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CUADERNILLO DE ACTIVIDADES

Prof. Álvarez, Sonia

Apellido y Nombres:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Curso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

INSTITUTO ESPÍRITU SANTO MATEMÁTICA 2º AÑO

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MATEMÁTICA(2° AÑO)

Unidad Nº1: EL CONJUNTO DE LOS RACIONALES I * El número fraccionario: Operaciones * Expresiones decimales: generalidades, operaciones Unidad Nº 2: TRIÁNGULOS * Definición, clasificación. * Propiedades de los lados y ángulos * Mediatrices, bisectrices, medianas y alturas * Triángulos rectángulos: Teorema de Pitágoras UNIDAD N° 3: EL CONJUNTO DE LOS ENTEROS * Generalidades * Orden. Recta numérica * Las seis operaciones. * Propiedades. UNIDAD Nº 4: EL CONJUNTO DE LOS RACIONALES II * Números fraccionarios: operaciones, propiedades. * Expresiones decimales exactas y periódicas: operaciones y propiedades * Operaciones combinadas UNIDAD Nº 5: ECUACIONES * Ecuaciones * Resolución de situaciones problemáticas


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LOS NÚMEROS ENTEROS Cuando utilizamos conceptos tales como: arriba, abajo, antes, después, a la derecha, a la izquierda, debe establecerse una referencia a partir de la cual se está arriba o abajo, antes o después, a la izquierda o al derecha. Son puntos de referencia, por ejemplo, el nivel del mar, la planta baja de un edificio, cero grado de temperatura, etc. En situaciones en las que se fija un punto de referencia, como el nivel del mar, se hace necesario anteponer un signo al número considerado: si la posición es por encima del nivel del mar, anteponer el signo +, y si es por debajo, el signo . El registro de temperaturas sobre y bajo cero, la notación de ganancias y pérdidas, los puntos a favor y en contra, son ejemplos de situaciones en las que se utilizan números acompañados de signos, y estos se denominan números enteros. Si el número está precedido por un signo +, es mayor que cero (0) y es un número natural o entero positivo. Si está precedido por un signo , es menor que cero y es un número entero negativo. El cero (0) es un número entero que no es positivo ni negativo. El conjunto de los números enteros está formado por los números naturales, los números negativos y el cero, y se lo representa con el símbolo . Características del conjunto de los enteros: * Es un conjunto infinito, porque está formado por una cantidad ilimitada de elementos. * No tiene primer ni último elemento, a diferencia del conjunto de los naturales que si tiene primer elemento. * Entre dos números enteros existe un número determinado de elementos, excepto que sean consecutivos. Esto equivale a decir que no siempre entre dos números enteros puede encontrarse otro número entero. Por eso se dice que es un conjunto discreto. * Cualquiera sea el número entero que se elija, siempre es posible hallar su siguiente, basta con sumar uno al número pensado. Igualmente, cualquiera sea el número entero elegido, se puede calcular su anterior, restándole uno. * Para representar los enteros en la recta numérica, se dibuja una recta, se elige uno de sus puntos al que se le asigna el valor 0 y hacia la derecha del 0 se representan los enteros positivos y, hacia la izquierda, los enteros negativos. * Dados dos números enteros cualesquiera, a y b, entre ellos se cumple una de estas tres relaciones y solo una:


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a = b (a y b están en la misma posición en la recta numérica) a< b (a está a la izquierda de b en la recta numérica) a > b (a está a la derecha de en la recta numérica)

Por eso decimos que el conjunto de los números enteros está totalmente ordenado. * Todo número entero tiene un módulo o valor absoluto, que se define como la distancia entre dicho número y el cero. El módulo o valor absoluto de un número se simboliza así: . Por ejemplo: la distancia entre +4 y 0 es , la distancia entre y 0 es . * Dos números enteros, distintos de 0, son opuestos si tienen el mismo módulo o valor absoluto y distinto signo. Por ejemplo: y son opuestos, porque están a la misma distancia del cero, pero tienen distinto signo. En general, el opuesto de un

número se simboliza – . Actividades: 1) Lee detenidamente el texto. 2) Busca el significado de las palabras desconocidas en el diccionario y escríbelas

