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COURS DE LOG IQUE MATHEMAT IQUE

2 E M E ANN E E L F I G

S Y L L A B U S , P L A N D U C O U R S & T R A V A U X D I R I G E S

T . M E L L A H

I-SYLLABUS 2

II-PLANDUCOURS 3

III-TRAVAUXDIRIGES 4

TDN°1-THEORIENAÏVEDESENSEMBLES 4TDN°2-LOGIQUEPROPOSITIONNELLE 5TDN°3-VALIDITED’ARGUMENTETDEMONSTRATIONDEFORMULES 7TDN°4-LOGIQUEDESPREDICATS 8

III-TRAVAILARENDRE 10PARTIEI:RECHERCHE 10PARTIEII:DEVOIRDEMAISON 10

IV-SUPPLEMENTS:EXAMENS 11

V-ANNEXE 14

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I-SYLLABUS

Objectifgénéral

L’objectif principal de ce cours est de connaître les notions de base de la logique et les

notions mathématiques utiles pour la conception d’algorithmes et le développement de

programmes.

Organisationmodule

Cemoduleestrépartien21hdecourset21hdetravauxdirigés.Parailleurs,ilnécessitede

lapartd’unétudiantassiduuntravailpersonnelde25hauminimum.

Prérequis

Commetoutcoursintroductif,aucunprérequisn’estexigé.

Evaluation

Cemoduleestsoumisaurégimemixte.Decefait, lamoyennedel’étudiantseracomptée

commesuit:test&TAF10%,devoirsurveillé20%etExamenfinal70%

Ledevoirsurveilléauralieulasemainedu07Novembre2016

L’examenfinalsedéroulerapendantlasessiondeJanvier2017

Références&ressources

Je vous invite à puiser dans les ressources pédagogiques disponibles gratuitement sur la

toile. Je vous suggère en particulier d’utiliser lemanuel de Kenneth H. Rosen « Discrete

mathematics and its applications» Seventh Edition 2012; ainsi que le site

www.mhhe.com/rosen où plusieurs exercices d’application sont disponibles, ainsi que des

exercicesinteractifs;

Par ailleurs, l’apprentissage est un processus personnel, je vous encourage notamment à

vous inscrireaucoursde« Introductionto logic»disponible, for free,sur lesiteCoursera

https://www.coursera.org/learn/logic-introduction

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II-PLANDUCOURS

ThéorieNaïvedesensembles

Notionsdebase

Règlesdefonctionnement

Opérationsurlesensembles,Algèbred’ensemble,dualité

Représentationgraphique(DiagrammedeVenn)

Argument;Inductionmathématique

LogiquePropositionnelle

Objetdelalogique

Fondements(propositions,connecteurs,variablesetformespropositionnelles)

Opérations logiques sur les propositions (connecteurs table de vérité, règles de

formation,loislogiques)

Démonstration de formules(Logique des tables de vérité, Théorie de

démonstration;TabledeBeth)

Logiquedesprédicats

Introduction

Syntaxedelalogiquedesprédicats

Théoriedevaliditéencalculdeprédicats

Déduction

Résolution

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III-TRAVAUXDIRIGES

TDN°1-THEORIENAÏVEDESENSEMBLES

ExerciceI:

1. Quelssontlesensembleségaux{r,t,s};{s,t,r,s},{t,s,t,r},{s,r,s,t}2. Indiquerlesensemblesfinisparmiceuxquisuivent:

A={lessaisons};B={lesétatsdesUSA};C={lesnombresentierspositifsinférieursà1};D={lesnombresentiersimpaires};E={lesnombresentierspositifsdiviseursde12};F={leschiensvivantsenTunisie}

3. Donnerlalistedesensemblessuivants:A={x:x∈IN,3<x<12};B={x:x∈IN,xestpair,x<15};C={x:x∈IN,4+x=3

ExerciceII:

1. DémontrerqueA={2,3,4,5}n’estpasunsous-ensembledeB={x:x∈IN,xestpair}

2. SoitA={{1,2,3},{4,5},{6,7,8}}a- QuelssontlesélémentsdeA?b- Diresilesrelationssuivantessontvraiesoufausses

1∈A;{1,2,3}⊂A;{6,7,8}∈A;{{4,5}}⊂A;∅∉A;∅⊂A

ExerciceIII

OnsupposequeU={1,2,3,…,9}etA={1,2,3,4,5};B={4,5,6,7};C={5,6,7,8,9};

D{1,3,5,7,9};E={2,4,6,8};F={1,5,9}

Trouver:A∩(B∪E);(A∩D)B;(AE)c;(B∩F)∪(C∩E)

