comportement des matériaux

8/3/2019 comportement des matériaux

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Comportement Mecanique des

Materiaux

Roland FORTUNIER

Ecole Nationale Superieure des Mines158 cours Fauriel

42023 Saint-Etienne cedex 2



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Table des matieres

Introduction 7

1 Essais mecaniques - Lois simples 9

1.1 Parametres importants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Element de volume representatif . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.2 Vitesse de deformation et temperature . . . . . . . . . 10

1.1.3 Direction de sollicitation . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Types de sollicitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.1 Essais monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.2 Essais cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.3 Durete et resilience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3 Quelques lois simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Thermodynamique des milieux continus 29

2.1 Equations de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.1 Definition des variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.2 Equations de conservation, premier principe . . . . . . 29

2.1.3 Inegalite de Clausius-Duhem, second principe . . . . . 31

2.2 lois de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.1 Variables d’etat, potentiel thermodynamique . . . . . . 32

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4.5 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.5.1 Ecrouissage isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.5.2 Ecrouissage cinematique lineaire . . . . . . . . . . . . . 70

4.5.3 Ecrouissage combine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5 Endommagement - Rupture 73

5.1 Endommagement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.1.1 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.1.2 Mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.2 Rupture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.2.1 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.2.2 Mecanique de la rupture . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

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Introduction

L’etude du comportement mecanique des materiaux a pour but de connaıtreleur reponse a une sollicitation donnee. Les variables mises en jeu dans cedomaine sont :

– le tenseur des contraintes σ

– le tenseur des deformations

L’objectif de ce document est de donner un apercu assez general du com-portement mecanique des materiaux, et de sa modelisation. En effet, sil’elasticite lineaire represente actuellement le cadre de la majorite des calculs

de mecanique des milieux continus realises dans l’industrie, d’autres typesde comportement sont de plus en plus utilises car ils s’approchent plus de larealite, et permettent donc un dimensionnement plus strict des structures oude certains procedes.

Un premier exemple concerne le dimensionnement d’une structure, en vue del’adapter aux sollicitations qu’elle subira (choix du materiau, optimisationde la forme, respect des points de fonctionnement, . . . ). Dans des zones acci-dentees telles que les conges de raccordement, ou au voisinage de porosites oud’inclusions, la sollicitation mecanique en service est amplifiee par un certainfacteur. On parle de ”concentration de contraintes”. Lorsque ces zones sontrelativement petites, le materiau peut avoir un comportement globalementelastique, alors que la structure ”plastifie” localement. La prise en comptede cette ”plastification locale” permet d’ameliorer par exemple les previsionsde duree de vie des structures dans l’automobile ou dans l’aeronautique.Un autre exemple est la mise en forme d’une piece (forgeage, emboutissage,. . . ), ou la deformation plastique du materiau est a la base du procede. Laconnaissance de son comportement plastique permet de mieux apprehenderles efforts qui seront mis en jeu (gamme de fabrication, choix de la presse,cadence, . . . ), ainsi que les defauts susceptibles d’etre generes par cette mise

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en forme.

Dans le chapitre un de ce document, nous decrivons les essais mecaniques cou-ramment utilises pour caracteriser le comportement mecanique des materiaux,puis nous donnons quelques lois phenomenologiques utilisees dans les calculssimples. Dans le chapitre deux, nous donnons le cadre thermodynamiquedans lequel les lois de comportement des materiaux doivent s’inscrire. En-suite, nous nous interessons aux comportement elastiques, thermoelastiqueset viscoelastiques lineaires, puis a la modelisation de l’ecrouissage plastiqueou viscoplastique. Le dernier chapitre est consacre aux principaux modelesd’endommagement et de rupture des materiaux.

Les concepts introduits dans ce document pourront etre approfondis dans [4].Le lecteur pourra egalement utiliser [2] pour mieux comprendre les liens entreles aspects microscopiques et macroscopiques du comportement des metaux,et [5] pour une analyse detaillee des mecanismes physiques et de la mecaniquede l’endommagement.

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Chapitre 1

Essais mecaniques - Lois

simples

1.1 Parametres importants

1.1.1 Element de volume representatif

Pour realiser un essai mecanique, un element de volume ”representatif” dumateriau doit etre utilise, afin que les hypotheses des milieux continus soientsatisfaites. Le tableau 1.1 donne, en fonction du type de materiau, la taillecaracteristique minimale de l’eprouvette qu’il conviendra d’utiliser.

Type de type et taille element de volumemateriau des heterogeneites caracteristique

metaux et alliages grain : 0,001 a 0,1mm 0,5× 0,5× 0,5mmpolymeres molecule : 0,01 a 0,05mm 1× 1× 1mm

bois fibres : 0,1 a 1mm 10×

10×

10mmbeton granulats : ≈ 10mm 100× 100× 100mm

Tab. 1.1 – elements de volumes macroscopiques

Le depouillement des essais consiste ensuite souvent a transformer les courbes”force-deplacement” obtenues en courbes ”contrainte-deformation”, appelees”courbes rationnelles”. La figure 1.1 donne une courbe rationnelle typique ob-tenue pour differents types de materiaux. Il faut noter ici que la courbe ration-nelle relie deux scalaires entre eux (une ”contrainte” σ et une ”deformation”

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), et non deux tenseurs. Le choix de ces scalaires depend du type d’essai et

du type de materiau.

Fig. 1.1 – Courbes rationnelles typiques de differents materiaux

1.1.2 Vitesse de deformation et temperature

La vitesse de deformation peut avoir une influence determinante sur le com-

portement des materiaux. Lors de la realisation d’un essai, on doit donc utili-ser une vitesse aussi proche que possible de celle qui sera utilisee par la suite(e.g. lorsque l’on utilisera la loi de comportement obtenue dans un calcul dedimensionnement). Par exemple, si l’objectif est de valider la tenue en fluaged’une structure, sous l’effet de son propre poids, la vitesse de deformation aconsiderer sera tres faible. Par contre, si l’objectif est de valider la tenue auxseismes de cette structure, alors cette meme vitesse de deformation pourraprendre des valeurs beaucoup plus elevees, et la loi de comportement a utili-ser ne sera sans doute pas la meme. Ceci conduit a differents types d’essais,qui peuvent etre classes en fonction de la vitesse de deformation mise en jeu

(tableau 1.2).Par exemple, un essai quasi-statique de compression uniaxiale sera realise al’aide d’une machine hydraulique ou mecanique. l’eprouvette est fixee d’uncote sur une traverse fixe, et de l’autre sur une traverse qui se deplacera aune vitesse donnee, relativement lente. Le depouillement de l’essai se feradans le regime ”quasi-statique”, c’est-a-dire sans prendre en compte les ef-fets d’inertie dans les equations d’equilibre. Par contre, dans le regime dy-namique, la machine classique ne suffira plus car la traverse ne pourra plusatteindre la vitesse requise. L’essai sera alors realise sur un systeme de barres

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Fig. 1.3 – Impact de plaques

une forte influence sur le comportement mecanique du materiau. La figure1.4 illustre cette influence (resultat typique d’un essai de traction realiseen changeant la vitesse de deformation). On dit alors que le materiau est”sensible a la vitesse de deformation”. Cette sensibilite sera d’autant plusforte que les deux courbes en pointilles de la figure 1.4 seront eloignees.

Fig. 1.4 – Courbe de traction typique avec sauts de vitesse

Dans le cadre thermodynamique general des milieux continus, les aspectsmecaniques et thermiques sont ”naturellement” couples. Ceci met claire-ment en evidence l’importance de la temperature de l’eprouvette lors dela realisation d’un essai, et le couplage de cette influence avec la vitesse dedeformation.

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Dans le tableau 1.2, le regime thermique d’un essai est indique, en fonction

de la vitesse de deformation mise en jeu. La puissance de deformation plas-tique σ : p est essentiellement dissipee en chaleur dans l’element de volumeconsidere. Par exemple, il est aujourd’hui communement admis que, dans lesmetaux, environ 90% de la puissance de deformation plastique est dissipeeen chaleur, le reste etant stocke dans le materiau. Cette chaleur doit doncetre evacuee par conduction thermique.

Lors d’essais ”lents” (regimes mecaniques de fluage ou quasi-statiques), lachaleur a le temps de se dissiper, se sorte que l’on peut considerer que l’es-sai est isotherme. Dans un regime intermediaire ou d’impact, l’eprouvettes’echauffe vite, et la chaleur produite n’a pas le temps de se dissiper. Ceci aune consequence sur le comportement du materiau, et sur l’evolution de sastructure.

Pour simuler un procede de mise en forme, la loi de comportement du materiauest donc souvent donnee a differentes temperatures. Des essais a differentestemperatures sont donc realises. Ceci peut changer non seulement le niveaude contrainte (pour une deformation donnee), mais aussi la forme de la loielle-meme (presence ou non de recristallisation dynamique, . . . ).

1.1.3 Direction de sollicitation

Lors de la realisation d’essais mecaniques, le choix de la direction de sollici-tation peut s’averer primordial. En effet, il conditionne souvent le domainede validite de la loi de comportement obtenue. On peut classer les direc-tions de sollicitation en deux grandes categories : les sollicitations uniaxialeset les sollicitations multiaxiales. On parle alors d’essai ”uniaxial” ou d’essai”multiaxial”. Les principaux essais uniaxiaux utilises sont :

– la traction-compression

– la torsion

– la flexion

L’eprouvette est alors sollicitee dans une direction de l’espace des contraintes.La variation d’un parametre de l’essai ne change pas cette direction. Les essaismultiaxiaux sont nombreux et varies. Ils sont plus difficiles a interpreter.Ils consistent le plus souvent a combiner plusieurs sollicitations uniaxialesentre elles au cours du temps, de facon a tester l’influence de la direction

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de sollicitation sur le comportement du materiau. L’essai multiaxial le plus

courant est celui de ”traction-torsion”.

Traction-Compression

La traction-compression est l’essai le plus couramment utilise sur les metaux(figure 1.5). Toutefois, les deformations atteintes par ce type d’essai sontlimitees par la rupture du materiau (en traction), et par le flambage del’eprouvette (en compression). Ce type d’essai est donc principalement uti-lise pour obtenir une loi de comportement simple et rapide en traction, ou

pour solliciter cycliquement le materiau en traction-compression, a faiblesdeformations, et obtenir une loi de comportement en fatigue (voir paragraphesuivant).

Fig. 1.5 – Schematisation de l’essai de traction-compression

Pour avoir acces a une loi de comportement valable pour de plus grandesdeformations qu’en traction, on realise donc des essais specifiques de com-pression (figure 1.6). Le depouillement de l’essai est cependant rendu delicatpar la presence de frottement a l’interface eprouvette-outil.

Torsion

L’essai de torsion (figure 1.7) permet d’avoir acces a une loi de compor-tement pour de grandes deformations, sans problemes de frottement entrel’eprouvette et l’outil. Cependant, la deformation et la contrainte ne sontpas homogenes le long du rayon de leprouvette. On utilise donc parfois uncylindre a paroi mince comme eprouvette.

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Fig. 1.6 – Schematisation de l’essai de compression

Fig. 1.7 – Schematisation de l’essai de torsion

Flexion

La flexion (figure 1.8) est l’essai le plus couramment employe sur les ceramiques.La flexion quatre points permet de solliciter le materiau avec un momentconstant entre les deux points d’application de la charge. Comme en torsion,la deformation et la contrainte ne sont pas constantes dans l’epaisseur del’eprouvette.

1.2 Types de sollicitation

1.2.1 Essais monotones

Les essais monotones les plus classiques sont ceux de traction, de compres-sion, de torsion et de flexion. La sollicitation est alors appliquee au materiau jusqu’a sa rupture (traction, torsion, flexion) ou jusqu’a une deformation suf-

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Fig. 1.8 – Schematisation de l’essai de flexion quatre points

fisamment grande (compression). En fonction du mode d’application de la sol-licitation, on peut realiser principalement des essais d’ecrouissage, de fluage,ou de relaxation, et les combiner entre eux (essais d’ecrouissage-relaxation,. . . ) .