en la carpeta. 3) Marca con llaves los párrafos y numéralos. 4) Identifica la o las palabras claves en cada párrafo. 5) Subraya las ideas principales (con lápiz) 6) Realiza la notación marginal o titulación de cada párrafo 7) Escribe el resumen 8) Realiza una lectura intensiva y responde las siguientes preguntas: a) Explica las siguientes afirmaciones, te puedes ayudar con ejemplos: a1) El hombre creó los números negativos para dar respuesta a diferentes problemas y situaciones que se le presentaban en la realidad. a2) Un número entero negativo es siempre menor que cualquier número entero positivo. a3) +41 es el opuesto de b) Completa las siguientes afirmaciones: b1) El módulo o valor absoluto de un número es su en unidades con respecto al . . b2) Si dos números distintos están a la misma distancia del cero, entonces son . b3) Dos números enteros distintos de cero son iguales solamente si tienen el signo y el valor absoluto.


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b4) El de un número entero es el que está ubicado una unidad a su derecha en la recta numérica. b4) El de un número entero es el que está ubicado una unidad a su izquierda en la recta numérica. b5) El cero es que cualquier entero positivo y que cualquier entero negativo. c) ¿Cuántos números enteros hay entre y ? ¿Y entre y ? d) ¿Cuál es el siguiente de ? ¿Y el anterior de ? ¿Por qué?


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UNIDAD Nº 3: LOS NÚMEROS ENTEROS 1. Expresa las siguientes situaciones con el número correspondiente

a) Una gaviota vuela a 9 m de altura

b) Hay un pez a 4 metros de profundidad

c) El agua hierve a 100ºC

d) Un pato nada sobre la superficie del río

e) Alejandro Magno murió 323 años a .C.

f) La empresa tuvo una pérdida de6.580

g) El Titanic está hundido a 4.000 m

h) El ascensor está en el tercer subsuelo

i) Nerón murió en el año 68 d.C.

j) El alcohol solidifica a 110ºC bajo cero

2. Completa el siguiente cuadro:

número opuesto v.absoluto siguiente anterior

-6

5

-12

-2

3. Completa con <, > ó = a) -8 ……. -18 b) -81 …. +81 c) -7 …. 0 d) -163 …… -100 e) 8080 …. -808 f) 0 …. 3 4. Representa en la recta numérica los números enteros que cumplan con la condición en cada caso: a) mayores que -4 y menores que 6 b) menores que -5 y mayores que -6


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c) menores que 4 y mayores que -6 d) mayores que -1 y menores que 3

5. Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones:

a) b) c) d)

e) f) g) h)

6. Resuelve las siguientes sumas algebraicas: a) 73 b) 49 c) 10124

d) 187 e) 119 f) 232 g) 21572 h) 110310

i) 10329476 j) 13714938

7. Suprime paréntesis, corchetes y llaves y luego resuelve:

a) 981532476

b) 1743125237

c) 981453

d) 102863439

e) 39815613422

f) 89256347

g) 1269861534

h) 135871427

8. Resuelve las siguientes multiplicaciones y divisiones: a) 12.7 b) 5.2.3 c) 4:108


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d) 5:10:300 e) 2.25:100 f) 4:2.300

9. Aplica propiedad distributiva para resolver, cuando sea posible: a) 5.73 b) 498.4 c) 4:162412

d) 2.5 x e) 54:100 f) xxx 2:2010 10. Resuelve las siguientes operaciones combinadas, separando previamente en términos: a) b)

c)

d)

e)

f) 11. Arquímedes vivió entre los años 287 A.C y 212 A.C., mientras que Eratóstenes vivió entre el 276 A.C. y el 194 A.C.: a) ¿Cuántos años vivió cada uno? b) ¿Quién era mayor? ¿Cuántos años? c) ¿Cuántos años tenía Eratóstenes cuando murió Arquímedes? 12. Completar con un número entero: a) -3.2. =24 b) -1.(-1). =-1 c) 60: .(-3)=90 d) 47: =-47 e) -4. .120=0 f) 5.(-2). =-40 13. Completar la siguiente pirámide sabiendo que cada ladrillo es el producto de los dos que le sirven de base:

-6 -2 -10 2


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14. Calcula las siguientes potencias y raíces:

a) 7

1 b) 4

2 c) 010 d) 3

2

e) 4 625 f) 5 32 g) 3 125 h) 4 10000

i) 3 1 j) 2

4 k) 9 l) 169

15. Aplica propiedades para resolver, cuando sea posible:

a) b) 2223 :. xxx c) 232 3.3:3.3

d) 6035

2.2:2 e) 32

3 f) 6234 7.7.7:7

g) 25144 h) 7578 .:. baba i) 25:400

j) 5 55.ba k) 44 2:162 l)

