Muc luc

1. Biến đổi hữu tỷ và biến đổi vô tỷ...................................................2

2. Biểu diễn thập phân của số tự nhiên...............................................4

3. Số chính phương.............................................................................5

4. Phương trình nghiệm nguyên.........................................................6

5. Phương trình bậc hai và định lý Viete............................................7

6. Hệ phương trình..............................................................................9

7. Bất đẳng thức và cực trị................................................................11

8. Phương pháp chứng minh phản chứng.........................................13

9. Nguyên lý dirichlet.......................................................................14

10. Nguyên lý bất biến........................................................................16

11. Định lượng hình học.....................................................................18

12. Thẳng hàng và đồng quy..............................................................20

13. Điểm thuộc đường cố định – Đường qua điểm cố định...............22

14. Bất đẳng thức và cực trị hình học.................................................24

Nguy n Tăng Vũ – Tr ng Ph Thông Năng Khi uễ ườ ổ ế 1www.tangvu.tk

MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI

1. Biến đổi hữu tỷ và biến đổi vô tỷ

Bài 1. Cho xy=a , xz=b , yz=c và abc ≠0. Tính x2+ y2+z2 theo a ,b , c

Bài 2. Cho a ,b , c thỏa:

1a+b+c

=1a+ 1b+ 1c

Chứng minh rằng

1

a2011+b2011+c2011= 1

a2011+ 1

b2011+ 1

c2011

Bài 3. Cho a+b=c+d và a3+b3=c3+d3.

Chứng minh rằng a2011+b2011=c2011+d2011

Bài 4. Cho các số a ,b thỏa a3+b3+3ab=1. Tìm a+b

Bài 5. Cho a ,b , c là các số nguyên thỏa |a−b|2011+|c−a|2011=1. Tính giá trị

của biểu thức: |a−b|+|b−c|+¿c−a∨¿

Bài 6. Cho a=3√4+ 3√2+1. Tính giá trị của biểu thức:

A=3a+ 3

a2+ 1

a3

Bài 7. (PTNK 2002) Cho các số thực a ,b , c thỏa mãn điều kiện

a+ 1b=b+ 1

c=c+ 1

a

a) Cho a=1, hãy tìm b , c.

b) Chứng minh rằng nếu a ,b , c đôi một khác nhau thì a2b2c2=1.

c) Chứng minh rằng nếu a ,b , c dương thì a=b=c.

Nguy n Tăng Vũ – Tr ng Ph Thông Năng Khi uễ ườ ổ ế 2www.tangvu.tk

Bài 8. (PTNK 2009). Cho là các số thực thỏa mãn điều kiện

.

Chứng minh rằng: .

Bài 9. (Chuyên Toán TPHCM 2009). Cho các số nguyên a ,b , c , d thỏaa≤b≤c≤d và a+d=c+b .

a) Chứng minh rằng a2+b2+c2+d2 là tổng của ba số chính phương. b) Chứng minh bc ≥ad

Bài 10. (PTNK 1999)

a) Chứng minh đẳng thức

x+ y+¿ x – y∨¿2max {x , y } với mọi x , y∈R

b) Chứng minh đẳng thức

|a+bab

+|a−bab

|−2c|+ a+b

ab+|a−b

ab|+ 2

c=4 max {1

a,

1b,

1c } với mọi

a ,b , c 0

.

Trong đó max là ký hiệu số lớn nhất trong các số đi kèm.

2. Biểu diễn thập phân của số tự nhiên

Nguy n Tăng Vũ – Tr ng Ph Thông Năng Khi uễ ườ ổ ế 3www.tangvu.tk

Bài 1. Chứng minh rằng nếu abc là bội của 37 thì bca cũng là bội của 37.

Bài 2. Cho số có 6 chữ số abcdef sao cho defabc bằng 6 lần abcdef . Tính tổng a+b+c+d+e+ f

Bài 3. Tìm tất cả các số có 3 chữ số bằng lập phương tổng 3 chữ số của nó.

Bài 4. Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho thỏa điều kiện sau:

a) Số này có chữ số tận cùng bằng 6.b) Nếu đưa số 6 lên trước số tạo bởi năm chữ số còn lại thì được số mới

bằng 4 lần số ban đầu.

Bài 5. Tìm số chính phương có 4 chữ số sao cho số có hai chữ số tạo bởi hai chữ số đầu và hai chữ số cuối là giống nhau.

Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất của tỉ số một số có 3 chữ số và tổng các chữ số của nó.

Bài 7. Chứng minh rằng mỗi số trong dãy: 12, 1122, 111222,… đề là tích của hai số tự nhiên liên tiếp.

Bài 8. Tìm số chính phương nhỏ nhất sao cho khi xóa đi hai chữ số cuối cùng (hai số không đồng thời bằng 0) thì số còn lại cũng là một số chính phương.