La figure 1.9 montre une courbe ”force-allongement” (et la courbe contrainte-deformation associee) typique obtenue sur un metal lors d’un essai d’ecrouissageen traction monotone. Ce type d’essai est generalement realise a des vitessescomprises entre 10−3 et 1s−1. On distingue successivement :

– un domaine de comportement elastique reversible, ou l’arret de la solli-citation permet a l’eprouvette de retourner dans son etat initial, et oules contraintes et les deformations sont reliees lineairement par la loide Hooke

– un domaine de comportement plastique homogene, caracterise par unedeformation irreversible du materiau.

– un domaine de comportement plastique heterogene, initie par l’appa-rition d’une ”striction”. La deformation se localise dans l’eprouvette jusqu’a rupture de celle-ci.

Les essais de fluage sont realises en appliquant une contrainte constante aumateriau, en general en traction. Le type de courbe obtenu est donne sur lafigure 1.10. Elle represente la deformation de l’eprouvette en fonction dutemps, pour une contrainte constante donnee. Une premiere deformationapparaıt instantanement a la mise en charge. C’est la deformation corres-pondant a la contrainte appliquee dans un essai d’ecrouissage. Ensuite, unedeformation lente apparaıt au cours du temps. La vitesse de deformation estde l’ordre de 10−6 a 10−4s−1. Dans un premier temps (domaine de fluage pri-maire), elle decroıt, pour atteindre une valeur constante dans le domaine de

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Fig. 1.9 – Essai d’ecrouissage en traction

fluage secondaire (ou fluage stationnaire). Enfin, cette vitesse de deformationaugmente (domaine de fluage tertiaire) jusqu’a la rupture.

Les essais de relaxation servent a caracteriser l’evolution au cours du tempsdes contraintes internes d’un materiau. Pour cela, On applique une deformationconstante a l’eprouvette, puis on observe l’evolution de la contrainte (figure1.11). Ce type d’essai est tres utilise pour obtenir les proprietes viscoplas-tiques du materiau.

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Fig. 1.10 – Representation schematique d’une courbe de fluage

Fig. 1.11 – Representation schematique d’un essai de relaxation

1.2.2 Essais cycliques

Les essais cycliques sont caracterises par une suite de sollicitations alternees.Les plus courants sont ceux de traction-compression, mais on utilise egalement

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des essais de flexion ou de torsion alternee. L’objectif de ces essais est d’ob-

tenir la loi de comportement ”cyclique” du materiau, qui caracterise sonevolution au fur et a mesure des cycles de sollicitation. Les essais de traction-compression peuvent etre realises a deformation ou a contrainte imposee.

La figure 1.12 montre le type de resultats obtenus en deformation imposee(traction-compression par exemple), dans le cas d’un materiau a durcisse-ment cyclique. Lorsque l’amplitude de contrainte n’evolue plus sur plusieurscycles, on dit que l’on a atteint le ”cycle stabilise”. Pour obtenir la loi de com-portement cyclique du materiau, on effectue plusieurs essais a deformationimposee plus ou moins grande. Pour chaque essai, on note l’amplitude decontrainte aux cycles stabilises, que l’on trace en fonction de l’amplitude dedeformation. La figure 1.13 montre le type de courbe obtenu, appele ”courbede consolidation cyclique”. Cette courbe ressemble a celle obtenue lors d’unessai d’ecrouissage, mais ne traduit pas du tout le meme type de comporte-ment.

Fig.

1.12 – Essai cyclique a deformation imposee

Lors d’essais cycliques, le materiau rompt au bout d’un certain nombre decycles. L’endommagement du materiau au cours de l’essai est appele ”fa-tigue”. On parle donc couramment d’essais de fatigue lorsque la sollicitationest cyclique. La frequence de sollicitation est ici donnee par le nombre decycles par seconde. Notons egalement que les cycles de deformation (ou decontraintes) peuvent etre plus ou moins compliques. Ils peuvent par exemplepresenter un plateau (deformation constante), de sorte qu’a chaque cycle, il

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Fig. 1.13 – courbe de consolidation cyclique typique

se produit un phenomene de relaxation des contraintes.

Fig. 1.14 – courbe de Woehler typique

Le nombre de cycles a rupture lors d’un essai de fatigue est un renseignementinteressant. Il pourra en effet etre utilise ulterieurement pour prevoir la dureede vie d’une piece en service, en fonction de ses sollicitations. La courbe laplus largement utilisee pour representer la duree de vie des materiaux estla courbe de ”Woehler”. L’amplitude de contrainte est donnee en fonctiondu nombre de cycle a rupture (figure 1.14). On distingue sur cette courbe

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un domaine dit ”oligocyclique”, ou le nombre de cycles a rupture est rela-

tivement faible. Ce domaine est caracterise par une plastification globale del’eprouvette a chaque cycle. Dans le domaine dit ”d’endurance limitee”, laconsolidation cyclique diminue la plastification de l’eprouvette au cours descycles. Le nombre de cycles a rupture est plus eleve. Enfin, dans le domained’endurance, le comportement de l’eprouvette est purement elastique. Pourcertains materiaux, on peut meme considerer que, en-dessous d’une certaineamplitude de contrainte (la limite d’endurance), le nombre de cycles a rup-ture est infini.

1.2.3 Durete et resilience

D’autres essais mecaniques peuvent etre utilises pour caracteriser le com-portement d’un materiau. Les plus frequents sont l’essai de durete, destinele plus souvent a estimer rapidement et simplement la limite d’elasticite dumateriau, et l’essai de resilience visant a caracteriser le risque de rupturefragile du materiau.

Essai de durete

L’essai de durete est largement utilise sur les metaux. Il caracterise la resistancequ’oppose le materiau a la penetration d’un autre corps plus dur que lui.Ainsi, pour des conditions experimentales donnees, la durete du metal serad’autant pus grande que la penetration du corps sera faible. Il existe troisprincipaux type d’essais de durete, qui different essentiellement par la formedu penetrateur : l’essai Brinell, l’essai Vickers et l’essai Rockwell :

– Dans l’essai Brinell, le penetrateur est une bille en acier extra-dur dediametre D. On la pose sur l’echantillon a etudier et on exerce sur elleune force F pendant un temps donne t. La durete est ensuite calculee

comme le rapport entre F (exprimee en Kgf ) et la surface S (exprimeeen mm2) de la calotte spherique ainsi formee : H B = F/S . La surfaceS peut etre aisement calculee a partir du diametre d de l’empreinte.Il est evident que la valeur H B obtenue doit etre accompagnee descaracteristiques de l’essai : la force appliquee F , le temps d’applicationt, et le diametre de la bille D. La valeur de la charge peut atteindre3000Kg, et le diametre D de la bille est en general de 5 ou 10mm.

– Dans l’essai Vickers (figure 1.15), le penetrateur est une pyramide endiamant a base carree dont l’angle au sommet est de 136. L’empreinte

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formee est donc pyramidale. Si S est la surface laterale de cette em-

preinte (exprimee en mm2), d sa diagonale (en mm) et F la forceappliquee (en Kgf ), alors la durete est : H v = F/S ≈ 1,8544F/d2.La charge utilisee est en general comprise entre 5 et 120Kg. Toute-fois, il est possible de faire des essais dits de microdurete avec descharges n’excedant pas 100g si l’on veut etudier une zone tres locale dumateriau. Ces essais sont alors realises et analyses sous microscope.

– Dans l’essai Rockwell, le penetrateur est soit une bille, soit un conede diamant d’angle au sommet 120, avec une extremite spherique de0,2mm de diametre. On ne mesure plus la surface de l’empreinte, maissa profondeur. On applique en general une precharge d’environ 10Kg

avant l’essai, et on mesure l’evolution de la profondeur de l’empreintelors du passage a la charge totale. La valeur de la durete est noteeH R, avec un indice supplementaire donnant le type de bille ou coneutilise et la charge F utilisee. Par exemple, H RA correspond a un coneet une charge de 60Kg, et H RB a une bille de diametre 1,59mm (1/16de pouce) et une charge de 100Kg.

Fig. 1.15 – Essai de durete Vickers

Pour determiner la durete d’un materiau, il est indispensable de faire plu-sieurs mesures et d’adopter une valeur moyenne. Parfois, les mesures succes-sives sont realisees le long d’une droite, par exemple dans l’epaisseur d’unepiece prealablement coupee. On parle alors de profil de durete. Entre deuxempreintes, il convient de laisser suffisamment de distance, pour eviter que ladeformation du metal lors de l’essai precedent ait une influence sur le resultatde l’essai courant.

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L’essai Brinell est peu sensible a l’etat de surface car il conduit a des em-

preintes relativement larges. Par contre, il n’est pas possible de l’utiliser cor-rectement sur des metaux tres durs. Les essais Vickers et Rockwell peuventetre utilises sur tout type de metal, mais sont sensibles a l’etat de surface.

L’essai de durete le plus utilise aujourd’hui est l’essai Vickers. On en deduitune durete H v. Parfois, on parle de ”durete vraie”, et on la note H . En fait,cette durete vraie est la rapport entre la force appliquee, F (en Kgf ), et lasurface de l’empreinte pro jetee sur la face etudiee, S p (en mm2). Il existe desabaques pour relier H a H v, et egalement pour relier les differents types dedurete entre eux. La durete vraie H est utilisee car elle permet d’avoir unepremiere estimation, par un essai simple, de la limite d’elasticite du materiauσ0. On peut en effet considerer en premiere approximation que H = 3σ0.Un facteur correctif est cependant souvent utilise pour rendre compte del’ecrouissage du materiau.

L’essai de resilience

L’essai de resilience sur eprouvette entaillee a pour but de caracteriser lerisque de rupture fragile du materiau. On appelle resilience l’energie de rup-ture ramenee ou non a la section sous entaille de l’eprouvette. Elle s’exprimedonc en J/cm2 ou en J . C’est une mesure de la tenacite du materiau, c’est-a-dire de sa capacite globale a absorber de l’energie.

L’appareil couramment utilise pour les essais de resilience est le ”mouton deCharpy” (figure 1.16). Un couteau de masse M situe a l’extremite d’un brasde longueur l vient rompre par impact une eprouvette. L’energie absorbee parla rupture est M gl(cos(β )− cos(α)), ou g est l’acceleration de la pesanteur,α l’angle de depart du bras, et β l’angle de remontee du bras apres impact.Il convient cependant de soustraire a cette valeur le travail de frottementdu bras sur son axe et celui des fragments de materiau projetes. Les valeurs

courantes de resilience ainsi mesurees sont de l’ordre de 100 a 300J sur desaciers. Les eprouvettes sont des parallelepipedes entailles a l’oppose du pointd’impact. Si l’entaille est en forme de V, la resilience est notee kV . Si l’entailleest en forme de U, la resilience est notee kU . Les dimensions des eprouvetteset des entailles sont normalisees.

L’essai de resilience est tres facile a mettre en oeuvre. Il est largement utilisedans l’industrie pour evaluer l’incidence d’une operation de mise en forme oude traitement thermique sur les caracteristiques du materiau. Par exemple,la resilience d’un acier normalise est donnee, et devra etre respectee par le fa-

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Fig. 1.16 – Essai de resilience

bricant de cet acier. Par contre, des essais de resilience ne pourront etre com-pares que s’ils sont realises dans les memes conditions (forme d’eprouvette,temperature, . . . ).

La resilience mesuree par un essai Charpy n’est qu’une valeur d’energie glo-bale caracterisant le materiau dans les conditions de l’essai. Elle n’est pas enrelation directe avec une propriete intrinseque du materiau. Pour remontera des propriete plus locale, on peut par exemple utiliser un essai de Charpyinstrumente, ou on mesure l’evolution de la charge au cours du temps. Enfait, la resistance a la rupture brutale d’un materiau est maintenant etudieea l’aide de la mecanique de la rupture. Un facteur d’intensite de contraintescritique kIc caracterise par exemple la resistance d’un materiau a la pro-pagation brutale d’une fissure en deformation plane. C’est un parametreintrinseque du materiau. Des correlations empiriques ont ete etablies pourcertains materiaux entre les valeurs de kIc et la resilience kV . Le facteur d’in-tensite de contraintes est decrit plus en details dans le dernier chapitre de cedocument.