8635.5

16. Resuelve las siguientes operaciones combinadas, separando previamente en términos: a) b) c) d) e) f)

g) h)

i) j)

k) l)

m)


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EJERCICIOS DE REPASO 1. Completar la siguiente tabla:

a b a+b b-a a.b a:b b.(a-b) - 8 +4

-5 15 -4 0 -1 21

- 6 3 2. Aplica propiedades para resolver:

a) yxyx .:. 4243 b) 334

2:2.2 xxx c) 16:36.144

d) 4444 2.2.2.2 e) 1068 .. zyx f) 81

g) 16:144 h) 243 .xx i) 435 :.. mmmm

3. Separa en términos y resuelve: a) b)

c) — d)

e) 3:92:83134

f) 7:3106:42257

g) 7.542.3:9182:6

h) 5:10:701002.3.125:34 2322

i) 2.1443.3:36.58:21000.5 33

j) 0322 57:491000.6:3682:53

k) 2.2162557:7 268

l) 6.4.252:126.72:1523

m) 023 22 52:3.63147:2813


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Los números racionales ℚ Hay muchas situaciones de la vida cotidiana en las cuales utilizamos números. Para contar, para expresar nuestra edad, para dar direcciones o teléfonos, para medir la temperatura, etc, recurrimos a los números enteros. Pero si debemos calcular el peso o la estatura de una persona, los precios en un supermercado, etc, necesitamos utilizar números racionales. El conjunto de los números racionales está formado por los números enteros y los números fraccionarios, y se representa con el símbolo ℚ Números Naturales ℕ0) Números Enteros ℤ Números Negativos Números Racionales Números Fraccionarios ℚ o Expresiones decimales Los racionales son todos aquellos números que se pueden expresar como un cociente o razón entre dos números enteros cualesquiera, siempre que el divisor sea distinto de cero. Por ejemplo:

,

Estos números pueden sumarse, restarse, multiplicarse, dividirse y el resultado es siempre un número racional. La única operación no permitida es la división por cero. Si representáramos todos los números racionales sobre la recta numérica, quedarían “apretadísimos” entre dos números racionales siempre puede encontrarse una cantidad infinita de ellos Esto significa que el conjunto ℚ es un conjunto denso A cada número racional le corresponde un punto en la recta numérica. Sin embargo, como se estudiará más adelante, hay puntos de la recta numérica que no corresponden a números racionales; es decir que el conjunto ℚ no completa la recta numérica Todo número racional puede expresarse como una fracción o como un decimal, en algunas situaciones es más conveniente expresar una cantidad con una fracción y en otras con un decimal, aunque ambas expresiones representen el mismo valor. Por ejemplo, decimos

que hemos comprado

kg de pan y no 0,75 kg; o expresamos que gastamos $ 4,5 y no

de

peso. Una fracción tiene diferentes significados: a) La fracción como parte de un todo: Una fracción expresa la relación entre una parte y una totalidad. Esta relación puede ser entre las partes de un objeto o entre los elementos de un conjunto. Por ejemplo:


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→2 de las 3 franjas iguales de nuestra bandera son de color celeste y esto se representa

con la fracción

. En este caso, la totalidad es la superficie de la bandera y la parte es la

franja celeste. → si 2 de las 5 macetas de mi jardín tienen flores rojas represento esta cantidad con la

fracción

. En este caso, la totalidad es el conjunto de las 5 macetas, y la parte son las

macetas que tienen flores rojas. b) La fracción como operador: Una fracción aplicada a una cantidad actúa sobre ella multiplicándola por su numerador y dividiéndola en tantas partes como indique su denominador. Por esta razón, se dice que la fracción “opera sobre la cantidad” o que la fracción es un “operador” Por ejemplo si se confecciona una bandera argentina de m2

de superficie, se necesitarán

de esa cantidad de tela celeste, es decir

de 6 m2 y lo

calculamos así:

de m

m

c) La fracción como porcentaje: Toda fracción puede expresarse como un porcentaje, para lo cual se amplifica o simplifica la fracción hasta obtener una fracción equivalente con denominador 100 (siempre que sea posible). Por ejemplo:

