Clase_04_-_Condensadores

1

Profesor: R. Carlos Proleón Patricio

CondensadoresCondensador: Está formado por dos conductores con cargas de igual magnitud pero de signo opuesto.

La superficie de un conductor es equipotencial por eso podemos calcular la diferencia de potencial entre los

conductores V=V+–V–. Esta diferencia

V es proporcional a la magnitud de la

carga q de los conductores

q=CV

donde Ces la capacidad del condensador, es una constante que depende de la geometría de los conductores.

Unidades: En el S.I. la unidad de capacitancia es el faradio

1faradio=1f=1Coulomb/1Voltio

Condensador de placas paralelas: El campo eléctrico entre las placas es

E=

qεo A

donde

A: área de las placas

d: distancia entre las placas

q: carga de las placas

La diferencia de potencial es V=Ed, por lo tanto la capacitancia es

C=εo A/d

En unidades más apropiadas podemos

escribir ε0=8,85pF∙m-1.

Energía potencial de un condensador La energía U de un condensador es

U=(1/2)CV2=q2/2C

Ejemplos

1. Un condensador de placas paralelas tiene un área de 2×10-4m2 y una separación de 1mm. Se aplica al condensador una diferencia de potencial de 10000V. Calcular:

a) La capacidad del condensador

C=εoA/d

C =8 ,85pFm

×2×10−4m2

1×10−3mluego, C=1,77pf

2


b) La carga en cada láminaq=CV=1,77pf×104V=17,7nC

c) La intensidad del campo eléctrico en el condensador

E=V/d=104V/10-3m=107V/m

d) La energía del condensador

U=(1/2)1,77pf×(104V)2=88,5μJ

2. Dos placas paralelas circulares de radio igual a 8,2cm y separadas 1,3mm forman un condensador. Determine a) su capacidad, b) la carga en las placas al aplicársele una diferencia de potencial de 120V.

La capacidad

C=εoπr2/dC=8,85pf m∙ -1π8,22×10-4m2/1.3×10-3

C=143,8pf

La carga en cada lámina

q=CV=143,8pf×120Vq=17,256nC

Condensadores en paralelo: Dos o más condensadores están en paralelo cuando la diferencia de potencial entre ellos es la misma

La carga en cada condensador es q1=C1V

y q2=C2 V. La carga total es q=q1+q2,

luego q=(C1+C2)V. Definimos el condensador equivalente por la relación

Ceq = q/V, luego

Ceq=C1+C2.

En general para n condensadores

Ceq=∑ Ci

De esta manera podemos calcular la carga total haciendo

q=CeqV

y la energía del sistema con la ecuación

U=(1/2)CeqV2

Ejemplos

1. Dos condensadores de C1= 3 f yμ C2=2 f están conectados enμ paralelo a una fuente de 200v. a)¿Cuál es la carga almacenada por ambos condensadores, b) ¿cuál es la energía almacenada por ambos condensadores?

C1

C2

-q2

–q1

+q1

+q

2

V+ –

q1

=C1Vq2

=C2V

3


2. Dos condensadores de C1= 1 f yμ C2=2 f están conectados enμ paralelo. Si la carga en el condensador C1 es q1=500 C, μ a)¿Cuál es la diferencia de potencial entre las placas de los condensadores, b)¿Cuál es la carga del condensador C2? C) ¿cuál es la energía almacenada en cada condensador?

Solución

Como los condensadores están en paralelo la diferencia de potencial entre ambos es la misma luego

V=q1/C1=500 C/1 f=μ μ 500v

En el segundo condensador la carga es

q2=C2V=2 f×500v=μ 1000 Cμ

La energía en cada condensador es

U1=q12/2C1=(500 Cμ )2/2×1μf=0,125J

U2=q22/2C2=(1000 Cμ )2/2×2μf=0,25J

3. Dos condensadores de C1= 5 f y Cμ 2=12 fμ están conectados en paralelo. Si la carga en el condensador C2 es q2=600 C, μ a)¿Cuál es la diferencia de potencial entre las placas de los condensadores?, b)¿Cuál es la carga del condensador C1? C) ¿cuál es la energía almacenada en cada condensador?

4. La carga total almacenada en dos condensadores conectados en paralelo

es 200μC. Si las capacidades de los condensadores son C1= 3 f y μ C2= 2 f, μ a) ¿cuál es el voltaje entre las placas de los condensadores? Y b) ¿Cuál es la carga de cada condensador?

Solución

La capacidad equivalente es

Ceq=C1+C2=5μf, luego la diferencia de potencial es

V=q/Ceq=200μC/5μf=40v.

La carga en cada condensador es

q1=3 f×40v=μ 120 Cμq2=2 f×40V=μ 80 Cμ

5. La carga total almacenada en dos condensadores conectados en paralelo es 4500μC. Si las capacidades de los condensadores son C1= 4 f yμ C2= 5 f, μ a) ¿cuál es el voltaje entre las placas de los condensadores?, b) ¿cuál es la carga de cada condensador? C)¿Cuál es la energía almacenada en cada condensador?

