Conduttori in equlibrio elettrostatico

Un buon conduttore elettrico come il rame contiene cariche (gli elettroni) che non sono legate a nessun atomo: sono liberi si muoversi in tutto il volume occupato dal materiale. vengono chiamati portatori liberi o di conduzione.

In un conduttore metallico, gli elettroni liberi hanno un moto disordinato

al livello microscopico analogo a quello delle particelle di un gas (vedi figura).Il conduttore si dice in equilibrio elettrostatico

quando non vi è

un moto collettivo delle cariche libere al livello macroscopico*.Considando una superficie immaginaria S

interna al conduttore:

•Tale moto collettivo odinato, quando esiste, viene detto anche moto di deriva

delle cariche libere e determina una corrente elettrica macroscopica

all’interno del conduttore.

n°

medio di elettroni che attraversano Sda sinistra a destra

=n°

medio di elettroni che la attraversano da destra destra a sinistra

flusso netto di carica attraverso S

uguale a zero

e-

moto disordinatodegli elettroni

liberi nel metallo

SCondizione di equilibrio elettrostatico:

Proprietà

di un conduttore in equilibrio elettrostatico:P1)

il campo elettrico è

nullo

campo all’interno del conduttore

P2)

Se il conduttore è

isolato, eventuali cariche in eccesso si distribuiscono sulla superficieesterna. Tale carica in eccesso si distribuisce sulla superficie

in modo tale da annullareil campo elettrico all’interno (in accordo con la proprietà

P1).

Nota:

in un metallo un eccesso di elettroni liberi da luogo a una carica netta positiva, se invece degli elettroni liberi vengono sottratti si avra una carica netta positiva.

= 0

densità

di carica (mediata) all’interno del conduttore

(1)

P3)

Il campo esterno nelle immediate vicinanze del conduttore è

perpendicolare alla sua superficie in ogni punto con

densità

di carica superficiale nelpunto considerato

+ + +++

(a)

> 0

Le linee di forza del campo elettrico sono sempre ortogonali alla superficie del conduttore, con verso uscente se >0, entrante se <0 ( vedi figura)

(b)

< 0

(2)

b)

Le cariche accumulate sulle due faccie generano un campo indotto

Eind

che si oppone a quello applicato.Raggiunto l’equilibrio

il campo indotto compensa esattamente il campo applicato così

da avere:

cessa la migrazione di elettroni liberi.

Dim. proprietà

P1

++++++

C

a)

Fuori dall’equilibrio

(transiente), il campo interno a C è

diverso da zero:

gli elettroni migrano nella direzione opposta a quella di Eint

e si ha flusso netto di cariche negative verso sinistra

e-

e-

e-

e-

Evoluzione verso l’equilibrio (descrizione qualitativa)Un campo uniforme

Eext

viene applicato all’esterno di una piastra neutramente carica, come mostrato in figura

C

Nota: in un buon conduttore come un metallo questo processo di evoluzione

verso lo stato

di equilibrio(detto

transiente) è

quasi di istantaneo: si instaura l’equilibrio

elettrostatico in tempo dell’ordine di 10-16s.

Dim. proprietà

P2Dalla

condizione di equilibrio elettrostatico E=0 dentro il conduttore segue che un eventuale carica in eccesso si distribuisce necessariamente sulla superfice esterna del conduttore.Per dimostrarlo è

sufficiente applicare il teorema di Gauss usando una superficie

chiusa

internaal conduttore

Visto che la superficie di Gauss

puo essere presa in modo arbitrario

all’interno del conduttore, anchemolto vicina

alla

superficie esterna S, ne segue che qualunque carica in eccesso nel conduttore deve stare sulla sua superficie. In altri

termini, non si

possono

avere accumuli di

cariche all’interno del conduttore in condizione di equilibrio (ovvero

la densità

di carica volumetrica

al suo

interno

è

=0). La tesi è

così

dimostrata.

