ANNALES SCIENTIFIQUES DE L.N.S.

L. BACHELIERThorie mathmatique du jeuAnnales scientifiques de l.N.S. 3e srie, tome 18 (1901), p. 143-209.

Gauthier-Villars (ditions scientifiques et mdicales Elsevier), 1901, tous droits rservs.Laccs aux archives de la revue Annales scientifiques de l.N.S. (http://www.elsevier.com/locate/ansens), implique laccord avec les conditions gnrales dutilisation(http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systma-tique est constitutive dune infraction pnale. Toute copie ou impression de ce fichierdoit contenir la prsente mention de copyright.

Article numris dans le cadre du programmeNumrisation de documents anciens mathmatiques

http://www.numdam.org/

THORIE MATHMATIQUE DU JEU,PAU M. !.. BACHELIER,

DOCTEUK ES SCKNCf.

N T B O D T J C T I O N .

La thorie (lu jeu constitue encore aujourd'hui la plus belle tude (lucalcul des probabilits, auquel elle a donn naissance. Le calcul desprobabilits, bien que ncessairement abstrait, ne coinporle pas dedilticults insurmontables. Ses progrs toutefois ont t lents et peu dethories inatlimaliques ont donn lieu un aussi grand nombre d'in-l.erprtalions (ii^roni^s.

:l,a thorie du jeu, prsente sous une (ornie irrprochable depuisquelques annes, comportait de nombreuses lacunes que celte tudevieni en partie combler Les problmes rellement importants, ceuxqui, toutes les poques, ont attir l 'attention des gomtres, sont rela-tifs aux preuves rptes; ils constituent l'objet de ce travail.

En le composant, nous nous sommes propos de suivre une voiedirecte, n^li^eant a dessein plusieurs questions intressantes quis'cartaient de notre sujet. La thorie du jeu y est nettement divise entrois problmes dont la solution, jusqu'ici partiellement connue, estentirement tablie.

NOTIONS GNRALES SUR LES PROBABILITS.

L On^p^lkprohabila d'un vnement le rapport du nombre descas favorables l'arrive de cet vnement au nombre total des caspossibles, ! ^ 1 ! ' ^ !

La probabilit d'amener le point quatre, par exemple, avec uo d

l44 L. BACHELEK.

est /r parce que six cas peuvent se prsenter quand le d est jet sur letapis et qu 'un seul est favorable l'arrive du point quatre. La pro-babilit de retourner un roi sur un jeu de 3i cartes est .,: il y a eneffet Sa cas possibles et 4 favorables ; la probabilit est donc =

Cette df in i t ion de k probabilit suppose toujours que les cas sontgalement vraisemblables.

Dans le premier exemple donn ci-dessus, il faudrait se garder dodire : le d peut montrer le point quatre ou il peut montrer un au t rep o i n t : il y a donc deux cas possibles dont un favorable : la probabilitest-- Les deux cas possibles ne sont pas galement vraisemblables.

*^s

La probab i l i t est toujours comprise entre zro et un ; cette dernirevaleur correspond la certi tude,

Dans le langage ordinaire, on dit qu'un vnement a neuf chancessur dix de se produire pour exprimer que sa probabil i t est 0,9.

2. Principe del probabilit totale. Si l'on partage les cas favo-rables l'arrive (F un vnement en diffrenu groupes, la probabilit del'vnement sera la somme des probabilits pour qu^il appartienne chacun des groupes

On additionne en effet des fractions de mme dnominateur en addi-t ionnant les numrateurs.

Le choix des groupes est arbi traire , sous la condition de comprendredans ces groupes tous les cas possibles sans qu^ucun s'y rencontredeux fois.

La probabilit d'amener avec deux ds une somme de points sup-rieure dix est gale l somme des probabilits pour amener T n ou 2 .

La probabilit d'amener le point 2 on le po in t 5 avec deux ds n'estpas reprsente par la probabilit pour amener 2 ajoute la proba-bilit pour amener 5. On peut / en eiet, les amener tous deux; lepoint 2,5 considr une premire fois comme contenant 2 ne doitpas tre compt-une seconde (bis comme contenant 5.

3. Principe de la probabilit compose. Lorsqu'un vnement Edpend du concours de deux autres, E ^ , ll^, et que l'arrive de E^ est subor"

THORIE MATHMATIQUE DU JEU. l45

donne celle de E,, la probabilit de E est gale au produit de la proba-bilit de E, par la probabilit qu'acquiert Ea quand on suppose Ei arriv.

Soit en effet p. le nombre des cas qui peuvent se prsenter quand onattend l 'vnement E; sur ces y. cas, il y en a, par exemple, m favo-rables l'arrive de E^ et, parmi ces m cas, n favorables l 'arrive

ri-; or^

n _ m n

[j. \j. m

de Es, la probabi l i t de E est -; or

m est la probabi l i t de E, et nL est la probabilit qu'acquiert Ea quand

on suppose E, arriv : le pr incipe est donc dmontr.

4. En particulier : Si les vnementsV^, E^ sont indpendants, la pro-babiUt de E sera gale au produit des probabilits de E, et Ea.

Ce p r i n c i p e serait encore vrai dans le cas d 'un vnement composd p e n d a n t de plusieurs vnements E ^ , Ea, E.^...

On a, souvent commis des erreurs en confondant le cas particulierde la probabi l i t compose avec le cas gnral, et en considrant commeindpendantes des probabili ts qui ne l 'taient pas.

5. La probabilit d'un vnement tant p, quelle est la probabilitpour que r vnement ne se produise pas en n preuves.

La probabi l i t pour que l 'vnement ne se produise pas la pre-mire preuve est i p .

La probabi l i t pour qu'il ne se produise ni la premire ni laseconde preuve est gale, d'aprs le principe de la probabilit com-pose, au p rodu i t de la probabilit pour qu'il ne se produise pas lapremire preuve, mult ipl ie par la probabilit pour que, ne s 'tant pasproduit la premire preuve, il ne se produise pas la seconde; c'est--dire est gale (i p)2; etc.

La probabilit pour que l'vnement ne se produise pasen n preuvesest donc (i-p^.

Cette probabilit dcrot constamment lorsque^ crot; la probabilitnn, de l'c. Normale. 3e Srie, Tome XVIII, AVHIL rgoi. ^

l46 T^ BACHELIER.

de l'arrive de l ' vnement f in i t donc par devenir une quasi-cert i tude.6. Dans un jeu de 32 caries, on lire deux cartes au hasard, quelle est

la probabilit de tirer deux rois?Le nombre des cas possibles est le nombre des combinaisons de

32 objets 2 2, c'est--dire : ^ ^; le nombre des cas favorables est celui/ 9

des combinaisons de 4 objets 2 2, c'est--dire ; - ;^ la p robab i l i t / 9

cherche est donc : -3 2.31On peut auss i rsoudre celte ques t i on en employant le pr inc ipe do

la probabilit compose : la probabi l i t pour re tourner deux rois estgale au produi t de la p robabi l i t pour re tourner un roi au premiertirage m u l t i p l i e par la probabilit pour que, ayan t dj retournun roi, on en tourne un second au second tirage. La p robab i l i t de

/ i2tourner deux rois est donc : ^ - : puisque, au second t i rage, i l reste3i cartes dont 3 rois.

Dans les mmes condi t ions , la probabi l i t pour tirer au inoins un roiest gale la probabi l i t pour re tourner un roi au premier tirage, plusla probabil i t pour en amener un au second tirage si, au premier, onn'a pas retourn un roi, c'est donc : ^ l- 4" ^ :.'1

o'.-i 3*2 3i,

7. On mle un grand nombre de jeux de 32 cartes ; quelle est la pro-babilit de tirer quatre cartes noires de suite'?

La probabil i t de tirer une noire e s t n ^ ? le nombre des cartes l a n fsuppos i nd f in i , la probabil i t de t i rer quatre noires (n 4) de suite

, / O Vest : hr "X 3 2 /

Si l'on oprait sur un seul jeu de 32 cartes, la probabi l i t de re-tourner quatre noires serait

6 i5 i4. 332 " 3 7 ' 3 o " ' 9 *

Lorsque le nombre des jeux de cartes est l imi t , la probabilit estcomprise entre ce dernier chiffre et ( - \ "1

^ \6]Supposons que nous puissions jouer galit sur la rouge ou sur

TIIOKTE MATHMATIQUE DU JEU. 4,7la noire, en choisissant la couleur. La premire partie est joue, nousavons retourn une noire ; le nombre (les cartes n'tant pas in f in i , ily aura avantage parier pour la rouge; si la noire passe une secondefois, i l y aura plus forte raison avantage parier pour la rouge, latroisime partie, etc. Nous aurons toujours avantage parier pour lacouleur qui est sortie le moins souvent. Ce fait est gnra lement -b iencompris.

8. Ce qui ne l 'est gnralement pas, c'est q u ' u n tel avantage n 'exis teplus quand le jeu est i den t ique chaque p a r t i e ; i l n 'ex is te ra i t plusdans le jeu prcdent si, aprs chaque partie, on m l a i t a nouveau lescartes aprs avoir remis dans le jeu la carte sortie.

On joue p i l e ou face. Pile est sorti qua t re fois, la c i n q u i m epart ie , i l n'est pas plus avantageux de joue r face que p i l e .

On j o u e a pair ou i m p a i r avec un d. Sept fois de s u i t e le p o i n t ob-t enu est pair ; la prohabilit pour que le po in t s u i v a n t soit pairn 'en est

pas moins "-* " ^Avant de conimencor le jeu, la p robab i l i t pour ob ten i r h u i t fois de(' \8sui te un chiffre pair tai t ^ ) ? mais quand le fa i t s'est p rodu i t sept

(bis, la p robabi l i t pour qu'il se reproduise une fois encore est ^ -

9. L'esprance mathmatique, On appel le esprance mciihrnauqued'un bnfice ventuel le p rodu i t de ce bnfice par la probabilit dele raliser.

L'esprance rnathrnatiqiie est donc ngative lorsqu'el le corresponda une perte.

L3 'esprance mcuhmciucfie totale d 'un joueur sera la somme des pro-dui t s des bnfices ventuels par les probabi l i ts correspondantes.

Il est v ident qu'un joueur n'est ni avantag ni, ls si son esprancemathmat ique totale est n u l l e . On d i t alors que le Jeu ^quitable.

V avantage absolu d 'un j oueu r est gal. la diffrence entre la sommede ses esprances positives et la somme de ses esprances ngatives^l'avantage absolu est donc l'esprance mathmatique totale; c'est lasomme que l'on devrait qui tablement donner au joueur si ,on l'emp-chait de jouer^ lorsque le jeu le favorise.

48 L. BCriELEn.10. L'esprance mathmatique nous i n d i q u e si u n jeu est a v a n t a -

geux ou n o n ; elle nous apprend de plus ce que le jeu doi t l og iquemen tfaire gagner ou faire perdre; mais elle ne donne pas un coefficient re-prsentant , en quelque sorte, la valeur in t r insque du j eu .

Ceci va nous amener i n t rodu i r e une nouvel le n o i i o n , celle deV avantage relatif. Nous appellerons a ins i le rapport de l 'esprancepositive la somme a r i t h m t i q u e des esprances posi t ive et ngat ive .

L'avantage relatif varie, comme la p robab i l i t , de zro u n ; i l estgal ^ quand le jeu est qui tab le .

Nous verrons que si un jeu est dsavantageux, et si l 'on considreun nombre de plus en plus grand de par t ies i d e n t i q u e s , ravanta^erelatif est de plus en plus fa ible et tend vers zro.

