104;891
5;3371 28;4847 0;5849 -0;8111 -0;3159 -0;9488 105;05
5;3945 29;101 0;6305 -0;7762 -0;205 -0;9788 106;397
5;4507 29;7098 0;673 -0;7396 -0;0941 -0;9956 107;73
5;42 29;3763 0;65 -0;7599 -0;155 -0;9879 107
5;4706 29;9272 0;6876 -0;7261 -0;0544 -0;9985 108;206
5;5058 30;3141 0;7128 -0;7014 0;0161 -0;9999 109;05
5;5832 31;1718 0;7648 -0;6442 0;1699 -0;9855 110;909
5;5652 30;9717 0;7531 -0;6579 0;1345 -0;9909 110;477
5;623 31;6179 0;7899 -0;6133 0;2478 -0;9688 111;864
5;6429 31;8422 0;8019 -0;5974 0;2861 -0;9582 112;341
5;7352 32;8931 0;8536 -0;5209 0;4573 -0;8893 114;538
5;7189 32;7061 0;845 -0;5348 0;428 -0;9038 114;152
5;7587 33;1631 0;8656 -0;5007 0;4985 -0;8669 115;093
5;8332 34;0256 0;9004 -0;435 0;6216 -0;7834 116;835
5;9477 35;3751 0;9443 -0;3292 0;7832 -0;6217 119;491
5;9187 35;0305 0;9343 -0;3565 0;7458 -0;6662 118;819
5;9656 35;589 0;95 -0;3122 0;805 -0;5932 119;908
6;0352 36;4232 0;9694 -0;2455 0;8795 -0;476 121;533
6;1034 37;2511 0;9839 -0;1789 0;936 -0;3519 123;171
6;1001 37;2113 0;9833 -0;1821 0;9337 -0;358 123;091
6;1637 37;9917 0;9929 -0;1192 0;9716 -0;2366 124;686
6;2267 38;7721 0;9984 -0;0564 0;9936 -0;1127 126;372
6;2832 39;4784 1 0 1 0 128;013
6;2489 39;049 0;9994 -0;0343 0;9977 -0;0685 127
La representación gráfica de los resultados obtenidos aparece en la figura
siguiente.
75
85
95
105
115
125
135
19
95TI
19
96TI
19
97TI
19
98TI
19
99TI
20
00TI
20
01TI
20
02TI
20
03TI
20
04TI
20
05TI
20
06TI
20
07TI
Aproximación FFF
PIB (IV)
A continuación figuran los coeficientes obtenidos en la estimación MCO de la
expansión de Fourier:
Tabla nº 20.- Coeficientes estimados en la aproximación FFF del PIB.
coeficientes COEFICIENTE VARIANZA
SENO (2X) 25;7726 48;4461
COS (2X) 30;509 27;1992
SENO (x) -452;1873 644;8903
COS(x) 153;4978 389;0007
22x 163;5181 267;6648
x -1623;8053 2811;5767
Constante 3691;2378 6689;6026
La aproximación FFF multivariada
La aproximación multivariada se describe en Gallant (1984):
( ) ( ) ( )[ ]∑ ∑= =
+++++=A J
jjjo zjknzjkmuCxxxbuxg
1 1
''0 sincos2'
2
1'/
ααααααθ
Donde; x es un vector de Nx1 variables; b es un vector de Nx1 coeficientes;
C es una matriz simétrica de de NxN coeficientes; z es un vector Nx1 de
valores transformados de x ; αjm y αjn son coeficientes; [ ]Nxxx kkkk ,...,,
21
' =α son
multi-índices; vectores de 1xN elementos que representan a la derivadas
parciales de una función de producción de Fourier para los diferentes tipos de
expansión.
Dado que las variable exógenas no están expresada en forma periódica; deben
de transformase o normalizarse en un intervalo de longitud menor que π2 .
Fulginiti et all (2003) sugieren transformar el vector de variables x definiendo
0lnln >+= iii xal ; Ni ,...,2,1=
donde { } 510ln −+−= ii xMina
entonces el valor de las variable transformada sería:
( )ttit xakjz lnln' += αλ
siendo
{ }Nil i ,...,2,1:max
2
=−= επλ
donde ε es valor positivo arbitrario y pequeño; si bien se recomienda escoger:
{ }Nil i ,...,2,1:max
6
==λ
La forma flexible que aproxima a una ecuación con tres variables exógenas; y
j=1 sería:
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]∑∑
∑∑
∑∑
∑ ∑∑∑
= >
= >
= >
= = >=
+−++−+
−−+−−+
−+−+++
++++=
3
1
3
22
3
1
3
11
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
23
10
sincos
sincos
sincossincos
2
1
i iktktitiktititik
i iktktitiktititik
i kktitikktitiktttt
i i kktitikiiii
iitit
zzznzzzm
zzznzzzm
zznzzmznzm
xxcxcxbY µ
Es habitual en este tipo de trabajos incluir una tendencia temporal como
variable exógena; en cuyo caso la forma flexible sería18:
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]∑∑
∑∑
∑∑
∑∑ ∑∑∑
= >
= >
= >
== = >=
+−++−+
−−+−−+
−+−+++
++++++=
3
1
3
22
3
1
3
11
3
1
3
1
3
1
23
1
3
1
3
1
23
10
sincos
sincos
sincossincos
2
1
2
1
i iktktitiktititik
i iktktitiktititik
i kktitikktitiktttt
iititttt
i i kktitikiiii
iitit
zzznzzzm
zzznzzzm
zznzzmznzm
txbtbtbxxcxcxbY µ
18 Carbo S. y Rodriguez F. (2005) estiman una función de coste para el sector bancario español utilizando tres variables explicativas cuya especificación puede consultarse en: www.revecap.com/encuentros/anteriores/viieea/autores/R/26.doc
Ejemplo 11.
Partiendo de las cifras del PIB a precios básicos; empleo y Stock de Capital de
la economía española; se va a estimar de una función de producción para la
economía española.
Tabla nº 21. Capital (mill. de euros año 2000); Empleo (miles) y PIB (mill. de
euros año 2000)
Capital neto real (millones) Empleo PIB
Aproximación FFF
1.971 243.448 12.743 265.269 265.664 1.972 262.107 12.878 286.886 285.827 1.973 284.333 13.194 309.231 310.323 1.974 307.959 13.262 326.605 324.996 1.975 328.363 13.028 328.376 330.521 1.976 346.791 12.889 339.225 339.164 1.977 363.943 12.786 348.855 348.988 1.978 379.636 12.443 353.957 351.632 1.979 393.268 12.176 354.106 354.800 1.980 406.561 11.901 358.712 357.626 1.981 417.897 11.590 358.079 358.447 1.982 429.637 11.483 363.686 365.732 1.983 440.562 11.429 371.759 373.518 1.984 448.413 11.156 377.213 375.094 1.985 459.117 11.350 387.067 386.409 1.986 474.688 11.509 399.453 399.784 1.987 496.304 12.029 421.987 422.312 1.988 523.763 12.433 443.768 443.197 1.989 559.321 12.860 464.793 463.993 1.990 597.434 13.322 482.179 483.305 1.991 635.839 13.450 493.115 493.370 1.992 668.924 13.241 496.504 495.461 1.993 691.947 12.852 490.728 493.235 1.994 715.836 12.788 501.775 499.432 1.995 744.264 13.020 515.405 514.710 1.996 769.988 13.203 527.862 529.070 1.997 799.170 13.668 548.284 549.004 1.998 835.577 14.258 572.782 572.497 1.999 878.412 14.921 599.966 599.656 2.000 923.074 15.670 630.263 628.414 2.001 968.182 16.176 653.255 652.736 2.002 1.011.559 16.549 670.920 673.418 2.003 1.056.437 16.949 691.695 693.443 2.004 1.103.659 17.405 714.291 713.723 2.005 1.157.349 17.970 740.108 738.021 2.006 1.217.898 18.564 769.850 768.513 2.007 1.284.160 19.090 797.367 801.090
2.008 1.344.152 18.988 804.223 802.123 2.009 1.380.015 17.733 774.285 774.089 2.010 1.413.146 17.281 771.809 772.304
Fuente: CNE-INE y Series de Stock de capital fijo del BBVA
Las series de PIB y Empleo se han construido enlazando las cifras de la serie
1995-2009 de la CNE del INE Base 2000; y la serie histórica de contabilidad
nacional Base 1986.
