Física IISemana , Semestre 2010-II

Teorema de Gauss

PhD Juvenal Castromonte Salinas juvenal@upch.edu.peMSc Yuri Milachay yuri.milachay@gmail.com

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Flujo de un campo vectorial

• Sea S una superficie y n el vector unitario perpendicular a ella en uno de sus puntos. El sentido de n indica la cara de S que consideramos positiva. Si la superficie es cerrada, se toma como positivo el sentido hacia fuera.

• Un elemento infinitesimal de superficie, dS, se puede representar vectorialmente.

• El flujo de un campo vectorial A a través del elemento de superficie es el producto escalar:

• Al multiplicar escalarmente A•n se obtiene la componente de A perpendicular a la superficie, A┴.

ndSSd;dSdS

d A d S

A

dSn

AS

O

r

A

d A dS

Flujo eléctrico

• El flujo eléctrico es una magnitud escalar y representa el número de líneas de campo eléctrico que cruza alguna superficie.

• El flujo de un campo eléctrico a través de una superficie infinitesimal dS es el producto de la proyección perpendicular del módulo del campo E por la superficie, dS. Es decir, (1):

• Si representamos dS por un vector perpendicular a la superficie, formará con E un ángulo . (2):

• Unidades de Ф: N m2/C

d E dS EdScos

(1)

(2)

cos

E E d S E dS

d EdS EndA

Flujo eléctrico

Ejercicio

¿Cuál es el flujo del campo eléctrico que atraviesa la superficie S mostrada en la figura?

S

Ejemplo 22.1 Pág 842

• Un disco cuyo radio mide 0,10 m está orientado con un vector unitario normal n, formando un ángulo de 30° con respecto a un campo eléctrico uniforme E, cuya magnitud es de 2,0 x 103 N/C. a) ¿Cuál es el flujo eléctrico a través del disco? b) ¿Cuál es el flujo a través del disco si éste se orienta de modo que su normal sea perpendicular a E? c) ¿Cuál es el flujo a través del disco si su normal es paralela a E?

30cosEE2N m

54 C

a)

b) 090cos EE

c) EE ES

3 2N2,0 10 (0,10 m)

C

2N m63

C

Ejemplo 22.3 / Pág 843

• Una carga puntual positiva q=3,0 C está rodeada por una esfera centrada en la carga y cuyo radio es de 0,20 m. Halle el flujo eléctrico a través de la esfera debido a esta carga.

Solución• El módulo del campo eléctrico en

cualquier punto de la esfera es constante:

• Su valor es:

2r

qkE

69 2

2

3,0 10 CE (9,0 10 Nm / C)

(0,20 m)

25 N m

E 6,75 10 C

SuperficieSuperficie

dAEAdE

25 N m

3,4 10C

5 2NEA (6,75 10 )(4 )(0,20m)

C

Relación flujo eléctrico-campo eléctrico

• ¿Qué cajas encierran carga positiva? • ¿Qué cajas encierran más carga?• ¿En qué cajas no hay cargas eléctricas

encerradas?• ¿El campo eléctrico depende de la

forma de la caja?Conclusión• El hecho que haya un flujo eléctrico

saliente o entrante neto a través de la caja depende del signo de la carga encerrada.

• El flujo eléctrico neto del campo que atraviesa la caja es proporcional a la carga que encierra.

(B)

(A)

(C)

Teorema de Gauss (enunciado)

El flujo de líneas eléctricas de fuerza que salen a través de cualquier superficie cerrada numéricamente es proporcional a la suma algebraica de las cargas encerradas por esta superficie.

t0

q

• Sea el flujo •

• donde es la superficie perpendicular al radio vector. Si se conoce el ángulo sólido, bajo el cuál se observa, desde el punto donde se encuentra la carga, el elemento de superficie, entonces,

E S

E S cos

E S

´S 2´ rS

2

22

0

Er

1 qr .

