CONCETTI PRIMITIVI DELLA GEOMETRIA

Il punto è un’entità geometrica priva di dimensione. Si indica con una lettera maiuscola dell’alfabeto latino. Esso si in-dividua da intersezioni di linee rette o di archi o anche da ambedue.

La linea è una figura geometrica defini-ta dal moto di un punto. Prevede una sola dimensione: la lunghezza.Può esse-re retta, spezzata, curva e mista e si in-dica sempre con una lettera minuscola latina.

La retta è un insieme infinito di punti disposti nelle stessa direzione. Geome-tricamente è individuata da intersezioni di piani e si indica con lettere minuscole latine.

La semiretta è una parte della retta divi-sa da un punto chiamato origine

Il segmento è parte di una retta com-presa da due punti chiamati estremi del segmento. Viene indicato con una lette-ra minuscola mentre gli estremi vengo-no designati con lettere maiuscole en-trambe dell’alfabeto latino.

Il piano è una superficie illimitata. Si de-termina con tre punti non allineati, con due rette parallele o incidenti e con un punto e una retta. Viene indicato con lettere minuscole greche a(alfa), b(beta),d(gamma) ecc.

Il semipiano è una parte di piano delimi-tata da una retta o da un piano.

La linea spezzata aperta

La linea spezzata chiusa

Puntoretta a

Piano

Semipiano Semipiano

A segmento B

semiretta b

semiretta a o

o

La linearetta

curva

mistaspezzata

1

PAGINA 1

Punto

Linea

Piano

GEO

MET

RIA

PIA

NA

1

PAGINA 2

GEO

MET

RIA

PIA

NA

Rette

Angoli

RETTE E ANGOLI

Rette parallele, sono rette appartenenti ad uno stesso piano e non aventi punti in comune.Rette incidenti, sono rette aventi un punto in comune.Rette perpendicolari, sono rette incidenti che dividono il piano in quattro angoli retti (90°).Rette sghembe, rette non complanari e non aventi punti in comune.

Angolo, ciascuna delle due parti di piano delimitate da due semirette aventi l’origine comune. Le due semirette si chiamano lati dell’angolo e il loro punto comune vertice.Angolo convesso, è l’angolo che non contiene i prolungamenti dei suoi latiAngolo concavo, è l’angolo che contiene i prolungamenti dei suoi lati.Angolo piatto, è l’angolo costituito da semirette opposte che dividono il piano in due semipiani. Esso misura 180°.Angolo giro, è l’angolo costituito da semirette coincidenti, comprende tutto il piano e misura 360°.Angolo retto, è la metà di un angolo piatto e misura 90°.Angolo acuto, è < minore di un angolo retto .Angolo ottuso, è > maggiore di un angolo retto.Angoli complementari, angoli la cui somma è uguale ad un angolo retto (90°).Angoli supplementari, angoli la cui somma è uguale ad un angolo piatto (180°)Angoli esplementari, angoli la cui somma è uguale ad un angolo giro(360°)Angoli consecutivi hanno in comune un vertice e un latoAngoli adiacenti sono consecutivi e i due lati non in comune appartengono ad una stessa retta

126°

69°

36°

54°

41°

139°

90°

vertice

v

lato a

lato b

angolo retto angolo acuto

69°

angolo ottuso

angoli complementari

36°

54°

angoli consecutivi

angoli esplementariangoli supplementari

bb

a a

rette parallele

rette incidenti rette perpendicolari

b

b

a

a

90°P

b

a

rette sghembe

360°

angolo giro

a b180°

angolo convesso

angolo concavo

angoli adiacenti

111°

1

PAGINA 3

GEO

MET

RIA

PIA

NA

Soluzioni

geometriche

SOLUZIONI GEOMETRICHE

Trovare l’asse del segmento AB(Esso è la perpendicolare nel punto medio)Tracciare due archi di eguale raggio > AB/2 con centro negli estremi A e B. La retta pas-sante per i punti 1 e 2 risulta l’asse del segmen-to.

Condurre la perpendicolare al punto A, estre-mo del segmento AB.Tracciare un semicerchio puntando in C, punto qualsiasi passante per estremo A. Unire i punti DC e prolungando il segmento sino ad interse-ca-re il semicerchio si definisce il punto E. Il seg-mento AE risulterà perpendicolare al seg-mento AB.

Tracciare una retta parallela ad una retta data ad una distanza convenuta.Definire due perpendicolari alla retta data per i punti 1 e 2,scelti a caso, quindi riportare la di-mensione desiderata sulle due rette e definire i punti 3 e 4 . Unendo i punti 3 e 4 si definisce la parallela richiesta.

