Coordenadas Baricentricas*FranciscoJ.GarcaCapitanContenido1. Coordenadasbaricentricasrespectodeununtriangulo 31.1. Coordenadasbaricentricashomogeneas . . . . . . . . . . . . . 31.2. Coordenadasbaricentricasabsolutas . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Notacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82. Cevianasytrazas 92.1. TeoremadeCeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2. Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103. Areadeuntriangulo 114. Rectas 124.1. Ecuaciondelarecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.1.1. Ecuaciondelarectaquepasapordospuntos . . . . . 124.1.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2. Rectasparalelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2.1. Puntosdelinnitoyparalelaporunpunto. . . . . . . 134.2.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.3. Intersecci ondedosrectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.3.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.4. Rectasperpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.4.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19*Estedocumentonacedeunalecturaatentadesoloalgunosapartadosdel trabajodePaul Yiu: IntroductiontotheGeometryof theTriangle. Resolvemosalgunosdelosejercicios all propuestos, e incluimos algunos ejemplos procedentes de otras fuentes.15. FormuladeLeibniz 205.1. FormuladeLeibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.2. Aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206. CalculosconMathematica 216.1. Puntosyrectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.2. Simplicaciondecoordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.3. Otroejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.4. B usquedaenlaenciclopediadeKimberling. . . . . . . . . . . 2421. Coordenadasbaricentricasrespectodeununtriangulo1.1. CoordenadasbaricentricashomogeneasSeanu, v, w Rtalesqueu + v+ w =0, yseanA, B, Closverticesdeuntriangulo. ParacualquierpuntoO, seaPel puntodel planotal que(u+v+w)OP= uOA+vOB+wOC. Podemos ver que el punto Pno dependedeO.Enefecto,si(u +v +w)O

P

= uO

A +vO

B +wO

C,entonces(u + v + w)(O

P

OP) =u(O

AOA) + v(O

AOA) + w(O

AOA) ==(u + v + w)O

O,dedondeO

P

=O

O +OP=O

PyP

= P.Esto permite denir a Pcomo centrodelmasasdel sistema formado porlospuntosA, B, Cconlasmasasu, v, w.Las coordenadas baricentricas homogeneas de unpuntoP respectoaltrianguloABCesunaternaden umeros(x : y: z)talesquex : y: z= PBC: PCA : PAB.El sistema formado por los puntos A, B, Ccon las masas x, y, ztiene a Pcomocentrodemasas.PDAC Bc dabEnefecto,considerandolagura,AD =AB +BD =AB +cc+dBC,AP=aa+bAD =aa+bAB +ac(a+b)(c+d)BC,OP OA =aa+b_OB OA_+ac(a+b)(c+d)_OC OB_,OP=ba+bOA +ad(a+b)(c+d)OB +ac(a+b)(c+d)OC.Entonces, Pes el centro de masas de los puntos A, B, Cconlasmasasb(c +d),adyac.Pero,adac=DCBD= ADCABD= PDCPBD= ADC PDCABD PBD= PCAPAB.Estocompruebaquey: z= PCA : PAB.Paracomprobarlasotrasrelaciones bastara considerar una gura en la que Destuviera en otro de losladosdeABC.3EjemplosAC BGAC BIAC BO1. El baricentroG tiene coordenadas baricentricas homogeneas (1 : 1 : 1),yaquelasareasGBC,GCAyGABsoniguales.2. El incentro I tienecoordenadas baricentricas homogeneas a: b : c,yaquesi r es el radiodelacircunferenciainscrita, las areas delostriangulosIBC,ICAeIABson,respectivamente12ar,12bry12cr.3. El circuncentroO. Si R es el radio de la circunferencia circunscrita, lascoordenadasdeOsonOBC: OCA : OAB==12R2sen 2A :12R2sen 2B:12R2sen 2C==sen Acos A : sen Bcos B: sen C cos C==a b2+c2a22bc= b c2+a2b22ac= c a2+b2c22ab==a2(b2+c2a2) : b2(c2+a2b2) : c2(a2+b2c2).4. LospuntosdelarectaBCtienencoordenadasdelaforma(0:y:z).De la misma forma, los puntos deCA y ABtienen coordenadas de lasformas(x : 0 : z)y(x : y: 0),respectivamente.Ejercicios1. Comprobar que lasumade las coordenadas del circuncentrodadasanteriormentees4S2,siendoSelareadeltrianguloABC.TeniendoencuentalaformuladeHeronparael areadel trianguloyhaciendounpocodemanipulacionalgebraica,4a2(b2+c2a2) +b2(c2+a2b2) +c2(a2+b2c2) ==2a2b2+ 2a2c2+ 2b2c2a4b4c4==(a +b +c)(a +b +c)(a b +c)(a +b c) ==4 4 a +b +c2 a +b +c2a b +c2a +b c2==4S2.2. Hallarlascoordenadasdelosexcentros.Consideramos lagurasiguiente enlaque se muestranel trianguloABC,elexcentroIb,centrodelacircunferenciaexinscritaquetocaalladoACyalasprolongacionesdeBCyBA.B CAIrbbLascoordenadasbaricentricasdeIbsonIbBC: IbCA : IbAB= arb: brb: crb= a : b : c.Observemos que la orientaci on del triangulo IbCA es distinta de la de losotrosdos, yporelloresultasignonegativoenlasegundacoordenadas. DeigualformaobtenemosqueIa= (a : b : c)yqueIc= a : b : c.1.2. CoordenadasbaricentricasabsolutasSeaPunpuntoconcoordenadas(baricentricashomogeneas)(x:y:z).Six +y +z== 0,obtenemosunascoordenadasabsolutasnormalizandoloscoecientesparaquesumenlaunidad:P=x A +y B +z Cx +y +z.5DadaslascoordenadasbaricentricasabsolutasdePyQ, el puntoquedivideaPQenrazonPX: XQ=p: qtendracoordenadasbaricentricasabsolutasqP+pQp+q. Sin embargo, es conveniente evitar los denominadores de lasfraccionesenloscalculos. Porello, adaptamosestaformuladelasiguientemanera:SiP= (u : v: w)yQ = (u

