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“Cose di Matematica “

A cura della prof.ssa Silvana MACCARONE Pagina 1

“ COSE DI MATEMATICA “

RACCOLTA DI PROCEDIMENTI RISOLUTIVI DI PROBLEMI

ARITMETICI E GEOMETRICI



La matematica è una disciplina difficile e spesso tanto odiata, lo so!!!! Con questa mia raccolta-guida spero di fornire agli alunni interessati e volenterosi un valido aiuto nella risoluzione dei problemi. Prima di sfogliare la raccolta,soffermatevi su alcuni consigli pratici per come studiare la matematica. CONSIGLI PRATICI PER COME STUDIARE LA MATEMATICA Premessa:

La matematica fornisce strumenti essenziali per molti settori della scienza e della tecnologia. E, quindi,studiare la matematica vuol dire stare al passo coi tempi.

La matematica concorre alla formazione dello studente in quanto favorisce l’abitudine all’analisi e alla sintesi,sviluppa la capacità di ragionamento coerente ed argomentato,favorisce ed educa l’intuizione e la fantasia stimolando lo spirito critico.

Lo studio della matematica richiede impegno e partecipazione attiva. Il lavoro a scuola:

Ascoltare cercando di riconoscere i punti essenziali dello schema della lezione che l’insegnante sta svolgendo e porre attenzione ai passaggi e ai connettivi logici per cogliere la struttura del ragionamento.

Prendere appunti perché aiuta a concentrarsi e facilita l’ascolto. Gli appunti saranno tanto più facili da prendere e più rigorosi quanto più ti impegnerai ad imparare il significato dei termini e dei numerosi simboli convenzionali che l’insegnante usa continuamente. Se l’argomento è svolto interamente nel libro di testo è interesse dello studente fissare solo lo schema, mentre è sempre importante riportare con cura gli esercizi svolti in classe che normalmente rappresentano esercizi-tipo e possono essere utilizzati in fase di studio, per riconoscere le situazioni più significative. Se, invece, il testo o non riporta, o riporta solo parzialmente l’argomento svolto, gli appunti dovranno essere più rigorosi anche se sempre schematici. In essi devono essere riportate le definizioni dei concetti fondamentali e le proprietà fondamentali (con le relative dimostrazioni se vengono svolte ).E’ importante seguire l’insegnante con attenzione e chiedere di ripetere una definizione o un concetto che non si è riusciti a riportare negli appunti con esattezza. L’insegnante di matematica scriverà spesso alla lavagna durante la spiegazione. Nel prendere appunti ricorda di annotare non solo quello che viene scritto, ma anche quello che viene detto: sono generalmente i dettagli che ti permetteranno di capire proprio i passaggi più difficili o i nessi logici meno evidenti oppure i consigli per evitare gli errori più frequenti.

Seguire le esercitazioni svolte in classe perché possono essere di aiuto per il successivo lavoro domestico di rielaborazione degli appunti, di ripasso e di svolgimento delle esercitazioni assegnate. Gli esercizi in classe possono servire come: � rinforzo alla acquisizione degli strumenti fondamentali

� completamento delle spiegazioni degli argomenti nuovi � collegamento tra argomenti diversi.

Seguire le interrogazioni con attenzione perché costituiscono un momento di ripasso, possono confermare o completare lo schema di riferimento già acquisito nel lavoro domestico.

Il lavoro a casa

Repetita iuvant: “E’ necessario che lo studio sia regolare”. Per lo studio dell’argomento spiegato in classe dovrai:



ripercorrere la spiegazione dell’insegnante confrontando gli appunti con la teoria esposta nel libro di testo, evidenziando eventuali difformità per le quali dovrai chiedere spiegazioni al docente

ripetere la risoluzione degli esercizi risolti in classe come esempi e gli eventuali esercizi guidati del libro di testo

risolvere gli esercizi assegnati. I tuoi obiettivi dovranno essere: memorizzare le definizioni e chiarire i concetti; mettere in evidenza i punti critici e cercare di chiarirteli; porre impegno a ricostruire il percorso logico; memorizzare/applicare concetti e metodi; prendere nota delle richieste di chiarimenti. Il ripasso: E’ importante la memorizzazione degli strumenti operativi per la buona riuscita

delle applicazioni. Il libro di testo: Il libro di testo è diviso in due parti: la parte dedicata alla acquisizione della

teoria che deve servire per l’individuazione precisa delle definizioni e delle proprietà la cui memorizzazione deve essere accurata e mantenuta nel tempo. La parte dedicata alle applicazioni che deve essere utilizzata per verificare tutto il percorso già seguito in classe e per favorire il lavoro di assimilazione di definizioni e proprietà.

L’esercitazione: Prima di avviare la risoluzione di un esercizio: verifica di conoscere la teoria cui è riferito; controllane l’esatta trascrizione del testo ; leggi con attenzione consegne, dati e premesse; creati uno schema di risoluzione individuando, ad ogni passaggio, la priorità delle

operazioni da eseguire. Impegnati per arrivare all’esatto risultato con un controllo scrupoloso dell’esattezza sia del percorso risolutivo che del calcolo. Se i risultati sono errati ripercorri a ritroso il percorso risolutivo per vedere prima se ci sono errori di calcolo letterale o numerico, di distrazione oppure di impostazione teorica (quest'ultimo tipo di attività è fondamentale perché la scoperta di un'errata applicazione della teoria impone di rivedere criticamente la stessa per comprenderla più chiaramente). Se i risultati sono esatti, esplora la possibilità di percorrere vie alternative di risoluzione, magari cambiando punto di vista concettuale, oppure, osservando la soluzione ottenuta, vedere se era un caso in cui era persino possibile una soluzione a colpo d'occhio. Ricorda che quella indicata non è una sequenza da seguire rigidamente, ma caso per caso un'operazione può essere tralasciata o diventare fondamentale, si impara con l'esercizio. Qualche consiglio Chiedi sempre ai compagni o all’insegnante la verifica degli esercizi non riusciti. Nessuno sa risolvere tutti i problemi e tutti ne sanno risolvere qualcuno, pertanto bisogna imparare ad insistere di fronte a quei problemi che sembrano di difficile risoluzione, magari ritornandoci sopra qualche giorno dopo, per provare almeno qualche volta la soddisfazione di averli risolti e rinforzare così la propria autostima. Ricorda che ... in matematica ci sono anche problemi che non si possono risolvere. Il grafico che segue sintetizza quanto esposto; ricorda che per un positivo percorso di studio la qualità dell’esercitazione da te svolta è essenziale: dovrai, quindi, elaborare un tuo personale schema di lavoro. Buona matematica a tutti!



RACCOLTA DI PROCEDIMENTI RISOLUTIVI DI PROBLEMI ARITMETICI E GEOMETRICI

Per risolvere un PROBLEMA si deve: Leggere attentamente il TESTO del problema. Individuare i DATI del problema,cioè le informazioni contenute nel problema stesso. Individuare le INCOGNITE,cioè ciò che si deve calcolare. Impostare il PROCEDIMENTO del problema,cioè stabilire quali operazioni si devono

eseguire e in quale ordine. Effettuare i CALCOLI per giungere al risultato.

La successione delle operazioni da eseguire per risolvere un problema si dice ALGORITMO del problema. A volte può capitare che in un problema ci siano DATI NASCOSTI,cioè non espressi da numeri (una dozzina di uova che corrisponde a 12;Claudia ha il doppio degli anni di Marco che vuol dire che bisogna moltiplicare gli anni di Marco per due;angoli supplementari che vuol dire che la loro somma è 180° ecc …). Un PROBLEMA può essere risolto con metodi diversi. In tutti i metodi proposti,nell'analisi del problema,si distingueranno due fasi. Una prima fase detta TOP – DOWN (dall'alto verso il basso) consiste nel partire dalla fine,cioè dall'incognita. Fissando l'obiettivo da raggiungere e scendendo verso il basso si suddivide logicamente il problema in procedimenti più semplici,fino ad incontrare i dati. Con questa fase si individua un percorso risolutivo,con formule e procedimenti,si formulano ipotesi e si pongono delle domande,in successione:

quali valori servono per calcolare il risultato finale? conosco questi valori? se non li conosco,quali valori servono per calcolarli? e così via per fasi successive.

La seconda fase è quella risolutiva. Percorrendo a ritroso,percorso BOTTOM –UP (dal basso verso l'alto) si eseguono i calcoli corrispondenti per giungere al risultato richiesto e quindi all'obiettivo finale del problema. I calcoli per giungere al risultato si eseguiranno procedendo dal basso verso l’alto seguendo la FRECCIA.



METODO TRADIZIONALE Problema : Il signor Rossi compera 7 dozzine di uova e spende 18 euro. Poiché 14 uova si rompono,si chiede a quanto dovrà rivendere ciascun uovo rimasto affinché possa realizzare un guadagno di 3 euro. DATI INCOGNITE Uova = 7 dozzine ricavo per la vendita di un uovo ? Spesa = 18 euro Uova rotte = 14 Guadagno = 3 euro PROCEDIMENTO CALCOLI

1) ricavo unitario = ricavo complessivo : n° uova rimaste = 21 : 70 = 0,30 euro 2) ricavo complessivo = G + S = = 18 +3 = 21 euro 3) n° uova rimaste = 7 dozzine – uova rotte = 7x12 – 14 = 84- 14 = 70 4) 1 dozzina = 12 uova

METODO DELLE ESPRESSIONI Lo stesso problema può essere risolto con una espressione: ( 18+3 ) : ( 7x12 – 14 ) = ricavo n° uova complessivo vendute 21 : 70 = 0,30 euro

METODO GRAFICO RICORDA Sia in geometria che in aritmetica si parla spesso di GRANDEZZE, ma cosa sono? Per GRANDEZZA s’intende tutto ciò che si può misurare ( l’età di una persona,il peso di un oggetto, la lunghezza di una strada,la capacità di un recipiente,l’ampiezza di un angolo,ecc…). MISURARE UNA GRANDEZZA significa confrontarla con una grandezza “ campione” omogenea,cioè della stessa specie,detta UNITA’ DI MISURA, e stabilire quante volte quest’ultima è contenuta nella grandezza data. Così, per esempio, se scegliamo il segmento u come unità di misura,diremo che la lunghezza di AB disegnato qui sotto è 6 u perché l’unità di misura è contenuta in esso 6 volte.



1° TIPO DI PROBLEMA Si conosce la somma di due grandezze e la misura di una;trovare il valore della grandezza mancante ( INCOGNITA). Ricorda che: a+b = somma a = somma – b Problema: La somma di due segmenti misura cm 18 e uno è di cm 7.Trova la misura dell'altro segmento. DATI INCOGNITE AB + CD = 18 cm (AD) CD = 7 cm AB?

PROCEDIMENTO CALCOLI

AB = SOMMA – CD = AB = 18 – 7 = 11 cm 2° TIPO DI PROBLEMA Si conosce la differenza di due grandezze e la misura di una;si vuole trovare il valore della

grandezza mancante (INCOGNITA). Ricorda che: Minuendo – Sottraendo = Differenza Minuendo = Differenza + Sottraendo Sottraendo = Minuendo – Differenza

Problema: La differenza di due numeri è 5 e il maggiore è 12. Trova il numero minore. DATI INCOGNITE

a – b = 5 a = 12 b?

PROCEDIMENTO CALCOLI b = a – differenza = b = 12 – 5 = 7



Problema: La differenza di due segmenti è cm 4 e il minore misura cm 16. Quanto misura il segmento maggiore? DATI INCOGNITE Differenza = AB – CD = 4 cm ( DE) CD = 16 cm AB?

PROCEDIMENTO CALCOLI AB = differenza + CD = AB = 4 + 16 = 20 cm 3° TIPO DI PROBLEMA Si conosce la somma di due o più grandezze e che una grandezza è multipla o sottomultipla dell'altra o delle altre secondo un certo valore. Trovare il valore delle grandezze. Si procede così:

- Si trova quante volte la grandezza minore è contenuta nella somma ( n° delle unità); - Si divide la somma per tale numero e si trova il valore della grandezza minore

(denominata u); - Si moltiplica il valore della grandezza minore ( u ) per le volte che è contenuta nella maggiore e si trova il valore della grandezza più grande. Problema: La somma di due numeri è 24. Sapendo che uno è il triplo dell'altro,trova i due numeri. DATI INCOGNITE a + b = 24 a? b = 3a b?



PROCEDIMENTO CALCOLI 1) a = 1u x 1 = a = 6 x 1 = 6 2) b = 1u x 3 = b = 6 x 3 = 18 3) 1u = somma : n° unità 1u = 24 : 4 = 6 4) n° unità = 1 + 3 = 4 n° unità = 4 Problema:La somma di tre segmenti è 70 cm. Il secondo è triplo del primo e il terzo è doppio del secondo. Calcola la misura dei tre segmenti. DATI INCOGNITE AB+CD+EF = 70 cm AB ? CD = 3 AB CD ? EF = 2 CD EF ?

