Cartilla Semana 3 Ley de Gauss

8/19/2019 Cartilla Semana 3 Ley de Gauss

1/15

LEY DE G USS


2/15

2

INTRODUCCIÓN

En la cartilla anterior se mostró que él campo eléctrico se puede calcular empleando la ley

de Coulomb. Sin embargo, algunas veces, si las condiciones de simetría del problema lo

permiten, se puede facilitar el cálculo del campo eléctrico utilizando la Ley de Gauss, que

vamos a desarrollar en el transcurso de esta semana, que es la primera de las cuatro leyes

de Maxwell.

3.1 Líneas de campo eléctrico.

Se utilizan para representar los patrones de campo eléctrico y muestran en un punto del

espacio la dirección del campo eléctrico producido por una carga o una distribución

discreta o continua de carga.Las principales características de las líneas de campo eléctrico son:

El vector campo eléctrico es tangente a la línea de campo en el punto donde se esté

evaluando el campo.

Si las líneas de campo son paralelas e igualmente espaciadas en una región significa

que el campo es uniforme en esa región.

Un espaciamiento pequeño entre las líneas indica que el campo es intenso, pero si el

espaciamiento es grande quiere decir que el campo es débil.

El número de líneas de campo representan la intensidad del campo producido por

una carga y es proporcional a la magnitud de la carga.

En una carga positiva las líneas de campo salen de la carga y son radiales. En una carga negativa las líneas de campo llegan a la carga y también son radiales. Dos líneas de campo nunca se cruzan.

En las figuras 3.1a y 3.2b se muestran de manera independiente las líneas de campos de unacarga puntual positiva y una negativa de la misma magnitud.


3/15

3

3.1a: Líneas de campo de una carga

positiva

3.1b: Líneas de campo de una carga

negativa

Cuando dos cargas iguales o de signos opuestos están próximas, entonces el patrón de

líneas de campo es distinto y debe obedecer a la superposición de los campos eléctricos

producidos por las cargas, esta situación se muestra en las figuras3.1c y 3.1d.

3.1c: Líneas de campo de dos cargas

positivas de igual magnitud.

3.1d: Líneas de campo de dos cargas de

igual magnitud. Positiva - negativa.


4/15

4

Un dipolo eléctrico es una configuración formada por una carga positiva y una negativa del

mismo valor, pero con signos opuestos, una imagen de las líneas de campo de un dipolo

eléctrico se muestra en la figura 3.1d.

3.2 Movimiento de partículas cargadas en un campo eléctrico uniforme.

Cuando una partícula de masa m con carga q se ubica dentro de un campo eléctrico E,

experimenta una fuerza eléctrica dada por la ley de Coulomb. Sí es la única fuerza que actúa

sobre la partícula entonces por segunda ley de Newton la carga se acelera debido a esta

fuerza, es decir am E q E q F e y la partícula experimenta una aceleración:

E mq

a (3.1)

Si el campo eléctrico es uniforme, entonces la aceleración que experimenta la carga es

constante, lo que indica que sí:

La carga se deja en reposo dentro del campo, ella experimenta un movimiento

rectilíneo uniforme acelerado.

Si la carga es lanzada hacia el campo, dependiendo de la dirección en que se lance

puede experimentar un movimiento con trayectoria parabólica.

Ejemplo3.1 Un electrón es lanzado con una velocidad de 2x10 6 m/s en dirección perpendicular

a un campo eléctrico uniforme que de 5x10 4 N/C , generado por dos láminas paralelas con

cargas opuestas, como se muestra en la figura 3.2. Después de pasar por esta región el

electrón es desviado de su dirección original por el campo. Determinar:

a) La aceleración que experimenta el electrón.

b) El tiempo que demora el electrón en pasar por la región del campo.

c) La velocidad que tiene el electrón al abandonar la región del campo.