6. Un condensador de 1μf y otro de 2μf se conectan en paralelo a una batería de 1200V. Calcular: a) la carga de cada condensador y su voltaje. Los condensadores cargados se desconectan de la batería y son conectados entre sí con las placas de carga opuesta en contacto. b) Calcular la carga final de cada condensador y su voltaje.

Solución Inicialmente tenemos el circuito dispuesto de la forma

4


C1=1 f μ y C2=2 f μ , luego

q1=1 f×1200V=μ 1200 Cμq2=2 f×1200V=μ 2400 Cμ

luego que los condensadores son cargados se colocan de la forma

La carga total se redistribuye de manera que al final tenemos

q’1+q’2=q1+q2=1200 Cμ

además q’1=C1V y q’2=C2V, luego

1 f μ V+2 f μ V=1200 Cμ

De donde V=400voltios,

finalmente

q’1=1 f×400v=400 Cμ μq’1=2 f×400v=800 Cμ μ

Un condensador de C1=3,55μf se carga con un potencial de Vo=6,3v. El condensador se aísla del potencial y se conecta a otro de C2=8,95μf descargado. De esta manera la carga del condensador C1 se desplaza al condensador C2 hasta que se establece el equilibrio. a) ¿Cuál es el valor final del potencial entre los condensadores?, b) ¿Con qué carga queda cada condensador en el equilibrio?

Solución

El condensador C1 adquiere una carga

q0 =C1V0 =3,55μf×6,3v=22,365μC

Cuando se conectan los condensadores estos quedan en paralelo de manera que la capacidad equivalente es

Ceq=C1+C2=12,5μf

y el potencial de los condensadores es

V=q0/Ceq=22,365μC/12,5μf=1,7892v

1200V

C1 C2

q2

q1

+q

2

+q1

–q2-

q1

C1C2

–q’2

+q’1

+q’2-

q’1

C1 C2

5


La carga final en cada condensador es

q1=C1×V=3,55μf×1,7892v=6,35μCq2=C2×V=8,95μf×1,7892v=16,0μC

Condensador C1 siendo cargado

Condensador C1 acoplado al condensador C2

Condensadores en serie: Dos o más condensadores están en serie cuando la suma diferencia de potencial entre los condensadores es igual a la diferencia de potencial del sistema

Tenemos las ecuaciones

Vab=q/C1 y Vbc=q/C2

Como Vac=Vab+Vbc tenemos

Vac=q/C1+q/C2

luego, como Ceq=q/Vac, tenemos

Ceq–1=C1

–1+C2–1

En general para n condensadores

Ceq–1

=∑ Ci–1

Ejemplos

Tenemos dos condensadores conectados en serie de capacidades C1=5 f y Cμ 2=12 fμ tienen una diferencia de potencial entre sus extremos de 9v. Calcular

a. La capacidad equivalente

Ceq–1=5μf –1+12μf –1

Ceq=(60/17)μf=3,53 μf.

b. La carga de cada condensador

Es la misma que la del condensador equivalente

q=CeqV=3,53 μf×9v=31,77μC

c. La diferencia de potencial entre cada condensador

V1=q/C1=31,77 C/5 f=6,35vμ μ

6,3V

C1=3,55μf

qo

C1 C2+q

2

+q1

q2

-q1

a b cC1 C2

+q

–q

+q

–q

C1 C2

+q

–q

+q

–qV1 V2

6


V2=q/C2=31,77 C/12 f=2,64vμ μ

d. La energía almacenada por ambos condensadores

U=0,5qV=0,5×31,77μC×9vU=142,965 Joules.μ

9. Dos condensadores de C1= 3 f yμ C2=2 f están conectados en serie aμ una fuente de 200v. a) ¿Cuál es la carga almacenada por ambos condensadores, b) ¿cuál es la energía almacenada por ambos condensadores?

10. Un condensador de 6,0μf está conectado en serie a otro de 4,0μf. Se aplica una diferencia de potencial de 200v al sistema. a) Calcule la capacitancia equivalente, b) ¿Cuál es la carga sobre cada condensador, c) Determine la diferencia de potencial entre las placas de cada condensador.

11. Determine a) la capacidad equivalente del sistema mostrado, b)la carga total almacenada cuando de aplica una diferencia de potencial de 100v entre los bornes y c)la energía del sistema.(C=12pf). d)L a carga en cada condensador.

Solución

a) La capacidad equivalente es

Ceq–1=C–1+(2C)–1+(2C)–1

Ceq=C/2=6pf

b) La carga almacenada total es

q=CeqV=6pf×100v=0,6μC

c) La energía almacenada es

U=0,5×CeqV2=(0,5)×6pf×(100v)2

U=30000 Joules

12. Determine a) la capacidad equivalente del sistema mostrado, b) la carga total almacenada cuando de aplica una diferencia de potencial de 200v entre los bornes y c)la energía del sistema. (C=15mf). d) La carga en cada condensador.

