Cours mathematique Terminale.pdf

7/29/2019 Cours mathematique Terminale.pdf

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Math-Performance -- Math-Performance -- Math-Perfor

TERMINALE SCours de Mathmatiques

Math-Performance 2006-2007

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TABLE DES MATIERES

Chapitre 1 Limites de suite et de fonction page 4

Chapitre 2 Continuit et tableau de variation page 10

Chapitre 3 Drivation page 12

Chapitre 4 Introduction de la fonction exponentielle page 15

Chapitre 5 Fonctions logarithmes et exponentielles page 18

Chapitre 6 Suite numrique page 21

Chapitre 7 Intgration page 27

Chapitre 8 Intgration et drive page 29

Chapitre 9 Equation diffrentielle page 32

Chapitre 10 Nombres complexes page 33

Chapitre 11 Produit scalaire dans lespace page 39

Chapitre 12 Droites et plans de lespace page 42

Chapitre 13 Conditionnement et indpendance page 46

Chapitre 14 Loi de probabilit page 49

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Avant propos

Vous trouverez dans cet ouvrage dit par Math Performance, le cours complet de Terminale S conforme auprogramme officiel de lducation nationale.

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Chapitre 1

Limites de suite et de fonction

1. Limite dune suiteDfinition

Soit Un une suite de nombres rels.

On dit que

Un admet une limite finie L et on note limn

un L , si tout intervalle ouvert

contenant L contient tous les termes de la suite partir dun certain rang.

On dit que Un admet une limite gale et on note lim

n un , si pour tout rel

A, lintervalle

A,

contient tous les termes de la suite partir dun certain rang.

On dit que

Un admet une limite gale et on note limn

un , si pour tout rel

B, lintervalle ,B contient tous les termes de la suite partir dun certain rang.

Exemples

La suite de terme gnral un

1

n2converge vers 0.

En effet tout intervalle qui contient zro, contient aussi lintervalle

a,a

avec a

0 et un a,a 1

n2

a

n

1

adonc tous les termes de la suite un sont contenus dans lintervalle a,a partir du rang n0 vrifiant

n0

1

a. Ainsi la suite

un converge vers 0.

La suite de terme gnral un

n admet une limite gale

En effet

n

A est quivalent n

A2. Lintervalle

A;

contient toutes les valeurs

n partir du rang n0vrifiant n0 A

2 donc limn

n

Proprit

Une suite croissante non majore tend vers linfini.

DmonstrationSoit

un une suite croissante non majore et A un nombre positif. un nest pas majore alors, il existe p tel queup A or un est croissante donc pour tout n p un up A. Tous les termes de la suite appartiennent

lintervalle A, partir du rang p. Ainsi limn

un

Exemple

La suite

n2

est croissante et nest pas majore, on en dduit alors limn

un

Thorme des gendarmes

Soient

un

,

vn

et

wn

trois suites vrifiant partir dun certain rang

un vn wn

limn

un L et l imn

wn Lalors lim

n vn L

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Exemple

Soit un sin n

n, (avec n

0), on a 1 sin n 1 alors 1

n

sin n

n

1

n

limn

1

n 0 et lim

n

1

n 0 alors lim

n

sin n

n 0

2. Limite dune fonction

DfinitionSoit f une fonction dfinie sur Df

On dit que la fonction f admet une limite L appartenant en a et on note lim

x af x L

si pour tout intervalle ouvert

contenant L, f x appartient pour x appartenant Dfsuffisament proche de a.

Il est quivalent dcrire: Pour tout intervalle ouvert

contenant L, il existe un intervalle I

contenant a tel que pour tout x appartenant I, f

x

.

On dit que la fonction f pour limite L appartenant en et on note limx

f x L

si tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs de f x pour x assez grand.

Il est quivalent dcrire: Pour tout intervalle ouvert

contenant L; il existe A appartenant Df tel que pour tout x appartenant A. f x appartient

On dit que la fonction f a pour limite en et on note lim

x f x

si pour tout rel A lintervalle

A,

contient toutes les valeurs de f

x

pour x assezgrand.

On dit que la fonction f a pour limite en et on note lim

x f x

si pour tout rel B lintervalle

,B contient toutes les valeurs de f

x

pour x assez grand.

Exemple

Montrer que lim

x 12x 3 5

f

x

5

2x

3

5

2x

2

2x

1

,

Soit 0 on a f x 5 ds que 2 x 1 , soit x 1

2En posant

2alors, pour tout 0 il existe 0 tel que x 1 implique f x 5

lim

x

x2 , en effet pour tout M 0, f x M si x2 M, si x

M donc pour tout intervalle

I

M;

si x

M alors f

x

I.

Thorme des gendarmes

Soient f, g et h trois fonctions vrifiant

g

x

f

x

h

x

limx a

h x b limx a

g x balors lim

x af x b

Exemple

Dterminer la limite de

sin x

x2en

Pour tout x 0 1 sin x 1 et donc

1

x2

sin

x

x2

1

x2

Or limx

1

x2

0 et limx

1

x2

0. Daprs le thorme des gendarmes limx

sin x

x2

0.

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Exemples

Dterminer lim

x

1

x 4

limx

1

x

4

4

limX

4

X 2

limx

1

x

4

2

Dterminer lim

x

x2 3x 2

limx

x2 3x 2

limX

X

limx

x2

3x

2

Dterminer lim

x 1

1

x

1

Etudions le signe de x 1:

x

1

x 1 0

limx

1x

1

x

1 0 et x

1 0

limX 0X

0

1

X

limx

1

x

1

1

x

1

limx

1x

1

x

1

0 et x

1

0

limX

0X

0

1

X

limx

1x

1

1

x 1

Dterminer lim

x 2

x

5

x2

5x 6. On transforme

x

5

x2

5x 6sous la forme

x 5

1

x2

5x 6

Etudions le signe de

x2

5x

6:x 2 3

x2 5x

6

limx

2x 2

x2

5x 6 0, x2 5x 6 0

limX

0X 0

1X

limx 2x

2

1

x2 5x 6

limx 2x

2

x

5

3

limx

2x 2

x

5

x2 5x

6

limx

2x

2

x2

5x

6

0,

x2

5x

6

0

limX

0X

0

1

X

limx 2x

2

1

x2

5x 6

limx

2x

2

x 5 3

limx

2x

2

x 5

x2

5x

6

6. Comparaison au voisinage de

ThormeSoient f et g deux fonctions.Si: pour tout x dun intervalle b, , f x g x

lim

x

g x alors lim

x f

x

Exemple

x

0

1

x2

x or limx

x

alors limx

1

x2

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7. Asymptote

Thorme

La droite dquation y b est asymptote horizontale en (respectivement en )

si l imx f

x

b (respectivement si limx f

x

b )

La droite dquation x a est asymptote verticale si limx a

f x

ou si limx a

f x

La droite dquation y ax b avec a 0 est asymptote oblique en (respective-

ment en

) si limx

f x ax b

0 (respectivement limx

f x ax b

0)

Exemple

La fonction dquation y

f

x

x 1

1

xadmet une asymptote oblique dquation y

x 1. En effet f x

x

1

x

1

1

x

x

1

1

xor lim

x

1

x

0 et donc limx

f

x

x

1

0 ainsi y

x

1 est

asymptote oblique la courbe.

8. Compose dune suite et dune fonction

ThormeSoit la fonction f et la suite un . Si lim

n un a et lim

x af x b alors lim

n f un b

Exemple

Soit un

1 1n2

limn

1n2

0 et limx

0

1 x 1 alors limn

1 1n2

1

9. Limite dune fonction comportant des "racines"

MthodeRechercher la limite dune fonction comportant des "racines" est souvent dlicat. Une forme in-dtermine peut apparatre. ll convient alors de transformer la fonction de manire lever lind-termination.

La transformation la plus courante consiste multiplier par la quantit conjugue:

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

bIl suffit alors dexploiter cette expression pour lever lindtermination.Une autre transformation consiste factoriser sous la racine:

ab

c

ad

e

a

b

c

a

a

d

e

a

a

b

c

a

d

e

a

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Chapitre 2

Continuit et tableau de variation

1. ContinuitDfinition

Soit f une fonction dfinie sur un intervalle I et a un lment de I

f est continue en un point a si limx a

f x f a

ThormeToute fonction construite par composition ou opration partir de fonctions polynmes ou trigo-nomtriques est continue.

Remarque

Soit f la courbe reprsentative de la fonction f sur un intervalle I alors f est continue sur I signifie que lon peut

tracer f sur I sans lever le crayon

Exemples

f

x

x2 est continue sur

La fonction f dfinie par f

x

E

x

oE

x

dsigne la partie entire de x nest pascontinue.

