CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ 12 - · PDF fileTRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT...

TRUNG TÂM BDKT VÀ LTĐH 36/73 NGUYỄN HOÀNGTRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG

SĐT: 01234332133-0978421673

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ 12LUYỆN THI

TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG, ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG

Hueá, thaùng 7/2012

* GTLN Và GTNN của hàm số

* Tiệm cận của đồ thị hàm số

* KSHS hàm bậc ba, trùng phương, hửu tỉ

TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ

Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư1

MỤC LỤC

Bài 3. Giá tị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

- Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng đỉnh nghĩa

- Dạng 2: Đặt ẩn phụ tìm GTLL và GTNN

- Dạng 3: Ứng dụng giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

- Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN và GTNN trên một miền

Bài 4. Tiệm cận của đồ thị hàm số

- Dạng 1: Tìm tiêm cận ngang và tiệm cận đứng bằng định nghĩa

- Dạng 2: Một số bài toán liên quan đến tiệm cận. Tìm m thỏa điều kiện Kcho trước

Chủ đề: Tiệm cận xiên (Thảo luận)

- Dạng 3: Các bài toán liên quan đến tiệm cận hàm phân thức

Bài 5. Khảo sát hàm số

Vấn đề 1: Hàm trùng phương

- Dạng 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

- Dạng 2: Một số bài toán liên quan đên hàm trùng phương

Vấn đề 2: Hàm bậc ba


- Dạng 2: Một số bài toán liên quan đên hàm bậc ba

Vấn đề 3: Hàm phân thức hữu tỉ


- Dạng 2: Một số bài toán liên quan đên hàm phân thức hữu tỉ

www.VNMATH.com



BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

A. KIẾN THỨC CẦN NẮM

1. Định nghĩa:

Giả sử hàm số f xác định trên miền D (D R).

a) 0 0

( ) ,max ( )

: ( )D

f x M x DM f x

x D f x M

b) 0 0

( ) ,min ( )

: ( )D

f x m x Dm f x

x D f x m

2. Tính chất:

a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì [ ; ][ ; ]

max ( ) ( ), min ( ) ( )a ba b

f x f b f x f a .

b) Nếu hàm số f nghịch biến trên [a; b] thì [ ; ][ ; ]

max ( ) ( ), min ( ) ( )a ba b

f x f a f x f b .



B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.

Tính f (x).

Xét dấu f (x) và lập bảng biến thiên.

Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.

Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn

[a; b].

Tính f (x).

Giải phương trình f (x) = 0 tìm được các nghiệm x 1, x2, …, xn trên [a; b] (nếucó).

Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn).

So sánh các giá trị vừa tính và kết luận.

1 2[ ; ]max ( ) max ( ), ( ), ( ), ( ),..., ( )na b

M f x f a f b f x f x f x

1 2[ ; ]min ( ) min ( ), ( ), ( ), ( ),..., ( )na b

m f x f a f b f x f x f x

BÀI TẬP MẪU:

Bài 1. Tìm GTLL và GTNN (nếu có) của các hàm số sau:

3 1)3

xa yx

trên đoạn [0;2]

b)

2

2

3 11

x xyx x

DẠNG 1: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

www.VNMATH.com



Hướng dẫn:

b) Bảng biến thiên

x 0 2

'y - 0 + 0 +

y3 11

3

Dựa vào bảng biến thiên, học sinh có thể dễ dàng xác đinh GTLL,GTNN

Bài 2. Tìm GTLL và GTNN (nếu có) của các hàm số sau:

a) 2 4 3y x x b) 4 22y x x c) 4 22 2y x x

Hướng dẫn:

b) Hàm số xác định trên

Bảng biến thiên:

x -1 0 1

'y - 0 + 0 - 0 +

y 0

Dựa vào bảng biến thiên:

Hàm đạt gía trị nhỏ nhất tại 1x ,

1Min y . Hàm không có giá trị lớn nhất

Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

1 3

-1 -1



22x

yx

trên 0;

Hướng dẫn:

Hàm xác định trên tập 0;

2 0;' 0

2

xy

x

Bảng biến thiên

x 0 2

'y - +

y 8

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm đạt giá trị nhỏ nhất tại

0;

2, 8x Min y

Hàm không có giá trị lớn nhất

Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 2 5 6y x x trên đoạn [-1;6]

Hướng dẫn:

Hàm đạt giá trị nhỏ nhất tại x=-1; x=6 và đạt giá trị lớn nhất tại 52

x

Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

26 4y x x trên đoạn [0;3]

Hướng dẫn: Hàm đạt giá trị lớn nhất tại x=3, nhỏ nhất tại x=0

Bài 6. (Đề thi TSĐH 2003 khối B) . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

24y x x

Hướng dẫn:

Cách 1: Tập xác định 2;2D ;

www.VNMATH.com



2

21 ; 0 4

4xy y x x

x

2 2

02

4x

xx x

max 2 2min 2

yy

Cách 2: Đặt 2sin , ;

2 2x u u

2 sin cos 2 2 sin 2;2 24

y u u u ; max 2 2 ; min 2y y

Bài 7. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

2

11

xyx

trên đoạn [-1;2]

Hướng dẫn:

Hàm đạt giá trị nhỏ nhất tại x=-1 và đạt giá trị lớn nhất tại 1x

Bài 8. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 3 23 1y x x trên đoạn [-2;1]

Hướng dẫn:

Hàm đã cho xác định trên 2;1

Đặt 3 2( ) 3 1, 2;1g x x x x ,

0'( ) 0

2 2;1x

g xx

Do đó:

2;1 2;1

( ) 1; ( ) 19Max g x Min g x

Ta có: 2;1 ( ) 19;1 ( ) 0;19x g x g x

1 1(0). ( 1) 0 0;1 : ( ) 0g g x g x . Vậy

2;1 2;1

( ) 19; ( ) 0Max f x Min f x

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a)

2

2

11

x xyx x

b) 3 44 3y x x c)

4 2

3

1 ( 0)x xy xx x



d) 2 2y x x e) 2

12 2

xyx x

f)

2

2

2 4 51

x xyx

g) 2 1 ( 0)y x xx


a) 3 22 3 12 1y x x x trên [–1; 5] b) 33y x x trên [–2; 3]

c) 4 22 3y x x trên [–3; 2] d) 4 22 5y x x trên [–2; 2]

e)

3 13

xyx

trên [0; 2] f)

11

xyx

trên [0; 4]

g)

24 7 72

x xyx

trên [0; 2] h)

2

2

11

x xyx x

trên [0; 1]


a) 2100y x trên [–6; 8] b) 2 4y x x

c) 22y x x

Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất và gí trị nhỏ nhất của hàm số 3 2 72 90y x x x trên

đoạn [-5;5]

Hướng dẫn:

Hàm số đã cho xác định trên 5;5

Đặt 3 2( ) 72 90, 5;5g x x x x x

Ta có :

6 5;5'( ) 0

4 5;5

xg x

x

Với (4) 86; ( 5) 400; (5) 70g g g

Do đó: 86 ( ) 400 0 ( ) 400 0 ( ) 400g x g x f x

Vậy

5;5ax ( ) 400 5M f x khi x

www.VNMATH.com



Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số sin2y x x trên đoạn

;2

Hướng dẫn:

5'( ) 0 ; ;6 6 6

f x x

Vậy:

; ;

2 2

5 3 5( ) ; ( )6 2 6 2 2

Max f x khi x Min f x khi x



Khi đặt ẩn phụ, cần chú ý một số điều sau:

Nếu đặt 2t x thì 0t và giả sử 1;1 0;1x t

Nếu sin1;1

cost x

tt x

Nếu 2

2

sin0;1

ost x

tt c x

BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Bài 1. (Đề dự bị TSĐH 2003 khối B) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của

36 24 1y x x trên đoạn 1;1 .

Hướng dẫn:

Đặt 2 0;1u x . Ta có 33 3 24 1 3 12 12 4y u u u u u

2

239 24 12 02 0;1

uy u u

u

Từ đó ta được 4max 4;min9

y y

Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và gí trị nhỏ nhất của hàm số 6 4 29 134 4

y x x x trên

đoạn [-1;1]

Hướng dẫn:

Đặt 2 0;1 , 1;1t x t x ta có:

3 2 9 1( ) 34 4

f t t t t liên tục trên đoạn [0;1]

DẠNG 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TÌM GTLL VÀ GTNN

www.VNMATH.com



12'( ) 03 0;12

tf t

t

0;1 1;1

[ 1;1]0;1

3 1 3 2( ) ( )4 2 4 21 1( ) 0 ( ) 04 4

Max f t khi t hay Max f x khi x

Min f t khi t hay Min f x khi x

Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 4 2sin os 2y x c x

Hướng dẫn:

Hàm đã cho xác định trên

4 2 4 2sin os 2 sin sin 3y x c x x x

Đặt 2sin , 0;1t x t . Xét hàm 2( ) 3, 0,1f t t t t

Vậy

0;1 0;1

11( ) 3; ( )4

Max f x Min f x

Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

2

s inx 1sin s inx 1

yx

Hướng dẫn:

Đặt sin , 1;1t x t

2

1( ) 1;11

tf tt t

, ( )f t liên tục trên 1;1 , '( ) 0 0f t t

1;1

1;1

( ) ( ) 0 sin 1 2 ,2

( ) ( ) 0 sin 0 ,

Max f x Max f t khi x x k k

Min f x Min f t khi x x k k

Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2 2sin os4 4x c xy

Hướng dẫn:

Cách 1:



2 2 2 2 2

2sin os sin 1 sin sin

sin

44 4 4 4 44

x c x x x x

xy

Đặt 2sin4 , 0;4xt t , xét hàm số

2 4 , 1;4ty tt

Từ đó suy ra được:

1;4 1;1( ) ( ) 5 ; ( ) ( ) 4Max f x Max f t Min f x Min f t

Cách 2:

Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân ta có:

2 2sin os4 4 2 4 4.x c x Đẳng thức xảy ra khi

2 2sin os4 4 ,2 2

x c x kx k

22 2 2 2

2

sinsin os sin os

os

4 14 1 4 1 0 4 4 5

4 1

xx c x x c x

c x

Đẳng thức xảy ra khi sin 0x hoặc cos 0x

Vậy 4 ; 5

4 2 2k kMiny khi x Maxy khi x



a)

2sin 1sin 2

xyx

b) 2

1cos cos 1

yx x

c) 22sin cos 1y x x d) cos2 2sin 1y x x


a)

2

4 2

11

xyx x

b) 2 24 4 3y x x x x

g) 2 24 2 5 2 3y x x x x e) 3 3sin cosy x x

www.VNMATH.com



Phương pháp:

Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên miền D và có min ( ) ; max ( )D D

f x m f x M .

Khi đó:

1) Hệ phương trình

( )f xx D

có nghiệm m M.

2) Hệ bất phương trình

( )f xx D

có nghiệm M .

3) Hệ bất phương trình

( )f xx D

có nghiệm m .

4) Bất phương trình f(x) đúng với mọi x m .

5) Bất phương trình f(x) đúng với mọi x M .


Bài 1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm x 0; 1 3 :

2 2 2 1 (2 ) 0 (2)m x x x x

Hướng dẫn:

Đặt 2t x 2x 2 . (2)

2t 2m (1 t 2),do x [0;1 3]t 1

Khảo sát2t 2g(t)t 1

với 1 t 2; '( ) 0g t . Vậy g tăng trên [1,2]

Do đó, ycbt bpt2t 2mt 1

có nghiệm t [1,2] t

m g t g1;2

2max ( ) (2)3

Bài 2. Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân b iệt:

2 210 8 4 (2 1). 1x x m x x

Hướng dẫn:

DẠNG 3: ỨNG DỤNG VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNGTRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH:



Nhận xét: 2 2 21 0 8 4 2(2 1) 2( 1) x x x x

(pt)2

2 2

2 1 2 12 2 01 1

x xmx x

. Đặt2

2 11

x tx

Điều kiện : –2< t 5 .

Rút m ta có: m=22 2tt

. Lập bảng biên thiên 1245

m hoặc –5 < 4 m

Bài 3.

2 2Tìm tham soá m ñeå baát phöông trình 2 24 2 (1) coù nghieämtreân 4;6

x x x x m

Hướng dẫn:

2

2

2

2 24, 4,6 thì t 0;5

ycbt tìm m ñeå baát phöông trình 24 coù nghieäm thöïc t 0;5

Xeùt haøm soá f(t)= 24, lieân tuïc treân 0;5

Ñaët t x x x

t t m

t t

0;5

Ta coù: '( ) 0, 0;5 ( ) lieân tuïc vaø ñoàng bieán treân 0;5

Vaäy bpt coù nghieäm thöïc treân ñoaïn 0;5 khi ax ( ) (5) 6

f t t f t

m f t m f m m

Bài 4. Tìm m để hệ BPT:

2

3 2

3 02 2 4 0

x xx x x m m

(1) có nghiệm.

Giải. (1)

3 2

0 32 2 4

xf x x x x m m

(2).

Ta có:

2

2

3 4 4 0;23 4 4 2;3

x x xf x

x x x;

(x) 0 23

x . Hàm không có đạo hàm tại 2x

Nhìn BBTsuy ra:

0;3

Max 3 21x

f x f

Để (2) có nghiệm thì

2

0;3Max 4x

f x m m 2 4 21m m 3 m 7

www.VNMATH.com



Bài 5. Tìm m để PT: 2

2 2sin2 1 cosx m x (1) có nghiệm ,

2 2x

Giải. Do ,2 2

x

,2 4 4x nên đặt tg 1,1

2xt

2

21cos1

txt

; 22sin

1txt

. Khi đó (1) 2 2

2 sin cos 1 cosx x m x

2 22 2 222 2

2 1 12 1 2 1 21 1

t t tm f t t t mt t

(2)

Ta có: 22 2 1 2 2 0 1; 1 2f t t t t t t

Để (2) có nghiệm 1,1t

thì

1,1 1,1

Min 2 Maxt t

f t m f t

0 2 4 0 2m m . Vậy để (1) có nghiệm ,

2 2x thì 0;2m .