PROCEDIMENTO CALCOLI 1) AB = 1u x 1 = AB = 7 x 1 = 7 cm 2) CD = 1u x 3 = CD = 7 x 3 = 21 cm 3) EF = 1u x 6 = EF = 7 x 6 = 42 cm 4) 1u = somma : n° unità 1u = 70 : 10 = 7 cm 5) n° unità = 1+3+6 = 10 n° unità = 10 Problema: La somma di due angoli è 80° e uno è 1/4 dell'altro. Calcola le ampiezze dei due angoli. DATI INCOGNITE

α + β = 80° α ? α = 1/4 β equivale a dire che β = 4α β ?



PROCEDIMENTO CALCOLI 1) α = 1u x 1 = α = 16 x 1 = 16° 2) β = 1u x 4 = β = 16 x 4 = 64° 3) 1u = somma : n° unità 1u = 80° : 5 = 16° 4) n° unità = 1+ 4 = 5 n° unità = 5

4° TIPO DI PROBLEMA Si conosce la differenza di due grandezze e una è multipla o sottomultipla dell'altra secondo un certo valore. Trovare il valore delle due grandezze. Si procede così: - Si trova quante volte la grandezza minore è contenuta nella differenza (n° unità). - Si divide la differenza per tale numero e si trova il valore della grandezza minore (denominata u). - Si moltiplica il valore della grandezza minore (u) per le volte che è contenuta nella maggiore e si trova il valore della grandezza più grande. Problema: La differenza tra due numeri è 400 cm e uno è il triplo dell'altro. Trova i due numeri. DATI INCOGNITE b – a = 400 b = 3a a ? b ?



PROCEDIMENTO CALCOLI 1) a = 1u x 1 = a = 200 x 1 = 200 2) b = 1u x 3 = b = 200 x 3 = 600 3) 1u = differenza : n°unità 1u = 400 : 2 = 200 4) n° unità = 3 – 1 = 2 n° unità = 2 5° TIPO DI PROBLEMA

Si conosce la somma e la differenza di due grandezze. Trovare il loro valore. Si procede così: dalla somma si sottrae la differenza e si trova così il doppio della grandezza minore si divide per due il risultato trovato e si trova il valore della grandezza minore alla somma si addiziona la differenza e si trova il doppio della grandezza maggiore si divide per due il risultato trovato e si trova il valore della grandezza maggiore equivale a dire : ( S + D ) : 2 grandezza maggiore ( S – D ) : 2 grandezza minore Problema: La somma di due segmenti è 126 cm e la loro differenza di 22 cm. Trova la misura dei due segmenti. DATI INCOGNITE AB + CD = 126 cm AB ? AB – CD = DE = 22 cm CD ?

PROCEDIMENTO CALCOLI 1) AB = ( S + D ) : 2 = AB = ( 126 + 22 ) : 2 = 148 : 2 = 74 cm 2) CD = ( S – D ) : 2 = CD = ( 126 – 22 ) : 2 = 104 : 2 = 52 cm



6° TIPO DI PROBLEMA Si conosce la somma di due grandezze e che una supera l'altra di un certo valore. Si procede come nel 5° tipo

Problema: La somma di due angoli è 100° e uno supera l'altro di 20°. Calcola le ampiezze dei due angoli. (Dire che uno supera l'altro di 20° significa che la loro differenza è di 20°). DATI INCOGNITE

α + β = 100° α ?

β = α + 20° cioè β – α = 20° (diff. tra le ampiezze dei due angoli) β ?


1) β = ( S + D ) : 2 = β = ( 100° + 20°) : 2 = 60° oppure β = α + 20° = oppure β =40° + 20° = 60°

2) α = ( S – D ) : 2 = α = ( 100° - 20° ) : 2 = 40° Problema: Un padre e un figlio hanno complessivamente 52 anni. Sapendo che il padre supera di 7 anni il doppio dell'età del figlio,calcola le due età.( Vuol dire che tra il doppio dell'età del padre e l'età del figlio c'è la differenza di 7 anni). DATI INCOGNITE P + F = 52 anni P ?

P = 2F + 7 anni cioè P – 2F = 7 anni(differenza) F ?




1) P = 2F + 7 = P = 2 x 15 + 7 = 30 +7 = 37 anni 2) F = ( S – D ) : 3 = F = ( 52 – 7 ) : 3 = 45 : 3 = 15 anni

Problema: La somma di tre segmenti misura 326 cm. Se il primo supera il secondo di 36 cm e il secondo supera il terzo di 40 cm, quanto misura ciascun segmento? DATI INCOGNITE AB +CD + EF = 326 cm AB ? AB = CD + 36 cm CD ? CD = EF + 40 cm EF ? se alla somma si sottraggono le differenze,si ha il triplo del segmento più corto;dividendo per tre si ottiene la misura del segmento più corto.

PROCEDIMENTO CALCOLI 1) AB = CD + 36 cm = AB = 110 + 36 = 146 cm 2) CD = EF + 40 cm = CD = 70 + 40 = 110 cm 3) EF = ( S – D ) : 3 = EF = ( 326 – 36 – 40 – 40 ) : 3 = 210 : 3 = 70 cm



PROBLEMI CON LE FRAZIONI 1° TIPO – Problemi diretti Si dice problema diretto un problema in cui si conosce il valore dell'intero e si vuole trovare una o più parti dello stesso. Si procede così:

- Si divide il valore dell'intero per il valore del DENOMINATORE e si trova il valore dell'unità frazionaria. - Si moltiplica il valore dell'unità frazionaria per il NUMERATORE e si trova la parte. Problema: Un segmento AB misura 60 cm. Calcola la misura del segmento CD che è 3/4

di AB. DATI INCOGNITA AB = 60 cm CD ? CD = 3/4 AB


1) CD = 1u x 3 = CD = 15 x 3 = 45 cm 2) 1u = AB : 4 = 1u = 60 : 4 = 15 cm ( unità frazionaria 1/4)

Problema: Francesco ha 9 anni. Maria,la sorella,ha 2/3 dei suoi anni. Quanti anni ha Maria? DATI INCOGNITA Francesco = 9 anni Maria = 2/3 di Francesco Età di Maria ?



PROCEDIMENTO CALCOLI 1) M = 1u x 2 = M = 3 x 2 = 6 anni 2) 1u = F : 3 = 1u = 9 : 3 = 3 anni ( unità frazionaria 1/3) Problema: Un segmento AB è lungo 18 cm. Calcola la misura di un altro segmento CD che sia lungo i 9/2 di AB. DATI INCOGNITA AB = 18 cm CD = 9/2 di AB CD ?


1) CD = 1u x 9 = CD = 9 x 9 = 81 cm 2) 1u = AB : 2 = 1u = 18 : 2 = 9 cm ( unità frazionaria 1/2)

2° TIPO – Problemi inversi Si dice problema inverso un problema in cui si vuole calcolare il valore dell'intero conoscendo il valore di una o più parti dello stesso. Si procede così : - Si divide il valore della parte per il NUMERATORE e si trova il valore dell'unità frazionaria. - Si moltiplica il valore dell'unità frazionaria per il DENOMINATORE e si trova il valore dell'intero. Problema: Un segmento AB è lungo 30 cm ed esso è i 2/5 di un altro segmento CD. Quanto misura CD? DATI INCOGNITA AB = 30 cm AB = 2/5 CD CD ?




1) CD = 1u x 5 = CD = 15 x 5 = 75 cm 2) 1u = AB : 2 = 1u = 30 : 2 = 15 cm (unità frazionaria 1/5)

Problema: Un automobilista percorre 200 Km,che corrispondono ai 4/7 del viaggio che deve percorrere per andare da Milano a Pisa. Quanti chilometri è lungo l'intero tragitto? DATI INCOGNITA AB = 200 Km AB = 4/7 MP MP ?


1) MP = 1u x 7 = MP = 50 x 7 = 350 Km 2) 1u = AB : 4 = 1u = 200 : 4 = 50 Km



3° TIPO – Problemi con la somma Si conosce la somma di due grandezze e che una è una data frazione dell'altra. Si procede così: - Si somma N e D,trovando così le parti di cui è costituita la somma ( n° unità). - Si divide il valore della somma per il risultato precedente e si trova l'unità frazionaria ( u ). - Si moltiplica il valore dell'unità frazionaria per il N e per il D e si trova la misura delle due grandezze. Problema: La somma di due numeri è 56 e uno è 3/4 dell'altro. Calcola il valore dei due numeri.( Indica i due numeri con x e y ). DATI INCOGNITE x + y = 56 x ? x = 3/4 y y ?

PROCEDIMENTO CALCOLI 1) x = 1u x 3 = x = 8 x 3 = 24 2) y = 1u x 4 = y = 8 x 4 = 32 3) 1u = somma : n°u 1u = 56 : 7 = 8 (unità frazionaria 1/4 b) 4) n°u = 3 +4 = 7 n°u = 7 ( N + D )



Problema: La somma di due angoli è 180°( oppure due angoli sono supplementari) e uno è 3/5 dell'altro. Calcola l'ampiezza dei due angoli. DATI INCOGNITE α + β = 180° β ? α = 3/5 β α ?


1) α = 1u x 3 = α = 22°30' x 3 = 67°30' 2) β = 1u x 5 = β = 22°30' x 5 = 112°30' 3) 1u = somma : n°u 1u = 180 : 8 = 22°30'(unità frazionaria 1/5 β) 4) n°u = 3 + 5 = 8 n°u = 8 (N+D)



4° TIPO – Problemi con la differenza Si conosce la differenza di due grandezze e che una e una frazione dell'altra. Si procede così:

- Si sottrae dal D il N o viceversa,trovando così le parti di cui è costituita la differenza (n°unità).

- Si divide il valore della differenza per il risultato precedente e si trova l'unità frazionaria ( u ). - Si moltiplica il valore dell'unità frazionaria per il N e il D e si trova il valore delle due grandezze. Problema: Un segmento CD è 3/8 del segmento AB. Trova la misura dei due segmenti sapendo che la loro differenza è 80 cm. DATI INCOGNITE CD – AB = 80 cm AB ? AB = 3/8 CD CD ?


1) CD = 1u x 3 = CD = 16 x 3 = 48 cm 2) AB = 1u x 8 = AB = 16 x 8 = 128 cm 3) 1u = differenza : n° u 1u = 80 : 5 = 16 cm(unità frazionaria 1/8 AB) 4) n° u = 8 – 3 = 5 n°u = 5 ( D – N )



5°TIPO – Reticolo A – Si conosce il rapporto frazionario tra la base e l'altezza di un rettangolo o di un parallelogramma e si conosce l'area. Si vuole trovare la misura dell'altezza e della base. Si procede così :

- Si trova il numero dei quadratini,avente come lato l'unità frazionaria,in cui si può scomporre l'area del quadrilatero,moltiplicando il numeratore per il denominatore. - Si divide l'area del quadrilatero per il risultato precedente e si trova l'area di un quadratino. - Si estrae la radice quadrata dell'area di un quadratino (u2) e si trova l'unità frazionaria ( il lato del quadratino). - Si moltiplica il valore dell'unità frazionaria per il NUMERATORE e il DOMINATORE e si trovano così le due misure cercate.

Problema: L'area di un rettangolo è di 720 cm2. Sapendo che la base è 9/5 dell'altezza,trova il perimetro del rettangolo. DATI INCOGNITE A = 720 cm2

b = 9/5 h 2p ?

PROCEDIMENTO CALCOLI 1) 2p = ( b + h ) x 2 = 2p = (36+20) x 2 = 112 cm 2) b = 1u x 9 = b = 4 x 9 = 36 cm 3) h = 1u x 5 = h = 4 x 5 = 20 cm 4) 1u = lato quadratino = √A rettangolo : n°quadratini 1u =√720:45 =√16 = 4 cm 5) n°quadratini = 9 x 5 = 45 n°quad.= 45

N.B.: Per calcolare la base e l'altezza del rettangolo si può utilizzare il metodo delle proporzioni. Indicando con X la base e con Y l'altezza si ha:

X:Y= 9:5 XY = 720 Moltiplicando il primo rapporto per X si ha :

X2 : XY = 9:5 sostituendo XY=720 si ha : X2 : 720 = 9:5 X2 = 720 x 9 :5 = 1296 X = √1296 = 36 cm di conseguenza 36Y = 720 Y = 720 : 36 = 20 cm



B – Si conosce il rapporto frazionario tra la base e l'altezza di un triangolo oppure tra le due diagonali di un rombo e si conosce l'area del triangolo o del rombo. Si vuole trovare la misura dell'altezza e della base oppure della due diagonali. Si procede così :

- Si costruisce il rettangolo equivalente al doppio del triangolo o al doppio del rombo e si trova il numero di quadratini,aventi come lato l'unità frazionaria in cui si scompone l'area del quadrilatero ottenuto,moltiplicando il numeratore per il denominatore. - Si divide la doppia area del triangolo o del rombo per il risultato precedente e si trova l'area di un quadratino. - Si estrae la radice quadrata dell'area di un quadratino e si trova l'unità frazionaria (il lato del quadratino). - Si moltiplica il valore dell'unità frazionaria per il NUMERATORE e il DENOMINATORE e si trovano così le due misure cercate. Problema: L'area di un triangolo rettangolo è di 294 cm2 e un cateto è i 4/3 dell'altro. Calcola la misura dei due cateti e la misura del perimetro. DATI INCOGNITE A = 294 cm2 C ? C = 4/3 c c ? 2p ?