0

y

x

2. Thorme des valeurs intermdiaires

ThormeSoit f une fonction dfinie et continue sur un intervalle I. Soient a et b deux nombres rels appar-tenant I. Pour tout rel kcompris entre f

a

et f

b

, il existe au moins un rel c compris entre aet b tel que f

c

k

Corollaire

Si f est une fonction continue strictement monotone sur

a,b

alors pour tout rel k compris entre f a et f b , lquationf x k a une solution unique dans

a; b

0

y

x

f

a

a

k

c

f b

bDmonstrationSoit f strictement monotone (On peut supposer par exemple que f est strictement croissante ce qui signifie que pourtout x et x appartenant

a,b

x

x implique f

x

f

x

.) Soit k appartenant

f

a ,f b

alors daprs lethorme des valeurs intermdiaire il existe c appartenant

a,b

tel que f

c

k. Supposons quil existe un autrec

c vrifiant f

c

k alors lhypothse de stricte monotonie est contredite. Lquation f

x

k admet donc une

unique solution dans a; b

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CorollaireSi f est une fonction continue strictement monotone sur

a; b

(b

ou

) alors pour toutrel kcompris entre f

a

et limx b

f

x

, lquation f

x

ka une solution unique dans

a; b

.

On pourra chercher la solution de lquation f x kpar dichotomie ou balayage avec la calcu-latrice.

Exemples

Soit f

x

x3

2x

1.Montrer que f

x

0 admet une seule solution, encadrer 10 2 prs. en dduire le signe de f .

f

x 3x2 2.

f est donc strictement croissante sur

.De plus lim

x

f

x

et limx

f

x

.

On dresse le tableau de variation ci contre:

x

f

x

f

x

0

f est continue strictement croissante sur

, limage de

par f est

or 0 nous pouvons donc conclure quef

x

0 admet une unique solution dans

note.Pour encadrer 10 2 prs, nous utilisons un tableau de valeurs, obtenue au moyen dune calculatrice.f

1 2 et f 0 1 alors

1; 0

f 0,5 0,125 et f 0,4 0,136 alors

0,5; 0,4

f

0,46

0,017336 et f

0,45

0,08875 alors

0,46;

0,45

f est continue strictement croissante sur

et f 0 ainsi pour tout x

;

f

x 0 et pour tout

x

;

f

x

0

f est la fonction continue dfinie sur

5; 5

dont letableau de variation est reprsent ci contre:Dterminer le nombre de solution de f

x 0.

x

5

3 1 5

f

x

5

10

2

8

Daprs le tableau de variation de f , f est continue strictement croissante sur 5; 3 or 0

5;10

.Lquation f

x

0 admet une unique solution dans

5;

3

f est dcroissante sur

3; 1

et f

1

2 donc pour tout x

3; 1

f

x

2. Lquation f

x

0 na pas de

solution dans 3; 1 f est croissante sur

1; 5

et f 1 2 donc pour tout x

1; 5

f

x 2.

Lquation f

x

0 na pas de solution dans

1; 5

Lquation f

x

0 admet donc une unique solution.

Considrons la fonction f dfinie pour tout x

2; 1

2

par f

x

x2

x

2

Montrer que lquation f

x

1 admet une unique solution.

f est drivable sur

2; 1

2

et f

x

2x

1

2

x2

x 2

Or pour tout x

2; 1

2

f

x 0

f est continue et strictement croissante sur

2; 1

2

et limage de x

2; 1

2

est f

x

0;

5

2

or

5

2

1,12 ainsi 1

0;

5

2

Lquation f

x 1 admet alors une unique solution.

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Chapitre 3

Drivation

1. Rappels de premireDfinitions

Soit y f x une fonction de courbe reprsentative .

f est drivable en x0 si limx x0

f x f x0

x

x0est un nombre A appartenant .

Ce nombre est appel nombre driv not A

f

x0 dy

dx.

f est drivable sur I si pour tout x appartenant I, f est drivable en x.Le nombre driv f x0 est gal au coefficient directeur de la droite tangente la courbe aupoint dabscisse x0.Une quation de la droite tangente la courbe au point M0 dabscisse x0 est:

y f x0 x x0 f x0

Proprit 1

La dfinition de la drive peut se traduire de la faon suivante :Si f est drivable en a alors f x f a x a f a x a x avec lim

x a

x 0.

Cela signifie que lorsque x est proche de a alors une approximation de f

x

est f

a

x

a

f

a

On parlera alors dapproximation affine de f.

x a x reprsente lerreur commise lorsque lon remplace f x par f a x a f a

Proprit 2

Soit f une fonction drivable sur un intervalle

alors

Si f

x

0 pour tout x appartenant

alors f est constante sur

.

Si f x 0 (resp f x 0) pour tout x appartenant alors f est croissante sur . (respf est strictement croissante sur .)

Si f

x

0 (resp f

x

0) pour tout x appartenant

alors f est dcroissante sur

. (respf est strictement dcroissante sur

.)

Soit f une fonction drivable sur un intervalle ouvert .

Si f admet un extremum local en x0 alors f

x0 0.

Soit f une fonction drivable sur un intervalle ouvert et x0 un rel de .

Si la fonction drive sannule en x0 en changeant de signe alors f admet un extremum localen x0.

Proprit 3

Soient u et v deux fonctions drivables sur un mme intervalle et kun nombre rel alors :

u

v est drivable sur

et

u

v

x

u

x

v

x

u v est drivable sur et u v x u x v x u x v x

k

u est drivable sur

et

k

u

x

k

u

x

Si v ne sannule pas sur

alors

u

vest drivable sur

et

u

v

x

u x v x u x v x

v2

x

Soit f

x

ax

b une fonction affine telle que f

appartienne lensemble de dfinitionde u alors u ax b a.u ax b

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Chapitre 4

Introduction de la fonction exponentielle

1. Mthode dEuler

MthodeLa dsintgration nuclaire du radium est une notion traite en physique en classe de terminale S.Si N t dsigne le nombre datome de radium prsent linstant t, nous savons que N t aN t avec aune constante positive. (se reporter au cours de physique.)Connaissant N

0

N0, on souhaite tracer la courbe reprsentative de N, de manire pouvoir visualiserla dsintgration du radium en fonction du temps.Ce problme revient dterminer la courbe reprsentative de Nvrifiant N aN et N 0 N0La mthode dEuler permet dobtenir une construction approche de la courbe reprsentative de N.Lobjet de ce paragraphe est la rsolution dun problme plus simple: Faire une construction approche dela courbe dune fonction f vrifiant f f et f 0 1.

La mthode que nous allons utiliser est la mthode dEuler dcrite dans les lignes suivantes:Lintervalle sur lequel nous tudions la courbe est

0; 1

Considrons lintervalle 0; 1 que nous dcoupons de la faon suivante:x0 0; x1 0 h; x2 x1 h;......; xk

1 xk h; ........ xn 1. On prendra h 0,2 et ensuite h 0,1.f est drivable alors lapproximation affine de f

a

h

est f

a

h f

a

avec h proche de 0On peut crire f

a

h

f

a

h f

a

Ainsi dans notre cas, si on prend a xkf

xk h f xk h f

xk

f

xk h f xk car f

f 1 h f xk

or xk h xk 1 on a alors f xk 1 1 h f xk ,Nous avons alors

f

x1 1 h f x0 1 h f 0 1 h

f

x2

1

h

f

x1

1

h

1

h

1

h

2

ainsi de proche en proche on obtient: f

xk 1 h k

Ainsi si h

0,2 on construit la courbe point par point partir des points M

xk; f xk dont les coordonnessont obtenues dans le tableau ci dessous:

xk 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

f xk 1,2 k 1 1,2 1,44 1,72 2,07 2,48

j

i0

Ainsi si h 0,1 on construit la courbe point par point partir des points M xk; f xk dont les coordonnessont obtenues dans le tableau ci dessous:

xk 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

f xk 1,1 k 1 1,1 1,21 1,33 1,46 1,61

xk 0,6 0,7 0,8 0,9 1

f xk 1,1 k 1,77 1,95 2,14 2,36 2,59

0

j

i

Avec un pas h de plus en plus petit le trac de la courbe est de plus en plus proche de la fonction f.

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2. Fonction exponentielle

ThormeSi f est une fonction drivable non nulle sur vrifiant f x y f x f y avec x ety alorsf 0 1 et pour tout rel x f x k f x o k f 0

Dmonstrationf 0 alors a f a 0f

a 0 f a f 0 soit f a f a f 0 or f a 0 alors f 0 1

Supposons x fixe alors

f

x

y

f

x

y

et

f

x

f

y

f

x

f

y

donc f x y f x f y , en particulier si y 0, f x f x f 0

Thorme et dfinitionIl existe une unique fonction f drivable et strictement positive sur telle que f f et f 0 1Cette fonction est appele fonction exponentielleOn la note f x exp x ex

DmonstrationOn admet lexistence dune fonction f vrifiant f

f et f

0

1.

Montrons lunicit de f . Soit g une autre solution de f

f et f

0

1 alors g

g et g

0

1 Soit h

g

fdfinie

et drivable sur

alors h

g f

g f

f2or g

g et f

f alors h

g f

g f

f2 0.