ExerciceIV

1. SachantqueAetBsontdesensemblesetUestl’univers,écrireleséquationsdualesdeséquationssuivantes(A∪B)∩(A∪Bc)=A∪∅;(A∩U)∪(B∩A)=A

2. Démontrerque(U∩A)∪(B∩A)=A

ExerciceV

SurlediagrammedeVenndelafigureci-après,ombrerlesensemblessuivants

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A∩B∩C;A∪(B∩C);Ac∪B∪C;Ac∩Bc∩C;Ac∩(B∪C)

𝐴 ∖ ( 𝐵 ∪ 𝐶 ) ;(𝐴 ∪ 𝐵) ∖ 𝐶 ;(𝐴! ∩ 𝐵) ∖ 𝐶

TDN°2-LOGIQUEPROPOSITIONNELLE

ExerciceI

EnnotantP,QetRlestroisaffirmationssuivantes:

P=«Pierrefaitdesmaths»

Q=«PierrefaitdelaChimie»

R=«Pierrefaitdel’Anglais»

Représenterlesaffirmationsquisuiventsousformesymbolique,àl’aidedeslettresP,Q,Retlesconnecteursusuels

1. «Pierrefaitdesmathsetdel’AnglaismaispasdeChimie»2. «PierrefaitdesMathsetdelaChimiemaispasàlafoisdelachimieetdel’Anglais»3. «IlestfauxquePierrefassedel’AnglaissansfairedeMaths»4. «IlestfauxquePierrenefassepasdesMathsetfassequandmêmedelachimie»5. «IlestfauxquePierrefassedel’AnglaisoudelachimiesansfairedesMaths»6. «PierrenefaitniAnglaisnichimiemaisilfaitdesMaths»

ExerciceII

LeprofesseurLeblondparlaitavecsonassistantLebrunetl’étudiantLeroux:

- Vousremarquerezquel’und’entrenousestblond,quel’autreestbrunetletroisièmeroux,ditceluiquialescheveuxbruns.Etpourtantaucund’entrenousn’aunnomquicorrespondàlacouleurdesescheveux!Amusant,non?

U

A

21

B

C

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6

- Tuasraison,ditleprofesseur.

Dequellecouleursontlescheveuxdel’assistant?

ExerciceIII

Déterminerlatabledevéritédechacunedesformesobtenuesàpartirde¬P∨Q∧¬R

ExerciceIV

SoitfuneformuledépendantdetroisatomesP,QRquipossèdedeuxpropriétés:

• f(P,Q,R)estvraiesiP,QetRsonttouteslestroisvraies• lavaleurdevéritédef(P,Q,R)changequandcelled’uneseuledestroisvariables

change

Construirelatabledevéritédefetdétermineruneformulepossiblepourf.

ExerciceV

1. Construirelatabledevéritédechacunedespropositionssuivantesetconclurequantàleurnature:

• P∨¬(P∧Q)• (P∧Q)∧¬(P∨Q)

2. Montrerque• ladisjonctionestdistributiveparrapportàlaconjonction:

P∨(Q∧R)≡(P∨Q)∧(P∨R)• l’opérationdedisjonctionpeutêtreécriteenfonctiondes

opérationsdeconjonctionetdenégation:P∨Q≡¬(¬P∧¬Q)3. DémontrerlesloisdeMorgan:

• ¬(P∧Q)≡¬P∨¬Q• ¬(P∨Q)≡¬P∧¬Q

4. Montrerque• «PimpliqueQetQimpliqueP»estlogiquementéquivalentà«Psi

etseulementsiQ»• P↔Qpeutêtreécriteàl’aidedestroisconnecteurs∧,∨et¬.

ExerciceVI

1. OnintroduitlesymbolebarredeScheffer«⏐»ouencore«barred’incompatibilité»,endéfinissantP⏐Qpar:PetQsontincompatibles–c’estàdire,PetQnepeuventpasêtrevraiesenmêmetemps-Donnersatabledevéritéetdémontrerquececonnecteursuffitàdéfinirtouslesautres.

2. Montrerquetouslesconnecteursdelalogiqueproportionnellesontdéfinissablesàpartirdesseulsconnecteurs:→et¬

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TDN°3-VALIDITED’ARGUMENTETDEMONSTRATIONDEFORMULES

ExerciceI

• DémontrersanstabledevéritéqueP↔(P↔Q)≡Q• SoitVlaconstante«vrai»etFlaconstante«faux»,vérifierégalement(sanstable

devérité)queP→F≡¬PV→P≡P

ExerciceII

Testerlavaliditédel’argumentsuivant:

Sij’étudie,alorsjen’échoueraipasenmathématiques

Sijenejouepasaubasketball,alorsj’étudierai

Maisj’aiéchouéenmathématiques

Donc,jejoueaubasketball.