11. Application de la notion de l'esprance mathmatique. ~ Lanot ion de l 'esprance mathmat ique permet que lquefo is de dimninerles probabil i ts . On peut ci ter comme exemple ce problme clas-sique :

Deux joueurs font un nombre il limit de parits un jeu do ni leff con-ditions sont quitables; leurs fortunes sontm et n; ^/uellr est, pour c/uicund'eux, la probabilit de ruiner ( f ) l'autre?

Soit P la probabil i t pour que le premier j oueur r u i n e son adver-saire; son esprance posi t ive est Pn, son esprance nga t ive est

( T P ) m . Le jeu est qui table , l'esprance totale est n u l l e , et1 on a

d'o

on aurait de mme

rn -h //,

Les probabilits de gain des joueurs sont propo/lionne/les aux sommesquils jouent,

( r) Pour simplifier lo langage, on dit qu'un joueur est ruin lorsqtl'on veul ^prmwrqu'il a perdu, la somme fcolal qu'il eonsaeraH au jeu,

THORIE MATHMATIQUE DU JEU. lZg912. On tendrai t faci lement ce rsultat au cas de trois joueurs, en

supposant que le jeu se t e rmine lorsque deux d'entre eux sont ruins.Si leurs fortunes sont m, n, r, la probabilit pour que le premierd'entre eux r u i n e les autres est

m

m -{- n 4- r

On traiterait de menue le cas d 'un nombre que lconque de joueurs.13. Les probabilits de r u i n e de deux joueurs q u i j o u e n t i n d f i n i -

ment ensemble sont inversement proport ionnel les aux sommes joues;i l en rsulte que le plus pauvre d'entre eux sera vra isemblablementruin. Celu i q u i joue c o n t i n u e l l e m e n t contre t ou t adversaire qui seprsente se trouve dans les mmes cond i t ions que s'il j oua i t contreun adversaire trs ric'bc; sa ru ine est peu prs certaine. Elle seraitp lus cer ta ine encore si le j eu le dsavantageait .

Nous verrons p lus l o i n q u e si un jeu est avantageux, que lque f a ib l eque soit son avantage, la probabi l i t de ru ine ne tend plus vers l ' un i t lorsque la for tune de l 'adversaire augmente i n d f i n i m e n t .

C e l u i qui j oue qu i t ab lemen t contre tout adversaire qu i se prsentejoue un jeu. dangereux; mais en mme temps que sa probabili t deruine s'approche de la ce r t i tude , le bnfice espr par lui croit ind-f in iment . Il y a p lus ; dans ce cas, la dure moyenne du jeu est i n f i n i e ,comme nous le verrons.

14. Principe relatif la thorie du jeu. Nous appl iquerons en-core la not ion de l'esprance m a t h m a t i q u e la dmonstrat ion d 'unprincipe f o n d a m e n t a l de la thorie du jeu :

Quand on Joue planeurs parties dans des conditions identiques, l'cawi-t'age du jeu est proportionnel ait nombre des parties.

Supposons q u y chaque part ie, on ait la probabil i t p de gagnerla somme a et la probabi l i t q de perdre la somme (3.

L'avantage absolu pour une part ie est la q u a n t i t ap (3 q ;

c'est la somme qu'on devrait qui tablement payer au joueu r pour l'em-

5o L. BACHELER.

pcher de jouer une partie, si le jeu est avantageux pour lu i ; c'est lasomme qu'on devrait lu i verser pour le forcer jouer si le j e u le d-savantage.

Dans ce dernier cas, chaque nouvelle par t ie qu'on le con t ra indra i t jouer on devrait lui verser la mme somme.

On l u i verserait donc une somme propor t ionnel le au nombre despar t i e s ; celle somme reprsentait le dsavantage absolu du j e u , laproposi t ion est a ins i dmontre.

THORIE DES PREUVES RPTES.

15. La probabilit d'un vnement est p, celle de l'vnement contraireest q = i p ; on/au (x prewes dans les mmes condilions. Quelle est laprobabilit pour que le premier vnement se produise nfois, et le second(x n fois?

Cherchons d'abord la probabi l i t pour que les vnements se suc-cdent dans un ordre d termin . D'aprs le p r inc ipe de la p robab i l i t compose (n 4), la probabilit cherche est

pii yp,-/^

Elle est indpendante de l'ordre considr. L'ordre tan t indtcr-inin, la probabi l i t cherche est, en vertu du principe de la proba-b i l i t totale (n 2), la somme d 'autant de termes gaux /^y1^ qif i ly a d 'uni ts d a n s le nombre des permutat ions avec r p t i t i o n den lettres A, et de \L n lettres B; ce nombre est (1 )

__ ^ ! _

n\{\j,n}\', La probabilit demande est donc

^!-p"

THORIE MATHMATIQUE DU JEU, l5 LSi l'on crit

(p -\- 7)^ ===^ 4- y.p\^ q + ^ .^^ . p^ ^ ^ . . . + ^

le premier terme reprsente la probabi l i t pour que rvnement,,dont la probabi l i t est y, ne se prsente pas une seule f o i s ; le deuximereprsente la probabilit pour que cet vnement arrive une fois; let rois ime pour qu ' i l arrive deux fois, etc.

La somme des k premiers termes est la probabil i t pour que cet v-nement arrive au p lus 1 < fois sur p. preuves.

La somme de tous les termes est la p rohab i l i t pour que Fvne-ment se prsente au p lus ;x f o i s ; c'est la c e r t i t ude , et la somme destermes est gale, en effet , l ' u n i t , pu isque p 4- y == i.

16. Probabilit maxima. La probabilit (F un vnement est py ce/lede l'vnement contraire esl q\ on/ait [M preuves dans les mmes condi-tions. Quel es/:, pour chacun des vnements, le nombre d'arrives le plusprobable ?

Le rapport d 'un terme

L:rr/^^n \ ( y . n ) \ 1

au prcdenta fi "' *_ _ ^ v\it'~i /^p.-"-/;,"+"('/r^yr^ n^r T) / 1/

c'est--dire la quantit\j. n 4~ p~~''7i'~'1 " 7 ?

devra, pour le terme maximum, tre p lus ^'rand que un., mais H devradevenir plus peti t que l 'unit si l'on remplace n par n -4- T .

La valeur de n qu i correspond au m a x i m u m doi t donc v r i f i e r lesingalits

tJLZlnlE^,n q^nzi^^i^, ^

l52 L. BACHELIER.

Le nombre entier n, compris entre deux l imi tes dont la diffrencep + y est gale l 'uni t , est donc dtermin, sauf dans le cas ou[J.P + p est en t i e r ; alors [j.p q est aussi entier. Deux termes cons-cut i fs dans le dveloppement de p 4- y y sont gaux entre eux. Onpeu t d i re , en ngligeant la fraction, que p./? est le nombre le plus pro-bable d'arrives pour l 'vnement dont la probabil i t estp; le nombred'arrives le plus probable, pour l 'vnement dont la p robab i l i t est q, est

p.p.p=^/.

La combinaison dont kl probabilit est la plus grande est donc celle,dans laquelle les vnements se produisent en nombre porporlionnel leurprobabilit.

17. Soit/^ la p robab i l i t pour qu 'une certaine quant i t a soit gale a,.

Soit /?2 la probabi l i t pour qu 'une certaine quant i t a solfc gale ( 2 2 "

Soitj^ la probabi l i t pour qu 'une certaine q u a n t i t a soit galea a^

La valeur moyenne de a est, par d f i n i t i o n ,

l^ .^ .l^ .^^^ .^/.^+^-+-* . ,"4-/^

Si, en par t icul ier , p^+ ^ .+pn == r , la valeur moyenne de a estl'esprance mathmat ique d'un joueur qui l'on promett ra i t unesomme gale a.

18. La probabil i t d 'un vnement est /?, on f a i t a preuves iden-tiques, quel le .est la valeur moyenne du. nombre des arrives decet vnement?

D'aprs la dfinition ci-dessus, cette valeur moyenne estx""^ p. ny -_._________ yf ty / X*/A

A/^l(F-rt) l / (r

ou, en considrant/? comme une variable indpendante de q,

P^-^^Pn^n^P^^

THORIE MATHMATIQUE DU JEU. 153c'est--dire

p p ( p 4-/7) t J- l=^^.

La valeur y,p du nombre d'arrives de l'vnement n'est pas seulementla valeur /a plus probable, c'est aussi la valeur moyenne du nombre desarrives de cet vnement.

19. On considre la valeur [L? du nombre d^arrives d 'un vnement,d o n t la p robab i l i t est p corn nie une valeur normale, la plus probablede toutes, et les autres sont df in ies par leur diffrence celle-l.

Cette d i f f r e n c e prend le nom 'cart. Si, par exemple, on f a i tcent preuves pile ou face et que p i le se prsente cinquante-quatrefois , F cart sera qua t re .

Dire que l 'cart est //, c'est dire qu ' i l y a eu \j.p + h cas favorableset [j.(j h cas dfavorables. La p r o b a b i l i t pour que l'cart soit A estdonc (n 15)

n t......,.,.....,.,^ ..,,^ .^ ..J'.'^ ,,.. ..^....,. .^. .^i>^h^i-~l^(^/M-//)! (j^ / / / ) ! / /

La plus grande probabil i t (h ===: o) a pour expressionul

ipV'pq^l .[ j . p \ [ j . ( f \ 1 /

Ces formules n ' exp r imen t pas r igoureusement la probabili t (n 16),mais elles sont trs suff isamment approches.

20. Formule de Stiriing. Le calcul de la factorielle ni devientimpra t icable lorsque n est un peu grand, mais on peut alors remplacercette quan t i t par une autre fac i lement calculable d'aprs une formuleclbre d u e St ir i ing, dont je ne crois pas ut i le de rappeler ladmonst ra t ion .

La fo rmule de Stir i ingn\ := e " " 1 1 n'^^Tin

exprime une galit asymptotique, la diffrence de ses deux membrescrot sans cesse, mais leur rapport tend vers un.

Aim, de i'c, Normale. 3e Srie. Tome XVIH. AVRIL X90 . ^0

l54 L- BACHELIER.

Serret a dmontr les ingali ts suivantes :

n ! > e ft n'^^'K/t,

n \ < e~~'1 n" \/27r n e 1 2 / / ;

elles mon t r en t la grande approx ima t ion fourn ie par la formule de Slir-l i ng . Un exemple numr ique monirera encore Fapprox imat ion fourn iepar cette formule; en supposant , par exemple, que n == 20, on a,

20 ! == '2/i 3 290 2 oo 8 r 7 664. ooo ,

/r-^ao^v^oTr =: 242278688551 o^ooooo,

le rapport des deux nombres est T,oo.4 17.

21. Appliquons la fo rmule de S t i r l ing l 'expression de la p robab i -l i t max ima (n0 16)

^i. //^K,^ p \ y ( f \ 1

(^le dev ien t , en r e m p l a a n t les factoriel lcs par l eur va l eu r approcher ,e - V'^'^^.f^'fj^!

^........ p, // ^ ^ ^ ^ ['/'^/^ T.[J./.> a ^i ( (J. q ) ^ ^ /2 7r/x ^/

ou, en s impl i f i an t , et en remarquan t que/? -+ y : i ,t

\/9

THORIE MATHMATIQUE DU JEU. 1,55^expression ci-dessus la su ivante

V/a"7:^ / ^ .P-/^.-,4 ^ ^//-^-|i + i

\ V - P ) \ [J- 7 ) ,On a, / ^P./'^-^ / , i \ / // ^ A3 \log i + == ^-^ -1- /M- - i 4- - ... ,\ {J/// V 2 / \ P-^ 2p^/^ ^JJ/i/^j /. / > V'7"1'^ / , , \ / h A2 A3 \lo^ i ::::1: ^7 ^ + - "--" ,>- ^.7 --... ;^\ [ J ' ^ l \ ^ / \ ^7 '2/J'/7' ^-Y /

en a d d i t i o n n H i t et en s u p p r i r n a n t les q u a n t i t s ngligeables en vertudos hypothses f a i t e s , on o b t i e n t

[ \s, i , \.. h ~\. 1 \.