La ecuación utilizada para la aproximación es la siguiente:
( ) ( )( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tttttt
tttttt
ttttttt
eknekmenem
knkmenemknkm
EKbEbKbEbKbY
++++++++++++
+++++=
sincos2sin2cos
2sin2cossin)cos(sincos
lnlnlnlnlnlnln
1211212222
11112211
122
222
11210µ
Los coeficientes estimados por MCO serían:
Tabla nº 22.- Coeficientes estimados en la aproximación FFF del PIB.
parámetro t y=α -112,85 -1,76 x -8,29 -0,90 z 23,71 5,45 x2 1,89 4,69 z2 -0,14 -1,29 x*z -2,03 -3,70 cos(x) -0,01 -0,20 sen(x) 0,01 0,79 cos(z) 0,10 2,10 sen(z) 0,06 2,53 cos(2*x) -0,01 -2,37 sen(2*x) 0,01 0,81 cos(2*z) 0,02 3,15 sen(2*z) -0,06 -6,59 cos(x+z) 0,02 1,24 sen(x+z) 0,04 2,45 F =3;57 R2 =0;99989 Grados de libertad 22
Los resultados de la aproximación se han representado en la figura siguiente:
0
100000
200000300000
400000
500000
600000700000
800000
900000
1971
1974
1977
1980
1983
1986
1989
1992
1995
1998
2001
2004
2007
PIB PIB*
En las aproximaciones de la FFF descritas aparece el efecto Gibbs en los
extremos inicial y final de la serie; ya que ambos extremos constituyen las
discontinuidades de las series a aproximar.
Aproximación FFF utilizando funciones paramétricas.
La aproximación FFF multivariada de Gallant (1981,1983) presenta dificultades
prácticas ya que precisa de una gran cantidad de datos para ser estimada por
los métodos convencionales, la reducción de grados de libertad que ocasiona
el utilizar secuencias de series de senos y cosenos en una regla de difícil
aplicación práctica, puede solventarse parametrizando los ángulos que
determinan la relación polar en un eje de tres dimensiones.
Se denominan ecuaciones paramétrica a aquellas ecuaciones en que las
variables X e Y, cada una separadamente, están expresadas en función de la
misma tercera variable, t, a la que se denomina variable paramétrica, estas
ecuaciones se representan en la siguiente forma general:
( )( )
==
tvY
tuX
Una ecuación paramétrica permite representar curvas o superficies en el plano
o en el espacio, mediante valores arbitrarios (parámetros). En el uso estándar
del sistema de coordenadas, una o dos variables (dependiendo de si se
utilizan dos o tres dimensiones respectivamente) son consideradas
como variables independientes, mientras que la restante, a la que se denomina
variable dependiente, toma un valor en función de los valores que toman las
variable(s) independiente(s). Así por ejemplo la expresión de un punto
cualquiera ),( yx equivale a la expresión ))(,( xfx .
Esta representación tiene la limitación de requerir que la curva sea una función
de X en Y, es decir que todos los valores X tengan un valor y sólo un valor
correspondiente en Y, y no todas las curvas cumplen con dicha condición. En
una ecuación paramétrica, tanto X como Y son considerados variables
dependientes, cuyo resultado surge de una tercera variable (sin representación
gráfica) conocida como parámetro, lo que la representación de funciones
circulares en donde un valor de X puede dar lugar a dos valores de Y.
Por ejemplo, en la ecuación2XY = , una parametrización tendrá la
forma
( )( )
==
tvY
tuX
, por lo que una parametrización posible sería
==
2tY
tX
Una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio r verifica
que222 rYX =+ , y una expresión paramétrica sería
==
trY
trX
sin
cos
La representación paramétrica de una curva en un espacio n-dimensional
consiste por tanto en “n” funciones de una variable t que actúa como variable
independiente o parámetro (habitualmente se considera que t es un número
real y que los puntos del espacio n-dimensional están representados
por n coordenadas reales), de la forma ( ) [ ] ℜ→= baftfe iii ,:, ,
donde ie representa la i-ésima coordenada del punto generado al asignar
valores del intervalo [a, b] a t. Por ejemplo, para representar una curva en el
espacio se usan 3 funciones )(tuX = , )(tvY = y )(tgZ = .
Es común que se exija que el intervalo [a, b] sea tal que a cada punto
bya <≤ le corresponda un punto distinto de la curva; si las coordenadas del
punto obtenido al hacer t = a son las mismas del punto correspondiente a t =
b la curva se denomina cerrada.
Se dice que un punto de la curva correspondiente a un valor t del intervalo es
un punto ordinario si las derivadas de las funciones paramétricas existen en y
son continuas en ese punto y al menos una es distinta de 0. Si un arco de
curva está compuesto solamente de puntos ordinarios se denomina suave.
Es común resumir las ecuaciones paramétricas de una curva en una sola
ecuación vectorial
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑=
++==n
innii etfetfetfetftr
12211 ˆ...ˆˆˆ
r
donde ie representa al vector unitario correspondiente a la coordenada i-ésima.
Por ejemplo, las funciones paramétricas de un círculo unitario con centro en el
origen son x = cos t, y = sen t. Podemos reunir estas ecuaciones como una sola
ecuación de la forma
( ) jtittr ˆ)sin(ˆ)cos( +=r
Una superficie parametrizada en 3ℜ es la imagen de una función continua S
definida en una región 2ℜ⊆D que toma valores en 3ℜ , esto es,
( ) 32 ),(),,(),,(),(),(: ℜ∈=→ℜ⊆∈ vuzvuyvuxvnSDvuS
Las variables independientes de la función S se llaman parámetros de la
superficie y la propia función S recibe el nombre de parametrización de la
superficie. La imagen por S de la frontera de la región D se llama borde o
contorno de la superficie. Si S es inyectiva, lo que significa que no hay puntos
dobles, entonces se dice que la superficie es simple.
Dadas n observaciones de la variables aleatorias ( )2, yt xNx σ→ .
=
n
t
x
x
x
x
.
.2
1
A cada observación ),( txt le corresponde un punto tP en el eje cartesiano, de
forma que
),();.....,2();,1( 2211 nn xnPxPxP ⇒⇒⇒
que a su vez, se hace corresponder con una forma polar tr γ para cada par
),( txt , siendo:
22tt xtr += y
=t
xArcTg t
tγ
Dado que ( ) ( ) ( )trtrttt xrixrixtxtP sincos, +=+= , se obtiene que )sin( ttt rx γ= o
ttgx tt ⋅= )(γ
Si se estima la variable aleatoria tγ , a partir de una expansión FFF de la forma:
∑=
⋅+
⋅+
⋅+⋅+=2
1
212
21
2(sin
2cos
22n
tttot n
tc
n
tc
n
t
n
t πππγπγγγ si n es par, y
)1( −n si n es impar.
ó
( ) ( ) ( )tjt
J
jjttt jsvjucbag γγγγθγ sincos2
2
1/
1
2 −+++= ∑=
La función ttgx tt ⋅= )(γ quedaría parametrizada en función de t
Ejemplo 12
Utilizando el empleo equivalentes a tiempo completo de la CNE de España
para el periodo 1971-201119, vamos a construir dicha serie temporal a partir de
la representación en armónicos del ciclo empírico del argumento, es decir de
ttgy tt ⋅= )(γ
siendo
19 Para disponer de esta serie se han enlazado las series de contabilidad nacional 1971-1997 base 86; 1995-2009 base 2000 y 2009-2011 elaborada con la base 2008. El enlace se ha realizado utilizando como
coeficiente de enlace 20001995
861995
L
LC =
∑=
⋅+
⋅+
⋅+⋅+=2
1
212
21
2(sin
2cos
22n
tttot n
tc
n
tc
n
t
n
t πππγπγγγ, si n es par, y
)1( −n si n es impar.
