Curso de Ingreso Intensivo Mate I 2018 -...

Intensivo Mate I 2018Curso de Ingreso

Febrero 2018

POLINOMIOS

Factorización de polinomios

Hemos visto en el curso de ingreso que factorizar un polinomio es escribirlo como el

producto de al menos otros dos polinomios de menor grado posible (polinomios

primos).

En esta oportunidad haremos una revisión de los modos de realizar dicha factorización.

Haremos hincapié en sacar factor común, la diferencia de cuadrados y la factorización

por raíces, que pone en juego el Teorema de Gauss, el Teorema del Resto y la Regla de

Ruffini. En muchos casos veremos que puede aplicarse más de un modo de factorizar

para llegar a la respuesta.

Factor común

Este caso proviene de haber aplicado la propiedad distributiva de la multiplicación entre un monomio y un polinomio, entonces deberemos encontrar qué expresión se distribuyó en qué polinomio, entonces dado un polinomio, sacar factor común consiste en encontrar el monomio y el polinomio que se multiplicaron originalmente.

Sea por ejemplo el polinomio 22 4x x observamos que cada uno de los términos (monomios) contienen x y sus coeficientes son múltiplos de 2. Entonces la expresión que se forma con la x de menor exponente y 2, resulta ser el factor común a cada uno de los términos del polinomio dado.

22 4 2 .x x x para completar el paréntesis, dividiremos cada término del

polinomio original por el factor común encontrado 2x (fíjense que como tenemos que dividir siempre elegimos el término de menor grado que aparece en el polinomio). Entonces nos queda:

22 4 2 . 2x x x x

Hemos expresado el polinomio de segundo grado como el producto de otros dos de grado uno por lo cual ha quedado factorizado. Actividad 1: Expresar como producto los siguientes polinomios:

UNIDAD 1

POLINOMIOS-EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS

Ciclo Introductorio - Matemática I

1

2 2 3 2

4 6 3 5

3 7 5

)9 3

)36 48 72 60

4 8 16 2)

3 9 15 3

a x ab xa b x az

b x x x x

c x x x x

Diferencia de cuadrados

Siempre que multiplicamos dos binomios conjugados el resultado adopta la forma de

una diferencia entre los cuadrados de cada término, por lo cual si debemos factorizar

un binomio definido por una resta y verificamos que cada término es un cuadrado

perfecto, estamos ante una diferencia de cuadrados.

Veamos por ejemplo el binomio 2 36x , en él puede hallarse la raíz cuadrada de cada

término: 2 y 36 6x x , con estas raíces podemos reconstruir los binomios

conjugados que se multiplicaron para dar origen al polinomio dado, es decir:

2 36 6 6x x x

Actividad 2: Expresar, si es posible, como multiplicación:

2

6

2 6 4

9)

25

) 4

)36

a x

b x

c x a b

Factorización por raíces.

Hemos visto en el curso de ingreso que todos los polinomios tienen – al menos – una raíz y pueden escribirse como el siguiente producto:

P (x) = (x – raíz) . Q (x)

siendo Q(x) el cociente de dividir

Q(x) = P(x) : (x – raíz)

Este cociente que se puede obtener mediante la regla de Ruffini si previamente

encontramos por lo menos una raíz del polinomio.

Recordemos además que:

Nota: En rigor, todo polinomio puede escribirse como

P(x) = a .(x – r1) (x – r2) (x – r3) … (x –rn)


2

Ejemplo 1

Supongamos que queremos factorizar P(x)= x3 – 8.

Aplicando el Teorema de Gauss buscamos los divisores del término independiente (con

esto basta ya que el coeficiente principal es uno).

El conjunto de divisores es: 1, 2, 4, 8 , el Teorema propone que en este conjunto

se encuentran las posibles raíces del polinomio (si éstas existen).

A través del Teorema del resto reemplazamos por alguno de estos valores hasta

encontrar alguno que de resultado 0. Si esto ocurre (resto 0) dicho valor es raíz del

polinomio.

Elegimos reemplazar x por 4: 3(4) 4 8 64 8 56 0P , entonces 4 no es raíz del

polinomio. Buscamos otro valor de la lista hasta encontrar resto cero.

Probemos con x=2, 3(2) 2 8 8 8 0P , entonces 2 es raíz del polinomio.

Para encontrar el cociente usamos la Regla de Ruffini:

1 0 0 8

2 2 4 8

1 2 4 0

Según lo indicado al comienzo, expresamos a P(x) como: 2( ) 2 2 4P x x x x

Uno de los factores es un polinomio de grado 2, busquemos sus raíces para ver si

podemos continuar factorizando:

2

1,2

2

1,2

1,2

4

2

2 2 4.2.4

2.2

2 28

4

b b acx

a

x

x

No existe la raíz cuadrada de -28, por lo tanto el polinomio no puede factorizarse.

siendo “a” su coeficiente principal y r1, r2, r3,... rn las n raíces que admite un polinomio

de grado n. Nosotros trabajamos sólo con raíces reales.


3

Hemos hallado la expresión factorizada del polinomio dado.

2( ) 2 2 4P x x x x

Ejemplo 2

Sea el polinomio 2( ) 4P x x

El conjunto de divisores de 4 es, 1, 2, 4 . Reemplacemos por alguno de ellos para

ver si nos da resto cero:

2

2

( 1) 1 0 elegimos otro valor

(2) 2 4 4 4 8 0

P

P

Si continuamos eligiendo valores del conjunto veremos que ninguno es raíz del

polinomio. Entonces no puede hallarse la expresión factorizada.

Ejemplo 3:

Sea el polinomio 6( ) 64P x x , el conjunto de los divisores de 64 es:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64

Elegimos un valor de la lista y reemplazamos: 6(2) 2 64 64 64 0P , hallamos

una raíz y aplicamos Ruffini:

1 0 0 0 0 0 64

2 2 4 8 16 32 64

1 2 4 8 16 32 0

5 4 3 2( ) 2 2 4 8 16 32P x x x x x x x

Buscamos si el polinomio cociente tiene raíces y para ello seleccionamos un valor del

conjunto hallado al comienzo:

Cuando se factorizan polinomios de la forma n nx a siendo n un número impar, el

polinomio cociente hallado por Ruffini no tiene raíces y no puede seguirse factorizando,

es decir, es un polinomio primo..

Cuando se factorizan polinomios de la forma n nx a siendo n un número par, el polinomio no

puede factorizarse pues no tiene raíces, entonces es un polinomio primo.


4

5 4 3 2( 2) 2 2. 2 4 2 8 2 16 2 32

2 32 32 32 32 32 32 0

P

P

Aplicamos Ruffini:

1 2 4 8 16 32

2 2 0 8 0 32

1 0 4 0 16 0

La expresión factorizada hasta el momento es: 4 2( ) 2 2 4 16P x x x x x

El polinomio cociente es una suma de grados pares, entonces no hallaremos valores de

x que sean raíces de este polinomio ya que todas las potencias pares son positivas y no

conseguiremos anular al polinomio.

Por lo tanto la expresión factorizada es: 4 2( ) 2 2 4 16P x x x x x

Actividad 3: Expresar, si es posible, como multiplicación:

3 2

4 2

5

)2 3 11 6

) 15 10 24

) 243

a x x x

b x x x

c x

Casos combinados

Muchas veces para hallar la expresión factorizada de un polinomio se hace necesario aplicar más de un caso de factorización. Se recomienda comenzar por ver si es posible sacar factor común para luego ver si se puede factorizar por raíces o con algún otro caso de factoreo.

Sea el polinomio 6 2( )P x x x

Todos sus términos tienen una potencia de x, elegimos la menor para sacar factor común

2 4( ) 1P x x x

El paréntesis tiene una raíz x=1, entonces aplicamos Ruffini:

1 0 0 0 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 0


5

Nos queda 2 3 2( ) 1 1P x x x x x x

Seguimos factorizando el último paréntesis. Una raíz de este polinomio es x= -1

1 1 1 1

1 1 0 1

1 0 1 0

Nos queda 2 2( ) 1 1 1P x x x x x , como el último paréntesis es primo se

terminó la factorización.

Actividad 4:

Factorizar los siguientes polinomios:

3)a x x

4)3 48b x

2)18 12 2c x x

3 2)27 x 36 12d x x

3 2) 4 4e x x x

5 3)3 6 3f x x x

5) 81g x x

5 3) 2h x x x

4 3 2) 4 3i x x x

3 2)9 9 4 4j x x x

9 5)81 72 16k x x x

5 3)3 54 243l x x x

EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS

Una expresión algebraica es racional si responde a la forma ( )

( )

P x

Q x y el valor

numérico de ( ) 0Q x siempre.


6

Cuando operamos con expresiones algebraicas racionales usamos la factorización de

los polinomios que las conforman, para poder simplificarlas, tal como hacíamos con las

fracciones numéricas.

Actividad 5: Realizar las siguientes sumas y restas de expresiones algebraicas

racionales, simplificar el resultado cuando sea posible:

a) 2 8

4 4

x

x x

b) 26 12

4 8 4 8

x x

x x

c) 3

2 2

. 22 x xx x

x x

d) 3 3

2 2

3 1 5 1

12 12

x x

x x

e) 10 8

2 2x x

f) 2 26 9 9

3 3

x x x

x x

Solución del ejercicio f:

2 22 2 6 9 . 3 9 . 36 9 9

3 3 3 . 3

x x x x xx x x

x x x x

aplicamos propiedad

distributiva en el numerador:

2 2 2 2 2 26 9 9 . .3 6 . 6 .3 9. 9.3 . .3 9. 9.3

3 3 3 . 3

x x x x x x x x x x x x x x

x x x x

Aplicamos propiedades del producto de potencias de igual base:

2 2 3 2 2 3 26 9 9 3. 6 18 9. 27 3. 9. 27

3 3 3 . 3

x x x x x x x x x x x

x x x x

2 2 3 26 9 9 2. 6 18 54

3 3 3 . 3

x x x x x x

x x x x

Sacamos factor en el numerador agrupando convenientemente los términos:

De igual denominador: A C A C

B B B

De distinto denominador: . .

.