@ Chú ý: ở bài trên ta đã sử dụng công thức đặt tg2xt thì

2

21cos1

txt

;

22sin

1txt

. Công thức này trong SGK không có. Tuy nhiên, ta nên biết để khi

nào thấy “bí” đem ra dùng. Việc chứng minh công thức trên tương đối dễ dàng.

Bài 4. Giải phương trình: 4 42 4 2x x

Gợi ý: yêu cầu học sinh phải nắm công thức tính đạo hàm của hàm lũy thừa(chương II-Giait tích 12

Hướng dẫn:

Đặt 4 42 4f x x x với 2 4x

3 34 4

1 1 1 0 34 2 4

f x xx x

Nhìn BBT suy ra: 3 2 2,4f x f x

Phương trình 4 42 4 2f x x x có nghiệm duy nhất x 3

Bài 5. Giải phương trình: 3 5 6 2x x x



Hướng dẫn:

PT 3 5 6 2 0x xf x x . Ta có: 3 ln3 5 ln5 6x xf x

2 2

3 ln3 5 ln5 0x xf x x (x) đồng biến

Mặt khác (x) liên tục và

0 ln3 ln5 6 0f , 1 3ln3 5ln5 6 0f

Phương trình (x) 0 có đúng 1 nghiệm x0

Nhìn bảng biến thiên suy ra:

Phương trình 3 5 6 2 0x xf x x có không quá 2 nghiệm.


Bài 1. Giải các phương trình sau: 5 5 1(1 )16

x x

Bài 2. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

a) 3 6 (3 )(6 )x x x x m

b) mmxxxx 2223 22

Hướng dẫn:

b)

(*)2

2 2

3 2 03 2 2 2

x xx x x mx m

mxxxfx

xxmx

2123)(21

23)1(221

f(x) liên tục trên 1;2 và có

25( ) 0, 1;21

f x xx

)(xf đồng biến trên 2;1

Bài toán yêu cầu 1 2(1) 2 (2)4 3

f m f m

Bài 3. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x R:

a) 22 1x x m c) 4 4 0mx x m

Bài 4. Cho bất phương trình: 3 22 1 0x x x m .

www.VNMATH.com



a) Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc [0; 2].

b) Tìm m để bất phương trình thoả mọi x thuộc [0; 2].

Bài 5. Tìm m để các bất phương trình sau:

a) 3 1mx x m có nghiệm.

b) ( 2) 1m x m x có nghiệm x [0; 2].

c) 2 2( 1) 1m x x x x nghiệm đúng với mọi x [0; 1].

Bài 6. Tìm m để BPT: 22 9m x x m có nghiệm đúng x

Hướng dẫn:

22 9m x x m 22 9 1m x x 22 9 1xm f x

x

Ta có:

2

22 2

9 2 9

2 9 2 9 1

xf xx x

0 22 9 9 6x x

2

1 1lim lim9 212

x xf x

xx

;

2

1 1lim lim9 212

x xf x

xx

Nhìn BBT ta có f x m , x

3 3Min 64 4x

f x f m m

Bài 7. Tìm m để phương trình: mx

xxxx

1

)1(4)1( có nghịêm

Hướng dẫn:

Đặt ( 1)1

xt xx

khi đó pt cho ta m = t(t – 1) suy ra 4m



(Phần nâng cao-bồi dưỡng học sinh giỏi -Trích tài liệu của Trần Phương và thamkhảo phần tài liệu Sĩ Tùng)

Phương Pháp:

1. Cách này dựa trực tiếp vào định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số.

Chứng minh một bất đẳng thức.

Tìm một điểm thuộc D sao cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức vừa tìm đượctrở thành đẳng thức.

2. Xét bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) trên một miền D cho trước.

Gọi y0 là một giá trị tuỳ ý của f(x) trên D, thì hệ phương trình (ẩn x) sau cónghiệm:

0( ) (1)(2)

f x yx D

Tuỳ theo dạng của hệ trên mà ta có các điều kiện tương ứng. Thông thườngđiều kiện ấy (sau khi biến đổi) có dạng: m y0 M (3)

Vì y0 là một giá trị bất kì của f(x) nên từ (3) ta suy ra được:

min ( ) ; max ( )D D

f x m f x M

BÀI TẬP MẪU:

Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 24 2 1f x x x x

Giải. Gọi y0 là 1 giá trị của hàm f(x)

tồn tại x0 sao cho y0 = 20 0 04 2 1x x x

2 2 2 20 0 0 0 0 0 0 0 0 04 2 1 2 4 2 1y x x x y y x x x x

g(x0) = 2 20 0 0 03 2(1 ) 1 0x y x y . Ta có g(x) = 0 có nghiệm x0

= 2 2 20 0 0 0(1 ) 3(1 ) 2(2 1)y y y y = 0 02( 1)(2 1) 0y y

DẠNG 4: Chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLL và GTNN của hàm sốtrên một miền

www.VNMATH.com



Do y0 = 2 2 20 0 0 0 0 0 03 ( 1) 3 3 0x x x x x x x nên

0 2y0 1 0 0

12

y . Với x = 12

thì Minf(x) = 12

Bài 2. Cho 2 5 4 .y f x x x mx Tìm các giá trị của m sao cho Min 1y

Giải. Ta có

21

22

5 4 ; x 1 4 :

5 4 ; 1 4 :

x m x x Pf x

x m x x P

Gọi (P) là đồ thị của y = f(x) (P) = (P1) (P2) khi đó (P) có 1 trong các hìnhdạng đồ thị sau đây

Hoành độ của các điểm đặc biệt trong đồ thị (P):

Hoành độ giao điểm ( P1), (P2) xA = 1; xB = 4 ; Hoành độ đỉnh (P1):

5

2C

mx .

Nhìn vào đồ thị ta xét các khả năng sau:

Nếu xC [xA, xB] m[ 3, 3] thì Minf(x) = Minf(1), f(4).

Khi đó Minf(x) > 1

3 3(1) 1(4) 4 1

mf mf m

1 < m 3 (1)

Nếu xC [xA, xB] m[ 3, 3] thì Minf(x) =

1 1

52C

mf x f =

2 10 94

m m

A

BC

P2

P1A

B C

P2

P1A

BC

P1P2



Khi đó Minf(x) > 1

2

[ 3,3]3 5 2 3

10 13 0m

mm m

(2)

Kết luận: Từ (1) và (2) suy ra Minf(x) > 1 1 5 2 3m

Bài 3. Cho

, 01

x yx y

Tìm giá trị nhỏ nhất của S = 1 1x y

x y

Giải:

2x yS y x x y x y x y x yy x

Mặt khác, S = 1 1x y

x y =

1 1y x

y x =

1 1 x yx y

Suy ra 2S 1 1x y

4

2 2 2 2

2xy x y

2S MinS = 2 .

Bài 4. (Đề 33 III.2, Bộ đề thi TSĐH 1987 – 1995)

Cho 2 2 1x y . Tìm Max, Min của A 1 1x y y x .

Giải. 1. Tìm MaxA: Sử dụng bất đẳng thức BunhiaCôpski ta có

A 2 2 2 21 1 2 2 2 2 2x y y x x y x y .

Với 12

x y thì Max A 2 2

2. Tìm MinA: Xét 2 trường hợp sau đây

• Trường hợp 1: Nếu 0xy , xét 2 khả năng sau:

+) Nếu 0, 0x y thì A>0 Min 0A

+) Nếu x 0, y 0 thì

A 2 2( ) (1 ) (1 ) 2x y x y x y = 2 22 2 1x y x y

Từ 2 khả năng đã xét suy ra với 0xy thì Min A = 1

www.VNMATH.com



• Trường hợp 2: Xét 0xy : Đặt x y t 2 1 02

txy 1,1t

2 2 21 2 1 1 1 1 2 1A x y xy x y y x xy x y xy x y xy

2 2 21 1 11 2 12 2 2

t t tt t 2 1 1 2 2 12

t t

2 3 21 1 2 2 1 2 2 2

2A f t t t t

Ta có: 21 2

3 1 2 1 2 1 22 0 ; 2 12 2 3

f t t t t t t t

Thế 1 2,t t vào phần dư của f t chia cho f t 1 22 19 3 2 ; 0

27f t f t .

Nhìn bảng biến thiên suy ra:

21 1A f t A f t suy ra

12 19 3 2Min 1

27A f t

xảy ra 1x y t ;

21 12

txy

x, y là nghiệm của 2 1 2 2 3 03 9

u u 1 2 15 2 2,

6x y

Kết luận: Max A 2 2 ; 2 19 3 2Min

27A

Bài 5. Cho a,b,c 0 thỏa mãn điều kiện 3a b c2

Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 22 2 2

1 1 1S a b cb c a

Giải. Sai lầm thường gặp:

2 2 2 2 2 23 6

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 13. 3.S a b c a b cb c a b c a

t 1 t1 t2 1 0 0

1 1f t

1



62 2 262 2 2

1 1 13. 2 2 2 3. 8 3 2 Min 3 2a b c Sb c a

Nguyên nhân:

1 1 1 3Min 3 2 1 3

2S a b c a b c

a b c mâu thuẫn với giả

thiết

Phân tích và tìm tòi lời giải :

Do S là một biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán Min S đạt tại 12

a b c

Sơ đồ điểm rơi :

12

a b c

2 2 2

2 2 2

14

1 1 1 4

a b c

a b c

1 44

16

Cách 1: Biến đổi và sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có

2 2 22 2 2 2 2 2

16 16 16

1 1 1 1 1 1... ... ...16 16 16 16 16 16

S a b cb b c c a a

2 2 217 17 17

16 32 16 32 16 32

17 17 178 16 8 16 8 16

17 17 1716 16 16

1716 16 16

a b cb c a

a b cb c a

3 17 17 17 178 16 8 16 8 16 8 5 5 5

117 3 3 1716 16 16 16

a b cb c a a b c

5 151717

3 17 3 17 3 1722 (2 2 2 ) 2 2 22

3a b c a b c

. Với 12

a b c thì

3 17Min

2S

Cách 2: Biến đổi và sử dụng bất đẳng thức BunhiaCôpski ta có

www.VNMATH.com



2 2 2 22 2

2 2 2 22 2

2 2 2 22 2

1 1 1 1 41 417 17

1 1 1 1 41 417 17

1 1 1 1 41 417 17

a a abb b

b b bcc c

c c caa a

1 4 4 417

S a b ca b c

1 1 1 1 15 1 1 14 4 4 417

a b ca b c a b c

6 3

3

1 1 1 1 15 1 1 1 1 45 16 3 34 4 4 4 417 17

abca b c a b c abc

1 45 1 1 45 3 173 3 24 4 217 17

3a b c

. Với 12

a b c thì

3 17Min

2S

Cách 3: Đặt 1 1 1 , ; , ; ,u a v b w c

b c a

Do u v w u v w nên suy ra :

222 2 2

2 2 2

1 1 1 1 1 1S a b c a b ca b cb c a

2 22 1 1 1 1 15 1 1 1

16 16a b c

a b c a b c

2

3151 1 1 1 1 1 12 3

4 16a b c

a b c a b c



3 32

3

1 135 11 1 13 32 16

abca b c abc

2

9 135 12 16

3a b c

9 135 18 135 153 3 1742 16 4 4 4 2

. Với 12

a b c thì 3 17Min

2S

Bài 6. a) Lập bảng biến thiên và tìm giá trị lớn nhất của hàm số 2

31

xyx

b) Cho 1a b c . Chứng minh rằng: 2 2 21 1 1 10a b c

Giải. a) TXĐ: D ; 2 2

1 3 1 10 103 31 1

xy x yx x

2

22

3 / 3 /lim lim lim lim11 1

x x x x

x x x x xyxx

xx

.

Suy ra

lim 1; lim 1x x

y y . Nhìn BBT

ta có 2

3 10 max 101

xy yx

b) Theo phần a) thì 10 ,y x 23 10. 1,x x x .

Đặc biệt hóa bất đẳng thức này tại các giá trị , ,x a x b x c ta có:

2

2

2

: 3 10. 1

: 3 10. 1

: 3 10. 1

x a a a

x b b b

x c c c

2 2 29 10. 1 1 1a b c a b c

2 2 210 1 1 1a b c

Cách 2. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy đặt

;1 ; ;1 ; ;1OA a AB b BC c .

Khi đó

; 3OC OA AB BC a b c .

x 1/3 y + 0 0

y1

10

1

a a+b

a+b+c

C

AB

123

O x1

y

www.VNMATH.com



Do OA AB BC OA AB BC OC

Từ đó suy ra 2 2 21 1 1 10a b c



BÀI TẬP ÁP DUNG:

Bài 1. Cho , , 0,1x y z thoả mãn điều kiện: 32

x y z .

Tìm Max, Min của biểu thức: 2 2 2cosS x y z

Giải. Do , , 0,1x y z nên 2 2 2 302 2

x y z x y z .

Vì hàm số cosy nghịch biến trên 0,2

nên bài toán trở thành.

1. Tìm MaxS hay tìm Min 2 2 2x y z

22 2 2 2 2 2 2 2 2 31 1 1 1

3 4x y z x y z x y z .

Với 12

x y z thì MaxS = 3cos4

2. Tìm MinS hay tìm Max 2 2 2x y z

Cách 1: Phương pháp tam thức bậc hai:

Không mất tính tổng quát giả sử 1, , ;12

z Max x y z z . Biến đổi và đánh giá

đưa về tam thức bậc hai biến z

2

22 2 2 2 2 23 92 2 32 4

x y z z x y xy z z z z f z

Do đồ thị hàm y = f(z) là một parabol quay bề lõm lên trên nên ta có:

51 1Max Max ; 1 12 2 4

f z f f f f .

