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8/16/2019 CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS.pdf

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CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Si dos triángulos son congruentes tienen todos sus elementos respectivamente congruentes.

Se denota este hecho escribiendo ∆ ABC ≈ ∆ DEF.

Para todo par de triángulos congruentes, la relación entre sus elementos congruentes es una

correspondencia biunívoca. Entonces, en dos triángulos congruentes, a cada lado (o ángulo)

del uno corresponde un lado (o ángulo) congruente en el otro, llamados correspondientes

congruentes.

Se demuestra que dos triángulos son congruentes para concluir que todos los demás

elementos correspondientes son congruentes.

POSTULADOS DE CONGRUENCIA

TRIÁNGULOS ESCALENOS

1. Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes dos lados y el

ángulo comprendido.

2. Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes un lado y dos

ángulos.



3. Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes sus tres

lados.

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

1. Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen los catetos respectivamente

congruentes.

2. Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen la hipotenusa y un ángulo

agudo respectivamente congruentes.

3. Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen un cateto y un ángulo

respectivamente congruentes.



4. Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen la hipotenusa y un cateto

respectivamente congruentes.

PROPIEDADES DE PARALELAS

TEOREMA #1

Los segmentos de rectas paralelas y limitados por otro par de rectas paralelas son

congruentes.

COROLARIO

Dos rectas paralelas son equidistantes en toda su extensión.



TEOREMA #2

La recta que biseca a un lado de un triángulo y es paralela a otro lado, biseca también al

tercer lado.

COROLARIO

El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al

tercer lado u igual a su mitad.

TRIÁNGULOS ISÓSCELES Y EQUILÁTERO

TEOREMA #1

Si dos lados de un mismo triángulo son congruentes entre sí, los ángulos opuestos a

dichos lados también son congruentes.

COROLARIOS

1. Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, entonces los lados opuestos a estos

ángulos son también congruentes.



2. La bisectriz del ángulo desigual de un triángulo isósceles, es también mediana,

altura y mediatriz de dicho triángulo; y recíprocamente, un triángulo en el cual una

línea fundamental es también otra línea fundamental, el triángulo es isósceles. 3. En un triángulo isósceles todos sus puntos fundamentales permanecen a la mediatriz

de su lado desigual.

4.

Todo triángulo equilátero es equiángulo; y recíprocamente, todo triángulo

equiángulo es también equilátero. 5. En un triángulo equilátero las bisectrices, medianas, alturas y mediatrices de los tres

vértices son congruentes. El incentro, baricentro ortocentro y circuncentro son el

mismo punto

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

TEOREMA #1

El punto medio de la hipotenusa equidista de los tres vértices del triángulo rectángulo.

COROLARIO

Si una mediana de un triángulo es igual a los dos segmentos que forma en el lado del

triángulo, el triángulo es rectángulo.

TEOREMA #2

El ángulo formado por la altura y la mediana relativas a la hipotenusa de un triángulo

rectángulo es igual a la diferencia de los ángulos agudos



DESIGUALDADES

TEOREMA #1

Si dos lados de un triángulo no son congruentes, los ángulos opuestos a ellos tampocolo son y el ángulo de mayor medida se opone al lado mayor; y recíprocamente.

TEOREMA #2

En cualquier triángulo la suma de las longitudes de sus lados cualesquiera es mayor que

la longitud del tercer lado.



EJERCICIOS

1.

AD = DC <B + <C + <X = 180°

∆ ABD ∆ CBD <X = 180 - <2 - <1 <ABD = <DBC = 40° <X = 180° – 40° – 20°

<X = 120°

2.

∆ ABC Rectángulo <D + <A + <2 = 180°

∆ BDA Rectángulo isósceles <2 = 180° - <A - <D

<BDA = 45° <2 = 180° - 90° - 45°

<B = 60° <2 = 45°

<2 = 45°

<A = 90° <1 + <2 +<X = 180°

<1 = 60° <X = 180° - <1 - <2

<D = 45° <X = 180° – 60° - 45°

<X = ¿ <X = 75°



SEMEJANZAS DE TRIÁNGULOS

TEOREMA #1

Si tres o más rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una transversal,

determinan segmentos congruentes en cualquier otra transversal.

COROLARIO

Si se divide un lado de un triángulo en partes congruentes y por los puntos de división se

trazan paralelas a otro lado, el tercer lado queda dividido en igual número de partes

congruentes.

TEOREMA #2 Teorema Básico De Semejanzas De Triángulos

Los segmentos de dos transversales interceptan entre paralelas son proporcionales.



1. Dividimos AB en q segmentos de igual longitud (f) y BC en p segmentos de igual

longitud (f)

2. Por los puntos de división trazamos paralelas a L.

3. Se obtienen q segmentos de longitud (m) en A´B´ y p segmentos de longitud m en

B´C´.

4.

5.

(que igualando)

La definición de semejanza exige dos condiciones:

1. Los ángulos correspondientes deben ser congruentes, y

2. Los lados correspondientes deben ser proporcionales.

Si los ángulos correspondientes con congruentes:

Y los lados correspondientes son proporcionales:

, entonces decimos que la

correspondencia es una semejanza, y se escribe ∆ ABC ≈ ∆ A´B´C´.

La razón de dos lados correspondientes cualesquiera (1/2) es la relación de semejanzas.

Desde luego esta correspondencia no es una congruencia porque la longitud de cada lado

del segundo triángulo es dos veces la del lado correspondiente del primero, por lo tanto, dos

triángulos serán congruentes cuando su razón de semejanza sea igual a la unidad.



POSTULADO DE SEMEJANZAS

TRIÁNGULOS ESCALENOS

1. Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos homólogos congruentes.

2. Toda recta paralela a uno de los lados de un triángulo, da origen a otro triangulo

semejante con el primero. 3. Dos triángulos son semejantes si tiene lados respectivamente paralelos o

perpendiculares. 4. Si los lados correspondientes de dos triángulos son respectivamente proporcionales,

los dos triángulos son semejantes.

5. Si en dos triángulos, dos lados homólogos son proporcionales y los ángulos

comprendidos son congruentes, los triángulos son semejantes.



TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

1. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo

correspondiente congruente.

TEOREMA #1

Los perímetros de dos triángulos semejantes, están en la misma relación que los lados

homólogos.

ANTIPARALELAS



TEOREMA # 1

El segmento que une los pies de dos alturas de un triángulo es antiparalela de un lado.

PROPIEDAS DEL BARICENTRO

El Baricentro divide a cada una de las medianas en dos segmentos, tales que el uno es el

doble del otro.



TEOREMA # 1

La longitud del segmento perpendicular trazado desde el Baricentro de un triángulo a uno

de sus lados, es igual a la tercera parte de la altura relativa al mismo lado.

EJERCICIOS

1.

(∆ APS ≈ ∆ SQC)

(∆ APD ≈ ∆ CQD)

→



2.

(∆MQC ≈ ∆ AQN)

(∆ PAN ≈ ∆ PBM)

→ →

→ →

→

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