PROCEDIMENTO CALCOLI 1) 2p = i + C + c = AC + AB + BC = 2p = 35 + 21 + 28 = 84 cm 2) i = √ C2 + c2 = i = √ 282 + 212 =√ 1225 = 35 cm 3) C = 1u x 4 = C = 7 x 4 = 28 cm 4) c = 1u x 3 = c = 7 x 3 = 21 cm 5) 1u = lato quadr.=√Atriangolo x 2 : n°quadratini= 1u = √ 294 x 2 : 12 = √ 49 = 7 cm 6) n° quadratini = 4 x 3 = 12 n°quadr.= 12 N.B. : Per calcolare i due cateti si può applicare ,come nel precedente problema,il metodo delle proporzioni. Bisogna,però,moltiplicare l'area del triangolo per 2 (il triangolo,come si vede in figura,è equivalente alla metà del rettangolo).



Problema: In un rombo l'area è di 2400 cm2 e la diagonale minore è 3/4 della maggiore. Calcola la misura delle due diagonali. DATI INCOGNITE A = 2400 cm2 D ? d = 3/4 D d ?

PROCEDIMENTO CALCOLI 1) d = 1u x 3 = d = 20 x 3 = 60 cm ( BD) 2) D = 1u x 4 = D = 20 x 4 = 80 cm ( AC ) 3) 1u = lato quadr.= √Arombo x 2 : n°quadr. = 1u = √2400 x 2 : 12 = √400 = 20 cm 4) n° quadratini = 4 x 3 = 12 n°quadr. = 12 N.B. : Per calcolare le due diagonali si può applicare ,come nel precedente problema,il metodo delle proporzioni. Bisogna,però,moltiplicare l'area del rombo per 2 (il rombo,come si vede in figura,è equivalente alla metà del rettangolo).



Schema risolutivo di un problema di geometria piana

Problema: Un rettangolo ha il perimetro di 50 cm e l'altezza è 1/4 della base. Calcola il perimetro di un quadrato equivalente al rettangolo. DATI INCOGNITE 2p(ABCD) = 50 cm AB = 1/4 AD 2p(EFGH) = ? A(ABCD) = A(EFGH)

PROCEDIMENTO CALCOLI 1) 2p(EFGH) = EF x 4 = 2p(EFGH) = 10 x 4 = 40 cm 2) EF = √A(EFGH) = √A(ABCD) = √AB xAD = EF = √20x 5 = 10 cm 3) AB = 1u x 1 = AB = 5 x 1 = 5 cm 4) AD = 1u x 4 = AD = 5 x 4 = 20 cm 5) 1u = 2p (ABCD) : n°u 1u = 50 : 10 = 5 cm 6) n°u = 1+4+1+4 = 10 n°u = 10 Il problema può essere risolto in altro modo,applicando la proprietà del comporre delle proporzioni (classi II ):

1) 2p(EFGH) = EF x 4 = 2p(EFGH) = EF x 4 = 10 x 4 = 40 cm 2) EF = √A(EFGH) = √A(ABCD) = √AB x AD = EF = √20 x 5 = √100 = 10 cm 3) AB→ (AB+AD) : AB = (1+4) : 1 = AB = ( 25 x 1 ) : 5 = 5 cm 4) AD→ (AB+AD) : AD = (1+4) : 4 = AD = ( 25 x 4 ) : 5 = 20 cm 5) AB +AD = 2p : 2 = AB +AD = 50 : 2 = 25 cm



Il problema può essere risolto in altro modo,applicando il metodo delle equazioni (classi III): 1) 2p(EFGH) = EF x 4 = 2p(EFGH) = EF x 4 = 10 x 4 = 40 cm 2) EF = √A(EFGH) = √A(ABCD) = √AB x AD = EF = √20 x 5 = √100 = 10 cm 3) AB = 1/4 AD AB = 1/4AD = 5 cm 4) AD = X ; AB = 1/4 X AD = 20 cm ; AB = 1/4AD = 5 cm 5) X → X + 1/4 X = 2p : 2 = X +1/4 X =50 :2; 5X = 25 x 4;X= 100 =20cm 5 Problema: Un rettangolo ha l'area di 315 cm2 e l'altezza è 7/5 della base. Calcola l'area di un quadrato isoperimetrico al rettangolo. DATI INCOGNITE A(ABCD) = 315 cm2 AB = 7/5 AD A(EFGH) = ? 2p(ABCD) = 2p(EFGH)

PROCEDIMENTO CALCOLI 1) A(EFGH) = EF 2 = A(EFGH) = 182 = 324 cm2

2) EF = 2p(EFGH) = 2p(ABCD) : 4 = EF = 72 : 4 = 18 cm 3) 2p(ABCD) = ( AB + AD) x 2 = 2p(ABCD) = ( 21 + 15) x 2 = 72 cm 4) AB = 1u x 5 = AB = 3 x 7 = 21 cm 5) AD = 1u x 7 = AD = 3 x 5 = 15 cm 6) 1u = lato quadratino = √A quadratino = 1u = lato quadratino = √ 9 = 3 cm 7) A quadratino = A(ABCD) : n° quadratini = A quadratino = 315 : 35 = 9 cm2

8) n° quadratini = 7 x 5 = 35 n° quadratini = 7 x 5 = 35



Il problema può essere risolto in altro modo,applicando le proprietà delle proporzioni: 1) A(EFGH) = EF 2 = A(EFGH) = 182 = 324 cm2

2) EF = 2p(EFGH) = 2p(ABCD) : 4 = EF = 72 : 4 = 18 cm 3) 2p(ABCD) = ( AB + AD) x 2 = 2p(ABCD) = ( 21 + 15) x 2 = 72 cm 4) AB = X AB = 21 cm 5) AD = Y AD = 15 cm 6) AB = 7/5 AD cioè AB: AD = 7 : 5 Quindi X : Y = 7 : 5 con XY = 315 Moltiplichiamo il primo rapporto per X X2 : XY = 7 : 5 sostituiamo XY = 315 X2 : 315 = 7 : 5 calcoliamo X2 = ( 315 x 7) : 5 = 441 cm2

X = √ 441 = 21 cm di conseguenza : 21 Y = 315 Y = 315 : 21 = 15 cm Il problema può essere risolto in altro modo,applicando il metodo delle equazioni: 1) A(EFGH) = EF 2 = A(EFGH) = 182 = 324 cm2

2) EF = 2p(EFGH) = 2p(ABCD) : 4 = EF = 72 : 4 = 18 cm 3) 2p(ABCD) = ( AB + AD) x 2 = 2p(ABCD) = ( 21 + 15) x 2 = 72 cm 4) AD = X AB = 21 cm 5) AB = 7/5 X AD = 15 cm 6) Siccome AB x AD = 315 impostiamo l'equazione X . 7/5 X = 315 7/5 X2 = 315 7 X2 = 315 . 5 X2 = ( 315 . 5 ) : 7 = 225 X = √ 225 = 15 cm (AD) 7/5 X =7/5 di 15 = (15 :5) x 7 = 21 cm (AB) Problema: In un triangolo rettangolo la differenza delle lunghezze dei due cateti misura 20 cm e uno è i 3/4 dell'altro. Calcola il perimetro e l'area del triangolo. DATI INCOGNITE AC – AB = 20 cm 2p ? AB = 3/4 AC A ? AC = cateto maggiore C AB = cateto minore c



PROCEDIMENTO CALCOLI 1) A = (C x c) :2 = A = ( 80 x 60 ) : 2 = 2400 cm2

2) 2p = C + c + i = 2p = 100 + 80 + 60 = 240 cm 3) i = √ C2 + c2 = i = √ 802 + 602 = √6400+3600 =√ 10000 = 100 cm 4) C = 1u x 4 = C = 20 x 4 = 80 cm 5) c = 1u x 3 = c = 20 x 3 = 60 cm 6) 1u = differenza : n° unità 1u = 20 : 1 = 20 cm 7) n° unità = 4 – 3 = 1 n° unità = 1 Il problema può essere risolto in altro modo,applicando la proprietà dello scomporre: 1) A = (C x c) :2 = A = ( 80 x 60 ) : 2 = 2400 cm2

2) 2p = C + c + i = 2p = 100 + 80 + 60 = 240 cm 3) i = √ C2 + c2 = i = √ 802 + 602 = √6400+3600 =√ 10000 = 100 cm 4) C→( C -c ) : C = (4 -3 ) : 4 C = 80 cm C = ( 20 x 4) : 1 = 80 cm 5) c→( C -c ) : c = (4 – 3) : 3 c = 60 cm c =(20 x 3 ) : 1 = 60 cm Il problema può essere risolto in altro modo,applicando il metodo delle equazioni: 1) A = (C x c) :2 = A = ( 80 x 6 0 ) : 2 = 2400 cm2

2) 2p = C + c + i = 2p = 100 + 80 + 60 = 240 cm 3) i = √ C2 + c2 = i = √ 802 + 602 = √6400+3600 =√ 10000 = 100 cm 4) C = X C = 80 cm 5) c = 3/4 X c = 60 cm 6) Siccome C -c = 20 impostiamo l'equazione X - 3/4 X = 20.4 4X – 3X = 20.4 X = 80 cm ( C) 3/4 di 80 = (80 : 4) x 3 = 60 cm (c)



Problema: Nel triangolo ABC i due angoli alla base misurano rispettivamente 45° e 60°. Sapendo che il lato BC misura 24 cm,calcola perimetro e area del triangolo. DATI INCOGNITE Â = 45° Ĉ = 60° 2p ? BC = 24 cm A ?

N.B. Il triangolo ABH è un triangolo rettangolo isoscele,pertanto AH = BH. Ovvero,è la metà di un quadrato di lato AH e AB è ipotenusa del triangolo ed è diagonale del quadrato. Il triangolo BHC è la metà di un triangolo equilatero,pertanto HC è la metà di BC. PROCEDIMENTO CALCOLI 1) A(ABC)=( AC x BH): 2 = A = (32,78 x 20,78):2 =340,58 cm2

2) 2p = AC + BC + AB = 2p = 32,78+24+29,38 =86,16 cm 3) AB = √AH2+ BH2= oppure AH x 1,414 = AB= 20,78 x 1,414 = 29,38 cm 4) AC = AH + HC = AC= 20,78 + 12 = 32,78 cm 5) HC = BC : 2 = HC= 24 : 2 = 12 cm 6) AH = BH = √ BC2 – HC2= oppure= BC x 0,866= AH=BH=24 x 0,866 = 20,78 cm



Problema: Nel trapezio ABCD gli angoli adiacenti alla base maggiore son ampi rispettivamente 45° e 60°. Sapendo che la base minore,congruente all'altezza, misura 90 cm,calcola perimetro e area del trapezio. DATI INCOGNITE α = 45° β = 30° 2p ? CD = AH = CK = DH = HK = 90 cm A ?

N.B. Il triangolo ADH è triangolo rettangolo isoscele ed è la metà di un quadrato,pertanto il lato AH è uguale a DH e AD è diagonale del quadrato. Il triangolo BCK è la metà di un triangolo equilatero e il lato CK è la metà di BC. Nel problema di cui sopra,la figura HDCK è un quadrato essendo CD congruente a DH. PROCEDIMENTO CALCOLI 1) A = [(AB+CD) x DH] : 2 = A = [( 335,88+90) x 90] :2 = 19164,6 cm2

2) 2p = AB+CD+AD+BC = 2p = 335,88+90+127,26+180 = 733,14 cm 3) AB = AH+HK+KB = AB = 90+90+155,88 = 335,88 cm 4) AD =AH x 1,414 =√AH2+DH2 = AD = 90 x 1,414 = 127,26 cm 5) BK = BC x 0,866 =√BC2- CK2= BK = 180 x 0,866 = 155,88 cm 6) BC = CK x 2 = BC = 90 x 2 = 180 cm



Problema: In una circonferenza di centro O e raggio lungo 58 cm,la corda AB dista dal centro 40 cm. Calcola perimetro e area del triangolo di vertice O e base AB. DATI INCOGNITE AO = raggio = 58 cm 2p(AOB) ? OH = 40 cm A(AOB) ?