Il sensuit que h est une fonction constante gale en particulier h

0

g

0

f 0

1

Nous obtenons donc h

x

g x

f

x

1 soit g

f

ThormeSoit kun nombre relIl existe une unique fonction f drivable et strictement positive sur

telle que f

k f et f

0

1.Cette fonction est ekx

3. Proprit de la fonction exponentielle

Proprits

La fonction exponentielle est strictement croissante sur

Pour tout rel x ex

0

Pour tout rel a et b ea

eb est quivalent a

b

Pour tout rel a et b ea eb est quivalent a b

La fonction exponentielle est drivable sur

et pour tout rel x

ex

ex

Si u drivable alors eu u eu

Pour tout rel x et y ex y exey

Pour tout rel x e x

1

ex

Pour tout rel x et y ex y

ex

ey

Pour tout rel x et tout n ex n enx

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4. Trac de la fonction

0 1

1

e

5. Etude des limites

Proprits

lim

x ex

lim

x ex

0

lim

x

ex

x

lim

x

ex

xn

lim

x xex

0

lim

x xnex

0

limx 0

ex

1

x

1

Remarque sur la dtermination de limites

Au voisinage de linfini lexponentielle lemporte sur la fonction puissance.

Si on a une forme indtermine du type

alors vous pouvez essayer de factoriser lexpression, pour leverlindtermination. On peut alors aboutir par exemple une forme du type

.

Si on a une forme indtermine du type 0

alors vous pouvez essayer de dvelopper lexpression, pour lever lind-termination. On peut alors aboutir par exemple une forme du type .

Exemples

En

, x3

ex est une forme indtermine

Pour x

0 x3

ex

x3

1

ex

x3

limx

1 ex

x3

limx

x3

lim

x

x3 1

ex

x3

En ,

ex

x2

1est une forme indtermine

Pour x

0ex

x2

1

ex

x2

1

1 1

x2

lim

x

1

1 1x2

1

limx

ex

x2

limx

exx2

1

1

1

x2

En , x 1 e x est une forme indtermine

Pour x

0 x 1 e x xe x e x 1

ex

x

e x

limx

ex

x

limX

1

X

0

limx

1

ex

x

0lim

x

x

limX

eX 0

limx

e x 0

On obtient donc limx

1

ex

x

e x

0

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Chapitre 5

Fonctions logarithmes et exponentielles

1. Fonction logarithme nprien

Thorme et dfinitionsPour tout nombre a strictement positif il existe un unique nombre rel tel que e a.Ce nombre est appel le logarithme nprien de a et est not ln a

On appelle fonction logarithme nprien la fonction ln qui tout x appartenant

0;

associe ln xOn appelle fonction logarithme dcimale la fonction log qui tout x appartenant

0;

associe log x

ln x

ln10

DmonstationLa fonction exponentielle est continue et strictement croissante de

dans

Ainsi pour tout nombre a 0 il existe

un unique nombre tel que e a

Proprits

ln 1

0 et ln e

1

Pour tout nombre rel x strictement positif eln x x

Pour tout nombre rel x, ln ex

x

ln x est ngatif sur

0; 1

ln x est positif sur

1;

Pour tous nombres rels x et y strictement positifs: ln x

ln y quivaut x

y

Pour tous nombres rels x et y strictement positifs: ln x ln y quivaut x y

La fonction ln est continue drivable et strictement croissante sur

0;

Pour tout nombre rel x strictement positif: ln x

1

x

Si u drivable et strictement positive sur Ialors ln u

u

u

Pour tous nombres rels x et y strictement positifs ln xy

ln x

ln y

Pour tous nombres rels x et y strictement positifs ln

x

y

ln x ln y

Pour tout nombre rel a strictement positif et tout nombre rationnel r ln ar r ln a

Remarques

En gnral ln x y ln x. ln y alors que ex y ex.ey

La proprit ln ar

r ln a est utile pour rsoudre une inquation du type 0,2n

0,3 avec n

en effet 0,2n

0,3

ln0,2n

ln0,3

n ln0,2

ln0,3

n

ln0,3

ln0,2

18


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ath-Per

form

ance


2. Trac de la fonction

1

0 e1

3. Etude des limites

Proprits

lim

x ln x

limx 0

ln x

limx 0

x ln x 0

limx 0

xn ln x 0

lim

x

ln x

x

0

lim

x

ln x

xn

0

limx 0

ln

1

x

x

1

Dmonstration

Nous allons nous intresser la dmonstration de limx

0

ln 1 x

x

1. Nous en profiterons pour mettre en vidence

une approximation affine au voisinage de 0, de x ln 1 x .

x

f

x

ln 1 x est drivable sur 1 ; et en particulier en x 0

f

x

1

1 xdonc f

0 1

Nous avons alors f

x

f

0

x f

0

x

x

soit ln

1

x

x

x

x

avec limx

0

x

0

Ainsi une approximation affine de ln 1 x au voisinage de 0 est x.

ln 1 x x x x ln 1 x x 1 x ainsiln

1

x

x 1 x

Or limx

01

x

1 alors limx

0

ln 1 x

x

1

Remarques

Au voisinage de linfini la fonction puissance lemporte sur la fonction logarithme.

limx

0

ln x

x

(En crivant

ln x

x

1

x

ln x le rsultat en dcoule)

4. Fonction exponentielle de base a et racine nime

Dfinition

Soit a un nombre rel strictement positif et diffrent de 1

On appelle fonction exponentielle de base a la fonction dfinie sur par

x

ax ex ln a

Soit n un nombre entier suprieur ou gal 2On appelle fonction racine nime la fonction dfinie sur

par

x

x1n

e1n ln x

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ath-Per

form

ance


5. Comportement asymptotique spar

y ln x

y

x

y

xy x2y ex

1

1 e

Exemples

Etude de f : x

e kx avec k 0

f est dfinie continue drivable sur

x f

x ke

kx

x

f

x

0lim

x

f x , limx

f x 0

x

f

x

f x

0

Reprsentation graphique de la fonction pourk

0,2; k 0,7 et k 2

k 0,2

k 0,7

k

2

1

0 1

Etude de x

e kx

2avec k

0f est dfinie continue drivable sur

x f

x 2kxe

kx2

x

0 f x 0 et x 0 f x 0lim

x f

x

0, limx

f

x

0

x 0 f

x

f

0

1

0

Reprsentation graphique de la fonction pourk

0,2; k

0,7 et k

2

k 0,2

k 0,7

k

2

1

0 1

20


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ath-Per

form

ance


Chapitre 6

Suite numrique

1. Rappels

Notion intuitive de suiteLa notion de suite est une notion que lon peut rencontrer dans la vie quotidienne, par exemple letirage des six numros du loto est une suite de nombres obtenus dune manire alatoire. Nan-moins il y a des suites de nombres qui obissent des lois particulires. Vous avez peut tre djrpondu des tests psychotechniques: on vous propose une srie de nombres et on vous demandede trouver le nombre suivant. Par exemple, soient les nombres 3, 6, 9, 12 . Quel est le nombre sui-vant? Il sagit videment du nombre 15. Pour passer dun nombre au suivant il suffit dajouter 3 chaque fois.Comment traduire mathmatiquement cette situation?On remarque que les nombres 3, 6, 9, 12 sont rangs dans un certain ordre, chaque nombre occupeune position particulire.Il serait peut tre judicieux de proposer une association entre la position occupe par le nombre(qui appartient lensemble des entiers naturels) et la valeur de ce nombre qui appartient len-semble des nombres rels cest dire :

- la position n 1 on associe le nombre rel 3- la position n 2 on associe le nombre rel 6- la position n 3 on associe le nombre rel 9- la position n 4 on associe le nombre rel 12

On dfini alors une application de

dans

o limage de n peut se noter u n .

Ce rsultat peut tre traduit dans le tableau suivant :n 1 2 3 4

u

n

3 6 9 12Dans le paragraphe suivant nous allons dfinir dune manire rigoureuse la notion de suite.

Suite numrique

Soit a , soit Ia n , n a cest dire lensemble de tous les entiers naturels partirde lentier naturel a.

Une suite numrique est une fonction u dfinie de Ia dans soitu : Ia

n u n NotationCompte tenu de cette dfinition, il faudrait utiliser une notation du type u 0 , u 1 , u 2 . . . . .pour dsigner les images de u, mais on prfre la notation en indice uo, u1, u2, . . . . . . .un

un sappelle terme de la suite.Remarques

La notation fonctionnelle u peut tre remplac par lcriture

un ou un a .Une suite tant une application, il est lgitime de dfinir une suite comme on dfinit une application savoir : u n f

n

o f

n

, est une fonction de n, mais nous verrons dans le paragraphe suivant que ce nest pas systmatique.En effet il existe une autre manire de dfinir une suite.

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ath-Per

form

ance


Mode explicite dune suite

Le terme gnral de la suite est exprim en fonction de n, un f n

Exemples et reprsentations graphiques

un

n 1

n; un n

2; un 1

n; un 1

n; un 1

n 3

Reprsentation graphique de un n2

Puisquune suite est une fonction, on peut obtenir sa re-prsentation graphique. Cherchons la reprsentation gra-phique de un n

2 savoir, la reprsentation graphique

deu :

n

n2

La reprsentation graphique de u se dduit de celle def :

x x2en ne reprsentant que les points dont

les abscisses sont entires.