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1.3 Quelques lois simples

Le principal objectif des essais mecaniques est la mise en place d’une loi des-tinee a etre utilisee pour la prevision du comportement du materiau. Cetteloi de comportement pourra par exemple etre appliquee lors de la mise enforme d’une piece, pour calculer les efforts necessaires (choix des outillageset de la presse), pour evaluer l’aptitude du materiau a cette mise en forme(remplissage des formes), . . . . Pour ce type d’application, il n’est parfois pasnecessaire de faire appel a des lois compliquees. On se contente alors de rela-tions simples, qui servent simplement a decrire le comportement du materiaudans un cas particulier. Nous allons voir ici quelques relations d’ecrouissageissues d’essais de traction.

Une courbe contrainte-deformation (σ − ) lors d’un essai d’ecrouissage estcaracterisee par une partie elastique et une partie plastique. Nous nousinteressons ici principalement a la partie plastique. Cette courbe sera doncparfois transformee comme decrit sur la figure 1.17. La deformation plas-tique sera notee p et la contrainte σ. Dans le cas d’un essai de traction parexemple, on aura σ = F

S , ou F est la force appliquee, et S la section courante

de l’eprouvette, et p = − e = ln( ll0

) − σE

, ou l est la longueur de la par-tie utile de l’eprouvette (l0 la longueur initiale) et E le module d’Young du

materiau.

Fig. 1.17 – courbe de traction

En pratique, pour beaucoup de materiaux (dont la plupart des metaux), lapartie elastique de la deformation est tres faible devant la partie plastiquelors d’une operation de mise en forme. Il est donc frequent, dans une approchephenomenologique, de negliger e, et donc de confondre et p.

Les principales lois de comportement phenomenologiques utilisees sont les

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suivantes :

– la loi de Hollomon ou loi puissance, decrite sur la figure 1.18, ou lacontrainte est donnee sous la forme (K et n sont deux parametres) :

σ = Kn (1.1)

Fig. 1.18 – loi de Hollomon

Pour identifier les parametres K et n, on transforme la courbe enln(σ)

−ln(), qui devient lineaire. La pente de cette courbe donne

le coefficient n = dln(σ)dln()

, appele coefficient d’ecrouissage.

– la loi de Ludwik , decrite sur la figure 1.19, qui a la forme (σe, K et nsont des parametres) :

σ = σe + Kn (1.2)

Fig. 1.19 – loi de Ludwik

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Pour obtenir les parametres σe, K et n, il faut dans ce cas tout d’abord

identifier σe, qui est en fait la limite d’elasticite du materiau, puis trans-former la courbe en ln(σ− σe)− ln() pour obtenir les deux autres pa-rametres. Il faut signaler ici que le parametre n n’est pas ici le coefficientd’ecrouissage du materiau.

– la loi de Swift ou loi de Krupkowski , representee sur la figure 1.20, quis’ecrit (K , 0 et n sont des parametres) :

σ = K (0 + )n (1.3)

Fig. 1.20 – loi de Swift

On remarque qu’avec cette loi, la limite d’elasticite du materiau vautσe = Kn

0 , et que le parametre n n’est pas le coefficient d’ecrouissagedu materiau.

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Chapitre 2

Thermodynamique des milieux

continus

2.1 Equations de base

2.1.1 Definition des variables

Le comportement mecanique des materiaux doit etre schematise en respec-tant les enonces fondamentaux de la thermodynamique. Pour cela, on isoleune partie quelconque ΩA d’un solide Ω. Dans cette partie ΩA, le solide

est soumis a des forces volumiques−→f v (par exemple son poids propre), et

recoit une densite volumique de chaleur r (par exemple lors d’un chauffagepar induction). La frontiere ∂ ΩA, de normale unitaire −→n , entre cette par-

tie et le solide complet Ω, est soumise a un vecteur contrainte−→t = σ.−→n

(qui schematise les actions mecanique de Ω sur ΩA). Elle echange egalementun flux de chaleur −→q (par conduction thermique entre Ω et ΩA). Ceci est

schematise sur la figure 2.1.

2.1.2 Equations de conservation, premier principe

En notant ρ la masse volumique du materiau, et −→v la vitesse des pointsmateriels qui le constituent, on peut maintenant ecrire les lois de conservation

29



Fig. 2.1 – Sollicitation thermodynamique appliquee a un solide

suivantes :

– conservation de la quantite de mouvement

d

dt

ΩA

ρ−→v dv =

∂ ΩA

−→t ds +

ΩA

−→f vdv (2.1)

– conservation de la masse

d

dt ΩA

ρdv = 0 (2.2)

– conservation de l’energie (ou premier principe de la thermodynamique)

dE

dt+

dK

dt= P e + Q (2.3)

Les quantites mise en jeu dans la derniere equation peuvent etre obtenues dela facon suivante :

– la variation d’energie interne E , en definissant l’energie interne specifique

e du materiau :

dE

dt=

d

dt

ΩA

ρedv (2.4)

– la variation d’energie cinetique K , en utilisant la conservation de lamasse et en definissant l’acceleration −→γ = d−→v

dtdes points du materiau :

dK

dt=

d

dt

ΩA

1

2ρ−→v .−→v dv =

ΩA

(ρ−→γ ).−→v dv (2.5)

30



– la puissance des efforts mecaniques, en utilisant la conservation de la

quantite de mouvement, la conservation de la masse, et le theoreme dela divergence :

P e =

∂ ΩA

−→t .−→v ds+

ΩA

−→f v.−→v dv =

ΩA

(ρ−→γ ).−→v dv+

ΩA

σ : dv (2.6)

– le taux de chaleur recu par le materiau, en utilisant le theoreme de ladivergence :

Q =

∂ ΩA−−→q .−→n ds +

ΩA

rdv = − ΩA

div(−→q )dv + ΩA

rdv (2.7)

On voit maintenant apparaıtre les tenseurs des contraintes σ et des vitessesde deformation . En utilisant toutes ces equations, et le fait qu’elles doiventetre verifiees dans tout domaine ΩA, on aboutit a la relation suivante :

ρe = σ : + r − div(−→q ) (2.8)

Cette relation donne la variation d’energie interne du materiau, par unite de

volume, en fonction de sa vitesse de deformation (et des contraintes associees)et de son flux de chaleur recu (en surface et en volume).

2.1.3 Inegalite de Clausius-Duhem, second principe

La temperature T et l’entropie S sont les deux variables introduites par lesecond principe de la thermodynamique, qui stipule que la vitesse de variationde l’entropie est toujours superieure ou egale au taux de chaleur recu divisepar la temperature :

dS

dt≥ ΩA

r

T dv −

∂ ΩA

−→q .−→nT

ds (2.9)

Cette inegalite peut aussi s’ecrire, en utilisant l’entropie specifique du materiaus telle que S =

ΩA

ρsdv, de la facon suivante :

ΩA

(ρds

dt+ div(

−→qT

)− r

T )dv ≥ 0 (2.10)

31



En exprimant r a l’aide de la relation issue du premier principe, en remar-

quant que div(−→qT

) = div(−→q )T

− −→q .−−→

grad(T )T 2

, et en multipliant par T (variablepositive), on en deduit l’inegalite locale suivante :

σ : + ρ(T s− e)−−→qT

.−−→grad(T ) ≥ 0 (2.11)

En introduisant finalement l’energie libre specifique du materiau ψ = e−T s,on obtient l’inegalite de Clausius-Duhem :

σ : − ρ(ψ + sT )− −→qT .−−→grad(T ) ≥ 0 (2.12)

2.2 lois de comportement

2.2.1 Variables d’etat, potentiel thermodynamique

Nous allons postuler que l’etat thermomecanique du materiau est completementdefini, en un point et pour un instant donne, par la connaissance de la va-

leur de certaines variables en ce point. Ces variables sont appelees variablesd’etat . Leur variation au cours du temps n’intervient pas dans la definitionde l’etat du materiau a l’instant considere.

Le choix des variables d’etat a un caractere subjectif. Il depend en effet duphenomene etudie. Dans notre cas, nous choisirons les variables suivantes :

– le tenseur des deformations elastiques e

– la temperature T

– une serie de variables V k, qui representent l’etat interne du materiau

(en particulier sont ”etat” de plastification)

L’etat thermodynamique du materiau sera alors represente localement parun potentiel dependant de ces variables d’etat. Nous choisissons ici natu-rellement le potentiel ”energie libre specifique” ψ(e,T,V k), ce qui permetd’ecrire :

ψ =∂ψ

∂e: e +

∂ψ

∂T T +

∂ψ

∂V kV k (2.13)

32



L’inegalite de Clausius-Duhem devient alors, en utilisant la partition en

vitesses de deformations = e + p, ou e est le tenseur des vitesses dedeformation elastique, et p celui des vitesses de deformation plastique :

(σ − ρ∂ψ

∂ −→ e) : e + σ : p − ρ(s +

∂ψ

∂T )T − ρ

∂ψ

∂V kV k −

−→qT

.−−→grad(T ) ≥ 0 (2.14)

Cette inegalite doit etre vraie pour tout type de transformation. En imagi-

nant une transformation elastique reversible isotherme, sans modification desvariables internes, on aboutit a l’egalite suivante :

σ = ρ∂ψ

∂e(2.15)

En imaginant maintenant une transformation thermoelastique reversible, atemperature homogene et sans modification des variables internes, on aboutita :

s = −∂ψ

∂T (2.16)

Le tenseur des contraintes est donc la force thermodynamique associee autenseur des deformations elastiques. Par analogie, on definit les forces ther-modynamiques associees aux variables internes sous la forme :

Ak = ρ ∂ψ∂V k

(2.17)

La donnee du potentiel thermodynamique ψ(,T,V k) permet donc d’ecriredes relations entre les variables d’etat (,T,V k) et leurs variables associees(σ,s,Ak), a un instant donne. Par contre, cette donnee ne permet pas dedecrire l’evolution de ces variables au cours d’une transformation. Cetteevolution sera donnee par une loi complementaire : la loi de comportementdu materiau.

33



2.2.2 Lois complementaires, potentiel de dissipation

Compte-tenu des relations precedentes, l’inegalite de Clausius-Duhem s’ecritsous la forme d’un terme de dissipation Φ positif ou nul :

Φ = σ : p −AkV k −−−→grad(T ).−→qT ≥ 0 (2.18)

Pour decrire l’evolution des variables d’etat au cours de la transformation,tout en respectant le second principe de la thermodynamique , on postulel’existence d’un potentiel de dissipation φ, s’exprimant comme une fonction

scalaire continue des variables ”flux”, soit φ( p,V k,−→

qT ). Ce potentiel doit etre

positif, convexe et nulle a l’origine. Le terme de dissipation Φ sera alors donnepar ce potentiel sous la forme :

Φ =∂φ

∂ p: p +

∂φ

∂ V kV k +

∂φ

∂ −→qT

.−→qT

(2.19)

Les variables ”duales” seront alors obtenu a partir des lois complementairessuivantes, exprimant que les variables duales sont les normales a la surfaced’iso-potentiel de dissipation (φ = cste), dans l’espace des variables flux(figure 2.2) :

σ =∂φ

∂ p

Ak = − ∂φ

∂ V k−−→grad(T ) = − ∂φ

∂ −→qT

(2.20)

En pratique, on utilisera plutot le potentiel de dissipation dual de φ, φ∗

(σ,Ak,−−→grad(T )),s’exprimant comme une fonction scalaire continue, positive, convexe et nullea l’origine des variables duales. Le terme de dissipation Φ s’exprimera alorssous la forme :

Φ = σ :∂φ∗

∂σ+ Ak

∂φ∗

∂Ak

+−−→grad(T ).

∂φ∗

∂ −−→grad(T )

(2.21)

L’evolution des variables flux sera alors obtenu a partir des lois complementaires

34



Fig. 2.2 – propriete de normalite des variables duales

suivantes, exprimant que les variables flux sont les normales a la surface d’iso-potentiel φ∗ = cste, dans l’espace des variables duales (figure 2.3) :

p =∂φ∗

∂σV k = − ∂φ∗

∂Ak−→qT

= − ∂φ∗

∂ −−→grad(T )

(2.22)

Pour passer du potentiel φ au potentiel dual φ∗, on peut utiliser la trans-formation suivante (de Legendre-Frenckel), illustree sur la figure 2.4 dans lecadre d’une variable scalaire flux p associee a une variable scalaire duale σ :

φ∗(σ,Ak,−−→grad(T )) = sup(p,V k,

−→qT )

Φ− φ( p,V k,−→q

T )

(2.23)

Tout le probleme de la modelisation du comportement des materiaux residedans la determination de l’expression analytique d’un potentiel thermodyna-mique ψ, pour l’obtention des variables d’etat a un instant donne, et d’unpotentiel de dissipation φ ou φ∗, qui donne l’evolution des variables au coursdu temps. Toutefois, leur identification a partir d’experiences caracteristiquesest difficile, car leur valeur est quasiment inaccessible a la mesure (il s’agit

35



Fig. 2.3 – propriete de normalite des variables flux

Fig. 2.4 – passage de φ a φ∗ dans le cadre d’une variable scalaire

d’energies le plus souvent dissipee sous forme de chaleur). La modelisationporte donc le plus souvent sur les variables flux et sur les variables duales,qui se pretent mieux a la mesure.