Luego de haber leído comprensivamente el texto, identificando las palabras claves, subrayando las ideas principales y haciendo la notación marginal, realiza las siguientes actividades: 1) Completa: Los primeros números con los que aprendimos a operar se llaman números y se los representa con el símbolo . La realidad nos demuestra que estos números no son suficientes para resolver determinadas situaciones cotidianas, en especial sustracciones tales como , entonces surgen los números que dan solución a estas operaciones y que junto a los anteriores forman el conjunto de los , representados por el símbolo . Sin embargo, los problemas no se terminan de solucionar con estos nuevos números: la división también presenta dificultades, pues muchas de ellas no son exactas, entonces se


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hacen necesarios los números para poder expresar el resultado de estas divisiones; así el conjunto de números se amplía aún más y este nuevo conjunto se conoce con el nombre de y se simboliza con . 2) Verdadero o falso? Justifica cada respuesta: a) A cada punto de la recta numérica le corresponde un número racional. b) El conjunto de los números racionales es un conjunto denso. c) Los números enteros son racionales 3) Explica las siguientes afirmaciones:

a) La fracción

representa un 25% del total de una cantidad determinada.

b) Las

partes de 100 figuritas son 60 figuritas.

4) Escribe la fracción que representa a cada situación: a) Andrés comió 3 de las 8 porciones de una pizza b) En una caja hay 6 alfajores de dulce de leche, 2 de membrillo, 3 de pera y 3 de chocolate. La cantidad de alfajores de fruta se representa con la fracción c) En 2º año hay 25 mujeres y 20 varones. La fracción que representa a la cantidad de mujeres es d) El 40% de una población equivale a los de dicha población.

5) Marca con una cruz a qué conjunto numérico pertenecen las siguientes expresiones:

, ,

ℕ

ℤ

ℚ


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UNIDAD Nº 4: LOS NÚMEROS RACIONALES II

1. Escribe la expresión decimal de las siguientes fracciones. Luego indica qué clase de

expresión decimal es: 20

17;

6

7;

3

8;

18

5;

1000

437;

90

23;

9

13,

4

3

2. Escribe la expresión fraccionaria de: a) 0,3 b) 0,0025 c) 1,21 d) 0,08 e) 0,8

f) , g , h) , i) , j) , k) , l) , 3. Ordena de menor a mayor los siguientes números racionales:

30

5;61,1;

27

45;3,0;5,0;

6

5

4. Verdadero o Falso? Justifica cuando sea falso. a) El cociente de la división de dos números enteros (excepto el cero como divisor) es siempre un número racional. b) Todo número racional se puede expresar como fracción decimal. c) Todo número racional tiene expresión decimal. d) Toda expresión decimal periódica se puede expresar como fracción. e) Todo número entero puede expresarse como una fracción. f) Toda expresión decimal puede expresarse como número entero. 5. Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones:

a) 12

5

8

1

16

3 e) 02,194,07,3

b)

15

4

3

26̂,3 f) 31,48,7

c) 2

3

10

72

5

3115,0 g) 75,304,825,10

d) 2

12

4

15

8

323 h) 4,35,23,7

6. Resuelve las multiplicaciones y divisiones:

a)

24

15·

20

27·

9

8 b)

4

1·

33

50·

25

18·

45

22 c)

55

42:

44

35


- 21 -

d)

15

11:

20

33 e)

25

16:

20

12·

15

4 f)

3

121:

21

22·

12

14

g) 02,3.1,2 h) 3,2.51,4 i) 05,0.3,2

j) 03,0:0039,0 k) 007,0:28 l) 5,2:20,100

7. Encuentra las siguientes potencias y raíces:

a)

0

10

1 b)

4

3

2 c)

2

4

3 d)

3

5

2

e)

3

7

5 f) 3

125

64 g) 3

1000

27 h)

121

64

i) 3

343

64 j) 4

81

1 k) 52,0 l)

31,1

m) 4

01,0 n) 12,0 ñ) 32 3,12,2 o) 25,2

p) 3 064,0 q) 000144,0 r) 5 00032,0 s) 4 0081,0

8. Aplica todas las propiedades que sea posible para resolver cada ejercicio. Nombra las propiedades aplicadas. Cuando no sea posible resolver aplicando propiedades, explica por qué.