1

1 2

Mode rcurrent dune suiteUne suite rcurrente est dfinie par la donne de son premier terme et dun procd qui permet

de dterminer un terme en fonction des autres.

un

1 f un u0

Exemples et reprsentations graphiques

un 1 un 1u0 3

un 1 2 unu0 3

un 1

1

2

un 2

un

u0 3

2

Reprsentation graphique de

un

1 1 1

un

u0 1

2

Soit f

x

1

1x

alors un 1 f un

On reprsente u0 1

2sur laxe des abscisses.

On reprsente u1 f u0 sur laxe des ordonnes, en uti-lisant la courbe

f.Pour reprsenter u2 il convient de ramener u1 sur laxe desabscisses en utilisant la fonction y x, il suffit ensuite dedterminer limage de u1 par f en utilisant la courbe f.f

u1 u2 se retrouve alors sur laxe des ordonnes.On ramne u2 sur laxe des abcisses et ensuite on cherchelimage de u2 par f on obtient u3, etc

y 1

1

x

y x

u0

u1

u1

u2

u2

u3

u3

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ath-Per

form

ance


Suite arithmtique et gomtrique

Suite arithmtique

On appelle suite arithmtique de premier terme u0 et de raison r la suite

un 1 un ru0

Si u est une suite arithmtique de premier terme u0 et de raison r alors un u0 nr

Si u est une suite arithmtique alors pour tout n

p, un

up

n

p

ren particulier un u1 n 1 r

Soit u une suite arithmtique, alors

1er terme dernier terme

u0 u1 ......... un n 1 u0 un

2

nombre de termes

Suite gomtrique

On appelle suite gomtrique de premier terme u0 et de raison q la suite

un 1 qunu0

Si u est une suite gomtrique de premier terme u0 et de raison q alors un u0q

n

Si u est une suite gomtrique alors pour tout n

p, un upq n p

en particulier un u1qn 1

Soit u une suite gomtrique de raison q et de premier terme u0, alors

u0 u1 ......... un u01

q n 1

1

q

1er terme nombre de termes

2. Raisonnement par rcurrence

Principe

Considrons une proposition dpendant dun entier naturel n, que lon nomme P n . Le raison-nement par rcurrence permet de dmontrer que P n est vraie:

Etape 1: On vrifie que la proposition est vraie pour un entier n0

Etape 2: On suppose que la proposition est vraie pour un entier n n0On dmontre que la proposition est vraie pour lentier n 1(Si ltape 2 est vrifie, on dit que

P n est hrditaire.)Conclusion: La proposition est vraie ds que n n0.

Exemple 1

Soit

un 1

1

4un 3

u0 1Montrez que un 4

Etape 1: La proposition est vrifee pour n

0 car u0 4Etape 2: Supposons un 4, montrons que un

1 4.

Daprs lhypoyhse de rcurrence un 4 alors 14

un 1 et donc 14

un 3 1 3

On obtient donc1

4un 3 4 soit un

1 4. Conclusion: un 4 pour tout n

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ath-Per

form

ance


Exemple 2

Soit la proposition P

n

: "2n est suprieur ou gal n2"Faisons une dmonstration par rcurrence sur lentier n;Etape 1: P

4

est vraie car 24

16 et 42

16 (on remarque que P

3

est fausse).

Etape 2 : On suppose que 2n n2. Dmontrons que 2n 1

n 1

2:

2n

n2 donc 2n 1

2n2. Comparons 2n2 et

n

1

2.

2n2

n 1

2

n2 2n 1. Cest un polynme de degr 2 qui admet deux racines : 1

2 et 1

2

Si n 1

2 et en particulier si n 4 alors n2 2n 1 0 et donc 2n2 n 1 2 0 soit 2n2 n 1 2.Ainsi, pour tout n 4, 2n 1 2n2

n 1

2

Conclusion P(n) est vraie pour n 4.

3. Terminologie relative aux proprits dune suite

DfinitionsLa suite (un est dite croissante (respectivement strictement croissante) si n , un un 1

(respectivement un

un

1)La suite (un est dite dcroissante (respectivement strictement dcroissante) si n ,

un un 1 (respectivement un un 1)

La suite un est dite stationnaire si n un

1 un

La suite un est dite majore sil existe un rel M tel que: n un M

La suite un est dite minore sil existe un rel m tel que : n un m

Une suite qui est la fois majore et minore est dite borne.

Exemple

Soit un 2n avec n

La suite un est termes strictement positifsun 1

un

2n

1

2n 2 et donc un 1

un 1

On en dduit que un 1 un et donc que un est strictement croissante.

Certaines suites ne sont ni croissantes ni dcroissantes, par exemple, un 1 n.

ThormesToute suite croissante et majore converge.Toute suite dcroissante et minore converge.Soit

un une suite dfinie par un 1 f un alors si un converge de limite l et si f est continuealors l est solution de l f l

Exemple

Considrons la suite suivante:

un

1

un

u0 1

4

Montrons par rcurrence que un 1.

La proposition est vraie pour n

0, u 0 1 car1

4

1.

Supposons la proposition vraie lordre n soit un 1 alors

un

1 soit un

1 1Ainsi la proposition est vraie lordre n

1. Conclusion

n

un 1.

Montrons par rcurrence que

un est strictement croissante.

u1

u0

1

4

1

2ainsi u1 u0 la proposition est vrifie au rang n 0

On suppose que la proposition est vraie lordre n alors un

1 un ainsi

un

1

un soit un

2 un

1

La proposition est donc vrifie lordre n

1. Conclusion

n

un

1 unLa suite un est donc strictement croissante. un est donc majore croissante, donc un est convergente.Sa limite L, verifie L

L soit L2

L cest dire L

L

1

0 soit L

0 ou L

1.

Or L

0 est exclu puisque

un est strictement croissante un u0 soit un 1

4donc L

1.

24


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ath-Per

form

ance


4. Suites adjacentes

DfinitionDeux suites un et vn sont adjacentes si lune est croissante et lautre dcroissante et si

limn

un vn 0

Exemples

Soit un 1 1

net vn 1

1

n

un 1 un 1

1

n

1 1

1

n

1

n

n

1

un 1 un 0 donc un est croissante.

vn

1 vn 1 1

n 1 1

1

n

1

n n 1 vn

1 vn 0 donc vn est dcroissante.

De plus un vn 1 1

n

1

1

n

2

nor lim

n

2

n

0 ainsi limn

un vn 0

Il en rsulte donc

un et vn sont adjacentes.

Posons f x 12

x 1

Soit

vn

1 1

2vn 1 f vn

v0 5alors v1 3,5 v2 2,75 v3 2,375

Soit

un 1

1

2un 1 f un

u0 0,5alors u1 1,25 u2 1,625 u3 1,8125

y

x

y

1

2 x

1

u0 u1 u2 v0v1v2

Montrons par rcurrence que un est croissante et que vn est dcroissante:u1 u0, on suppose un

1 un alors f un

1 f un soit un

2 un

1 ainsi un est croissante.v0 v1, on suppose vn vn

1 alors f vn f vn

1 soit vn

1 vn

2 ainsi vn est dcroissante.

De plus un

1 vn

1 1

2

un vn ainsi un vn est une suite gomtrique de raison1

2donc lim

n

un vn 0

Il en rsulte donc que un et vn sont deux suites adjacentes.

ThormeSi deux suites

un et vn sont adjacentes avec un croissante et vn dcroissante alors

Pour tout n un

vn

Les deux suites

un et vn convergent et ont mme limite L

Pour tout n un L vn

DmonstrationMontrons que un vnSoit wn vn un alors wn

1 wn vn 1 vn un 1 un daprs le sens de variation de

un et vn wn

1 wn 0, donc wn est dcroissante.Soit n fixe alors pour tout p

n, w n wp or limp

wp 0 donc wn 0 soit un vn

Montrons que

un et vn convergent et ont la mme limite.On a u0 u1 ........un vn .............v1 v0

1. un v0 un est croissante et major par v0 donc un est convergente de limite u

2. vn u0 vn est dcroissante et minor par u0 donc vn est convergente de limite v

3. Pour tout n

un

un

vn

vnlim

n

un vn 0 et limn

vn v et limn

un u alors u 0 v soit u v

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ath-Per

form

ance


Application

Encadrement de par la mthode darchimde

La mthode darchimde permet dencadrer par deux suites adjacentes qui convergent vers

Encadrement dun nombre rel 10 n prs

On peut encadrer un nombre rel x par deux suites adjacentes qui convergent vers x.

Nous rappelons que E x est la partie entire de x.

La suite dn E

10nx

10ndonne une valeur dcimale approche par dfaut de x 10 n prs.

La suite en 1 E 10nx

10ndonne une valeur dcimale approche par exces de x 10 n prs.

dn et en sont deux suites adjacentes qui convergent vers x.

26


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ath-Per

form

ance


Chapitre 7

Intgration

1. Intgrale

DfinitionSoit f une fonction continue et positive. On considre la courbe reprsentative

de f dans un

repre

O,

OI,

OJ

. Laire du domaine situ sous la courbe, entre les droites dquation x

a,

x b et laxe des abscisses est appel intgrale de a b de f not b

af x dx . Cette aire est

exprime en unit daire, lunit daire tant gale laire du paralllogramme de ct

OI

et

OJ

.