5/15

5

Figura 3.2

Solución: El electrón al ingresar al campo eléctrico experimenta una fuerza eléctrica de

magnitud eE F e dirigida en la dirección negativa del eje y. Esta fuerza produce en el electrón

una aceleración, dada por la ecuación 3.1

21531-

4-19

m/s8,79x10kg 09,109389x1

C N 5x10C 01,602177x1

meE

a

Esto indica que el electrón está sometido simultáneamente a dos movimientos perpendiculares

entre sí, uno con velocidad constante en eje x y otro con aceleración constante en y. En el eje x,

se tiene que t vd 0 , por lo tanto que el tiempo que demora el electrón en pasar por la región

del campo es:

s1,5x10

m/s2x10

m3x10

v

d t 8

6

2

0

La velocidad de la partícula se obtiene, sabiendo que experimenta un movimiento

semiparabólico, es decir:

jˆ 131,85x10iˆ 2x10 jˆ at iˆ vv 6 6 0 Donde la aceleración se mide en m/s2 y el tiempo en s , por tanto la magnitud de la velocidad es:

s / m86 ,131 s / m10 x85 ,131 s / m2x10v 26 26


6/15

6

Ejemplo 3.2 Dipolo en un campo eléctrico

En la figura 3.3 se muestra un dipolo eléctrico colocado en una región donde hay un campo

eléctrico uniforme E , el dipolo eléctrico p forma con este un ángulo .

Solución: sobre el dipolo actual dos fuerzas iguales y opuestas

F y F como se muestra en la

figura 3.3, como

E q F

La fuerza neta es cero, pero hay un torque neto con respecto a un eje que pasa por 0 dado por

2 2 F a aqE ( sen ) sen

Figura 3.3

Teniendo en cuenta que p=2aq , se obtiene

pE sen (3.2)

La anterior ecuación se puede escribir en forma vectorial así:

p E (3.3)

El torque está en la dirección entrando al plano de la figura. Este torque hace que el dipolo

comience a girar para alinearse con el campo eléctrico; cuando el dipolo está paralelo al


7/15

campo eléctrico, el torque en ese instante es cero, pero el dipolo ha adquirido momento

angular, continúa girando y se pasa de la alineación; entonces el torque invierte su

dirección.

El dipolo oscila respecto a una posición de equilibrio, paralela a la dirección del campo.

Este modelo no tiene mecanismo alguno para que el dipolo pierda energía, así que este

continuará oscilando indefinidamente. Los dipolos reales, están sujetos a fricción; en

consecuencia sus oscilaciones se amortiguan y estos quedan alineados con el campo.

3.3 Flujo del campo eléctrico

El concepto de flujo se refiera en general al movimiento de partículas o campos a través de

una superficie. En el caso del campo eléctrico E, se tiene un conjunto de líneas de campoque penetran una superficie de área ∆ A, como se muestra en la figura 3.4, se define el flujo

de campo eléctrico como proporcional al número de líneas de campo que atraviesan la

superficie plana de área ∆ A con vector unitario normal a la superficie nˆ

, así:

θ cos A Δ E A Δnˆ

E Φ E

(3.4)

Donde E es el campo eléctrico y θ es el ángulo entre el campo y el vector normal a la

superficie de área ∆ A. Las unidades del flujo del campo eléctrico en el sistema internacional

de medidas son Nm2

/C .

Figura 3.4: Flujo del campo eléctrico.

Cuando la superficie no es plana, es decir el ángulo θ entre el campo E y nˆ

no es el mismo

en toda la superficie, entonces para el elemento de área es:

iiiii E A Δnˆ

E θ cos A Δ E ΔΦ


8/15

8

Para obtener el flujo a través de la superficie completa se deberán sumar todas las

contribuciones. Si el elemento de área se hace tan pequeño que 0 A Δ i , entonces el

número de elementos de área tiende al infinito y la suma de todas las contribuciones se

reemplaza por la integral sobre toda la superficie, así:

A

E dAn

ˆ

E Φ (3.5)

Cuando la superficie es cerrada, como la que se muestra en la figura 3. 4, se habla del

concepto de flujo neto a través de la superficie se representa, de la siguiente forma:

A

E dAnˆ

E Φ (3.6)

3.5: Flujo neto del campo eléctrico

3.4 Ley de Gauss para el campo eléctrico.

El flujo neto a través de cualquier superficie cerrada (superficie gaussiana), que puede ser

imaginaria y de cualquier forma es proporcional a la carga neta encerrada por la superficie.