En la Tabla nº23 figuran los cálculos realizados para obtener la serie tγ
radianes :
Tabla nº23. Empleo equivalente a tiempo completo. 1971-2011. Miles.
Empleo equivalente total (x) t t/x γ radianes γ radianes FFF
Empleo equivalente total (FFF)
1971 12.743 1 12742,72 1,5707 1,5707 7491
1972 12.878 2 6439,10 1,5706 1,5706 10969
1973 13.194 3 4398,00 1,5706 1,5706 12534
1974 13.262 4 3315,56 1,5705 1,5705 13154
1975 13.028 5 2605,59 1,5704 1,5704 13300
1976 12.889 6 2148,23 1,5703 1,5703 13210
1977 12.786 7 1826,50 1,5702 1,5703 13013
1978 12.443 8 1555,40 1,5702 1,5702 12775
1979 12.176 9 1352,93 1,5701 1,5701 12537
1980 11.901 10 1190,13 1,5700 1,5700 12317
1981 11.590 11 1053,60 1,5698 1,5699 12127
1982 11.483 12 956,88 1,5698 1,5698 11974
1983 11.429 13 879,12 1,5697 1,5697 11861
1984 11.156 14 796,83 1,5695 1,5696 11788
1985 11.350 15 756,68 1,5695 1,5695 11756
1986 11.509 16 719,32 1,5694 1,5694 11765
1987 12.029 17 707,57 1,5694 1,5694 11815
1988 12.433 18 690,72 1,5693 1,5693 11905
1989 12.860 19 676,84 1,5693 1,5692 12034
1990 13.322 20 666,12 1,5693 1,5692 12202
1991 13.450 21 640,46 1,5692 1,5691 12408
1992 13.241 22 601,86 1,5691 1,5691 12651
1993 12.852 23 558,77 1,5690 1,5690 12929
1994 12.788 24 532,81 1,5689 1,5690 13241
1995 13.020 25 520,79 1,5689 1,5690 13584
1996 13.203 26 507,80 1,5688 1,5689 13954
1997 13.668 27 506,22 1,5688 1,5689 14348
1998 14.258 28 509,21 1,5688 1,5689 14761
1999 14.921 29 514,50 1,5689 1,5689 15185
2000 15.670 30 522,32 1,5689 1,5689 15613
2001 16.176 31 521,79 1,5689 1,5689 16036
2002 16.549 32 517,14 1,5689 1,5689 16444
2003 16.949 33 513,60 1,5688 1,5688 16828
2004 17.405 34 511,90 1,5688 1,5688 17175
2005 17.970 35 513,43 1,5688 1,5688 17477
2006 18.564 36 515,67 1,5689 1,5688 17724
2007 19.090 37 515,93 1,5689 1,5687 17908
2008 18.988 38 499,69 1,5688 1,5687 18026
2009 17.733 39 454,68 1,5686 1,5686 18073
2010 17.281 40 432,02 1,5685 1,5686 18052
2011 16.988 41 414,33 1,5684 1,5685 17965
Teniendo en cuenta el peridograma de la serie tγ radianes que se representa
a continuación se ha estimado la siguiente aproximación de Fourier:
−⋅+
−⋅−=
1
2cos00014.0
1
200028,057044,1
n
t
n
tt
ππγ
0
1e-007
2e-007
3e-007
4e-007
5e-007
6e-007
7e-007
8e-007
9e-007
0 5 10 15 20
41.0 10.3 5.9 4.1 3.2 2.6 2.2
frecuencia escalada
Espectro de v1
años
La representación del argumento en radianes y la tendencia calculada
aparecen en la figura siguiente:
1,5680
1,5685
1,5690
1,5695
1,5700
1,5705
1,5710
1971
1974
1977
1980
1983
1986
1989
1992
1995
1998
2001
2004
2007
2010
g radianes
g radianes FFF
La representación de la serie de empleos equivalentes a tiempo completo
estimada se recoge en la figura siguiente:
9.000
11.000
13.000
15.000
17.000
19.000
21.000
1971
1975
1979
1983
1987
1991
1995
1999
2003
2007
2011
Empleo equivalente total (x)
Empleo equivalente total (FFF)
Tenemos ahora n observaciones de dos variables aleatorias ( )2, xt xNx σ→ e
( )2, yt yNy σ→.
=
n
t
x
x
x
x
.
.2
1
=
n
t
y
y
y
y
.
.2
1
A cada observación ),( tt yx le corresponde un punto tP en el eje cartesiano, de
forma que
),();.....,();,( 222111 nnn yxPyxPyxP ⇒⇒⇒
que su vez, se hace corresponder un forma polar trα para cada par ),( tt yx ,
siendo:
22ttt yxr +=
y
=
t
tt x
yArcTgα
Dado que )()cos(),( ttttttttt senririyxyxP αα +=+= ,se obtiene que:
)cos( ttt rx α= , )sin( ttt ry α= e ttt xtgy )(α= .
La variable aleatoria tx puede parametrizase entonces como
ttgtgy ttt ⋅⋅= )()( λα
Las ecuaciones paraméticas serían entonces:
⋅⋅=⋅=
ttgtgy
ttgx
ttt
tt
)()(
)(
γαγ
Estimándose los ángulos tα con la forma general:
∑=
⋅+
⋅+
⋅+⋅+=2
1
212
21
2(sin
2cos
22n
tttot n
tc
n
tc
n
t
n
t πππγπγγγ si n es par, y
)1( −n si n es impar.
Ejemplo 13
Utilizamos ahora las cifras de Empleo a tiempo completo y PIB en euros
constantes de la CNE (Tabla nº24).
Tabla nº24.- Producto Interior Bruto en euros constantes del año 2000 y
Empleo equivalente a tiempo completo. 1971-2011. Millones de euros y miles
de empleos.
