Circuitos_Eletricos
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
ENGENHARIA ELÉTRICA
Prof. Alexandre Maniçoba de Oliveira Bacharel em Engenharia Elétrica Mod. Computação
Mestre em Ciências – Engenharia Elétrica – Microeletrônica
Doutorando em Microeletrônica na grande área da Engenharia Elétrica
Apresentações E
Correntes E Tensões Alternadas
Senoidais
Prof. M.Sc. De Oliveira, A. M.
ICET – Instituto de Ciências Exatas e Tecnologia
Disponível em: https://goo.gl/q870Oe
De acordo a Lei 4.950-A/66, de 1966:
Jornada de 6 horas: 6 salários mínimos
Jornada de 7 horas: 7,25 salários mínimos
Jornada de 8 horas: 8,5 salários mínimos
Sendo o salário mínimo de R$ 788,00, um engenheiro elétrico deve ganhar no mínimo:
Jornada de 6 horas: R$ 4.728,00
Jornada de 7 horas: R$ 5.713,00
Jornada de 8 horas: R$ 6.698,00
Prof. M.Sc. De Oliveira, A. M.
Número de
faculdades 272 3.308
Vagas
disponíveis por
ano
28.916 569.256
Duração do
curso 5 anos 4 anos
Formandos por
ano 5.594 141.498
Eng. Elétrica Administração
Prof. M.Sc. De Oliveira, A. M.
8
Alexandre Maniçoba de Oliveira
University of São Paulo
2012, M.Sc., 1977 -
Ph.D. student.
João Francisco Justo Filho
Advisor
Massachusetts Institute of Technology
1997, Ph.D., 1966-
Sidney Yip
University of Michigan
1962, Ph.D., 1936-
Richard Kent Osborn
Case Institute of Technology
1951, Ph.D.,1923-1986
Leslie Lawrance Foldy
U. California at Berkeley
1948, Ph.D.,1919-2001
Julius Robert Oppenheimer
U. Göttingen
1927, Ph.D., 1904-1967
"Father of the atomic bomb“
Max Born
U. Göttingen
1906, Ph.D., 1882-1970
Nobel Prize in Physics (1954)
15 alunos de Engenharia
19 alunos de Sistemas de Informação
7 alunos de Tecnologia em Redes
4 alunos de Ciências da Computação
Prof. Alexandre Maniçoba de Oliveira (13) 98822-2124
Skype: amanicoba
Professional Profile
Prof. Alexandre Maniçoba de Oliveira (13) 98822-2124
Skype: amanicoba
Member of
Institute of Electrical and
Electronics Engineers
Prof. Alexandre Maniçoba de Oliveira (13) 98822-2124
Skype: amanicoba
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13
Correntes E Tensões Alternadas Senoidais INTRODUÇÃO
REVISÃO HISTÓRICA
Os estudos de
eletromagnetismo tiveram
sua origem na observação,
já do conhecimento de
Tales de Mileto por volta
de 600 a.C. (HALLIDAY
& RESNICK, 1980)
14
Correntes E Tensões Alternadas Senoidais INTRODUÇÃO
REVISÃO HISTÓRICA Em 1820, Hans Christian
Oersted observou uma relação
entre campo elétrico e magnético
ao observar a deflexão da agulha
de uma bussola próxima a um
condutor energizado.
Fonte:
http://www.magnet.fsu.edu/education/tutori
als/pioneers/oersted.html
15
Correntes E Tensões Alternadas Senoidais INTRODUÇÃO
REVISÃO HISTÓRICA
O atual estudo sobre
Eletromagnetismo é fruto de
vários pesquisadores, dentre os
quais um dos mais importantes
foi Michael Faraday (1791-
1867). Fonte: The Telegraph, 2011
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Correntes E Tensões Alternadas Senoidais INTRODUÇÃO
REVISÃO HISTÓRICA
James Clerk Maxwell
formulou as leis do
Eletromagnetismo da maneira
com são conhecidas hoje. Elas
desempenham no
Eletromagnetismo o similar
papel das leis do movimento e
da gravidade de Newton na
mecânica. Fonte:
http://fisicomaluco.com/experimentos/jame
s-clerk-maxwell/
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Correntes E Tensões Alternadas Senoidais INTRODUÇÃO
REVISÃO HISTÓRICA
Na engenharia e em suas
aplicações, utilizam-se
constantemente as equações de
Maxwell para solucionar uma
grande variedade de problemas.
Fonte:
http://fisicomaluco.com/experimentos/jame
s-clerk-maxwell/
Fonte: http://satie.if.usp.br/cursos/aulas_fis3/notas_de_aula/node101.html
18
Correntes E Tensões Alternadas Senoidais INTRODUÇÃO
REVISÃO HISTÓRICA
Fonte:
http://www.sciencephoto.com/images/dow
nload_lo_res.html?id=724080456
Fonte:
http://www.vocamedia.com/Pages/SelectFr
eeBooksPage.aspx
Oliver Heaviside
Contribuíram
para o
esclareciment
o do estudo de
Maxwell.
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Correntes E Tensões Alternadas Senoidais INTRODUÇÃO
REVISÃO HISTÓRICA
Heinrich Hertz (1857-1894)
contribuiu significativamente para
a ciência do Eletromagnetismo
quando, vinte anos depois de
Maxwell estabelecer sua teoria,
produziu em laboratório sua
primeira onda eletromagnética.
Fonte:
http://www.magnet.fsu.edu/education/tutori
als/pioneers/hertz.html
A tensão variante no tempo fornecida pelas empresas
geradoras de energia elétrica, é denominada tensão CA
(corrente alternada).
20
Correntes E Tensões Alternadas Senoidais INTRODUÇÃO
Figura 1 – Formas de ondas alternadas.
A principal razão para se concentrar a atenção na tensão
alternada senoidal é que esse tipo de tensão é o gerado
nas usinas de energia elétrica em todo o mundo.
As tensões alternadas senoidais podem ser geradas por
diversas fontes. A mais comum é que se obtém nas
tomadas residenciais e cuja origem é uma usina
geradora, em geral alimentada por quedas d´água, óleo,
gás ou fissão nuclear.
Em cada caso um gerador CA é o componente mais
importante no processo de conversão de energia. A
energia mecânica é utilizada para girar um rotor
(construído com pólos magnéticos alternados) envolvido
pelos enrolamentos do estator (a parte estacionária do
gerador), induzindo assim uma tensão no estator, como
definida pela lei de Faraday:
21
Correntes E Tensões Alternadas Senoidais TENSÃO ALTERNADA SENOIDAL: CARACTERÍSTICAS
E DEFINIÇÕES
dt
dNe
22
Correntes E Tensões Alternadas Senoidais TENSÃO ALTERNADA SENOIDAL: CARACTERÍSTICAS
E DEFINIÇÕES
dt
dNe
23
Correntes E Tensões Alternadas Senoidais TENSÃO ALTERNADA SENOIDAL: CARACTERÍSTICAS
E DEFINIÇÕES
O Magneto de Hippolyte Pixii (1836)
24
Correntes E Tensões Alternadas Senoidais TENSÃO ALTERNADA SENOIDAL: CARACTERÍSTICAS
E DEFINIÇÕES
24
O Dínamo de Antônio Pacinotti(1860)
(Dínamo de Pacinotti, Revista Nuovo Cimento, No. 19, 1865).
25
Correntes E Tensões Alternadas Senoidais TENSÃO ALTERNADA SENOIDAL: CARACTERÍSTICAS
E DEFINIÇÕES
25 25
O Dínamo de Zénobe Gramme (1871)
(Dínamo de Pacinotti, Revista Nuovo Cimento, No. 19, 1865).
26
Correntes E Tensões Alternadas Senoidais TENSÃO ALTERNADA SENOIDAL: CARACTERÍSTICAS
E DEFINIÇÕES
26 26
27
Correntes E Tensões Alternadas Senoidais TENSÃO ALTERNADA SENOIDAL: CARACTERÍSTICAS
E DEFINIÇÕES
27 27
Exemplos de uso - Hidrelétricas
28
Correntes E Tensões Alternadas Senoidais TENSÃO ALTERNADA SENOIDAL: CARACTERÍSTICAS
E DEFINIÇÕES
28 28
Exemplos de uso - Termoelétricas
29
Correntes E Tensões Alternadas Senoidais TENSÃO ALTERNADA SENOIDAL: CARACTERÍSTICAS
E DEFINIÇÕES
29 29
Exemplos de uso – Ger. Eólico
30
Correntes E Tensões Alternadas Senoidais TENSÃO ALTERNADA SENOIDAL: CARACTERÍSTICAS
E DEFINIÇÕES
30 30
Exemplos de uso – Usina Nuclear
A forma de onda com seus parâmetros é vista na Figura
2 e a partir dela serão definidos alguns termos básicos.
31
Correntes E Tensões Alternadas Senoidais TENSÃO ALTERNADA SENOIDAL: CARACTERÍSTICAS
E DEFINIÇÕES
DEFINIÇÕES
Figura 2 – parâmetros importantes de uma tensão senoidal.
O eixo vertical dos gráficos é usado para representar tensões e
correntes, enquanto o eixo horizontal sempre representa o tempo.
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Correntes E Tensões Alternadas Senoidais TENSÃO ALTERNADA SENOIDAL: CARACTERÍSTICAS
E DEFINIÇÕES
DEFINIÇÕES
Figura 2 – parâmetros importantes de uma tensão senoidal.
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Correntes E Tensões Alternadas Senoidais TENSÃO ALTERNADA SENOIDAL: CARACTERÍSTICAS
E DEFINIÇÕES
DEFINIÇÕES
Figura 2 – parâmetros importantes de uma tensão senoidal.
Forma de onda – gráfico de uma grandeza, como a tensão na
Figura 2, em função de uma variável como o tempo, posição
graus, radianos, entre outras.
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Correntes E Tensões Alternadas Senoidais TENSÃO ALTERNADA SENOIDAL: CARACTERÍSTICAS
E DEFINIÇÕES
DEFINIÇÕES
Figura 2 – parâmetros importantes de uma tensão senoidal.
Valor instantâneo – amplitude de uma forma de onda em um
instante de tempo qualquer. É representado por letras minúsculas
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Correntes E Tensões Alternadas Senoidais TENSÃO ALTERNADA SENOIDAL: CARACTERÍSTICAS
E DEFINIÇÕES
DEFINIÇÕES
Figura 2 – parâmetros importantes de uma tensão senoidal. Amplitude de pico – valor máximo de uma forma de onda em relação ao valor
médio. É representado por letras maiúsculas como Em para fontes de tensão e
Vm para quedas de tensão por meio de uma carga. Na Figura 2 o valor médio é
zero volt e Em é a amplitude indicada na figura.
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Correntes E Tensões Alternadas Senoidais TENSÃO ALTERNADA SENOIDAL: CARACTERÍSTICAS
E DEFINIÇÕES
DEFINIÇÕES
Figura 2 – parâmetros importantes de uma tensão senoidal.
Valor de pico – valor máximo de uma função medido a partir do nível zero. No
caso da Figura 2, a amplitude de pico e o valor de pico são iguais, pois o valor
médio da função é zero volt.
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Correntes E Tensões Alternadas Senoidais TENSÃO ALTERNADA SENOIDAL: CARACTERÍSTICAS
E DEFINIÇÕES
DEFINIÇÕES
Figura 2 – parâmetros importantes de uma tensão senoidal.
Valor pico a pico – diferença entre os valores dos picos positivo e negativo,
isto é, a soma dos módulos das amplitudes positiva e negativa. É denotado por
Epp ou Vpp.
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Correntes E Tensões Alternadas Senoidais TENSÃO ALTERNADA SENOIDAL: CARACTERÍSTICAS
E DEFINIÇÕES
DEFINIÇÕES
Figura 2 – parâmetros importantes de uma tensão senoidal.
Forma de onda periódica – forma de onda que se repete continuamente após
certo intervalo de tempo constante. A forma de onda vista na Figura 2 é
periódica.
39
Correntes E Tensões Alternadas Senoidais TENSÃO ALTERNADA SENOIDAL: CARACTERÍSTICAS
E DEFINIÇÕES
DEFINIÇÕES
Figura 2 – parâmetros importantes de uma tensão senoidal.
Período (T) – intervalo de tempo entre repetições sucessivas de uma forma de
onda periódica (T1 = T2 = T3 na Figura 2), enquanto pontos similares
sucessivos podem ser usados para determinar o período T.
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Correntes E Tensões Alternadas Senoidais TENSÃO ALTERNADA SENOIDAL: CARACTERÍSTICAS
E DEFINIÇÕES EXERCÍCIO:
1) Identifique cada característica da forma de onda.
a
b
c d
v
t t1
b=T a=VP c=VPP d=v(1)
Respostas:
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Correntes E Tensões Alternadas Senoidais TENSÃO ALTERNADA SENOIDAL: CARACTERÍSTICAS
E DEFINIÇÕES
DEFINIÇÕES
Figura 3 – parâmetros importantes de uma tensão senoidal.
Ciclo – parte de uma forma de onda contida em um intervalo de tempo igual a
um período. Os ciclos definidos por T1, T2 e T3 na Figura 2 parecem diferentes
na Figura 3, mas como estão todos contidos em um período, satisfazem à
definição de ciclo.
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Correntes E Tensões Alternadas Senoidais TENSÃO ALTERNADA SENOIDAL: CARACTERÍSTICAS
E DEFINIÇÕES DEFINIÇÕES
Figura 4 – Efeito da mudança de freqüência sobre o período
de uma forma de onda senoidal.
Freqüência (f) – o número de ciclos que ocorrem em 1 segundo. A freqüência
da forma de onda vista na Figura 4(a) é 1 ciclo por segundo, e da Figura 4(b),
2,5 ciclos por segundo. No caso de uma forma de onda cujo período é 0,5
segundos (Figura 4(c)), a freqüência é 2 ciclos por segundo.