0

in

A

E ε

qdAn

ˆ

E Φ

(3.7)

Donde qin es la carga neta encerrada por la superficie y es la contante de permitividad

del espacio libre y tiene un valor de 8,854x10 -12C 2 /Nm2 en el sistema internacional de

medidas.

La importancia dela ley de Gauss es que permite calcular el campo eléctrico cuando la

distribución de la carga que genera el campo tiene alta simetría. En este caso se puede

seleccionar una superficie gaussiana apropiada que permita obtener el producto escalar

nˆ

E de tal forma que la integral sea de fácil resolución. Cuando la simetría de la

0


9/15


10/15

10

Figura 3 .6

Solución: El flujo neto del campo eléctrico se obtiene usando la ecuación 3.2

A

E dAnˆ

E Φ

Pero la superficie tiene seis caras, lo que indica que la integral anterior se puede escribir así:

x x z z y A y

dA )iˆ

( E dAiˆ

E dA )k ˆ

( E dAk ˆ

E dA ) jˆ

( E dA jˆ

E dAnˆ

E

Como el campo está dirigido en dirección x, se tiene que:

0 jˆ iˆ E jˆ E , 0 ) jˆ ( iˆ E ) jˆ ( E , 0k ˆ

iˆ

E k ˆ

E , 0 )k ˆ

( iˆ

E )k ˆ

( E

Esto debido a que el campo eléctrico es perpendicular los vectores k ˆ

,k ˆ

, jˆ

, jˆ

.

Pero E iˆ

iˆ

E iˆ

E y E )iˆ

( iˆ

E )iˆ

( E , lo que indica que sólo quedan las integrales

referidas al flujo a través de las caras orientadas hacia el semieje negativo y positivo x , donde

el producto escalar entre el campo y el vector normal de área es distinto de cero, esto es:

x x x x x x A

E dA E dA E EdA EdAdA )iˆ

( E dAiˆ

E dAnˆ

E Φ

0 )wh( E )wh( E A Δ E A Δ E Φ E

Esto indica que el flujo neto a través de una superficie cerrada es cero, siempre que no existan

cargas netas dentro de la superficie.Este resultado se había podido obtener usando la Ley de Gauss, teniendo en cuenta que no hay

cargas netas dentro del paralelepípedo, es decir:

0ε

0ε

qdAn

ˆ

E Φ00

in

A

E

Ejemplo3.4 Calcular el campo eléctrico producido por una carga puntual a una distancia r,

usando La ley de Gauss.

Solución: Si se tiene una carga puntual Q , es decir que la superficie gaussiana apropiada esuna esfera de radio r centrada en la carga como se muestra en la figura 3.7, ya que esta

superficie tiene simetría esférica.


11/15

11

Figura 3.7

Empleando la ley de Gauss:

0

in

A E ε

qdAn

ˆ

E Φ

Pero A

EdAdAnˆ

E , ya que el campo es paralelo al vector normal de área en todos los

puntos de la superficie, además el campo toma el mismo valor en todos esos puntos, es decir:

)r π 4( E dA E EdAdAnˆ E 2 A

Como este flujo neto es igual a la carga neta encerrada por la superficie que es Q.

2e

200

2 r

Qk

r )πε4(

Qε )r π 4(

Q E

Este resultado es el mismo obtenido mediante la ley de Coulomb, con0

eπε4

1k ,

Lo anterior índica que la ley de Coulomb es un caso particular de la Ley de Gauss cuando la

carga es puntual.

Ejemplo3.5 Calcular el campo eléctrico a una distancia perpendicular r de una línea de cargainfinita con densidad lineal de carga λ uniforme.


12/15

12

Figura 3.8

Una superficie gaussiana apropiada es un cascaron cilíndrico de radio r y longitud l , como es

que se muestra en la figura 3.8. Aplicando la ley de Gauss:

0

in

A

E εqdAn

ˆ

E Φ

Nuestra superficie gaussiana tiene tres regiones que son las tapas circulares de radio r, de la

derecha y de la izquierda y la tapa lateral cilíndrica, por lo que el flujo neto del campo

eléctrico es:

lat Tapa Der Tapa IzqTapa A

E dAnˆ

E dAnˆ

E dAnˆ

E dAnˆ

E Φ

Pero el flujo a través de las caras izquierda y derecha no contribuyen con el flujo neto, porquele vector campo eléctrico es perpendicular al vector normal de área.