56 ' L. BACHELIER.

II faut rappeler que Fon nomme ccirl la diffrence entre le nombredes arrives de l ' vnement et la valeur [j.p qui est la va leur la plusprobable et la valeur moyenne.

Sous si forme cont inue , l 'expression ci-dessus p e u t se d te rminerd i rec tement , et c'est l sa m e i l l e u r e j u s t i f i c a t i o n . Tel le que nousl'avons tablie, son exac t i tude peu t f a i r e na t re q u e l q u e s doutes q u ' i lest u t i le de dissiper, d ' au tan t qu'on a p p l i q u e celte expressionlorsque [j- n'est pas trs grand, et que l le que s o i f c la v a l e u r de //.

24. L'cart le plus probable est x == o, sa p r o b a b i l i t

dcrot p r o p o r t i o n n e l l e m e n t la rac ine carre du nombre des preuves.Cette valeur avait l t rouve p r cdemmen t (n0^!) cl nous la savionstrs approche (n0 30).

La formule a s y m p t o t i q u e f o u r n i t donc la v a l e u r de la p l u s grandeprobabil i t avec une f rs grande app rox ima t ion .

25. Cherchons q u e l l e est: la somme des p r o b a b i l i t s de tous lescarts, c'est--dire

-^z ( (F ^-t'7! ,/.r;V^TT^/^J^

posons -7==^ = A, celte expression devientV^P'M

r"^ ./ c -^Lyrc J^ ^^L

C'est une intgrale classique dont la va l eu r est u n .Ce rsultat n 'tai t ,pas vident , pu isque la f o r m u l e asymplot iquo

n'est qu'approche.

^6. La formule asymptotique accorde une p r o b a b i l i t a des cartsqui , en ralit, n'existent pas. Le nombre des preuves tant y., leplus grand cart possible est (xy ou [j.p suivant que y est supr ieur

THOBIE MATHMATIQUE DU .EU. l5nou i n f r i e u r p. Supposons^

58 L. BACHELIER.

quan t i t s telles que m x^^.^dx, x p r e n a n t toutes les valeursde -~co --hco. La probabil i t de Pcari z en [j^ 4- (.^ preuves est donc

/.-^e h j ^r,!j,(CT5.,r,p.,.^.r.

D'aprs nos notations, la p r o b a b i l i t de cet cart a pour expressionT^ ^ d z ; on doit donc avoir

^

CTs^+p^ ^ = ^ j T./.,;A, ^,[Xr4.|^ ^^f

OU4-^

'^s.(J,i-i"i^ . "^ J .^r,^ , ^,a,.i..iA, ^ 1-J^ 00

Telle est l 'quat ion de cond i t ion l a q u e l l e do i t s a t i s f a i r e la f o n c t i o n CT.

29. On vrifie f a c i l e j m e n t (1) que la f o n c t i o n,""'

OT == ^L';r:::, ^ w s^ll;/V/9.7T^./^/

satisfait b ien l ' quat ion ci-dessus.

30. Enf in , la thorie {irayonnemerU de la probabilit ^ ^vmri d'ob-tenir d i rectement la f o r m u l e prcdente. Cette thorie a t exposea i l l eu r s (2) , je ne crois pas u t i le de la reproduire ic i .

31. En. rsum :La probabilit (F un vnement teint p, Vhypolh&e la plus probable m

faisant [j. preuves identiques correspond au nombre u.p d'armes de cdvnement.

La probabilit d'un cart x, ^esl-'dire la probabilit pour que hnombre d'arrives (le cet vnement soit compris entre u.p -h ^ cl.

( , ) Consulter la Tliorie de la spculation (luis les Annales de l'cole Normale, p. ' i f ;1900.

( ^ ) d., p. 45.

TiEOniE MATHMATIQUE DU JEU- 13C)y./) -h .y 4- ("te est exprime par la formule

\J9^.pqa ^^1 dx.

32. Courbe de probabilit. -- La fonc t ion

J--.i_e"iI^V^T:^/

peut se reprsenter par u n e courbe d o n t l 'ordonne est maxima l 'ori-gine, et: qu i prsente deux po in t s d ' i n f l ex ion pour

33, La p r o b a b i l i t de l 'cart x est une f o n c t i o n de p, e l l e crotj u s q u e u n e certaine v a l e u r de ;x et dcro t ensu i t e . Sa drive parrappor t a a s ' a n n u l e lo r sque x .:= \j\).p(f^ La p robab i l i t de l'cart x estdonc m a x i m a q u a n d cet cart correspond au p o i n t d ' in f lex ion de !acourbe des p robab i l i t s .

31. Probabilit dans un intervalle donn. L'intgrale

0) -.-.:J_^ F' e^^idxV ^ ^ V'I^l ^

n'est pas e x p r i r n a l ) l e en termes f in is , on l ' va lue soit par un dvelop-p(nnenten srie d o n t on. c a l c u l e les termes de proche en proche, soi tpar un dveloppement en fract ion c o n t i n u e .

35. La fonction/-'.y

e )^::::.^ / e^dyV71 ^

tant d ' un usage cont inuel , dans le calcul des probabi l i ts et aussi dansla Phys ique ma thmat ique , on a dit des Tables donnant les valeursde cette f o n c t i o n ; ces Tables sont reproduites la fin de ce Mmoire.

^O L. BACHELKR.Si, dans la formule (i), l'on pose

\/3 [J. p(jelle devient

v/2!r^ . 1 / T \^\'^V^! /

- / e^' cl = - Q { ^2 tAr./ 2 \ ,/o~"'

,- , e-^ cl =: -. B ( - ^ ')-2 v^^o 2 \ v 1 v-p^i )

r6V/(? est l'expression de la probabilit pour que l'cart oit comprisentre zro et .r.

La probabilit pour qu ' i l soit compris entre x semi;

^,^_v^ "Wa^/>

THORIE MTHM.VTIQUE DU JEU. .6l38. La fonction (y) s'approche beaucoup de l 'un i t lorsque j est

supr ieur 3; on a, en effet,0(2) =r30,99,53223,0(2,5) = 0,999.5930,0(3) ==o,9999779.0(3,5)==o,99999935-

La courbe des probabilits, asymptote l'axe des r, s'approchedonc extrmement vite de cet axe ds que y==:2, c'est--dire desque oc = 2 \/2[j./?y.

39. cart moyen. L'carl moyen (n0 17), ou esprance mathma-t ique de celui, qui toucherait une somme gale la valeur absolue del'cart, a pour valeur

^ T i& ,-...,.-...,.".,_._ (. i'^/^^.rA^^Z^_______.,.^-^ r.re'^d.rr^L^e^^ ^w^^J, V^TT^/*/ u

Posons

/2p.pr/l ' Intgrale d e v i e n t

^\I^U.pff r^' ^, ,.. 9.\/^U.nq ^ w \/'2[J.p(/ iVLL./ ^ ^ J = ^ iL^ -. e^ =: ^ iJ, =: o, 79789 v^/^VT /(> \/n " o VTT

V cart moyen est proportionnel la racine carre du nombre despreuves.

40. cart probable. C'est l'cart qui a autant de chances d'tre oude ne pas tre dpass ; sa valeur (n 35) vrifie donc l'quation

1 _ L (^ ( x \ !2 2

" w ^ ^ w y 4 ^on en dduit

= o, 47698

103 L. BACIELEn.

L'cart probable est proportionnel la racine carre du nombre despreuves.

Le rapport de l'cart probable l'cart moyen est o,8463.

41. Plus gnralement, considrons un intervalle ce tel que laprobabilit pour que l'cart soit infrieur x soit gale une quant i tdonne quelconque u; on doit avoir (n 35)

ef\\/2[J.py,

: U,

L'intervalle x est donc proportionnel la racine carre du nombredes preuves.

Les carts de probabilit donne, de mme que l'cart moyen, crois-sant proportionnellement l racine carre du nombre des preuves,dcroissent donc relativement ce dernier nombre. C'est le thorme deJacques BernoullL

PREMIER PROBLME DE LA THORIE DU JEU.

42. tude de la probabilit. La thorie q u i prcde f o u r n i t la solu-tion de ce que nous appellerons le premier problme de la probabi-lit :

On suppose deux joueurs ayant leur disposion une somme indfinie,jouant un nombre dtermine de parties, et rglant les diffrons la fin duy-

Soitp la probabilit pour qu'un desjoueurs gagne chaque partie, etsoit q == i p la probabil i t pour qu' i l perde. Dans l'hypothse la plusprobable, le joueur gagnerait y.p parties et il en perdrait ^

La probabilit pour qu'il se produise un cart gal h, c'est--direpour que le nombre des parties gagnes soit ^p -h h (n 19), est

(p^TJ)^ i^ ^43. Si le nombre des parties est suffisamment grand, la probabilit

THORIE MATHMATIQUE DU JEU 163d'an cart compris entre h et h -4- dh (n0 22) est

/^\/27T^.p('7

e ^i^/dh.

44. La probabilit pour que l'cart soit suprieur A, dans un sensdtermin, est donn par rpression (n 36)

I l 9. ffi^l ^e~" C/.

i i 9- r^2 "" 2 7^02

^/TT

On peut calculer cette probabilit en se servant de la Table qu'ontrouvera la f in du Mmoire.

45. 'V cart moyen (n0 39) a pour valeur i/^-^7 ou o, 79789 \j [^pq'Ucart probable (n0 40), c'est--dire celui qui a .probabilit gale

d'tre ou de ne pas tre dpass, a pour valeur : 0,47693 ^ ^ [ ^ p c / . .Ces carts sont proportionnel$ la racine carre du nombre des parties

jouesIls sont donc de plus en plus faibles relativement au nombre des parties

joues.46. Plus gnralement, si l'on considre un cart ( u) variable,

mais tel que la probabil i t pour que cet cart ne soit pas dpass soitconstante, cet cart est proportionnel la racine carre du nombre desparties joues.

47. tude de l'esprance mathmatique. " La connaissance des pro-babi l i ts est insuffisante pour faire connatre le dsavantage d'un jeu;ce dsavantage dpend en efet des sommes joues.

Supposons que le joueur ait, chaque partie, la probabilit? de ga-Sner la somme a et la probabilit y de perdre la somme ?