A unidade de freqüência é o hertz (Hz), onde:
1 hertz (Hz) = 1 ciclo por segundo (c/s)
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Correntes E Tensões Alternadas Senoidais TENSÃO ALTERNADA SENOIDAL: CARACTERÍSTICAS
E DEFINIÇÕES DEFINIÇÕES
Figura 5 – (a) Fonte de tensão alternada senoidal; (b) fonte
de corrente alternada senoidal.
Polaridade e sentido – em cada caso da Figura 5, a polaridade e o sentido da
corrente serão correspondentes ao semiciclo positivo da forma de onda. Na
figura estão indicados os símbolos da fonte de tensão e corrente senoidais. As
duas grandezas são indicadas com letras minúsculas para indicar que variam
com o tempo.
CORRENTES E
TENSÕES ALTERNADAS
SENOIDAIS
Parte II
44
CIRCUITOS ELÉTRICOS
Disponível em: https://goo.gl/q870Oe
45
Correntes E Tensões Alternadas Senoidais A SENÓIDE
DEFINIÇÕES - Senóide
Figura 6 – Gráfico das funções
seno e co-seno com o eixo
horizontal em graus.
A senóide é a única forma de onda cuja
forma não se altera ao ser aplicada
a um circuito contendo resistores,
indutores e capacitores.
A unidade escolhida para o eixo
horizontal na Figura 6 é o grau,
representado pela letra grega α (alfa).
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Correntes E Tensões Alternadas Senoidais A SENÓIDE
DEFINIÇÕES – Radiano (rad)
Figura 7 – Definição de
radiano.
Uma outra unidade de medida que pode
ser usada é o radiano (rad), que é
definida por um arco como o da Figura
7, cujo comprimento é igual ao raio da
circunferência.
Figura 8 – 360º equivalem a
2π radianos.
2xrxr2C
Definindo x como sendo o número de
intervalos de comprimento r (o raio) que
podem ser acomodados em toda a
circunferência, tem-se:
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Correntes E Tensões Alternadas Senoidais A SENÓIDE
DEFINIÇÕES – Pi
O número π é a razão entre o
comprimento da circunferência de um
círculo e o seu diâmetro. A onda
senoidal é obtida a partir das projeções
de um vetor girando em torno de um
ponto fixo e ao completar 360º,é traçado
um ciclo completo da senóide. A
velocidade com que o vetor gira em
torno do centro, denominada velocidade
angular, pode ser determinada a partir
da seguinte equação:
Figura 8 – 360º equivalem a
2π radianos.
tsegundosem)t(tempo
radianosougrausem)(percorridoângulo)(angularvelocidade
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Correntes E Tensões Alternadas Senoidais A SENÓIDE
DEFINIÇÕES – Velocidade angular
Como ω é normalmente expresso em
radianos por segundo, o ângulo α é
obtido em radianos.
Figura 9 – Influência do valor
de ω sobre a
freqüência e o período.
O tempo necessário para o vetor radial
completar uma revolução é igual ao
período (T) da senóide.
O número de radianos que corresponde
a este intervalo de tempo é 2π.
Substituindo na equação anterior, tem-
se:
f2então,f
1Tmas
T
2
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Correntes E Tensões Alternadas Senoidais A SENÓIDE
DEFINIÇÕES– Velocidade angular
As equações estão ilustradas na Figura
9, na qual, para o mesmo vetor, tem-se
ω = 100 rad/s e ω = 500 rad/s.
Figura 9 – Influência do valor
de ω sobre a
freqüência e o período.
f2então,f
1Tmas
T
2
A equação abaixo indica que quanto
maior a freqüência da forma de onda
senoidal maior a velocidade angular de
vetor.
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Correntes E Tensões Alternadas Senoidais A SENÓIDE
EXEMPLO NUMÉRICO
Determine a velocidade angular relativa
a uma forma de onda senoidal cuja
freqüência é de 60 Hz.
Solução:
Determine o período e a freqüência da
senóide vista na Figura 9(b).
Solução:
Figura 9 – Influência do valor
de ω sobre a
freqüência e o período.
s/rad377)Hz60(2f2
Hz56,79f1057,12
1
T
1fems57,12T
500
22T
3
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Correntes E Tensões Alternadas Senoidais A SENÓIDE
EXERCÍCIOS:
Determine a velocidade angular relativa a uma forma de onda
senoidal cuja frequência é de 50 Hz.
Determine o período e a freqüência da senóide cuja velocidade
angular é de 750 rad/s.
sradHzf /314)50(22
HzfT
femsTT 36,1191038,8
1138,8
750
223
f2então,f
1Tmas
T
2
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Correntes E Tensões Alternadas Senoidais A SENÓIDE
EXPRESSÃO GERAL PARA TENSÕES OU
CORRENTES SENOIDAIS
A expressão matemática geral para uma forma de onda senoidal é:
senAmonde Am é o valor de pico da onda e α é um ângulo na uma
unidade do eixo horizontal.
A equação α = ωt diz que o ângulo α do vetor girante é determinado pela
velocidade angular deste vetor.
tsenAm com ωt tendo a unidade de medida do eixo horizontal.
A expressão geral para uma senóide também pode ser escrita como:
Por exemplo, para uma determinada velocidade angular (ω fixo), quanto
mais tempo o vetor radial gasta para atingir um ponto maior será o valor do
ângulo em graus ou radiano descrito pelo vetor.
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Correntes E Tensões Alternadas Senoidais A SENÓIDE
EXPRESSÃO GERAL PARA TENSÕES OU
CORRENTES SENOIDAIS
No caso das grandezas elétricas como a tensão e a corrente, as
expressões gerais são:
tsenVvetsenIi mm
As letras minúsculas indicam valores instantâneos e o índice m indica o
valor máximo.
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Correntes E Tensões Alternadas Senoidais A SENÓIDE
RELAÇÕES DE FASE
Se o início da forma de onda senoidal for deslocado para a direita ou para a
esquerda de θº, em relação ao eixo vertical, a expressão passará a ser:
)t(senAm
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Correntes E Tensões Alternadas Senoidais A SENÓIDE
RELAÇÕES DE FASE
Se a curvatura intercepta o
eixo horizontal à esquerda da
origem com inclinação positiva
(função crescente), como se vê na
Figura 10, a expressão é:
)t(senAm Figura 10
Em ωt = 0, o valor da função é calculado por Amsenθ.
Figura 11
Se o gráfico corta o eixo horizontal
com inclinação positiva, à direita
da origem, como na Figura 11 a
expressão é:
)t(senAm
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Correntes E Tensões Alternadas Senoidais A SENÓIDE
RELAÇÕES DE FASE
)t(senAm
Figura 10
Figura 11
)t(senAm Os termos adiantados e
atrasados são usados para
indicar diferenças de fase entre
duas formas de onda senoidais
de mesma frequência plotadas
no mesmo gráfico.
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Correntes E Tensões Alternadas Senoidais A SENÓIDE
VALOR MÉDIO
Figura 12 – Definição de valor médio
Na Figura 12(a) pode ser necessária
conhecer a altura média do monte de
areia para determinar o volume de ateia
disponível.
A altura média do monte de areia é a
altura que será obtida se for mantida
constante a distância entre as
extremidades do monte e espalhada a
areia até que a altura fique uniforme
como na Figura 12(b).
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Correntes E Tensões Alternadas Senoidais A SENÓIDE
VALOR MÉDIO
Figura 13 – Definição de valor médio
O resultado deste aumento na distância
é visto na Figura 13(b).
Na Figura 13(a) a distância se estende
além da extremidade do monte original
visto na Figura 12.
Comparando-se ambas as situações, a
altura média diminui. Portanto, quanto
maior a distância, menor o valor médio.
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Correntes E Tensões Alternadas Senoidais A SENÓIDE
VALOR MÉDIO
Figura 14 – Influência de
depressões (valores negativos)
sobre o valor médio.
Se existe uma depressão como indica a
Figura 14(a), uma parte da areia é
usada para preencher a depressão,
resultando num valor médio ainda
menor, como na Figura 14(b).
No caso de uma forma de onda
senoidal, a depressão tem a mesma
forma que o monte de areia (em um
ciclo completo), o que implica uma
altura média nula (ou zero volt para uma
tensão senoidal quando se calcula a
média para um período). Chamando de
G o valor médio, pode-se escrever:
curvadaocompriment
áreadaébricaasomaG
lg
60
Correntes E Tensões Alternadas Senoidais A SENÓIDE
VALOR MÉDIO
Figura 14 – Influência de
depressões (valores negativos)
sobre o valor médio.
A soma algébrica das áreas tem de ser
determinada, pois algumas podem estar
abaixo do eixo horizontal. As áreas
acima do eixo são tomadas com sinal
positivo, e as áreas abaixo do eixo, com
sinal negativo. Um valor médio positivo
estará acima do eixo, e um valor
negativo, abaixo.
O valor médio de qualquer corrente
ou tensão é o indicado por um
medidor de corrente contínua. Em
outras palavras, ao longo de um ciclo
completo, o valor médio de uma forma
de onda periódica é o valor CC
equivalente.
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Correntes E Tensões Alternadas Senoidais A SENÓIDE
EXEMPLO NUMÉRICO
0Gms2
)ms1()V10()ms1()V10(G
V4G2
V6V14
ms2
)ms1()V6()ms1()V14(G
a) Por inspeção, a área acima do eixo é igual a área abaixo do mesmo ao
longo de um ciclo, resultando em um valor médio nulo.
b) Usando a equação para G, fica:
Solução:
Usando a equação para G, tem-se:
1- Determine o valor médio (2ms) da formas de onda vistas na figura abaixo:
a) b)
62
Correntes E Tensões Alternadas Senoidais A SENÓIDE
EXERCÍCIOS:
04
)2()10()2()10(
G
ms
msVmsVG
VGVV
ms
msVmsVG 4
2
1228
4
)2()6()2()14(
a) Por inspeção, a área acima do eixo é igual a área abaixo do mesmo ao
longo de um ciclo, resultando em um valor médio nulo.
b) Usando a equação para G, fica:
Solução:
Usando a equação para G, tem-se:
1- Determine o valor médio (4ms) da formas de onda vistas na figura abaixo:
a) b)
63
Correntes E Tensões Alternadas Senoidais A SENÓIDE
VALOR MÉDIO
Para calcular a área do pulso positivo usando integração
é usada a seguinte expressão:
0 m dsenAÁrea
0 e π são os limites de integração, Amsenα é a função a ser integrada e dα
indica que estamos integrando em relação a α.
A solução da integral acima resulta que a área é calculada por 2∙Am.
O valor médio pode então ser calculado por:
mm A637,0G
A2G
G
64
Correntes E Tensões Alternadas Senoidais A SENÓIDE
EXEMPLO NUMÉRICO
Determine o valor médio da forma de onda vista na figura abaixo:
Solução:
O valor pico a pico desta tensão é 18 mV.
A amplitude de pico da senóide é 18 mV/2 = 9 mV.
Subtraindo 9 mV de 2 mV (ou somando 9 mV a –16 mV),
obtém-se um valor médio (ou nível CC) de –7 mV, indicado pela
linha tracejada da figura.
Vp=Vpp/2 = 18 mV/2 = 9 mV
-7 mV
Vpp=2mV - (-16 mV)=18mV
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Correntes E Tensões Alternadas Senoidais A SENÓIDE
EXERCÍCIO
Determine o valor médio da forma de onda vista na figura abaixo:
Solução:
O valor pico a pico desta tensão é 26 mV.
A amplitude de pico da senóide é 26 mV/2 = 13 mV.
Subtraindo 13 mV de 2 mV (ou somando 13 mV a –24 mV),
obtém-se um valor médio (ou nível CC) de –11 mV, indicado pela
linha tracejada da figura.
Vp=Vpp/2 = 26mV/2 = 13 mV
-11 mV
Vpp=2mV - (-24 mV)=26mV
-24 mv
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Correntes E Tensões Alternadas Senoidais A SENÓIDE
VALOR EFICAZ
Uma questão surge frequentemente:
“como é possível que uma corrente forneça potência ao circuito, ao longo
de um ciclo, se seu valor médio for zero?”
R: independente do sentido e do valor da corrente através de um resistor,
este resistor dissipará potência.
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Correntes E Tensões Alternadas Senoidais A SENÓIDE – VALOR EFICAZ
Figura 15 – Arranjo experimental para estabelecer uma
relação entre grandezas CC e CA.
A partir do arranjo
experimental da Figura 15,
se pode obter uma relação
entre correntes e tensões
contínuas e alternadas. Um
resistor em um recipiente
com água é ligado por
chaves a duas fontes, uma
de corrente contínua e outra
de corrente alternada.
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Correntes E Tensões Alternadas Senoidais A SENÓIDE – VALOR EFICAZ
Figura 15 – Arranjo experimental para estabelecer uma
relação entre grandezas CC e CA.
A partir do arranjo
experimental da Figura 15,
se pode obter uma relação
entre correntes e tensões
contínuas e alternadas. Um
resistor em um recipiente
com água é ligado por
chaves a duas fontes, uma
de corrente contínua e outra
de corrente alternada. Se a chave 1 for fechada, uma corrente contínua Icc, que depende da
resistência R e da tensão E da bateria, atravessará o resistor R. A temperatura
atingida pela água novamente é função da potência dissipada (convertida em
calor) pelo resistor.
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Correntes E Tensões Alternadas Senoidais A SENÓIDE – VALOR EFICAZ
Figura 15 – Arranjo experimental para estabelecer uma
relação entre grandezas CC e CA.
A partir do arranjo
experimental da Figura 15,
se pode obter uma relação
entre correntes e tensões
contínuas e alternadas. Um
resistor em um recipiente
com água é ligado por
chaves a duas fontes, uma
de corrente contínua e outra
de corrente alternada. Se a chave 1 for fechada, uma corrente contínua Icc, que depende da
resistência R e da tensão E da bateria, atravessará o resistor R. A temperatura
atingida pela água novamente é função da potência dissipada (convertida em
calor) pelo resistor.