Divisione del segmento AB in un numero qual-siasi di parti uguali (applicazione del teorema di Talete)Condurre da A la semiretta r con un angolo a piacere. Dividere la semiretta in un numero de-finito di parti uguali. Unire gli estremi C e B e tracciare rette parallele alla CB per i punti 1, 2, 3, 4, 5. I punti 1’, 2’, 3’, 4’ e 5’ sono i punti di divisione del segmento AB in parti uguali.

Tracciare la bisettrice di un angolo qualsiasi.Tracciare l’arco 1-2 di centro O . Determinare il punto P intersezione di due archi uguali trac-cia-ti dai punti 1 e 2. La semiretta uscente dal pun-to O passante per P è la bisettrice dell’angolo dato.

Divisione di un angolo retto in tre parti uguali Descrivere un arco con centro nel vertice V e raggio a piacere. Centrando nei punti interse

zione 1 e 2 con lo stesso raggio si trovano i punti 3 e 4 . Le rette uscenti dal vertice V passanti per i punti 3 e 4 dividono l’angolo in tre parti uguali.

Punto di tangenza di una retta ad una circonferenzaPer determinare il punto di tangenza di una retta con una circonferenza occorre tracciare il raggio perpendicolare alla retta data. L’intersezione rappresenta il punto di tangenza.

In un cerchio l’asse di una corda qualsiasi passa per il centroL’asse di una corda di un cerchio passerà inevitabilmente per il centro del cerchio perché esso è equidistante da A e B

Disegnare le tangenti ad una circonferenza passanti per un punto esterno PUnire il punto P con C, centro della circonferenza e trovare il suo punto medio, utilizzando la costru-zione dell’asse di un segmento. Quindi con centro in M tracciare un arco di cerchio intersecando la circonferenza nei punti 1 e 2. Le semirette uscenti dal punto P e passanti per i punti 1 e 2 costitui-ranno le tangenti al cerchio.

1

B

2

A M

A

A

A

B

B

B

C

C

C

D

D

E

r

r

r

s

s

1

1

1 1

1

2

22

2

2

3

3

3

4

4

4

d

v

o

o

P

5

1' 2' 3' 4' 5'

P

M

90°

1

PAGINA

GEO

MET

RIA

PIA

NA

TR

IAN

GO

LI

TRIANGOLI E TRIGONOMETRIA

TRIANGOLI

Definizione: il triangolo è una parte di piano delimitata da tre segmenti a due a due consecutivi.

Caratteristiche dei triangoli in base alla lunghezza dei lati.

Triangolo equilatero: lati uguali.Triangolo isoscele: due lati uguali.Triangolo scaleno: lati disuguali.

Caratteristiche dei triangoli in base alle ampiezze degli angoli. La somma degli angoli interni di un triangolo è di 180°- in ogni triangolo due angoli sono certamente acuti e a seconda dell’ ampiezza del terzo avremo: Triangolo rettangolo: angolo retto (90°). Triangolo ottusangolo: angolo ottuso (>90°). Triangolo acutangolo: angolo acuto (>90°).

Altezze, bisettrici, assi, mediane e loro punto di intersezione.L’altezza di un triangolo è la semiretta perpendicolare condotta da un vertice al lato opposto; il punto di intersezione delle tre altezze è denominato ortocentro

La bisettrice di un triangolo è la semiretta che uscendo da un vertice divide l’angolo in due parti uguali; il punto di intersezione delle tre bisettrici è denominato incentro.

La mediana di un triangolo è la semiretta che uscendo da un vertice divide il lato opposto in due parti uguali; il punto di intersezione delle tre mediane è denominato baricentro.

L’asse di un triangolo è la semiretta perpendicolare ad un lato nel suo punto medio; il punto di intersezione dei tre assi è denominato circocentro (centro del cerchio che ha per raggio la distanza circocentro-vertice).

ORTOCENTRO

(punto d'incontro delle altezze) BARICENTRO

(punto d'incontro delle mediane)

INCENTRO

(punto d'incontro delle bisettrici)CIRCOCENTRO

(punto d'incontro degli assi dei lati)

CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI

RISPETTO AI LATI

CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI

RISPETTO AGLI ANGOLI

h h h

AA B B

C

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

OO O O

EQUILATERO ISOSCELE SCALENO

ACUTANGOLORETTANGOLO

ipotenusa

cate

to

cateto

90

a

b

c

... CENNI TRIGONOMETRICIIn un triangolo rettangolo, un cateto è uguale alla ipotenusa per il seno dell'angolo oppostoal cateto stesso. oppure uguale all'ipotenusa

a = c sena

a

b

b

a = c cosb

In un triangolo rettangolo' un cateto è uguale all'altro cateto per la tangente dell'angolo opposto

a = b tga

La tangente di un angolo acuto di un triangolo è uguale al rapporto fra il cateto opposto, e l'altro cateto