a)

2

1·

2

1·

2

123

b)

8

32

3

1:

3

1 c)

32

3

5·

5

3

d)

3

2

5

4:2 e)

25

161 f)

25

64·

36

25

g)

1

3

24 h)

4

5

15

2

5

8 i) 2,1.2,1:2,1 48

j) 0009,036,0 k) 232 4,0.4,0.4,0 l) 2

4.2,1

m) 2

4,15,2 n) 333 4,0.4,0.4,0 ñ) 16,009,0

o) 3

4,02,0 19. Separa en términos y resuelve:


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a)

7

91·

5

23:

343

216 2

3 b)

1

1

13

2

25

14

c)

1

3

2

31

4

1:

8

71

3

1 d)

3̂,1·2

1·

3

1

2

11

e)

8

51·

3

4

2

1·

15

6:

10

82

f)

11

4

3

2

3·

100

9

5

1

g)

2

1·

25

16

4

31

2

h)

13

21

23̂,0:27

1

3

2:

3

4

i)

9

4:

14

18·

3

7

3

2:

3

2

16

15

97

j)

2:5

4·

75

24

6

1

5

3:

9

2521

10. Resuelve:

a) 02,0:4,001,0:2,0.8,0 b) 5:32,0.7,01,1 2

c) 5,12:4,32,6 d) 2

5,01,0.1,02:7,0

e) 23 2,164,10.216,014,0:28,0 f) 2

5.7,0:05,01,1:21,1

g) 4.25,04:6,32,0.49,01 h) 45

2338,0:5,05,0

i) 03 5,175,05,02.125,009,0 j)

,

k) 53,09,01,04,0:13,07,022

l)

,

m) ,

n)

, ,

ñ) , , , , o)

,

, ,

p)

0

1

2 5,77

1:5,03,12,0:2,0

q) 4,01,1:2,16,3


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EJERCICIOS DE REPASO

1. Resuelve:

a)

, ,

b) ,

,

c) , , ,

d) ,

,

e)

,

,

f)

, , ,

g) , ,

, ,

h) ,

i)

1

3 5,025,0:8

713,0

j)

68

23

5

3:

5

33:6,1

64

1

k) 4,0:4,02216,03,1 232

l) 5,145,02:016,05,0:13,002,0 3

2. Aplica propiedades para resolver. Nómbralas:

a) 25

16.1,0

b) 745 3,1:3,1.3,1

c) 33

9

1

3

1 d)

122,1


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UNIDAD Nº 5: ECUACIONES

1. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 27.153015 x d) 43:3432

x

b) 2.922.26 x e) 762579 xxx

c) 2.31042: x

2. Resuelve las siguientes ecuaciones con propiedad distributiva

a) 64.293.3 xx d) 321.2712.47 xxx

b) 51.641.3 xx e) 4:2.7.45.210 x

c) xxx 314.54.3 f) 312.123.2 x

3. Resuelve las siguientes ecuaciones con potenciación y radicación

a) 23.23142

x b) 16:48332

x

c) 14:52

x d) 232 267.2 x

e) 12:8413 2 x f) 9129.3 x

g) 32.53.2 3 x h) 5205:3 x

i) 4

33

4

18 2

x j) 42

3

2

2

1x

k) 3

2

27

1

2

1

2

1

6

1

x l)