L'esprance mathmatique ou avantage absolu (^9) sera, pour unepartie, ^ ! !

w p - ^ q .

l64 L* BACIELER.L'avantage relatif(n 10) sera, pour une part ie,

a/^ ^4-l3y

48. Cherchons quelle est l'esprance correspondant un cart //,en [j. parties.

Si l'cart est A, c'est qu ' i l y a eu ^p 4- h parties gagnes et \L(] hparties perdues; chacune des premires donnant le bnfice a, et cha-cune des dernires la perte j3, le bnfice correspondant l'cart h est

( [j.p 4- h ) a ( [J. q h ) |3 :.-:::: p, ( a p (3 q ) 4" ( a -{-. (3 ) ;en mul t i p l i an t cette quan t i t par la probabi l i t de l'cart h (n 22), onobtient l'esprance mathmat ique cherche ;

| ^ ( ap (3 q ) 4- ( a 4- (3 )1 "F==^^ ^"" w ^ -\]Tt[j,pq

49.-L'esprance mathmat ique totale ou avantage absolu du jeus'obtiendra en intgrant cette expression entre co et 4- ^ ;

i f r4"" - ^ r ' ^ " 1 '.^ - 'r /-4so ... j!i^ /*"^ ( a 4- p ) / ^ 6- i^ /^ rfA 4"- ^ ( oep p

THORIE MATHMATIQUE DU JEU. l65a x le nombre de parties perdues, on aura

v.x j3 ( ^ j. ^ ) = m ;(POU/..^p-^.^--^rrp'

L'cart h est gal [ip x ' , on a donc/, ^,n p.p -^ m _ p. ( a/? ~ (3 ) + m ,A _ ^^ _ -^Tp- - ,c^~(3s

la formule (n 44) donne alors la probabil i t pour que l'cart et, parsuite, la perte m soient dpasss :

(JL'a/p//)4-/

i66 L. BACHELIER.

L'expression de Fesprance positive peut s'crire

TOHIE MATHMATIQUE DU JEU. 167La valeur asymptotique de Fesprance positive d'un jeu avantageux

est gale, lorsque p. est trs grand, la quantit [^(op (y).

54. Nous avons vu que la perte moyenne avait pour expression

p-CP^^p)-A l'cart moyen en plus ou en moins (A = o? 79789 \/p.py) correspondla perte moyenne en plus ou en moins de

(a-4- (3) =0,79789(0 4- (3)\4w.

Ainsi , en rsum:La perte moyenne

^( l3

68 L. BACHELIER.

en [j- parties, il suff i t de faire cep ?y = o dans la formule du n 50;on obtient ainsi

^^L^LJL, r'^^e^dl- r^TT J2 2 ^

OU r F m }$ -^ L ^ J Q == .2 2 L^^lW2^/.,!

57. Dans le cas le plus simple o a = p, p == y === ^ Fesprance po-sitive devient

^A-'.t/-^-V 271:y 271:rcart moyen a pour valeur /-^ ; pour [j. == roo, i l est voisin dequatre.

La probabi l i t pour que la perte soit plus grande que m en [xparliosest

a fa.\l*v' ..a ^ ^ ^ ^ /^a/Si^(p = L _- i -_. / e-A- ^5,a :i

v/TrJo011

i /. / TO =- - . - -- c-'''" en..2 a \5yapi,/58. Si l'enjeu par partie est de x^', a == t , et l'on a s imp lemen t

s=^l^^^^^a 2

v/TrJo

Telle est rexpression de la probabilit pour que la perte soit sup-rieure m la p,1011 partie.

59. Quelques exemples. Supposons que^ pour chaque partie, unjoueur ait une chance sur dix de gagner; il a neuf chances sur dix deperdre.

Il joue i^ par par t ie , et s'il gagne il touche 9^ (son bnfice est

THORK MATHMATIQUE DU JEU. )de 8^ puisque sa mise est de i11'). Dans le jeu considr ( ' ) on a donc

p =:: ? /? ==: "J- ? a == 8, (3 == i.^ 1 0 O

oL'esprance positive pour une partie est ou 80e, l'esprance nga-

t ive est 1- ou 00e.i o t /La perte moyenne pour une partie est donc 10e. L'avantage re la t i f

, . ,S ' ,du jeu est " = 0,47.

60. Supposons m a i n t e n a n t que l'on joue deux pa r t i e s ; la p rohabi -l i t de les gagner toutes deux esfc/r= 5 le bnfice correspondant

Qest O^ La probabi l i t de gagner une partie est 2pq = y^? le bn-fice correspondant est 7^ enf in le joueur a 81 chances sur 100de perdre les deux part ies,

La p robab i l i t totale de russi te est ^ + "^ = -^? elle a doncaugment.

L'esprance posi t ive est-^; 4" "^7 == ^-1,/esprance ngative est^A1., :^ 1 .^ L^sprance totale du leu a donc pour valeur 20^

100 l'OO A . A

L'avantage re la t i f ^ = 0,/iG-j a, comme on voit, d iminu.

61. Si l 'on J o u a i t 5oo part ies, la perte moyenne serait,. . 5oo

^(a/> "- p/7) == y^ = ^ o.

Cette perte moyenne de So^ correspond au gain de 5o parties;l'cart moyen en plus ou en moins correspond. YpS111. La probabil i t degain est 0,20.

L'esprance posit ive est gale 7^ ; c'est contre celte somme que lejoueur pourrai t abandonner sa chance de bnfice.

O) C'est lo jeu do8 poUts chevaux eommuninent pratiqu dans les casinos.Aun. -te i ' c . Normah 3e S-ne. Tome X V I H , - MAI Kjot. . 22

170' - B.VCiELEK.

.L'esprance' ngative est S^.L'avantage du jeu est o, s i.La probabi l i t de raliser un bnfice de quelque importance est trs

faible, le joueur a moins de 6 chances sur 100 de gagner plus de So^.

62. La probabi l i t de russite et l'esprance mathmat ique totalesd 'un jeu varient chaque partie depuis le dbut du j e u Dansl'exemple qui prcde, je suppose que, sur les 200 premires preuves,2.5 aient donn un gain et que, par suite, ces 200 parties aient pro-dui t un bnfice net de 25^

L'esprance totale du jeu de 5oo parties est alors's5 4" [^(^p >q) == 25 3 X o, = y1'.

La probabilit totale de russite, c'est--dire la probabilit de gainau, bout des 5oo parties, est o,,45-

63. Supposons que l'on joue ^oooo parties, la perte moyenne est,^ooo^", avec un cart moyen en plus ou en moins de 4^0^; 1^ proba-b i l i t de gain et l'esprance posit ive sont d 'une excessive petitesse; onn'a que 5 chances sur 100 de perdre moins de 40oor'-

64. Cet exemple sufit pour montrer que le moindre dsavantagedans un jeu rend impossible la longue toute chance de bnfice;il montre aussi que l'on peut prvoir la perte avec une erreur relativedp lus en plus petite.

SECOND PROBLME DE LA THORIE DU JEU.

65. Nous avons suppos deux joueurs ayant leur disposition unesomme indfinie, jouant un nombre de parties convenu, et rglant lafin du jeu les diffrences. C'est le premier problme de la thorie dujeu.

Nous allons aborder maintenant l'tude du second problme : lasomme totale que l'un des joueurs veut risquer au jeu, et que, pour

THORIE MATHMATIQUE DU JEU. n

simplifier, nous appellerons sa fortune, est l imite; la fortune de sonadversaire est suppose inf in ie .

Ces conditions sont ralisables : en effet, jouer contre tout adversairequi se prsente, c'est, en ralit, jouer contre un adversaire de fortuneinf in ie .

Nous dirons, pour simplifier, que le joueur est ruin quand il a perdula somme totale qu'il consacrait au j eu .

Le problme dont nous allons nous occuper peut tre considrcomme actuel lement rsolu; de Moivre en avait trait un cas part icu-lier que Laplace et Lagrange ont prsent sous une autre forme. Cessavants n'ont pas fait usage des formules asymptotiques que Laplaceappliquait la thorie des preuves rptes.

Nous nous occuperons d'abord du cas particulier du jeu quitableet des probabilits gales. Il nous a t possible de simplifier beau-coup l 'tude de ce dernier cas, en sorte qu ' i l constitue aujourd 'hui undes problmes les plus simples du calcul des probabilits.

On trouvera la fin de ce Chapitre l'tude du cas gnral du secondproblme de la thorie du jeu ; cette question, du moins notreconnaissance, n'avait pas t rsolue.

(36, tude (Tin cas particulier. Un joueur A possde m francs; il a,pour chaque partie, probabilit gale de gagner ou de perdre f r; quelleest la probabilit pour qu'il perde ses m francs en jouant au maximumy. parties ?

SoitP la probabilit cherche; dsignons par ^ la probabilit pourque la perte soit suprieure m si l'on jouai t [JL parties, on a

P==2

1:72 L. BACHELIER.

atteinte avant a parties, soit dpasse en [JL parties, c 'ost--dire m u l t i -plie p a r On a donc

^p.

2

67. Cherchons la va leur exacte de $. Si le j oueu r a perdu m f r a n c sA A * 1 ' P- m .. ^ 1 P- ~1- nen (J. parties, c est qu il a gagne i; parties et perdu ';- parties.

La probabili t de cette ventual i t ( i ) est (n 15)_ _ _ ^i_ ^ / iy

^m^ ^ t^^ ^_^! W *

^ ' 2

L'a p robab i l i t ^ est la somme des expressions analogues obtenuesen remplaant m par (m -+- 2), (m -+ 4) " - ? p- On a donc

et, par sui te ,

68. Pour avoir l'expression asymptot ique de P i l suffit de rem-placer $ par sa valeur asymptotique (n0 58)

on a donc

r o //rl^:=1 1 - ~ r '^^a

-

2 ^ \ArJo

M

0 /Vtlp ^ i ^ ^ r e^dl.

/TrJo

C'^ l'expression (Je la probabilit pour que le- Jeu se termine amrU[A parliez.

(1) La letire T?y^,^ ne dsigne pas ici la mme probabilit que prcdomment (n0 ^8),

THORIE MATM.VTIQUE DU JEU. in369. On calcule la p robab i l i t

m

?-,_-? f^-^A-i @( m \A - .1 ..... g Ce- 1 t"? j _==: |v^o W2^/

en employant les Tables de la fonc t ion qui. se t r o u v e n t la fsn duMmoire.

70. Nous allons retrouver les mmes formules en employant, dansle problme par t icul ier que nous t u d i o n s , la mthode qu i condui t las o l u t i o n du. problme gnral. Ce dernier problme prsente que lquec o m p l i c a t i o n ; c'est pourquoi nous avons cru devoir traiter sparmentun cas par t i cu l ie r .

71. Probabilit pour que le jeu se termine par une partie indiqued'avance. Un. joueur A. possde m francs, il a pour chaque partie [sro-habilit gale de gagner ou de perdre ^; quelle est la probabilit pourqu/il perde ses m franfif prcisment aprs awir fait [x parties, dtelles or le que la [j.1^^ parde lui enlve son dernier franc?

Ri le j oueu r a perdu m f rancs en [JL parties, c'est qu'i l a gagna m. .. , a 4- m . , , , .,. , ,j pi r l os et perdu part ies ; la probabil i t de cette ven-t u a l i t est (n I5)

,^ fLYT7;' (A, ii - p. "h m. [i m. , \ ^ ^

2 * 2 *

Cet t e p r o h a b i l i t est plus grande que celle que nous cherchons, elleest relat ive toutes les sries de parties amenant la r u i n e du joueu r Aen p, coups, nous devons en retrancher celles qu i auraient amen sar u i n ( a va n t 1 e [x"'"16 co u p.

Nous a l l o n s donc chercher, parmi les sries qui. aura ien t produi t laperte m en y. coups, celles qui. auraient produi t cette perte avantle y}^' coup.

Considrons u n e , srie qu i au r a i t p rodui t la ruine (c'est--dire laperte m) en y parties; cette srie, si elle avait pu se continuer,, se serait

T"4 Lt BACHELIER.

compose, au del du ^m(s coup, de ^-^ parties gagnes et ^7

parties perdues, puisque la perte totale aurait t gale m.Donc, partir de la y1"11 partie, il se produit une suite de pertes et

de gains que l'on peut reprsenter symboliquement comme suit :

GiG 'aP i . . -Gj^j .. P[^T_, ^ir-T2 " 2

Gr^ ind ique que la (y + i)10111 partie a donn u n gain;&2 indique que la partie suivante a donn un gain ;Pi signifie que la partie suivante a donn une perte, etc.