A C A D C B

B D B D


7

22 2 2 . 3 18. 36 9 9

3 3 3 . 3

x x xx x x

x x x x

22 2

22 2

3 . 2 186 9 9

3 3 3 . 3

3 .2. 96 9 9

3 3 3 . 3

x xx x x

x x x x

x xx x x

x x x x

Utilizamos diferencia de cuadrados en el numerador:

2 2 2. 3 . 3 . 36 9 9

3 3 3 . 3

x x xx x x

x x x x

Simplificamos los paréntesis del numerador y del denominador:

2 2 2. 3 . 3 . 36 9 9

3 3 3 . 3

x x xx x x

x x x x

Llegamos al resultado:

2 26 9 9

2. 33 3

x x xx

x x

g) 2

3 2x

x x

Actividad 6: Realizar las siguientes multiplicaciones y divisiones de expresiones

algebraicas racionales, simplificar el resultado cuando sea posible:

a) 2

2 3

3

x

xx x

b) 2

2 3

2

4 3

x x

x x x

c) 2

2 3 1

x x

x x

d) 22 3 25

5 6 9

x x

x x

Multiplicación: .

..

A C AC

B D B D

División: .

:.

A C A D

B D B C


8

Para tratar este tema, es aconsejable que vuelvas al Módulo de Matemática del Curso

Inicial. En él ya hemos tratado la definición de función y aquellos elementos de las

mismas que las caracterizan en general, hemos trabajo una herramienta para graficar

funciones (GeoGebra) y comenzamos con el estudio de funciones lineales y

cuadráticas. Estas funciones pertenecen al conjunto de las llamadas Funciones

Polinómicas, con las que comenzaremos a trabajar en Matemática I.

Funciones polinómicas

Una función polinómica está definida a través de un polinomio y su ley de formación es:

1 2 1 0

1 2 1 0( ) . . ... . . .n n

n nf x a x a x a x a x a x

El dominio de las funciones polinómicas es el conjunto de números reales . Por lo tanto tienen gráfica de trazo continuo. Ejemplos de funciones polinómicas son la función lineal y la función cuadrática, que ya hemos trabajado. Hagamos un pequeño repaso. Sea la función ( ) 3 1f x x

La función está definida por un polinomio de grado uno. Las funciones definidas por polinomios de grado uno o cero, se llaman funciones lineales. Para graficar estas funciones, marcamos el valor de la ordenada al origen (término de grado cero del polinomio) y nos desplazamos según indica la pendiente, como se muestra en la siguiente imagen (usamos GeoGebra, recomendamos volver al Módulo de Matemática del ingreso). La gráfica obtenida es una recta.

UNIDAD 2

FUNCIONES


9

La función tiene pendiente negativa, por lo tanto es decreciente. Tiene una raíz 1

3x .

No tiene máximo ni mínimo (es estrictamente decreciente). El conjunto de positividad

es 1

,3

C

y el de negatividad es 1

,3

C

. El conjunto imagen es .

Sea: 2( ) 3 2f x x x

El polinomio asociado a esta función es de grado dos. A las funciones así definidas se las llama funciones cuadráticas. La gráfica de estas funciones son curvas llamadas parábolas. Para graficar esta función hallamos el eje de simetría, las coordenadas del vértice, la ordenada al origen y las raíces, ¿puedes calcularlos?. Volcamos estos puntos en un par de ejes y trazamos la parábola. La gráfica es:


10

Por tener coeficiente cuadrático positivo (a=1) la parábola es cóncava hacia arriba, por lo tanto el vértice es un mínimo de la función. Tiene dos raíces (x= 1 y x= 2). Crece y decrece por intervalos. Tiene conjuntos de positividad y negatividad. ¿Puedes indicarlos?

El dominio de la función es y su conjunto imagen es el intervalo 3

,2

.

Los gráficos de estas funciones los hemos construido sin necesidad de armar una tabla de valores, solo hemos usado sus elementos característicos. Hasta aquí lo que ya sabíamos.

Realizar un gráfico aproximado de la función 3 2( ) 5 6f x x x x

Si queremos continuar graficando como hasta ahora sin construir una tabla de valores, ¿qué elementos de la función nos conviene hallar y cómo? Según lo que sabemos podemos hallar la ordenada al origen de una función hallando la imagen de x= 0

Entonces 3 2(0) 0 5.0 6.0 0 0 0 0f la ordenada al origen es y= 0

También podemos hallar sus raíces. El polinomio asociado a la función es de grado 3 y no tenemos una fórmula que nos permita hallar las raíces. Pero sí sabemos factorizar el polinomio. Entonces si lo factorizamos encontramos sus raíces y viceversa.

3 2 2(x) 5.x 6.x . 5 6f x x x x hemos sacado factor común y podemos hallar

las raíces del paréntesis utilizando la fórmula para las raíces de un polinomio de grado dos.

2

1,2

2

1,2

1,2

1,2 1 2

4

2

5 5 4.1.6

2.1

5 25 24

2

5 1 5 1 5 13 o 2

2 2 2

b b acx

a

x

x

x x x

Entonces podemos escribir ( ) . 3 . 2f x x x x

La función tiene tres raíces: x= 0, x= 3 y x= 2. Cada una ellas tiene multiplicidad (la cantidad de veces que se repiten en la expresión factorizada) uno. Además, si sumamos los exponentes de cada uno de los factores (recordar que el exponente 1 no es necesario escribirlo), nos da el grado del polinomio original (tres). Por tener multiplicidad impar (1 es impar) la gráfica de la función atravesará al eje x en cada uno de esos valores ¿cómo lo hace? ¿La gráfica “sube” desde el semiplano negativo de las ordenadas o “baja” desde el semiplano positivo de las mismas, para atravesar al eje x? La respuesta a estas preguntas nos la dan los conjuntos de


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positividad y negatividad. Para determinar estos conjuntos dividimos al dominio en intervalos, cada uno de los cuales tendrá por extremo a las raíces halladas (ver en el Módulo de ingreso el tema) y hallamos la imagen de un valor cualquiera perteneciente al intervalo para determinar el signo que tiene.

,0 : ( 1) 1 . 1 2 . 1 3 1 . 3 . 4 12 negatividad

0,2 : (1) 1 . 1 2 . 1 3 1 . 1 . 2 2 positividad

2,3 : (2.5) 2.5 . 2.5 2 . 2.5 3 2.5 . 0.5 . 0.5 0.625 negatividad

3, : (4) 4 . 4 2 . 4 3 4 . 2 . 1 8 positividad

f

f

f

f

Las imágenes crecen desde el semiplano negativo de las ordenadas, la gráfica atraviesa al eje x en x= 0 creciendo hasta un valor máximo, para luego decrecer hasta atravesar al eje x otra vez en x= 2, siguen decreciendo hasta un valor mínimo, para luego crecer, atravesando al eje x en x= 3. A partir de este valor las imágenes continúan creciendo en el semiplano positivo de las ordenadas. El gráfico de la función dada es:

En las unidades siguientes veremos cómo encontrar analíticamente los valores máximos y mínimos de una función. Pero en esta etapa de análisis usaremos la herramienta “Extremos relativos” del GeoGebra para encontrarlos. En el menú seleccionamos la herramienta “Punto” y desplegamos el menú correspondiente, como se muestra en la imagen


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Cliqueamos en “Extremos relativos” y a continuación sobre la curva.


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En la Vista Algebraica aparecen las coordenadas de los extremos de la función. El punto A es el máximo relativo y el B es el mínimo relativo de la función. A partir de esta información podemos hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento:

. ;0.78 2.55;

. 0.78;2.55

I C

I D

Ya tenemos el análisis completo de la función. Entonces para analizar y graficar funciones polinómicas de grado n se debe tener en cuenta lo siguiente:

Si conocemos la expresión de la función polinómica es conveniente expresarla en forma factorizada. Por lo cual hallaremos sus raíces y la reescribimos en la

forma 1 2

1 2( ) . . ...n n n

nf x a x x x x x x

Las raíces del polinomio asociado tienen un orden de multiplicidad (la cantidad de veces que esa raíz se repite en su factorización). Si una raíz se repite una cantidad par de veces (multiplicidad par) la gráfica “rebota” al tocar dicha raíz y si se repite una cantidad impar de veces (multiplicidad impar) la gráfica “atraviesa” el eje x en dicho valor. El orden de multiplicidad aparece como un exponente en la forma factorizada de la función. Por ejemplo

2

( ) 1 . 3f x x x la raíz x= 1 tiene multiplicidad par (2), por lo tanto la

gráfica rebota cuando la toca, la raíz x= -3 tiene multiplicidad impar (1), por lo tanto la gráfica atraviesa el eje x cuando llega a dicho valor.

La suma de los exponentes de la expresión factorizada de la función indica su grado.

Entre dos raíces consecutivas la función no cambia de signo, es decir, entre ellas, la función tiene negatividad o positividad.

Si es conveniente, calculamos la ordenada al origen para marcarla en el par de ejes.


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Actividad 1: Realizar un gráfico aproximado de la función f(x)= 2.(x-1).(x+2)2.(x-3)3

indicando raíces, multiplicidad de las mismas, ordenada al origen.

Actividad 2: Reconstruir la función polinómica sabiendo que tiene a -4, 3 y 5 como

raíces, que rebota en 3 y atraviesa en -4 y 5. Su grado es 6 y pasa por el punto (2; -1)

Actividad 3: Reconstruir la función polinómica sabiendo que tiene a -2, 3 y 7 como

raíces, que rebota en 3 y -2 y atraviesa en 7. Su grado es 7 y pasa por el punto (2; -1)

Actividad 4: Hallar la ecuación de la función sabiendo que la misma es de grado 3

Actividad 5: Hallar la ecuación de la función sabiendo que es de grado 4

Actividad 6: Hallar la ecuación de la función sabiendo que es de grado 5


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Actividad 7: Hallar la fórmula de una función polinómica de grado 3 que verifique las

siguientes condiciones:

a) Tiene una sola raíz y es positiva

b) Cuando x tiende a +∞ , f(x) tiende a -∞

c) C- =(5;+∞)

¿Es la única función que cumple con lo pedido? Por qué?

Actividad 8: Hallar los conjuntos de positividad y negatividad de las siguientes

funciones:

a) f(x)= x3 -7x2 +7x+15

b) f(x)= x3 +6x2 +12x+8

c) f(x)= x3 -2x2 +4x-8.