)rl π 2( E EAdA E EdAdAnˆ

E dAnˆ

E Φ lat Tapalat Tapalat Tapalat Tapa A

E

Aplicando Ley de Gauss y teniendo en cuental Q

λ , que el campo eléctrico es:

r

λ

πε21

l Q

ε )r π 2( 1

ε )rl π 2( Q

E

000

En forma vectorial se puede escribir, el campo eléctrico así:

r ˆ

r

λ

πε21

E 0


13/15

13

Ejemplo3.6 Calcular el campo eléctrico a una distancia perpendicular r de una lámina

delgada no conductora de dimensiones infinitas y con densidad superficial de carga σ

uniforme.

Solución: Para calcular el flujo neto del campo eléctrico acogemos como superficie gaussiana

un cilindro circular de área trasversal A , y largo 2r , como se muestra en la figura 3.9.

Figura 3.9

Aplicando la Ley de Gauss, vemos que solo contribuyen al flujo las tapas frontal y posterior del

cilindro donde el campo eléctrico es paralelo al vector normal de área, ya que en la región

lateral el flujo es nulo debido a que el vector campo eléctrico es perpendicular al vector

normal de área.

0

in

A

E ε

qdAn

ˆ

E Φ

Posterior Fronta ll Fronta l Porterior A

EdA EdAdAnˆ

E dAnˆ

E dAnˆ

E

Como la distancia de la superficie A hasta la lámina es r, el valor del campo eléctrico es igual para las dos caras.

EA2 EA EAdA E dA E dAnˆ

E

Posterior Fronta l A


14/15

14

Por Ley de Gauss, tenemos que0

in

ε

q EA2 , y como

A

Qσ , el campo eléctrico es:

00 ε2

σ

ε A2

Q E

SEMANA 3: EJERCICIOS Y PROBLEMAS

1. Un electrón se deja en reposo en un campo eléctrico uniforme de 820N/C . al cabo de

un momento alcanza una velocidad 2x10 6 m/s . Determine: a) la aceleración del

protón. b) el tiempo que tarda en alcanzar el esta velocidad. c) el espacio que

recorre en ese tiempo.

2. En una réplica del experimento de Millikan de la gota de aceite, una gota con carga

positiva en reposo con una masa de 1,20gr recorre una distancia vertical de

50.00cm en un campo eléctrico uniforme vertical con una magnitud de 1,00x10 4 N/C .

La gota llega alcanza una rapidez de 2,60m/s . Determine: a) El valor y dirección del

campo eléctrico y b) la carga de la gota.

3. Un campo eléctrico de una magnitud de 3,50 kN/C se aplica a lo largo del eje x.

Calcular el flujo del campo eléctrico a través de un plano rectangular que tiene

35cm de ancho y 7cm de largo, si: (a) el plano es paralelo al plano yz; (b) el plano es

paralelo al plano xy.

4. Se tiene una colección de 8 partículas con cargas +2q, +3q, +4q, +5q, -2q, -3q, -4q, -

5q. Se puede encerrar una o varias de las cargas en una superficie gaussiana, así

que el flujo eléctrico neto a través de la superficie es 0, +q/ , +2q/ , …, +14q/

.¿Son posibles todos los valores para el flujo? ¿Por qué?

5. Un cascarón esférico de radio R, se coloca en un campo eléctrico uniforme E.

Determinar el flujo neto del campo eléctrico a través de la superficie del casarón.

o o

o


15/15

6. Un protón se acelera desde el reposo en un campo eléctrico uniforme campo de 600

N/C. Un tiempo después alcanza una velocidad de 1,20x10 4 m/s (no relativista,

puesto que v es mucho menor que la velocidad de la luz). (a) Hallar la aceleración

del protón. (b) ¿Cuánto tiempo tarda el protón para llegar a esta velocidad? (c) ¿Cuál

es su energía cinética en este momento?

Cartilla Semana 3 Ley de Gauss

Documents

Transcript of Cartilla Semana 3 Ley de Gauss