N.B. Il triangolo formato dai due raggi OB e OA e dalla corda AB è isoscele. La distanza OH della corda AB dal centro è l'altezza del triangolo AOB. PROCEDIMENTO CALCOLI 1) A(AOB) = ( AB x OH ) : 2 = A(AOB) = ( 84 x 40 ) : 2 = 1680 cm2

2) 2p(AOB) = AO x 2 + AB = 2p(AOB) = 58 x 2 + 84 = 200 cm 3) AB = AH x 2 = AB = 42 x 2 = 84 cm 4) AH = √AO2 - OH2 = AH = √582- 402 = √3364 – 1600 = √1764 = 42 cm Problema: Nella circonferenza di centro O e raggio lungo 50 cm,i raggi passanti per gli estremi della corda AB formano un angolo di 120°. Calcola perimetro e area del triangolo AOB. DATI INCOGNITE AO = OB = 50 cm 2p(AOB) ? AÔ B = 120° A(AOB) ? N.B. Il triangolo OHA è la metà di un triangolo equilatero( OAC),pertanto i lati OA,AC,OC sono congruenti e quindi OH è la metà di AO e AH è l'altezza del triangolo AOC.



PROCEDIMENTO CALCOLI 1) A(AOB) = (AB x OH) : 2 = A(AOB) = (86,6 x 25) : 2 = 1082,5 cm2

2) 2p(AOB) = AO x 2 + AB = 2p(AOB) = 50 x 2 + 86,6 = 186,6 cm 3) AB = AH x 2 = AB = 43,3 x 2 = 86,6 cm 4) AH = AO x 0,866 = AH = 50 x 0,866 = 43,3 cm oppure AH = √AO2- OH2 = AH = √502- 252 =√2500 – 625 =√1875 = 43,3 cm 5) OH = AO : 2 = OH = 50 : 2 = 25 cm Problema: In una circonferenza di centro O e raggio lungo 34 cm,la corda AB è perpendicolare al diametro CD. Sapendo che la corda dista 16 cm dal centro O,calcola perimetro e area del quadrilatero ACBD (approssima ai centesimi). DATI INCOGNITE r = OC =OD = 34 cm 2p(ACBD) ? OH (distanza della corda dal centro) = 16 cm A(ACBD) ?

N.B. IL quadrilatero ACBD è formato da due triangoli rettangoli congruenti ACD e CBD (sono triangoli rettangoli perché inscritti in una semicirconferenza; l'angolo alla circonferenza Â e l'angolo al centro Ô sono corrispondenti,quindi se Ô è di 180°, Â sarà di 90° e quindi il quadrilatero ACBD ha le diagonali perpendicolari,pertanto l'area si calcolerà come nel rombo. PROCEDIMENTO CALCOLI 1) A(ACBD) = (CD x AB) : 2 = A(ACBD) = ( 68 x 60) : 2 = 2040 cm2

2) 2p(ACBD) = (AC + AD) x 2 = 2p(ACBD) = (58,3 + 34,98) x 2 = 186,56 cm 3) AB = AH x 2 = AB = 30 x 2 = 60 cm 4) AD = √ CD2 – AC2 = AD = √682 – 58,32 = √1224 = 34,98 cm 5) AC =√ CH2 + AH2 = AC =√ 502 + 302 = √3400 = 58,3 cm 6) AH → CH : AH = AH : HD ( 2° T. Euclide) AH = √ CH x HD = AH = √ 50 x 18 = √ 900 = 30 cm 7) HD = CD – CH = HD = 68 – 50 = 18 cm 8) CD = 2 x OC = CD = 34 x 2 = 68 cm 9) CH = OC + OH = CH = 34 + 16 = 50 cm



Problema: Il punto P della tangente condotta a una circonferenza di centro O e diametro ungo 80 cm dista dal punto di tangenza 96 cm. Calcola perimetro e area del triangolo OPT. DATI INCOGNITE RT = diametro = 80 cm 2p(OPT) ? PT = 96 cm A(OPT) ?

N.B. Il triangolo OPT è rettangolo in T perché come da proprietà nota,il segmento di tangente PT è perpendicolare al raggio OT,pertanto la distanza OP è ipotenusa del triangolo OPT. PROCEDIMENTO CALCOLI 1) A(OPT) =(C x c ) : 2 = (OT x PT) : 2 = A(OPT) = (40 x 96) : 2 = 1920 cm2

2) 2p(OPT) = OT + PT + OP = 2p(OPT) = 40 +96 + 104 = 240 cm 3) OP = √ PT2 + OT2 = OP = √962 + 402 = √10816 = 104 cm 4) OT = RT : 2 = OT = 80 : 2 = 40 cm



Problema: Sia dato un quadrato di lato 6 cm. Da un vertice del quadrato, usato come centro del cerchio, è disegnato un cerchio con raggio uguale al lato del quadrato. Calcola la misura del contorno e dell’area della zona in colore delimitata dai due lati del quadrato e dall’arco di circonferenza. DATI INCOGNITE AD=BC=CD=AB= r = 6 cm Contorno ( parte colorata) ? Area (parte colorata) ?

N.B. L'arco di circonferenza BD sottiene l'angolo al centro Ĉ di 90°,quindi è un quarto dell'intera circonferenza avente come raggio il lato del quadrato. PROCEDIMENTO CALCOLI 1) A(ABD) = Aquadrato – Acerchio : 4 = A(ABD) = 36 – 113,04 : 4 = 36 – 28,26= 7,74cm2

2) Contorno(ABD) = AB x 2 + BDarco = Contorno(ABD) = 6 x 2 + 9,42 = 21,42 cm 3) Aquadrato = AB2 = Aquadrato = 6 x 6 = 36 cm2

4) Acerchio = AB2 x 3,14 ( π ) = Acerchio = 6 x 6 x 3,14 = 113,04 cm2

5) BDarco = (AB x 2 x 3,14 ) : 4 = BDarco = ( 6 x 2 x 3,14 ) : 4 = 9,42 cm



Problema: Sia dato un quadrato di lato 8 cm. Da un vertice del quadrato, usato come centro del cerchio, è disegnato un cerchio con raggio pari alla metà del lato del quadrato. Calcola la misura del contorno e dell’area della zona in colore delimitata da due lati del quadrato e dall’arco di circonferenza. DATI INCOGNITE AB = BC = AD =CD = 8 cm A ( parte colorata) ? EC = CF = r = AB : 2 Contorno (parte colorata) ?

N.B. L'arco EF sottiene l'angolo Ĉ di 90°,quindi è 1/4 di circonferenza avente come raggio EC che è la metà del lato del quadrato. Lo stesso vale se si considera il settore circolare delimitato dall'arco ( 1/4 di cerchio). PROCEDIMENTO CALCOLI 1) Area = Aquadrato - Asettore EF = Area = 64 – 12,56 = 51,44 cm2

2) Contorno = AB+AD+DF+BE+ EFarco = Contorno = 8+8+4+4+6,28 = 30,28 cm 3) Aquadrato = AB2 = Aquadrato = 82 = 64 cm2

4) Asettore = ( EC2 x 3,14 ) : 4 = Asettore = ( 42 x 3,14) : 4 = 12,56 cm2

5) EFarco = (2 x 3,14 x EC) : 4 = EFarco = (2 x 3,14 x 4 ) : 4 = 6,28 cm 6) EC = BC : 2 = EC = 8 : 2 = 4 cm



Problema: Sia dato un quadrato di lato 12 cm. Da due vertici opposti del quadrato, usati come centro del cerchio, sono disegnati due cerchi con raggio pari alla metà del lato del quadrato. Calcola la misura del contorno e dell’area della zona in colore che si viene a formare. DATI INCOGNITE AB=BC=CD=DA= 12 cm Area ( parte colorata) ? AH=AG=EC=CF= raggio= AB: 2 Contorno ( parte colorata) ? AH=HB=BE=DF=DG

N.B. I due archi,HG e EF sono congruenti e sottendono angoli al centro Â e Ĉ di 90°,quindi formano una semicirconferenza. Lo stesso vale se si considerano i settori circolari corrispondenti che formano un semicerchio. PROCEDIMENTO CALCOLI 1) Area = Aquadrato – Asemicerchio = Area = 144 – 56,52 = 87,48 cm2

2) Contorno = BH x 4 + Semicirconferenza = Contorno = 6 x 4 + 18,84 = 42,84 cm 3) Aquadrato = AB2 = Aquadrato = 122 = 144 cm2

4) Asemicerchio = ( EC2x 3,14 ) : 2 = Asemicerchio = ( 62 x 3,14) : 2 = 56,52 cm2

5) Semicirconferenza = ( EC x 2 x 3,14 ) :2 = Semicirc.= (6 x 2 x 3,14 ):2 = 18,84 cm 6) EC = AB : 2 = EC= 12: 2 = 6 cm



Problema: Un circo è formato da un corpo centrale rettangolare e da due semicerchi costruiti verso l’esterno usando come diametro i due lati più corti del rettangolo. Sapendo che le dimensioni del rettangolo misurano 120 m e 83 m, calcola la superficie e il contorno della figura ponendo π (pi greco) = 3,14. DATI INCOGNITE AD = BC = 83 m 2p ? CD = AB = 120 m A ?

PROCEDIMENTO CALCOLI 1) A = AABCD + Acerchio = A = 9960 + 5407,865 = 15367,865 m2

2) 2p = C + AB x 2 = 2p = 260,62 + 120 x 2 = 500,62 m 3) AABCD = AB x AD = AABCD = 120 x 83 = 9960 m2

4) Acerchio = π x AE2 = Acerchio = 41,52 x 3,14 = 5407,865 m2

5) C = 2 π x AE = C = 2 x 3,14 x 41,5 = 260,62 m 6) AE = AD : 2 = AE = 83 : 2 = 41,5 m



Problema: Un volto è costituito da un rettangolo lungo 16 m e alto 8 m in cui è stato ricavato un semicerchio con il centro posto a metà del lato più lungo e alto 7 m. Calcola la misura del contorno e dell’area del volto (zona in colore) che si viene a formare, ponendo π (pi greco) = 3,14. DATI INCOGNITE AD = BC = 8 m Contorno (zona colorata) ? AB = CD = 16 m A ( zona colorata) ? r = 7 m

PROCEDIMENTO CALCOLI 1) A = AABCD – A semicerchio = A = 128 – 76,93 = 51,07 m2

2) Contorno = AD x 2 + CD + π r +( AB – 2r) = Cont =8x2+16+7x3,14+(16-14)= 55,98m 3) AABCD = AD x DC = AABCD = 8 x 16 = 128 m 4) Asemicerchio = πr2 / 2 = Asemicerchio = (3,14 x 72) : 2=76,93 m2



Problema: Calcola la misura degli angoli alla circonferenza e la lunghezza dell’arco corrispondenti ad un angolo al centro di 100°, sapendo che il raggio della relativa circonferenza misura 18 cm. DATI INCOGNITE α = 100° β ? AO =BO = r = 18 cm γ ? ABarco ?

PROCEDIMENTO CALCOLI 1) ABarco = ( C x α) : 360° = ABarco = (3,14 x 2 x 18 x100°) : 360 = 31,4 cm 2) β = γ = α : 2 = β = γ = 100° : 2 = 50° N.B. Gli angoli β e γ sono angoli corrispondenti uguali perché sottendono uno stesso arco.



Problema: Calcola l’ampiezza dell’angolo al centro corrispondete ad un arco lungo 8 π cm, sapendo che la circonferenza ha il raggio che misura 60 cm. DATI INCOGNITE ABarco = 8π cm α ? r = AO = BO = 60 cm

PROCEDIMENTO CALCOLI 1) α = (360° x AB arco) :C = α = ( 360 x 8π) : 376,8 = 24° 2) C = 2πr = C = 6,28 x 60 = 376,8 cm Problema: Calcola la misura del raggio di una circonferenza sapendo che ad un suo settore di 80π cm2 corrisponde un angolo al centro di 18°. DATI INCOGNITE Asettore = 80π cm2

α = 18° r ?

PROCEDIMENTO CALCOLI 1) r = √Acerchio : π = r = √4π : π = 2 cm 2) Acerchio = (Asettore x α) : 360° = Acerchio = (80π x 18°) : 360°= 4π cm2



Problema: In una circonferenza di raggio 20 cm, l’area di un settore circolare è di 80 cm2. Calcola la lunghezza dell’arco corrispondente allo stesso angolo centro. DATI INCOGNITE r = 20 cm Asettore = 80 cm Larco ?

PROCEDIMENTO CALCOLI 1) L = 2 Asettore : r = L = 2 x 80 :20 = 8 cm Problema: Calcola l’area e il contorno della figura in colore sapendo che il diametro del cerchio massimo è di 40 cm. ( Indico con d il diametro,con R il raggio del cerchio massimo e con r il raggio dei cerchi minimi congruenti; con A1 ,C1 l'area e circonferenza del cerchio massimo, con A2,C2 , A3, C3, l'area e circonferenza dei due cerchi minimi congruenti). DATI INCOGNITE d = 2R = 40 cm Afigura colorata ? Contornofigura colorata ?



