Cơ lưu chất 03 donghoc

PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

DONG HOC 1

CHÖÔNG

I. HAI PHÖÔNG PHAÙP NGHIEÂN CÖÙU CHUYEÅN ÑOÄNG CUÛA LÖU CHAÁT

r0(x0, y0, z0)

r(x, y, z)

y

x

z Quyõ ñaïo

1. Phöông phaùp Lagrange (J.L de Lagrange, nhaø toaùn hoïc ngöôøi Phaùp,1736-1883)

Trong phöông phaùp Lagrage , caùc yeáu toá chuyeånñoäng chæ phuï thuoäc vaøo thôøi gian , VD: u = at2+b

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

⇔=)t,z,y,x(xz)t,z,y,x(xy)t,z,y,x(xx

)t,r(fr

000

000

000

0

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

⇔=

dtdzu

dtdyu

dtdxu

dtrdu

z

y

x

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

⇔==

2

2z

2

2y

2

2x

2

2

dt

zda

dt

yda

dt

xda

dt

rddtuda

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

==

⇔=

)t,z,y,x(uu

)t,z,y,x(uu)t,z,y,x(uu

)t,z,y,x(uu

zz

yy

xx

Caùc ñöôøng doøng taïi thôøi ñieåm t

(x,y,z)

Phöông trình ñöôøng doøng: zyx u

dzudy

udx

==

(L. Euler, nhaø toaùn hoïc ngöôøi Thuïy Só, 1707-1783) 2. Phöông phaùp Euler


DONG HOC 2

Ví duï 1b: ux=x2y+2x; uy=-(y2x+2y);

)y2xy(dy

x2yxdx

22 +−=

+

Trong tröôøng hôïp naøy ta khoâng theå chuyeån caùc soá haïng coù cuøng bieán x, y veàcuøng moät phía, neân khoâng theå laáy tích phaân hai veá ñöôïc, ta seõ giaûi baøi toaùn naøysau trong chöông theá löu

Ví duï 1a: ux=3x2; uy=-6xy; uz=0

xy6dy

x3dx

2 −=Thieát laäp phöông trình ñöôøng doøng:

ydy

xdx2

ydy

xxdx2

2 −=⇔

−=

Chuyeån caùc soá haïng coù bieán x veà veá traùi, bieán y veà veá phaûi:

CyxCln)yln()xln(2y

dyxdx2

2 =⇔+−=⇔

−= ∫∫Tích phaân hai veá:

Vaäy phöông trình ñöôøng doøng coù daïng: Cyx2 =

Thieát laäp phöông trình ñöôøng doøng:

II. CAÙC KHAÙI NIEÄM THÖÔØNG DUØNG

3. Löu löôïng Q, Vaän toác trung bình m/ caétöôùt V:

AQV

udAdAuQuot.c/AmAbatky

n

=

== ∫∫ Abaát kyø

u

Am/c öôùtø

1. Ñöôøng doøng, doøng nguyeân toá dA

oáng doøng

A A A

P

Doøng coù aùp Doøng khoângaùp

Doøng tia

2. Dieän tích maët caét öôùt A, Chu vi öôùt P, Baùn kính thuûy löïc R=A/P

Nhận xeùt: Löu löôïng chính laø theå tíchcuûa bieåu ñoà phaân boá vaän toác : Bieåu ñoà phaân boá vaän toác


DONG HOC 3

Thí nghieäm Reynolds

III. PHAÂN LOAÏI CHUYEÅN ÑOÄNG:

1. Theo ma saùt nhôùt: Chuyeån ñoäng chaát loûng lyù töôûng, : khoâng coù ma saùtChuyeån ñoäng chaát loûng thöïc: coù ma saùt -Re=VD/ν=V4R/ν:taàng(Re<2300) - roái (Re>2300)