Exemple

Lintgrale 3

1

x 2 2 2dx est reprsente par

laire ci contre

0

J

I

ConventionSi f est continue et ngative sur

a,b

alors lintegrale de a b est gale laire du domaine situsous la courbe, entre les droites dquation x

a, x

b et laxe des abscisses, auquel on affecteun signe moins. On parlera alors daire algbrique. Soit f une fonction continue sur

a,b

alorslintgrale de a b est gale la somme des aires algbriques dfinies sur les intervalles o f

x

garde un signe constant.

Exemple

reprsente la courbe reprsentative dune fonction f

impaire. Alors 3

3f

x

dx 0 car la somme alg-

brique des aires sous la courbe est nulle.0

J

I

27


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ath-Per

form

ance


DfinitionSoit f une fonction continue dfinie sur un intervalle

a,b

a b alors le nombre rel

1

b a

b

af

x

dx est appel valeur moyenne de la fonction f sur

a,b

.

Proprits

Linarit b

a f g x dx

b

af x dx

b

ag x dx

Pour tout rel : b

af x dx

b

af x dx

Positivit

Si pour tout x

a,b

f x 0 alors b

af x dx 0

Si pour tout x

a,b

f x 0 alors b

af x dx 0

Ordre

Si pour tout x

a,b

f x g x alors b

af x dx

b

ag x dx

Relation de ChaslesPour tout rel c

a,b

alors

b

af

x

dx

c

af

x

dx

b

cf

x

dx

Ingalit de la moyenne

Soient m et M deux nombres rels tels que pour tout x

a,b

, m f x M

alors m 1

b a

b

af x dx M

Exemple

Soit x

1

e; e

alors ln1

e ln x ln e soit 1 ln x 1

En appliquant lingalit de la moyenne on obtient

1

1

e

1

e

e

1e

ln xdx

1

donc 1

e

e2 1

e

1e

ln xdx 1

2. Application

Aire du domaine compris entre deux courbes

Soient f et g deux fonctions continues et po-sitives de courbes reprsentatives respectives

f et g telles que f x g x alors laire dudomaine compris entre ces deux courbes, lesdroites dquation x a et x b avec a b

est b

a

f

g

x

dx .

Dans lexemple ci contre laire hachur est 4

0 f g x dx.

0

J

I

g

f

28


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ath-Per

form

ance


MthodeSoit f une fonction dont on cherche une primitve.La mthode consiste rapprocher f des formules du tableau des primitives. Il convient souventde transformer f pour faire apparatre clairement la formule du tableau que lon souhaite utiliser.

Exemples

Une primitive de x6 est

x7

7(de la forme xn)

Une primitive de 2x

3 x2

3x 5 8 est

x2 3x 5 9

9(de la forme u un)

Une primitive de

ln t

t

1

t

ln t estln2 t

2(de la forme u un)

Une primitive de

sin x

cos x

sin x

cos xest

ln cos x (de la formeu

u)

Une primitive de

7

2x 3 6

7

2

2

2x 3 6est

7

2

1

5 2x 3 5(de la forme

u

un)

3. Intgrales et primitivesThorme

Si f est continue sur un intervalle I et si a est un point de I, la fonction F telle que

F x x

af t dt est lunique primitive de f sur I sannulant en a.

DmonstrationDans le cas gnral ce thorme est admis.Faisons une dmonstration dans le cas particulier o f est continue et croissante sur ISoit x0 I et h 0 tel que x0 h I alors

F

x0 h F x0 x0 h

0

f

t

dt

x0

0

f

t

dt

x0 h

0

f

t

dt

0

x0

f

t

dt

x0 h

x0

f

t

dt

f est croissante

t

x0 ; x0 h f x0 f t f x0 h alors

daprs lingalit de la moyenne, f

x0 1

h

x0 h

x0f

t

dt

f

x0 h

On obtient donc f

x0 F

x0 h F x0

h

f

x0 h

Or f est continue en x0 alors limh 0h 0

f x0 h f x0 et donc par application du thorme des gendarmes:

limh

0h

0

F

x0 h F x0

h

f

x0 .

Une dmonstration analogue avec h 0 donne lim

h 0h 0

F

x0 h F x0

h

f

x0

Ainsi limh 0

F

x0

h

F

x0

h f x0 soit F

x0 f x0

DfinitionSoit f une fonction continue sur un intervalle I, a et b deux nombres rels de Ialors:

b

af x dx F b F a o F est une primitive de f sur I.

On notera b

af x dx

F x

ba

30


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ath-Per

form

ance


4. Intgration par partie

ThormeSoient u et v deux fonctions drivables sur Iet soient u et v leurs drives respectives supposes

continues alors pour tous nombres rels a et b de I b

au t v t dt

u t v t

ba

b

au t v t dt

Dmonstration

uv

t

u

t

v

t

u

t

v

t

alors b

a

uv

t

dt

b

au

t

v

t

u

t

v

t

dt.

La linarit de lintgrale donne: b

a

uv

t

dt

b

au

t

v

t

dt

b

au

t

v

t

dt

uv

t

ba

b

au

t

v

t

dt

b

au

t

v

t

dt

Exemples

Dterminer

1

0x.exdx

Posonsu

x

x u

x

1v

x

ex v

x

ex

alors 1

0x.exdx

x.ex

10

1

0exdx

e

ex

10

e

e

1

1

Dterminer

e

1ln xdx

Posonsu x ln x u x

1

xv

x 1 v x x

alors e

1ln xdx

x ln x

e1

e

1x.

1

xdx

x ln x

e1

e

11dx

x ln x

e1 x

e1

e ln e

1 . l n 1

e

1

1

Dterminer

e

1x ln xdx

Posonsu

x

ln x u

x

1

x

v x x v x x2

2alors

e

1x. ln xdx

ln x.x2

2

e

1

e

1

x2

2.

1

xdx

e2

2

1

2

e

1xdx

e2

2

1

2

x2

2

e

1

e2

2

12

e2

2

12

1

4

1

e2

31


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ath-Per

form

ance


Chapitre 9

Equation diffrentielle

1. Equation diffrentielle

DfinitionsOn appelle quation diffrentielle linaire du premier ordre lquationa

t

y

t

b

t

y

t

0 (1)o a : I

b : I

sont deux fonctions continues dfinies sur I avec a

t

0 y : I

estune fonction inconnue que nous nous proposons de dterminer.Rsoudre (1) cest trouver toutes les applications y : I

telles que

a

t

y

t

b

t

y

t

0Par convention dcriture on remplace y

t

, y

t

par y , y.Il existe une unique solution de cette quation diffrentielle vrifiant la condition initiale y

avec et

Exemple

y

ky est une quation diffrentielle linaire du premier ordre.

2. Equation diffrentielle du type y ay b

Rsolution de y

ay

b

Soient a et b deux lments de avec a 0

Les solutions de lquation diffrentielle y

ay b sont les fonctions

yk x keax

b

aavec k

DmonstrationConsidrons lquation y

ay

b

E

On montre facilement que yk verifie y

ay

b.Rciproquement supposons que f vrifie y

ay

b alors f

a f

b

Posons u

a f

b alors f

u

a

b

a. On a alors f

u

a.

Ainsi f solution de

E

est quivalent f

a f

b

u

a

u

u

au;

Et donc f solution de

E

u solution de y

ay

E

avec u

a f

b.Posons v

x

u

x

e ax alors v

x

e ax

u

x

au

x

0 car u vrifie

E

ainsi v x 0 donc v x c avec c et donc u x e ax c soit u x ceax

et donc u a f b ceax a f x b soit f x c

aeax

b

a ke ax

b

aen posant k

c

ak

Exemple

Rsoudre y

3y

2

E

et dterminer la solution f telle que f

1

0

Les solutions de cette quation sont les fonctions yk x ke 3x

2

3avec k

On dtermine k tel que yk 1 0 ke3

2

3 0 ke3

2

3soit k

2

3e 3

La solution f de E telle que f 1 est f x 2

3e 3e 3x

2

3

2

3e 3x 3

2

3.

32


33/52


34/52M

ath-Per

form

ance


2. Rsolution dans dune quation du second degr

Proprit

Soit az2 bz c 0 avec a , b , c et a 0, une quation du second degr coefficientdans

.Soit

b2 4ac le discriminant associ lquation.

Si

0 alors lquation admet deux solutions distinctes relles:

z1

b

2aet z2

b

2a

Si

0 alors lquation admet une unique solution relle:

z1 b

2a

Si

0 alors lquation admet deux solutions distinctes complexes:

z1 b i

2aet z2

b i

2a

ExempleLquation suivante: z2 z 1 0 admet pour discriminant 12

4

1

1

3.

Lquation admet deux solutions dans

, z1

1 i

3

2et z2

1

i

3

2.