Producto Interior Bruto (euros año 2000)
Empleo equivalente total (x) y/x t α radianes
α radianes FFF
Producto Interior Bruto (FFF)
1971 265.269 12.743 20,8173 1 1,5228 1,5231 266.947
1972 286.886 12.878 22,2769 2 1,5259 1,5256 284.980
1973 309.231 13.194 23,4372 3 1,5282 1,5279 307.676
1974 326.605 13.262 24,6267 4 1,5302 1,5299 324.464
1975 328.376 13.028 25,2055 5 1,5311 1,5316 332.525
1976 339.225 12.889 26,3181 6 1,5328 1,5331 341.336
1977 348.855 12.786 27,2852 7 1,5342 1,5343 349.795
1978 353.957 12.443 28,4458 8 1,5357 1,5353 350.876
1979 354.106 12.176 29,0815 9 1,5364 1,5364 353.714
1980 358.712 11.901 30,1406 10 1,5376 1,5374 356.395
1981 358.079 11.590 30,8967 11 1,5384 1,5384 358.012
1982 363.686 11.483 31,6728 12 1,5392 1,5394 365.742
1983 371.759 11.429 32,5287 13 1,5401 1,5403 374.506
1984 377.213 11.156 33,8138 14 1,5412 1,5410 374.572
1985 387.067 11.350 34,1023 15 1,5415 1,5416 388.528
1986 399.453 11.509 34,7076 16 1,5420 1,5420 399.700
1987 421.987 12.029 35,0819 17 1,5423 1,5423 422.393
1988 443.768 12.433 35,6927 18 1,5428 1,5426 440.941
1989 464.793 12.860 36,1429 19 1,5431 1,5429 461.096
1990 482.179 13.322 36,1933 20 1,5432 1,5433 484.146
1991 493.115 13.450 36,6637 21 1,5435 1,5437 496.796
1992 496.504 13.241 37,4979 22 1,5441 1,5442 498.088
1993 490.728 12.852 38,1838 23 1,5446 1,5447 492.466
1994 501.775 12.788 39,2394 24 1,5453 1,5451 498.272
1995 515.405 13.020 39,5862 25 1,5455 1,5455 514.164
1996 527.862 13.203 39,9814 26 1,5458 1,5457 526.306
1997 548.284 13.668 40,1144 27 1,5459 1,5459 547.990
1998 572.782 14.258 40,1727 28 1,5459 1,5459 573.464
1999 599.966 14.921 40,2106 29 1,5459 1,5460 601.276
2000 630.263 15.670 40,2223 30 1,5459 1,5460 632.564
2001 653.255 16.176 40,3855 31 1,5460 1,5461 654.389
2002 670.920 16.549 40,5424 32 1,5461 1,5461 671.263
2003 691.695 16.949 40,8111 33 1,5463 1,5462 689.686
2004 714.291 17.405 41,0401 34 1,5464 1,5463 711.073
2005 740.108 17.970 41,1855 35 1,5465 1,5465 738.260
2006 769.850 18.564 41,4701 36 1,5467 1,5467 769.017
2007 797.367 19.090 41,7699 37 1,5469 1,5470 800.561
2008 804.223 18.988 42,3538 38 1,5472 1,5474 809.929
2009 774.285 17.733 43,6643 39 1,5479 1,5478 772.540
2010 771.809 17.281 44,6624 40 1,5484 1,5484 770.578
2011 775.034 16.988 45,6238 41 1,5489 1,5489 774.112
Tendiendo en cuenta el espectro de la serie tα radianes , se calcula la
siguiente expansión FFF:
−⋅+
−⋅+
−⋅+
−⋅+
−⋅−
−⋅+=
1
6sin0003,0
1
4sin0003,0
1
2sin0013,0
1
2cos0003.0
1
20021.0
1
20110,05201,1
2
n
t
n
t
n
t
n
t
n
t
n
tt
ππππππα
0
1e-005
2e-005
3e-005
4e-005
5e-005
6e-005
7e-005
0 5 10 15 20
41.0 10.3 5.9 4.1 3.2 2.6 2.2
frecuencia escalada
Espectro de v1
años
La estimación de la serie tα radianes a partir de la expansión FFF se
representa en la figura siguiente:
1,5200
1,5250
1,5300
1,5350
1,5400
1,5450
1,5500
1,5550
1,5600
1971
1974
1977
1980
1983
1986
1989
1992
1995
1998
2001
2004
2007
2010
a radianes a radianes FFF
La estimación del PIB en euros constantes a partir del empleo aparece en la
figura siguiente:
0
100.000
200.000
300.000
400.000
500.000
600.000
700.000
800.000
1971
1974
1977
1980
1983
1986
1989
1992
1995
1998
2001
2004
2007
2010
Producto Interior Bruto (euros año 2000) Producto Interior Bruto (FFF)
Se considera ahora la relación ),( ttt zxFy = en donde tx y tz actúan como
variables explicativas. En este caso las relaciones geométricas a considerar
son las que aparecen en la figura adjunta:
Se parte ahora de la representación polar entre cada tx y tz . que vendrá dada
por un modulo 22ttt zxr +=
y un argumento
=
t
tt x
zArcTgα
. de forma que se
puede construir un nuevo plano entre el modulo tr la variable dependiente ty .
Dado que el modulo tr puede tener un valor diferente según se cambie el nivel
de la variable parece aconsejable normalizar dichas variables.
En consecuencia ahora tenemos dos variables tr e ty cuya representación
polar tendrá a su vez un módulo 22ttt yr +=ρ
y un argumento
=
t
tt r
yArcTgβ
.
Operando222tttt yzx ++=ρ
Las representación polar del sistema vendría dada a partir de:
)cos( tttr βρ= )( ttt seny βρ= e 22)( tttt zxtgy += β
(1)
Dado que ttt xtgz )(α= , entonces
( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ]2222)( tttttttttt tgtgtgxxtgxtgy αββαβ ⋅+=+=
por otro lado y dado que
=−
t
tt z
xArcTgαπ
2 . entonces
( )[ ] ( )2
2
2
−⋅+= ttttt tgtgtgzy απββ
considerando tanto la sucesión de ángulos tα y tβ como series de Fourier, se
puede afirmar que el conjunto de datos ( tx , ty , tz ), puede parametrizarse en
función de una de ellas cualesquiera, y t .
Supongamos que en nuestro conjunto de datos la dimensión tx , es exógena,
entonces:
( )[ ] ( ) ( )[ ]
⋅+==
=
22
)(
ttttt
ttt
tt
tgtgtgxy
xtgz
xx
αββα
(2)
Siendo
∑=
⋅+
⋅+
⋅+⋅+=2
1
212
21
2(sin
2cos
22n
tttot n
tc
n
tc
n
t
n
t πππαπααα
∑=
⋅+
⋅+
⋅+⋅+=2
1
2
21
2(sin
2cos
22n
tttot n
tc
n
tb
n
t
n
t πππβπβββ
La parametrización sobre la dimensión tz :
( )[ ] ( )
−⋅+=
−=
=
22
2
)2
(
ttttt
tt
tt
tgtgtgzy
xtgz
zz
απββ
απ
(3)
Por último, la parametrización sobre ty
( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )[ ] ( )
−⋅+
=
⋅+=
=
22
22
2 ttt
tt
ttt
tt
tt
tgtgtg
yz
tgtgtg
yx
yy
απββ
αββ
(4)
Ejemplo 14
En el ejemplo 14 planteamos una estimación de la función de producción de la
economía española utilizando los datos de empleo equivalente a tiempo
completo, el Producto Interior Bruto de la CNE, valorada está última en euros
constantes y el Stock neto de de capital de la Fundación del BBVA valorada en
miles de euros constantes base 2000, y sin considerar el valor de la vivienda
(ver tabla nº21).
La estimación de la función de producción se puede abordar restringiendo
alguna de las tres variables, esto es si se restringe el Empleo equivalente
estaríamos en un modelo de función de producción en el que esta magnitud
estaría limitando la producción nacional y lo consideraríamos exógeno a la
función de producción, si restringimos el stock de capital sería este otro factor
de producción el limitativo y por tanto sería exógeno, si restringimos el PIB
estaríamos ante un modelo en el que la demanda agregada limitaría el PIB y
este último establecería la cantidad de empleo y stock capital necesaria para
alcanzar el volumen anual de producción, en este caso el PIB sería la variable
exógena al modelo.
En primer lugar hay que aproximar las trayectorias temporales de los ángulos
tα y tβ .
Tabla nº 25.- Empleo equivalente a tiempo completo, Producto Interior Bruto de
la s y el Stock neto de de capital en logaritmos y su representación polar.