Với 11; ; 02

z x y thì MinS = 5cos4

Cách 2: Phương pháp hình học

Xét hệ tọa Đề các vuông góc Oxyz. Tập hợp các điểm , ,M x y z thoả mãn điều

kiện , , 0,1x y z nằm trong hình lập phương ABCDA BCO cạnh 1 với A(0, 1, 1);

B(1, 1, 1); C(1, 0, 1); D(0, 0, 1); A(0, 1, 0); B(1, 1, 0); C(1, 0, 0).

www.VNMATH.com



Mặt khác do 32

x y z nên , ,M x y z nằm trên mặt phẳng (P): 32

x y z

Vậy tập hợp các điểm , ,M x y z thoả mãn điều kiện giả thiết nằm trên thiết diện

EIJKLN với các điểm E, I, J, K, L, N là trung điểm các cạnh hình lập phương. Gọi

O là hình chiếu của O lên EIJKLN thì O là tâm của hình lập phương và cũng làtâm của lục giác đều EIJKLN. Ta có O M là hình chiếu của OM lên EIJKLN. Do

OM2 = 2 2 2x y z nên OM lớn nhất OM lớn nhất

M trùng với 1 trong 6 đỉnh E, I, J, K, L, N.

Từ đó suy ra:

2 2 2 2 5114 4

x y z OK

2 2 2 5cos cos4

x y z

Với 11; ; 02

z x y thì MinS = 5cos4

Bài 2. (Đề thi TSĐH 2007 khối B)

Cho , , 0x y z . Tìm Min của S 1 1 1

2 2 2y zxx y z

yz zx xy

Giải: Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho 9 số ta có

S

4 4 42 2 2

94 4 4

9 9 91 . Min2 2 2 2

y y x y zz zx xx y z Syz yz zx zx xy xy x y z

Bài 3. (Đề thi TSĐH 2005 khối A)

Cho , , 0x y z ; 1 1 1 4x y z

. Tìm Min của S 1 1 1

2 2 2x y z x y z x y z

Giải: Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho các số a, b, c, d > 0 ta có:

y3/ 2

O

E

1

1K

3/ 2

J

M

z

x

I

L

N

3/ 2

1

O



4 41 1 1 1 14. .4. 16

161 1 1 1

a b c d abcda b c d abcd

a b c d a b c d

16 161 1 1 12

16 161 1 1 12

16 161 1 1 12

1 1 1 1 1 116 4 16 Min 12 2 2

x x y z x x y z x y z

x y y z x y y z x y z

x y z z x y z z x y z

Sx y z x y z x y z x y z

Bài 4. Cho x,yR thỏa mãn điều kiện 22 2 2 2 2 2 1 4 0x y x y x y

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức S= 2 2x y

Giải. Biến đổi 22 2 2 2 2 2 2 22 1 4 0x y x y x y x y

22 2 2 2 23 1 4 0x y x y x

22 2 2 2 23 1 4x y x y x

Do 4x2 0 nên 22 2 2 23 1 0x y x y

2 23 5 3 5

2 2x y

Với x = 0, y =

3 52

, thì 2 2 3 5Min( )

2x y .

Với x = 0, y =

3 52

, thì 2 2 3 5Max( )

2x y

Bài 5. Cho x2 + xy + y2 = 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

S = x2 xy + y2

Giải Xét y = 0 x2 = 3 S = 3 là 1 giá trị của hàm số.

Xét y 0, khi đó biến đổi biểu thức dưới dạng sau đây

22 2 2

2 2 2 2

/ ( / ) 1 13 ( / ) ( / ) 1 1

x y x yS x xy y t tu ux xy y x y x y t t

với xty

u(t2 + t + 1) = t2 t + 1 (u 1)t2 + (u + 1)t + (u 1) = 0 (*)

www.VNMATH.com



+ Nếu u = 1, thì t = 0 x = 0, y = 3 u = 1 là 1 giá trị của hàm số

+ Nếu u 1, thì u thuộc tập giá trị hàm số phương trình (*) có nghiệm t

= (3u 1)(3 u) 0 1 1 33

u .

Vậy tập giá trị của u là 1 ,33

1Min3

u ; Max u = 3

Min S = 1 1Min3

u t = 1

2 21

3x y

x yx xy y

Max S = 9 Maxu = 3 t = 1

2 2

3, 33 3, 3

x y x yx xy y x y

Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 2 2 2sin sin sin ( )S x y x y

Giải . 2 2 2sin sin sin ( )S x y x y = 21 cos2 1 cos2 1 cos ( )

2 2x y x y

S

2 29 12 cos( )cos( ) cos ( ) cos( )cos( ) cos ( )

4 4x y x y x y x y x y x y

S

229 91 1cos( ) cos( ) sin ( )

4 2 4 4x y x y x y .

Với 3

x y k , (k) thì 9Max4

S


Bài 1. Giả sử ( ; ; ) / 0, 0, 0, 1D x y z x y z x y z . Tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức: 1 1 1x y zP

x y z.

HD:

1 1 131 1 1

Px y z

Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:



1 1 1( 1) ( 1) ( 1) 91 1 1

x y zx y z

P 34

. Dấu “=” xảy ra x = y = z = 13

. Vậy 3min4D

P .

Bài 2. Cho D =

5( ; ) / 0, 0,4

x y x y x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4 1

4S

x y.

HD:

1 1 1 1 14 254

x x x x yx x x x y

4 14( ) 254

x yx y

S 5. Dấu “=” xảy ra x = 1, y = 14

. Vậy minS = 5.

Bài 3. Cho D = ( ; ) / 0, 0, 1x y x y x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 11 1

x yP x yx y x y

.

HD:

2 2 1(1 ) (1 ) 21 1

x yP x yx y x y

= 1 1 1 2

1 1x y x y.

Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:

1 1 1(1 ) (1 ) ( ) 91 1

x y x yx y x y

1 1 1 9

1 1 2x y x y

P 52

. Dấu “=” xảy ra x = y = 13

. Vậy minP = 52

.

Bài 4. Cho D = ( ; ) / 0, 0, 4x y x y x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2

2

3 4 24

x yPx y

.

HD:

2

1 124 8 8 2x y y x yP

x y(1)

www.VNMATH.com



Theo bất đẳng thức Cô–si: 1 12 . 1

4 4x x

x x(2)

32 2

1 1 33 . .8 8 8 8 4y y y y

y y(3)

P 92

. Dấu “=” xảy ra x = y = 2. Vậy minP = 92

.



BÀI 4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ:

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Định nghĩa:

Đường thẳng 0x x đgl đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ( )y f x

nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

0

lim ( )x x

f x ;

0

lim ( )x x

f x ;

0

lim ( )x x

f x ;

0

lim ( )x x

f x

Đường thẳng 0y y đgl đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ( )y f x

nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

0lim ( )

xf x y ;

0lim ( )

xf x y

Đường thẳng , 0y ax b a đgl đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

( )y f x nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

lim ( ) ( ) 0

xf x ax b ;

lim ( ) ( ) 0

xf x ax b

2. Chú ý:

a) Nếu ( )( )( )

P xy f xQ x

là hàm số phân thức hữu tỷ.

Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x0 thì đồ thị có tiệm cận đứng 0x x .

Nếu bậc P(x) bậc Q(x) thì đồ thị có tiệm cận ngang.

Nếu bậc P(x) = bậc Q(x) + 1 thì đồ thị có tiệm cận xiên.

b) Để xác định các hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận xiên , ta có thể ápdụng các công thức sau:

( )lim ; lim ( )x x

f xa b f x axx

hoặc

( )lim ; lim ( )

x x

f xa b f x axx

www.VNMATH.com



Các tính giới hạn vô cực của hàm số ( )( )

f xyg x

0lim ( )x x

f x 0

lim ( )x x

g xDấu của g(x) 0

( )lim( )x x

f xg x

L Tuỳ ý 0

+ +L>0

0- -

- +L<0

0+ -



B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP:


Bài 1. Tìm các đường tiệm cận của các hàm số sau:

2 1 3 4 4) ; ) ; ) ; )2 1 1 2 6

x x xa y b y c y d yx x x x

Hướng dẫn:

a) Hàm số đã cho xác định trêm \ {0} .

Ta có:

lim ( ) 1 y=-1 laø tieäm caän ngang cuûa ñoà thò haøm soá khi

xf x x

lim ( ) 1 1 laø tieäm caän ngang cuûa ñoà thò haøm soá khi

xf x y x

0 0lim ( ) , lim ( ) 0 laø tieäm caän ñöùng cuûa ñoà thò haøm soá khi

0 vaø 0x x

f x f x x

x x

( )lim 0 Haøm khoâng coù tieäm caän xieân khix

f x xx

Các câu khác làm tương tự

Bài 2. Tìm các đường tiệm cận ngang và đứng của các hàm số sau:

2 2

2 2

2

2 2

2 5 1 4) ; ) ;2 4 3 4 72 3 1) ; )

1 3

x x x xa y b yx x x xx x xc y d y

x x

Hướng dẫn:

DẠNG 1: TÌM TIỆM CẬN NGANG VÀ ĐỨNG CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐBẰNG ĐỊNH NGHĨA

www.VNMATH.com



2 2

21 1

2

1 1

2 2

21 1

)Haøm coù tieäm caän ngang laø: 1;Tieäm caän ñöùng laø: 1. Vì:

2 3 2 3 1lim lim .1 11

1 1 2 3vì lim 0; lim1 2 1

2 3 2 3 1lim lim .1 11

x x

x x

x x

c yx

x x x xx xxx x

x x

x x x xx xx

2

1 1

1

1 2 3vì lim ; lim 3 01 1

Töông töï cho lim ( )

x x

x

x xx x

f x

Các câu khác làm tương tự

Bài 3. Tìm TCN và TCĐ của đồ thị hàm số:

3

3 2) )27 5

xa y b yx x

Hướng dẫn:

5 5

) Taäp xaùc ñònh : D= ;5

2Ta coù: lim lim5

Vaäy, ñoà thò coù tieäm caän ñöùng 5. Maët khaùc: lim 0 : 0x x

x

b

yx

x y TCN y

Bài 4. Tìm TCN và TCĐ của đồ thị hàm số:

2

2

2 1 2 1) ; )2 1 2

x xa y b yx x x

;

2 1) xc yx

Hướng dẫn:

0 0

c)Haøm soá xaùc ñònh treân \{0}lim ( ) 1 1 laø tieäm caän ngang cuûa ñoà thò haøm soá khi

lim ( ) 1 1 laø tieäm caän ngang cuûa ñoà thò haøm soá khi

lim ( ) ; lim ( )

x

x

x x

f x y x

f x y x

f x f x

2

2

0 laø tieäm caän ñöùng cuûa ñoà thò haøm soá khi 0

vaø 0

( ) 1lim lim 0 haøm soá khoâng coù tieäm caän xieân khix x

x x

x

f x x xx x



www.VNMATH.com




Bài 1. Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số sau:

2

2

3

2 3 2 7. . 1 - 43 -4. .

127

x x xa y b yx x

xc y d yxx

Bài 2. Tìm tiệm cận các hàm số

2

2

3 1. . .1 1 4

x x x xa y b y c yx x x

2

-2

-4

-5 5

2

-2

-4

-5 5

2

-2

-4

-5 5




Bài 1. Tìm giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số 2 2 1x myx m

có

tiệm cận đứng qua điểm M( -3;1)

Hướng dẫn:

Ta có: 2 2 1 12x myx m x m

có tập xác định là \ { }D m

lim lim TCD:x m x m

y y x m

Từ đó ta tìm được 3m

Bài 2. Tuỳ theo m, tìm các đường tiệm cận của 2

2:6

xC yx x m

Hướng dẫn:

2

1 2

1 2

Xeùt phöông trình 6 0 vôùi 99 :haøm khoâng coù tieäm caän ñöùng. TCN: 09 : : 3; : 0

8 9 :Phöông trình (*) coù hai nghieäm phaân bieät ; .: ;: 0

18 : , 2 ...4

x x m mm ym TCÑ x TCN y

m x xTCÑ x x x xTCN y

m y xx

....

Bài 3. Cho hàm số :3x 4yx 2

. Tìm điểm thuộc (C) cách đều 2 đường tiệm cận .

Hướng dẫn:

Gọi M(x;y) (C) và cách đều 2 tiệm cận x = 2 và y = 3

| x – 2 | = | y – 3 | 3x 4 xx 2 2 x 2x 2 x 2

x 1x x 2x 4x 2

DẠNG 2: MỘT SÔ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TIỆM CẬN. TÌM THAM SỐ MTHỎA ĐIỀU KIỆN

www.VNMATH.com



Vậy có 2 điểm thoả mãn đề bài là : M 1( 1; 1) và M2(4; 6)

Bài 4. Cho hàm số2 1

1xy

x

. Tìm những điểm trên (C) sao cho tổng khoảng cách đến

hai tiệm cận là nhỏ nhất.

Hướng dẫn:

00

0

00 0

0 0

2 1Goïi M ; ( ).Goïi A vaø B laàn löôït laø hình chieáu cuûa M leân tieäm caän ñöùng

1

2 1 1vaø tieäm caän ngang thì MA= 1 ; 2 21 1

............Coù hai ñieåm M

xx C

x

xx MB y

x x


Bài 1. Tìm giá trị của tham số m sao cho 2 72

x myx m

có tiệm cận đứng qua điểm

( 7;1)M

Bài 2. Tìm m để đồ thị của các hàm số sau có đúng hai tiệm cận đứng:

a) 2 2

34 2(2 3) 1

yx m x m

b)

2

2

23 2( 1) 4

xyx m x

c) 2

32

xyx x m

d) 2 2

32( 2) 1

xyx m x m

e) 2 2

12( 1) 2

xyx m x m

f) 2

32 2 1

yx mx m

Bài 3. Cho hàm số 21

x mymx

. Tìm m sao cho đồ thị hàm số có tiệm cận đứng,

tiệm cận ngang và các tiệm cận cùng với hao trục tọa độ tạo thành một hình chữnhật có diện tích bằng 8.