4 r

Teorema de Gauss (Demostración)

Esquema de la relación superficie-ángulo sólido

En el caso cuando la carga se encuentra localizada dentro de la superficie cerrada, se tiene

Para un sistema de cargas

t i iS 0 0

( i ) ( i )0 0

1 qlím q lím .

4

n

i( i )n1 2

t0 0 0 0

qqq q

Ejemplo 22.4 / Pág 847

• ¿Cuál es el valor del flujo eléctrico en las superficies A, B, C y D?

• ¿Qué podemos decir del signo de los flujos obtenidos y de los signos de las cargas encerradas? ¿están relacionados o no?

Revisa la simulación de la Ley de Gauss que se encuentra en el aula virtual

Aplicaciones

• El método de Gauss es útil para la solución de problemas que tienen algún tipo de simetría. Por ejemplo, el campo de una lámina de carga q.

• El flujo total de la intensidad de campo a través de las superficies del cilindro es

•

• La carga total dentro del paralelepípedo es

ES2

Sq

Del Teorema de Gauss

0

12ES S

0

1E

2

Así:

Reglas para la aplicación de la ley de Gauss

1. La Ley de Gauss en su forma integral permite, en determinadas condiciones, calcular el campo creado por una distribución de carga.

2. En general, se requiere un conocimiento previo del comportamiento del campo en la superficie en que se aplica la Ley de Gauss.

3. Este comportamiento se suele inferir a partir de las simetrías que presente el sistema y del hecho de que el campo debido a un carga puntual es radial

4. El valor del campo eléctrico puede considerarse, por simetría, como constante sobre toda la superficie.

El campo en el espacio entre las dos láminas cargadas con cargas (ver figura) será

0

1E E_ E 2

2

Campo entre dos láminas planas

E_E

0

E2

_E E

Campo en conductor rectilíneo

Para sistemas con simetría axial o esférica, las superficies gaussianas son como se muestran

Ejemplo 22.6 / Pág. 850

• Calcular el campo electrostático de una línea cargada infinitamente larga (densidad lineal de carga).

• En este caso, el campo eléctrico es constante sobre la superficie cilíndrica, y nulo sobre la superficie circular lateral, por cuanto forma un ángulo de 90° con respecto a la dirección de dicha superficie.

0

0

2

q

rlE

qdAE

r

r

0

1

2E

r

q l

Esfera cargada

Campo eléctrico en esfera conductora

• Campo eléctrico de una esfera cargada en el volumen (densidad volumétrica de carga)

2

0

2 3

0

0

qE4 r

4E4 r r

3

E r3

2 3

0

3

20

4 1E4 r R

3

RE

3 r

Superficie gaussiana

1,00 m

2,00 m

Ejercicio 22.8 / Pág. 863

• Una carga puntual q1=4,00 nC está situada sobre el eje de las x en x=2,00 m, y una segunda carga puntual q2=-6,00 nC está sobre el eje de las y en y=1,00 m. ¿Cuál es el flujo eléctrico total debido a estas dos cargas puntuales a través de una superficie esférica centrada en el origen y con un radio de a) 0,500 m? b) 1,50 m? c) 2,50 m?

Solucióna)b)

0

q1

q2

0

2

q

9

12 2 2

2 2

6,00 10 C8,85 10 C / Nm

6,78 10 Nm / C

c)0

21

qq

9

12 2 2

2 2

2,00 10 C8,85 10 C / N m

2,26 10 N m / C

Ejercicio 22.14 / Pág. 864

• Una esférica metálica sólida con un radio de 0,450 m tiene una carga neta de 0,250 nC. Halle la magnitud del campo eléctrico a) en un punto situado a 0,100 m afuera de la superficie de la esfera; b) en un punto dentro de la esfera, a 0,100 m debajo de la superficie.

• Fuera de la superficie

• Como dentro de la superficie Q = 0, entonces E = 0

R

204 r

QE

10

20

(2,50 10 C)1E

4πε (0,550m)

E 7,44N C

Campo en cascarón esférico

Movimiento de cargas en campos electrostáticos

De la analogía con el movimiento de objetos en el campo gravitacional de la tierra, se tiene la siguiente tabla