: v

: w

)soncoordenadasbaricentricashomogeneascumpliendou + v + w= u

+ v

+ w

,entonceselpuntoXquedivideaPQenlarazonPX: XQ=p: qtienecoordenadashomogeneas(qu +pu

: qv +pv

: qw +pw

).Ejercicios1. El ortocentro esta en la recta de Euler y divide al segmento OG externa-mente en la razon 3 : 2. Demostrar que sus coordenadas baricentricaspuedenescribirseH= (tan A : tan B: tan C),oequivalentemente,H=_1b2+c2a2:1c2+a2b2:1a2+b2c2_.HemosvistoqueO =_a2(b2+c2a2) : b2(c2+a2b2) : c2(a2+b2c2)_,G = (1, 1, 1),siendo3lasumadecoordenadasdeGy4S2lasumadelasdeO.Loprimeroquehacemosesmultiplicarunfactoradecuadolascoorde-nadasdecadapuntoparaqueambassumenlomismo, enestecaso,12S2:O =_3a2(b2+c2a2) : 3b2(c2+a2b2) : 3c2(a2+b2c2)_,G = (4S2, 4S2, 4S2).LaprimeracoordenadadeHsera(2)3a2(b2+c2a2) + 3 4S2==6(a2b2+a2c2a4) + 3(2a2b2+ 2a2c2+ 2b2c2a4b4c4) ==3a43b4+ 6b2c23c4==3(a2b2+c2)(a2+b2c2).6De la misma forma obtenemos 3(a2+b2+c2)(a2+b2c2) como segundacoordenaday3(a2+ b2+ c2)(a2 b2+ c2)comotercera.Dividiendopor(a2+b2+c2)(a2b2+c2)(a2+b2c2)obtenemosqueH=_1b2+c2a2:1c2+a2b2:1a2+b2c2_.Ahora,1b2+c2a2=12bcb2+c2a22bc=sen AScos A=tan AS,yanalogamenteparalasotrasdoscoordenadas,resultandoH= (tan A : tan B: tan C).2. Usarqueel centroNdelacircunferenciadelosnuevepuntosdividealsegmentoOGenlarazonON:NG=3: 1paraobtenerquesuscoordenadasbaricentricaspuedenescribirseN= (a cos(B C) : b cos(C A) : c cos(A B)).PartiendodeO =_3a2(b2+c2a2) : 3b2(c2+a2b2) : 3c2(a2+b2c2)_,G = (4S2, 4S2, 4S2),laprimeracoordenadadeNsera(1)3a2(b2+c2a2) + 3 4S2== 3a2b23a2c2+ 3a4+ 3(2a2b2+ 2a2c2+ 2b2c2a4b4c4)= 3(a2b2+a2c2+ 2b2c2b4c4).Paraobtenerelresultadobuscadousamoslasformulascos B=a2+c2b22ac, S= ac sen B7ylascorrespondientesparaelanguloC.Entonces,cos(B C) =cos Bcos C + sen Bsen C==a2+c2b22aca2+b2c22ab+SacSab==(a2+c2b2)(a2+b2c2) + 4S24a2bc==2a2b2+ 2a2c2+ 4b2c22b42c44a2bc==1a a2b2+a2c2+ 2b2c2b4c42abc.DeaquesfacilconcluirqueN= (a cos(B C) : b cos(C A) : c cos(A B)).1.3. NotacionSiesunangulocualquieraySeseldobledelareadeltrianguloABC,denimosS= S cot .Comocasoparticular,SA=b2+c2a22, SB=c2+a2b22, SC=a2+b2c22.Paradosangulosy,denimosS= S S.Conestanotacion,secumplenlassiguientesrelaciones:1. SB +SC= a2,SC +SA= b2,SA +SB= c2.2. SAB +SBC +SCA= S2.Laprimerarelaciones evidente. Parademostrar lasegunda, debemosdemostrarlaidentidadcot Acot B + cot Bcot C + cot C cot A = 1.8Paraello,hacemoscot Acot B + cot Bcot C + cot C cot A ==cot A(cot B + cot C) + cot Bcot C==cos Asen A_cos Bsen B+cos Csen C_+cos Bsen B cos Csen C==cos Asen A sen C cos B + sen Bcos Csen Bsen C+cos Bsen B cos Csen C==cos Asen A sen(B +C)sen Bsen C+cos Bsen B cos Csen C==cos Asen Bsen C+cos Bsen Csen Bsen C==cos Bcos C cos(B +C)sen Bsen C==sen Bsen Csen Bsen C= 1.Ejemplos1. Elortocentrotienecoordenadas_1SA:1SB:1SC_= (SBC: SCA: SAB) .2. Elcircuncentrotienecoordenadas_a2SA: b2SB: c2SC_= (SA(SB +SC) : SB(SC +SA) : SC(SA +SB)) .En esta forma, la suma de las coordenadas es 2(SAB+SBC+SCA) = 2S2.2. CevianasytrazasB CAABCPPPPLlamamos cevianas deunpuntoP alas rectasque lounenconlos vertices del triangulode refe-renciaABC. Las intersecciones AP, BP, CPdeestacevianasconlosladosdeltriangulosellamantrazasde P. Las coordenadas de las trazas pueden obtenersefacilmente:AP= (0 : y: z), BP= (x : 0 : z), CP= (x : y: 0).92.1. TeoremadeCevaTrespuntosX, Y, ZsobreBC,CAyABrespectivamentesonlastrazasdeunpuntosi ysolosi tienencoordenadasdelaformaX=(0: y: z),Y= (x : 0 : z)yZ= (x : y: 0)paraciertosx, y, z.2.2. EjemplosElpuntodeGergonneLospuntosdetangenciadelacircunferenciainscritaconlosladossonX=(0: s c: s b), Y =(s c: 0: s a)yZ=(s b: s a: 0)quepuedenreorganizarsecomoX=(0:1sb:1sc), Y =(1sa: 0:1sc)yZ=(1sa:1sb: 0). Portanto, AX, BY yCZsecortanenunpuntoconcoordenadas(1sa:1sb:1sc),queseconocecomoelpuntodeGergonneGedeltrianguloABC.AB C X'Y'Z'NElpuntodeNagelLos puntos detangenciadelas cir-cunferencias exinscritas con los lados deltriangulotienencoordenadasX