PROCEDIMENTO CALCOLI 1) A = π R2 – πr2x 2 = A = π202 – 2π102 = 400π – 200π =200π = 628 cm2 2) Contorno = C1+ C2 x 2 = Contorno = 125,6 + 2 x 62,8 = 251,2 cm 3) C1 = 2πR= C1 = 2 x 3,14 x 20 = 125,6 cm 4) C2 =C3 = 2πr = C2 =C3 = 2 x 3,14 x 10 = 62,8 cm 5) r = R : 2 = r = 20 : 2 = 10 cm 6) R = d :2 = R = 40 : 2 = 20 cm Problema: Calcola l’area e il contorno della figura data sapendo che la distanza tra il punto A e il punto B è di 6 cm e che il segmento BD è i 2/3 di AB. DATI INCOGNITE AB = CD = 6 cm BD = AC = 2/3 AB A ? EC = AC = DF 2p ?

N.B.: AEC ed BDF sono due settori circolari uguali con angolo al centro di 90° e quindi formano un semicerchio;i due archi AE ed AE formano,pertanto, una semicirconferenza. PROCEDIMENTO CALCOLI 1) A = AABCD + Asemicerchio = A = 24 + 25,12 = 49,12 cm2

2) 2p = AB x 2 + EC x 2 + C/2 2p = 6 x 2+4 x 2+12,56 = 32,56 cm 3) AABCD = AB x AC = AABCD = 6 x 4 = 24 cm2

4) Asemicerchio = πr2/2 = Asemicerchio =16π/2 = 8π = 25,12 cm 5) C = 2πr :2 = C = 4 x 3,14 = 12,56 cm 6) AC = 2/3 AB = AC = 2/3 di 6 = 4 cm



Problema: Calcola l’area e il contorno della figura in colore sapendo che il lato di uno dei quattro quadrati su cui è stata costruita misura 10 cm. DATI INCOGNITE lato quadrato = 10 cm Afigura colorata ? Contornofigura colorata ? Indico con C1,C2, C3, e con A1,A2,A3 circonferenza e cerchio di raggio 5 cm,10 cm e 15 cm. Usando il pieno e il vuoto posso sommare solo i due semicerchi di raggio 5 cm e 15 cm.

PROCEDIMENTO CALCOLI 1) C =C1/2+2C2/2+C3/2 = C = 5π+20π+15π = 40π cm = 125,6 cm 2) A = A1/2 +A3/2 = A= 12,5π+112,5π = 125π cm2 = 392,5 cm2

3) C1=2πr1= C1 =10π cm 4) C2= 2πr2= C2= 20π cm 5) C3= 2πr3= C3= 30π cm 6) A1=πr1

2 = A1 =52 π =25π cm2

7) A3 =πr32 = A3 = 152π =225 π cm2



Problema: Calcola l’area e il contorno della figura in colore sapendo che il diametro AB misura 6 cm. DATI INCOGNITE AB = 6 cm Afigura colorata ? CB = AD = 4 cm Cfigura colorata ? AC = BD = 2 cm

N.B.: Osservando i pieni e i vuoti,per ottenere l'area della figura colorata si può sottrarre l'area del cerchio di raggio 1 cm all'area del cerchio di raggio 2 cm. Indico con A1

e C1 area e circonferenza del cerchio con diametro AD e con A2 e C2 area e circonferenza del cerchio di diametro AC. PROCEDIMENTO CALCOLI 1) A = A1 – A2 = A = 4π – π = 3π cm2 = 9,42 cm2

2) C = C1 + C2 = C = 4π+2π = 6π cm = 18,84 cm 3) A1 = πr1

2 = A1 = 4π cm2 4) A2 = πr2

2 = A2 = π cm2

5) C1 = 2πr1 = C1 = 4π cm 6) C2 = 2πr2 = C2 = 2π cm



Problema: Calcola il contorno e l’area della zona in colore della figura sapendo che il lato AB del quadrato ABCD misura 5 cm. DATI INCOGNITE AB = 5 cm Afigura colorata ? Cfigura colorata ?

N.B.:Osservando i pieni e i vuoti, si nota che il contorno corrisponde alla misura di due circonferenze di diametro 5 cm. Per calcolare l'area,devo ragionare sulla quarta parte della figura ( quadrato di lato 2,5 cm e corrispondente doppio segmento circolare colorato). L'area del segmento circolare è data dalla differenza tra l'area del settore di raggio 2,5 cm e l'area di metà quadrato di lato 2,5 cm.L'area della figura colorata si calcolerà moltiplicando per 8 l'area di ciascun segmento circolare. PROCEDIMENTO CALCOLI 1) Cfigura colorata = 2 x ( 2πr) = Cfigura colorata = 2 x 2 x 3,14 x 2,5 = 31,4 cm 2) Afigura colorata = Aseg.circolare x 8 = Afigura colorata = 1,78 x 8 = 14,24 cm2

3) Aseg.circolare = Asettore – (Aq : 2) = Aseg.circolare = 4,9 - ( 6,25 : 2) = 4,9 – 3,125 =1,78 cm2

4) Asettore = Acerchio : 4 = Asettore = 19,625 : 4 = 4,9 cm2

5) Acerchio = πr2 = Acerchio = 2,5 x 2,5 x 3,14 = 19,625 cm2

6) Aq = r2 = Aq = 2,5 x 2,5 = 6,25 cm2

7) r = AB : 2 = r = 5 : 2 = 2,5 cm



Problema: Calcola l’area e il contorno della zona rappresentata in colore nella figura sapendo che il raggio dei cerchi misura 2 cm e che i quattro cerchi sono tutti congruenti e tangenti tra loro. DATI INCOGNITE r = 2 cm Afigura colorata ? Cfigura colorata ?

N.B. : Come si può notare, il contorno della figura colorata corrisponde alla lunghezza di una circonferenza ( ciascun arco è la quarta parte di essa). Per calcolare l'area sottrarrò l'area del cerchio all'area del quadrato di lato 4 cm ( l'area di quattro settori corrispondono ad un intero cerchio). PROCEDIMENTO CALCOLI 1) C = 2πr = C = 2 x 3,14 x 2 = 12,56 cm 2) A = Aquadrato – Acerchio = A = 16 – 12,56 = 3,44 cm2

3) Aq = l x l = Aq = 4 x 4 = 16 cm2

4) Ac = π r2 = Ac = 3,14 x 2 x 2 = 12,56 cm2



Problema: Calcola l’area e il contorno della zona rappresentata in colore nella figura sapendo che la somma delle due dimensioni del rettangolo è 28 cm e la loro differenza è di 4 cm e che il semicerchio ha il diametro coincidente con la dimensione minore del rettangolo e che il quarto di cerchio ha il raggio che è pari alla metà della dimensione maggiore del rettangolo. DATI INCOGNITE h + b = 28 cm h – b = 4 cm Afigura colorata ? r1 = b : 2 Cfigura colorata ? r2 = h : 2

PROCEDIMENTO CALCOLI 1) A = A rettangolo - (A1/2 + A2/4) = A = 192 - ( 56,52+50,24) = 192 – 106,76 = 85,24 cm2

2) C = h + h/2 + C1/2 + C2/4 = C = 16+8+18,84+12,56 = 55,4 cm 3) A rettangolo = b x h = A rettangolo = 16 x 12 = 192 cm2

4) A1 = π (b/2)2 = A1 = 3,14 x 36 = 113,04 cm2

5) A2 = π (h/2)2 = A2 = 3,14 x 64 = 200,96 cm2

6) C1 = 2πb/2 = C1 = 2 x 3,14 x 6 = 37,68 cm 7) C2 = 2πh/2 = C2 = 2 x 3,14 x 8 = 50,24 cm 8) h = (s + d) : 2 = h = (28 + 4) : 2 = 16 cm 9) b = (s – d ) : 2 = b = (28 – 4): 2 = 12 cm



Problema: Calcola l’area e il contorno della zona rappresentata in colore nella figura sapendo che la somma delle due dimensioni del rettangolo è 60 cm e la loro differenza è di 12 cm e che i semicerchi hanno il diametro coincidente con le dimensioni del rettangolo. DATI INCOGNITE AD + AB = 60 cm Afigura colorata ? AD – AB = 12 cm 2p figura colorata ?

PROCEDIMENTO CALCOLI 1) A = AABCD + A1 + A2 + A3 = A = 864 + 226,08 x 2 + 508,68 = 1824,84 cm2

2) 2p = C1+C2+C3+AD = 2p = 37,68 x 2 +56,52 + 36 = 167,88 cm 3) AABCD = AD x AB = AABCD = 36 x 24 = 864 cm2

4) A1 = A2 = r12π : 2 = A1 = A2 = 12 x 12 x 3,14 : 2 = 226,08 cm2

5) A3 = r32π : 2 = A3 =18 x 18 x 3,14 : 2 = 508,68 cm2

6) C1 = C2 = 2πr1 : 2 = C1 = C2 = 2 x 3,14 x 12 : 2 = 37,68 cm 7) C3 = 2πr3 : 2 = C3 = 2 x 3,14 x 18 : 2 = 56,52 cm 8) r1 = r2 = h/2 = r1 = r2 = 24 : 2 = 12 cm 9) r3 = b/2 = r3 = 36:2 = 18 cm 10) h = (s- d) : 2 = h = (60- 12) : 2 = 24 cm 11) b = (s+d) : 2 = b = (60+12) : 2 = 36 cm N.B. : Per calcolare la misura della base e dell'altezza si può applicare il metodo delle equazioni. b + h = 60 b – h = 12 Se indico h = X sarà b = 12 + X e quindi X + 12 + X = 60 risolvendo si ha : 2X = 60 – 12 X = 48/2 = 24 cm (altezza) 12 + 24 = 36 cm (base)



Schema risolutivo di un problema di geometria solida Problema: Un cubo ha lo spigolo di 4 cm. Calcola l'area della sua superficie totale e il suo volume. DATI INCOGNITE s = 4 cm S.tot.? V ?

PROCEDIMENTO CALCOLI 1) V = s3 = V = 43 = 4 x 4 x 4 = 64 cm2

2) S.tot. = 6 x s2 = S.tot. = 6 x 42 = 6 x 16 = 96 cm2

Problema: Un cubo ha il volume che misura 125 cm3. Calcola l'area della sua superficie totale. DATI INCOGNITE V = 125 cm3 S.tot. ? N.B.: Osservare la figura del problema precedente. PROCEDIMENTO CALCOLI 1) S.tot. = 6 x s2 = S.tot. = 6 x 25 = 150 cm2

2) s = 3√ V = s = 3√125 = 5 cm Problema: Calcola il volume e la diagonale di un cubo con l'area della sua superficie totale di 864 cm2. DATI INCOGNITE S.tot. = 864 cm2 V ? N.B.: Osservare la figura del problema precedente. PROCEDIMENTO CALCOLI 1) V = s3 = V = 123 = 1728 cm3

2) s = √S faccia = s = √144 = 12 cm 3) Sfaccia = S.tot. : 6 = S faccia = 864 : 6 = 144 cm2



Problema: Calcola di un cubo,la cui superficie di una faccia misura 49 cm2,la superficie totale,la diagonale,il suo volume e il peso,sapendo che è fatto di argento (ps = 10,5g/cm3). DATI INCOGNITE Sfaccia = 49 cm2 S.tot. ? d ? V ? P ? N.B.: Osservare la figura del problema precedente. PROCEDIMENTO CALCOLI 1) P = V x ps = P = 343 x 10,5 = 3601,5 g = 3,6015 Kg 2) V = s3 = V = 73 = 343 cm3 3) S.tot.= 6 x s2 = S.tot. = 6 x 72 = 294 cm2 4) d = s √3 = d = 7√3 cm = 12,12 cm 5) s = √S faccia = s = √49 = 7 cm Problema: Un parallelepipedo rettangolo ha i due spigoli di base che misurano 8 cm e 3 cm e la sua altezza misura 5 cm. Calcola la superficie totale e il suo peso sapendolo fatto di sughero (ps 0,25 g/cm3). DATI INCOGNITE a = 8 cm S.tot. ? b = 3 cm P ? c = 5 cm ps = 0,25 g/cm3

PROCEDIMENTO CALCOLI 1) P = V x ps = P = 120 x 0,25 = 30 g 2) V = a x b x c = V = 8 x 3 x 5 =120 cm3

3) St = Sl + 2 Sb = St = 110 + 2 x 24 = 110 + 48 = 158 cm2

4) Sl = ( 2a + 2b) x c = Sl = ( 16 + 6) x 5 = 22 x 5 = 110 cm2

5) Sb = a x b = Sb = 8 x 3 = 24 cm2



Problema:Un parallelepipedo rettangolo ha i due spigoli di base che misurano 6 cm e 8 cm e la diagonale che misura 26 cm. Calcolane la superficie totale e il suo volume. DATI INCOGNITE a = 6 cm St ? b = 8 cm V ? d = 26 cm