Actividad 9: Marcar la opción que consideren correcta en cada caso:

a) Dada la función polinómica f(x)=3.(x-3).(x+4) + x3

i) x=3 y x=-4 son raíces de f.

ii) la fórmula de f está factorizada

iii) el resto de dividir a f(x) por x-1 es -29

iv) la ordenada la origen de f(x) es negativa

b) Para la función g(x)= x4 – 3x2 -4 se cumple que:

i) g tiene 4 raíces reales

ii) C- = (-2;2)

iii) g tiene resto 0 al ser dividido por (x2 -4)


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iv) (x2-4) es un factor de g(x)

c) La fórmula de una función polinómica de grado 3 cuyas únicas raíces son x=2 y

x=-1 y su conjunto de negatividad es (2;+∞) es:

i) f(x)=(x+1)2.(x-2)

ii) f(x)= -1.(x+1).(x-2)

iii) f(x)= -1.(x+1)2.(x-2)

iv) ninguna de las anteriores

Actividad 10: Un analista de mercado que trabaja para un fabricante de aparatos

pequeños encuentra que si la empresa produce y vende x licuadoras anualmente, la

ganancia total (en dólares) es 3 2( ) 0.0013 0.3 8 372P x x x x

Grafique la función P en un dominio apropiado y emplee la gráfica para contestar las siguientes preguntas.

a) Cuando se fabrican solo algunas licuadoras, la empresa pierde dinero (ganancia negativa). (Por ejemplo (10) 263.30P , así que la empresa pierde $263.30 si

produce y vende solo 10 licuadoras.) .Cuántas licuadoras debe producir la empresa para terminar sin perdidas?

b) ¿La ganancia se incrementa de manera indefinida cuando se producen o venden más licuadoras? Si no, ¿cuál es la ganancia más grande posible que podría tener la empresa?

Actividad 11: Se observa que la población de conejos en una isla pequeña está dada

por la función 4(t) 0.4 120 1000P t t , donde t es el tiempo en meses, desde que

comenzaron las observaciones en la isla. a) ¿Cuándo se obtiene la máxima población, y cuál es esa población máxima? b) ¿Cuándo desaparece la población de conejos de la isla?

Funciones racionales Una función racional está definida a través de un cociente de polinomios, siendo el polinomio divisor distinto de cero para todo valor x del dominio de la función.

( )( ) ; ( ) 0

( )

P xf x Q x

Q x

Para analizar y graficar estas funciones primero debe hallarse el dominio. El dominio de una función racional son todos los reales menos las raíces del polinomio denominador.

La función racional más simple tiene la forma ( )k

f xx

.


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Si 1k función se llama de proporcionalidad inversa cuya expresión es 1

( )f xx

.

El dominio de esta función son todos los reales menos el cero, ya que no está definida

la división por este valor. Entonces 0fDom

Para hallar el conjunto imagen observamos que la función toma la forma de una fracción y para que una fracción valga cero, el numerador de la misma debe valer cero. Como el numerador es distinto de cero nunca obtendremos dicho valor para la imagen. Puede observarse a través del gráfico que las imágenes se acercan a cero cuando los valores de x son cada vez más grandes, pero nunca lo alcanza. Entonces el conjunto

imagen está formado por todos los reales menos el cero. Entonces: Im 0f

Esta función no tiene ordenada al origen ya que cero no pertenece al dominio, así como tampoco tiene raíces ya que cero no pertenece al conjunto imagen. Por lo tanto no tiene intersecciones con los ejes coordenados. Su gráfico aproximado es:

En la vista gráfica vemos las ecuaciones de las rectas definidas por los valores que hemos quitado del dominio y del conjunto imagen. Estas rectas reciben el nombre de asíntotas de la función (las graficamos en línea punteada). Así la ecuación x= 0 define a la asíntota vertical (cuando x adopta valores muy cercanos a cero, sus imágenes tienden a crecer o decrecer a o a respectivamente) y la ecuación y= 0 es la asíntota horizontal (cuando x adopta valores muy grandes en valor absoluto, es decir, tiende a infinito, sus imágenes se acercan cada vez más a cero, pero nunca valen cero). Por lo anterior escribimos: . : 0 y . : 0AV x A H y

Como esta función no tiene raíces, para hallar los conjuntos de positividad y negatividad tomamos el valor de la asíntota vertical. Entonces observamos que para


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los valores menores que 0, la función tiene imágenes negativas y para valores mayores

que cero, las imágenes son positivas: 0, y ,0C C

Por último, vemos que a medida que x crece a la derecha, las imágenes decrecen hasta valores muy cercanos a cero, entonces la función es decreciente (lo mismo ocurre si los valores de x se acercan a cero, las imágenes decrecen hacia ) Otro ejemplo de función racional:

Sea 2

2

3 5 1( )

2 1

x xf x

x x

Para hallar el dominio se buscan las raíces del polinomio denominador:

2

2

1,2

2

1,2

1,2

1,2 1 2

1 2

2 1 0

4

2

1 1 4.2. 1

2.2

1 1 8

4

1 9 1 3 1 3

4 4 42 4

4 4

x x

b b acx

a

x

x

x x x

x x

1

2

1

2

1

x

x

Por lo tanto el dominio es el conjunto: 1

1,2

fDom

La función presenta dos asíntotas verticales en dichos valores. Por tener el mismo grado el numerador y el denominador la asíntota horizontal es el

cociente de los coeficientes principales: 3

2y .

El conjunto imagen es: Im f pues:


19

2

2

2 2

2 2

3 5 1 3

22 1

33 5 1 .(2 1)

2

3 33 5 1 3

2 2

a

3 35 1 0

2 2

7 10

2 2

1

7

x x

x x

despejamos

x x x x

x x x x

agrupamos un mismo lado del signo igual

x x

x

despejamos

x

Vemos que existe un valor de x del dominio de la función para el cual el valor hallado

de la asíntota horizontal es su imagen. Esto nos hace ver que el valor de la asíntota

horizontal no siempre está excluído del conjunto imagen. Sin embargo cuando nos

alejamos infinitamente hacia la derecha o hacia la izquierda del valor 1

7x las

imágenes que adopta la función se acercan a la recta 3

2y sin tocarla, por eso se dice

que 3

2y es asíntota horizontal de la función para valores de x tendientes a y a

(de otro modo 3

2y es asíntota horizontal de la función en el infinito).

La ordenada al origen es: 1

11

y

Las raíces de la función son las raíces del polinomio numerador:

1

2

5 37

6

5 37

6

x

x

El gráfico aproximado de la función es:


20

Asíntotas de funciones racionales El cociente que define la función es siempre positivo por lo tanto la función es estrictamente decreciente y en consecuencia no posee extremos. Para los conjuntos de positividad y negatividad se tienen en cuenta las raíces y las asíntotas verticales:

5 37 5 37 1; 1; ;

6 6 2

5 37 5 37 1; 1 ;

6 6 2

C

C

Para hallar las asíntotas de una función racional deberemos tener en cuenta lo siguiente.

Sea f(x) la función racional de la forma: 1 0

1 1 0

1 1 0

1 1 0

...( )

...

n n

n n

m m

m m

a x a x a x a xf x

b x b x b x b x

1. Las asíntotas verticales de f son las rectas x = h, donde h es un cero del

denominador.

2. a) Si n < m, entonces f tiene asíntota horizontal y = 0.

b) Si n= m, entonces f tiene asíntota horizontal n

m

ay

b

c) Si n > m, entonces f no tiene asíntota horizontal.

3. Si 1n m , entonces f tiene asíntota oblicua y mx b , siendo y mx b

el cociente de la división entre los polinomios numerador y denominador de ( )f x . Cuando una función tiene asíntota oblicua no tiene asíntota horizontal.


21

Ejemplo: Sea 2 3 5

( )6

x xf x

x

En esta función el grado del numerador es 2n y el grado del denominador es

1m , por lo tanto se cumple que 2 1 1n m , entonces existe asíntota oblicua para la función. Para encontrar la ecuación de la asíntota oblicua debemos realizar la división entera entre los polinomios que definen la función:

2

2

3 5 6

6 3

3 5

3 18

13

x x x

x x x

x

x

La ecuación de la asíntota oblicua de la función es 3y x . La ecuación de la asíntota

vertical es 6x y no tiene asíntota horizontal. El gráfico de la función es:

Actividad 12: Para cada función se pide: hallar dominio, imagen, intersección con los ejes coordenados, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, conjuntos de positividad y negatividad, asíntotas verticales y horizontales. Construir un gráfico aproximado.

2

2

2

6) ( )

5 6

) ( )2 3

a f xx x

xb f x

x x


22

2 5 3) ( )

2

x xc f x

x

Actividad 13: Para cada una de las siguientes funciones, se pide: dominio, imagen, intersecciones con los ejes, asíntotas verticales y horizontales, intervalos de crecimiento, decrecimiento, conjunto de positividad y negatividad:

2

2 5) ( ) b) f(x)=

1 1) ( ) d) f(x)=

3 2) ( ) f) f(x)=

2 2 2

a f xx x

c f xx x

e f xx x

g

2

2 2

4 3) ( ) h) f(x)=

2 18 2 2

2 1 3 6) ( ) j) f(x)=

4 2 4

xf x

x x

x xi f x

x x

Actividad 14: Para graficar las funciones definidas en los siguientes problemas

usaremos Geogebra:

1) Suponga que la población de conejos de la granja del señor Jenkins sigue la formula

3000( )

1

tp t

t

, donde 0t es el tiempo (en meses) desde el comienzo del año.

a) Trace una gráfica de la población de conejos.

b) ¿Qué sucede finalmente con la población de conejos?

2) Se monitorea la concentración de fármacos en el torrente sanguíneo de un paciente

al que le fueron administrados fármacos en el instante t≥ 0 (en horas desde la

administración del fármaco), la concentración (en mg/L) se determina por 2

5( )

1

tc t

t

Grafique la función c y responda:

a) ¿Cuál es la concentración más alta de fármaco que se alcanza en el torrente

sanguíneo del paciente?

b) ¿Qué sucede con la concentración del fármaco después de un periodo largo?

c) ¿Cuánto le toma a la concentración disminuir debajo de 0.3 mg/L?


23

3) Para que una cámara con una lente de longitud focal fija F se enfoque en un objeto

localizado a una distancia x de la lente, la película se debe colocar a una distancia y

detrás de la lente, donde F, x e y se relacionan por 1 1 1

x y F

(Véase la figura.) Suponga que la cámara tiene una lente de 55 mm (F = 55):

a) Exprese a y como una función de x y grafique la función.

b) Qué sucede con la distancia de enfoque y cuando el objeto se aleja de la lente

c) ¿Qué sucede con la distancia de enfoque y cuando el objeto se acerca a la lente?

Función exponencial

La función exponencial es de la forma: ( ) xf x a donde 0 y 1a a . El dominio de

estas funciones es el conjunto de números reales. El conjunto imagen los reales

positivos. Su gráfica es:

La ordenada al origen es y= 0

( ) xf x a cuando a>1


24

Observando ambos gráficos, podemos decir que estas funciones tienen asíntota

horizontal y= 0, para valores de x tiendo a infinito en valor absoluto.