Producto
Interior
Bruto
Empleo
equivalentes
a tiempo
completo
Stock de
Capital r β radianes β FFF α radianes
1971 12,4885 9,4527 12,4027 15,5942 0,6753 0,6755 0,9196
1972 12,5668 9,4633 12,4765 15,6594 0,6763 0,6761 0,9219
1973 12,6418 9,4875 12,5579 15,7389 0,6767 0,6764 0,9238
1974 12,6965 9,4927 12,6377 15,8058 0,6767 0,6765 0,9266
1975 12,7019 9,4749 12,7019 15,8465 0,6757 0,6764 0,9299
1976 12,7344 9,4642 12,7565 15,8839 0,6758 0,6761 0,9325
1977 12,7624 9,4561 12,8048 15,9179 0,6758 0,6758 0,9347
1978 12,7769 9,4289 12,8470 15,9358 0,6758 0,6754 0,9377
1979 12,7774 9,4072 12,8822 15,9514 0,6754 0,6752 0,9401
1980 12,7903 9,3844 12,9155 15,9649 0,6754 0,6751 0,9424
1981 12,7885 9,3579 12,9430 15,9716 0,6752 0,6752 0,9448
1982 12,8040 9,3486 12,9707 15,9886 0,6752 0,6754 0,9463
1983 12,8260 9,3439 12,9958 16,0062 0,6755 0,6758 0,9474
1984 12,8406 9,3197 13,0135 16,0065 0,6761 0,6761 0,9493
1985 12,8664 9,3370 13,0371 16,0357 0,6762 0,6763 0,9493
1986 12,8979 9,3509 13,0704 16,0709 0,6763 0,6765 0,9498
1987 12,9527 9,3950 13,1149 16,1328 0,6765 0,6764 0,9492
1988 13,0031 9,4281 13,1688 16,1959 0,6765 0,6761 0,9494
1989 13,0493 9,4619 13,2345 16,2689 0,6760 0,6757 0,9501
1990 13,0861 9,4972 13,3004 16,3431 0,6752 0,6751 0,9507
1991 13,1085 9,5067 13,3627 16,3994 0,6743 0,6745 0,9524
1992 13,1153 9,4911 13,4134 16,4317 0,6736 0,6739 0,9550
1993 13,1036 9,4612 13,4473 16,4421 0,6729 0,6733 0,9577
1994 13,1259 9,4562 13,4812 16,4670 0,6730 0,6729 0,9591
1995 13,1527 9,4742 13,5202 16,5093 0,6727 0,6726 0,9596
1996 13,1766 9,4882 13,5541 16,5451 0,6725 0,6724 0,9601
1997 13,2145 9,5228 13,5913 16,5954 0,6725 0,6723 0,9596
1998 13,2583 9,5651 13,6359 16,6562 0,6723 0,6722 0,9591
1999 13,3046 9,6105 13,6859 16,7232 0,6720 0,6720 0,9586
2000 13,3539 9,6595 13,7355 16,7919 0,6718 0,6718 0,9579
2001 13,3897 9,6913 13,7832 16,8492 0,6715 0,6716 0,9580
2002 13,4164 9,7141 13,8270 16,8982 0,6710 0,6712 0,9584
2003 13,4469 9,7379 13,8704 16,9474 0,6707 0,6708 0,9587
2004 13,4790 9,7645 13,9141 16,9985 0,6704 0,6704 0,9589
2005 13,5146 9,7965 13,9616 17,0557 0,6701 0,6700 0,9590
2006 13,5540 9,8290 14,0126 17,1162 0,6698 0,6696 0,9591
2007 13,5891 9,8569 14,0656 17,1756 0,6693 0,6692 0,9595
2008 13,5976 9,8516 14,1113 17,2099 0,6687 0,6687 0,9613
2009 13,5597 9,7832 14,1376 17,1925 0,6678 0,6681 0,9655
2010 13,5565 9,7574 14,1613 17,1974 0,6676 0,6674 0,9675
Las aproximaciones FFF se han realizado con las siguientes funciones:
⋅+
⋅−
⋅−
⋅+
+
⋅+
⋅−
⋅+
⋅−
⋅+⋅+=
n
t
n
t
n
t
n
t
n
t
n
t
n
t
n
t
n
t
n
tt
ππππ
ππππππα
10sin0002,0
8cos0005,0
6sin0002,0
6cos0003,0
4sin0005,0
4cos0017,0
2sin0014,0
2cos0051.0
20021.0
20009,09321,0
2
⋅+
⋅+
⋅+
⋅−
⋅−⋅+=n
t
n
t
n
t
n
t
n
t
n
tt
ππππππβ 6sin0003,0
4cos0004,0
2sin0002,0
2cos0009.0
20015.0
20038,06720,0
2
Los resultados gráficos de las aproximaciones se recogen en las figuras
siguietes:
Serie tα radianes y estimación FFF
0,8900
0,9000
0,9100
0,9200
0,9300
0,9400
0,9500
0,9600
0,9700
0,9800
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40
a radianes
a FFF
Serie tβ radianes y estimación FFF
0,6600
0,6620
0,6640
0,6660
0,6680
0,6700
0,6720
0,6740
0,6760
0,6780
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40
b radianes
b FFF
La obtención del modelo que restringe el empleo a tiempo parcial ( tx ) se
calcula en la tabla nº26 utilizando el sistema de ecuaciones (2), los resultados
gráficos se representan seguido a la tabla.
Tabla nº26. Parametrización del modelo que restringe el empleo a tiempo
completo.
β FFF α FFF
Empleo a
tiempo
completo (x)
Estimación de
Stock de
Capital
Estimación del
Producto
Interior Bruto
1971 0,6755 0,9196 9,4527 12,4031 12,4941
1972 0,6761 0,9216 9,4633 12,4702 12,5573
1973 0,6764 0,9241 9,4875 12,5662 12,6396
1974 0,6765 0,9268 9,4927 12,6433 12,6941
1975 0,6764 0,9295 9,4749 12,6923 12,7139
1976 0,6761 0,9323 9,4642 12,7513 12,7396
1977 0,6758 0,9350 9,4561 12,8129 12,7665
1978 0,6754 0,9376 9,4289 12,8464 12,7666
1979 0,6752 0,9401 9,4072 12,8838 12,7745
1980 0,6751 0,9424 9,3844 12,9151 12,7818
1981 0,6752 0,9445 9,3579 12,9356 12,7848
1982 0,6754 0,9464 9,3486 12,9729 12,8107
1983 0,6758 0,9479 9,3439 13,0072 12,8391
1984 0,6761 0,9489 9,3197 13,0023 12,8333
1985 0,6763 0,9495 9,3370 13,0418 12,8740
1986 0,6765 0,9496 9,3509 13,0644 12,8984
1987 0,6764 0,9494 9,3950 13,1226 12,9552
1988 0,6761 0,9494 9,4281 13,1676 12,9929
1989 0,6757 0,9498 9,4619 13,2259 13,0347
1990 0,6751 0,9509 9,4972 13,3060 13,0880
1991 0,6745 0,9527 9,5067 13,3703 13,1174
1992 0,6739 0,9550 9,4911 13,4124 13,1211
1993 0,6733 0,9572 9,4612 13,4348 13,1076
1994 0,6729 0,9590 9,4562 13,4789 13,1227
1995 0,6726 0,9600 9,4742 13,5327 13,1580
1996 0,6724 0,9601 9,4882 13,5561 13,1744
1997 0,6723 0,9596 9,5228 13,5910 13,2096
1998 0,6722 0,9589 9,5651 13,6301 13,2515
1999 0,6720 0,9583 9,6105 13,6779 13,2997
2000 0,6718 0,9581 9,6595 13,7410 13,3577
2001 0,6716 0,9582 9,6913 13,7893 13,3961
2002 0,6712 0,9584 9,7141 13,8292 13,4230
2003 0,6708 0,9586 9,7379 13,8691 13,4490
2004 0,6704 0,9587 9,7645 13,9089 13,4755
2005 0,6700 0,9588 9,7965 13,9560 13,5091
2006 0,6696 0,9591 9,8290 14,0118 13,5487
2007 0,6692 0,9600 9,8569 14,0788 13,5931
2008 0,6687 0,9617 9,8516 14,1238 13,6067
2009 0,6681 0,9644 9,7832 14,1061 13,5484
2010 0,6674 0,9679 9,7574 14,1749 13,5609
Parametrización del stock capital en el modelo que restringe el empleo.
11,5
12,0
12,5
13,0
13,5
14,0
14,5
1971
1974
1977
1980
1983
1986
1989
1992
1995
1998
2001
2004
2007
2010
Stock de Capital (z) Estimación de Stock de Capital
Parametrización del Producto Interior Bruto en el modelo que restringe el
empleo.
12,012,212,412,612,813,013,213,413,613,814,0
1971
1974
1977
1980
1983
1986
1989
1992
1995
1998
2001
2004
2007
2010
Producto Interior Bruto (y). Estimación del Producto Interior Bruto
La obtención del modelo que restringe del stock de capital neto ( tz ) se calcula
en la tabla nº27 utilizando el sistema de ecuaciones (3), los resultados gráficos
se incluyen a continuación.