PROCEDIMENTO CALCOLI 1) V = a x b x c = V = 6 x 8 x 24 = 1152 cm3

2) St = Sl + Sb = St = 672 + 48 = 720 cm2

3) Sl = (2a +2b) x c = Sl = (12 +16) x 24 = 28 x 24 =672 cm2

4) Sb = a x b = Sb = 6 x 8 = 48 cm2

5) c = √dp2- db2 = c = √262-102 = √676 – 100 = √576 = 24 cm 6) db = √a2+b2 = db = √62+82 =√36+64 =√100 = 10 cm Problema: Un parallelepipedo retto ha per base un rombo che ha un perimetro di 102 cm ed una diagonale di 24 cm. Sapendo che il suo volume è di 27000 cm3 e che è fatto di alluminio (ps 2,6 g/cm3) calcolate il peso del parallelepipedo e l’area della sua superficie totale. DATI INCOGNITE 2p rombo = 102 cm St ? V = 27000 cm3 P ? ps = 2,6 g/cm3



PROCEDIMENTO CALCOLI 1) P = V x ps = P = 27000 x 2,6 =70200 g = 70,200 Kg 2) St = Sl + 2Sb = St = 5100 + 2 x 540 = 5100 + 1080 = 6180 cm2

3) Sl = 2p x h = Sl = 102 x 50 = 5100 cm2

4) h = V : Sb = h = 27000 : 540 = 50 cm 5) Sb = (D x d ) : 2 = Sb = (45 x 24) : 2 =540 cm2

6) D = ( √l2 – d/22) x 2 = D = (√25,52 – 122 ) x 2= (√650,25 – 144) x 2 = 45 cm 7) l = 2p :4 = l = 102 : 4 = 25,5 cm Problema: Il perimetro di base di un parallelepipedo rettangolo è di 140 cm e una dimensione di base è i 2/5 dell’altra. Sapendo che l’altezza del parallelepipedo è di 10 cm, calcola il volume del solido e il suo peso sapendolo fatto di oro (ps 19,3 g/cm3). DATI INCOGNITE 2p = 140 cm V ? a = 2/5b P ? c = 10 cm ps = 19,3 g/cm3

PROCEDIMENTO CALCOLI 1) P = V x ps = P = 10000 x 19,3 = 193000 g = 193 Kg 2) V = a x b x c = V = 20 x 50 x 10 = 10000 cm3

3) Per calcolare a e b imposto un'equazione: b = X a = 2/5 X X + 2/5X = 140 : 2 7X = 350 X = 50 cm ( b) 2/5 di 50 = 20 cm (a)



Problema: Una dimensione di base di un parallelepipedo rettangolo è 18 cm ed è 6/5 dell’altra dimensione di base. L’area totale del solido è 1860 cm2. Calcola quanto vale l’altezza e la diagonale del solido. DATI INCOGNITE a = 18 cm c ? a = 6/5 b d ? St = 1860 cm2

PROCEDIMENTO CALCOLI 1) d = √a2+b2c2 = d = √182+152+202 = √324+225+400 = 30,8 cm 2) c = Sl : (2a + 2b) = c = 1320 : ( 36 + 30 ) = 1320 : 66 = 20 cm 3) Sl = St – 2 Sb = Sl = 1860 – 2 x 270 = 1860 – 540 = 1320 cm2

4) Sb = a x b = Sb = 18 x 15 = 270 cm2

5) b = 5/6 di 18 = b = 18 : 6 x 5 = 15 cm Problema: La superficie di base di un parallelepipedo rettangolo misura 864 cm2 e la sua diagonale misura 51 cm. Sapendo che le dimensioni di base sono una i 2/3 dell’altra, calcola la superficie totale e il suo peso sapendolo fatto di sughero (ps 0,25 g/cm3). DATI INCOGNITE Sb = 864 cm2 St ? d

p = 51 cm P ? a = 2/3 b ps = 0,25g/cm3



PROCEDIMENTO CALCOLI 1) P = V * ps = P = 23328*0,25 = 5832 g = 5,832 Kg 2) V = a * b * c = V = 24*36*27 = 23328 cm3

3) St = Sl + 2Sb = St = 3240 + 2*864 = 3240 + 1728 = 4968 cm2

4) Sl = (2a+2b) * c = Sl = (2*24 + 2*36) * 27 = 120*27 = 3240 cm2

5) c = √dp2- db2 = c =√512- 43,32 =√2601- 1872 = 27 cm 6) db = √a2+b2 = db = √362+242 = √1296+576 = √ 1872 cm = 43,3 cm 7) Per calcolare a e b imposto un'equazione: b = X a = 2/3X X*2/3X = 864 2/3X2 = 864 2X2 =864*3 X2 = 864*3 /2 X2 = 1296 X = √1296 = 36 cm ( b) 2/3 di 36 = 24 cm ( a ) Problema: Un prisma alto 5 cm ha per base un triangolo rettangolo che ha i cateti che misurano 6 cm e 8 cm. Calcola la misura della superficie totale e del volume del solido. DATI INCOGNITE h = 5 cm St ? c = 6 cm V ? C = 8 cm

PROCEDIMENTO CALCOLI 1) V = Sb * h = V = 24* 5 = 120 cm3

2) St = Sl + 2Sb = St = 120 + 2*24 = 120 + 48 = 168 cm2

3) Sl = 2p*h = Sl = 24*5 = 120 cm 4) Sb = (C*c) : 2 = Sb = (8*6): 2 = 24 cm2

5) 2p = C + c + i = 2p = 6 + 8 + 10 = 24 cm 6) i = √C2+c2 = i = √82+62 = √64+36 =√100 = 10 cm



Problema: Un prisma retto avente per base un triangolo isoscele ha l’altezza di 15 cm, il perimetro di base è di 32 cm e la base del triangolo isoscele di base è 6/5 del lato. Calcola l’area totale del prisma retto dato. DATI INCOGNITE h = 15 cm St ? 2p = 32 cm b = 6/5 l

PROCEDIMENTO CALCOLI 1) St = Sl + 2*Sb = St = 480 + 2*48 = 480 + 96 = 576 cm2

2) Sl = 2p*h = Sl = 32*15 = 480 cm2

3) Sb = ( b*h): 2 = Sb = (12*8): 2 = 48 cm2

4) h = √ l2- (b/2)2 = h = √ 102- 62 =√100- 36 =√64 = 8 cm 5) Per calcolare il lato e la base imposto un'equazione: l = X b = 6/5 X X + X + 6/5 X = 32 5X + 5X + 6X = 160 16X = 160 X = 10 cm ( lato) 6/5 di 10 = 12 cm ( base)



Problema:Un prisma retto ha per base un rombo il cui perimetro è di 12 cm e la cui diagonale minore misura 3,6 cm. Sapendo che l’area laterale è di 60 cm2, calcola l’area totale e il volume del prisma. DATI INCOGNITE 2p = 12 cm St ? d2 = 3,6 cm V ? Sl = 60 cm2

PROCEDIMENTO CALCOLI 1) V = Sb * h = V = 8,64* 5 = 43,2 cm3

2) St = Sl + 2*Sb = St = 60 + 2* 8,64 = 77,28 cm2

3) h = Sl : 2p = h = 60 : 12 = 5 cm 4) Sb =( d1 * d2) : 2 = Sb = (3,6*4,8 ) : 2 = 8,64 cm2

5) d1 = 2* [ √l2- (d2/2)2] = d1 = 2* [ √32- 1,82] = 2*√ 9- 3.24 = 2*2,4 = 4,8 cm 6) l = 2p : 4 = l = 12 : 4 = 3 cm



Problema:Un prisma retto ha per base un trapezio rettangolo le cui basi misurano rispettivamente 40 cm e 56 cm e l’altezza 30 cm. Calcolate l’area della superficie totale, il volume del prisma e il suo peso, sapendo che è alto 120 cm e che è fatto di vetro (ps 2,5 g/cm3). DATI INCOGNITE B = 56 cm St ? B = 40 cm V ? h trapezio = 30 cm P ? h prisma = 120 cm ps(vetro) = 2,5 g/cm3

PROCEDIMENTO CALCOLI 1) P = V*ps = P = 172800*2,5 = 432000 g = 432 Kg 2) V = Sb*h = V = 1440*120 = 172800 cm3

3) St = Sl + 2*Sb = St = 3200 + 2*1440 = 6080 cm2

4) Sl = 2p*h = Sl = 160*120 = 3200 cm2 5) Sb = [( B+b)*h] : 2 = Sb = (56+40)*30 : 2 = 1440 cm2

6) 2p = B+b+h+l = 2p = 56+40+30+34 = 160 cm 7) l = √h2+ (B-b)2 = l = √302+162 = √900+256=34 cm



Problema: Un prisma retto a base quadrata ha la superficie di base pari a 16 cm2. Il prisma dato è equivalente a un parallelepipedo con le dimensioni di base di 5 cm e 16 cm e con una superficie laterale di 882 cm2. Calcola la superficie totale del prisma retto dato. DATI INCOGNITE Sb prisma = 16 cm2 St prisma ? V prisma = V parallelepipedo

a = 5 cm b = 16 cm Sl parallelepipedo = 882 cm2

PROCEDIMENTO CALCOLI 1) St prisma = Sl + 2*Sb = St prisma = 1680 +2*16 = 1680+32 = 1712 cm2

2) Sl prisma = 2p*h = Sl prisma = 16*105 = 1680cm2 3) 2p = l*4 = 2p = 4*4 = 16 cm 4) l = √Sb = l = √16 = 4 cm 5) h = V : Sb = h = 1680 : 16 =105 cm 6) V prisma = V parallelepipedo V prisma = 1680 cm3

7) V parallelepipedo = a*b*h = V parallelepipedo = 5*16*21 = 1680 cm3

8) h = Sl parallelepipedo : (2a+2b) = h = 882 : 42 = 21 cm



Problema: Una piramide retta a base quadrangolare ha il perimetro di base di 120 cm e ha una altezza di 20 cm. Sapendo che la piramide è di alluminio (ps = 2,7 g/cm3), calcolane la sua superficie totale, il volume e il peso. DATI INCOGNITE 2p = 120 cm St ? h = 20 cm V ? ps = 2,7 g/cm3 P ?

PROCEDIMENTO CALCOLI 1) P = V*ps = P = 6000*2,7 = 16200 g = 16,2 Kg 2) V = (Sb*h) : 3 = V = (900*20) : 3 = 6000 cm3

3) St = Sl + Sb = St = 1500 + 900 = 2400 cm2

4) Sl = (2p*a) : 2 = Sl = (120*25) : 2 = 1500 cm2 5) Sb = l2 = Sb = 302 = 900 cm2

6) a = √h2 +abase2 = a = √202 +152 =√400 +225 = √625 = 25 cm

7) abase = l : 2 = abase = 30 : 2 = 15 cm 8) l = 2p : 4 = l = 120 : 4 = 30 cm



Problema: Il perimetro di base e l’altezza di una piramide che ha per base un triangolo equilatero misurano rispettivamente 81 cm e 21 cm. Calcola la superficie totale della piramide. DATI INCOGNITE H piramide = 21 cm St ? 2p = 81 cm

PROCEDIMENTO CALCOLI 1) St = Sl + Sb = h triangolo = St = 907,2 + 315,66 = 1222,86 cm2

2) Sl = 2p*a : 2 = Sl = 81*22,4 : 2 = 907,2 cm2

3) Sb = l2 0,433 = Sb = 272*0,433 = 315,657 cm2

4) a = √h2 + a base = a = √212 +7,82 =√441+ 60,84 =√501,84 = 22,4 cm 5) a base = h triangolo : 3 = abase = 23,38 : 3 = 7,79 cm = 7,8 cm 6) h triangolo = l*0,866 = h triangolo = 27*0,866 = 23,38 cm 7) l = 2p : 3 = l = 81 : 3 = 27 cm



Problema: Un quadrato ha il lato che misura 14 cm ed è la base di una piramide di marmo (p.s. 2,8 g/cm3) la cui altezza misura 24 cm. Calcola: a) il volume e il peso della piramide; b) l’area della superficie totale della piramide; c) l'area della superficie totale del parallelepipedo rettangolo equivalente alla piramide e avente le dimensioni di base di 8 cm e 28 cm. DATI INCOGNITE l = 14 cm V piramide ? P piramide ? p.s.= 2,8 g/cm3 St piramide ? h piramide = 24 cm St parallelepipedo ? a = 8 cm b = 28 cm V parallelepipedo = V piramide

PROCEDIMENTO CALCOLI 1) St parallelepipedo = Sl + 2*Sb = St parallelepipedo = 504+2*224 = 504+448= 952 cm2

2) Sl = (2a+2b)*h = Sl = (16 + 56)* 7 = 504 cm2

3) h = V : Sb = h = 1568 : 224 = 7 cm 4) Sb = a*b = Sb = 8*28 =224 cm2

5) V parallelepipedo = V piramide V parallelepipedo = V piramide = 1568 cm3

6) P piramide = V*ps = P piramide = V*ps = 1568* 2,8 = 4390,4 g = 4,4 Kg 7) V piramide = Sb*h : 3 = V piramide = Sb*h : 3 = 196*24 : 3 = 1568 cm3