S

superficie di gaussinterna al conduttore

legge di Gauss

Q

carica racchiusa

nella superficie

Dim. proprietà

P3: campo vicino alla superficie del conduttore.

Per calcolare il campo elettrico nelle immediate vicinanze

del conduttore, applichiamo il teorema di Gauss a un cilindretto

che attraversa perpendicolarmente la superficie del conduttore

S

con le basi parallele a S, una all’interno e una all’esterno come mostrato in figura.

Cominciamo con l’osservare che in condizioni di equilibrio il campo E

è

necessariamente ortogonale alla

superficie del conduttore nelle immediate vicinanze della sua superficie S. Infatti, se il campo avesse

una componente E tangente a S, questa farebbe muovere delle cariche di conduzioni sulla superficie dando luogo a delle correnti superficiale

e il conduttore si troverebbe di conseguenza fuoridall’equilibrio

elettrostatico.

nullo perchè

E=0dentro C

nullo perchè

E

è

|| alla superficie laterale di

(o nullo dentro C)

(per

infinitesimo)

Consideriamo

il caso in figura

con E uscente

dalla

superficie. Nel limite in cui S’

è

molto piccolo si puo facilmente

calcolare

il flusso del campo elettrico

attraverso

:

(4)

S

conduttore C all’equilibrio

D’altra parte, applicando il teorema di Gauss a

con Q

=dAbase

carica contenuta in = densità

di carica superficiale nella posizione del volumetto.

c.v.d.

Confrontando la (4’) e la (5) si ottiene quindi

(5)

Dim. proprietà

P3 (cont.)

Abbiamo quindi ottenuto, nel limite di un cilindretto di dimensioni infinitesime

dAbase area della sezione trasversale di

(4’)

Osservazioni:1) il gradiente di un campo vettoriale uniforme è

il vettore nullo, quindi si ha

in accordo con la proprietà

P1.

Potenziale elettrico in presenza di conduttoriIn conduzioni di equilibrio elettrostatico, la d.d.p. tra due punti A

e B interni a un conduttore ènecessariamente nulla. Vale quindi la proprietà:

A

B

Poichè

A e B sono due punti qualsiasi interni al conduttore ne segue la tesi.

V = costante

in un conduttore all’equilibrio

Infatti si ha:

2)

Poichè

l’intero volume del conduttore è

a potenziale costante, la sua superficie esterna S è

una superficieequipotenziale. Ricordando che il gradiente di una funzione f in un punto P

è

ortogonale alla superfice f=cost

passante per P, si ha necessariamente

S

nelle immediate vicinanze di S esterne al conduttore

Le linee di forza del campo elettrico sono quindi ortogonali alla superficie del conduttoreNota:

si era giunti alla stessa conclusione imponendo la condizione di equilibrio elettrostatico sulla superficie del conduttore (vedi dim. proprietà

P3).

(6)

Se consideriamo un campo uniforme nel vuoto e vi poniamo un conduttore neutro, gli elettroni liberi si dispongono sulla superficie in modo da annullare il campo elettrico al suo interno.

PRIMA:

Eext

uniforme nel vuoto DOPO:

all’equilibrio

il campo elettrico intorno al conduttore viene modificatodalle cariche indotte sulla superficie S

Raggiunte le condizioni di equilibrio, la distribuzione superficiale

degli elettroni è

tale da avere

Riassunto dei risultati precedenti:

alla sua superficie S

del conduttore con =

/ 0

all’interno del conduttore

S

+

++

++

+++

(7)

Conduttore con una cavità

dielettricaConsideriamo un conduttore isolato con una cavità

al suo interno (vuota, o riempita di un dielettricocome l’aria). Per ora supponiamo che l’interno della cavità

sia priva di cariche.