Bài 9. Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng nó chia hết cho tích hai chữ của nó.

Bài 10. (PTNK 2008)Một số nguyên dương n được gọi là số bạch kim nếu n bằng tổng bình phương các chữ số của nó.

a) Chứng minh rằng không tồn tại số bạch kim có 3 chữ sốb) Tìm tất cả các số nguyên dương n là số bạch kim

3. Số chính phương

Nguy n Tăng Vũ – Tr ng Ph Thông Năng Khi uễ ườ ổ ế 4www.tangvu.tk

Bài 1. Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng thêm 1 là một số chính phương.

Bài 2. Có tồn tại một không một số chính phương lớn hơn 10 gồm toàn các chữ số giống nhau.

Bài 3. Tìm các chữ số x , y biết rằng 2 x9 y 1 là một số chính phương.

Bài 4. Chứng minh rằng nếu tồng hai số chính phương chia hết cho 3 thì cả hai số đó đều chia hết cho 3.

Bài 5. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2−19n+91 là một số chính phương.

Bài 6. Có tồn tại hay không một số chính phương khác 0 chỉ gồm các chữ số 0 và 6.

Bài 7. Tìm số nguyên tố p sao cho tổng các ướng dương của p4 là một số chính phương.

Bài 8. Cho hai số nguyên dương x , y . Chứng minh rằng các số x2+ y+1 và y2+4 x+3 không thể đồng thời là số chính phương.

Bài 9. Cho d là một số nguyên dương khác 2, 5, và 13. Chứng minh rằng có thể tìm hai số a ,b∈ {2,5,13 , d } sao cho ab−1 không phải là số chính phương.

Bài 10. Chứng minh rằng số 3n+2.17n không phải là số chính phương với mọi số nguyên dương n.

4. Phương trình nghiệm nguyên

Nguy n Tăng Vũ – Tr ng Ph Thông Năng Khi uễ ườ ổ ế 5www.tangvu.tk

Bài 1. Tìm tất cả các căp số (x , y ) nguyên thỏa phương trình:

6 xy+4 x−9 y−7=0

Bài 2. Tìm các số nguyên x, y thoả mãn phương trình:

.

Bài 3. Tìm ba số nguyên dương sao cho tích của hai số cộng thêm 1 thì chia hết cho số còn lại.

Bài 4. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

Bài 5. Tìm các nghiệm nguyên không âm (x, y) của phương trình

Bài 6. Tìm tất cả các căp số nguyên sao cho tổng các lập phương của chúng bằng bình phương của tổng.

Bài 7. Tìm tất cả các giá trị của k để phương trình sau có nghiệm nguyên

dương:

Bài 8. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương thỏa phương trình:

Bài 9. Tìm tất cả các tam giác vuông có các cạnh là các số nguyên sao cho diện tích bằng chu vi.

Bài 10. a) Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên sao cho

b) Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên sao cho

5. Phương trình bậc hai và định lý Viete

Nguy n Tăng Vũ – Tr ng Ph Thông Năng Khi uễ ườ ổ ế 6www.tangvu.tk

Bài 1. Tìm tất cả các giá trị của k để hai phương trình x2−kx−7=0 và x2−6 x−k−1=0 có nghiệm chung, tìm các nghiệm khác.

Bài 2. Cho phương trình x2+2 (1+a ) x+(3 a2+4 ab+4 b2+2 )=0 có nghiệm.

Tìm a ,b

Bài 3. Cho tam giác có độ dài một cạnh là số nguyên dương và bằng trung bình cộng của hai cạnh còn lại. Tìm độ dài cạnh đó biết rằng tổng bình phương các cạnh của tam giác bằng 84.

Bài 4. Gọi α và β là nghiệm của phương trình x2−2 x−1=0. Tính giá trị của biểu thức A=5α 4+12β3

Bài 5. Chứng minh rằng nếu nghiệm của phương trình x2+ax+b+1=0là các số tự nhiên thì a2+b2 là hợp số.

Bài 6. (PTNK 2007)¿ phươngtrìnhau ìmcác nghiệmkhác .

a) Cho . Chứng minh rằng a ,b, là hai nghiệm của một phương trình bậc 2 với hệ số nguyên.

b) Cho . Chứng tỏ rằng c2 , d2

là hai nghiệm của một phương trình bậc 2 với hệ số nguyên.

Bài 7. (PTNK) Cho phương trình

trong đó m là tham số.a) Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho phương trình (1) có hai

nghiệm phân biệt.b) Ký hiệu x1 , x2 là hai nghiệm của (1). Tìm số nguyên m lớn nhất sao

cho là một số nguyên.Bài 8. (PTNK 2007) Cho a, b, c là các số thực dương phân biệt có tổng bằng 3. Chứng minh rằng trong 3 phương trình

có ít nhất một phương trình có hai nghiệm phân biệt và ít nhất một phương trình vô nghiệm.