Se a chave 2 for fechada e a chave 1 for deixada aberta, a corrente no
resistor será uma corrente alternada cuja amplitude de pico será chamada de
Im. A temperatura atingida pela água novamente é função da potência
dissipada pelo resistor.
70
Correntes E Tensões Alternadas Senoidais A SENÓIDE – VALOR EFICAZ
Figura 15 – Arranjo experimental para estabelecer uma
relação entre grandezas CC e CA.
A fonte alternada é ajustada
para que a temperatura da
água seja a mesma que foi
alcançada quando a fonte
contínua foi ligada, a
potência elétrica média
dissipada pelo resistor R em
função da fonte alternada é a
mesma potência dissipada
em função da fonte contínua.
71
Correntes E Tensões Alternadas Senoidais A SENÓIDE – VALOR EFICAZ
Figura 15 – Arranjo experimental para estabelecer uma
relação entre grandezas CC e CA.
A fonte alternada é ajustada
para que a temperatura da
água seja a mesma que foi
alcançada quando a fonte
contínua foi ligada, a
potência elétrica média
dissipada pelo resistor R em
função da fonte alternada é a
mesma potência dissipada
em função da fonte contínua.
A potência instantânea fornecida pela fonte de corrente alternada é dada por:
mas
R)tsenI(PR)tsenI(R)i(P 22mca
2m
2caca
)t2cos1(2
1tsen2
72
Correntes E Tensões Alternadas Senoidais A SENÓIDE – VALOR EFICAZ
Figura 15 – Arranjo experimental para estabelecer uma
relação entre grandezas CC e CA.
A fonte alternada é ajustada
para que a temperatura da
água seja a mesma que foi
alcançada quando a fonte
contínua foi ligada, a
potência elétrica média
dissipada pelo resistor R em
função da fonte alternada é a
mesma potência dissipada
em função da fonte contínua.
A potência instantânea fornecida pela fonte de corrente alternada é dada por:
Portanto,
t2cos2
RI
2
RIPR)t2cos1(
2
1IP
2m
2m
ca2mca
A potência média fornecida pela fonte alternada corresponde apenas ao primeiro termo,
já que o valor médio de um co-seno é zero, mesmo que a freqüência da onda seja o
dobro da freqüência da forma de onda da corrente de entrada.
73
Correntes E Tensões Alternadas Senoidais A SENÓIDE – VALOR EFICAZ
Figura 15 – Arranjo experimental para estabelecer uma
relação entre grandezas CC e CA.
Igualando a potência média fornecida pela fonte de corrente alternada à
potência fornecida pela fonte de corrente contínua, tem-se:
mccccm2cc
2m
2cc
2m
cc)ca(médio
I707,0II2II2IRI2
RI
PP
74
Correntes E Tensões Alternadas Senoidais A SENÓIDE – EXEMPLO NUMÉRICO
1 - A fonte contínua de 120 V mostrada na figura abaixo fornece 3,6 W à carga.
Determine os valores de pico da tensão aplicada (Em) e da corrente (Im) para
que a fonte alternada forneça a mesma potência a uma carga idêntica.
Solução:
cc cc cc cc
m cc m
m cc m
3,6P V I I 30mA
120
I 2 I 2 30 I 42, 42mA
E 2 E 2 120 E 169,68V
75
Correntes E Tensões Alternadas Senoidais A SENÓIDE – EXERCÍCIO
1 - A fonte contínua de 200 V mostrada na figura abaixo fornece 3,6 W à carga.
Determine os valores de pico da tensão aplicada (Em) e da corrente (Im) para
que a fonte alternada forneça a mesma potência a uma carga idêntica.
Solução:
200V
VEEE
mAIII
mAIIVP
mccm
mccm
cccccccc
84,28220022
46,25101822
18200
6,3
3
76
Correntes E Tensões Alternadas Senoidais A SENÓIDE – EXEMPLO NUMÉRICO
2 - Calcule o valor eficaz da forma de onda vista na figura abaixo.
Solução:
É necessário achar v2.
VV
V
rms
rms
236,2
8
436
8
)4)1(()43( 22
77
Correntes E Tensões Alternadas Senoidais A SENÓIDE – EXERCÍCIO
2 - Calcule o valor eficaz da forma de onda vista na figura abaixo.
Solução:
É necessário achar v2.
VV
V
rms
rms
6,3
8
4100
8
)4)1(()45( 22
5
78
Correntes E Tensões Alternadas Senoidais A SENÓIDE – EXEMPLO NUMÉRICO
3 - Determine os valores médio e eficaz da onda quadrada mostrada na figura
abaixo.
Solução:
Por inspeção o valor médio é zero.
É necessário achar v2.
VVV
V
rmsrms
rms
401020
10160001016000
1020
))1010(40()1010(40(
3
33
3
3232
79
Correntes E Tensões Alternadas Senoidais A SENÓIDE – EXERCÍCIO
3 - Determine os valores médio e eficaz da onda quadrada mostrada na figura
abaixo.
Solução:
Por inspeção o valor médio é zero.
É necessário achar v2.
VVV
V
rmsrms
rms
501020
10250001025000
1020
))1010(50()1010(50(
3
33
3
3232
50
50
Elementos Resistivos
Será estudada a resposta dos dispositivos
básicos, resistor (R), indutor (L) e o
capacitor(C) à aplicação de tensões
senoidais, verificando como a freqüência
influencia nas características de ‘oposição’
de cada dispositivo.
81
DISPOSITIVOS BÁSICOS Introdução
82
DISPOSITIVOS BÁSICOS A DERIVADA
𝑓 ′ 𝑥 = lim∆𝑥→0
𝑓 𝑎 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑎
∆𝑥
f(x)
a a+Δx
f(a+Δx)
f(a) f '(x)
Defini-se a derivada dx/dt
como sendo a taxa de
variação de x em relação ao
tempo. Se não houver
variação de x em um instante
particular, dx = 0 e a derivada
será nula. No caso de uma
forma de onda senoidal, dx/dt
será zero apenas nos picos
positivo e negativo pois x não
varia nesses instantes.
83
DISPOSITIVOS BÁSICOS A DERIVADA
Figura 1 – Valores máximos e mínimos da derivada de uma
função f(x).
Defini-se a derivada dx/dt
como sendo a taxa de
variação de x em relação ao
tempo. Se não houver
variação de x em um instante
particular, dx = 0 e a derivada
será nula. No caso de uma
forma de onda senoidal, dx/dt
será zero apenas nos picos
positivo e negativo pois x não
varia nesses instantes.
84
DISPOSITIVOS BÁSICOS A DERIVADA
Figura 1 – Valores máximos e mínimos da derivada de uma
função f(x).
Defini-se a derivada dx/dt
como sendo a taxa de
variação de x em relação ao
tempo. Se não houver
variação de x em um instante
particular, dx = 0 e a derivada
será nula. No caso de uma
forma de onda senoidal, dx/dt
será zero apenas nos picos
positivo e negativo pois x não
varia nesses instantes.
85
DISPOSITIVOS BÁSICOS A DERIVADA
Figura 1 – Valores máximos e mínimos da derivada de uma
função f(x).
O valor da derivada dx/dt em
um ponto é a inclinação da
curva neste ponto, ou seja, o
valor da tangente. Se for
traçada uma reta nos pontos
mencionados se verificará
que o valor da tangente será
zero.
86
DISPOSITIVOS BÁSICOS A DERIVADA
Figura 1 – Valores máximos e mínimos da derivada de uma
função f(x).
88
DISPOSITIVOS BÁSICOS A DERIVADA -Exemplo de aplicação
Proponha um algoritmo que automatize o
processo:
Cmd
Temp
Regras ou proposições
1. IF Cmd-Temp=N THEN Output=C
2. IF Cmd-Temp=Z THEN Output=NC
3. IF Cmd-Temp=P THEN Output=H
f(x)
d f(x)
dt
90
DISPOSITIVOS BÁSICOS
dt
)t(dVC)t(i i
R)t(i)t(VR
dt
)t(dVRC)t(V i
o
Dado que Vd=0
A Tensão VR é:
Como Vo(t) é:
-
+
Vo
Vi
C R i i
Vd
Vc VR
)t(V)t(V Ro
então:
A DERIVADA -Exemplo de aplicação
Circuito derivador (I)
91
DISPOSITIVOS BÁSICOS A DERIVADA -Exemplo de aplicação
Circuito derivador (I)
-
+
Vo
Vi
C R i i
Vd
Vc VR
Formas de onda
t [seg]
V [Vol]
Vi (sen(t))
Vo (cos(t))
t [seg]
V [Vol]
Vi(t)
Vo(t)
dt
)t(dVRC)t(V i
o
92
DISPOSITIVOS BÁSICOS A DERIVADA -Exemplo de aplicação
-
+
Vo
Vi
C R i i
Vd
Vc VR
dt
)t(dVRC)t(V i
o
-
+ Vo
V1 V2
Vd
Vi
R2 R1 Circuito derivador (I)
Circuito Inversor
20 RiV
1
2i2
1
i0
R
RVR
R
VV
1
2
i
o
R
R
V
V Se R1=R2 Vo=-Vi
93
DISPOSITIVOS BÁSICOS A DERIVADA -Exemplo de aplicação
A variação de x será
máxima quando ωt = 0, π
e 2π. Para diversos
valores de ωt entre esses
valores máximo e mínimo,
a derivada existe e tem
valores compreendidos
entre o mínimo e o
máximo (Figura 2). Figura 2 – Cossenóide - gráfico da derivada de uma função senoidal.
94
DISPOSITIVOS BÁSICOS A DERIVADA -Exemplo de aplicação
O valor de pico de uma cossenóide
é diretamente proporcional à
freqüência da senóide original.
Quanto maior a freqüência, maior a
inclinação no ponto em que a curva
corta o eixo horizontal e, portanto,
maior o valor de dx/dt nesse ponto,
como mostra a Figura 3 para duas
freqüências diferentes. Figura 3 – Efeito da freqüência sobre o valor de pico da derivada.
Observa-se na Figura 3 que, embora as duas formas de onda (x1 e x2)
tenham valores de pico iguais, a função senoidal de maior freqüência
produz uma função derivada com um valor de pico maior. Além disso, nota-
se que:
95
DISPOSITIVOS BÁSICOS A DERIVADA -Exemplo de aplicação
Figura 3 – Efeito da freqüência sobre o valor de pico da derivada.
A derivada de uma
senóide tem o mesmo
período
e a mesma freqüência
que a função original.
96
DISPOSITIVOS BÁSICOS A DERIVADA
)t(senE)t(e m
)tcos(Ef2)tcos(E)t(edt
dmm
No caso de uma tensão senoidal:
a derivada pode ser determinada diretamente por
diferenciação, produzindo o seguinte resultado:
Observa-se que o valor de pico da derivada, 2πf∙Em,
depende da freqüência de e(t) e que a derivada de uma senóide
é uma função cossenóide.
99
DISPOSITIVOS BÁSICOS Resistor
Na prática, nas frequências da rede elétrica até as
frequências com algumas centenas de quilo-hertz, o valor da
resistência não é influenciado por tensões ou correntes
senoidais aplicadas. Nesta faixa de frequência o resistor pode
ser considerado constante e a lei de Ohm pode ser aplicada.
Para v = Vm sen (ωt):
)t(senI)t(senR
V
R
)t(senV
R
vi m
mm
, onde R
VI mm
Além disso, para uma dada corrente i:
))t(sen(V))t(sen(RIR))t(sen(IRiv mmm
onde .
,
RIV mm
100
DISPOSITIVOS BÁSICOS Resistor
O gráfico visto na Figura 4 revela que:
Para um dispositivo puramente resistivo, a tensão e a
corrente no dispositivo estão em fase, sendo a relação entre
os seus valores de pico dado pela lei de Ohm.
Figura 4 – Em um dispositivo resistivo a tensão e a corrente estão em fase.
102
DISPOSITIVOS BÁSICOS Indutor
Figura 5(a) - Ilustração de como um dispositivo se opões à passagem de corrente;
Para a configuração em série vista na Figura 5(a), a tensão
vdispositivo do dispositivo no interior da caixa se opõe à da fonte e
e, assim, reduz a corrente i.
O valor da tensão sobre o dispositivo é determinado por sua
oposição ao fluxo de carga, ou seja, à corrente i. No caso de
um dispositivo resistivo, se observa que a oposição se deve à
resistência e que vdispositivo e i estão relacionados por:
vdispositivo = i∙R.
103
DISPOSITIVOS BÁSICOS Indutor
A tensão em um indutor é diretamente proporcional à taxa de
variação da corrente que o atravessa. Consequentemente,
quanto maior a frequência, maior a taxa de variação da
corrente no indutor e maior o valor da tensão induzida.
A indutância determina a taxa de variação do fluxo
magnético no indutor para uma variação da corrente. Quanto
maior a indutância, maior a taxa de variação do fluxo e maior
a tensão no indutor.
Figura 5(a) - Ilustração de como um dispositivo se opões à passagem de corrente;
104
DISPOSITIVOS BÁSICOS Indutor
Portanto, a tensão no indutor é diretamente proporcional à
freqüência e à indutância do enrolamento. Para valores
crescentes de f e L, conforme a Figura 5(b), o valor da tensão vL
aumenta como descrito.
Figura 5(b) - Ilustração dos parâmetros que determinam a oposição de um indutor à
passagem de corrente.
105
DISPOSITIVOS BÁSICOS Indutor
Figura 6 – Indutor.
Matematicamente, no caso de um
indutor como o da Figura 6, tem-se que:
dt
diLv L
L
)tcos(IL)tcos(ILdt
diLv mm
LL
)tcos(I))t(senI(dt
d
dt
dimm
L
, onde diL/dt é dado por:
Portanto,
Definindo, sabendo-se que
mm ILV )º90t(sen)tcos(
)º90t(senVv mL Chega-se a:
106
DISPOSITIVOS BÁSICOS Indutor
Observa-se que o valor de pico de vL é diretamente
proporcional a ω (2πf) e a L.