Sext

Sint

superficie di Gaussnel conduttore che racchiudela cavità

Applicando il teorema di Gauss a una superficie S interna al conduttore che racchiuda la cavità, si ha

D’altra parte, avendo in condizioni di equilibrio E=0 nel conduttore, ne segue necessariamente

(8)

Poichè

il conduttore e la cavità

non contengono cariche (=0), la (8) implica che la carica sulla superficie interna del conduttore Sint

è

nulla:

La carica Qint

=0 sulla superficie interna Sint (9)

Un eventuale carica in eccesso nel conduttore si necessariamente distribuisce sulla sua superficie esterna Qext

in modo tale da annullare il campo elettrico al suo interno.

Conduttore con una cavità

dielettrica (cont.)Dimostriamo ora che:

dentro la cavità

la densità

di carica sulla supericie interna Sint è

nulla: int

=0

Supponiamo per assurdo

di avere una distribuzione di carica superficiale int

0, pur soddisfando lacondizione Qint

=0 (vedi Eq. 8), come nell’esempio mostrato in figura.

In questo caso si avrebbe un campo elettrico non nullo

dentro la cavità, con delle linee di forza direttedalle cariche positive verso le cariche negative. E’

allora possibile considerare un cammino

dentro la cavità, diretto come queste linee di forza, su cui la circuitazione di

E

è

diversa da zero (positiva nel caso considerato). Si avrebbe quindi una d.d.p diversa da zero tra i punti A e B agli estremi del cammino :

+++ +

+

il numero di cariche elementari negative e positive su Sint

è

uguale, così

da avere Qint

=0

Questo risultato è

impossibile, poichè

sappiamo che tutti punti del conduttore devono essere allo stesso potenziale in condizioni di equilibrio elettrostatico La tesi è

quindi dimostrata.

(10)

AB

Abbiamo visto che se la cavità

nel conduttore non contiene cariche, sulla superficie interna non si hannocariche e il campo dentro la cavità

è

nullo. La cavità

interna risulta schermata: il conduttore cavo costituisce uno schermo elettrostatico per la cavità, detto talvolta gabbia di Faraday.

Schermo elettrostatico (o gabbia di Faraday)

Applicando campi elettrici esterni anche molto intensi, le cariche indotte sulla superficie esterna tendono a ridistribuirsi quasi instantaneamente in modo da annullare il campo all’interno della cavitàschermata.

Nota:

il principio di schermatura elettrostatica funziona anche se il

conduttore non racchiude completamente la cavità, come avviene ad es. per una gabbia metallica o per la carrozzeria di un automobile. E’

noto infatti che i passeggeri di un automobile o di un aereo sono al riparo da eventuali fulmini grazie a questa proprietà

dei conduttori metallici.

cavitàschermata

Campi esterniintensi

Supponiamo ora di inserire nella cavità

di un conduttore una carica Q (non a contatto con il conduttore). Applicando di nuovo il teorema di Gauss ha una superficie chiusa

interna al conduttore che racchiudela cavità, troviamo ancora (come per la cavità

vuota):

-Q

+ + +++

+++

++ + +

+

+

+

Conduttore cavo con una carica all’interno

+

Ciò implica che sulla superfice interna al conduttore Sint

si ha necesseriamente una carica indotta uguale e opposta a quella nella cavità, in modo tale da soddisfare la condizione *:

Inoltre un eventuale carica in eccesso del conduttore, Qecc

, si distribuisce sulla sua superficie esterna Sext che, per la legge di conservazione della carica possiede una carica totale Q+Qecc

(altrimenti la (10) non potrebbe essere soddisfatta).

(10)

*

si tenga sempre presente che all’equilibrio elettrostatico non si hanno accumuli di cariche all’interno del conduttore (=0) e di conseguenza la carica indotta è

necessariamente localizzata sulla sua superficie.

Qext

=Q+Qecc carica su Sext

Qint

=

Qcarica indotta su Sint

A differenza del caso del conduttore con unacavità

priva di cariche (vedi discussione schermo elettrostatico), il campo nella cavità

interna é

diverso da zero

con linee di forza uscenti dalle cariche positive, entranti nelle cariche negative. Come per la superficie esterna, si dimostra che:+Q

superficie di Gaussche racchiude la cavità