Les relations de normalite sont suffisantes pour respecter le second principe,mais elles ne sont pas necessaires. Les materiaux pour lesquels ces regles

36



s’appliquent sont appeles materiaux standards generalises. La premiere regle

conduit aux lois de la plasticite et de la Viscoplasticite. La seconde exprimeles lois d’evolution des variables internes, tandis que la derniere loi conduita la loi de Fourier en thermique.

2.2.3 Cas de la dissipation instantanee

Lorsque la dissipation thermique est instantanee, la contrainte mecanique aun instant donne σ est independante de la vitesse de deformation plastiquea cet instant p. De meme, les forces associees aux variables internes sont

independantes de leur vitesse de variation. Elles ne dependent que de leurvaleur a l’instant considere.

Pour modeliser ce type de comportement (materiau insensible a la vitesse dedeformation), on utilise un potentiel φ homogene et de degre 1 en p et enV k. En effectuant la transformation decrite sur la figure 2.4 pour un potentielhomogene de degre 1, on trouve que le potentiel dual φ∗ est nul tant que lacontrainte n’atteint pas une certaine valeur, puis infini ensuite. Il n’est doncpas differenciable.

La contrainte limite obtenue dans le cas d’une variable se generalise par le

”convexe” d’une fonction f (−→σ ,Ak), f = 0, tel que:

f < 0 ⇒ φ∗ = 0 ⇒ p = V k = 0

f = 0 ⇒ φ∗ →∞⇒ p,V k indetermines(2.24)

Nous verrons que la condition f < 0 fournit le domaine d’elasticite dumateriau. De plus, en nous limitant a la plasticite dite ”associee”, les vitessesde deformation plastique et les vitesses de variation des variables internes sontobtenues, lorsque f = 0, sous la forme :

p = λ∂f ∂σ

V k = −λ∂f

∂Ak

(2.25)

C’est la theorie de la plasticite independante du temps. Le terme λ interve-nant dans l’equation precedente est obtenu par une condition de consistancef = 0, stipulant que les variables duales ne peuvent ”sortir” du convexef = 0.

37



38



Chapitre 3

Elasticite - Viscoelasticite

3.1 Elasticite lineaire

3.1.1 Loi de Hooke generalisee

La loi de Hooke a ete generalisee par Cauchy (1789-1857), qui a propose d’ex-primer chaque composante du tenseur des contraintes comme une fonctionlineaire des composantes du tenseur des deformations. La loi de Hooke estdonc aujourd’hui souvent ecrite sous la forme :

σ = C : (3.1)

ou C est un tenseur du quatrieme ordre appele tenseur des rigidites ou ten-seur d’elasticite (les composantes covariantes de ce tenseur sont C ijkl). Le ten-seur des rigidites fait intervenir l’ensemble des caracteristiques elastiques dumateriau. De meme, les deformations sont reliees lineairement aux contraintes

par la relation inverse :

= S : σ (3.2)

ou S est les tenseur des compliances ou tenseur des complaisances elastiquesdu materiaux (ses composantes covariantes sont S ijkl).

Les tenseurs C et S ont a priori 81 composantes (chaque indice varie de 1 a3). Toutefois, nous avons vu que les tenseurs des contraintes de Cauchy et

39



des deformations sont symetriques. Ils n’ont donc chacun que 6 composantes

independantes, et leur liaison lineaire peut alors etre realisee a l’aide de 36termes seulement. La forme suivante est souvent utilisee, dans un repereorthonorme, pour relier les composantes des contraintes et des deformations :

σ11

σ22

σ33

σ23

σ31

σ12

=

C 1111 C 1122 C 1133 C 1123 C 1131 C 1112C 2211 C 2222 C 2233 C 2223 C 2231 C 2212C 3311 C 3322 C 3333 C 3323 C 3331 C 3312C 2311 C 2322 C 2333 C 2323 C 2331 C 2312C 3111 C 3122 C 3133 C 3123 C 3131 C 3112C 1211 C 1222 C 1233 C 1223 C 1231 C 1212

.

112233

223231212

(3.3)

avec la condition C ijkl = C ijlk = C jikl = C jilk. Les composantes de la matricepresente dans la relation precedente sont souvent notees C IJ , avec I et J variant de 1 a 6.

3.1.2 Energie de deformation elastique

Nous avons jusqu’a present utilise la symetrie des tenseurs de contraintes etde deformations, ainsi que leur relation lineaire via la loi de Hooke. Nous pou-vons maintenant utiliser l’autre caracteristique de la deformation elastique,qui est sa reversibilite. Considerons donc un solide Ω, et isolons un sous-

domaine ΩA soumis a des forces volumiques−→f v, et a un vecteur contrainte−→

t sur sa frontiere (pas de forces d’acceleration, figure 3.1).

Fig. 3.1 – Solide en cours de transformation

40



Nous nous interessons a une transformation elementaire associee aux ef-

forts appliques sur le sous-domaine ΩA. Cette transformation elementairereversible sera caracterisee par un vecteur deplacement δ−→u , et une energieinterne dE sous la forme :

dE = δW + δQ avec

δW =

∂ ΩA

−→t .δ−→u ds +

ΩA

−→f v.δ−→u ds

δQ = T dS (3.4)

ou T est la temperature absolue et S l’entropie. Toutefois le terme δW peut

etre modifie comme suit, en utilisant le theoreme de la divergence, le fait quele systeme est en equilibre, et la symetrie du tenseur des contraintes :

δW =

ΩA

σ : δdv (3.5)

Il est donc possible d’ecrire l’energie interne par unite de volume dans lesolide de sous la forme de = σ : δ + T ds. La temperature est dans notre casconstante (pas d’echange de chaleur entre ΩA et l’exterieur). De plus, e et ssont des fonctions d’etat, de sorte que de et ds sont des differentielles totales.

Le travail δw s’ecrit donc sous la forme :

δw = de− T ds = d(e− T s) = dw = σ : d (3.6)

On peut en deduire que :

∂w

∂= σ = C : , d’ou

∂ 2w

∂∂= C (3.7)

L’energie de deformation par unite de volume est finalement la forme qua-dratique definie positive suivante :

w =1

2C : : (3.8)

Les relations precedentes se traduisent par le fait que la matrice 6x6 del’equation 3.3 est symetrique et definie positive. Cette matrice ne possededonc que 6x7/2=21 composantes independantes. Le tenseur des rigiditeselastiques C ne possede donc que 21 composantes independantes dans le

41



cas le plus general. Un raisonnement analogue nous aurait conduit au meme

resultat pour le tenseur des compliances S , qui ne possede aussi que 21 com-posantes independantes.

3.1.3 Relations de symetrie

En pratique, les materiaux possedent des symetries supplementaires qui per-mettent de restreindre encore le nombre de composantes independantes dutenseur des rigidites. Les principaux cas rencontres sont l’orthotropie (symetriepar rapport a trois plans orthogonaux), qui reduit le nombre de composantesa 9 (c’est le cas par exemple du bois et des cristaux orthorhombiques), lasymetrie cubique (orthotropie avec des proprietes identiques dans les troisdirections orthogonales aux plans de symetrie), qui reduit le nombre de com-posantes a 3 (c’est la cas de la structure de nombreux metaux), et l’isotropie(memes proprietes dans toutes les directions), qui reduit le nombre de com-posantes a 2 (cette hypothese est largement utilisee en mecanique des milieuxcontinus, pour les materiaux courants).

Symetrie cubique

Dans le cas de la symetrie cubique, les trois composantes independantesde C sont souvent notees C 11(= C 1111), C 12(= C 1122) et C 44(= C 2323). Desnotations identiques pour S conduisent aux relations suivantes :

σ11

σ22

σ33

σ23

σ31σ12

=

C 11 C 12 C 12 0 0 0C 12 C 11 C 12 0 0 0C 12 C 12 C 11 0 0 0

0 0 0 C 44 0 00 0 0 0 C

440

0 0 0 0 0 C 44

.

112233

2232

31212

(3.9)

112233

223231212

=

S 11 S 12 S 12 0 0 0S 12 S 11 S 12 0 0 0S 12 S 12 S 11 0 0 0

0 0 0 S 44 0 00 0 0 0 S 44 00 0 0 0 0 S 44

.

σ11

σ22

σ33

σ23

σ31

σ12

(3.10)

42



Isotropie

Dans le cas isotrope, le nombre de coefficients est reduit a deux par la relationC 44 = 1

2(C 11 − C 12). Il existe plusieurs facon d’exprimer ces coefficients. On

peut par exemple choisir ceux de Lame λ = 12

(C 11+C 12) et µ = 12

(C 11−C 12),

ou le module d’Young E = µ3λ+2µλ+µ

et le coefficient de Poisson ν = λ2(λ+µ)

vusdans le cas de l’essai de traction. La loi de comportement elastique lineaires’ecrit dans le cas isotrope de la facon suivante :

σ = 2µ + λtr()I =E

1 + ν ( +

ν

1−

2ν tr()I ) (3.11)

et dans le sens inverse :

=1

2µσ − λ

2µ(3λ + 2µ)tr(σ)I =

1 + ν

E σ − ν

E tr(σ)I (3.12)

ou I est le tenseur identite.

Notons enfin que le module de compression hydrostatique K est egalementutilise. Il relie la partie hydrostatique de la deformation (H = tr()) a lacontrainte hydrostatique (σ

H = tr(σ)). Il peut etre exprime en fonction des

coefficients de Lame ou en fonction de E et ν sous la forme :

K = 3λ + 2µ =E

1− 2ν (3.13)

La figure 3.2 donne le module d’Young (en GP a) et le coefficient de Poisson(sans unite) de differents materiaux a differentes temperatures. On constateque le coefficient de Poisson est souvent voisin de 0 ,3. Si on calcule l’aug-mentation relative de volume du materiau en cours de traction (par la tracedu tenseur des deformations), on remarque qu’elle vaut (1

−2ν )33. Dans un

essai de traction, le materiau s’allonge et augmente generalement son volumedans le domaine d’elasticite.

3.1.4 Differents comportements elastiques

Le domaine d’elasticite est donc souvent represente par une relation de pro-portionnalite entre la contrainte et la deformation (loi de Hooke). Il est ce-pendant important de savoir que ceci n’est qu’une schematisation plus ou

43



materiau temperature module d’Young coefficient(degre C) (GP a) de Poisson

Alliage 20 72 0,32d’aluminium AU4G 200 66 0,325

500 50 0,35

Alliage de titane 20 315 0,34Ti 4Al 4Mn 200 115 0,34Acier XC10 20 216 0,29

200 205 0,30600 170 0,315

Fonte grise 20 100 0,29Acier inoxydable 20 196 0,3austenitique 316 200 170

700 131Aluminium (A5) 20 68 0,33

Bronze 20 130 0,34180 61

Plexiglass 20 2,9 0,4Araldite 20 3 0,4Caoutchouc 20 0,002 0,5verre-epoxy (sens long) 20 19 0,3carbone-epoxy (sens long) 20 87,6 0,32Beton 20 30 0,2Granit 20 60 0,27Pin sylvestre (sens long) 20 17 0,45

Pin sylvestre (sens trans.) 20 1

Fig. 3.2 – exemples de caracteristiques elastiques

44



moins realiste du comportement reel du materiau. En effet, le comportement

elastique d’un materiau n’est jamais strictement lineaire.