3

5.13

2

1 xx

m) 2:1044,15,1 xx n) xxx 3,1338,02


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ñ) 122

2

1 xx o) xx 65,03,271,0

p) 5,15,12.3 xx q) 3,0455,02 xxx

r) 04,06,0:52,0 x s) 225,03.5,0 xx

t) 61,02,0.32

x u) 2561,03

3

2 0

xx

4. Plantea una ecuación para resolver cada problema: a) El triple de la suma de tres números consecutivos es 45. ¿Cuáles son esos números? b) El doble del cuadrado del siguiente de un número es igual a 50. ¿Qué número es? c) ¿Cuántos años tiene Luis si el triple de su edad actual es igual a la edad que tenía hace 4 años, más 24? d) María compró 7 cuadernos y Carolina 5 cuadernos y 4 lapiceras de $5cada una. Si las dos gastaron lo mismo, ¿Cuánto costaba cada cuaderno? e) Si a la mitad de la temperatura mínima de ayer le sumo 9º, obtengo 7º. ¿Cuál fue esa temperatura? f) ¿Cuántos caramelos tengo en el bolsillo si el doble de los caramelos que tengo más 5 que ya comí sumarían 13 caramelos? g) En mi gallinero nacieron la mitad de pollitos que en el de Matías. Llevé 5 al colegio y quedaron 3 en el gallinero. ¿Cuántos pollitos nacieron en mi gallinero? ¿Y en el de Matías? h) El precio total de una jarra y una fuente es de $144; si la fuente cuesta el doble de lo que cuesta la jarra, ¿Cuál es el precio de cada producto? i) Carola tiene el doble de dinero que Melisa y ésta $6 menos que Brenda. Juntas tienen $54. ¿Cuánto dinero tiene cada una de ellas?

j) Si a un número se le resta

y al resultado se lo divide por

se obtiene el cubo de

. ¿De qué número se trata?


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k) La tercera parte del cuadrado de un número es igual a la raíz cuadrada de la diferencia entre el cuadrado de 13 y el cuadrado de 5, ¿Qué número es?

l) Los

de un número menos la cuarta parte del mismo exceden en 15 unidades a

dicho número. ¿Cuál es ese número?

m) Dos amigos recorren

de un camino a la mañana y a la siesta,

del mismo.

¿Qué parte del camino les falta recorrer aún? n) Tres amigos compraron una pizza, uno comió las tres quintas partes, otro, tres décimos y el tercero, el resto, ¿qué parte de la pizza comió el último?

o) De un cajón que contiene melones, se venden primero las

partes y luego la

quinta parte. Si aún quedan 24 melones, ¿cuántos melones había? p) Lucas sacó fotocopias y compró una lapicera de $4,6. Pagó con $50 y le dieron $18,4 de vuelto. Si cada fotocopia cuesta $0,6, ¿cuántas sacó? q) Juan es un décimo más alto que Matías, y Santiago es 25 centésimos más bajo que Matías. ¿Cuál es la altura de cada uno si la suma de todas las alturas es de 4,35 m? r) Luis compró 3,5 kg de helado a un precio de $ 48 el kg y un frasco de salsa de chocolate de $12,5. ¿Cuánto dinero le dieron de vuelto si pagó con $200? s) ¿Cuántas botellas de 0,65 l de capacidad se necesitan para envasar 94,90 l de agua?

Ejercicios de Repaso:

1. Calcula el valor de x:

a) xxx 910252.3 b) 4532.3 2 x

c) 395:3 x d) 52183143 xx

2. Plantea la ecuación para resolver el problema: a) El equipo A obtuvo un punto menos que el doble del puntaje que obtuvo el equipo B. ¿Cuántos puntos obtuvo cada equipo si en total sumaron 47 puntos? b) El doble de un número disminuido en 6 es igual al mismo número aumentado en 7. ¿Qué número es?


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c) La edad de Inés es el triple de la de Sofía. Si dentro de 5 años Inés tendrá 23 años, ¿cuál es la edad de Sofía? d) El triple de la edad actual de Agustín es igual a la edad que tenía hace 4 años, más 24. ¿Cuántos años tiene? e) Alicia gastó la tercera parte del dinero que tenía ahorrado más $12 que le dio su mamá para comprar una camisa que costó $132. ¿Cuánto dinero tenía ahorrado? 3. Resuelve las ecuaciones: a) 4,45,04,02 xx b) xx 54,01,0:2,0

c) 4

21

5

2

xx d) 3,05,016,0

x

e) 18

255,1.2

2x

4. Plantea una ecuación para resolver cada problema: a) La cuarta parte de la diferencia entre un número y su mitad es dos. ¿Cuál es ese número? b) Un ángulo de un triángulo es el doble de otro. El tercer ángulo mide 5° más que el mayor de los otros dos. Halla la medida de cada ángulo.


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APÉNDICE:

LOS NÚMEROS Y SUS ORÍGENES. POR IRENE ZAPICO.