Figura 7 – Em um indutor puro a tensão está adiantada 90º em relação à corrente.
O gráfico mostrado na Figura 7, revela que:
Para um indutor, vL está adiantada 90º em relação a iL
ou iL está atrasada 90º em relação à vL.
107
DISPOSITIVOS BÁSICOS Indutor
Se um ângulo de fase for incluído na expressão senoidal de iL,
como, por exemplo: )t(senIi mL
Então: )º90t(senILv mL
Agora, lembrando que:
m
m
I
V
efeito
causaOposição
oposição
causaEfeito
A oposição causada por um indutor em um circuito de corrente
alternada senoidal pode ser calculada agora a partir de:
LI
IL
I
V
efeito
causaOposição
m
m
m
m
108
DISPOSITIVOS BÁSICOS Indutor
Revelando que a oposição causada pelo indutor em um circuito
de corrente alternada senoidal é diretamente proporcional ao
produto da velocidade angular pela indutância.
A grandeza ωL denominada reatância (derivada da palavra
reação) indutiva, é simbolizada por XL e medida em ohms.
Ou seja: (ohms, Ω) LXL
A reatância indutiva é uma oposição à corrente que resulta
em uma troca contínua de energia entre a fonte e o campo
magnético do indutor.
110
DISPOSITIVOS BÁSICOS
Capacitor
Figura 5(a) - Ilustração de como um dispositivo se opões à passagem de corrente;
No caso de circuitos capacitivos, a tensão no capacitor é
limitada pela taxa com que a carga é depositada nas placas do
capacitor ou ainda retirada delas, durante as fases de carga e
de descarga, respectivamente.
Isto é, uma variação instantânea da tensão no capacitor sofre
uma oposição devido ao fato de que é necessário um tempo
para carregar (ou descarregar) as placas de um capacitor, e
V = Q/C.
111
DISPOSITIVOS BÁSICOS
Capacitor
Figura 5(a) - Ilustração de como um dispositivo se opões à passagem de corrente;
Como a capacitância é uma relação do tempo de carga, ou seja
o tempo com que um capacitor armazena carga em suas placas:
Para uma determinada variação da tensão em um
capacitor, quanto maior o valor da capacitância, maior
será a corrente capacitiva resultante.
A equação fundamental que relaciona a tensão no capacitor
á corrente dele,
dt
dvCi C
C
112
DISPOSITIVOS BÁSICOS
Capacitor
mostra que:
Para uma determinada capacitância, quanto maior a
taxa de variação da tensão entre os terminais de um
capacitor, maior será a corrente capacitiva.
Um aumento na frequência corresponde a um aumento da
taxa de variação da tensão no capacitor e a um aumento da
corrente, logo, esta corrente é diretamente proporcional à
frequência e á sua capacitância (Figura 8).
Figura 8 – Parâmetros que determinam a oposição de um
dispositivo capacitivo á passagem de corrente.
113
DISPOSITIVOS BÁSICOS
Determinando o valor
de dvc/dt tem-se:
Portanto:
Definindo, sabendo-se que
Chega-se a:
)tcos(V))t(senV(dt
d
dt
dvmm
C
)tcos(VC))tcos(V(Cdt
dvCi mm
CC
mm VCI )º90t(sen)tcos(
)º90t(senIi mC
Capacitor
114
DISPOSITIVOS BÁSICOS
Observa-se que o valor de pico de iC é diretamente
proporcional a ω (2πf) e a C. O gráfico mostrado na Figura 9,
revela que:
Para um capacitor, iC está adiantada 90º em relação à vC
ou vC está atrasada 90º em relação à iC.
Figura 9 – A corrente em um dispositivo puramente capacitivo está adiantada 90º em relação à tensão.
Capacitor
115
DISPOSITIVOS BÁSICOS
Se um ângulo de fase for incluído na expressão senoidal de vC,
como, por exemplo:
Então:
Agora, lembrando que:
A oposição causada por um capacitor em um circuito de corrente
alternada senoidal pode ser calculada agora a partir de:
)t(senVv mC
)º90t(senVCi mC
m
m
I
V
efeito
causaOposição
oposição
causaEfeito
C
1
VC
V
I
V
efeito
causaOposição
m
m
m
m
Capacitor
116
DISPOSITIVOS BÁSICOS
Revelando que a oposição causada pelo capacitor em um
circuito de corrente alternada senoidal é inversamente
proporcional ao produto da velocidade angular pela
capacitância.
A grandeza 1 / ωC denominada reatância capacitiva, e é
simbolizada por XC e medida em ohms.
Ou seja: (ohms, Ω)
A reatância capacitiva é uma oposição à corrente que resulta
em uma troca contínua de energia entre a fonte e o campo
elétrico no capacitor.
C
1XC
Capacitor
117
DISPOSITIVOS BÁSICOS
Resumindo:
Se a corrente estiver adiantada em relação à
tensão aplicada, o circuito será
predominantemente capacitivo e, se a tensão
aplicada estiver adiantada em relação à
corrente, ele será predominantemente indutivo.
Capacitor
118
DISPOSITIVOS BÁSICOS
EXEMPLOS NUMÉRICOS
1. Considerando a tensão no resistor como indicado abaixo, calcule as
expressões para a corrente sendo o resistor de 10 Ω. Esboce os gráficos
de v e i.
a) v = 100 sen (377t) b) v = 25 sen (377t + 60º)
A10I
10
V100
R
VI m
mm
)t377(sen10)t(senIi m
Como v e i estão em fase, resulta:
As curvas de v e i são mostradas abaixo.
A5,2I10
V25
R
VI m
mm
)º60t377(sen5,2)t(senIi m
Como v e i estão em fase, resulta:
As curvas de v e i são mostradas abaixo.
DISPOSITIVOS BÁSICOS
EXEMPLOS NUMÉRICOS
2. A corrente em um resistor de 5 Ω vale i = 40 sen (377t + 30º). Determine a
expressão senoidal para a tensão no resistor.
V200V540RIV mmm
)º30t377(sen200)t(senVv m
Solução:
Como v e i estão em fase, resulta:
DISPOSITIVOS BÁSICOS
EXEMPLOS NUMÉRICOS
3. A corrente em um indutor de 0,1 H é dada nos itens a e b a seguir. Determine em
cada caso a expressão para a tensão no indutor. Esboce as curvas de v e i.
a) i = 10 sen (377t) b) i = 7 sen (377t – 70º)
7,37)H1,0()s/rad377(LXL
V3777,37A10XIV Lmm
)º90t377(sen377v
)º90t(senVv m
Como v está adiantado 90º em
relação a i, resulta:
V9,2637,37A7XIV Lmm
)º20t377(sen9,263v
)º90º70t377(sen9,263v
)º90t(senVv m
Como v está adiantado 90º em
relação a i, resulta:
DISPOSITIVOS BÁSICOS
EXEMPLOS NUMÉRICOS
4. A expressão para a tensão em um capacitor de 1 μF é v = 30 sen (400t). Qual é a
expressão senoidal para a corrente?
2500X400
10
)F101()s/rad400
1
C
1X C
6
6C
mm m
c
V 30VI I 12mA
X 2500
)º90t400(sen1012)º90t(senIi 3m
Solução:
Sabendo-se que em um capacitor, a corrente i está adiantada 90º em relação à v:
DISPOSITIVOS BÁSICOS
EXEMPLOS NUMÉRICOS
5. Dados os pares de expressões para tensões e correntes a seguir, determine se o
dispositivo envolvido é um capacitor, um indutor ou um resistor e calcule os valores
de C, L e R, se houver dados suficientes para isso.
Solução:
a) v = 100 sen (ωt + 40º)
i = 20 sen (ωt + 40º)
b) v = 1000 sen (377t + 10º)
i = 5 sen (377t – 80º)
c) v = 500 sen (157t + 30º)
i = 1 sen (157t + 120º)
d) v = 50 cos (ωt + 20º)
i = 5 sen (ωt + 110º)
DISPOSITIVOS BÁSICOS
EXEMPLOS NUMÉRICOS
5. Solução:
PARAMOS AQUÍ!
5RA20
V100
I
VR
m
m
200XA5
V1000
I
VX L
m
mL
H521,0L377
200LLXL
500XA1
V500
I
VX C
m
mC F74,12C
500157
1C
C
1XC
)º110t(sen50v)º90º20t(sen50)º20tcos(50v
10RA5
V50
I
VR
m
m
a) Como v e i estão em fase, o dispositivo é um resistor e
b) Como v está adiantada 90º em relação a i, o dispositivo é um indutor e:
e
c) Como i está adiantada 90º em relação à v, o dispositivo é um capacitor e:
e
d)
Como v e i estão em fase, o dispositivo é um resistor e,
124
DISPOSITIVOS BÁSICOS
Para circuitos de corrente contínua, a frequência é zero e a
reatância de um indutor é dada por:
Comportamento de indutores e capacitores em regimes
de corrente contínua, alta frequência e baixa frequência.
0XL02Lf2LX LL
O que indica que em regime permanente, num circuito de
corrente contínua o indutor se comporta como um curto-
circuito.
Em altas freqüências, XL terá um valor muito elevado e, em
algumas aplicações práticas, o indutor pode ser tratado como
se fosse um circuito aberto.
125
DISPOSITIVOS BÁSICOS
O capacitor pode ser substituído por um circuito aberto em
circuitos de corrente contínua, pois f = 0, e
Comportamento de indutores e capacitores em regimes
de corrente contínua, alta frequência e baixa frequência.
Em freqüências muito altas, para capacitâncias finitas XC é
muito pequena e, em algumas aplicações práticas, o capacitor
pode ser substituído por um curto-circuito.
CC XC02
1
Cf2
1
C
1X
126
DISPOSITIVOS BÁSICOS
Sabe-se que a reatância indutiva aumenta com
a frequência, enquanto a reatância capacitiva
diminui. Entretanto, qual é o padrão para esse
aumento ou diminuição? Como a frequência dos
sinais aplicados podem variar de uns poucos
hertz até mega-hertz, é importante conhecer os
efeitos da frequência na intensidade das
reações dos dispositivos.
RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA DOS DISPOSITIVOS
BÁSICOS
127
DISPOSITIVOS BÁSICOS
Como um componente real, todo resistor tem
capacitâncias parasitas e indutâncias dos
terminais, que são sensíveis ao valor da
frequência aplicada. Os valores dessas
capacitâncias e indutâncias são tão pequenos
que seus efeitos não são notados até que se
atinja a faixa dos mega-hertz.
RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA DOS RESISTORES
128
DISPOSITIVOS BÁSICOS
RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA DOS RESISTORES
Figura 10 – Variação da resistência com a frequência para resistores de carbono.
129
DISPOSITIVOS BÁSICOS
RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA DOS RESISTORES
Figura 10 – Variação da resistência com a frequência para resistores de carbono.
As curvas da resistência em função da frequência para alguns
resis-tores de carbono são fornecidas na Figura 10.
130
DISPOSITIVOS BÁSICOS
RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA DOS RESISTORES
Figura 10 – Variação da resistência com a frequência para resistores de carbono.
Observa-se que as resistências menores são menos afetadas
pelo valor da frequência. Pela figura é possível afirmar que o
valor da resistência permanece inalterado até que a
frequência atinja cerca de 10 MHz.
131
DISPOSITIVOS BÁSICOS
RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA DOS INDUTORES
Para os indutores a equação XL = 2π∙f∙L, tem a forma de uma
equação de uma reta com uma inclinação de 2π∙L e intercepta
o eixo das ordenadas em zero, como mostra a Figura 11.
Quanto maior a indutância, maior a inclinação da reta para a
mesma frequência.
Figura 11 – XL em função da freqüência.
132
DISPOSITIVOS BÁSICOS
RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA DOS CAPACITORES
No caso de capacitor, a expressão para a reatância XC = 1 /
(2π∙f∙C) pode ser escrita na forma XC∙f = 1 / (2π∙C), que
coincide com a forma básica de uma hipérbole, y∙x = k, sendo
y = XC, x = f e k = 1 / (2π∙C).
Figura 12 – XC em função da freqüência.
Para f = 0 Hz, a reatância de
um capacitor é tão grande,
como mostra a Figura 12, que
ele se comporta como um
circuito aberto. Á medida que
a frequência aumenta, a
reatância diminui, até que ao
final seja equivalente a um
curto-circuito.
133
DISPOSITIVOS BÁSICOS
RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA
Figura 12 – XC em função da freqüência.
Figura 11 – XL em função da freqüência.
134
DISPOSITIVOS BÁSICOS
POTÊNCIA MÉDIA E FATOR DE POTÊNCIA
Para qualquer carga em um circuito de corrente alternada
senoidal, a tensão e a corrente na carga variam de forma
senoidal com o tempo. Tomando um caso geral e usando para
v e i as expressões abaixo:
)t(senVv vm )t(senIi im e
A potência será dada por:
)t(senI)t(senVivp imvm
Usando a identidade trigonométrica:
2
)BAcos()BAcos(senBsenA
A função sen(ωt + θv)∙sen(ωt + θi), torna-se:
2
)]t()tcos[()]t()tcos[( iviv
135
DISPOSITIVOS BÁSICOS
POTÊNCIA MÉDIA E FATOR DE POTÊNCIA
2
]t2cos[]cos[ iviv , de forma que
]t2cos[2
IV]cos[
2
IVp iv
mmiv
mm
Onde o primeiro termo representa uma parte fixa e o segundo termo varia
com o tempo. As curvas de v, i e p estão no mesmo gráfico da Figura 13.
Figura 13 – Determinação da potência
média de um circuito de corrente alternada
senoidal.
136
DISPOSITIVOS BÁSICOS
POTÊNCIA MÉDIA E FATOR DE POTÊNCIA
Note-se que o segundo termo na equação anterior representa
uma cossenóide de amplitude VmIm / 2 e freqüência duas vezes
maior que a da tensão e corrente. O valor médio desse termo é
zero e, portanto, ele não tem nenhuma influência no processo
de dissipação de energia.