Anelasticite

Tous les solides sont plus ou moins ”anelastiques”, c’est-a-dire que leur courbede traction ne suit pas exactement une droite dans le domaine d’elasticite, etde l’energie est ”dissipee” au cours d’un essai de traction. La figure 3.3 donnela courbe obtenue lors d’un cycle de traction-compression effectue sur de lafibre de verre. De l’energie est dissipee au cours d’un cycle (surface hachuree

sur la figure 3.3), ce qui confere au materiau un pouvoir amortissant, permet-tant de reduire les vibrations ou le bruit. Les polymeres et les metaux mous(plomb) ont un fort pouvoir amortissant. Les polymeres sont par exempleutilises dans les ”toles sandwich”. Les metaux plus durs et le verre ont unetres faible anelasticite. Ils servent a fabriquer les ressorts (aciers), les cloches(bronzes), . . .

Fig. 3.3 – cycle de traction-compression d’une fibre de verre (d’apres [1])

Elasticite non-lineaire

Le cas particulier du caoutchouc est donne sur la figure 3.4 (courbe de trac-tion). Son comportement est quasi-elastique, mais fortement non-lineaire.

45



On parle alors d’elasticite non-lineaire. Le solide emmagasine de l’energie

au cours de la traction, puis la restitue totalement lorsque l’on arrete lacontrainte. Vous vous etes surement deja servis de cette propriete pour vousfaire involontairement mal aux doigts !! Pour representer ce comportement,on utilise une ”loi de Hooke” ou les coefficients du tenseur de rigidite varienten fonction de la deformation.

Fig. 3.4 – courbe de traction d’un caoutchouc (d’apres [1])

3.1.5 Thermoelasticite lineaire

Les materiaux sont souvent soumis a des chargements thermiques qui ontpour effet de dilater les structures. Les deformations thermiques sont direc-tement proportionnelles a la variation de temperature ∆T , par le coefficientde dilatation thermique α :

th = α∆T I (3.14)

Lorsque la structure n’est pas liee mecaniquement a l’exterieur, alors cechamp de deformation thermique ne generera pas de contraintes s’il verifieles equations de compatibilite. On montre qu’une telle condition impose unchamp de temperatures lineaire dans la structure. Dans le cas contraire, ou sila structure est liee mecaniquement a l’exterieur (on parle alors de dilatationcontrariee), alors des contraintes seront generees dans le solide.

Par exemple, lorsque l’on chauffe de facon homogene une barre de metal, celle-ci se dilate sans qu’il y ait creation de contraintes a l’interieur. Par contre,

46



si on impose a celle-ci de garder la meme longueur, alors une contrainte de

compression sera creee dans la barre pour respecter cette condition. Une autrefacon de creer des contraintes dans la barre est de la chauffer de facon nonhomogene. Par exemple, lors d’un chauffage par induction a haute frequence,le diametre exterieur de la barre est plus dilate que le centre. La partieexterieure de la barre sera donc mise en compression par la partie interieure.

D’une facon plus generale, lors d’une sollicitation dite ”thermomecanique”,les deformations thermiques s’ajoutent aux deformations mecaniques, elles-meme reliees aux contraintes par la loi de comportement du materiau. Dans lecas elastique lineaire isotrope, on obtient une relation entre les deformationset les contraintes sous la forme :

=1 + ν

E σ + (α∆T − ν

E tr(σ))I (3.15)

L’inversion de cette relation nous fournit la loi de comportement dite ”thermoelastique”du materiau :

σ =E

1 + ν ( +

ν

1− 2ν tr()I )− E

1− 2ν α∆T I (3.16)

3.2 Viscoelasticite lineaire

La viscoelasticite sert a decrire le comportement de materiaux reversibles,mais sensibles a la vitesse de deformation. On peut citer par exemple les po-lymeres, et dans une moindre mesure, le beton et le bois, comme materiauxa comportement viscoelastique. Dans ce document, nous nous limiterons auxschematisations lineaires de ce type de comportement. Dans le cadre ther-modynamique decrit au chapitre 2, on peut citer les modeles de Kelvin-Voigt

et de Maxwell. Ces modeles s’appliquent principalement au comportementviscoelastique des polymeres.

3.2.1 Modele de Kelvin-Voigt

La variable d’etat du systeme est ici la deformation (elastique) totale dumateriau : . Le potentiel thermodynamique decrivant l’etat du systeme estdonne sous la forme :

47



ψ = 12ρ

λtr()2 + 4µ

Dans cette equation, tr() et sont respectivement la trace et le secondinvariant du tenseur des deformations.

Pour decrire son evolution, on introduit un potentiel de dissipation fonctionde la vitesse de deformation (elastique) totale du materiau : . Ce potentiels’ecrit sous la forme :

φ =1

2

λθλtr()2 + 4µθµ

Dans cette equation, tr() et sont respectivement la trace et le secondinvariant du tenseur des vitesses de deformation.

En ajoutant maintenant la contrainte issue de la variable d’etat et celle is-sue de la loi complementaire, on obtient la contrainte σ dans un materiauviscoelastique en fonction de sa deformation et de sa vitesse de deformation :

σ = ρ∂ψ∂

+ ∂φ∂

= λ [tr() + θλtr()] I + 2µ [ + θµ] (3.17)

Les quantites θλ et θµ sont des temps caracteristiques de retard a la deformationservant a decrire l’influence de la vitesse.

Dans le cas uniaxial (contrainte σ et deformation ), ce modele donne l’equationdifferentielle suivante pour le comportement :

σ = E + η

Dans cette equation on a η = λ(1− 2ν )θλ + 2µθµ.

3.2.2 Modele de Maxwell

La variable d’etat du systeme est ici la deformation elastique du materiau : e.La deformation totale est ici partitionnee de facon additive en une deformationelastique et une deformation anelastique. Pour obtenir la deformation du

48



materiau , il est plus commode d’utiliser ici le potentiel thermodynamique

dual, decrivant l’etat du systeme en fonction de l’etat de contraintes σ :

ψ∗ =1

2ρ

1 + ν

E tr(σ2)− ν

E (tr(σ))2

De meme, le potentiel de dissipation est donne en fonction de l’etat decontraintes sous la forme :

φ =1

2

1 + ν

Eτ 1

tr(σ2)

−fracνEτ 2(tr(σ))2

On introduit ici deux coefficients τ 1 et τ 2, caracteristiques de la viscosite dumateriau. Finalement, dans ce modele, la vitesse de deformation du materiauest obtenue sous la forme suivante :

=1 + ν

E

σ +

σ

τ 1

− ν

E

tr(σ +

σ

τ 2

I (3.18)

Dans le cas uniaxial (contrainte σ et deformation ), ce modele donne l’equation

d’evolution suivante :

=σ

E +

σ

η

Dans cette equation, on a 1η

= 1+ν Eτ 1

− ν Eτ 2

.

49



50



Chapitre 4

Plasticite - Viscoplasticite

4.1 Resultats experimentaux

Tous les materiaux possedent une limite d’elasticite, qui correspond a unchargement critique a partir duquel le comportement du materiau n’est plusreversible. Il peut y avoir rupture brutale (cas du verre), rupture progressive(cas du beton), mais dans la plupart des cas il y a plastification du materiau.

Ceci signifie que sa forme est changee de facon irreversible, contrairement audomaine d’elasticite ou le solide reprend sa forme initiale lorsque l’on relacheles efforts.

4.1.1 Limite d’elasticite

La figure 4.1 represente une courbe de traction nominale obtenue sur unmateriau solide. Cette courbe relie la contrainte nominale σn = F

S 0, ou F est

la force mesuree et S 0 la section initiale de l’eprouvette, a la deformation nominale n = ∆l

l0, ou ∆l est l’allongement de l’eprouvette et l0 sa longueur

initiale. Les points caracteristiques de cette courbe sont :

– la limite d’elasticite Re, marquant le debut de la deformation plastique(irreversible) du materiau

– la limite d’elasticite conventionnelle R0,2, donnant la contrainte no-minale necessaire pour une deformation plastique de 0,2% (on utiliseegalement avec la meme convention la quantite R0,1 pour des materiaux

51



Fig. 4.1 – courbe de traction nominale

peu ductiles, c’est-a-dire dont la deformation plastique est faible avantla rupture)

– la resistance a la traction Rm, contrainte nominale maximale observee(avant la striction)

– l’allongement a la rupture AR, deformation nominale maximale admis-sible par le materiau avant rupture

Le tableau 4.1 donne quelques valeurs numeriques de Re, Rm et AR pourdifferents materiaux. La figure 4.2 reprend les valeurs de Re par type demateriau. Pour certains comme les ceramiques, la limite d’elasticite coıncideavec la rupture brutale. De plus, cette limite ne peut etre mesuree en tractioncar ces materiaux resistent mal a la fissuration. On utilise donc l’essai de

durete pour la mesurer.D’une facon generale, la limite d’elasticite d’un materiau est un scalaire,souvent note σ0. Il s’agit de la contrainte ”vraie” (F/S ) appliquee au materiaulorsqu’apparaıt la plastification. Elle est donc legerement differente de lavaleur Re de la figure 4.2, qui est definie comme la contrainte nominale (F/S 0)appliquee en ce meme point. Toutefois, le changement de section du materiaudans le domaine d’elasticite en traction est souvent tres faible, de sorte quel’on confond en general ces deux valeurs. Par contre, il est tres important dene pas confondre σ0 et R0,2 (limite d’elasticite conventionnelle).

52



Materiau Re en MPa Rm en MPa AR en

/

diamant 50000 - 0carbure de silicium, SiC 10000 - 0

nitrure de silicium, Si3N 4 8000 - 0silice vitreuse, SiO2 7200 - 0

carbure de tungstene, W C 6000 - 0carbure de niobium, NbC 6000 - 0

alumine, Al2O3 5000 - 0carbure de titane, T iC 4000 - 0

carbure de tantale, T aC 4000 - 0zircone, ZrO2 4000 - 0

verre standard 3600 - 0magnesie, MgO 3000 - 0

cobalt et ses alliages 180-2000 500-2500 1-60molybdene et ses alliages 560-1450 665-1650 1-36

titane et ses alliages 180-1320 300-1400 6-30tantale et ses alliages 330-1090 400-1100 1-40

aciers inoxydables austenitiques 286-500 760-1280 45-65aciers au carbone (traites) 260-1300 500-1880 20-30

aciers faiblement allies (traites) 500-1980 680-1400 2-30acier doux 220 430 18-25

fer 50 200 30alliages d’aluminium 100-627 300-700 5-30aluminium 40 200 50

alliages de cuivre 60-960 250-1000 1-55cuivre 60 400 55

alliages de nickel 200-1600 400-2000 1-60nickel 70 400 65

or 60 220 50PMMA 60-110 110 -

glace 85 - 0mousse de polyurethane 1 1 10-100

caoutchouc naturel - 30 500

Tab. 4.1 – Proprietes de quelques materiaux (extrait de [1])

4.1.2 Anisotropie

Par definition, la limite d’elasticite σ0 est un scalaire qui ne depend que dumateriau. En particulier, elle ne doit pas dependre pas du type de sollicita-

53



Fig. 4.2 – Re pour differents materiaux (d’apres [1])

tion appliquee. Par exemple, dans le cas de la traction ou de la compressionuniaxiale, ce scalaire est compare directement a la contrainte limite appliqueedans la direction de sollicitation (si cette contrainte depasse σ0, le materiau”plastifie”).

Dans certains materiaux, la contrainte appliquee en traction lorsque le materiauplastifie change en fonction du sens de prelevement de l’eprouvette. Le materiauest alors dit anisotrope (c’est le cas par exemple des composites a fibreslongues ou des toles laminees). Il est alors frequent de parler de limites

54



d’elasticite ”sens long” et ”sens travers”, alors qu’elles correspondent au

meme materiau, et doivent donc etre egales. En fait, ces limites d’elasticitesont apparentes. La valeur σ0 de la limite d’elasticite reste la meme, maiselle n’est plus comparee directement a la contrainte appliquee. On introduitun facteur correctif par direction dans la definition du scalaire qui sera com-pare a la limite d’elasticite. Ces facteurs rendent compte de l’anisotropie dumateriau, et definissent une fonction du tenseur des contraintes, que l’onappelle contrainte equivalente.