Hướng dẫn:

1 2 1Ñieàu kieän : 0; 8 . 82

m S mm m



Bài 4. Tìm m để đô thị hàm số 2 3 1 21

mx m x my

x

có tiệm cận xiên ,

biết tiếp xúc với đường tròn tâm I(1;2), bán kính 2

Hướng dẫn:

Ñieàu kieän : 0;Tieäm caän xieân : 2 1 2 1 01

tieáp xuùc vôùi ñöôøng troøn I 1;2 , baùn kính baèng 2 ( ; ) 2 17

m y mx m mx y mm

d Im

Bài 5. Tìm các đường tiệm cận của đường cong:2

3( ) :4

xC yx x m

Bài 6. Tùy theo giá trị của tham số m. Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

3

11

xymx

Hướng dẫn:

3

1 1

* 0 - 1:haøm khoâng coù tieäm caän1* 1 ( ) lim ( ) 0 y=0 laø tieäm caän ngang cuûa ñoà thò haøm soá1

1Vì lim ( ) lim ( ) ñoà thò haøm soá khoâng coù tieäm caän ñöùng3

0*

1

x

x x

m y xxm f x f xx

f x f x

mm

3

3

1 haøm soá xaùc ñònh treân \

Ñöôøng thaúng y=0 laø tieäm caän ngang cuûa ñoà thò haøm soá1Ñöôøng thaúng x= laø tieäm caän ñöùng cuûa ñoà thò haøm soá

m

m

www.VNMATH.com



CHỦ ĐỀ: TIỆM CẬN XIÊN (NHÓM 2: SEMINAR)

MỘT SỐ BÀI TẬP THẢO LUẬN:

Bài 1. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số:

2 3 2

2

2 -3 5 2 2 5 1. 2 1 . .1 3 1 1

x x x xa y x b y c yx x x x

Bài 2. Tìm tiệm cận của các đồ thị hàm số sau:

2

2

) 2 2

) 1

a y x x

b y x x

Hướng dẫn:

a) Hàm số đã cho xác định trêm .

Ta có:

( )lim 1; lim ( ) 1

1 laø tieäm caän xieân cuûa ñoà thò haøm soá khix x

f xa b f x axx

y x x

( )lim 1; lim ( ) 1


f xa b f x axx

y x x

b) Hàm số đã cho xác định trên ; 1 1; .

Ta có:

( )lim 2; lim ( ) 0


f xa b f x axx

y x x

( )lim 0; lim ( ) 0


f xa b f x axx

y x

Nhận xét:

1. Xét hàm số 2( ) 0f x ax bx c a

Neáu 0 thì ñoà thò haøm soá khoâng coù tieäm caän xieâna



Neáu 0 thì ñoà thò haøm soá coù tieäm caän xieân khi2

vaø coù tieäm caän xieân khi2

ba y a xa

bx y a x xa

2. Xét hàm số 2( ) 0f x mx n p ax bx c a

thì hàm số coù tieäm caän xieân laø ñöôøng thaúng y2bmx n p a xa

Bài 3. Tìm tiệm cân của đồ thị hàm số sau: 22 4 2y x x x

Bài 4. Cho hàm số

2 1 ( )1

x xy Cx

.

a) Chứng minh tích khoảng cách từ một điểm bất kì trên (C) đến hai đườngtiệm cận là không đổi

b) Không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua giao điểm của hai tiệm cận.

Hướng dẫn:

a) 0 00

3( ) ; 21

M C M x xx

1

2

laø : 1 0 laø : 2 0

TCN xTCÑ x y

. Từ đó: 1 2

3 2.2

d d ñpcm

b) 1 21;3I .

0 0 0

0

Giaû söû laø tieáp tuyeán baát kyø cuûa (C), luùc ñoù coù daïng:: '( )

6 0 : phöông trình naøy voâ nghieäm. Vaäy khoâng coù tieáp tuyeán naøo1

cuûa ñoà thò ñi qua I

y f x x x y

Ix

Bài 5. Cho hàm số

2 23 2 2( )

3

mx m xy C

x m.

1. Tìm m để góc giữa hai tiệm cận bằng 450

2. Tìm m đường tiệm cận xiên cắt hai trục tọa độ tại các điểm A,B tạo thànhtam giác có diện tích bằng 4.

www.VNMATH.com



Hướng dẫn:

6 2Ta coù: -23

1 thò haøm soá coù tieäm caän 6m-2 0 m3

: 3 0; : 2 0

my mxx m

Ñoà

TCN x m TCÑ mx y

1. Góc giữa hai tiệm cận bằng 0451 20

1 2

. 2os45 12.

n nc m

n n

2. Hàm có tiệm cận xiên 0 2.Khi ñoù: A 0; 2 ; ;013

mB

mm

1 . 4 22ABCS OA OB m

Bài 5. Tìm giá trị của tham số m sao cho đồ thị ham số

22 3 21

x mx myx

có

tiệm cận xiên tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 4.

Bài 6. Tìm m để đồ thị của các hàm số sau có tiệm cận xiên:

a)

2 (3 2) 2 15

x m x myx

b)

2 (2 1) 32

mx m x myx

Bài 7. Tính diện tích của tam giác tạo bởi tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sauchắn trên hai trục toạ độ:

a)

23 11

x xyx

b)

23 42

x xyx

c)

2 73

x xyx

Bài 8. Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau tạo với các trục toạ độ mộttam giác có diện tích S đã chỉ ra:

a)

2 11

x mxyx

; S = 8 b)

2 (2 1) 2 31

x m x myx

; S = 8

c)

22 2(2 1) 4 51

x m x myx

; S = 16 d)

22 21

x mxyx

; S = 4



Bài 9. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì t rên đồ thị của cáchàm số đến hai tiệm cận bằng một hằng số:

a)

2 11

x xyx

b)

22 5 43

x xyx

c)

2 73

x xyx

www.VNMATH.com



DẠNG 3: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG TIỆM CẬN HÀMPHÂN THỨC

Bài toán 1: Các bài toán liên quan đến khoảng cách

Bài 1. Cho hàm số 1 ( )2

xy Cx

a) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ điểm M thuộc (C) đến hai đườngtiệm cận bằng một số không đổi

b) Tìm điểm M thuộc (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận đạtgiá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn:

a) 00

1;1 ( )2

M x Cx

. Gọi 1 2;d d lần lượt là khoảng cách từ M đến tiệm

cận đứng và tiệm cận ngang thì 1 2. 1d d

b) 1 2 00

12 22

d d xx

Bài toán 2: Dựa vào tính chất hai nhánh của đồ thị (C) nằm về hai phía (C) củađường tiệm cận.

Bài 1. Cho hàm số 2 ( )2 1xy Cx

. Với giá trị nào của m thì đường thẳng

: 1md y mx m cắt (C)

a) Tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của đồ thị

b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng ( )md và (C)

2

12 21

2 1 2 3 1 3 0 (1)

xxmx mx mx m x m



a) Đường thẳng ( )md cắt (C) tại hai điểm thuộc cùng một nh aùnh của đồ thị khi

(1) có hai nghiệm 1 2,x x sao cho

1 2 1 201 1 (hoaëc - )

2 2 3m

x x x xm

b) Đường thẳng ( )md cắt (C) tại hai điểm thuộc cùng hai nhaùnh của đồ thị khi

(1) có hai nghiệm 1 2,x x sao cho 1 20 0x x m

Baøi 2. Cho haøm soá 2 ( )1

xy Cx

a) Tìm caùc ñieåm thuoäc hai nhaùnh cuûa ñoà thò sao cho khoaûng caùch cuûa chuùng

laø ngaén nhaát

b) Goïi (d) laø ñöôøng thaúng qua A(1;0) coù heä soá goùc k. Tìm k ñeå (d) caét (C) taïi

hai ñieåm M, N thuoäc hai nhaùnh cuûa (C) sao cho 2AM AN

Höôùng daãn:

a) Goïi P vaø Q laàn löôït laø caùc ñieåm thuoäc nhaùnh phaûi vaø nhaùnh traùi cuûa ñoà thò

haøm soá thì 3 31 ;1 0 ; 1 ;1 0 .P a a Q b ba b

Ta coù: 2

22 1 1 369 4 24PQ a b aba b ab

2 6 3364

a bMinPQ a b

abab

b) Phöông trình ñöôøng thaúng (d): 1y k x . Phương trình hoành độ giao

điểm của đường thẳng ( )d và (C)

2

1211 2 1 2 0 (1)

xxk xx kx k x k

Đường thẳng ( )md cắt (C) tại hai điểm thuộc hai nhaùnh của đồ thị khi (1) có hai

nghiệm 1 2,x x sao cho 1 21 0x x k .

www.VNMATH.com



1 1 2 2 1 1 2 1

1 2

Ta coù: ; ; ; neân 1; ; 1;

22 1 2 13

M x y N x y AM x y AN x y

AM AN x x k

Bài toán 3: Tính chaát tieáp tuyeán taïi moät ñieåm tuøy yù thuoäc (C)

Baøi 1. Cho haøm soá 2 1 ( )1xy C

x

Goïi I laø giao ñieåm cuûa hai ñöôøng tieäm caän, M laø moät ñieåm tuøy yù treân (C). Tieáp

tuyeán taïi M cuûa ñoà thò (C) caét hai ñöôøng tieäm caän taïi P vaø Q.

a) Chöùng minh raèng M laø trung ñieåm cuûa PQ vaø dieän tích tam giaùc IPQ khoâng

ñoåi

b) Tìm treân ñoà thò (C) ñieåm M sao cho 2 2IP IQ

Höôùng daãn:

00

0

00

0

2 1; ( ). Phöông trình tieáp tuyeán taïi M caét hai ñöôøng tieäm caän laàn

1

2löôït taïi hai ñieâm 1; vaø Q 2 1; 2

1

) Ta coù: 2 . Vaäy M laø trung ñieåm cuûa PQ

S

P Q M

IP

xM x C

x

xP x

x

a x x x

00

1 1 2. . .2 1 22 2 1Q IP IQ x

x

0

0

) Theo keát quaû caâu a) thì M laø trung ñieåm PQ neân 2

02

2

b IP IQ IM

xIM

x



BAØI TAÄP TÖÏ LUYEÄN

Baøi 1. Cho haøm soá 2( ) : x mC yx m

. Goïi I laø giao ñieåm cuûa hai ñöôøng tieäm caän.

Tìm m ñeå ñöôøng troøn taâm I, baùn kính 2R tieáp xuùc vôùi 2y x m .

Baøi 2. Cho 7( ) :2

xC yx

. Goïi I laø giao ñieåm cuûa hai ñöôøng tieäm caän. Tìm

( ) : 2 sao cho IM nhoû nhaátM d y x .

Baøi 3. Cho haøm soá 2 1( ) :1xC y

x

. Goïi I laø giao ñieåm hai ñöôøng tieäm caän. Tìm

treân ñoà thò (C) ñieåm M sao cho tieáp tuyeán taïi M vôùi ñoà thò (C) caét hai ñöôøng tieäm

caän taïi A vaø B thoõa maõn 2 10IA IB

Baøi 4 .Cho haøm soá 2 3( ) :2

xC yx

. Goïi I laø giao ñieåm hai ñöôøng tieäm caän. M laø

ñieåm baát kì treân (C), tieáp tuyeán taïi M vôùi ñoà thò (C) caét hai ñöôøng tieäm caän taïi A

vaø B. Tìm toïa ñoä ñieåm M sao cho ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc IAB coù dieän tích

nhoû nhaát.

Baøi 5. Cho haøm soá 2 4( ) :1

xC yx

. Tìm treân ñoà thò (C) ñieåm M sao cho tieáp

tuyeán taïi M vôùi ñoà thò (C) taïo vôùi hai ñöôøng tieäm caän moät tam giaùc coù chu vi nhoû

nhaát

www.VNMATH.com



BÀI 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ

VẤN ĐỀ 1 : HÀM TRÙNG PHƯƠNG

Miền xác định : D=

Đạo hàm:

3 2' 4 2 2 2y ax bx x ax b

Phương trình ' 0y hoặc có một nghiệm ( . 0a b ) hoặc có 3 nghiệm phân

biệt. Do đó hàm số hoặc chỉ có một cực trị hoặc có ba cực trị.

Giới hạn:

42 4

khi 0lim lim 1

ax ax khi 0x x

ab cy axa


Dấu của 'y phụ thuộc vào dấu của ( 0 0)a a hay a và dấu của a.b, do đó

ta có bốn trường hợp bảng biến thiên khác nhau.

Đồ thị hàm số: Do đó bốn trường hợp khác nhau về chiều biến thiên nên đồthị của hàm trùng phương có bốn dạng sau đây:

DẠNG 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sốy=ax4 +bx2+c ( 0)a



Hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng

a > 0 a < 0

y’ = 0 có 3 nghiệmphân biệt ab < 0

y’ = 0 chỉ có1 nghiệm ab > 0

y

x0

y

x0

y

x0

y

x0

www.VNMATH.com



MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN KHẢO SÁT HÀM SỐ:

Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (trường hợp có 3 cực trị):

44 2 23) )

4 2xa y x x b y x

Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (trường hợp có 1 cực trị):

44 2 21 3 3) )

2 2 4 2xa y x x b y x


Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

4 2 4 2

4 2 4 2

1) 1 ) 4 202

) 4 3 ) 2 1

a y x x b y x x

c y x x d y x x

Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm

4 2 4 2

4 2 4 2

4 2 4 2

. - 2 b. 21 5. 6 1 . 32 2

. - 2 3 . 2 1

a y x x y x x

c y x x d y x x

e y x x f y x x



Một số tính chất của hàm trùng phương

1. Hàm số luôn có cực trị với mọi giá trị của tham số sao cho 0a

2. Hàm số đạt giá trị cực đại, cực tiểu (có ba cực trị)

2' 0 2 (2 ) 0y x ax b có ba nghiệm phân biệt 02ba

3. Đồ thị hàm số luôn nhận Oy là trục đối xứng.