Considrons une suite quelconqueP "> P T> Ptr.l .1; - i . . . t(i-.Y . . i (^-Y j \s_-\

se terminant par une perte, et la suite symtrique

PI tii * ^^r " ^ -Y _, ^xltJf'r."

se te rminant par un gain.A, chacune des suites de la prerrure forme correspond une suite do

la seconde et inversement.Si nous lisons ces suites en commenant par la droite, le nombre de

celles qui commencent par un (x est gal au nombre de celles quicommencent par un P. Donc le nombre total de ces suites est le doubledu nombre de celles qui commencent par un (x, et cela a lieu videm-ment quel que soit y.

Or, pour que la y^16 partie fournisse un gain, il f au t que la pertesoit (m + i) la (p, i)^ partie. Donc :

Le nombre des sries qui auraient produi t la perte m en moins dep. parties est gal au double du nombre des sries qui , produisant laperte m 4-i en p i parties, produiraient laperte m en [x parties (1).

Passant du nombre des sries aux probabilits, nous pouvons direque la probabilit cherche 11^ est gale la probabilit ^^ dimi-nue du double de la probabilit pour que, la perte tant m + en

( l ) Ce raisonnement, appliqu d'une faon un peu dif'renle, est d M. Andr.

TIOTJE MATHMATIQUE DU JEU. 76u. - parties soil gale m en [JL parties, c'est--dire diminue de^^,^ ; o^ a donc

11 ^ ^ CT^ f,t ny^, -1 ^ .^+.1ou

T-r __ W ______ ^_______ / V'- __ ^

^m^ ^ Ei^ r^E^ \^ ^ p- ^

2 '2

Telle est la probabilit pour que le joueur perde ses m francs prcisment la ^mc partie.

72. Si le nombre [j. est grand, on peut, dans cette dernire formule,remplacer la quantit CT^ par sa valeur asymptotique; on a ainsi

II[}',m ' m \/2e ^F- \/n \/^

73, Probabilit pour que le jeu se termine dans un nombre donn departies. La probab i l i t pour que les m francs soient perdus aprs lejA"'"16 coup s'obtiendra en intgrant l'expression ci-dessus entre lesl imites a et co aprs l'avoir divise par 2, puisque la ruine ne peutavoir lieu que de deux en deux parties.

Prenons d'abord l 'intgrale entre les l imites zro et oo, nous avons/ao wkF m --r, ,\ -j=j=e ^d^.

Jn \/a7rul/^^/TTfJtV^

, m2 -,ou, en posant ; == ,

4: I e^cD.\/^JQ-/'TT^n

C'est une intgrale classique dont la valeur est un. Ce rsultat estexact(n0811, 93).

Il n'tait pas vident qu'on devait l'obtenir, puisque la formuleasymptotique n^est qu'approche.

74, La probabilit pour que la ruine ait lieu aprs la ^me partie est

L m ^e ^'dp.p, ^a^v^

7^ L- BAcmaiEH,

ou, en posant m- == ',1 2^. /

2 /"V^

v^e-^ dl.

La p r o b a b i l i t Pp^ pour que la ru ine a i t l i eu avant le ^ mc coup sera,d'aprs le numro prcdent, gale Puni l d i m i n u e de Finlgra leci-dessus. On a donc

///9 /"* /2"JZ

,P^^=~--^ 1 6- /^LVT ./()

(7'^^ l'expression de la probabilit pour que le jeu se termine wanip. parties.

Nous retrouvons donc la tb rmulo ob t enue prcdenrmicnt (n68).75. Dure probable du jeu. La p r o b a b i l i t

Ji r^v' - " ^.,/l> = r ~ / e^ c.

est une fonct ion de m et de p.,L'tude de sa var ia t ion en considrant /n comme var iab le ne prsente

aucune p a r t i c u l a r i t ; la fonc t ion dcrot cons t amment quand, m crot ,Supposons m a i n t e n a n t que rn soit cons tan t , et t ud ions la var ia t ion dela fonc t ion en considrant ;x comme variable; nous aurons rsoudretrois problmes impor tan t s sur la dure du - j e u *

76. Cherchons que l est le nombre ;x de parties qui correspond laplus grande p robab i l i t pour que la r u i n e du joueur s'accomplisseprcisment la ^ws part ie; en a n n u l a n t la drive de l 'expression

1 ! ^^^ '

v^v^

on obtient le nombre cherchmm^

fX==~..

TnoniE MATHMATIQUE nu JEU. inn77. Ce nombre est f o u r n i pa r l a fo rmule asymplot ique, il n'est donc

qu ' app roch ; on peut obteni r sa valeur exacte.Si dans la f o r m u l e

m __ [j.\ ___ / _'Y-[j, [M m . u -4- fn \ 2 )

'2 * 2

on remplace [i par (JL -4- 2 (la perte m ne peut se p rodu i re que do deuxen d e u x par t ies) , elle se m u l t i p l i e par

_p_ ___(^^.lllR^ll___ (iX^a /p.//r ' \/^'^m \ { - } ?i .j..-. ^ 1 1 ^.....^^......... _,j_ j i

\ 2 / \ a /(^(ist-- dire

.^ ( p. 4- l )(fJ. + a ) 2 m2

l ' /expression augmente avec p- tant que l'on a^+i)>(^^-/;^

(^esl-a-dire3^. < 7 /^4

et la ] ' ) roba l ) i l i t rnax ima correspond 7/?/2 4

^=^-3-

l.a V ' i leur de [x est donc trs vo is ine de celle que l'on ddui t del ' fo r m u 1 e a sy n'i p o t i q u e.

78. La, dure probable du jeu est exprime par le nombre a de partiestel. que P = ;"' Ce nombre est

p. :== ?,, i^m2.

79* La (^w moyenne du jeu, ou la somme des esprances dedure, est exprime par l ' intgrale

/"tflo ^ ^f" ^1^ , / m^ ^' .1 p,d(J.-=: S - dp.; \

Jo ^ J, V/^TT^.

y'//^. ^ / ''"->

(78 L. BACEUEn.

en posant m- == 2 , elle dev ien tm2 r"^J ^,V^ J^

cette intgrale est i n f i n i e .La dure moyenne du j eu est donc i n f i n i e .

80. Pour rsoudre compl tement le problme a c t u e l i l res tera i t ;s t u d i e r le cas ou le j o u e u r n'est pas r u i n ; si cette v e n t u a l i t se ralise,q u e l l e est la d i s t r i b u t i o n de la probabi l i t , c'est--dire ; que l l e est laprobabi l i t pour que le j o u e u r a i t perdu i^\ 2f^, . . , , (;x r/1' ou pou rqu ' i l a i t gagn i111, 2^t>, . . . ? Si le j o u e u r n'est pas r u i n , i l est p robab leq u ' i l a gagn; quel est alors son bnfice probable , son bn f i cemoyen, son bnfice le p lus probable (c'est--dire c e l u i q u i a la p l u sgrande p robab i l i t ) ? Quelle est son esprance p o s i t i v e ?

Le joueur peu t perdre non s eu l emen t parce q u ' i l p e u t tre r u i n avant qu ' i l a i t j o u [xparl ies , mais encore parce q u e , les a par t ies t a n tjoues, il a pu perdre u n e fraction des m francs qu ' i l possda i t , fh^ ' l leest la probabi l i t to ta le de perte?

Toutes ces ques t ions on t t rsolues d a n s un Mmoire r c e m m e n tpubl i ( * ) ; je ne crois pas u t i l e de reproduire ic i l eu r s so lu t ions .

THORIE MATHMATIQUE DU JEU. i-q

cet v n e m e n t se produise r^J^^- fois en a preuves f n 15) est. p [x -- /// a \s. 4- m

CT^m = p-li-^ p^TfT ^~^T\1 ' p .^ -- ///. ^+ /// y / /

a + (3 ^-^-p,- .

Cel te p robab i l i t est plus grande que celle que nous cherchons; e l leest r e l a t ive tou tes les sries de part ies a m e n a n t la r u i n e du loueu r Aen [i coups. Nous devons en retrancher celles q u i a u r a i e n t amen cetter u i n e avant le ^eme coup.

Nous a l l o n s donc chercher, parmi les sries q u i aura ien t p r o d u i t laperte m en [j. coups, celles qui au ra i en t p r o d u i t cel te perte a v a n tle p."*"10 coup.

Considrons une srie qu i a u r a i t p r o d u i t la r u i n e (c'est--dire laperte m) en-y part ies; cette srie, si elle ava i t pu se con t i nue r , se seraitcompose, au del du p.^"10 coup, de ^^-^ part ies gagnes et de

^c^^V part ies perdues, puisque la perte totale a u r a i t t gale m.Quel q u e soit y, le rapport du, nombre des parties gagnes au nombredes par t ies perdues est toujours l "

A par t i r de la y10^ par t ie , i l se p rodu i t une sui te de pertes et degains que l'on peut reprsenter symbol iquement comme su i t :

G i C'a I^ i . . . G ^ f ^ , y ) . . . P^ ^ _ y , ;""a+^1""' -^p

G ^ i n d i q u e que la (y + )"'10^ partie a d o n n un gain, G^ indique quela part ie su ivante a donn un gain, \ s ignifie que la partie su ivantea donn une perte, etc.

Considrons une sui te quelconque

Gi\... '

C'est une permutation quelconque qui contient , conn'ne nous l'avonsvu, des nombres de lettres G et de lettres P proport ionnels a p et a. Doncle nombre dcs permutations qui, se terminent par P est au nombredes permutations qui se terminent par G dans le rapport de a ?.

8o L. B A C H E L I E R .

Donc, le nombre total des permuta t ions est gal au nombre decelles qui se t e rminen t par G' m u l t i p l i par a ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

Si la dern ire lettre est G, c'est que la dernire partie a t u n ^ a i n ;or, pour que la ^wmG part ie fournisse un ga in , i l f a u t que la perte soi t(m -h" a) la ([x i)1""115 par t ie .

Donc :Le nombre des sries qui aura ien t p rodui t , la perte en moins de [j. par-

ties est gal au produi t par ^ - du nombre des sries q u i , p r o d u i s a n tla perte (m + a) en ( [ x i ) parties, p r o d u i r a i e n t la perte m en[JL parlies.

Passant du nombre des sries aux probabi l i ts , nous pouvons d i r eque la p r o b a b i l i t Il^rn

TIOniE MATIIMATQI'E DU .1EU. l 8

exacte ^^m P^11* sa valeur a sympto t ique , on ob t i en t alors[pi;.-/// \j.fi(y.~}~^]^

_ __ n - i { a + ^ ^ p- /'//"p-,w, ' ,=-:::^ :6 i l / /

^PV2^-/^/

ou , en met tant en vidence les quan t i t s cep ^q et a ~t- p qui caract-r i s en t le j e u ,

f?i 1 ex, /> ^ q ) ///" -i~ [}.'1 ( a /' ['i r / 1 2,^ ^ ( a -4- ^ ;" /'ff ^ 2 ( a "h p p. /^/

^^pq ^\1[J.