3. Argument dun nombre complexe

DfinitionA tout nombre complexe z

a

ib on associe un point M du plan appel image de z:

z a ib M a,b A tout point M

a,b

du plan on associe un nombre complexe z

a

ib appel affixe de z, onnotera M

z

laffixe du point M de z:

M a,b z a ib

Soit A za et B zb alors zb za est appell affixe du vecteur

AB

Remarque

Soit z a ib un nombre complexe alors son image est le point

M a,b dans le repre O,

i ,

j . Or en utilisant la trigonomtrie nousavons a

OM .coset b OM .sinde plus le thorme de pytha-

gore montre que O M

a2

b2.En remplaant alors dans z

a

ib, nous obtenonsz OM .cos OM .sini OM cos sin i

a2 b2 cos i sin z

cos i sin

i

j

O

M

a

b

34


35/52M

ath-Per

form

ance


DfinitionOn appelle argument du nombre complexe z a ib (z 0) et on note arg z langle dfinie

(2) modulo prs par

cos

a

z

sin b

z

Pour dterminer on pourra saider dun cercle trigonomtrique.

Exemple

Dterminer largument de z

1

i:z

12

12

2 alors, on cherche tel que

cos 1

2

sin 1

2

Nous obtenons alors

4 2k k ,

Dterminer largument de z

3

i:z

32

1

2

2 alors, on cherche tel que

cos

3

2

sin

1

2

Nous obtenons alors

6

2k k

Dfinition

Soit z un nombre complexe non nul alors il scrit z

z

cos

i sin

.

Cette criture sappelle forme trigonomtrique du nombre complexe z

Proprits

On suppose que z 0 et z 0

arg z.z arg z arg z

arg zn n.arg z , pour tout n appartenant

arg

1

z

arg z

arg

z

z

arg

z

arg

z

Proprits

On suppose que z 0

arg z argz

Si k 0 arg kz argz

Si k

0 arg

kz

argz

z rel

argz

k k

z imaginaire pur argz

2 k k

35


36/52M

ath-Per

form

ance


4. Notation exponentielle

Dfinition

Soit f la fonction

cos

i sin

alors nous verifions que pour tous rels et

, f

f f

On admet que la fonction f est drivable de drive f

sin

i coson obtient alorsf 0 i

Par analogie avec la fonction exponentielle , on crit alors: ei cos i sin

Soit z

tel que argz

2

etz

r alors z

r

cos

i sin

rei

Lcriture rei sappelle forme exponentielle de z

Proprits

ei.ei

ei

ei

ei ei

ei n ein

ei

e iei

1 arg

ei

Exemples

ei 1 ei0 1 e

i

2

i

Proprit

Soit

un cercle de centre

daffixe et de rayon r. SoitM un point daffixe z.M ; tel que z rei I

I est appel quation paramtrique complexe du cercle .

5. Nombre complexe et gomtrie

Proprits

Soient A, B, C trois points daffixes respectives a, b, c dans un repre O; i; j

AB a pour affixe b

a

AB

b

a

i;

AB arg b a

AB,

AC arg

c

a

b

a

Exemples

M z , z 2 i 4 M z , z 2 i 4 M ,AM 4 ,avec A

2; 1 , est le cercle de centre A et de rayon 4.

M

z

z

2

z

i

M

z

z

2

z

i

M

AM

BM

avec

mdiatrice de

AB

avec A

2; 0

et B

0;

1

M z

arg z

1

i

4

M z

arg z

1 i

4

M

z

i;

A M

4

avec A

1; 1

,

est la demi droite dorigine A 1,1 (A exclu) tel que i;

A M

4

.

36


37/52M

ath-Per

form

ance


Proprits

Soient A, B, C, D quatre points non confondus daffixes respectives a, b, c, d.

A, B, C sont aligns si

AB,

AC

k soit arg

c

a

b

a

k k

AB

AC

si

AB,

AC

2

k soit arg

c

a

b

a

2

k k

A, B, C, D sont cocycliques (appartient un mme cercle) si

CA ,

CB

DA,

DB k,

soit arg

b

c

a

c

arg

b

d

a

d

k k

Exemples

Les resultats suivants ne sont pas connatre mais il est important de savoir les retrouver:

Soit

un cercle de centre C daffixe c et de rayon r alors

M

z

z

c . z c r2

Soient A et B daffixes respectives a et b, soit

la mdiatrice de

AB

M

z

AB

priv de A et B

z

a

z

b

M

z

z

a

z

b

Soient A, B, C, D quatre points daffixes respectives a, b, c, d1) Si ABC est un triangle isocle en A alors

c

a

b

a

2) Si A, B, C, D sont distincts, non aligns et cocycliques alors

c

a

d

b

d

a

c

b

6. Nombres complexes et transformation gomtrique

Proprits

Translation

Soitu un vecteur daffixe a

Lapplication

M

z

M

z

telle que, z z a est une translation de vecteur u

daffixe a

Homothtie

Soit un point du plan daffixe , kun nombre rel diffrent de 0

Lapplication

M

z

M

z

telle que, z k z est une homothtie de

centre

et de rapport k

RotationSoit

un point du plan daffixe , un nombre rel.

Lapplication

M

z

M

z

telle que, z ei z est une rotation de centre

et dangle

37


38/52M

ath-Per

form

ance


Dmonstration

1) Soit t une translation de vecteur u daffixe a. Soit M z limage de M z par t alors

MM u cest direz

z

a soit z

z

a

2) Soit h une homothtie de centre

et de rapport k

. Soit M

z

limage de M

z

par h alors

M

k

Mcest dire z

k z

3) Soit r une rotation de centre et dangle . Soit M z limage de M z par r alors si M M

M;

M

cest dire arg

z

z

2

(i)

M

M cest direz

z

z

z

1 (ii)

daprs (i) et (ii)z

z

ei soit z ei z

38


39/52M

ath-Per

form

ance


Chapitre 11

Produit scalaire dans lespace

1. Rappel: Produit scalaire dans le plan

DfinitionSoient

u et

v deux vecteursOn appelle produit scalaire des vecteurs u et v, le nombre rel not u . v tel que:

u . v

u

.

v

.cos u, v si u 0 et v 0

u . v 0 si u 0 ou v 0

On note

u2

u.

u

Proprits

Soient

le plan muni dun repre O, i,j . Soient A, B, C trois points du plan.

AB.

AC AH.AC si

AH et

AC sont dans le mmesens o Hest le projet orthogonal de B sur A,

AC .

A C H

B

AB.

AC AH.AC si

AH et

AC sont en sens oppo-

ss o Hest le projet orthogonal de B sur A,

AC .

CAH

B

Si dans le repre

O; i; j

,

AB a pour coordonne

x; y

et

AC a pour coordonne

x ; y

alors

AB.

AC x.x y.y

Proprits

Proprits gnrales

u . v

v . u

u . v w u . v u . w

u .

v

u . v

(

)

u v 2 u2 2u. v v2

u

v

2

u2

2

u.

v

v2

u v . u v u2 v2

Orthogonalit

Nous rappelons que deux vecteursu

OA et v

OB sont orthogonaux signifie:

soit

u

0 ou

v

0, soit

OA

est perpendiculaire

OB

u et v sont othogonaux si u . v

0

Thorme dAl-KashiABC est un triangle tel que AB c, AC b, BC a, alors on a:a2

b2

c2

2bc cos A

Thorme de la mdiane

A et B sont deux points et Iest le milieu du segment AB

Pour tout point M, MA2 MB2 2MI2 1

2AB2

39


40/52M

ath-Per

form

ance


Application

Distance dun point une droite:

Soit

le plan muni dun repre O, i,j . Soit

la droite dquationax by c 0 (a et b non tous les deux nuls). Soit A le point decoordonne

x,y

. On appelle distance de A

la distance AH o

Hest le projet orthogonal de A sur

alors AH axA byA c

a2 b2

A

H

Droite et produit scalaire:La droite d passant par A et de vecteur normal n est lensemble des points M du plan tels que

MA .

n 0

Cercle et produit scalaire:

Le cercle de diamtre AB est lensemble des points M du plan tels que

MA .

MB 0

2. Produit scalaire dans lespace

DfinitionSoient

u et v deux vecteurs de lespace.

Soit A un point de lespace alors il existe deux points B et C tels que u

AB et v

ACil existe alors au moins un plan

contenant les points A, B, C.

On appelle produit scalaire deu et v le produit scalaire de u et v dans le plan

Dans un repre orthonormal de lespace

O; i; j; k

, si

u et

v ont pour coordonnes respectives

x; y; z

et

x ; y ; z

alors

u.

v

xx

yy

zz

Proprits

u . v v . u

u .

v

w

u . v

u . w

u . v u . v ( )

3. Orthogonalit dans lespace

Rappel

est orthogonal un plan

, si

est orthogonal deux droites scantes dans ce plan.

Si

est orthogonal

alors toute droite de

est orthogonal

Proprits

Deux droites de lespace de vecteurs directeurs

respectifs u et v sont orthogonales si u. v 0

Une droite

de vecteur directeur u est perpen-

diculaire un plan

sil existe deux vecteurs i etj de non colinaires tels que u. i u.j 0

d

u

i j

Un vecteur

n non nul est normale un plan

si toute droite de vecteur directeur

n est perpen-diculaire

Soit A un point de lespace et

n un vecteur de lespace. Lensemble des points M de lespace

vrifiant

AM .

n

0 est un plan

passant par A et de vecteur normal

n.