ExerciceIII

Indiquersilesargumentationssuivantessontcorrectes:

1. DeP,P→qjedéduisR2. DeP∨Q,P→R,Q→R,jedéduisR3. DeP→Q,P→¬Q,P∨RjedéduisR4. DeP→Q,P→¬Q,PjedéduisR5. DeP→Q,¬P→¬QjedéduisP↔Q

ExerciceIV

Formaliserlesénoncéssuivantsendégageantlesconnecteurslogiques

(A) Silemeurtreaeulieulanuitsanstémoin,alorsPierreestl’assassin(B) Silemeurtreaeulieusanstémoinalorsilaeulieulanuit(C) Silemeurtreaeulieulanuit,alorsilaeulieusanstémoin(D) Lemeurtreaeulieulanuitousanstémoin(E) Pierreestl’assassin

Peut-ondéduire(E)deshypothèses(A),(B),(C),(D)

ExerciceV

Onsupposequel’onalesrèglesetfaitssuivants:

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• SiPierreratesontournoialorsPierreseradéprimé• S’ilfaitbeaualorsPierreiraàlapiscine• SiPierrenevapasàlapiscineilseradéprimé• Alapiscine,Pierrenes’entraînepas.• Pierreraterasontournois’ilnes’entrainepas.

1. Modéliserl’énoncéàl’aidedeformulesdelalogiquepropositionnelle2. ProuverquePierreseradépriméàl’aided’unepreuveendéductionnaturelle.Onpourra

utiliserletiersexclusousformedel’axiomeΓ⏐⎯P∨¬P

ExerciceVI

Démontrerque1. {P→ (¬Q↔(R∨S)),¬S}⏐⎯(P∧¬Q)→R2. ⏐⎯P→((P→Q)→((Q→M)→M))

ExerciceVII

IndiquerparlaméthodedetabledeBethsilesformulessuivantessontvalidesounon:

1. P→(Q→P∧Q)2. (A→B)∧(B→C)→(A→C)

TDN°4-LOGIQUEDESPREDICATS

ExerciceI

Traduirelesénoncéssuivantsenlogiquedesprédicats:

1. Chaquepersonneaimequelqu’unetpersonnen’aimetoutlemonde,oubienquelqu’unaimetoutlemondeetquelqu’unn’aimepersonne.

2. Ilyadesgensquel’onpeutroulertoutletempsetquelquefoisonpeutroulertoutlemonde,maisonnepeutpasroulertoutlemondechaquefois.

ExerciceII

Traduireenfrançaislesformulessuivantes:

1. ∀𝑥 𝐸 𝑥 → ∃𝑦 𝐶 𝑦 ∧ ∃𝑧 𝑀 𝑧 ∧ 𝑇 𝑥, 𝑦, 𝑧

avecE(x):xestunétudiant,C(y):yestuncours,M(z):zestunmauvaisenseignant,T(x,y,z):xsuitlecoursyenseignéparz.

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2. ∀𝑥∀𝑦∀𝑧 𝑇 𝑥 ∧ 𝐶 𝑦, 𝑥 ∧ 𝐶 𝑤, 𝑥 ∧ 𝐷 𝑦, 𝑧 ∧ 𝐷 𝑦,𝑤 →

𝐺 𝑓 𝑔 𝑦 ,𝑔 𝑧 ,𝑔 𝑤

avecT(x):xestuntriangle,C(x,y):yestlecotédex,D(x,y):xestdifférentdey,G(x,y):xestunplusgrandquey,f(x,y):sommedexetdey,g(x):longueurdex.

ExerciceIII

Onsupposeque(a,b,c)prennesesvaleursdansununiversdediscoursquiestunepartiedeIR3tellequeb2-4ac>0;quelleestlavaleurdevéritédespropositionssuivantes:

1. ∀𝑎∀𝑏∀𝑐∃𝑥 𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 2. ∃𝑥 ∀𝑎∀𝑏∀𝑐 𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

ExerciceIV

Onconsidèrelelangagecomposéde{a,b:constantes,f:symbolefonctionnel,P:symbole

deprédicat}

• ledomaine𝐷 = { 1,2}

• l’interprétation𝐼définie:

𝐼 𝑎 = 1, 𝐼 𝑏 = 2

𝐼 𝑓 1 = 2, 𝐼 𝑓 2 = 1

𝐼 𝑃(2,1) = 0, 𝐼 𝑃(2,2) = 0, 𝐼 𝑃(1,2) = 1, 𝐼 𝑃(1,1) = 1

Etablirlavaleurdevéritédesformulessuivantes:

1. 𝐼(𝑃(𝑏, 𝑓 𝑏 )

2. 𝐼(𝑃(𝑎, 𝑓 𝑎 )

3. 𝐼(∀𝑥∀𝑦𝑃 𝑦, 𝑥 )

4. 𝐼 ∀𝑥∀𝑦𝑃 𝑦, 𝑥 → 𝑃(𝑓 𝑥 , 𝑓 𝑦 )

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III-TRAVAILARENDRE

PARTIEI:RECHERCHE

Présenterunerevuedeserreursderaisonnement,appeléeségalementleserreursdelogique.

PARTIEII:DEVOIRDEMAISON

NB:Cetravailestàremettrelasemainedu26Novembre2016;

QuestionI

Aucoursdel’enquêtedontilestchargé,uncommissairedepoliceeffectueleraisonnementsuivant:

• SiJeann’apasrencontréPierrel’autrenuit,c’estquePierreestlemeurtrierouqueJeanestunmenteur

• SiPierren’estpaslemeurtrier,alorsJeann’apasrencontréPierrel’autrenuitetlecrimeaeulieuaprèsminuit

• Silecrimeaeulieuaprèsminuit,alorsPierreestlemeurtrierouJeanestunmenteur.

IlenconclutquePierreestlemeurtrier.

Sonraisonnementest-ilcorrect?Justifierendéterminantlavaliditédesonargument.

QuestionII

Laformulesuivanteest-elleunetautologie?Justifierenutilisantunraisonnementparl’absurde.

⊢ (𝑃 → 𝑄) ∧ (𝑄 → 𝑅) → 𝑃 → 𝑅

QuestionIII

Prouverlethéorèmesuivant(Onn’utiliserapasleraisonnementparl’absurde)

⊢ (𝐴 ∨ 𝐵) → (¬𝐶 → ¬𝐴) → (𝐶 → 𝐷) → ¬𝐵 → 𝐷

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IV-SUPPLEMENTS:EXAMENS

ExamendeLogiqueMathématique;SessiondeJanvier2016;Durée:2h;

NB: Les questions sont indépendantes et peuvent être traitées séparément dans n’importe quel

ordre.

Question1(Equivalencelogique)

Montrer en utilisant les lois d’algèbre de propositions que la formule:¬(𝑅 ∨ (𝑄 ∧

¬𝑅 → ¬𝑃 )estéquivalenteàlaformule:¬𝑅 ∧ (𝑃 ∨ ¬𝑄).

Question2(Argumentation)

Soitl’énoncésuivant:

«L'utilisateur a contacté l'administrateur réseau, mais il n’a pas entré un mot de passe

valide.

L'accèsestaccordéàchaquefoisquel'utilisateuracontactél'administrateurréseau,ouila

entréunmotdepassevalide.

Donc l’accès sera refusé si l'utilisateurn'apas entréunmotdepasse valide, ou il n'apas

contactél’administrateur.»

Ceraisonnementest-ilvalide?Justifier.

Question3(Démonstrationdeformule)

Prouverquelaformulesuivanteestunthéorèmeenutilisantunedéductionnaturelle:

⊢ (𝑃 ∨ 𝑄) → (¬𝑇 → ¬𝑃) → (𝑇 → 𝑆) → ¬𝑄 → 𝑆

Question4(TabledeBeth)

Est-cequelaformulesuivanteestunthéorème?Justifierenutilisantl’arbredeBeth.

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𝑃 → 𝑆 ∨ 𝑄 → 𝑆 → 𝑃 ∨ 𝑄 → 𝑆

Question5(Formalisme&Théoriedesensembles)

Soientlesaffirmationssuivantes:

A:Lesbébésnesontpaslogiques

B:Onnepeutpasmépriserunepersonnequidresseuncrocodile

C:Lespersonnesillogiquessontméprisables

1-ModéliserenlogiquedeprédicatslesaffirmationsA,BetC.

2- Quelle conclusion peut-on tirer de ces affirmations? Justifier en utilisant le

diagrammedeVenn.

Question6(Formalisme)

Onconsidèrelaformule:∃𝑥 𝑥 > 0 ∧ ∀𝑦 (𝑦 < 0),oùxetysontdesentiers.

1-Donnerlanégationdecetteformule.Justifier.

2-Enoncerenfrançaislaformule,ainsiquesanégation.

ExamendeLogiqueMathématique;SessiondeJuin2016;Durée:2h

NB:Lesquestionssontindépendantesetpeuventêtretraitéesdansn’importequelordre.