Tabla nº27. Parametrización del modelo que restringe el stock de capital
β FFF αFFF
Stock
de
Capital
(z)
Estimación
del Empleo
equivalente
a tiempo
completo
Estimación
del
Producto
Interior
Bruto
1971 0,6755 0,9196 12,4027 9,4524 12,4936
1972 0,6761 0,9216 12,4765 9,4681 12,5637
1973 0,6764 0,9241 12,5579 9,4812 12,6312
1974 0,6765 0,9268 12,6377 9,4885 12,6885
1975 0,6764 0,9295 12,7019 9,4820 12,7235
1976 0,6761 0,9323 12,7565 9,4680 12,7448
1977 0,6758 0,9350 12,8048 9,4501 12,7583
1978 0,6754 0,9376 12,8470 9,4294 12,7672
1979 0,6752 0,9401 12,8822 9,4061 12,7730
1980 0,6751 0,9424 12,9155 9,3847 12,7822
1981 0,6752 0,9445 12,9430 9,3632 12,7921
1982 0,6754 0,9464 12,9707 9,3470 12,8085
1983 0,6758 0,9479 12,9958 9,3357 12,8279
1984 0,6761 0,9489 13,0135 9,3277 12,8443
1985 0,6763 0,9495 13,0371 9,3336 12,8694
1986 0,6765 0,9496 13,0704 9,3552 12,9044
1987 0,6764 0,9494 13,1149 9,3896 12,9477
1988 0,6761 0,9494 13,1688 9,4290 12,9941
1989 0,6757 0,9498 13,2345 9,4680 13,0432
1990 0,6751 0,9509 13,3004 9,4932 13,0825
1991 0,6745 0,9527 13,3627 9,5013 13,1100
1992 0,6739 0,9550 13,4134 9,4918 13,1221
1993 0,6733 0,9572 13,4473 9,4700 13,1197
1994 0,6729 0,9590 13,4812 9,4578 13,1249
1995 0,6726 0,9600 13,5202 9,4654 13,1458
1996 0,6724 0,9601 13,5541 9,4868 13,1725
1997 0,6723 0,9596 13,5913 9,5231 13,2099
1998 0,6722 0,9589 13,6359 9,5691 13,2571
1999 0,6720 0,9583 13,6859 9,6161 13,3074
2000 0,6718 0,9581 13,7355 9,6556 13,3523
2001 0,6716 0,9582 13,7832 9,6869 13,3901
2002 0,6712 0,9584 13,8270 9,7125 13,4208
2003 0,6708 0,9586 13,8704 9,7389 13,4502
2004 0,6704 0,9587 13,9141 9,7682 13,4805
2005 0,6700 0,9588 13,9616 9,8004 13,5146
2006 0,6696 0,9591 14,0126 9,8296 13,5495
2007 0,6692 0,9600 14,0656 9,8476 13,5803
2008 0,6687 0,9617 14,1113 9,8428 13,5946
2009 0,6681 0,9644 14,1376 9,8050 13,5787
2010 0,6674 0,9679 14,1613 9,7480 13,5479
Parametrización del empleo equivalente a tiempo completo en el modelo que
restringe el stock de capital
9,09,19,29,39,49,59,69,79,89,9
10,0
1971
1974
1977
1980
1983
1986
1989
1992
1995
1998
2001
2004
2007
2010
Empleo a tiempo completo (x)
Estimación del Empleo equivalente a tiempo completo
Parametrización del Producto Interior Bruto en el modelo que restringe el stock
de capital
12,0
12,2
12,4
12,6
12,8
13,0
13,2
13,4
13,6
13,8
1971
1974
1977
1980
1983
1986
1989
1992
1995
1998
2001
2004
2007
2010
Producto Interior Bruto (y). Estimación del Producto Interior Bruto
La obtención del modelo que restringe del Producto Interior Bruto ( ty ) se
calcula en la tabla nº28 utilizando el sistema de ecuaciones (4), y se
representan en las figuras que le preceden.
Tabla nº28. Parametrización del modelo que restringe el Producto Interior Bruto
β FFF α FFF
Producto
Interior
Bruto (y).
Estimación
del Empleo
equivalente
a tiempo
completo
Estimación
de Stock de
Capital
1971 0,6755 0,9196 12,4885 9,4485 12,3976
1972 0,6761 0,9216 12,5668 9,4705 12,4796
1973 0,6764 0,9241 12,6418 9,4892 12,5685
1974 0,6765 0,9268 12,6965 9,4945 12,6457
1975 0,6764 0,9295 12,7019 9,4659 12,6803
1976 0,6761 0,9323 12,7344 9,4603 12,7461
1977 0,6758 0,9350 12,7624 9,4531 12,8088
1978 0,6754 0,9376 12,7769 9,4366 12,8568
1979 0,6752 0,9401 12,7774 9,4094 12,8867
1980 0,6751 0,9424 12,7903 9,3906 12,9236
1981 0,6752 0,9445 12,7885 9,3606 12,9393
1982 0,6754 0,9464 12,8040 9,3438 12,9662
1983 0,6758 0,9479 12,8260 9,3344 12,9939
1984 0,6761 0,9489 12,8406 9,3250 13,0097
1985 0,6763 0,9495 12,8664 9,3315 13,0340
1986 0,6765 0,9496 12,8979 9,3505 13,0638
1987 0,6764 0,9494 12,9527 9,3932 13,1201
1988 0,6761 0,9494 13,0031 9,4355 13,1779
1989 0,6757 0,9498 13,0493 9,4725 13,2407
1990 0,6751 0,9509 13,0861 9,4958 13,3040
1991 0,6745 0,9527 13,1085 9,5003 13,3612
1992 0,6739 0,9550 13,1153 9,4869 13,4065
1993 0,6733 0,9572 13,1036 9,4584 13,4308
1994 0,6729 0,9590 13,1259 9,4586 13,4822
1995 0,6726 0,9600 13,1527 9,4704 13,5273
1996 0,6724 0,9601 13,1766 9,4897 13,5583
1997 0,6723 0,9596 13,2145 9,5264 13,5961
1998 0,6722 0,9589 13,2583 9,5700 13,6371
1999 0,6720 0,9583 13,3046 9,6141 13,6830
2000 0,6718 0,9581 13,3539 9,6567 13,7371
2001 0,6716 0,9582 13,3897 9,6866 13,7828
2002 0,6712 0,9584 13,4164 9,7093 13,8224
2003 0,6708 0,9586 13,4469 9,7364 13,8670
2004 0,6704 0,9587 13,4790 9,7671 13,9126
2005 0,6700 0,9588 13,5146 9,8004 13,9616
2006 0,6696 0,9591 13,5540 9,8328 14,0172
2007 0,6692 0,9600 13,5891 9,8540 14,0747
2008 0,6687 0,9617 13,5976 9,8450 14,1144
2009 0,6681 0,9644 13,5597 9,7913 14,1178
2010 0,6674 0,9679 13,5565 9,7542 14,1703
Parametrización del empleo equivalente a tiempo completo en el modelo que
restringe el Producto Interior Bruto
9,00009,10009,20009,30009,40009,50009,60009,70009,80009,9000
10,0000
1971
1974
1977
1980
1983
1986
1989
1992
1995
1998
2001
2004
2007
2010
Empleo a tiempo completo (x)
Estimación del Empleo equivalente a tiempo completo
Parametrización del stock de capital en el modelo que restringe el Producto
Interior Bruto
11,5000
12,0000
12,5000
13,0000
13,5000
14,0000
14,5000
1971
1974
1977
1980
1983
1986
1989
1992
1995
1998
2001
2004
2007
2010
Stock de Capital (z) Estimación de Stock de Capital
Ejemplo 15
A través de la aproximación FFF de tβ radianes puede estimarse directamente
el Producto Interior Bruto ( ty ) a partir de (1). Los cálculos necesarios se
recogen en la Tabla nº29.
Tabla nº29. Estimación del Producto Interior Bruto a través de la aproximación
FFF de tβ radianes
Producto Interior Bruto (Ctes).