Deux plan

et

de vecteurs normaux respectifs

n et

n

sont perpendiculaires si

n.

n

0

40


41/52M

ath-Per

form

ance


Applications

Equation cartsienne dun plan dans un repre orthonormal, vecteur normal un plan

Soit E lespace muni dun repre orthonormalTout plan de lespace ayant un vecteur normal

n de coordonnes

a; b; c

admet une quationcartsienne de la forme: ax

by

cz

d

0 et rciproquement toute quation de la forme ax

by

cz

d

0 est lquation dun plan de lespace de vecteur normal

n

a; b; c

Expression de la distance dun point un plan

Soit E lespace muni dun repre orthonormalSoit ax by cz d 0 lquation dunplan

de lespace, soit A de coordonnes

xA,yA,zA alors la distance de A est gale

axA byA czA d

a2 b2 c2

A

d

H

Inquation dfinissant un demi espace

Lensemble des points M de lespace vrifiant ax

by

cz

d

0 et lensemble des points Mde lespace verifiant ax

by

cz

d

0 forment deux demi espaces admettant pour frontire le

plan dquation ax by cz d 0

Exemples

Soit

le plan dquation x

y

3

0 alors un vecteur normal

est

n

1;

1; 0

Soit

dquation x

y

z 2 0

Dterminer une inquation du demi-espace ouvert de frontire , contenant le point A 0; 1; 1

On dtermine la valeur de x

y z 2 avec x 0; y 1; z 1: 0

1 1 2 3, alors une inquationdu demi-espace ouvert de frontire

, contenant le point A

0 ; 1 ; 1 est x y z 2 0

Soit

le plan dquation x

y

0 alors la distance du point A

1; 1; 1

est

d 1 1 1 1

12

12

2

2

2

Soient A

2; 0; 0

; B

0; 3; 0

et C

0; 0; 3

trois points de lespace.Dterminer la distance de C

AB

On dtermine dabord une quation du plan

passant par C et orthogonal

AB

Soit H lintersection de

AB

et

alors la distance de C

AB

est CH

41


42/52M

ath-Per

form

ance


Chapitre 12

Droites et plans de lespace

1. Rappels

Dfinitions

DroiteOn appelle droite d passant par A et de vecteur directeur u lensemble des points M de lespace

tel quil existe t vrifiant

AM tu

SegmentOn appelle segment

AB

lensemble des points M de lespace tel quil existe t

0; 1

vrifiant

AM t

AB

PlanOn appelle plan

passant par A et de vecteurs directeurs u et v lensemble des points M de

lespace tel quil existe et vrifiant

AM u v

BarycentreSoit

A1;1 ; A2;2 ; ......; An;n un systme de points pondrs tel que1 2 ........... n 0 alors il existe un unique point G tel que

1

GA1 2

GA2 .............. n

GAn 0G est appel barycentre des points pondrs

A1;1 ; A2;2 ; ......; An;n

2. Caractrisation barycentrique

Dfinition

La droite

AB

est lensemble des barycentres des points A et B.

Le segment AB est lensemble des barycentres des points A et B affects des coefficients de

mme signe.

Le plan ABC est lensemble des barycentres des points A, B, C.

Lintrieur du triangle ABC est lensemble des barycentres des points A, B, C affects des coef-ficients de mme signe.

Dmonstration

Cas de la droite: Soit M

AB

alors il existe t tel que

AM

t

AB soit

AM

t

AM

MB

soit encore

1

t

AM

t

BM

0 M est donc le barycentre des points pondrs

A;

1

t

et

B; t

Rciproquement: Si M est le barycentre de A et B alors il existe des nombres rels a et b avec a

b

0 tels que:

aAM

bB M 0 soit

AM b

a

b

AB et le point M appartient la droite AB

3. Intersection de plans et de droites

DfinitionReprsentation paramtrique dune droite

Soit

lespace muni dun repre O; i; j; k

Soit A xA; yA; zA un point de et u a; b; c un vecteur non nul.Considrons D passant par A et de vecteur directeur u alors

M x; y; z sil existe un rel t tel que

AM tu soit

x xA tay

y

A

tbz zA tc

soit

S

x xA tay

yA

tbz zA tc

Ce systme est appel reprsentation paramtrique de la droite

, t est le paramtre de cettereprsentation.

42


43/52M

ath-Per

form

ance


Reprsentation paramtrique dun plan

Soit

lespace muni dun repre O; i; j; k

Soit A

xA; yA; zA un point de u a; b; c un vecteur non nul et v a ; b ; c un vecteur non nul, non colinaire u,Le plan passant par A et de vecteur directeur

u et

v est lensemble des points

M

x; y; z

tel quil existe deux rel et vrifiant

AM

u

v soit

x

xA a a

y yA b b

z

zA c c

soit S

x

xA a a

y yA b b

z

zA c c

Ce systme est appel reprsentation paramtrique du plan

.

Intersection de deux plans

et

sont strictement parallles: leur inter-section est lensemble vide.

et

sont scants suivant d: leur intersec-tion est une droite.

d

et

sont confondus : leur intersection estun plan.

Le problme peut se traiter de manire algbrique:Soit

et

deux plans dquations respectives :ax by cz d 0 et a x by c z d 0Ltude de lintersection de et revient rsoudre le systme:

ax

by

cz

d

0a x

b y

c z

d

0

Exemple

Dterminer lintersection des plans

et

dquation x

y

2 et z

0

Soit M

x; y; z un point de de alors ses coordonnes verifient:

x

y 2

z 0

x 2 yy

yz

0

Lintersection de

et

est une droite passant par A 2 ; 0 ; 0 et de vecteur directeur u 1 ; 1 ; 0

43


44/52M

ath-Per

form

ance


Intersection dune droite et dun plan.

d est strictement parrallle : Leur intersec-tion est lensemble vide.

et d sont scants: Leur intersection est un

point.

d est contenue dans

: Leur intersection estune droite.

Le problme peut se traiter de manire algbrique:Soit

un plan dquation ax by cz d 0 et d une droite

Si la droite d est dfinie par une reprsentation cartsienne de la forme:

a x b y c z d 0a x b y c z d 0

Ltude de lintersection de

et d revient rsoudre le systme:

ax by cz d 0a x by c z d 0a x b y c z d 0

Si la droite d est dfinie par une reprsentation paramtrique de la forme:

x

xA tay

yA tbz

zA tc

Ltude de lintersection de

et d revient rsoudre le systme:

ax by cz d 0x xA tay yA tbz zA tc

44


45/52M

ath-Per

form

ance


Exemple

On considre:

:

x t 2y

2t 1z

t 1

: x y z 6 0 : x y z 6 0 et : x y z 4 0

Dterminer lintersection de

et

revient rsoudre le systme:

x t 2y 2t 1z

t 1

x

y

z

6

0

x t 2y 2t 1z

t 1

t

2

2t

1

t

1

6

0

x t 2y 2t 1z

t 1

4t

4

x

3y

1z

2

donc lintersection de

et

est un point M de coordonnes 3; 1; 2 .


et


x

t

2y

2t 1z

t 1

x

y

z

6

0

x

t

2y

2t 1z

t 1

t

2

2t

1

t

1

6

0

x

t

2y

2t 1z

t 1

0t

10

0

La dernire quation nadmet pas de solution donc lintersection de

et

est lensemble vide.


et


x t 2y

2t 1z

t

1

x

y

z

4

0

x t 2y

2t 1z

t

1

t

2

2t

1

t

1

4

0

x t 2y

2t 1z

t

10t

0

La dernire quation est vraie pour t

donc lintersection de

et

est la droite

Intersection de trois plans

Les trois plans sont strictement parallles: leur intersection est lensemble vide.Deux plans sont strictement parallles et le troisime les coupent suivant deux droites: leur inter-section est lensemble vide.

Deux plans sont scants suivant une droite d et le troisime est strictement parallle d: leurintersection est lensemble vide.Deux plans sont scants selon une droite d et la troisime coupe d en un point A: leur intersectionest un point.Les trois plans ont une droite d en commun: leur intersection est une droite.Les trois plans sont confondus: leur intersection est un plan.

Traitons le problme de manire algbrique:Soient trois plans

,

,

dquations respectivesax

by

cz

d

0 et a x

b y

c z

d

0 et a x

b y

c z

d

0 alors

ltude de lintersection des trois plans revient rsoudre le systme:

ax by cz d 0a x b y c z d 0a x b y c z d 0

Exemple

Dterminer lintersection des trois plans suivants

: x 0 : x y 1 : z 2Dterminer lintersection de ces trois plans revient rsoudre le systme

x

0

x

y 1

z 2

x

0y

1z

2ainsi lintersection des trois plans est le point A

0 ; 1 ; 2

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46/52M

ath-Per

form

ance


Chapitre 13

Conditionnement et indpendance

1. Rappels

DfinitionsLangage des ensembles:Soit E un ensemble, A et B deux sous ensembles de E

A B est lensemble des lments de E commun A et B

A

B est lensemble des lments de E qui appartiennent soit A, soit B

A est lensemble des lments de E qui nappartiennent pas A

Card

A

est le nombre dlments de A

DfinitionsLangage des probabilits

Exprience alatoire ou ventualit: Une exprience alatoire ou ventualit est une exp-rience dont le rsultat est leffet du hasard.