Question1(Opérationssurlesformules)

La formule suivante est-elle une tautologie? Justifier en utilisant les lois d’algèbre depropositions.

((𝑃 ∧ ¬(𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ¬𝑅)

Question2(Argumentation)

Dansunemaisonhantée,lesespritssemanifestentsousdeuxformesdifférentes,unchantobscène et un rire sardonique, cependant nous pouvons influencer le comportement en

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jouantdel’orgueouenbrûlantdel’encens.Compte-tenudesdonnéessuivantes:

• Lechantnese faitpasentendre,àmoinsquenous jouionsde l’orguesansque lerirenesefasseentendre.

• Sinousbrûlonsdel’encens,leriresefaitentendresietseulementsilechantsefaitentendre.

• Encemoment,Lechantsefaitentendreetlerireestsilencieux.

etdelaconclusion:

Doncencemomentnousjouonsdel’orgueetnebrûlonspasd’encens;

Prouverqueceraisonnementestcorrect.

Question3(TabledeBeth)

La formule suivante est-elle une tautologie? Justifier en utilisant un raisonnement parl’absurde:

⊢ (𝐴 → 𝐵 → 𝐶 ) → ( 𝐴 ∨ 𝐵 → 𝐶)

Question4(Démonstrationdeformule)

Prouverquelaformulesuivanteestunthéorèmeenutilisantunedéductionnaturelle:

⊢ (𝐴 → 𝐵) ∧ (𝐴 → ¬𝐵) → ¬𝐴

Question5(Formalisme)

ConsidéronslelangageforméparlesconstantesaetfetlesprédicatsGetJ,lessymbolesutilisésontlessenssuivants:

• a:=l’équiped’Allemagne.• f:=l’équipedeFrance.• J(x,y):=xajouéunmatchcontrey.• G(x,y):=xagagnécontrey.

I-Exprimerenlogiquedeprédicatslesassertionssuivantes:

1. L’équipedeFranceagagnéunmatchetenaperduun.2. L’équipedeFranceetl’équiped’Allemagneontfaitmatchnul.3. Uneéquipeagagnétoussesmatchs.4. Aucuneéquipen’aperdutoussesmatchs.

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V-ANNEXE

Axiomes

A1:𝑃 → 𝑄 → 𝑃

A2:(P→ 𝑄) → ( 𝑃 → 𝑄 → 𝑅 → 𝑃 → 𝑅 )

A3:𝑃 → 𝑄 → (𝑃 ∧ 𝑄)

A4:𝑃 ∧ 𝑄→ 𝑃

A5:𝑃 ∧ 𝑄→ 𝑄

A6:𝑃 → 𝑃 ∨ 𝑄

A7:𝑄 → 𝑃 ∨ 𝑄

A8:(𝑃 → 𝑅) → ( 𝑄 → 𝑅 → 𝑃 ∨ 𝑄 → 𝑅 )

A9:¬¬𝑃 → 𝑃

A10: 𝑃 → 𝑄 → 𝑃 → ¬𝑄 → ¬𝑃

A11: 𝑃 → 𝑄 → 𝑄 → 𝑃 → 𝑃 ↔ 𝑄

A12: 𝑃 ↔ 𝑄 → 𝑃 → 𝑄

A13: 𝑃 ↔ 𝑄 → 𝑄 → 𝑃

Règles

• 𝑃,𝑃 → 𝑄 ⊢ 𝑄• 𝑃 → 𝑄,¬𝑄 ⊢ ¬𝑃• ¬(𝑃 ∧ 𝑄,𝑃 ⊢ ¬𝑄• 𝑃 ∨ 𝑄,¬𝑃 ⊢ 𝑄• 𝑃 → 𝑅,𝑄 → 𝑅 ⊢ 𝑃 ∨ 𝑄 → 𝑅• 𝑃 → 𝑄,𝑃 → ¬𝑄 ⊢ ¬𝑃

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Règled’affirmation Règlederéfutation

¬𝐴

𝐴

¬𝐴

𝐴

𝐴 ∨ 𝐵

↙↘

𝐴 𝐵

𝐴 ∨ 𝐵

𝐴

𝐵

𝐴 ∧ 𝐵

𝐴

𝐵

𝐴 ∧ 𝐵

↙↘

𝐴 𝐵

𝐴 → 𝐵

↙↘

𝐴 𝐵

𝐴 → 𝐵

𝐴

𝐵

𝐴 ↔ 𝐵

↙↘

𝐴 𝐴

𝐵 𝐵

𝐴 ↔ 𝐵

↙↘

𝐴 𝐴

𝐵 𝐵