= (0 : s b : s c),Y

= (s a : 0 : s c),Z

= (s a : s b : 0).Estas son las trazas del punto de coorde-nadas (sa : sb : sc), que se conocecomopuntodeNagel Nadel trianguloABC.Ejercicio1. El punto de Nagel Na esta en la recta que une el baricentro y el incentroydivideaIGenlarazonINa: NaG = 3 : 2.Enefecto, comolascoordenadasdeI =(a: b: c)yG=(1: 1: 1)suman respectivamente 2s y 3, las expresamos de manera que I= (3a :3b : 3c)yG = (2s : 2s : 2s)enlasqueambassuman6s.Entonces,2I + 3G = (6s 6a : 6s 6b : 6s 6c) = (s a : s b : s c) = Na.103. AreadeuntrianguloSi P=(x1, y1), Q=(x2, y2)yR=(x3, y3)sontrespuntosdel plano,entonceselarea(PQR)deltrianguloPQRvienedadapor(PQR) =121 1 1x1x2x3y1y2y3.Si las coordenadas baricentricas homogeneas P, Q y R respecto del trian-guloABCsonP=(u1: v1: w1), Q=(u2: v2: w2)yR=(u3: v3: w3),entonces,(u1 +v1 +w1)P= u1A +v1B +w1C,(u2 +v2 +w2)Q = u2A +v2B +w2C,(u3 +v3 +w3)R = u3A +v3B +w3C,SiendoA=(r1, s1), B=(r2, s2) yC=(r3, s3), estas igualdades puedenescribirseenlaforma(u1 +v1 +w1)x1= u1r1 +v1r2 +w1r3,(u1 +v1 +w1)y1= u1s1 +v1s2 +w1s3,(u2 +v2 +w2)x2= u2r1 +v2r2 +w2r3,(u2 +v2 +w2)y2= u2s1 +v2s2 +w2s3,(u3 +v3 +w3)x3= u3r1 +v3r2 +w3r3,(u3 +v3 +w3)y3= u3s1 +v3s2 +w3s3.yentonces(u1 +v1 +w1)(u2 +v2 +w2)(u3 +v3 +w3)(PQR) ==12u1 +v1 +w1u2 +v2 +w2u3 +v3 +w3(u1 +v1 +w1)x1(u2 +v2 +w2)x2(u3 +v3 +w3)x3(u1 +v1 +w1)x1(u2 +v2 +w2)y2(u3 +v3 +w3)y3==12u1 +v1 +w1u2 +v2 +w2u3 +v3 +w3u1r1 +v1r2 +w1r3u2r1 +v2r2 +w2r3u3r1 +v3r2 +w3r3u1s1 +v1s2 +w1s3u2s1 +v2s2 +w2s3u3s1 +v3s2 +w3s3==12u1v1w1u2v2w2u3v3w31 r1s11 r2s21 r3s3=u1v1w1u2v2w2u3v3w3(ABC).11CuandolascoordenadashomogeneasdeP, QyRestennormalizadas,tendremos(PQR) =u1v1w1u2v2w2u3v3w3(ABC).4. Rectas4.1. Ecuaciondelarecta4.1.1. EcuaciondelarectaquepasapordospuntosTeniendoencuentalaformuladel areadel triangulovistaenlaseccionanterior, Laecuaciondelarectaqueunedospuntosconcoordenadasba-ricentricashomogeneas(u1: v1: w1)y(u2: v2: w2)vendr adadaporu1v1w1u2v2w2x y z= 0.4.1.2. Ejemplos1. Las ecuaciones de los lados BC, CA y ABson, respectivamente, x = 0,y=0yz=0.Porejemplo,comoB=(0:1:0)yC=(0:0:1),larectaBCtendraporecuacion0 1 00 0 1x y z= 0 x = 0.2. LaecuaciondelamediatrizdeBCes(b2 c2)x + a2(y z)=0. Enefecto, estarectapasapor el puntomediodeBC, concoordenadas(0 : 1 : 1)yporelcircuncentroOdeABC,concoordenadasa2(b2+c2a2) : b2(c2+a2b2) : c2(a2+b2c2).12Entonces,laecuaciondelamediatrizdeBCes0 1 1a2(b2+c2a2) b2(a2+c2b2) c2(a2+b2c2)x y z= 0 (a2c2c4a2b2+b4)x a2(b2+c2a2)(y z) = 0 (a2c2c4a2b2+b4)x +a2(b2+c2a2)(y z) = 0 (b2+c2a2)((b2c2)x +a2(y z)) = 0 (b2c2)x +a2(y z) = 0.3. LabisectrizdelanguloAeslarectaqueuneelverticeA= (1:0 :0)yelincentro(a : b : c).Suecuacionsera:1 0 0a b cx y z= 0 cy bz= 0.4.2. Rectasparalelas4.2.1. PuntosdelinnitoyparalelaporunpuntoPara obtener la ecuacion de una recta paralela a una recta dada conside-ramoslospuntosdelinnito.Cadarectatieneunpuntodelinnitoytodoslospuntosdel innitoestanenunarectadel innito. Laecuaciondeestarectaesx +y +z= 0,yaquesix +y +z = 0resultaunpuntoreal.El punto del innito de la recta px+qy+rz= 0 es (qr : rp : pq), yaque este punto esta en dicha recta y es un punto innito, pues sus coordenadassuman0.Por otro lado, si P =(u1: v1: w1) yQ=(u2: v2: w2), siendou1 +v1 +w1= u2 +v2 +w2,resultaqueelpuntodelinnitodelarectaPQes(u1v1, u2v2, u3v3).LarectaquepasaporP=(u:v:w)paralelaapx + qy + rz=0tieneporecuacionq r r p p qu v wx y z= 0.134.2.2. Ejercicios1. HallarlasecuacionesdelasrectasparalelasporP=(u:v:w)alosladosdeltriangulo.La recta BCtiene por ecuacionx =0, ysupunto del innito es(0, 1, 1)(bastarestarlascoordenadasdeByC). LaparalelaaBCquepasaporP= (u : v: w)es0 1 1u v wx y z= 0 (v +w)x u(y +z) = 0.Las paralelas a CA y AB seran, respectivamente, (w+u)yv(x+z) = 0y(u +v)z w(x +y) = 0.2. SeaDEFel triangulomedial deABC. DadounpuntoP, llamemosXY Z al triangulo ceviano respecto de ABC y UV Wal triangulo medialdeXY Z.DeterminarelpuntoPdemaneraquelasrectasDU,EV yFWseanparalelasalasbisectricesinterioresdelosangulosA,ByCrespectivamente.Tenemos:A = (1 : 0 : 0), B= (0 : 1 : 0), C= (0 : 0 : 1),D = (0 : 1 : 1), E= (1 : 0 : 1), F= (1 : 1 : 0),X= (0 : v: w), Y= (u : 0 : w), Z= (u : v: 0).ComoY= (u : 0 : w) = ((u +v)u : 0 : (u +v)w),Z= (u : v: 0) = ((u +w)u : (u +w)v: 0),resulta,sumando,queU= ((2u +v +w)u : (u +w)v: (u +v)w).Si larectaDUesparalelaalabisectrizdel anguloA, ambasrectastendranel mismopuntodel innito. Como2u2+ uv + uw + vweslasumadelascoordenadasdeU,consideramosD = (0 : u2+uv +uw +vw : u2+uv +uw +vw),14yrestandolascoordenadasdeDylasdeUobtenemosqueel puntodelinnitodelarectaDUes(2u2+uv +uw, u2uw : u2uv) = (2u+v +w, uw : uv).LabisectrizdelanguloApasaporlospuntosA = (a + b + c : 0 : 0)eI= (a, b, c),porloquesupuntodelinnitoes(b +c, b, c).Paraquesetratedel mismopuntodel innitodebeseru + w=kb,u + v=kcparaalg unciertok. HaciendolomismoparaEV yFW,obtendramoslascondicionessimilares_v +u = hcv +w = ha ,_w +u = tbw +v= tapara ciertos h y t. De aqu deducimos que k = h = t y que u, v, w debenserlassolucionesdelsistema___u +v= kcu +w = kbv +w = ka,esdecir, u=k(b + c a), v=k(a + c b), w=k(a + b c)obien,P= (b +c a : a +c b : a +b c) es el punto de Nagel del trianguloABC.AB C X DYZEFUVWP154.3. IntersecciondedosrectasLaintersecciondedosrectas_p1x +q1y +r1z= 0,p2x +q2y +r2z= 0eselpunto_q1r1q2r2: p1r1p2r2:p1q1p2q2_.El puntodel innitodeunarectal puedeconsiderarselaintersecci ondelconlarectadelinnitol: x +y +z= 0.Tresrectaspix +qiy +riz= 0,i = 1, 2, 3sonconcurrentessisolosip1q1r1p2q2r2p3q3r3= 0.4.3.1. Ejemplos1. SeaDEFel triangulomedial deABC. HallarlaecuaciondelarectauniendoDconelexcentroIa=(a:b:c).Analogamente,hallarlasecuacionesdelasrectasqueunenEconIbyFconIc.Demostrarqueestastresrectassonconcurrentes,hallandolascoordenadasdelpuntocom un.LaecuaciondelarectaDIaesx y z0 1 1a b c= 0 (b c)x +ay az= 0.AnalogamentetendremosEIb: bx + (c a)y +bz= 0.FIc: cx cy + (a b)z= 0.Parademostrarquelastresrectassonconcurrentescomprobamosqueeldeterminanteformadoporsuscoecientesseanula:b c a ab c a bc c a b=c c b ab c a bc c a b= 0.16(El segundo determinante es nulo, por tener dos las proporcionales, yseobtienedelprimerosustituyendolaprimeralaporlasumadelasdosprimeras).Parahallar el puntocom unalas tres rectas, resolvemos el sistemaformadoporlasdosprimeras:(x : y: z) =_a ac a b: b c ab b:b c ab c a_==(a(b +c a) : b(a +c b) : c(a +b c)) ==(a(s a) : b(s b) : c(s c)) ,queeselllamadoMittenpunkt.2. Sean D, E, Flos puntos medios de los lados BC, CA, ABdel triangu-loABC, yX, Y, Zlos puntos medios delas alturas desdeA, B, C,respectivamente.HallarlasecuacionesdelasrectasDX,EY yFZ,ydemostrar que son concurrentes. Cuales son las coordenadas del puntodeintersecci on?Sabemosqueel ortocentroesH=(SBC: SCA: SAB), as queel piedelaalturadesdeAesAH=(0: SCA: SAB)=(0: SC: SB), conSC+ SB=a2. Entonces, el puntomediodeAHyA=(a2:0:0)esX= (a2: SC: SB).LaecuaciondelarectaDXesx y z0 1 1a2SCSB=x y z y0 1 0a2SCSBSC= (SBSC)x +a2y a2z= 0.ComoSBSC= c2b2,resultaqueDX: (c2b2)x +a2y a2z= 0.AnalogamenteobtenemosqueEY: b2x + (a2c2)y +b2z= 0,FZ: c2x c2y + (b2a2)z= 0.Comoc2b2a2a2b2a2c2b2c2c2b2a2= 0ya que, por ejemplo, la primera la es la suma de las otras dos, las tresrectassonconcurrentes.17Para hallar el punto de intersecci on, resolvemos el sistema formado porlasdosprimeras:(x : y : z) ==_a2a2a2c2b2: c2b2a2b2b2:c2b2a2b2a2c2_==_a2(a2+ b2c2) : b2(a2+ b2c2) : c2(a2+ b2c2)_==(a2: b2: c2),ylastresrectassecortanenelpuntosimedianodeABC.4.4. RectasperpendicularesDadaunarecta L: px + qy + rz=0, hallemosel puntodel innitodelasrectasperpendicularesaella.Larecta LcortaalasrectasCAyABenlospuntosY= (r: 0 :p)yZ= (q: p : 0).Parahallarlaperpendiculardesde A a L, primero hallaremos las ecuaciones de las perpendiculares desdeY aABydesdeZaCA.EstassonSBSAc2r 0 px y z= 0,SCb2SAq p 0x y z= 0,obienSApx + (c2r SBp)y +SArz= 0,SApx +SAqy + (b2q SCp)z= 0.AB CZYX'Elpuntodeintersecci ondeambasrectas,ortocentrodeltrianguloAY Z,esX