Exemple : Le jet dun d est une ventualit

Univers : Lunivers est lensemble (not

de tous les rsultats possibles dune expriencealatoire

Exemple : Pour le jet dun d ={1; 2; 3; 4; 5; 6}

Evnement: Un vnement est une partie de

Exemple : Pour le jet dun d, soit A lvnement obtenir un chiffre divisible par 3 alors A={3; 6}

Evnement lmentaire: On appelle vnement lmentaire tout singleton de

Exemple : Pour le jet dun d, 3 et 6 sont des vnements lmentaires.

Evnement contraire: On appelle vnement contraire dun vnement A, la partie com-plmentaire de A dans

, not A.

Exemple : Pour le jet dun d, si A

2; 4; 6

alors A

1; 3; 5

Evnements incompatibles: Deux vnements A et B sont incompatibles, si A B

Exemple : Pour le jet dun d, A

1; 4; 6

et B

2; 3

sont incompatibles

DfinitionProbabilit

Soit un univers Uayant n lments: U

a1 ; a2;....; an

Dfinir une probabilit sur U, cest associer chaque ai (Pour i variant de 1 n ) un rel positifpi tels que: p1 p2 .... pn 1.On dit alors que la probabilit de lvnement lmentaire ai est pi.

La probabilit dun vnement A est la somme des probabilits des vnements lmentairesinclus dans A. Si A

a1 ; a2; a3 alors p A p a1 p a2 p a3 p1 p2 p3

46


47/52M

ath-Per

form

ance


Proprit

La probabilit est un nombre compris entre 0 et 1

Lorsque les n vnements lmentaires ai dun univers U sont quiprobables, alors

p

ai 1

npour chaque i 1 i n

Si lvnement A est compos de p ventualits, alors

p

A

p

n

CardA

CardU

nombre de cas f avorable

nombre de cas possible

p

0

p U 1

p

A

1

p

A

p A B p A p B p A B

Remarque

Si A et B sont deux vnements incompatibles (cad A

B

) alorsp

A

B

p

A

p

B

DfinitionsVariable alatoire discrteSoit

lunivers dune exprience alatoire .On appelle variable alatoire discrte toute application de

dans une partie finie de

Evnement

X

xi Une variable alatoire discrte prend donc un nombre fini de valeurs distinctes que lon convientdordonner dans le sens croissant x1 x2 . . . . . . . . . xnPour tout entier i

n lensemble des lments de

tel que X

xi est un vnement de

que lon note X=xi.Loi de probabilitLorsqu chaque valeur ai (avec 1 i n) prise par une variable alatoire X on associe laprobabilit pi de lvnement X ai on dit que lon dfinit la loi de probabilit de X.Esprance, Variance, Ecart typeEsprance: E

X xi.p X xi

Variance: Var

X

E

X2

E

X

2 x2i .p X xi E X

2

Ecart type: X

VarX

Remarques

Lcriture X

xi nest pas une galit ordinaire mais une notation propre aux probabilits.Calculer P

X

xi revient chercher le sous ensemble de qui contient les issues qui ont pour image xi par X

Exemple

On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. Lunivers est lensemble des 32 cartes. On dfinit la variablealatoire X : Tirer un as rapporte 10 , tirer une figure rapporte 1 , tirer une autre carte ne rapporte rienLes valeurs prises par la variable alatoire sont 0; 1; 10 cest dire X(

={0; 1; 10}. On a alors{X=10}= {as de

; as de

; as de

; as de

}

{X=1}= {toutes les figures}{X=0}= {toutes les cartes exceptes les as et les figures}

p

X

1

12

32p

X

0

16

32p

X

10

4

32On prsente le rsultat dans un tableau

xi 0 1 10

p

X

xi 1

2

3

8

1

8

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form

ance


2. Probabilit conditionnelle

IntroductionOn considre un jeu de 54 cartes : - 13

- 13

- 13

- 13

- 2 jokers

Soit A lvnement obtenir un as Soit B lvnement obtenir un cur

Calculons la probabilit de A sur lunivers des 54 cartes : sa probabilit est4

54. On note alors

P A 454

227

Calculons la probabilit de A sur un univers qui se restreint lensemble des curs alors sa

probabilit est1

13on note alors PB A

1

13on a en fait calculer la probabilit de A sur un

univers qui se rduit lensemble des curs, on dit " probabilit de A sachant que B est ralis".On constate que P

A

PB A . On dit alors que les vnements A et B ne sont pas indpendants.(Lvnement B a une influence sur lvnement A)

De plus on a P A B 1

54et P B

13

54on vrifie alors sans peine que PB A

P A B

P B

On considre un jeu de 52 cartes: - 13

- 13

- 13

- 13

Aprs calcul on obtient P A 4

52

1

13

et PB A 1

13

On constate que P A PB A

(La proportion des as dans lensemble des 52 cartes est la mme que la proportion des as danslensemble des curs). On dit que les vnements A et B sont indpendants (B na pas dinfluencesur la ralisation de A)

Dfinitions

Probabilit conditionnelle: PB A

P A B

P

B

Evnements indpendants: A et B sont indpendants si P

A

B

P

A

P

B

Partition: Soit un univers. Les vnements (A1,.....An) forment une partition de si

- La runion de ces vnements est gale

, - Ces vnements sont incompatibles Formule des probabilits totales: Soit (A1,.....An) une partition de alors pour tout vnement

B de , P B P A1 .PA1 B P A2 .PA2 B .............. P An .PAn B

Exemple

Le personnel dune entreprise est compos de 70% de femmes, 10% dentre elles boivent du caf ainsi que 20 % deshommes. Quelle est la proportion des consommateurs de caf dans lentreprise?Soit F lvnement tre une femme, Soit C lvnement boire du caf

Larbre pondr associ est:

C

F

C

C

P F

0,7

PF C 0,1

P F 0,3

PF

C 0,2

F

C FEMMES (F) HOMMES (F)

C

On remarque que C C F C F .Il sagit dune runion dvnements incompatibles alors nous avons

P C P C F P C F P F PF C P F PF C 0,7 0,1 0,3 0,2

0,13

La proportion des consommateur de caf est donc 13%

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Chapitre 14

Loi de probabilit

1. CombinaisonDefinition

Factorielle

On appelle factorielle n et on note n! le produit des n premiers entiers.

Ainsi n! 1 2 .... n Par convention 0! 1.

Combinaison

Soit

un ensemble constitu de n lments, on appelle combinaison de p lments parmin toute partie de ayant p lments.

Le nombre de combinaison de

est

n

p

n!

p!

n

p

!

et se lit p parmi n

Exemples

Le nombre de tierc de 10 chevaux dans le dsordre est

103

Le nombre de combinaison au loto est

496

Le nombre de manire de placer p objets identiques dans n cases est

np

Proprits

n

p

n

1

p 1

n

1

p

n

p

n

n p

a b n n

i 1

ni a

n ibi

2. Lois discrtes

Dfinition

Loi uniforme

Soit Xune variable alatoire prenant n valeurs x1, x2,..........xn

La loi PX dfinie par PX xi 1n pour i 1,...,n est appel loi uniforme

Loi de Bernoulli

Une preuve de bernouilli est une preuve ayant deux issues possibles appels Succs etEchec. Soit X la variable alatoire qui au succs associe 1 avec une probabilit p, et qui lchec associe 0 avec une probabilit 1

p. Xest appel variable alatoire de bernoulli de

paramtre p de loi PX dfinie par PX 1 p PX 0 1 p

Esprance: E X p Variance: V X p 1 p

Loi binomiale

Une exprience est rpte n fois de manire indpendante avec deux issues possibles pourlexprience: S et S o la probabilit dobtenir S est gale p.

La loi de la variable alatoire Xgale au nombre de S est appel loi binomiale de paramtres

n et p dfinie par:P X k

nk

pk 1

p n k

k

0,....,n

.

Esperance: E

X

np Variance: V

X

np

1

p

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Exemples

Considrons une urne contenant 5 jetons blancs et 10 jetons noires. Le jeu consiste tirer 20 fois avec remise. Quel estla probabilit dobtenir 8 jetons blancs. Un tirage est une preuve de bernouilli ayant deux issues possibles S Obtenirun jeton blanc et E " Obtenir un jeton noir"

p

S

p

5

15

1

3et p

E

1

p

2

3On rpte 20 fois lpreuve de manire indpendante. Soit X la variable alatoire gale au nombre de jetons blancs.

Alors P

X

8

208

1

3

8 2

3

12

3. Lois continues

Dfinition

Densit de probabilit

On appelle fonction densit de probabilit toute fonction f continue positive dfinie sur un

intervalle I a,b de ou I a; vrifiant:

Si I

a; b

b

af

x

dx

1

Si I a;

limt

t

af x dx 1

Loi de probabilit

La loi de probabilit P de densit f prenant ses valeurs dans un intervalle Iest dfinie par

Si I

a; b

Pour tout intervalle

,

a,b

P

,

f

x

dx

Si I a; Pour tout intervalle

,

a,

P

,

f x dx

Po

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