Fig. 4.3 – contrainte seuil sur du bois feuillu tropical ”Wana-Kouali”, d’apres[4]

On remarque egalement parfois que la contrainte correspondant a la limited’elasticite en traction n’est pas la meme que celle en compression (bois,beton, . . . ). Comme pour l’anisotropie, cet effet peut etre incorpore dans ladefinition de la contrainte equivalente. La figure 4.3 donne la contrainte seuil observee sur du bois, en traction et en compression, en fonction de l’angle desollicitation par rapport au sens long. Les effets d’anisotropie ainsi observespeuvent etre modelises a l’aide d’une contrainte equivalente de Tsaı (voirparagraphe suivant).

55



4.2 Modelisation mecanique

4.2.1 Contrainte equivalente

La contrainte equivalente appliquee a un materiau est un scalaire, souventnote σ, qui represente l’ensemble du tenseur des contraintes. C’est ce scalairequi sera compare a la limite d’elasticite σ0, pour savoir si le materiau aplastifie ou non. Il incorpore donc les eventuels effets d’anisotropie dans sadefinition. Les contraintes equivalentes les plus utilisees sont celles de von Mises et Tresca pour les materiaux isotropes, et de Hill et Tsaı pour les

materiaux anisotrope.

– La contrainte equivalente de von Mises est definie sous la forme :

σV M =

3

2S ijS ij avec S ij = σij − 1

3σkkδij (4.1)

Elle est donc proportionnelle au second invariant du tenseur deviateurdes contraintes S , et on peut l’ecrire en fonction des deux premiersinvariants du tenseur des contraintes, ou directement en fonction deses composantes principales σI , σII et σII I (valeurs propres du tenseur

des contraintes) :

σ2V M = 3

2σijσij − 1

2σ2

kk

= 12

[(σ11 − σ22)2 + (σ22 − σ33)2 + (σ33 − σ11)2]+3(σ2

12 + σ223 + σ2

31)= 1

2[(σI − σII )

2 + (σII − σII I )2 + (σII I − σI )

2]

(4.2)

– La contrainte equivalente de Tresca est definie dans l’espaces des contraintesprincipales sous la forme :

σT = Sup[

|σI

−σII

|,

|σII

−σII I

|,

|σII I

−σI

|] (4.3)

– La contrainte equivalente de Hill est definie de la facon suivante :

σH =

F (σ11 − σ22)2 + G(σ22 − σ33)2 + H (σ33 − σ11)2

+2Lσ212 + 2M σ2

23 + 2Nσ231

(4.4)

Les coefficients F , G, H , L, M et N caracterisent l’anisotropie dumateriau. Ils sont obtenus par exemple en effectuant des essais de trac-tion et de cisaillement dans differentes directions, et en mesurant la

56



contrainte seuil σs (de traction ou de cisaillement) pour laquelle ap-

paraıt la plasticite :

– traction selon −→x 1 → F + H =σ2

0

σ2s

– traction selon −→x 2 → F + G =σ2

0

σ2s

– traction selon −→x 3 → G + H =σ2

0

σ2s

– cisaillement entre −→x 1 et −→x 2 → 2L =σ2

0

σ2s

– cisaillement entre −→x 2 et −→x 3 → 2M =σ2

0

σ2s

– cisaillement entre −→x 3 et −→x 1 → 2N =

σ2

0

σ2s

Cette contrainte equivalente est largement utilisee pour representer lecomportement de toles laminees, et plus generalement de materiauxpresentant une symetrie orthotrope de leurs proprietes (symetrie parrapport a trois plans orthogonaux).

– La contrainte equivalente de Tsaı est de la forme :

σT S = σH + P (σ11 − σ33) + Q(σ22 − σ33) (4.5)

Cette contrainte equivalente est largement utilisee dans le domaine des

composites, des bois, . . . . Elle permet, a l’aide des coefficients P et Q,de rendre compte d’un comportement dissymetrique en traction et encompression.

La notion de limite d’elasticite sera donc generalisee au cas d’un chargementquelconque et aux materiaux isotropes et anisotropes par la condition :

σ − σ0 = 0 (4.6)

Comme la contrainte equivalente est une fonction scalaire des composantesdu tenseur des contraintes, et que σ0 est une caracteristique intrinsequedu materiau, cette generalisation respecte la thermodynamique des milieuxcontinus qui stipule que la limite d’elasticite d’un materiau s’ecrit sous laforme f (σ,Ak) = 0, ou les termes Ak representent les forces associees auxvariables internes definissant le materiau.

On peut maintenant tracer dans l’espace des contraintes la surface d’equation4.6. Cette surface est appelee surface d’ecoulement . Elle delimite le domainedes contraintes dans lequel le comportement du materiau est elastique (i.e.

57



reversible). La forme de la surface d’ecoulement depend du type de contrainte

equivalente utilise pour representer le materiau, tandis que sa taille dependde la valeur de la limite d’elasticite σ0.

La figure 4.4 donne une representation des surfaces σV M − σ0 = 0 et σT −σ0 = 0, dans le plan associe aux composantes principales du deviateur descontraintes (pour lesquelles on a S I + S II + S II I = 0). Ce plan est sou-vent appele le plan Π. Il est largement utilise pour representer les surfacesd’ecoulement associees aux contraintes equivalentes presentees, car celles-cisont independantes de la trace du tenseur des contraintes (premier invariant).Ceci illustre le fait que la deformation plastique s’effectue sans changement devolume, et donc que l’application d’un chargement purement triaxial (tenseurdes contraintes proportionnel a l’identite) ne peut provoquer de plastification.Sur la figure 4.4, un point correspondant a un essai de traction uniaxial (selonla direction −→x 3) a ete trace, avec ses composantes dans le plan.

Fig. 4.4 – σV M − σ0 = 0 et σT − σ0 = 0 dans le plan Π

Un autre plan largement utilise pour representer les surfaces d’ecoulementest celui associe aux composantes σ − τ du tenseur des contraintes, ou σ estune contrainte de traction et τ une contrainte de cisaillement (chargement

58



de traction-torsion). Le deviateur des contraintes s’ecrit alors :

S =

−1

3σ 0 0

0 −13

σ τ 0 τ 2

3σ

(4.7)

On montre facilement que les surfaces σV M −σ0 = 0 et σT −σ0 = 0 s’ecriventrespectivement dans ce cas σ2 + 3τ 2 − σ2

0 = 0 et σ2 + 4τ 2 − σ20 = 0. Leur

representation est donnee sur la figure 4.5.

Fig. 4.5 – σV M − σ0 = 0 et σT − σ0 = 0 dans le plan σ − τ

Nous venons de definir la surface d’ecoulement d’un materiau dans l’espacedes contraintes par sa forme et sa taille. Sa forme vient du type de contrainteequivalente utilisee, tandis que sa taille est donnee par la limite d’elasticiteσ0.

4.2.2 Variables d’ecrouissage

Les variables thermodynamiques Ak introduites dans l’expression de la sur-face d’ecoulement (chapitre 2) ont une grande importance. En effet, la formede la surface, donnee par le type de contrainte equivalente choisi (et lesfacteurs correctifs par direction de sollicitation), et sa taille, donnee par lalimite d’elasticite σ0, ne suffisent pas a la caracteriser totalement. En effet,cette surface evolue au cours d’une deformation plastique. Cette evolution

59



sera schematisee par un deplacement de son centre et une variation de sa

taille (nous ne traiterons pas ici le cas d’une variation de forme en cours dedeformation). D’un point de vue macroscopique, on utilise pour cela deuxvariables :

– une variable R scalaire, dite variable isotrope, qui fournit la taille de lasurface d’ecoulement, et surtout dont l’evolution donne celle le la taillede la surface en cours de deformation (il est evident que l’on a R = σ0

a l’etat initial)

– une variable X tensorielle, dite variable cinematique, dont les compo-santes sont homogenes a des contraintes, qui fournit la position de lasurface (par exemple de son centre) dans l’espace des contraintes, etdonc egalement son evolution en cours de deformation.

Ces deux variables sont a la base de la modelisation macroscopique du com-portement mecanique des materiaux. La surface d’ecoulement sera donc for-mulee de la facon suivante :

f (σ −X,R) = (σ −X )− R = 0 (4.8)

ou l’expression de la contrainte equivalente agit non plus sur le tenseur σ,mais sur la quantite σ−X . La figure 4.6 donne une representation schematiquede la surface d’ecoulement d’un materiau dans l’espace des contraintes.

Si une contrainte equivalente de von Mises est choisie, alors la surface d’ecoulements’exprimera sous la forme :

(σ −X )V M − R = 0 (4.9)

Sa representation dans le plan Π est donnee sur la figure 4.7.

Nous venons de definir des variables internes, qui decrivent l’etat du materiaua un instant donne. Nous allons maintenant nous interesser a l’evolution deces variables en cours de deformation, qui correspond a sa loi de comporte-ment.

60



Fig. 4.6 – Representation schematique d’une surface d’ecoulement dans l’es-pace des contraintes

4.3 Comportement elastoplastique

4.3.1 Loi de normalite

La caracteristique principale du comportement elastoplastique d’un materiauest son insensibilite a la vitesse de sollicitation. Il s’en suit que, quelle quesoit cette vitesse, la deformation plastique sera gouvernee par l’ecrouissagedu materiau, c’est-a-dire l’evolution de la forme, de la position, et de la taillede sa surface d’ecoulement. Tant que l’etat de contrainte reste a l’interieurde cette surface (f < 0 dans l’equation 4.8), le materiau reste elastique.Lorsqu’il atteint cette surface (f = 0 dans l’equation 4.8), il peut y avoirplastification. Mais en aucun cas l’etat de contrainte ne peut ”sortir” de lasurface d’ecoulement. En utilisant les resultats du chapitre 2 sur la plasti-cite independante du temps (cas de la dissipation instantanee), et l’equationgenerale de la surface d’ecoulement (chapitre precedent), le choix de deux va-riables internes pour decrire la surface d’ecoulement, une isotrope (R) et unecinematique (X ), nous conduit a ecrire les equations suivantes pour decrire

61



Fig. 4.7 – (σ −X )V M − R dans le plan Π

l’evolution du materiau en cours de deformation :

p = λ∂f

∂σ= λ

∂ ((σ −X )− R)

∂σ

α = −λ∂f

∂X = −λ

∂ ((σ −X )−R)

∂X = λ

∂ ((σ −X )− R)

∂σ= p

˙ p = −λ∂f

∂R= −λ

∂ ((σ −X )−R)

∂R= λ

(4.10)

Dans ces equations, α et ˙ p sont les variables associees respectivement a X et R, et λ est un multiplicateur scalaire. La forme choisie pour la surfaced’ecoulement (fonction f , equation 4.8) conduit a α = p et ˙ p = λ. Lesequations 4.10 constituent la loi de normalite en plasticite dite associee. Enfait, il serait possible de choisir une fonction differente de celle decrivantla surface d’ecoulement pour appliquer ces relations, tout en respectant lesecond principe de la thermodynamique. Dans ce document, nous nous li-miterons a la plasticite associee, qui est l’hypothese la plus repandue enelastoplasticite.

62



La condition d’ecoulement en elastoplasticite s’ecrira finalement sous la forme

suivante :

– Si f = (σ −X ) − R < 0, alors λ = 0 (comportement purementelastique)

– Sinon, les variables −→σ ,−→X et R verifient la condition f = (σ −X )−R =

0. La vitesse de deformation plastique p est alors obtenue par la loi de

normalite avec λ ≥ 0 (plastification possible)

Fig. 4.8 – Schematisation du comportement elastoplastique dans l’espace descontraintes

On voit donc que la connaissance de la surface d’ecoulement permet d’obtenirla ”direction” de la vitesse de deformation plastique, mais pas son intensite.

La vitesse de deformation plastique est en effet dirigee selon la normale ala surface d’ecoulement dans l’espace des contraintes (figure 4.8), tandis queson amplitude est obtenue par le terme λ qu’il faut maintenant determiner.