Empleo a tiempo completo
Stock de Capital β FFF r r*tgβ
FFF Multivariada
1971 12,4885 9,4527 12,4027 0,6755 15,5942 12,4938 12,4900
1972 12,5668 9,4633 12,4765 0,6761 15,6594 12,5614 12,5631
1973 12,6418 9,4875 12,5579 0,6764 15,7389 12,6342 12,6454
1974 12,6965 9,4927 12,6377 0,6765 15,8058 12,6905 12,6916
1975 12,7019 9,4749 12,7019 0,6764 15,8465 12,7201 12,7084
1976 12,7344 9,4642 12,7565 0,6761 15,8839 12,7430 12,7342
1977 12,7624 9,4561 12,8048 0,6758 15,9179 12,7612 12,7628
1978 12,7769 9,4289 12,8470 0,6754 15,9358 12,7670 12,7703
1979 12,7774 9,4072 12,8822 0,6752 15,9514 12,7735 12,7793
1980 12,7903 9,3844 12,9155 0,6751 15,9649 12,7821 12,7872
1981 12,7885 9,3579 12,9430 0,6752 15,9716 12,7896 12,7895
1982 12,8040 9,3486 12,9707 0,6754 15,9886 12,8092 12,8097
1983 12,8260 9,3439 12,9958 0,6758 16,0062 12,8317 12,8307
1984 12,8406 9,3197 13,0135 0,6761 16,0065 12,8406 12,8349
1985 12,8664 9,3370 13,0371 0,6763 16,0357 12,8709 12,8647
1986 12,8979 9,3509 13,0704 0,6765 16,0709 12,9023 12,8987
1987 12,9527 9,3950 13,1149 0,6764 16,1328 12,9502 12,9535
1988 13,0031 9,4281 13,1688 0,6761 16,1959 12,9937 13,0018
1989 13,0493 9,4619 13,2345 0,6757 16,2689 13,0403 13,0476
1990 13,0861 9,4972 13,3004 0,6751 16,3431 13,0844 13,0884
1991 13,1085 9,5067 13,3627 0,6745 16,3994 13,1125 13,1090
1992 13,1153 9,4911 13,4134 0,6739 16,4317 13,1218 13,1132
1993 13,1036 9,4612 13,4473 0,6733 16,4421 13,1157 13,1087
1994 13,1259 9,4562 13,4812 0,6729 16,4670 13,1242 13,1212
1995 13,1527 9,4742 13,5202 0,6726 16,5093 13,1498 13,1514
1996 13,1766 9,4882 13,5541 0,6724 16,5451 13,1731 13,1789
1997 13,2145 9,5228 13,5913 0,6723 16,5954 13,2098 13,2159
1998 13,2583 9,5651 13,6359 0,6722 16,6562 13,2553 13,2578
1999 13,3046 9,6105 13,6859 0,6720 16,7232 13,3049 13,3041
2000 13,3539 9,6595 13,7355 0,6718 16,7919 13,3541 13,3510
2001 13,3897 9,6913 13,7832 0,6716 16,8492 13,3921 13,3889
2002 13,4164 9,7141 13,8270 0,6712 16,8982 13,4216 13,4201
2003 13,4469 9,7379 13,8704 0,6708 16,9474 13,4498 13,4494
2004 13,4790 9,7645 13,9141 0,6704 16,9985 13,4789 13,4782
2005 13,5146 9,7965 13,9616 0,6700 17,0557 13,5128 13,5117
2006 13,5540 9,8290 14,0126 0,6696 17,1162 13,5492 13,5522
2007 13,5891 9,8569 14,0656 0,6692 17,1756 13,5845 13,5937
2008 13,5976 9,8516 14,1113 0,6687 17,2099 13,5986 13,5950
2009 13,5597 9,7832 14,1376 0,6681 17,1925 13,5688 13,5594
2010 13,5565 9,7574 14,1613 0,6674 17,1974 13,5521 13,5571
En la última columna de la tabla se ha realizado una aproximación a una FFF
con dos variables (Gallant, 1981,1982) con el procedimiento descrito en el
ejemplo 10. Este tipo de aproximación tienen el inconveniente que necesitan
muchas variable explicativas.
Los resultados gráficos de ambas expansiones se representan junto a la serie
original en las figuras siguientes, en la primera se recogen los niveles de las
series y en la segunda las diferencia en las series, que al venir expresadas en
logaritmos adquieren el significado de tasa de crecimiento anuales.
Aproximación al Producto Interior Bruto, utilizando una función parametrizada y
la FFF multivariada.
12,000012,200012,400012,600012,800013,000013,200013,400013,600013,8000
1971
1974
1977
1980
1983
1986
1989
1992
1995
1998
2001
2004
2007
2010
Producto Interior Bruto. r*tg(b) FFF Multivariada
Diferencias logarítmicas del Producto Interior Bruto, utilizando una función
parametrizada y FFF multivariada.
-0,06
-0,04
-0,02
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
1972
1975
1978
1981
1984
1987
1990
1993
1996
1999
2002
2005
2008
Producto Interior Bruto. r*tg(b) FFF Multivariada
Los resultados son muy similares, si bien el error cuadrático medio de la
aproximación FFF Multivariada es menor (0,003845 frente a 0,0014638).
TEMA VI.- REGRESION ARMONICA.
Introducción
La aplicación de la forma de Fourier a los modelos de series temporales ha
dado lugar a los modelos de regresión armónica.
Una regresión armónica dinámica es una particularización del conjunto de
modelos de componentes no observables que adopta la siguiente forma:
( ) ( )0
( ) cos sin ; 1,2,...,R
i i i i ti
x t a t b t t Nϖ ϖ ν=
= + + = ∑ (1)
donde tv es un residuo con la forma de un proceso estacionario; que puede ser
representado por un modelo ARMA; ia ; ib y iω son parámetros desconocidos.
El número de armónicos R se puede considerarse conocido o desconocido;
existiendo diferentes procedimientos para determinar el número de armónicos a
considerar en el método de estimación. Una vez se establece el número de
armónicos y se determinan las frecuencias iω ; se realiza una regresión para
obtener una estimación de los parámetros ia y ib . A partir de esta regresión se
obtiene el residuo vt; y se procede a identificar y estimar un modelo ARMA para
tv .
El problema esta entonces en determinar el número de armónicos R y las
frecuencias iω . Existiendo para ello cinco procedimientos20:
1- Los métodos basados en el periodograma o la transformada discreta de
fourier (TDF) (Wittle (1952); Walter (1973); Hannan (1973); Campbell y
Walter (1977)).
2- Los métodos del espectro mixto (Priestley (1964;1981) y Bhansali
(1979)).
3- Los métodos autoregresivos (Marple; (1987); Troung Van’s (1990)).
4- Métodos de autovalores (Pisarenko (1973) y Kay Marple (1981)).
5- Métodos de regresión dinámica (Young; Pedregal y Tych; 1999).
Métodos basados en el periodograma.
Los métodos basados en el periodograma; proporcionan estimaciones de las
frecuencias iω cuando se asume que tv es un error gausiano.
En cuyo caso el modelo de regresión armónica anteriormente descrito se
asemeja al obtenido partir de la aproximación univariada en la forma de
Gallant (81;82); para el caso particular en donde x=t.
( ) ( ) ( )tjt
J
jjttt jsvjucbag ωωωωθω sincos2
2
1/
1
2 −+++= ∑=
(2)
Donde 1
2
−⋅=
T
tt
πω ; el vector de parámetros es ( )JJ vuvucba ,,...,,,, 11=θ de
longitud JK 23+= ; siendo nJ ≈ .
20 Para mayor detalle consultar Artis M., Clavel J.G., Hoffmann M. y Nachane D. (2007) “Harmonic Regression
Models: A Comparative Review with Applications”. Institute for Empirical Research in Economics”. University of Zurich.
Working Paper Series .September 2007 SSRN-Harmonic Regression Models: A Comparative Review with Applications
by Michael Artis, José Clavel, Mathias Hoffmann, DILIP NACHANE
Ejemplo 15
Utilizando datos de los puestos de trabajo de la Contabilidad Nacional
Trimestral de España (Tabla nº30); se pretende estimar un modelo de
regresión armónica; utilizando los procedimientos descritos en el apartado
anterior.