Figura 13 – Determinação da potência
média de um circuito de corrente alternada
senoidal.
]t2cos[2
IV]cos[
2
IVp iv
mmiv
mm
137
DISPOSITIVOS BÁSICOS
POTÊNCIA MÉDIA E FATOR DE POTÊNCIA
Já o primeiro termo da equação é constante (não depende do
tempo) e representa uma transferência líquida de energia. Este
termo é chamado de potência média.
Figura 13 – Determinação da potência
média de um circuito de corrente alternada
senoidal.
]t2cos[2
IV]cos[
2
IVp iv
mmiv
mm
138
DISPOSITIVOS BÁSICOS
POTÊNCIA MÉDIA E FATOR DE POTÊNCIA
A potência média, ou potência real, é a fornecida à carga e
dissipada por esta. Ela corresponde à potência total dos
circuitos de corrente contínua.
Figura 13 – Determinação da potência
média de um circuito de corrente alternada
senoidal.
]t2cos[2
IV]cos[
2
IVp iv
mmiv
mm
139
DISPOSITIVOS BÁSICOS
POTÊNCIA MÉDIA E FATOR DE POTÊNCIA
O ângulo (θv – θi) é o ângulo de fase entre v e i. Fazendo θ igual
a |θv – θi|, onde | | indica que apenas o valor absoluto é
importante, ou seja, o sinal é irrelevante, tem-se:
Figura 13 – Determinação da potência
média de um circuito de corrente alternada
senoidal.
]t2cos[2
IV]cos[
2
IVp iv
mmiv
mm
cos2
IVP mm
(watts, W)
Onde P é a potência média em watts.
Esta equação também pode ser escrita na forma:
cosIVcos
2
I
2
VP efef
mm
(watts, W)
140
DISPOSITIVOS BÁSICOS POTÊNCIA MÉDIA EM RESISTORES, INDUTORES E CAPACITORES
Resistores - Em um circuito puramente resistivo, como v e i estão em fase,
|θv – θi| = θ = 0º e cos θ = cos 0º = 1, de forma que:
(watts, W) efef IVP
Indutores - Em um circuito puramente indutivo, como v está adiantada em
relação a i de 90º, |θv – θi| = θ = |–90º| = 90º, portanto:
W0P)º90cos(2
IVP mm
A potência média ou potência dissipada por um indutor ideal é zero.
Capacitores - Em um circuito puramente capacitivo, como i está adiantada
em relação à v de 90º, |θv – θi| = θ = |–90º| = 90º, portanto:
W0P)º90cos(2
IVP mm
A potência média ou potência dissipada por um capacitor ideal é zero.
141
DISPOSITIVOS BÁSICOS POTÊNCIA MÉDIA EM RESISTORES, INDUTORES E CAPACITORES
Resistores - Em um circuito puramente resistivo, como v e i estão em fase,
|θv – θi| = θ = 0º e cos θ = cos 0º = 1, de forma que:
(watts, W) efef IVP
Indutores - Em um circuito puramente indutivo, como v está adiantada em
relação a i de 90º, |θv – θi| = θ = |–90º| = 90º, portanto:
W0P)º90cos(2
IVP mm
A potência média ou potência dissipada por um indutor ideal é zero.
Capacitores - Em um circuito puramente capacitivo, como i está adiantada
em relação à v de 90º, |θv – θi| = θ = |–90º| = 90º, portanto:
W0P)º90cos(2
IVP mm
A potência média ou potência dissipada por um capacitor ideal é zero.
Em determinado ponto do desenvolvimento dos
métodos matemáticos, defrontou-se com a
necessidade de se introduzir um operador que
pudesse representar a raiz quadrada de um
número negativo.
143
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Introdução
144
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Introdução
Para suprir essa necessidade, criou-se a noção
do operador imaginário j (também chamado de
i), cuja propriedade fundamental é:
1j1j 2
Com a noção do operador imaginário,
introduz-se um novo conjunto de números, o
conjunto dos Números Complexos, que têm a
forma: bjaz .
onde a e b são números reais quaisquer.
145
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES REPRESENTAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
Um número complexo pode ser representado
na forma cartesiana, também chamada de
forma retangular, ou na forma polar.
146
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Representação cartesiana
Utilizando-se um sistema cartesiano de
coordenadas, chamado de Plano de Argand-
Gauss ou Plano Complexo, é possível
representar graficamente um número
complexo.
O número complexo z = a + jb, também pode
ser representado pelo par ordenado (a, b) e
plotado como um ponto cujas coordenadas
são, respectivamente, sua parte real e sua
parte imaginária.
147
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Representação cartesiana
Na Figura 1 tem-se o plano de Argand-Gauss
onde o eixo das abscissas é chamado eixo
real (Re) e o eixo das ordenadas é chamado
de eixo imaginário (Im).
F igura 1 – Representação do número complexo através do par ordenado (a, b).
148
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Representação cartesiana
Quando um número complexo z possui parte
real nula (a = 0) e parte imaginária não-nula (b
0), temos um número imaginário puro, bem
como quando a parte imaginária b de um
número complexo z é nula, estamos diante de
um número real.
F igura 1 – Representação do número complexo através do par ordenado (a, b).
149
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES EXEMPLOS NUMÉRICOS
A = 3 + j.3
B = 2 - j.4
C = -2 –j.2
D = j.2
E = -3 + j.5
F = -1
O Plano Complexo é
dividido em quatro quadrantes.
O primeiro quadrante (I Q) é
aquele em que tanto a parte
real como a parte imaginária
são positivas. A seqüência dos
quadrantes se dá no sentido
anti-horário. Assim, o segundo
quadrante (II Q) é o que possui
parte real negativa e parte
imaginária positiva, o terceiro
quadrante (III Q) é o que tem
tanto a parte real como a parte
imaginária negativas e o quarto
quadrante (IV Q) é o que
apresenta parte real positiva e
parte imaginária negativa.
150
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Forma polar
Um número complexo z pode ser representado no plano complexo através de um
segmento de reta unindo o ponto que tem por coordenadas sua parte real e sua
parte imaginária à origem do plano (ponto 0,0).
Esse segmento de reta é totalmente caracterizado pelo seu comprimento (rô),
chamado de módulo, e pelo ângulo φ que ele forma com o eixo dos reais, chamado
de argumento.
Figura 2 – Representação polar de um número complexo.
Essa é a chamada forma polar de um
número complexo, cuja notação é:
z
Outra forma de se escrever o mesmo
número complexo é:
zzOnde: 22 baz é o módulo ou intensidade do número complexo;
a
btg 1
é a fase ou argumento do número complexo.
151
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES TRANSFORMAÇÃO ENTRE AS FORMAS DO NÚMERO COMPLEXO
Para transformar uma forma na outra, utilizam-se as relações trigonométricas do
triângulo retângulo que surge quando utilizamos a representação no plano complexo.
Na Figura 2 verifica-se que a hipotenusa do triângulo é o módulo do número
complexo e a fase é o ângulo formado a partir do eixo real em sentido anti-horário.
Figura 2 – Representação polar de um número complexo.
Desta forma é possível extrair as relações entre a representação retangular e a
representação polar.
152
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Transformação de retangular para polar
Neste ponto, uma dúvida poderia surgir, visto que entre 0 e 360o existem dois
ângulos que satisfazem a essa equação (φ = 53o e φ = 233o).
Mas observe que, como tanto a parte real como a parte imaginária da representação
retangular são negativas, esse número só pode pertencer ao terceiro quadrante.
Logo, φ = 233o. Assim, z=5 233º. Este exemplo mostra a importância de levar em
conta o quadrante no momento da conversão, para que não se obtenha um resultado
equivocado.
a
btg 1
22 baz
Im
Re |z|
53º 233º
a
-a
-b
b
153
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Transformação de polar para retangular
Utilizando as relações trigonométricas, a
obtenção das coordenadas retangulares a e b
de um número complexo a partir de sua
representação polar é imediata (observar a
Figura 2).
Onde o número complexo na forma retangular será dado por z = a ± j b.
Será visto que as operações de multiplicação, divisão, potenciação e radiciação de
números complexos, poderão ser sempre facilitadas pelo uso da forma polar, como
será visto a seguir.
Figura 2 – Representação polar de um número complexo.
cosza senzb
154
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES IGUALDADE DE NÚMEROS COMPLEXOS
Dois números complexos z1 = a1 + j.b1 e z2 = a2 + j.b2 são iguais se, e somente se,
suas partes reais forem iguais e suas partes imaginárias forem iguais entre si, isto
é a1 = a2 e b1 = b2.
Figura 2 – Representação polar de um número complexo.
155
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES NÚMERO COMPLEXO CONJUGADO
O número complexo conjugado acontece quando
somente a parte imaginária (ou a fase) troca de
sinal.
Figura 3 – Número complexo conjugado.
Seja o número complexo definido como:
z = a + jb.
Diz-se que o conjugado deste número é
z = a – jb.
A Figura 3 apresenta a representação de números complexos conjugados. Note
ainda que . zz
Logo, dois números complexos serão conjugados se, e somente se, tiverem partes
reais iguais e partes imaginárias simétricas.
EXEMPLOS NUMÉRICOS
jzjz 4343 jzjz 33
156
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES POTÊNCIAS INTEIRAS DO OPERADOR j
Lembrando que, por definição,
j0 = 1 j1 = j j2 = -1
Podemos obter facilmente o valor das demais potências inteiras e positivas do
operador j:
Pode-se notar que a partir de j4 repete-se a seqüência de valores iniciada por j0.
EXEMPLOS NUMÉRICOS
j3 = j2 x j1 = -1 x j j3 = -j
j4 = j2 x j2 = -1 x -1 j4 = 1
j5 = j4 x j1 = 1 x j j5 = j
j6 = j4 x j2 = 1 x -1 j6 = -1
Portanto, para se obter o resultado de j elevado a uma potência inteira e positiva
qualquer, basta dividir o valor dessa potência por 4 e usar como expoente do
operador j o resto dessa divisão (que obviamente só poderá ser 0, 1, 2 ou 3).
a) j137 = ?
b) j19 = ? O resto da divisão de 137 por 4 é 1, logo, j137 = j1 = j
O resto da divisão de 19 por 4 é 3. Logo, j19 = j3 = -j
157
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES OPERAÇÕES ENTRE OS NÚMEROS COMPLEXOS
É possível realizar as operações elementares
com os números complexos, no entanto existe
um conjunto de regras que deve ser
obedecido. As operações mais básicas são
apresentadas a seguir.
158
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Adição e Subtração
Para somar ou subtrair números complexos, basta somar ou subtrair suas partes
reais, obtendo desse modo à parte real do resultado e somar ou subtrair suas
partes imaginárias, obtendo desse modo a parte imaginária do resultado.
Podem ser feitas na forma polar, mas para facilitar sempre se faz na forma
retangular.
Sejam dois números complexos abaixo definidos:
Definem-se as operações de adição e subtração entre eles como sendo:
Isto é: parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária.
jbaz 1jdcz 2
e
)()(21 dbjcazz )()(21 dbjcazz e
159
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Multiplicação na forma retangular
Para efetuar a multiplicação de dois números complexos, seguem-se os passos
abaixo:
1- Multiplicam-se termo a termo as partes real e imaginária de cada um dos
fatores. Para tanto, será necessário utilizar as propriedades da potenciação
vistas acima.
Definem-se as operações de adição e subtração entre eles como sendo:
2- Somam-se as partes reais dos resultados parciais, obtendo-se a parte
real do resultado final.
3- Somam-se as partes imaginárias dos resultados parciais, obtendo-se a
parte imaginária do resultado final.
jbaz 1jdcz 2
e
)]()[()]()[(
)()()()(21
bcdajdbca
jdjbjbcjdacazz
160
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Multiplicação na forma retangular
Propriedade da Multiplicação de
Complexos Conjugados
Quando se multiplicam dois complexos
conjugados, o resultado será um número
real.
Demonstração:
(a + j.b) x (a – j.b) = a2 + j.a.b – j.a.b – j2b2 = a2 - b2 x -1 = a2 + b2,
número que possui parte imaginária nula, sendo, portanto, um número real.
161
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Multiplicação na forma retangular
Efetuar a multiplicação dos complexos z1 = 3 + j2 e z2 = – 5 – j3.
- Efetua-se a primeira multiplicação parcial:
(3 + j.2) x (-5) = -15 – j.10
- Soma-se as partes imaginárias dos resultados parciais:
-10 + (-9) = -19
- Efetua-se a segunda multiplicação parcial:
(3 + j.2) x (-j.3) = -j.9 – j2.6 = -j.9 + 6
- Soma-se as partes reais dos resultados parciais:
-15 + 6 = -9
EXEMPLOS NUMÉRICOS
- Obtém-se o resultado final:
(3 + j.2) x (-5 – j.3) = -9 – j.19
162
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Multiplicação na forma polar
Para multiplicar dois números complexos na forma polar, basta multiplicar os seus
módulos, obtendo assim o módulo do resultado e somar os seus argumentos,
obtendo assim o argumento do resultado.
Sejam dois números complexos definidos com sendo:
O produto entre eles é realizado como abaixo.
É possível realizar todas as operações usando-se qualquer forma de
representação.
11 zz 22 zze
)()( 2121 zzzz
No entanto, utilizar a forma cartesiana para realizar as operações de adição e
subtração e a forma polar para realizar as operações de multiplicação e divisão,
torna mais simples a obtenção dos resultados.
163
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Divisão de um número complexo por um número real
Para dividir um número complexo por um número real, basta dividir a parte real do
número complexo pelo número real, obtendo-se a parte real do resultado e dividir a
parte imaginária do número complexo pelo número real, obtendo-se a parte
imaginária do resultado.