4.3.2 Condition de consistance

Lorsque l’etat de contrainte se situe sur la surface d’ecoulement, le terme λest calcule en appliquant la condition de consistance, qui exprime simplement

63



que l’etat de contrainte ne peut ”sortir” de la surface d’ecoulement au cours

d’un petit increment de deformation. En ecrivant cette condition en vitesses,on obtient :

– Si f =˙

(σ −X )−R < 0, alors λ = 0 (retour dans le domaine d’elasticite)

– Sinon, la condition f =˙

(σ −X )− R = 0 donne la valeur de λ

En utilisant la forme de la surface d’ecoulement (equation 4.8), la conditionde consistance f = 0 s’ecrit de la facon suivante :

f =∂f

∂σ: σ +

∂f

∂X : X +

∂f

∂RR =

∂ (σ −X )

∂σ: (σ − X )− R = 0 (4.11)

Dans cette equation, on voit apparaıtre :

– le terme σ, qui traduit l’evolution de la sollicitation

– les termes X et R, qui traduisent l’evolution de la position et de lataille de la surface d’ecoulement

– le terme ∂ (σ−X)∂σ

, qui traduit le type de contrainte equivalente utilise, et

donc la forme de la surface d’ecoulement

Les termes X et R sont la traduction macroscopique de l’ecrouissage dumateriau. La loi de comportement elastoplastique d’un materiau est doncl’ecriture de ces termes d’ecrouissage en fonction des variables flux p et

˙ p = λ. Connaissant la loi de comportement, on peut alors remplacer X et Rdans la condition de consistance par des fonctions de p et de λ, pour obtenir

une equation supplementaire donnant λ.

4.4 Comportement elastoviscoplastique

4.4.1 Loi de normalite

Le comportement elastoviscoplastique d’un materiau est caracterise par :

– un domaine d’elasticite, delimite par la surface d’ecoulement d’equationf (σ,X,R) = (σ −X )− R = 0,

64



– une sensibilite a la vitesse de sollicitation dans le domaine de plasticite,

decrite par une fonction de dissipation φ∗.

Le choix de deux variables, une isotrope (R) et une cinematique (X ), nousconduit a ecrire les equations suivantes pour decrire l’evolution du materiauen cours de deformation plastique (il est evident que le comportement resteelastique tant que l’etat de contrainte n’atteint pas la surface d’ecoulement) :

p =∂φ∗

∂σ

α = −∂φ∗

∂X

˙ p = −∂φ∗

∂R

(4.12)

Dans ces equations, α et ˙ p sont les variables associees respectivement a X etR.

Pour un materiau dans un etat donne, fixe par les variables (σ,X,R), la figure4.9 represente schematiquement :

– la surface d’ecoulement f = 0,– les surfaces d’iso-dissipation φ∗ = cste

La surface φ∗ = 0 coıncide avec la limite d’elasticite du materiau (la surfaced’ecoulement f = 0). Elle correspond a une sollicitation a vitesse nulle. Lasurface ”φ∗ = ∞” peut s’en ecarter beaucoup, et correspond a une sollici-tation infiniment rapide. Entre les deux, l’etat de contrainte dependra dela vitesse de deformation plastique. Cette schematisation permet de rendrecompte de la sensibilite des materiaux a la vitesse de deformation.

4.4.2 Potentiel d’ecoulement

La connaissance de la surface d’ecoulement (fonction f ) et du terme de dis-sipation (fonction φ∗) definit completement le comportement du materiaua un instant donne. D’une facon generale, ces deux fonctions ne sont pasforcement liees entre elles, si ce n’est pour respecter le second principe de lathermodynamique. Dans ce document, nous nous limiterons aux modeles lesplus simples pour schematiser le comportement elasto-visco-plastique d’un

65



Fig. 4.9 – Schematisation du comportement elasto-visco-plastique dans l’es-pace des contraintes

materiaux. Dans ces modeles, la fonction de dissipation est ecrite sous laforme :

φ∗ = Ω p(f ) = Ω p((σ −X )−R) (4.13)

Le terme Ω p est appele potentiel d’ecoulement . Il depend uniquement del’ecart entre la contrainte et la surface d’ecoulement, ecart represente par

la valeur de f . Dans ce cas, la loi de normalite peut s’ecrire sous la formesuivante :

p =dΩ p

df

∂f

∂σ=

dΩ p

df

∂ ((σ −X )− R)

∂σ

α = −dΩ p

df

∂f

∂X = −dΩ p

df

∂ ((σ −X )− R)

∂X = p

˙ p = −dΩ p

df

∂f

∂R= −dΩ p

df

∂ ((σ −X )− R)

∂R=

dΩ p

df

(4.14)

66



On remarque alors que le terme dΩp

df joue ici le meme role que le multipli-

cateur scalaire λ en elastoplasticite. Ce terme doit donc etre nul si l’etat decontrainte est a l’interieur de la surface d’ecoulement (f < 0, comportementelastique). Par contre, il n’existe pas ici de condition de consistance, puisquele multiplicateur scalaire est directement donne par la valeur de f lorsquel’etat de contrainte depasse cette surface.

Les variables p et ˙ p servent a calculer l’evolution des variables internes X

et R, soit les quantites X et R schematisant l’ecrouissage du materiau, parl’intermediaire de sa loi de comportement. On voit donc que la loi de com-portement du materiau sera donne ici par :

– l’evolution des variables X et R en fonction de p et de ˙ p, qui representel’ecrouissage du materiau (comme dans le cas elasto-plastique),

– l’expression du potentiel d’ecoulement Ω p(f ), qui caracterise sa sensi-bilite a la vitesse de deformation.

La forme la plus utilisee pour le potentiel d’ecoulement est :

Ω p(f ) =K

n + 1

f

K

n+1

=K

n + 1

σ −X −R

K

n+1

(4.15)

ou K > 0 et n > 1 sont des constantes permettant de quantifier la sensibilite

de l’ecoulement plastique a la vitesse de sollicitation, et ou l’expression < x >vaut 0 si x < 0 et x sinon.

La plasticite independante du temps (ou elastoplasticite) est donc une sim-plification de ce cas general, pour le cas ou les surfaces d’iso-dissipationφ∗ = cste sont suffisamment proche l’une de l’autre pour etre confondues,ou pour les cas ou l’on s’interesse a des sollicitations suffisamment lentes ousuffisamment rapides pour ne considerer qu’une seule surface iso-dissipation.Dans ce cas, l’expression du potentiel d’ecoulement Ω p(f ) n’est pas explicite.Elle est donnee par la condition de consistance.

67



4.5 Quelques exemples

4.5.1 Ecrouissage isotrope

La loi de Prandtl-Reuss decrit le comportement elasto-plastique d’un materiauavec une surface d’ecoulement representee par une contrainte equivalente devon Mises et une variable isotrope R. Il n’y a pas de variable cinematique. Lafonction f caracterisant la surface d’ecoulement s’ecrit alors tout simplementsous la forme :

f (σ,R) = σV M −R (4.16)

En utilisant l’expression de la contrainte equivalent de von Mises, on montrefacilement que la loi de normalite s’ecrit dans ce cas :

p = λ

∂f

∂σ=

3

2λ

S

σV M

˙ p = λ(4.17)

De plus, on peut remarquer que le terme ˙ p peut etre ecrit en fonction dutenseur p :

˙ p =

2

3 p : p (4.18)

On reconnatıt ici l’expression d’une vitesse de deformation plastique equivalente,souvent notee p, car elle satisfait la condition W = σ : p = σ p, ou W est lapuissance de deformation plastique, premier membre du terme de dissipationΦ du chapitre 2.

La quantite f s’ecrit ici f = σV M − R. Le terme σV M represente l’evolutionde la sollicitation, tandis que R represente celle de la surface d’ecoulement(i.e. l’ecrouissage). Lorsque f = 0, La condition de consistance devient alors :

– Si σV M < R, alors λ = 0 car la sollicitation ne suit pas l’ecrouissage(retour dans le domaine d’elasticite)

– Sinon, λ est calcule de telle sorte que l’etat de contrainte reste sur lasurface d’ecoulement (il ne peut pas en sortir), soit σV M = R

68



Pour obtenir le multiplicateur plastique λ, il suffit donc maintenant d’expri-

mer la loi d’evolution de la variable R en fonction des variables flux. Dans laloi de Prandtl-Reuss, on ecrit cette evolution sous la forme :

R = R( p) avec

R(0) = σ0 (limite d’elasticite initiale)

R = H ˙ p (H : pente d’ecrouissage plastique)(4.19)

La figure 4.10 donne une courbe de traction uniaxiale, sur laquelle nous avonssitue les variables introduites dans la loi de Prandtl-Reuss. On constate qu’un

essai de traction uniaxiale suffit dans ce cas a caracteriser completement la loide comportement du materiau. En effet, la variation de contrainte au coursde l’essai s’ecrit :

σ = E e = E (− p) = E (− σ

H ) ⇒ σ =

EH

E + H

Fig. 4.10 – Essai de traction uniaxiale, loi de Prandtl-Reuss

En utilisant les relations precedentes, on peut finalement ecrire la vitesse dedeformation plastique de la loi de Prandtl-Reuss sous la forme suivante :

p =

0 si σV M < R (domaine d’elasticite)0 si σV M = R et σV M < H V M (retour elastique)

3σV M

2HσV M

S sinon (plastification)

(4.20)

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La vitesse de deformation totale est donc obtenue sous la forme :

= e + p (4.21)

ou la partie elastique est donnee classiquement par la loi de Hooke et la partieplastique par la relation precedente. Dans le cas d’une elasticite isotrope, laloi de Hooke fournit :

e =1 + ν

E σ − ν

E σkkI (4.22)

Lorsque la partie elastique de la deformation est negligee ( = p), l’expressionobtenue porte le nom de relation de Levy-Mises. Cette relation est souventutilisee car la loi de Prandtl-Reuss est bien adaptee aux sollicitations mono-tones de grande amplitude, ou la partie elastique de la deformation devientnegligeable devant la partie plastique.

4.5.2 Ecrouissage cinematique lineaire

La loi de Prager decrit le comportement elasto-plastique d’un materiau avecune surface d’ecoulement representee par une variable cinematique lineaireX et une variable isotrope constante R = σ0. La fonction f caracterisant lasurface d’ecoulement s’ecrit alors tout simplement sous la forme :

f (σ,X ) = σ −X − σ0 (4.23)

La loi de normalite s’ecrit alors :

p = α = λ∂f ∂σ

(4.24)

L’evolution de la variable X etant supposee lineaire en fonction de α, la loide Prager s’ecrit :

p = λ∂f

∂σX = C p

(4.25)

70



Le multiplicateur plastique λ est obtenu par la condition de consistance. On

montre facilement que cette condition conduit a l’expression suivante :

λ =

0 si f < 0 (comportement elastique)

0 si f = 0 et∂f

∂σ: σ < 0 (retour elastique)

∂f ∂σ

: σ

C ∂f ∂σ

: ∂f ∂σ

sinon

(4.26)

Souvent, la contrainte equivalente utilisee dans la fonction f est celle de

von Mises. ceci permet de simplifier les relations precedentes, en utilisant ledeviateur de la variable X .

L’ecrouissage cinematique de Prager correspond a une translation de la sur-face d’ecoulement, sans evolution de sa taille (la variable R est constante).

4.5.3 Ecrouissage combine

Dans le cas de chargements cycliques, il est difficile d’utiliser la loi de Prandtl-Reuss ou celle de Prager. En effet, dans le cas d’un ecouissage purementisotrope (loi de Prandtl-Reuss), une sollicitation cyclique symetrique (parexemple traction-compression) produira une plastification aux premiers cycles,puis une deformation purement elastique au cycle stabilise. A l’inverse, la loicinematique lineaire de Prager produira une plastification identique a chaquecycle. Pour bien representer le comportement mecanique d’un materiau soussollicitation cyclique, il est donc necessaire d’utiliser une loi combinant unecrouissage isotrope et un ecrouissage cinematique. La figure 4.11 representeun cycle contrainte-deformation obtenu lors d’une sollicitation en traction-compression a deformation imposee, avec differents types decrouissage.

D’une facon generale, les variables decrouissage R (isotrope) et X (cinematique)constituent la loi de comportement du materiau. Elles sont la traductionmacroscopique des mecanismes de deformation plastique du materiau. Leurevolution est donnee sous la forme suivante :

X ij = C ijkl

pkl +Dij ˙ p

R = K ij pij +H ˙ p

(4.27)

En pratique, l’ecrouissage isotrope R est souvent fonction uniquement de la

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Fig. 4.11 – Courbes cycliques typiques

variable p (K ij = 0), qui represente la deformation plastique cumulee puisque˙ p est un scalaire lie a la norme du tenseur p. Le coefficient H est d’ailleurslui-meme fonction de R, que qui permet de rendre cette loi non-lineaire. Laloi suivante est par exemple utilisee (A et B sont des constantes) :

R = A(B −R) ˙ p (4.28)

Une loi souvent utilisee pour l’ecrouissage cinematique X est:

X ij = C pij −DX ij ˙ p (4.29)

ou C et D sont des constantes. Le second terme de cette equation est un”terme de rappel”, qui donne un caractere non-lineaire a cette relation. Cetteloi devient interessante lorsque l’on veut representer le comportement cy-clique d’un materiau.