4. Hàm số có hai cực đại và một cực tiểu 00

ab

5. Hàm số có một cực đại và hai cực tiểu 00

ab

6. Nếu hàm số có ba cực trị trị chúng tạo thành một tam giác cân.

7. Đồ thị (C) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng:

22

1 2 2 1 1 22 12 2

4 2( ) Ox , , , : 0 (*) coù 4 nghieäm

taïo thaønh CSC0

, 0. Luùc ñoù: (*)0

0 03

( ) 0 ( ) 0

Giaûi heä p

C A B C D AB BC CD hay ax bx c

tÑaët t x t

at bt c

t t t t t tycbt t t

g t at bt c g t at bt c

2 1

1 2

1 2

9höông trình :

t tS t tP t t

8. Điều kiện cần để từ một điểm trên trục đối xứng kẻ đến đồ thị hàmtrùng phương (C) ba tiếp tuyến là ba tiếp tuyến phải có một tiếptuyến nằm ngang.

DẠNG 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

www.VNMATH.com



9. Điều kiện của tham số để đồ thị hàm số 4 2 ( 0)y ax bx c a tiếp

xúc với Ox tại hai điểm phân biệt:0

2

02

ba

bya

10. Phương trình trùng phương 4 2 0 ( 0) (*)ax bx c a

Đặt 2 , 0t x t lúc đó phương trình trở thành 2 0 0at bt c a . Ta

thấy rằng: cứ 1 nghiệm dương của (**) thì sẽ cho ra 2 nghiệm (1 âm, 1dương) của phương trình (*).

Vậy: điều kiện cần và đủ để phương trình(*) có nghiệm là phương trình(**) có ít nhất 1 nghiệm không âm.

Phương trình (*) có 4 nghiệm (**) có 2 nghiệm dương phân

biệt000

PS

Phương trình (*) có 3 nghiệm (**) có 1 nghiệm dương và 1

nghiệm bằng 0 00

PS

Phương trình (*) có 2 nghiệm (**) có 1 nghiệm dương

0P 0

02S

Phương trình (*) có 1 nghiệm (**) có nghiệm thỏa

1 2

1 2

000000

2

PSt t

t tS



Phương trình (*) vô nghiệm (**) vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm

âm

0000

PS

MỘT SỐ BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH

Bài 1. Cho hàm số 4 2( ) 2y f x x x

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2. Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A và B có hoành độ lần lượt là a và b . Tìmđiều kiện đối với a và b để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau.

Hướng dẫn:

Ta có 3'( ) 4 4f x x x . Gọi a, b lần lượt là hoành độ của A và B.

Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại A và B là3 3'( ) 4 4 , '( ) 4 4A Bk f a a a k f b b b

Tiếp tuyến tại A, B lần lượt có phương trình là:

' ' ( ) af' ay f a x a f a f a x f a ;

' ' ( ) f' by f b x b f b f b x f b b

Hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi:

3 3 2 24a 4a = 4b 4 1 0 (1)A Bk k b a b a ab b

Vì A và B phân biệt nên a b , do đó (1) tương đương với phương trình:

2 2 1 0 (2)a ab b

Mặt khác hai tiếp tuyến của (C) tại A và B trùng nhau

2 2 2 2

4 2 4 2

1 0 1 0' ' 3 2 3 2

a ab b a ab ba b

f a af a f b bf b a a b b

,

Giải hệ này ta được nghiệm là (a;b) = ( -1;1), hoặc (a;b) = (1;-1), hai nghiệm này

tương ứng với cùng một cặp điểm trên đồ thị là 1; 1 và 1; 1 .

Vậy điều kiện cần và đủ để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau là

www.VNMATH.com



2 2 1 01

a ab baa b

Bài 2. Cho hàm số 4 3 2x 2x 3 x 1 (1)y x m m .

1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 0.

2). Định m để hàm số (1) có hai cực tiểu.

Hướng dẫn:

4 3 2x 2x 2 x 1y x m m (1)

Đạo hàm / 3 2 24 3 4 3 ( 1)[4 (4 3 ) 3 ]y x mx x m x x m x m

/2

10

4 (4 3 ) 3 0 (2)x

yx m x m

Hàm số có 2 cực tiểu y có 3 cực trị y/ = 0 có 3 nghiệm phân biệt

(2) có 2 nghiệm phân biệt khác 12(3 4) 0 4 .

34 4 3 3 0m

mm m

Giả sử: Với 43

m , thì y/ = 0 có 3 nghiệm phân biệt1 2 3, ,x x x


x - x1 x2 x3 +

y/ - 0 + 0 - 0 +

y +

CT

CĐ

CT

+

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có 2 cực tiểu.

Kết luận: Vậy, hàm số có 2 cực tiểu khi 4 .3

m

Bài 3.

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x4 – 4x2 + 3



2.Tìm a để phương t rình : 4 234 log 3 0x x a có 4 nghiệm thực phân

biệt

Hướng dẫn:

Theo đồ thị câu 1 bài toán yêu cầu tương đương 1 3log a < 3

3log 1a 31 log 1a

Bài 4. Cho hàm số 4 2 22(1 ) 1y x m x m

1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m=0

2: Tìm m để hàm số có cực đại cực,cực tiểu và các điểm cực trị của đồ th ị hàmsố lập thành tam giác có diện tích lớn nhất.

Hướng dẫn:

y'=4x3-4(1-m2)x

Lập luận để hàm số có cực đại,cực tiểu khi và chỉ khi 1m

Tọa độ các điểm cực trị:

A(0;m+1); B( 2 4 21 ; 2m m m m ) ; C(- 2 4 21 ; 2m m m m )

S ABC = 2 4 2 2 51 . ( ; ) 1 2 1 (1 ) 12

BC d A BC m m m m .Dấu bằng xảy ra

khi m=0

Vậy m=0

Bài 5.Cho hàm số 4 25 4,y x x có đồ thị (C)

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).

2. Tìm m để phương trình 4 22| 5 4 | logx x m có 6 nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn:

944

12

9log 12 144 124

m m

www.VNMATH.com



Bài 6. Cho hàm số: 4 2 2( 10) 9y x m x .

1.Khảo sát sự bthiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m = 0

2)Tìm m để đồ thị của hsố cắt trục hoành tại 4 điểm pbiệt1 2 3 4, , ,x x x x thỏa :

1 2 3 4 8x x x x

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm của (C m) và Ox.

4 2 2( 10) 9 0x m x (1) Đặt 2( 0)t x t Ptrình trở

thành: 2 2( 10) 9 0t m t (2) Ta có đk:

2 2

2

( 10) 36 09 0 ,

10 0,

mP mS m m

=> 0 < t1 < t2 , với 2t x x t

Vì hs đã cho là hs chẵn và theo đề bài ta có : 1 2 1 2 1 24 2 . 16t t t t t t

(3)

Áp dụng Viet : 21 2 1 210 , 9b ct t m t t

a a

.

Ta có pt: m2 + 10 = 10 m = 0.

Bài 7. Cho hàm số 4 23 1 2 11y x m x m . Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng

(d): 2 13y m tại 4 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng.

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm của (C m) và Ox.

4 23 ( 1) 2 0x m x (1). Đặt 2( 0)t x t . Ptrình đã cho trở thành:

2 ( 1) 2 0t m t (2) Ta có đk:

00 2 6 10

P mS

.



Khi đó phương trình (2) có hai nghiệm dương 1 2;t t . Giả sử 1 20 t t , khi đó

phương (1) có 4 nghiệm phân biệt được sắp xếp theo thứ tự tăng dần là

2 1 1 2, , ,t t t t . Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng nên:

1 2 1 2 1 2 12 3 9 (1)t t t t t t t

Theo định lí vi-ét ta có:1 2

1 2

1 (2)3

2. (3)3

mt t

t t

Từ (1) và (2) ta tìm được : 1 2

9 11;30 30

mmt t

và từ (3) cho ta:

10 61 ( )3

10 613

m loaïi

m

MỘT SỐ BÀI TỰ LUYỆN:

Bài 1 (TNTHPT-2008). Cho hàm số 4 22y x x

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = -2

Bài 2. Cho hàm số 4 3 24 3( 1) 1y x mx m x

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m =0

b. Với giá trị nào của m hàm số có 3 cực trị

Bài 3 (ĐH Đà Lạt - 2002)

a. Giải phương trình 4 22 1 0x x

b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = 4 22 1x x

c. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 4 22 1 0x x m

Bài 4 (ĐH Thái Nguyên - 2002) Cho hàm số 4 2m2 (C )y x mx

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1

b. Hãy xác định m để hàm số đồ thị hàm số có 3 cực trị



Bài 5. (ĐH Vinh - 2002)

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 4 25 4y x x

2. Xác định m để phương trình 4 2 25 3 0x x m có 4 nghiệm phân biệt.

Bài 6. Cho hàm số4

2 924 4xy x

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b. Biện luận theo k số giao điểm của (C) với đồ thị (P) của hàm số 22y k x

Bài 7. Cho hàm số 4 2 3 22y x mx m m

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1

b. Xác định m để đồ thị ( )mC của hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành tại 2

điểm

Bài 8. (ĐH Cần thơ - 2002). Cho hàm số 4 22 2y x x m (Cm)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 0

b. Tìm các giá trị của m để đồ thị (Cm) của hàm số chỉ có hai điểm chung vớiOx

c. Chứng minh với mọi m tam giác có 3 đỉnh là ba cực trị là một tam giácvuông cân.

Bài 9. Cho hàm số 4 2 22 1y x m x

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m =1

b. Tìm m để đồ thị hàm số có ba cực trị là ba đỉnh của tam giác vuông cân.

Hướng dẫn:

Hàm số đã cho xác định trên

Ta có: 2 2' 4y x x m . Với 0m hàm có ba cực trị. Khi đó tọa độ các điểm cực

trị là 4 40;1 ; ;1 ; ;1A B m m C m m .

Dễ thấy

. 0

AB AC

AC ABnên tam giác ABC vuông cân 2 2 2 1AB AC BC m .



Vậy, 1m là những giá trị cần tìm

Bài 10. Cho hàm số y = x4 – 2(2m2 – 1)x2 + m (1)

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.

2/ Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với trục hòanh.

Bài 11.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = x 4 – 6x2 + 5

2. Tìm m để phương trình: x 4 – 6x2 – log2m = 0 có 4 nghiệm phân biệt trong đó 3nghiệm lớn hơn – 1.

Hướng dẫn:

Pt x4 – 6x2 + 5 = 5 + log2m

Nhìn vào đồ thị ta thấy yêu cầu bài toán

0 < 5 + log2m < 5 1/32 < m < 1

Bài 12. Cho hàm số 4 28 9 1y x x

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

2. Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình:

4 28cos 9cos 0, 0;x x m x

Hướng dẫn:

4 2

4 2

4 21

Ñaët cos , phöông tình ñaõ cho trôû thaønh 8 9 0 (2)Vì x 0; neân t 1;1 .

Ta coù: (2) 8 9 1 1 (3).Goïi (C ) : 8 9 1, 1;1 ; ( ) : 1

Soá nghieäm cuûa phöông trình (3) chính

t x t t m

t t my t t t D y m

1

1

laø soá giao ñieåm cuûa ñoà thò (C ) vaø (D).Chuù yù raèng: ñoà thò (C ) gioáng vôùi ñoà thò (C) trong mieàn -1 t 1.Döïa vaøo ñoà thò (C) ta ruùt ra ñöôïc keát luaän....

Bài 12. Cho hàm số 4 21 14

y x mx m

a) Khảo sát hàm số khi m=1

..

.

..

xo

y

4

5

1-1 ..

.

..

xo

y

4

5

1-1



b) Tìm m để hàm số có 3 cực trị và ba cực trị của đồ thị hàm số tạo thành một

tam giác có diện tích là 2

Bài 13. Cho (Cm): 4 22 3 1 2 1y x m x m . Tìm m sao cho (Cm):

a) Cắt trục hoành tại hai điểm A,B sao cho AB=4

b) Cắt : 2y tại 4 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng.



VẤN ĐỀ 2 : HÀM BẬC BA

PHƯƠNG PHÁP CHUNG:

Tập xác định: D=

Đạo hàm:

2

2

' 3 2' 0 3 2 0 (1)

y ax bx cy ax bx c

Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, hàm số có cực đại và cực tiểu

Nếu (1) vô nghiệm hay có nghiệm kép, thì hàm số đơn điệu trên TXĐ

Giới hạn:

32 3

0lim lim 1

0x x

khi ab c dy axax ax ax khi a


Dấu của 'y phụ thuộc vào dấu của 0 0a a hay a và dấu của 'y , do đó ta có

bốn trường hợp biến thiên khác nhau.

Đồ thị hàm số: Do có bốn trường hợp khác nhau về chiều biến thiên nên đồ thị củahàm bậc ba có bốn dạng sau đay:

a > 0 a < 0

y’ = 0 có 2 nghiệmphân biệt

' 0y

( Có hai cực trị)

y’ = 0 vô nghiệm hoặccó nghiệm kép

'

'

0

0y

y

y

x0

I

y

x0

I

y

x0 I

y

x0

I

DẠNG 1: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM BẬC BA



( Không có cực trị)

@ Mẹo nhỏ: Đối với trường hợp đồ thị hàm số không có cực trị, để vẽ đồ thị đượcđẹp và chính xác ta nên tìm điểm uốn (điểm mà tại đó đạo hàm cấp hai bằng 0) đểbiết đồ thị “uốn lượn” ở đâu?