2. Theo thôøi gian: oån ñònh-khoâng oån ñònh.3 Theo khoâng gian: ñeàu-khoâng ñeàu.4 Theo tính neùn ñöôïc: soá Mach M=u/a

a: vaän toác truyeàn aâm; u:vaän toác phaàn töû löu chaátdöôùi aâm thanh (M<1) - ngang aâm thanh (M=1)treân aâm thanh (M>1) - sieâu aâm thanh (M>>1)

masat

quantinh

FF

Re =

löuñoáiphaànthaønhboä-t.ph.cuïcz

uuyuu

xuu

tu

dtdua

zu

uy

uu

xu

ut

udt

dua

zuu

yuu

xuu

tu

dtdua

zz

zy

zx

zzz

yz

yy

yx

yyy

xz

xy

xx

xxx

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

==

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

==

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

==

tu

dtuda)t,z,y,x(uu 000 ∂

∂==⇒=

IV. GIA TOÁC PHAÀN TÖÛ LÖU CHAÁT :

•Theo Euler:

•Theo Lagrange:


DONG HOC 4

V. PHAÂN TÍCH CHUYEÅN ÑOÄNG CUÛA LÖU CHAÁT:

Trong heä truïc toaï ñoä O(x,y,z), xeùt vaän toác cuûa hai ñieåm M(x,y,z) vaøM1(x+dx,y+dy,z+dz), vì hai ñieåm raát saùt nhau, neân ta coù:

vaän toác bieándaïng daøi

vaän toác bieán daïng goùcvaø vaän toác quay

vaän toác chuyeånñoäng tònh tieán

dzz

udyy

udxxuuu

dzz

udy

yu

dxx

uuu

dzz

udyy

udxx

uuu

zzzz1z

yyyy1y

xxxx1x

∂∂

+∂∂

+∂∂

+=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+=

1. Tònh tieán

Chuyeån

ñoäng2. Quay

3. Bieán daïng

Vaän toácquay:

uRot21

=ω

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂

∂∂

zyx uuuzyx

kji

21=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

=zu

yu yz

x 21ω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

=xu

zu zx

y 21ω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂=

yu

xu xy

z 21ω

Bieán daïng daøi

Suaát bieán daïng daøi

xuε x

xx ∂∂

=

yu

ε yyy ∂

∂=

zuε z

zz ∂∂

=

Bieán daïng goùc

Suaát bieán daïng goùc

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

==z

uy

u21εε yz

yzzy

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

==x

uz

u21εε zx

zxxz

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂

∂==

yu

xu

21εε xy

yxxy

Ñònh lyù Hemholtz


DONG HOC 5

•Chuyeån ñoäng quay cuûa phaàn töû löu chaát:

uyΔt

x

y

dy

dx

uxΔt

β

α

∂ux/∂ydyΔt

∂uy/∂xdxΔt

+zxy

yx

rotu21

yu

xu

21

dx

tΔdxxu

dy

tΔdyyu

tΔ21

tΔ1

2βαω

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛∂∂

−+∂

∂

−=+

−=

0)u(rot =

0)u(rot ≠

chuyeån ñoäng khoâng quay (theá)

chuyeån ñoäng quay

Ví duï 2: Xaùc ñònh ñöôøng doøng cuûa moät doøng chaûy coù : ux = 2y vaø uy = 4x

yx udy

udx

=

xdy

ydx

42=

ydyxdx 24 =

ydyxdx =2

Cyx+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛22

222

Cyx =− 222


DONG HOC 6

Doøng chaûy qua moät ñoaïn oáng thu heïp daàn vôùi vaäntoác doøng vaøo vaø ra laàn löôït laø 10 m/s vaø 50 m/s. Chieàu daøi cuûa oáng laø 0,5m

Haõy tìm quy luaät bieán thieân cuûa vaän toác vaø gia toác theotruïc oáng. Töø ñoù suy ra gia toác taïi ñaàu vaøo vaø ra cuûavoøi

Giaû thieát doøng moät chieàu, vaø vaän toác bieán ñoåituyeán tính doïc theo truïc ngang cuûa oáng.

Ví duï 3:

Quy luaät bieán thieân vaän toác tuyeán tính doïc theo truïc oáng:u = ax + b. a, b laø haèng soá

Choïn truïc x nhö hình veõ, vôùi goác “0” ôû ñaàu oáng, ta coùtaïi x=0, u =10 m/s; taïi x=0,5m, u = 50 m/s. Theá caù ñieàukieän treân vaøo ta suy ra ñöôïc a=80; b=10. Suy ra quyluaät bieán thieân vaän toác doïc theo truïc x laø:

u = (80x + 10) m/sTöø ñoù suy ra quy luaät bieán thieân gia toác nhö sau:

Theá giaù trò x=0 vaø x=0,5 vaøo ta suy ra ñöôïc gia toác taïi ñaàu vaøo vaø racuûa oáng laàn löôït laø: 800 m/s2 vaø 4000m/s2.