Nguy n Tăng Vũ – Tr ng Ph Thông Năng Khi uễ ườ ổ ế 7www.tangvu.tk

Bài 9. Cho a ,b là các số thực thỏa a2+3 a+1=0 và b2+3b+1=0. Tính giá

trị của biểu thức ab+ ba

Bài 10. Cho a ,b là các số nguyên a>b và α ,β là các nghiệm của phương trình 3 x2+3 (a+b ) x+4 ab=0 thỏa mãn đẳng thức:

α (α+1 )+β (β+1 )=(α+1 )(β+1)

Tìm tất cả các căp số nguyên (a ,b).

Nguy n Tăng Vũ – Tr ng Ph Thông Năng Khi uễ ườ ổ ế 8www.tangvu.tk

6. Hệ phương trình

Bài 1. Giải hệ phương trình

Bài 2. Giải hệ phương trình

Bài 3. Giải hệ phương trình :

Bài 4. Giải hệ phương trình:

Bài 5. Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số sao cho tổng các chữ số chia hết cho 11 và tổng lập phương các chữ số bằng 251.

Bài 6. Một nhóm học sinh cần chia đều một lượng kẹo thành các phần quà tăng để cho các em nhỏ ở một đơn vị nuôi trẻ mồ côi. Nếu mỗi phần quà giảm 6 viên kẹo thì các em sẽ có thêm 5 phần quà nữa, còn nếu mỗi phần giảm 10 viên kẹo thì các em sẽ có thêm 10 phần quà nữa. Hỏi nhóm học sinh trên có bao nhiêu kẹo?

Nguy n Tăng Vũ – Tr ng Ph Thông Năng Khi uễ ườ ổ ế 9www.tangvu.tk

Bài 7. Tìm các cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 10cm và đường cao bằng 4,8cm.

Bài 8. Để tăng thưởng cho các học sinh đạt thành tích cao trong một kì

thi Olympic toán dành cho học sinh lớp 9, ban tổ chức đã trao 30 phần

thưởng cho các học sinh với tổng giải thưởng là 2.700.000 đồng bao

gồm: mỗi học sinh đạt giải nhất được 150.000 đồng; mỗi học sinh đạt

giải nhì được 130.000 đồng; mỗi học sinh đạt giải ba được thưởng

100.000 đồng; mỗi học sinh đạt giải khuyến khích được thưởng 10.00

đồng. Biết rằng có 10 giải ba và ít nhất một giải nhì được trao. Hỏi ban

tổ chức trao bao nhiêu giải nhất, bao nhiêu giải nhì và khuyến khích.

Bài 9. Cho đa thức x5−5qx+4 r chia hết cho đa thức ( x−c )2. Chứng minh

rằng q5=r 4

Bài 10. Lớp 9A có 28 học sinh đăng kí dự thi vào các lớp chuyên Toán,

Lý, Hoá của trường Phổ Thông Năng Khiếu. Trong đó: không có học

sinh nào chỉ chọn thi vào lớp Lý hoăc chỉ chọn thi vào lớp Hoá; Có ít

nhất 3 học sinh chọn thi vào cả ba lớp Toán, Tý, Hoá; Số học sinh chọn

thi vào lớp Toán và Lý bằng số học sinh chỉ thi vào lớp Toán; Có 6 học

sinh chọn thi vào lớp Toán và Hoá; Số học sinh chọn thi vào lớp Lý và

lớp Hoá gấp 5 lần số học sinh chọn thi vào cả 3 lớp Toán, Lý, Hoá. Hỏi

số học sinh thi vào từng lớp là bao nhiêu.

Nguy n Tăng Vũ – Tr ng Ph Thông Năng Khi uễ ườ ổ ế 10www.tangvu.tk

7. Bất đẳng thức và cực trị

Bài 1. Cho a, b là các số dương thoả ab = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức: .

Bài 2. Cho x, y, z, t là các số thực bất kì thuộc đoạn [ 0; 1]. Chứng minh

rằng: .

Bài 3. Cho a, b, là các số dương thoả mãn: . Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức K = a + b.

Bài 4.

a) Cho a, b, c, d là các số thực dương thoả mãn: ab = cd =1. Chứng

minh bất đẳng thức: .

b) Cho a, b, c, d là các số dương thoả mãn điều kiện abcd = 1. Chứng

minh rằng bất đẳng thức: .

Bài 5. Cho x, y là các số thực thoả mãn điều kiện . Chứng

minh rằng: .

Bài 6. Cho các số dương x, y, z thoả: .

Chứng minh: .

Bài 7. Cho thỏa điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức

Bài 8.

Nguy n Tăng Vũ – Tr ng Ph Thông Năng Khi uễ ườ ổ ế 11www.tangvu.tk

a) Cho a, b, c là 3 số không âm thỏa điều kiện (1)

Chứng minh bất đẳng thức (2)Hỏi từ (2) có thể suy ra (1) hay không? Vì sao? b) Cho a, b, c là 3 số không âm thỏa điều kiện (1) và p, q, r là 3 số

thực thỏa p + q + r = 0. Chứng minh bất đẳng thức

.

Bài 9. Cho các số thực . Chứng minh rằng:

Bài 10. Cho các số thực a ,b , c , d thỏa

(a2+b2−1 ) (c2+d2−1 )> (ac+bd−1 )2

Chứng minh rằng a2+b2>1 và c2+d2>1

Nguy n Tăng Vũ – Tr ng Ph Thông Năng Khi uễ ườ ổ ế 12www.tangvu.tk

8. Phương pháp chứng minh phản chứng

Bài 1. Chứng minh rằng nếu số tự nhiên n thỏa 2n−1 là số nguyên tố thì n cũng là số nguyên tố.

Bài 2. Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số tự nhiên chia hết cho 3 thì mỗi số phải chia hết cho 3.

Bài 3. Chứng minh rằng phương trình x2+ y2+z2=2xyz không có nghiệm nguyên dương.

Bài 4. Có tồn tại hay không một dãy số gồm 50 số sao cho tổng của 7 số liên tiếp bất ky là dương và tổng 11 số liên tiếp bất ky là âm?

Bài 5. Cho các số thực a ,b , c ≠0. Chứng minh rằng có ít nhất một trong ba phương trình sau có nghiệm:

a x2+bx+c=0 , b x2+ax+c=0 , c x2+bx+a=0

Bài 6. Cho 15 số thực thỏa mãn tổng của 8 số bất kì lớn hơn tổng của 7 số còn lại. Chứng minh rằng các số đã cho đều dương.

Bài 7. Chứng minh rằng trong một ngũ giác lồi thì có ít nhất hai góc tù.

Bài 8. Từ 8 các số nguyên dương không lớn hơn 20, chứng minh rằng có thể chọn ra 3 số x , y , z là độ dài 3 cạnh của một tam giác.

Bài 9. Người ta ghi các chữ số 0, 1, 2, …, 9 lên một đường tròn (mỗi số xuất hiện một lần).

a) Có tồn tại hay không một cách ghi sao cho tổng hai số kề bên lơn hơn 10.

b) Chứng minh rằng không tồn tại một cách ghi sao cho hiệu hai số kề nhau nhận một trong các giá trị sau: - 5, -4, - 3, 3, 4, và 5.

Nguy n Tăng Vũ – Tr ng Ph Thông Năng Khi uễ ườ ổ ế 13www.tangvu.tk

Bài 10. Một giải bóng đá gồm 18 đội đá vòng tròn một lượt, mỗi đội găp nhau một lần. Trong mỗi lượt đấu thì 18 đội chia thành 9 căp đá với nhau. Giải diễn ra được 8 lượt trận. Chứng minh rằng tồn tại 3 đội, đôi một chưa đá với nhau.

9. Nguyên lý dirichlet

Bài 1. Chứng minh rằng tồn tại một số chỉ toàn các chữ số 0, 1 và chia hết cho 2011.

Bài 2. Cho 100 số tự nhiên. Chứng minh rằng tồn tại một số hoăc một số các số có tổng chia hết cho 100.

Bài 3.

a) Chứng minh rằng trong 5 số tự nhiên bất kì luôn có 3 số có tổng chia hết cho 3.

b) Chứng minh rằng trong 17 số tự nhiên bất kì có thể chọn ra 9 số có tổng chia hết cho 9.

Bài 4. Chứng minh rằng trong 11 số tự nhiên, có thể chọn ra 2 số có hiệu bình phương chia hết cho 20.

Bài 5. Cho 69 số nguyên dương phân biệt không vượt quá 100. CMR có thể chọn được 4 sốa, b, c, d sao cho a < b < c và a + b + c = d.

Bài 6.

a) Một một cuộc họp quốc tế có 6 người tham dự. Giữa hai người bất kì có thể giao tiếp với nhau bằng tiếng Anh hoăc tiếng Pháp. Chứng minh rằng có thể chọn ra 3 người, mà có thể giao tiếp lân nhau chỉ bằng một ngôn ngữ.

b) Giải bài toán trên trong trường hợp 17 người và sư dung 3 ngôn ngữ.

Bài 7. Trong một hình vuông có độ dài bằng 2 có 5 điểm. Chứng minh rằng tồn tại 2 điểm có khoảng cách không lớn hơn √5

Nguy n Tăng Vũ – Tr ng Ph Thông Năng Khi uễ ườ ổ ế 14www.tangvu.tk

Bài 8. Người ta tô một đường tròn có bán kính 1 bằng hai màu xanh hoăc đỏ. Biết rằng tổng độ dài các cung được tô màu xanh nhỏ hơn 3. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm A và B trên đường tròn tô cùng màu đỏ.

Bài 9. Cho một hình vuông và 9 đuờng thẳng sao cho mỗi đường thẳng chia hình vuông ra thành hai phần có tỉ số diện tích là 2:3. Chứng minh rằng có ít nhất 3 đường thẳng cùng đi qua một điểm.

Bài 10. Xét 81 chữ số, trong đó có 9 chữ số 1, 9 chữ số 2, …, 9 chữ số 9. Hỏi có thể xếp được hay không tất cả các chữ số này thành một dãy, sao cho với mọi k = 1, 2, …, 9 trong mỗi khoảng giữa hai chữ số k liên tiếp có đúng k chữ số ?

Nguy n Tăng Vũ – Tr ng Ph Thông Năng Khi uễ ườ ổ ế 15www.tangvu.tk

10. Nguyên lý bất biến

Bài 1. Có 2011 đồng xu trên bàn, mỗi đồng xu có hai măt là “Hình” và “Quốc huy”. Lúc đầu 2011 đồng xu đều có măt “hình” phía trên. Cứ mỗi lần người ta lấy bốn đồng xu và lật ngược lại (mỗi đồng xu có thể được đổi nhiều lần). Hỏi sau một số hữu hạn các lần đổi thì có toàn bộ 2011 đồng xu ngưa măt “Quốc huy” lên trên không? Tại sao?

Bài 2. Một hình tròn được chia làm 6 cung, trong đó viết các số 1,0,1,0,0,0 (theo chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ). Mỗi một lần thực hiện, bạn có thể cộng hai số ở cạnh nhau với 1. Hỏi có thể xảy ra trường hợp sau một số lần thực hiện tất cả các số trên các cung tròn bằng nhau hay không?

Bài 3. Số nguyên dương có 4 chữ số trên bảng có thể biến đổi thành một số có 4 chữ số khác theo quy tắc sau: hoăc cộng thêm 1 vào hai chữ số liên tiếp của nó, nếu hai chữ số này đều không bằng 9; hoăc trừ đi 1 từ hai chữ số liên tiếp của nó, nếu hai chữ số này đều không bằng 0. Hỏi bằng các phép biến đổi như vậy, có thể thu được số 2002 từ số 1234?

Bài 4. Cho một bàn cờ quốc tế 88. Hỏi rằng quân mã có thể đi nước đầu tiên từ ô dưới cùng bên trái và kết thúc ở ô trên cùng bên phải hay không? Với điều kiện nó phải đi qua tất cả các ô trên bàn cờ và mỗi ô chỉ đi qua đúng một lần.

Bài 5. Cho một mảnh vuông 4 x 4. Trên các ô của hình vuông này, ban đầu

người ta ghi 9 số 1 và 7 số 0 một cách tuy ý( mỗi ô một số). Với mỗi phép biến

đổi bảng, cho phép chọn một hàng hoăc một cột bất kì và trên hàng hoăc cột

được chọn đổi đồng thời các số 0 thành 1, các số 1 thành 0. Chứng minh rằng

sau một số hữu hạn các phép biến đổi như vậy, ta không thể đưa bảng ban đầu

về toàn các số 0.

Bài 6. Trên bảng người ta ghi các số từ 1 đến 2010. Mỗi lần người ta thay hai

số bất ky bằng tổng hoăc hiệu của nó. Hỏi sau 2009 lần thay đổi, liệu số còn lại

trên bảng có thể là số 0 được không? Tại sao?

Nguy n Tăng Vũ – Tr ng Ph Thông Năng Khi uễ ườ ổ ế 16www.tangvu.tk

Bài 7. Ở vương quốc “ Sắc màu ky ảo” có 45 hiệp sĩ: 13 hiệp sĩ tóc đỏ, 15 hiệp

sĩ tóc vàng và 17 hiệp sĩ tóc xanh. Khi hai hiệp sĩ găp nhau thì màu tóc của họ

sẽ đổi sang màu tóc thứ ba ( ví du nếu hiệp sĩ tóc xanh găp hiệp sĩ tóc vàng thì

màu tóc của họ sẽ thành màu đỏ). Hỏi sau một hữu hạn lần găp nhau thì ở “Sắc

màu kì ảo” tất cả các hiệp sĩ có cùng màu tóc được không?

Bài 8. Một hình tròn được chia thành 14 hình quạt. Mỗi hình đăt một viên bi. Ta thực hiện một nước đi như sau: Mỗi lần 2 viên bi ở 2 hình quạt khác nhau di chuyển sang 2 hình quạt kề với 2 ô đó nhưng theo chiều ngợc nhau. Hỏi rằng sau một số lần thực hiện nước đi đó ta có thể đưa tất cả các viên bi về cùng một ô không?

Bài 9. Cho dãy số {xn} và {yn} xác định bởi: x0=1, y0=0 và xn+1=(5xn-12yn)/13, yn=(12xn+5yn)/13. Tính xn

2+yn2 với n = 106.

Bài 10. Một bảo tàng gồm 16 phòng hình tam giác như hình vẽ. Hai phòng có chung cạnh thì có thể đi từ phòng này qua phòng kia. Một người muốn đi tham quan hết tất cả các phòng và không muốn quay lại phòng mình đã xem, vậy hỏi người đó có thể thực hiện được không? Tại sao?

Nguy n Tăng Vũ – Tr ng Ph Thông Năng Khi uễ ườ ổ ế 17www.tangvu.tk

11. Định lượng hình học

Bài 1. Cho tam giác ABC có AB=4 , AC=6 , BAC=60 0.

a) Tính độ dài cạnh BC và diện tích tam giác ABC.b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC.

Bài 2. Cho đường tròn (O;r ) và đường tròn (I ; R) tiếp xúc ngoài nhau. Gọi AB là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn.

a) Tính độ dài AB theo r , R.b) Gọi (J ) là đường tròn tiếp xúc ngoài với (O) và (I ) và tiếp xúc với

AB. Tính bán kính đường tròn (J ).

Bài 3. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm tam giác ABC.

a) Chứng minh rằng .

b) Giả sư B ,H ,O ,C

cùng thuộc một đường tròn. Tính với K

là trung điểm BC.

Bài 4. (PTNK 2006 – 2007AB) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trình tâm O, có và AC cắt BD tại I . Biết rằng IA=6 cm, IB=8cm , ID=3cm.

a) Chứng minh rằng tam giác ABC cân.b) Gọi M ,N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính độ dài đoạn

MN .c) Gọi P là giao điểm của IO và MN . Tính độ dài đoạn MN .

Bài 5. (PTNK 2003) Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AA1. Hạ A1 H vuông góc AB , A1 K vuông góc AC. Đăt A1B=x, A1C= y.

a) Gọi r và r ’ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, và tam

giác AHK

tương ứng. Hãy tính tỉ số theo x và

y. Suy ra giá trị

lớn nhất của tỉ số đó

Nguy n Tăng Vũ – Tr ng Ph Thông Năng Khi uễ ườ ổ ế 18www.tangvu.tk

b) Chứng minh rằng tứ giác BHKC nội tiếp trong một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó theo x và y.

Bài 6. (PTNK 2002) Cho đường tròn (C) đường kính BC=2 R và điểm A thay đổi trên (C) (A không trùng B và C). Đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC cắt đường tròn (C) tại điểm K (khác A). Hạ AH vuông góc với BC .

a) Đăt AH=x. Tính diện tích S của tam giác AHK theo R và x. Tìm x sao cho S đạt giá trị lớn nhất.

b) Chứng minh rằng khi A thay đổi, tổng luôn luôn là một đại lượng không đổi.

c) Tính góc B

của tam giác ABC

biết rằng .Bài 7. (PTNK 2001) Cho tứ giác lồi ABCD có AB vuông góc với CD và

AB=2.BC=13 ,CD=8 , DA=5.

a) Đường thẳng BA cắt DC tại E. Tính AE.b) Tính diện tích của tứ giác ABCD.

Bài 8. Cho tam giác ABC, giả sư các đường phân giác trong và phân giác ngoài của góc A của tam giác ABC lần lượt cắt đường thẳng BC tại D , E và có AD=AE. Chứng minh rằng , với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài 9. Cho tứ giác ABCD với . Đường chéo AC và BD cắt nhau tại M . Nếu MB=1 và MD=2. Tính diện tích tứ giác ABCD.

Bài 10. Cho tam giác cân ABC với AB=AC, gọi D là chân đường cao hạ

từ đỉnh A. Điểm E trên cạnh AB sao cho . Nếu AD = 3, tính độ dài đoạn thẳng CE.

Nguy n Tăng Vũ – Tr ng Ph Thông Năng Khi uễ ườ ổ ế 19www.tangvu.tk

12. Thẳng hàng

Bài 1. Cho tam giác ABCD. Các điểm M thuộc AB, N thuộc AC và P, Q

thuộc BC sao cho MNPQ là hình chữ nhật. Gọi I là giao điểm của MP và

NQ, gọi D là trung điểm của đường cao AH của tam giác ABC, E là

trung điểm cạnh BC. Chứng minh rằng D, I, E thẳng hàng.

Bài 2. Cho ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Các phân giác của các góc A, B, C cắt nhau tại I và cắt (O) lần lượt tại D, E, F.

a) Chứng minh rằng: BDI là tam giác cân.

b) Gọi P là giao điểm của AB và DF, Q là giao điểm của của AC và DE. Chứng minh rằng: P, I, Q thằng hàng.

Bài 3. Cho tam giác . Đường tròn tâm nội tiếp tam giác

tiếp xúc với cạnh lần lượt tại . cắt tại

a) Chứng minh tứ giác OEFC nội tiếp

b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Chứng minh rằng F,

M, N thẳng hàng.

Bài 4. Cho tam giác ABC có các đường cao AD, BE và CF. Gọi P, Q, R,

S lần lượt là hình chiếu của D trên các đường thẳng AB, DE, CF và AC.

Chứng minh rằng P, Q, R, S thẳng hàng.

Bài 5. (PTNK 2009) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) ( A >

900). Đường thẳng qua A vuông góc với AB cắt CD tại E, đường thẳng

qua A vuông góc với AC cắt BD tại F. Gọi P là điểm đối xứng của A qua

EF.

a) Chứng minh 4 điểm E, F, P, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh E, O, F thẳng hàng.

Nguy n Tăng Vũ – Tr ng Ph Thông Năng Khi uễ ườ ổ ế 20www.tangvu.tk

Bài 6. Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt

AB, AC tại F và E. Gọi H là giao điểm của BE và CF.

a) Tiếp tuyến của (O) tại E và F cắt nhau tại I. Chứng minh I, A, H

thẳng hàng

b) Từ A vẽ tiếp tuyến AM, AN đến (O) (M, N là các tiếp điểm).

Chứng minh M, H, N thẳng hàng.

Bài 7. Cho đường tròn (O) và điểm P nằm ngoài đường tròn. Từ P vẽ hai

tiếp tuyến PA và PB đến (O) (A, B là hai tiếp điểm). Một cát tuyến qua P

cắt đường tròn tại C, D.

a) Gọi H là trung điểm của AB. Chứng minh O, H, C, D cùng thuộc

một đường tròn.

b) Tiếp tuyến tại C và D cắt nhau tại Q. Chứng minh Q thuộc đường

thẳng AB.

Bài 8. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn I. Gọi D là tiếp điểm của

(I) với BC. Chứng minh rằng trung điểm BC, trung điểm AD và I thẳng

hàng.

Bài 9. (BAMO 2001) Cho JHIZ là hình chữ nhật. Lấy A, C là hai điểm trên cạnh ZI và ZJ. Đường thẳng qua A vuông góc với CH cắt HI tại X, đường thẳng qua C vuông góc với AH cắt HJ tại Y. Chứng minh rằng X, Y, Z thẳng hàng.

Bài 10. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Một cát tuyến di động quanh A cắt (O), (O') tại P, Q. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AP, AQ.

a) Chứng minh rằng: Đường trung trực của IJ luôn đi qua một điểm cố định.

b) Đường vuông góc với PQ tại P và Q cắt (O), (O') tại N, M. Chứng minh rằng: N, B, M thẳng hàng.

Nguy n Tăng Vũ – Tr ng Ph Thông Năng Khi uễ ườ ổ ế 21www.tangvu.tk

13. Điểm thuộc đường cố định – Đường qua điểm cố định

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên các tia đối của tia BA và CA lấy các điểm D, E sao cho BD = CE. Chứng minh rằng đường trung trực của DE luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 2. (Sư dung các bài toán quen thuộc) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). M là một điểm thuộc cung BC không chứa A. Gọi D, E là hình chiếu của A trên MB và MC.

a) Chứng minh rằng DE luôn đi qua một điểm cố định.b) Gọi I, K là điểm đối xứng của M qua AB, AC. Chứng minh rằng KI

luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 3. Cho hai đường tròn (O) và (I) cắt nhau tại A và B. Một cát tuyến thay đổi qua A cắt (O) tại C và cắt (I) tại D (A nằm giữa C và D). Chứng minh rằng trung trực của đoạn CD luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 4. Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm A. Dây cung BC của (O) thay đổi nhưng có độ dài không đổi là R√3. Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ABC luôn thuộc một đường cố định.

Bài 5. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (C ) và M là một điểm thay đổi trên cung nhỏ BC, N là điểm đối xứng của M qua trung điểm I của AB. Chứng minh trực tâm K của tam giác ANB nằm trên một đường tròn cố định.

Bài 6. Cho tam giác đều ABC. P là điểm nằm trong tam giác

a) Tìm tập hợp các điểm P sao cho hình chiếu của P trên các cạnh tạo thành một tam giác cân.

Nguy n Tăng Vũ – Tr ng Ph Thông Năng Khi uễ ườ ổ ế 22www.tangvu.tk

b) Gọi x, y, z là khoảng cách từ P đến các cạnh BC, AC và AB. Tìm quỹ tích các điểm P sao cho x, y, z là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Bài 7. Cho hai đường tròn (O) và (I) cắt nhau tại A và B. Một cát tuyến thay đổi qua A cắt (O) tại C, cắt (I) tại D sao cho A nằm giữa C và D. Tiếp tuyến tại C của (O) và tiếp tuyến tại D của (I) cắt nhau tại P.

a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác PCD luôn đi qua một điểm cố địnhb) Gọi H và K là hình chiếu của P trên PC và PD. Chứng minh rằng

HK luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

Bài 8. Cho hình vuông ABCD. M là một điểm thuộc cạnh CD. Vẽ CH AM và gọi K là giao điểm của BH và AC. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADK thuộc một đường cố định.

Bài 9. Cho tam giác ABC. M là một điểm thay đổi trên cạnh AB và AC. Gọi D và E lần lượt là điểm đối xứng của M qua AB và AC. Chứng minh rằng trung điểm của DE thuộc một đường thẳng cố định.

Bài 10. Cho hình vuông ABCD. Trên hai cạnh CB và CD lấy hai điểm M, N sao cho MAN = 450. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn tiếp xúc một đường tròn cố định.

Nguy n Tăng Vũ – Tr ng Ph Thông Năng Khi uễ ườ ổ ế 23www.tangvu.tk

14. Bất đẳng thức và cực trị hình học

Bài 1. Cho a ,b , c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng 1

a+b,

1b+c

,1

a+c cũng là độ dài ba cạnh của một tam giác,

Bài 2. Có tồn tại hai không một đường cao có độ dài lần lượt là 1 ,√5 ,√5+1 ?

Bài 3. Cho tứ giác lồi ABCD có BAD = BCD = 900, và tia AK là phân giác BAD. Nếu AK //BC, AK CD và AK giao với BD tại E. chứng minh AE < ½ CD.

Bài 4. Cho tam giác ABC trọng tâm G. Chứng minh rằng một đường thẳng bất ky qua G chia tam giác thành hai phần có hiệu diện tích không lớn hơn 1/9 diện tích tam giác ABC.

Bài 5. Chứng minh rằng trong một tứ giác tích hai đường chéo không lớn hơn tổng tích hai đường chéo.

Bài 6. Cho tam giác ABC có diện tích S và một điểm P nằm trong tam giác.

a) Gọi S1, S2, S3 lần lượt là diện tích của các tam giác PBC, PCA và

PAB. Hãy xác định giá trị nhỏ nhất của

Bài 7. Gọi P1, P2, P3 lần lượt là các điểm đối xứng của P qua BC, CA và AB. Đường thẳng đi qua P1 và song song với BC cắt AB và AC tại B1 và C1. Đường thẳng đi qua P2 và song song với AC cắt BC và BA tại C2 và A2. Đường thẳng đi qua P3 và song song với AB cắt CA và CB tại A3 và

Nguy n Tăng Vũ – Tr ng Ph Thông Năng Khi uễ ườ ổ ế 24www.tangvu.tk

B3. Hãy xác định vị trí điểm P để tổng diện tích 3 hình thang BCC1B1, CAA2C2 và ABA3B3 đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó.

Bài 8. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Đường thẳng d1 song song với BC tiếp xúc với (I) và cắt AB, AC tại A1 và A2, các căp điểm (B1, B2) và (C1, C2) được xác định tương tự. Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức:

Bài 9. Cho tam giác nhọn ABC. Điểm D di động trên cạnh BC. Gọi O1,

O2 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và ACD.

a) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AO1O2 luôn đi

qua một điểm cố định khác A.

b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và I là tâm

đường tròn ngoại tiếp tam giác AO1O2. Hãy xác định vị trí của

điểm D trên BC sao cho IO là nhỏ nhất.

Bài 10. Cho góc xAy vuông và hai điểm B, C lần lượt trên các tia Ay, Ay. Hình vuông MNPQ có các đỉnh M thuộc cạnh AB, đỉnh N thuộc cạnh AC và các đỉnh P, Q thuộc cạnh BC.

a) Tính cạnh hình vuông MNPQ theo cạnh BC = a và đường cao AH = h của tam giác ABC.

b) Cho B, C thay đổi lần lượt trên các tia Ax, Ay sao cho tích AB. AC = k2 ( k không đổi). Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình vuông MNPQ.

Nguy n Tăng Vũ – Tr ng Ph Thông Năng Khi uễ ườ ổ ế 25www.tangvu.tk