85. Probabilit pour gne le jeu se termine dans un nombre donn departies. Lorsque le nombre d o n n est f a i b l e , on d o i t f a i r e la somme

m.,,^

(MI d o n n a n t h llp.,//, sa va l eu r exacte .Si Pou cherche la p r o b a b i l i t p o u r que le j e u se t e r m i n e entre la^1"

et la ai^'"1 part io, lorsque p.^ et [x^ son t grands, ou est ramen une in-lgral^

On inti.^'re en t re (.x, et [x^ l ex|)ression a sympto t ique de IIp^^ ap*esl ' avoi r m u l t i p l i e p a r ' - p ? p u i s q u e la r u i n e ne peut avoir l i eu que

f o u t e s les ^ J par t ies . On obt ient a ins i :i,j/// ( a p fi - p ^ / 1 '

.^^r ''^^^i j (7' -l-^ ^ l-^ p7^^^(^4-(3)7a7T/^

82 L. BACHELIER.

nous obtenons-? /^co

,7;-f -"'"-%

v^

C'est une intgrale classique dont la valeur est un . Le rsul ta t estexact fn08 11 et 93) et il n 'tait pas v iden t /^ priori, que la formuleisymptotique qui n'est qu'approche condu i ra i t ce rsul ta t exact.

87. La probabi l i t pour que la r u ine a i t l i eu aprs le ^ uw coup est/^ __^ 2 _

^==: /

TOlOn MATHMATIQUE DU JEU. 183on a donc

^p

comme dans le cas par t icul ier prcdemment tud i (n 71). Ladmonst ra t ion di recte de cette formule sera analogue celle du n 66,mais i l fau t bien remarquer que l 'galit est r igoureusement exacteq u a n d p = y , quel que soit [M. Si, au cont ra i re , on suppose/? d i f frentde y, le jeu restant q u i t a b l e , l 'galit 2 ( P = = = P n'est vraie qu'asym-pto t ique men t .

PROBLMB GNRAL DE LA THORIE DU JEU.

8e). Ce que nous appel lerons le problme gnral consiste dansl 'lude du cas ou les j o u e u r s on t tous deux des for tunes limites.Nous t u d i e r o n s seu lement le cas o le jeu est qu i t ab l e et o lesjoueu r s on t pour chaque par t i e gale p r o b a b i l i t de gain ou de perte.

X). tude d'un cas particulier. Trai tons d'abord un cas par t icu-l i e r trs s imple , l ' un des seuls q u i pu issen t tre tudis d 'une faon lmen ta i r e .

Le joueur A, possde un franc, le joueur B possde deux francs : ilsjouent un franc par partie avec gale probabilit de gain et de perle;(fuels sont les rsultats que fournit le calcul sur cette question?

Pour que le j eu ne se t e rmine pas i l faut que le j oueu r A gagne lapremire pa r t i e , le j o u e u r B la seconde, le j o u e u r A la troisime, etc.La probabil i t pour que le jeu ne soit pas te rmin en n parties est

/ ( \ndonc ( - W

Le j o u e u r A peut perdre la premire partie, la probabi l i t de cette v e n t u a l i t est;^; i l peut perdre la troisime, la probabi l i t est ( - J ;

/1 \si l peu t perdre a la c i n q u i m e , la probabi l i t est ( ^ ) ? 6tc./ 1 N

Le joueu r B peut perdre la seconde partie, la probabi l i t est (^J ;/ v

a la quatr ime, la p robab i l i t est ( . ^ ? etc.

l84 L. BACHELIER.

91. La probabilit de perte du joueur A en n parties estr i i

Cette mme prohabi l i t pour un nombre i n f i n i de parties est lasomme des termes d 'une progression gomtrique dcroissante; cettesomme est gale ^-

0

La p robab i l i t de perte du joueu r B pour un nombre in f in i de par-ties est :r-

0

Les p robab i l i t s totales de gain sont donc propor t ionnel les auxsommes engages.

92. Le nombre probable des parties joues est u n , car i l y a u n echance sur deux pour que le jeu s'arrte la premire partie.

La dure moyenne du jeu, est l 'esprance m a t h m a t i q u e d ' u n joueurqui recevrait u n f r a n c si le jeu se t e r m i n a i t par la premire par t ie ,d e u x francs s ' i l se l o r m n a i l par la seconde, etc.

Cette dure est donc expr ime par la, srie ,,.... x y 4. ^ 3 .4.. ^ 3 4_ _ 9-2 '.>/

qui se dcompose, comme l'on sai t , en une somme de progressionsgomtr iques .

La valeur de la srie est. deux.

93. Cas o le nombre des parties peut tre illimit. Lorsque lenombre des part ies n'est pas l i m i t on peut calculer la p robab i l i t degain de chaque joueur et la dore moyenne du jeu. Pour chacun doces problmes nous tud ie rons d'abord le cas d 'un jeu qu i t ab l e .

Le joueur A possde m, francs, le joueur B possde n francs; ils jouentun nombre illim de parties ; quelle est^ pour chacun d'eux, /a probabi-lit de ruiner Vautre ?

Supposons d'abord le jeu qu i t ab l e ; soient |5.1a mise du joueur Apt a la. mise du joueu r IL Sort y^ la probabil i t qu'a le joueur A. de

TiCmiE MATHMATIQUE DU JEU. l85ruiner son adversaire quand il possde ^francs et quand, par suite,le joueur B possde m -h- n x francs.

On aura

(! ) yx = pyx^ -+-

86 L. BACHELIER.

Ci et C^ tant des constantes arbitraires et v sat isfaisant la con-di t ion

i=^+^;

les constantes C^ et C^ se dterminent parles c o n d i t i o n sJ'Q-== 0, y/n+n"^ I?

et l'on trouve_

vm """

I^ ) _ y^ _ ^^ ^^ ^ .

Ce rsultat est d de Moivre.

95. Dans le cas du jeu qui tab le , si, le joueur B a une fortune trsgrande, la probabilit de r u i n e du j o u e u r A est trs voisine de l ' u n i t ;elle tend vers un, mesure que la for tune du joueur B crot.

Quand le jeu n'est pas quitable, la probabil i t de r u i n e( ,^,i

y^-"- ^mTn"_ ]

tend vers -^ lorsque n tend vers r i n f i n i , cetle probabi l i t de r u i n e esttrs faible si le jeu est avantageux et si m est suff isamment grand.

Supposons, par exemple, que a == ^ == et que/. == o3i, y = 0,49La quanti t y sera donne par l 'quation

q^ 4. p ^ Q^

d'o l'on ddu i t

-49'

Si m est gal 100, la probabi l i t de ruine n'est que 0,00x8. Cet,exemple, comme ceux qui ont t prcdemment donns n^59 64,montre quel point le moindre dsavantage change les conditions derussite d'un jeu.

96. Occupons-nous ma in tenan t de la dure moyenne du jeu supposquitable.

TIOIUE MATHMATIQUE DU JEU. 187Soit y^c cette valeur moyenne lorsque le joueur A possde x francs,

c'est--dire l'esprance mathmat ique de celui qui aurai t promesse derecevoir i^ par partie joue; on aura(3 ) , - yx =- . -+- py^+o, + qyx-^

Le nombre des par t ies joues comprend, en effet, la partie parlaquelle on commence et qui certainement aura l ieu; aprs cettepartie, l'esprance mathmatique devient y^+a ou Yx-^ selon que lejoueur a gagn ou perdu, la premire ventualit ayant pour probabi-l i t/^ et la seconde pour probabili t q, l ' quat ion ci-dessus est la con-squence immdiate des principes.

La solut ion gnrale de cette quat ion est

X7'^^+y,r+r.

Les cond i t i ons

donnen t

et, par suite,

yo=, y//^=o

V ==0, =m ~[- ///--op-

mnym= a(3

La dure moyenne du jeu est proportionnelle au produit des fortunesdes joueurs.

Elle sera inf in ie si la fortune de l 'un des joueurs est infinie. Ce r-sultat avait t obtenu prcdemment (n 79) dans un cas part iculier .

- 97. Lorsque le jeu n'est pas quitable, le problme est encore rgi\w l 'quation (3), mais celle-ci a pour solution

y^= C^ 7^. -+- (7;J x (a"+-i3)/^(3

v est la racine de l 'quation^^ot4"P (;P q -zz. 0,

88 L. BACHELIER.

C et G" sont des constantes arbitraires que l'on d termine par les con-di t ions

y 0=0, y^+/,=o.

Si l'on nomme U la probabilit n 94 [formule (2)] pour que lejoueur A ruine son adversaire, on trouve en effectuant les calculs

(m -+- n) U iny.^-^^^-^o^p ^q est l 'avantage absolu (n 14) du joueur A pour u n e partie; sonesprance positive totale es tU/^ , son esprance ngative est(i U)w,le numrateur de y^ est donc l 'avantage total du j eu ; par consquent :

Le nombre moyen des parties est gal au rapport de l'avantage totalde Vun des joueurs l'avantage du mme joueur dans c/iaque partie.

Ce remarquable rsultat est d M. Rouch.

98. Probabilit pour que le jeu se termine par une partie indiqued'avance. Nous al lons, m a i n t e n a n t , nous occuper du cas on lenombre des parties est l im i t , et nous rsoudrons d'abord le pro-blme su ivan t :

Le joueur A possde m francs et le joueur}}, nfrancs ; ils jouent un francpar partie avec ^ale probabilit de gain et de perte ; quelle est la proba-bilit pour que le jeu se termine la p/^* partie par la ruine du joueur A,

Dsignons par II^w,^ I^ probabi l i t pour que le jeu se termine par la,ru ine du joueur A, prcisment en p, parties, en supposant la fo r tunede sonadversTire infinie. Cette probabilit a t calcule (n 71), elle apour valeur

(i) 11^=^^fiy\^ tZLm.\ ^ IL !^ W

% ' a

Dsignons par 11^ ^^ la probabilit cherche, nous pouvons poser enpremire approximation (nous faisons remarquer, ds main tenant , quela formule df in i t ive ' laquelle nous arriverons est rigoureusementexacte) :

TT _. tr* * v^ m, n --1"- A A p., w ; w

THORIE MmiMATIOlJE DU JEU. l8(.)

Cette formule donne pour la probabilit cherche une valeur tropforte; de toutes les sries d'alternatives de gain et de perte produisantla ruine du joueur A prcisment en p. parties, nous devons retranchercelles qui produiraient prcdemment la ruine du joueur B.

Si le joueur B quand il est ruin pouvait continuer jouer jusqu'la [j^6 partie, il y aurait probabilit gale pour qu'il gagnt m 4- nfrancs et qu'il ruint le joueur A, ou pour qu'il perdit encore m + nfrancs, ce qui porterait sa perte m 4- 2n francs.

A chaque srie d'alternatives de gain et de perle qui produit laruine du joueur B et qui aurait ensui te produit celle du joueur A cor-respond une srie qui donnerai t au joueur B la perte m-\- 2 n s'il poss-dait cette somme; et, comme aucune des premires sries ne ruine lejoueur A avant la ^leme partie, aucune des secondes ne ruinerait lejoueur B avant celte p."'"^ partie, s'il possdait m -h 2/z francs. Cecin o u s inc i te poser en seconde approximat ion

JA(.A,//^,rt ^ ^ -"II,//;.,( up,,iW+"2W,

La q u a n t i t IL w.i.2/^^ que nous avons retranche est trop forte, carnous avons retranch les sries produisant la ruine du joueur B sup-pos possderw4- 2/z francs, alors que nous n'aurions d tenir compteparmi elles que de celles qui ne causent pas d'abord la ruine dujoueur A.