Và ta dễ dàng thấy rằng: đồ thị hàm số nhận điểm uốn làm tâm đối xứng


Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: (Trường hợp có cực trị)

3 2 3 2) 3 1 ) 2 3 2a y x x b y x x

Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: (Trường hợp ' 0y có nghiệm

kép)

3 2 3 21) 3 3 1 ) 13

a y x x x b y x x x

Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: (Trường hợp ' 0y vô nghiệm)

3 2 3 2) 3 4 2 )a y x x x b y x x x

BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:

3 2 3 2

3 3 2

1 5) 2 1 ) 33 3

1 2 1) 3 )4 3 3

a y x x x b y x x x

c y x x d y x x



MỘT SỐ LƯU Ý KHI GIẢI TOÁN:

Cho hàm số 3 2ax ( )y bx cx d C

1. Điều kiện cần và đủ để đồ thị (C) có cực đại và cực tiểu ( có cực trị) là:

' 2( ) 3ax 2 0y g x bx c có hai nghiệm phân biệt

1. Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị. Ba điểm A, I, B thẳng hàng(I là điểm uốn: điểm mà tại đó y’’=0, A và B là hai điểm cực trị)

Giả sử y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và y = k(Ax + B)y’ + r x + q với k làhằng số khác 0 thì phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị là y = r x+ q. Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt chính là

phần dư trong phép chia đa thức ( ) : '( )f x f x

Để chứng minh ba điểm A,I, B thẳng hàng ta chứng minh AB k AI

2. Qũy tích cực trị, điểm uốn hàm bậc ba:

Từ các điểm A,B,I chứa tham số m, ta tìm được quỹ tích của chính các điểm đóbằng cách:

Khử tham số m

Giới hạn khoảng chạy của tọa độ từ điều kiện tồn tại m với moih giá trị

tham số m mD

Qũy tích của A,B, hay I là y = r x + q.

4. Xác định tham số m để đồ thị hàm bậc 3 cắt trục hoành trong từng trường hợpcụ thể:

a) (C) tiếp xúc với Ox thì hệ sau có nghiệm 0

' 0yy

b) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt

1 2

1 2

' 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x ,( ). ( ) 0

y xy x y x

x"0

Cx1

(C)

yCĐ

y

Ao

x2

x

(H.3)yCĐ

x0 x'0

B

DẠNG 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀ M BẬC BA



c) (C) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt

1 2

1 2

' 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x ,( ). ( ) 0

y xy x y x

d) (C) cắt Ox ít nhất 1 điểm 3 2ax 0( 0)bx cx d a không thể vô

nghiệm

e) (C) cắt Ox tại 1 điểm duy nhất

1 2

1 2

phöông trình y'=0 coù nghieäm keùp hoaëc voâ nghieäm' 0 coù hai nghieäm phaân bieät x ,( ) ( ) 0

y xy x y x

f) Phương trình 3 2ax 0( 0)bx cx d a có 3 nghiệm dương

0 0. 0 . 0

hoaëc(0) 0 (0) 0

0 0

CD CT CD CT

CD CT

a ay y y y

f fx x

(C)

Ax0 O x

y

(h.1a)

(C)

Ax0 x

y

(h.1b)x1 o x2

yCT

yCĐ

(C)yCĐ

y

Ax0 o x1

Bx'0

(yCT = f(x0) = 0)

x

(H.2)



g) Phương trình 3 2ax 0( 0)bx cx d a có 3 nghiệm âm

0 0. 0 . 0

hoaëc(0) 0 (0) 0

0 0

CD CT CD CT

CT CD

a ay y y y

f fx x

h) Phương trình 3 2ax 0( 0)bx cx d a có 2 nghiệm dương:

0 0y'=0 coù hai nghieäm phaân bieät y'=0 coù hai nghieäm phaân bieät

hoaëc. 0 . 0

0 0CD CT CD CT

CT CT

a a

y y y y

x x

i) Phương trình 3 2ax 0( 0)bx cx d a có 2 nghiệm âm:

0 0y'=0 coù hai nghieäm phaân bieät y'=0 coù hai nghieäm phaân bieät

hoaëc. 0 . 0

0 0CD CT CD CT

CD CT

a a

y y y y

x x



5. Phương trình bậc 3 cắt Ox lập thành cấp số cộng tức (C) cắt Ox tại 3 điểm phânbiệt cách đều nhau.

1 3 2

y'=0 coù hai nghieäm phaân bieät2 hay ( ) Ox , , :

0 : ñieåm uoán IDU

x x x C A B C AB BCf x Ox

6. Biện luận số nghiệm của phương trình : ax 3 + bx2 + cx + d = 0 (1) (a 0) khi x = là 1 nghiệm của (1).

Nếu x = là 1 nghiệm của (1), ta có

ax3 + bx2 + cx + d = (x - )(ax2 + b1x + c1)

nghiệm của (1) là x = với nghiệm của phương trình ax 2 + b1x + c1 = 0 (2). Tacó các trường hợp sau:

nếu (2) vô nghiệm thì (1) có duy nhất nghiệm x =

nếu (2) có nghiệm kép x = thì (1) có duy nhất nghiệm x =

nếu (2) có 2 nghiệm phân biệt thì (1) có 3 nghiệm phân biệt

nếu (2) có 1 nghiệm x = và 1 nghiệm khác thì (1) có 2 nghiệm.

nếu (2) có nghiệm kép thì (1) có 2 nghiệm

7. Tiếp tuyến : Gọi I là điểm uốn. Cho M (C): 3 2ax ( 0)y bx cx d a .

Nếu M I thì ta có đúng 1 tiếp tuyến qua M.

Nếu M khác I và M ( )C thì ta có đúng 2 tiếp tuyến qua M.

Biện luận số tiếp tuyến qua 1 điểm N không nằm trên (C) ta có nhiềutrường hợp hơn.

Nếu a>0: hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn bé nhất; a<0: hệ số góccủa tiếp tuyến tại điểm uốn lờn nhất



BÀI TẬP MẪU:

Cho họ đường cong bậc ba (C m) và họ đường thẳng (Dk) lần lượt có phươngtrình là : y = x3 + mx2 m và y = kx + k + 1.

(I) PHẦN I. Trong phần này cho m = 3. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

1) Gọi A và B là 2 điểm cực đại và cực tiểu của (C) và M là điểm bất kỳ trêncung AB với M khác A , B . Chứng minh rằng trên (C) ta tìm được hai điểmtại đó có tiếp tuyến vuông góc với tiếp tuyến tại M với (C).

2) Gọi là đường thẳng có phương trình y = 1. Biện luận số tiếp tuyến v ới (C)vẽ từ E với (C).

3) Tìm E để qua E có ba tiếp tuyến với (C) và có hai tiếp tuyến vuông gócvới nhau.

4) Định p để trên (C) có 2 tiếp tuyến có hệ số góc bằng p, trong trường hợp này

chứng tỏ trung điểm của hai tiếp điểm là điểm cố định.

5) Tìm M (C) để qua M chỉ có một tiếp tuyến với (C).

(II) PHẦN I I.Trong phần này cho tham số m thay đổi.

6) Tìm điểm cố định của (C m). Định m để hai tiếp tuyến tại hai điểm cố định nàyvuông góc nhau.

7) Định m để (Cm) có 2 điểm cực trị. Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểmcực trị.

8) Định m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.

9) Định m để :

a) hàm số đồng biến trong (1, 2).

b) hàm số nghịch biến trong (0, +).

10) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ tạo thành cấp số cộng.

11) Tìm điều kiện giữa k và m để (D k) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt. Tìm k để (Dk)cắt (Cm) thành hai đoạn bằng nhau.

12) Viết phương trình tiếp tuyến với (C m) và đi qua điểm (-1, 1).

13) Chứng minh rằng trong các tiếp tuyến với (Cm) thì tiếp tuyến tại điểm uốn cóhệ số góc lớn nhất.



BÀI GIẢI

PHẦN I : m = 3

Khảo sát và vẽ đồ thị (độc giả tự làm)

1) Gọi n là hoành độ của M. Vì hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và đạt cực đại tại x =2 nên 0 < n < 2; y' = – 3x2 + 6x hệ số góc của tiếp tuyến tại M là k1 = – 3n2 +6n (0, 3] (vì n (0, 2)). Đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến tại M có hệ số

góc là k2 =1

1k (với 0 < k1 3). Hoành độ của tiếp tuyến vuông góc với tiếp

tuyến M là nghiệm của – 3x2 + 6x =1

1k (= k2) 3x2 – 6x

1

1k = 0. Phương

trình này có a.c < 0, k1 (0, 3] nên có 2 nghiệm phân biệt, k1 (0, 3]. Vậytrên (C) luôn có 2 điểm phân biệt mà tiếp tuyến đó vuông góc với tiếp tuyến tạiM.

2) E (e, 1) . Phương trình tiếp tuyến qua E có dạng y = h(x – e) + 1 (D). (D)

tiếp xúc (C) hệ3 23 3 ( ) 123 6

x n h x e

x x h

có nghiệm.

Phương trình hoành độ tiếp điểm của (D) và (C) là :

– x3 + 3x2 – 3 = (– 3x2 + 6x)(x – e)+ 1 (1)

– x3 + 3x2 – 4 = x(– 3x + 6)(x – e)

(x – 2)(x2 – x – 2) = 3x(x – 2)(x – e)

x = 2 hay x2 – x – 2 = 3x2 – 3ex

x = 2 hay 2x2 – (3e – 1)x + 2 = 0 (2)

(2) có = (3e – 1)2 – 16 = (3e – 5)(3e + 3)

(2) có nghiệm x = 2 8 – 2(3e – 1) + 2 = 0 e = 2

Ta có > 0 e < – 1 hay e > 53

.

Biện luận :



i) Nếu e < – 1 hay 53

< e < 2 hay e > 2

(1) có 3 nghiệm phân biệt có 3 tiếp tuyến.

ii) Nếu e = – 1 hay e = 53

hay e = 2

(1) có 2 nghiệm có 2 tiếp tuyến.

iii) Nếu – 1 < e < 53 (1) có 1 nghiệm có 1 tiếp tuyến.

Nhận xét : Từ đồ thị, ta có y = 1 là tiếp tuyến tại (2, 1) nên phương trình (1) chắc

chắn có nghiệm x = 2, e.

3) Vì y = 1 là tiếp tuyến qua E (e, 1), e và đường x = không là tiếp tuyến nênyêu cầu bài toán.

(2) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa : y'(x1).y'(x2) = – 1

513

, (2)1 2

2 2( 3 6 )( 3 6 ) 11 1 2 2

e e

x x laø nghieäm cuûa

x x x x

513

3 11 2 2. 1

1 29 . ( 2)( 2) 1

1 2 1 2

e hay e

ex x

x x

x x x x

513

9[1 (3 1) 4] 1

e hay e

e

e = 5527

. Vậy E 55 ,127

4) Tiếp điểm của tiếp tuyến (với (C)) có hệ số góc bằng p là nghiệm của :



y' = p 3x2 – 6x + p = 0 (3)

Ta có ' = 9 – 3p > 0 p < 3

Vậy khi p < 3 thì có 2 tiếp tuyến song song và có hệ số góc bằng p.

Gọi x3, x4 là nghiệm của (3).

Gọi M3 (x3, y3); M4 (x4, y4) là 2 tiếp điểm. Ta có :

3 4 12 2

x x ba

3 3 2 23 4 3 4 3 4( ) 3( ) 6

12 2

y y x x x x

Vậy điểm cố định (1, –1) (điểm uốn) là trung điểm của M 3M4.

5) Cách 1 : Đối với hàm bậc 3 (a 0) ta dễ dàng chứng minh được rằng :

M (C), ta có :

i) Nếu M khác điểm uốn, ta có đúng 2 tiếp tuyến qua M.

ii) Nếu M là điểm uốn, ta có đúng 1 tiếp tuyến qua M.

Cách 2 : Gọi M(x0, y0) (C). Phương trình tiếp tuyến qua M có dạng :

y = k(x – x0) 3 20 03 3x x (D)

Phương trình hoành độ tiếp điểm của (D) và (C) là :

3 2 2 3 20 0 03 3 ( 3 6 )( ) 3 3x x x x x x x x ( 5 )

3 3 2 2 20 0 03( ) ( )( 3 6 ) 0x x x x x x x x

2 2 20 0 0 00 3 3 3 6 0x x x xx x x x x x

2 20 0 0 02 (3 ) 3 0x x hay x x x x x

0 0 0( )(2 3) 0x x hay x x x x

00

32

xx x hay x

Do đó, có đúng 1 tiếp tuyến qua M (x0, y0) (C)



00 0

31

2x

x x

Suy ra, y0 = 1. Vậy M(1, –1) (điểm uốn).

Nhận xét : vì x0 là 1 hoành độ tiếp điểm nên pt (5) chắc chắn có nghiệm kép làx0

Phần II : Tham số m thay đổi. y' = – 3x2 + 2mx

6) (Cm) qua (x, y), m

y + x3 = m (x2 – 1) , m

2

3

1 0 1 11 10

x x xhay

y yy x

Vậy (Cm) qua 2 điểm cố định là H(1, –1) và K(–1, 1).

Vì y' = – 3x2 + 2mx nên tiếp tuyến với (Cm) tại H và K có hệ số góc lần lượt là

:

a1 = y'(1) = – 3 + 2m và a2 = y'(–1) = –3 – 2m.

2 tiếp tuyến tại H và K vuông góc nhau.

a1.a2 = – 1 9 – 4m2 = – 1 m = 102 .

7) Hàm có cực trị y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt.

3x2 = 2mx có 2 nghiệm phân biệt.

x = 0 và x = 23m là 2 nghiệm phân biệt.

m 0. Khi đó, ta có :

22 1 1 '9 3 9

y m x m x m y

và phương trình đường thẳng qua 2 cực trị là :

229

y m x m (với m 0)

8) Khi m 0, gọi x1, x2 là nghiệm của y' = 0, ta có :



x1.x2 = 0 và x1 + x2 =23m

y(x1).y(x2) = 2 21 2

2 29 9

m x m m x m

= 2 21 2

2 ( )9

m x x m = 4 2427

m m

Với m 0, ta có y(x1).y(x2) < 0

24 1 027

m

2 27 3 34 2

m m

Vậy (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệ t.