Lôøi Giaûi:


DONG HOC 7

VI ÑÒNH LYÙ VAÄN TAÛI REYNOLDS- PHÖÔNG PHAÙP THEÅ TÍCH KIEÅM SOAÙT

A

W udw

CV

W: theå tích kieåm soaùtX : Ñaïi löôïng caàn nghieân cöùu

k : Ñaïi löôïng ñôn vò ( ñaïi löôïng X treân 1 ñôn vò khoái löôïng)

uk =

∫∫∫ρ=W

dWX

∫∫∫ ρ=W

dWuX

∫∫∫ ρ=W

2dW

2uX

Ví duï: X laø khoái löôïng: k=1 ;

X laø ñoäng löôïng:

X laø ñoäng naêng: k=u2/2 ;

1. Theå tích kieåm soaùt, vaø ñaïi löôïng nghieân cöùu:

∫∫∫=W

dWρkX

Xeùt theå tích W trong khoâng gian löu chaát chuyeån ñoäng. W coù dieän tích baoquanh laø A. Ta nghieân cöùu ñaïi löôïng X naøo ñoù cuûa doøng löu chaát chuyeånñoäng qua khoâng gian naøy. Ñaïi löôïng X cuûa löu chaát trong khoâng gian W ñöôïc tính baèng:

A B C

Dieän tíchA1

Dieän tíchA2

W W1

nn

. Ñònh lyù vaän taûi Reynolds- phöông phaùp theå tích kieåm soaùt:

Taïi t: löu chaát vaøo chieám ñaày theå tíchkieåm soaùt W.Taïi t+Δt: löu chaát töø W chuyeån ñoängñeán vaø chieám khoaûng khoâng gian W1.

Nghieân cöùu söï bieán thieân cuûa ñaïi löôïng X theo thôøi gian khi doøng chaûy qua W

t)XX()XX(lim

t

XXlim

tXXlim

tXlim

dtdX t

BtA

ttC

ttB

0t

WW

0tttt

0t0t1

Δ+−+

=Δ

−=

Δ−

=ΔΔ

=Δ+Δ+

→Δ→ΔΔ+

→Δ→Δ

tXXlim

tXXlim

tXXlim

t)XX()XX(lim

ttA

ttC

0t

tW

ttW

0t

ttA

ttC

0t

tB

tA

ttA

ttB

0t

Δ−

+Δ−

=

Δ−

+Δ

+−+=

Δ+Δ+

→Δ

Δ+

→Δ

Δ+Δ+

→Δ

Δ+Δ+

→Δ

∫∫

∫∫∫∫

+∂∂

=

+

+∂∂

=→

An

W

An

An

0tΔW

dAuρkt

XtΔ

dAuρktΔdAuρktΔlim

tX 12

∫∫ ρ+∂∂

=A

nW

dAuktX

dtdX


DONG HOC 8

0z

uy

ux

u0)u(div zyx =∂∂

+∂∂

+∂∂

⇔=

0dW)u(divdWt

Adut

dW

dtdX

WWGauss.d.bAn

W =ρ+∂ρ∂

=ρ+∂

ρ∂

= ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫

0)u(divt

=ρ+∂ρ∂

Hay: : daïng vi phaân cuûa ptr lieân tuïc

VII AÙP DUÏNG PHÖÔNG PHAÙP TTKS

•Neáu ρ=const→ ptr vi phaân lieân tuïc cuûa löu chaát khoâng neùn ñöôïc:

Doøng nguyeân toá chuyeån ñoäng oån ñònh: → ptr lieân tuïc cuûa doøng nguyeân toáchuyeån ñoäng oån ñònh:

222111A

n dAudAu0Adu ρ=ρ⇔=ρ∫∫ dA1u1

u2

dA2

X laø khoái löôïng: theo ñ. luaät baûo toaøn khoái löôïng: 0dtdX

=

1. PHÖÔNG TRÌNH LIEÂN TUÏC∫∫ ρ+

∂∂

=A

nW

dAuktX

dtdX

•Ñoái vôùi toaøn doøng chuyeån ñoäng oån ñònh (coù moät m/c vaøo, 1 m/c ra), löu chaátkhoâng neùn ñöôïc: → ptr lieân tuïc cho toaøn doøng löu chaát khoâng neùn ñöôïcchuyeån ñoäng oån ñònh:

constQhayQQ 21 ==

= iQQ ññeán

•Ñoái vôùi toaøn doøng chuyeån ñoäng oån ñònh (coù moät m/c vaøo, 1 m/c ra) → ptr lieântuïc cho toaøn doøng löu chaát chuyeån ñoäng oån ñònh daïng khoái löôïng:

212222A

111A

MMdAudAu1

=⇔ρ=ρ ∫∫M1: khoái löôïng löu chaát vaøo m/c A1 trong 1 ñv t.gianM2: khoái löôïng löu chaát ra m/c A2 trong 1 ñv t.gian

•Trong tröôøng hôïp doøng chaûy coù nhieàu maët caét vaøo vaø ra, c. ñoäng oån ñònh, löuchaát khoâng neùn ñöôïc, taïi moät nuùt, ta coù: → ptr lieân tuïc taïi moät nuùt cho toaøndoøng löu chaát khoâng neùn ñöôïc chuyeån ñoäng oån ñònh:


DONG HOC 9

2. PHÖÔNG TRÌNH NAÊNG LÖÔÏNG

Khi X laø naêng löôïng cuûa doøng chaûy coù khoái löôïng m (kyù hieäu laø E, bao goàm noäinaêng, ñoäng naêng vaø theá naêng (theá naêng bao goàm vò naêng laãn aùp naêng), ta coù:

X = E = Eu + 1/2mu2+ mgZ vôùi Z=z+p/γ

Nhö vaäy, naêng löôïng cuûa moät ñôn vò khoái löôïng löu chaát k baèng: ρ+++=

pgzuek u2

21

trong ñoù: eu laø noäi naêng cuûa moät ñôn vò khoái löôïng.1/2u2 laø ñoäng naêng cuûa moät ñôn vò khoái löôïng.gz laø vò naêng cuûa moät ñôn vò khoái löôïng.p/ρ laø aùp naêng cuûa moät ñôn vò khoái löôïng.

Ñònh luaät I Nhieät ñoäng löïc hoïc: soá gia naêng löôïng ñöôïc truyeàn vaøo chaát loûngtrong moät ñôn vò thôøi gian (dE/dt) , baèng suaát bieán ñoåi trong moät ñôn vò thôøi giancuûa nhieät löôïng (dQ/dt) truyeàn vaøo khoái chaát loûng ñang xeùt, tröø ñi suaát bieán ñoåicoâng (dW/dt) trong moät ñôn vò thôøi gian cuûa khoái chaát loûng ñoù thöïc hieân ñoái vôùimoâi tröôøng ngoaøi (ví duï coâng cuûa löïc ma saùt):

dtdW

dtdQ

dtdE

−=

∫∫ ρ+∂∂

=A

nW

dAuktX

dtdX

Nhö vaäy

∫∫∫∫∫ ρρ

++++ρρ

+++∂∂

=−A

nuw

u dAu)pgzue(dw)pgzue(tdt

dWdtdQ 22

21

21 Daïng toång quaùt

cuûa P. tr NL

3. PHÖÔNG TRÌNH ÑOÄNG LÖÔÏNG

uk = ∫∫∫ ρ=W

dWuXKhi X laø ñoäng löôïng:

Ñònh bieán thieân ñoäng löôïng: bieán thieân ñoäng löôïng cuûa löu chaát qua theå tíchW (ñöôïc bao quanh bôûi dieän tích A) trong moät ñôn vò thôøi gian baèng toångngoaïi löïc taùc duïng leân khoái löu chaát ñoù:

∫∫∫∫∫∑ +∂∂

=A

nw

dAuρ)u(dwρ)u(t

Fngoaïilöïc

Daïmg toångquaùt cuûa p.trÑL

Nhö vaäy, töø keát quaû cuûa pp TTKS: ; ta coù: ∫∫ ρ+∂∂

=A

nW

dAuktX

dtdX

ngoaïilöïc∑= FdtXd


DONG HOC 10

Ví duï 4: Moät doøng chaûy ra khoûi oáng coù vaän toác phaân boá daïng nhö hìnhveõ, vôùi vaän toác lôùn nhaát xuaát hieän ôû taâm vaø coù giaù trò Umax = 12 cm/s . Tìm vaän toác trung bình cuûa doøng chaûy

Giaûi:

Löu löôïng :

3Ruπ

3r

2Rr

Ruπ2rdrπ2)rR(

RuQ

2max

Rr

32max

R

0

max =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−=

=∫

Taïi taâm oáng, u=umax; taïi thaønh oáng, u=0.

Ta coù treân phöông r,; vaän toác doøngchaûy phaân boá theo quy luaät tuyeán tính:

)rR(R

uu max −=

Umax

dr

dA=2πrdr

r

3u

AQV max==

s/cm4V =

Ví duï 5:

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡−= 2

2

1 Rr1uu

Löu chaát chuyeån ñoäng oån ñònh trong ñöôøng oáng coù ñöôøng kính D. ÔÛ ñaàu vaøo cuûañoaïn oáng, löu chaát chuyeån ñoäng taàng, vaän toác phaân boá theo quy luaät :

u1: vaän toác taïi taâm oáng khi chaûy taàng. r : ñöôïc tính töø taâm oáng (0 ≤ r ≤ D/2)

u2: vaän toác taïi taâm oáng khi chaûy roáiy : ñöôïc tính töø thaønh oáng (0 ≤ y ≤ D/2)

Tìm quan heä giöõa u1 vaø u2

Giaûi:

dy)yR(π2RyuQ;rdrπ2

Rr1uQ

71R

022

R

02

2

11 −⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−= ∫∫

Theo phöông trình lieân tuïc:

21 QQ =

Khi löu chaát chuyeån ñoäng vaøo saâu trong oáng thì chuyeån sang chaûy roái, vôùi phaânboá vaän toác nhö sau :

r

u1

o

u2

R

r

odr

dA=2πrdr

( ) 2Ruπ

)R(4r

2ruπ2rdrπ2

Rr1uQ

21

Rr2

42

1

R

02

2

11 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

=∫

22

Ry

717

15

767

8

2

71R

0

71R

022 Ruπ

6049R

15y7R

8y7uπ2dy

Ryydy

RyRuπ2Q =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−=

=

−

∫∫

7/1

2 Ryuu ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

21 u3049u =⇒


DONG HOC 11

Ví duï 5:

Giaûi:

Chaát loûng lyù ltöôûng quay quanh truïc thaúng ñöùng (oz). Giaû söû vaän toácquay cuûa caùc phaân toá chaát loûng tyû leä nghòch vôùi khoaûng caùch töø truïcquay treân phöông baùn kính (V=a/r; a>0 laø haèng soá. Chuùng minh raèngñaây laø moät chuyeån ñoäng theá. Tìm phöông trình caùc ñöôøng doøng

0yu

xu xy =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂0)u(rot z =chuyeån ñoäng khoâng quay (theá)

O

r

u

y

x

222y

222x

yxax

rax

rx

ra)oy,ucos(uu

;yx

ayray

ry

ra)ox,ucos(uu

+==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

+−

=−

=−

==

Suy ra:

222

22

222

22

22x

222

22

222

22

22y

)yx()xy(a

)yx()y2(ay)yx(a

yxay

yyu

;)yx()xy(a

)yx()x2(ax)yx(a

yxax

xxu

+−

=+

++−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

∂∂

=∂∂

+−

=+−+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∂

∂=

∂

∂

Vaäy: 0)u(rot0y

uxu

zxy =⇔=

∂∂

−∂∂

Ñaây laø chuyeån ñoäng Moät chuyeån ñoäng theá treân maët phaúng xOy

Phöông trình caùc ñöôøng doøng:C)yx(

dxyx

axdyyx

aydxudyu

22

2222yx

=+⇔

+=

+−

⇔=

Cơ lưu chất 03 donghoc

Education

Transcript of Cơ lưu chất 03 donghoc