Or, si le joueur A suppos d'abord ruin avait pu cont inuer jouer,il n'est n i plus ni moins probable qu'il et gagn les 2m 4- 2n francsqui auraient amen la ruine de B qu'il n'est probable qu'il et perduces sm 4- 2/ francs, ce qui aurait port sa perte 3m 4- ^n francs.On doit donc poser en troisime approximation

^^.^nt^n'"^ A^, m,w ^y^tn-'rVt^"^ "{A, sm-^n,^

et ainsi de suite, on a donc

II (A , m t "^ * l (A, M, , s u p., w-i-2 n, oo 4- Ai (A , 3 ni+ 2 n, * 4- p., ( ^ +1 ) m +.a\/t,oo 11^ ( ^ .4-j ) m^^\+z }n, oo -4- . . ..

La formule s'arrte lorsque la quantit (2^4-1)^-4-2^ ou(2 4- )'yn 4- ('2 4- 2)n est infrieure .'p..

K)0 L. BACHELIER.

99. Cette formule tablie par une sui te d 'approximations est ri-goureusement exacte, car el le con t i en t toutes les sries d 'a l ternat ivesamenant la ru ine du joueur A dans les condit ions imposes parl'nonc, et celles-l seulement.

La dmonstration que l'on vient de lire parat pnible, la thorie dela spculation la prsente, comme nous le verrons (n 118), sous unaspect beaucoup plus clair; c'est, du reste, grce cette dernirethorie que la formule fut dcouverte.

100. Appliquons la formule ci-dessus quelques exemples simples :Supposons que le joueur A possde i^' et le j ou r B ^ ( r, et cherchonsquelle est la probabilit pour que le jea se t e rmine prcisment a laseptime partie par la perte du j o u e u r A.

La formule^"[X,//;,/^^^" &i ?.,/,

TOrJE MATHMATIQUE DU J E U . K) 1

, 102. Application la thorie des combinaisons. Le joueur A, :tperdu m francs en p. parties, il a donc gagn ^ "7 m parties, et il en aperdu f^L^. Dsignons par la lettre K les parties gagnes et par lalet tre H les parties perdues; une quelconque des permuta t ions des alettres K et H produisant la perte m en [x parties peut s'crire, parexemple,

K i ^ H ^ K , . . . .

K, i n d i q u e que le j oueu r a gagn la premire part ie , K^ ind ique qu ' i la gagn la seconde. H;, indique qu ' i l a perdu la troisime, etc.

Le noni i re ( ^ a l des indices est p., et i l y a p-^ let tres H etU. f ) l . , ,' .- h^Livs K.

:>-Si le joueur est r u i n en [^ coups prcisment, la pe rmuta t ion d o i t

se terminer par un H, et en la l i san t l 'envers, c'est--dire de droite1 gauche, le nombre des lettres H do i t , durant toute la lecture, tresupr ieur au nombre des lettres K. Puisque le joueur B n'a pas t,par hypothse, r u i n avant le joueur A, en lisant toujours la permu-tation de droi te gauche, le nombre des lettres H ne doi t jamais, pen-dant la lecture, surpasser celui des K de la quant i t m -}-n.

La thorie prsente nous permet donc de rsoudre le problme sui-vant :

Quel est l nombre des permutations de p. lettres dont p^1-lettres H et ^^m lettres K, ces pe rmuta t ions tan t telles que, en les

2i

l isant dans un sens dtermin :1 Le nombre des lettres H soit , duran t toute la lecture, toujours

suprieur au nombre des lettres K ;2 L'excs du nombre des lettres H sur le nombre des lettres K soi t ,

durant toute la lecture, infr ieur une quan t i t donne m -+- n.La probabi l i t t an t le rapport du nombre N des permuta t ions an

nombre des cas possibles, on a

11^,,==^, (FOU N=2P-II^.

192 L, BACH EU E H .

Je crois qu'il serait pnible de rsoudre d i r ec temen t cette question.Si, par exemple, [x = 7, m === T , n == 2, on doit avoir N == i. Il est.

facile de reconnatre qu'en effet la seule permutat ion acceptable estKJlAHJUeH,.

Si p. = 6, m == n == 2, la formule donne N == 4-On vrifie trs facilement qu'il y a quatre permutat ions et quatre

seulement satisfaisant aux condi t ions de l 'nonc.

103. Prohabilit pour que le jeu se termine dans un nombre donn departies. Lorsque [x est un grand nombre, on peut, dans la formule

AAE/,,//^,y^ =::::' Al(A,w, 6o "[^//iH-//,^ "4~ . *

remplacer les valeurs exactes des quanti ts II par leur expressionasymptotique (n 72), on a ainsi

/ "" r m9 ( w - i ' 2 / / 9 ( / / / " ( ' 2 n\'111 ^ ^ V 2 1 rne' ^ ~ ( m + ^ n) ^ ~^ 4. (3m ^ ^ ^ ^^ ^ ... ,

V7r/j.v'^ "

Telle est l'expression asymptotique de la probabi l i t pour que le jeuse termine en [x parties par la ru ine du joueur A.

104. La probabilit P^//^ pour que le jou.eur A soit ru in avantp. parties s'obtiendra en intgrant l'expression prcdente entre leslimites zro et p- aprs l'avoir divise par deux, puisque la perte nepeut avoir lieu que de deux en deux parties.

On aura ainsir r" ^ _ m v /"* ^ _ ( fn "i""2 n ) 't

,.. r / me ^ , t (m 4-a^)^"^^ ,Pp-,w,^=-y== / ^^cip. 9 L^d[.v^L

THORIE MATHMATIQUE DU JEU. . ig3dans la seconde, posons

(/yz -4- a /? ) 2 __ ^2^. ~

Etc.Remarquons, enfin, que

- r

Q4 L. BACHELIER.Lorsque pi est trs fifrand, on calcule P^m,re par les formules (n 93).106. Second cart probable. Je suppose deux joueurs devant jouer

au maximum y. parties; il y a, pour chacun d^eux, une certaine for-tune m que nous allons fixer de telle sorte que le jeu a i t une chancesur deux pour tre termin avant la fin des (x parties.

La quant i t m doit satisfaire l 'quation

p L.1 \^mim /

d'o l'on ddu i tm ==. 0,6 \/|JL environ.

Le second cart, probable est proportionnel la racine carre du nombredes parties; il est gal au premier cart probable multipli par , '7.

On comprend bien la diffrence entre les deux carts probables : lepremier a des chances gales d'tre ou de ne pas tre dpass la^icme p^pti^ tandis que le second a gale probabi l i t d'tre ou de nepas tre dpass pendant les p parties.

107. Second cart moyen. Le second cart moyen est la va leurmoyenne du p lus grand des carts qui se sont produits pendant les[i parties; i l a pour expression

f }n^{^^^^)drnou

r'^ r / M1 (\^m^^ {^m^ \i ^m [e^ ^ - 3 (F "^ ^ 5 (T "^ - . . . ) dm..

.

/) V^

Cette quan t i t est une somme d'intgrales de la forme

/.w y, ( a w ) 2 r" /" a2/^ /-"" y-"y 2 - --rrr- , \/2 V/P- "" T,r V^ VP*=".- a/ne "v' dm := '-' e 2 {ls == -'_"- 7. , V^ a\/TC o a^TTelle a donc pour valeur

V^V^ /', i i . \ ^ 4 - F - - + " . . . } *3 5 7 /i" ?' ""V/TT \ 3 5 7

THORIE MATHMATIQUE DU JEU. 1 Q

Du dveloppement classiquea;3 .-z15 x^

arc lang^ =^ -y- -h -p~ 4-...*j n

on ddui t , en posant x == i,7T I I Iy -==. arc tang i = ^ - - h . ' - ! - . . .4 - 7

f second cart moyen a donc pour valeur

1/27T /"-r^

^7 est proportionnel /a racine carre du nombre des parties et gal auTTpremier cart moyen multipli par ^

108. Dure probable An jeu. -- Nous venons de rsoudre deux pro-blernes en prenant le nombre des parties pour donne et les fortunespour inconnues. Nous allons maintenant tudier les problmes in-verses re la t i fs la dure du jeu, en supposant les fortunes connues.

109. Le nombre p- qui correspond la partie donnant la plus grandeprobabi l i t pour la ru ine du joueur A est obtenu par la formule

^(P[;^)=0.

Le mme nombre relatif au joueur B s'obtiendrait par la rsolution del 'quation

^(P^,^)^0-Le nombre de parties le plus probable pour la terminaison du jeu

serait fourni par l'galit,n

T~"2 (P(A,W"I~ PtA,/ ,w) '^ 0-

HO. La dure moyenne du jeu a dj t calcule (n 96), elle apour valeur mn. L- dure probable du jeu, autrement dit le nombre

g6 L. BACHELIER.

probable de parties joues, est donn par l 'quationjr

(--,///,,+ l (A^W^ ^ *

En particulier, si /z == m, la dure probable du jeu est ;x == o, 70/n2;elle est plus pet i te que la dure moyenne, gale m1, et elle estenviron trois fois plus faible qu'elle ne le serait si un des joueurs avaitune fortune infinie (n 78), l 'autre possdant toujours la fortune m.

111. Nous pensons1 qu'un exemple ne sera pas inu t i l e pour bienfaire comprendre les quest ions tudies dans ce Chapitre.

Supposons que le joueur A possde Se'111, le joueur B, oo^ et quele jeu se compose au maximum de 20000 parties.

Cherchons d'abord la probabili t de ruine P^ du joueur A; cetteprobabilit est exprime par la formule

p^_,_e/-^_,-,(^.^,-e(7^_,.,w-w w'-w W2?-/

dans laquelle m == 5o, a === 20000 et -, == 0,25. En employan t les1 V;^

Tables de la fonction 0 qu i se t rouvent la fin du Mmoire? on obt ientp^^=: 0,6598.

On calculerait de mme\,,= o,3265.

La probabilit pour qu'aucun des joueurs ne soit ruin quand20000 parties sont joues est

o, 65f)8 o,3 265.

Si le jeu pouvait se continuer indf iniment , les probabilits P auraientpour valeur (n 93)

P^=o,6667, P^=,3333.

Le nombre probable des parties joues est 3357; le nombre moyenest 5ooo.

THORIE MATHMATIQUE , DU JEU. 197112. Problme gnral de la thorie de la spculation. Nous avons

dmontr ai l leurs ( ^ ) que la thorie de la spculation pouvait , sous decertaines rserves, tre assimile la thorie du j eu ; elle se proposede rsoudre trois problmes, de dif f icul t croissante, correspondantaux trois problmes de la thorie du jeu.

113. Le premier problme consiste, tant donn le cours actuel, eten supposant les variat ions de cours dues au hasard, dterminer laprobabi l i t pour que le course de la rente soi ta une poque dtermine tcompris dans l ' in terva l le x et x -{- dx; cette probabil i t a pour expres-sion

,r2_ _ I '"" ^ 7(l

Rx -r -;7== e yl ' K k ^ i

le cours actuel correspond x ==- o, c'est le cours considr par lemarch comme le plus probable. L'acheteur de rente terme ^agnepropo r t i onne l l emen t la hausse, c'est--dire proport ionnel lement auxvaleurs positives de .-y, de mme qu ' i l perd proport ionnellement auxvaleurs ngatives de.r; son esprance totale est nulle, son esprancepositive f xp^dx == / c ^ / ; on la dsigne parla lettre a.

i/oLa quan t i t k est le coefficient d'instabilit qu 'admet actuellement

le march; l'cart moyen est gal 20, l'cart probable i,668a.La probabil i t pour que, l'poque t, le cours soit compris entre c

et oc est donne par la formule suivante , analogue celle du n 57 :

r T o F 2 v^A' J"t$^1^ .1 2 / v e^dl.^

2 ^ Jo

Cette probabilit se calcule Faide de la Table de la fonction ; on a,en effet,

^_W __\.2 2 \2\/71:/\/J

( i ) Thorie cl la spculation {annales de l'cole Normale, p. 2 1 ; igoo).