Actividad 15: Representar cada función e indicar:

a) Conjunto imagen.

b) Ordenada al Origen

c) Asíntota Horizontal

d) Si son crecientes o decrecientes

xxf 2.3

x

xg

3

1.2

25

12

x

xh

Actividad 16: Sin representar indiquen cuál es la asíntota horizontal en cada función.

a) 34 xxf

b) 42 xxf

c) 33

2

x

xf

d) 323 xxf

e) 42.5 xxf

Actividad 17: ¿Cuál es la ordenada al origen de cada función de la actividad 16?

( ) xf x a cuando 0<a<1


25

Actividad 18: Indiquen si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar.

a) La función x

xf

3

2es creciente.

b) La función xxf 4 tiene asíntota horizontal que es la recta de ecuación

0y

c) Todas la funciones del tipo xaxf con 1a cortan al eje x.

d) Todas las funciones del tipo xaxf con 10 a , son decrecientes.

Actividad 19: Encuentren la fórmula de la función exponencial xakxf . que

cumpla con las condiciones pedidas en cada caso.

a) Pasa por el punto 3;0 y 2

1a .

b) 001,0k y pasa por el punto 1;3 .

c) 4

5a y corte al eje de las ordenadas en 6y

Actividad 20: Las poblaciones animales no pueden crecer sin restricción debido a la

limitación de hábitat y suministros de alimento. En tales condiciones la población sigue

un modelo de crecimiento logístico.

P( )1 . ct

dt

k e

donde c, d y k son constantes positivas. Para cierta población de peces, en un pequeño

estanque d=1200, k= 11, c= 0.2, y t se mide en años. Los peces se introdujeron en el

estanque en el tiempo t= 0.

a) ¿Cuántos peces se colocaron originalmente en el estanque?

b) Calcule la población después de 10, 20 y 30 años.

c) Evalúe para valores grandes de t. ¿A qué valor tiende la población cuando

t ?¿.La gráfica mostrada confirma sus cálculos?


26

Función logarítmica

La función logarítmica es de la forma ( ) logaf x x siendo 0 y 1a a

El dominio es el conjunto de números reales positivos. El conjunto imagen es el

conjunto de números reales, si a> 1 la función es creciente y si 0<a<1 la función es

decreciente. Tiene asíntota vertical x= 0 ¿Por qué sabemos esto si no hemos graficado

aún? Porque la función logarítmica es la inversa de la función exponencial.

Podemos hallar el gráfico de la función logarítmica a partir del gráfico de la

exponencial.

Usando GeoGebra graficamos la función exponencial ax (a puede ser cualquier valor

mayor que 1). A continuación dibujamos la recta y= x (bisectriz del primer y tercer

cuadrante).

En la Entrada escribimos el comando Refleja según la Ayuda de comandos:


27

Y escribimos Refleja[ax,y=x] con el valor de a que hayamos elegido para graficar la

exponencial. Al darle entrada obtenemos el gráfico de la función logarítmica.

Si escribimos en la Entrada la palabra log, obtenemos las formas de la función

logarítmica que podremos usar en el entorno de trabajo del GeoGebra.

( )x

f x a

( ) log xa

f x

<b> es la base del logaritmo

<x> es el argumento de la

función


28

A cargo de Ustedes la exploración de las otras formas.

Actividad 21: Consideren las funciones xf x 2log)( y xg x21log)( :

a) Representen sus gráficas.

b) Observen la gráfica y respondan.

(I) ¿Cortan al eje de ordenadas? ¿Por qué?

(II) ¿Qué se observa, en ambas gráficas, cuando los valores de x se aproximan

a cero?

(III) ¿Cuáles son los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de cada

función?

(IV) ¿Cuál es la relación gráfica que se observa entre ambas curvas?

Actividad 22: Considerando las funciones 2xlog2)( xf y 4-2xlog2)( xg

a) Hallen el dominio de cada una.

b) Para cada función realicen el gráfico.

c) Indiquen la ecuación de la asíntota y los puntos de corte con los ejes para cada

función.

Actividad 23: Indiquen si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a) La función 1xlog2)( xf es decreciente.

Logaritmo en base e

<x> argumento de la función


29

b) La función 1x-log21)( xf es creciente.

c) La función 4-xlog2)( xf corta al eje x en el punto (5;0).

d) La función 2xlog2)( 2xf corta al eje de ordenadas en el punto (0;2).

e) La función 2-x-log2)( xf no corta al eje de abscisas.

Algunas fórmulas de aplicaciones de las funciones exponenciales y logarítmicas:

Terremotos: M=log P siendo M grados en escala Richter y P potencia

Acidez: 1

logpHH

siendo H moles de iones de hidrógeno.

Crecimiento exponencial de poblaciones: 0( ) rtn t n e siendo n0 la población inicial, r el

porcentaje relativo de crecimiento, t el tiempo.

Actividad 24: Problemas de aplicación de funciones exponenciales y logarítmicas

1) En 1906, un terremoto en la ciudad de San Francisco tuvo una magnitud de 8,2

en la escala de Richter. En 1989 hubo otro, que fue 19,95 veces más potente

que el de 1906. Hallar el grado de la escala de Richter correspondiente al

terremoto de 1989.

2) Los censos realizados en la ciudad de Pilar registraron un aumento vertiginoso

de la población en los últimos años. En enero de 1993 había 130000 habitantes,

y en enero de 1998, 230000. Suponiendo que el porcentaje de incremento

anual se mantenga constante:

a) Hallar la fórmula que exprese el crecimiento de la población de Pilar en

función de los años transcurridos desde 1993.

b) Estimar la población para el mes de enero 2016.

3) Una persona depositó $5000 en un banco que le ofreció un interés compuesto

del 10% anual. ¿cuánto tiempo estuvo depositado el dinero si llegó a tener un

monto de $6655?

4) Si un capital se depositara al 8% anual de interés compuesto, ¿cuánto tiempo

tardaría en duplicarse?

5) Durante un mes de hiperinflación, el precio de un producto aumentó

diariamente en forma exponencial. Al comenzar el mes costaba 4 unidades

monetarias, y en el día 10 ya costaba 6,50 unidades monetarias.


30

a) Cuánto costaba al finalizar el mes, suponiendo que este tenía 30 días?

b) Qué día costaba 5,36 unidades monetarias?

c) Cuánto había aumentado entre el tercer y el cuarto día?

d) Y entre los días 20 y 21?

6) Si nos otorgan un préstamo a una tasa de interés compuesto mensual tal que al

cabo de 10 años deberemos devolver el doble de lo que nos han prestado,

¿cuál es la tasa de interés?

7) En el año 1964 hubo en Alaska un terremoto devastador que fue de 9,2 grados

en la escala de Richter. Comparado con el de San Francisco de 1906, ¿cuántas

veces más potente fue ese terremoto?

8) La cantidad de personas que viven en una isla crece de acuerdo con una función

exponencial, y aumenta un 5,5% cada año. El 1 de enero de 1995 había 500

habitantes.

a) ¿Cuándo se duplicará la población?

b) ¿Cuántos habitantes habrá el 1 de enero de 2016?

9) Una solución tiene una concentración de iones de hidrógeno de 0,0000375.

a) ¿Cuál es su pH?

b) ¿Es ácida o básica?

10) Un champú tiene pH=4,5.

a) ¿Cuál es la concentración de iones de Hidrógeno?

b) ¿Es más ácido que otro que tiene una concentración de iones hidrógeno de

0,0000467? Por qué?

Funciones trigonométricas

Cuando hablamos de trigonometría evocamos sin dudas a un triángulo rectángulo y a

las relaciones que se establecen entre un ángulo dado y los lados del triángulo, como

se muestra en la figura 1:


31

Estas relaciones las hemos usado en la resolución de triángulos rectángulos y en

diversos problemas en los que aparecían triángulos rectángulos al traducirlos al

lenguaje gráfico.

También hemos visto que si el triángulo se dibuja en un par de ejes cartesianos,

teniendo hipotenusa de longitud uno, obtenemos la llamada circunferencia

trigonométrica. Cuando la hipotenusa gira alrededor del origen de coordenadas

marcando ángulos en sentido positivo, cada punto de la circunferencia tiene

coordenadas (cos α, sen α), que al proyectarlo en el plano coordenado permite

obtener una curva como se muestra en la siguiente figura:

Estas curvas son las gráficas de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente,

que analizaremos en el presente trabajo y que Ustedes han visto en la escuela

secundaria.

Para realizar este análisis usaremos GeoGebra y exploraremos sus gráficas para extraer

conclusiones relacionando los parámetros que las definen y sus variaciones.

Función seno

La expresión más simple de la función seno es: ( ) ( )f x sen x

Su gráfica es:


32

Observando el gráfico podemos decir que:

Su Dominio es el conjunto de números reales expresados como valores de

ángulos en radianes.

Su Imagen es el intervalo [-1; 1]

Su Período es 2 (observen como se repiten sus valores)

Tiene infinitas raíces: 0, , - , etc (recuerda cómo encontrarlas usando GG).

La ordenada al origen es y=0

Tiene máximo y= 1 y tiene mínimo y= -1 (recuerda cómo encontrarlos usando

GG)

La Amplitud de la curva es 1 (la distancia al valor máximo o mínimo de la curva)

Crece y decrece por intervalos

Es una curva de trazo continuo.

La curva recibe el nombre de sinusoide.

Actividad 25: Utilizando un deslizador en GG, graficar y analizar la función

( ) . ( )f x a sen x ¿qué cambios se producen respecto a ( ) ( )f x sen x ?


( ) (k. )f x sen x ¿qué cambios se producen respecto a ( ) ( )f x sen x ?


( ) ( )f x sen x b ¿qué cambios se producen respecto a ( ) ( )f x sen x ?


33

Función coseno

La expresión más simple de la función coseno es: ( ) ( )f x cos x

Su gráfica es:



ángulos en radianes.

Su Imagen es el intervalo [-1; 1]

Su Período es 2 (observen como se repiten sus valores)

Tiene infinitas raíces: 3

, ,2 2 2

, etc (recuerda cómo encontrarlas usando

GG).


Tiene máximo y= 1 y tiene mínimo y= -1 (recuerda cómo encontrarlos usando

GG)

La Amplitud de la curva es 1 (la distancia al valor máximo o mínimo de la curva)

Crece y decrece por intervalos

Es una curva de trazo continuo.