a = b cotg

1

PAGINA 5

GEO

MET

RIA

PIA

NA

A B

C

A B

C

D

A

B

C

D

E

F

G

H

A

B C

D

EF

A

B C

D

E

A

B

C D

E

F

G

HI

L

OO

O O

O

O

D

1

2

3 4

12 3

POLIGONI INSCRITTI

1

PAGINA 6

GEO

MET

RIA

PIA

NA

C

BA

CD

BA

C

D

E

BA

F

I

L C

D

E

BA

H

GF

C

D

E

BA

H

G

F C

DE

BA

O OO

1

1

2

1

34

2

1

2

13

42

3

lato

lato lato lato

lato lato

POLIGONI DATO IL LATO

1

PAGINA 7

GEO

MET

RIA

PIA

NA

COSTRUZIONE DI UN POLIGONO DATA LA MISURA DEL LATO E IL NUMERO DEI LATI

SUDDIVISIONE DI UNA CIRCONFERENZA DI RAGGIO DATO IN UN NUMERO N DI LATI UGUALI

Si divide il diametro verticale per il numero dei lati del poligono. Si traccia il diametro orizzontale prolungandolo verso destra. Si traccia un arco di circonferenza dal punto D con apertura DC sino ad incontrare il punto E. Dal punto E fuori esce una semiretta passante per il punto 2 sino alla circonferenza. F D risultera' il lato del poligono cercato.(In questo caso del dodecagono. )_

Raggio esagono : CBRaggio ettagono: 7BRaggio ennagono: 9BRaggio undecagono: 11B

N.B. Per costruire poligoni dato il lato e il numero dei lati si riporta sulla verticale, partendo dal punto C, 1/6 dellamisura del lato pari al numero dei lati del poligono da disegnare numerandoli iniziando da 7 e continuando progressivamente.

D

E

A B

C

A B

C

M

F1

3

4

5

6

7

8

9

10

7

89

10

2

11

11

POLIGONI DI N. LATI

1

PAGINA 8

GEO

MET

RIA

PIA

NA

AB CD EF

A B

C

D

EF

G H

O

1 2 3 41

2

3

4

5

6

7

8

9

1'

1 2 3 4 5 6 7

2'

3'

4'

5'

6'

7'

88'

A

BC

D

E

F

G

H1

2

3 4

5

67

8

9 10

11

4545

SPIRALI POLICENTRICHE

1

PAGINA 9

GEO

MET

RIA

PIA

NA

diametro

arcocirconferenzacerchio

raggiocorda freccia

segmento circolarea due basi

segmento circolare corona circolare settore circolare

semicerchio semicirconferenza

quadrante

circonfernzeesterne

circonfernzetangenti

circonfernzesecantii

circonfernzetangenti interne

circonfernzeconcentriche

LA CIRCONFERENZA E LE SUE DIVISIONI

1

PAGINA 10

GEO

MET

RIA

PIA

NA

A B

C

D

A B

C

D

A B

C

D

OA B

C

D

E

F GOA B

C

D

E

A B

C

D

asse minore asse minore

1 2

34

1 2

34

1 2

1 2

3 4

1

2

3

4

5 6

1 2

34

asse

mag

gio

re

asse

mag

gio

re

OVOLI E OVALI

1

PAGINA 11

GEO

MET

RIA

PIA

NA

A B

C

A B

C

D

A

B

C

DE

F

G

H

O A B

C

D

O

Ellisse per tre puntiCostruire l'Ellisse con i raggi vettori o raggi focali

ELLISSE : assi coniugati

Dati due assi coniugati, trovare l'asse maggiore a l'asse minore dell'ellisse.Gli assi coniugati sono: A B e C D

Dal punto D si conduce la perpendicolare all'asse AB; su questa si riporta la lunghezza DL = OB. Si unisce L con O e se ne trova il punto medio M; Si centra in M con apertura MO, fino ad intersecare il segmento DM nei punti P e Q. I segmenti OQ e OP sono le direzioni degli assi dell'ellisse, mentre DQ e DP sono le dimensioni dei semiassi cercati.

Q

L

P M

90°

Costruire l'Ellisse con Stainer

Costruzione dell'Ellisse dati i due assi AB e CD

ELLISSI

AO

Dati gli assi trovare i fuochi.Con raggio AO puntare il compasso in C e tracciare l'arco di cerchio

1

PAGINA 12

GEO

MET

RIA

PIA

NA

A B C D E

F

G H I L M N

O

P Q R S T U

V

Z

direttrice

verticefuocodirettrice

raggio vettore

ascissaordinataasse

F

O

V

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

PARABOLA

1

PAGINA 13

GEO

MET

RIA

PIA

NA

1

1

12 3 4 5 6 7 8 9 10

F1

A B C D E F

F

F

G H I L M N O P Q R S T U

V

V

V V

Z

Asinto

to

Asinto

to

Asintoto

Asintoto

Asse traverso

Asse non traverso

V : verticeF: fuoco

1

Raggio vettore

Ass

e

IPERBOLE