EXEMPLOS NUMÉRICOS
(8 j.2)4 j
2
164
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Divisão de dois números complexos
Efetuar a divisão do complexo z1 = 4 – j2 pelo complexo z2 = – 1 + j.
Multiplico o numerador pelo conjugado do denominador:
2.6)1()2.4( jjj
Multiplico o denominador pelo seu conjugado:
Divido o primeiro resultado pelo segundo, obtendo o resultado final:
2)1()1( jj
jj
32
2.6
165
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Divisão de números complexos na forma polar
Para dividir um número complexo na forma polar por outro, basta dividir o módulo
do numerador pelo módulo do denominador, obtendo-se assim o módulo do
resultado, e subtrair do argumento do numerador o argumento do denominador,
obtendo-se assim o argumento do resultado.
Sejam dois números complexos definidos com sendo:
Então a divisão entre ambos é feita com indicado abaixo.
11 zz e 22 zz , com 02 z
)(2
1
2
1
z
z
z
z
166
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Potências inteiras de um número complexo na forma polar
Para elevar um número complexo na forma polar a uma potência inteira, basta
elevar o módulo do número a essa potência, obtendo assim o módulo do resultado,
e multiplicar o argumento do número por essa potência, obtendo assim o
argumento do resultado.
).()( nzzznnn
EXEMPLOS NUMÉRICOS
•Adição de números complexos:
)4030()454()22( jjz
)4030()45º45.(cos4)22( jjsenjz
)4030(2
2
2
2.4)22( jjjz
)4030()2.22.2()22( jjjz
)402.22()302.22( jz
)2.242()282.2( jz
83,4417,25 jz
167
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Potências inteiras de um número complexo na forma polar
EXEMPLOS NUMÉRICOS
•Divisão de números complexos:
755
1520z
•Transformação da forma cartesiana para a forma polar::
Obter a forma polar do número complexo z = -3 - 4 j.
Calculo o módulo da forma polar:
525)4()3( 2222 zba
604)75(155
20
Calculo o argumento da forma polar:
333,13
4arctgarctg
a
barctg
168
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Potências inteiras de um número complexo na forma polar
EXEMPLOS NUMÉRICOS
•Multiplicação na forma polar:
•Potência de um número complexo na forma polar:
4 30 5 20 (4 5) (30 ( 20 )) 20 10
15032)30.5(2)302( 555 z
170
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES
FASORES
A adição de tensões e correntes senoidais é necessária com frequência quando analisamos circuitos CA.
Um método para se realizar esta tarefa é através da utilização de fasores, que são vetores radiais girantes que têm um módulo constante e uma extremidade fixa na origem.
Origem
171
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES
FASORES
(a) (b) Figura 4 – (a) Representação fasorial das formas de onda senoidais; (b) obtenção da
soma de duas tensões alternadas.
O fasor estará, no instante t = 0, nas posições vistas na Figura 4(a) para cada uma das formas de onda mostradas na Figura 4(b).
172
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES
FASORES
(a) (b) Figura 4 – (a) Representação fasorial das formas de onda senoidais; (b)
obtenção da soma de duas tensões alternadas.
Na Figura 4(b) se observa que v2 corta o eixo horizontal em t = 0 s, tornando necessário que o raio do vetor visto na Figura 4(a) coincida com o eixo horizontal neste instante para garantir que a projeção vertical seja zero volt.
173
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES
FASORES
(a) (b) Figura 4 – (a) Representação fasorial das formas de onda senoidais; (b)
obtenção da soma de duas tensões alternadas.
O seu comprimento, visto na Figura 4(a), é igual à amplitude da senóide. A outra senóide é gerada por um fasor que em t=0s já descreveu um ângulo de 90º em relação ao eixo horizontal, alcançando portanto a sua projeção vertical máxima, como mostra a Figura 4(a).
174
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES
FASORES
(a) (b) Figura 4 – (a) Representação fasorial das formas de onda senoidais; (b)
obtenção da soma de duas tensões alternadas.
Como a projeção vertical é máxima, o valor de pico da senóide que o fasor gera também é alcançado em t = 0 s, como ilustrado na Figura 4(b). Nota-se também que em t = 0 s tem-se vT = v1, pois v2 = 0 V neste instante.
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES
FASORES
O caso de duas funções senoidais que têm ângulos de fase diferentes de 0º e 90º aparece na Figura 5.
(a) (b) Figura 5 – Adição de duas correntes senoidais cuja diferença de fase não é 90º
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES
FASORES
(a) (b) Figura 5 – Adição de duas correntes senoidais cuja diferença de fase não é 90º
Nota-se que as ordenadas das funções vistas na Figura 5(b) em t = 0 s são determinadas pelas posições
angulares dos fasores que se vê na Figura 5(a).
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES
FASORES
(a) (b) Figura 5 – Adição de duas correntes senoidais cuja diferença de fase não é 90º
Como se usa quase que exclusivamente os valores eficazes, e não os valores de pico, na análise de
circuitos CA o fasor agora será definido, por razões práticas e de uniformidade, como tendo um módulo
igual ao valor eficaz da função senoidal que representa.
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES
FASORES
(a) (b) Figura 5 – Adição de duas correntes senoidais cuja diferença de fase não é 90º
O ângulo (argumento) associado com o fasor continuará como descrito anteriormente – o ângulo de
fase.
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES
FASORES
Em geral, a forma fasorial de uma tensão ou corrente senoidal será:
efVV efII
e
Deve-se ressaltar que na notação de fasores as grandezas envolvidas
sempre variam de forma senoidal e a frequência não é representada.
A álgebra dos fasores só pode ser aplicada a
formas de onda senoidais de mesma freqüência.
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES
EXEMPLOS NUMÉRICOS
1. Converta as expressões a seguir do domínio do tempo para o domínio dos fasores.
a) )(502 tsen º050
b) 69,6 sen (ωt + 72º) → 0,707×69,672º → 49,2172º
c) 45 cos (ωt) → 0,707×4590º → 31,8290º
2. Escreva a expressão senoidal para os fasores a seguir se a frequência for 60 Hz.
a) I = 1030º )º30t377(sen14,14i)º30t602(sen102i
b) V = 115-70º )º70t377(sen6,162v)º70t602(sen1152v
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES
EXEMPLOS NUMÉRICOS
3. Calcule a tensão de entrada no circuito visto na figura abaixo se:
Hz60f)º60t377(sen30v
)º30t377(sen50v
b
a
Solução:
Aplicando a lei de Kirchhoff para tensões tem-se:
bain vve
Passando do domínio do tempo para o domínio
dos fasores, tem-se:
º60V21,21V)º60t377(sen30v
º30V35,35V)º30t377(sen50v
bb
aa
Passando da forma polar para a forma retangular
a fim de poder efetuar a adição:
V37,18jV61,10º60V21,21V
V68,17jV61,30º30V35,35V
b
a
Então:
V05,36jV22,41E
)V37,18jV61,10()V68,17jV61,30(VVE
in
bain
Passando da forma retangular para a polar, fica:
º17,41V76,54V05,36jV22,41Ein
Transformando do domínio dos fasores para o
domínio do tempo, obtém-se:
)º17,41377(43,77
)º17,41377(76,542º17,4176,54
tsene
tVsenVE
in
in
E represente as tensões graficamente.
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES
EXEMPLOS NUMÉRICOS
3. Calcule a tensão de entrada no circuito visto na figura abaixo se
Hz60f)º60t377(sen30v
)º30t377(sen50v
b
a
)º17,41377(43,77 tsenein
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES
BIBLIOGRAFIA
Santos Filho, A. L. – Apostila de Eletricidade. CEFET-SP –
UNED Cubatão. São Paulo/SP, 2006.
Boylestad, R. L. – INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE CIRCUITOS
– 10ª Edição. Pearson Education do Brasil. São Paulo / SP. 2004.
Para o circuito puramente resistivo, v e i estão em fase
e suas amplitudes são dadas por:
186
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Impedância E O Diagrama De Fasores
Elementos Resistivos
RIVR
VI mm
mm
Em forma fasorial:
º0VV)t(senVv m
Onde V = 0,707∙Vm.
Aplicando a lei de Ohm por meio da utilização da
álgebra de fasores, tem-se;
)º0(R
VI
R
º0VI R
R
Como i e v estão em fase, o ângulo associado a i deve
também ser 0º. Para satisfazer essa condição, θR tem
de ser igual a 0º. Substituindo θR = 0, encontra-se:
187
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Impedância E O Diagrama De Fasores
Elementos Resistivos
De maneira que, no domínio do tempo:
º0R
VI)º0º0(
R
V
º0R
º0VI
)t(senR
V2i
O fato de que θR = 0º é empregado na forma polar para
garantir uma relação de fase adequada entre a tensão e
a corrente no resistor;
188
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Impedância E O Diagrama De Fasores
Elementos Resistivos
A grandeza ZR, que tem um módulo e um ângulo
associado, é denominada impedância do elemento
resistivo.
º0RZR
Ela é medida em ohms e indica quanto o elemento
‘impede’ a passagem de corrente no circuito.
189
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Impedância E O Diagrama De Fasores
Elementos Resistivos
O formato usado será útil na análise de circuitos mais
complexos, onde as relações de fase não forem tão
evidentes.
º0RZR
É importante notar que ZR não é um fasor, embora a
notação R0º seja semelhante à notação fasorial.
O termo fasor é reservado para grandezas que
variam no tempo, sendo R e o seu ângulo associado
de 0º, grandezas fixas.
190
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Impedância E O Diagrama De Fasores
Reatância Indutiva
No caso do indutor puro, a tensão está adiantada de 90º
em relação à corrente e a reatância do indutor, XL, é
dada por ωL.
Aplicando uma tensão igual a v = Vm∙sem (ωt) (na
forma fasorial V0º), tem-se pela lei de Ohm:
)º0(X
VI
X
º0VI L
LLL
191
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Impedância E O Diagrama De Fasores
Reatância Indutiva
Como v está adiantada de 90º em relação à corrente i,
a corrente deve ter um ângulo de – 90º associado a ela.
Para satisfazer esta condição, θL tem de ser igual a
+ 90º. Substituindo esse valor na expressão acima,
obtém-se:
º90X
VI)º90º0(
X
V
º90X
º0VI
LLL
De maneira que, no domínio do tempo:
)º90t(senX
V2i
L
192
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Impedância E O Diagrama De Fasores
Reatância Indutiva
O fato de que θL = 90º será usado agora na seguinte
notação polar, para a reatância indutiva, para garantir a
relação de fase apropriada entre a tensão e a corrente
em um indutor:
A grandeza ZL, que tem um módulo e um ângulo
associado, é denominada impedância do indutor, é
medida em ohms e indica quanto o indutor ‘controla ou
impede’ a passagem de corrente no circuito.
É importante notar que ZL não é um fasor, embora a
notação XL90º seja semelhante à notação fasorial.
º90XZ LL
193
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Reatância Indutiva
1- Determine a corrente i em um circuito com apenas uma reatância indutiva,
XL, de 3 Ω, sendo alimentada por uma tensão v = 24 sen(ωt).
EXEMPLOS NUMÉRICOS
Solução: º0V968,16Vfasorialforma)t(sen24v
º90A656,5Iº903
º0V968,16
º90X
V
Z
VI
LL
)º90t(sen0,8i)º90t(sen656,52i
formas de onda da corrente e tensão.
194
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Reatância Indutiva
2-Determine a tensão v em um circuito com apenas uma reatância indutiva, XL,
de 4 Ω, sendo percorrida por uma corrente i = 5 sen(ωt + 30º).
EXEMPLOS NUMÉRICOS
Solução:
formas de onda da corrente e tensão.
º30535,3)º30(5 AIfasorialformatseni
º120V14,14V)º904()º30A535,3(º90X)I(ZIV LL
)º120t(sen20v)º120t(sen14,142v
195
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Reatância Indutiva
3-Faça os diagramas de fasores para os circuitos dos dois exemplos
precedentes :
EXEMPLOS NUMÉRICOS
196
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Impedância E O Diagrama De Fasores
Reatância Capacitiva
No caso do capacitor puro, a corrente está adiantada de
90º em relação à tensão e que a reatância capacitiva,
XC, é dada por 1 / ωC.
Aplicando uma tensão igual a v = Vm∙sem (ωt) (na forma
fasorial V0º), tem-se pela lei de Ohm:
)º0(º0
C
CCC X
VI
X
VI
197
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Impedância E O Diagrama De Fasores
Reatância Capacitiva
Como i está adiantada de 90º em relação à tensão v, a
corrente deve ter um ângulo de + 90º associado a ela.
Para satisfazer esta condição, θC tem de ser igual a
– 90º. Substituindo esse valor na expressão acima,
obtém-se:
º90X
VI))º90(º0(
X
V
º90X
º0VI
CCC
De maneira que, no domínio do tempo:
)º90t(senX
V2i
C
198
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Impedância E O Diagrama De Fasores
Reatância Capacitiva
O fato de que θC = – 90º, será usado agora na seguinte
notação polar, para a reatância capacitiva, para garantir
a relação de fase apropriada entre a tensão e a corrente
em um capacitor: º90XZ CC
A grandeza ZC, que tem um módulo e um ângulo
associado, é denominada impedância do capacitor, é
medida em ohms e indica quanto o capacitor ‘impede’ a
passagem de corrente no circuito.
É importante notar que ZC não é um fasor, embora a
notação XC–90º seja semelhante à notação fasorial.
199
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Impedância E O Diagrama De Fasores
Diagrama de Impedâncias
Tendo associado ângulos de fase à resistência, à
reatância indutiva e à reatância capacitiva, cada uma
dessas três grandezas podem ser representadas no
plano complexo, como visto Figura 2.
-90º Figura 2 – Diagrama de impedâncias.
Em qualquer circuito, a resistência
sempre está na parte positiva do
eixo dos reais, a reatância indutiva,
na parte positiva do eixo dos
imaginários, e a capacitância, na
parte negativa desse eixo.