La curva recibe el nombre de cosinusoide.


( ) .cos( )f x a x ¿qué cambios se producen respecto a ( ) cos( )f x x ?


34


( ) (k. )f x cos x ¿qué cambios se producen respecto a ( ) cos( )f x x ?


( ) cos( )f x x b ¿qué cambios se producen respecto a ( ) cos( )f x x ?

Función tangente

La expresión más simple de la función tangente es: ( ) ( )f x tg x

Su gráfica es:



ángulos en radianes menos los múltiplos de 2

.

La gráfica presenta asíntotas verticales en los valores de x que son múltiplos de

2

Su Imagen es el conjunto de números reales.

Su Período es (observen como se repiten sus valores)

Tiene infinitas raíces: ,0, , 2 ,3 , etc (recuerda cómo encontrarlas usando

GG).


35


No tiene máximo ni mínimo

Es totalmente creciente

Es una curva de trazo discontinuo.

La curva recibe el nombre de tangentoide.


( ) . tg( )f x a x ¿qué cambios se producen respecto a ( ) ( )f x tg x ?


( ) (k. )f x tg x ¿qué cambios se producen respecto a ( ) ( )f x tg x ?


( ) ( )f x tg x b ¿qué cambios se producen respecto a ( ) ( )f x tg x ?


36

Con las funciones intentamos representar y estudiar cuantitativamente el cambio que

una magnitud determinada, por ejemplo la temperatura, experimenta cuando varía

otra, por ejemplo el tiempo.

Este cambio, en la mayor parte de los fenómenos y de las magnitudes que nos interesa

medir, transcurre sin saltos. Por ejemplo para una pequeña variación del tiempo, el

espacio recorrido por un móvil varía poco y cuanta más pequeña sea la variación del

tiempo, tanto menor será la variación del espacio. Por esto, las funciones que resultan

más interesantes son las funciones continuas, es decir, aquellas en las que a pequeños

cambios de la variable independiente corresponden pequeños cambios de la variable

dependiente.

A partir del concepto de límite, podemos analizar el comportamiento de una función

tanto en intervalos muy pequeños alrededor de un número real (que puede no

pertenecer al dominio de la función) como cuando los valores del dominio aumentan

indefinidamente. Esto nos permitirá tener una idea más aproximada del grafico de una

función.

Limite

Concepto

Podemos considerar al límite como el valor numérico al que se aproxima una función a

medida que nos aproximamos a un punto x0 , cualquiera sea el camino elegido para

llegar al mismo.

Hay dos caminos para llegar al punto p, porque se encuentra sobre una recta, uno por

la izquierda u otro por la derecha. Para que exista el límite el valor debe ser el mismo.

UNIDAD 3

LÍMITE YCONTINUIDAD


37

Ejemplo:

Sea queremos saber que sucede con los valores de la imagen a

medida que x toma valores más cercanos a 2, para esto armamos una tabla de valores:

X y

1,9 2,61

1,99 2,96

1,999 2,99

2,001 3,004

2,01 3,04

2,1 3,41

Tanto en la tabla como en el grafico podemos observar que a medida que x toma

valores cada más cercanos a 2 la imagen se acerca a 3.

Definición:

Llamamos límite de una función f(x) cuando x tiende a un valor a al valor L, al que se

acerca f(x) cuando x toma valores cada vez más cercanos a a.


38

Actividad 1: Calcular los limites indicados en cada una de las siguientes funciones

a)

b)

c)

Actividad 2: Graficar las siguientes funciones y calcular los limites laterales en x0.


39

a)

b)

Propiedades de los límites

Sea y la existencia de los límites: y entonces se

cumple:

Límite de la suma de funciones

Límite de la diferencia de funciones

Límite de una constante por una función

Límite de un producto de funciones

Límite del cociente de funciones


40

Límite de una potencia

Límite de una raíz

Ejemplo:

En la función calculamos

Al realizar el grafico observamos que

Recordando la definición de límite, x se acerca a -1 tanto

como se quiera pero no es igual a -1, por lo que no

importa si dicho valor pertenece al dominio de la función.

Si reemplazamos en la función a x por -1 obtenemos su

imagen, que coincide con su límite en dicho punto.

Por lo tanto para el cálculo de limites podemos

reemplazar en la función a x por el valor al cual tiende.

Actividad 3: Calcular los siguientes límites:


41

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Limites infinitos

Sea la función

Es una función racional, donde

cuyas asíntotas son:

Si calculamos:


42

Sabemos que no existe la división por cero, pero en realidad no tenemos que hacer

dicha división, ya que lo que estamos calculando es un límite. El denominador no es

cero, sino que tiende a cero.

Por lo tanto si calculamos los limites laterales:

De esta manera podemos determinar la asíntota vertical de una función racional,

calculando el límite de la función cuando x tiende al valor o valores excluidos del

dominio.

Si observamos en el grafico cuando x toma valores cada más grande la función tiende a

ser 3, y cuando x toma valores cada vez más pequeños la función también tiende a 3,

por lo tanto:

Cuando el numerador tiende a un

número distinto de cero y el

denominador tiende a cero, el límite

tiende a infinito. Al poner el infinito

sin el signo estamos diciendo que

tiende a

Cuando el denominador toma valores

cada vez mayores, en valor absoluto,

es decir que tiende a infinito,

podemos decir que el cociente tiende

a cero.


43

De esta manera podemos determinar la asíntota horizontal de una función racional (si

es que posee), calculando el límite de la función cuando x tiende a .

Actividad 4: Calcular los siguientes límites

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)


44

En los dos últimos ejercicios llegamos a un cálculo que no podemos resolver, en esos

casos tenemos una indeterminación.

Ejemplo:

Para salvar la indeterminación factorizamos el numerador y el denominador para

poder simplificar el factor que genera la indeterminación.

Ejemplo:

3

1

-1 3

-6 6

1 2 0

Ejemplo:

En este caso no podemos factorizar, ya que en el numerador no tenemos un

polinomio. Por lo tanto, en estos casos multiplicamos numerador y denominador por la

expresión conjugada de la función en la que aparece la raíz.

3

1 -4 3

1 -3

6 -6

1 -1 -2 0


45

Ejemplo:

Para salvar la indeterminación dividimos el numerador y el denominador por el

término de mayor grado, en este caso

Ejemplo:


46

Ejemplo:

Conclusiones:

Si el grado del polinomio del numerador es igual al del denominador,

es el cociente entre los coeficientes principales de los respectivos

polinomios.

Si el grado del polinomio del numerador es mayor al del denominador,

Si el grado del polinomio del numerador es menor al del denominador,

Actividad 5: Resolver los siguientes límites

a)

b)

c)

d)


47

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

Ejemplo de cálculo de asíntotas utilizando límites:

Calculamos sus asíntotas

Asíntota vertical

Asíntota horizontal


48

Por lo tanto la función no tiene asíntota horizontal. Por lo que debemos buscar su

asíntota oblicua.

La recta es la asíntota oblicua de una función

si

Para calcular la asíntota oblicua de una función debemos calcular la pendiente my la

ordenada al origen b.

y

¡Verifícalo!

Por lo tanto

¡verificalo!

Por lo tanto y la asíntota oblicua es


49

El grafico de la función es

Actividad 6: Para cada una de las siguientes funciones hallar, si existen, las asíntotas

verticales, horizontales y oblicuas. Graficar.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)


50

j)

Continuidad

La idea de función continua está estrechamente relacionada con la noción de límite.

Empecemos definiendo la continuidad en un punto para estudiar, la continuidad en un

intervalo, y sus consecuencias.

Definición:

Se dice que una función f(x) es continua en un punto de abscisa x0 cuando se cumple

Observa que esta definición lleva implícitas tres condiciones:

1) La función está definida en x0. Es decir, existe

2) Existe el limite

3) El límite anterior coincide con el valor de la función.

Por lo tanto, una función puede dejar de ser continua en un punto por no cumplir

alguna de estas condiciones.

Ejemplo:

1)

2)

3)

La función es continua en


51

Ejemplo:

1)

2)

La función no es continua en , la función es discontinua esencial

Ejemplo:

1)

2)

2

2 2.2 4

2 2 2 0x

xlím

x

23 2 3 1

xlím x

No existe límite de la función cuando x tiende a 2

La función no es continua en , la función es discontinua esencial

Ejemplo:


52

1)

2)

3)

La función no es continua en , la función es discontinua evitable

Actividad 7: Analizar la continuidad de las siguientes funciones en los valores

indicados. Clasificar la discontinuidad si existiese. Graficar.

a)

b)

c)

d)


53

e)

f)

g)

h)

Bibliografía de la primera parte del módulo:


54

Haeussler, E. y Paul, S. (2003). Matemática para administración y economía. Décima

edición. Pearson Educación. México.

Stewart, J. y Otros. (2007). Precálculo. Matemáticas para el cálculo. Quinta edición.

CENGAGE Learning Editores SA. México.

Berio Adriana, Matematica 2 .Editorial Puerto de palos. 2001

Altma Silvia, Comparatore Claudia, Kurzrok Liliana. Matemática polimodal, Análisis 1.

Editorial Longseller. 2005.

De Guzman Miguel, Colera Jose. COU. Editorial Anaya.1997


55

EL CONCEPTO DE DERIVADAS RESULTA ÚTIL EN DIFERENTES CIENCIAS, COMO LA ECONOMÍA Y

LA FÍSICA, ENTRE OTRAS, PUES PERMITE ESTUDIAR LA FORMA Y LA RAPIDEZ CON LA QUE SE

PRODUCEN LOS CAMBIOS.

El Problema de la Tangente

Considere el problema de tratar de hallar la ecuación de

la recta tangente a una curva, con ecuación , en

un punto dado P. Cómo sabemos que este último está sobre

la recta tangente, podemos hallar la ecuación de si

conocemos su pendiente . El problema está en que

necesitamos dos puntos para calcular la pendiente y sólo

conocemos un punto, P, de . Para darle vuelta al problema,

primero hallamos una aproximación para al tomar un

punto cercano Q de la curva y calculamos la pendiente

de la recta secante PQ. Como muestra la figura.