13. Determine a) la capacidad equivalente del sistema mostrado, b) la carga total almacenada cuando de aplica una diferencia de potencial de 100v entre los bornes y c)la energía del sistema. (C=24mf). d) La carga en cada condensador

7


14. Determine la energía almacenada en C2 cuando C1 = 15 µF, C2 = 10 µF, C3 = 20 µF, and V0=18V.

15. Determine la energía almacenada por C4 cuando C1 = 20 µF, C2 = 10 µF, C3 = 14 µF, C4 = 30 µF, and V0 = 45 V.

Condensadores con dieléctricos

Cuando introducimos un dieléctrico entre las placas de un condensador la

permitividad eléctrica del vacio εo se cambia por la permitividad eléctrica del

medio dieléctrico ε dada por

ε=κ εo

donde κ es la constante dieléctrica del material. De esta manera la capacidad del condensador con dieléctrico está dada por

C=ε A/d,

y el campo entre las placas está dado por

E=

qε A

MaterialConstante

dieléctrica κ

Aire 1,00054

Teflón 2,1

Acrílico (plexiglás) 3,4

Papel 3,5

Pírex 4,7

Mica 5,4

Porcelana 6,6

Silicio 12

Por definición la constante dieléctrica del vacío es igual a uno y como la constante dieléctrica del aire es aire es apenas un poco mayor que la del vacío podemos considerar en un condensador de placas paralelas que

Caire=ε0 A/d

y en un condensador de placas paralelas con dieléctrico de constante κ

C= κ Caire

Los dieléctricos poseen una rigidez dieléctrica que es el valor máximo del valor del campo que el material puede soportar.

MaterialRigidez dieléctrcia

(kV/mm)

Aire 3

8


Polietileno 24

Papel 16

Pírex 14

16. Se tiene una pieza de plástico cuya constante dieléctrica se desea medir usando dos placas paralelas, una batería de 4v y un voltímetro. Se carga las placas con la batería y luego se desconectan. Después introduce el plástico completamente entre las placas y el voltímetro indica una caída de voltaje de 4v. a 3,6v. ¿cuál es la constante dieléctrica de este plástico?

Antes de clocar el plástico, la carga en el condensador es

q=Caire ×4v

Cuando se coloca el dieléctrico la capacidad aumenta a

C=κCaire

Como la carga se mantiene constasnte el nuevo potencial es

3v=q/C=( Caire ×4v)/( κCaire)

de donde κ=4/3=1,3317. Se conecta una batería de 200-volt a un

condensador de placas paralelas de 0.50-μf lleno de aire. Ahora la batería se desconecta tomando cuidado de no descargar las places del condensador. Se inserta vidrio de Pírex entre los platos, llenando completamente el espacio entre las placas. ¿Cuál es la diferencia de potencial final entre la placas? (La constante dieléctrica del Pyrex is = 5.6.)

Inicialmente C=0,5μf, con una carga de

q=0,5μf×200v=100μC. Con el dieléctrico

C’=5,6×0,5μf=2,8μf y como la carga se mantiene constante

V=100μC/2,8μf=35,7v

18. Dado un condensador lleno de aire de 7,4pf de capacidad, pedimos que se proyecte un condensador capaz de almacenar 7,4 μJ de energía con una diferencia de potencial máxima de 652v. ¿Cuál de los dieléctricos expuestos en la tabla puede ser usado?

U=

12 κ CaireV2

7,4 μJ=

12 κ 7,4pf(652v)2

κ = 2×106/(652)2=4,7

El material es el Pírex.

19. Una cierta substancia posee una constante dieléctrica de 2,8 y una rigidez dieléctrica de 18Mv/m. Si usamos esta substancia como material dieléctrico a ser usado en un capacitador de placas paralelas, ¿cuál será el área mínima que las placas del condensador deben tener para que su capacidad sea 7,2×10-2μf y para que sea capaz de resistir una diferencia de potencial de 4,0Kv?

dmin=

VEmax =

4kV18MV /m =0,22×10–3m

Amin=

Cdminκεo =

7,2×10−2 μf×0 ,22×10−3

2,8×8 ,85 pf⋅m−1

Amin=0,639m2

20. Queremos construir un condensador de placas paralelas separadas por aire capaz de almacenar 100kJ de energía. A) ¿qué volumen mínimo debe existir entre las placas del condensador? B) Si

9


disponemos de un dieléctrico que

pueda resistir 3×108V/m y su constante dieléctrica es 5, ¿qué volumen de este condensador situado entre las placas del condensador se necesitará para almacenar 100KJ de energía?

21. Considere un condensador de placas paralelas en el cual el espacio entre las placas es llenado con teflón. Manteniendo la carga fija el teflón es reemplazado por acrílico. Si en el primer caso la diferencia de potencial entre las placas es 600v, ¿Cuánto es el valor de la diferencia de potencial en el segundo caso? (fishbane ejerció 45 cap 25)

22. Un condensador de placas paralelas de dimensiones 28cm×20cm y una separación de 1,6cm contiene un dieléctrico de 0,6cm de espesor y 1,8 de constante dieléctrica.la diferencia de potencial entre las placas es 600v. ¿cuál es el valor del campo eléctrico en los espacios vacios y dentro del dieléctrico?

Clase_04_-_Condensadores

Documents

Transcript of Clase_04_-_Condensadores