=( : SAp(SAr b2q +SCp) : SAp(SAq +SBp c2r)) =( : SC(p q) SA(q r) : SA(q r) SB(r p)),18teniendoencuentaqueSA +SC= b2ySA +SB= c2.Laperpendiculara LdesdeAeslarectaAX

,cuyaecuaciones1 0 0 SC(p q) SA(q r) SA(q r) SB(r p)x y z= 0,o (SA(q r) SB(r p))y + (SC(p q) SA(q r))z= 0.Entonces, llamando (f: g: h) = (q r : r p : pq) al punto del innitodelarecta L,laperpendiculara LdesdeAtieneecuacion(SAf SBg)y + (SCh SAf)z= 0,con(f

:g

:h

)=(SBg SCh:SCh SAf:SAf SBg)comopuntodelinnito,puntoqueperteneceraacualquierrectaperpendiculara L.4.4.1. Ejemplos1. Demostrarquesonconcurrenteslasperpendicularesalosladosdeuntriangulo por los puntos de contacto con las circunferencias exinscritas.Sean X= (0 : s b : s c), Y= (s a : 0 : s c) y Z= (s a : s b : 0) lospuntosdecontactodelascircunferenciasexinscritasconlosladosBC, CAyAB,respectivamente.ElpuntodelinnitodelladoBCes(0 : 1 : 0) (0 : 0 : 1) = (0 : 1 : 1).ElpuntodelinnitodecualquierperpendicularaBCes(SB 1 SC(1) : SC(1) SA 0 : SA 0 SB 1) ==(SB +SC: SC: SB) = (a2, SC, SB).ylaperpendicularaBCporXtienelaecuacion0 s b s ca2SCSBx y z= 0,queesequivalentealaecuacions(b c)x +a(s c)y a(s b)z= 0.ProcediendodeformaanalogaobtenemoslaperpendicularaCAporYylaperpendicularaABporZ:19b(s c)x +s(c a)y +b(s a)z= 0,c(s b)x c(s a)y +s(a b)z= 0.Como al sumar las tres ecuaciones obtenemos la identidad 0 = 0, las tresecuacionesnosonindependientesylastresrectassecortanenunpunto.5. FormuladeLeibniz5.1. FormuladeLeibnizSean (u : v: w) las coordenadas baricentricas de un punto Q respecto deltrianguloABC.Entonces,secumpliraqueuQA +vQB +wQC=0 .ParacualquierpuntoPsecumplenuPA2=uPQ2+uQA2+ 2uPQQA,vPB2=vPQ2+vQB2+ 2vPQQB,wPC2=wPQ2+wQC2+ 2wPQQC.y,sumando,obtenemoslaformuladeLeibniz:uPA2+vPB2+wPC2= (u +v +w)PQ2+uQA2+vQB2+wQC2.5.2. AplicacionSiQ = I= (a : b : c),entoncesaPA2+bPB2+cPC2= (a +b +c)PI2+aIA2+bIB2+cIC2,dedondededucimosqueaPA2+ bPB2+ cPC2esmnimocuandoPeselincentrodeABC.206. CalculosconMathematicaDedicamos estaseccionamostrar comopodemos usar el programadecalculosimb olicoMathematica paraefectuar operaciones concoordenadasbaricentricas.6.1. PuntosyrectasUsaremos unaterna{u,v,w}(formalmente unalistacontres elementos)pararepresentartantoal puntodecoordenadas(u:v:w)comoalarectaux + vy + wz= 0.As,pararepresentaralpuntoAyalpuntomedioMdeBCescribiremosptA1, 0, 0;ptM0, 1, 1;El