Imagine ahora que Q se mueve a lo largo de la curva,

hacia P. Puede ver que la recta secante gira y se aproxima

a la recta tangente como su posicion limite. Esto significa

que la pendiente de la recta secante se acerca cada

vez mas a la pendiente m de la recta tangente (como

muestra la figura). Escribimos

UNIDAD 4

DERIVADAS


56

Y decimos que m es el limite de cuando Q se

aproxima a P a lo largo de la curva. Puesto que x se

acerca a cuando Q lo hace a P, podríamos usar también

la ecuación siguiente:

Velocidad

Cuando miramos el velocímetro de un automóvil y leemos que viaja a 48km/h, ¿Qué

información nos indica? Sabemos que si la velicidad permance constante, después de una hora

habremos recorrido 48 km. Pero si la velocidad del automóvil varía, ¿Qué significa decir que la

velocidad en un instante dado es de 48 km/h?

Para analizar esta cuestión observaremos el movimiento de un automóvil que viaja a lo

largo de un camino recto y supongamos que podemos medir la distancia recorrida por el

automovil (en pies), a intervalos de 1 segundo ( ), como en la tabla siguiente:

= tiempo transcurrido (en segundos) 0 1 2 3 4 5

= distancia ( ) 0 2 10 25 43 7

8

Como primer paso para hallar la velocidad después que han transcurrido dos segundos,

hallamos la velocidad promedio durante el intervalo :


57

De manera análoga, la velocidad promedio en el intervalo de tiempo es:

Tenemos la sensación de que la velocidad en el instante no puede ser muy diferente

de la velocidad promedio durante un intervalo corto que se inicie en . De modo que

imaginemos que se ha medido la distancia recorrida a intervalos de 0.1 segundo, como en la

tabla siguiente:

2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5

10,00 11,02 12,16 13,45 14,96 16,80

Entonces, por ejemplo, podemos calcular la velocidad promedio sobre el intervalo :

En tabla siguiente, se muestran los resultados de esos cálculos:

15,50 13,6 12,4 11,5 10,8 10,2


58

Las velocidades promedio sobre intervalos sucesivamente más pequeños parecen

aproximarse cada vez más a un número cercano a 10 y, por tanto, esperamos que la velocidad

en exactamente sea alrededor de 10 .

La velocidad instantánea de un objeto en movimiento es el valor del

límite de las velocidades promedio sobre intervalos cada vez más

pequeños.

En la figura mostramos una representación gráfica del movimiento del automóvil al graficar

los puntos correspondientes a la distancia recorrida como función del tiempo. Si escribimos

, entonces es el número de pies recorridos después de t segundos. La velocidad

promedio en el intervalo es:

Lo cual es lo mismo que la pendiente de la recta secante . La velocidad v cuando es el

valor límite de esta velocidad promedio cuando se aproxima a 2; es decir,

Y reconocemos que esto es lo mismo que la pendiente de la recta tangente a la curva en P.


59

Por lo tanto, cuando resolvemos el problema de la tangente en el cálculo diferencial, también

estamos resolviendo problemas referentes a velocidades. Las mismas técnicas nos permiten

resolver problemas en que intervienen razones de cambio en todas las ciencias naturales y

sociales.

Problema de la tangente

La palabra se deriva de la palabra latina , la cual significa “tocar”. De este

modo, una tangente a la curva es una recta que toca a esta última.

Para un círculo, podríamos seguir la idea de Euclides y decir que una tangente es una recta que

interseca ese círculo una vez y sólo una vez (Figura a). Para curvas más complicadas, esta

definición es inadecuada. En la figura b, se muestran dos rectas, que pasan por un punto

de una curva . La recta l interseca a sólo una vez, pero es evidente que nos es lo que

consideramos una tangente. Por otra parte, la recta parece una tangente, pero interseca a

dos veces.

Para ser específicos, veamos el problema de intentar hallar una recta tangente a la parábola

en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábola en el punto

.


60

Solución: Podemos hallar la ecuación de la recta tangente si conocemos la pendiente .

Cómo vimos anteriormente, .Por lo tanto podemos hallar la pendiente de la

recta tangente haciendo:

Luego, la pendiente de la recta tangente es igual a 2. Para hallar la ecuación de la recta

planteamos:

Luego, la ecuación de la recta tangente pedida es

Existe otra expresión para la pendiente de la recta tangente que a veces es más fácil de usar. Si

, en este caso y así la pendiente de

la recta secante es:

En la figura se ilustra y esta a la dercha de . Sin

embargo, si , estaría a la izquierda de

Obsérvese que cuando tiende a , lo hace a 0.


61

Luego la expresión de la pendiente de la recta tangente será:

Al límite anterior se le llama también derivada de en el punto y se denota por

También se dice que es derivable en . La recta tangente a la curva en el punto tendrá

pues la siguiente ecuación:

Ejemplo 2: Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábola en el punto

.

Solución: Hallamos, en primer lugar, la pendiente de la recta tangente . Cómo vimos

anteriormente, .Por lo tanto podemos hallar la pendiente de la

recta tangente haciendo:

Luego, .En consecuencia, hacemos:


62


También podemos utilizar la ecuación:

Luego, la ecuación de la recta tangente pedida es:

Ejemplo 3: Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto

.

Solución: Hallamos, en primer lugar, la pendiente de la recta tangente :

2

Luego, . En consecuencia, hacemos:


63


También podemos utilizar la ecuación:

Luego, la ecuación de la recta tangente pedida es:

Actividad 1:

Derivada por definición

Definición: La derivada de una función en un punto , se indica mediante es

si este límite existe.


64

Ejemplo 1: Hallar la derivada de la función en el punto de abscisa .

Solución: Aplicando la definición obtenemos:

Luego

Ejemplo 2: Sea , hallar su derivada en

Solución: Aplicamos la definición:

En este instante, debemos analizar el límite de este cociente cuando “x tiende a cero”. Para

ello, debemos calcular los límites por izquierda y por derecha de cero.

i.

ii.

Los límites laterales son distintos, por lo tanto

límite en , la no existe límite. Al no existir

función no es derivable en dicho valor.

El gráfico de la función es:


65

Se dice que x= 0 es un “punto anguloso”. En este punto la función es continua, tiene un

extremo pero no tiene derivada.

Ejemplo 3: Sea , hallar su derivada en .

Solución: Aplicamos la definición.

Luego,

Ejemplo 4: Sea , hallar su derivada en .


66

Solución: Aplicamos la definición sabiendo que la función está definida por partes. Por lo tanto

debemos hallar las derivadas a derecha y a izquierda para .

La derivada por izquierda de 3 es:

Luego,

La derivada por derecha de 3 es:

Luego,


67

Las derivadas laterales son distintas por lo tanto no existe la derivada en .

Actividad 2:

La derivada como una función

Anteriormente se consideró la derivada de una función en un punto fijo

Ahora hacemos que el punto varíe. Si en la ecuación anterior reemplazamos por ,

obtenemos:

Dado cualquier número para el cual el límite anterior exista, se asigna a el número .

De modo que consideramos como una nueva función, llamada derivada de f y se define por

medio de la segunda ecuación.

Ejemplo 1: Si , encuentre la fórmula para .

Solución: aplicando la definición:


68

Luego, .

Ejemplo 2: Si , encuentre la derivada de .


Luego,

La grafica de se dan a continuación:

Observe que existe si , de modo que el

dominio de es . Sin embargo, el dominio de es .

Ejemplo 3: Si , encuentre la derivada de .



69

Luego,

La gráfica de se dan a continuación.

Observemos que si queremos calcular la derivada en sería imposible ya que existe una

asíntota vertical en dicho valor, por lo tanto no existe


70

Cuando una función es discontinua en un determinado valor de , no existe la derivada en

dicho valor.

Definición: Una función es derivable en a si existe. Es derivable en un intervalo

abierto si es derivable en todo número del intervalo.

Tanto la continuidad como la derivabilidad son propiedades deseables para una función y el

teorema siguiente muestra cómo se relacionan ambas.

Actividad 3:

Nota: El inverso del teorema anterior es falso; es decir, hay funciones que son continuas

pero no son derivables. Por ejemplo la función es continua en 0 porque

Pero vimos anteriormente que no es derivable en 0.

Reglas de derivación

Si son derivables, y es una constante, entonces:

i.

ii.


71

iii.

iv.

v.

vi.

vii.

Para calcular derivadas anteriormente, se utilizó la definición. Pero aprovechemos que se han

hecho los procedimientos adecuados para confeccionar una tabla en la que se encuentran una

serie de funciones y sus respectivas derivadas.

( )f x '( )f x

k 0

x 1

.k x k

nx 1. nn x

xe xe

xa .lnxa a

x 1

2 x

( )sen x cos( )x

cos( )x ( )sen x

( )tg x 2

1

cos ( )x

cot ( )g x 2

1

( )sen x

( )arctg x 2

1

1 x

( )arcsen x

2

1

1 x

cos( )ar x

2

1

1 x

ln( )x 1

x

log ( )a x 1

.lnx a


72

1

x

2

1

x

Ejemplo 1: Calcular la derivada de

Solución: Utilizando las reglas de derivación y la tabla, obtenemos:

Luego,



Luego,



Luego,

Ejemplo 4: Obtenga la derivada de la función


Ejemplo 5: Obtenga la derivada de la función


73


=

Actividad 4:

Actividad 5:

Actividad 6:

Actividad 7:

Actividad 8:

1)


74

2)

3)

Derivadas sucesivas

La derivada de una función derivada se llama derivada sucesiva. A la derivada de la derivada de

una función se le llama segunda derivada y a las derivadas obtenidas a partir de la segunda, se

llaman derivadas de orden superior o derivadas sucesivas, siendo la primera derivada la

ordinaria.

Ejemplo: Obtenga la quinta derivada de la función

Solución: La primera derivada de la función es:

La segunda derivada es:

La tercera derivada es:

La cuarta derivada es:

La quinta derivada es:

Actividad 9:


75

ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN

En la unidad 2 estudiamos las características generales de una función, tales como: dominio,

imagen, ordenada al origen, raíces, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, máximos,

mínimos, ya sean absolutos como relativos, conjuntos de positividad y negatividad. Estas

características nos permitieron realizar un gráfico aproximado de la función y constituyen un

estudio básico de la misma.

En la unidad 3 hemos calculado límites, encontrado asíntotas, estudiado la continuidad de

funciones para ciertos valores del dominio y en la unidad 4 hemos hallado la ecuación de la

recta tangente en un punto de la función, la función derivada y sus derivadas sucesivas.

A continuación haremos una introducción al estudio de una función utilizando todos los

conceptos señalados anteriormente. Trabajaremos con la derivada primera para encontrar los

puntos críticos de la función y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento a través del

signo de la misma. Además a través de la derivada segunda encontraremos posibles puntos de

inflexión de la curva y el sentido de la concavidad a través del signo de ella.

PUNTOS CRÍTICOS Máximos y mínimos Llamaremos Puntos Críticos a los puntos que satisfacen alguna de las dos condiciones siguientes:

Puntos críticos de f: cuando no existe f’(x) y cuando f’(x)=0

Todo extremo de una función (máximo o mínimo) es un punto crítico, pero no todo punto crítico es un extremo. Ejemplo:

UNIDAD 5

APLICACIONES DE LA DERIVADA


76

Luego, para hallar los extremos de una función, se buscan los candidatos, que son los puntos críticos. Lo que decide si un punto crítico es o no un extremo es que la función cambie su crecimiento a la izquierda y a la derecha del punto crítico. Es decir que si:

Ejemplo:


77

Hallar los máximos y los mínimos de , trazar un gráfico aproximado de f. Solución Como f es un polinomio, es decir Los puntos críticos serán los x tales que f’(x)=0. Calculemos f’

Obtuvimos entonces que el conjunto de puntos críticos es .

Veamos si corresponden o no a extremos de f. Para ello, analizaremos el crecimiento y decrecimiento de la función a la derecha y a la izquierda de cada punto crítico. Dado que f’ es

una función cuadrática con coeficiente a=12>0 que se anula en 2 y en resulta que:

En resumen tenemos que:

X X

Máximo 2 Mínimo

Para trazar un gráfico aproximado de f calculamos los valores de f en los extremos: )= y )=-3


78

Actividad 1 Determina los puntos máximos y mínimos, los cortes con los ejes y asíntotas de las siguientes funciones:

Concavidad positiva y negativa Información extraída de la segunda derivada, observemos la siguiente gráfica:

Parecería razonable llamar cóncavos (concavidad positiva) a los tramos BC y DE, y convexos (concavidad negativa) a AB y CD. Los puntos B, C, D, que separan tramos convexos de cóncavos se llaman puntos de inflexión. Definiciones: Tenemos una curva y =f(x). Trazamos la recta tangente a ella en un punto P, cuya ecuación es y=t(x). Entonces:


79

Observemos que en el trazo AB las cuatro tangentes que hay representadas tienen su pendiente cada vez menor:

Lo mismo le ocurre al trazo CD. Y lo contrario ocurre en los trazos BC y DE: la pendiente de las tangentes aumenta. Si f es cóncava en x0 entonces f’ es creciente en x0. Y si f es convexa en x0 entonces f’ es decreciente en x0. Por lo tanto, si una función tiene segunda derivada en x0:

Actividad 2 Determina los puntos de inflexión, determinar los intervalos de concavidad positiva (cóncava) y de concavidad negativa (convexa):

a) 4 212

4y x x

b) 1 2 4y x x x

- Si en las cercanías de P es f(x)>t(x), la curva es cóncava en el punto P.

- Si en las cercanías de P es f(x)<t(x), la curva es convexa en el punto P.

- Si la tangente atraviesa la curva, es decir si a la izquierda de

P es f(x)<t(x) y a la derecha f(x)>t(x), o viceversa, P es un

Punto de Inflexión.


80

c) 3 3 2y x x

d) 3 2y x x x

e) 3 2y x x

f) 3 23y x x

Ejemplos resueltos de estudios de funciones

Ejemplo 1:

Sea la función 3(x) 3xf x . Se pide hallar:

a) Dominio

b) Asíntotas verticales, horizontales u oblicuas, si existen

c) 0 , C C y C

d) Intervalos de crecimiento, de decrecimiento, máximos y mínimos relativos

e) Intervalos de concavidad negativa, positiva y puntos de inflexión

f) Un gráfico aproximado.

Solución:

a) Por ser una función polinómica el dominio es y por lo tanto la función es

continua.

b) Al ser continua no existen asíntotas verticales.

Cálculo de la asíntota horizontal:

3: 3x

AH lím x x

no existe asíntota horizontal

Cálculo de asíntota oblicua:

3

2

2

( ) 3: m

.(3 1)m

m 3 1

m

x x

x

x

f x x xAO lím lím

x x

x xlím

x

lím x

No existe asíntota oblicua.

c) Calculamos las raíces de (x)f


81

3

2

1

2

2 3

3 0

13 . 0

3

3 0 0

10

3

1 3 3

3 3 3

x x

x x

x x

x

x x x

Por lo tanto: 0 3 30, ,

3 3C

Dividimos el dominio en los siguientes intervalos:

3 3 3 3, , ,0 , 0, ,

3 3 3 3y

Elegimos un valor dentro de cada intervalo para analizar el signo de (x)f :

3

3

3

3

3, : ( 1) 3.( 1) ( 1) 3 1 2 0

3

3,0 : ( 0,1) 3.( 0,1) ( 0,1) 0,003 1 0,097 0

3

30, : (0,1) 3.0,1 0,1 0,003 0,1 0,0097 0

3

3, : (1) 3.1 1 3 1 2 0

3

f

f

f

f

Entonces:

3 3,0 ,

3 3

3 3, 0,

3 3

C

C

d) Calculamos '(x)f

2

2

'(x) 3.3.x 1

'(x) 9.x 1

f

f

Igualamos a cero para hallar los puntos donde se anula la derivada primera:

2

2

1 2

'(x) 0

9.x 1 0

1

9

1 1 1

9 3 3

f

x

x x x

Dividimos el dominio en los intervalos:


82

1 1 1 1, , , y ,

3 3 3 3

Analizamos el signo de la derivada en cada uno de ellos:

2

2

2

1, : '( 1) 9.( 1) 1 9 1 8 0

3

1 1, : '(0) 9.0 1 0 1 1 0

3 3

1, : '(1) 9.1 1 9 1 8 0

3

f f crece

f f decrece

f f crece

Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función son:

1 1, ,

3 3

1 1,

3 3

IC

ID

Por lo tanto:

en 1

3x la función alcanza un máximo. El valor máximo de la función es:

31 1 3 1 2

3.3 3 27 3 9

y

en 1

3x la función alcanza un mínimo. El valor mínimo de la función es:

31 1 3 1 2

3.3 3 27 3 9

y

e) Hallamos la derivada segunda:

''(x) 9.2.x 0

''(x) 18.x

f

f

Igualamos a cero:

''(x) 0

18.x 0 x 0

f

Analizamos el signo de la derivada segunda:

,0 : ''( 1) 18.( 1) 18 0

0, : ''(1) 18.1 18 0

f f es cóncava hacia abajo

f f es cóncava hacia arriba

En 0x hay un punto de inflexión.


83

f) Construimos un gráfico aproximado.

Ejemplo 2:

Sea la función 2

4x 3f(x)

x 2

. Hallar:

a) Dominio

b) Asíntotas verticales, horizontales u oblicuas, si existen

c) 0 , C C y C

d) Intervalos de crecimiento, de decrecimiento, máximos y mínimos relativos

e) Intervalos de concavidad negativa, positiva y puntos de inflexión

f) Un gráfico aproximado.

Solución:

a) Para hallar el dominio igualamos a cero el denominador, ya que es una función

racional y el denominador nunca puede ser cero.

2 2x 2 0 x 2 x 2 NO existe la raíz de un número negativo, por lo tanto, el

denominador NUNCA vale cero. El dominio de la función entonces son todos los reales.

fDom . Entonces la función no tiene Asíntota Vertical.

b) Hallamos la Asíntota Horizontal para determinar el conjunto imagen.

2x

4x 3lím

x 2

como es el cociente entre dos polinomios el límite de cada uno tiende a infinito y nos queda:

2x

4x 3lím

x 2

al ser un límite indeterminado tenemos que salvarlo.


84

El límite de un polinomio cuando x tiende a infinito depende del término de grado mayor, por

lo tanto podemos escribir:

2 2x x

4x 3 4xlím lím

x 2 x

simplificamos las x y nos queda:

2x x

4x 3 4lím lím

xx 2

cuando x tiende a un valor cada vez más grande el cociente entre 4 y x tiende a cero.

Escribimos:

2x

4x 3lím 0

x 2

entonces la asíntota horizontal es y=0

Por existir asíntota horizontal no existe asíntota oblicua.

Determinemos ahora el conjunto imagen. Probaremos si y=0 es imagen de algún x para de este

modo saber si pertenece o no al conjunto imagen de f(x). Para ello hacemos: f(x) 0 y

despejamos x:

2

2

4x 30

x 2

4x 3 0. x 2

4x 3 0

4x 3

3x

4

Y=0 es imagen de 3x

4 entonces el conjunto imagen no tiene restricciones, es decir,

fIm .

Además hemos hallado una raíz de f(x). En efecto al haber hecho f(x)=0 hemos hallado la raíz

de la función 3x

4

c) Conociendo la raíz podemos encontrar los conjuntos de positividad y negatividad de la

función. El valor de la raíz divide al dominio en dos partes, una a la izquierda

3;

4

y otra a la derecha 3;

4

, tomamos un valor de cada intervalo para

ver qué signo toma la imagen:


85

2

2

3 4.( 2) 3 8 3 5; : f( 2) 0

4 4 2 6( 2) 2

3 4.0 3 3; : f(0) 0

4 20 2

Entonces:

3C ;

4

3C ;

4

Además hemos hallado la ordenada al origen de la función pues hemos tomado el valor x=0 en

uno de los intervalos, entonces, la ordenada al origen de la función es 3y

2

d) Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y la existencia de

máximos y mínimos deberemos trabajar con la derivada primera de la función.

Hallamos la derivada primera. Como la función es racional, hacemos la derivada de un

cociente:

2

22

2 2

22

2

22

4. x 2 4x 3 .2xf '(x)

x 2

4x 8 8x 6xf '(x)

x 2

4x 6x 8f '(x)

x 2

Aplicamos el criterio de la derivada primera e igualamos a cero para hallar posibles puntos

críticos:

22

22

4x 6x 80 4x 6x 8 0

x 2

y hallamos las raíces de esta ecuación:


86

2

1,2

1,2

1,2

1,2 1 2

1 2

1 2

6 6 4. 4 .8x

2. 4

6 36 128x

8

6 164x

8

6 12,8 6 12,8 6 12,8x x x

8 8 8

6,8 18,8x x

8 8

x 0,85 x 2,35

Hallamos dos puntos críticos. Dividimos el dominio en los intervalos marcados por ellos:

; 0,85 ; 0,85;2,35 y 2,35; y buscamos el signo de la derivada dentro de

cada uno de ellos:

2

2 22

2

22

4 1 6 1 8 4 6 8 2; 0,85 : f' 1 0 f(x) decrece

91 21 2

4.0 6.0 8 80,85;2,35 : f '(0) 2 0 f(x) crece

40 2

A la izquierda de -0,85 la función f(x) decrece y a la derecha crece, entonces en x= -0,85 la

función alcanza un mínimo local:

2

4. 0,85 3 0,4y 1,47

2,72250,85 2

Analizamos el signo de la derivada en el último intervalo:

2

22

4.3 6.3 8 36 18 8 102,35; : f '(3) 0 f(x) decrece

121 1213 2

Observamos que a la izquierda de 2,35 la función f(x) crece y a la derecha decrece, entonces en

x= 2,35 la función alcanza un máximo local:

2

4. 2,35 3 12,4y 1,65

7,52252,35 2

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) son:

I.C= 0,85;2,35

I.D ; 0,85 2,35;

Por último analizaremos la concavidad de la función f(x) aplicando el criterio de la derivada

segunda. Según este criterio, en el punto en que se anula la derivada segunda existe un punto

de inflexión, y a cada lado de él la función cambia de concavidad.


87

22 2 2

42

2 2 2

42

3 2 3 2

32

3 2

32

8x 6 . x 2 4.x 6x 8 .2. x 2 .2xf ''(x)

x 2

x 2 .[ 8x 6 . x 2 4.x 6x 8 .2.2x]f ''(x)

x 2

8x 16x 6x 12 16x 24x 32xf ''(x)

x 2

8x 18x 48x 12f ''(x)

x 2

Igualamos a cero:

3 2

32

8x 18x 48x 120

x 2

y hallamos las raíces de la derivada segunda.

3 23 2

32

8x 18x 48x 120 8x 18x 48x 12 0

x 2

Las raíces de este polinomio son:

1 2 3x 1,73 x 0,23 x 3,89

todas irracionales.

Dividimos el dominio en los siguientes intervalos:

; 1,73 ; 1,72;0,23 ; 0,23;3,89 y 3,89;

y analizamos el signo de la derivada segunda en cada uno de ellos para hallar la concavidad en

cada uno y ver si los extremos son puntos de inflexión.

3 2

32

3 2

32

8( 2) 18( 2) 48( 2) 12; 1,73 : f ''( 2) 0,13 f(x) es cóncava hacia abajo

( 2) 2

8.0 18.0 48.0 121,72;0,23 : f ''(0) 1,5 f(x) es cóncava hacia arriba

0 2

4.(En x -1,73 hay un punto de inflexión y=

2

1,73) 30,78

( 1,73) 2

3 2

32

2

8.1 18.1 48.1 120,23;3,89 :f''(1)= 1,7 f(x) es cóncava hacia abajo.

1 2

4.0,23 3Entonces en x 0,23 hay un punto de inflexión y 1,9

(0,23) 2


88

3 2

32

2

8.4 18.4 48.4 123,89; : f''(4) 0,007 f(x) es cóncava hacia arriba.

4 2

4.0,007 3Entonces en x 3,89 hay un punto de inflexión y 1,5

(0,007) 2

Volcamos todos los puntos hallados en el plano y construimos el gráfico aproximado:

Actividad 3: Analizar las siguientes funciones y realizar el gráfico aproximado.

3 2

4 3 2

) ( ) 6 15 40

1 1) ( ) 3 4

4 2

a f x x x x

b g x x x x x

Actividad 4: Para cada una de las siguientes funciones se pide hallar: Dominio, asíntotas

verticales, horizontales u oblicuas, 0 , C C y C

, intervalos de crecimiento, de

decrecimiento, máximos y mínimos relativos, intervalos de concavidad negativa, positiva y

puntos de inflexión, y un gráfico aproximado.

a) ( )1

xf x

x

b) 4 21 3( ) 1

4 2f x x x

c) 2

( )1

xf x

x

d)

2

3( )f x x

Actividad 5: Dada la función 2

2 3( )

5 1

xf x

x

Determinar:


89

a) Puntos de discontinuidad. Clasificar la discontinuidad hallada. b) Máximos y mínimos absolutos y relativos. c) Puntos de inflexión. d) Intervalos de concavidad. e) Ecuación de la recta tangente en x=3 f) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento. g) Conjunto de positividad de negatividad. h) Construir un gráfico aproximado.

Regla de L’Hôpital

Hemos calculado límites en los que se presentaban dos tipos de indeterminaciones:

0 y

0

con los respectivos procedimientos para salvarlas.

Pero existen además de aquellas más indeterminaciones, a saber: 0 00. , 0 , , 1

Una aplicación de la función derivada es la utilizada en el estudio de funciones. Otra aplicación

es la que permite calcular los límites en los que aparecen indeterminaciones a través de

procedimientos algebraicos.

Para dicho cálculo se utiliza la llamada Regla de L’Hôpital, que puede enunciarse del siguiente

modo:

Sean dos funciones derivables (x) y ( )f g x en un entorno de 0x , además '( ) 0g x para

0x x en ese entorno.

Si 0 0

( ) ( ) 0x x x xlím f x lím g x

y además existe 0

'( )

'( )x x

f xlím

g xperteneciente a los

reales, entonces se puede verificar que: 0 0

( ) '( )

( ) '( )x x x x

f x f xlím lím

g x g x

Si 0 0

( ) ( )x x x xlím f x lím g x

y además existe 0

'( )

'( )x x

f xlím

g xperteneciente a

los reales, entonces se puede verificar que: 0 0

( ) '( )

( ) '( )x x x x

f x f xlím lím

g x g x

Esta Regla se cumple si x tiende a infinito.

Para usar esta Regla la función debe estar expresada como cociente de funciones.

Ejemplo:

Calcular 1

1 .ln 1xlím x x


90

Este límite responde a la indeterminación 0. , para aplicar la regla debemos expresar la

función como cociente de funciones:

11 1

ln( 1)1 .ln 1

1x x

xlím x x lím

x

Aplicamos la regla:

11 1

[ln( 1)]'1 .ln 1

[ 1 ]'x x

xlím x x lím

x

21 1

1

11 .ln 11x x

xlím x x límx

2

1 1

11 .ln 1

1x x

xlím x x lím

x

Simplificando:

1 1

1 .ln 1 1x xlím x x lím x

1

1

1 .ln 1 (1 1)

1 .ln 1 0

x

x

lím x x

lím x x

Actividad 6

Calcular los siguientes límites:

2

0

2

(2 ))

ln( ))

2

x

x

sen x xa lím

x

x xb lím

x

Optimización

Un problema de optimización consiste en encontrar el valor mínimo (o minimizar), o encontrar

el valor máximo (o maximizar), una cierta función, de tal forma que satisfagan ciertas

condiciones dadas.

La solución o soluciones son aquellas para las cuales se satisfacen las restricciones del

problema y el valor de la función sea mínimo o máximo.

Pasos para la resolución de problemas de optimización


91

Dibujar una figura de análisis (Si es necesario)

Plantear la función que hay que maximizar o minimizar

Plantear una ecuación que relacione las distintas variables del problema, en el caso de

que haya más de una variable.

Despejar una variable de la ecuación y sustituir en la función de modo que nos quede

una sola variable.

Derivar la función e igualar a cero, para hallar los extremos locales.

Se realiza la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido.

Responder la pregunta del problema.

Sea por ejemplo el siguiente problema:

Hallar dos números positivos cuya suma sea S y cuyo producto sea máximo. Solución: Llamamos a dichos números x e y. Ambos deben ser positivos y su suma es S x y

El problema consiste en maximizar el producto entre ambos números, es decir, la función que debemos maximizar es: .P x y

Como trabajamos con dos incógnitas ponemos una de ellas en función de la otra. Para ello despejamos una cualquiera. Por ejemplo despejamos y: y S x

Y reemplazamos esta incógnita en la función que debemos maximizar:

.P x S x

2.P S x x Para encontrar el máximo aplicamos el criterio de la derivada primera, es decir, derivamos e igualamos a cero:

' 2.P S x 2. 0S x

Despejamos x:

2 2

S Sx x

Para determinar si dicho valor de x utilizaremos el criterio de la derivada segunda. Para ello derivamos la función 'P :

'' 0 2 P'' 2P La derivada segunda es negativa para todo valor de x. por lo tanto el valor de x encontrado es un máximo de la función. Hallamos el valor de la otra variable:

22.

2

2

Sy S

S Sy

Sy


92

En un problema de optimización las variables encontradas deben cumplir con cada una de las condiciones iniciales del problema. Entonces para un valor específico de la suma de dos

números positivos, los valores que maximizan la función producto son 2

Sx e

2

Sy .

Actividad 7:

a) Hallar dos números positivos cuyo producto sea P y cuya suma sea mínima. b) Hallar dos números positivos cuyo producto sea P y la suma del primero más tres veces

el segundo sea mínima. c) Hallar dos números positivos tales que el segundo número sea el inverso multiplicativo

del primero y la suma sea mínima. d) Hallar dos números positivos tales que el primero más n veces el segundo sumen S y el

producto sea máximo. e) La suma de tres números positivos es 30. El primero más el doble del segundo, más el

triple del tercero suman 60. Elegir los números de modo que el producto de los tres sea el mayor posible.

Bibliografía de la segunda parte del módulo:

Altman Silvia, Comparatore Claudia, Kurzrok Liliana. Matemática polimodal, Análisis 1. Editorial

Longseller. 2005.

Altman – Comparatore – Kurzrok. (2005): Matemática Polimodal. Análisis 2. Bs As.: Longseller.


93

Altman – Comparatore – Kurzrok. (2005): Matemática Polimodal. Funciones 2. Bs As.: Longseller. Aragón – Pinasco – Schifini – Varela. (2011): Introducción a la matemática, para el Primer Ciclo universitario. Bs. As.: Universidad Nacional de General Sarmiento. Comparatore – Kurzrok. (2011): Matemática. De la práctica a la formalización I, II y III. Bs. As.: Longseller. De Guzman Miguel, Colera Jose. COU. Editorial Anaya.1997

Haeussler, E. y Paul, S. (2003). Matemática para administración y economía. Décima edición.

Pearson Educación. México.

Rabuffetti, Hebe T. (1985): Introducción al Análisis Matemático. Cálculo 1. Bs. As.: El Ateneo. Stewart, J. y Otros. (2007). Precálculo. Matemáticas para el cálculo. Quinta edición. CENGAGE

Learning Editores SA. México.

Spiegel, Murray R. (1969): Teoría y Problemas. Cálculo Superior. Serie de Compendios Schaum.

Colombia: McGraw – Hill.

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