200
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Impedância E O Diagrama De Fasores
Diagrama de Impedâncias
O resultado é um diagrama de impedâncias que pode
representar os valores individuais e o valor total da
impedância de qualquer circuito de corrente alternada.
-90º Figura 2 – Diagrama de impedâncias.
Os circuitos podem ter diferentes
tipos de elementos que apresentam
uma impedância total cujo ângulo
está entre + 90º e – 90º. Se este
ângulo é igual a 0º diz-se que o
circuito é resistivo. Se o ângulo é
positivo, diz-se que o circuito é
indutivo. Se for negativo o circuito é
capacitivo.
201
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Impedância E O Diagrama De Fasores
Diagrama de Impedâncias
Uma vez determinada a impedância total de um circuito, seu
módulo pode ser usado para determinar a intensidade da
corrente, enquanto o seu ângulo indicará se o circuito é
principalmente indutivo, capacitivo ou simplesmente resistivo.
-90º Figura 2 – Diagrama de impedâncias.
Para qualquer configuração (série ou
paralelo), o ângulo associado à
impedância total é igual ao ângulo
de fase da tensão aplicada em
relação à corrente da fonte. Para
circuitos indutivos, θT é positivo,
enquanto para circuitos capacitivos
ele é negativo.
202
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Impedância E O Diagrama De Fasores
CONFIGURAÇÃO EM SÉRIE
As propriedades gerais dos circuitos CA em série são as mesmas
que as dos circuitos CC. A impedância total de um sistema em
série é a soma das impedâncias individuais.
Figura 3 – Impedâncias em série.
N321T ZZZZZ
203
NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES Impedância E O Diagrama De Fasores
CONFIGURAÇÃO EM SÉRIE
1- Construa o diagrama de impedâncias para o circuito abaixo e determine a
impedância total.
EXEMPLOS NUMÉRICOS
Solução:
Por meio da álgebra vetorial, tem-se:
º43,63944,8Z
8j4Z
jXRZ
º90Xº0RZZZ
T
T
LT
L21T
O diagrama de impedâncias é:
205
No caso dos circuitos de corrente contínua, a condutância (G) é
definida como sendo igual a 1/R. A condutância total de um
circuito em paralelo é então obtida somando-se as condutâncias
de cada ramo.
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM PARALELO
Em circuitos CA, define-se a admitância (Y) como sendo igual
a 1/Z. A unidade de admitância no sistema SI é o siemens, cujo
símbolo é S. A admitância é uma medida do quanto um circuito
CA admite a passagem da corrente. Portanto, quanto maior o seu
valor, maior será a corrente para a mesma tensão aplicada.
ADMITÂNCIA E SUSCEPTÂNCIA
206
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM PARALELO
ADMITÂNCIA E SUSCEPTÂNCIA
A admitância total de um circuito também pode ser calculada
somando-se as admitâncias em paralelo. A impedância total ZT do
circuito será então, 1/YT admitância, ou seja, para o circuito da
Figura 1 tem-se:
N321T YYYYY Mas, como YT = 1/ZT:
Figura 1 – Circuito CA em paralelo.
N321T Z
1
Z
1
Z
1
Z
1
Z
1
207
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM PARALELO
ADMITÂNCIA E SUSCEPTÂNCIA
Figura 1 – Circuito CA em paralelo.
21
21T
ZZ
ZZZ
313221
321T
ZZZZZZ
ZZZZ
Para duas impedâncias em paralelo:
Para três impedâncias em paralelo:
208
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM PARALELO
ADMITÂNCIA E SUSCEPTÂNCIA
Figura 1 – Circuito CA em paralelo.
O inverso da reatância (1/X) é denominado susceptância,
cujo valor indica o quanto um componente é susceptível à
passagem de corrente.
A susceptância também é medida em siemens e
representada pela letra B.
Para o indutor:
Definindo:
º90X
1
º90X
1
Z
1Y
LLLL
LL
X
1B (siemens, S), tem-se: º90BY LL
209
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM PARALELO
ADMITÂNCIA E SUSCEPTÂNCIA
Figura 1 – Circuito CA em paralelo.
O inverso da reatância (1/X) é denominado susceptância,
cujo valor indica o quanto um componente é susceptível à
passagem de corrente.
A susceptância também é medida em siemens e
representada pela letra B.
Para os capacitores:
Definindo:
C
CX
B1
(siemens, S), tem-se: º90 CC BY
º90X
1
º90X
1
Z
1Y
CCCC
210
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM PARALELO
ADMITÂNCIA E SUSCEPTÂNCIA
Nos circuitos CA o diagrama de admitâncias é usado com as
três admitâncias representadas como mostra a Figura 2, onde a
condutância está no eixo real positivo, enquanto as
susceptâncias indutiva e capacitiva estão em sentidos opostos
no eixo imaginário.
Qualquer que seja a configuração
(série, paralelo, etc.), o ângulo de fase
associado à admitância total coincide
com o ângulo pelo qual a corrente está
adiantada da tensão aplicada.
Nos circuitos indutivos, θT é
negativo, enquanto nos circuitos
capacitivos, θT é positivo.
Figura 2 – Diagrama de admitâncias.
211
1- Para o circuito visto na figura ao lado:
a) Calcule as admitâncias dos dois termos.
b) Determine a admitância de entrada.
c) Calcule a impedância de entrada.
d) Construa ao diagrama de admitâncias
EXEMPLOS NUMÉRICOS
Solução:
a)
0jS05,0º0S05,0Y
º020
1
º0R
1º0GY
R
R
S1,0j0º90S1,0Y
º9010
1
º90X
1º90BY
L
LLL
b)
LT
LRT
jBGS1,0jS05,0Y
S1,0j00jS05,0YYY
c)
º43,6393,8Z
º43,63S112,0
1
S1,0jS05,0
1
Y
1Z
T
TT
d)
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM PARALELO
ADMITÂNCIA E SUSCEPTÂNCIA
212
1- Para o circuito visto na figura ao lado:
a) Calcule as admitâncias dos dois termos.
b) Determine a admitância de entrada.
c) Calcule a impedância de entrada.
d) Construa ao diagrama de admitâncias
EXEMPLOS NUMÉRICOS
Solução:
a)
0jS05,0º0S05,0Y
º020
1
º0R
1º0GY
R
R
S1,0j0º90S1,0Y
º9010
1
º90X
1º90BY
L
LLL
b)
LT
LRT
jBGS1,0jS05,0Y
S1,0j00jS05,0YYY
c)
º43,6393,8Z
º43,63S112,0
1
S1,0jS05,0
1
Y
1Z
T
TT
d)
Quando for necessário se dividir o número 1 por um número complexo na forma
retangular pode-se usar a fórmula geral abaixo:
2222 ba
bj
ba
a
jba
1
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM PARALELO
ADMITÂNCIA E SUSCEPTÂNCIA
213
No circuito CA em paralelo mostrado na Figura 3, a
impedância ou a admitância total é determinada como visto no
exemplo anterior, enquanto a corrente da fonte é calculada
usando-se a lei de Ohm, como segue:
TT
YEZ
EI
Figura 3 – Circuito CA em paralelo.
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM PARALELO
214
No circuito CA em paralelo mostrado na Figura 3, a
impedância ou a admitância total é determinada como visto no
exemplo anterior, enquanto a corrente da fonte é calculada
usando-se a lei de Ohm, como segue:
TT
YEZ
EI
Figura 3 – Circuito CA em paralelo.
Como a tensão é a mesma nos elementos em paralelo, a corrente
em cada ramo pode ser determinada usando-se novamente a lei
de Ohm:
11
1 YEZ
EI 2
22 YE
Z
EI e
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM PARALELO
215
No circuito CA em paralelo mostrado na Figura 3, a
impedância ou a admitância total é determinada como visto no
exemplo anterior, enquanto a corrente da fonte é calculada
usando-se a lei de Ohm, como segue:
TT
YEZ
EI
Figura 3 – Circuito CA em paralelo.
A lei de Kirchhoff para correntes pode então ser aplicada da
mesma maneira que nos circuitos de corrente contínua,
lembrando que agora se está lidando com grandezas que
possuem módulo e fase.
11
1 YEZ
EI 2
22 YE
Z
EI
2121 III0III
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM PARALELO
216
No circuito CA em paralelo mostrado na Figura 3, a
impedância ou a admitância total é determinada como visto no
exemplo anterior, enquanto a corrente da fonte é calculada
usando-se a lei de Ohm, como segue:
TT
YEZ
EI
Figura 3 – Circuito CA em paralelo.
A potência fornecida ao circuito é dada por:
11
1 YEZ
EI 2
22 YE
Z
EI
2121 III0III
TT cosIEP
Onde θT é a diferença de fase entre E e I.
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM PARALELO
217
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM PARALELO
CIRCUITO RL EM PARALELO
Um circuito R-L paralelo é dado na Figura 4.
Figura 4 – Circuito R-L em paralelo.
Sua notação fasorial é mostrada na Figura 5.
Figura 5 – Notação fasorial do circuito R-L da
Figura 4.
218
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM PARALELO
CIRCUITO RL EM PARALELO
Figura 5 – Notação fasorial do circuito R-L
da Figura 4.
A admitância, YT e a
impedância, ZT, do circuito
podem ser determinadas
por:
º13,535,04,03,0º904,0º03,0
º905,2
1º0
33,3
1º90º0
SYSjSSSY
BGYYY
TT
LLRT
Sua notação fasorial do
circuito RL paralelo:
º13,532Zº13,53S5,0
1
Y
1Z T
TT
219
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM PARALELO
CIRCUITO RL EM PARALELO
Figura 5 – Notação fasorial do circuito R-L
da Figura 4. º13,535,04,03,0º904,0º03,0
º905,2
1º0
33,3
1º90º0
SYSjSSSY
BGYYY
TT
LLRT
Sua notação fasorial do
circuito RL paralelo:
º13,532Zº13,53S5,0
1
Y
1Z T
TT
Sua notação fasorial é mostrada
na Figura 5.
Figura 6 – Diagrama de impedâncias do circuito R-L da Figura 4.
220
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM PARALELO
CIRCUITO RL EM PARALELO
Figura 5 – Notação fasorial do circuito R-L
da Figura 4.
º13,535,04,03,0º904,0º03,0
º905,2
1º0
33,3
1º90º0
SYSjSSSY
BGYYY
TT
LLRT
Sua notação fasorial do
circuito RL paralelo:
º13,532Zº13,53S5,0
1
Y
1Z T
TT
A corrente I da fonte é calculada por: Figura 6 – Diagrama de impedâncias do circuito R-L da
Figura 4.
º0A10I)º13,53S5,0()º13,53V20(YEZ
EI T
T
221
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM PARALELO
CIRCUITO RL EM PARALELO
Figura 5 – Notação fasorial do circuito R-L
da Figura 4.
º13,535,04,03,0º904,0º03,0
º905,2
1º0
33,3
1º90º0
SYSjSSSY
BGYYY
TT
LLRT
Sua notação fasorial do
circuito RL paralelo:
º13,532Zº13,53S5,0
1
Y
1Z T
TT
As correntes IR e IL ficam:
º0A10I)º13,53S5,0()º13,53V20(YEZ
EI T
T
º13,53A6I)º0S3,0()º13,53V20()º0G()º0E(º0R
º0EIR
º87,36A8I
)º90S4,0()º13,53V20()º90B()º0E(º90X
º0EI
L
LL
L
222
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM PARALELO
CIRCUITO RL EM PARALELO
Figura 5 – Notação fasorial do circuito R-L
da Figura 4.
º13,535,04,03,0º904,0º03,0
º905,2
1º0
33,3
1º90º0
SYSjSSSY
BGYYY
TT
LLRT
Sua notação fasorial do
circuito RL paralelo:
º13,532Zº13,53S5,0
1
Y
1Z T
TT
A lei de Kirchhoff, I = IR + IL, também pode ser usada para se
determinar o valor das correntes.
º0A10I)º13,53S5,0()º13,53V20(YEZ
EI T
T
º13,53A6I)º0S3,0()º13,53V20()º0G()º0E(º0R
º0EIR
º87,36A8I
)º90S4,0()º13,53V20()º90B()º0E(º90X
º0EI
L
LL
L
223
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM PARALELO
CIRCUITO RL EM PARALELO
Figura 5 – Notação fasorial do circuito R-L
da Figura 4.
O diagrama de fasores
mostrado na Figura 7 indica
que a tensão aplicada E está
em fase com a corrente IR e
adiantada 90º em relação à
corrente IL.
Figura 7 – Diagrama de fasores para o circuito R-L
da Figura 4.
A potência total em watts fornecida ao
circuito é:
W120P)º13,53cos()A10()V20(cosIEP TTT
O fator de potência deste circuito é:
atrasado6,0F)º13,53cos(cosF PTP
O fator de potência também pode ser determinado por:
atrasado6,0FS5,0
S3,0
Y
GcosF P
TTP
224
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM PARALELO
CIRCUITO RL EM PARALELO
A corrente I também pode ser obtida pelo método da impedância,
ou seja:
Figura 7 – Diagrama de fasores para o circuito R-L
da Figura 4.
Portanto;
º13,532º87,36164,4
º90325,8
)º905,2()º033,3(
)º905,2()º033,3(
LR
LRT
ZZ
ZZZ
º0A10Iº13,532
º13,53V20
Z
EI
T
225
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM PARALELO
CIRCUITO RC EM PARALELO
Um circuito R-C paralelo é dado na Figura 8.
Figura 8 – Circuito R-C em paralelo.
Sua notação fasorial é mostrada na Figura 9.
Figura 9 – Notação fasorial do circuito R-C da
Figura 8.
226
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM PARALELO
CIRCUITO RC EM PARALELO
Um circuito R-C paralelo é dado na Figura 8.