S 9 8 L. BACHELIER.

114. Dans le cas actuel, il est p lu s simple de faire usage de la Tablesuivante qui donne directement la valeur de la probabilit correspon-d a n t au cours c exprim en p r e n a n t a === / c \ / t pour uni t :

cart. Probabilit $. cart. Probabilit $.0 , 0 ^ . . . . . . , . . . . . . . . . . . o, 5oo 2,3 a . . . . . . . . . . . . . . . . . o, 79o,i^.................. o, -{84 a, 4 ^ .................. 0 ,169o,aa.. . . . . . . . . . . . . . . . . o, 469 9., 5

THOKE MATHMATIQUE DU JEU. 1 QQPour rsoudre ce problme on su i t le mme raisonnement que dans

le cas de la thorie du jeu, on calcule d'abord la probabilit II pourque le cours c soit atteint l ' poque^ , sans l'avoir t prcdemment;cette probabilit a pour expression

c^n^--^t 4TCA2^.^\J^kt\ft

On en dduit ensuite la probabil i t pour que le cours c soit a t te intdans rintervalle (le temps t :

r> / '^Sv/TC/ff/

P,.= 2 $,=!- / e-^J,y7r JQ

rpoque moyenne laquelle le cours est a t t e in t est i n f i n i e ; l'poqueprobable est

c1i^^^^

117. Le problme gnral d e l thorie de la spculation se proposede rsoudre la question suivante :

Quelle est la probabilit pour que le cours c (^suppos positif pour fixerles ides} soit atteint ou dpass dans l'intervalle de temps t, les variationsen baisse n ayant jamais atteint un cours donn b

Nous croyons uti le de prsenter l 'nonc sous une forme plus expli-cite, en l 'appl iquant un exemple.

radite de la rente ( terme) avec l ' in tent ion de la revendre avantun mois si, dans cet in terval le de temps, elle se trouve un momentdonn un franc au-dessus de son cours actuel. Voulant limiter mronrisque deux francs, je m'engage revendre ma,rente si, dans le cou-rant du mois, il se produi t une baisse de deux francs au-dessous ducours actuel , ^

O demande : La prohabi l i t pour que, dans le courant du mois,j'aie pu revendre avec le bnfice d'un f ranc; la probabilit pour queJ^a ie revendu avec deux francs de perte, et la probabilit pour que, aubout du mois, je n'aie pu faire aucune des reventes.

aOO L. BACHELIEI.

118. Comme dans la question qui prcde nous rsoudrons d'abordle problme suivant :

Quelle est la probabilit l^pour que le cours c soit atteint l'poque t,sans Favoir t auparavant et sans que la variation en baisse ait t su-prieure un cours donn b.

Nous dsignerons par 11^ la probabil i t dj calcule n 116 pourque le cours soit a t te int en supposant b inf ini .

Une premire approximat ion consiste poser

ll.^^ A'a

THORIE M\THM.VTIQJE DU JEU. 201En c o n t i n u a n t le mme raisonnement, nous serons condui ts la srie

^:=: I^ I^2//,oo 4" ^ c^lh^ SC+V^ ~^~ II.'itf+i/^

C'est la formule fondamenta le de notre tude.

119. En remplaant dans cette formule les quant i ts II par leur va-leur et en in tgrant , on obt ient f ina lement : Ici probabilit P^/w/r quele cours c soit atteint ou dpass (la^s F intervalle de temps /, les variationsen hasse n ayant jamais al teint le cours b.

1 _,/',_.. "j r ^l^ -rt / a /TC-^ / | | y /*i v/7C/-v^4.r2^7^^ ^h-^f^^-v^^o J L v^^ol>^- i-'. / ^^L-,,-2 / ,-^fAA 4 J L v^^o3 C -{- 2 //

a rft^ ., - . 11^,^11^7=/ ^3^., ,^ -^1 ,,,;^ ,^o J 1 1 1 1 ' , - 1 1 1 C"1-,' ;1^L vWo

ou l)ien ,,;.'1' y4P^ rr:; 1^^ -"-1- P^'.+.a//, ^ + Pa^-i-s^, "w I^^-t^A, "+- y 1 1 , ^ " , 1 A,,'^'

ou encore (n011 6)p,^ 2 ^ 2 ^ .,.,.s/.^ "^ a ^ +-2^ 2 ^^--^,^ + *

ou en tin

r / c M r A / ' ^ + ' ^ ^ M f ^ /3 C + 2 Z /^^""- [ - 8 (^^)J - [' - 9 l:^7

202 L. BACHELIER.

sonneiment connu (n H) qui conduit la valeur asymptote de la pro-babilit

p - .p -. ci c^h T;? ' i ^,

TORK MATHMATIQUE DU JEU. o3pendan t le temps /, le cours ait au tan t de chances de rester comprisdans cet intervalle qu'il a de chances de le dpasser. On doit avoir

p J^""""/t,"

On en d d u i ty =2,9 a.

ln posant I\^ == -^ on avait galement trouv (Thorie de la spcu-la/ion, p. 77)0 :

7 ==a,9a;

comme on l'a dj fai t remarquer; P^.y est trs voisin de Py^ lorsque ysurpasse ^-a.

124. Nous appellerons second cart moyen la r n o y e n n e d u p lus grandcart exis tant ent re le cours actuel et tous les cours cots dans l ' in ter-val le de temps t. Le second cart moyen a pour expression

f C Cl 2P^)rfc./ri "

Une suite de calculs analogues a ceux du n 107 dmont re ra i t que lavaleur du second cart moyen est TC^. Ce rsultat est remarquable parsa simplici t .

On pourrai t imaginer de nouvelles sortes de prime : moyennan tl 'abandon d'une pr ime gale 20, on gagnerait le plus grand cart en t rele cours actuel et tous les cours cots pendant l ' interval le t, en ne con-sidrant que les carts posit ifs ou que les carts ngatifs. Si l'on pouvai ttoucher la valeur du plus grand cart, qu'il soit positif ou ngatif, lavaleur de la prime devrait tre rca.

125. Nous venons d'tudier deux problmes dans lesquels nousavons considr un intervalle de temps fixe et des carts variables,nous a l lons maintenant supposer les carts fixes et la dure de l'op-ration variable.

L'poque/a plus probable laquelle le cours sortira de l ' intervalle

( 1 ) AnncdQff d l'cole Normale y 1900.

204 L* BACHELIER.

c, &) en cotant le cours c, sera donn par la formule

TROUR MATHMATIQUE DU JEU. 2o5

Si, par exemple, c == a == - ^ / i , 6 == 2"\/77, on aura

127. On a vu (n 96) que le nombre moyen de parties Joues unjeu quitable tait donn par la formule ^; m et n tant les fortunesdes joueurs; a, ( tant les mises.

La spculation est ass imilable un jeu, le temps l est gal aunombre de parties m u l t i p l i par SrcP, et les quanti ts m et n ayantrespectivement pour valeur c\/2Tc et b\l^r: ( l ) .

Si l'on dsigne p a r ^ V poque moyenne laquelle le cours sortira del'intervalle (c, 6), on aura

cb^w

Si c == b == a == ^\Au on a ^ = ? lorsque c== & === 20, ^ estgl ^ , ;enfin, en supposant que c == a et que & === 'ia^ on obtient ^ ==

128. Reprenons titre d'exemple le problme suivant :On a achet de la rente avec l ' intention de la revendre avec le bn-

fice a == /c\/lo\i avec la perte 2a; on termine l'opration si, l'poque t,la revente n'a pu avoir l i eu . Quels sont les principaux rsultatsque fourni t le calcul des probabili ts sur cette opration?

La probabilit de revente avec le bnfice a est o,652.La probabilit de revente avec la perte 20 esto,325.La probabilit pour que la revente n'ait pas lieu avant l'poque l est

0,023.

L'poque la plus probable de la revente avec le bnfice a est .L'poque la plus probable de la revente avec la perte a est ^ .

Thorie de la spculation ( Annales scientifiques de F cole Normale suprieure^p . 4 ; 1900)*

^o6 L. BACHELIER.

I/poque probable de la revente est 7^L\ 5 t.")

r ^ ' ^ tL poque moyenne est -

129. On peut conclure de ce qui prcde que la thorie du jeu n'estpas seulement un exercice d'analyse; elle prsente un grand in tr tpar elle-mme en nous faisant connatre une des lois les plus curieusesque la Science nous ait rvles : la loi du hasard.

TABLEDES

V A L E U R S DE L'INTGRALE> r7

-^r/'!T

3()8y.

0,69 . . . . . . .0 ,70. . . . . . .0 . 7 i . . . . . . .0 ,72 . . . . . . .0 ,73. . . . . . .0 ,74 . . . . . . .0 ,73. . . . . . .0 , 7 6 . . . . . . .0 ,77 . . . . . . .0 ,78. . . . . . .0 ,79. . . . . . .0 ,80. . . . . . .0 ,81 . . . . . . .0 ,82 . . . . . . .0 ,83. . . . . . .0 ,8 i . . . . . . .0,820,78143980,7866873o^^.^0,796908-20,^0188^80,80676770,8 i l 5635o, 8 T 69,7 lu0,8^089080,8-2542360,8-298703o,834'23r5o,8385o8i0,8427008o,846Sio5o,83o838oo,854784%0,85864990,86243600,8661435o,869773'20,8733-2610,87680300,380'20'K)o,883533o0,8867879o,889977o,893o8%3

t. BACH

y-l , ir i . . . . . . .1,16.......1,17.......1,18.......1,19.......1 ,20 . . . . . . .1,21..... . .1,22... . . . .1,23... . . . .1,24.. . . . . .1,23.. . . . . .1,26. . . . . . .1 ,27. . . . . . .1,28.. . . . . .1 ,29. . . . . . .1 ,30. . . . . . .1,31.. . . . . .1 ,32. . . . . . .1,33... . . . .1,34.. . . . . .1,3^......1,36.. . . . . .4 , 3 7 . . . . . . .1,38.. . . . . .1 ,39. . . . . . .1 ,40. . . . . . .1,41.......1,42. . . . . . .1,43.. . . . . .1 ,44. . . . . . .1,4^. . . . . . .1 ,46. . . . . . .1 ,47 . . . . . . .1,48... . . . .1,49.... . . .1 ,?)0 . . . . . . .

^ 1^1.......1 ,?)2. . . . . . . .1 , ? > 3 . . . . . . .l , ? ) i . . . . . . .i , r > ; > . . . . . . .

1,^6... ...1,37.......1,38.......1 , ?>9 . . . . . . .1 , G O . . . . . . .

ELRR.e.

0,89619-380,899096%o,9o%ooo40,90483740,9076083o,9io3i4o0,91-295550,

y-2,07. . . . . . .> og2,09.. . . . . . ,1 ,0 . . . . . . .2 , 1 1 . . . . . . .-,,i^.......-'7 ^ . . . . . . .

-, , r . . . . . . .2,1; ; . . . . . . .C) 1(t

-, A. i .......

2 ,18 . . . . . . .2 ,19 . . . . . . .

^ 5 ^ 1. .......

2 22. . . . . . .2,23.... . . .2,24...... .

2,20... . . . .2,27.. . . . . .2,2H.. . . . . .2,29... . . . .^> 'U1-r'''"

-A, . 1 .......2,32.- , . ...2,33.. . . . . .2,34.. . . . . .2 ,3:>. . . . . . .2,30.. . . . . .&> 07o