puntoycoma, apartedesepararlasinstrucciones, evitaqueMathe-maticamuestreelresultadodecadaoperacion,queenestecasosereduceaasignarunvaloraunavariable.Ahora,parahallarlaecuaciondelamedianaAMtenemosencuentaelapartado4.1.1yescribimosDet[{ptA, ptM, {x, y, z}}]yzyobtenemosquelamedianaAMtieneecuacion y +z= 0.Podemos representar una recta por la terna formada por sus coecientes,ypodemos denir unafuncionque calcule dichos coecientes apartir delaternasqueidenticanadospuntosdelarecta. LlamaremosUniraestafuncion:Unir[{x1_, y1_, z1_}, {x2_, y2_, z2_}]:]Det]] y1 z1y2 z2 ,Det]] x1 z1x2 z2 , Det]] x1 y1x2 y2 );UsandoestafuncionconlospuntosAyM,obtenemos:UnirptA, ptM0,1,1Teniendoencuentael apartado4.3, lafuncionUnirqueacabamos dedeniryusarnospuedeservirtambienparahallarelpuntodeintersecciondedosrectas, yaquelaformulaeslamisma. paraAs, hallarel puntodeintersecci ondelasmedianasAMyBNsepodemosescribir:21ptA1, 0, 0;ptB0, 1, 0;ptM0, 1, 1;ptN1, 0, 1;UnirUnirptA, ptM, UnirptB, ptN1,1,1Comosabemos,estassonlascoordenadasdelbaricentro.Teniendo en cuenta la seccion 3 y el apartado 4.3, para determinar tantosi tres puntos estanalineados comosi tres rectas sonconcurrentes, bastacomprobarqueeldeterminantedelastresternasseanule.As,pararesolverconMathematicaelejercicio2delapagina17escribi-riamosSA b2 c2 a2

2; SB c2 a2 b2

2; SC a2 b2 c2

2;ptD0, 1, 1;ptXa2, SC, SB;ptE1, 0, 1;ptYSC, b2, SA;ptF1, 1, 0;ptZSB, SA, c2;DetUnirptD, ptX, UnirptE, ptY, UnirptF, ptZUnirUnirptE, ptY, UnirptF, ptZ0a4 a2b2 a2c2,a2b2 b4 b2c2,a2c2 b2c2 c4

ObtenemosquelastresrectasDX,EYyFZsonconcurrentes,yqueelpuntodeintersecciones(a2(a2b2c2), b2(a2b2c2) : c2(a2b2c2)) = (a2: b2: c2),esdecirelpuntosimediano.6.2. SimplicaciondecoordenadasSabemosquelascoordenadasbaricentricasson unicassalvounfactordeproporcionalidad, porloqueesconvenientesimplicarlosresultadosparaidenticarmasfacilmenteaundeterminadopuntoorecta.Asenelejercicioqueacabamosdehacer,seraconvenientequeMathe-maticahubieraofrecidoel resultadosimplicado(a2: b2: c2)enlugardetenerquehacerlodespuesmanualmente.22Paraconseguiresto,denimosunafuncionSimplificarquedivideunaternaporsumaximocom undivisorylausamosenlafuncionUnir:Simplificar[ p_]:Factor]p PolynomialGCD[p1], p2], p3]] ;Unir[{x1_, y1_, z1_}, {x2_, y2_, z2_}]:Simplificar]]Det]] y1 z1y2 z2 ,Det]] x1 z1x2 z2 , Det]] x1 y1x2 y2 );SA b2 c2 a2