Tabla nº30.- Puestos de trabajo equivalentes a tiempo completo. España
1995TI 12.974 2001TIII 16.290 1995TII 13.027 2001TIV 16.333 1995TIII 13.043 2002TI 16.354 1995TIV 13.036 2002TII 16.530 1996TI 13.021 2002TIII 16.702 1996TII 13.123 2002TIV 16.608 1996TIII 13.310 2003TI 16.763 1996TIV 13.358 2003TII 16.871 1997TI 13.458 2003TIII 17.108 1997TII 13.630 2003TIV 17.053 1997TIII 13.756 2004TI 17.230 1997TIV 13.828 2004TII 17.291 1998TI 13.974 2004TIII 17.574 1998TII 14.186 2004TIV 17.524 1998TIII 14.391 2005TI 17.646 1998TIV 14.481 2005TII 17.874 1999TI 14.655 2005TIII 18.225 1999TII 14.869 2005TIV 18.136 1999TIII 15.026 2006TI 18.280 1999TIV 15.132 2006TII 18.493 2000TI 15.360 2006TIII 18.702 2000TII 15.592 2006TIV 18.692 2000TIII 15.867 2007TI 18.887 2000TIV 15.859 2007TII 19.080 2001TI 15.972 2007TIII 19.253 2001TII 16.106 2007TIV 19.148
Fuente: . Contabilidad Nacional Trimestral Base 2000. INE.
En primer lugar obtenemos una tendencia cuadrática; y definimos la serie de
ciclo empírico como diferencia entre el empleo y la tendencia cuadrática
calculada.
y = -0,0943x2 + 135,07x + 12463
120001300014000150001600017000180001900020000
1
995T
I
1
995T
IV
1
996T
III
1
997T
II
1
998T
I
1
998T
IV
1
999T
III
2
000T
II
2
001T
I
2
001T
IV
2
002T
III
2
003T
II
2
004T
I
2
004T
IV
2
005T
III
2
006T
II
2
007T
I
2
007T
IV
empleo Polinómica (empleo)
A continuación obtenemos el periodograma o espectro de Fourier de la serie
del ciclo empírico de los puestos de trabajo de la CNE; en la que observamos
como dominantes los armónicos de frecuencia 2 y 13; que corresponden con
los ciclos de 6;5 años y de 4 meses.
Tabla nº31. Peridograma de los Puestos de trabajo equivalentes a tiempo
completo. España.
Frecuencia Periodo ( ) ( )
π4
22pp
p
baTwI
+=
pa pb
1 52 97.124 -44;8839 -19;0674 2 26 1.271.162 172;5818 -36;6115 3 17;3 43.935 11;68 30;6486 4 13 30.814 22;5298 15;7129 5 10;4 55.447 5;4648 36;4387
6 8;7 18.406 8;9678 19;2418 7 7;4 27.946 11;529 23;4809 8 6;5 33.012 -24;6934 14;0904 9 5;8 11.135 -11;3012 12;0382
10 5;2 25.418 -17;3912 17;8862 11 4;7 3.233 -7;0126 5;475 12 4;3 3.762 2;041 9;3782 13 4 145.365 -33;2122 -49;5608 14 3;7 29.981 -25;2479 9;8311 15 3;5 17.997 -14;8858 14;8012 16 3;3 28.661 -15;3284 21;6059 17 3;1 3.673 -3;4292 8;8415 18 2;9 8.698 -14;5876 -0;4207 19 2;7 14.945 -18;6105 4;4264 20 2;6 8.364 -13;3873 -5;0579 21 2;5 8.104 -11;8068 7;6833 22 2;4 5.931 -10;1339 -6;5204 23 2;3 9.875 -14;3231 6;0527 24 2;2 905 -4;4452 -1;5507 25 2;1 18.164 -8;548 -19;279 26 2 27.241 -25;8263 0
Utilizamos entonces; una especificación para la aproximación FFF de la
siguiente forma:
( ) )sin()cos()sin()cos(/ 1313131323222 twvtwutwvtwuctbtatx ++++++=θ
La estimación mínimo cuadrática de dicha función ofrece los siguientes
resultados:
Tabla nº32. Coeficientes de la aproximación FFF de los Puestos de trabajo
equivalentes a tiempo completo
COEFICIENTES COEFICIENTE VARIANZA
SENO (13t) -44;2734 16;3836
COS (13t) 27;4862 16;6780
SENO (2t) -27;9863 17;9325
COS(2t) 189;2846 17;1038
t2 -0;2613 0;0605
t 142;5817 3;3144
Constante 12416;8330 38;3522
La aproximación realizada aparece en la figura siguiente:
10000
11000
12000
13000
14000
15000
16000
17000
18000
19000
20000
1
995T
I
1
996T
I
1
997T
I
1
998T
I
1
999T
I
2
000T
I
2
001T
I
2
002T
I
2
003T
I
2
004T
I
2
005T
I
2
006T
I
2
007T
I
Aproximación FFF
empleo
Método del espectro mixto
El método espectro mixto parte de que el espectro F(ω) puede descomponerse
como:
F(ω)= F1(ω)+ F2(ω)
donde F1(ω) es un espectro discreto (correspondiente a la suma
trigonométrica) y F2(ω) es un espectro continuo correspondiente a proceso
ARMA vt.
El modelo (1) se reformula como:
( )1
( ) sinR
i i i ti
x t d tλ φ ν=
= + +∑
donde di; λi y R son parámetros desconocidos; y Φi; es independiente y
regularmente distribuido en (-π; π) y vt; es un proceso lineal estacionario con
espectro continuo.
Se prueba la hipótesis nula:H0: Di=0 ; i=1;2;…;R contra la alternativa H1: Di≠0 ;
para algún 1≤i≤R. El no rechazar la hipótesis significa que x(t) es un preceso
ARMA estacionario con un espectro continuo.
Para testear H0 Priestley (1981) propuso el test P(λ):
ˆ ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )n mP f fλ λ λ= −
donde ˆnf y
ˆmf sin dos “window” del espectro estimado de x(t); obtenidas
truncando la serie por los puntos m y n; donde n>2m; y λ las frecuencias de
fourier 2
; 0,1,...., 2j
jj N
N
πλ = = .
Si di no es cero; P(λ) puede tener varios “picos” bien definidos; es decir ω1<
ω2<..<ωR. La significancia estadística de estos picos puede testearse; según
van ocurriendo; usando el estadístico llamado qJ% (Priestley; 1981).
Método de la regresión armónica dinámica
El método de la regresión armónica dinámica considera que
( ) ( )0
cos sinR
t it i it i ti
z a t b tϖ ϖ ν=
= + + ∑ (2)
donde zt representa la serie temporal escalar y vt es ruido blanco de la misma
forma que en (1); ωi ; i=1;2;…;R hace referencia al conjunto de la frecuencia
fundamental y sus harmónicos que contiene la serie temporal; por último ait y bit
son los parámetros variantes en el tiempo (TVP) estocásticos; cuya naturaleza
estocástica sigue un paseo aleatorio generalizado; tal que:
+
=
+
+
it
it
it
it
it
it
w
w
x
x
x
x**
1
1
0 γβα
(3)
donde xit representa cualquiera de los TVP’s en (2); x*it es un estado adicional
en el modelo sin una clara interpretación; en general; α ; β y γ son parámetros
adicionales; w it y w*it son ruidos Gaussianos. Este modelo general abarca
casos particulares tanto como otros generalmente usados en la literatura como
el IRW (Integrated Random Walk; α = β = γ= 1 ; wit=0); el RW (Random
Walk: α = β = γ= 1 ; w*it=0); el LLT (Local Linear Trend: α = β = γ= 1) y el DT
(Damped Trend: β = γ= 1).
El modelo (2) puede ser escrito explícitamente en términos de componentes no
observables; tal que:
t t t tz T S v= + +
donde Tt; St y vt pueden ser interpretados como un término de tendencia
estocástica; un componente estacional estocástico y un componente irregular;
respectivamente.
De forma que el sistema puede ser descrito en forma de un espacio de estados
estándar en donde (2) sería la ecuación de observación y (3) la ecuación de
estado.
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