1 2

1 2

' 0 2 ,( ). ( ) 0

y coù nghieäm phaân bieät x xy x y x

3 3

2m

Nhận xét :

i) Khi 3 32

m thì phương trình y = 0 có 2 nghiệm âm và 1 nghiệm dương.

ii) Khi 3 32

m thì phương trình y = 0 có 2 nghiệm dương và 1 nghiệm âm.

9) a) Hàm đồng biến trên (1,2) – 3x2 + 2mx 0, x (1,2). Nếu m 0 ta có

hoành độ 2 điểm cực trị là 0 và 23m .

i) Nếu m < 0 thì hàm chỉ đồng biến trên 2 ,03m

. Vậy loại trường hợp m < 0

ii) Nếu m = 0 hàm luôn nghịch biến (loại).



iii) Nếu m > 0 thì hàm chỉ đồng biến trên 20,3m

Do đó, ycbt m > 0 và 2[1,2] 0,3m

2 2 33m m

b) Từ câu a, ta loại trường hợp m > 0.

Khi m 0 ta có hàm số nghịch biến trên 2,3m

và hàm số cũng nghịch biến

trên [0, +).

Vậy để hàm nghịch biến trên [0, +) thì m 0.

Ghi chú : nên lập bảng biến thiên để thấy rõ ràng hơn.

10) y" = – 6x + 2m , y" = 0 x =3m

(Cm) cắt Ox tại 3 điểm cách đều nhau.

y = 0 có 3 nghiệm phân biệt và điểm uốn nằm trên trục hoành.

3 2

3 3 3 32 2

0 . 03 27 9

m m

m m my m m

2

3 33 6222 1 0

27

mm

m

11) Phương trình hoành độ giao điểm của (C m) và (Dk) là

– x3 + mx2 – m = kx + k + 1

m(x2 – 1) = k(x + 1) + 1 + x3

x + 1 = 0 m(x – 1) = k + 1 – x + x2

x = – 1 hay x2 – (m + 1)x + k + m + 1 = 0 (11)



a) Do đó, (Dk) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt

(11) có 2 nghiệm phân biệt khác – 1

2

1 1 1 0( 1) 4( 1) 0

m k mm k m

(*) 2

2 32 34

k mm mk

b) Vì (Dk) qua điểm K(–1,1) (Cm) nên ta có :

(Dk) cắt (Cm) thành 2 đoạn bằng nhau.

(Dk) qua điểm uốn32;

3 27m m m

của (Cm)

32 1 1

27 3m mm k

32 27 279( 3)

m mkm

(**)

Vậy ycbt k thỏa (*) và (**).

12) Phương trình tiếp tuyến với (C m) đi qua (–1,1) có dạng :

y = k(x + 1) + 1 (Dk)

Vậy, phương trình hoành độ tiếp điểm của (D k) và (Cm) là :

– x3 + mx2 – m = (– 3x2 + 2mx)(x + 1) + 1 (12)

m(x2 – 1) = (– 3x2 + 2mx)(x + 1) + 1 + x3

x + 1 = 0 m(x – 1) = – 3x2 + 2mx + 1 – x + x2

x = – 1 hay 2x2 + (1 – m)x – m – 1 = 0 (13)

x = – 1 12

mx

y' (–1) = – 2m – 3

21 1 1' 3 2

2 2 2m m my m

= 14

(m2 – 2m – 3)



Vậy phương trình của 2 tiếp tuyến qua (–1, 1) là :

y = – (2m + 3)(x + 1) + 1

y = 14

(m2 – 2m – 3)(x + 1) + 1

Nhận xét : Có 1 tiếp tuyến tại tiếp điểm (–1, 1) nên phương trình (12) chắc chắn cónghiệm kép là x = – 1 và phương trình (13) chắc chắn có nghiệm là x = – 1.

13) Các tiếp tuyến với (Cm) tại tiếp điểm của hoành độ x có hệ số góc là :

h = – 3x2 + 2mx

Ta có h đạt cực đại và là max khi2 3b mxa

(hoành độ điểm uốn)

Vậy tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất.

Nhận xét :2 2 2

2 23 2 33 3 3m m mx mx x

MỘT SỐ BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH:

Bài 1. Cho hàm số y = 4x3 + mx2 – 3x

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 0.

2. Tìm m để hàm số có hai cực trị tại x1 và x2 thỏa x1 = - 4x2

Hướng dẫn:

D = R

y’ = 12x2 + 2mx – 3

Ta có: ’ = m2 + 36 > 0 với mọi m, vậy luôn có cực trị

1 2

1 2

1 2

4

614

x xmx x

x x

92

m

Bài 2. Cho hàm số 3 2( ) 3 1 1y f x mx mx m x , m là tham số

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên khi m = 1.



2. Xác định các giá trị của m để hàm số ( )y f x không có cực trị.

Hướng dẫn:

+ Khi m = 0 1y x , nên hàm số không có cực trị.

+ Khi 0m 2' 3 6 1y mx mx m

Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi ' 0y không có nghiệm hoặc có nghiệm

kép

2 2' 9 3 1 12 3 0m m m m m 104

m

Bài 3. Cho hàm số : 3 2 33 12 2

y x mx m

1. Khảo sát hàm số với m=1.

2. Xác định m để đồ thị hàm số có cực đại,cực tiểu đối xứng với nh au qua đt:y=x

Hướng dẫn:

Tacó 2 0' 3 3 3 ( ) 0

xy x mx x x m

x m

ta thấy với 0m thì y’ đổi dấu khi đi qua các nghiệm do vậy hàm số có CĐ,CT

+ Nếu m>0 hàm số có CĐ tại x=0 và 312MAXy m ;có CT tại x=m và 0MINy

+ Nếu m<0 hàm số có CĐ tại x=m và 0MAXy ;có CT tại x=0 và 312MINy m

Gọi A và B là các điểm cực trị của hàm số.Để A và B đối xứng với nhau qua đường

phân giác y=x,điều kiện ắt có và đủ là OA OB tức là:

3 21 2 22

m m m m

Bài 4. Cho hàm số 3 22 ( 3) 4y x mx m x có đồ thị là (Cm)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) của hàm số trên khi m = 1.



2) Cho (d ) có phương trình y = x + 4 và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị củatham số m sao cho (d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác

KBC có diện tích bằng 8 2 .

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ điểm chung của (C m) và d là:

3 2 2

2

2 ( 3) 4 4 (1) ( 2 2) 00

( ) 2 2 0 (2)

x mx m x x x x mx mxg x x mx m

(d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C phương trình (2) có 2 nghiệmphân biệt khác 0.

/ 2 1 22 0 ( )2(0) 2 0

m mm ma

mg m

.

Mặt khác:1 3 4

( , ) 22

d K d

Do đó:

218 2 . ( , ) 8 2 16 2562KBCS BC d K d BC BC

2 2( ) ( ) 256B C B Cx x y y với ,B Cx x là hai nghiệm của phương trình (2).

2 2 2

2

( ) (( 4) ( 4)) 256 2( ) 256

( ) 4 128B C B C B C

B C B C

x x x x x x

x x x x

2 2 1 1374 4( 2) 128 34 02

m m m m m (thỏa ĐK (a)).

Vậy 1 1372

m

Bài 5. Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đồ (Cm); (m là tham số).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.

2. Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0, 1), D,E sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau.

Hướng dẫn:



Phương trình hoành độ giao điểm của (C m) và đường thẳng y = 1 là:

x3 + 3x2 + mx + 1 = 1 x(x2 + 3x + m) = 0

2

03 0 (2)

xx x m

* (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại C(0, 1), D, E phân biệt:

Phương trình (2) có 2 nghiệm x D, xE 0.

2

09 4 040 3 0 09

mmmm

Lúc đó tiếp tuyến tại D, E có hệ số góc lần lượt là :

kD = y’(xD) = 23 6 ( 2 );D D Dx x m x m

kE = y’(xE) = 23 6 ( 2 ).E E Ex x m x m

Các tiếp tuyến tại D, E vuông góc khi và chỉ khi: kDkE = –1.

(3xD + 2m)(3xE + 2m) = 9xDxE+6m(xD + xE) + 4m2 = –1

9m + 6m (–3) + 4m2 = –1;(vì xD + xE = –3; xDxE = m theo định lý Vi-et).

4m2 – 9m + 1 = 0 m = 1 9 658

ĐS: m = 1 19 65 9 658 8

hay m


Bài 1(TNTHPT – 2008) .Cho hàm số 3 22 3 1y x x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

b) Biệm luận theo m số nghiệm của phương trình 3 22 3 1x x m

Bài 2 (TN THPT- lần 2 – 2008). Cho hàm số y = x3 - 3x2

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.

b. Tìm các giá trị của m để phương trình 3 23 0x x m có 3 nghiệm phânbiệt.



Bài 3 (TNTHPT - 2007).Cho hàm số y= 3 3 2x x có đồ thị là (C) .

a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .

b/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm A(2 ;4) .

Bài 4 (TNTHPT - 2006) .Cho hàm số y= 3 23x x có đồ thị (C) .


b/ Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm phương trình : 3 23x x -m=0 .

Bài 5 (TNTHPT – 2004- PB).Cho hàm số y= 3 26 9x x x có đồ thị là (C) .


b/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là nghiệm của phươngtrình y’’=0

c/ Với giá trị nào của m thì đường thẳng y=x+m 2-m đi qua trung điểm củađoạn thẳng nối cực đại vào cực tiểu .

Bài 6 (TNTHPT – 2004 - KPB).Cho hàm số y= 3 2 33 4x mx m .

a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1 .

b/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x=1 .

Bài 7 (ĐH- A- 2002). Cho hàm số 3 2 2 3 23 3(1 )y x mx m x m m

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m= 1

b. Tìm k để phương trình: 3 2 3 23 3 0x x k k có 3 nghiệm phân biệt.

c. Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).

Bài 8 (CĐ SP MGTW- 2004). Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 4m

a. Chứng minh đồ thị hàm số luôn có 2 cực trị.

b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1

Bài 9 (ĐH-B- 2007). Cho hàm số 3 2 2 23 3( 1) 3 1y x x m x m

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m =1

b. Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và các điểm cực trị cách đều điểm O.

Bài 10 (ĐH - D - 2004)

Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 9x + 1



a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 2

b. Tìm m để nghiệm của phương trình y’’= 0 thuộc đường thẳng y = x+ 1


Bài 1.Cho hàm số y = (x -1)(x2 + mx + m)

a. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m= 4

Bài 2. Cho hàm số 3 22 3( 1) 6( 2) 1y x m x m x

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m =2

b. Với giá trị nào của m hàm số có cực đại, cực tiểu.

Bài 3. (ĐH 2006- D. )Cho hàm số 3 3 2y x x

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .

b. Gọi d là đường thẳng qua điểm A(3; 20) và có hệ số góc m. Tìm m để đường

thẳng d cắt (C ) tại 3 điểm phần biệt. (Gợi ý đường thẳng d qua M(x 0;y0) cóhệ số góc m có dạng: y = m(x - x0) + y 0)

Bài 4. Cho hàm số y = (x - m)3 - 3x

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm s ố với m = 1

b. Tìm m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0

Bài 5.Cho hàm số y = (x -1)(x2 + mx + m)

c. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m= 4

Bài 6.Cho hàm số y = 3 2 22 2x mx m x

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m =1

b. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

Bài 7. Cho hàm số y = x(x – 3)2 (1)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2. Tìm tất cả các giá trị của a để đường thẳng (d): y = ax + b không thể tiếp xúc vớiđồ thị của hàm số (1).



VẤN ĐỀ 3: HÀM HỮU TỈ

PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT HÀM NHẤT BIẾN

, ; 0ax b dy x ad bccx d c

Tập xác định: \ /D d c

Đạo hàm: 2

' .ad bcycx d

Nếu 0ad bc hàm số đồng biến trên D

Nếu 0ad bc hàm số nghịch biến trên D

Giới hạn, tiệm cận:

lim laø tieäm caän ngang cuûa ñoà thò haøm soá

lim laø tieäm caän ngang cuûa ñoà thò haøm soá

x

dxc

a ay yc c

dy xc


Đồ thị:

DẠNG 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số hửu tỉ

ac a

c

x'y

y

ac

ac

x'y

y



MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN KHẢO SÁT HÀM SỐ:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:

2 1 2) ) )1 1 22 2 1 3 2) ) )2 2 1

x x xa y b y c yx x xx x xd y e y f yx x x

0

ad – bc > 0

x

y

0

ad – bc < 0

x

y



Một số chú ý

1. Hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.

2. Đồ thị hàm số nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

3. Không có bất kì tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số đi qua giao điểm haiđường tiệm cận

4. Gọi M là điểm tùy ý trên ax( ) : 0bC y ad bccx d

và (T) là tiếp

tuyến tại M với (C).

1 2

1 2

Haï ( ) : vaø MK (d ) : theo thöù töï ñoù.

Xaùc ñònh giao ñieåm A=(T) (d ); =(T) (d ) (neáu coù) thì:

d aMH d x yc c

B

AB luôn nhận M làm trung điểm

Diện tích tam giác AIB không đổi

Tích số MH.MK không đổi

Diện tích tứ giác IHMK không đổi

M,N nằm về ở hai nhánh phân biệt của đồ thị hàm số thì các hoành

độ của xM, xN nằm về hai phía tiệm cận đứng

BÀI TẬP MẪU:

Bài 1. Cho hàm số 11

xyx

.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

DẠNG 2: Khảo sát và vẽ hàm số nhất biến (htb1/1)



b) M(x0; y0) là một điểm bất kỳ thuộc (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai đườngtiệm cận tại A và B. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Chứng minh diện tích tamgiác IAB không phụ thuộc vào vị trí điểm M.