Existe una frase muy popular que declara: “los números gobiernan el mundo”. Evidentemente es un poco exagerada, ya que la matemática no puede identificarse solamente con números. Hay ramas como la geometría que utilizan otros conceptos. Si tenemos en cuenta tanto las edades, como los domicilios, las estaturas, las distancias, el tiempo, las temperaturas, la presión arterial, los números telefónicos y los de documentos, las calificaciones, las fechas… todos estos datos se indican con números, y podríamos seguir dando más ejemplos. Seguramente esta profusión de números a nuestro alrededor dio origen a la frase que mencionamos; quizá pueda decirse que son indispensables, pero no son los “gobernadores” de este mundo. Los conjuntos de números no aparecieron, históricamente, en el orden en que hoy se los estudia en la escuela. En la actualidad, se define a los números naturales mediante axiomas; luego a los enteros, que se obtienen mediante las diferencias entre dos naturales; los racionales, que son razones entre enteros, con el divisor distinto de cero, y se puede definir a los números reales, de distintas maneras. Veamos algunos aspectos del largo camino que los hombres recorrieron, descubriendo, negando y aceptando, hasta llegar a enunciar la sólida teoría que hoy los sostiene. En los remotos tiempos de la Prehistoria, cuando aún no existía la escritura, las comunidades humanas precisaron contar cuando se hicieron sedentarias, al comenzar el periodo neolítico. Aparecieron sistemas de numeración en forma oral y es allí donde se originan los números naturales. Al parecer la escritura comienza la Historia, entre el 4000 a.C. y el 3500 a.C. Tanto en Egipto como en la Mesopotamia asiática, al adquirir la escritura, también aparecen sistemas de numeración. Estos pueblos manejaron los números naturales y más tarde, las fracciones. Éste es el origen de los números racionales, aunque sólo consideraban los positivos. En el siglo VI a.C. Pitágoras, uno de los mayores exponentes de la antigua cultura griega, fundó su famosa escuela. Los pitagóricos sostenían que el principio de todo era el número. Consideraban que los números eran los enteros positivos, o sea, los naturales, y que las fracciones derivaban de ellos. Los pitagóricos hicieron un notable descubrimiento: los números irracionales. Al intentar calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles con catetos de

1 unidad, apareció 2 como medida de la hipotenusa, originándose un segmento que no podían medir porque siempre tiene un decimal más…


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Ésto produjo una gran conmoción en la escuela pitagórica y decidieron mantenerlo en secreto, lo cual prueba que fuertes sentimientos acompañaron el desarrollo de la Matemática en su historia.

Irene Zapico.Matemática 3. Logonautas Ed. Puerto de Palos.2008

¿Cómo aparecieron los números negativos? Por Irene Zapico El período que va desde su aparición hasta su aceptación es de más de 1.000 años. La historia de su aprobación como números fue un proceso lleno de avances y retrocesos. Cuando se resuelven ecuaciones pueden aparecer soluciones que son números negativos. Este tipo de soluciones fueron ignoradas durante siglos. Los griegos, que representaban los números como segmentos, no concibieron los negativos porque no los podían representar. Diofanto de Alejandría (S.III), a quien se suele considerar el padre del álgebra, dio una regla para el producto de diferencias que puede ser considerada como el germen de lo que después se ha llamado la “regla de los signos”. Durante la Edad Media no hubo adelantos científicos ni matemáticos en Europa, porque imperaba el espíritu religioso. Los hindúes y los árabes fueron quienes desarrollaron, entre otras cosas, el álgebra. Brahmagupta, un destacado matemático hindú que vivió en esa época (S.VII), escribió un tratado de astronomía que tiene dos capítulos dedicados a la matemática; en ellos trata la resolución de ecuaciones y es la primera vez que aparecen en forma explícita las reglas que rigen la aritmética incluyendo a los números negativos. Se explican los procedimientos para efectuar sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias y extracción de raíces con lo que él llamaba “los bienes”, “las deudas” y “la nada” (positivos, negativos y el cero). Brahmagupta no sólo utilizó los negativos en los cálculos, también los consideró como entes aislados y los dotó de una aritmética que concordaba con la de los enteros positivos. Sin embargo, su logro cayó en el vacío; no fue tomado en cuenta ni por sus sucesores ni por los árabes que continuaron y difundieron la matemática hindú. En oposición a Brahmagupta, los algebristas árabes sólo consideraban las soluciones positivas de una ecuación. Ya en el renacimiento, con la invención de la imprenta, los tratados árabes de aritmética y álgebra fueron las primeras obras matemáticas que se imprimieron y se popularizaron.


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Con el desarrollo del álgebra, los números negativos aparecieron de nuevo en escena provocando entre los algebristas reacciones diversas, que fueron desde el rechazo hasta la tolerancia. Pero inclusive, el rechazo fue un síntoma de que se reconocía su existencia. La primera vez que aparece durante el Renacimiento un número negativo aislado en una ecuación es en la obra del matemático francés Nicolás Chuquet (1445-1500). Su tratado de álgebra es el primero escrito en francés y allí aparece su expresión que hoy escribiríamos como 24 x . También comenzaron a popularizarse los símbolos “ ” y “-“. A principio del siglo XVI, la actitud de los algebristas frente a los números negativos no era la misma; hubo quienes los aceptaban sólo como coeficientes o sólo como soluciones, o los rechazaban por completo. El matemático flamenco Simon Stevin (1548-1620) fue quien aceptó a los negativos como soluciones y como coeficientes; descubrió su utilidad como herramientas de cálculos, por lo que les otorgó una existencia como símbolos independientes en el cálculo numérico. El problema de los negativos, que había atormentado durante tanto tiempo a los matemáticos, terminó cuando éstos abandonaron la empresa de intentar descubrirlos en la naturaleza y comenzaron a verlos como verdaderas creaciones intelectuales.


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¿COMO NACIÓ LA GEOMETRÍA? Por Irene Zapico El hombre primitivo era nómade, es decir, no tenía un lugar fijo de residencia. Se trasladaba según le conviniera para tener agua y alimento. Era cazador y recolector; comía los animales que cazaba y frutos silvestres. Es interesante detenerse a pensar que “el hombre cosechó antes de sembrar”, ya que primero cosechó lo que la naturaleza le ofreció. Cuando aprendió a cultivar la tierra, se hizo sedentario, estableció su vivienda en un lugar fijo y, simultáneamente al nacimiento de la agricultura, nacieron, entre otras cosas, la ganadería, el trabajo en telar y la cerámica. Fue cuando nació la geometría a partir de la necesidad de dividir la tierra que cultivaban (una cuestión práctica) y para realizar guardas en tejidos y cerámicas (una cuestión estética). Los historiadores ubican el nacimiento de la geometría en Egipto, pero es indudable que sus orígenes son anteriores. ¿Qué llevó a esos historiadores a pensar de ese modo? Sucede que los egipcios vivían a orillas del río Nilo, cuyas crecientes borraban las divisiones de los terrenos cultivables y debían rehacerlas con exactitud. Para ello, contaban con los escribas, quienes practicaban tanto el arte de la escritura como el del cálculo. Las escuelas que lo formaban existieron desde los comienzos mismos de la escritura. Los escribas no ejercían el poder, pero ocupaban una posición de privilegio, ya que la única forma de ascender socialmente era por medio del estudio. Tres mil años antes de Cristo ya manejaban un sistema de unidades de superficie y de longitud (aunque aún no aparece el cálculo de superficies multiplicando longitudes). Hacia fines del tercer milenio, los escribas egipcios, al observar ciertas irregularidades, aprendieron no sólo a calcular áreas y volúmenes a partir de las longitudes, sino a distribuir las provisiones; también calculaban el tiempo de un determinado trabajo y resolvieron problemas de herencias; en resumen: aprendieron a manejar magnitudes. ¿Cómo sabemos acerca de los conocimientos que tenían hace 3000 y 4000 años? Se han encontrado algunos documentos sobre la matemática egipcia. El más importante, entre ellos, es el papiro de Rhind, que es un rollo de papiro de 0,33m x 5,48m escrito por el escriba Ahmes hacia el año 1650 a.C. Este papiro se conserva en el museo británico. Uno de los problemas que contiene este papiro es: Problema 52: se trata del caso del trapecio isósceles, considerando el caso particular en que la base mayor es de 6, la menor de 4 y la distancia entre ellas de 20; Ahmes toma la semisuma de las dos bases, “de manera que se convierte en un rectángulo”, y la multiplica por 20 para hallar el área. En este tipo de transformaciones, en la que se convierten trapecios en rectángulos, podemos ver ya los comienzos de una especie de teoría de la congruencia y de la


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idea de demostración en geometría, pero los egipcios no desarrollaron más estos principios. Los conocimientos que descubrieron o crearon eran suficientes para la vida que llevaban y no deja de causar admiración lo acertado de sus afirmaciones. Irene Zapico. Matemática 1. Logonautas. Puerto de Palos. 2008

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