A admitância, YT e a
impedância, ZT, do circuito
podem ser determinadas por: Figura 9 – Notação fasorial do circuito R-C
T R C C
T T
1 1Y Y Y G 0º B 90º 0º 90º
1,67 1,25
Y 0,6S 0º 0,8S 90º 0,6S j0,8S Y 1,0S 53,13º
º13,531Zº13,53S0,1
1
Y
1Z T
TT
227
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM PARALELO
CIRCUITO RC EM PARALELO
Um circuito R-C paralelo é dado na Figura 8.
A admitância, YT e a
impedância, ZT, do circuito
podem ser determinadas por: Figura 9 – Notação fasorial do circuito R-C
T R C C
T T
1 1Y Y Y G 0º B 90º 0º 90º
1,67 1,25
Y 0,6S 0º 0,8S 90º 0,6S j0,8S Y 1,0S 53,13º
º13,531Z
º13,53S0,1
1
Y
1Z T
TT
O diagrama de admitâncias é
apresentado na Figura 10:
Figura 10 – Diagrama de admitâncias do circuito R-C da Figura 8.
228
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM PARALELO
CIRCUITO RC EM PARALELO
Um circuito R-C paralelo é dado na Figura 8.
A admitância, YT e a
impedância, ZT, do circuito
podem ser determinadas por: Figura 9 – Notação fasorial do circuito R-C
T R C C
T T
1 1Y Y Y G 0º B 90º 0º 90º
1,67 1,25
Y 0,6S 0º 0,8S 90º 0,6S j0,8S Y 1,0S 53,13º
º13,531Z
º13,53S0,1
1
Y
1Z T
TT
A tensão E fornecida pela fonte é calculada por:
º13,53V10º13,53S0,1
º0A10
Y
IZIE
TT
229
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM PARALELO
CIRCUITO RC EM PARALELO
Um circuito R-C paralelo é dado na Figura 8.
A admitância, YT e a
impedância, ZT, do circuito
podem ser determinadas por: Figura 9 – Notação fasorial do circuito R-C
T R C C
T T
1 1Y Y Y G 0º B 90º 0º 90º
1,67 1,25
Y 0,6S 0º 0,8S 90º 0,6S j0,8S Y 1,0S 53,13º
º13,531Z
º13,53S0,1
1
Y
1Z T
TT
As correntes IR e IC ficam: º13,53V10
º13,53S0,1
º0A10
Y
IZIE
TT
º13,53A6I)º0S6,0()º13,53V10()º0G()º0E(IR
º87,36A8I
)º90S8,0()º13,53V10()º90B()º0E(I
C
CC
A lei de Kirchhoff, I = IR + IC, também pode ser usada para se determinar o valor das correntes.
230
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM PARALELO
CIRCUITO RC EM PARALELO
Um circuito R-C paralelo é dado na Figura 8.
O diagrama de fasores
mostrado na Figura 11 indica
que a tensão E está em fase
com a corrente IR e atrasada
90º em relação à corrente no
capacitor IC.
Figura 9 – Notação fasorial do circuito R-C
No domínio do tempo as
equações de tensão e
corrente ficam:
Figura 11 – Diagrama de fasores para o circuito R-C da
Figura 8.
)º87,36t(sen31,11)º87,36t(sen)8(2i
)º13,53t(sen48,8)º13,53t(sen)6(2i
)º13,53t(sen14,14)º13,53t(sen)10(2e
C
R
231
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM PARALELO
CIRCUITO RC EM PARALELO
Um gráfico com todas as curvas das correntes e da tensão é
apresentado na Figura 12, onde se nota que e e iR estão em
fase e que e está atrasada 90º em relação à iC.
Figura 12 – Formas de onda para o circuito R-C da
Figura 8
232
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM PARALELO
CIRCUITO RC EM PARALELO
Um gráfico com todas as curvas das correntes e da tensão é
apresentado na Figura 12, onde se nota que e e iR estão em
fase e que e está atrasada 90º em relação à iC.
Figura 12 – Formas de onda para o circuito R-C da
Figura 8
A tensão E fornecida pela fonte é calculada por:
W60P)º13,53cos()A10()V10(cosIEP TTT
O fator de potência deste circuito é:
adiantado6,0F)º13,53cos(cosF PTP
O fator de potência deste circuito é:
adiantado6,0FS0,1
S6,0
Y
GcosF P
TTP
233
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM PARALELO
CIRCUITO RC EM PARALELO
Um gráfico com todas as curvas das correntes e da tensão é
apresentado na Figura 12, onde se nota que e e iR estão em
fase e que e está atrasada 90º em relação à iC.
Figura 12 – Formas de onda para o circuito R-C da
Figura 8
W60P)º13,53cos()A10()V10(cosIEP TTT
A tensão E também pode ser obtida pelo método da impedância, ou seja:
adiantado6,0F)º13,53cos(cosF PTP
adiantado6,0FS0,1
S6,0
Y
GcosF P
TTP
º13,531º87,3609,2
º9009,2
)º9025,1()º067,1(
)º9025,1()º067,1(
ZZ
ZZZ
CR
CRT
Portanto:
º13,53V10E)º13,531()º0A10(ZIE T
234
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM PARALELO
CIRCUITO RLC EM PARALELO
Um circuito R-L-C paralelo é dado na Figura 13.
Figura 13 – Circuito R-L-C em paralelo.
Sua notação fasorial é mostrada na Figura 14.
Figura 14 – Notação fasorial do circuito R-L-C da
Figura 13.
235
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM PARALELO
CIRCUITO RLC EM PARALELO
A admitância, YT e a impedância, ZT, do circuito podem ser
determinadas por:
Figura 14 – Notação fasorial do circuito R-L-C.
º13,53S5,0YS4,0jS3,0YS3,0jS7,0jS3,0Y
º90S3,0º90S7,0º0S3,0Y
º9033,3
1º90
43,1
1º0
33,3
1Y
º90Bº90Bº0GYYYY
TTT
T
T
CLCLRT
º13,532Z
º13,53S5,0
1
Y
1Z
T
TT
236
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM PARALELO
CIRCUITO RLC EM PARALELO
O diagrama de admitâncias é apresentado na Figura 15. Figura 14 – Notação fasorial do circuito R-L-C.
º13,53S5,0YS4,0jS3,0YS3,0jS7,0jS3,0Y
º90S3,0º90S7,0º0S3,0Y
º9033,3
1º90
43,1
1º0
33,3
1Y
º90Bº90Bº0GYYYY
TTT
T
T
CLCLRT
º13,532Z
º13,53S5,0
1
Y
1Z
T
TT
Figura 15 – Diagrama de impedâncias do circuito R-L-C da Figura 13.
A corrente I fornecida pela fonte é calculada
por:
º0A50I
)º13,53S5,0()º13,53V100(I
YEZ
EI T
T
237
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM PARALELO
CIRCUITO RLC EM PARALELO
Figura 14 – Notação fasorial do circuito R-L-C.
º13,53S5,0YS4,0jS3,0YS3,0jS7,0jS3,0Y
º90S3,0º90S7,0º0S3,0Y
º9033,3
1º90
43,1
1º0
33,3
1Y
º90Bº90Bº0GYYYY
TTT
T
T
CLCLRT
º13,532Z
º13,53S5,0
1
Y
1Z
T
TT
As correntes IR, IL e IC ficam:
º0A50I
)º13,53S5,0()º13,53V100(I
YEZ
EI T
T
º13,53A30I)º0S3,0()º13,53V100()º0G()º0E(IR
º87,36A70I
)º90S7,0()º13,53V100()º90B()º0E(I
L
LL
º13,143A30I
)º90S3,0()º13,53V100()º90B()º0E(I
C
CC
238
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM PARALELO
CIRCUITO RLC EM PARALELO
A lei de Kirchhoff, I = IR + IL + IC, também pode
ser usada para se determinar o valor das
correntes.
º13,53A30I)º0S3,0()º13,53V100()º0G()º0E(IR º87,36A70I
)º90S7,0()º13,53V100()º90B()º0E(I
L
LL
º13,143A30I
)º90S3,0()º13,53V100()º90B()º0E(I
C
CC
O diagrama de fasores mostrado na Figura 16
indica que a tensão E está em fase com a
corrente IR e atrasada 90º em relação à
corrente no capacitor IC.
Figura 16 – Diagrama de fasores para o circuito R-L-C da Figura 13.
No domínio do tempo as equações de
tensão e corrente ficam:
)º13,143(42,42)º13,143()30(2
)º87,36(98,98)º87,36()70(2
)º13,53(42,42)º13,53()30(2
)(70,70)()50(2
tsentseni
tsentseni
tsentseni
tsentseni
C
L
R
239
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM PARALELO
CIRCUITO RLC EM PARALELO Um gráfico com todas as curvas das correntes
e da tensão é apresentado na Figura 17, onde
se nota que e e iR estão em fase e que e está
atrasada 90º em relação à iC.
Figura 17 – Formas de onda para o circuito R-L-C da Figura 13.
240
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM PARALELO
CIRCUITO RLC EM PARALELO Um gráfico com todas as curvas das correntes
e da tensão é apresentado na Figura 17, onde
se nota que e e iR estão em fase e que e está
atrasada 90º em relação à iC.
Figura 17 – Formas de onda para o circuito R-L-C da Figura 13.
241
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM PARALELO
CIRCUITO RLC EM PARALELO Um gráfico com todas as curvas das correntes
e da tensão é apresentado na Figura 17, onde
se nota que e e iR estão em fase e que e está
atrasada 90º em relação à iC.
Figura 17 – Formas de onda para o circuito R-L-C da Figura 13.
242
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM PARALELO
CIRCUITO RLC EM PARALELO Um gráfico com todas as curvas das correntes
e da tensão é apresentado na Figura 17, onde
se nota que e e iR estão em fase e que e está
atrasada 90º em relação à iC.
Figura 17 – Formas de onda para o circuito R-L-C da Figura 13.
A potência total em watts fornecida ao
circuito é:
W3000P)º13,53cos()A50()V100(cosIEP TTT
O fator de potência deste circuito é:
atrasado6,0F)º13,53cos(cosF PTP
O fator de potência também pode ser determinado por:
atrasado6,0FS5,0
S3,0
Y
GcosF P
TTP
A corrente I também pode ser obtida pelo método da impedância, ou seja:
º13,532ZZZZZZ
ZZZZ
CRLLLR
CLRT
º0A50Iº13,532
º13,53V100
Z
EI
T
Portanto:
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM PARALELO
REGRA DOS DIVISORES DE CORRENTE
Para dois ramos em paralelo de impedâncias Z1 e Z2, como mostra a Figura 18:
21
T21
ZZ
IZI
21
T12
ZZ
IZI
ou
Figura 18 – Aplicação da regra dos divisores de corrente.
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM PARALELO
1 - Para o circuito da figura abaixo:
a) Determine YT.
b) Construa o diagrama de admitâncias.
EXEMPLOS NUMÉRICOS
Solução:
c) Calcule E e IL.
d) Calcule o fator de potência e a potência fornecida ao circuito.
a) Combinando os componentes em comum e
calculando a reatância do indutor e do capacitor
equivalente, tem-se:
84010TR
mHmHmHLT 4126
FFFCT 1002080
4104/1000 3 HsradLX L
1010100/1000
116 FsradC
XC
A admitância total é:
º90º90º0 CLCLRT BBGYYYY
º9010
1º90
4
1º0
8
1TY
º901,0º9025,0º012,0 SSSYT
SjSYSjSjSY TT 15,0125,01,025,0125,0
º194,50195,0 SYT
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM PARALELO
1 - Para o circuito da figura abaixo:
a) Determine YT.
b) Construa o diagrama de admitâncias.
EXEMPLOS NUMÉRICOS
Solução:
c) Calcule E e IL.
d) Calcule o fator de potência e a potência fornecida ao circuito.
b) O diagrama de admitâncias é:
84010TR
mHmHmHLT 4126
FFFCT 1002080
4104/1000 3 HsradLX L
1010100/1000
116 FsradC
XC
A admitância total é:
º90º90º0 CLCLRT BBGYYYY
º9010
1º90
4
1º0
8
1TY
º901,0º9025,0º012,0 SSSYT
SjSYSjSjSY TT 15,0125,01,025,0125,0
º194,50195,0 SYT
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM PARALELO
1 - Para o circuito da figura abaixo:
a) Determine YT.
b) Construa o diagrama de admitâncias.
EXEMPLOS NUMÉRICOS
Solução:
c) Calcule E e IL.
d) Calcule o fator de potência e a potência fornecida ao circuito.
c) E e IL são dados por:
º194,50195,0
º012
S
A
Y
IE
T
º19,5054,61 VE
º904
º19,5054,61 V
Z
VI
L
LL º81,3939,15 AIL
d) O fator de potência deste circuito é:
)IarelaçãoemadiantadoE(atrasado641,0FS195,0
S125,0
Y
GcosF P
TTP
WPAVIEP TTT 75,472)º19,50cos()12()538,61(cos
BIBLIOGRAFIA
Boylestad, R. L. – INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE CIRCUITOS – 10ª Edição. Pearson Education do Brasil. São Paulo / SP. 2004.
Instrumentos de medidas
Bipolo gerador ponte de operações
Ponte de Wehatstone
247
CIRCUITOS ELÉTRICOS
248
Aplicando a análise de malhas ou a análise
nodal no circuito em ponte da Figura 14 e
considerando que a corrente na impedância
Z5 vale zero, demonstra-se que:
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM PARALELO
CIRCUITOS EM PONTE
Figura 14 – Definição das correntes de malha e de blocos
de impedância no circuito em ponte.
3241 ZZZZ
Aplicando a análise de malhas ou a
análise nodal no circuito em ponte da Figura
14 e considerando que a corrente na
impedância Z5 vale zero, demonstra-se que:
Investigando este critério de equilíbrio,
considerando o circuito mostrado na Figura
15 onde I = V = 0, tem-se:
Como I = 0: e 31 II 42 II
Figura 15 – Investigação do critério de equilíbrio para um
circuito CA em ponte.
Além disso, para V = 0:
44332211 ZIZIeZIZI