8) St piramide = Sl + Sb = St piramide = Sl + Sb = 700 + 196 = 896 cm2

9) Sl piramide = 2p*a :2 = Sl piramide = 2p*a :2 = 56*25 : 2 = 700 cm2 10) 2p = l*4 = 2p = 14*4 = 56 cm 11) Sb = l*l = Sb = 14*14 = 196 cm2

12) a = √h2 + abase = a = √242 +72 = √576+49 = √625 = 25 cm 13) abase = l : 2 = abase = 14 : 2 = 7 cm



Problema: Calcola la misura della superficie totale di una piramide regolare a base esagonale di sughero (ps=0,25 g/cm3) che pesa 2700 g e che ha un’altezza di 12 cm. DATI INCOGNITE ps = 0,25 g/cm3 St ? P = 2700 g h = 12 cm

PROCEDIMENTO CALCOLI 1) St = Sl + Sb = St = 2939,376 + 2700 = 5639,376 cm2

2) Sl = 2p*a : 2 = Sl = 193,38*30,4 : 2 = 2939,376 cm2

3) apiramide = √h2+a2 = a = √122+27,912 = √144+778,96=√922,96 = 30,4 cm 4) aesagono = l*0,866 = a = 32,23*0,866 = 27,91 cm 5) 2p = l*6 = 2p = 32,23*6 = 193,38 cm 6) l = √Sb:2,598 = l = √2700:2,598 = 32,23 cm 7) Sb = 3V : h = Sb = 3*10800 : 12 = 2700 cm2

8) V = P : ps = V = 2700 : 0,25 =10800 cm3



Problema: Una piramide retta ha per base un trapezio isoscele il cui perimetro è 200 cm. Il trapezio è circoscritto ad un circonferenza lunga 48π cm.Sapendo che l’area della superficie totale della piramide è 5000 cm2, calcola il volume del solido. DATI INCOGNITE 2p = 200 cm V ? C = 48π cm St = 5000 cm2

PROCEDIMENTO CALCOLI 1) V = (Sb*h) : 3 = V = 2400*10 : 3 = 8000 cm3

2) Sb = 2p*r : 2 = Sb = 200*24 : 2 = 2400 cm2

3) hpiramide = √ a piramide2 – r2 = h piramide = √ 262- 242 =√676- 576=√100 =10cm

4) apiramide = hfaccia triangolare = a piramide = h faccia triangolare = 26 cm 5) h faccia triangolare = 2Afaccia triangolare : b = h faccia triangolare = 2*650 : 50 = 26 cm 6) Afaccia triangolare = Sl : 4 = Afaccia triangolare = 2600 : 4 = 650 cm2

7) Sl = St – Sb = Sl = 5000 – 2400 = 2600 cm2

8) Sb = (B+b)*htrapezio : 2 = Sb = 100*48 : 2 = 2400 cm2

9) bfaccia triangolare = lato b faccia triangolare = 50 cm 10) lato = (B + b ) : 2 = lato = 100 : 2 = 50 cm 11) htrapeio = r*2 = h trapeio = 24* 2 = 48 cm 12) r = C : 2π = r = 48π : 2π = 24 cm 13) B+b = 2p : 2 = B+b = 200 : 2 = 100 cm Una delle due facce laterali uguali ha area pari a un quarto della laterale totale. Per la condizione Di circoscrittibilità dei quadrilateri la somma delle due basi è uguale alla somma dei due lati obliqui .Quindi il semiperimetro corrisponde alla somma delle due basi e dei due lati obliqui.



Problema: Un solido è composto da due piramidi rette aventi la base in comune; questa è un rombo che ha il perimetro di 180 cm e una diagonale lunga 72 cm. Sapendo che gli apotemi delle due piramidi misurano ambedue 36 cm calcola il volume del solido. DATI INCOGNITE 2p =180 cm V solido ? D = 72 cm apotema = 36 cm

PROCEDIMENTO CALCOLI 1) V solido = 2* (Sb*h): 3 = V sol. = 2*(1944*28,8) : 3 = 37324,8 cm3

2) h = √apiramide2- abase

2 = h = √362- 21,62 = √1296 – 466,56 = 28,8 cm 3) a base =( D/2*d/2):lato = a base = (36*27) : 45 = 21,6 cm 4) Sb = D*d : 2 = Sb = 54*72 : 2 = 1944 cm2

5) d = 2*(√l2- D/22 = d = 2*(√ 452- 362) = 2*(√2025-1296) = 2*27 = 54 cm 6) lato = 2p :4 = l = 180 : 4 = 45 cm L'apotema di base corrisponde all'altezza relativa all'ipotenusa di ciascun triangolo rettangolo formato dalle diagonali del rombo,pertanto per calcolare la sua misura si utilizzerà la formula ( C*c ) : i. Il cateto maggiore corrisponde alla metà diagonale maggiore , il cateto minore corrisponde a metà diagonale diagonale minore e l'ipotenusa al lato del rombo.



Problema: Un cono di gesso (ps 2 g/cm3) alto 16 cm ha un raggio di base di 12 cm. Calcola la superficie, il volume e il suo peso (usa 3,14 per π). DATI INCOGNITE ps = 2 g/cm3

h = 16 cm St ? r = 12 cm V ? π = 3,14 P ?

PROCEDIMENTO CALCOLI 1) P = V*ps = P = 2411,52*2 = 4823,04 g = 4,823 Kg 2) V = (π r2*h) : 3 = V = (3,14*144*16) : 3 = 2411,52 cm3

3) St = Sl + Sb = St = 7536 + 452,16 = 1205,76 cm2

4) Sl = πr*a = Sl = 3,14*12*20 = 7536 cm2

5) Sb = π r2 = Sb = 3,14*122 = 452,16 cm2

6) a = √h2 + r2 = a = √162 +122 = 20 cm Problema: Un cono ha un volume di 2560π cm3. Calcola la superficie totale del solido sapendo che il suo diametro di base è di 32 cm. DATI INCOGNITE V = 2560π cm3

d = 32 cm St ?



PROCEDIMENTO CALCOLI 1) St = Sl + Sb = St = 1708,16 + 803,84 = 2512 cm2

2) Sl = πr*a= Sl = 3,14*16*34 = 1708,16 cm2

3) a = √h2+ r2 = a = √302 + 162 = √900+256 =√1156 = 34 cm 4) h = 3V :π r2 = h = 3*2560*3,14 : 803,84 = 30 cm 5) Sb = π r2 = Sb = 3,14 * 162 = 256*3,14 = 803,84 cm2 6) r = d : 2 = r = 32 : 2 = 16 cm Problema: Un parallelepipedo a base quadrata ha lo spigolo di base di 30 cm, l’altezza di 45 cm e presenta una cavità conica con la base inscritta in una base del parallelepipedo. Sapendo che il volume del solido è 35.790 cm3, determina l’altezza del cono e l’area totale del solido. DATI INCOGNITE spigolo di base = 30 cm h cono ? h parallelepipedo = 45 cm S solido ? V = 35.790 cm3



PROCEDIMENTO CALCOLI 1) S solido = St paral. – Sb cono + Sl cono = S solido =7200 – 706,5 + 1177,5 = 7671 cm2 2) St parallelepipedo = Sl +2Sb = St parallelepipedo = 5400 + 2*900 = 7200 cm2

3) Sl parallelepipedo = 2p*h = Sl parallelepipedo = 120*45 = 5400 cm2

4) 2p = l*4 = 2p = 30*4 = 120 cm 5) Slcono = πr*a = Sl cono = 3,14*15*25 = 1177,5 cm2

6) a = √h2 + r2 = a = √202 +152 = 25 cm 7) h cono = 3V : πr2 = hcono = 3*4710 : 3,14*152 =14130:706,5 = 20 cm 8) Sb cono = πr2 = Sb cono = 15*15*3,14 = 706,5 cm2

9) r = l : 2 = r = 30 : 2 = 15 cm 10) V cono = V parallelepipedo – V solido= V cono = 40500 – 35790 = 4710 cm3

11) V parallelepipedo = Sb* h = V = 900*45 = 40500 cm3

12) Sb parallelepipedo = l*l = Sb = 30*30 = 900 cm2

Problema: Un trapezio isoscele ha l’area di 900 cm2, l’altezza di 20 cm e la base maggiore è doppia della minore. Determina: a) il perimetro del trapezio; b) l’area della superficie totale del solido ottenuto dalla rotazione completa del trapezio attorno alla base maggiore; c) il volume del solido ottenuto; d) il peso di questo solido, espresso in kg, supposto costituito di un materiale che ha un peso specifico di 7,8 g/cm3. DATI INCOGNITE S trapezio = 900 cm2 2p ? h = AH = 20 cm S solido ? CD = 2AB V solido ? ps = 7,8 g/cm3 P solido ?

L'altezza del trapezio corrisponde al raggio del cilindro e del cono.Le proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore corrispondono alle altezze dei due coni congruenti e la base minore corrisponde all'altezza del cilindro.I lati obliqui del trapezio corrispondono alle apoteme dei coni congruenti generati nella rotazione.



PROCEDIMENTO CALCOLI 1) P = V solido ps = P = 50240* 7,8 = 391872 g = 391,872 kg 2) V solido = V cilindro + 2Vcono = V solido =37680+2*6280 = 50240 cm3 3) Ssol. =(2πr*h)cil.+2(πr*a)cono = Ssol. = 2π*20*30 +2π*20*25=2200π=6908 cm2 4) V cilindro = πr2*h = V cilindro = 3,14*202 *30 = 37680 cm3 5) V cono = (πr2*h) : 3 = V cono = 3,14*202 *15 : 3 = 6280 cm3 6) 2p = B+b+ 2 l = 2p = 60 + 30 + 2*25 = 140 cm 7) a = lato obliquo = √h2 + r2 = a = √152 + 202 = 25 cm 8) h cono = (B – b) : 2 = h cono = (60 – 30) : 2 = 15 cm 9) h cilindro = b = h cilindro = 30 cm

10) B = (B+b) : 3*2 = B = 90 : 3*2 = 60 cm 11) b = (B+b) :3 = b = 90 : 3 = 30 cm

12) B + b = 2Strapezio : h trapezio = B + b = 2*900 : 20 = 90 cm Problema: In un trapezio isoscele l’altezza misura 24 cm; la base minore e la maggiore sono rispettivamente i 7/12 e i 25/12 dell’altezza. Determina: a) il perimetro del trapezio; b) l’area del trapezio; c) l’area della superficie totale del solido ottenuto dalla rotazione completa del trapezio attorno alla base minore; d) il volume del solido ottenuto; e) il peso di questo solido supposto che sia di vetro (ps = 2,5 g/cm3). DATI INCOGNITE h = 24 cm 2p ? A ? b = 7/12 h S solido ? B = 25/12 h V solido ? ps = 2,5 g/cm3 P solido ?

L'altezza del trapezio corrisponde al raggio del cilindro e del cono.Le proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore corrispondono alle altezze dei due coni congruenti e la base minore corrisponde all'altezza del cilindro.I lati obliqui del trapezio corrispondono alle apoteme dei coni congruenti generati nella rotazione.



PROCEDIMENTO CALCOLI 1) P = Vsol*ps = P = 68728,32*2,5 = 171820,8 g = 171,8208 Kg 2) V = Vcil – 2Vcono = V = 242*50*π – 2*242*π*18 : 3 = 21888 π = 68728,32 cm2

3) S solido = Sl cilindro + 2Slcono = S solido = 7536 + 2* 2260,8 = 12057,6 cm2

4) Sl cilindro = 2πr*h = Sl cilindro = 2*3,14*24*50 = 7536 cm2

5) Sl cono = πr*a = Sl cono = 3,14*24*30 = 2260,8 cm2

6) A trapezio = (B+b)*h : 2 = A trapezio = (50+14)*24 : 2 = 768 cm2

7) 2p = B + b +2*l = 2p = 50+14+2*30 = 124 cm 8) h cono = (B – b) : 2 = h cono = 18 cm 9) r = h trapezio r = 24 cm 10) h cilindro = B = h cilindro = B = 50 cm 11) a = l = √r2+[(B – b):2]2 = a = l = √242+182 = √576+324 = √900 = 30 cm 12) B = 25/12*h = B = 25/12*24 = 50 cm 13) b = 7/12*h = b = 7/12*24 = 14 cm Problema:Un trapezio rettangolo ha la base minore lunga 26 cm, la base maggiore lunga 35 cm e l’altezza è 6/13 della base minore. Determina l’area del trapezio, il perimetro del trapezio, l’area della superficie totale del solido ottenuto dalla rotazione completa del trapezio attorno alla base maggiore, il volume del solido ottenuto ed il peso di questo solido supposto costituito di un materiale che ha peso specifico di 0,5 g/cm3. DATI INCOGNITE DC = 26 cm 2p ? A ? AB = 35 cm S solido ? CH = 6/13 DC V solido ? ps = 0,5 g/cm3 P solido ?