2; SB c2 a2 b2

2; SC a2 b2 c2

2;ptD{0, 1, 1};ptX{a2, SC, SB};ptE{1, 0, 1};ptY{SC, b2, SA};ptF{1, 1, 0};ptZ{SB, SA, c2};Det[{Unir[ptD, ptX], Unir[ptE, ptY], Unir[ptF, ptZ]}]Unir[Unir[ptE, ptY], Unir[ptF, ptZ]]0a2,b2,c2

Ahoraelresultadoesmasaceptable.6.3. OtroejemploEn el ejemplo 1 de la pagina 19 demostrabamos que eran concurrentes lasperpendicularestrazadasporlospuntosdetangenciadelascircunferenciasexinscritas.Habamos obtenido que (a2, SC, SB) es el punto del innito de cualquierrectaperpendicular aBC, yanalogamente, (SC, b2, SA) y(SB, SA, c2)seranlospuntosdelinnitoderectasperpendicularesaCAyAB,respecti-vamente.Parahallarelpuntodeconcurrenciahacemos:23Simplificar[ p_]:Factor[p/PolynomialGCD[p1], p2], p3]]];Unir[{x1_, y1_, z1_}, {x2_, y2_, z2_}]:Simplificar]]Det]] y1 z1y2 z2 ,Det]] x1 z1x2 z2 , Det]] x1 y1x2 y2 );s abc

2; SA b2 c2 a2

2; SB c2 a2 b2

2; SC a2 b2 c2

2;ptX{0, sb, sc};ptY{sa, 0, sc};ptZ{sa, sb, 0};piPerpendicularBC{a2, SC, SB};piPerpendicularCA{SC,b2, SA};piPerpendicularAB{SB, SA,c2};ptPUnir[Unir[ptX, piPerpendicularBC], Unir[ptY, piPerpendicularCA]]a a3 a2ba b2 b3 a2c2 a b cb2ca c2 b c2 c3,b a3 a2ba b2 b3 a2c2 a b cb2ca c2 b c2 c3,c a3 a2ba b2 b3 a2c2 a b cb2ca c2 b c2 c3

6.4. B usquedaenlaenciclopediadeKimberlingUnavezhalladounpuntorelacionadoconel triangulopodemosquerersaberdequepuntosetratao,incluso,siestepuntoesconocido.ClarkKimberlingharecopiladoensuEncyclopediaof TriangleCentersmiles depuntos relacionados conel triangulo. Ademas, haestablecidounsistemadeb usqueda,consistenteenunatablaconladistanciadelpuntoalladomenordeltrianguloconladosa = 6,b = 9yc = 13.Tendremos un triangulo de estas caractersticas si consideramos los verti-cesA =_133, 4353_, B= (6, 0), C= (0, 0).En este caso la distancia especicada por Kimberling vendr a dada por lasegundacoordenadadelpunto.Comoejemplo,vamosaidenticarelpuntoobtenidoenelapartadoan-terior. Vemosquesuscoordenadasbaricentricassondelaformaf(a, b, c):f(b, c, a): f(c, a, b), siendof unafunciondelasvariablesa, b, c. Denimosuna funcionKimberlingque halla las coordenadas cartesianas elpunto aso-ciadoalafuncionf:24Kimberling[f_]:Module]{ptA, ptB, ptC, u, v, w},ptA]13

3,4 _-------35 3 ); ptB{6, 0}; ptC{0, 0};a6;b9;c 13;uf[a, b, c];vf[b, c, a];w f[c, a, b] ;u ptA v ptB w ptC

uvwEl usodeModulehacequelas variables queintervienenseconsiderenlocales.Ahora,denimoslafuncionfyusamosKimberlingconella:fa_, b_, c_ : a a3 a2ba b2 b3 a2c2 a b cb2ca c2 b c2 c3;NKimberlingf, 125.00000000000,11.87441727894LafuncionNdeMathematicapermiteespecicarel n umerodeseadodedecimales.Si buscamos en la enciclopedia de Kimberling la segunda coordenada delpuntoobtenido, hallaremosquedichopuntoestacatalogadocomoX(40)opuntodeBevan.25