72



Chapitre 5

Endommagement - Rupture

5.1 Endommagement

5.1.1 Description

En general, lorsque l’on deforme un materiau depuis un etat initial jusqu’a

un etat pre-deforme, sa capacite de deformation ou ductilite residuelle jus-qu’a rupture decroıt. En cours de deformation, le materiau subit donc unendommagement progressif, qui aboutit a sa rupture. On peut considererl’endommagement comme l’ensemble des phenomenes lies aux cavites quise forment dans le materiau en cours de deformation. Ceci le differencie del’ecrouissage par exemple, vu au chapitre precedent, qui est principalementdu dans les metaux a l’arrangement et a la multiplication des dislocations.Une analyse detaillee de la physique et de la mecanique de l’endommagementa ete realisee dans [5].

L’endommagement se traduit donc dans le materiau par la formation (phased’amorcage) et le developpement (phases de croissance et de coalescence) decavites. Or, dans le cadre de la mecanique des milieux continus, un solide estsuppose ne posseder ni trou, ni interface, ce qui permet par exemple de definirdes variables continues pour representer les efforts internes de cohesion dansle materiau. Il est cependant possible d’introduire une notion d’endommage-ment dans le cadre des milieux continus. Pour cela, on fait l’hypothese quel’element de volume considere est suffisamment grand devant les dimensionsdes heterogeneites (cavites) dues a l’endommagement. La figure 5.1 illustrela definition des efforts internes dans un materiau endommage. La section dS

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(de normale unitaire −→n ) utilisee pour definir le vecteur contrainte−→t (voir

par exemple [3] pour la definition du vecteur contrainte) contient des tracesde microfissures et de cavites constituant l’endommagement du materiau.

Fig. 5.1 – Schema illustrant la notion d’endommagement dans un milieucontinu

En notant dS D la surface projetee sur dS des traces d’endommagement, onmesure l’endommagement local, dans la direction −→n , par le rapport entrela surface dS D et la surface dS . Cette endommagement vaudra 0 pour unmateriau non endommage, et 1 pour un materiau totalement rompu per-pendiculairement a −→n . En consequence, la variable d’endommagement ainsidefinie :

– depend de la direction −→n consideree dans le materiau,

– est un scalaire toujours compris entre 0 et 1.

Dans ce document, nous nous limiterons au cas d’un endommagement iso-trope, c’est-a-dire identique dans toutes les directions de l’espace. Il s’en suitque la variable que nous venons de definir ne depend pas de −→n , car les fissureset les cavites sont supposees uniformement distribuees par rapport a toutes

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les directions de l’espace. Cette variable d’endommagement est en general

notee D.

Le tenseur des contraintes−→σ dans le materiau resulte de la definition du vec-teur contrainte

−→t applique a l’element de surface −→n dS . Le vecteur contrainte

effectif , c’est-a-dire celui effectivement subit localement par le materiau, agitsur la surface effective −→n (dS −dS D) = −→n dS (1−D). On en deduit facilement

que ce vecteur contrainte effectif vaut−→t /(1−D), et donc que le tenseur de

contraintes effectives vaut :

−→σ D =

−→σ1−D (5.1)

Il est possible d’inscrire l’endommagement d’un materiau, qu’il soit isotropeou non, dans le cadre thermodynamique du chapitre 2. Dans le cas isotropepar exemple, D est introduit comme une des variables internes V k, et on luiassocie une force thermodynamique Y . L’evolution de l’endommagement estalors modelise par une loi donnant la variation de Y avec les variables internesintroduites, dont D. Ceci permet en outre de coupler l’endommagement avecla deformation plastique.

5.1.2 Mesure

L’endommagement d’un materiau deforme, ou en cours de deformation, peutetre mesure de diverses facons. En fait, il existe deux grandes familles demethodes de mesure. Dans la premiere, on realise des mesures directes parobservation microscopique. Dans la seconde, on effectue des mesures indi-rectes en utilisant un parametre physique.

Mesures directes

Les mesures directes de l’endommagement peuvent se faire de differentesfacons. On peut par exemple observer la surface d’un echantillon deformequi avait ete prealablement poli. Pour observer le coeur de l’echantillon, onpeut egalement sectionner une eprouvette deformee. Enfin, on peut egalementobserver le facies de rupture de l’eprouvette.

La figure 5.2 montre l’evolution en compression de la surface apparente d’unparallelepipede. On constate une modification sensible de cette surface, que

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Fig. 5.2 – Observation de l’endommagement par microscopie optique : com-pression d’un parallelepipede [5]

Fig. 5.3 – Observation sous charge d’un alliage Al − 13%Si, pour unedeformation totale de 0,1% [5]

l’on peut observer directement par microscopie optique. La figure 5.3 montreque la repartition des deformations dans un echantillon biphase peut provo-quer des decohesions et des ruptures dans la seconde phase (ici de la silice).

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Mesures indirectes

Les mesures indirectes de l’endommagement sont basees sur l’estimation d’unparametre physique du materiau deforme ou en cours de deformation. Ceparametre physique doit bien sur etre relie a l’endommagement. Dans cedocument, nous nous limiterons aux mesures de caracteristiques elastiques(module d’Young et coefficient de Poisson pour un materiau isotrope). Pourplus de details sur ces mesures, le lecteur trouvera dans [5] une descriptiond’autres methodes telles que par exemple :

– la mesure de densite

– l’emission acoustique

– les methodes electriques

La mesure de la variation de la pente elastique, donc du module d’Young,lors de dechargements successifs au cours d’un essai de traction montre quece module diminue lorsque la deformation augmente. La figure 5.4 donnequelques resultats obtenus par [4]. En fait, le module d’Young mesure est unmodule apparent qui rend compte de l’endommagement du materiau.

Fig. 5.4 – Mesures de l’endommagement par variation du module d’Young[4]

Si F est la force de traction appliquee a l’eprouvette, σ la contrainte, S sasection courante, et S − S D sa section effective, alors la relation 5.1 permetd’ecrire :

σ = E De et σD = Ee (5.2)

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Dans ces expressions, e est la deformation elastique, E D est le module

d’Young mesure (apparent), et E est le module d’Young initial du materiau.On deduit de ces relations que, en mesurant E lors du premier chargement,puis E D lors des chargement successifs, on obtient une estimation de l’en-dommagement du materiau par :

D = 1− E DE

(5.3)

Toutefois, lors de telles mesures, il est evident que les pentes mesurees rendentegalement compte d’autres phenomenes que de l’endommagement. Par exemple,

il peut y avoir plastification locale des le debut des recharges, pres des ca-vites ou des inclusions, cette plastification ayant pour effet de modifier parecrouissage la pente apparente dans le domaine d’elasticite.

5.2 Rupture

5.2.1 Description

Fig. 5.5 – Rupture ductile : les cupules ont ete amorcees par des inclusionsvisibles en noir [2]

La rupture est la consequence finale de l’endommagement du materiau. Ondistingue habituellement deux types de rupture : la rupture fragile et la rup-ture ductile. Pour connaıtre ce type de rupture d’un materiau, il faut exa-

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Fig. 5.6 – Rupture fragile par clivage : acier extra-doux rompu par choc a−196C [2]

miner son facies fractographique. La rupture fragile correspond soit a unedecohesion intergranulaire, soit a une rupture des grains suivant des planscristallographiques simples : c’est le clivage. La rupture ductile presente engeneral un aspect beaucoup plus granuleux, du a de fortes irregularites du

profil a l’echelle microscopique.

Il est important de souligner que le caractere ductile ou fragile d’une ruptureest donne par le facies de rupture, et pas par des considerations mecaniquesmacroscopiques. Par exemple, une rupture fragile peut se produire dans unmateriau apres une relativement grande deformation plastique, et inverse-ment une rupture ductile peut se produire des les debuts de la plastification.Les figures 5.5 et 5.6 illustrent des facies de rupture typiques sur des metaux.En fait, on observe le plus souvent un melange des deux facies sur un mememateriau. On dit que la rupture est plutot ductile ou plutot fragile.

5.2.2 Mecanique de la rupture

Le premier modele mecanique de la rupture d’un materiau a ete introduitpar Griffith en 1920 pour expliquer la rupture fragile du verre. Il a considereun cas de chargement simplifie schematise sur la figure 5.7. Dans cette figure,la fissure de longueur 2c croıtra si son accroissement produit une diminutionde l’energie totale :

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Fig. 5.7 – Schema du cas simplifie de chargement de Griffith

d(U S + U M )

d(2c)< 0

Dans cette expression, U S = 4cγ est le terme d’energie superficielle par unitede longueur (γ est la tension superficielle), et U M l’energie mecanique is-sue des expressions analytiques des champs de contrainte et de deformation

elastiques autour d’une fissure elliptique (E est le module d’Young et ν estle coefficient de Poisson) :

U M =

−πc2

σ2a

E pour une plaque epaisse

−(1− ν 2)πc2σ2

a

E pour une plaque mince

La condition de propagation d’une fissure de longueur 2c s’ecrit donc enannulant la derivee de U S + U M par rapport a 2c. On obtient une condition

sur la contrainte appliquee de la forme :

σa >

2Eγ

πcpour une plaque epaisse

2Eγ

(1− ν 2)πcpour une plaque mince

Le critere de Griffith exprime une condition necessaire a la propagation de lafissure, et ne prend pas en compte le rayon de courbure ρ en pointe de fissure

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(figure 5.7). En fait, ce critere sera valable uniquement pour le cas de corps

tres fragiles, ou le rayon en fond de fissure est tres faible (quelques distanceinter-atomiques). D’ailleurs, Griffith a teste avec un relatif succes son criteresur des plaque de verre.

Les contraintes calculees par la theorie de l’elasticite lineaire au voisinage dela pointe de fissure sont tres grandes. Elles sont egales a σa multiplie par un facteur de concentration de contraintes. Elles depassent largement la limited’elasticite du materiau. Il s’en suit que l’on a plastification locale et quela pointe de fissure s’emousse. Le critere de Griffith a donc ete modifie enecrivant :

G = − dU M

d(2c)> Gc

Dans cette condition, le terme Gc contient un terme de tension superficielle,plus un terme d’energie de deformation au voisinage de la fissure. G est letaux de restitution d’energie mecanique par unite de longueur de la fissure.On peut reecrire l’equation precedente en utilisant l’expression de U M . Onobtient par exemple pour une plaque epaisse (en deformations planes) :

G =πc

E σ2a > Gc ou K = σa√πc > K c =

EGc

Les quantites K c et Gc, liees entre elles, rendent compte de la tenacite desmateriaux (voir le chapitre sur les essais mecaniques). Les fissures progresse-ront lentement dans le solide tant que le facteur K n’atteindra pas la valeurcritique K c. Au-dela, il peut y avoir rupture brutale par propagation catas-trophique de la fissure.

En mecanique de la rupture, on distingue en fait trois modes de rupture.Dans le mode I , considere jusqu’ici, les surfaces de la fissure se deplacent

perpendiculairement l’une a l’autre. C’est le mode utilise pour les essais delaboratoire, ou l’on determine le facteur K Ic . Dans les modes II et III , lessurfaces de la fissure glissent l’une sur l’autre. La propagation de la fissurese fait alors par cisaillement.

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Bibliographie

[1] M.F. Ashby and D.R.H. Jones. Materiaux : 1. proprietes et applications.

Dunod, 1991. traduit de l’anglais par Y. Brechet, J. Courbon et M.Dupeux.

[2] J. Benard, A. Michel, J. Philibert, and J. Talbot. Metallurgie generale.Masson, 1984. 2e edition.

[3] R. Fortunier. Mecanique des milieux continus. cours ENSM-SE, 1998.

[4] J. Lemaitre and J. L. Chaboche. Mecanique des materiaux solides. Du-nod, 1988.

[5] F. Montheillet and F. Moussy. Physique et mecanique de l’endom-magement . Editions de physique, 1986. travaux du GRECO grandesdeformations.

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