L'altezza del trapezio corrisponde al raggio del cilindro e del cono.La proiezionie del lato obliquo sulla base maggiore corrisponde all'altezza del cono e la base minore corrisponde all'altezza del cilindro.Il lato obliquo del trapezio corrisponde all'apotema del cono.



PROCEDIMENTO CALCOLI 1) P = (Vcil + Vcono)*ps = P =(11756,16 + 1356,48)*0,5 = 6556,32 g = 6,6 Kg 2) Vcil = πr2*h = Vcil = 452,16*26 = 11756,16 cm3

3) Vcono = πr2*h : 3 = V cono = 144*3,14* 9 : 3 = 1356,48 cm3

4) S solido = Slcil + Slcono + Sbcil = S solido = 1959,36+565,2+452,16 = 2976,72 cm2

5) Sl cil = 2πr*h = Sl cil = 6,28*12*26 = 1959,36 cm2

6) Sl cono = πr*a = Sl cono = 3,14*12*15 = 565,2 cm2

7) Sb = πr2 = Sb = 144*3,14 = 452,16 cm2

8) A trapezio = (B+b)*h : 2 = A trap = (35+26)*12 : 2 = 366 cm2

9) 2p = B+ b + h + l = 2p = 35 +26 +15 +12 = 88 cm 10) a =l = √h2+(B – b)2 = a = l = √122+92 = √144 + 81 = √225 = 15 cm 11) h cono = B – b = h cono = 35 – 26 = 9 cm 12) h cil = b = h cil = 26 cm 13) r = h trapezio = r = 12 cm 14) h trapezio = 6/13b = h trap = 6/13*26 = 12 cm Problema:Un trapezio rettangolo ha il perimetro di 120 cm ed il lato obliquo lungo 30 cm. L’altezza del trapezio è uguale alla base minore e la base minore supera la base maggiore di 18 cm. Determina la lunghezza delle basi del trapezio, l’area del trapezio, l’area della superficie totale del solido ottenuto facendo ruotare di un giro completo il trapezio intorno alla base minore, il volume del solido ottenuto, il peso di questo solido supposto costituito di un materiale che ha peso specifico di 2,5 g/cm3. DATI INCOGNITE 2p = 120 cm B ? b ? A ? l =BC = 30 cm S solido ? h = b =CH = CD V solido ? B – b = 18 cm P solido ? ps = 2,5 g/cm3



PROCEDIMENTO CALCOLI 1) P = (V cil – V cono)*ps = P =20736*3,14*2,5 = 162777,6g = 162,78 Kg 2) V cil = πr2*h = V cil = 576π *42 = 24192 π cm3

3) V cono = πr2*h : 3 = V cono =576 π *18 :3 = 3456 π cm3

4) S tot = 2πr*h +πr*a +πr2 = S tot = 6,28*24*42+3,14*24*30+3,14*576=3312π cm2

5) A trap = (B+b)*h : 2 = A trap = (24 +18+24)*24 :2 = 864 cm2

6) a =l = a = l = 30 cm 7) h cono = B – b = h cono = 18 cm 8) h cil = B = h cil = B = 24+18 = 42 cm 9) r = h trapezio = r = 24 cm 10) h trapezio = b h trap = 24 cm 11) b = [(2p – l) – ( B – b )] : 3 = b = [(120 – 30) – 18] : 3 = 24 cm Problema: Un trapezio rettangolo ha l’altezza di 6 cm. La somma delle basi è di 36 cm e la base minore corrisponde ai 7/11 della base maggiore. Calcola il perimetro e l’area del trapezio. Calcola l’area della superficie del solido generato dalla rotazione completa del trapezio intorno alla base minore, il volume e il suo peso (ps=2,5g/cm3). Il solido di rotazione viene immerso completamente in un recipiente contenente dell’acqua, a forma di prisma regolare quadrangolare avente lo spigolo di base interno di 25 cm. Calcola di quanti centimetri si innalza il livello d’acqua. DATI INCOGNITE h = 6 cm 2p ? A ? B + b = 36 cm S solido ? b = 7/11 B V solido ? Psolido ? ps = 2,5g/cm3

spigolo base prisma = 25 cm Innalzamento liquido ?




1) Innalzamento liquido = Vsol : Sb prisma = Innal. Liquido = 2185,4 : 252 = 3,49 cm 2) P = V solido *ps = P = 696*3,14*2,5 = 5463,6 g = 5,46Kg 3) V solido = V cil – V cono = V solido = 792π – 96π = 696π cm3 4) V cil = πr2*h = V cil = 36π*22 = 792π cm3 5) V cono = πr2*h : 3 = V cono =36*8π : 3 = 96π cm3 6) S solido = 2πr*h + πr*a +πr2= S solido =(12*22+6*10+36)π = 360π cm2 7) A trap = (B+b)*h : 2 = A = 36*6 : 2 = 108 cm2 8) 2p = B+b+h+l = 2p = 22 + 14 + 6 +10 = 52 cm 9) a = l = √r2+(B – b )2 = a = l = √ 62+ 82 = 10 cm 10) h cil = B = h cil = 22 cm 11) h cono = B – b = h cono = 22 – 14 = 8 cm 12) r = h trap = r = 6 cm 13) Per calcolare le due basi si può procedere con il metodo frazionario,con la proprietà del

comporre oppure con l'equazione. B = X b = 7/11 X X +7/11X = 36 18/11X = 36 X = 22 cm (B) b = 36 – 22 = 14 cm (b) Problema: Un portacandele ha la forma di parallelepipedo a base quadrata. Al centro della faccia superiore è scavata una cavità cilindrica del diametro 8 cm. Sapendo che lo spigolo di base misura 10 cm, che l’altezza del solido è di 30 cm e l’altezza del cilindro scavato è di 25 cm. Calcola il volume del solido e il volume della cera che può contenere la cavità. Realizzando il solido in bronzo 14% (ps 8,9 g/cm3 ) quando peserebbe il solido? DATI INCOGNITE d cilindro = 8 cm V solido ? spigolo = 10 cm V cera ? h prisma = 30 cm P solido ? h cilindro = 25 cm ps = 8,9 g/cm3




1) P = Vsolido ps = P = 1744*8,9 = 15521,6 g = 15,522 2) V solido = V paral. – V cilindro = V solido = 3000 – 1256 = 1744 cm3 3) V paral. = Sb*h = V paral. = 100*30 =3000 cm2 4) Sb = l2 = Sb = 10*10 = 100 cm2 5) V cilindro = πr2*h = V cilindro = 16*25*3,14 = 1256 cm3 6) r = d : 2 = r = 8 : 2 = 4 cm

Problema: Un prisma quadrangolare regolare presenta una cavità a forma di piramide, essa pure quadrangolare regolare; l’apotema della piramide misura 13 cm e lo spigolo di base 10 cm mentre l’altezza del prisma è di 80 cm e il suo spigolo di base misura 24 cm. Calcola la misura dell’area della superficie totale del solido cavo, la misura del volume del solido e il suo peso sapendolo realizzato in bronzo 14% (ps 8,9 g/cm3). DATI INCOGNITE a = 13 cm l = 10 cm S solido ? h prisma = 80 cm V solido ? l base = 24 cm P solido ? ps = 8,9 g/cm3


1) P = V * ps = P = 45680*8,9 = 406552 g = 406,552 Kg 2) V = V prisma - V piramide = V solido = 46080 – 400 = 45680 cm3 3) V piramide = Sb*h : 3 = V piramide = 100*12 : 3 = 400 cm3 4) V prisma = Sb*h = V prisma = 576*80 = 46080 cm3 5) S solido =St prisma – Sb piramide + Sl piramide = S solido = 8832 – 100 +260 = 8992 cm2 6) St prisma = Sl +2Sb = St prisma = 7680+2*576 = 8832 cm2 7) Sl piramide =2p*a : 2 = Sl piramide =10*4*13 : 2 = 260 cm2 8) Sl prisma = 2p*h = Sl prisma = 24*4*80 = 7680 cm2 9) Sb prisma = l*l = Sb prisma = 24*24 = 576 cm2 10) Sb piramide = l*l = Sb piramide = 10*10 = 100 cm2 11) h piramide = √a2 – l/2 2 = h piramide = √132 – 5 2 = 12 cm



Problema: Un cubo è sormontato da una piramide retta a base quadrangolare coincidente con una faccia del cubo. Il solido ha un’altezza complessiva di 50 cm e lo spigolo del cubo misura 15 cm. Calcola il volume del solido e il suo peso sapendolo fatto di cristallo (ps 3,5 g/cm3). DATI INCOGNITE h solido = 50 cm V solido ? spigolo cubo = 15 cm P solido ? ps = 3,5 g/cm3


1) P = V * ps = P = 6000*3,5 = 21000 g = 21 Kg 2) V = V cubo + V piramide = V = 3375 + 2625 = 6000 cm3 3) V cubo = s*s*s = V cubo = 15*15*15 = 3375 cm3 4) h piramide = h totale - h cubo = h piramide =50 – 15 = 35 cm



Problema: Un cilindro è sormontato da un cono retto con la base coincidente con una base del cilindro. Il solido ha un’altezza complessiva di 42 cm, il cono è alto 24 cm e il suo raggio di base misura 10 cm. Calcola la misura del superficie totale, il volume del solido e il suo peso sapendolo fatto di cristallo (ps 3,5g/cm3). DATI INCOGNITE hsolido = 42 cm St ? hcono = 24 cm Vsolido ? r = 10 cm P ? ps 3,5g/cm3


1) P = V * ps = P = 8164*3,5 = 28574 g = 28,574 Kg 2) V = V cilindro + V cono = V =314*18 + 314*24 : 3 = 5652+2512 = 8164 cm3 3) St = Sb + Sl cilindro + S cono = St = 314 + 1130,4 +816,4 = 2260,8 cm2 4) Sb = πr2 = Sb = 100*3,14 = 314 cm2 5) Sl cilindro = 2πr*h = Sl cilindro = 6,28*10*18 = 1130,4 cm2 6) Sl cono = π r * a = Sl cono = 3,14*10*26 = 816,4 cm2 7) a = √h2 +r2 = a = √242 +102 =26 cm 8) h cilindro = h solido - h cono = h cilindro = 42 – 24 = 18 cm



Problema: Un triangolo rettangolo, con i cateti di 3 cm e 4 cm, ruota attorno all’ipotenusa. Calcola la misura del superficie totale, il volume del solido e il suo peso sapendolo fatto di cristallo (ps 3,5g/cm3). DATI INCOGNITE c = 3 cm St ? C = 4 cm V ? P ? ps 3,5g/cm3


1) P = V * ps = P = 30,15*3,5 = 105,525g 2) V = V cono 1 + V cono 2 = V = 10,85 + 19,30 = 30,15 cm3 3) V cono 1 = πr2*h1 : 3 = V cono 1 = 3,14*5,76*1,8 : 3 = 10,85..cm3 4) V cono 2 = πr2*h2 : 3 = V cono 2 = 3,14*5,76*3,2 : 3 = 19,30..cm3 5) St = Sl cono 1 + Sl cono 2 = St = 30,144 + 22,608 = 52,752 cm2 6) Sl cono 1 = πr*a1 = Sl cono 1 = 3,14*2,4*4 = 30,144 cm2 7) S lcono 2 =πr*a2 = Sl cono 2 = 3,14*2,4*3 = 22,608 cm2 8) h1 = i - h2 = h1 = 5 – 3,2 = 1,8 cm 9) h2 = √a2

2 – r2 = h2 =√16 – 5,76 = 3,2 cm 10) a1 = c = a1 = 3 cm 11) a2 = C = a2 = 4 cm 12) r = h relativa all'ipotenusa = r = 2,4 cm 13) h relativa all'ipotenusa = C * c : i = h relativa all'ipotenusa = (3*4) : 5 = 2,4 cm 14) i = √C2 +c2 = i = √16+9 = 5 cm



Problema: Un cubo, con uno spigolo 40 cm, è sormontato da un cono retto con la base inscritta nella faccia superiore del cubo. Sapendo che l’apotema del cono misura 29 cm, calcola la superficie totale e il volume del solido. DATI INCOGNITE s = 40 cm S sol. ? a = 29 cm V sol.?


1) V sol.= V cubo + V cono = Vsol. = 64000 + 2800*3,14 = 72792 cm3 2) S sol. = 6* Sb cubo – Sb cono + Sl cono = S sol. = 6*1600 – 400π+580π = 10165,2 cm2 3) V cubo = s3 = V cubo = 40*40*40 = 64000 cm3 4) V cono = πr2 h : 3 = V cono = 400π*21 : 3 = 2800π cm3 5) Sl cono = π r * a = Sl cono = 20*29 π = 580π cm2 6) Sb cono = πr2 = Sb cono = 400π cm2 7) Sb cubo = s2 = Sb cubo = 40*40 = 1600 cm2 8) h cono = √a2 – r2 = h cono = √292 – 202 = 21 cm 9) r = s : 2 = r = 40 : 2 = 20 cm

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