Hướng dẫn:

1. Tập xác định: D = \ 1

2. Sự biến thiên:

a) Chiều biến thiên:

+ 2

2'( 1)

yx

=> ' 0 1y x => HS nghịch biến trên mỗi KXĐ

b) Cực trị: HS không có cực trị

c) Giới hạn và tiệm cận:

+ lim 1; lim 1 1x x

y y y

là TCN

+1 1

lim ; limx x

y y => 1x là TCĐ

d) Bảng biến thiên

3. Đồ thị: Vẽ đúng, đẹp

b) M(x0; y0) là một điểm bất kỳ thuộc (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai đườngtiệm cận tại A và B. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Chứng minh diện tích tamgiác IAB không phụ thuộc vào vị trí điểm M.



+ 00 0 0 0

0

1; ( ) ( 1)

1x

M x y C y xx

+ PTTT tại M có dạng: 002

00

12 ( )1( 1)

xy x x

xx

()

+ Giao điểm của 2 tiệm cận: (1;1)I

+ A = () TCĐ => A= 0

0

31;

1xx

+ B = () TCN => B = 02 1;1x

+ IA =0

41x

+ IB = 02 1x

+ SIAB = 12

.IA.IB = 4 (đvdt) không phụ thuộc vị trí M

Bài 2. Cho hàm số 2 12

xyx

có đồ thị là (C)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2. Chứng minh đường thẳng d: y = -x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân

biệt A, B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.

Hướng dẫn:

2. Hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng d là nghiệm của phương trình

2

22 12 (4 ) 1 2 0 (1)

xx x mx x m x m

Do (1) có 2 21 0 ( 2) (4 ).( 2) 1 2 3 0m va m m m nên đường

thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B

Ta có yA = m – xA; yB = m – xB nên AB2 = (xA – xB)2 + (yA – yB)2 = 2(m2 + 12) suy

ra AB ngắn nhất AB2 nhỏ nhất m = 0. Khi đó 24AB


xyx

(C)



1. Khảo sát hàm số.

2. Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B

sao cho AB = 5 .

Hướng dẫn:

2. Phương trình hoành độ giao điểm: 2x 2 + mx + m + 2 = 0 , (x≠ - 1) (1)

d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt PT(1) có 2 nghiệm phân biệt khác -1 m2 - 8m -16 > 0 (2

Gọi A(x1; 2x1 + m) , B(x2; 2x2 + m. Ta có x1, x2 là 2 nghiệm của PT(1).

Theo ĐL Viét ta có1 2

1 2

22

2

mx x

mx x

.

AB2 = 5 2 21 2 1 2( ) 4( ) 5x x x x 2

1 2 1 2( ) 4x 1x x x m2 - 8m - 20 = 0

m = 10 , m = - 2 ( Thỏa mãn (2))

KL: m = 10, m = - 2.

Bài 4. Cho hàm số: 21

xyx

(C)

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số

2. Cho điểm A( 0; a) Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành.

Hướng dẫn:

Gọi k là hệ số góc của đt đi qua A(0;a). PT đt d có dạng y= kx+a (d)

d là tiếp tuyến với ( C ) khi và chỉ khi hệ PT

2

21

3

1

x kx ax

kx

có nghiệm

<=> Pt (1-a)x2 +2(a+2)x-(a+2)=0 (1) có nghiệm x ≠ 1

Theo bài ra qua A có 2 tiếp tuyến thì pt (1) có 2 nghiệm x1 ; x2 phân biệt



12 1 (*)

' 3 6a

aa

. Theo định lý Viet:

1 2

1 2

2 21

21

ax x

aax xa

Suy ra: 1 21 2

3 31 ; 11 1

y yx x

. Để hai tiếp tuyến nằm về hai trục của Ox thì

1 2

2. 03

y y a . Kết hợp với điều kiện (*) ta được 2 13

a

Bài 5. Cho hàm số 2x 3yx 2

có đồ thị (C).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C)

2. Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt haitiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất

Hướng dẫn:

0 0 20 0

0200

0

1 1Laáy ñieåm M ;2 . Ta coù: '( )2 2

1 1Tieáp tuyeán (d) taïi M coù phöông trình laø: 222

2Giao ñieåm (d) vôùi tieäm caän ñöùngA 2;22

Giao ñieåm (d) vôùi tieäm c

x C f xx x

y x xxx

x

00

2 220 02 2

0 0

2aän ngang 2 2;22

1 14 2 8. Daáu"=" xaûy ra khi 2 ...2 2

B xx

AB x xx x



xyx

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2.Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt trục Ox, Oy lần l ượt tại A, Bthoả mãn:OA=3OB.



Hướng dẫn:

2. Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại điểm M(x 0;y0) cắt Ox, Oy lần lượt tại A,B sao choOA=3OB.

Do tam giác OAB vuông tại O nên tanA=OB/OA=1/3. Vì vậy hệ số góc của đưòng

thẳng d bằng 1/3 hoặc -1/3.

Hệ số góc của d tại M(x0;y0) là:

0 02 2

0 0

0

0

3 3 1' 0 '31 1

2 (2) 14 ( 4) 3

y x y xx x

x yx y

Khi đó có 2 tiếp tuyến thoả :

1 1 1( 2) 13 3 3

1 1 13( 4) 33 3 3

y x y x

va y x y x


xyx


2. Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đườngtiệm cận của (C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìmtoạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏnhất.

Hướng dẫn:

Ta có: 00 0

0

2 3; , 2

2x

M x xx

,

0 2

0

1'( )2

y xx

Phương trình tiếp tuyến với ( C) tại M có dạng:

002

00

2 31: ( )22

xy x x

xx

Toạ độ giao điểm A, B của và hai tiệm cận là: 00

0

2 22; ; 2 2;2

2x

A B xx



Ta thấy 00

2 2 22 2

A BM

xx xx x

, 0

0

2 32 2

A BM

xy yy

x

suy ra M là trung

điểm của AB.

Mặt khác I = (2; 2) và tam giác IAB vuông tại I nên đường trò n ngoại tiếp tam giácIAB có diện tích

S =2

2 2 200 0 2

0 0

2 3 1( 2) 2 ( 2) 22 ( 2)

xIM x x

x x

Dấu “=” xảy ra khi 020 2

0 0

11( 2)( 2) 3

xx

x x

Do đó có hai điểm M cần tìm là M(1; 1) và M(3; 3)


xxy

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .

2. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ điểm )2;1(I tới tiếp

tuyến của (C) tại M là lớn nhất .

Hướng dẫn:

Nếu )(1

32;0

0 Cx

xM

thì tiếp tuyến tại M có phương trình

)()1(

31

32 0200

xxxx

y

hay 0)1(3)2()1()(3 02

00 xyxxx

Khoảng cách từ )2;1(I tới tiếp tuyến là

202

0

40

0

40

00

)1()1(

96

)1(9

16

19

)1(3)1(3

xx

xx

x

xxd . Theo bất đẳng thức

Côsi 692)1()1(

9 202

0

xx

, vây 6d . Khoảng cách d lớn nhất bằng 6

khi

3131)1()1(

90

20

202

0

xxxx

.



Vậy có hai điểm M : 32;31 M hoặc 32;31 M


xyx

(1).

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).

2) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) tại M với đường thẳ ngđi qua M và giao điểm hai đường tiệm cận có tích hệ số góc bằng - 9.

Hướng dẫn:

Ta có I(- 1; 2). Gọi 0 20 0

3 3( ) ( ;2 )1 ( 1)

M IIM

M I

y yM C M x kx x x x

Hệ số góc của tiếp tuyến tại M: 0 2

0

3'( )1

Mk y xx

. 9M IMycbt k k

Giải được x0 = 0; x0 = -2. Suy ra có 2 điểm M thỏa mãn: M(0; - 3), M(- 2; 5)


x

xy

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2. Tìm những điểm trên đồ thị (C) cách đều hai điểm A(2 , 0) và B(0 , 2)

Hướng dẫn:

Pt đường trung trực đọan AB : y = x

Những điểm thuộc đồ thị cách đều A và B có hoàng độ là nghiệm của pt :

xx

x

122

251

251

012

x

x

xx

Hai điểm trên đồ thị thỏa ycbt :

2

51,2

51;2

51,2

51



BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

Bài 1.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2 11

xyx

2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm I(1;2) đến

tiếp tuyến bằng 2 .

Hướng dẫn:

*Tiếp tuyến của (C) tại điểm 0 0( ; ( )) ( )M x f x C có phương trình

0 0 0'( )( ) ( )y f x x x f x

Hay 2 20 0 0( 1) 2 2 1 0x x y x x (*)

*Khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến (*) bằng 2

0

40

2 22

1 ( 1)

x

x

giải được nghiệm 0 0x và 0 2x

*Các tiếp tuyến cần tìm : 1 0x y và 5 0x y


xyx

.


2. Tìm trên đồ thị (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M( -3; 0)và

N(-1; -1).

Hướng dẫn:

Gọi 2 điểm cần tìm là A, B có 6 6;2 ; ;2 ; , 11 1

A a B b a ba b

Trung điểm I của AB: I 2 2;2 1 1

a b a ba b

Pt đường thẳng MN: x + 2y +3= 0



Có : . 0AB MNI MN

=>

0 (0; 4)2 (2;0)

a Ab B

Bài 3. Cho hàm số : 1x21xy

(C)

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến đó đi qua giao điểm củađường tiệm cận và trục Ox.

Hướng dẫn:

Giao điểm của tiệm cận đứng với trục Ox là

0,

21A

Phương trình tiếp tuyến () qua A có dạng

21xky

Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số :3x 4yx 2

.

Tìm điểm thuộc (C) cách đều 2 đường tiệm cận .

Hướng dẫn:

Gọi M(x;y) (C) và cách đều 2 tiệm cận x = 2 và y = 3

| x – 2 | = | y – 3 | 3x 4 xx 2 2 x 2x 2 x 2

x 1x x 2x 4x 2

() tiếp xúc với (C) /

x 1 1k x2x 1 2

x 1 k co ù nghieäm2x 1

)2(k

1x23

)1(21xk

1x21x

2

Thế (2) vào (1) ta có pt hoành độ tiếp điểm là



2

13 xx 1 2

2x 1 2x 1

1(x 1)(2x 1) 3(x )2

và 1x2

3x 12

5x2

. Do đó121k . Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

1 1y x12 2

Bài 5. Giả sử là tiếp tuyến tại điểm 0;1M của đồ thị hàm số 2 11xy

x

(C)

Hãy tìm trên (C) những điểm có hoành độ lớn hơn 1 mà khoảng cách từ đó đến làngắn nhất.

Hướng dẫn:

Khoảng cách từ một điểm trên (C) tới đường thẳng là ngắn nhất khi và chỉ khiđiểm đó là tiếp điểm của đồ thị (C) với tiếp tuyến là song song với đường thẳng .

Ta có:

23' ; ' 0 3

1y y

x

.

Phương trình tiếp tuyến của (C) là : 3 1y x .

Gọi 0 0 0; ( ), 1N x y C x có khoảng cách tới ngắn nhất, thế thì 0x là nghiệm

của phương trình 0 00

0

2 5'( ) 3

0 (loaïi)x y

y xx

Bài 6. Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số 22

x my mx

có ít nhất một

điểm cách đều hai trục tọa độ, đồng thời hoành độ và tung độ của điểm đó trái dấunhau.

Hướng dẫn: Những điểm cách đều hai trục tọa độ có hoành độ và tung độ trái dấu

nhau sẽ nằm trên đường thẳng y x . Giả sử ;M x y là điểm thõa mãn đề bài thì



ta có phương trình: 2 0 *2 2

x x mx mxx x

. Phương trình (*) có ít nhất

một nghiệm khác 2 khi và chỉ khi11 4 04

2 0 2

m mm x

Bài 7. Tính khoảng cách giữa hai nhánh của đồ thị hàm số 22

xy Cx

Hướng dẫn: Giả sử 1 2;C C là hai nhánh của đồ thị hàm số và

1 2

2

2 22

2 2; ; ;2 2

4 2 2' , ; .Tieáp tuyeán vôùi (C) taïi M coù phöông trình:2 22

4 2y= 4 2 2 022

a bM a C N b Ca b

b ay MN b ab ax

ax a x a y aaa

Ta thấy MN là khoảng cách của hai nhánh 1 2;C C khi và chỉ khi tiếp tuyến tại

M,N với 1 2;C C song song với nhau và chúng vuông góc với đường thẳng chứa

MN. Điều đó tương đương

2 2

2

4 4 (1)2 2

2 22 4 0 (2)2 2

a b

b ab a ab a

4Töø (1) b=-4-a thay vaøo (2) ta ñöôïc -2 2 32 0 0 (do 2)

4 vaø 4;4 4 2

a a a

b MN MN

BTTT: Tính khoảng cách giữa hai nhánh của đồ thị hàm số 2 12

xy Cx



Bài 8. Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng 16

y x với đồ thị hàm số 11

xyx

.

Tìm điểm M thuộc đường phân giác góc phần tư thứ nhất sao cho MA MB nhỏnhất

Hướng dẫn: Tọa độ A, B là nghiệm của hệ phương trình

11 16 2; ; 3;3 21

1

y xA B

xyx

Dễ thấy A và B nằm cùng phía đối với đường phân giác : 0.x y Gọi ' ;A a b

là điểm đối xứng của A qua : 0.x y thế thì

12 .1 .1 0 13 1' ;231 322 3 02 2

7 7M laø giao ñieåm cuûa A'B vaø M ;5 5

a ba

Ab ba



TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Trần Đình Cư (2012). Bài giảng cấp tốc luyện thi đại học.

2. Trần Sĩ tùng (2011). Chuyên đề hàm số.

3. Nguyễn Phú Khánh, Nguyễn Tất Thu (2011) . Chuyên đề hàm số

4. Các đề thi của bộ giáo dục và đào tạo.

5. Đề thi thử các trường 2012.

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ 12 - · PDF fileTRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT...

Documents

Transcript of CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ 12 - · PDF fileTRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT...