Chuyên đề LTĐH

TRẦN ANH TUẤNTRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI

Các chuyên đề

LUYỆN THI ĐẠI HỌC

HÀ NỘI - 2011

WWW.VNMATH.COM

Mục lục

I Đại số - Lượng giác - Giải tích 9

Chương 1 Phương trình, bất phương trình, hệ đại số 11

1.1. Phương trình, bất phương trình đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.1. Phương trình, bất phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.2. Phương trình trình bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.3. Phương trình, bất phương trình bậc bốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2. Phương trình, bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3. Phương trình, bất phương trình chứa căn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Vấn đề 1 : Phương trình, bất phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Vấn đề 2 : Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Vấn đề 3 : Phương pháp nhân liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Vấn đề 4 : Phương pháp đánh giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Vấn đề 5 : Phương trình, bất phương trình có tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4. Hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4.1. Phương pháp thế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4.2. Phương pháp phân tích thành nhân tử hoặc coi một phương trình là phương trình bậc hai (ba) theo

một ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4.3. Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4.4. Phương pháp hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.4.5. Phương pháp đánh giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.5. Số nghiệm của phương trình, hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Vấn đề 1 : Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Vấn đề 2 : Chứng minh phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Vấn đề 3 : Chứng minh phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.6. Phương trình, bất phương trình, hệ đại số trong các kì thi tuyển sinh ĐH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.7. Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Chương 2 Bất đẳng thức 37

2.1. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1.1. Bất đẳng thức Cauchy - So sánh giữa tổng và tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1.2. Một số hệ quả trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1.3. Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2. Bất đẳng thức hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3. Phương pháp sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình hoặc hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . 44

3

WWW.VNMATH.COM

2.4. Bất đẳng thức trong các kì thi tuyển sinh ĐH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.5. Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Chương 3 Lượng giác 51

3.1. Phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2. Phương trình dạng a sinx + b cosx = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3. Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.4. Đưa phương trình về dạng tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.5. Phương pháp đánh giá và phương pháp hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.6. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.7. Lượng giác trong các kì thi tuyển sinh ĐH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.8. Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Chương 4 Tổ hợp 69

4.1. Các quy tắc đếm. Tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2. Giải phương trình, bất phương trình, hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.3. Hệ số của xk trong khai triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.4. Hệ số của xk trong khai triển nhị thức (a + b)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.5. Hệ số của xk trong khai triển (a + b)n(c + d)m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.6. Hệ số của xk trong khai triển (a + b + c)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.7. Tính tổng các hệ số tổ hợp :nP

k=0akCk

n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.8. Phương pháp cơ bản với ak chỉ là hàm số mũ theo biến k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.9. Phương pháp đạo hàm với ak là tích hàm số mũ và đa thức theo k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.10. Phương pháp tích phân với ak là tích hàm số mũ và phân thức theo k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.11. Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Chương 5 Hàm số 83

5.1. Tính đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Vấn đề 1 : Xét chiều biến thiên của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Vấn đề 2 : Tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu trên một miền . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Vấn đề 3 : Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm một biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Vấn đề 4 : Sử dụng tính đơn điệu chứng minh bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Vấn đề 5 : Ứng dụng sự biến thiên vào việc giải phương trình, bất phương trình, hệ . . . . . . . . . . . . . 91

Vấn đề 6 : Ứng dụng sự biến thiên vào bài toán số nghiệm phương trình có tham số . . . . . . . . . . . . . 92

5.2. Cực trị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Vấn đề 1 : Sử dụng dấu hiệu 1 và dấu hiệu 2 để xác định các điểm cực trị của hàm số . . . . . . . . . . . . 94

Vấn đề 2 : Điều kiện của tham số để hàm số đạt cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) tại x = x0 hoặc đồ thị hàm

số đạt cực trị tại điểm (x0; y0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Vấn đề 3 : Tìm điều kiện để hàm số có cực trị và thỏa mãn một vài điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.3. Tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Vấn đề 1 : Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Vấn đề 2 : Các bài toán về tiệm cận có tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.4. Tâm đối xứng và trục đối xứng. Điểm thuộc đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Vấn đề 1 : Tâm đối xứng, trục đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Vấn đề 2 : Khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.5. Biện luận số nghiệm của phương trình, bất phương trình bằng phương pháp đồ thị . . . . . . . . . . . . . . 103

5.6. Bài toán về sự tương giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.7. Sự tiếp xúc của hai đường cong và tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Vấn đề 1 : Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Vấn đề 2 : Hai đường cong tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Vấn đề 3 : Tiếp tuyến đi qua một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Vấn đề 4 : Tiếp tuyến có hệ số góc cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.8. Hàm số trong các kì thi tuyển sinh ĐH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.9. Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Chương 6 Mũ và lôgarít 127

6.1. Hàm số mũ, hàm số lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.2. Hàm số logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.3. Phương trình mũ và logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Vấn đề 1 : Phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Vấn đề 2 : Phương pháp logarit hai vế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130


Vấn đề 4 : Phương pháp phân tích thành nhân tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Vấn đề 5 : Phương pháp đánh giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.4. Bất phương trình mũ và logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Vấn đề 1 : Bất phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132


Vấn đề 3 : Phương pháp phân tích thành nhân tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.5. Hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.6. Phương trình mũ và lôgarit trong các kì thi tuyển sinh ĐH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.7. Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Chương 7 Tích phân 149

7.1. Các dạng toán cơ bản về nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Vấn đề 1 : Chứng minh một hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Vấn đề 2 : Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Vấn đề 3 : Tìm hằng số C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Vấn đề 4 : Phương pháp nguyên hàm từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Vấn đề 5 : Phương pháp đổi biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

7.2. Các dạng toán tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Vấn đề 1 : Sử dụng tích phân cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Vấn đề 2 : Tích phân hàm chứa dấu trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Vấn đề 3 : Phương pháp tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Vấn đề 4 : Phương pháp đổi biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Vấn đề 5 : Tích phân các hàm hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Vấn đề 6 : Tích phân một số hàm đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

7.3. Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

7.4. Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

7.5. Tích phân trong các kì thi ĐH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

7.6. Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Chương 8 Số phức 167

II Hình học 173

Chương 9 Phương pháp tọa độ trong trong mặt phẳng 175

9.1. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

9.2. Phương trình của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

9.2.1. Các bài toán thiết lập phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

9.2.2. Các bài toán liên quan đến việc sử dụng phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

9.2.3. Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

9.3. Đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

9.4. Đường elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

9.5. Đường hypebol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

9.6. Đường parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

9.7. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng qua các kì thi tuyển sinh ĐH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

9.8. Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

Chương 10 Mở đầu về hình học không gian. Quan hệ song song 191

10.1. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

Vấn đề 1 : Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

Vấn đề 2 : Xác định giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

Vấn đề 3 : Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng và ba đường thẳng đồng quy . . . . . . . . . . . 193

Vấn đề 4 : Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

10.2. Hai đường thẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Vấn đề 1 : Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (dùng quan hệ song song) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Vấn đề 2 : Chứng minh hai đường thẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

Vấn đề 3 : Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

10.3. Đường thẳng và mặt phẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

Vấn đề 1 : Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

Vấn đề 2 : Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. Dựng thiết diện song song với một đường thẳng . . . . . . . 197

Vấn đề 3 : Dựng một mặt phẳng chứa một đường thẳng và song song với đường thẳng khác

Xác định giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

10.4. Hai mặt phẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

Vấn đề 1 : Chứng minh hai mặt phẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

Vấn đề 2 : Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Thiết diện cắt bởi một mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước . . . . . . . . . . . . . . 199

Chương 11 Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc 201

11.1. Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

Vấn đề 1 : Biểu thị một vectơ qua ba vectơ không đồng phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

Vấn đề 2 : Chứng minh các đẳng thức vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

Vấn đề 3 : Chứng minh các điểm thẳng hàng và quan hệ song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

Vấn đề 4 : Chứng minh các vectơ đồng phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

11.2. Hai đường thẳng vuông góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

Vấn đề 1 : Tính góc giữa hai vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

Vấn đề 2 : Tính góc giữa hai đường thẳng a và b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

Vấn đề 3 : Chứng minh hai đường thẳng vuông góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

11.3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

Vấn đề 1 : Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

Vấn đề 2 : Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

Vấn đề 3 : Xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

Vấn đề 4 : Dựng mặt phẳng qua điểm M cho trước và vuông góc với một đường thẳng d cho trước . . . . . 211

11.4. Hai mặt phẳng vuông góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

Vấn đề 1 : Xác định góc giữa hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

Vấn đề 2 : Chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

Vấn đề 3 : Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

Vấn đề 4 : Dựng mặt phẳng (Q) chứa a và vuông góc với (P) (giả thiết a không vuông góc với (P)) . . . . . 216

11.5. Khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

Vấn đề 1 : Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

Vấn đề 2 : Dựng đường thẳng đi qua một điểm A cho trước và vuông góc với một mặt phẳng (P) cho trước.

Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

Vấn đề 3 : Đoạn vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau . . . . . . . . . . . . . 219

11.6. Khối đa diện và thể tích khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

Vấn đề 1 : Phương pháp trực tiếp tìm thể tích khối chóp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

Vấn đề 2 : Tính thể tích hình chóp một cách gián tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

Vấn đề 3 : Dùng công thức thể tích để giải một số bài toán hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

11.7. Phân loại một số hình khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

11.7.1. Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

11.7.2. Hình chóp đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

11.7.3. Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

11.7.4. Hình chóp có hai mặt vuông góc với đáy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

11.7.5. Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau . . 233

11.7.6. Hình hộp - Hình lăng trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

11.8. Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

Chương 12 Mặt cầu và khối tròn xoay 239

12.1. Mặt cầu, khối cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

12.2. Mặt tròn xoay. Mặt trụ, hình trụ và khối trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

Chương 13 Phương pháp không gian toạ độ trong không gian 249

13.1. Hệ toạ độ trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

Vấn đề 1 : Tìm tọa độ của một vectơ và các yếu tố liên quan đến vectơ thỏa mãn một số điều kiện cho trước . 249

Vấn đề 2 : Ứng dụng của tích vô hướng và tích có hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

Vấn đề 3 : Lập phương trình của mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

Vấn đề 4 : Phương pháp tọa độ giải hình học không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

13.2. Phương trình mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

Vấn đề 1 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có một vectơ pháp tuyến cho trước . . . . . . . 254

Vấn đề 2 : Vị trí tương đối của hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

Vấn đề 3 : Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

Vấn đề 4 : Góc giữa hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

Vấn đề 5 : Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

13.3. Phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

Vấn đề 1 : Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

Vấn đề 2 : Tìm điểm trên đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

Vấn đề 3 : Vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆ và ∆′ trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

Vấn đề 4 : Vị trí tương đối giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

Vấn đề 5 : Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

Vấn đề 6 : Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

Vấn đề 7 : Góc giữa hai đường thẳng ; góc giữa đường thẳng và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

Vấn đề 8 : Phương trình đường thẳng biết đường thẳng đó song song, hoặc vuông góc với đường thẳng

hoặc mặt phẳng khác, hoặc nằm trên mặt phẳng khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

Vấn đề 9 : Phương trình đường thẳng ∆ biết ∆ cắt ∆′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

Vấn đề 10 : Hình chiếu và tính đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

Vấn đề 11 : Bài toán cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

13.4. Hình học không gian trong các kì thi tuyển sinh ĐH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

13.5. Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

III Hướng dẫn và đáp số 287

8

Phần I

Đại số - Lượng giác - Giải tích

9

www.VNMATH.com www.VNMATH.com

WWW.VNMATH.COM

WWW.VNMATH.COM

Chương 1

Phương trình, bất phương trình, hệ đại số

1.1 Phương trình, bất phương trình đa thức

1.1.1 Phương trình, bất phương trình bậc hai

Bài 1.1 : Giải và biện luận các phương trình sau :

1. (m − 2)x2 − 2mx + m + 1 = 0 ; 2.a

x − 1+

1x − a

= 2.

Bài 1.2 : Cho phương trình :

(m2 − 4)x2+ 2(m + 2)x + 1 = 0.

1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

2. Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.

Bài 1.3 : Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh phương trình sau vô nghiệm :

c2x2+ (a2 − b2 − c2)x + b2

= 0.


x2 − (2m + 3)x + m2+ 2m + 2 = 0.

1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2.

2. Viết phương trình bậc hai có hai nghiệm1x1,

1x2

.

3. Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập với tham số m.

4. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 = 2x2.

Bài 1.5 : Cho phương trình : x2 − cosa.x + sina − 1 = 0.

1. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi a.

2. Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập với a.

3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của E = (x1 + x2)2+ x2

1x22.


mx2 − 2(m − 2)x + m − 3 = 0.

Tìm m để phương trình có :

11

WWW.VNMATH.COM

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

1. hai nghiệm trái dấu ; 2. hai nghiệm dương phân biệt ; 3. đúng một nghiệm âm.

Bài 1.7 : Giải các bất phương trình sau :

1.x2 − 4x + 3

3− 2x< 1− x ;

2. (−x2+ 3x − 2)(x2 − 5x + 6) ≥ 0 ;

3.2

x + 2+

12≤ −4

x2 + 2x;

4. x2+ (x + 1)2 ≤ 15

x2 + x + 1;

Bài 1.8 : Giải và biện luận các bất phương trình sau :

1. x2 − mx + m + 3 > 0 ; 2. (m + 1)x2 − 2(m − 1)x + 3m − 3 ≥ 0 ;

Bài 1.9 : Giải hệ bất phương trình sau :

8<:x2 − 7x + 6 ≤ 0

x2 − 8x + 15≥ 0

Bài 1.10 : Tìm m để :

1. x2 − mx + m + 3 ≥ 0, ∀x ∈ R ; 2. mx2+ 4x + m > 0, ∀x ∈ R ; 3. mx2 − mx − 5 < 0, ∀x ∈ R.

Bài 1.11 : Tìm m để các hàm số sau xác định với mọi x ∈ R :

1. y =È

m(m + 2)x2 + 2mx + 2 ; 2. y =1È

(1− m)x2 − 2mx + 5− 9m;

Bài 1.12 : Cho f (x) = (m + 1)x2 − 2(m − 1)x + 3m − 3. Tìm m để bất phương trình :

1. f (x) < 0 vô nghiệm. 2. f (x) ≥ 0 có nghiệm.

Bài 1.13 : Tìm m để các bất phương trình sau có tập nghiệm là R :

1. 1 ≤ 3x2 − mx + 52x2 − x + 1

< 6 ; 2.

�� x2+ mx + 1x2 + 1

�� < 2 ;

Bài 1.14 : Cho bất phương trình : x2+ 6x + 7+ m ≤ 0. Tìm m để bất phương trình :

1. vô nghiệm.

2. có đúng một nghiệm.

3. có miền nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài bằng 1.

Bài 1.15 : Tìm m để f (x) = mx2 − 4x + 3m + 1 > 0 với mọi x > 0.

Bài 1.16 : Tìm m để f (x) = 2x2+ mx + 3 ≥ 0 với mọi x ∈ [−1; 1].

Bài 1.17 : Tìm m để f (x) = x2 − 2mx − m ≥ 0 với mọi x > 0.

Bài 1.18 : Tìm m để f (x) = mx2 − 2(m + 1)x − m + 5 > 0 với mọi x < 1.

Bài 1.19 : Tìm m để f (x) = 2x2 − (3m + 1)x − (3m + 9) ≤ 0 với mọi x ∈ [−2; 1].

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 12


WWW.VNMATH.COM


1.1.2 Phương trình trình bậc ba


x3 − (m2 − m + 7)x − (3m2+ m − 6) = 0.

1. Tìm m để phương trình có một nghiệm là −1.

2. Với m > 0 tìm được ở câu trên, hãy giải phương trình .

Bài 1.21 : Giải các phương trình sau :

1. x3 − 6x2+ 11x − 6 = 0 ;

2. 2x3+ x + 3 = 0 ;

3. x3 − 5x2+ 7x − 2 = 0 ;

4. x3 − 3√

3x2+ 7x −

√3 = 0 ;

Bài 1.22 : Tìm m để các phương trình sau có ba nghiệm phân biệt :

1. x3 − (2m + 1)x2+ 3(m + 4)x − m − 12= 0 ; 2. mx3 − 2mx2 − (2m − 1)x + m + 1 = 0 ;

Bài 1.23 : Tìm m để phương trình :

mx3 − (3m − 4)x2+ (3m − 7)x − m + 3 = 0

có ba nghiệm dương phân biệt.

1.1.3 Phương trình, bất phương trình bậc bốn


1. x4 − 3x2+ 4 = 0 ;

2. (x − 1)(x + 5)(x − 3)(x + 7) = 297 ;

3. (x + 2)(x − 3)(x + 1)(x + 6) = −36 ;

4. x4+ (x − 1)4 = 97 ;

5. (x + 3)4 + (x + 5)4 = 16 ;

6. 6x4 − 35x3+ 62x2 − 35+ 6 = 0 ;

7. x4+ x3 − 4x2

+ x + 1 = 0 ;

8. x4 − 5x3+ 10x2 − 10x + 4 = 0 ;

9. x4 − x2+ 6x − 9 = 0 ;

10. 2x4 − x3 − 15x2 − x + 3 = 0.

Bài 1.25 : Tìm các giá trị của m sao cho phương trình

x4+ (1− 2m)x2

+ m2 − 1 = 0.

1. Vô nghiệm ; 2. Có hai nghiệm phân biệt ; 3. Có bốn nghiệm phân biệt.

Bài 1.26 : Tìm các giá trị của a sao cho phương trình

(a − 1)x4 − ax2+ a2 − 1 = 0

có ba nghiệm phân biệt.


(m − 1)x4+ 2(m − 3)x2

+ m + 3 = 0.

Tìm m để phương trình trên vô nghiệm.



WWW.VNMATH.COM



x4 − (2m + 1)x2+ m + 3 = 0.

Tìm m để phương trình trên có bốn nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm bé hơn −2 và ba nghiệm còn lại lớn hơn −1.

Bài 1.29 : Tìm h để phương trình sau đây có không ít hơn hai nghiệm âm khác nhau :

x4+ hx3

+ x2+ hx + 1 = 0.


(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = m.

Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt.

1.2 Phương trình, bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối

1. Phương trình (bất phương trình) | f (x)| + g(x) < 0 (hoặc = , hoặc > , hoặc ≥ , hoặc ≤ ) tương đương với8<: f (x) ≥ 0

f (x) + g(x) < 0hoặc

8<: f (x) < 0

− f (x) + g(x) < 0.

Một số phương trình hoặc bất phương trình chứa nhiều hơn một dấu giá trị tuyệt đối thì việc phá dấu giá trị tuyệt đối

sẽ phức tạp hơn nhiều, phải chia thành nhiều trường hợp bằng cách lập bảng xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị

tuyệt đối.

2. Phương trình (bất phương trình) | f (x)| < |g(x)| (hoặc = , hoặc > , hoặc ≥ , hoặc ≤ ) phương pháp đơn giản là bình

phương hai vế, chuyển vế, phân tích thành nhân tử.

3. Một số phương trình và bất phương trình thông dụng (giả sử a > 0).

• |x| = a⇔ x = a hoặc x = −a.

• |x| < a⇔ −a < x < a.

• |x| ≤ a⇔ −a ≤ x ≤ a.

• |x| > a⇔ x < −a hoặc x > a.

• |x| ≥ a⇔ x ≤ −a hoặc x ≥ a.

Bài 1.31 : Giải phương trình |x2 − 8x + 15| = x − 3.

Bài 1.32 : Giải các phương trình và bất phương trình sau :

1. |x2 − 5x + 4| = x2+ 6x + 5;

2. |x − 1| = 2x − 1;

3. | − x2+ x − 1| ≤ 2x + 5;

4. |x2 − x| ≤ |x2 − 1|.

Bài 1.33 : Giải các phương trình và bất phương trình sau :

1.

�� x2 − 2x + 1

�� = 2; 2.��3x + 4

x − 2

�� ≤ 3; 3.��2x − 3

x − 3

�� ≥ 1; 4. |2x + 3| = |4− 3x|.




WWW.VNMATH.COM


1. |x2 − 5x + 4| ≤ x2+ 6x + 5; 2. 4x2

+ 4x − |2x + 1| ≥ 5.


1.��1− |x|

1+ |x|

�� ≥ 12

;

2. log5 log¹⁄�₂

�x2 − 4|x||x| − 7

�≤ 0 ;

3. |x2 − 2x − 8| > 2x ;

4. |x3 − 7x − 3| < x3+ x2+ 3 ;

5. |x3 − x2+ 4| + x3 − x2 − 2x − 2 ≤ 0 ;

6. ||x| − 1| < 1− x ;

7.��|x2 − 3x − 7| + 2x − 1

�� < x2 − 8x − 5 ;

8.��x2 − |x2 − 3x − 5| − 5

�� < x + 1 ;

9. |x − 1| + |x − 2| > 3+ x ;

10. log3|x2 − 4x| + 3x2 + |x − 5| ≥ 0 ;

11. ||3x+ 4x − 9| − 8| ≤ 3x − 4x − 1 ;


1. |3x + 2| + |2x − 3| < 11 ;

2. |x2 − 3x − 7| + |2x2 − x − 9| + |3x2 − 7x − 5| < x + 15 ;

3. |x − 1| + |2− x| > 3+ x ;

4. |x2 − 3x − 17| − |x2 − 5x − 7| > 3.

Bài 1.37 : Tìm m để bất phương trình : x2+ |x + m| < 2 có ít nhất một nghiệm âm.

Bài 1.38 : Giải và biện luận bất phương trình sau theo tham số p :

2|x − p| + 5|x − 3p| + 4x + 6p + 12≤ 0.

Bài 1.39 : Giải và biện luận bất phương trình sau theo tham số p :

|2x + 21p| − 2|2x − 21p| < x − 21p.

Bài 1.40 : Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a sao cho bất phương trình

x2 − |x − a| − |x − 1| + 3 ≥ 0

đúng với mọi x ∈ R.

Bài 1.41 : Tìm tất cả các giá trị của a sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = x2+ 2x − 1+ |x − a|

lớn hơn 2.


y = x2+ |x − a| + |x − 1|

lớn hơn 2.


y = ax + |x2 − 4x + 3|

lớn hơn 1.

Bài 1.44 : Tìm tất cả các giá trị của a sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

y = 4x − x2+ |x − m|

nhỏ hơn 4.



WWW.VNMATH.COM


1.3 Phương trình, bất phương trình chứa căn

Vấn đề 1 : Phương trình, bất phương trình cơ bản

�Phương pháp chung là tìm cách bình phương hai vế (để giảm số căn, hoặc mất căn) với điều kiện là hai vế của phương trình

phải không âm.

1. Phương trình√

f (x) =√

g(x)⇔

8<: f (x) ≥ 0 (hoặc cũng có thể xét g(x) ≥ 0)

f (x) = g(x).

2. Phương trình√

f (x) = g(x)⇔

8<:g(x) ≥ 0

f (x) = (g(x))2 .

3. Bất phương trình√

f (x) >√

g(x) (hoặc ≥ ) tương đương với

8<:g(x) ≥ 0

f (x) > g(x).


f (x) < g(x) (hoặc ≤ ) tương đương với

8>>><>>>: f (x) ≥ 0

g(x) ≥ 0

f (x) < (g(x))2 .


f (x) > g(x) (hoặc ≥ ) tương đương với

(I)

8<: f (x) ≥ 0

g(x) < 0hoặc (II)

8<:g(x) ≥ 0

f (x) > (g(x))2 .

Bài 1.45 : Giải phương trình√

x2 + 56x + 80= x + 20.

Bài 1.46 : Giải bất phương trình√

x2 − 2x − 15< x − 3.


x2 − 1 > x + 2.


1.√

2x2 + 4x − 1 = x + 1;

2.√

4x2 + 101x + 64= 2(x + 10);

3.√

x2 + 2x = −2x2 − 4x + 3;

4.√

(x + 1)(x + 2) = x2+ 3x − 4.

Bài 1.49 : Giải các bất phương trình:

1.√

x2 + x − 6 < x − 1;

2.√

2x − 1 ≤ 2x − 3;

3.√

2x2 − 1 > 1− x;

4.√

x2 − 5x − 14≥ 2x − 1.

Bài 1.50 : Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau :



WWW.VNMATH.COM


1. y =È��x2 + 3x − 4

�� − x + 8;

2. y =

Êx2+ x + 1

|2x − 1| − x − 2;

3. y =

r1

x2 − 7x + 5− 1

x2 + 2x + 5;

4. y =È√

x2 − 5x − 14− x + 3.


1.√

5x2 − 6x − 4 = 2(x − 1); 2.√

x2 + 3x + 12= x2+ 3x.


1.√

x2 + 6x + 8 ≤ 2x + 3;

2.2x − 4√

x2 − 3x − 10> 1;

3. 6√

(x − 2)(x − 3) ≤ x2 − 34x + 48 ;

4.√

x2 − x − 12≥ x − 1;

5.√

x2 − 4x − 12> 2x + 3;

6.√

x + 51− x

< 1.

Vấn đề 2 : Phương pháp đặt ẩn phụ

�Chúng ta thường sử dụng một số quy tắc đặt ẩn phụ như sau :

1. Nếu phương trình chứa hai loại căn, có thể

(a) Đặt u =n√ax + b, rút x, thế vào phương trình được phương trình ẩn u.

(b) Hoặc cũng có thể đặt u = n√u(x), v = m√v(x), lũy thừa để rút ra ràng buộc giữa u và v để được 1 phương trình

theo u, v. Kết hợp với phương trình ban đầu, ta được hệ hai ẩn u, v.

2. Đặt u = n√u(x), lũy thừa hai vế được phương trình chứa u, x. Kết hợp với phương trình ban đầu, ta được hệ hai ẩn

u, x.Giải phương trình bậc hai (có ∆ là bình phương một số).

3. Đặt ẩn phụ không hoàn toàn, đặt u =√

u(x), đưa về phương trình bậc hai theo u với x coi như là tham số.

4. Nếu phương trình chứa√

a ±√

b và√

ab ta thường đặt u =√

a ±√

b.

5. phương trình đẳng cấp, chẳng hạn đẳng cấp bậc 2 : A.x2+ B.xy +C.y2

= 0. Có cách giải như sau :

(a) Xét y = 0, rút được x;

(b) Xét y , 0, chia cả hai vế cho y2, đặt u =xy

, đưa được về phương trình bậc hai theo u.


1. 3x2+ 21x + 18+ 2

√x2 + 7x + 7 = 2 ;

2. x2+√

x + 1 = 1 ;

3. 2(x2+ 2) = 5(x3

+ 1) ;

4. 2x2 − 3x + 2 = x√

3x − 2 ;

5. 6x2 − 10x + 5− (4x − 1)√

6x2 − 6x + 5 = 0 ;

6. 4√97− x + 4√

x = 5 ;



WWW.VNMATH.COM



1.√

x + 3+√

3x + 1 = 2√

x +√

2x + 2 ;

2.√

2x2 + x + 6+√

x2 + x + 2 = x +4x

;

3. x2+ 2x

rx − 1

x= 3x + 1 ;

4. 4√

x +4√

x + 1 = 24√2x + 1 ;

5.√

x2 + 4x + 3+√

x2 + x =√

3x2 + 4x + 1 ;

6. 3√

x +√

5− x ≤ 3 ;

7. 3√x − 1+

3√x + 1 = x

3√2 ;

8. 3√

x +3√

x − 16= 3√x − 8 ;

9.3√2x3 − 1+

3√1− x3 = x ;

10.√

x2 − x + 1+√

x2 + x + 1 = 2 ;

11.√

2x2 + x + 9+√

2x2 − x + 1 = x + 4.


1.√

1− x +√

1+ x + 2√

1− x2 = 4 ;

2. 2x +√

x + 1+√

x + 2√

x2 + x = 1 ;

3. x2+ 2x +

√x + 3+ 2x

√x + 3 = 9 ;

4. 2x2+ x +

√x2 + 3+ 2x

√x2 + 3 = 9 ;


1. 2x2+ x + 3 = 3x

√x + 3 ;

2.√

x + 8 =3x2+ 7x + 8

4x + 2;

3.√

x2 + x + 2 =3x2+ 3x + 2

3x + 1;

4.x + 2+ x

√2x + 1

x +√

2x + 1=√

x + 2 ;

5. (√

x + 3−√

x + 1)(x2+

√x2 + 4x + 3) = 2x.


1. 3√x + 1+ 3√

x + 2 = 1+3√

x2 + 3x + 2 ;

2. 3√x + 1+

3√x2 = 3

√x +

3√x2 + x ;

3. 4√x + 1+

√x = 1+

4√x3 + x2 ;

4.√

x + 3+ 2x√

x + 1 = 2x +√

x2 + 4x + 3 ;

5.√

x3 + x2 + 3x + 3+√

2x =√

x2 + 3+√

2x2 + 2x ;

6.√

x + 3+4x√x + 3

= 4√

x ;

7. 4√

x + 3 = 1+ 4x +3x

;

8. 2√

x + 3 = 9x2 − x − 4 ;

9. 12√

x + 2√

x − 1 = 3x + 9 ;


1.√

x + 3+ 3√

x = 3 ;

2. 4√

x +4√

x − 1 = 4√x + 1 ;

3.√

2− x2 = (2− √x)2 ;

4. 2x + 1+ x√

x2 + 2+ (x + 1)√

x2 + 2x + 3 = 0 ;

5. x2√x + (x − 5)2√

5− x = 11(√

x +√

5− x) ;

6. 2x3= 1+ 3

rx + 1

2;


1. 8√1− x + 8√

x = 1 ;

2. 2√

x +4√1− 2x = 1 ;

3.√

x + 4+√

x +√

1− x = 3 ;

4.2+√

x

3+√

1− x=√

x +√

1− x ;



WWW.VNMATH.COM


Vấn đề 3 : Phương pháp nhân liên hợp

�

Dạng 1 : Phương trình dạng√

u(x) ±√

v(x) = f (x), trong đó f (x) và u(x) − v(x) có cùng nghiệm x = x0.

(a) Phương trình trở thànhu(x) − v(x)√u(x) ∓ √v(x)

= f (x).

(b) Chuyển vế, đặt (x − x0) làm nhân tử chung.

Dạng 2 : Phương trình dạng ( n√

u1(x) ± n√

v1(x))+ ( m√

u2(x) ± m√

v2(x)) = f (x), trong đó f (x); u1(x) − v1(x); u2(x) − v2(x) có

cùng nghiệm x = x0 (ở đây f (x) có thể đồng nhất bằng 0).

Phương pháp giải loại này là chúng ta nhân liên hợp theo từng cụm, đặt (x − x0) làm nhân tử chung.

Bài 1.60 : Giải các phương trình, các bất phương trình sau :

1. 3(2+√

x − 2) = 2x +√

x + 6;

2.x2�

1+√

1+ x�2 > x − 4;

3.√

x − 2+√

4− x = x2 − 6x + 11;

4.√

x − 2+√

4− x = 2x2 − 5x − 1;

5.r

1− xx=

2x + x2

1+ x2 ;

6. x2+ x − 1 = (x + 2)

√x2 − 2x + 2;

7. 3√x + 24+

√12− x = 6;

8. 2√

x2 − 7x + 10= x +√

x2 − 12x + 20;

9. 2x2 − 11x + 21= 3 3√4x − 4;

10.√

5x − 1+ 3√9− x = 2x2+ 3x − 1.


1.√

x + 4−√

2x + 3 = x − 1 ;

2. x +√

2x =1x+

rx +

1x

;

3. (x − 1)√

x + 1+√

2x + 1 =√

x + 2 ;

4.1x2 +

√x + 5 =

1x+√

2x + 4 ;

5. 2+√

x + 6 =√

2x + 5+√

x + 3 ;

6. 1+ 4√x + 3 = x +

√2x ;

7.√

x + 2+√

x + 6 =√

2x + 5+√

2x + 1 ;

8. 4√x + 8+

√x + 4 =

√2x + 3+

√3x

Vấn đề 4 : Phương pháp đánh giá

�Cơ sở của phương pháp này là chúng ta sử dụng bất đẳng thức hoặc phương pháp hàm số đế đánh giá.

Cách 1 : Cơ sở nhận dạng :

(a) Nếu hàm số y = f (x) đồng biến trên (a; b) và hàm số y = g(x) nghịch biến trên (a; b) thì phương trình

f (x) = g(x) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

(b) Nếu hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a; b) thì phương trình f (x) = c (với c là hằng số)

nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.



WWW.VNMATH.COM


Phương pháp giải là :

(a) Nhận thấy x = x0 là một nghiệm của phương trình đã cho.

(b) Nếu x > x0, ta suy ra vế trái lớn hơn vế phải hoặc ngược lại.

(c) Nếu x < x0, ta suy ra vế trái lớn hơn vế phải hoặc ngược lại.

(d) Kết luận phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = x0.

Cách 2 : Nếu hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a; b) thì phương trình f (u) = f (v) tương đương với

u = v.

Cách 3 : Nếu hàm số y = f (x) thỏa mãn f ′(x) = 0 có nhiều hơn 1 nghiệm thì chúng ta lập bảng biến thiên để suy ra

phương trình có tối ta bao nhiêu nghiệm, rồi nhẩm đủ số nghiệm đó, dẫn đến đó là tất cả các nghiệm của phương

trình.

Cách 4 : Nếu f (x) ≥ c và g(x) ≤ c thì phương trình f (x) = g(x) tương đương với

8<: f (x) = c

g(x) = c.


1.√

x + 3+ 3√

x = 3 ;

2.√

x + 3+È

x +√

x + 8 = 4 ;

3.√

x2 − x + 1+√

x2 + 7x + 1 = 4√

x ;

4.√

x + 3

1+√

2− x+√

2x − 1 = 2 ;

5.√

x2 − x + 4+√

2x − 1 = 5 ;

Vấn đề 5 : Phương trình, bất phương trình có tham số

�

1. Sử dụng phương trình, bất phương trình cơ bản;

2. Sử dụng đặt ẩn phụ, và đặt điều kiện "chặt" cho ẩn;

3. Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai;

4. Sử dụng phương pháp hàm số để chỉ ra điều kiện có nghiệm.

Bài 1.63 : Tìm điều kiện của m để phương trình√

x2 + 2x − m = 2x − 1 :

1. có nghiệm thực ; 2. có đúng một nghiệm thực ; 3. có hai nghiệm thực phân biệt.

Bài 1.64 : Tìm điều kiện của m để phương trình x +

Êx +

12+

rx +

14= m có nghiệm thực.


16− x2 − m√16− x2

− 4 = 0 có nghiệm thực.



WWW.VNMATH.COM


Bài 1.66 : Tìm điều kiện của m để phương trìnhr

x − 1x + 2

− m

rx + 2x − 1

+ 2 = 0 có nghiệm thực.


x + 1− m√

x − 1+ 24√

x2 − 1 = 0 có nghiệm thực.


x2 − 2x − 3 = x + m



WWW.VNMATH.COM


1. có nghiệm thực ; 2. có hai nghiệm thực phân biệt.

Bài 1.69 : Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình√

x + 1+√

1− x = m.

Bài 1.70 : Tìm điều kiện m để phương trình√

x +√

9− x =√−x2 + 9x + m có nghiệm thực.

Bài 1.71 : Tìm điều kiện m để phương trìnhÈ

x + 4√

x − 4+ x +√

x − 4 = m có nghiệm thực.

Bài 1.72 : Tìm điều kiện m để phương trìnhÈ

x + 6√

x − 9+È

x − 6√

x − 9 =x + m

6có nghiệm thực.

Bài 1.73 : Tìm m để phương trình√

x4 + 4x + m +4√

x4 + 4x + m = 6 có nghiệm thực.


1− x2 + 23√1− x2 = m :

1. có nghiệm thực duy nhất ; 2. có nghiệm thực.

Bài 1.75 : Chứng tỏ rằng phương trình3x2 − 1√

2x − 1=√

2x − 1+ mx luôn có nghiệm thực với mọi giá trị của m.

Bài 1.76 : Tìm m để phương trình (x − 3)(x + 1)+ 4(x − 3)

rx + 1x − 3

= m có nghiệm thực.

Bài 1.77 : Tìm m để phương trình 3√1− x +

3√1+ x = m có nghiệm thực.

Bài 1.78 : Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình m√

x2 + 2 = x + m.


x2 − 2x − 3 = mx + m có nghiệm thực x , −1.

Bài 1.80 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực :

√x +√

1− x + 2mÈ

x(1− x) − 2 4È

x(1− x) = m.

Bài 1.81 : Tìm m để phương trìnhÈ

x +√

x2 − x + 1 = m có nghiệm thực.

Bài 1.82 : Tìm m để các phương trình sau có nghiệm thực :

1.√

x2 + x + 1−√

x2 − x + 1 = m ; 2.4√

x2 + 1− √x = m.


x√

x +√

x + 12= m�√

5− x +√

4− x�.


m�√

x − 2+ 24√

x2 − 4−√

x + 2�= 2

4√x2 − 4.


(4m − 3)√

x + 3+ (3m − 4)√

1− x + m − 1 = 0.

Bài 1.86 : Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm thực phân biệt :

m�√

1+ x2 −√

1− x2 + 2�= 2√

1− x4 +√

1+ x2 −√

1− x2.

Bài 1.87 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất :

√x2 − 2x =

√mx + 1.



WWW.VNMATH.COM


Bài 1.88 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm :

x +√

1− x2 = m.


−x2+ 2x + 4

È(3− x)(x + 1) = m − 3.

1. Tìm m để phương trình có nghiệm.

2. Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt.


√x + 1+

√3− x −

È(x + 1)(3− x) = m.


|x + 1| + m|x − 1| = (m + 1)√

x2 − 1.

1. Giải phương trình khi m = 2 ;

2. Tìm m để phương trình trên có nghiệm.

Bài 1.92 : Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm :

1.√

4− x +√

x + 5 ≥ m ; 2. mx −√

x − 3 ≤ m + 1.

Bài 1.93 : Tìm m để bất phương trình

m�√

x2 − 2x + 2+ 1�+ x(2− x) ≤ 0

có nghiệm trong đoạn�0; 1+

√3�.

Bài 1.94 : Tìm m để bất phương trình√

(4+ x)(6− x) ≤ x2 − 2x + m nghiệm đúng với mọi x ∈ [−4; 6].

1.4 Hệ phương trình

1.4.1 Phương pháp thế

Bài 1.95 : Giải các hệ phương trình sau :

1.

8<:x2(y + 1)(x + y + 1) = 3x2 − 4x + 1

xy + x + 1 = x2

2.

8<:x3y = 16

3x + y = 8

3.

8<:y(1+ x2) = x(1+ y2)

x2+ 3y2

= 1

4.

8><>:x − 1x= y − 1

y

2y = x3+ 1

5.

8<:√x + y = 3√

x + y√

x − y = 3√

x − y − 12

6.

8<:√x + y − √x − y = 2Èx2 + y2 +

Èx2 − y2 = 4



WWW.VNMATH.COM


7.

8<:x3 − 8x = y3+ 2y

x2 − 3 = 3(y2+ 1)

8.

8<:|x2 − 2x| + y = 1

x2+ |y| = 1

9.

8><>:x2+ y2+

2xyx + y

= 1

√x + y = x2 − y

10.

8<:√7x + y +√

2x + y = 5√

2x + y + x − y = 2

11.

8><>:√3x�

1+1

x + y

�= 2

√7y�

1− 1x + y

�= 4√

2

12.

8<:x3+ 3xy2

= −49

x2 − 8xy + y2= 8y − 17x

13.

8<:√y(√

x +√

x + 3) = 3√

x +√

y = x + 1

14.

8><>:√x +

Ê1+

1y=

r xy

√xy +

√y + 1+

√1− x = 1

1.4.2 Phương pháp phân tích thành nhân tử hoặc coi một phương trình là phương trình bậc hai (ba)theo một ẩn


1.

8<:x3+ 3y2x = 4

y3+ 3x2y = 4;

2.

8<:x2+ y + 1 = 0

x + y2+ 1 = 0;

3.

8<:3x3= x2

+ 2y2

3y3= y2+ 2x2;

4.

8<:x3= 3x + 8y

y3= 3y + 8x;

5.

8><>:x − 3y =4yx

y − 3x =4xy

;

6.

8<:x3= 5x + y

y3= 5y + x.


1.

8<:x2= 3x + 2y

y2= 3y + 2x

2.

8<:x2 − 2y2= 2x + y

y2 − 2x2= 2y + x

3.

8<:x3= 2x + y

y3= 2y + x

4.

8<:xy + x + y = x2 − 2y2

x√

2y − y√

x − 1 = 2x − 2y

5.

8<:y2= (5x + 4)(4− x)

y2 − 5x2 − 4xy + 16x − 8y + 16= 0

6.

8<:x3+ 1 = 2y

y3+ 1 = 2x

7.

8<:√x + y +√

x − y = 1+È

x2 − y2

√x +√

y = 1

8.

8<:x2y + 2x + 3y = 6

3xy + x + y = 5

1.4.3 Phương pháp đặt ẩn phụ


1.

8<:x + xy + y = 11

x − xy + y = 1;



WWW.VNMATH.COM


2.

8><>:x2y + xy2= 20

1x+

1y=

54

;

3.

8<:x2+ y2= 2x2y2

x + y + 1 = 3xy;

4.

8<:x − y + xy = 1

x2+ y2= 2;

5.

8<:x2+ y2+ x2y2

= 1+ 2xy

(x − y)(1+ xy) = 1− xy;

6.

8><>: xy+

yx=

265

x2 − y2= 24;

7.

8<:x2+ y2+ xy = 3

xy3+ yx3

= 2;

8.

8><>: xy+

yx= 2

1x+

1y+ x + y = 4;

9.

8><>:x + y +xy+

yx= 4

x + y +x2

y+

y2

x= 4;

10.

8><>:x + y + x2y2= 3xy

1x+

1y− xy = 1;

11.

8<:x2+ y2+ xy = 3x2y2

x2+ y2 − xy = x2y2;

12.

8<:x + xy + y = 7

x2+ xy + y2

= 13;


1.

8<:x + y + xy = 5

x2+ y2+ xy = 7

2.

8><>: xy+

yx=

136

x + y = 5

3.

8<:x2+ xy + y2

= 1

x − y − xy = 3

4.

8<:x2+ 1+ y(x + y) = 4y

(x2+ 1)(y + x − 2) = y

5.

8><>:4xy + 4(x2+ y2) +

3(x + y)2 = 7

2x +1

x + y= 3

6.

8<:x2 − 3xy + y2= −1

3x2 − xy + 3y2= 13

7.

8<:2x2 − 4xy + y2= −1

3x2+ 2xy + 2y2

= 7

8.

8<:y2 − 3xy = 4

x2 − 4xy + y2= 1

9.

8<:x2+ y2= 1

√x + y +

√x − y = 2

10.

8<:x2+ xy + y2

= 19(x − y)2

x2 − xy + y2= 7(x − y)

11.

8<:x√

y + y√

x = 30

x√

x + y√

y = 35

12.

8<:Èx2 + y2 +√

2xy = 8√

2√

x +√

y = 4


1.

8<:Èx2 + x + y + 1+ x +È

y2 + x + y + 1+ y = 18Èx2 + x + y + 1− x +

Èy2 + x + y + 1− y = 2;

2.

8><>:r xy+

Éyx=

7√

xy+ 1

x√

xy + y√

xy = 78;

3.

8<:Èx2 + y2 +√

2xy = 8√

2√

x +√

y = 4;

4.

8<:√x + y +√

x − y = 4

x2+ y2= 128;

5.

8<:√x +√

y = 1

|x| + |y| = 1;

6.

8<:√x +√

y = 4√

x + 5+√

y + 5 = 6;

7.

8<:x + y − √xy = 7

x2+ y2+ xy = 133;

8.

8<:(x − y)(x2 − y2) = 7

(x + y)(x2+ y2) = 175;

9.

8<:x√

x + y√

y = 2√

xy√

x +√

y = 2;

10.

8<:√x + y +√

x − y = 1+È

x2 − y2

√x +√

y = 1;



WWW.VNMATH.COM


11.

8><>:r xy+

Éyx=

52

x + y = 10

12.

8<:x√

y + y√

x = 30

x√

x + y√

y = 35;

13.

8<:2(x + y) = 3�

3È

x2y + 3È

xy2�

3√

x + 3√

y = 6

14.

8><>:Ê 6xx + y

+

Éx + y6x=

52

x + y − √xy = 9;

15.

8><>:r xy+

Éyx=

72+√

xy

x√

xy + y√

xy = 7;

16.

8><>:�3− 5y + 42x

� √2y = 4�

3+5

y + 42x

� √x = 2

17.

8<:È3+ 2x2y − x4y2 + x4(2− 2x2) = y4

1+È

1+ (x − y)2 = x3(x3 − x + 2y2);

18.

8<:√x +√

y = 10√

x + 6+√

y + 6 = 14

19.

8>><>>: x +È

x2 − y2

x −È

x2 − y2=

9x5

xy=

5+ 3x30− 6y

20.

8<:x + y +È

x2 − y2 = 12

yÈ

x2 − y2 = 12.

21.

8><>:r20yx=√

x + y +√

x − yÊ16x5y=√

x + y − √x − y


1.

8<:2x + x2 − y2= 3

x2+ y2= 1

2.

8><>:x2+ y2=

12

2x3+ 6y2x = 1

3.

8<:x3+ 3y2x = y

x2+ 3y2

= 1

4.

8><>: x − y1− xy

=1− 3x3− x

x + y1+ xy

=1− 2y2− y

5.

8<:(x + y)(1+ xy) = 18xy

(x2+ y2)(1+ x2y2) = 208x2y2

6.

8><>:(x + y)�

1+1xy

�= 4

xy +1xy+

x2+ y2

xy= 4

7.

8><>:y(x2+ 1) = 2x(y2

+ 1)

(x2+ y2)

�1+

1x2y2

�= 24

8.

8><>:(x + y)�

1+1xy

�= 5

xy +1xy= 4

9.

8><>:(x + y)�

1+1xy

�= 6

(x2+ y2)

�1+

1xy

�2

= 18

10.

8>><>>:(x2+ y2)

�1+

1xy

�2

= 9

(x3+ y3)

�1+

1xy

�3

= 27

11.

8>><>>:� xy+

yx

�(x + y) = 15�

x2

y2 +y2

x2

�(x2+ y2) = 85

12.

8><>:2x + y +1x= 4

x2+ xy +

1x= 3

13.

8><>:x2y + 2y + x = 4xy1x2 +

1xy+

xy= 3

14.

8><>:x2y + y = 2

x2+

1x2 + x2y2

= 3;

15.

8><>:x2+ y2+ x + y = 4xy

1x+

1y+

yx2 +

xy2 = 4;

16.

8<:2y(x2 − y2) = 3x

x(x2+ y2) = 10y.

Bài 1.102 : Giải các hệ phương trình :

1.

8<:x2+ y2 − 3x + 4y = 1

3x2 − 2y2 − 9x − 8y = 3



WWW.VNMATH.COM


2.

8><>:(x + y)�

2− 1xy

�=

92

(x − y)�

2+1xy

�=

52

3.

8<:x − xy − y = 1

x2y − xy2= 6

4.

8<:x(x + 2)(2x + y) = 9

x2+ 4x + y = 6

5.

8<:y + xy2= 6x2

1+ x2y2= 5x2;

6.

8<:1+ x3y3= 19x3

y + xy2= −6x2.

Bài 1.103 : Cho hệ phương trình :

8<:x + xy + y = a + 1

x2y + xy2= a.

Tìm a để hệ có ít nhất một nghiệm (x; y) thỏa mãn : x > 0 và y > 0.

Bài 1.104 : Cho hệ phương trình : 8<:√x + 1+√

y + 1 = 3

x√

y + 1+ y√

x + 1+√

y + 1+√

x + 1 = m.

1. Giải hệ phương trình với m = 6.

2. Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm.

1.4.4 Phương pháp hàm số


1.

8<:x3 − 5x = y3 − 5y

x8+ y4= 1

2.

8<:x +√

x2 − 2x + 2 = 3y−1+ 1

y +È

y2 − 2y + 2 = 3x−1+ 1

3.

8<:x2=√

y − 1+ 2x − 1

y2=√

x − 1+ 2y − 1

4.

8<:√x + 1+√

7− y = 4√

y + 1+√

7− x = 4

5.

8<:√x +√

x + 3 = 3√

y√

y +√

y + 3 = 3√

x

6.

8<:x3 − 3x = y3 − 3y

x6+ y6= 1

7.

8><>:ex − ey= x − y

log2x2+ log√2 4y3

= 10

8.

8<:ln(1+ x) − ln(1+ y) = x − y

2x2 − 5xy + y2= 0

9.

8<:√x +√

2− y =√

2√

y +√

2− x =√

2.

Bài 1.106 : Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm :8<:√x + 1+√

3− y = m√

y + 1+√

3− x = m

Bài 1.107 : Chứng minh rằng với mọi m > 0, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất :8<:3x2y − 2y2 − m = 0

3y2x − 2x2 − m = 0

1.4.5 Phương pháp đánh giá




WWW.VNMATH.COM


1.

8<:x +√

x +√

y + 1 = 1

y +√

y +√

x + 1 = 1

2.

8>><>>:x +2xy

3√x2 − 2x + 9

= x2+ y

y +2xy

3È

y2 − 2y + 9= y2+ x

3.

8<:y = −x3+ 3x + 4

x = 2y3 − 6y − 2

4.

8><>:x + y +1x+

1y= 4

x2+ y2+

1x2 +

1y2 = 4

5.

8<:x2+ 2y2

= 3

x2(y2+ 1) = 4

6.

8<:x3 − y3= 7

xy(x − y) = 2

7.

8<: 3√

x + 3√

y = 1

4√

x + 4√

y = 1

8.

8<:x +È

2− y2 = 2

y +√

2− x2 = 2;

9.

8<:√x +4√32− x − y2

= −3

4√

x +√

32− x + 6y = 24.

1.5 Số nghiệm của phương trình, hệ phương trình

Bài toán : Chứng minh rằng phương trình f (x) = 0 có đúng k nghiệm thực phân biệt trong miền D.1

Vấn đề 1 : Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất

�

Cách 1 : Lập bảng biến thiên của hàm số y = f (x) với x ∈ D (tính đầy đủ các giá trị tại đầu và cuối mũi tên), từ đó suy ra

được số nghiệm của phương trình.

Cách 2 : Dựa vào hai định lí :

Định lí 1 : Nếu hàm số y = f (x) luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên (a; b) thì phương trình f (x) = 0 có tối đa

một nghiệm trong khoảng (a; b).

Định lí 2 : Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b] và f (a). f (b) < 0 thì phương trình f (x) = 0 có ít nhất một

nghiệm trong khoảng (a; b).

Bài 1.109 : Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm duy nhất :

1. x5+ x4+ 2x3

+ 2x2+ x + 1 = 0; 2. ex(x2

+ 1)− 4 = 0.

Bài 1.110 : Chứng minh rằng phương trình : x3+√

x − 1 = 0 có nghiệm duy nhất.

Bài 1.111 : Chứng minh rằng phương trình xx+1= (x + 1)x có một nghiệm dương duy nhất.

Bài 1.112 : Chứng minh rằng với mọi a > 0, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất :8<:ex − ey= ln(1+ x) − ln(1+ y)

y − x = a

Vấn đề 2 : Chứng minh phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt

�1Nếu k = 0 tức là phương trình vô nghiệm



WWW.VNMATH.COM




Cách 2 : Chỉ lập bảng biến thiên nhưng không tính được hết tất cả các đầu mút (lúc này y’=0 có nghiệm duy nhất). Từ đó

suy ra được phương trình có tối đa 2 nghiệm. Kết hợp với định lí 1 ta cũng chỉ ra được phương trình có ít nhất 2

nghiệm.

Bài 1.113 : Chứng minh rằng các phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt :

1. x4 − x2 − 2x − 1 = 0;

2. x4 − 3x3 − 1 = 0;

3. 3x4 − 4x3 − 6x2+ 12x − 20= 0;

4. x3 − 2x −√

x + 1 = 0.

Vấn đề 3 : Chứng minh phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt

�



Cách 2 : Chỉ lập bảng biến thiên nhưng không tính được hết tất cả các đầu mút (lúc này y’=0 có đúng 2 nghiệm). Từ đó

suy ra được phương trình có tối đa 3 nghiệm. Kết hợp với định lí 1 ta cũng chỉ ra được phương trình có ít nhất 3

nghiệm.

Bài 1.114 : Chứng minh rằng các phương trình sau có đúng ba nghiệm thực phân biệt :

1. sinx − x2= 0; 2. 4x(4x2

+ 1) = 1.

1.6 Phương trình, bất phương trình, hệ đại số trong các kì thi tuyển sinh ĐH

Bài 1.115 (CĐ08) : Tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình

8<:x − my = 1

mx + y = 3có nghiệm (x; y) thỏa mãn xy < 0.

Bài 1.116 (CĐ09) : Giải bất phương trình√

x + 1+ 2√

x − 2 ≤√

5x + 1.

Bài 1.117 (CĐ10) : Giải hệ phương trình

8<:2√

2x + y = 3− 2x − y

x2 − 2xy − y2= 2

(x, y ∈ R).

Bài 1.118 (A03) : Giải hệ phương trình :

8><>:x − 1x= y − 1

y

2y = x3+ 1.

Bài 1.119 (A04) : Giải bất phương trình :

È2(x2 − 16)√

x − 3+√

x − 3 >7− x√x − 3

.



WWW.VNMATH.COM


Bài 1.120 (A05) : Giải bất phương trình :√

5x − 1−√

x − 1 >√

2x − 4.


8<:x + y − √xy = 3√

x + 1+√

y + 1 = 4(x, y ∈ R).

Bài 1.122 (A07) : Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực : 3√

x − 1+ m√

x + 1 = 24√

x2 − 1.


8><>:x2+ y + x3y + xy2

+ xy = −54

x4+ y2+ xy(1+ 2x) = −5

4

(x, y ∈ R).

Bài 1.124 (A08) : Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt :

4√2x +

√2x + 2

4√6− x + 2

√6− x = m (m ∈ R).

Bài 1.125 (A09) : Giải phương trình 2 3√3x − 2+ 3√

6− 5x − 8 = 0.

Bài 1.126 (A10) : Giải bất phương trìnhx − √x

1−È

2(x2 − x + 1)≥ 1.

Bài 1.127 (A10) : Giải hệ phương trình

8<:(4x2+ 1)x + (y − 3)

√5− 2y = 0

4x2+ y2+ 2√

3− 4x = 7(x, y ∈ R).

Bài 1.128 (B02) : Giải hệ phương trình :

8<: 3√

x − y =√

x − y

x + y =√

x + y + 2.


8><>:3y =y2+ 2

x2

3x =x2+ 2

y2 .

Bài 1.130 (B04) : Xác định m để phương trình sau có nghiệm :

m�√

1+ x2 −√

1− x2 + 2�= 2√

1− x4 +√

1+ x2 −√

1− x2.

Bài 1.131 (B06) : Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt :√

x2 + mx + 2 = 2x + 1.

Bài 1.132 (B07) : Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt :

x2+ 2x − 8 =

Èm(x − 2).


8<:x4+ 2x3y + x2y2

= 2x + 9

x2+ 2xy = 6x + 6

(x, y ∈ R).

Bài 1.134 (B09) : Giải hệ phương trình

8<:xy + x + 1 = 7y

x2y2+ xy + 1 = 13y2.

Bài 1.135 (B10) : Giải phương trình√

3x + 1−√

6− x + 3x2 − 14x − 8 = 0 (x ∈ R).

Bài 1.136 (D02) : Giải bất phương trình : (x2 − 3x)√

2x2 − 3x − 2 ≥ 0.

Bài 1.137 (D02) : Giải hệ phương trình :

8><>:23x= 5y2 − 4y

4x+ 2x+1

2x + 2= y.

Bài 1.138 (D04) : Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm :

8<:√x +√

y = 1

x√

x + y√

y = 1− 3m.



WWW.VNMATH.COM


Bài 1.139 (D04) : Chứng minh rằng phương trình sau có đúng một nghiệm :

x5 − x2 − 2x − 1 = 0.

Bài 1.140 (D05) : Giải phương trình : 2È

x + 2+ 2√

x + 1−√

x + 1 = 4.

Bài 1.141 (D06) : Giải phương trình :√

2x − 1+ x2 − 3x + 1 = 0 (x ∈ R).

Bài 1.142 (D07) : Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực :8><>:x +1x+ y +

1y= 5

x3+

1x3 + y3

+1y3 = 15m − 10.


8<:xy + x + y = x2 − 2y2

x√

2y − y√

x − 1 = 2x − 2y(x, y ∈ R).

Bài 1.144 (D09) : Giải hệ phương trình

8><>:x(x + y + 1)− 3 = 0

(x + y)2 − 5x2 + 1 = 0.

1.7 Bài tập tổng hợp

Bài 1.145 : Giải phương trình :√

x + 4+√

x − 4 = 2x − 12+ 2√

x2 − 16.

Bài 1.146 : Giải bất phương trình :√

x + 12≥√

x − 3+√

2x + 1.

Bài 1.147 : Giải hệ phương trình :

8<:x2+ y2+ x + y = 4

x(x + y + 1)+ y(y + 1) = 2.


8<:√2x + y + 1− √x + y = 1

3x + 2y = 4.


8x2 − 6x + 1− 4x + 1 ≤ 0.

Bài 1.150 : Giải bất phuơng trình :√

2x + 7−√

5− x ≥√

3x − 2.

Bài 1.151 : Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm :

8<:72x+√

x+1 − 72+√

x+1+ 2005x ≤ 2005

x2 − (m + 2)x + 2m + 3 ≥ 0.


8<:(x2+ 1)+ y(y + x) = 4y

(x2+ 1)(y + x − 2) = y

(x, y ∈ R).


8<:x3 − 8x = y3+ 2y

x2 − 3 = 3(y2+ 1)

(x, y ∈ R).


8<:(x − y)(x2+ y2) = 13

(x + y)(x2 − y2) = 25(x, y ∈ R).


3x − 2+√

x − 1 = 4x − 9+ 2√

3x2 − 5x + 2, x ∈ R.


8<:x2 − xy + y2= 3(x − y)

x2+ xy + y2

= 7(x − y)3(x, y ∈ R).



WWW.VNMATH.COM


Bài 1.157 : Giải phương trình : x + 2√

7− x = 2√

x − 1+√−x2 + 8x − 7+ 1, x ∈ R.


m�√

x2 − 2x + 2+ 1�+ x(2− x) ≤ 0

có nghiệm thuộc đoạn�0; 1+

√3�.


8<:x4 − x3y + x2y2= 1

x3y − x2+ xy = 1.

Bài 1.160 : Tìm m để phương trình :4√

x2 + 1− √x = m có nghiệm.

Bài 1.161 : Tìm m để phương trình :4√

x4 − 13x + m + x − 1 = 0 có đúng một nghiệm.

Bài 1.162 : Tìm m để phương trình :È

x − 3− 2√

x − 4+È

x − 6√

x − 4+ 5 = m có đúng hai nghiệm thực.

Bài 1.163 : Tìm m để hệ phương trình :

8<:2x − y − m = 0

x +√

xy = 1có nghiệm duy nhất.

Bài 1.164 : Với giá trị nào của a thì hệ có ít nhất một nghiệm thỏa mãn x, y > 0. Với các giá trị a tìm được hãy tìm tất cả

các nghiệm của hệ đã cho : 8><>:x + y +1x+

1y= 4

x2+ y2+

1x2 +

1y2 =

√2− a2 +

r2− 1

a2 +a2+ 1a.


8<:y3+ y2x + 3x − 6y = 0

x2+ xy = 3.


8<:x2+ y2= m

x + y = 6.

1. Giải hệ phương trình với m = 26 ;

2. Tìm m để hệ vô nghiệm ;

3. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất ;

4. Tìm m để hệ hai nghiệm phân biệt.


8<:x + xy + y = m + 2

x2y + xy2= m + 1.

1. Giải hệ phương trình với m = −3 ; 2. Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất.


8<:(x − 2)2 + y2= m

x2+ (y − 2)2 = m.

Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.


8<:x = y2 − y + m

y = x2 − x + m.

1. Giải hệ phương trình với m = 0 ;

2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ;

3. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.



WWW.VNMATH.COM


Bài 1.170 : Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất :

8<:2|x| + |x| = y + x2+ a

x2+ y2= 1.

Bài 1.171 : Tìm a để hệ sau có nghiệm :

8><>:x2+ 2xy − 7y2 ≥ 1− a

1+ a3x2+ 10xy − 5y2 ≤ −2.


√4− x +

√x + 5 = m.


4√x +4√1− x +

√x +√

1− x = m.

Bài 1.174 : Tìm a để hệ sau có nghiệm :8<:x2 − 2xy − 3y2= 8

2x2+ 4xy + 5y2

= a4 − 4a3+ 4a2 − 12+

√105.

Bài 1.175 : Cho phương trình x +√

17− x2 + x√

17− x2 = m.

1. Giải phương trình khi m = 9;

2. Tìm m để phương trình có nghiệm thực;

3. Tìm m để phương trình có nghiệm thực duy nhất.

Bài 1.176 : Giải bất phương trình 2x2 − 5x − 3x

Êx2 − 3

x− 6 ≥ 0.

Bài 1.177 : Chứng tỏ rằng với mọi số m không âm thì phương trình sau luôn có nghiệm thực

3x2+ (3m2 − 7)

√x2 + 4− m3

+ 6 = 0.

Bài 1.178 : Giải hệ phương trình

8<:√x2 + 2+È

y2 + 3+ x + y = 5√

x2 + 2+√

2 + 3− x − y = 2.


8<:x2+ y3= 2y2

x + y3= 2y.

Bài 1.180 : Giải bất phương trình 2√

x − 1−√

x + 2 > x − 2.


3x + 7−√

2x + 3 >√

x + 2.


8<:2x2+ x + y2

= 7

xy − x + y = 3.


8<:(x + 3)√

2x − 1+ (y + 3)√

2y − 1 = 2√

(x + 3)(y + 3)

x + y = 2xy.


8><>:x +3x − yx2 + y2 = 3

y − x + 3yx2 + y2 = 0.



WWW.VNMATH.COM



(x + 2)(2x − 1)− 3√

x + 6 = 4−√

(x + 6)(2x − 1)+ 3√

x + 2.


8<:√x − y − √x + y = 2Èx2 + y2 +

Èx2 − y2 = 4.


8<:x2+ xy + y2

= 7(x − y)2

x2 − xy + y2= 3(x − y).


8<:x + y +È

x2 − y2 = 12

yÈ

x2 − y2 = 12.


8<:(2x + 1)2 + y2+ y = 2x + 3

xy + x = −1.

Bài 1.190 : Giải phương trình (x2+ 1)2 = 5− x

√2x2 + 4.


8<:x3 − y3+ 2 = 0

x2+ y2+ x − y = 0.

Bài 1.192 : Giải phương trình |x +√

1− x2| =√

2(1− 2x2).


8<:Èx2 + 6y = y + 3√

x + y +√

x − y = 4.

Bài 1.194 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực

x3+ x2+ x − m(x2

+ 1)2 = 0.

Bài 1.195 : Giải bất phương trình1√

2x2 + 3x − 5>

12x − 1

.


2x2 − mx + 13= x − 2 có nghiệm thực.


8><>:Ê2xy+

r2yx= 3

x − y + xy = 3.


8<:√x + 1+√

y − 1 = 4√

x + 6+√

y + 4 = 6.

Bài 1.199 : Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực8<:x2+ y2+ 2(x + y) = 2

xy(x + 2)(y + 2) = 2m(2m+1 − 1).

Bài 1.200 : Chứng minh rằng với mọi m ≥ 2010hệ phương trình sau có không quá một nghiệm thực8<:√x + 27− √y + 1 = (m − 2010)y + 1√

y + 27−√

x + 1 = (m − 2010)x + 1.


x + 1+ 1 = 4x2+√

3x.


8<:x3y(1+ y) + x2y2(2+ y) + xy3 − 30 = 0

x2y + x(1+ y + y2) + y − 11= 0.



WWW.VNMATH.COM



8<:x3+ 4y = y3

+ 16x

1+ y2= 5(1+ x2).


8><>:2+ 6y =xy− √x − 2yÈ

x +√

x − 2y = x + 3y − 2.

Bài 1.205 : Giải bất phương trình x√

2− x ≤ x2 − x − 2−√

2− x.


8<:x3+ y3= 1

x2y + 2xy2+ y3= 2.

Bài 1.207 : Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình

x(4− x) + m�√

x2 − 4x + 5+ 2�≤ 0

nghiệm đúng với mọi giá trị của x ∈ [2; 2+√

3].


8<:2x2y + y3= 2x4

+ x6

(x + 2)√

y + 1 = (x + 1)2.


8<:x − 2y − √xy = 0√

x − 1+√

4y − 1 = 2.


8<:x√

x − 8√

y =√

x + y√

y

x − y = 5.

Bài 1.211 : Tìm m để hệ phương trình

8<:x3 − y3+ 3y2 − 3x − 2 = 0

x2+

√1− x2 − 3

È2y − y2 + m = 0

có nghiệm thực.


x + 3+ 2x√

x + 1 = 2x +√

x2 + 4x + 3.

Bài 1.213 : Xác định các giá trị của tham số m để phương trình√

2x2 + 2mx + m + 1 = 1 − x có đúng một nghiệm thực

dương.


8<:x2+ y2+ x2y2

= 1+ 2xy

x + x2y + xy = xy2+ y + 1.


2x2 + 3x + 1−√

2x2 − 2 = x + 1.

Bài 1.216 : Xác định các giá trị của tham số m để phương trình√

x − 1− m√

x +6√

x3 − x2 = 0 có nghiệm thực.

Bài 1.217 : Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực

8><>: x3+ x4 +

y3+ y4 =

18

xy9+ 3x4 + 3y4 + x4y4 = m.

Bài 1.218 : Giải phương trình1x+

1√2− x2

= 2.


8<:x2+ y2= 5

√y − 1(x + y − 1) = (y − 2)

√x + y.


8><>:x2+ 1+ y2

+ xy = 4y

x + y − 2 =y

x2 + 1.



WWW.VNMATH.COM



x +√

x + 4− m√

4− x = 3m có nghiệm thực.


8<:x3y = 24

2√

x3 + y = 63√3.


8<:√x − 1+√

y − 1 = 3

x + y − √(x − 1)(y − 1) = 5.

Bài 1.224 : Tìm m để phương trình m�√

x − 2+ 24√

x2 − 4�−√

x + 2 = 24√

x2 − 4 có nghiệm.


8<:x2+ y2+ x + y = 18

x(x + 1)y(y + 1) = 72.


8<:√7x + y +√

2x + y = 5√

2x + y + 20x + 5y = 38.


8<:xy + x2= 1+ y

xy + y2= 1+ x.

Bài 1.228 : Tìm các giá trị của tham số m để phương trình m +23

√x − x2 =

√x +√

1− x có nghiệm.

Bài 1.229 : Giải bất phương trình 5√

x +5

2√

x≤ 2x +

12x+ 5.



WWW.VNMATH.COM

WWW.VNMATH.COM

Chương 2

Bất đẳng thức

2.1 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy

2.1.1 Bất đẳng thức Cauchy - So sánh giữa tổng và tích

Cho ba số không âm a, b, c, ta có :

1.a + b

2≥√

ab, dấu bằng xảy ra khi a = b ;

2.a + b + c

3≥ 3√

abc, dấu bằng xảy ra khi a = b = c.

2.1.2 Một số hệ quả trực tiếp

Hệ quả 1 : So sánh giữa tổng nghịch đảo và tổng.

Cho ba số dương a, b, c có :

1.1a+

1b≥ 4

a + b; 2.

1a+

1b+

1c≥ 9

a + b + c.

Hệ quả 2 : So sánh giữa tổng bình phương và tồng.

Cho ba số thực a, b, c có :

1. 2(a2+ b2) ≥ (a + b)2 ; 2. 3(a2

+ b2+ c2) ≥ (a + b + c).

Hệ quả 3 : So sánh giữa tổng, tổng bình phương và tích.

Cho ba số thực a, b, c có :

1. (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) ; 2. a2+ b2+ c2 ≥ ab + bc + ca.

2.1.3 Bài tập đề nghị

Bài 2.1 : Cho a, b, > 0. Chứng minh rằng :

ab(a + b)2

≤�a + b

2

�3

≤ (a + b)(a2+ ab + b2)6

≤ a3+ b3

2≤ (a2

+ b2)3

(a + b)3 .

Bài 2.2 : Cho a, b > 0 và a + b ≤ 1. Chứng minh rằng :

37

WWW.VNMATH.COM


1.1a+

1b≥ 4 ; 2.

1a+

1b+ a + b ≥ 5.

Bài 2.3 : Cho các số không âm a, b, c có a + b + c ≤ 3. Chứng minh rằng :

1. a + b + c ≥ ab + bc + ca ; 2.√

a +√

b +√

c ≥ ab + bc + ca.

Bài 2.4 : Cho x, y > 0. Chứng minh rằng : (1+ x)(1+ y) ≥ (1+√

xy)2.

Bài 2.5 : Cho x, y > 0. Chứng minh rằng : x2+ y2+

1x+

1y≥ 2(√

x +√

y).

Bài 2.6 : Cho x, y > 0 và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P =1

x2 + y2 +1xy

.

Bài 2.7 : Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của P =x

x + 1+

yy + 1

+z

z + 1.

Bài 2.8 : Cho a, b > 0 và a + b = 1. Chứng minh rằng :a2

a + 1+

b2

b + 1≥ 1

3.

Bài 2.9 : Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng :

1a + 3b

+1

b + 3c+

1c + 3a

≥ 12a + b + c

+1

2b + c + a+

12c + a + b

.

Bài 2.10 : Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0 đều có :

1.1

a(b + c)+

1b(c + a)

+1

c(a + b)≥ 27

2(a + b + c)2 ; 2.1

a(a + b)+

1b(b + c)

+1

c(c + a)≥ 27

2(a + b + c)2 .

Bài 2.11 : Cho a, b > 0 và a + b ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của S = ab +1

ab.

Bài 2.12 : Cho a, b > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S =a + b√

ab+

√ab

a + b.

Bài 2.13 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c ≤ 32

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a + b + c +1a+

1b+

1c

.

Bài 2.14 : Chứng minh rằng với mọi số dương x, y, z đều có : x2+ y2+ z2 ≥

√2(xy + yz).

Bài 2.15 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 4. Chứng minh rằng :

aba + b + 2c

+bc

b + c + 2a+

cac + a + 2b

≤ 1.

Bài 2.16 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :

aba + 3b + 2c

+bc

b + 3c + 2a+

cac + 3a + 2b

≤ a + b + c6

.


1.a + b

c+

b + ca+

c + ab≥ 6 ;

2.a

b + c+

bc + a

+c

a + b≥ 3

2;

3.a2

b + c+

b2

c + a+

c2

a + b≥ a + b + c

2;

4.a3

b + c+

b3

c + a+

c3

a + b≥ a2

+ b2+ c2

2.

Bài 2.18 : Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau :

1. P =a2

b + c+

b2

c + a+

c2

a + b;

2. Q =a3

b + c+

b3

c + a+

c3

a + b;

3. R =a2√ab + c

+b2√

bc + a

+c2√ca + b

;

4. S =bc

a2b + a2c+

cab2c + b2a

+ab

c2a + c2b;



WWW.VNMATH.COM


Bài 2.19 : Cho x, y, z, t > 0 và xyzt = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

P =1

x3(yz + zt + ty)+

1y3(zt + tx + xz)

+1

z3(tx + xy + yt)+

1t3(xy + yz + zx)

.

Bài 2.20 : Cho a, b, c > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :

1. P =a

b + 2c+

bc + 2a

+c

a + 2b. 2. Q =

ab + mc

+b

c + ma+

ca + mb

, m ∈ N,m > 2.1


1. (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc ; 2.bca+

cab+

bac≥ a + b + c.

Bài 2.22 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :

1.a

b + c − a+

bc + a − b

+c

a + b − c≥ 3 ; 2.

a2

b + c − a+

b2

c + a − b+

c2

a + b − c≥ a + b + c.

Bài 2.23 : 1. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi của tam giác. Chứng minh rằng :

(p − a)(p − b)(p − c) ≤ abc8.

2. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 3 và độ dài ba cạnh của tam giác là a, b, c. Chứng minh rằng :

4(a3+ b3+ c3) + 15abc ≥ 27.

Bài 2.24 : Cho a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 1. Chứng minh rằng :�1a− 1��1

b− 1��1

c− 1��1

d− 1�≥ 81.

Bài 2.25 : Cho a, b ≥ 1. Chứng minh rằng : a√

b − 1+ b√

a − 1 ≤ ab.

Bài 2.26 : Cho a, b, c ≥ 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng : ab + bc + ca + abc ≤ 1027.

Bài 2.27 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :2

a2 + bc≤ 1

2

� 1ab+

1ac

�.

Bài 2.28 : Cho a, b > 0 và a + b = 1. Chứng minh rằng :3ab+

2a2 + b2 ≥ 16.

Bài 2.29 : Cho a, b, c > 0 và1

1+ a+

11+ b

+1

1+ c≥ 2. Chứng minh rằng : abc ≤ 1

8.

Bài 2.30 : Cho a > b > 0 và ab = 1. Chứng minh rằng :a2+ b2

a − b≥ 2√

2.

Bài 2.31 : Tìm giá trị nhỏ nhất của A = (1+ x)�

1+1y

�+ (1+ y)

�1+

1x

�với x, y > 0 thỏa mãn x2

+ y2= 1.

Bài 2.32 : Cho x, y, z > 1 thỏa mãn x + y + z = xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của :

P =y − 2

x2 +z − 2

y2 +x − 2

z2 .


alogb c+ blogc a

+ cloga b ≥ 33√abc.

1Một cách tổng quát, tìm giá trị nhỏ nhất của R =a

xb + yc+

bxc + ya

+c

xa + ybvới a, b, c, x, y là những số dương



WWW.VNMATH.COM


Bài 2.34 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng :�1+

1a

��1+

1b

��1+

1c

�≥ 64.

Bài 2.35 : Cho a, b > 0. Chứng minh rằng : (a + b)2+

�1a+

1b

�2

≥ 8.


bca2b + a2c

+ca

b2c + b2a+

abc2a + c2b

≥ 12

�1a+

1b+

1c

�.


aba + b

+bc

b + c+

cac + a

≤ a + b + c2

.

Bài 2.38 : Cho a ≥ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a +1a

.

Bài 2.39 : Cho a ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a +1a2 .

Bài 2.40 : Cho a, b, c ≥ 0 thỏa mãn a2+ b2+ c2= 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

S = a + b + c +1

abc.

Bài 2.41 : Cho x, y > 0 và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S =x√

1− x+

y√1− y

.

Bài 2.42 : Cho a, b, c ≥ 0 và a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

S =3√a + b +

3√b + c + 3√c + a.

Bài 2.43 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

S = 3È

a(b + 2c) + 3È

b(c + 2a) + 3È

c(a + 2b).

Bài 2.44 : Cho a ≥ 2;b ≥ 6;c ≥ 12. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

S =bc√

a − 2+ ca3√b − 6+ ab

4√c − 12

abc.

Bài 2.45 : Chứng minh rằng :�a

b+

bc+

ca

�2

≥ 32

�a + bc+

b + ca+

c + ab

�với mọi a, b, c > 0.


a3

(a + b)(a + c)+

b3

(b + c)(b + a)+

c3

(c + a)(c + b)≥ 3

4.


a3

b(2c + a)+

b3

c(2a + b)+

c3

c(2b + c)≥ 1.

Bài 2.48 : Cho a, b, c > 0 và a2+ b2+ c2= 1. Chứng minh rằng :

a3

b + 2c+

b3

c + 2a+

c3

a + 2b≥ 1

3.


a3

a + b+

b3

b + c+

c3

c + a≥ 1

2.



WWW.VNMATH.COM


Bài 2.50 : Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng :

a√1+ a2

+b√

1+ b2+

c√1+ c2

≤ 32.

Bài 2.51 : Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng :

1a(a + b)

+1

b(b + c)+

1c(c + a)

≥ 92.


a(b + c)2 +

b(c + a)2 +

c(a + b)2 ≥

94.


abc+

bca+

cab≥ 3.


bc√a + bc

+ca√

b + ca+

ab√c + ab

≤ 12.


bc√2a + bc

+ca√

2b + ca+

ab√2c + ab

≤ 1.

Bài 2.56 : Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh rằng :

a3

(1+ b)(1+ c)+

b3

(1+ c)(1+ a)+

c3

(1+ a)(1+ b)≥ 3

4.

Bài 2.57 : Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh rằng :

1a3(b + c)

+1

b3(c + a)+

1c3(a + b)

≥ 32.

Bài 2.58 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :1a+

1b+

1c≥ 2

� 1a + b

+1

b + c+

1c + a

�.

Bài 2.59 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c ≤ 1. Chứng minh rằng :1

a2 + 2bc+

1b2 + 2ca

+1

c2 + 2ab≥ 9.

Bài 2.60 : Cho a, b > 0 và a + b ≤ 1. Chứng minh rằng :1

a2 + b2 +1ab≥ 6.

Bài 2.61 : Cho a, b > 0 và a + b ≤ 1. Chứng minh rằng :1

a2 + b2 +1ab+ 4ab ≥ 7.

Bài 2.62 : Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng :

1a + 2b + 3c

+1

b + 2c + 3a+

1c + 2a + 3b

<316.

Bài 2.63 : Tìm giá trị nhỏ nhất của : A =a

1+ b − a+

b1+ c − b

+c

1+ a − cvới a, b, c > 0 và a + b + c = 1.

Bài 2.64 : Cho x, y, z > 0 và x2+ y2+ z2= 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

P =x

y2 + z2 +y

z2 + x2 +z

x2 + y2 .

Bài 2.65 : Cho x, y là hai số thực thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

P =(x + y)(1− xy)

(1+ x2)2(1+ y2)2 .



WWW.VNMATH.COM


Bài 2.66 : Cho x, y, z là ba số thực thỏa mãn x + y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của

P =√

2x + 3+√

2y + 3+√

2z + 3.

Bài 2.67 : Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 6. Chứng minh rằng : 8x+ 8y+ 8z ≥ 4x+1

+ 4y+1+ 4z+1.

Bài 2.68 : Cho 0 < a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e và a + b + c + d + e = 1. Chứng minh rằng :

a(bc + be + cd + de) + cd(b + e − a) ≤ 125.

Bài 2.69 : Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng :

a2

a + bc+

b2

b + ca+

c2

c + ab≥ a + b + c

4.

Bài 2.70 : Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng :

b + c

a + 3È

4(b3 + c3)+

c + a

b + 3È

4(c3 + a3)+

a + b

c + 3È

4(a3 + b3)≤ 2.

Bài 2.71 : Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng :

1a3 + b3 + abc

+1

b3 + c3 + abc+

1c3 + a3 + abc

≤ 1abc.

Bài 2.72 : Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng :

a3+ b3

a2 + ab + b2 +b3+ c3

b2 + bc + c2 +c3+ a3

c2 + ca + a2 ≥ 2.

Bài 2.73 : Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng :

2√

aa3 + b2 +

2√

bb3 + c2 +

2√

cc3 + a2 ≤

1a2 +

1b2 +

1c2 .


1a2 + bc

+1

b2 + ca+

1c2 + ab

≤ a + b + c2abc

.

Bài 2.75 : Cho a, b, c là ba số dương sao cho ab + bc + ca ≥ 1. Chứng minh rằng :

a3

b2 + 1+

b3

c2 + 1+

c3

a2 + 1≥√

34.

2.2 Bất đẳng thức hình học

Bài 2.76 : Cho a, b, c ∈ R. Chứng minh rằng :

√a2 + b2 + 4c2 + 4ac +

√a2 + b2 + 4c2 − 4ac ≥ 2

√a2 + b2.

Bài 2.77 : Với mọi a, b, c, d ∈ R. Chứng minh rằng :

√a2 + b2 + c2 + d2 + 2ac + 2bd ≤

√a2 + b2 +

√c2 + d2.

Bài 2.78 : Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng :

√x + 2

√y + 3

√z ≤

È14(x + y + z).



WWW.VNMATH.COM


Bài 2.79 : Cho bốn số a, b, c, d ∈ R thỏa mãn a2+ b2

= 1 và c + d = 3. Chứng minh rằng :

ac + bd + cd ≤ 9+ 6√

24

.

Bài 2.80 : Với mọi a, b, c ∈ R. Chứng minh rằng :

√a2 + ab + b2 +

√a2 + ac + c2 ≥

√b2 + bc + c2.

Bài 2.81 : Với mọi x, y ∈ R. Chứng minh rằng :È4 cos2 x cos2 y + sin2(x − y) +

È4 sin2 x sin2 y + sin2(x − y) ≥ 2.

Bài 2.82 : Với mọi x, y ∈ R. Chứng minh rằng :È4x2 + y2 + 12x + 9+

È4x2 + y2 − 4x − 6y + 10≥ 5.

Bài 2.83 : Cho a + b + c = 1, ax + by + cz = 4 với a, b, c , 0. Chứng minh rằng :

√9a2 + a2x2 +

È9b2 + b2y2 +

È9c2 + c2z2 ≥ 5.

Bài 2.84 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :Èa2 − ab

√2+ b2 +

Èb2 − bc

√3+ c2 ≥

qa2 − ac

È2−√

3+ c2.

Bài 2.85 : Cho a, b, c > 0 và abc + bc + ca = abc. Chứng minh rằng :

√b2 + 2a2

ab+

√c2 + 2b2

bc+

√a2 + 2c2

ac≥√

3.

Bài 2.86 : Cho x2+ y2= 1. Chứng minh rằng : x2

√5+ 2xy − y2

√5 ≤√

6.

Bài 2.87 : Cho

8<:x2+ xy + y2

= 3

y2+ yz + z2

= 16và x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng : xy + yz + zx ≤ 8.

Bài 2.88 : Cho x, y, z là những số dương. Chứng minh rằng :Èx2 + xy + y2 +

Èy2 + yz + z2 +

Èz2 + zx + x2 ≥

√3(x + y + z).

Bài 2.89 : Cho a + b + c = 12. Chứng minh rằng :È3a + 2

√a + 1+

È3b + 2

√b + 1+

È3c + 2

√c + 1 ≥ 3

√17.

Bài 2.90 : Cho các số dương x, y, z và x + y + z ≤ 2. Chứng minh rằng :Ê4x2 +

1x2 +

Ê4y2 +

1y2 +

Ê4z2 +

1z2 ≥

√1452.

Bài 2.91 : Giả sử x, y, u, v ∈ R thỏa mãn : x2+ y2

= 1;u2+ v2

+ 16 = 8u + 4v. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P = 8u + 4v − 2(ux + vy).

Bài 2.92 : Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn xy + yz + zx = 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 3x2+ 3y2

+ z2.



WWW.VNMATH.COM


2.3 Phương pháp sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình hoặc hệ phương trình- phương pháp miền giá trị

Bài 2.93 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : f (x) =2x2+ 7x + 23

x2 + 2x + 10.

Bài 2.94 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =x2 − (x − 4y)2

x2 + 4y2 , với x2+ y2 > 0.

Bài 2.95 : Cho x là số dương, y là số thực tùy ý. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của biểu thức :

P =xy2

(x2 + 3y2)�

x +È

x2 + 12y2� .

Bài 2.96 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2+ y2, với 2x2

+ y2+ xy ≥ 1.

Bài 2.97 : Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện : 3√

x( 3√

x − 1)+ 3√

y( 3√

y − 1) = 3√

xy. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của

biểu thức : P = 3√

x + 3√

y + 3√

xy.

Bài 2.98 : Cho x, y thỏa mãn điều kiện : x2− xy+ y2= 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : P = x2

+ xy−2y2.

Bài 2.99 : Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện : x − 3√

x + 1 = 3√

y + 2− y. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu

thức P = x + y.

Bài 2.100 : Cho hai số thực x, y thỏa mãn : x2+ y2

= 2(x + y) + 7. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = 3√

x(x − 2)+ 3√y(y − 2).

Bài 2.101 : Cho các số thực x, y thỏa mãn : 4x2 − 3xy + 3y2= 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = x2+ xy − 2y2.

Bài 2.102 : Cho các số thực x, y thỏa mãn :√

x +√

y = 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =√

x + 1+√

y + 9.

Bài 2.103 : Cho các số thực x, y thỏa mãn : xy + x + y = 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =3x

y + 1+

3yx + 1

− x2 − y2.

Bài 2.104 : Cho a, b ≥ 0 và a2+ b2+ ab = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức

P = a4+ b4+ 2ab − a5b5.

Bài 2.105 : Cho các số thực x, y thỏa mãn x + y = 2. Tìm giá trị lớn nhất của P = (x3+ 2)(y3

+ 2).

2.4 Bất đẳng thức trong các kì thi tuyển sinh ĐH

Bài 2.106 (CĐ08) : Cho hai số thực x, y thay đổi và thoả mãn x2+ y2= 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu

thức: P = 2(x3+ y3) − 3xy.

Bài 2.107 (CĐ10) : Cho hai số thực dương thay đổi x, y thỏa mãn điều kiện 3x + y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A =1x+

1√

xy.

Bài 2.108 (A03) : Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z ≤ 1. Chứng minh rằng :Êx2 +

1x2 +

Êy2 +

1y2 +

Êz2 +

1z2 ≥

√82.



WWW.VNMATH.COM


Bài 2.109 (A05) : Cho x, y, z là các số dương thoả mãn :1x+

1y+

1z= 4. Chứng minh rằng :

12x + y + z

+1

x + 2y + z+

1x + y + 2z

≤ 1.

Bài 2.110 (A06) : Cho hai số thực x , 0, y , 0 thay đổi và thoả mãn điều kiện : (x + y)xy = x2+ y2 − xy. Tim giá trị lớn

nhất của biểu thức A =1x3 +

1y3 .

Bài 2.111 (A07) : Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức :

P =x2(y + z)

y√

y + 2z√

z+

y2(z + x)z√

z + 2x√

x+

z2(x + y)x√

x + 2y√

y.

Bài 2.112 (A09) : Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn x(x + y + z) = 3yz ta có :

(x + y)3+ (x + z)3

+ 3(x + y)(y + z)(z + x) ≤ 5(y + z)3.

Bài 2.113 (B05) : Chứng minh rằng với mọi x ∈ R, ta có :�12

5

�x

+

�154

�x

+

�203

�x

≥ 33+ 4x+ 5x.

Khi nào đẳng thức xảy ra.

Bài 2.114 (B06) : Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

A =È

(x − 1)2 + y2 +

È(x + 1)2 + y2 + |y − 2|.

Bài 2.115 (B07) : Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

P = x�

x2+

1yz

�+ y

� y2+

1xz

�+ z�

z2+

1xy

�.

Bài 2.116 (B08) : Cho hai số thực x, y thay đổi và thoả mãn hệ thức x2+ y2

= 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của biểu thức P =2(x2+ 6xy)

1+ 2xy + 2y2 .

Bài 2.117 (B09) : Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn (x + y)3+ 4xy ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

A = 3(x4+ y4+ x2+ y2) − 2(x2

+ y2) + 1.

Bài 2.118 (B10) : Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =

3(a2b2+ b2c2

+ c2a2) + 3(ab + bc + ca) + 2√

a2 + b2 + c2.

Bài 2.119 (D05) : Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng :È1+ x3 + y3

xy+

È1+ y3 + z3

yz+

√1+ z3 + x3

zx≥ 3√

3.

Bài 2.120 (D07) : Cho a ≥ b > 0. Chứng minh rằng :�

2a+

12a

�b

≤�

2b+

12b

�a

.

Bài 2.121 (D08) : Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

P =(x − y)(1− xy)(1+ x)2(1+ y)2 .

Bài 2.122 (D09) : Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của biểu thức :

S = (4x2+ 3y)(4y2

+ 3x) + 25xy.

Bài 2.123 (D10) : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =√−x2 + 4x + 21−

√−x2 + 3x + 10.



WWW.VNMATH.COM



Bài 2.124 : Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y =54

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

S =4x+

14y

.

Bài 2.125 : Giả sử a, b, c, d là bốn số nguyên thay đổi thoả mãn 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50. Chứng minhab+

cd≥ b2

+ b + 5050b

và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S =ab+

cd

.

Bài 2.126 : Cho x, y, z là ba số thoả mãn x + y + z = 0. Chứng minh rằng :

√3+ 4x +

√3+ 4y +

√3+ 4z ≥ 6.

Bài 2.127 : Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có :

(1+ x)�

1+yx

��1+

9√

y

�2

≥ 256.

Đẳng thức xảy ra khi nào.

Bài 2.128 : Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn a + b + c =34

. Chứng minh rằng :

3√a + 3b +

3√b + 3c +

3√c + 3a ≤ 3.

Khi nào đẳng thức xảy ra?

Bài 2.129 : Chứng minh rằng 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 thì x√

y − y√

x ≤ 14

. Đẳng thức xảy ra khi nào ?

Bài 2.130 : Cho x, y, z là ba số dương và xyz = 1. Chứng minh rằng :

x2

1+ y+

y2

1+ z+

z2

1+ x≥ 3

2.

Bài 2.131 : Cho x, y là các số thực thoả mãn điều kiện x2+ xy + y2 ≤ 3. Chứng minh rằng :

−4√

3− 3 ≤ x2 − xy − 3y2 ≤ 4√

3− 3.

Bài 2.132 : Cho các số thực x, y, z thoả mãn điều kiện 3−x+ 3−y

+ 3−z= 1. Chứng minh rằng :

9x

3x + 3y+z +9y

3y + 3z+x +9z

3z + 3x+y ≥3x+ 3y+ 3z

4.

Bài 2.133 : Cho hai số dương x, y thay đổi và thoả mãn điều kiện x + y ≥ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =3x2+ 4

4x+

2+ y3

y2 .

Bài 2.134 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = x +112x+

r4�

1+7x2

�, x > 0.

Bài 2.135 : Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

P = 3È

4(x3 + y3) + 3È

4(y3 + z3) +3È

4(z3 + x3) + 2�

xy2 +

yz2 +

zx2

�.

Bài 2.136 : Cho a, b là các số dương thoả mãn ab + a + b = 3. Chứng minh rằng :

3ab + 1

+3b

a + 1+

aba + b

≤ a2+ b2

+32.

Bài 2.137 : Cho x, y > 0 và xy = 100. Hãy xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =x2+ y2

x − y.



WWW.VNMATH.COM


Bài 2.138 : Giả sử phương trình ax2+ bx+ c có hai nghiệm thuộc đoạn [0; 1]. Xác định a, b, c để biểu thức P có giá trị nhỏ

nhất, giá trị lớn nhất, trong đó P =(a − b)(2a − c)

a(a − b + c).

Bài 2.139 : Cho x, y > 0 thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =�

x2+

1y2

��y2+

1x2

�.

Bài 2.140 : Chứng minh các bất đẳng thức sau với a, b, c là các số nguyên không âm :

3 ≤ 1+√

a

1+√

b+

1+√

b1+√

c+

1+√

c1+√

a≤ 3+ a + b + c.

Bài 2.141 (*) : Cho 6 số thực x1, x2, . . . , x6 ∈ [0; 1]. Chứng minh rằng :

(x1 − x2)(x2 − x3)(x3 − x4)(x4 − x5)(x5 − x6)(x6 − x1) ≤ 116.

Bài 2.142 : Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng :2x

x6 + y4 +2y

y6 + z4 +2z

z6 + x4 ≤1x4 +

1y4 +

1z4 .

Bài 2.143 : Cho x1, x2, x3, x4 > 0 thỏa mãn4P

i=1x1 = 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của T =

4Pi=1

x4i

4Pi=1

x3i

.

Bài 2.144 : Cho x, y là hai số dương thay đổi thỏa mãn xy = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A =x

x4 + y2 +y

x2 + y4 .

Bài 2.145 : Cho hai số thực x, y thỏa mãn x2+ y2= x + y. Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A = x3+ y3+ x2y + xy2.

Bài 2.146 : Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x2+ y2+ z2 ≤ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

P =1

xy + z2 +1

yz + x2 +1

zx + y2 .

Bài 2.147 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 2abc. Chứng minh rằng

1a(2a − 1)2

+1

b(2b − 1)2+

1c(2c − 1)2

≥ 12.

Bài 2.148 : Cho x, y là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xy ≤ y − 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P =x2

y2 + 9y3

x3 .

Bài 2.149 : Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x2+ y2+ z2= 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = xy + yz +

zx +5

x + y + z.

Bài 2.150 : Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =x3

x2 + yz+

y3

y2 + zx+

z3

z2 + xy.

Bài 2.151 : Cho x, y, z > 0 thỏa mãn 13x + 5y + 12z = 9. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A =xy

2x + y+

3yz2y + z

+6xz

2z + x.

Bài 2.152 : Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x2+ y2+ z2= 3. Tìm giá trị lớn nhất của A = x3(y + z) + y3(z + x) +

z3(x + y).

Bài 2.153 : Giả sử x, y, u, v ∈ R thỏa mãn điều kiện x2+ y2= 1, u2

+ v2+ 16= 8u + 4v. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

M = 8u + 4v − 2(ux + vy).



WWW.VNMATH.COM


Bài 2.154 : Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện a + b + c =√

3. Tính giá trị nhỏ nhất của

P =√

a2 + ab + b2 +√

b2 + bc + c2 +√

c2 + ca + a2.

Bài 2.155 : Cho x, y ∈ R thỏa mãn x2+ y2 − 2x − 4y + 4 = 0. Chứng minh rằng

x2 − y2+ 2√

3xy − 2(1+ 2√

3)x + (4− 2√

3)y ≤ 5− 4√

3.

Bài 2.156 : Giả sử x, y, z là các số thực thỏa mãn x + y + z = 6. Chứng minh rằng

8x+ 8y+ 8z ≥ 4x+1

+ 4y+1+ 4z+1.

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?

Bài 2.157 : Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

P =x2(y + z)

yz+

y2(z + x)zx

+z2(x + y)

xy.

Bài 2.158 : Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn abc = 8. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P =1

2a + b + 6+

12b + c + 6

+1

2c + a + 6.

Bài 2.159 : Cho x, y > 0 và thỏa mãn x + y = 1. Chứng minh rằngx√

1− x2+

yÈ1− y2

≥ 2√3

.

Bài 2.160 : Cho hai số thực không âm x, y thỏa mãn x2+ y2+ xy = 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = x3+ y3 − (x2

+ y2).

Bài 2.161 : Cho a, b, c là các số thực không âm, khác nhau từng đôi một và thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 4. Chứng

minh rằng1

(a − b)2 +1

(b − c)2 +1

(c − a)2 ≥ 1.

Bài 2.162 : Cho x, y, z là ba số thực thuộc (0; 1]. Chứng minh rằng

1xy + 1

+1

yz + 1+

1zx + 1

≤ 5x + y + z

.

Bài 2.163 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng

a� 1

3a + b+

13a + c

+2

2a + b + c

�+

b3a + c

+c

3a + b< 2.

Bài 2.164 : Cho a, b, c là những số dương thỏa mãn a2+ b2+ c2= 3. Chứng minh rằng

1a + b

+1

b + c+

1c + a

≥ 4a2 + 7

+4

b2 + 7+

4c2 + 7

.

Bài 2.165 : Cho x, y ∈ R, chứng minh rằng|x − y|

1+ |x − y| ≤|x|

1+ |x| +|y|

1+ |y| .

Bài 2.166 : Cho hai số dương x, y thỏa mãn x + y = 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =4x + y

xy+

2x − y4

.

Bài 2.167 : Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P =(1+ a)(1+ b)(1+ c)(1− a)(1− b)(1− c)

.

Bài 2.168 : Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = abc. Chứng minh rằng :

1. c√

ab ≥ 1+√

1+ c2;



WWW.VNMATH.COM


2. ab + bc + ca ≥ 3+√

a2 + 1+√

b2 + 1+√

c2 + 1.

Bài 2.169 : Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng :

11+ a2(b + c)

+1

1+ b2(c + a)+

11+ c2(a + b)

≤ 1abc.

Bài 2.170 : Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng :

1x + y + 1

+1

y + z + 1+

1z + x + 1

≤ 1.

Bài 2.171 : Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng2√

xx3 + y2 +

2√

y

y3 + z2 +2√

zz3 + x2 ≤

1x2 +

1y2 +

1z2 .

Bài 2.172 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :

4ab + c − a

+9b

c + a − b+

16ca + b − c

≥ 26.

Bài 2.173 : Cho các số thực không âm a, b. Chứng minh rằng :�a2+ b +

34

��b2+ a +

34

�≥�

2a +12

��2b +

12

�.

Bài 2.174 : Cho các số thực dương a, b, c thay đổi thỏa mãn a + b + c = a. Chứng minh rằng :

a2+ b

b + c+

b2+ c

c + a+

c2+ a

a + b≥ 2.

Bài 2.175 : Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng :

x2 − xyx + y

+y2 − yzy + z

+z2 − zxz + x

≥ 0.

Bài 2.176 : Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng

1a2 +

1b2 +

1c2 + 3 ≥ 2(a + b + c).

Bài 2.177 : Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z =yz3x

. Chứng minh rằng x ≤ 2√

3− 36

(y + z).

Bài 2.178 : Cho các số thực x, y thỏa mãn 0 ≤ x ≤ π3

và 0 ≤ y ≤ π3

. Chứng minh rằng cosx + cosy ≤ 1+ cos(xy).

Bài 2.179 : Cho số nguyên n (n > 2) và hai số thực không âm x, y. Chứng minh rằng n√

xn + yn ≥ n+1È

xn+1 + yn+1. Đẳng

thức xảy ra khi nào?



WWW.VNMATH.COM

WWW.VNMATH.COM

Chương 3

Lượng giác

3.1 Phương trình cơ bản


a) sinx = −√

32

; b) 3 cos�

2x +π

6

�= 1 ; c) sin 3x = cos 2x ;

Bài 3.2 : Tìm tất cả các nghiệm thuộc�−π

2; π�

của phương trình :

tan�

3x +π

3

�= − 1√

3.

Bài 3.3 : Giải phương trình : cos(π. sinx) = cos�π

2. sinx

�.

Bài 3.4 : Giải phương trình :sin 2x

1+ sinx= 0.

Bài 3.5 : Giải phương trình :cos 2x − cosx√

cosx= 0.

Bài 3.6 : Giải phương trình : cosx cot 2x = sinx.

Bài 3.7 : Giải phương trình :

a) cos2 2x + sin2�

x +π

4

�= 0 ; b) cos 2x. sin

�x +π

4

�= 0 ;


3π2 − x2. cos 2x = 0.

Bài 3.9 : Giải phương trình :cos 8xsin 4x

= 0.

Bài 3.10 : Giải phương trình :sin 3xsin 2x

= 1.

Bài 3.11 : Giải phương trình : cos3 x sin 3x + sin3 x cos 3x =38

.

Bài 3.12 : Giải phương trình : sin3 x cos 3x + cos3 x sin 3x = sin3 4x.

Bài 3.13 : Giải phương trình : cos 10x + 2 cos2 4x + 6 cos 3x cosx = cosx + 8 cosx cos3 3x.

Bài 3.14 : Giải phương trình : cosx cos 2x cos 4x cos 8x =116

.

Bài 3.15 : Giải phương trình : tan2 x − tanx tan 3x = 2.

Bài 3.16 : Giải phương trình : tan2 x + cot2 x + cot2 2x =113

.

51

WWW.VNMATH.COM


Bài 3.17 : Giải phương trình :cot2 x − tan2 x

cos 2x= 16(1+ cos 4x).

Bài 3.18 : Giải phương trình : sin4 x + cos4 x =78

cot�

x +π

3

�cot�π

6− x�

.

Bài 3.19 : Giải phương trình :3(sinx + tanx)

tanx − sinx− 2(1+ cosx) = 0.

Bài 3.20 : Giải phương trình : cos 3x tan 5x = sin 7x.

Bài 3.21 : Giải phương trình :sin4 x + cos4 x

sin 2x=

12

(tanx + cot 2x).

3.2 Phương trình dạng a sinx + b cosx = c

Bài 3.22 : Tìm nghiệm của phương trình :

cos 7x −√

3 sin 7x = −√

2

thỏa mãn điều kiện2π5< x <

6π7


3 sinx + cosx =1

cosx.

Bài 3.24 (CĐ08) : Giải phương trình : sin 3x −√

3 cos 3x = 2 sin 2x.

Bài 3.25 : Giải phương trình : cosx +√

3 sinx = 2 cos 2x.

Bài 3.26 : Giải phương trình : sin 8x − cos 6x =√

3(sin 6x + cos 8x).

Bài 3.27 : Giải phương trình : sinx sin 4x = 2 cos�π

6− x�−√

3 cosx sin 4x.

Bài 3.28 : Giải phương trình : cos 7x cos 5x −√

3 sin 2x = 1− sin 7x sin 5x.


2 cos�

x5− π

12

�−√

6 sin�

x5− π

12

�= 2 sin

�x5+

2π3

�− 2 sin

�3x5+π

6

�.

Bài 3.30 : Giải phương trình : 3 cos2 x = sin2 x + sin 2x.

Bài 3.31 : Giải phương trình : 4 sin3 x − 1 = 3 sinx −√

3 cos 3x.

Bài 3.32 : Giải phương trình : 4(sin4 x + cos4 x) +√

3 sin 4x = 2.

Bài 3.33 : Giải phương trình :È

2+ cos 2x +√

3 sin 2x = sinx −√

3 cosx.


3 sin 2x − 2 cos2 x = 2√

2+ 2 cos 2x.

Bài 3.35 : Giải phương trình : sinx +√

3 cosx +È

sinx +√

3 cosx = 2.

Bài 3.36 : Giải phương trình : cos 2x −√

3 sin 2x −√

3 sinx − cosx + 4 = 0.

Bài 3.37 : Giải phương trình : 3 sin 3x −√

3 cos 9x = 1+ 4 sin3 3x.

Bài 3.38 : Giải phương trình : tanx − sin 2x − cos 2x + 2�

2 cosx − 1cosx

�= 0.

Bài 3.39 : Giải phương trình : 8 sinx =

√3

cosx+

1sinx

.

Bài 3.40 : Giải phương trình : 9 sinx + 6 cosx − 3 sin 2x + cos 2x = 8.

Bài 3.41 : Giải phương trình : sin 2x + 2 cos 2x = 1+ sinx − 4 cosx.

Bài 3.42 : Giải phương trình : 2 sin 2x − cos 2x = 7 sinx + 2 cosx − 4.

Bài 3.43 : Giải phương trình : sin 2x − cos 2x = 3 sinx + cosx − 2.

Bài 3.44 : Giải phương trình :�sin 2x +

√3 cos 2x

�2 − 5 = cos�

2x − π6

�.



WWW.VNMATH.COM


Bài 3.45 : Giải phương trình : 2 cos3 x + cos 2x + sinx = 0.

Bài 3.46 : Giải phương trình : 1+ cot 2x =1− cos 2x

sin2 2x.

Bài 3.47 : Giải phương trình : 4(sin4 x + cos4 x) +√

3 sin 4x = 2.

Bài 3.48 : Giải phương trình : 1+ sin3 2x + cos3 2x =12

sin 4x.

Bài 3.49 : Giải phương trình : tanx − 3 cotx = 4�sinx +

√3 cosx

�.

Bài 3.50 : Giải phương trình : sin3 x + cos3 x = sinx − cosx.

Bài 3.51 : Giải phương trình : cos4 x + sin4�

x +π

4

�=

14

.

Bài 3.52 : Giải phương trình : 4 sin3 x cos 3x + 4 cos3 x sin 3x + 3√

3 cos 4x = 3.

Bài 3.53 : Giải phương trình :4 sin

�π

6+ x�

sin�5π

6+ x�

cos2 x+ 2 tanx = 0.

Bài 3.54 : Giải phương trình : 1+ 2(cos 2x tanx − sin 2x) cos2 x = cos 2x.

Bài 3.55 : Giải phương trình : sinx(1− sinx) = cosx(cosx − 1).

Bài 3.56 : Giải phương trình : cosx + sin�

2x +π

6

�− sin

�2x − π

6

�+ 1 =

√3(1+ 2 cosx).


2 sin�2x

3− π

3

�−√

6 sin�2x

3+π

6

�= 2 sin

�3x2− π

6

�− 2 cos

�x6+

2π3

�.


a) 2 cos2 x +sin 2x√

3= 1 ;

b) 4 cos2�

x +π

3

�+ sin 2x = 1 ;

c) 2√

2(sinx + cosx) cosx = 3+ cos 2x ;

d) 8 sin2 2x cos 2x =√

3 sin 2x + cos 2x ;

e)cosx − 2 sinx cosx2 cos2 x + sinx − 1

=√

3 ;

f) cos 7x cos 5x −√

3 sin 2x = 1− sin 7x sin 5x ;

g) 4(sin4 x + cos4 x) +√

3 sin 4x = 2 ;

Bài 3.59 : Cho phương trình : 2 sin2 x − sinx cosx − cos2 x = m.

a) Tìm m để phương trình có nghiệm ;

b) Giải phương trình khi m = −1.

Bài 3.60 : Cho phương trình :√

3 sin2 x +12

sin 2x = m.

a) Giải phương trình khi m =√

3 ;

b) Xác định m để phương trình có nghiệm ;

Bài 3.61 : Tìm m để phương trình sau đây có nghiệm :

2 sin2 x − sinx cosx − cos2 x = m.

3.3 Phương pháp đặt ẩn phụ

Bài 3.62 : Giải phương trình : cos�

2x +π

4

�+ cos

�2x − π

4

�+ 4 sinx = 2+

√2(1− sinx).

Bài 3.63 : Giải phương trình : 1− cos(π + x) − sin�3π + x

2

�= 0.



WWW.VNMATH.COM


Bài 3.64 : Giải phương trình :4 sin2 2x + 6 sin2 x − 9− 3 cos 2x

cosx= 0.

Bài 3.65 : Giải phương trình : cot�3π

2+ x�− tan2 x =

cos2x − 1cos2 x

.

Bài 3.66 : Giải phương trình : cos 2�

x +π

3

�+ 4 cos

�x − π

6

�=

52

.

Bài 3.67 : Giải phương trình : cos2�

3x +π

2

�− cos2 3x − 3 cos

�π

2− 3x

�+ 2 = 0.

Bài 3.68 : Giải phương trình :cos 2x + 3 cot 2x + sin 4x

cot 2x − cos 2x= 2.

Bài 3.69 : Giải phương trình :cosx(cosx + 2 sinx) + 3 sinx(sinx +

√2)

sin 2x − 1= 1.

Bài 3.70 : Giải phương trình : sin8 x + cos8 x =1716

cos2 2x.

Bài 3.71 : Giải phương trình : sin5x2= 5 cos3 x sin

x2

Bài 3.72 : Giải phương trình : sin 2x(cotx + tan 2x) = 4 cos2 x.

Bài 3.73 : Giải phương trình : 2 cos26x5+ 1 = 3 cos

8x5

.

Bài 3.74 : Giải phương trình : tan3�

x − π4

�= tanx − 1.

Bài 3.75 : Giải phương trình :sin4 2x + cos4 2x

tan�π

4− x�

tan�π

4+ x� = cos4 4x.

Bài 3.76 : Giải phương trình : 48− 1cos4 x

− 2

sin2 x(1+ cot 2x cotx) = 0.

Bài 3.77 : Giải phương trình : sin8 x + cos8 x = 2(sin10 x + cos10 x) +54

cos 2x.

Bài 3.78 : Giải phương trình : sin 2x + 2 tanx = 3.

Bài 3.79 : Giải phương trình : 2 tanx + cot 2x = 2 sin 2x +1

sin 2x.

Bài 3.80 : Giải phương trình : 3 cot2 x + 2√

2 sin2 x = (2+ 3√

2) cosx.

Bài 3.81 : Tìm x ∈ [−π; π] thỏa mãn phương trình :

cos4 x + sin4 x + cos�

x − π4

�sin�

3x − π4

�=

32.

Bài 3.82 : Giải phương trình :cosx(2 sinx + 3

√2)− 2 cos2 x − 1

1+ sin 2x= 1.

Bài 3.83 : Giải phương trình : cosx cosx2

cos3x2− sinx sin

x2

sin3x2=

12

.

Bài 3.84 : Giải phương trình : 4 cos3 x + 3√

2 sin 2x = 8 cosx.

Bài 3.85 : Giải phương trình : 2 sin 3x − 1sinx

= 2 cos 3x +1

cosx.

Bài 3.86 : Giải phương trình : 3 cos 4x − 8 cos6 x + 2 cos2 x + 3 = 0.

Bài 3.87 : Giải phương trình : 3 cos 4x − 2 cos2 3x = 1.

Bài 3.88 : Giải phương trình : 1+ sin3 x + cos3 x =32

sin 2x.

Bài 3.89 : Giải phương trình : sinx sin 2x + sin 3x = 6 cos3 x.

Bài 3.90 : Giải phương trình : tanx + 2 cot 2x = sin 2x.

Bài 3.91 : Giải phương trình : 1+ 3 tanx = 2 sin 2x.



WWW.VNMATH.COM


Bài 3.92 : Giải phương trình : sinx + cotx2= 2.

Bài 3.93 : Giải phương trình : sin 2x +√

2 sin�

x − π4

�= 1.


2(sinx + cosx) − sinx cosx = 1.

Bài 3.95 : Giải phương trình : sinx cosx + 2 sinx + 2 cosx = 2.

Bài 3.96 : Giải phương trình : sinx + cosx =2√

33

√1+ sinx cosx.

Bài 3.97 : Giải phương trình : (1+√

2)(sinx − cosx) + 2 sinx cosx = 1+√

2.

Bài 3.98 : Giải phương trình : 1+ sin3 2x + cos3 2x =32

sin 4x.

Bài 3.99 : Giải phương trình :2

sin2 x+ 2 tan2 x + 5 tanx + 5 cotx + 4 = 0.

Bài 3.100 : Giải phương trình : 4 sin3 x + 3 cos3 x − 3 sinx − sin2 x cosx = 0.

Bài 3.101 : Giải phương trình : sin2 x(tanx + 1) = 3 sinx(cosx − sinx) + 3.

Bài 3.102 : Giải phương trình : 2 tanx cotx =√

3+2

sin 2x.

Bài 3.103 : Giải phương trình : 8 cos3�

x +π

3

�= cos 3x.

Bài 3.104 : Giải phương trình : −1+ sin3 x + cos3 x =32

sin 2x.


2(sinx + cosx) = tanx + cotx.

Bài 3.106 : Giải phương trình : 3 tan3 x − tanx +3(1+ sinx)

cos2 x= 8 cos2

�π

4− x

2

�.

Bài 3.107 : Giải phương trình : 2 sin3 x − sinx = 2 cos3 x − cosx + cos 2x.

Bài 3.108 : Giải phương trình : sinx + sin2 x + sin3 x + sin4 x = cosx + cos2 x + cos3 x + cos4 x.

Bài 3.109 : Giải phương trình : tan2 x(1− sin3 x) + cos3 x − 1 = 0.

Bài 3.110 : Giải phương trình : 3(cotx − cosx) − 5(tanx − sinx) = 2.

Bài 3.111 : Giải phương trình : 2 sinx + cotx = 2 sin 2x + 1.

Bài 3.112 : Giải phương trình : cos 2x + 5 = 2(2− cosx)(sinx − cosx).

Bài 3.113 : Giải phương trình : sin3 x + cos3 x = cos 2x.

Bài 3.114 : Giải phương trình : 3 tan2 x + 4 tanx + 4 cotx + 3 cot2 x + 2 = 0.

Bài 3.115 : Giải phương trình : tanx + tan2 x + tan3 x + cotx + cot2 x + cot3 x = 6


sin2 x+ 2 tan2 x + 5 tanx + 5 cotx + 4 = 0.

Bài 3.117 : Giải phương trình : cos2 x −√

3 sin 2x = 1+ sin2 x.

Bài 3.118 : Giải phương trình : 3 sin2(3π − x) + 2 sin�5π

2+ x�

cos�π

2+ x�− 5 sin2

�3π2+ x�= 0.

Bài 3.119 : Giải phương trình : cos3 x − 4 sin3 x − 3 cosx sin2 x + sinx = 0.

Bài 3.120 : Giải phương trình : 3 cos4 x − 4 sin2 x cos2 x + sin4 x = 0.

Bài 3.121 : Giải phương trình : sinx sin 2x + sin 3x = 6 cos3 x.

Bài 3.122 : Giải phương trình : sin 3x + cos 3x + 2 cosx = 0.

Bài 3.123 : Giải phương trình : 6 sinx − 2 cos3 x =4 sin 4x cosx

2 cos 2x.

Bài 3.124 : Giải phương trình : sinx − 4 sin3 x + cosx = 0.



WWW.VNMATH.COM


Bài 3.125 : Giải phương trình : 2 cos3 x = sin 3x.


2 sin3�

x +π

4

�= 2 sinx.

Bài 3.127 : Giải phương trình : sin3�

x − π4

�=√

2 sinx.

Bài 3.128 : Giải phương trình : 2 sinx + 2√

3 cosx =

√3

cosx+

1sinx

.


1. sinx cos 2x = 6 cosx(1+ 2 cos 2x).

2. sin3 x3− sin2 x

3cos

x3− 3 sin

x3

cos2x3+ 3 cos3

x3= 0.

3.6 cos3 2x + 2 sin3 2x

3 cos 2x − sin 2x= cos 4x.

4.40�

sin3 x2− cos3

x2

�16 sin

x2− 25 cos

x2

= sinx.

5. 2 sinx cos2�π

2− x�+ 3 cos2

�π

2+ x�

cosx − 5 cos2 x sin�π

2+ x�= 0.

6. 3 sin2 x2

cos�3π

2− 2x

�+ 3 sin 2x sin2

�3π2+ 2x

�+ 2 cos3 2x = 0.

7.2(cos3 x + 2 sin3 x)

2 sinx + 3 cosx= sin 2x.

8. sin3 x + sinx sin 2x − 3 cos3 x = 0.

9.sin3 x + cos3 x2 cosx − sinx

= cos 2x.

10. sin3�

x − π6

�+ 3 sin3

�x +π

3

�= cosx + sin2x.

11. sin�

3x +π

4

�+√

2 cos�

2x − 3π2

�sin�

x +π

2

�− 2 cos

�3x +

π

4

�= 0.

12.−1+ sin2x − cos 2x

cos2 x=

8sin 2x

− 10 cotx.

13. (sinx − 2 cosx)(1− sin 2x − cos 2x) = −1− 2+ 5 sin 2x1+ cos 2x

.

14.sin3

�x +π

3

�+ cos3

�x − π

6

�√

3 sinx + cosx=

23

�cos

�2x − π

6

�+ sin

�2x +

π

3

��.

15.sin�

3x +π

6

�+ cos

�−3x +

2π3

�cos

�2x − π

6

�− sin

�2x +

π

3

� = sinx +√

3 cosx.

Bài 3.130 : Giải phương trình : tanx sin2 x − 2 sin2 x = 3(cos 2x + sinx cosx).


(4− 6m) sin3 x + 3(2m − 1) sinx + 2(m − 2) sin2 cosx − (4m − 3) cosx = 0.

a) Giải phương trình khi m = 2 ;

b) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất trên đoạn�0;π

4

�.




WWW.VNMATH.COM


1.√

3 sinx + cosx =1

cosx; 2. 4 sinx + 6 cosx =

1cosx

.


1. 4 sinx cos�π

2− x�+ 4 sin(π + x) cosx + 2 sin

�3π2− x�

cos(π + x) = 1.

2. 2sinx cos�3π

2+ x�− 3 sin(π − x) cosx + sin

�π

2+ x�

cosx = 0.

3.tan x + cotxcotx − tanx

= 6 cos 2x + 4 sin 2x.


a) 8 sinx =

√3

cosx+

1sinx

. b)sin3 x + cos3 x2 cosx − sinx

= cos 2x.


a) 1+ 3 sin2 2x = 2 tanx ;

b) tanx + cotx = 2(sin 2x + cos 2x) ;

c) sin3 x + cos3 x = sin 2x + cosx + sinx + 1 ;

d)4 sin2 2x + 6 sin2 x − 9− 3 cos 2x

cosx= 0 ;

e) tanx + tan2 x + tan3 x + cotx + cot2 x + cot3 x = 6 ;

f) 2 cos3 x = sin 3x ;

g) 8 cos3�

x +π

3

�= cos 3x ;

h) tanx + 2 sin 2x = 3 ;

Bài 3.136 : Tìm a để phương trình sau có nghiệm :

sin6 x + cos6 x = a| sin 2x|.

Bài 3.137 : Cho phương trình : cos3 x − sin3 x = m.


b) Tìm m sao cho phương trình có đúng hai nghiệm trên đoạn�−π

4;π

4

�Bài 3.138 : Cho phương trình :

2 cos 2x + sin2 x cosx + sinx cos2 x = m(sinx + cosx).


b) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm trên đoạn�0;π

2

�Bài 3.139 : Cho phương trình : m(sinx + cosx) = 1+ sin 2x. Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn

�0;π

2

�.

Bài 3.140 : Cho phương trình : cos3 x + sin3 x = m sinx cosx.

a) Giải phương trình khi m =√

2 ;

b) Tìm m để phương trình có nghiệm.

Bài 3.141 : Cho phương trình : sin 2x + 4(cosx − sinx) = m.

a) Giải phương trình khi m = 4.



WWW.VNMATH.COM


b) Tìm m để phương trình có nghiệm.


m(sinx + cosx) + 1+12

�tanx + cotx +

1sinx

+1

cosx

�= 0.

a) Giải phương trình khi m =12

;

b) Tìm m để phương trình có nghiệm trên�

0;π

2

�.

Bài 3.143 : Cho phương trình : cos 2x − (2m + 1) cosx + m + 1 = 0.


;

b) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng�π

2;3π2

�.

Bài 3.144 : Cho phương trình : (cosx + 1)(cos 2x − m cosx) = m sin2 x.

a) Giải phương trình khi m = −2 ;

b) Tìm m sao cho phương trình có đúng hai nghiệm trên�0;

2π3

�.

Bài 3.145 : Cho phương trình (1− a) tan2 x − 2cosx

+ 1+ 3a = 0.

a) Giải phương trình khi a =12

;

b) Tìm a để phương trình có nhiều hơn một nghiệm trên�

0;π

2

�.

Bài 3.146 : Cho phương trình : cos 4x + 6 sinx cosx = m.


b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trên�0;π

4

�.

Bài 3.147 : Cho phương trình : 4 cos5 x sinx − 4 sin5 x cosx = sin2 4x + m.

a) Biết x = π là một nghiệm của phương trình trên. Hãy giải phương trình trong trường hợp này ;

b) Cho biết x = −π8

là một nghiệm của phương trình trên. Hãy tìm tất cả các nghiệm thỏa mãn x4 − 3x2+ 2 < 0.

Bài 3.148 : Tìm a để hai phương trình sau tương đương

2 cosx cos 2x = 1+ cos 2x + cos 3x (1)

4 cos2 x − cos 3x = a cosx + (4− a)(1+ cos 2x) (2)

Bài 3.149 : Cho phương trình : cos 4x = cos2 3x + a sin2 x.

a) Giải phương trình khi a = 1 ;

b) Tìm a để phương trình có nghiệm trên�

0;π

12

�.


sin6 x + cos6 x = m| sin 2x|.



WWW.VNMATH.COM



3cos2 x

+ 3 cot2 x + m(tanx + cotx) − 1 = 0.


cos4 x − 2 sin2 x + m = 0.


4(sin4 x + cos4 x) − 4(sin6 x + cos6 x) − sin2 4x = m.


sin6 x + cos6 x

cos2 x − sin2 x= m tan 2x.


sin4 x + cos4 x − cos 2x +14

sin2 2x + m = 0.

Bài 3.156 : Cho phương trình :1

cos2 x+ cot2 x + m(tanx + cotx) + 2 = 0.


;

b) Tìm m để phương trình vô nghiệm.


sin 2x − m(cosx − sinx) = m.

Bài 3.158 : Tìm a để phương trình :

(1− a) tan2 x − 2cosx

+ 1+ 3a = 0

co nhiều hơn một nghiệm thuộc khoảng�

0;π

2

�.


2 cosx cos 2x cos 3x + m = 7 cos 2x

có nhiều hơn 1 nghiệm trong�π

8;

3π8

�.


cos 3x − cos 2x + m cosx = 1

có đúng 7 nghiệm trong khoảng�−π

2; 2π

�.



WWW.VNMATH.COM


3.4 Đưa phương trình về dạng tích

Bài 3.161 : Giải phương trình : cosx + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0.

Bài 3.162 : Giải phương trình : sinx + sin 2x + sin 3x = 1+ cosx + cos 2x.

Bài 3.163 : Giải phương trình : 1+ cosx + cos 2x + cos 3x = 0.

Bài 3.164 : Giải phương trình : cosx + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0.

Bài 3.165 : Giải phương trình : sinx + sin 2x + sin 3x + sin 4x + sin 5x + sin 6x = 0.

Bài 3.166 : Giải phương trình : sin 3x − sinx + sin 2x = 0.

Bài 3.167 : Giải phương trình : cos 10x − cos 8x − cos 6x + 1 = 0.

Bài 3.168 : Giải phương trình : 1+ sinx + cos 3x = cosx + sin 2x + cos 2x.

Bài 3.169 : Giải phương trình : tanx = sin 4x.

Bài 3.170 : Giải phương trình : (2 sinx − 1)(2 sin 2x + 1) = 3− 4 cos2 x.

Bài 3.171 : Giải phương trình : (2 sinx + 1)(3 cos 4x + 2 sinx − 4)+ 4 cos2 x = 3.

Bài 3.172 : Giải phương trình : (cosx − sinx) cosx sinx = cosx cos 2x.

Bài 3.173 : Giải phương trình : sin2 x + sin2 3x = cos2 2x + cos2 4x.


sinx cos 4x − sin2 2x = 4 sin2�π

4− x

2

�− 7

2.

Tìm các nghiệm của phương trình thỏa mãn |x − 1| < 3.

Bài 3.175 : Giải phương trình : sin 2x cos 3x = sin 5x cos 6x.

Bài 3.176 : Giải phương trình : sinx + sin 2x + sin 3x = cosx + cos 2x + cos 3x.

Bài 3.177 : Giải phương trình : 4 sin3 x + 3 cos3 x − 3 sinx − sin2 x cosx = 0.

Bài 3.178 : Giải phương trình : cos3 x sin3 x = sin 2x + sinx + cosx.

Bài 3.179 : Giải phương trình : cos2 x + sin3 x + cosx = 0.

Bài 3.180 : Giải phương trình : cos3 x + cos2 x + 2 sinx − 2 = 0.

Bài 3.181 : Giải phương trình : sinx + sin2 x + cos3 x = 0.

Bài 3.182 : Giải phương trình : 2 sin3 x − sinx = 2 cos3 x − cosx + cos 2x.


2 sin 2x = 8 cosx.

Bài 3.184 : Giải phương trình : sinx + sin2 x + sin3 x + sin4 x = cosx + cos2 x + cos3 x + cos4 x.

Bài 3.185 : Giải phương trình : cos4x2− sin4 x

2= sin 2x.

Bài 3.186 : Giải phương trình : (sinx + 3) sin4 x2− (sinx + 3) sin2 x

2+ 1 = 0.

Bài 3.187 : Giải phương trình : 2√

2 sin�

x +π

4

�=

1sinx

+1

cosx.


cosx+

1sin 2x

=2

sin 4x.

Bài 3.189 : Giải phương trình : (sin6 x + cos6 x) = 2(sin8 x + cos8 x).

Bài 3.190 : Giải phương trình : sin 2x(cotx + tan 2x) = 4 cos2 x.



WWW.VNMATH.COM


Bài 3.191 : Giải phương trình : 2 tanx + cot 2x = 2 sin 2x +1

sin 2x.

Bài 3.192 : Giải phương trình :(1− cosx)2

+ (1+ cosx)2

4(1− sinx)− tan2 x sinx =

12

(1+ sinx) + tan2 x.

Bài 3.193 : Giải phương trình : tan2 x cot2 2x cot 3x = tan2 x − cot2 2x + cot 3x.

Bài 3.194 : Giải phương trình :sin 3x

3=

sin 5x5

.

Bài 3.195 : Giải phương trình :sin 5x5 sinx

= 1.

Bài 3.196 : Giải phương trình : 2 cos 2x − 8 cosx + 7 =1

cosx.


1. sin 6x + sin 2x =12

tan 2x ;

2.cos2(1+ cotx) − 3

sinx − cosx= 3 cosx ;

3. cosx sin�π

2+ 6x

�+ cos

�π

2− x�

sin 6x = cos 6x + cos 4x ;

4.√

22

�sin�π

4− x�− sin

�π

4− 3x

��=

(sinx + cosx)2 − 2 sin2 x1+ cot2 x

;

5. 1+ sinx2

sinx − cosx2

sin2 x = 2 cos2�π

4− x

2

�;

6.cos2

�π

2− 2x

�1+ cos 2x

=1

cos2 2x− 1 ;

7.5 sinx − 5 tanx

sinx + tanx+ 4(1− cosx) = 0.

Bài 3.198 : Giải phương trình : cosx + cos 3x + 2 cos 5x = 0.

Bài 3.199 : Tìm các nghiệm thuộc khoảng�

0;π

2

�của phương trình :

sin2 4x − cos2 6x = sin(10, 5π + 10x).

Bài 3.200 : Giải phương trình : cos6 x − sin6 x = cos 2x.

Bài 3.201 : Giải phương trình : sinx + cosx = cos 2x.

Bài 3.202 : Giải phương trình : 1+ sinx + cosx + sin 2x + cos 2x = 0.

Bài 3.203 : Giải phương trình : sin 2x − cos 2x = 3 sinx + cosx − 2.

Bài 3.204 : Giải phương trình : 2 sin 3x − 1sinx

= 2 cos 3x +1

cosx.

Bài 3.205 : Giải phương trình : cosx cosx2

cos3x2− sinx sin

x2

sin3x2= 0.

Bài 3.206 : Giải phương trình : 3 tan 3x + cot 2x = 2 tanx +2

sin 4x.


a) cos2 x + cos2 2x + cos2 3x + cos2 4x =32

;

b) 4 sin 2x − 3 cos 2x = 3(4 sinx − 1) ;

c) 2 cos3 x + cos 2x + sinx = 0 ;

d) sin3�

x +π

4

�=√

2 sinx ;



WWW.VNMATH.COM


e) 3 sinx + 2 cosx = 2+ 3 tanx ;

f) sinx + 2 cosx + cos 2x − 2 sinx. cosx = 0 ;

g) 3(cotx − cosx) − 5(tanx − sinx) = 2 ;

h) 9 sinx + 6 cosx − 3 sin 2x + cos 2x = 8 ;

Bài 3.208 : Cho phương trình : sin 3x = m sinx + (4− 2m) sin2 x.


b) Tìm m để phương trình có đúng 5 nghiệm thuộc đoạn [0; 2π] ;

Bài 3.209 : Chp phương trình :m sinx − 2m − 2 cosx

=m cosx − 2m − 2 sinx

.


b) Khi m , 0;±√

2, phương trình có bao nhiêu nghiệm thuộc [20π; 30π].

Bài 3.210 : Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thuộc�0;

3π4

�:

sin 2x + m = sin x + 2m cosx.


(2 sinx − 1)(2 cos 2x + 2 sinx + m) = 3− 4 cos2 x.

Tìm m để phương trình

a) có nhiều hơn 2 nghiệm trong khoảng (0;π) ;

b) có đúng 8 nghiệm thuộc đoạn [0; 7] ;

3.5 Phương pháp đánh giá và phương pháp hàm số

Bài 3.212 : Giải phương trình : (cos 2x − cos 4x)2= 6+ 2 sin 3x.

Bài 3.213 : Giải phương trình : cos 3x +√

2− cos2 3x = 2(1+ sin2 2x).

Bài 3.214 : Giải phương trình : cos5 x + sin5 x + cos 2x + sin 2x = 1+√

2.

Bài 3.215 : Giải phương trình : 4 cos2 x + 3 tan2 x − 4√

3 cosx + 2√

3 tanx + 4 = 0.

Bài 3.216 : Giải phương trình : 1− x2

2= cosx.


a) sinx + cosx =√

2(2− sin 3x) ;

b) tanx + cotx =√

2(sinx + cosx) ;

c) cos13 x + sin14 x = 1 ;

d) π| sin√

x|= | cosx| ;

e) sin3 x + cos3 x = 2− sin4 x ;

f) sin8 x + cos8 x = 2(sin10 x + cos10 x) +54

cos 2x ;

g) sin2 x +14

sin2 3x = sinx. sin2 3x ;

h) cos 2x − cos 6x + 4(3 sinx − 4 sin3 x + 1) = 0 ;



WWW.VNMATH.COM


3.6 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức lượng giác

Bài 3.218 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số : y = cosx +12

cos 2x.

Bài 3.219 : Tìm GTLN của hàm số : y = sin3 x − sin6 x.

Bài 3.220 : Tìm GTNN của :

y =�

1+1

sin2 x

�2

+

�1+

1cos2 x

�2

.

Bài 3.221 : Tìm GTNN của hàm số :

y =�

sin2 x +1

sin2 x

�2

+

�cos2 x +

1cos2 x

�2

.

Bài 3.222 : Tìm GTLN và GTNN của các hàm số :

a) y =sinx + 2 cosx + 1sinx + cosx + 2

; b) y =sinx + 2 cosx + 32 sinx + cosx + 3

;

Bài 3.223 : Cho x, y > 0 và x2+ y2= 1. Tìm GTLN của P = x3

+ y3.

Bài 3.224 (CĐ-2008) : Cho hai số thực x, y thay đổi và thoả mãn x2+ y2

= 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

biểu thức: P = 2(x3+ y3) − 3xy.

Bài 3.225 (ĐH-KB2008) : Cho hai số thực x, y thay đổi và thoả mãn x2+ y2

= 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của biểu thức: P =2(x2+ 6xy)

1+ 2xy + 2y2 .

3.7 Lượng giác trong các kì thi tuyển sinh ĐH

Bài 3.226 (CĐ08) : Giải phương trình : sin 3x −√

3 cos 3x = 2 sin 2x.

Bài 3.227 (CĐ09) : Giải phương trình : (1+ 2 sinx)2 cosx = 1+ sinx + cosx.

Bài 3.228 (CĐ10) : Giải phương trình 4 cos5x2

cos3x2+ 2(8 sinx − 1) cosx = 5.

Bài 3.229 (A02) : Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình :

5�

sinx +cos3x + sin 3x

1+ 2 sin 2x

�= cos 2x + 3.

Bài 3.230 (A03) : Giải phương trình : cotx − 1 =cos 2x

1+ tanx+ sin2 x − 1

2sin 2x.

Bài 3.231 (A04) : Cho tam giác ABC không tù, thoả mãn điều kiện : cos 2A + 2√

2 cosB + 2√

2 cosC = 3. Tính ba góc

của tam giác ABC.

Bài 3.232 (A05) : Giải phương trình : cos2 3x cos 2x − cos2 x = 0.

Bài 3.233 (A06) : Giải phương trình :2�cos6 x + sin6 x

�− sinx cosx

√2− 2 sinx

= 0.

Bài 3.234 (A07) : Giải phương trình :�1+ sin2 x

�cosx +

�1+ cos2 x

�sinx = 1+ sin2x.

Bài 3.235 (A08) : Giải phương trình :1

sinx+

1

sin�

x − 3π2

� = 4 sin�

7π4 − x

�.

Bài 3.236 (A09) : Giải phương trình :(1− 2 sinx) cosx

(1+ 2 sinx)(1− sinx)=√

3.

Bài 3.237 (A10) : Giải phương trình(1+ sinx + cos 2x) sin

�x +π

4

�1+ tanx

=1√2

cosx.



WWW.VNMATH.COM


Bài 3.238 (B02) : Giải phương trình : sin2 3x − cos2 4x = sin2 5x − cos2 6x.

Bài 3.239 (B03) : Giải phương trình : cotx − tanx + 4 sin 2x =2

sin 2x.

Bài 3.240 (B04) : Giải phương trình : 5 sinx − 2 = 3(1− sinx) tan2 x.

Bài 3.241 (B05) : Giải phương trình : 1+ sinx + cosx + sin 2x + cos 2x = 0.

Bài 3.242 (B06) : Giải phương trình : cotx + sinx�

1+ tanx tanx2

�= 4.

Bài 3.243 (B07) : Giải phương trình : 2 sin2 2x + sin 7x − 1 = sinx.

Bài 3.244 (B08) : Giải phương trình : sin3 x −√

3 cos3 x = sinx cos2 x −√

3 sin2 x cosx.

Bài 3.245 (B09) : Giải phương trình : sinx + cosx sin 2x +√

3 cos 3x = 2(cos 4x + sin3 x).

Bài 3.246 (B10) : Giải phương trình (sin 2x + cos 2x) cosx + 2 cos 2x − sinx = 0.

Bài 3.247 (D02) : Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm đúng phương trình :

cos 3x − 4 cos 2x + 3 cosx − 4 = 0.

Bài 3.248 (D03) : Giải phương trình : sin2� x

2− π

4

�tan2 x − cos2

x2= 0.

Bài 3.249 (D04) : Giải phương trình : (2 cosx − 1)(2 sinx + cosx) = sin 2x − sinx.

Bài 3.250 (D05) : Giải phương trình : cos4 x + sin4 x + cos�

x − π4

�sin�

3x − π4

�− 3

2= 0.

Bài 3.251 (D06) : Giải phương trình : cos 3x + cos 2x − cosx − 1 = 0.

Bài 3.252 (D07) : Giải phương trình :�

sinx2+ cos

x2

�2+√

3 cosx = 2.

Bài 3.253 (D08) : Giải phương trình : 2 sinx(1+ cos 2x) + sin 2x = 1+ 2 cosx.

Bài 3.254 (D09) : Giải phương trình :√

3 cos 5x − 2 sin 3x cos 2x − sinx = 0.

Bài 3.255 (D10) : Giải phương trình sin 2x − cos 2x + 3 sinx − cosx − 1 = 0.


Bài 3.256 : Xác định m để phương trình :

2�sin4 x + cos4 x

�+ cos 4x + 2 sin 2x + m = 0

có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn�0;π

2

�.

Bài 3.257 : Giải phương trình :sin4 x + cos4 x

5 sin 2x=

12

cot 2x − 18 sin 2x

.

Bài 3.258 : Giải phương trình : tan4 x + 1 =(2− sin2 2x) sin 3x

cos4 x.

Bài 3.259 : Giải phương trình : tanx + cosx − cos2 x = sinx�

1+ tanx tanx2

�.

Bài 3.260 : Cho A, B,C là ba góc của tam giác ABC. Chứng minh rằng để tam giác ABC đều thì điều kiện cần và đủ là :

cos2A2+ cos2

B2+ cos2

C2− 2 =

14

cosA − B

2cos

B −C2

cosC − A

2.

Bài 3.261 : Cho phương trình :2 sinx + cosx + 1sinx − 2 cosx + 3

= a (1) (a là tham số).

1. Giải phương trình (1) khi a =13

.



WWW.VNMATH.COM


2. Tìm a để phương trình (1) có nghiệm ?

Bài 3.262 : Giải phương trình :r

18 cos2 x

= sinx.

Bài 3.263 : Cho tam giác ABC diện tích bằng32

. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC,CA, AB và ha, hb, hc lần lượt là

độ dài các đường cao kẻ từ đỉnh A, B,C của tam giác. Chứng minh rằng :�1a+

1b+

1c

�� 1ha+

1hb+

1hc

�≥ 3.

Bài 3.264 : Giải phương trình : 3− tanx(tanx + 2 sinx) + 6 cosx = 0.

Bài 3.265 : Giải phương trình : cos 2x + cosx(2 tan2 x − 1) = 2.

Bài 3.266 : Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng :

8><>:4p(p − a) ≤ bc

sinA2

sinB2

sinC2=

2√

3− 38

trong đó BC = a,CA = b, AB =

c, p =a + b + c

2.

Bài 3.267 : Giải phương trình : 3 cos 4x − 8 cos6 x + 2 cos2 x + 3 = 0.

Bài 3.268 : Giải phương trình :(2−

√3) cosx − 2 sin2

� x2− π

4

�2 cosx − 1

= 1.

Bài 3.269 : Giải phương trình :cos2 x(cosx − 1)

sinx + cosx= 2(1+ sinx).

Bài 3.270 : Cho các góc A, B,C của tam giác ABC để biểu thức :

Q = sin2 A + sin2 B + sin2 C

đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 3.271 : Giải phương trình : cotx = tanx +2 cos 4xsin 2x

.

Bài 3.272 : Xác định dạng của tam giác ABC, biết rằng :

(p − a) sin2 A + (p − b) sin2 B = c. sinA sinB,

trong đó BC = a,CA = b, AB = a, p =a + b + c

2.

Bài 3.273 : Tìm nghiệm trên khoảng (0;π) của phương trình :

4 sin2 x2−√

3 cos 2x = 1+ 2 cos2�

x − 3π4

�.


2 cos3�

x − π4

�− 3 cosx − sin x = 0.

Bài 3.275 : Giải phương trình : tan�π

2+ x�− 3 tan2 x =

cos 2x − 1cos2 x

.

Bài 3.276 : Giải phương trình : tan�3π

2− x�+

sinx1+ cosx

= 2.

Bài 3.277 : Giải phương trình : sin 2x + cos 2x + 3 sinx − cosx − 2 = 0.

Bài 3.278 : Giải phương trình : cos 3x cos3 x − sin 3x sin3 x =2+ 3

√2

8.

Bài 3.279 : Giải phương trình : 2 sin�

2x − π6

�+ 4 sinx + 1 = 0.

Bài 3.280 : Giải phương trình : cos 2x + (1+ 2 cosx)(sinx − cosx) = 0.

Bài 3.281 : Giải phương trình : (2 sin2 x − 1) tan2 2x + 3(2 cos2 x − 1) = 0.



WWW.VNMATH.COM


Bài 3.282 : Giải phương trình : cos3 x + sin3 x + 2 sin2 x = 1.

Bài 3.283 : Giải phương trình : 4 sin3 x + 4 sin2 x + 3 sin 2x + 6 cosx = 0.

Bài 3.284 : Giải phương trình : sin 2x + sinx − 12 sinx

− 1sin 2x

= 2 cot 2x.


3 sinx cosx = 3(sinx +√

3 cosx).

Bài 3.286 : Giải phương trình : sin�5x

2− π

4

�− cos

� x2− π

4

�=√

2 cos3x2

.

Bài 3.287 : Giải phương trình :sin 2xcosx

+cos 2xsinx

= tanx − cotx.


2 sin�

x − π12

�cosx = 1.

Bài 3.289 : Giải phương trình : (1− tanx)(1+ sin 2x) = 1+ tanx.


1. tanx +19

cotx =

r1

cos2 x− 1− 1;

2. cotx − 1 =cos 2x

1+ tanx+ sin2 x − 1

2sin 2x;

3.

√2 cos

�π

4+ x�

sinx(1+ sin 2x) = 1+ cotx;

4. 3 cosx − 3 sinx − tanx sinx + sinx tan2 x = 0;

5.1− cos 2x1+ cos 2x

=1− cos3 x

1− sin3 x;

6.sin 5x5 sinx

= 1;

7. (sin 3x − 2 sinx)�

2 cosx − 1cosx

�= 3 tanx;

8.1√2

cotx +sin 2x

sinx + cosx= 2 sin

�x +π

2

�;

9. sin3 x(1− cot x)+ cos2 x(cosx− sinx) = cosx+ sinx;

10. sinx + sin 2x + sin 3x + sin 4x + sin 5x = 0;

11.sin3 x sin 3x + cos3 x cos 3x

tan�

x +π

3

�tan�π

6− x� = −1

8;

12. sin 4x + 2 cos 2x + 4(sinx + cosx) = 1+ cos 4x;

13. cos 5x+ sin 5x+2 cos 3x−2 sin 3x− cosx− sinx = 0;

14. cos2�

x +π

3

�+ sin2

�x +π

6

�= 2 sinx − 1

2;

15. 2(1+ sinx)(tan2 x + 1) =cosx − 1

sinx + cosx;

16. 3 sinx + 1 = sin4 x − cos4 x;

17. cos�

x − π4

�+ cos

�x +π

4

�=

13

cos 2x − 1;

18. 2(sin8 x − cos8 x) = cos2 2x − cos 2x;

19. tanx + tan 2x = − sin 3x cos 2x;

20. 2(sin4 x + cos4 x) +√

3 sin 4x = 2;

21. 4 cos3 x + 2 sin3 x = 3 sinx;

22.sin 3x(2− sin2 2x)

cos4 x= tan4 x + 1;

23. sin�5x

2− π

4

�− cos

�π

4− x

2

�=√

2 cos3x2

;

24. sin2 x +(1+ cos 2x)2

2 sin 2x= 2 cos 2x;

25. sin3 x(1+ cotx) + cos3 x(1+ tanx) = 2√

sinx cosx;

26. 8 cosx + 6 sinx − cos 2x − 7 = 0;

27.sin3 x

2− cos3

x2

2+ sinx=

13

cosx;

28. 2 sin2�

x − π4

�= 2 sin2 x − tan x.


1. 1+ sinx − cosx − sin 2x + cos 2x = 0;

2. sin 4x + 2 = cos 3x + 4 sinx + cosx;

3.1

tanx + cot 2x=

√2(cosx − sinx)

cotx − 1;

4. 8 cos4 x + 1 = cos 4x + 12 sinx;

5.4 cos 3x cosx − 2 cos 4x − 4 cosx + tan x

2 tanx + 2

2 sinx −√

3= 0;



WWW.VNMATH.COM


6. 2 tanx + cot 2x = 2 sin 2x +1

sin 2x;

7.sin 3x − 4 cos

�x − π

6

�− 3

sin 3x − 1= 0;

8.(sinx + cosx)2 − 2 sin2 x

1+ cot2 x=

√2

2

�sin�π4 − x

�− sin

�π4 − 3x

��;

9.1

tanx + cot 2x=

√2(cosx − sinx)

cotx − 1;

10. 5 cos�

2x +π

3

�= 4 sin

�5π6− x�− 9;

11.sinx + cosxsinx − cosx

+ 2 tan 2x + cos 2x = 0;

12. 2 sin2�

x − π4

�= 2 sin2 x − tan x;

13. cosx + cos 3x = 1+√

2 sin�

2x +π

4

�;

14.1+ cot2x cotx

cos2 x+ 2(sin4 x + cos4 x) = 3;

15. cos2 2x − 2 cos�

x +3π4

�sin�

3x − π4

�= 2;

16. 2 sin2 x − sin 2x + sinx + cosx − 1 = 0.



WWW.VNMATH.COM

WWW.VNMATH.COM

Chương 4

Tổ hợp

4.1 Các quy tắc đếm. Tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị

Bài 4.1 : Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh

trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi trong mỗi trường hợp sau :

a) Bất kì hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường nhau ;

b) Bất kì hai học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường nhau ;

Bài 4.2 : Có 10000 vé được đánh số từ 00000 đến 99999. Hỏi có bao nhiêu vé gồm 5 chữ số khác nhau.

Bài 4.3 : Với 10 chữ số 0, 1, 2, . . . , 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau.

Bài 4.4 : Từ các chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5.

Bài 4.5 : Xét một dãy số gồm 7 chữ số (mỗi số được chọn từ 0, 1, . . . , 8, 9) mà chữ số ở vị trí số 3 là số chẵn, chữ số ở vị

trí cuối không chia hết cho 5, các chữ số ở vị trí số 4, 5, 6 đôi một khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy.

Bài 4.6 : Cho 10 chữ số 0, 1, 2,. . . , 8, 9. Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn 600000 xây dựng từ các số trên.

Bài 4.7 : Một người viết ngẫu nhiên các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu, sau đó xếp ngẫu nhiên thành một hàng.

a) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được tạo thành.

b) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được tạo thành.

Bài 4.8 : Có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau được lấy từ các chữ số 0, 2, 3, 6, 9.

Bài 4.9 : Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

a) Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau đôi một ;

b) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau đôi một chia hết cho 5 ;

c) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau đôi một chia hết cho 9 ;

Bài 4.10 : Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Hỏi có thế lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau mà số đó không chia hết cho

3.

Bài 4.11 : Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh A, B,C,D, E vào một ghế dài sao cho :

69

WWW.VNMATH.COM


a) C ngồi chính giữa ; b) A, E ngồi hai đầu ghế ;

Bài 4.12 : Trong một phòng có hai bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và

5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi, nếu :

a) các học sinh ngồi tùy ý ;

b) các học sinh nam ngồi một bàn và các học sinh nữ ngồi một bàn ;

Bài 4.13 : Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 4 sách Văn, 2 sách Toán, 6 sách Anh văn. Hỏi có

bao nhiêu cách sắp xếp các cuốn sách lên một kệ dài nếu các cuốn cùng môn xếp kề nhau.

Bài 4.14 : Từ X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} thiết lập các số có 6 chữ số khác nhau. Hỏi trong các số lập được có bao nhiêu số mà hai

chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau.

Bài 4.15 : Xét các số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số mà :

a) 5 chữ số 1 sắp kề nhau ; b) các chữ số được sắp xếp tùy ý ;

Bài 4.16 : Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số đôi một khác nhau được lập từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 sao cho hai chữ số chẵn

không nằm liền nhau.

Bài 4.17 : Một đội văn nghệ có 15 người, gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người,

biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 nữ.

Bài 4.18 : Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 , 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất

thiết phải có hai chữ số 1 và 5.

Bài 4.19 : Cho tam giác ABC. Xét tập hợp 4 đường thẳng song song với AB, 5 đường thẳng song song với BC và 6 đường

thẳng song song với CA.

a) Hỏi các đường thẳng này tạo được bao nhiêu tam giác ;

b) Hỏi các đường thẳng này tạo được bao nhiêu hình thang (không kể các hình bình hành).

Cho biết không có 3 đường thẳng nào của họ là đồng quy.

Bài 4.20 : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau. Tính tổng các số trên.

Bài 4.21 : Trong các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số trong đó chữ số 4 có mặt đúng 3 lần, còn

các chữ số khác có mặt đúng 1 lần.

Bài 4.22 : Từ X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt

chữ số 5.

Bài 4.23 : Từ 7 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau.

Bài 4.24 : Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} có thể lập được bao nhiếu số gồm 5 chữ số mà là :

a) số chẵn ;

b) một trong ba chữ số đầu tiên phải có mặt chữ số 1.

Bài 4.25 : Từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4 , 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và có thể lập được bao nhiêu số

có 4 chữ số khác nhau trong đó có hai chữ số 1 và 2.



WWW.VNMATH.COM


Bài 4.26 : Từ 10 chữ số 0, 1, 2, . . . , 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau sao cho các số đó đều phải có

mặt 0 và 1.

Bài 4.27 : Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng

các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn bằng 8.

Bài 4.28 : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số

1.

Bài 4.29 : Tính tổng các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8.

Bài 4.30 : Có 12 học sinh ưu tú của một trường trung học. Muốn chọn một đoàn đại biểu gồm 5 người (một trưởng đoàn,

một thư kí và ba thành viên) đi dự trại hè. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy.

Bài 4.31 : Có 12 học sinh ưu tú của một trường trung học. Muốn chọn một đoàn đại biểu gồm 4 người đi dự trại hè. Hỏi

có bao nhiêu cách chọn :

a) tùy ý ;

b) hai học sinh A và B không đi cùng nhau ;

c) hai học sinh A và B cùng đi hoặc cùng không đi.

Bài 4.32 : Một đoàn tàu có ba toa trở khách : toa I, toa II, toa III. Trên sân ga có 4 hành khách chuẩn bị đi tàu, biết rằng

mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống. Hỏi :

a) Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 hành khách lên ba toa ;

b) Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 hành khách lên tàu để có một toa trong đó có 3 trong 4 vị khách.

Bài 4.33 (B04) : Có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó, 10 câu trung bình và 15 câu dễ. Từ 30 câu đó, có thể lập được

bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu khác nhau, sao cho mỗi đề phải có 3 loại (khó, dễ, trung bình) và số câu dễ không

ít hơn 2.

Bài 4.34 : Một chi đoàn có 20 đoàn viên, trong đó có 10 nữ. Muốn chọn một tổ công tác có 5 người. Có bao nhiêu cách

chọn nếu tổ cần ít nhất một nữ.

Bài 4.35 : Một đội xây dựng gồm 10 công nhân, 3 kĩ sư. Để lập một tổ công tác, cần chọn 1 kĩ sư làm tổ trưởng, 1 công

nhân làm tổ phó và 3 công nhân làm tổ viên. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác.

Bài 4.36 : Một đội văn nghệ gồm 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Cô giáo muốn chọn ra một tốp ca gồm 5 em trong

đó có ít nhất là 2 em nam và 2 em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.

Bài 4.37 : Một đội cảnh sát gồm có 9 người. Trong ngày cần 3 người làm nhiệm vụ tại địa điểm A, 2 người làm tại B và 4

người còn lại trực tại đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân công.

Bài 4.38 : Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà Toán học nữ và 4 nhà Vật lí nam. Muốn lập một đoàn công tác có 3 người gồm

cả nam và nữ, cần có cả nhà Toán học lẫn nhà Vật lí. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác.

Bài 4.39 : Một đội văn nghệ có 10 người, trong đó có 6 nữ và 4 nam. Có bao nhiêu cách :

a) chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ bằng nhau ;

b) chọn 5 người, trong đó có không quá 1 nam ;

Bài 4.40 : Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3

tem thư đó lên 3 bì thư đã chọn, một bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi có bao nhiêu các làm như vậy.



WWW.VNMATH.COM


Bài 4.41 : Có hai đường thẳng song song d1 và d2. Trên d1 lấy 15 điểm phân biệt, trên d2 lấy 9 điểm phân biệt. Hỏi có bao

nhiêu tam giác mà các đỉnh là 3 trong số các điểm đã cho.

Bài 4.42 : Một lớp có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 người đi dự hội nghị của trường

sao cho trong đó có ít nhất một cán bộ lớp.

Bài 4.43 : Có 16 học sinh, gồm 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia số học sinh thành hai tổ, mỗi

tổ 8 người, đều có học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá.

Bài 4.44 : Một người có 12 cây giống, trong đó có 6 cây xoài, 4 cây mít và 2 cây ổi. Người đó muốn chọn 6 cây giống để

trồng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho :

a) mỗi loại có đúng 2 cây ; b) mỗi loại có ít nhất 1 cây ;

Bài 4.45 : Một lớp học có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có 6 học sinh được chọn để lập một tốp ca. Hỏi có bao

nhiêu cách chọn khác nhau và phải có ít nhất 2 nữ.

Bài 4.46 : Cho tập con gồm 10 phần tử khác nhau. Tìm số tập con khác rỗng chứa một số chẵn các phần tử.

Bài 4.47 : Một tổ có 20 sinh viên, trong đó có 8 sinh viên biết nói tiếng Anh, 7 SV biết nói tiếng Pháp, 5 SV biết nói tiếng

Đức (không SV nào biết nói cả 2 trong 3 ngoại ngữ trên). Cần chọn một nhóm đi thực tế gồm 3 SV biết tiếng Anh, 4 SV

biết tiếng Pháp, 2 SV biết tiếng Đức. Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm.

Bài 4.48 : Trong một hộp có 7 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ và 4 quả cầu vàng, các quả cầu đều khác nhau. Chọn ngẫu nhiên

4 quả cầu trong hộp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong 4 quả cầu chọn ra có đủ 3 màu.

Bài 4.49 : Một hộp có 6 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 6, 5 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 5, 4 quả cầu vàng được

đánh số từ 1 đến 4.

a) Có bao nhiêu cách lấy 3 quả cầu cùng màu ; 3 quả cầu cùng số ;

b) Có bao nhiêu cách lấy 3 quả cầu khác màu ; 3 quả cầu khác màu và khác số ;

Bài 4.50 : Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng có kích thước đôi một khác nhau. Có bao nhiêu cách chọn ra :

a) 6 viên bi, trong đó có đúng 2 viên bi đỏ ;

b) 6 viên bi, trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ ;

Bài 4.51 : Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa xem như đôi một khác nhau). Người

ta muốn chọn ra một bó hoa gồm 7 bông. Có bao nhiêu cách chọn bó hoa, trong đó :

a) có đúng một bông hồng đỏ ;

b) có ít nhất một bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ ;

Bài 4.52 : Xếp 3 bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 bi xanh giống nhau vào một hộc có 7 ô trống.

a) Hỏi có bao nhiêu cách xếp như vậy ;

b) Có bao nhiêu cách xếp, sao cho 3 bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 bi xanh xếp cạnh nhau ;

Bài 4.53 : Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn 4 viên bi từ hộp. Hỏi có bao nhiêu

cách chọn để số bi lấy ra không đủ 3 màu.

Bài 4.54 : Cho đa giác đều H có 20 cạnh. Xét các tam giác có ba đỉnh lấy từ ba đỉnh của H.



WWW.VNMATH.COM


a) Có bao nhiêu tam giác như vậy ? Có bao nhiêu tam giác có đúng hai cạnh là hai cạnh của H ?

b) Có mấy tam giác có đúng một cạnh là một cạnh của H ? Có mấy tam giác không có cạnh nào là cạnh của H ?

Bài 4.55 : Trên mặt phẳng cho một thập giác lồi. Xét các tam giác mà 3 đỉnh của nó là ba đỉnh của thập giác. Hỏi trong số

các tam giác đó, có bao nhiêu tam giác mà 3 cạnh của nó đều không phải là 3 cạnh của thập giác.

Bài 4.56 (B02) : Cho đa giác A1A2 . . .A2n (n ∈ N và n ≥ 2) nội tiếp trong đường tròn (O). Biết rằng số tam giác có đỉnh là

3 trong 2n đỉnh A1, A2, . . . , A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n đỉnh A1, A2, . . . , A2n. Tìm n.

Bài 4.57 : Trong một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu "cháu ngoan Bác Hồ" trong đó có 4 cặp anh em sinh

đôi. Cần chọn một nhóm gồm 3 trong số 50 học sinh trên đi dự đại hội "cháu ngoan Bác Hồ", sao cho trong nhóm không

có cặp anh em sinh đôi nào. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy.

Bài 4.58 : Một tập thể có 14 người, gồm 6 nam và 8 nữ, trong đó có An và Bình. Người ta muốn chọn một tổ công tác gồm

6 người. Tìm số cách chọn trong mỗi trường hợp sau :

a) Trong tổ phải có mặt cả nam lẫn nữ ;

b) Trong tổ phải có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên, hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt trong tổ ;

Bài 4.59 : Một Thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 5 sách Văn, 4 sách Anh văn và 3 sách Hóa. Ông

lấy ra 6 cuốn và tặng 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn.

a) Giả sử Thầy giáo chỉ muốn tặng các học sinh trên những cuốn sách thuộc loại Anh văn và Văn. Hỏi có bao nhiêu cách

tặng ;

b) Giả sử Thầy giáo muốn rằng, sau khi tặng xong, mỗi loại Văn, Anh văn, Hóa còn ít nhất một cuốn. Hỏi có bao nhiêu

cách tặng.

Bài 4.60 : Từ các số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau. Tính tổng tất cả các số đó.

Bài 4.61 : Cho hai đường thẳng song song d1, d2. Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 có n

điểm phân biệt (n ≥ 2). Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. Tìm n.

Bài 4.62 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 5 chữ số khác nhau, và mỗi số lập

được đều nhỏ hơn 25000.

Bài 4.63 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 5 chữ số khác nhau, trong đó có

đúng 2 chữ số lẻ và hai số lẻ đó đứng cạnh nhau.

Bài 4.64 : Một lớp học có 33 học sinh, trong đó có 7 nữ. Cần chia lớp học thành 3 tổ, tổ 1 có 10 học sinh, tổ 2 có 11 học

sinh, tổ 3 có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy.

Bài 4.65 : Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn lớn hơn 2007, mà mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau.

Bài 4.66 : Cho A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

a) Có bao nhiêu tập con của A chứa 1 mà không chứa 2 ;

b) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau mà không bắt đầu bởi 123 ;

Bài 4.67 : Có thể lập được bao nhiêu số có 8 chữ số 1, 2, 3, 4, 5,6 trong đó 1 và 6 đều có mặt đúng 2 lần, còn các chữ số

khác xuất hiện đúng 1 lần.

Bài 4.68 : a) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau đôi một, trong đó chữ số đầu tiên là chữ số lẻ ;



WWW.VNMATH.COM


b) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau đôi một, trong đó có đúng 3 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn ;

Bài 4.69 : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần, còn

các chữ số khác có mặt không quá 1 lần.

Bài 4.70 (B05) : Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội

thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.

Bài 4.71 (B06) : Cho tập A gồm n phần tử (n ≥ 4). Biết rằng số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm

2 phần tử của A. Tìm k ∈ {1, 2, . . . , n} sao cho số tập con gồm k phần tử là lớn nhất.

Bài 4.72 (D06) : Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp

B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên.

Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy.

Bài 4.73 : Trên các cạnh AB, BC,CD,DA của hình vuông ABCD lần lượt lấy 1, 2, 3 và n điểm phân biệt khác A, B,C,D.

Tìm n, biết số tam giác có 3 đỉnh từ n + 6 điểm đã cho là 439.

4.2 Giải phương trình, bất phương trình, hệ

Bài 4.74 : Chứng minh rằng :

a) Pn − Pn−1 = (n − 1)Pn−1 ;

b) 1+ P1 + 2P2 + 3P3 + · · · + (n − 1)Pn−1 = Pn.

Bài 4.75 : Chứng minh rằng với mọi n ∈ N có : n! ≤�n + 1

2

�n

.

Bài 4.76 : Chứng minh rằng với mọi n, k ∈ N và 2 ≤ k < n thì :

a) Akn = Ak

n−1 + kAk−1n−1 ; b) An+2

n+k + An+1n+k = k2An

n+k ;

Bài 4.77 : Chứng minh rằng với mọi n ∈ N và n ≥ 2 thì :

1

A22+

1

A23+ · · · + 1

A2n=

n − 1n.

Bài 4.78 : Cho n, k ∈ N và 2 ≤ k ≤ n. Chứng minh rằng :

k(k − 1)Ckn = n(n − 1)Ck−2

n−2.

Bài 4.79 : Cho 4 ≤ k ≤ n. Chứng minh rằng :

Ckn + 4Ck−1

n + 6Ck−2n + 4Ck−3

n +Ck−4n = Ck

n+4.

Bài 4.80 : Chứng minh rằng, nếu k ∈ N và 0 ≤ k ≤ 2008thì :

Ck2009+Ck+1

2009≤ C10042009+C1005

2009.

Bài 4.81 : Cho mọi n, k ∈ N và 0 ≤ k ≤ n. Chứng minh rằng :

Cn2n+k.C

n2n−k ≤

�Cn

2n�2.

Bài 4.82 : Cho n nguyên dương cố định và k ∈ {0; 1; 2;. . . ; n}. Chứng minh rằng, nếu Ckn đạt giá trị lớn nhất tại k0 thì k0

thỏa mãnn − 1

2≤ k0 ≤

n + 12

.



WWW.VNMATH.COM


Bài 4.83 : Cho m, n ∈ N và 0 < m < n. Chứng minh rằng :

a) mCmn = nCm−1

n−1 ;

b) Cmn = Cm−1

n−1 +Cm−1n−2 + · · · +Cm−1

m +Cm−1m−1

Bài 4.84 (B08) : Chứng minh rằngn + 1n + 2

�1

Ckn+1+

1

Ck+1n+1

�=

1Ck

n(n, k là các số nguyên dương, k ≤ n).


C02008.C

20072008+C1

2008.C20062007+ · · · +Ck

2008.C2007−k2008−k + · · · +C2007

2008.C01 = 1004.22008.

Bài 4.86 : Cho n là số nguyên dương, chứng minh rằng :

C1n + 2.

C2n

C1n+ 3.

C3n

C2n+ · · · + n.

Cnn

Cn−1n=

n(n + 1)2.

Bài 4.87 : Cho n là số nguyên dương, chứng minh rằng :

C0n

C1n+2+

C1n

C2n+3+

C2n

C3n+4+ · · · + Cn

n

Cn+12n+2=

12.


1. C05Ck

n +C15Ck−1

n + · · · +C55Ck−5

n = Ckn+5, với 5 ≤ k ≤ n.

2. Cn2n =

�C0

n

�2+

�C1

n

�2+ · · · + �Cn

n�2.

3. C0nCk

m +C1nCk−1

m +C1nCk−2

m + · · · +CknC0

m = Ckn+m

Bài 4.89 : Tính S =

�C0

n

1

�2

+

�C1

n

2

�2

+

�C2

n

3

�2

+ · · · +�

Cnn

n + 1

�2

.

Bài 4.90 : Chứng minh rằng :1

C12009+

1

C22009+ · · · + 1

C20092009=

10052009

�1

C12008+

1

C22008+ · · · + 1

C20082008

�.

Bài 4.91 : Chứng minh rằng :nP

k=1

(−1)k

1+ k2Cn+k2n < 0.

Bài 4.92 : Giải các phương trình :

1. C3n = 5C1

n ;

2. Cn14+Cn+2

14 = 2Cn+114 ;

3. 3C2n+1 + nP2 = 4A2

n ;

4. C2n+1 − A2

n − 4n3=

�A1

2n

�2.

Bài 4.93 : Giải phương trình :x! − (x − 1)!

(x + 1)!=

16

.

Bài 4.94 : Giải bất phương trình :Pn+4

PnPn+2<

15Pn−1

.

Bài 4.95 : Giải phương trình : PxA2x + 72= 6(A2

x + 2Px).

Bài 4.96 : Tìm x, y ∈ N thỏa mãn hệ :

8<:A2x +C3

y = 22

A3y +C2

x = 66

Bài 4.97 : Giải bất phương trình : A3x + 5A2

x ≤ 21x.

Bài 4.98 : Giải bất phương trình :Cn−3

n−1

A4n+1<

114P3

.



WWW.VNMATH.COM



Cx4− 1

Cx5=

1Cx

6.

Bài 4.100 : Tìm số nguyên dương x thỏa mãn phương trình :

C1x + 6C2

x + 6C3x = 9x2 − 14.

Bài 4.101 : Giải bất phương trình :12

A22x − A2

x ≤6x

C3x + 10.

Bài 4.102 : Tìm số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện sau :8><>:C4n−1 −C3

n−1 <54

A2n−2

Cn−4n+1 ≥

715

A3n+1


8<:2Ayx + 5Cy

x = 90

5Ayx − 2Cy

x = 80


8<:5Cy−2x = 3Cy−1

x

Cyx = Cy−1

x

Bài 4.105 (D05) : Tính giá trị của M =A4

n+1 + 3A3n

(n + 1)!, biết rằng C2

n+1 + 2C2n+2 + 2C2

n+3 +C2n+4 = 149.

Bài 4.106 : Tìm số nguyên n > 1 thỏa mãn đẳng thức : 2Pn + 6A2n − PnA2

n = 12.

Bài 4.107 : Tìm k ∈ {1, 2, . . . , 2005} sao cho Ck2005 đạt giá trị lớn nhất.

4.3 Hệ số của xk trong khai triển

4.4 Hệ số của xk trong khai triển nhị thức (a + b)n

Bài 4.108 (D07) : Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của : x(1− 2x)5+ x2(1+ 3x)10.

Bài 4.109 : Tìm số hạng độc lập với x trong khai triển� x

2+

4x

�18

.

Bài 4.110 : Tìm hệ số của x5 trong khai triển : P = (2x + 1)4 + (2x + 1)5 + (2x + 1)6 + (2x + 1)7.

Bài 4.111 (A03) : Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển� 1

x3 +√

x5�n

, biết : Cn+1n+4 −Cn

n+3 = 7(n + 3).

Bài 4.112 : Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển nhị thức�

3√16+

√3�7

.

Bài 4.113 : Trong khai triển sau đây có bao nhiêu số hạng hữu tỉ :�√

3− 4√5�124

.

Bài 4.114 (D04) : Tìm số hạng không chứa x (với x > 0) trong khai triển�

3√

x +14√

x

�7

.

Bài 4.115 : Trong khai triển

�x 3√

x + x−

2815

Ǒn

hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x, biết rằng Cnn +Cn−1

n +Cn−2n = 79.

Bài 4.116 : Biết rằng tổng các hệ số của khai triển (x2+ 1)n bằng 1024. Hãy tìm hệ số a của số hạng ax12 trong khai triển

đó.

Bài 4.117 : Tìm n > 5, biết trong khai triển�

x +12

�n

thành đa thức đối với biến x, hệ số của x6 bằng 4 lần hệ số của x4.



WWW.VNMATH.COM


Bài 4.118 (A02) : Cho�2

x−12 + 2−

x2

�n= C0

n

�2

x−12

�n+C1

n

�2

x−12

�n−1 �2−

x3�+ · · · +Cn−1

n

�2

x−12

� �2−

x3�n−1+Cn

n

�2−

x3�n.

Biết rằng C3n = 5C1

n và số hạng thứ tư bằng 20n. Tìm n và x.

Bài 4.119 : Cho�1

3+

23

x�10

= a0 + a1x + · · · + a9x9+ a10x10.

Tìm số hạng ak lớn nhất.

Bài 4.120 (A08) : Cho khai triển (1+ 2x)n= a0 + a1x + · · · + anxn, trong đó n ∈ N∗ và các hệ số a0, a1, . . . , an thỏa mãn

a0 +a1

2+ · · · + an

2n = 4096. Tìm số lớn nhất trong các số a0, a1, . . . , an.

Bài 4.121 (CĐ08) : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của�

2x +15√

x

�18

, (x > 0).

Bài 4.122 (B07) : Tìm số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Niutơn của (2+ x)n, biết :

3nC0n − 3n−1C1

n + 3n−2C2n − 3n−3C3

n + · · · + (−1)nCnn = 2048.

Bài 4.123 : Tìm hệ số của x7 trong khai triển đa thức (2−3x)2n, trong đó n là số nguyên dương thỏa mãn : C12n+1+C3

2n+1+

· · · +C2n+12n+1 = 1024.

Bài 4.124 : Tìm hệ số của x8 trong khai triển (x2+ 2)n, biết : A3

n − 8C2n +C1

n = 49.

Bài 4.125 (A06) : Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Niutơn của� 1

x4 + x7�n

, biết rằng C12n+1 +

C22n+1 + · · · +Cn

2n+1 = 220− 1.

4.5 Hệ số của xk trong khai triển (a + b)n(c + d)m

Bài 4.126 : a) Tìm hệ số của x2 trong khai triển (2− 3x)5(1+ x)4.

b) Tìm hệ số của x3 trong khai triển (√

x + 3)6(1+ x)12.

Bài 4.127 (D03) : Gọi a3n−3 là hệ số của x3n−3 trong khai triển thành đa thức của (x2+ 1)n(x + 2)n. Tìm n để a3n−3 = 26n.

Bài 4.128 : Tìm hạng tử chứa x20 trong khai triển : (1+ x + x3+ x4)10.

4.6 Hệ số của xk trong khai triển (a + b + c)n

Bài 4.129 : a) Tìm hệ số của x2 trong khai triển thành đa thức của biểu thức : P = (x2+ x − 1)6.

b) Tìm hệ số của x3 trong khai triển thành đa thức của biểu thức : P = (x2+ x − 1)5.

Bài 4.130 : Tìm hệ số của x4 trong khai triển (1+ x + 3x2)10.

Bài 4.131 (A04) : Tìm hệ số của x8 trong khai triển�1+ x2(1− x)

�8.

Bài 4.132 : Tìm hạng tử không chứa x trong khai triển :�

1+6x+ x�10

.

4.7 Tính tổng các hệ số tổ hợp :nP

k=0akCk

n

4.8 Phương pháp cơ bản với ak chỉ là hàm số mũ theo biến k

Bài 4.133 (D08) : Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức C12n +C3

2n + · · · +C2n−12n = 2048.



WWW.VNMATH.COM


Bài 4.134 : Tính tổng C120+C2

20+ · · · +C1020.

Bài 4.135 : a) Khai triển nhị thức (3x − 1)16 ;

b) Chứng minh rằng : 316C016− 315C1

16+ 314C216− · · · +C16

16 = 216 ;


a) 2nC0n + 2n−1C1

n + 2n−2C2n + · · · +Cn

n = 3n ;

b) 3nC0n − 3n−1C1

n + 3n−2C2n + · · · + (−1)nCn

n = 2n ;

Bài 4.137 : Chứng minh rằng :n−1Xk=1

Ckn = 2(2n−1 − 1);

nXk=0

Ckn(−1)k = 0.

Bài 4.138 : Chứng minh : C02n +C2

2n.32+C4

2n.34+ · · · +C2n

2n.32n= 22n−1(22n

+ 1).

Bài 4.139 : Tính các biểu thức sau :

1. A = C019−C2

19+ · · · +C1619 − C18

19.

2. B = C119−C3

19+ · · · +C1719 − C19

19.

3. C = C02n − 3C2

2n + 9C42n − 27C6

2n + · · · + (−3)nC2n2n.

Bài 4.140 (D02) : Tìm số nguyên dương n sao cho : C0n + 2C1

n + 4C2n + · · · + 2nCn

n = 243.

4.9 Phương pháp đạo hàm với ak là tích hàm số mũ và đa thức theo k


a) C1n + 2C2

n + 3C3n + · · · + nCn

n = n.2n−1 ;

b) C1n − 2C2

n + 3C3n − · · · + (−1)n−1Cn

n = 0 ;

c) 2n−1C1n − 2n−1C2

n + 3.2n−3C3n − · · · + (−1)n−1nCn

n = n ;

Bài 4.142 : Cho (x − 2)100= a0 + a1x + a2x2

+ · · · + a100x100. Tính :

a) a97 ;

b) S = a0 + a1 + · · · + a100 ;

c) M = a1 + 2a2 + 3a3 + · · · + 100a100 ;

Bài 4.143 : Cho f (x) = (1+ x)n với n ≥ 2.

a) Tính f ′′(1) ;

b) Chứng minh : 2.1.C2n + 3.2.C3

n + 4.3.C4n + · · · + n(n − 1)Cn

n = n(n − 1)2n−2.

Bài 4.144 : Chứng minh : 2n−1C1n + 2n−1C2

n + 3.2n−3C3n + 4.2n−4C4

n + · · · + nCnn = n.3n−1.

Bài 4.145 : Chứng minh : C1n.3

n−1+ 2C2

n.3n−2+ 3C3

n.3n−3+ · · · + nCn

n = n.4n−1.

Bài 4.146 : Tính A = C1n − 2C2

n + 3C3n − 4C4

n + · · · + (−1)n−1nCnn.



WWW.VNMATH.COM


Bài 4.147 : Chứng minh với n ∈ N và n > 2 thì :

1n

�C1

n + 2C2n + 3C3

n + · · · + nCnn

�< n!


a) 1.2C2n + 2.3C3

n + · · · + (n − 1)nCnn = n(n − 1)2n−2 ;

b) 1.2C2n − 2.3C3

n + · · · + (−1)n−2(n − 1)nCnn = 0 ;

c) 2n−1C2n + 3.2n−2C3

n + 3.4.2n−4C4n + · · · + (n − 1)nCn

n = n(n − 1)3n−2 ;

d) 2n−1C2n − 3.2n−2C3

n + 3.4.2n−4C4n − · · · + (−1)n−2(n − 1)nCn

n = n(n − 1) ;


a) 3C0n + 4C1

n + · · · + (n + 3)Cnn = 2n−1(6+ n) ;

b) 3C0n − 4C1

n + · · · + (−1)n(n + 3)Cnn = 0 ;

Bài 4.150 (A05) : Tìm số nguyên dương n sao cho :

C12n+1 − 2.2.C2

2n+1 + 3.22.C32n+1 − 4.23.C4

2n+1 + · · · + (2n + 1)22nC2n+12n+1 = 2005.

Bài 4.151 : Áp dụng khai triển nhị thức Niutơn của (x2+ x)100, chứng minh rằng :

100C0100

�12

�99

− 101C1100

�12

�100

+ · · · + 200C100100

�12

�199

= 0.

4.10 Phương pháp tích phân với ak là tích hàm số mũ và phân thức theo k

Bài 4.152 : Cho n ∈ N và n ≥ 2.

a) Tính I =1R0

x2(1+ x3)n dx ;

b) Chứng minh :13

C0n +

16

C1n +

19

C2n + · · · +

13(n + 1)

Cnn =

2n+1 − 13(n + 1)

.

Bài 4.153 : Chứng minh :nP

k=0

Ckn

k + 1=

2n+1 − 1n + 1

.

Bài 4.154 (B03) : Tính C0n +

22 − 12

C1n +

23 − 13

C2n + · · · +

2n+1 − 1n + 1

Cnn.

Bài 4.155 : Chứng minh rằng : 2.C0n −

12.22.C1

n +13.23.C2

n + · · · +(−1)n

n + 1.2n+1.Cn

n =1+ (−1)n

n + 1.


a) (−1)nC0n + (−1)n−1 1

2C1

n + · · · +1

n + 1Cn

n =(−1)n

n + 1;

b) C0n −

12

C1n + · · · + (−1)n

1n + 1

Cnn =

1n + 1

Bài 4.157 : a) Tính1R0

x(1− x)19 dx ;

b) Rút gọn S =12

C019−

13

C119+

14

C219+ · · · +

120

C1819 −

121

C1919.



WWW.VNMATH.COM


Bài 4.158 : a) Tính1R0

x(1− x2)n dx ;

b) Chứng minh :12

C0n −

14

C1n +

16

C2n −

18

C3n + · · · +

(−1)n

2n + 2Cn

n =1

2(n + 1);

Bài 4.159 : Chứng minh :13

C0n +

14

C1n + · · · +

1n + 3

Cnn =

2n+1(n2+ n + 2)− 2

(n + 1)(n + 2)(n + 3)

Bài 4.160 (A07) : Chứng minh rằng :12

C12n +

14

C32n +

16

C52n + · · · +

12n

C2n−12n =

22n − 12n + 1

.


Bài 4.161 : Trong khai triển đa thức sau :

(2x + 1)n(x + 2)n = a2nx2n+ a2n−1x2n−1

+ · · · + a1x + a0.

Tìm n, biết a2n−1 = 160.

Bài 4.162 : Cho số nguyên dương n > 4 và S = C02n +

C22n

3+

C42n

5+C

C62n

7+ · · ·+ C2n−2

2n

2n − 1+

C2n2n

2n + 1. Tìm n, biết S =

409613

.

Bài 4.163 : Khai triển và rút gọn biểu thức 1 − x + 2(1 − x)2+ 3(1 − x)3

+ · · · + n(1 − x)n thu được đa thức P(x) =

a0 + a1x + a2x2+ · · · + anxn. Tính hệ số a8, biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn

1C2

n+

7C3

n=

1n

.

Bài 4.164 : Một tổ gồm 10 học sinh trong đó có 4 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh lập nên đội

cờ đỏ. Gọi X là số học sinh nam của đội cờ đỏ. Hãy lập bảng phân phối xác suất của X.

Bài 4.165 : Trong kì thi tuyển sinh năm 2009, trường THPT A có 5 học sinh gồm 3 nam, 2 nữ cùng đậu vào khoa X của

một trường ĐH. Số sinh viên đậu vào khoa X được chia ngẫu nhiên thành 4 lớp. Tính xác suất để một lớp có đúng 2 nam

và 1 nữ của trường THPT A.

Bài 4.166 : Tìm số nguyên dương n thỏa mãn

C1n.3− 2C2

n.32+ 3C3

n.33+ · · · + (−1)nnCn

n.3n= 33792.

Bài 4.167 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số sao cho chữ số 2 xuất hiện đúng

hai lần, chữ số 3 xuất hiện đúng ba lần, các số khác xuất hiện đúng một lần.

Bài 4.168 : Tìm số các số tự nhiên gồm 8 chữ số phân biệt được lập thành từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sao cho

trong mỗi số không có bất kì hai chữ số chẵn nào đứng cạnh nhau.

Bài 4.169 : Tính tổng sau theo n

S = C02n − 3C2

2n + 9C42n − 27C6

2n + · · · + (−3)nC2n2n.

Bài 4.170 : Tính C12n −

C32n

3+

C52n

9+ · · · + (−1)n−1C2n−1

2n

3n−1 .

Bài 4.171 : Có hai tổ học sinh. Tổ thứ nhất gồm 8 học sinh nam, trong đó có 2 học sinh Hải Dương, 2 học sinh Bắc Ninh

và 2 học sinh Hưng Yên. Tổ thứ hai gồm 6 học sinh nữ, trong đó có 2 học sinh Hải Dương, 2 học sinh Bắc Ninh và 2 học

sinh Hưng Yên. Chọn mỗi tổ ra 3 học sinh. Tính xác suất để trong 6 học sinh được chọn ra mỗi tỉnh có 1 học sinh nam và 1

học sinh nữ.

Bài 4.172 : Trên các cạnh AB, BC,CD,DA của hình vuông ABCD ta lấy lần lượt 1, 2, 3 và 2010 điểm phân biệt khác

A, B,C,D. Tính số tam giác được tạo thành mà có các đỉnh được lấy trong tập 2016 điểm nằm trên các cạnh của hình vuông

(khác các đỉnh của hình vuông).



WWW.VNMATH.COM


Bài 4.173 : Có 10 viên bi đỏ có bán kính khác nhau, 5 viên bi xanh có bán kính khác nhau và 3 viên bi vàng có bán kính

khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 9 viên bi có đủ ba màu?

Bài 4.174 : Tính giá trị của biểu thức sau :

S = C02010− 3C2

2010+ 32C42010+ · · · + 31004C2008

2010− 31005C20102010.

Bài 4.175 : Đặt (1− x + x2 − x3)4= a0 + a1x + a2x2

+ · · · + a12x12. Tính hệ số a7.

Bài 4.176 : Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó chữ số 3 có mặt đúng 3 lần,

các chữ số còn lại có mặt không quá 1 lần. Trong các số tự nhiên nói trên, chọn ngẫu nhiên một số, tìm xác suất để số được

chọn chia hết cho 3.

Bài 4.177 : Tìm số nguyên dương n, biết

C1n

2− 2C2

n

22 +3C3

n

23 − · · · + (−1)n−1 nCnn

2n =132.

Bài 4.178 : Tìm hệ số của x10 trong khai triển�

1+1x+ x3

�10

với x , 0.

Bài 4.179 : Từ sáu chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số có năm chữ số sao cho trong số có năm chữ số đó có hai

chữ số 1 còn các chữ số khác xuất hiện không quá một lần.

Bài 4.180 : Có 3 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B, 5 học sinh lớp C. Có bao nhiêu cách chọn ra 4 học sinh từ các học sinh

trên để mỗi lớp A, B,C đều có ít nhất một học sinh được chọn.

Bài 4.181 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó

phải có mặt chữ số 7.

Bài 4.182 : Cho�√

2x−1 +1

3√2x

�n

=

nPk=0

Ckn

�√2x−1

�n−k�

13√2x

�k

, biết n thỏa mãn C1n +C3

n = 2C2n và số hạng thứ tư trong

khai triển trên bằng 2010n. Xác định n và x.

Bài 4.183 : Tính

1. A =20C0

2010

1.2− 21C1

2010

2.3+

22C22010

3.4− 23C3

2010

4.5+ · · · + 22010C2010

2010

2011.2012.

2. B =20C0

2010

1− 21C1

2010

2+

22C22010

3− 23C3

2010

4+ · · · + 22010C2010

2010

2011.

Bài 4.184 : Xếp 3 bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 bi trắng có cùng bán kính vào một dãy gồm 7 ô trống. Hỏi :

1. Có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau.

2. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho 3 bi đỏ xếp cạnh nhau và ba bi trắng xếp cạnh nhau.

Bài 4.185 : Tính tổng sau

S =

�C0

n

1

�2

+

�C1

n

2

�2

+ · · · +�

Cnn

n + 1

�2

.

Bài 4.186 : Tính tổng S = C0n + 2C1

n + 3C2n + · · · + (n + 1)Cn

n.

Bài 4.187 : Tìm hệ số của x8 trong khai triển�

1− x4 − 1x

�12

.

Bài 4.188 : Cho khai triển �2x+ 2

12−x�n=

nXk=0

Ckn�2x�n−k

�2

12−x�k.

Tìm x, biết tổng của số hạng thứ 3 và thứ 5 bằng 135, còn tổng 3 hệ số của 3 số hạng cuối bằng 22.



WWW.VNMATH.COM


Bài 4.189 : Tìm số hạng lớn nhất trong khai triển (1+ 0, 2)1000.

Bài 4.190 : Tìm hệ số của x8 trong khai triển (x2 − 2)n, biết A3n +C1

n = 8C2n + 49.

Bài 4.191 : Tìm hệ số của x6 trong khai triển (x2 − x − 1)n, biết C12n+1 +C2

2n+1 + · · · +Cn2n+1 = 220− 1.

Bài 4.192 : Tìm hệ số của x11 trong khai triển (x2+ 2)n(3x2

+ 1)n, biết

C2n2n − 3C2n−1

2n + · · · + (−1)k3kC2n−k2n + · · · + 32nC0

2n = 1024.

Bài 4.193 : Cho khai triển P(x) =�

x3+

12x2

�n

= a0x3n+ a1x3n−5

+ a2x3n−10+ · · · . Biết rằng ba hệ số đầu a0, a1, a2 theo

thứ tự lập lập thành một cấp số cộng. Tính số hạng chứa x4.

Bài 4.194 : Tính S =�C1

n

�2+ 2

�C2

n

�2+ 3

�C3

n

�2+ · · · + n

�Cn

n�n, với n là số tự nhiên lẻ.

Bài 4.195 : Chứng minh rằng

12C1n + 22C2

n + · · · + n2Cnn = n(n + 1)2n−2.

Bài 4.196 : Giải bất phương trình C22x +C4

2x + · · · +C2x2x ≥ 22003− 1, với x ∈ N∗.

Bài 4.197 : Cho tập A gồm n phần từ (n > 4). Tìm n biết rằng trong số các tập con của A có đúng 16n tập con có số phần

tử là lẻ.

Bài 4.198 : Cho tập A có n phần tử (n > 7). Tìm n biết rằng số tập con gồm 7 phần tử của A bằng hai lần số tập con gồm 3

phần tử.



WWW.VNMATH.COM

WWW.VNMATH.COM

Chương 5

Hàm số

5.1 Tính đơn điệu

Vấn đề 1 : Xét chiều biến thiên của hàm số

�Xét chiều biến thiên của hàm số y = f (x) ta tiến hành các bước như sau :

1. Tìm tập xác định D của hàm số;

2. Tính đạo hàm y′ = f ′(x);

3. Tìm các giá trị của x ∈ D để f ′(x) = 0 hoặc f ′(x) không xác định (gọi là các điểm tới hạn của hàm số);

4. Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu y′ = f ′(x) trên từng khoảng x ∈ D ;

5. Dựa vào bảng xét dấu và điều kiện đủ ta suy ra các khoảng đơn điệu của hàm số.

Bài 5.1 : Xét sự biến thiên của các hàm số sau :

1. y = x3 − 3x2 ;

2. y = x3 − 2x2+ 18x − 1 ;

3. y = −x3 − 3x2+ 24x + 26 ;

4. y = x3+ 3x2

+ 3x + 2 ;

5. y = x4 − 2x2+ 7 ;

6. y = −14

x4+ 2x2 − 1 ;

7. y = x4+ 2x2 − 3 ;

8. y = x4 − 6x2+ 8x + 1 ;

9. y =2x − 1x + 1

;

10. y =x + 2x − 1

;

11. y =−x2+ 2x − 1x + 2

;

12. y =x2+ 4x + 3x + 2

;

13. y = x +4x

;

14. y = x +√

1− x2 ;

15. y =√

3x2 − x3;

16. y = sinx với x ∈ (0; 2π).

83

WWW.VNMATH.COM


Bài 5.2 : Chứng minh rằng hàm số :

1. y =x + 1

2x − 1nghịch biến trên mỗi khoảng xác định;

2. y =x3

3− x2+ x + 5 đồng biến trên R;

3. y = −23

x3+ 6x2 − 20x + 5 nghịch biến trên R;

4. y =√

4− x2 nghịch biến trên [0; 2];

5. y = sinx + x đồng biến trên R;

6. y = x3+ x − cosx − 4 đồng biến trên R;

7. y = cos 2x − 2x + 3 nghịch biến trên R.

Vấn đề 2 : Tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu trên một miền

�Sử dụng điều kiện cần : Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm trên D = (a; b) và f ′(x) = 0 tại không quá hữu hạn giá trị.

1. Hàm số y = f (x) đơn điệu tăng trên D khi và chỉ khi f ′(x) ≥ 0 với mọi x ∈ D .

2. Hàm số y = f (x) đơn điệu giảm trên D khi và chỉ khi f ′(x) ≤ 0 với mọi x ∈ D .

Chúng ta các bài toán sau :

Bài toán 1 : Tìm các giá trị của tham số để hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên R hoặc trên (−∞; a) và

(a;+∞).

Cơ sở bài toán là định lí sau :

Định lí 1 : Cho tam thức bậc hai f (x) = ax2+ bx + c (a , 0).

• f (x) ≥ 0 với mọi x ∈ R khi và chỉ khi

8<:a > 0

∆ ≤ 0.

• f (x) ≤ 0 với mọi x ∈ R khi và chỉ khi

8<:a < 0

∆ ≤ 0.

Chú ý : Định lí 1 còn đúng khi điều kiện của ta không phải là mọi x ∈ R mà thay bàng điều kiện với mọi x khác x1, x2, . . .

Bài toán 2 : Tìm các giá trị của tham số để hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên (a; b) trong đó ít nhất a hoặc

b là hữu hạn.

Cơ sở bài toán là định lí sau :

Định lí 2 : Cho hàm số y = f (x) liên tục trên miền D và đạt GTLN, GTNN tương ứng là max f (x),min f (x).

• f (x) ≥ m với mọi x ∈ D khi và chỉ khi min f (x) ≥ m;

• f (x) ≤ m với mọi x ∈ D khi và chỉ khi max f (x) ≤ m.

Một cách tổng quát với bài toán phương trình, bất phương trình có tham số chúng ta làm như sau :

• Chuyển vế phương trình, bất phương trình về dạng một vế chỉ chứa ẩn (vế trái) và một vế chỉ chứa tham số;

• Lập bảng biến thiên của hàm số vế trái (hạn chế bảng biến thiên với điều kiện của ẩn đang xét);

• Tính đầu và cuối tất cả các mũi tên (tính trực tiếp hoặc qua các giới hạn cơ bản);

• Sử dụng định lí 2.



WWW.VNMATH.COM


Bài toán 3 : Tìm các giá trị của tham số biết độ dài của khoảng đồng biến hoặc nghịch biến.

Với bài toán này ta phải lập bảng biến thiên và tính trực tiếp các nghiệm của y′ = 0 hoặc sử dụng định lí Viét.

Bài 5.3 : Tìm m để hàm số : y = −13

x3+ 2x2

+ (2m + 1)x − 3m + 2 nghịch biến trên R.

Bài 5.4 : Tìm m để hàm số : y = x3+ (m − 1)x2

+ (m2 − 4)x + 9 đồng biến trên R.

Bài 5.5 : Cho hàm số y = (m2 − 1)x3

3+ (m + 1)x2

+ 3x + 5. Tìm m để hàm số đồng biến trên R.

Bài 5.6 : Tìm m để hàm số : y = x3 − 3x2+ 3mx + 3m + 4 đồng biến trên R.

Bài 5.7 : Với những giá trị nào của tham số m thì hàm số :

y = x3+ (m − 1)x2

+ (m2 − 4)x + 9

đồng biến trên R.

Bài 5.8 : Cho hàm số y = x3 − 3x2+ 3mx + 3m + 4. Tìm m để hàm số đồng biến trên R.

Bài 5.9 : Tìm m để hàm số : y =(m + 1)x2 − 2mx − (m3 − m2

+ 2)x − m

nghịch biến trên các khoảng xác định.

Bài 5.10 : Tìm m để hàm số y = x + m sinx đồng biến trên R.

Bài 5.11 : Tìm m để hàm số y = 3 sinx − 4 cosx − mx + 1 đồng biến trên R.

Bài 5.12 : Tìm m để hàm số y = x + m(sinx + cosx) đồng biến trên R.

Bài 5.13 : Tìm m đếh y = (2m + 3) sinx + (2− m)x đồng biến trên R.

Bài 5.14 : Tìm m để hàm số y = (m − 3)x − (2m + 1) cosx nghịch biến trên R.

Bài 5.15 : Xác định k để hàm số y =

�(k2 − 2k)

x2

3+ kx + 3

�x đồng biến trên tập xác định.

Bài 5.16 : Tìm m để hàm số y =x2+ mx − 1x − 1

có hai khoảng đồng biến trên toàn miền xác định của nó.

Bài 5.17 : Cho hàm số y =(m + 1)x2 − 2mx − 3m3

+ m2 − 2x − m

. Tìm m sao cho hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác

định.

Bài 5.18 : Chứng minh rằng hàm số :

y = x3 − (m + 1)x2 − (2m2 − 3m + 2)x + 2m(2m + 1)

không thể luôn đồng biến

Bài 5.19 : Cho hàm số y = −x3 − 3x2+ mx + 4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng

(0;+∞).

Bài 5.20 : Tìm a sao cho hàm số :

1. y = x2(a − x) − a tăng trong khoảng (1; 2). 2. y = −x3+ (a−1)x2

+ (a+3)x tăng trong khoảng (0; 3).

Bài 5.21 : Cho hàm số : y = x3+ 3x2

+ (m + 1)x + 4m. Với những giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên khoảng

(−1; 1).

Bài 5.22 : Tìm m để hàm số : y = (m + 1)x3 − 2mx2+ x đồng biến trên khoảng (0; 1).



WWW.VNMATH.COM


Bài 5.23 : Cho hàm số : y = − x3

3+ (m− 1)x2

+ (m + 3)x− 4. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng

(0; 3).

Bài 5.24 : Tìm m để hàm số : y = x2(m − x) − m đồng biến trên khoảng (1; 2).

Bài 5.25 : Cho hàm số : y =13

x3 − mx2+ (2m − 1)x − m + 2. Với giá trị nào của m thì hàm số nghịc biến trên khoảng

(−2; 0).

Bài 5.26 : Cho hàm số : y = 2x3+ 3mx2 − 2m + 1. Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2).

Bài 5.27 : Xác định m để hàm số : y = x3−3(2m+1)x2+ (12m+5)x+2 đồng biến trên cả hai khoảng (−∞;−1) và (2;+∞).

Bài 5.28 : Cho hàm số y = −13

x3 − mx2+ (2m − 1)x − m + 2.

Với những giá trị nào của m thì hàm số đã cho nghịch biến trên (−2;+∞).

Bài 5.29 : Tìm m để : y =m3

x3 − (m − 1)x2+ 3(m − 2)x +

13

đồng biến trên khoảng (2;+∞).

Bài 5.30 : Tìm m để : y =13

x3 − (m + 1)x2+ m(m + 2)x + 7 đồng biến trên [4; 9].

Bài 5.31 : Cho hàm số y =x + 3x − m

. Tìm m sao cho hàm số :

1. tăng trên (1;+∞) ; 2. giảm trên (−∞; 2).

Bài 5.32 : Cho hàm số : y =x2 − 2mx + 3m2

x − 2m.

1. Tìm m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. 2. Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng (1;+∞).

Bài 5.33 : Cho hàm số : y =2x2+ (1− m)x + 1+ m−x + m

. Xác định m để hàm số nghịch biến trên (2;+∞).

Bài 5.34 : Tìm k để hàm số y =2x2+ kx + 2− kx + k − 1

đồng biến trên khoảng (1;+∞).

Bài 5.35 : Cho hàm số y =x2 − (m + 1)x + 4m2 − 4m − 2

x − (m − 1). Xác định m sao cho hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞).

Bài 5.36 : Cho hàm số y =2x2 − 3x + m

x − 1. Với những giá trị nào của m thì hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (3;+∞).

Bài 5.37 : Cho hàm số : y =x2 − 2mx + 2+ m

x − m. Với những giá trị nào của m thì hàm số đã cho đồng biến trên (1;+∞).

Bài 5.38 : Tìm m để : y =2x2+ (1− m)x + 1+ m

x − mđồng biến trên (1;+∞).

Bài 5.39 : Cho hàm số : y =mx2+ x + m

mx + 1. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞).

Bài 5.40 : Tìm m để : y =mx2+ 6x − 2x + 2

nghịch biến trên (1;+∞).

Bài 5.41 : Tìm m để hàm số : y = x3+ 3x2

+ (m + 1)x + 4m nghịch biến trên (−1; 1).

Bài 5.42 : Tìm m để hàm số : y = x3 − 3(2m + 1)x2+ (12m + 5)x + 2 đồng biến trên các khoảng (−∞;−1] và [2;+∞).

Bài 5.43 : Tìm m để hàm số : y =m3

x3+ 2(m − 1)x2

+ (m − 1)x + m đồng biến trên các khoảng (−∞; 0] và [2;+∞).

Bài 5.44 : Tìm m để hàm số : y = x3 − 6mx2+ 2(12m − 5)x + 1 đồng biến trên các khoảng (−∞; 0) và (3;+∞).

Bài 5.45 : Tìm m để hàm số : y =m − 1

3x3+ mx2

+ (3m − 2)x đồng biến trên R.

Bài 5.46 : Tìm m để hàm số : y = x3 − mx2 − (2m2 − 7m + 7)x + 2(m − 1)(2m − 3) đồng biến trên [2;+∞).

Bài 5.47 : Tìm m để hàm số :



WWW.VNMATH.COM


Bài 5.48 : Tìm m để hàm số : y =23

x3+ (m + 1)x2

+ (m2+ 4m + 3)x − m2 đồng biến trên [1;+∞).

Bài 5.49 : Tìm m để hàm số : y = x3 − (m + 1)x2 − (2m2 − 3m + 2)x + 1 đồng biến trên [2;+∞).

Bài 5.50 : Tìm m để hàm số : y = x3 − 3(m − 1)x2+ 3m(m − 2)x + 1 đồng biến trên các đoạn [−2;−1] và [1; 2].

Bài 5.51 : Tìm m để hàm số : y = x3 − 2x2+ mx − 1 đồng biến trên

�0;

13

�.

Bài 5.52 : Tìm m để hàm số : y =2x2 − 3x + m

x − 1đồng biến trên (3;+∞).

Bài 5.53 : Tìm m để hàm số : y =−2x2 − 3x + m

2x + 1nghịch biến trên

�−1

2;+∞

�.

Bài 5.54 : Tìm m để hàm số : y =mx2 − (m + 1)x − 3

xđồng biến trên [4;+∞).

Bài 5.55 : Tìm m để hàm số : y =(2m − 1)x2 − 3mx + 5

x − 1đồng biến trên [2; 5].

Bài 5.56 : Tìm m để hàm số : y =x2 − 2mx + 3m2

x − 2mđồng biến trên (1;+∞).

Bài 5.57 : Tìm m để hàm số : y =x2 − 2mx + m + 2

x − mđồng biến trên (1;+∞).

Bài 5.58 : Tìm m để hàm số : y =2x2+ mx + 2− mx + m − 1

đồng biến trên (1;+∞).

Bài 5.59 : Tìm m để hàm số : y =x2 − 8x

8(x + m)đồng biến trên (1;+∞).

Bài 5.60 : Cho hàm số y = x3+ 3x2

+ mx + m. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 3.


+ mx + m. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 1.

Bài 5.62 : Tìm các giá trị của m để hàm số y = −x3+ 6x2

+ mx + 5 đồng biến trên khoảng có độ dài bằng 1.

Vấn đề 3 : Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm một biến số

�Bài toán 1 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f (x) trên đoạn [a; b].

1. Tính y′ = f ′(x), giải phương trình f ′(x) = 0 được các nghiệm xi ∈ [a; b].

2. Tính y(a) = f (a), y(b) = f (b), y(xi) = f (xi).

3. GTLN trong các giá trị trên là maxx∈[a;b]

f (x), GTNN trong các giá trị trên là minx∈[a;b]

f (x).

Bài toán 2 : GTLN, GTNN của hàm số y = f (x) trên miền D tổng quát.

1. Lập bảng biến thiên của hàm số y = f (x) chỉ xét với x ∈ D .

2. Tính các giá trị dầu và cuối mũi tên (tính trực tiếp hoặc qua các giới hạn cơ bản).

3. Căn cứ bảng biến thiên ta có được GTLN, GTNN (nếu có) của hàm số.

Bài 5.63 : Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất của hàm số y =3x − 1x − 3

trên [0; 2].

Bài 5.64 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:



WWW.VNMATH.COM


1. y =x2+ x + 1

x(x>0);

2. y = 1+ 4x − x2;

3. y = x4 − 2x2+ 5 (x ∈ [−2; 3]);

4. y =√

x − 2+√

4− x;

5. y =2x2+ 4x + 5

x2 + 1;

6. y = 2x −√

1− x2;

7. y =x + 3√x2 + 1

;

8. y = x +9x

trên [2; 4];

9. y = x +√

2 cosx trên�0;π

2

�;

10. y = x +√

4− x2;

11. y =x + 1√x2 + 1

trên [−1; 2];

12. y =x2+ sin2 x trên

�−π

2;π

2

�;

13. y = 1+ x + sinx +14

sin 2x +19

sin 3x trên [0; π];

14. y = sinx + cosx;

15. y = 2 sinx + cos 2x;

16. y = sin5 x +√

3 cosx.

Bài 5.65 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau :

1. y = sinx − cosx +12

;

2. y = 2 sinx − 43

sin3 x trên [0; π];

3. y =2 cos2+| cosx| + 1| cosx| + 1

;

4. y =3 cos4 x + 4 sin2 x

3 sin4 x + 2 cos2 x.

Bài 5.66 : 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = |x2+ 2x − 3| + 3

2trên

�12

; 4�.

2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = |x3+ 3x2 − 72x + 90| trên [−5; 5].

3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 − 8x2+ 16x − 9 trên (1; 3].

Bài 5.67 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x6+ 4(1− x2)3 với x ∈ [−1; 1]

Bài 5.68 : Tìm x để hàm số sau đạt giá trị nhỏ nhất y = f (x) = lg2 x +1

lg2 x + 2

Bài 5.69 : Tìm GTLN, GTNN của y =ln2 x

x, x ∈ [1; e3].

Bài 5.70 : Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất của hàm số y = x4 − 2x2+ 3 trên [−3; 2].

Bài 5.71 : Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất của hàm số y = x + cos2 x trên�0;π

4

�.

Bài 5.72 : Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất của hàm số y =√

x − 1+√

3− x.

Bài 5.73 : Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất của hàm số y = sin2x

1+ x2 + cos4x

1+ x2 + 1.

Bài 5.74 : Cho x, y là các số không âm có tổng bằng 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S = x3+ y3+ xy.

Bài 5.75 : Cho x, y là hai số không âm, thỏa mãn xy + x + y = 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của S = x3+ y3+

x2y + xy2 − 5xy.

Bài 5.76 : Giả sử x, y là hai số dương thoả mãn điều kiện x + y =54

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S =4x+

14y

Bài 5.77 : Cho x, y thỏa mãn x ≥ 0, y ≥ 0, x + y = 1. Tìm GTLN, GTNN của

P =x

y + 1+

yx + 1

.



WWW.VNMATH.COM


Bài 5.78 : Cho x, y, z là các số dương thoả mãn1x+

1y+

1z= 4

Tìm GTLN của1

2x + y + z+

1x + 2y + z

+1

x + y + 2z

Bài 5.79 : Cho x, y, z > 0 thoả mãn xyz = 1 Tìm GTNN củaÈ1+ x3 + y3

xy+

È1+ y3 + z3

yz+

√1+ z3 + x3

zx

Bài 5.80 : Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTLN

xx + 1

+y

y + 1+

zz + 1

Bài 5.81 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Tìm GTNN�a +

1a

��b +

1b

��c +

1c

�.

Vấn đề 4 : Sử dụng tính đơn điệu chứng minh bất đẳng thức

�Bài toán 1 : Bất đẳng thức một biến.

• Đưa bất đằng thức về dạng f (x) ≥ c với mọi x ∈ D .

• Xét hàm số y = f (x) với x ∈ D .

• Lập bảng biến thiên của hàm số y = f (x) với x ∈ D .

• Từ bảng biến thiên ta có kết luận bài toán.

Bài toán 2 : Bất đẳng thức "phản" đối xứng hai biến a và b với a ≥ b (tương tự a ≤ b).

• Đưa bất đẳng thức về dạng f (a) ≥ f (b).

• Sử dụng định nghĩa về tính đơn điệu : Giả sử y = f (x) xác định trên D = (a; b) và x1 < x2 thuộc khoảng đó

(i) y = f (x) đồng biến trên D thì f (x1) < f (x2);

(ii) y = f (x) nghịch biến trên D thì f (x1) > f (x2).

Bài toán 3 : Bất đẳng thức đối xứng hai biến a và b.

• Biến đổi bất đẳng thức về dạng f (a, b) ≥ c hoặc f (a, b) ≤ c với c là hằng số (thường đưa về trường hợp c = 0). Quay

về bài toán tìm max f (a, b) hoặc min f (a, b).

• Đặt S = a + b và P = ab với (S 2 ≥ 4P), từ các điều kiện ràng buộc ta đưa f (a, b) theo S (hoặc P) và tìm miền ràng

buộc cho S và P tương ứng.

• Từ đó ta quay về bài toán tìm max,min của hàm một biến số

Bài 5.82 : Cho hàm số y = f (x) = tanx + sinx − 2x. Chứng minh rằng



WWW.VNMATH.COM


1. hàm số đồng biến trên�0;π

2

�. 2. sinx + tanx > 2x với mọi x ∈

�0;π

2

�.


1. sinx >2xπ

với x ∈�

0;π

2

�; 2.

1

sin2 x<

1x2 + 1− 4

π2 với x ∈�

0;π

2

�.

Bài 5.84 : Cho hàm số y = f (x) = tanx + 2 sinx − 3x.Chứng minh rằng

1. hàm số đồng biến trên�0;π

2

�. 2. 2 sin x + tanx > 3x với mọi x ∈

�0;π

2

�.

Bài 5.85 : 1. Chứng minh rằng tanx > x với mọi x ∈�

0;π

2

�.

2. Chứng minh rằng tanx > x +x3

3với mọi x ∈

�0;π

2

�.

Bài 5.86 : Cho hàm số y = f (x) =4xπ− tanx.

1. Xét chiều biến thiên của hàm số y = f (x) trên�0;π

4

�. 2. Chứng minh rằng

4xπ≥ tanx với mọi

�0;π

4

�.

Bài 5.87 : Cho n là số nguyên dương, chứng minh rằngn

Ê1+

n√

nn+

n

Ê1−

n√

nn< 2.


1. sinx ≤ x với mọi x ∈�0;π

2

�;

2. sinx > x − x3

3!với mọi x ∈

�0;π

2

�;

3. cosx < 1− x2

2+

x4

24với mọi x ∈

�0;π

2

�;

4.�sinx

x

�3

> cosx với mọi x ∈�

0;π

2

�.


1. ex ≥ 1+ x với mọi x ∈ R; 2. ex ≥ 1+ x +x2

2với mọi x ≥ 0.

Bài 5.90 : 1. Cho a < b, chứng minh rằng sina − sinb < b − a;

2. Chứng minh rằng sin 2010− sin 2009+ 1 < 0.

Bài 5.91 : Chứng minh rằng hàm số y = f (x) =tanx

xđồng biến trên

�0;π

4

�. Từ đó suy ra 4. tan

π

36. tan

π

20< 3. tan

π

30. tan

π

18.

Bài 5.92 : Chứng minh rằng với 0 < α < β <√

6 ta cósinβsinα

>β − β3

6

α − α3

6

.

Bài 5.93 : Chứng minh rằng ln(1+ x) ≥ x − x2

2với mọi x ≥ 0.

Bài 5.94 : Tìm số thực a nhỏ nhất để bất đẳng thức ln(1+ x) ≥ x − ax2 đúng với mọi x ≥ 0.

Bài 5.95 : Tìm tất cả các số thực dương a để ax ≥ 1+ x với mọi ≥ 0.

Bài 5.96 : Cho a ≥ b > 0. Chứng minh rằng�

2a+

12a

�b

≤�

2b+

12b

�a

.

Bài 5.97 : Chứng minh rằng (2x+ 3x)y < (2y

+ 3y)x với mọi x > y > 0.

Bài 5.98 : Cho x, a, b > 0 và a , b. Chứng minh rằng� x + a

x + b

�x+b>

�ab

�b.

Bài 5.99 : Chứng minh rằng x > ln(1+ x) với mọi x > 0.



WWW.VNMATH.COM


Bài 5.100 : Chứng minh rằng với x ∈ (4;+∞) ta luôn có 2x > x2.

Vấn đề 5 : Ứng dụng sự biến thiên vào việc giải phương trình, bất phương trình, hệ

�

1. Nếu f (x) ≥ c và g(x) ≤ c thì phương trình f (x) = g(x) tương đương với

8<: f (x) = c

g(x) = c.

2. Nếu hàm số y = f (x) luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a; b) thì phương trình f [u(x)] = f [v(x)] tương đương

với u(x) = v(x).

3. Nếu hàm số y = f (x) đồng biến trên (a; b) và hàm số y = g(x) là hàm số nghịch biến trên (a; b) thì phương trình


4. Nếu hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a; b) thì phương trình f (x) = c (với c là hằng số) nếu có

nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

5. Nếu hàm số y = f (x) đồng biến trên (a; b) thì bất phương trình f (u) ≥ f (v) tương đương với u ≥ v.

6. Nếu hàm số y = f (x) nghịch biến trên (a; b) thì bất phương trình f (u) ≥ f (v) tương đương với u ≤ v.

Bài 5.101 : Giải các phương trình

1.√

3x + 1+È

x +√

7x + 2 = 4;

2.√

5x3 − 1+3√2x − 1+ x = 4;

3. 3√x + 2+ 3√

x + 1 =3√2x2 + 1+

3√2x2;

4. 3√x + 1+

3√x + 2+ 3√

x + 3 = 0.

Bài 5.102 : Giải bất phương trình

1.√

5x − 1+√

x + 3 ≥ 4;

2. 3√

3− 2x +5√

2x − 1− 2x ≤ 6;

3.√

(x + 2)(2x − 1)− 3√

x + 6 ≤ 4−√

(x + 6)(2x − 1)+ 3√

x + 2;

4.√

2x3 + 3x2 + 6x + 16< 2√

3+√

4− x;

5.√

x + 9+√

2x + 4 > 5.

Bài 5.103 : Giải các hệ phương trình

1.

8><>:x − 1x= y − 1

y√

x + y√

y = 2.

2.

8<:x3 − 3x = y3 − 3y

x6+ y6= 1.

3.

8<:√2x + 1− √2y + 1 = x − y

x2 − 12xy + 9y2+ 4 = 0.

Bài 5.104 : Giải phương trình : x5+ x3 −

√1− 3x + 4 = 0.


x2 + 15= 3x − 2+√

x2 + 8.



WWW.VNMATH.COM



x + 1+3√5x − 7+

4√7x − 5+

5√13x − 7 < 8.

Bài 5.107 : Giải bất phương trình : 2x +√

x +√

x + 7+ 2√

x2 + 7x < 49.

Bài 5.108 : Giải phương trình : 5x+ 4x+ 3x+ 2x

=12x +

13x +

16x − 2x3

+ 5x2 − 7x + 17.

Bài 5.109 : Tìm x, y ∈ (0;π) thỏa mãn hệ :

8<:cotx − coty = x − y

5x + 8y = 2π.

Vấn đề 6 : Ứng dụng sự biến thiên vào bài toán số nghiệm phương trình có tham số

�

Bước 1 : Đặt ẩn phụ (nếu cần) t = u(x), đặt điều kiện chặt cho t.

Bước 2 : Từ giả thiết bài toán biến đổi về một trong các dạng sau:

f (t) = g(m); f (t) ≥ g(m); f (t) ≤ g(m); f (t) > g(m); f (t) < g(m).

Tức là biến đổi để cô lập m về một vế, còn vế kia độc lập với m.

Bước 3 : Lập bảng biến thiên của hàm số f (t) trên miền giá trị của t đã tìm được sau bước 1.

Bước 4 : Từ bảng biến thiên suy ra miền giá trị của f (t). Sử dụng các kết quả đã nêu ở mục 2, để tìm ra kết luận của bài

toán.

Chú ý : điều kiện chặt cho t có nghĩa là tìm các giá trị của t khi x biến thiên để phương trình t = u(x) có nghiệm.

Chẳng hạn, nếu đặt t = 3x thì điều kiện t > 0, nhưng vẫn đặt t = 3x, x ∈ [−1; 1] thì điều kiện13≤ t ≤ 3 và nếu đặt

t = u(x) = 3√−x2+2x, x ∈ [0; 2] điều kiện chặt của t phải là 1 ≤ t ≤ 3.

Bài 5.110 : Cho hàm số : y = mx2+ 2mx − 3.

1. Tìm m để phương trình f (x) = 0 có nghiệm trong đoạn [1; 2].

2. Tìm m để bất phương trình f (x) ≥ 0 nghiệm đúng với mọi x trong đoạn [1; 3].

3. Tìm m để bất phương trình f (x) ≤ 0 nghiệm đúng với mọi x trong đoạn (1; 4).


2(sin4 x + cos4 x) + cos 4x + 2 sin 2x + m = 0

có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn�0;π

2

�.

Bài 5.112 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm :È2x2 − 2(m + 4)x + 5m + 10+ 3− x = 0.


2+ 2 sin 2x = m(1+ cosx)2

có nghiệm trên đoạn�−π

2;π

2

�.



WWW.VNMATH.COM



x2 + mx + 2 = 2x + 1 có hai nghiệm thực phân biệt.

Bài 5.115 : Tìm m để phương trình 3√

x − 1+ m√

x + 1 = 24√

x2 − 1 có nghiệm.

Bài 5.116 : Với giá trị nào của m bất phương trình sau đúng với mọi x ∈ [−5; 1]

4√

5−4x−x2+ 21+

√5−4x−x2 ≤ m.

Bài 5.117 : Cho phương trình 9x − m3x+ 2m = 0.

1. Giải phương trình với m = −1; 2. Tìm m để phương trình trên có nghiệm.

Bài 5.118 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số

y =√

1+ sinx +√

1+ cosx.

Bài 5.119 : Cho phương trìnhcos6 x + sin6 x

cos2 x − sin2 x= m tan 2x.

1. Giải phương trình khi m =138

; 2. Tìm m để phương trình vô nghiệm.

Bài 5.120 : Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm thuộc (0; 1)

4(log2

√x)2 − log1

2x + m = 0.

Bài 5.121 : Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm :

4x − m.2x − m + 3 ≤ 0

Bài 5.122 : Tìm m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn�0;π

2

�2(sin4 x + cos4 x) + cos 4x + 2 sin 2x + m = 0.

Bài 5.123 : Tìm a để phương trình sau đây có 4 nghiệm phân biệt :

2|x2 − 5x + 4| = x2 − 5x + a.

Bài 5.124 : Tìm m để :√

3+ x +√

6− x −√

18+ 3x − x2 ≤ m2 − m + 1 nghiệm đúng với mọi x ∈ [−3; 6].

Bài 5.125 : Tìm a để bất phương trình : x3+ 3x2 − 1 ≤ a(

√x −√

x − 1)3 có nghiệm.

Bài 5.126 : Tìm a để : x√

x +√

x + 12= m(√

5− x +√

4− x) có nghiệm.

Bài 5.127 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm

m(√

1+ x2 −√

1− x2 + 2) = 2√

1− x4 +√

1+ x2 −√

1− x2


log23 x +

Èlog2

3 x + 1− 2m − 1 = 0.

1. Giải phương trình khi m = 2;

2. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; 3√

3].

Bài 5.129 : Tìm m để phương trình 3√m − x +√

x + 2 = 1 có đúng 3 nghiệm thực phân biệt.

5.2 Cực trị của hàm số



WWW.VNMATH.COM


Vấn đề 1 : Sử dụng dấu hiệu 1 và dấu hiệu 2 để xác định các điểm cực trị của hàm số

Bài 5.130 : Xác định các điểm cực trị của các hàm số sau :

1. y = −2x + 3√

x2 + 1;

2. y =3x + 14

(x − 2)(x + 3);

3. y =2x2+ 3x + 1

x2 − 4x + 3;

4. y = x3(1− x2);

5. y = 1− 2√

4x − x2;

6. y =x2

√1− x2

;

7. y = |x|(x − 2);

8. y = cosx +12

cos 2x;

9. y =√

3 sinx + cosx +2x + 3

2.

Bài 5.131 : Tìm cực trị của các hàm số :

1. y = x√

3− x ;

2. y =x

x2 + 4;

3. y = 3x4 − 4x3 − 24x2+ 48x − 3 ;

4. y = x2 − 2|x| + 2 ;

5. y = xe−3x ;

6. y =x

ln x;

Bài 5.132 : Tìm cực trị của hàm số y = sin2 x −√

3 cosx, x ∈ [0; π].

Bài 5.133 : Cho m là số nguyên dương, hãy tìm cực trị của hàm số : y = xm(4− x)2.

Vấn đề 2 : Điều kiện của tham số để hàm số đạt cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) tại x = x0 hoặc đồ thị hàm sốđạt cực trị tại điểm (x0; y0)

�Chúng ta làm theo phương pháp điều kiện cần và đủ :

Bước 1 : Giả sử hàm số đạt cực trị tại x = x0 suy ra f ′(x0) = 0, tìm được tham số m.

Bước 2 : Với từng giá trị của m vừa tìm được, thử lại xem x0 có đúng là điểm cực trị (cực đại hoặc cực tiểu).

Bước 3 : Kết luận.

Chú ý :

• Có thể dùng dấu hiệu 2 để kiểm tả tại bước 2;

• Một số lời giải sai lầm là dùng trực tiếp dấu hiệu 2 để giải bài toán trên, chẳng hạn hàm số đạt cực đại tại

x = x0 khi và chỉ khi

8<: f ′(x0) = 0

f ”( x0) < 0,là lời giả sai lầm, ví dụ hàm số y = x4 đạt cực tiểu tại x = 0, nhưng

f ′′(0) = 0 chứ không phải là f ′′(0) < 0.

Bài 5.134 : Tìm m để hàm số : y = x3 − 3mx2+ (m2 − 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2.

Bài 5.135 : Xác định các số a, b, c để hàm số : y = x3+ ax2

+ bx + c có giá trị 0 khi x = 1 và đạt cực trị 0 khi x = −1.



WWW.VNMATH.COM


Bài 5.136 : Xác định hàm số bậc ba y = f (x), biết rằng nó có cực tiểu 2 khi x = 1 và nếu đem chia f (x) cho x2+ 3x + 2

thì còn dư −x + 3.

Bài 5.137 : Cho hàm số : y = x3 − (m + 3)x2+ mx + m + 5. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.

Bài 5.138 : Cho hàm số y = (x − m)3 − 3x. Tìm m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 0.

Bài 5.139 : Tìm a và b để các cực trị của hàm số y =53

a2x3+ 2ax2 − 9x + b đều là những số dương và x0 = −

59

là điểm

cực đại.

Bài 5.140 : Cho hàm số y = x3 − 3mx2+ 3(m2 − 1)x − (m2 − 1). Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 1.


x3+ (m2 − m + 2)x2

+ (3m2+ 1)x + m − 5 đạt cực tiểu tại x = −2.

Bài 5.142 : Cho hàm số y = a sinx +13

sin 3x. Tìm a để hàm số đạt cực trị tại x =π

3.

Bài 5.143 : Cho hàm số y =x2+ mx + 1x + m

. Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 2.

Bài 5.144 : Tìm a, b để hàm số y =ax2+ bx + abbx + a

đạt cực tiểu tại x = 0 và cực đại tại x = 4.

Bài 5.145 : Tìm a, b đẻ hàm số y =14

x4 − ax2+ b có giá trị cực trị bằng −2 khi x = 1.

Vấn đề 3 : Tìm điều kiện để hàm số có cực trị và thỏa mãn một vài điều kiện

�1. Cực trị hàm bậc 3 : y = ax3

+ bc2+ cx + d (a , 0)

Hàm số có cực trị (hoặc hai điểm cực trị) khi và chỉ khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt. Khi đó hoành độ hai

điểm cực trị là nghiệm của phương trình y′ = 0.

2. Cực trị hàm bậc 4 : y = ax4+ bx3

+ cx2+ dx + e (a , 0)

- Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y′ = 0 có 3 nghiệm phân biệt;

- Khi viết được y′ = (x − x0)P(x) với P(x) là đa thức bậc 2, khi đó hàm số có 1 điểm cực trị khi và chỉ khi y′ = 0 đổi dấu 1

lần, tương đương với P(x0) = 0 hoặc ∆P(x) ≤ 0.

Chú ý : Hàm bậc 4 có số điểm cực tiểu nhiều hơn cực đại thì a > 0 và số điểm cực đại nhiều hơn cực tiểu thì a < 0.

3. Cực trị của hàm phân thức : y =ax2+ bc + c

dx + e(a và d khác 0)

Hàm số có cực trị (hoặc hai điểm cực trị) khi và chỉ khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt. Khi đó hoành độ hai

điểm cực trị là nghiệm của phương trình y′ = 0.

Chú ý :

- Với bài toán yêu cầu cụ thể điểm nào là điểm cực đại, điểm nào là điểm cực tiểu thì ta cần lập bảng biến thiên để xác định

điểm cực trị.

- Với bài toán có vai trò của điểm cực đại và điểm cực tiểu là như nhau thì ta thường dùng định lí Viét.

Bài 5.146 : Chứng minh rằng hàm số y = x3 − 3mx2+ (m − 1)x + 2 có cực trị với mọi giá trị của m.


x3+ mx2

+ (m + 6)x − (2m + 1) có cực đại, cực tiểu.



WWW.VNMATH.COM


Bài 5.148 : Tìm m để hàm số : y = (m + 2)x3+ 3x2

+ mx − 5 có cực đại, cực tiểu.

Bài 5.149 : Cho hàm số : y = x3 − 3mx2+ 2. Với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại và cực tiểu.

Bài 5.150 : Cho hàm số y = mx3+ 3mx2 − (m − 1)x − 1. Với những giá trị nào của m thì hàm số không có cực trị.

Bài 5.151 : Chứng minh rằng : với mọi m, hàm số y = 2x3 − 3(2m + 1)x2+ 6m(m + 1)x + 1 luôn đạt cực trị tại x1, x2 với

x2 − x1 không phụ thuộc vào m.


x3+ (m − 2)x2

+ (5m + 4)x + m2+ 1 đạt cực trị tại x1 < −1 < x2.


x3+ (m + 3)x2

+ 4(m + 3)x + m2 − m đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn −1 < x1 < x2.

Bài 5.154 : Cho hàm số : y = 2x3 − 3(m + 2)x2+ 6(5m + 1)x − (4m3

+ 2). Tìm m để hàm số có :

1. đúng một điểm cực trị lớn hơn 1.

2. hai điểm cực trị nhỏ hơn 2.

3. ít nhất một điểm cực trị (−1; 1).

4. ít nhất một điểm cực trị lớn hơn 9.

5. ít nhất một điểm cực trị có giá trị tuyệt đối lớn hơn 4.

Bài 5.155 : Cho hàm số y = x3− (m− 3)x2+ (4m− 1)x−m. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại các điểm x1, x2 thoả mãn điều

kiện x1 < −2 < x2.

Bài 5.156 : Cho hàm số y =13

x3 − (m − 1)x2+ 3(m − 2)x +

13

.

Với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại, cực tiểu lần lượt là x1, x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = 1.

Bài 5.157 : Chứng minh rằng với mọi a, hàm số :

y = 2x3 − 3(2a + 1)x2+ 6a(a + 1)x + 1

luôn đạt cực trị tại x1, x2. Tìm a sao cho các giá trị cực trị tương ứng y1, y2 thỏa mãn y1 + y2 = 1.

Bài 5.158 : Cho hàm số : y = mx3 − 3mx2+ (2m + 1)x + 3− m. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại và cực

tiểu. Chứng minh rằng khi đó đường thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 5.159 : Giả sử hàm số : y =23

x3+ (cosa − 3 sina)x2 − 8(cos 2a + 1)x + 1 đạt cực trị tại x1, x2. Chứng minh rằng :

x21 + x2

2 ≤ 18 với mọi a.


x3 − 12

(sina + cosa)x2+

3x4

sin 2a. Tìm a để hàm số đạt cực trị tại các điểm x1, x2 thỏa

mãn : x1 + x2 = x21 + x2

2.


x3+ (m + 1)x2

+ (m2+ 4m + 3)x.

1. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.

2. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất một điểm lớn hơn 1.

3. Gọi các điểm cực trị là x1, x2. Tìm max của A = |x1x2 − 2(x1 + x2)|.

Bài 5.162 : Tìm m để đồ thị hàm số y =13

x3 − mx2 − x + m + 1 có khoảng cách giữa các điểm cực trị là nhỏ nhất.

Bài 5.163 : Tìm m để hàm số y =13

x3 − mx2+ mx − 1 đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn |x1 − x2| ≥ 8.



WWW.VNMATH.COM


Bài 5.164 : Tìm a để các điểm cực trị của đồ thị hàm số : y = x3 − 3ax2+ 4a3 đối xứng qua đường thẳng y = x.

Bài 5.165 : Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số :

y = x3 − 3(m − 1)x2+ 2(m2 − 3m + 2)x − m(m − 1).

Bài 5.166 : Cho hàm số y = 4x3 − mx2 − 3x + m. Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn có cực đại, cực tiểu, đồng thời

hoành độ điểm cực đại, cực tiểu của hàm số là trái dấu.

Bài 5.167 : Cho hàm số y = mx3 − 3mx2+ (2m + 1)x + 3− m. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu.

Chứng minh rằng khi đó đường thẳng nối hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 5.168 : Cho hàm số y = x3+ 2(m − 1)x2

+ (m2 − 4m + 1)x − 2(m2+ 1). Tìm m để hàm số đạt cực trị tại hai điểm x1, x2

sao cho :1x1+

1x2=

12

(x1 + x2).

Bài 5.169 : Cho hàm số y = x3 − 3x2 − mx + 2. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đồng thời hai điểm cực đại, cực

tiểu của đồ thị hàm số cách đều đường thẳng y = x − 1.

Bài 5.170 : Tìm m để đồ thị hàm số : y = 2x3+ 3(m − 1)x2

+ 6m(1− 2m)x có các điểm cực đại, cực tiểu nằm trên đường

thẳng y = −4x.

Bài 5.171 : Tìm m để đồ thị hàm số : y = x3+ mx2

+ 7x + 3 có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị vuông góc với đường

thẳng y = 3x − 7.

Bài 5.172 : Tìm m để đồ thị hàm số y = x3+ 3(m − 1)x2

+ (2m2 − 3m + 2)−m(m − 1) có đường thẳng đi qua hai điểm cực

trị tạo với đường thẳng y = −14

x + 5 một góc 45◦.

Bài 5.173 : Tìm m để đồ thị hàm số y = x3−3x2+m2x+m có các điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng y =

12

x− 52

.

Bài 5.174 : Tìm m để đồ thị hàm số y = 2x3−3(3m+1)x2+12(m2

+m)x+1 có cực đại, cực tiểu. Viết phương trình đường

thẳng đi qua hai điểm cực trị đó.

Bài 5.175 : Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − 3(m + 1)x2+ 2(m2

+ 7m + 2)x − 2m(m + 2) có cực đại, cực tiểu. Viết phương

trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó.

Bài 5.176 : Tìm m để đồ thị hàm số y = 2x3− 3(2m + 1)x2+ 6m(m+ 1)x+ 1 có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường

thẳng y = x + 2.

Bài 5.177 : Tìm m để đồ thị hàm số y = mx3 − 3mx2+ (2m + 1)x + 3 − m có cực đại, cực tiểu. Chứng minh rằng, khi đó

đường thẳng đi qua hai điểm cực trị luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 5.178 : Tìm m để đồ thị hàm số y = x3+ mx2

+ 2 có cực đại, cực tiểu. Chứng minh rằng, khi đó đường thẳng đi qua

hai điểm cực trị luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 5.179 : Tìm m để đồ thị hàm số y = mx3 − x2+ 2x − 8m có cực đại, cực tiểu. Chứng minh rằng, khi đó đường thẳng đi

qua hai điểm cực trị luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 5.180 : Tìm m để độ thị hàm số y = x3 − (2m + 1)x2+ (3m + 1)x − m − 1 có đường thẳng đi qua hai đường thẳng cực

trị tạo với đường thẳng y =1913

x + 1 một góc 45◦.

Bài 5.181 : Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = x3+ 3mx2 − 3x − 3m + 2 luôn có cực đại, cực tiểu. Tìm m để cực đại, cực

tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y =x4− 1

4.

Bài 5.182 : Tìm a để hàm số y =43

x3 − 2(1− sina)x2+ (1+ cos 2a)x + 1 đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn : x2

1 + x22 = 1.


x3 − 12

(sina + cosa)x2+

3 sin 2a3

x.



WWW.VNMATH.COM


1. Tìm a để hàm số đồng biến trên R.

2. Tìm a để hàm số đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = x21 + x2

2.

Bài 5.184 : Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − 3m2

x2+ m có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng

y = x.

Bài 5.185 : Tìm m để hàm số y =mx2+ (2− m2)x − (2m + 1)

x − mcó cực trị.

Bài 5.186 : Cho hàm số y =x2 − 2x + m + 2

x + m − 1. Viết phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số trên.

Bài 5.187 : Tìm m để các hàm số sau có cực trị :

1. y =x2+ 2m2x + m2

x + 1;

2. y =x2+ (m + 1)x − m

x + 1;

3. y =x2+ 2mx − m

x + m;

4. y =x2+ (m − 1)x − m

x + 1;

5. y =x2+ (m + 2)x + 3m + 2

x + 1;

6. y =mx2+ (m + 1)x + 1

mx + 2.

Bài 5.188 : Cho hàm số y =−x2+ mx − m2

x − m. Tìm m để đồ thị hàm số có cực trị, viết phương trình đường thẳng qua các

điểm cực trị trên.

Bài 5.189 : Tìm α để các hàm số sau có cực đại, cực tiểu.

1. y =x2+ 2x cosα + 1x + 2 sinα

; 2. y =x2 cosα + x + sin2α cosα + sinα

x + cosα.

Bài 5.190 : Tìm tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số sau : y =(x − a cosα)(x − a sin2α)

xvới a > 0 và α ∈

�0;π

2

�.

Bài 5.191 : Tìm m để hàm số y =x2+ mx − 2m − 4

x + 2có cực đại và cực tiểu.

Bài 5.192 : Tìm m để hàm số : y =2m2x2

+ (2− m2)(mx + 1)mx + 1

có cực trị.

Bài 5.193 : Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số y =x2+ mx − 8x − m

.

Bài 5.194 : Tìm m , −1 để hàm số y =(m + 1)x2 − 2mx − (m3 − m2 − 2)

x − mcó cực trị thuộc khoảng (0; 2).

Bài 5.195 : Tìm a, b, c để y =ax2+ bx + cx − 2

có cực trị bằng 1 khi x = 1 và đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số vuông

góc với đường thẳng y =1− x

2.

Bài 5.196 : Tìm m > 0 để hàm số y =x2+ m2x + 2m2 − 5m + 3

xđạt cực trị tại x0 ∈ (0; 2m).

Bài 5.197 : Tìm m để đồ thị hàm số y =2x2+ (m − 2)xx − 1

có cực trị và tìm quỹ tích hai điểm cực trị đó.

Bài 5.198 : Cho hàm số y =x2+ mx − m − 1

x + 1. Tìm m để đồ thị hàm số trên có cực trị. Tìm quỹ tích các điểm cực trị đó.

Bài 5.199 : Tìm m để hàm số y =−x2+ 3x + mx − 4

có |ycđ − yct| = 4.

Bài 5.200 : Tìm m để hàm số y =2x2+ 3x + m − 2

x + 2có |ycđ − yct| < 12.

Bài 5.201 : Tìm m để hàm số y =x2 − (m + 1)x − m2

+ 4m − 2x − 1

có cực trị và ycđ.yct nhỏ nhất.

Bài 5.202 : Cho hàm số y =x2 − mx + m

x − 1. Chứng minh rằng với mọi m đồ thị hàm số có cực trị và khoảng cách giữa hai

điểm cực trị không đổi.



WWW.VNMATH.COM


Bài 5.203 : Tìm m để đồ thị hàm số y =mx2+ 3mx + (2m + 1)

x − 1có cực trị nằm hai phía Ox.

Bài 5.204 : Tìm m để đồ thị hàm số y =x2+ (m + 1)x − m + 1

x − mcó cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía Ox.

Bài 5.205 : Tìm m để đồ thị hàm số y =−x2+ 2mx − 5x − 1

có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đường thẳng y = 2x.

Bài 5.206 : Cho hàm số : y =x2+ 3x + ax + 1

.

1. Với những giá trị nào của tham số a thì đồ thị hàm số ấy có tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác thứ nhất của

hệ trục tọa độ.

2. Chứng minh rằng khi đó, đồ thị của hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu.

Bài 5.207 : Với giá trị nào của m thì hàm số : y =x2+ 2m2x + m2

x + 1có cực đại và cực tiểu.

Bài 5.208 : Cho hàm số : y =2m2x2

+ (2− m2)(mx + 1)mx + 1

. Chứng minh rằng với mọi m , 0 hàm số luôn có cực đại và cực

tiểu.

Bài 5.209 : Cho hàm số y =x2 − 2kx + k2

+ 1x − k

. Chứng minh rằng với mọi k, hàm số luôn có giá trị cực đại, cực tiểu trái

dấu.

Bài 5.210 : Cho hàm số : y =x2 − (3m + 2)x + m + 4

x − 1. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đồng thời khoảng cách

giữa hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số nhỏ hơn 3.

Bài 5.211 : Cho hàm số y =x2+ mx + 3x + 1

. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đồng thời hai điểm cực đại, cực tiểu

của đồ thị hàm số nằm về hai phía của đường thẳng 2x + y − 1 = 0.

Bài 5.212 : Cho hàm số y =x2 − (m + 3)x + 3m + 1

x − 1. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các giá trị cực đại, cực tiểu

của hàm số cùng âm.

Bài 5.213 : Cho hàm số : y = x4+ 4mx3

+ 3(m+ 1)x2+ 1. Với giá trị nào của m thì hàm số chỉ có cực tiểu và không có cực

đại.

Bài 5.214 : Cho hàm số : y = x4+ (m + 3)x3

+ 2(m + 1)x2. Chứng minh rằng : với mọi m , −1 hàm số luôn có cực đại,

đồng thời xcđ ≤ 0.

Bài 5.215 : Cho hàm số : y = x4+ 8ax3

+ 3(2a + 1)x2 − 4. Với giá trị nào của a thì hàm số chỉ có cực tiểu và không có cực

đại.


x4 − mx2+

12

.

1. Xác định m để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại.

2. Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác :

(a) đều ; (b) vuông ; (c) có diện tích bằng12

.

Bài 5.217 : Cho hàm số y = x4 − 2mx2+ m − 1. Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều.

Bài 5.218 : Tìm m để đồ thị hàm số : y = x4 − 2mx2+ 2m + m4 có ba điểm cực trị lập thành tam giác đều.

Bài 5.219 : Chứng minh rằng : hàm số y = x4+ mx3

+ mx2+ mx + 1 không thể có đồng thời cực đại và cực tiểu với mọi

m ∈ R.



WWW.VNMATH.COM


Bài 5.220 : Chứng minh rằng : x4+ px3

+ q ≥ 0∀x ∈ R⇔ 256q ≥ 27p4.

Bài 5.221 : Tìm m để hàm số : y = x4 − 4x3+ x2+ mx − 1 có cực đại và cực tiểu.

Bài 5.222 : Cho hàm số : y = x4+ 2x3

+ mx2. Tìm m để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại.

Bài 5.223 : Tìm m để y = −x4 − 8mx3 − 3(2m + 1)x2+ 4 chỉ có cục đại mà không có cực tiểu.


x4 − mx2+

32

chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.

Bài 5.225 : Tìm m để y = mx4+ (m − 1)x2

+ (1− 2m) chỉ có đúng một cục trị.

Bài 5.226 : Cho hàm số : y = 3x4+ 4mx3

+ 6mx2+ 24mx + 1.

1. Biện luận theo m số cực trị của hàm số.

2. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x0 ∈ [−2; 2].


x4 − 2x3+

32

(m + 2)x2 − (m + 6)x + 1. Tìm m để hàm số có ba cực trị.

Bài 5.228 : 1. Chứng minh rằng : x4+ px + q ≥ 0∀x ∈ R⇔ 256q3 ≥ 27p4.

2. Cho 256q3 ≥ 27p4. Chứng minh rằng : qx4+ px3

+ 1 ≥ 0 ∀x ∈ R.

Bài 5.229 : Chứng minh rằng : y = 2x4− 6mx2+ (m2

+ 1)x+ 3m2 luôn có ba cực trị, đồng thời gốc tọa độ là trọng tâm của

tam giác tạo bởi ba đỉnh là ba cực trị đó.

5.3 Tiệm cận

Vấn đề 1 : Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số

�1. Nếu y =

P(x)Q(x)

, với P(x),Q(x) là các đa thức.

(a) Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x = x0 thì đường thẳng x = x0 là đường tiệm cận đứng.

(b) Nếu P(x) và Q(x) có bậc bằng nhau thì đường thẳng y =hệ số cao nhất của P(x)hệ số cao nhất của Q(x)

.

(c) Nếu bậc của P(x) bằng bậc của Q(x) cộng 1 thì đồ thị hàm số có một đường tiệm cận xiên (là thương khi chia

tử cho mẫu).

2. Để xác định hệ số a, b trong đường tiệm cận xiên y = ax + b với a , 0 của đồ thị hàm số y = f (x) ta làm bước sau :

(a) a = limx→+∞

f (x)x

, và b = limx→+∞

( f (x) − ax) ;

(b) hoặc a = limx→−∞

f (x)x

, và b = limx→−∞

( f (x) − ax).

Chú ý rằng nếu ở trên ta tính được a = 0 thì đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên mà chỉ có tiệm cận ngang y = b.

Bài 5.230 : Tìm tiệm cận của các hàm số sau:



WWW.VNMATH.COM


1. y =x + 1

2x + 1;

2. y =2x2 − 1

x2 − 3x + 2;

3. y = 4+1

x − 2;

4. y = 2x − 1− 3x + 2

;

5. y =2x2+ x + 1

x + 1;

6. y =√

x2 − 1;

7. y =

√x + 3

x + 1;

8. y =√

x2 − x + 1;

9. y = x +√

x2 + 2x.

Bài 5.231 : Cho đồ thị các hàm số :

a) y =3x2+ x + 1

x − 1; b) y =

x2 − 4x + 52x + 1

; c) y =−x2+ x − 1

x + 3.

1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi tiệm cận xiên đồ thị các hàm số trên chắn trên hai trục tọa độ.

2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2 với các tiệm cận của đồ thị các hàm số

trên.

Bài 5.232 : Cho hàm số y =2x + 1x − 2

có đồ thị (C)1. M là một điểm tùy ý trên (C). Tiếp tuyến với (C) tại M cắt tiệm cận

ngang và tiệm cận đứng tại A và B.

1. Chứng minh rằng M là trung điểm của AB.

2. Chứng minh rằng khi M di động trên (C) thì tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi.

3. Chứng minh không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua giao điểm của hai tiệm cận.

Bài 5.233 : Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số y =x + 1x − 1

sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai tiệm cận một tam giác có

diện tích nhỏ nhất.

Vấn đề 2 : Các bài toán về tiệm cận có tham số

�

1. Đồ thị hàm số y =ax + bcx + d

=ac+

rcx + d

(với a và c khác 0) có tiệm cận đứng (ngang) khi và chỉ khi r , 0. Khi đó

y =ac

là đường tiệm cận ngang và x = −dc

là đường tiệm cận đứng.

2. Đồ thị hàm số y =ax2+ bx + c

dx + e= px + q +

rdx + e

(với a và d khác 0) có tiệm cận đứng (xiên) khi và chỉ khi r , 0.

Khi đó y = px + q là đường tiệm cận xiên và x = − ed

là đường tiệm cận đứng.

Bài 5.234 : Tìm m để hàm số y =x2

x − mcó tiệm cận.

Bài 5.235 : Tìm m để đồ thị hàm số y =2x2 − 3x + m

x − mkhông có tiệm cận đứng.

Bài 5.236 : Tìm m để hàm số y =mx2+ 6x − 2x + 2

không có tiệm cận đứng.

1Các khẳng định của bài này đúng cho mọi hàm số phân thức y =ax + bcx + d

và y =ax2+ bx + c

dx + e



WWW.VNMATH.COM


Bài 5.237 : Tìm a để y =−x2+ x + a

x + acó tiệm cận xiên đi qua A(2; 0).

Bài 5.238 : Cho hàm số y =x2+ mx − 1x − 1

. Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên và tiệm cận xiên tạo với hai trục tọa

độ một tam giác có diện tích bằng 8.

Bài 5.239 : Cho hàm số y =x2+ 2x cosα + 1x + 2 sinα

, với α ∈ [0; π].

1. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

2. Tìm α để khoảng cách từ gốc tọa độ đến tiệm cận xiên đạt giá trị lớn nhất.

Bài 5.240 : Cho hàm số y =mx2+ (3m2 − 2)x − 2

x + 3mcó đồ thị là (C).

1. Tìm m để góc giữa hai đường tiệm cận của (C) bằng 45◦.

2. Tìm m để (C) có tiệm cận xiên cắt hai trục tọa độ tại A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4.

5.4 Tâm đối xứng và trục đối xứng. Điểm thuộc đồ thị

Vấn đề 1 : Tâm đối xứng, trục đối xứng

�1. Điểm M(x0; y0) thuộc đồ thị hàm số y = f (x) nên y0 = f (x0).

2. Hai điểm M,N đối xứng qua điểm I khi và chỉ khi I là trung điểm MN, tức là

8><>:xI =xM + xN

2yI =

yM + yN

2.

3. Hai điểm M,N đối xứng nhau qua đường thẳng ∆ khi và chỉ khi

8<:MN⊥−→u ∆Trung điểm I của MN thuộc ∆.

Bài 5.241 : Tìm m để trên đồ thị hàm số y =x2+ 2m2x + m2

x + 1có hai điểm đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.

Bài 5.242 : Tìm m để trên đồ thị hàm số y = x3+ mx2

+ 9x + 4 có hai điểm đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.

Bài 5.243 : Tìm trên đồ thị hàm số y =3x + 42x − 1

các cặp điểm đối xứng nhau qua điểm I(1; 1).

Bài 5.244 : Tìm trên đồ thị hàm số y =x2+ x + 2x − 1

các cặp điểm đối xứng nhau qua điểm I�

0;52

�.

Bài 5.245 : Tìm trên đồ thị hàm số y =x2

x − 1các cặp điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d : y = x − 1.

Vấn đề 2 : Khoảng cách

�

1. MN =È

(xM − xN)2 + (yM − yN)2;

2. M(x0; y0) và ∆ : Ax + By +C = 0 thì d(M,∆) =|Ax0 + By0 +C|√

A2 + B2.



WWW.VNMATH.COM


Bài 5.246 : Cho hàm số : y = x3 − 3x2+ 1 có đồ thị (C).

1. Tìm hai điểm trên (C) đối xứng nhau qua điểm A(0;−2).

2. Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng y = x − 1 là bằng√

2, biết điểm M có tung độ

dương.

Bài 5.247 : Tìm điểm M thuộc parabol (P) : y = x2 − 1 để OM đạt giá trị nhỏ nhất. Chứng minh rằng khi đó đường thẳng

OM vuông góc với tiếp tuyến của (P) tại M.

Bài 5.248 : Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số y =3x − 5x − 2

để tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất.

Bài 5.249 : Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số y =x2+ 2x − 1x − 2

để tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là nhỏ

nhất.

Bài 5.250 : Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số y =x − 1x + 1

để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 5.251 : Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số y =x2+ x − 6x − 3

để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ đạt giá trị nhỏ

nhất.

Bài 5.252 : Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị hàm số y =4x − 9x − 3

các điểm M,N để độ dài MN nhỏ nhất.

Bài 5.253 : Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị hàm số y =−x2+ 2x − 5x − 1

các điểm M,N để độ dài MN nhỏ nhất.

Bài 5.254 : Cho đồ thị hàm số y =x2+ 5x + 15x + 3

(C).

1. Tìm trên (C) các điểm có tọa độ nguyên.

2. Tìm trên (C) các điểm M để khoảng cách từ M đến Ox bằng 2 lần khoảng cách từ M đến Oy.

5.5 Biện luận số nghiệm của phương trình, bất phương trình bằng phương pháp đồ thị

+ Hai điểm M0(x0; y0) và M1(−x0;−y0) đối xứng nhau qua gốc toạ độ.

+ Hai điểm M0(x0; y0) và M2(x0;−y0) đối xứng nhau qua trục hoành.

+ Hai điểm M0(x0; y0) và M3(−x0; y0) đối xứng nhau qua trục trục tung.

Vẽ đồ thị hàm số

y = f (x) =(x + 1)(x − 3)

x − 2. (C0)



WWW.VNMATH.COM


12345678

−1−2−3−4−5−6−7

1 2 3 4 5 6−1−2−3−4x

y

O

y = (x+1)(x−3)x−2

Từ đó hãy vẽ các đồ thị các hàm số sau:

y = − f (x) = − (x + 1)(x − 3)x − 2

. (C1)

Từ (C0) chuyển sang (C1) bằng cách lấy đối xứng (C0) qua trục hoành.

123456

−1−2−3−4−5−6−7−8−9

1 2 3 4 5 6−1−2−3−4x

y

O

y = − (x+1)(x−3)x−2

y = | f (x)| =��(x + 1)(x − 3)

x − 2

�� = 8<: f (x) nếu f (x) ≥ 0 (ở phía trên trục hoành)

− f (x) nếu f (x) < 0.(C2)

Từ (C0) chuyển sang (C2) bằng cách giữ nguyên phần nằm trên trục hoành, lấy đối xứng phần dưới trục hoành của (C0) qua

trục hoành.



WWW.VNMATH.COM


12345678

−1−2−3−4−5−6−7

1 2 3 4 5 6−1−2−3−4x

y

O

y =�� (x + 1)(x − 3)

x − 2

��

y = f (|x|) = (|x| + 1)(|x| − 3)|x| − 2

=

8<: f (x) nếu x ≥ 0 (ở bên phải trục tung)

f (−x) nếu x < 0.(C3)

Từ (C0) chuyển sang (C3) bằng cách giữ nguyên phần nằm bên phải trục tung, lấy đối xứng phần bên phải trục tung của

(C0) qua trục tung.

12345678

−1−2−3−4−5−6−7

1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6−7x

y

O

y = (|x|+1)(|x|−3)|x|−2

y =|(x + 1)|(x − 3)

x − 2=

8<: (x+1)(x−3)x−2 = f (x) nếu x ≥ −1 (ở bên phải x = −1)

− (x+1)(x−3)x−2 = − f (x) nếu x < −1.

(C4)

Từ (C0) chuyển sang (C4) bằng cách giữ nguyên phần nằm bên phải đường thẳng x = 1, lấy đối xứng phần bên trái đường

thẳng x = 1 của (C0) qua trục hoành.



WWW.VNMATH.COM


12345678

−1−2−3−4−5−6−7

1 2 3 4 5 6−1−2−3−4x

y

O

y = |x+1|(x−3)x−2

y =(x + 1)|x − 3|

x − 2=

8<: (x+1)(x−3)x−2 = f (x) nếu x ≥ 3 (ở bên phải x = 3)

− (x+1)(x−3)x−2 = − f (x) nếu x < 3.

(C5)

Từ (C0) chuyển sang (C5) bằng cách giữ nguyên phần nằm bên phải đường thẳng x = −2, lấy đối xứng phần bên trái đường

thẳng x = −2 của (C0) qua trục hoành.

12345678

−1−2−3−4−5−6−7

1 2 3 4 5 6−1−2−3−4x

y

O

y = (x+1)|x−3|x−2

y =(x + 1)(x − 3)|x − 2| =

8><>: (x + 1)(x − 3)x − 2

= f (x) nếu x ≥ 2 (ở bên phải x = 2)

− (x + 1)(x − 3)x − 2

= − f (x) nếu x < 2.(C6)

Từ (C0) chuyển sang (C6) bằng cách giữ nguyên phần nằm bên phải đường thẳng x = −1, lấy đối xứng phần bên trái đường

thẳng x = −1 của (C0) qua trục hoành.



WWW.VNMATH.COM


12345678

−1−2−3−4−5−6−7

1 2 3 4 5 6−1−2−3−4x

y

O

y = (x+1)(x−3)|x−2|

Chú ý : Với hàm số y = u(x).v(x) (C) hoặc y =u(x)v(x)

muốn vẽ đồ thị các hàm số y = |u(x)|v(x) (C1) hoặc y =u(x)|v(x)| . Ta giữ

nguyên đồ thị (C) trong miền làm cho u(x) > 0 hoặc v(x) > 0, (tương ứng). Lấy đố xứng phần còn lại qua trục hoành.

Bài 5.255 : Biện luận theo m số nghiệm phương trình : x3+ 3x2

+ m = 0.

Bài 5.256 : Cho hàm số y =(x − 1)2

x + 2có đồ thị (C).

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) ;

2. Biện luận theo m số nghiệm phương trình(x − 1)2

|x + 2| = m.

Bài 5.257 : Cho hàm số y = x3 − 3x2+ 2 có đồ thị (C).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) ;

2. Biện luận theo k cố nghiệm phương trình x2 − 2x − 2 =k

|x − 1| .

Bài 5.258 : Cho hàm số y =x2+ x − 3x + 2

.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ;

2. Biện luận theo m số nghiệm phương trình :

t4 + (1− m)t2 − 3− 2m = 0.

Bài 5.259 : 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y =x2+ x + 1x + 1

;

2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x2+ (1− m)|x| + 1− m = 0.

Bài 5.260 : Tìm m để phương trình : |x4 − 2x2 − 1| = log2 m có 6 nghiệm phân biệt.

Bài 5.261 : 1. Khảo sát và vẽ đò thị hàm số y =2x − 1x + 2

;

2. Tìm các giá trị của m để phương trình2 sinx − 1sinx + 2

= m có đúng 2 nghiệm trên [0; π].

Bài 5.262 : 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = −x4+ 2x2

+ 3 ;

2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x4 − 2x2= m4 − 2m2 ;



WWW.VNMATH.COM


Bài 5.263 : Cho hàm số y = (x + 1)2(2− m).

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên ;

2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :

(x + 1)2(2− x) = (m + 1)2(2− m).

5.6 Bài toán về sự tương giao

Bài 5.264 : 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =2x − 1x + 1

.

2. Với giá trị nào của m, đường thẳng dm đi qua điểm A(−2; 2) và có hệ số góc m cắt đồ thị hàm số đã cho

(a) Tại hai điểm phân biệt ? (b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị ?

Bài 5.265 : 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y =x + 2

2x + 1.

2. Chứng minh rằng đường thẳng y = mx + m − 1 luôn đi qua một điểm cố định của đường cong (C) khi m biến thiên.

3. Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng đã cho cắt (C) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của (C).

Bài 5.266 : 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =2x2 − x + 1

x − 1.

2. Với giá trị nào của m đường thẳng y = m − x cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt ?

3. Gọi A và B là hai giao điểm đó. Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng AB khi m biến thiên.

Bài 5.267 : Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − 3(m + 1)x2+ 2(m2

+ 4m + 1)x − 4m(m + 1) cắt trục hoành tại ba điểm phân

biệt có hoành độ lớn hơn 1.

Bài 5.268 : Chứng minh rằng đồ thị hàm số y =x2+ 2x

x + 1và đường thẳng y = −x − 3 cắt nhau tại hai điểm phân biệt đối

xứng với nhau qua đường thẳng y = x.

Bài 5.269 : Cho hàm số y =x2+ 3

x + 1có đồ thị (C). Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm

�2;

25

�sao cho d cắt (C)

tại hai điểm phân biệt A và B sao cho M là trung điểm đoạn AB.

Bài 5.270 : Cho hàm số y =x2+ mx − 8x − m

có đồ thị (C). Tìm m để (C) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A và B sao cho

tiếp tuyến với (C) tại A và B vuông góc với nhau.

Bài 5.271 : Cho đường cong y = x3− x2+18mx−2m. Tìm m để đường cong cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành

độ x1, x2, x3 sao cho x1 < 0 < x2 < x3.

Bài 5.272 : Cho hàm số y =x2+ x − 1x − 1

có đồ thị (C). Tìm m để (C) cắt đường thẳng y = −x + m tại hai điểm phân biệt A

và B. Chứng minh rằng khi ấy A, B thuộc cùng một nhánh của đồ thị (C).

Bài 5.273 : Cho y =−x2+ x + 1

x − 1có đồ thị (C). Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng y = m luôn cắt (C) tại hai điểm

phân biệt A, B. Tìm m để A, B ngắn nhất.

Bài 5.274 : Cho hàm số y =2x2 − 3x

x − 2có đồ thị (C). Tìm k để đường thẳng y = 2kx− k cắt (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh

của (C).

Bài 5.275 : Cho hàm số y =x2+ 4x + 1x + 2

có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng y = mx + 2− m cắt (C) tại hai điểm thuộc

cùng một nhánh của (C).



WWW.VNMATH.COM


Bài 5.276 : Cho hàm số y =x2+ mx − 1x − 1

. Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số trên tại hai điểm A, B thỏa mãn

OA⊥OB.

Bài 5.277 : Tìm m để (Cm) : y = x3+ (1+ m)x2

+ 2mx + m2 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ âm.

Bài 5.278 : Cho hàm số y =x3

3− x − m có đồ thị (C). Tìm m để (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

Bài 5.279 : Cho (Cm) : y = x3− 3mx2+ 3(m2− 1)x−m2

+ 1. Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành

độ dương.

Bài 5.280 : Cho (Cm) : y = x3 − 2mx2+ (2m2 − 1)x + m(1− m2). Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có

hoành độ dương.

Bài 5.281 : Tìm m để đường thẳng y = mx − m + 2 cắt đồ thị hàm số y =x2+ x − 1x − 1

tại hai điểm A, B phân biệt sao cho

tam giác OAB đều.

Bài 5.282 : Cho đồ thị hàm số y =2x + 1x − 1

(C) và điểm A(−2; 5). Xác định đường thẳng d song song với đường thẳng

y = x + 5 và cắt (C) tại hai điểm B,C sao cho tam giác ABC đều.

Bài 5.283 : Chứng minh rằng đường thẳng y = 2x +m luôn cắt đồ thị hàm số y = −x+ 3+3

x − 1tại hai điểm A và B phân

biệt. Tìm m để khoảng cách AB là ngắn nhất.

Bài 5.284 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M�

2;25

�sao cho d cắt đồ thị hàm số y =

x2+ 3

x + 1tại A, B phân

biệt và M là trung điểm AB.

Bài 5.285 : Tìm m để đường thẳng y = m(x− 5)+ 10cắt đồ thị hàm số y =x2 − 2x + 9

x − 2tại hai điểm A, B phân biệt sao cho

M(5; 10) là trung điểm AB.

5.7 Sự tiếp xúc của hai đường cong và tiếp tuyến

Vấn đề 1 : Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp điểm

�1. Tính x0 và y0;

2. Thay vào phương trình tiếp tuyến y = y′(x0)(x − x0) + y0.

Bài 5.286 (TN07) : Cho hàm số y = x + 1− 22x − 1

(C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm A(0; 3).

Bài 5.287 (TN07) : Cho hàm số y = −x3+ 3x2 − 2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm uốn.

Bài 5.288 (TN07) : Cho hàm số y = x4 − 2x2+ 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm cực đại của (C).

Bài 5.289 (TN07) : Cho hàm số y =x − 1x + 2

(C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.

Bài 5.290 (TN07) : Cho hàm số y =3x + 42x − 3

(C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M(1;−7).

Bài 5.291 (TN07) : Cho hàm số y = x3 − 3x + 2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm A(2; 4).

Bài 5.292 (TN08) : Cho hàm số y = x3 − 3x2+ 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ bằng 3.

Bài 5.293 (TN08) : Cho hàm số y = x4 − 2x2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ bằng x = −2.



WWW.VNMATH.COM


Bài 5.294 : Trong các bài từ 5.286 đến 5.293 hãy tính diện tích tao giác tạo bởi tiếp tuyến đó với hai trục tọa độ.

Bài 5.295 : Cho hàm số2x − 3x − 2

. Tìm các điểm có tọa độ nguyên của đồ thị hàm số và viết phương trình tiếp tuyến tại các

điểm đó.


x3 − 2x2+ 3x. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số tại điểm uốn và

chứng minh rằng tiếp tuyến đó là tiếp tuyến có hệ số góc bé nhất.

Bài 5.297 : Cho hàm số y = 2x3 − 3x2+ 9x − 4 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với đồ

thị các hàm số sau :

1. d : y = 7x + 4; 2. (P) : y = −x2+ 8x − 3; 3. (C′) : y = x3 − 4x2

+ 6x − 7.

Bài 5.298 : Cho hàm số y = −x4+ 2mx2 − 2m + 1 có đồ thị là (Cm).

1. Chứng minh rằng (Cm) luôn đi qua hai điểm cố định A và B.

2. Tìm m để hai tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau.

Bài 5.299 : Cho hàm số y =x2+ 2x + 2x + 1

có đồ thị là (C).

1. Giả sử A là điểm thuộc (C) có hoành độ là a. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại A.

2. Xác định a để d đi qua điểm M(1; 0).

Bài 5.300 : Cho hàm số y = x − 1x + 1

(C). Tìm các cặp điểm phân biệt trên (C) mà các tiếp tuyến tại đó song song với

nhau.

Bài 5.301 : Cho điểm A(x0; y0) thuộc đồ thị (C) hàm số y = x3 − 3x + 1. Tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại điểm B không

trùng với A. Tìm hoành độ của B theo x0.

Bài 5.302 : Cho hàm số y =x − 1x + 1

. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là x0. Tìm tọa độ

các giao điểm của tiếp tuyến đó với các trục tọa độ và với các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

Bài 5.303 : Cho hàm số y = x3+ 1−m(x+ 1) (Cm). Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (Cm) với trục tung. Tìm

m để tiếp tuyến nói trên chắn hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8.

Bài 5.304 : Cho hàm số y =x2+ x − 2x − 2

(C). Tìm điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai trục tọa độ tại hai điểm

A, B và tam giác OAB cân.

Bài 5.305 : Cho hàm số y = x + 1+1

x − 1, (C). Tìm các điểm trên (C) có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại điểm

đó tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất.

Bài 5.306 : Cho hàm số y =2x2+ (6− m)xmx + 2

(C) (với m , 0). Chứng minh rằng tại mọi điểm của (C) tiếp tuyến luôn cắt

hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi.

Bài 5.307 : Cho hàm số y =x2+ mx − 8x − m

(C). Xác định m để (C) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến tại

hai điểm đó vuông góc với nhau.

Bài 5.308 : Cho hàm số y =2x2+ mx + mx + 1

(C). Xác định m để (C) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến tại

hai điểm đó vuông góc với nhau.

Bài 5.309 : Cho hàm số y = x3+ mx2 − m − 1. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm cố định của đồ thị hàm số.

Bài 5.310 : Cho hàm số y = x3 − 3mx + 3m − 2. Chứng minh rằng tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm uốn luôn đi qua

một điểm cố định.



WWW.VNMATH.COM



+ mx. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm uốn đi qua điểm M(1; 0).


+ 3x + 5. Chứng minh rằng trên đồ thị hàm số không tồn tại hai điểm sao cho tiếp

tuyến của đồ thị hàm số tại hai điểm ấy vuông góc với nhau.

Bài 5.313 : Tìm phương trình của tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =x3+ 1x

, biết mỗi tiếp tuyến tạo với các trục

tọa độ một tam giác có diện tích12

.

Bài 5.314 : Cho hàm số y = x3+3x2

+mx+1 (Cm). Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0; 1),D, E.

Tìm m để các tiếp tuyến tại D và E vuông góc.

Bài 5.315 : Cho hàm số y =2x − 1x − 1

(C) và điểm M bất kì thuộc (C). Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Tiếp tuyến

tại M cắt hai đường tiệm cận tại A và B.

1. Chứng minh rằng M là trung điểm AB.

2. Chứng minh rằng S IAB không đổi.

3. Tìm M để tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất.

Bài 5.316 : Cho hàm số y =x2 − 3x + 4

2x − 2(C) và điểm M bất kì thuộc (C). Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận. Tiếp

tuyến tại M cắt hai đường tiệm cận tại A và B.

1. Chứng minh rằng M là trung điểm AB.

2. Chứng minh rằng tích khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là không đổi.

3. Chứng minh rằng S IAB không đổi.

4. Tìm M để tam giác IAB nhỏ nhất.

Vấn đề 2 : Hai đường cong tiếp xúc

�Hai đường cong y = f (x) và y = g(x) tiếp xúc với nhau khi và chit khi hệ phương trình8<: f (x) = g(x)

f ′(x) = g′(x)

có nghiệm. Khi đó nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm tiếp xúc.

Bài 5.317 : Tìm tất cả các giá trị của a để đồ thị hàm số y = x4 − 5x2+ 4 tiếp xúc với đồ thị hàm số y = x2

+ a.

Bài 5.318 : Cho hàm số y =2x2+ (m + 1)x − 3

x + mcó đồ thị (Cm). Tìm m để tiệm cận xiên của (Cm) có đồ thị tiếp xúc với

parabol (P) : y = x2+ 5.

Bài 5.319 : Tìm a để (C) : y = (x + 1)2(x − 1)2 tiếp xúc với (P) : y = ax2 − 3. Khi đó viết phương trình tiếp tuyến chung

của (P) và (C).

Bài 5.320 : Cho y =mx2+ 3mx + 2m + 1

x + 2có đồ thị (Cm). Tìm m để (Cm) tiếp xúc với d : y = m.



WWW.VNMATH.COM


Bài 5.321 : Cho y = 2x3 − 3(m + 3)x2+ 18mx − 8. Tìm m để (Cm) tiếp xúc với trục hoành.

Bài 5.322 : Cho hàm số y = x3+ k(x + 1)+ 1. Tìm tất cả giá trị k để đường thẳng y = x + 1 tiếp xúc với đồ thị hàm số.

Vấn đề 3 : Tiếp tuyến đi qua một điểm

�Yêu cầu bài toán là viết phương trình tiếp của đồ thị hàm số y = f (x) biết tiếp tuyến đi qua A(xA; yA).

Cách 1 : (a) Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc là k, khi đó phương trình tiếp tuyến là y = k(x − xA) + yA.

(b) Theo điều kiện tiếp xúc ta có hệ

8<: f (x) = k(x − xA) + yA

f ′(x) = k.

(c) Thay k vào phương trình đầu ta tìm được x, thế trở lại tìm được k, khi đó ta có phương trình tiếp tuyến.

Cách 2 : (a) Giả sử hoành độ tiếp điểm là x0, khi đó phương trình tiếp tuyến là y = f ′(x0)(x − x0) + y0.

(b) Do tiếp tuyến đi qua A, nên ta có yA = f ′(x0)(xA − x0)+ y0. Từ đó tìm được x0, vì vậy viết được phương trình

tiếp tuyến.

Bài 5.323 (TN05) : Cho hàm số y =2x + 1x + 1

(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm

A(−1; 3).

Bài 5.324 : Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(0; 1) và tiếp xúc với đồ thị hàm số y = x3 − 3x2+ 2.

Bài 5.325 : Viết phương trình tiếp tuyến của y = 3x − 4x3 qua A(1; 3).

Bài 5.326 : Cho y = x +1

x + 1có đồ thị (C). Chứng minh rằng qua A(1;−1) ta luôn vẽ được đến (C) hai tiếp tuyến vuông

góc.

Bài 5.327 : Cho hàm số y = x3 − 3x2+ 2 (C).

1. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến xuất phát từ A�23

9;−2

�.

2. Tìm trên đường thẳng y = −2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.

Bài 5.328 : Cho hàm số y = −x3+ 3x + 2 (C). Tìm trên trục hoành các điểm từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C).

Bài 5.329 : Cho hàm số y = x3 − 12x + 12 (C). Tìm trên đường thẳng y = −4 các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C).

Bài 5.330 : Cho hàm số y = x3 − 12x + 12. Tìm trên đường thẳng y = −4 những điểm từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến

đến đồ thị.

Bài 5.331 : Tìm điểm A trên trục tung, sao cho qua A có thể kẻ được ba tiếp tuyến tới đồ thị hàm số y = −x4+ x2 − 1.

Bài 5.332 : Cho hàm số y =x2 − 6x + 9−x + 2

(C). Tìm các điểm M trên trục tung để từ đó kẻ được tiếp tuyến đến (C) song

song với d : y = −34

x.

Bài 5.333 : Cho hàm số y =x + 1x − 1

có đồ thị (C). Tìm những điểm trên trục tung mà từ mỗi điểm đó chỉ kẻ được đúng một

tiếp tuyến đến (C).

Bài 5.334 : Tìm trên đường thẳng y = 2x + 1 các điểm mà từ đó kẻ được đúng 1 tiếp tuyến tới đồ thị hàm số y =x + 3x − 1

.



WWW.VNMATH.COM


Bài 5.335 : Tìm trên trục tung các điểm có thể kẻ được đến đồ thị hàm số y =2x2+ x + 1

x + 1hai tiếp tuyến vuông góc với

nhau.

Bài 5.336 : Tìm trên trục hoành các điểm kẻ được đúng một tiếp tuyến tới đồ thị hàm số y =x2+ x − 3x + 2

.

Vấn đề 4 : Tiếp tuyến có hệ số góc cho trước

�

1. Nếu tiếp tuyến có hệ số góc k thì phương trình hoành độ tiếp điểm là f ′(x) = k.

2. Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b thì hệ số góc k = −1a

.

3. Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì hệ số góc k = a.

Trong trường hợp này ta phải kiểm tra điều kiện song song : Hai đường thẳng y = ax + b và y = a′x + b′ song song

với nhau khi và chỉ khi

8<:a = a′

b , b′.

4. Tiếp tuyến hợp với đường thẳng y = ax + b một góc α thì tanα =�� k − a1+ ka

��.Bài 5.337 : Cho hàm số y = x3

+ 3x2 − 9x + 5. Trong số các tiếp tuyến của đồ thị hàm số, hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc

bé nhất.

Bài 5.338 : Cho hàm số y = −x3+ 3x2− 3x+ 1. Trong số các tiếp tuyến của đồ thị hàm số, hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc

lớn nhất.

Bài 5.339 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 − 3x2, biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng

y =13

x + 5.

Bài 5.340 : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x3 − 3x2+ 1, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng

y = 9x + 2010.

Bài 5.341 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =3x − 2x − 1

, biết tiếp tuyến đó tạo với trục hoành một góc 45◦.

Bài 5.342 : Cho hàm số y = 2x3 − 3x2 − 12x − 5. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số, biết

1. Tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 6x − 4.

2. Tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y = −13

x + 2.

3. Tiếp tuyến đó tạo với đường thẳng y = −12

x + 5 một góc 45◦.


x3 − 2x2+ x − 4. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số, biết

1. Tiếp tuyến có hệ số góc bằng −2.

2. Tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox một góc 60◦.

3. Tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox một góc 45◦.



WWW.VNMATH.COM


4. Tiếp tuyến tạo với trục Ox một góc 75◦.

5. Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = −x + 2.

6. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 2x − 3.

7. Tiếp tuyến tạo với đường thẳng y = 3x + 7 góc 45◦.

8. Tiếp tuyến tạo với đường thẳng y = −12

x + 3 góc 30◦.

Bài 5.344 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =14

x4 − 13

x3+

12

x2+ x − 5 song song với đường thẳng

y = 2x − 1.

Bài 5.345 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x4 − 2x2+ 4x − 1 song song với đường thẳng y = −1

4x + 3.

Bài 5.346 : Viết phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng y = −x của đồ thị hàm số y =x2 − x − 1

x + 1.

Bài 5.347 : Cho hàm số y =x2+ 3x + 4m

x + 1. Với những giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số có tiếp tuyến vuông góc với

đường phân giác thứ nhất.


, biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng

y = −2x.


, biết tiếp tuyến đó tạo với đường thẳng y = 3x một

góc 45◦.

5.8 Hàm số trong các kì thi tuyển sinh ĐH

Bài 5.350 (CĐ08) : Cho hàm số y =x

x − 1.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2. Tìm m để đường thẳng d : y = −x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.

Bài 5.351 (CĐ09) : Cho hàm số y = x3 − (2m − 1)x2+ (2− m)x + 2 (1), với m là tham số thực.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2.

2. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) có hoành

độ dương.

Bài 5.352 (CĐ10) : 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x3+ 3x2 − 1.

2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng −1.

Bài 5.353 (A02) : Cho hàm số : y = −x3+ 3mx2

+ 3(1− m2)x + m3 − m2 (1) (m là tham số).


2. Tìm k để phương trình : −x3+ 3x2

+ k3 − 3k2= 0 có ba nghiệm phân biệt.

3. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).

Bài 5.354 (A03) : Cho hàm số : y =mx2+ x + m

x − 1(1) (m là tham số ).



WWW.VNMATH.COM


1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = −1.

2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương.

Bài 5.355 (A04) : Cho hàm số : y =−x2+ 3x − 3

2(x − 1)(1).

1. Khảo sát hàm số (1).

2. Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho AB = 1.

Bài 5.356 (A05) : Gọi (Cm) là đồ thị hàm số : y = mx +1x

(*) (m là tham số).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (*) khi m =14

.

2. Tìm m để hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ các điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm cận xiên của (Cm) bằng1√2

.

Bài 5.357 (A06) : 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : y = 2x3 − 9x2+ 12x − 4.

2. Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt : 2|x|3 − 9x2+ 12|x| = m.

Bài 5.358 (A07) : Cho hàm số : y =x2+ 2(m + 1)x + m2

+ 4mx + 2

(1), m là tham số.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = −1.

2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc toạ độ O tạo thành một

tam giác vuông tại O.

Bài 5.359 (A08) : Cho hàm số y =mx2+ (3m2 − 2)x − 2

x + 2m(1), với m là tham số thực.


2. Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 45◦,

Bài 5.360 (A09) : Cho hàm số y =x + 2

2x + 3(1).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).

2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm

phân biệt A và B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.

Bài 5.361 (A10) : Cho hàm số y = x3 − 2x2+ (1− m)x + m (1), m là tham số thực.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.

2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thỏa mãn điều kiện x21+ x2

2+ x33 <

4.

Bài 5.362 (B02) : Cho hàm số : y = mx4+ (m2 − 9)x2

+ 10 (1)(m là tham số).


2. Tìm m để hàm số (1) có ba cực trị.

Bài 5.363 (B03) : Cho hàm số : y = x3 − 3x2+ m (1) (m là tham số).



WWW.VNMATH.COM


1. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc toạ độ.


Bài 5.364 (B03) : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : y = x +√

4− x2.

Bài 5.365 (B04) : Cho hàm số : y =13

x3 − 2x2+ 3x (1) có đồ thị (C).

1. Khảo sát hàm số (1).

2. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng ∆ là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ

nhất.

Bài 5.366 (B04) : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =ln2 x

xtrên đoạn [1; e3].

Bài 5.367 (B05) : Gọi (Cm) là đồ thị hàm số : y =x2+ (m + 1)x + m + 1

x + 1(∗) (m là tham số).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (*) khi m = 1.

2. Chứng minh rằng với m bất kì, đồ thị (Cm) luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó

bằng√

20.

Bài 5.368 (B06) : Cho hàm số : y =x2+ x − 1x + 2

.


2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên của đồ thị (C).

Bài 5.369 (B07) : Cho hàm số : y = −x3+ 3x2

+ 3(m2 − 1)x − 3m2 − 1 (1), m là tham số.


2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc toạ độ O.

Bài 5.370 (B08) : Cho hàm số : y = 4x3 − 6x2+ 1 (1).


2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm (−1;−9).

Bài 5.371 (B09) : Cho hàm số y = 2x4 − 4x2 (1).


2. Với các giá trị nào của m, phương trình x2|x2 − 2| = m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt.

Bài 5.372 (B09) : Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y = −x + m cắt đồ thị hàm số y =x2 − 1

xtại hai điểm

phân biệt A và B sao cho AB = 4.

Bài 5.373 (B10) : Cho hàm số y =2x + 1x + 1

.


2. Tìm m để đường thẳng y = −2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích

bằng√

3 (O là gốc tọa độ).



WWW.VNMATH.COM


Bài 5.374 (D02) : Cho hàm số : y =(2m − 1)x − m2

x − 1(1) (m là tham số).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m = −1.

2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và hai trục toạ độ.

3. Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x.

Bài 5.375 (D03) : 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số : y =x2 − 2x + 4

x − 2(1).

2. Tìm m để đường thẳng dm : y = mx + 2− 2m cắt đồ thị của hàm số (1) tại hai điểm phân biệt.

Bài 5.376 (D03) : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số : y =x + 1√x2 + 1

trên đoạn [−1; 2].

Bài 5.377 (D04) : Cho hàm số : y = x3 − 3mx2+ 9x + 1 (1) với m là tham số.

1. Khảo sát hàm số (1) khi m = 2.

2. Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + 1.

Bài 5.378 (D05) : Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số : y =13

x3 − m2

x2+

13

(∗) (m là tham số).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (*) khi m = 2.

2. Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng −1. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường

thẳng 5x − y = 0.

Bài 5.379 (D06) : Cho hàm số : y = x3 − 3x + 2.


2. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3; 20)và có hệ số góc là m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm

phân biệt.

Bài 5.380 (D07) : Cho hàm số : y =2x

x + 1.


2. Tìm toạ độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox,Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích

bằng14

.

Bài 5.381 (D08) : Cho hàm số : y = x3 − 3x2+ 4 (1).


2. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1; 2) với hệ số góc k (k > −3) đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba

điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn AB.

Bài 5.382 (D09) : Cho hàm số y = x4 − (3m + 2)x2 có đồ thị là (Cm), m là tham số.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho khi m = 0.

2. Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.

Bài 5.383 (D09) : Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y = −2x+m cắt đồ thị hàm số y =x2+ x − 1

xtại hai điểm

phân biệt A, B sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc trục tung.



WWW.VNMATH.COM


Bài 5.384 (D10) : Cho hàm số y = −x4 − x2+ 6.


2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y =16

x − 1.

Bài 5.385 : Cho hàm số : y = x4 − mx2+ m − 1 (1) (m là tham số).


2. Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.

Bài 5.386 : Cho hàm số : y =x2 − 2x + m

x − 2(1) (m là tham số).

1. Xác định m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn [−1; 0].



x3+ mx2 − 2x − 2m − 1

3(1) (m là tham số).

1. Cho m =12

.

(a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).

(b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d : y = 4x + 2.

2. Tìm m thuộc�

0;56

�sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số (1) và các đường thẳng : x = 0, x = 2, y = 0

có diện tích bằng 4.

Bài 5.388 : Cho hàm số : y = (x − m)3 − 3x (m là tham số).

1. Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0.

2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho khi m = 1.

3. Tìm k để hệ bất phương trình sau có nghiệm :8><>:|x − 1|3 − 3x − k < 012

log2 x2+

13

log2(x − 1)3 ≤ 1.

Bài 5.389 : Cho hàm số : y =x2+ mx

1− x(1) (m là tham số).


2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu. Với giá trị nào của m thì khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm

số (1) bằng 10 ?

Bài 5.390 : 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số : y =13

x3 − 2x2+ 3x (1).

2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (1) và trục hoành.

Bài 5.391 : 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số : y =2x2 − 4x − 3

2(x − 1).

2. Tìm m để phương trình 2x2 − 4x − 3+ 2m|x − 1| = 0 có hai nghiệm phân biệt.



WWW.VNMATH.COM


Bài 5.392 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = sin5 x +√

3 cosx.

Bài 5.393 : Cho hàm số : y =x2+ (2m + 1)x + m2

+ m + 42(x + m)

(1) (m là tham số).

1. Tìm m để hàm số (1) có cực trị và tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).


Bài 5.394 : Cho hàm số : y = (x − 1)(x2+ mx + m) (1) (m là tham số).

1. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.


Bài 5.395 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = x6+ 4(1− x2)3, với x ∈ [−1; 1].

Bài 5.396 : Cho hàm số : y =2x − 1x − 1

(1).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).

2. Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc

với đường thẳng IM.

Bài 5.397 : Chứng minh rằng : ex+ cosx ≥ 2+ x − x2

2, x ∈ R.

Bài 5.398 : Cho hàm số : y =x2+ 5x + m2

+ 6x + 3

(1) (m là tham số).


2. Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1;+∞).

Bài 5.399 : 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số : y = 2x3 − 3x2 − 1.

2. Gọi dk là đường thẳng đi qua điểm M(0;−1) và có hệ số góc bằng k. Tìm k để đường thẳng dk cắt (C) tại ba điểm

phân biệt.

Bài 5.400 : Gọi (Cm) là đồ thị hàm số : y =x2+ 2mx + 1− 3m2

x − m(∗) (m là tham số).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (*) ứng với m = 1.

2. Tìm m để đồ thị hàm số (*) có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung.

Bài 5.401 : 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y =x2+ x + 1x + 1

.

2. Viết phương trình đường thẳng qua M(−1; 0) và tiếp xúc với đồ thị (C).

Bài 5.402 : 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y = x4 − 6x2+ 5.

2. Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt : x4 − 6x2 − log2 m = 0.

Bài 5.403 : Cho hàm số : y =x2+ 2x + 2x + 1

(∗).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (*).

2. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C). Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua điểm I.

Bài 5.404 : Gọi Cm là đồ thị hàm số y = −x3+ (2m + 1)x2 − m − 1 (1) (m là tham số).



WWW.VNMATH.COM



2. Tìm m để đồ thị (Cm) tiếp xúc với đường thẳng y = 2mx − m − 1.

Bài 5.405 : 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : y =x2+ 3x + 3x + 1

.

2. Tìm m để phương trìnhx2+ 3x + 3|x + 1| = m có bốn nghiệm phân biệt.

Bài 5.406 : 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y =x2+ 2x + 5x + 1

.

2. Dựa vào đồ thị (C), tìm m để phương trình sau đây có hai nghiệm dương phân biệt :

x2+ 2x + 5 = (m2

+ 2m + 5)(x + 1).

Bài 5.407 : 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y =x4

2− 2(x2 − 1).

2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(0; 2) và tiếp xúc với (C).

Bài 5.408 : Cho hàm số : y = x3+ (1− 2m)x2

+ (2− m)x + m + 2 (1).


2. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ

hơn 1.

Bài 5.409 : Cho hàm số : y =x2 − x − 1

x + 1.


2. Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đi qua A(0;−5).

Bài 5.410 : Cho hàm số : y = − x3

3+ x2+ 3x − 11

3.


2. Tìm trên đồ thị (C) hai điểm phân biệt M,N đối xứng nhau qua trục tung.

Bài 5.411 : Cho hàm số : y =x + 3x − 1

(C).


2. Cho điểm M0(x0; y0) ∈ (C). Tiếp tuyến của (C) tại M0 cắt các tiệm cận của (C) tại các điểm A và B. Chứng minh M0

là trung điểm của đoạn AB.

Bài 5.412 : Cho hàm số : y =−x2+ 4x + 3x − 2

.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.

2. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì trên đồ thị hàm số đến các đường tiệm cận của nó là hằng

số.

Bài 5.413 : Cho hàm số : y = x + m +m

x − 2(Cm).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.



WWW.VNMATH.COM


2. Tìm m để đồ thị (Cm) có cực trị tại hai điểm A, B sao cho đường thẳng AB đi qua gốc toạ độ O.

Bài 5.414 : Cho hàm số : y = −2x3+ 6x2 − 5.


2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm A(−1;−13).

Bài 5.415 : Cho hàm số : y = −x + 1+m

2− x(Cm).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.

2. Tìm m để đồ thị (Cm) có cực đại tại điểm A sao cho tiếp tuyến với (Cm) cắt trục Oy tại B mà tam giác OBA vuông

cân.

Bài 5.416 : Cho hàm số : y =−x + 12x + 1

(C).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của đường tiệm cận và trục Ox.

Bài 5.417 : Cho hàm số : y =x

x − 1(C).


2. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) sao cho d và hai tiệm cận của (C) cắt nhau tạo thành một tam giác cân.

Bài 5.418 (TN2008) : Cho hàm số y =2x − 1x − 1

, gọi đồ thị của hàm số là (C).


2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(2; 3).


Bài 5.419 : Cho hàm số y = 2x3 − 9x2+ 12x − 4 có đồ thị là (C ).


2. Tìm m để

(a) Phương trình 2x3 − 9x2+ 12x + log2(m − 1) = 0 có đúng 3 nghiệm thực phân biệt.

(b) Phương trình 2|x|3 − 9x2+ 12|x| + m = 0 có đúng 6 nghiệm thực phân biệt.

(c) Phương trình |2x3 − 9x2+ 12x − 4| + 2m − 1 = 0 có nhiều hơn ba nghiệm thực phân biệt.

(d) Phương trình sin 3x − 9 cos 2x − 27 sinx + 4m − 5 = 0 có nghiệm.

3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết

(a) Hoành độ tiếp điểm bằng -1.

(b) Tung độ tiếp điểm bằng 1.

(c) Tiếp tuyến đi qua A(0; 1) và hoành độ tiếp điểm là số nguyên.

(d) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 12.



WWW.VNMATH.COM


(e) Hệ số góc của tiếp tuyến đạt giá trị nhỏ nhất.

(f) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y − 36x + 5 = 0.

4. Tìm trên đồ thị hàm số hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua điểm E(1;−2).

5. Gọi k là hệ số góc của đường thẳng d đi qua B(2; 0). Tìm k để đường thẳng d cắt (C ) tại hai điểm phân biệt khác B

sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng√

22

.

6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C ) và trục hoành.

7. Tính thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi (C ) và trục hoành quanh trục Ox.

Bài 5.420 : Cho hàm số y = −x3+ 3x2

+ 3(m2 − 1)x − 3m2 − 1 có đồ thị là (Cm).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 1.

2. Tìm m để hàm số có cực trị và

(a) Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ.

(b) Khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 2√

5.

(c) Khoảng cách từ điểm cực tiểu đến đường thẳng 3x + 4y + 5 = 0 bằng115

, biết m > 0.

(d) Chứng minh rằng khi đó hai điểm cực trị cách đều đường thẳng x = 1. Viết phương trình đường thẳng qua hai

điểm cực trị đó.

3. Tìm m để hàm số

(a) Nghịch biến trên tập xác định.

(b) Nghịch biến trên (−∞; 2).

(c) Đồng biến trên (−3; 5).

4. Tìm m để trên (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua điểm E(−1; 2).

5. Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

Bài 5.421 : Cho họ đường cong bậc ba (Cm) và họ đường thẳng dk lần lượt có phương trình là

y = −x3+ mx2 − m và y = kx + k + 1.

1. Với m = 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

(a) Gọi A và B là 2 điểm cực đại và cực tiểu của (C) và M là điểm bất kỳ trên cung AB với M khác A, B. Chứng

minh rằng trên (C) ta tìm được hai điểm tại đó có tiếp tuyến vuông góc với tiếp tuyến tại M với (C).

(b) Gọi ∆ là đường thẳng có phương trình y = 1. Biện luận số tiếp tuyến với (C) vẽ từ E ∈ ∆ với (C).

(c) Tìm E ∈ ∆ để qua E có ba tiếp tuyến với (C) và có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.

(d) Định p để trên (C) có 2 tiếp tuyến có hệ số góc bằng p, trong trường hợp này chứng tỏ trung điểm của hai tiếp

điểm là điểm cố định.

(e) Tìm M ∈ (C) để qua M chỉ có một tiếp tuyến với (C).

2. Với m là tham số



WWW.VNMATH.COM


(a) Tìm điểm cố định của (Cm). Định m để hai tiếp tuyến tại hai điểm cố định này vuông góc nhau.

(b) Định m để (Cm) có 2 điểm cực trị. Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị.

(c) Định m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.

(d) Định m để hàm số đồng biến trong (1; 2).

(e) Định m để hàm số nghịch biến trong (0;+∞).

(f) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ tạo thành cấp số cộng.

(g) Tìm điều kiện giữa k và m để dk cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt. Tìm k để dk cắt (Cm) thành hai đoạn bằng nhau.

(h) Viết phương trình tiếp tuyến với (Cm) và đi qua điểm (−1; 1).

(i) Chứng minh rằng trong các tiếp tuyến với (Cm) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất.

Bài 5.422 : Cho hàm số y = x4+ 8ax3 − 4(1+ 2a)x2

+ 3 có đồ thị là (Ca).

1. Khi a = 0 :

(a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C0).

(b) Xác định m để tiếp tuyến với (C0) tại M có hoành độ m cắt (C0) tại hai điểm P,Q khác điểm M. Tìm quỹ tích

trung điểm I của PQ khi M thay đổi. Xác định m để m là trung điểm PQ.

2. Khi a = −12

:

(a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C− 12).

(b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C− 12) và có hệ số góc bằng -8. Tìm tọa độ các tiếp điểm.

3. Khi a chưa biết :

(a) Biện luận theo a số điểm cực trị của hàm số. Tìm a để hàm số chỉ có điểm cực tiểu mà không có điểm cực đại.

(b) Trong trường hợp đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị, hãy viết phương trình parabol đi qua ba điểm cực trị này.

Bài 5.423 : Cho hàm số y =(m + 1)x2 − 2mx − (m3 − m2 − 2)

x − mcó đồ thị (Cm).

1. Khi m = −1 :

(a) Gọi dm là đường thẳng có phương trình y = 2x +m. Chứng minh rằng dm luôn cắt (C−1) tại hai điểm A, B phân

biệt. Xác định m để AB ngắn nhất.

(b) Tim hai điểm M,N thuộc hai nhánh của (C−1) để khoảng cách MN là ngắn nhất.

(c) Tìm M thuộc (C−1) để IM là ngắn nhất với I là giao điểm hai đường tiệm cận. Trong trường hợp này hãy chứng

tỏ tiếp tuyến với (C−1) tại M sẽ vuông góc với IM.

2. Khi m = 1 :

(a) Biện luận theo k số tiếp tuyến kẻ từ K(0;k) đến (C1);

(b) Tìm các điểm trên Ox các điểm từ đó vẽ được đúng 1 tiếp tuyến với (C1);

(c) Gọi ∆ là tiếp tuyến tại điểm J thuộc (C1), ∆ cắt hai đường tiệm cận tại E, F. Chứng minh rằng khi đó J là trung

điểm EF và tam giác IEF có diện tích không đổi.



WWW.VNMATH.COM


Bài 5.424 : Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x3+ 3x2 − 4 cắt đường thẳng y = mx + 2 tại ba điểm phân

biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.

Bài 5.425 : Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y =x2+ 3x − 2x + 1

cắt đường thẳng y = m tại hai điểm phân biệt

A, B sao cho OA⊥OB.

Bài 5.426 : Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng y = −3x + 2 sao cho từ M có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị hàm

số y = x3 − 3x + 2 và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.

Bài 5.427 : Chứng minh rằng với ba điểm A, B,C phân biệt thuộc đồ thị hàm số y =x + 1x − 2

thì trực tâm của tam giác ABC

cũng thuộc đồ thị hàm số này.

Bài 5.428 : Chứng minh rằng với mọi m , 0 thì đồ thị hàm số y = x4 − (m2+ 10)x2

+ 9 luôn cắt trục hoành tại bốn điểm

phân biệt trong đó có hai điểm nằm trong khoảng (−3; 3) và hai điểm nằm ngoài khoảng (−3; 3).

Bài 5.429 : Tìm m để hàm số y = x3 − 3(m + 1)x2+ 9x − m đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho |x1 − x2| ≤ 2.

Bài 5.430 : Tìm các tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =x + 1x − 2

, biết các tiếp tuyến đó song song với đường thẳng 3x + y = 0.

Bài 5.431 : Tìm m để đường thẳng 2x + 2y − 1 = 0 cắt đồ thị hàm số y =m − xx + 2

tại hai điểm cùng với gốc tọa độ tạo thành

một tam giác có diện tích bằng38

.

Bài 5.432 : Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số y =x

x − 1, biết tiếp tuyến với đồ thị hàm số này tại M cắt hai trục Ox,Oy tại

hai điểm A, B và tam giác OAB có số đo các góc lập thành một cấp số cộng.

Bài 5.433 : Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số y =−2x2

+ 3x − 3x − 1

và cách đều hai đường tiệm cận.

Bài 5.434 : Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y =mx2+ (m2

+ 1)x + 4m2+ m

x + mcó một điểm cực trị thuộc góc

phần tư thứ II và một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ IV của mặt phẳng tọa độ.

Bài 5.435 : Tìm các điểm M trên đồ thị hàm số y =2x + 1x + 1

sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng y =x4+ 2 có giá

trị nhỏ nhất.

Bài 5.436 : Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y = x3 − 3x2+mx có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau

qua đường thẳng x − 2y − 5 = 0.


(m+ 1)x3−mx2+ 2(m − 1)x − 2

3đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn 2x1+ x2 = 1.

Bài 5.438 : Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y = x4− 2m(m− 1)x2+m+ 1 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh

của một tam giác vuông.

Bài 5.439 : Cho hàm số y = 8x4 − 9x2+ 1.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2. Hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình

8 cos4 x − 9 cos2 x + m = 0 với x ∈ [0; π].

Bài 5.440 : Tìm m để đường thẳng x + y − m + 1 = 0 cắt đồ thị hàm số y =−2x + 3

x + 1tại hai điểm phân biệt A và B sao cho

IA⊥IB, với I(−1; 4).

Bài 5.441 : Tìm các điểm trên đồ thị hàm số y = 2x3 − 3x2+ 1 những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M cắt trục tung tại

điểm có tung độ bằng 8.



WWW.VNMATH.COM


Bài 5.442 : Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =x + 1x − 1

tạo với hai tiệm cận một tam giác có diện tích

không đổi.

Bài 5.443 : Tìm a, b để đường thẳng y = ax + b cắt đồ thị hàm số y =x − 1x + 1

tại hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua

đường thẳng x − 2y + 3 = 0.

Bài 5.444 : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x4 − 2x2+ 2, biết tiếp tuyến này đi qua điểm A(0; 2).

Bài 5.445 : Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số y =13

x3 − mx2+ (2m − 1)x − m + 2 có hai điểm cực trị với hoành độ

dương.

Bài 5.446 : Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 − 2(mx)2+ 1 có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông.

Bài 5.447 : Tìm những điểm trên đồ thị hàm số y =2x + 1x + 1

sao cho tổng khoảng cách từ điểm đó đến hai tiệm cận là nhỏ

nhất.

Bài 5.448 : Tìm m để đồ thị hàm số y = (m+ 1)x3− 3(m+ 1)x2+ 2mx−m có các điểm cực đại, cực tiểu. Chứng minh rằng

khi đó hai điểm cực trị luôn cách đều đường thẳng x = 1.

Bài 5.449 : Tìm m để đồ thị hàm số y = mx3 − 3mx2+ 2(m − 1)x − 1−m có các điểm cực đại, cực tiểu. Chứng minh rằng

khi đó hai điểm cực trị luôn cách đều đường thẳng x = 1.

Bài 5.450 : Cho hàm số y = x3 − 3x + 2 (1).


2. Tìm a > 0 để phương trình |x3 − 3x + 2| = log2 a có đúng bốn nghiệm thực phân biệt.

Bài 5.451 : Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = 2x3+ 9mx2

+ 12m2x + 1 đạt cực đại tại x1, đạt cực tiểu tại x2 thỏa

mãn x21 = x2.

Bài 5.452 : Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =2x − 1x − 1

, biết tiếp tuyến này cắt các trục Ox,Oy lần lượt tại

A và B thỏa mãn OA = 4OB.

Bài 5.453 : Chứng minh rằng đường thẳng y = x + 1 luôn cắt đồ thị hàm số y = x4+ 2m2x2

+ 1 tại hai điểm phân biệt với

mọi giá trị của m.

Bài 5.454 : Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị hàm số y = 2x3 − 3(2m + 1)x2+ 6m(m + 1)x + 1 luôn có cực

đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm cực đại, cực tiểu là không đổi.

Bài 5.455 : Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = mx − m + 2 cắt đồ thị hàm số y =2x

x − 1tại hai điểm phân biệt A, B

và đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.

Bài 5.456 : Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x4 − 2mx2+ 3m + 1 có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng

thời các điểm cực đại, cực tiểu lập thành tam giác có diện tích bằng 1.

Bài 5.457 : Tìm điểm M thuộc dồ thị hàm số y =2x − 1x + 1

sao cho khoảng cách từ điểm I(−1; 2) tới tiếp tuyến tại M là lớn

nhất.

Bài 5.458 : Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y =x2 − (m + 5)x + m

x − 1cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có

hoành độ lần lượt là x1, x2 sao cho T = |x1 − x2| đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 5.459 : Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y =x2 − 2mx + m2

x − 1tồn tại ít nhất một điểm mà tiếp tuyến của

đồ thị tại điểm đó vuông góc với đường thẳng y = x.



WWW.VNMATH.COM

WWW.VNMATH.COM

Chương 6

Mũ và lôgarít

6.1 Hàm số mũ, hàm số lũy thừa

Bài 6.1 : Rút gọn biểu thức sau trong miền xác định của nó :

1. P =x³⁄�₂ + y³⁄�₂

(x2 − xy)²⁄�₃:

x²⁄�₃. 3√

x − yx√

x − y√

y.

2. Q = a3

24� 4√

a +4√b�2+

�4√

a − 4√b�2

a +√

ab

35 . 3È

a.√

a.

3. R =�

x + y³⁄�₂ :√

x�²⁄�₃

:

� √x − √y√

x+

√y√

x − √y

�²⁄�₃.

4. T =

�1

x¹⁄�₂ − 4x¹⁄�₂− 2 3

√x

x 3√

x − 4 3√

x

�2

−√

x2 + 8x + 16.

Bài 6.2 : Cho x < 0, chứng minh rằng : Ï−1+

r1+

14

(2x − 2−x)2

1+

r1+

14

(2x − 2−x)2=

1− 2x

1+ 2x .

Bài 6.3 : Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số y =2x+ 2−x

2.

Bài 6.4 : Xét hàm số f (x) =2x+ 2−x

2và g(x) =

2x − 2−x

2. Chứng minh rằng với mọi x1, x2 ta có các hệ thức sau :

1. f (x1 + x2) + f (x1 − x2) = 2 f (x1) f (x2).

2. g(2x1) = 2g(x1) f (x1).

3. f (2x1) = 2 f 2(x1) − 1.

Bài 6.5 : Cho hàm số f (x) =4x

4x + 2. Tính tổng : S = f

� 11993

�+ f

� 21993

�+ · · · + f

�19921993

�.

6.2 Hàm số logarit

Bài 6.6 : Tính các đại lượng sau :

1. A = 92 log3 4+4 log81 2.2. B = loga

a2. 3√

a.5√a4

4√

a

!, với a > 0, a , 1.

Bài 6.7 : Cho log12 27= a. Tính theo a giá trị của log6 16.

127

WWW.VNMATH.COM


Bài 6.8 : Cho log14 28= a. Tính theo a giá trị của log49 16.

Bài 6.9 : log49 16=2a − 22− a

Bài 6.10 : Cho lg 392= a; lg 112= b. Tính log5 7 theo a và b.

Bài 6.11 : Biết log2 3 = a; log3 5 = b; log7 2 = c. Tính theo a, b, c giá trị của log14063.

Bài 6.12 : Cho log4 75= a; log8 45= b. Tính log 3√25

135 theo a và b.

Bài 6.13 : Cho a, b > 0 và a2+ b2

= 7ab. Chứng minh rằng với mọi α > 0, α , 1, ta có :

logαa + b

3=

12

�logα a + logα b

�Bài 6.14 : Chứng minh rằng : 2008= − log5

�log5

5q

5È. . .

5√5| {z }

2008dấu căn

�.

Bài 6.15 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông, với độ dài cạnh huyền là c. Giả sử c ± b , 1. Chứng minh

rằng :

logc+b a + logc−b a = 2 logc+b a. logc−b a.

Bài 6.16 : Cho log12 18= α, log24 54= β. Chứng minh rằng : α.β + 5(α − β) = 1.

Bài 6.17 : Giả sử :x(y + z − x)

lg x=

y(z + x − y)lg y

=z(x + y − z)

lg z. Chứng minh rằng :

xyyx= zyyz

= zxxz.

Bài 6.18 : Cho N > 0 và N , 1. Chứng minh rằng :1

log2 N+

1log3 N

+ · · · + 1log2008N

=1

log2008! N.

Bài 6.19 : Cho y = 10

11− lg x ; z = 10

11− lg y . Chứng minh rằng : x = 10

11− lg z .

Bài 6.20 : Tìm các giới hạn sau :

1. A = limx→0

e5x+3 − e3

2x.

2. B = limx→0

ex − 1√x + 1− 1

.

3. C = limx→0

ln(1+ x3)2x

.

4. D = limx→0

ln(1+ 2x)tanx

.

Bài 6.21 : Cho hàm số y = ln1

1+ x. Chứng minh rằng : xy′ + 1 = ey.


1+ x + ln x. Chứng minh rằng : xy′ = y(y ln x − 1).

Bài 6.23 : Cho hàm số y = e−x sinx. Chứng minh rằng : y′′ + 2y′ + 2y = 0.

Bài 6.24 : Cho y = sin(lnx) + cos(lnx). Chứng minh rằng : y + xy′ + x2y′′ = 0.

Bài 6.25 : Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số y =�1

3

�2−x

và y = 3x2−3x+1.

Bài 6.26 : Cho 0 < x < 1; 0< y < 1;y > x. Chứng minh rằng :1

y − x

�ln

y1− y

− lnx

1− x

�> 4.

Bài 6.27 : Cho x > y > 0. Chứng minh rằng :x + y

2>

x − yln x − ln y

.

Bài 6.28 : Chứng minh rằng, nếu x > 0 thì ln x <√

x.

Bài 6.29 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =ln2 x

x, trên

�1;e3

�.



WWW.VNMATH.COM


6.3 Phương trình mũ và logarit

Vấn đề 1 : Phương trình cơ bản

�Khi giải phương trình chứa mũ hoặc logarit ta cần đặt điều kiện cho ẩn, cụ thể

• ax xác định khi 0 < a , 1;

• loga x xác định khi 0 < a , 1 và x > 0.

Ta có một số phương trình cơ bản sau (giả sử 0 < a , 1) :

1. a f (x)= ag(x) ⇔ f (x) = g(x).

2. a f (x)= b⇔ f (x) = loga f (x).

3. loga f (x) = loga(g(x)) ⇔

8<: f (x) > 0 (hoặc g(x) > 0)

f (x) = g(x).

4. loga f (x) = b⇔ f (x) = ab.


1. 2x= 8;

2. 9x= 27;

3. 3x= 5;

4. 42x+1= 1;

5. ex= 2;

6. log3 x = log3 5;

7. log2 x =12

;

8. ln x = 0;

9. log x = −4.


1. (2+√

3)2x= 2−

√3;

2. 2x2−3x+2= 4;

3. 2.3x+1 − 6.3x−1 − 3x= 9;

4. 9x+1= 272x+1;

5. log21x= log1

2(x2 − x − 1);

6. log4(x + 12). logx 2 = 1;

7. log3 x + log9 x + log27 x = 11;

8. log3(3x+ 8) = 2+ x.


1. log2 [x(x − 1)] = 1;

2. log2 x + log2(x − 1) = 1;

3. log2 x + log4 x = log12

√3;

4. log2(3− x) + log2(1− x) = 3;

5. 1− 12

log(2x − 1) =12

log(x− 9);

6.16

log2(x−2)−13= log1

8

√3x − 5.



WWW.VNMATH.COM


Vấn đề 2 : Phương pháp logarit hai vế

�Khi phương trình mỗi vế là tích của các hàm số mũ hoặc các hằng số.

Phương pháp là lấy logarit hai vế theo một cơ số thích hợp.


1. 3x−1.2x2= 8.4x−2;

2. 2x.5x= 0, 2. log

�10x−1

�5;

3. 0, 125.42x−3=

�4√

2�x

;

4. 2x+1.5x= 200;

5. 3x.8x

x+1 = 36;

6. 32−log3 x= 81x;

7. 34x= 43x

;

8. 5x−1= 10x.2−x.5x+1;

9. 32x+5x−7 = 0, 25.128

x+17x−3 .


�

1. Nếu đặt t = ax, điều kiện t > 0;

2. Nếu đặt t = loga x, về cơ bản không cần đặt điều kiện cho t;

3. Nếu phương trình chứa tham số ta cần đặt điều kiện chặt cho ẩn t.

4. Một số cách đặt thông thường :

(a) Nếu t = ax thì a2x= t2, a−x

=1t

;

(b) Nếu đặt t = loga b thì logb a =1t

;

(c) Nếu đặt t =√

u(x) thì u(x) = t2;

(d) Với phương trình chứa (a ±√

b) mà (a +√

b)(a −√

b) = 1, nếu đặt t = (a +√

b)x thì (a −√

b)x=

1t

.

(e) Với phương trình dạng α.ax+ β.bx

+ γ.cx= 0, ta thường chia hai vế cho ax (hoặc bx hoặc cx) rồi đặt ẩn phụ.


1. 32x+5= 3x+2

+ 2;

2.6

log2 2x+

4log2 x2 = 3;

3. log22 x − 3 log2 x + 2 = 0;

4.1

5− log x+

21+ log x

= 1;

5. log12

x + log22 x = 2;

6. 3.4x − 2.6x= 9x;

7. 3x+1+ 18.3−x

= 29;

8. 27x+ 12x

= 2.8x;

9. log2 x3 − 20 log√

x + 1 = 0;

10. log9x 27− log3x 3+ log9 243= 0;

11.log2 xlog4 2x

=log8 4xlog16 8x

;

12. log3(3x − 1). log3

�3x+1 − 3

�=

12;

13. logx−1 4 = 1+ log2(x − 1);

14. 5È

log2(−x) = log2

√x2;



WWW.VNMATH.COM


15. 3log4 x+

12 + 3

log4 x−12 =

√x;

16. 4−

1x + 6

−1x = 9

−1x ;

17. 4ln x+1 − 6ln x − 2.3ln x2+2= 0;

18. 3È

log2 x − log2 8x + 1 = 0;

19. log212(4x) + log2

x2

8= 8.

20. 2sin2 x+ 4.2cos2 x

= 6;

21. 43+2 cos 2x − 7.41+cos 2x= 4

12 .

Vấn đề 4 : Phương pháp phân tích thành nhân tử

�Bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức, tìm cách đặt nhân tử chung đưa về dạng AB = 0, tương đương với

24 A = 0

B = 0.


1. 8.3x+ 3.2x

= 24+ 6x;

2. 12.3x+ 3.15x − 5x+1

= 20;

3. log2 x + 2 log7 x = 2+ log2 x. log7 x;

4. 2. log29 x = log3 x. log3

�√2x + 1− 1

�;

5. 4x2−3x+2+ 4x2

+6x+5= 42x2

+3x+7+ 1;

6. 4x2+x+ 21−x2

= 2(x+1)2+ 1.

Vấn đề 5 : Phương pháp đánh giá

�Cơ sở của phương pháp này là chúng ta sử dụng bất đẳng thức hoặc phương pháp hàm số đế đánh giá.

Cách 1 : Cơ sở nhận dạng :

(a) Nếu hàm số y = f (x) đồng biến trên (a; b) và hàm số y = g(x) nghịch biến trên (a; b) thì phương trình


(b) Nếu hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a; b) thì phương trình f (x) = c (với c là hằng số)

nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

Phương pháp giải là :

(a) Nhận thấy x = x0 là một nghiệm của phương trình đã cho.

(b) Nếu x > x0, ta suy ra vế trái lớn hơn vế phải hoặc ngược lại.

(c) Nếu x < x0, ta suy ra vế trái lớn hơn vế phải hoặc ngược lại.

(d) Kết luận phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = x0.

Cách 2 : Nếu hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a; b) thì phương trình f (u) = f (v) tương đương với

u = v.

Cách 3 : Nếu hàm số y = f (x) thỏa mãn f ′(x) = 0 có nhiều hơn 1 nghiệm thì chúng ta lập bảng biến thiên để suy ra

phương trình có tối ta bao nhiêu nghiệm, rồi nhẩm đủ số nghiệm đó, dẫn đến đó là tất cả các nghiệm của phương

trình.



WWW.VNMATH.COM


Cách 4 : Nếu f (x) ≥ c và g(x) ≤ c thì phương trình f (x) = g(x) tương đương với

8<: f (x) = c

g(x) = c.


1. 2x= 3− x;

2. 2x= 2− log3 x;

3. log2 x = 3− x;

4. 3x+ 4x

= 5x;

5. 4x − 3x= 1;

6.�1

3

�x

= x + 4;

7.�

sinπ

5

�x+

�cosπ

5

�x= 1.

6.4 Bất phương trình mũ và logarit

Vấn đề 1 : Bất phương trình cơ bản

�Giải bất phương trình chứa mũ và logarit chúng ta cần chú ý đến cơ số :

• Nếu cơ số a > 1 thì bất phương trình đạt được cùng chiều;

• Nếu cơ số 0 < a < 1 thì bất phương trình đạt được ngược chiều.

• Khi biến đổi bất phương trình phải bảo đảm biểu thức trong logarit là dương.

Dưới đây là một số dạng bất phương trình cơ bản :

1. a f (x) > ag(x), ta có các khả năng sau :

(a) Nếu a > 1 thì bất phương trình tương đương với f (x) > g(x);

(b) Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình tương đương với f (x) < g(x).

2. a f (x) < b. Khi b ≤ 0 thì bất phương trình vô nghiệm. Khi b > 0, ta có các khả năng sau :

(a) Nếu a > 1 thì bất phương trình tương đương với f (x) < loga b;

(b) Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình tương đương với f (x) > loga b.

3. a f (x) > b. Khi b ≤ 0 thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc tập xác định. Khi b > 0, ta có các khả năng

sau :

(a) Nếu a > 1 thì bất phương trình tương đương với f (x) > loga b;

(b) Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình tương đương với f (x) < loga b.

4. loga f (x) = loga g(x), ta có các khả năng sau :

(a) Nếu a > 1 thì bất phương trình tương đương với f (x) > g(x) > 0;

(b) Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình tương đương với 0 < f (x) < g(x).



WWW.VNMATH.COM


5. loga f (x) > b, ta có các khả năng sau :

(a) Nếu a > 1 thì bất phương trình tương đương với f (x) > ab;

(b) Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình tương đương với

8<: f (x) > 0

f (x) < ab.

6. loga f (x) < b, ta có các khả năng sau :

(a) Nếu a > 1 thì bất phương trình tương đương với

8<: f (x) > 0

f (x) < ab;

(b) Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình tương đương với f (x) > ab.


1. 23−6x > 1;

2. 16x > 0, 125;

3. log5(3x − 1) < 1;

4. log13(5x − 1) > 0;

5. log0,5(x2 − 5x + 6) ≥ −1;

6. log3

hlog1

2(x2 − 1)

i< 1;

7. log31− 2x

x≤ 0;

8. 2x+2 − 2x+3 − 2x+4 > 5x+1 − 5x+2;

9. log0,5(4x + 11)< log0,5(x2+ 6x + 8);

10. log13(x + 1) > log3(2− x);

11. log0,1(x2+ x − 2) > log0,1(x + 3);

12. log13(x2 − 6x + 5)+ 2 log3(2− x) ≥ 0;

13. log15(x2 − 6x + 18)+ 2 log5(x − 4) < 0;

14. log2

�log0,5

�2x − 31

16

��≤ 2;

15.�1

3

�log32

hlog1

3

�x22 +2log2 x−1

�+3i≥ 1.


�Chúng ta thực hiện giống như phương pháp giải phương trình.


1. 9x < 2.3x+ 3;

2. 52x+1 > 5x+ 4;

3. log20,5 x + log0,5 x − 2 ≤ 0;

4. 2x+ 2−x+1 − 3 < 0;

5. 4x − 2.52x < 10x;

6. 4x − 3.2x+ 2 > 0;

7. log23 x − 5 log3 x + 6 ≤ 0;

8. log20,2 x − 5 log0,2 x < −6;



WWW.VNMATH.COM


Vấn đề 3 : Phương pháp phân tích thành nhân tử

�Bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức, tìm cách đặt nhân tử chung đưa về dạng

1. AB ≥ 0, tương đương với

8<:A ≥ 0

B ≥ 0hoặc

8<:A ≤ 0

B ≤ 0.

2. AB ≤ 0, tương đương với

8<:A ≥ 0

B ≤ 0hoặc

8<:A ≤ 0

B ≥ 0.

Chú ý rằng nếu biết chắc chắn một trong hai nhân tử A và B là dương hoặc âm thì ta có thể chia hai vế cho số đó. Tuy nhiên,

nếu chỉ biết A ≥ 0 hoặc A ≤ 0 thì không được chia. Chẳng hạn, bất phương trình√

AB ≥ 0 không thể tương đương với

B ≥ 0, chúng ta xử lí bất phương trình này như sau :

• Nếu√

A = 0, bất phương trình luôn đúng với điều kiện thỏa mãn tập xác định.

• Nếu√

A > 0, bất phương trình tương đương với B ≥ 0.


1. 3+ x2(2x−1+ 22−x) > 3x2

+ 22−x+ 2x−1;

2. 2x+1+ (5x2

+ 11)21−x − x2 < 24− x�1− (x2 − 9)2−x

�;

3.√−3x2 − 5x + 2+ 2x ≥ 3x.2x

√−3x2 − 5x + 2+ 4x2.3x;

6.5 Hệ phương trình

Khi giải hệ phương trình mũ và lôgarit, ta cũng dùng các phương pháp giải hệ phương trình đã học như phương pháp thế,

phương pháp cộng đại số, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp biến đổi đưa về hệ phương trình đại số thông thường,

phương pháp đánh giá, phương pháp đưa về cùng cơ số,. . .


1.

8<:2x+y+ 3y

= 5

2x+y.3y−1= 2;

2.

8<:22x−y+ 2x

= 21+y

log2 x.�log4 y − 1

�= 4;

3.

8<:xy = 1

log2 x + log2 y = 2;

4.

8<:x + y = 20

log4 x + log4 y = 1+ log4 9;

5.

8<:x + y = 1

4−2x+ 4−2y

= 0, 5;

6.

8<:3−x.2y= 1152

log√5(x + y) = 2;

7.

8<:x2 − y2= 2

log2(x + y) − log3(x − y) = 1;

8.

8<:3.2x+ 2.3y

= 2, 75

2x − 3y= −0, 75;

9.

8<:log5 x + log5 7. log7 y = 1+ log5 2

3+ log2 y = log2 5(1+ 3 log5 x);



WWW.VNMATH.COM


10.

8><>:log2(x − y) = 5− log2(x + y)logx − log 4logy − log 3

= −1;11.

8<:2 log2 x − 3y= 15

3y. log2 x = 2 log2 x + 3y+1;12.

8<:x2+ y = y2

+ x

2x+y − 2x−1= x − y.

6.6 Phương trình mũ và lôgarit trong các kì thi tuyển sinh ĐH

Bài 6.41 (CĐ08) : Giải phương trình : log22(x + 1)− 6 log2

√x + 1+ 2 = 0.

Bài 6.42 (A02) : Cho phương trình : log23 x +

Èlog2

3 x + 1− 2m − 1 = 0 (m là tham số).


b) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; 3√

3].


8><>:log14(y − x) − log4

1y= 1

x2+ y2= 25.

Bài 6.44 (A06) : Giải phương trình : 3.8x+ 4.12x − 18x − 2.27x

= 0.

Bài 6.45 (A07) : Giải bất phương trình : 2 log3(4x − 3)+ log13(2x + 3) ≤ 2.

Bài 6.46 (A08) : Giải phương trình : log2x−1(2x2+ x − 1)+ logx+1(2x − 1)2 = 4.

Bài 6.47 (A09) : Giải hệ phương trình

8<:log2(x2+ y2) = 1+ log2(xy)

3x2−xy+y2= 81

(x, y ∈ R).

Bài 6.48 (B02) : Giải bất phương trình : logx�log3(9x − 72)

� ≤ 1.


8<:√x − 1+√

2− y = 1

3 log9(9x2) − log3 y3= 3.

Bài 6.50 (B06) : Giải bất phương trình : log5(4x+ 144)− 4 log5 2 < 1+ log5(2x−2

+ 1).

Bài 6.51 (B07) : Giải phương trình : (√

2− 1)x+ (√

2+ 1)x − 2√

2 = 0.

Bài 6.52 (B08) : Giải bất phương trình : log0,7

�log6

x2+ x

x + 4

�< 0.

Bài 6.53 (B10) : Giải hệ phương trình

8<:log2(3y − 1) = x

4x+ 2x

= 3y2(x, y ∈ R).


8><>:23x= 5y2 − 4y

4x+ 2x+1

2x + 2= y.

Bài 6.55 (D03) : Giải phương trình : 2x2−x − 22+x−x2= 3.

Bài 6.56 (D06) : Chứng minh rằng với mọi a, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất :8<:ex − ey= ln(1+ x) − ln(1+ y)

y − x = a.

Bài 6.57 (D06) : Giải phương trình : 2x2+x − 4.2x2−x − 22x

+ 4 = 0.

Bài 6.58 (D07) : Giải phương trình : log2(4x+ 15.2x

+ 27)+ 2 log21

4.2x − 3= 0.



WWW.VNMATH.COM


Bài 6.59 (D08) : Giải bất phương trình : log12

x2 − 3x + 2x

≥ 0.

Bài 6.60 (D10) : Giải phương trình 42x+√

x+2+ 2x3

= 42+√

x+2+ 2x3

+4x−4.

Bài 6.61 (D10) : Giải hệ phương trình

8<:x2 − 4x + y + 2 = 0

2 log2(x − 2)− log√2 y = 0.



1. 5x+1+ 6.5x − 3.5x−1

= 51.

2. 3x+1+ 3x+2

+ 3x+3= 9.5x

+ 5x+1+ 5x+2.

3. 3x.2x+1= 72.

4. log3 x(x + 2) = 1.

5. log2(x2 − 3)− log2(6x − 10)+ 1 = 0.

6. log2(2x+1 − 5) = x.


1. 52x+1+ 7x+1 − 175x − 35= 0.

2. 3.4x+

13.9x+2

= 6.4x+1 − 12.9x+1.

3. x2.2x+1+ 2|x−3|+2

= x2.2|x−3|+4+ 2x−1.

4. 4x2+x+ 21−x2

= 2(x+1)2+ 1.


1. logx 2. log x16

2 = log x64

2. 2. log5x5x+ log2

5 x = 1. 3. log2 x + log3 x + log4 x = log20 x.


1. 4x+√

x2−2 − 5.2x−1+√

x2−2 − 6 = 0 ;

2. 43+2 cosx − 7.41+cosx − 2 = 0 ;

3. 8x+ 18x

= 2.27x ;

4.�26+ 15

√3�x+ 2

�7+ 4

√3�x − 2

�2−√

3�x= 0.


1. log2

�4x+1+ 4�. log2(4x

+ 1) = 3 ;

2. log4�log2 x

�+ log2

�log4 x

�= 2 ;

3. logx(125x). log225 x = 1 ;

4. logx 3+ log3 x = log√x 3+ log3√

x +12

.


1. xlog4 x−2= 23(log4 x−1) ; 2. xlg2 x+lg x3

+3= x.


1.�2

5

�4x+1

=

�17

�3x−2

; 2. xlg x= 1000x2.




WWW.VNMATH.COM


1. log¹⁄�₂(x − 1)+ log¹⁄�₂(x + 1)− log 1√2(7− x) = 1 ;

2. 3x.2x2= 1 ;

3. 1+ log2(9x − 6) = log2(4.3x − 6) ;

4. log√2

√x + 1− log¹⁄�₂(3− x) − log8(x − 1)3 = 0.

Bài 6.70 : Giải phương trình : 3.25x−2+ (3x − 10).5x−2

+ 3− x = 0.

Bài 6.71 : Giải phương trình : x2.3x+ 3x(12− 7x) = −x3

+ 8x2 − 19x + 12.

Bài 6.72 : Giải phương trình : log2(1+√

x) = log3 x.

Bài 6.73 : Giải phương trình : log2

�x + 3log6 x

�= log6 x.

Bài 6.74 : Giải phương trình : xlog2 9= x2.3log2 x − xlog2 3.

Bài 6.75 : Giải phương trình : 5x+ 4x+ 3x+ 2x

=12x +

13x +

16x − 2x3

+ 5x2 − 7x + 17.

Bài 6.76 : Giải phương trình : 4(x − 2)�log2(x − 3)+ log3(x − 2)

�= 15(x + 1).

Bài 6.77 : Giải phương trình : 4sinx − 21+sinx cos(xy) + 2|y| = 0.

Bài 6.78 : Giải phương trình : 22x+1+ 23−2x

=8

log3(4x2 − 4x + 4).


8>>><>>>:log2 x + log4 y + log4 z = 2

log3 x + log9 y + log9 z = 2

log4 x + log1 6y + log1 6z = 2.


8<:4log3(xy)= 2+ (xy)log3 2

x2+ y2 − 3x − 3y = 12.


8<:xlog3 y+ 2ylog3 x

= 27

log3 y − log3 x = 1.


1.

8><>:log¹⁄�₄(y − x) − log41y= 1

x2+ y2= 25;

2.

8<:log2(x2+ y2) = 5

2 log4 x + log2 y = 4.


1. x2.3x−1+ x(3x − 2x) = 2(2x − 3x−1) ;

2. 4sinx − 21+sinx cos(xy) + 2|y| = 0 ;

3. 3 log3(1+√

x + 3√

x) = 2 log2√

x ;

4. (x + 2) log23(x + 1)+ 4(x + 1) log3(x + 1)− 16= 0.


1.√

9x − 3x+1 + 2 > 3x − 9 ;

2. 252x−x2+1+ 92x−x2

+1 ≥ 34.152x−x2;

3. 52x−10−3√

x−2 − 4.5x−5 < 51+3√

x−2 ;

4. log2(2x − 1). log¹⁄�₂(2x+1 − 2) > −2 ;

5.q

log22 x + log¹⁄�₂ x2 − 3 >

√5(log4 x2 − 3) ;

6. logx 2x ≤È

logx(2x)3.




WWW.VNMATH.COM


1. xlog2 x+4 < 32 ; 2. xlgx −3 lg x+1 > 1000.

Bài 6.86 : Giải bất phương trình :hlog2 x + log¹⁄�₄(x + 3)

ix−4≥ 1.


1. logx�log9(3x − 9)

�< 1 ; 2. logx

�log2(4x − 6)

� ≤ 1.

Bài 6.88 : Giải bất phương trình :5x +√

6x2 + x3 − x4. log2 x > (x2 − x) log2 x + 5+ 5√

6+ x − x2.


1. 25x+ 15x ≥ 2.9x ;

2. log¹⁄�₂ x + 2 log¹⁄�₄(x − 1)+ log2 6 ≤ 0 ;

3. log2(2x − 1) log2(2x+1 − 2) > 2 ;

4. 3È

log¹⁄�₂ x + log4 x2 − 2 > 0 ;

5.È

log20,5 x + 4 log2

√x ≤√

2(4− log16 x4).

Bài 6.90 : Giải bất phương trình : log7 x < log3(2+√

x).

Bài 6.91 : Giải phương trình, bất phương trình sau :

1. logx2

�4x − 2|x − 2|

�≥ 1

2;

2. 4x+1+ 2x+4

= 2x+2+ 16 ;

3. log42 x − log2

¹⁄�₂

�x3

8

�+ 9 log2

�32x2

�< 4 log2

¹⁄�₂x ;

4. 4.4x − 9.2x+1+ 8 = 0 ;

5. 9x+ 6x

= 22x+1 ;

6. (√

1− x +√

1+ x − 2). logx(x2 − x) = 0 ;

7. log2 x + 2 log7 x = 2+ log2 x. log7 x ;

8. 3x+ 5x

= 6x + 2 ;

9. 32x − 8.3x+√

x+4 − 9.9√

x+4 ;

10. log¹⁄�₆ x(x2 − 3x + 2) ≥ −1 ;

11. log5 x = log7(x + 2) ;

12. log2(x2 − 3)− log2(6x − 10)+ 1 = 0 ;

13. log¹⁄�₄(x − 3) = 1+ log41x

;

14.1

log4(x2 + 3x)<

1log2(3x − 1)

;

15. (4x+ 2x − 2) log2(2x − 1) ≥ 0 ;

16. 43√

x+5+1+ 2.2

3√x+5+x

= 2.4x ;

17. 3x2−4+ (x2 − 4).3x−2 − 1 ≥ 0 ;

18. 5¹⁄�₂ + 5¹⁄�₂+log5 sinx= 15¹⁄�₂+log15 cosx ;

19. 3+1

log32 x= logx

�89x2− 25

2x

�;

20. (√

2+ 1)x+1 − (3+ 2√

2)x= x − 1 ;

21. 2 ln x + ln(2x − 3)2 = 0 ;

22. log2(3x − 1)+1

logx+3 2= 2+ log2(x + 1) ;

23. log4(x−√

x2 − 1). log5(x+√

x2 − 1) = log20(x−√

x2 − 1) ;

24. 4x2−3x+2+ 4x2

+6x+5= 42x2

+3x+7+ 1 ;

Bài 6.92 : Giải các hệ sau :

1.

8><>:3.�2

3

�2x−y

+ 7.�2

3

� 2x−y2

− 6 = 0

lg(3x − y) + lg(x + y) − 4 lg 2= 0;

2.

8<:2x+ log2 y + 2x log2 y = 5

4x+ log2

2 y = 5;



WWW.VNMATH.COM


3.

8<:lg2 y = lg3 x − 4 lg2 x + 7lg x

lg2 x = lg3 y − 4 lg2 y + 7 lgy;

4.

8<:ex − ey= (log2 y − log2 x)(xy + 1)

x2+ y2= 1;

5.

8<:23x+1+ 2y−2

= 3.2y+3xÈ3x2 + 1+ xy =

√x + 1;

6.

8<:9log2(xy)= 3+ 2(xy)log2 3

x2+ y2= 3x + 3y + 6;

7.

8<:xlog8 y+ ylog8 x

= 4

log4 x − log4 y = 1;

8.

8><>:log4(x2+ y2) − log4(2x) + 1 = log4(x + 3y)

log4(xy + 1)− log4(4y2+ 2y − 2x + 4) = log4

xy− 1;

9.

8<:3lg x= 4lg y

(4x)lg 4= (3y)lg 3;

10.

8<:x4+ y = 3x4−y

8(x4+ y) = 6x4−y.

Bài 6.93 : Tìm tất cả các giá trị của a để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ∈ R :

a.9x+ (a − 1).3x+2

+ a − 1 > 0.

Bài 6.94 : Cho phương trình : 2 log4(2x2− x+2m−4m2)+ log¹⁄�₂(x2+mx−2m2) = 0. Xác định tham số m để phương trình

trên có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x21 + x2

2 > 1.

Bài 6.95 : Cho bất phương trình : m.92x2−x − (2m + 1)62x2−x+ m.42x2−x ≤ 0. Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với

mọi x thỏa mãn điều kiện |x| ≥ 12

.

Bài 6.96 : Giải bất phương trình : log12(4x+ 4) ≥ log1

2(22x+1 − 3.2x).

Bài 6.97 : Giải phương trình :12. log√2(x + 3)+

14

log4(x − 1)8 = log2(4x).

Bài 6.98 : Tìm a để phương trình sau có nghiệm :

91+√

1−x2 − (a + 2).31+√

1−x2+ 2a + 1 = 0


8<:x − 4|y| + 3 = 0Èlog4 x −

Èlog2 y = 0.

Bài 6.100 : Tìm k để hệ bất phương trình sau có nghiệm :8><>:|x − 1|3 − 3x − k < 012

log2 x2+

13

log2(x − 1)3 ≤ 1.

Bài 6.101 : Giải phương trình : 16 log27x3 x − 3 log3x x2= 0.


8<:logx(x3+ 2x2 − 3x − 5y) = 3

logy(y3+ 2y2 − 3y − 5x) = 3


8<:logy√

xy = logx y

2x+ 2y

= 3.


15.2x+1 + 1 ≥ |2x − 1| + 2x+1.


4�log2

√x�2 − log1

2x + m = 0

có nghiệm thuộc khoảng (0; 1).



WWW.VNMATH.COM



x + 2 log14(x − 1)+ log2 6 ≤ 0.

Bài 6.107 : Cho hàm số f (x) = x logx 2, với x > 0, x , 1.

Tính f ′(x) và giải bất phương trình f ′(x) ≤ 0.

Bài 6.108 : Giải phương trình : log5(5x − 4) = 1− x.

Bài 6.109 : Giải các phương trình, bất phương trình, hệ ...

a) (2− log3 x) log9x 3− 41− log3 x

= 1 ;

b) log4(x − 1)+1

log2x+1 4=

12+ log2

√x + 2 ;

c) log3(x − 1)2 + log√3(2x − 1) = 2 ;

d)

8<:x +√

x2 − 2x + 2 = 3y−1+ 1

y +È

y2 − 2y + 2 = 3x−1+ 1;

e) (logx 8+ log4 x2) log2

√2x ≥ 0 ;

f)

8<:ln(1+ x) − ln(1+ y) = x − y

x2 − 12xy + 20y2= 0;

g) 2(log2 x + 1) log4 x + log214= 0 ;

h) 9x2+x−1 − 10.3x2

+x−2+ 1 = 0 ;

i) 4x − 2x+1+ 2(2x − 1) sin(2x

+ y − 1)+ 2 = 0 ;

j) log3(3x − 1) log3(3x+1 − 3) = 6 ;

k) log√2

√x + 1− log1

2(3− x) − log8(x − 1)3 = 0 ;

Bài 6.110 : Chứng minh rằng hệ : 8>><>>:ex= 2009− yÈ

y2 − 1

ey= 2009− x√

x2 − 1

có đúng hai nghiệm thoả mãn điều kiện x > 0, y > 0.

Bài 6.111 : a) Giải bất phương trình : (2, 5)x − 2.(0, 4)x+1+ 1, 6 = 0.

b) Giải phương trình : log4(log2 x) + log2(log4 x) = 2.

Bài 6.112 : Trong các nghiệm (x, y) của bất phương trình : logx2+2y2(2x+ y) ≥ 1 hãy chỉ ra nghiệm có tổng 2x+ y lớn nhất.

Bài 6.113 : Giải phương trình : log2(3x − 1)+1

logx+3 2= 2+ log2(x + 1).

Bài 6.114 : Tìm tập xác định của hàm số : y =È

log2(x2 + 2). log2−x 2− 2

Bài 6.115 : Giải các bất phương trình :

a) 3√

x2−2x ≥�1

3

�x−|x−1|. b)

log2(x + 1)2 − log3(x + 1)3

x2 − 3x − 4> 0.

Bài 6.116 : Giải bất phương trình : log3

√x2 − 5x + 6+ log1

3

√x − 2 >

12

log13(x + 3).

Bài 6.117 : Giải phương trình : 4lg(10x) − 6lg x= 2.3lg(100x2).

Bài 6.118 : Giải phương trình : log4(x + 1)2 + 2 = log√2

√4− x + log8(4+ x)3.

Bài 6.119 : Cho phương trình :�

7+ 3√

52

�x

+ a.

�7− 3

√5

2

�x

= 8.

a) Giải phương trình khi a = 7.

b) Biện luận theo a số nghiệm của phương trình.



WWW.VNMATH.COM


Bài 6.120 : Tìm miền xác định của hàm số : y =√

x2 + x − 2 log3(9− x2).

Bài 6.121 : Giải phương trình : log x2

x2 − 14. log16x x3+ 40. log4x

√x = 0.


8>><>>:91y

3= 9

x2y

x + myx=

2xy− 4.

a) Giải hệ phương trình với m = 3.

b) Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất.

Bài 6.123 : Cho phương trình : 4x − m.2x+1+ 2m = 0.


b) Tìm m để hệ phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho x1 + x2 = 3.

Bài 6.124 : Cho hàm số y = 2x +m + log2(mx2 − 2(m − 2)x + 2m − 1). Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số xác định với

mọi x.


a) log2(log3(log2 x)) = 1.

b)�È

5+ 2√

6�sinx

+

�È5− 2

√6�sinx

= 2.

Bài 6.126 : Giải bất phương trình : 3x+1 − 22x+1 − 12x2 < 0.

Bài 6.127 : Giải phương trình : − log x2

2+ log2(4x) = 3.

Bài 6.128 : Giải phương trình : log9(x2 − 5x + 6)2 =12

log√3x − 1

2+ log3 |x − 3|.

Bài 6.129 : Tìm tất cả các giá trị của m sao cho bất phương trình sau được nghiệm đúng với mọi x ≤ 0 :

m.2x+1+ (2m + 1)(3−

√5)x+ (3+

√5)x < 0.

Bài 6.130 : Giải bất phương trình : 4x2+ x.2x2

+1+ 3.2x2

> x2.2x2+ 8x + 12.

Bài 6.131 : Xác định giá trị của tham số m để phương trìnhlg(mx)

lg(x + 1)= 2 có nghiệm duy nhất.

Bài 6.132 : Giải bất phương trình :21−x − 2x + 1

2x − 1≤ 0.

Bài 6.133 : Giải bất phương trình : (x + 1) log212

x + (2x + 5). log12

x + 6 ≥ 0.

Bài 6.134 : Cho phương trình : (√

5+ 1)x+ a.(

√5− 1)x

= 2x.

a) Giải phương trình khi a =14

.

b) Tìm mọi giá trị của a để phương trình có đúng một nghiệm.

Bài 6.135 : Giải phương trình : 9cotx+ 3cotx − 2 = 0.

Bài 6.136 : Giải hệ bất phương trình :

8><>:log22 x − log2 x2 < 0

x3

3− 3x2

+ 5x + 9 > 0.




WWW.VNMATH.COM


a) 9x+ 2(x − 2)3x

+ 2x − 5 = 0. b) log2(3.2x − 1) = 2x + 1.

Bài 6.138 : Tìm m để bất phương trình sau đây nghiệm đúng với mọi x :

logm(x2 − 2x + m + 1) > 0.


8<:logx(6x + 4y) = 2

logy(6y + 4x) = 2.

Bài 6.140 : Cho bất phương trình : (m − 1).4x+ 2x+1

+ m + 1 > 0.

a) Giải bất phương trình khi m = −1.

b) Tìm các giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x.

Bài 6.141 : Giải bất phương trình :�√

10+ 3� x − 3

x − 1 <�√

10− 3� x + 1

x + 3 .

Bài 6.142 : Tìm các giá trị của a để bất phương trình sau :

x2�

2− log2a

a + 1

�+ 2x

�1+ log2

aa + 1

�− 2

�1+ log2

aa + 1

�> 0

nghiệm đúng với mọi x.

Bài 6.143 : Tìm tất cả giá trị của x, thoả mãn x > 1, nghiệm đúng bất phương trình sau :

log2(x2+ x)

m

(x + m − 1) < 0

với mọi giá trị của m : 0 < m ≤ 4.

Bài 6.144 : Giải bất phương trình sau :2.3x − 2x+2

3x − 2x ≤ 1.

Bài 6.145 : Giải bất phương trình : logx

�x − 1

4

�≥ 2.

Bài 6.146 : Giải phương trình : log2(x2 − 1) = log12(x − 1).


8<:log2(x + y) + loga (x − y) = 1

x2 − y2= 1

với a là số dương khác 1. Xác định a để hệ phương

trình có nghiệm duy nhất và giải hệ phương trình trong trường hợp đó.

Bài 6.148 : Giải phương trình : 12.3x+ 3.15x − 5x+1

= 20.

Bài 6.149 : Giải phương trình : 5x.8

x − 1x = 500.

Bài 6.150 : Tìm tất cả các cặp số dương thoả mãn hệ phương trình :8<:xy+4x= y5(y− x

3)

x3= y−1.

Bài 6.151 : Giải bất phương trình : (4x2 − 16x + 7). log3(x − 3) > 0.

Bài 6.152 : Giải bất phương trình :lg(x2 − 3x + 2)

lg x + lg 2> 2.

Bài 6.153 : Cho phương trình : (x − 2)log2 4(x−2)= 2α(x − 2)3.



WWW.VNMATH.COM


a) Giải phương trình với α = 2.

b) Xác định α để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn :52≤ x1, x2 ≤ 4.

Bài 6.154 : Giải bất phương trình : 2 log225(x − 1) ≥

�log5

1√2x − 1− 1

�. log1

5(x − 1)

Bài 6.155 : Giải bất phương trình : log√x+2−√x 2 ≤ log√x+1 2.

Bài 6.156 : Tìm m để phương trình : qlog2

2 x + log12

x2 − 3 = m(log4 x2 − 3)

có nghiệm thuộc khoảng (32;+∞).

Bài 6.157 : Giải phương trình :�È

7+ 4√

3�cosx

+

�È7− 4

√3�cosx

= 4.

Bài 6.158 : Giải bất phương trình :q

log22 x + log1

2x2 − 3 =

È5(log4 x2 − 3).

Bài 6.159 : Giải phương trình : 4log2 2x − xlog2 6= 2.3log2 4x2

.

Bài 6.160 : Cho bất phương trình :

9x − 2(m + 1).3x − 2m − 3 > 0

trong đó m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình trên luôn đúng với mọi số thực x.


8><>:log4(x2+ y2) − log4(2x) + 1 = log4(x + 3y)

log4(xy + 1)− log4(4y2+ 2y − 2x + 4) = log4

xy− 1.

Bài 6.162 : Giải và biện luận theo tham số thực a hệ phương trình :8<:x + y + a = 1

2a2.4x+y−xy

= 2

trong đó (x, y) là ẩn.

Bài 6.163 : Tính tích các nghiệm của phương trình sau : xlog6(3x) − 36.5√

x7 = 0.


8<:(x4+ y).3xy−x4

= 1

8(x4+ y) − 6x4−y

= 0.

Bài 6.165 : Giải phương trình : 25x+ 10x

= 22x+1.


8<:x + y = 1

2x − 2y= 2.

Bài 6.167 : Giải bất phương trình : 5log3

�x − 2

x

�< 1.

Bài 6.168 : Giải phương trình : (2+√

3)x+ (7+ 4

√3)(2−

√3)x= 4(2+

√3).

Bài 6.169 : Giải phương trình : logx 2− log4 x +76

.


(m + 3).16x+ (2m − 1).4x

+ m + 1.

Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

Bài 6.171 : Giải phương trình : (2−√

3)x+ (2+

√3)x= 14.



WWW.VNMATH.COM


Bài 6.172 : Với giá trị nào của m thì phương trình :�15

�|x2−4x+3|= m4 − m2

+ 1

có bốn nghiệm phân biệt.

Bài 6.173 : Giải phương trình : log3(x2+ x + 1)− log3 x = 2x − x2.

Bài 6.174 : Giải và biện luận phương trình : 5x2+2mx+2 − 52x2

+4mx+m+2= x2

+ 2mx + m.


�x2+ x + 3

2x2 + 4x + 5

�= x2

+ 3x + 2.

Bài 6.176 : Giải bất phương trình : 2x + log2(x2 − 4x + 4) > 2− (x + 1) log12(2− x).

Bài 6.177 : Giải bất phương trình : log0,5(9x−1) − 2 > log0,5(3x−1+ 7).

Bài 6.178 : Giải và biện luận bất phương trình :

loga(loga2 x) + loga2(loga x) ≥ 12

loga 2.

Bài 6.179 : Cho phương trình : log2(mx3 − 5mx2+√

6− x) = log2+m(3−√

x − 1), m là tham số.

a) Giải phương trình với m = 0.

b) Tìm các giá trị của x nghiệm đúng bất phương trình đã cho với mọi m ≥ 0.

Bài 6.180 : Giải phương trình : log2(x2+ 3x + 2)+ log2(x2

+ 7x + 12)= 3+ log2 3.

Bài 6.181 : Giải phương trình : 125x+ 50x

= 23x+1.

Bài 6.182 : Giải phương trình : (√

1− x +√

1+ x − 2). log2(x2 − x) = 0.

Bài 6.183 : Giải bất phương trình :1

log13

√2x2 − 3x + 1

>1

log13(x + 1)

.

Bài 6.184 : Giải phương trình : log5(5x − 1). log25(5x+1 − 5) = 1.


8<:23x+1+ 2y−2

= 3.2y+3xÈ3x2 + 1+ xy =

√x + 1.

Bài 6.186 : Giải bất phương trình :r

log32x − 31− x

< 1.

Bài 6.187 : Giải phương trình : loga(ax). logx(ax) = loga21a

, với 0 < a , 1.

Bài 6.188 : Giải phương trình : 2(log9 x)2= log3 x. log3(

√2x + 1− 1).

Bài 6.189 : Giải phương trình : 4x − 2.6x= 3.9x.

Bài 6.190 : Giải bất phương trình : (0, 12)logx−1 x ≥�

5√

33

�logx−1(2x−1)

.

Bài 6.191 : Giải phương trình : 2 log6( 4√

x + 8√

x) = log4√

x.

Bài 6.192 : Giải bất phương trình : (4x − 12.2x+ 32). log2(2x − 1) ≤ 0.

Bài 6.193 : Giải phương trình : 2 log5 x − logx 125< 1.

Bài 6.194 : Giải phương trình : 4x−√

x2−5 − 12.2x−1−√

x2−5+ 8 = 0.

Bài 6.195 : Giải bất phương trình : 2�log121(x − 2)

�2 ≥ �log 111

(√

2x − 3− 1)� �

log 111

(x − 2)�

.

Bài 6.196 : Giải bất phương trình : log13(x − 1)+ log1

3(2x + 2)+ log√3(4− x) < 0.



WWW.VNMATH.COM


Bài 6.197 : Cho phương trình : (√

2+ 1)x2+ (√

2− 1)x2−1+ m = 0. Tìm m để phương trình trên có nghiệm?

Bài 6.198 : Giải bất phương trình : (2, 5)x − 2.(0, 4)x+1+ 1, 6 < 0.


(3+ 2√

2)tanx+ (3− 2

√2)tanx

= m.


b) Xác định m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt nằm trong khoảng�−π

2;π

2

�.

Bài 6.200 : Giải bất phương trình : 2log22 x+ xlog2 x ≤ 4.

Bài 6.201 : Cho bất phương trình : log5(x2+ 4x +m) − log5(x2

+ 1) < 1. Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi

x thuộc khoảng (2; 3).

Bài 6.202 : Giải phương trình : (x + 1) log23 x + 4x log3 x − 16= 0.


8<:logx(3x + 2y) = 2

logy(3y + 2x) = 2

Bài 6.204 : Giải bất phương trình : lg(x2 − 3) >12

lg(x2 − 2x + 1).

Bài 6.205 : Giải phương trình : 32x2+2x+1 − 28.9x2

+x+ 9 = 0.

Bài 6.206 : Giải bất phương trình : log4 x2+ log8(x − 1)3 ≤ 1.

Bài 6.207 : Giải bất phương trình :È

log9(3x2 + 4x + 2)+ 1 > log3(3x2+ 4x + 2).

Bài 6.208 : Cho phương trình : 34−2x2 − 2.32−x2+ 2m − 3 = 0.


b) Xác định m để phương trình có nghiệm?

Bài 6.209 : Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m : 2 log3 x − log3(x − 1)− log3 m = 0.


8<:3−x.2y= 1152

logx5(x + y) = 2.

Bài 6.211 : Giải bất phương trình : logx−1(x + 1) > logx2−1(x + 1).

Bài 6.212 : Giải bất phương trình : 2x − log3 8+ x2 log3(2x) − log3 x3 ≥ x2 − 3+ x log3(4x2).


�sin

x2− sinx

�+ log1

3

�sin

x2+ cos 2x

�= 0.

Bài 6.214 : Tìm a để bất phương trình sau được nghiệm đúng với mọi x :

a.4x+ (a − 1).2x+2

+ a − 1 > 0.

Bài 6.215 : Giải và biện luận theo k hệ phương trình :

8<:logx(3x + ky) = 2

logy(3y + kx) = 2.

Bài 6.216 : Giải bất phương trình : logx+1(−2x) > 2.

Bài 6.217 : Giải phương trình : 4x − 2x+1+ 2(2x − 1) sin(2x

+ y − 1)+ 2 = 0.

Bài 6.218 : Giải phương trình : log22x − 1|x| = 1+ x − 2x.



WWW.VNMATH.COM



8><>:21−x2

x2 + xy +32= 2y

(x2y + 2x)2 − 2x2y − 4x + 1 = 0.

Bài 6.220 : Giải phương trình : log22 x + x log7(x + 3) =

� x2+ 2 log7(x + 3)

�log2 x.

Bài 6.221 : Giải phương trình : 2+ (1− log3 x) log 2√x(4x2) = (1+ log2 x) log 2√

x(4x2) + 2 log3

3x. log2x 2.

Bài 6.222 : Giải phương trình : ln(2+ sin 2x) = 2 cos2�

x − π4

�.

Bài 6.223 : Giải phương trình : log24x2+ 2

x3 + 4x2 + 1= x3 − 1.

Bài 6.224 : Giải phương trình : 42x2 − 5.4x2+x+ 42x+1

= 0.


log3(9x − 3) ≤ log3

�x − 1

3

�.

Bài 6.226 : Giải bất phương trình : 2 log3(x + 1)+ 2 log9(4x + 1)− 3 log27(10x + 7) > 1.


15.2x+1 + 1 ≥ |2x − 1| + 2x+1.

Bài 6.228 : Với giá trị nào của m, phương trình sau có nghiệm duy nhất :

2 log 125

(mx + 28)= − log5(12− 4x − x2).

Bài 6.229 : Giải bất phương trình : log7(x2+ x + 1) ≥ log2 x.


8><>:|x| + y = 4+È

y2 + 212

lg x2 − 2 lg 2= lg�

1+y2

�.

Bài 6.231 : Giải phương trình : ln

�x2+ 5x + 8

x2 − x + 2

�= 4x + 4.

Bài 6.232 : Giải bất phương trình : log2(1+√

x) > log3 x.

Bài 6.233 : Giải bất phương trình : logx−√

x2−1

�x3+ 1

2x2 + 1

�> logx+

√x2−1

�2x + 1x2 + 1

�.

Bài 6.234 : Giải bất phương trình : 32x − 8.3x+√

x+4 − 9.9√

x+4 ≥ 0.

Bài 6.235 : Giải bất phương trình : log2�log3 x

� ≤ log5�log7 x

�.


8><>:2 log2(y + x) − log2 x = 1+ log2(3y − x)

log2

�xy + 3

x2 − y + 3x − 1

�− log4

� yx

�= 0.


log9(3x2 + 4x + 2)+ 1 > log3(3x2+ 4x + 2).

Bài 6.238 : Tìm m để bất phương trình : m log2(3x − 1)È

log2(2.3x − 2) < 1+ m có nghiệm trên (0; 2).

Bài 6.239 : Giải bất phương trình : log|x|�√

9− x2 − x − 1�≥ 1.

Bài 6.240 : Giải bất phương trình : log7−x2

�3 sin 2x − 2sinxsin 2x cosx

�= log7−x2 (sin2x(cot x + tanx)).

Bài 6.241 : Giải bất phương trình : 3+ xlog1

2x.2log2

2 x > 6.xlog1

2x.

Bài 6.242 : Giải bất phương trình : log12(x2+ 2x + 5) ≥ 1

2log1

2(2x2+ 4x + 3)− 2.

Bài 6.243 : Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm :

8<:log2 x + ylog2 3= 6È

log2 x + ylog2

√3= 2m.



WWW.VNMATH.COM


Bài 6.244 : Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm duy nhất

25x+ (m − 1)5x

+ 2m + 3 = 0.

Bài 6.245 : Tìm các giá trị của a để 3x+ (a − 1)2x

+ (a − 1) > 0 với mọi x ∈ R.

Bài 6.246 : Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm8<:(2x + 1) [ln(x + 1)+ ln x] = (2y + 1)�ln(y + 1)+ ln y

�√

y − 1− 2 4√

(y + 1)(x − 1)+ m√

x + 1 = 0.

Bài 6.247 : Giải phương trình

log2

√x2 + x + 1+ log16(x2 − x + 1)2 =

32

log23√

x4 + x2 + 1+ log4(x4 − x2+ 1).

Bài 6.248 : Tìm m để phương trình 4 log22

1√x− log1

2x + m = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 1).

Bài 6.249 : Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm log13

√x2 + 1 > log1

3(ax + a).

Bài 6.250 : Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phương trình log5(25x − log5 a) = x có nghiệm duy nhất.

Bài 6.251 : Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm duy nhất

log0,5(m + 6x) + log2(3− 2x − x2) = 0.

Bài 6.252 : Cho phương trình log(x2+ 10x + m) = 2 log(2x + 1) (với m là tham số).

Tìm các giá trị của m để phương trình trên có đúng hai nghiệm thực phân biệt.

Bài 6.253 : Giải các phương trình, bất phương trình :

1. log3−2x(2x2− 9x+ 9)+ log3−x(4x2 − 12x+ 9)− 4 = 0;

2. log√2

√x2 − 6x − 3+ log√x2−6x−3 2 = 3;

3. 2 log3(3x − 1)+ 1 = log√3(2x + 1);

4. log3(x3+ 1) =

12

�log3(2x − 1)2 + log√3(x + 1)

�;

5. 6x−1= 5 log7(6x − 5)+ 1;

6. log12

log3

�√x2 + 1+ x

�≥ log2 log1

3

�√x2 + 1− x

�;

7. 64log24 x= 3.2log2

2 x+ 3.xlog4 x

+ 4;

8.log8 x

log2(1+ 2x)≤ log2

3√1+ 2x

log2 x.

9. 2log22 x ≤ x2;

10. 42x2 − 5.4x2+x+ 42x+1

= 0;

11.È

log2(4x − 2) ≥ log2

�x − 1

2

�;

12. (√

5− 1)x+ (√

5+ 1)x − 2x+ 32 = 0;

13. log3

√x2 − 5x + 6+ log1

3

√x − 2 > log1

3

√x + 3;

14. 3log2 x= x2 − 1;

15.4x+ (x − 11)2x − 8(x − 3)

log2 x − 2≥ 0.

Bài 6.254 : Giải các phương trình, bất phương trình :

1. log20,5 x + 4 log2

√x ≤ 4− log16 x4;

2. log3

√x2 − 5x + 6+ log1

3

√x − 2 >

12

log13(x + 3);

3. 9x+ (x − 12)3x

+ 11− x = 0;

4. log4(x + 1)2 =13

log2(x + 2)3 + 2 log2

√4− x + 1;

5.√

x2 − 3x + 2 log2 x2 ≤√

x2 − 3x + 2(5− log√x 2);

6.�2x+ 3.2−x�2 log2 x−log2(x+6)

> 1;

7. (√

3+ 1)log2 x+ x.(

√3− 1)log2 x

= 1+ x2;

8. (4x − 2.2x − 3) log2 x − 3 > 4x+12 − 4x;



WWW.VNMATH.COM


9. 2 log3(x2 − 4)+ 3È

log3(x + 2)2 − log3(x − 2)2 = 4; 10.√

2x+3 − 2+2x+ 1√2<√

4x + 9.2x+1 − 3.

Bài 6.255 : Giải các hệ phương trình

1.

8><>:4log3(xy) − 2 = 2log3(xy)

log4(4x2+ 4y2) =

12+ log4 x + log4(x + 3y);

2.

8><>:2x − 21−y+ log2

x1− y

= 0

x(1− y) + 5y + 1 = 0.



WWW.VNMATH.COM

WWW.VNMATH.COM

Chương 7

Tích phân

7.1 Các dạng toán cơ bản về nguyên hàm

Vấn đề 1 : Chứng minh một hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x)

�Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là một nguyên hàm của f trên K nếu F′(x) = f (x) với mọi x ∈ K

Bài 7.1 : 1. Chứng minh rằng

F(x) = 4 sinx + (4x + 5)ex+ 1

là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 4 cosx + (4x + 9)ex.

2. Chứng minh rằng hàm số F(x) = |x| − ln(1+ |x|) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =x

1+ |x| .

3. Chứng minh rằng

F(x) =

8><>: x2

2ln x − x2

4+ 1 khix > 0

1 khix = 0

là một nguyên hàm của hàm số f (x) =

8<:x ln x khix > 0

0 khix = 0trên [0;+∞).

Bài 7.2 : Xác định các hệ số a, b, c để hàm số F(x) = (ax2+ bx + c)

√3− 2x là một nguyên hàm của hàm số f (x) =

x√

3− 2x.

Bài 7.3 : 1. Tìm m để hàm số F(x) = ln(x2+ 2mx + 4) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =

2x − 3x2 − 3x + 4

.

2. Cho hàm số f (x) = −xex và F(x) = (ax + b)ex. Với giá trị nào của a và b thì F(x) là một nguyên hàm của f (x).

Vấn đề 2 : Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản

�Ta có bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản sau

149

WWW.VNMATH.COM


1.R

0 dx = C;R

dx =R

1 dx = x +C;

2.R

xα dx =xα+1

α + 1+ C;

R(ax + b)α dx =

1a.(ax + b)α+1

α + 1+ C

(với α , −1, a , 0);

3.R 1

xdx = ln |x|+C;

R 1ax + b

dx =1a

ln |ax+b|+C (a , 0);

4. Với a là hằng số khác 0

(a)R

sin(ax + b) dx = −cos(ax + b)a

+ C;

(b)R

cos(ax + b) dx =sin(ax + b)

a+ C;

(c)R

e(ax+b) dx =e(ax+b)

a+C;

(d)Rαx dx =

αx

lnα+ C (với 0 < α , 1);

5. (a)R 1

cos2 xdx = tanx +C;

(b)R 1

sin2 xdx = − cotx +C.

Bài 7.4 : Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :

1.x +√

x + 13√

x;

2.�√

x + 1� �

x − √x + 1�;

3.1

sin2 x cos2 x;

4.cos 2x

sinx + cosx;

5.x3+ 1

1− x2;

6.1

(1+ x)(1− 2x);

7.2x − 1

ex;

8. e3−2x;

9. x(x + 1)(x + 2);

10.1√x− 1

3√

x;

11.�

1− x2

x

�2

;

12.3x2+ 3x + 3

x3 − 3x + 2;

13.1

x(1+ x)2;

14.x4 − 2x3 − x

;

15. sin�

x − π4

�(1+ sin 2x);

16. sinx sin 2x cos 5x;

17. sin6 x + cos6 x;

18.1√

2+ sinx − cosx;

19. sinx cos2 x.

Vấn đề 3 : Tìm hằng số C

Bài 7.5 : 1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =x3+ 3x2

+ 3x − 1x2 + 2x + 1

, biết rằng F(1) =13

.

2. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =1+ sinx1+ cosx

, biết rằng F(0) = 2.

Bài 7.6 : Tìm các hàm số thỏa mãn các điều kiện sau :

1. f ′(x) = 2x + 1, đồ thị của nó đi qua điểm (1; 5); 2. f ′(x) = 2− x2 và f (2) =73

.

Bài 7.7 : Tìm hàm số y = f (x) có đồ thị đi qua điểm (−1; 2)và thỏa mãn f ′(x) = ax +bx2

, ở đây f (1) = 4 và f ′(1) = 0.

Vấn đề 4 : Phương pháp nguyên hàm từng phần

�Công thức Z

u dv = uv −Z

v du.

Về việc chọn u, v như thế nào chúng ta xem phần phương pháp tích phân từng phần.

Bài 7.8 : Tính các nguyên hàm sau :



WWW.VNMATH.COM


1.R

(1− 2x)e3x dx;

2.R

(x2+ 2x − 1)ex dx;

3.R

x sin(2x + 1) dx;

4.R

(x2 − 1) sinx dx;

5.R

x ln(1− x) dx;

6.R √

x ln2 x dx;

7.R

ex cosx dx;

8.R

ex sinx dx;

9.R

e3x sin 5x dx;

10.R

e3x cos 7x dx;

11.R

xex cosx dx;

12.R

xe2x sin(2x + 1) dx;

13.R

x sinx2

dx;

14.R

x2 cosx dx;

15.R √

x ln x dx;

16.R

x2ex dx;

17.R

3x cosx dx;

18.R

xex sin 2x dx;

19.R 1+ sinx

1+ cosxex dx;

20.R

sin(ln x) dx;

21.R

ln�

x +√

1+ x2�

dx;

22.R

x ln1+ x1− x

dx;

23.R

cos(ln(tanx)) dx;

24.R x cosx

sin2 xdx;

25.R

x2x dx;

26.R

xe−x dx;

27.R

25e3x cos 4x dx.

Vấn đề 5 : Phương pháp đổi biến số

�Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên [a; b] và hàm số f (u) liên tục sao cho f [u(x)] xác định trên [a; b]. Khi đó nếu F là một

nguyên hàm của f , tứcR

f (u) du = F(u) + C thì Zf [u(x)] u′(x) dx = F [u(x)] +C.

Việc chọn u = u(x) như thế nào chúng ta xem thêm phần đổi biến tích phân.

Bài 7.9 : Tìm các nguyên hàm sau :

1.R

2(4x − 1)6 dx;

2.R 7

4− 3xdx;

3.R 3√

2x + 1dx;

4.R �

e−4x+

5√3x + 2�

dx;

5.R �

cos�π

2x�− 2

6x + 5

�dx;

6.R

(2x + 1)4 dx;

7.R

2x(x2+ 1)3 dx;

8.R x2

√x3 − 4

dx;

9.R

x√

x − 1 dx;

10.R

2x√

x2 + 1 dx;

11.R

3x2√

x3 + 1 dx;

12.R

2x3√

4− x4 dx;

13.R 3x2

x3 + 1dx;

14.R x

(3x2 + 9)4dx;

15.R

2x√

ex2+4 dx;

16.R 2x + 4

x2 + 4x − 5dx;

17.R

x3√2− t2 dx;

18.R

cosxesin x dx;

19.R ex

ex + 1dx;

20.R

cosx sin4 x dx;

21.R

x√

x + 1 dx;

22.R cosx

1+ sinxdx;

23.R x

x2 + 4dx;

24.R

(x + 1)√

x − 1 dx;

25.R tanx

sin2 xdx;

26.R 4x

(1− 2x2)dx;

27.R 4x

(1− 2x2)2dx;

28.R ln x

xdx;

29.R e−x

1+ e−xdx;

30.R 1

x ln xdx.


1.R

(2x + 1)20 dx;

2.R x

x2 + 1dx;

3.R

x2√

x3 + 5 dx;

4.R

e3 cosx sin x dx;

5.R ln4 x

xdx;

6.R e2x

√ex + 1

dx;

7.R

3x√

7− 3x2 dx;

8.R 9x2

√1− x3

dx;

9.R 1√

x(1+√

x)3dx;

10.R x√

2x + 3dx;

11.R x

(1+ x2)2dx;

12.R dx

ex − e−x;

13.R ln2 x

xdx;



WWW.VNMATH.COM


14.R 3√

1+ ln xx

dx;

15.R

cosx sin3 x dx;

16.R cosx + sinx√

sinx − cosxdx;

17.R sinx cosx√

a2 sin2 x + b2 cos2 x, (a2 , b2);

18.R dx

cosx sin2 x;

19.R

x√

1+ x2 dx;

20.R

sin2 x cos3 x dx;

21.R

e3 sinx cosx dx;

22.R

(3x + 2)10 dx.


1.R

x3e−x2 dx;

2.R

sin√

x dx;

3.R ln(ln x)

xdx;

4.R

cos2(ln x) dx;

5.R

e√

x dx;

6.R

sin(ln x) dx;

7.R

cos2√

x dx;

8.R � 1

ln2 x− 1

ln x

�dx;

9.R x cosx

sin2 xdx;

10.R

sin�√

x + 1�

dx;

11.R ln (tanx)

cos2 xdx;

12.R

sin5 x3

cosx3

dx;

13.R 1

x2sin

1x

cos1x

dx;

14.R dx

3+ 5 cosx;

15.R dx

sinx + cosx;

16.R dx

8− 4 sinx + 7 cosx;

17.R 4 sinx + 6 cosx + 5

sinx + 2 cosx + 2dx.

7.2 Các dạng toán tích phân

Vấn đề 1 : Sử dụng tích phân cơ bản

�Nếu F là một nguyên hàm là một nguyên hàm của f trên [a; b] thìZ b

af (x) dx = F(x)

��ba= F(b) − F(a).

Bài 7.12 : Tính các tích phân sau :

1.2R

0x(x + 1)2 dx;

2.π2R

0(2 cosx − sin 2x) dx;

3.2R

12

1x(x + 1)

dx;

4.ln 2R0

e2x+1+ 1

exdx;

5.π2R

0

�2x2+ cosx

�dx;

6.π6R

0(sin 6x sin 2x − 6) dx;

7.8R

1

�4x − 1

33√x2

�dx;

8.1R

0

�3x − e

x4

�dx;

9.4R

1

dxx2(x + 1)

;

10.π3Rπ6

sin3 x1− cosx

dx;

11.2R

0

√x3 − 2x2 + x dx;

12.π3Rπ6

dx

sin2 x cos2 x;

13.π4R

0

dx(1+ tan2 x) cos4 x

;

14.π2R− π2

cos2 2x dx;

15.π2R− π2

sin 2x sin 6x dx;

16.π6R

0tanx dx.

Vấn đề 2 : Tích phân hàm chứa dấu trị tuyệt đối

�

1. Công thức tách cận tích phân Z b

af (x) dx =

Z c

af (x) dx +

Z b

cf (x) dx.

2. Tích phân chứa dấu trị tuyệt đốibR

a| f (x)| dx (giả sử a > b).

(a) Giải phương trình f (x) = 0, được các nghiệm xi ∈ [a; b], giả sử a ≤ x1 < x2 < · · · < xn ≤ b.



WWW.VNMATH.COM


(b) Dùng công thức tách cận

bZa

| f (x)| dx =

x1Za

| f (x)| dx +

x2Zx1

| f (x)| dx + · · · +bZ

xn

| f (x)| dx

=

�� x1Za

f (x) dx

�� + �� x2Zx1

f (x) dx

�� + · · · + �� bZxn

f (x) dx

�� .Chú ý : Sau khi tách cận chúng ta có thể phá dấu giá trị tuyệt đối chứ không nhất thiết phải đưa giá trị tuyệt đối ra ngoài tích phân.

Bài 7.13 : 1. Cho5R0

f (t) dt = −3 và7R0

f (u) du = 4, tính7R5

f (x) dx.

2. Xác định hàm số f (x) = A sinπx + B, biết rằng f ′(1) = 2 và2R0

f (x) dx = 4.

Bài 7.14 : 1. Cho hàm số f (x) = a.3x+ b, biết rằng f ′(0) = 2 và

2R1

f (x) dx = 12. Tìm các giá trị của a và b.

2. Cho hàm số f (x) = a sin 2x + b, biết rằng f ′(0) = 4 và2πR0

f (x) dx = 3. Tìm các giá trị của a và b.

Bài 7.15 : 1. Cho4R0

f (x) dx = 1 và6R0

f (t) dt = 5. Tính tích phân I =6R4

f (x) dx.

2. Cho a ∈�π

2;

3π2

�và thoả mãn

1R0

cos(x + a2) dx = sina. Tính giá trị của a.


1.2R0|1− x| dx;

2.2R0|x2 − x| dx;

3.2πR0

√1− cos 2x dx;

4.

√3R

0

|1− x2|1+ x2

dx;

5.2R0|x − 2| dx;

6.3R−3|x2 − 1| dx;

7.4R1

√x2 − 6x + 9 dx;

8.5R−2

(|x + 2| − |x − 2|) dx;

9.3R0

√x3 − 4x2 + 4x dx;

10.2R0|x2+ 2x − 3| dx;

11.3R0|2x − 4| dx;

12.1R−1

√4− |x| dx;

13.πR−π

√1− sinx dx;

14.π3Rπ6

√tan2 x + cot2 x − 2 dx;

15.πR0

√1− sin 2x dx;

16.2πR0

√1+ cosx dx;

17.π2R− π2

cosx√

cosx − cos3 x dx;

18.π2R− π2| sinx| dx;

19.πR0

√1+ cos 2x dx;

20.2πR0

√1+ cosx dx.

Vấn đề 3 : Phương pháp tích phân từng phần

�bZ

a

u dv = uv��ba−

bZa

v du.

Dùng phương pháp tích phân từng phần khi tích phân của chúng ta vừa chứa lẫn lộn các hàm : hàm đa thức, hàm mũ, hàm lôga (hoặc

chỉ chứa hàm lôga), hàm lượng giác, hoặc chứa hàm vô tỉ.

Nếu chứa lôga chúng ta thường đặt u là lôga và dv là phần còn lại hoặc đặt u là đa thức và dv là phần còn lại.

Chú ý :

• Tích phân I =R

ex sinx dx đặt u = ex và dv = sinx dx . . .;

• Trước khi dùng tích phân từng phần chúng ta phải kiểm tra xem có làm được bằng phương pháp đổi biến số không đã;



WWW.VNMATH.COM


• Một cách tổng quát, chúng ta đặt u là biểu thức dễ xác định đạo hàm, dv là phần còn lại dễ xác định nguyên hàm.


1.ln 2R0

xe2x dx;

2.1R

0(2x2+ x + 1)ex dx;

3.π2R

0(1− x) sinx cosx dx;

4.π4R

0x sinx dx;

5.3R

12x ln x dx;

6.eR

1x3 ln2 x dx;

7.π2R

0e2x sin 3x dx;

8.πR0

ex cos 2x dx;

9.1R

0(x2+ 1)e2x dx;

10.1R

0(2x − 1)e−2x dx;

11.3R

0

√x + 1e

√x+1 dx;

12.1R

02√

x dx;

13.πR0

(x2+ 2x + 3) cosx dx;

14.π2R

0(x − 1) sinx dx;

15.π2R

0x cosx sin2 x dx;

16.π2Rπ3

x − sinx1+ cosx

dx;

17.5R

22x ln(x − 1) dx;

18.eR

1x ln2 x dx;

19.1R

0x ln�

x +√

1+ x2�

dx;

20.3R

2(ln(x − 1)− ln(x + 1)) dx;

21.πR0

ex cos2 x dx;

22.1R

0ex sin2(πx) dx;

23.π2R

0x2 cosx dx;

24.π3R

0(2− x) sinx dx.

Vấn đề 4 : Phương pháp đổi biến số

�

1. Phương pháp đổi biến số đơn giản

(a)R

f (ax + b) dx =1a

Rf (ax + b) d(ax + b);

VD :R

(2x − 3)2 dx =12

R(2x − 3)2d(2x − 3) =

12

(2x − 3)3

3+C.

Chú ý : d(ax + b) = a dx⇒ dx =1a

d(ax + b).

(b)R

f (xn+1)xn dx =1

n + 1f (xn+1) d(xn+1), đặt t = xn+1;

VD : I =R

(4x3+ 1)2x5 dx =

R(4x3+ 1)2x3.x2 dx.

Đặt t = 4x3+ 1⇒ dt = 12x2 dx và x3

=1− t

4.

Vậy I =R

t2�

1− t4

�3 dt12= · · ·

(c) Về cơ bản khi có căn chúng ta thường đặt t là toàn bộ căn, rồi lũy thừa hai vế cho mất căn; nếu biểu thức trong các hàm

sin, cos, tan, cot, ln hoặc lũy thừa là phức tạp thì ta thường đặt t là biểu thức phức tạp đó.

VD :

i. I =R

x2√

2x3 + 1 dx, đặt t =√

2x3 + 1⇒ t2 = 2x3+ 1⇒ 2t dt = 6x2 dx⇒ x2 dx =

t dt3

, nên I =R

t.t dt3= · · ·

ii. I =R

x3.ex2+1 dx, đặt t = x2

+1⇒ dt = 2x dx và x2= t−1, nên I =

Rx2.ex2

+1x dx =R

(t−1)et dt2

rồi dùng phương

pháp nguyên hàm từng phần.

iii. I =R 1

x2sin

1x

cos1x

dx, đặt t =1x⇒ dt = − dx

x2, nên I = −

Rsint cost dt = −1

2

Rsin 2t dt.

2. Phương pháp đổi biến số tích phân lượng giác

Tích phân chỉ chứa các hàm số lượng giác sin, cos, tan, cotchúng ta biến đổi về một trong các dạng sau :



WWW.VNMATH.COM


(a)R

f (sinx) cosx dx, hàm f (sinx) là tính theo sinx (chú ý rằng cos2 x = 1− sin2 x và nói chung lũy thừa bậc chẵn của cosx

đều đưa được về sinx), đặt t = sinx⇒ dt = cosx dx (tức là tích phân chứa sinx mũ lẻ).

(b)R

f (cosx) sin x dx, hàm f (cosx) là tính theo cosx (chú ý rằng sin2 x = 1− cos2 x và nói chung lũy thừa bậc chẵn của sinx

đều đưa được về cosx), đặt t = cosx⇒ dt = − sinx dx (tức là tích phân chứa cosx mũ lẻ).

(c)R

f (tanx)dx

cos2 x, đặt t = tanx ⇒ dt =

dxcos2 x

(tức là tích phân có lũy thừa của sinx và cosx cùng tính chẵn lẻ). Trường

hợp đặc biệt, tích phân chứa tanx, sin 2x, cos 2x cũng đặt t = tanx, khi đó sin 2x =2t

1+ t2, cos 2x =

1− t2

1+ t2.

(d)R

f (cotx)dx

sin2 x, đặt t = cotx ⇒ dt = − dx

sin2 x.

(e) Tích phân chứa (sinx + cosx) dx hoặc sin�

x +π

4

�dx đặt t = sinx − cosx.

(f) Tích phân chứa (sinx − cosx) dx hoặc sin�

x − π4

�dx đặt t = sinx + cosx.

VD : I =R dx

cosx=R cosx dx

cos2 x=R 1

cos2 xcosx dx =

R 1

1− sin2 xcosx dx, đặt t = sinx.

3. Phương pháp đổi biến với tích phân chứa√

ax2 + bx + c

(a) Nếu chứa√

a2 − x2 đặt x = a sint,−π2≤ t ≤ π

2.

(b) Nếu chứa√

x2 − a2 đặt x =a

sint,−π

2≤ t ≤ π

2và t , 0.

(c) Nếu chứa√

x2 + a2 đặt x = a tant,−π2< t <

π

2.

VD :

(a) I =R dx√

2− x2, đặt x =

√2 sint (−π

2≤ t ≤ π

2)⇒ dx =

√2 cost dt. Ta được :

√2− x2 =

√2− 2 sin2 t =

√2 cos2 t =

√2 cost, và I =

R √2 cost dt√2 cost

=R

dt = t + C.

(b) I =R √

x2 + 1 dx, đặt x = tant,−π2< t <

π

2, nên dx =

dtcos2 t

và√

x2 + 1 =1

cost. Ta được :

I =R dt

cos3 t=R d(sint)

(1− sin2 t)2=

12

R � (sint + 1)− (sint − 1)(sint + 1)(sint − 1)

�2

d(sint) = . . .

(c) I =R dx√

x2 + a2, đặt x = tant và ta được I = ln |x +

√x2 + a2| +C.

(d) Một cách tổng quát tích phân chứa sinx, cosx, tanx, cotx chúng ta đặt t = tanx2

.

4. Phương pháp đổi biến với tích phân chỉ chứa hàm mũ

Ta đặt t là cả hàm mũ đó, chẳng hạn :

(a) I =R ex

ex + 1dx, đặt t = ex ⇒ dt = ex dx = t dx⇒ dx =

dtt

, vậy thì I =R t

t + 1dtt= . . ..

(b) J =R dx

2x + 1, đặt t = 2x ⇒ dt = 2x ln 2 dx = t ln 2 dx⇒ dx =

dtt ln 2

, vậy thì J =R dt

t ln 2

t + 1= . . .

5. Phương pháp đổi biến tích phân chứa lôga và phân thức

I =R

f (ln x).dxx

, đặt t = ln x, ta được dt =dxx

.

VD : Tính I =R ln x + 1

xdx, đặt t = ln x + 1⇒ dt =

dxx

, vậy I =R

t dt.




WWW.VNMATH.COM


1.223R

0

3√3x + 5 dx;

2.1R

0x3(1+ x4)3 dx;

3.1R

0x2e3x3

dx;

4.π2R

0

sinx1+ cosx

dx;

5.a2R

0

dx√a2 − x2

, (a > 0);

6.aR

0

dxa2 + x2

, (a > 0);

7.1R

0

dxx2 + x + 1

;

8.2R

1x(1− x)5 dx;

9.1R

0

x3+ 2x2

+ 10x + 1x2 + 2x + 9

dx;

10.π3R

0

x + 13√3x + 1

dx;

11.

√3R

0x5√

1+ x2 dx;

12.π2R

0

sin 2x dx4− cos2 x

;

13.2R

1

2x√1+ x2

dx;

14.eR

1

ln2 xx

dx;

15.ln 2R0

√ex − 1 dx;

16.eR

1

√1+ ln x

xdx;

17.8R

3

√1+ xx

dx;

18.1R

0x2√

2− x2 dx;

19.1R

0

√1+ 4 sinx cosx dx;

20.π2R

0

sin 2x√cos2 x + 2 sin2 x

dx;

21.π4R

0

dx(sinx + 2 cosx)2

;

22.π2R

0

�esinx+ cosx

�cosx dx;

23.π2

4R0

cosx dx;

24.e5R

e2

ln(ln x)x

dx;

25.1R

0x3ex2 dx;

26.eR

1cos(ln x) dx;

27.eR

1

1+ x ln xx

dx;

28.π2Rπ4

cosx ln(sinx) dx ;

29.π4R

0

x dx1+ sin 2x

;

30.ln 3R0

xex

√ex + 1

dx;

31.1R

0ex ln(ex

+ 1) dx;

32.π4R

0

x sinx dxcos3 x

;

33.π3R

0

x dxcos2 x

;

34.π2R

0ln

(1+ sinx)1+cosx

1+ cosxdx;

35.π2R

0(x + sin2 x) cosx dx;

36.π2R

0

�esinx+ cosx

�cosx dx;

37.π3Rπ4

sinx ln(tanx) dx;

38.1R

0

x dxx4 + x2 + 1

;

39.ln π2R0

e2x sin2(ex) dx;

40.πR0

xex cosx dx;

41.e2Re

ln(ln x)x

dx.

Bài 7.19 : Tích phân các hàm số lượng giác

1.πR0

sin4 x cos4 x dx;

2.π3R

0cos 3x tan x dx;

3.πR0

sinx sin2x cos 5x dx;

4.π3R

0

�cos10 x + sin10 x − sin4 x cos4 x

�dx;

5.πR0

cos4 x dx;

6.π2R

0

�sin6 x + cos6 x

�dx;

7.π3Rπ6

√tan2 x + cot2 x − 2 dx;

8.π2R

0

4 sin3 x1+ cosx

dx;

9.π2R− π2

sin 2x sin 5x dx;

10.5π12Rπ12

dx

sin 2x + 2√

3 cos2 x + 2−√

3;

11.π3R

0

√2 sin

�x − π

4

�cosx

dx;

12.π3R− π2

cos 3x cos 5x dx;

13.π4R

0

dx1+ cos 2x

;

14.π2R

0

4 sin3 x1+ cosx

dx;

15.π2R

0

cosx√1+ cos2 x

dx;

16.π4R

0

�tan2 x + tan4 x

�dx;

17.π4R

0

dx(sinx + 2 cosx)2

;

18.π2R

0

sinx + 7 cosx + 54 sinx + 3 cosx + 5

dx;

19.π2R

0

9 sinx − 2 cosxcosx + 2 sinx + 1

dx;

20.π2R

0

sinx3+ cos2 x

dx;

21.π4R

0sin2 x cos4 x dx;

22.π2R− π2

cosx√

cosx − cos3 x dx;

23.π2R

0

dx1+ sinx + cosx

;

24.π4R

0

3 sin 2x + 4cos 2x + 53 cos 2x − 4 sin 2x + 5

dx;

25.π2R

0

3 cosx + sin x + 22 sinx + cosx + 1

dx;

26.π6R

0

tan4 xcos 2x

dx;

27.π4R

0

dxcos4 x

;

28.π2R

0sin3 x cos2 x dx;

29.π4R

0

sin5 xcos7 x

dx;

30.π6R

0

dx

cosx cos�

x +π

4

� ;

31.π4R

0

dx√2+ sinx − cosx

;

32.π4R

0

sinx dx1+ sin 2x

;

33.π2Rπ3

dxsin 2x − 2 sinx

.



WWW.VNMATH.COM


Bài 7.20 : Tích phân hàm vô tỉ

1.3R0

dx√x + 1+

p(x + 1)2

;

2.2R1

x + 3

x√

2x + 3dx;

3.7R0

x dx3√x + 1

;

4.7R0

x dx

1+√

2+ x;

5.64R1

dx√x + 3√

x;

6.1R0

dxÈ1+ 3√

x;

7.1R0

É1− x1+ x

dx;

8.2R1

dx√x + 1+

√x − 1

;

9.1R0

(x2+ x)√

x + 1 dx;

10.34R

0

x dx√1− x

;

11.2R1

x dx

1+√

x − 1;

12.16R1

dx√x + 9− √x

;

13.1R0

x dx√1+ x

;

14.3R0

√x3 − 2x2 + x dx;

15.1R0

2x2

√1+ x

dx;

16.9R1

x3√1− x dx;

17.1R0

dx

1+ 4√

x;

18.aR0

x2√

a2 − x2 dx, với a > 0;

19.1R0

x√

3+ x2 dx;

20.2R√

2

dx√x2 − 1

;

21.1R0

(1− x)É

x2− x

dx;

22.1R0

x −√

x2 − 2x + 2

x +√

x2 − 2x + 2.

dxx2 − 2x + 2

;

23.4R

2+√

2

dx

(x − 1)√

x2 − 4x + 3;

24.0R−1

x2√

4− x2;

25.0R−1

√−x(x + 2) dx;

26.1R0

√2x − x2 dx;

27.2R1

x2√

4− x2 dx;

28.1R0

dx

1+ x +√

x2 + 1;

29.2R1

x + 1√x2 − 2x + 2

dx;

30.1R0

x2 − 2x + 5√3+ 2x − x2

dx;

31.1R0

dxp(x2 + 8)3

dx;

32.1R−1

dx√4− x2

;

33.12R− 1

2

x3 − x5

√1− x2

dx;

34.12R

0

É1+ x1− x

dx;

35.1R0

x

É1− x1+ x

dx;

36.1R0

2x − 3√x2 + x + 1

dx;

37.5R4

x2+ 1√

x2 − 4x + 3dx;

38.1R0

x

1+ 3√

xdx;

39.2√

3R√

5

dx

x√

x2 + 4;

40.1R

13

É1+ x

x3dx;

41.

√3R

0x3√

x2 + 1 dx;

42.3R1

x3√

1− x2 dx;

43.3√

25R

13√

5

x5 3p

(2− 5x3)2 dx;

44.1R0

dx

(1+ xn) n√1+ xn, n ∈ N;

45.1R0

x7 7√8x4 + 1 dx;

46.1R0

x15√

1+ 3x8 dx.

Vấn đề 5 : Tích phân các hàm hữu tỉ

�Xét tích phân dạng

R P(x)ax2 + bx + c

dx, với P(x) là một đa thức nào đó.

VD : Tính I =R 2x3

+ 3x2 − xx2 + 2x + 2

dx.

• Chia tử cho mẫu (bậc tử lớn hơn bậc mẫu), được

I =Z

(2x − 1) dx +Z −3x + 2

x2 + 2x + 2dx

vấn đề là cần tính I1 =R −3x + 2

x2 + 2x + 2dx.



WWW.VNMATH.COM


• Tách tử theo đạo hàm của mẫu : đạo hàm của mẫu là 2x + 2, và tử là −3x + 2 =−32

(2x + 2)+ 5, vậy :

I1 = −32

Z(2x + 2) dxx2 + 2x + 2

+ 5Z

dxx2 + 2x + 2

.

– VớiR (2x + 2) dx

x2 + 2x + 2=R d(x2

+ 2x + 2)x2 + 2x + 2

= ln |x2+ 2x + 2| + C.

– VớiR dx

x2 + 2x + 2, ta nhận thấy mẫu x2

+ 2x + 2 vô nghiệm, nên x2+ 2x + 2 = (x + 1)2 + 1 (tổng quát : ax2

+ bx + c =

a�

x +b2a

�2

+∆

4a) và ta được Z

dxx2 + 2x + 2

=

Zdx

(x + 1)2 + 1

đặt x + 1 = tant ⇒ dx =dt

cos2 tvà (x + 1)2 + 1 = tan2 t + 1 =

1cos2 t

, thay vào ta đượcZdx

x2 + 2x + 2=

Z dtcos2 t

1cos2 t

=

Zdt = t +C.

Dạng tổng quát :R dx

x2 + a2 , đặt x = a tant.

Một ví dụ khác với mẫu là đa thức hai nghiệm phân biệt.

VD : Tính I =R 2x3 − x2

+ x − 42x2 − 3x + 1

dx và biến đổi như trên ta được :

I =Z

(x + 1) dx +Z

3x − 52x2 − 3x + 1

dx =Z

(x + 1) dx +34

Z4x − 3

2x2 − 3x + 1dx − 11

4

Zdx

2x2 − 3x + 1

• VớiR 4x − 3

2x2 − 3x + 1dx =

R d(2x2 − 3x + 1)2x2 − 3x + 1

= ln |2x2 − 3x + 1| +C.

• VớiR dx

2x2 − 3x + 1, nhận thấy mẫu 2x2 − 3x + 1 có hai nghiệm phân biệt 1 và

12

, nên 2x2 − 3x + 1 = 2(x − 1)�

x − 12

�.

Ta biến đổi1

2x2 − 3x + 1=

12.

1

(x − 1)�

x − 12

� = 12.(−2).

(x − 1)−�

x − 12

�(x − 1)

�x − 1

2

� = −�

1

x − 12

− 1x − 1

�.

Ta được :Zdx

2x2 − 3x + 1= −

Z �dx

x − 12

− dxx − 1

�= −

Z d�

x − 12

�x − 1

2

− d(x − 1)x − 1

!= −

�ln

��x − 12

�� − ln |x − 1|�+C.

Và cuối cùng ta xét ví dụ với mẫu là đa thức có nghiệm kép.

VD : TínhR dx

2x2 − 4x + 2=

12

R dx(x + 1)2

=12

R d(x + 1)(x + 1)2

= −12.

1x + 1

+ C.

Chú ý rằng :

• Nếu ax2+ bx + c có hai nghiệm x1, x2 thì ax2

+ bx + c = a(x − x1)(x − x2).

• Nếu ax2+ bx + c có nghiệm kép x = x0 thì ax2

+ bx + c = a(x − x0)2.

• d(x + a) = dx với mọi số thực a.


1.R dx

3x + 1;

2.R x2

+ 3x − 1−2x + 3

dx;

3.R dx−2x2 − x + 1

;

4.R dx

x2 − 4x + 4;

5.R x3

+ 5x2+ 3x − 7

x2 + 6x + 9dx;

6.R x2 − 6x + 10

x2 − 6x + 8dx;

7.R dx

x2(x + 1);

8.R 2x − 7

x2 − 3x + 2dx;



WWW.VNMATH.COM


9.R x − 1

(x2 + 3x + 2)2dx;

10.R 2x + 5

9x2 − 6x + 1dx;

11.R 2x + 1

(x2 − 4x + 4)3dx;

12.R 3x + 1

(x + 1)3dx;

13.R x3

(x2 + 1)2dx;

14.R x dx

(x2 + 1)2;

15.R x2

+ 2x + 1x2 + 1

dx;

16.R x4 − 1

x3 − xdx;

17.R (x2

+ 1) dx(x − 1)3(x + 3)

;


1.12R

0

x3 dxx2 − 3x + 2

;

2.2R0

3x3 dxx2 + 2x + 1

;

3.1R0

x dxx4 + x2 + 1

;

4.2R1

1− x2

1+ x4dx;

5.1R0

dxx4 + 4x2 + 3

;

6.12R

0

dx3x2 − 2x − 1

;

7.1R0

dxx2 − 4x + 5

;

8.2R1

dxx2 − 2x + 2

;

9.1R0

x dxx4 − 5x2 + 4

;

10.1R0

x2 dxx2 + 1

;

11.1R−1

x dxx2 + x + 1

;

12.1R0

(x2 − 4) dx2x3 − 4x2 + 6x − 12

;

13.1R0

3x + 8x2 − 9x + 14

dx;

14.4R0

x dxx4 + 4x2 + 3

;

15.1R0

x2

(1+ x)2dx;

16.4R2

2x + 1x2 + x

dx;

17.2R−1

�x − 1x + 2

�2

dx;

18.1R0

(1− 3x)4

(2x + 1)3dx;

19.1R0

x3 dx(x2 + 1)2

;

20.1R0

x5 dx4x6 + 4x3 + 1

;

21.2R1

(x2+ 1) dx

(x2 + 3x − 1)(x2 + 5x − 1);

22.2R1

(x2 − 4) dx(x2 − 3x + 4)(x2 − 2x + 4)

;

23.1R0

6x2+ x + 2

(4x + 1)(x2 + 1)dx;

24.1R

12

x4+ 5x2

+ 4x(x2 + 2)2

dx;

25.1R0

4x − 2(x + 2)(x2 + 1)

dx;

26.

√2+√

62R

1

x2+ 1

x4 + 1dx;

27.1R0

x dx(x + 1)3

;

28.1R

12

x2 − 1x4 + 1

dx;

29.1R0

�2x + 1x + 1

�2

dx;

30.1R0

x2

(x2 + 1)2dx;

31.−1R2

dx(11+ 5x)2

;

32.2R1

(x2+ 1) dx

(x2 + 5x + 1)(x2 − 3x + 1)

33.2R1

(4x + 2) dx(x2 + x)(x2 + x + 2)

;

34.2R1

(x2 − 6) dx(x2 + 3x + 2)(x2 + 9x + 18)

35.0R−1

� xx2 − 3x + 2

�2dx;

36.1R0

x dx(x2 + 1)2

;

37.2R1

5x + 3x3 − 2x2 − 3x

dx;

38.32R

1

dxx3 − 4x

;

39.12R

0

3x2 − 8x + 13(x + 3)(x − 1)2

dx.

Vấn đề 6 : Tích phân một số hàm đặc biệt

�1. Đối với hàm chẵn, lẻ

(a) Nếu hàm số y = f (x) là hàm số chẵn, liên tục trên [−a; a] thìaZ−a

f (x) dx = 2

aZ0

f (x) dx.

(b) Nếu hàm số y = f (x) là hàm số lẻ, liên tục trên [−a; a] thìaZ−a

f (x) dx = 0.

Nhận xét : Như vậy, trước khi tính tích phân ta cần chú ý đến hai cận, nếu thấy hai cận đối nhau ta cần để ý đến tính chẵn lẻ

của hàm số dưới dấu tích phân rồi áp dụng kết quả khẳng định trên.

2. Tích phân kết hợp giữa hàm chẵn và hàm mũ

Cho f (x) là hàm số chẵn, liên tục trên [−a; a]. Khi đó :aZ−a

f (x)mx + 1

dx =

aZ0

f (x) dx.



WWW.VNMATH.COM


3. Tính bất biến của tích phân khi biến số thay đổi cận cho nhau

Ta có hệ thức :bR

af (a + b − x) dx =

bRa

f (x) dx.

4. Tích phân hàm tuần hoàn

Nếu hàm số y = f (x) liên tục, tuần hoàn với chu kì T thì

a+TZa

f (x) dx =

TZ0

f (x) dx.

5. Hàm số dưới dấu tích phân có trục đối xứng thẳng đứng

Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b] và f (a + b − x) = f (x) thì

bZa

x f (x) dx =a + b

2

bZa

f (x) dx.

Đặc biệt :πR0

x f (sinx) dx =π

2

πR0

f (sinx) dx.

6. Tích phân của các hàm số đối xứng nhau - tích phân liên kết lượng giác

Nếu f (x) liên tục trên [0; 1] thìπ2R

0f (sinx) dx =

π2R

0f (cosx) dx.

Đặc biệtπ2Z

0

sink x(sinx + cosx)n

=

π2Z

0

cosk x(sinx + cosx)n

;

π2Z

0

sink xsinn x + cosn x

=

π2Z

0

cosk xsinn x + cosn x

.

7. Biến đổi tách đôi hàm số và co cận tích phân

Nếu f (x) là hàm liên tục trên [0; 2a], thì2aR0

f (x) dx =aR0

( f (x) + f (2a − x)) dx.

Bài 7.23 : 1. Chứng minh rằng1R−1

ecosx dx = 21R0

ecosx dx.

2. Tính các tích phân sau:

I1 =

2Z−2

ln(x +√

x2 + 1) dx; I2 =

12Z

− 12

cosx ln�

1+ x1− x

�dx.


1.π3R− π3

cos7 x dx;

2.1R−1

x6+ tanx

x2 + 1dx;

3.aR−a

x2�sinx +

√a2 − x2

�dx (a > 0);

4.1R−1

�ln�

x +√

1+ x2��2007

dx;

5.1R−1

�x2+ cos 6x + sin

3x2

sinx2

�ln�

2+ x2− x

�dx;

6.1R−1

x4

sin4 x + cos4 x

3

rx5 − x3

+ x − sinxx4 + x2 + 1+ cosx

dx;

7.1R−1

dx(2x + 1)(x2 + 1)

;

8.12R− 1

2

dx

(ex + 1)√

1− x2;

9.π2R− π2

x2 |sinx|2009x + 1

;

10.π2R− π2

sinx sin 2x cos 5xex + 1

dx;

11.1R−1

x ln�1+√

1+ x2�

(3x + 1)√

1+ x2dx;

12.1R−1

x2 ln(1+ x2)2x + 1

dx;

13.12R− 1

2

x ln�

1+x1−x

�ex + 1

dx;



WWW.VNMATH.COM


14.π2R− π2

x2 cosxex + 1

dx;

15.π4R

0ln(1+ tan x) dx;

16.1R0

ln(1+ x)1+ x2

dx;

17.4πR0

sin7 3x cos8 5x1+ cos10 x

dx;

18.π2R

0

�tan2007 2x + sin20096x

�dx;

19.2007πR

0

√1− cos 2x dx;

20.5π4Rπ

sin 2x

cos4 x + sin4 xdx;

21.πR0

x sinx dx9+ 4 cos2 x

;

22.πR0

x sinx dx;

23.πR0

x sin3 x dx;

24. I =πR0

x sinx d x

1+ sin2 x;

25.π2R

0

cos4 x

sin4 x + cos4 x;

26.π2R

0

sinx(sinx + cosx)3

;

27.π2R

0

�1

cos2(sinx)− tan2(cosx)

�dx;

28.π2R

0

sinn x

sinn−1 x + cosn−1 x;

29.π2R

0ln(tan x) dx;

30.π2R

0ln(sin x) dx;

31.π2R

0

dx1+ tan2009x

dx;

32.4R2

√ln(9− x)√

ln(9− x) +√

ln(x + 3)dx;

33.3πR0

sinx sin2x sin 3x dx;

34.πR0

3

Ésin 5xsin 3x

cos 7x dx;

35.2πR0

√1+ sinx dx;

36.πR0

x sinx cos2 x dx;

37.π2R

0

cos3 xsinx + cosx

dx;

38.1R−1

x4

1+ 2xdx;

Bài 7.25 : Chứng minh các hệ thức sau :

1.1R0

xm(1− x)n d x =1R0

xn(1− x)m dx;

2.aR0

x3 f (x2) d x =12

a2R0

x f (x) dx (a > 0; x > 0);

3. Chứng minh rằng nếu y = f (x) là hàm chẵn, tuần hoàn với chu kì T thìTR0

f (x) dx = 2

T2R

0f (x) dx.

7.3 Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

Bài 7.26 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :

1. elíp :x2

a2+

y2

b2= 1, (a, b > 0).

2. đồ thị hàm số y = x3 − 1, đường thẳng x = 2, trục tung và trục hoành.

3. đồ thị hàm số y = 4− x2, đường thẳng x = 3, trục tung và trục hoành.

4. parabol y = 2− x2 và đường thẳng y = −x.

5. đường thẳng y = x + 2 và parabol y = x2+ x − 2.

6. đồ thị hàm số y =√

x, trục hoành và đường thẳng y = x − 2.




WWW.VNMATH.COM


1. đồ thị các hàm số y =27x, y =

x2

27và y = x2.

2. parabol y = 2x2 − 4x − 6, trục hoành, và hai đường thẳng x = −2, x = 4.

3. parabol (P) : y = x2 − 4x + 5 và hai tiếp tuyến của (P) tại A(1; 2)và B(4; 5).

4. đồ thị các hàm số y = |x2 − 1| và y = |x| + 5.

5. đồ thị các hàm số y = −√

4− x2 và x2+ 3y = 0.

6. đồ thị các hàm số y = sin |x| và y = |x| − π.

7. đồ thị các hàm số x2= 4y và y =

8x2 + 4

Bài 7.28 : Cho parabol (P) : y = x2+ 1 và cho đường thẳng dm : y = mx + 2.

1. Chứng minh rằng với mọi m thì (P) và dm luôn cắt nhau tại hai điểm phân biêt.

2. Tìm m để hình phẳng giới hạn bởi (P) và dm có diện tích nhỏ nhất.


1. đồ thị các hàm số y = x2, y =x2

4, y =

2x

và y =8x

.

2. đồ thị các hàm số y2= 2x, x − 2y + 2 = 0 và trục hoành.

3. đồ thị hàm số y2+ x − 5 = 0 và đường thẳng x + y − 3 = 0.

4. đồ thị các hàm số x2= 3y và y2

= 3x.

5. parabol y = x2 − 2x + 2 và các tiếp tuyến của nó đi qua điểm A(2;−2).

7.4 Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể tròn xoay

Bài 7.30 : Cho hình phẳng S giới hạn bởi parabol y = 2x − x2 và trục hoành.

1. Tính thể tích Vx của hình tròn xoay tạo bởi khi quay S quanh trục Ox.

2. Tính thể tích Vy của hình tròn xoay tạo bởi khi quay S quanh trục Oy.

Bài 7.31 : Cho hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x2, y =27x

và y =x2

27. Tính thể tích Vx,Vy của hình tròn xoay tạo bởi

khi quay S quanh trục Ox,Oy (tương ứng).

Bài 7.32 : Cho hình phẳng S giới hạn bởi các parabol y = 4− x2 và y = x2+ 2. Tìm thể tích Vx,Vy của hình tròn xoay tạo bởi khi quay

S quanh trục Ox,Oy.

Bài 7.33 : Cho S là hình tròn tâm I(2; 0) và bán kính R = 1. Tìm thể tích Vx,Vy của hình tròn xoay tạo bởi khi quay S quanh trục

Ox,Oy.

Bài 7.34 : Cho hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xex, trục hoành và đường thẳng x = 1 . Tìm thể tích Vx của hình tròn xoay

tạo bởi khi quay S quanh trục Ox.

Bài 7.35 : Cho hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sinx, trục hoành, các đường thẳng x = 0 và x = π. Tính thể tích Vx của

hình tròn xoay tạo bởi khi quay S quanh trục Ox.

Bài 7.36 : Cho hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x ln x, trục hoành, các đường thẳng x = 1 và x = e. Tính thể tích Vx của

hình tròn xoay tạo bởi khi quay S quanh trục Ox.



WWW.VNMATH.COM


7.5 Tích phân trong các kì thi ĐH

Bài 7.37 (CĐ09) : Tính tích phân : I =1R

0

�e−2x+ x�

ex dx.

Bài 7.38 (CĐ10) : Tính tích phân I =1R0

2x − 1x + 1

dx.

Bài 7.39 (A02) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = |x2 − 4x + 3|, y = x + 3.

Bài 7.40 (A03) : Tính tích phân : I =2√

3R√

5

dx

x√

x2 + 4.

Bài 7.41 (A04) : Tính tích phân : I =2R1

x

1+√

x − 1dx.

Bài 7.42 (A05) : Tính tích phân : I =

π2R

0

sin 2x + sin x√1+ 3 cosx

dx.


π2R

0

sin 2x√cos2 x + 4 sin2 x

dx.

Bài 7.44 (A07) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = (e + 1)x, y = (1+ ex)x.


π6R

0

tan4 xcos 2x

dx.


π2R

0

�cos3 x − 1

�cos2 dx.

Bài 7.47 (A10) : Tính tích phân I =2R0

x2+ ex+ 2x2ex

1+ 2exdx.

Bài 7.48 (B02) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y =

r4− x2

4và y =

x2

4√

2.

Bài 7.49 (B04) : Tính tích phân I =eR

1

√1+ 3 ln x ln x

xdx.

Bài 7.50 (B05) : Tính tích phân I =

π2R

0

sin 2x cosx1+ cosx

dx.

Bài 7.51 (B06) : Tính tích phân I =ln 5Rln 3

dxex + 2.e−x − 3

.

Bài 7.52 (B07) : Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường : y = x ln x, y = 0, x = e. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi

quay hình H quanh trục Ox.

Bài 7.53 (B08) : Tính tích phân : I =

π4R

0

sin�

x − π4�

dx

sin 2x + 2(1+ sinx + cosx).

Bài 7.54 (B09) : Tính tích phân : I =3R1

3+ ln x(x + 1)2

dx.

Bài 7.55 (B10) : Tính tích phân I =eR

1

ln xx(2+ ln x)2

dx.

Bài 7.56 (D03) : Tính tích phân : I =2R0|x2 − x| dx.

Bài 7.57 (D04) : Tính tích phân : I =3R2

ln(x2 − x) dx.

Bài 7.58 (D05) : Tính tích phân : I =

π2R

0

�esinx+ cosx

�cosx dx.


(x − 2)e2x dx.

Bài 7.60 (D07) : Tính tích phân : I =eR

1x3 ln2 x dx.



WWW.VNMATH.COM



ln xx3

dx.


dxex − 1

.

Bài 7.63 (D10) : Tính tích phân I =eR

1

�2x − 3

x

�dx.


Bài 7.64 : Tính tích phân : I =2R0

x3 dxx2 + 1

.

Bài 7.65 : Tính tích phân : I =ln 3R0

ex dxp(ex + 1)3

.

Bài 7.66 : Tính tích phân : I =0R−1

x�22x+

3√x + 1

�dx.

Bài 7.67 : Tính tích phân : I =

π4R

0

x1+ cos 2x

dx.


x3√

1− x2 dx.

Bài 7.69 : Tính tích phân : I =ln 5Rln 2

e2x dx√ex − 1

.


x3ex2 dx.

Bài 7.71 : Tính tích phân : I =eR

1

x2+ 1x

ln x dx.


π3R

0sin2 x tanx dx.


x + 23√x + 1

dx.

Bài 7.74 : Tính tích phân : I =eR

1x2 ln x dx.

Bài 7.75 : Tính tích phân :π4R

0(tanx + esin x. cosx) dx.

Bài 7.76 : Tính tích phân : I =e3R1

ln2 x

x√

ln x + 1dx.


π2R

0(2x − 1) cos2 x dx.


dx

2x + 1+√

4x + 1.

Bài 7.79 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol : y = x2 − x + 3 và đường thẳng d : y = 2x − 1.


√eR

2

3− 2 ln x

x√

1+ 2 ln xdx.


dx

x − 2√

x − 1.


π2R

0(x + 1) sin2x dx.


(x − 2) ln x dx.



WWW.VNMATH.COM



√2x + 1

1+√

2x + 1dx.

Bài 7.85 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0 và y =x(1− x)x2 + 1

.

Bài 7.86 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 và y =√

2− x2.


x(x − 1)x2 − 4

dx.


x2 cosx dx.

Bài 7.89 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y =3x4

và y =x2

x + 1.

Bài 7.90 : Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3−x√

2x + 1;y = 0; x = 1 xung

quanh trục Ox.

Bài 7.91 : Tính thể tích khối tròn xoay nhận được do quay quanh trục Oy hình phẳng được giới hạn bởi các đường y2= x và 3y− x = 2.

Bài 7.92 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = |x2 − 4x| và y = 2x.

Bài 7.93 : Cho D là hình hình giới hạn bởi (x − 1)2 + (y − 1)2 = 1. Tính thể tích vật thể khi quay D quanh trục Ox.


1.eR

1e

ln x(1+ x)2 dx;

2.1R0

(2x − 1)2e3x dx;

3.e+1R2

x2 ln(x − 1) dx;

4.1R0

dx

x +√

1− x2;

5.πR0

x sinx cosx dx;

6.5R1

x2+ 1

x√

3x + 1dx;

7.3R1

ln(x2+ 3)

x2dx;

8.

π

2R0

x + sinx1+ cosx

dx;

9.Rπ

2

cos3 xcosx − sinx

dx;

10.

π

4R0

cos�

x − π4

�4− 3 cosx

dx;

11.2R0

x dx√2+ x +

√2− x

;

12.

π

4R0

x sinxcos3 x

dx;

13.1R0

x3 − x2

x3√3x − 4

− 1 dx;

14.πR0

sin 2x1+ cos4 x

dx;

15.

π

4Rπ

6

x sin2 x dxsin 2x cos2 x

;

16.eR

1

ln3 x

x(ln2 x + 1)dx;

17.

π

2R0

�3x(x − 1)+ e1+cosx sin 2x

�dx;

18.π4R− π4

dxcos2 x

�1+ e−3x

� .


1.ln√

3R0

dxe2x + 1

;

2.1R0

dx

1+√

1− x2;

3.

π

2R0

cos 2x�sin4 x + cos4 x

�dx;

4.1R0

dxx4 + 4x2 + 3

;

5.2R0

�√x(2− x) + ln(4+ x2)

�dx;

6.

π

3R0

x + sin2 x1+ cos 2x

dx;

7.3 ln 2R0

e2x dx

1+√

3ex + 1;

8.2R1

x√

x − 1x − 5

dx;

9.1R−1

dx

1+ x +√

1+ x2;

10.2R0

x ln(x2+ 1)+ x3

x2 + 1

11.1R0

1+ x

1+√

xdx;

12.

π

3R0

sinx

cosx√

3+ sin2 xdx;

13.π2Rπ4

x cosx

sin3 xdx;

14.ln 5Rln 2

dx

(10.e−x − 1)√

ex − 1;

15.π4R

0

x sinxcos3 x

dx;

16.π2R

0

sin 2x − 3cosx2 sinx + 1

dx;

17.2R1

√4− x2

x2dx;



WWW.VNMATH.COM

Chương 8

Số phức

Bài 8.1 : 1. Mối quan hệ z = z đúng nếu và chỉ nếu z là số thực ;

2. Với bất kì số phức z quan hệ z = z là đúng ;

3. Với bất kì số phức z, số phức z.z ∈ R là một số thực không âm ;

4. z1 + z2 = z1 + z2 (liên hợp của một tổng bằng tổng các liên hợp) ;

5. z1.z2 = z1.z2 (liên hợp của một tích bằng tích các liên hợp) ;

6. Với bất kì số phức z , 0, có z−1 = (z)−1 ;

7.�

z1

z2

�=

z1

z2, z2 , 0 (liên hợp của một thương bằng thương các liên hợp) ;

8. ℜ(z) =z + 2

2và ℑ(z) =

z − z2i

.

Bài 8.2 : 1. Tính z =5+ 5i3− 4i

+20

4+ 3i;

2. Giả sử z1, z2 ∈ C. Chứng minh rằng số E = z1.z2 + z1.z2 là một số thực.

Bài 8.3 : Chứng minh các khẳng định sau :

1. −|z| ≤ ℜ(z) ≤ |z| và −|z| ≤ ℑ(z) ≤ |z| ;

2. |z| = | − z| = |z| ;

3. z.z = |z|2 ;

4. |z1.z2| = |z1|.|z2| (môđun của một tích bằng tích các môđun) ;

5. |z1| − |z2| ≤ |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| ;

6. |z−1| = |z|−1, z , 0 ;

7.��z1

z2

�� = |z1||z2|, z2 , 0 (môđun của một thương bằng thương các môđun) ;

8. |z1| − |z2| ≤ |z1 − z2| ≤ |z1| + |z2|.


|z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = 2(|z1|2 + |z2|2)

với mọi số phức z1, z2.

Bài 8.5 : Chứng minh rằng nếu |z1| = |z2| = 1 và z1.z2 , −1, thìz1 + z2

1+ z1z2là số thực.

Bài 8.6 : Giải sử a là một số thực dương và

Ma =

§z ∈ C∗ :

��z + 1z

�� = aª.

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của |z| khi z ∈ Ma.

167

WWW.VNMATH.COM


Bài 8.7 : Chứng minh rằng với bất kì số phức z, có

|z + 1| ≥ 1√2

hoặc |z2+ 1| ≥ 1.

Bài 8.8 : Chứng minh rằng : r72≤ |1+ z| + |1− z + z2| ≤ 3

r76

với mọi số phức mà |z| = 1.

Bài 8.9 : Xét tập

H = {z ∈ C : z = x − 1+ xi, x ∈ R}.

Chứng minh rằng có duy nhất số z ∈ H sao cho |z| ≤ |w| với mọi w ∈ H.

Bài 8.10 : Giả sử x, y, z là các số phức phân biệt sao cho

y = tx + (1− t)z, t ∈ (0; 1).

Chứng minh rằng|z| − |y||z − y| ≥

|z| − |x||z − x| ≥

|y| − |x||y − x| .

Bài 8.11 : Giải phương trình trên tập số phức

z2 − 8(1− i)z + 63− 16i = 0.

Bài 8.12 : Giả sử p, q là các số phức với q , 0. Chứng minh rằng nếu các nghiệm của phương trình bậc hai x2+ px + q2

= 0 có cùng

môđun, thìpq

là một số thực.

Bài 8.13 : Giả sử a, b, c là các số phức khác không với |a| = |b| = |c|.

1. Chứng minh rằng nếu các nghiệm của phương trình az2+ bz + c = 0 có môđun bằng 1, thì b2

= ac.

2. Nếu mỗi phương trình

az2+ bz + c = 0 và bz2

+ cz + a = 0

có một nghiệm có môđun bằng 1, thì |a − b| = |b − c| = |c − a|.

Bài 8.14 : Giải các phương trình sau trong C :

1. z2+ z + 1 = 0 ; 2. z3

+ 1 = 0.

Bài 8.15 : Tìm các số thực x, y thỏa mãn mỗi trường hợp sau :

1. (1− 2i)x + (1+ 2i)y = 1+ i ;

2.x − 33+ i

+y − 33− i

= i ;

3. (4− 3i)x2+ (3+ 2i)xy = 4y2 − 1

2x2+ (3xy − 2y2)i.

Bài 8.16 : Tính :

1. (2− i)(−3+ 2i)(5− 4i) ;

2. (2− 4i)(5+ 2i) + (3+ 4i)(−6− i) ;

3.�

1+ i1− i

�16

+

�1− i1+ i

�8

;

4.

�−1+ i

√3

2

�6

+

�1− i

√7

2

�6

;

5.3+ 7i2+ 3i

+5− 8i2− 3i

.

Bài 8.17 : Tính :

1. i2000+ i1999

+ i201+ i82

+ i47 ;

2. En = 1+ i + i2 + · · · + in, với n ≥ 1 ;

3. i1.i2.i3 . . . i2000 ;

4. i−5+ (−i)7

+ (−i)13+ i−100

+ (−i)94.



WWW.VNMATH.COM


Bài 8.18 : Giải phương trình trong C :

1. z2= i ; 2. z2

= −i ; 3. z2=

12− i

√2

2.

Bài 8.19 : Tìm tất cả các số phức z , 0 sao cho z +1z∈ R.


1. E1 = (2+ i√

5)7 + (2− i√

5)7 ∈ R ; 2. E2 =

�19+ 7i9− i

�n

+

�20+ 5i7+ 6i

�n

∈ R.

Bài 8.21 : Chứng minh các đẳng thức sau :

1. |z1 + z2|2 + |z2 + z3|2 + |z3 + z1|2 = |z1|2 + |z2|2 + |z3|2 + |z1 + z2 + z3|2 ;

2. |1+ z1z2|2 + |z1 − z2|2 = (1+ |z1|2)(1+ |z2|)2 ;

3. |1− z1z2|2 − |z1 − z2|2 = (1− |z1|2)(1− |z2|)2 ;

4. |z1 + z2 + z3|2 + | − z1 + z2 + z3|2 + |z1 − z2 + z3|2 + |z1 + z2 − z3|2 = 4(|z1|2 + |z2|2 + |z3|2).

Bài 8.22 : Giả sử z ∈ C∗ sao cho��z3+

1z3

�� ≤ 2. Chứng minh rằng��z + 1

z

�� ≤ 2.

Bài 8.23 : Tìm tất cả các số phức z sao cho :

1. |z| = 1 và |z2+ z2| = 1 ; 2. 4z2

+ 8|z|2 = 8 ; 3. z3= z.

Bài 8.24 : Xét số phức z ∈ C vớiℜ(z) > 1. Chứng minh rằng��1z − 12

�� < 12.

Bài 8.25 : Giả sử a, b, c là các số thực và ω = −12+ i

√3

2. Tính

(a + bω + cω2)(a + bω2+ cω).

Bài 8.26 : Giải các phương trình :

1. |z| − 2z = 3− 4i ;

2. |z| + z = 3+ 4i ;

3. z3= 2+ 11i, ở đây z = x + yi và x, y ∈ Z ;

4. iz2+ (1+ 2i)z + 1 = 0 ;

5. z4+ 6(1+ i)z2

+ 5+ 6i = 0 ;

6. (1+ i)z2+ 2+ 11i = 0.

Bài 8.27 : Tìm tất cả các số thực m sao cho phương trình

z3+ (3+ i)z2 − 3z − (m + i) = 0

có ít nhất một nghiệm thực.

Bài 8.28 : Tìm tất cả các số phức z sao cho

z′ = (z − 1)(z + i)

là một số thực.

Bài 8.29 : Tìm tất cả các số phức z sao cho |z| =��1z ��.

Bài 8.30 : Giả sử z1, z2 ∈ C là các số phức sao cho |z1 + z2| =√

3 và |z1| = |z2| = 1. Tính |z1 − z2|.

Bài 8.31 : Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho�−1+ i

√3

2

�n

+

�−1− i

√3

2

�n

= 2.



WWW.VNMATH.COM


Bài 8.32 : Giả sử n > 2 là một số nguyên. Tìm các nghiệm của phương trình

zn−1= iz.

Bài 8.33 : Giả sử z1, z2, z3 là các số phức với

|z1| = |z2| = |z3| = R > 0.

Chứng minh rằng

|z1 − z2|.|z2 − z3| + |z3 − z1|.|z1 − z2| + |z2 − z3|.|z3 − z1| ≤ 9R2.

Bài 8.34 : Giả sử u, v,w, z là các số phức sao cho |u| < 1, |v| = 1 và w =v(u − z)u.z − 1

. Chứng minh rằng |w| ≤ 1 nếu và chỉ nếu |z| ≤ 1.

Bài 8.35 : Giả sử z1, z2, z3 là các số phức sao cho

z1 + z2 + z3 = 0 và |z1| = |z2| = |z3| = 1.

Chứng minh rằng

z21 + z2

2 + z23 = 0.

Bài 8.36 : Xét các số phức z1, z2, . . . , zn với

|z1| = |z2| = · · · = |zn| = r > 0.

Chứng minh rằng số

E =(z1 + z2)(z2 + z3) · · · (zn−1 + zn)(zn + z1)

z1.z2 · · · zn

là số thực.

Bài 8.37 : Giả sử z1, z2, z3 là các số phức khác nhau sao cho

|z1| = |z2| = |z3 > 0.|

Nếu z1 + z2z3, z2 + z1z3 và z3 + z1z2 là các số thực, chứng minh rằng z1z2z3 = 1.

Bài 8.38 : Giả sử x1 và x2 là các nghiệm của phương trình x2 − x + 1 = 0. Tính

1. x20001 + x2000

2 ; 2. x19991 + x1999

2 ; 3. xn1 + xn

2, với n ∈ N.

Bài 8.39 : Phân tích thành tích các nhị thức bậc nhất các đa thưc sau :

1. x4+ 16 ; 2. x3 − 27 ; 3. x3

+ 8 ; 4. x4+ x2+ 1.

Bài 8.40 : Tìm tất cả các phương trình bậc hai với hệ số thực có một nghiệm là :

1. (2+ i)(3− i) ; 2.5+ i2− i

; 3. i51+ 2i80

+ 3i45+ 4i38.

Bài 8.41 (Bất đẳng thức Hlawka) : Chứng minh bất đẳng thức sau

|z1 + z2| + |z2 + z3| + |z3 + z1| ≤ |z1| + |z2| + |z3| + |z1 + z2 + z3|

đúng với mọi số phức z1, z2, z3.

Bài 8.42 : Biểu diễn hình học của các số phức sau : z1 = 3+ i ; z2 = −4+ 2i ; z3 = −5− 4i ; z4 = 5− i ; z5 = 1 ; z6 = −3i ; z7 = 2i ;

z8 = −4.

Bài 8.43 : Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn mỗi số phức z thỏa mãn các trường hợp dưới đây :

1. |z − 2| = 3 ;

2. |z + i| < 1 ;

3. |z − 1+ 2i| > 3 ;

4. |z − 2| − |z + 2| < 2 ;



WWW.VNMATH.COM


5. 0 < ℜ(iz) < 1 ;

6. −1 < ℑ(z) < 1 ;

7. ℜ�

z − 2z − 1

�= 0 ;

8.1+ z

z∈ R ;

9. |√

x2 + 4+ i√

y − 4| =√

10, với z = x + yi ;

10.��z + 1

z

�� = 2.

Bài 8.44 : Biểu diễn lượng giác của các số phức sau và xác định argument của chúng :

1. z1 = −1− i ; 2. z2 = 2+ 2i ; 3. z3 = −1+ i√

3 ; 4. z4 = 1− i√

3.

Bài 8.45 : Biểu diễn lượng giác của các số phức sau và xác định argument của chúng :

1. z1 = 2i ; 2. z2 = −1 ; 3. z3 = 2 ; 4. z4 = −3i.

Bài 8.46 : Tìm biểu diễn lượng giác của số phức

z = 1+ cosa + i sina, a ∈ (0; 2π).

Bài 8.47 : Tìm tất cả các số phức z sao cho |z| = 1 và�� zz + z

z

�� = 1.

Bài 8.48 : Tính (1+ i)1000.


sin 5t = 16 sin5 t − 20 sin3 t + 5 sint; cos 5t = 16 cos5 t − 20 cos3 t + 5 cost.

Bài 8.50 : Tính z =(1− i)10(

√3+ i)5

(−1− i√

3)10.

Bài 8.51 : Tính :

1. (1− cosa + i sina)n với a ∈ [0; 2π) và n ∈ N ; 2. zn+

1zn

, nếu z +1z=√

3.


|z1| = |z2| = |z3| = r > 0

và z1 + z2 + z3 , 0. Chứng minh rằng ��z1z2 + z2z3 + z3z1

z1 + z2 + z3

�� = r.

Bài 8.53 : Giả sử z1, z2 là các số phức sao cho

|z1| = |z2| = r > 0.

Chứng minh rằng �z1 + z2

r2 + z1z2

�2

+

�z1 − z2

r2 − z1z2

�2

≥ 1r2.


|z1| = |z2| = |z3| = 1

vàz21

z2z3+

z22

z3z1+

z23

z1z2+ 1 = 0.

Chứng minh rằng

|z1 + z2 + z3|{1; 2}.

Bài 8.55 : Giả sử z1, z2 là các số phức sao cho |z1| = |z2| = 1. Chứng minh rằng

|z1 + 1| + |z2 + 1| + |z1z2 + 1| ≥ 2.



WWW.VNMATH.COM


Bài 8.56 : Giả sử n > 0 là một số nguyên và z là số phức sao cho |z| = 1. Chứng minh rằng

n|1+ z| + |1+ z2| + |1+ z3| + · · · + |1+ z2n| + |1+ z2n+1| ≥ 2n.

Bài 8.57 : Dùng công thức khai triển Newton (1+ i)19 và công thức Moa-vrơ để tính

C019 −C2

19 + C419 − · · · + C16

19 −C1819.

Bài 8.58 (CĐ10) : Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (2− 3i)z + (4+ i)z = −(1+ 3i)2. Tìm phần thực và phần ảo của z.

Bài 8.59 (CĐ10) : Giải phương trình z2 − (1+ i)z + 6+ 3i = 0 trên tập hợp các số phức.

Bài 8.60 (A09) : Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2+ 2z + 10= 0. Tính giá trị của biểu thức A = |z1|2 + |z2|2.

Bài 8.61 (A10) : Tìm phần ảo của số phức z, biết z = (√

2+ i)2(1−√

2i).

Bài 8.62 (A10) : Cho số phức z thỏa mãn z =(1−

√3i)3

1− i. Tìm môđun của số phức z + iz.

Bài 8.63 (B09) : Tìm số phức z thỏa mãn |z − (2+ i)| =√

10 và z.z = 25.

Bài 8.64 (B10) : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn :

|z − i| = |(1+ i)z| .

Bài 8.65 (D09) : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện |z − (3− 4i)| = 2.

Bài 8.66 (D10) : Tìm số phức z thỏa mãn : |z| =√

2 và z2 là số thuần ảo.



WWW.VNMATH.COM

Chương 9

Phương pháp tọa độ trong trong mặt phẳng

9.1 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Bài 9.1 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A(−1; 1), B(2; 5),C(4; 3).Tính tọa độ điểm D xác định bởi−−→AD = 3

−−→AB−2

−−→AC.

Bài 9.2 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A(2; 5), B(1; 1),C(3; 3). Tính tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình

bình hành. Tìm tọa độ tâm I của hình bình hành

Bài 9.3 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm các cạnh AB, BC,CA lần lượt là M(1; 4),N(3; 0), P(−1; 1).

Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

Bài 9.4 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1;−1), B(5;−3); đỉnh C trên trục Oy và trọng tâm G của tam

giác nằm trên trục Ox. Tìm tọa độ đỉnh C.

Bài 9.5 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho A(1;−2). Tìm trên trục hoành điểm M sao cho đường trung trực của đoạn AM đi

qua gốc tọa độ O.

Bài 9.6 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có : A(−1; 2), B(2; 0),C(−3; 1).

a) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

b) Tìm điểm M trên đường thẳng BC sao cho diện tích tam giác ABM bằng13

diện tích tam giác ABC.

Bài 9.7 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A(−3; 0), B(3; 0),C(2; 6).

a) Tìm tạo độ trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC.

b) Chứng minh rằng ba điểm I,H,G thẳng hàng và−→IH = 3

−→IG.

Bài 9.8 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(−3; 2), B(4; 3). Tìm điểm M trên trục hoành sao cho tam giác MAB

vuông tại M.

Bài 9.9 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 5), B(−4;−5),C(4;−1).

a) Tìm tọa độ chân đường phân giác trong và chân đường phân giác ngoài của góc A.

b) Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Bài 9.10 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai vectơ −→a (2t; t),−→b =

� √2

2t;

3√

22

t

�, với t , 0. Chứng minh rằng góc giữa hai

vectơ không đổi khi t thay đổi.

Bài 9.11 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với−−→AB = (a1; a2) và

−−→AC = (b1; b2).

a) Chứng minh rằng diện tích S của tam giác ABC được tính theo công thức S =12|a1b2 − a2b1|.

b) Áp dụng, tính diện tích tam giác ABC, biết A(−2;−4), B(2; 8), C(10; 2).

175

WWW.VNMATH.COM


9.2 Phương trình của đường thẳng

9.2.1 Các bài toán thiết lập phương trình đường thẳng

Bài 9.12 : Cho tam giác ABC đỉnh A(2; 2). Lập phương trình các cạnh của tam giác, biết rằng 9x−3y−4 = 0 và x+ y−2 = 0 lần lượt

là phương trình các đường cao kẻ từ B và C của tam giác.

Bài 9.13 : Viết phương trình các đường trung trục của tam giác ABC, biết trung điểm của các cạnh BC,CA, AB tương ứng là

M(−1;−1),N(1; 9), P(9; 1).

Bài 9.14 : Biết rằng A(1; 3) là đỉnh của tam giác ABC và x− 2y+ 1 = 0, y = 0 là phương trình của hai đường trung tuyến của tam giác

này. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC.

Bài 9.15 : Trong mặt phẳng tọa độ cho P(2; 5) và Q(5; 1). Lập phương trình đường thẳng qua P sao cho khoảng cách từ Q tới đường

thẳng này bằng 3.

Bài 9.16 : Cho điểm A(8; 6). Lập phương trình đường thẳng qua A và tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 12.

9.2.2 Các bài toán liên quan đến việc sử dụng phương trình đường thẳng

Bài 9.17 : Trong mặt phẳng tọa độ cho bốn điểm A(1; 0), B(−2; 4),C(−1; 4),D(3; 5). Giả sử ∆ là đường thẳng có phương trình 3x −y − 5 = 0. Tìm điểm M trên ∆ sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích bằng nhau.

Bài 9.18 : Cho tam giác ABC có diện tích bằng32

và hai điểm A, B có tọa độ là A(2;−3) và B(3;−2). Trọng tâm G của tam giác nằm

trên đường thẳng 3x − y − 8 = 0. Tìm tọa độ đỉnh C của tam giác.

Bài 9.19 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 1), đường cao qua B có phương trình x − 3y− 7 = 0 và

đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình x + y + 1 = 0. Xác định tọa độ đỉnh B và C của tam giác ABC.

Bài 9.20 : Cho đường thẳng d : x − 2y + 2 = 0 và hai điểm A(0; 6), B(2; 5). Tìm điểm M trên d sao cho MA + MB nhỏ nhất.

Bài 9.21 : Viết phương trình đường thẳng đi qua M(4; 3)và tạo với hai trục tọa độ Ox,Oy thành một tam giác có diện tích bằng 3.

Bài 9.22 : Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC. Biết cạnh AC có phương trình x + 3y − 3 = 0, đường cao AH có phương trình

x + y − 1 = 0, đỉnh C nằm trên Ox, B nằm trên Oy. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

Bài 9.23 : Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng d1 : x − y + 2 = 0 và d2 : 2x + y − 5 = 0 và điểm M(−1; 4). Viết phương trình

đường thẳng ∆ cắt d1, d2 tại A và B tương ứng M là trung điểm của AB.

Bài 9.24 : Trong mặt phẳng Oxy cho A(1; 0), B(2; 3). Viết phương trình đường thẳng d cách AB một khoảng bằng√

10.

Bài 9.25 : Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(1; 2), đường trung tuyến BM, phân giác trong CD tương ứng có phương trình

2x + y + 1 = 0 và x + y − 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC.

Bài 9.26 : Một hình thoi có một đường chéo cho phương trình x + 2y − 7 = 0, một cạnh có phương trình x + 3y − 3 = 0, một đỉnh là

(0; 1). Tìm phương trình các cạnh hình thoi.

Bài 9.27 : Cho tam giác ABC với A(−6;−3), B(−4; 3),C(9; 2).

1. Viết phương trình ba cạnh của tam giác.

2. Viết phương trình đường phân giác trong của góc A.

3. Tìm điểm M trên AB, N thuộc AC sao cho MN song song BC và AM = CN.

Bài 9.28 : Trong mặt phẳng tọa độ cho d : 2x + 3y + 1 = 0 và điểm M(1; 1). Viết phương trình của các đường thẳng qua M và tạo với

d góc 45◦.

Bài 9.29 : Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác ABC cân, với A(1;−1),C(3; 5), đỉnh B nằm trên đường thẳng d : 2x − y = 0. Viết

phương trình cạnh AB, BC.

Bài 9.30 : Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác ABC có đỉnh A nằm trên đường thẳng d : x − 4y − 2 = 0. Cạnh BC song song với d,

phương trình đường cao BH : x + y + 3 = 0 và trung điểm của AB là M(1; 1). Tìm tọa độ các đỉnh.



WWW.VNMATH.COM


Bài 9.31 : Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác ABC cân đỉnh A, có trọng tâm G�

43

;13

�. Phương trình đường thẳng BC là x−2y−4 =

0, phương trình đường thẳng BG là 7x − 4y − 8 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A, B,C.

Bài 9.32 : Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 0), hai đường cao xuất phát từ B và C có phương trình x−2y+1 = 0

và 3x + y − 1 = 0. Tìm diện tích tam giác ABC.

Bài 9.33 : Trên mặt phẳng tọa độ cho hai đường thẳng d1 : 2x − y + 5 = 0, d2 : 3x + 6y − 1 = 0 và điểm P(2;−1). Lập phương trình

đường thẳng d qua P sao cho d cùng với d1, d2 tạo thành một tam giác cân đỉnh A, với A là giao điểm d1 và d2.

Bài 9.34 : Tìm trên trục hoành cho điểm P sao cho tổng khoảng cách từ P tới các điểm A(1; 2), B(3; 4) là nhỏ nhất.

Bài 9.35 : Tam giác ABC có các cạnh AB, AC, BC tương ứng có phương trình x− y−2 = 0, 3x− y+5 = 0, x−4y−1 = 0. Viết phương

trình các đường cao của tam giác.

Bài 9.36 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của hai đường thẳng d1 : 2x − y + 1 = 0;d2 : x − 2y − 3 = 0 đồng thời

chắn trên hai trục tọa độ những đoạn bằng nhau.

Bài 9.37 : Cho họ đường thẳng phụ thuộc tham số α là dα : (x− 1) cosα+ (y− 1) sinα− 4 = 0. Chứng minh rằng với mọi α, họ đường

thẳng nói trên luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

9.2.3 Bài tập tổng hợp

Bài 9.38 : Viết phương trình đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau :

a) ∆ đi qua hai điểm A(−2; 1)và B(1; 3).

b) ∆ cắt trục Ox tại điểm A(4; 0)và cắt trục Oy tại điểm B(0;−3).


a) ∆ đi qua điểm M(3;−5) và có hệ số góc k =34

.

b) ∆ đi qua điểm M(8; 2) và song song với đường thẳng d : 2x − 3y + 5 = 0.

c) ∆ đi qua điểm M(−3; 2) và vuông góc với đường thẳng d : 3x + 4y + 7 = 0.


a) ∆ có hệ số góc k =12

và hợp với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1.

b) ∆ đi qua điểm M(8; 6) và tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2.

Bài 9.41 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, biết ba trung điểm các cạnh của một tam giác là M(2; 1),N(5; 3), P(3;−4). Hãy lập

phương trình các cạnh của tam giác đó.

Bài 9.42 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(3; 1)và cắt trục Ox,Oy lần lượt tại B

và C sao cho tam giác ABC cân tại A với A(2;−2).

Bài 9.43 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(−1;−3).

a) Cho biết đường cao BH : 5x + 3y − 25= 0, CK : 3x + 8y − 12= 0. Viết phương trình cạnh BC.

b) Xác định tọa độ các đỉnh B và C nếu biết đường trung trực của AB là 3x + 2y − 4 = 0 và tọa độ trọng tâm G(4;−2) của tam giác

ABC.

Bài 9.44 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x + y + 5 = 0, d2 : x + 2y − 7 = 0 và điểm A(2; 3). Tìm điểm

B thuộc d1 và điểm C thuộc d2 sao cho tam giác ABC có trọng tâm G(2; 0).

Bài 9.45 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆1 : x − y + 1 = 0, ∆2 : 2x + y + 1 = 0 và điểm M(2; 1). Viết

phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và cắt hai đường thẳng ∆1,∆2 lần lượt tại A và B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng

AB.

Bài 9.46 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 2x − y + 5 = 0, d2 : x + y − 3 = 0 và điểm M(−2; 0). Viết

phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và cắt hai đường thẳng d1, d2 làn lượt tại A và B sao cho−−→MA = 2

−−→MB.



WWW.VNMATH.COM


Bài 9.47 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2;−7), phương trình một đường cao và một trung tuyến

vẽ từ hai đỉnh khác nhau lần lượt là : 3x + y + 11= 0 và x + 2y + 7 = 0. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.

Bài 9.48 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 2), đường trung tuyến BM và đường phân giác trong

CD có phương trình lần lượt là : 2x + y + 1 = 0 và x + y − 1 = 0. Hãy viết phương trình đường thẳng BC.

Bài 9.49 : Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết A(1; 3) và hai trung tuyến có các phương trình là : x − 2y + 1 = 0 và

y − 1 = 0.

Bài 9.50 : Phương trình hai cạnh của tam giác ABC là : 5x− 2y+ 6 = 0, 4x+ 7y− 21= 0. Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác

ABC, biết trực tâm của tam giác trùng với gốc tọa độ.

Bài 9.51 : Cho A(2;−1) và hai phân giác trong của góc B,C của tam giác ABC lần lượt có phương trình : x−2y+1 = 0 và x+y+3 = 0.

Viết phương trình cạnh BC.

Bài 9.52 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng qua M(4; 1)và cắt các tia Ox,Oy lần lượt tại A và B sao

cho OA + OB đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 9.53 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(27; 1)và cắt các tia Ox,Oy lần lượt tại

M và N sao cho MN có độ dài nhỏ nhất.

Bài 9.54 : Biện luận theo m vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆1 : 4x − my + 4− m = 0 và ∆2 : (2m + 6)x + y − 2m − 1 = 0.

Bài 9.55 : Cho hai đường thẳng d1 : (m + 1)x + 6y + m = 0 và d2 : x + (m + 2)y + 1 = 0. Tìm m để hai đường thẳng d1 và d2

a) cắt nhau. b) song song với nhau. c) trùng nhau.

Bài 9.56 : Cho hai đường thẳng d1 : (a + 1)x − 2y − a − 1 = 0 và d2 : x + (a − 1)y − a2= 0.

a) Tìm giao điểm I của d1 và d2.

b) Tìm a để đường thẳng qua M(0;a),N(a; 0), với (a , 0) đi qua giao điểm I.

Bài 9.57 : Cho tam giác ABC có phương trình các cạnh là

AB : 2x + 3y − 5 = 0; BC : 3x − 4y + 1 = 0;CA : x − 2y + 1 = 0.

Viết phương trình đường cao của tam giác ABC xuất phát từ đỉnh A.

Bài 9.58 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : mx + (m − 1)y + m − 3 = 0 và d2

8<:x = (m − 1)t

y = m − 1− 2t.

a) Tìm m để hai đường thẳng d1 và d2 trùng nhau.

b) Tìm m để d1, d2 và ∆ : 2x + y − 1 = 0 đồng quy.

Bài 9.59 : Tính góc giữa hai đường thẳng d1 : 2x − y + 3 = 0 và d2 : x − 3y + 9 = 0.

Bài 9.60 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d1 :

8<:x = 2+ at

y = 1− 2tvà d2 : 3x + 4y + 12= 0. Xác định a để góc hợp

bởi d1 và d2 bằng 45◦.

Bài 9.61 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(2; 1) và tạo với đường thẳng d :

2x + 3y + 4 = 0 một góc 45◦.

Bài 9.62 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho một tam giác cân có một cạnh đáy và một cạnh bên là có phương trình lần lượt là :

3x − y + 5 = 0 ; x + 2y − 1 = 0. Lập phương trình cạnh bên còn lại biết rằng nó đi qua điểm M(1;−3).

Bài 9.63 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 2x − y + 1 = 0 ; d2 : x + 2y − 7 = 0.

Lập phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và tạo với d1, d2 một tam giác cân có đỉnh là giao điểm A của d1 và d2.

Bài 9.64 : Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB : 2x − y + 5 = 0, đường thẳng AD đi qua gốc tọa độ O và tâm hình chữ nhật là I(4; 5).

Viết phương trình các cạnh còn lại.



WWW.VNMATH.COM


Bài 9.65 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh A(−4; 5) và một đường chéo nằm trên đường thẳng

7x − y + 8 = 0. Lập phương trình các cạnh của hình vuông.

Bài 9.66 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các điểm A(0; 1), B(2;−1) và các đường thẳng :

d1 : (m − 1)x + (m − 2)y + 2− m = 0 và d2 : (2− m)x + (m − 1)y + 3m − 5 = 0.

Chứng minh d1 và d2 luôn cắt nhau. Gọi P là giao điểm của d1 và d2, tìm m để PA + PB đạt giá trị lớn nhất.

Bài 9.67 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 1), B(4;−3). Tìm điểm M thuộc đường thẳng d : x − 2y − 1 = 0 sao

cho khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng 6.

Bài 9.68 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 2x − y + 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với d

và cách d một khoảng bằng√

5.

Bài 9.69 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(4; 5)và cách điểm A(3; 2)một khoảng

bằng 1.

Bài 9.70 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,viết phương trình đường thẳng ∆ cách điểm A(−2; 5)một khoảng bằng 2 và cách điểm

B(5; 4)một khoảng bằng 3.

Bài 9.71 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết đỉnh A(1; 0), B(0; 2)và giao điểm

I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng y = x. Tìm tọa độ các đỉnh C và D.

Bài 9.72 : Cho A(1; 1), hãy tìm điểm B trên đường thẳng y = 3 và điểm C trên trục hoành sao cho tam giác ABC đều.

Bài 9.73 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆m : (m − 2)x + (m − 1)y + 2m − 1 = 0.

a) Chứng minh rằng ∆m luôn đi qua một điểm cố định M khi m thay đổi.

b) Tìm m để ∆m cắt đoạn thẳng AB, với A(2; 3), B(1; 0).

c) Tìm m để khoảng cạh từ A đến ∆m là lớn nhất.

Bài 9.74 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng ∆1 :

3x − 4y + 1 = 0, ∆2 : 8x + 6y − 5 = 0.

Bài 9.75 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình phân giác của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng d1 : 7x + y − 6 = 0

và d2 : x − y + 2 = 0.

Bài 9.76 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(6; 4), B(−3; 1), C(4;−2). Viết phương trình đường phân giác

trong của góc A.

Bài 9.77 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 0), B(4; 1), C(1; 2). Viết phương trình đường phân giác trong

của góc A trong tam giác ABC.

Bài 9.78 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 2x + y − 2 = 0 và điểm M(6; 5).

a) Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng d.

b) Xác định tọa độ điểm M′ đối xứng với điểm M qua đường thẳng d.

Bài 9.79 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x − 2y + 1 = 0 và điểm A(0; 3). Vẽ AH vuông góc với d tại H và

kéo dài AH về phía H một đoạn HB = 2AH. Tìm tọa độ điểm B.

Bài 9.80 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x − 2y + 2 = 0 và hai điểm A(0; 6), B(2; 5). Trên đường thẳng d

tìm tọa độ điểm M sao cho :

a) MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.

b) |MA − MB| đạt giá trị lớn nhất.

Bài 9.81 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 3x− 2y+ 8 = 0 và điểm M(−1; 5). Viết phương trình đường thẳng

∆ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M.



WWW.VNMATH.COM


Bài 9.82 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng song song

∆1 : 3x − 2y + 1 = 0 và ∆2 : 6x − 4y − 3 = 0.

Viết phương trình đường thẳng ∆3 đối xứng với ∆1 qua ∆2.

Bài 9.83 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆ : 2x − y + 5 = 0 và d : x + 3y− 8 = 0. Viết phương trình đường

thẳng ∆′ đối xứng với ∆ qua d.

Bài 9.84 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆ : 2x + 3y − 6 = 0.

a) Viết phương trình đường thẳng ∆1 đối xứng với ∆ qua trục Ox.

b) Viết phương trình đường thẳng ∆2 đối xứng với ∆ qua trục Oy.

9.3 Đường tròn

Bài 9.85 : Xác định tâm và tính bán kính đường tròn (C) trong các trường hợp sau :

a) (C) : x2+ y2 − 2x − 2y − 2 = 0.

b) (C) : 16x2+ 16y2

+ 16x − 8y − 11= 0.

Bài 9.86 : Cho họ đường tròn (Cm) có phương trình :

x2+ y2+ 4mx − 2my + 2m + 3 = 0.

a) Xác định m để (Cm) là đường tròn.

b) Tìm tập hợp tâm I của họ đường tròn.


x2+ y2 − 2mx + 2(m + 1)y − 12= 0.

a) Tìm quỹ tích tâm của họ đường tròn (Cm).

b) Tìm m sao cho bán kính đường tròn (Cm) nhỏ nhất.

c) Khi m, cho đường thẳng d : 3x − 4y + 12= 0. Tìm điểm M trên (C2) sao cho khoảng cách từ M đến d là ngắn nhất.


x2+ y2 − 2mx + 2(m + 2)y + 2m2

+ 4m − 12= 0.

a) Chứng minh rằng (Cm) luôn là một đường tròn có bán kính không đổi.

b) Tìm tập hợp tâm các đường tròn (Cm), từ đó suy ra (Cm) luôn tiếp xúc với hai đường thẳng.

Bài 9.89 : Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(−4; 2)và tiếp xúc với đường thẳng ∆ : 3x + 4y − 16= 0.

Bài 9.90 : Viết phương trình đường tròn (C) có đường kính AB, với A(1; 2), B(3; 4).

Bài 9.91 : Viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A(3; 3), B(1; 1),C(5; 1).

Bài 9.92 : Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(3; 1)và chắn trên đường thẳng ∆ : x−2y+4 = 0 một dây cung có độ dài bằng 4.

Bài 9.93 : Viết phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm A(2; 3), B(−1; 1)và có tâm nằm trên đường thẳng ∆ : x − 3y − 11= 0.

Bài 9.94 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(0; 5), B(2; 3). Viết phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm A, B

và có bán kính R =√

10.

Bài 9.95 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình đường tròn (C) có tâm nằm trên đường thẳng ∆ : x + y − 5 = 0, có

bán kính R =√

10 và tiếp xúc với đường thẳng d; 3x + y − 3 = 0.



WWW.VNMATH.COM


Bài 9.96 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng ∆ : 3x − 4y − 31 = 0 tại

điểm A(1;−7) và có bán kính R = 5.

Bài 9.97 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc đường thẳng ∆ : 2x + y = 0 và tiếp xúc

với đường thẳng d : x − 7y + 10= 0 tại điểm A(4; 2).

Bài 9.98 : Viết phương trình đường tròn (C) đi qua điểm A(6; 4)và tiếp xúc với đường thẳng ∆ : x + 2y − 5 = 0 tại điểm B(3; 1).

Bài 9.99 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình đường tròn (C) có tâm nằm trên đường thẳng ∆ : 4x + 3y − 2 = 0 và

tiếp xúc với hai đường thẳng d1 : x + y + 4 = 0 và d2 : 7x − y + 4 = 0.

Bài 9.100 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A(2; 0) và khoảng

cách từ tâm của (C) đến điểm B(6; 4)bằng 5.

Bài 9.101 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x − y + 1−√

2 = 0 và điểm A(−1; 1). Viết phương trình đường

tròn (C) đi qua điểm A, qua gốc tạo độ O và tiếp xúc với đường thẳng d.

Bài 9.102 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình đường tròn đi qua điểm A(2;−1) và tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox

và Oy.

Bài 9.103 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x − 1)2 + (y − 2)2 = 4 và đường thẳng d : x − y − 1 = 0. Viết

phương trình đường tròn (C′) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d. Tìm tọa độ các giao điểm (C) và (C′).

Bài 9.104 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x − 7y + 10= 0 và đường tròn (C′) : x2+ y2 − 2x + 4y − 20= 0.

Viết phương trình đường tròn (C) đi qua điểm A(1;−2) và các giao điểm của đường thẳng d và (C′).

Bài 9.105 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C′) : x2+ y2

= 100. Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với

đường tròn (C′) tại điểm M(−6; 8)và có bán kính R = 6.

Bài 9.106 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2+ y2 − 12x − 4y + 36= 0. Viết phương trình đường tròn (C1)

tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox,Oy đồng thời tiếp xúc ngoài với đường tròn (C).

Bài 9.107 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A(−1; 7), B(4;−3),C(−4; 1). Hãy viết phương trình đường tròn (C) nội

tiếp tam giác ABC.

Bài 9.108 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; 1)và đường tròn (C) : (x− 1)2+ (y− 2)2 = 9. Viết phương trình đường

thẳng ∆ đi qua điểm A và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt E, F sao cho A là trung điểm EF.

Bài 9.109 : Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua gốc tọa độ O và cắt đường tròn (C) : (x − 1)2 + (y + 3)2 = 25 theo một dây cung

có độ dài bằng 8.

Bài 9.110 : Cho đường tròn (C) : x2+ y2+ 2x − 4y − 20= 0 và điểm A(3; 0). Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và cắt

đường tròn (C) theo một dây cung MN có độ dài :

a) lớn nhất ; b) nhỏ nhất.

Bài 9.111 : Cho đường tròn (C) : x2+y2−2x+4y+4 = 0. Viết phương trình đường thẳng∆ song song với đường thẳng d : 3x+4y−7 = 0

và chia đường tròn (C) thành hai cung mà tỉ lệ độ dài bằng 2.

Bài 9.112 : Cho đường tròn (C) : x2+ y2−2x+ 4y− 4 = 0 có tâm I và điểm M(−1;−3). Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm

M và cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tam giác IAB có diện tích lớn nhất.

Bài 9.113 : Cho đường thẳng d : x − y + 3 = 0 và đường tròn (C) : x2+ y2 − 2x − 2y + 1 = 0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho

đường tròn tâm M có bán kính gấp đôi đường tròn (C) và tiếp xúc ngoài với đường tròn (C).

Bài 9.114 : Cho các đường tròn

(C1) : x2+ y2 − x − 6y + 8 = 0 và (C2) : x2

+ y2 − 2mx − 1 = 0.

Tìm m để (C1) và (C2) tiếp xúc với nhau.

Bài 9.115 : Cho đường tròn (C) : x2+ y2= 1, đường tròn (C′) có tâm I(2; 2)cắt (C) tại các điểm A, B sao cho độ dài đoạn AB =

√2.

Viết phương trình đường thẳng AB.



WWW.VNMATH.COM


Bài 9.116 : Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) : (x + 2)2 + (y + 2)2 = 25 tại điểm A(2; 1).

Bài 9.117 : Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) : x2+ y2 − 6x − 4y + 11= 0 tại điểm M(4; 3).

Bài 9.118 : Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) : x2+ y2 − x − 7y = 0 tại các giao điểm của (C) và đường thẳng

d : 3x + 4y − 3 = 0.

Bài 9.119 : Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) : x2+ y2 − 4x + 6y + 3 = 0, biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 3.

Bài 9.120 : Viết phương trình tiếp tuyến ∆ với đường tròn (C) : x2+ y2 − 2x + 8y + 1 = 0, biết rằng ∆ song song với đường thẳng

d : 5x + 12y − 6 = 0. Tìm tọa độ các tiếp điểm.

Bài 9.121 : Cho A(3; 4)và đường tròn (C) : x2+ y2 − 4x − 2y = 0.

a) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C), biết rằng ∆ đi qua điểm A.

b) Giải sử các tiếp tuyến tiếp xúc với (C) tại M và N. Hãy tính độ dài đoạn MN.

Bài 9.122 : Cho M(−3; 1) và đường tròn (C) : x2+ y2 − 2x − 6y + 6 = 0. Gọi T1, T2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến

(C). Viết phương trình đường thẳng T1T2.

Bài 9.123 : Cho đường thẳng d : x − y + 1 = 0 và đường tròn (C) : x2+ y2+ 2x − 4y = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng tiếp

xúc với đường tròn (C) tại A và B sao cho góc ÕAMB = 60◦.

Bài 9.124 : Xét đường thẳng d :√

2x + my + 1−√

2 = 0 và hai đường tròn

(C1) : x2+ y2 − 2x + 4y − 4 = 0 và (C2) : x2

+ y2+ 4x − 4y − 56= 0.

a) Gọi I là tâm đường tròn (C1). Tìm m sao cho d cắt (C1) tại hai điểm phân biệt A và B. Với giá trị nào của m thì diện tích tam giác

IAB lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.

b) Chứng minh (C1) tiếp xúc với (C2). Viết phương trình tổng quát của tất cả các tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).

Bài 9.125 : Cho hai đường tròn

(C1) : x2+ y2 − 4x + 2y − 4 = 0 và (C2) : x2

+ y2 − 10x − 6y + 30= 0

có tâm lần lượt là I và J.

a) Chứng minh (C1) tiếp xúc ngoài với (C2) và tìm tọa độ tiếp điểm H.

b) Gọi d là một tiếp tuyến chung không đi qua H của (C1) và (C2). Tìm tọa độ giao điểm K của d và đường thẳng I, J. Viết phương

trình đường tròn (C) đi qua K và tiếp xúc với hai đường tròn (C1) và (C2) tại H.

Bài 9.126 : Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn

(C1) : x2+ y2= 1 và (C2) : x2

+ y2 − 6x + 6y + 17= 0.

Bài 9.127 : Cho hai đường tròn

(C1) : x2+ y2 − 2x − 2y − 2 = 0 và (C2) : x2

+ y2 − 8x − 2y + 16= 0.

a) Chứng minh rằng (C1) và (C2) tiếp xúc nhau.

b) Viết phương trình các tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).

Bài 9.128 : Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai đường tròn

(C1) : x2+ y2 − 6x + 5 = 0 và (C2) : x2

+ y2 − 12x − 6y + 44= 0.



WWW.VNMATH.COM


9.4 Đường elip

Bài 9.129 : Cho elip (E) :x2

25+

y2

16= 1. Xác định tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, độ dài các trục.


a2+

y2

b2= 1, với a > b > 0. Xác định tâm sai của elip trong mỗi trường hợp sau :

a) (E) có độ dài trục lớn bằng 3 lần trục nhỏ.

b) Khoảng cách giữa hai đỉnh liên tiếp nhau của elip bằng32

lần tiêu cự của nó.

c) Mỗi đỉnh trên trục nhỏ của elip nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 120◦.

Bài 9.131 : Lập phương trình chính tắc của elip, biết :

a) các tiêu điểm F1(−4; 0), F2(4; 0)và độ dài trục lớn bằng 10.

b) elip đi qua các điểm M(−2√

3; 1) và N(√

3;−2).

c) elip đi qua điểm M�

54

;√

15�

và có hai tiêu điểm F1(−3; 0)và F2(3; 0).

d) độ dài trục lớn bằng 4√

2, các đỉnh trên trục nhỏ và các tiêu điểm của elip nằm trên một đường tròn.

e) elip đi qua điểm M(−√

5; 2) và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 10.

f) elip đi qua điểm M(−2;√

2) và phương trình các đường chuẩn x = ±4.

g) elip đi qua điểm M(8; 12)và MF1 = 20 với F1 là tiêu điểm bên trái của elip.

h) elip đi qua điểm M

�3√

55

;4√

55

�và ×F1MF2 = 90◦, với F1, F2 là các tiêu điểm của elip.

Bài 9.132 : Cho elip (E) có phương trìnhx2

9+

y2

4= 1.

1. Tìm tạo độ các tiêu điểm, các đỉnh ; tính tâm sai, tính diện tích hình chữ nhật cơ sở.

2. Xác định m để đường thẳng d : y = x + m và (E) có điểm chung.

3. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M(1; 1)và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của đoạn AB.

Bài 9.133 : Cho elip (E) : 9x2+ 25y2

= 225. Đường thẳng d vuông góc với trục lớn tại tiêu điểm bên phải F2, cắt (E) tại hai điểm M

và N.

1. Tìm tọa độ của M và N.

2. Tính độ dài các đoạn thẳng MF1,MF2 và MN.


9+ y2= 1 có các tiêu điểm F1, F2. Tìm tọa độ điểm M trên elip thỏa mãn :

1. MF1 = 3MF2.

2. Điểm M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông.

3. Điểm M nhìn hai tiêu điểm dưới một 120◦.


a2+

y2

b2= 1 với tiêu điểm F(−c; 0). Tìm điểm M trên elip (E) sao cho độ dài FM là nhỏ nhất.

Bài 9.136 : Cho điểm C(2; 0) và elip (E) :x2

4+

y2

1= 1. Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng với

nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác đều.


8+

y2

4= 1 và đường thẳng d : x −

√2y + 2 = 0. Đường thẳng d cắt elip (E) tại hai điểm B và C. Tìm tọa

độ điểm A trên elip sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất.


16+

y2

9= 1. Xét điểm M chuyển động trên tia Ox và điểm N chuyển động trên tia Oy sao cho đường thẳng

MN luôn luôn tiếp xúc với elip (E). Xác định tọa độ của M,N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.



WWW.VNMATH.COM


Bài 9.139 : Cho (E) :x2

a2+

y2

b2(a > b > 0) với các tiêu điểm F1, F2.

1. Chứng minh rằng với mọi điểm M trên elip (E) ta luôn có :

(a) OM2+ MF1.MF2 = a2

+ b2.

(b) OM ≤ a.

2. Gọi A và B là hai điểm thuộc elip (E) sao cho OA⊥OB. Chứng minh rằng :1

OA2+

1OB2

=1a2+

1b2

.

Bài 9.140 : Cho hai đường tròn C1(F1; R1) và C2(F2; R2). (C1) nằm trong (C2) và F1 , F2. Đường tròn (C ) thay đổi luôn tiếp xúc

ngoài với (C1) và tiếp xúc trong với (C2). Hãy chứng tỏ rằng tâm M của đường tròn (C ) di động trên một elip.

Bài 9.141 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(x; y) di động có tọa độ luôn thỏa mãn8<:x = 5 cost

y = 4 sin t

trong đó t là tham số thay đổi.

Hãy chứng minh điểm M di động trên một elip.

Bài 9.142 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A chạy trên trục Ox, điểm B chạy trên trục Oy nhưng độ dài đoạn AB băng

a không đổi. Tìm tập hợp các điểm M thuộc đoạn AB sao choMB = 2MA.

Bài 9.143 : 1. Viết phương trình chính tắc của elip (E), biết nó có một tiêu điểm F(−2; 0)và khoảng cách từ F đến đỉnh trục nhỏ

bằng 3.

2. Hai đường thẳng d : mx − y = 0 và d′ : x + my = 0 lần lượt cắt (E) tại M, P và N,Q. Tứ giác MNPQ là hình gì. Tính diện tích

của tứ giác MNPQ theo m.

3. Tìm m để MNPQ là hình vuông.

Bài 9.144 : Cho elip (E) : 5x2+ 9y2

= 45 có tiêu điểm F1, F2. M là điểm bất kì trên (E).

1. Chứng minh rằng chu vi tam giác F1MF2 không đổi. Tìm M để diện tích tam giác F1MF2 bằng 2.

2. Tìm M sao cho : T = F1M + F2M +1

F1M+

1F2M

lớn nhất.

Bài 9.145 : Cho điểm M di động trên elip : 9x2+ 16y2

= 144. H và K là hình chiếu của điểm M lên hai trục tọa độ. Tìm M để diện

tích tứ giác OHMK lớn nhất.

Bài 9.146 : Cho M,N là hai điểm bất kì trên elip : 4x2+ 9y2

= 36 và không trùng với các đỉnh. Gọi I là trung điểm của MN.

1. Chứng minh rằng tích hệ số góc của đường thẳng MN và đường thẳng OI có giá trị không đổi.

2. Viết phương trình đường thẳng MN, biết trung điểm I có tọa độ (1; 1).

9.5 Đường hypebol

Bài 9.147 : Lập phương trình chính tắc của hypebol (H), biết :

1. Một tiêu điểm là (5; 0), một đỉnh là (−4; 0).

2. Độ dài trục ảo bằng 12, tâm sai bằng54

.

3. Một đỉnh là (2; 0), tai sai bằng32

.

4. Tâm sai bằng√

2, (H) đi qua điểm A(−5; 3).

5. (H) đi qua hai điểm P(6;−1) và Q(−8; 2√

2).




WWW.VNMATH.COM


1. (H) có độ dài trục thực là 6, tiêu điểm là (4; 0).

2. (H) có một đỉnh là (5; 0) và tiệm cần là y = 2x.

3. (H) có tiệm cận là y = −√

2x và qua điểm M(4;√

2).

4. (H) qua hai điểm M(1;√

3) và N(−√

2; 2√

2).

5. (H) có tiêu điểm F2(3; 0)và qua điểm

�3;

4√

55

�.


1. Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là x = ±12, y = ±1.

2. Một đỉnh là (3; 0)và phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở là x2+ y2= 16.

3. Một tiêu điểm là (−10; 0)và phương trình các đường tiệm cận là y = ±43

x.

4. (H) đi qua điểm N(6; 3) và góc giữa hai đường tiệm cận bằng 60◦.

Bài 9.150 : Cho hypebol (H) :x2

9− y2

3= 1.

1. Tìm trên (H) điểm M có tung độ bằng 1.

2. Tìm trên (H) điểm M có góc F1MF2 bằng 90◦.

3. Tìm trên (H) điểm M sao cho F1M = 2F2M.

Bài 9.151 : Tìm các điểm trên hypebol (H) : 4x2 − y2= 4 thỏa mãn :

1. Nhìn hai tiêu điểm dưới góc vuông.

2. Nhìn hai tiêu điểm dưới góc 120◦.

3. Có tọa độ nguyên.

Bài 9.152 : 1. Cho hypebol (H) :x2

a2− y2

b2= 1 có các tiêu điểm F1, F2. M là điểm bất kì trên (H). Chứng minh tích khoảng cách

từ M đến hai tiệm cận có giá trị không đổi.

2. Cho hypebol (H) :x2

1− y2

2= 1. Một đường thẳng d bất kì có phương trình : y = x +m cắt (H) tại M,N và hai tiệm cận tại P,Q.

Chứng minh rằng MP = NQ.

Bài 9.153 : Cho đường tròn (C ) di động, luôn chắn trên hai trục tạo độ hai dây cung có độ dài là 6 và 4. Chứng minh rằng tâm đường

tròn di động trên một hypebol cố định.

Bài 9.154 : Cho hai điểm A(−1; 0), B(1; 0)và đường thẳng ∆ : x − 14= 0.

1. Tìm tập hợp các điểm M sao cho MB = 2MH, với H là hình chiếu vuông góc của M trên ∆.

2. Tìm tập hợp các điểm N sao cho các đường thẳng AN và BN có tích các hệ số góc bằng 2.

Bài 9.155 : Cho ba điểm A, B,C thẳng hàng theo thứ tự đó, AB = 3a, BC = a. Điểm I di động trên đường thẳng d vuông góc với AC

tại B. Các tiếp tuyến vẽ từ A và C đến đường tròn tâm I, bán kính IB, cắt nhại tại D. Chứng minh rằng D di động trên một hypebol cố

định.

Bài 9.156 : Tìm tập hợp tâm đường tròn chắn trên hai trục Ox,Oy hai đoạn thẳng có độ dài lần lượt là 10 và 6.



WWW.VNMATH.COM


9.6 Đường parabol

Bài 9.157 : Lập phương trình chính tắc của parabol có đỉnh O và trục đối xứng Ox, biết :

1. parabol đi qua điểm A(1; 2) ;

2. khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn là 3 ;

3. dây cung MN của parabol vuông góc với trục Ox tại tiêu điểm F có độ dài 4 ;

4. dây cung MN vuông góc với trục Ox có độ dài là 8 và khoảng cách từ đỉnh đến dây cung MN bằng 2 ;

5. dây cung vuông góc với trục Ox tại trung điểm I của đoạn OF có độ dài bằng 2√

2, với F là tiêu điểm của parabol ;

6. đường thẳng d : 2x − y − 4 = 0 chắn trên (P) một đoạn có độ dài bằng 3√

5 ;

Bài 9.158 : Chp parabol (P) : y2= 8x. Tìm điểm M thuộc parabol (P), biết bán kính qua tiêu của M bằng 8.

Bài 9.159 : Cho parabol (P) : y2= 32x. Tìm điểm M trên parabol (P) sao cho khoảng cách từ đó đến đường thẳng ∆ : 4x+3y+10= 0

bằng 2.

Bài 9.160 : Cho parabol (P) : y2= 4x có tiêu điểm F. Tìm điểm M trên parabol (P) sao cho tam giác FMN vuông góc tại điểm F, với

N(2; 2√

2).

Bài 9.161 : Cho parabol (P) : y2= x và điểm I(0; 2). Tìm tọa độ hai điểm M,N thuộc (P) sao cho

−−→IM = 4

−→IN.

Bài 9.162 : Cho parabol (P) : y2= x. Tìm hai điểm A và B trên parabol (P) đối xứng nhau qua trục hoành sao cho tam giác OAB đều.

Bài 9.163 : Cho parabol (P) : y2= 64x. Tìm điểm M trên parabol (P) sao cho khoảng cách từ đó đến đường thẳng ∆ : 4x+3y+86= 0

là nhỏ nhất.

Bài 9.164 : Cho parabol (P) : y2= x và hai điểm A(1;−1), B(9; 3)nằm trên (P). Gọi M là điểm thuộc cung AB của (P) (phần của (P)

bị chắn bởi dây AB). Xác định vị trí của M trên cung AB sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất.

Bài 9.165 : Cho parabol (P) : y2= 2x và đường thẳng d : 2mx − 2y − m = 0. Gọi A và B là các giao điểm của d và (P). chứng minh

đường tròn đường kính AB luôn luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định khi m thay đổi.

Bài 9.166 : Cho parabol (P) : y2= 4x. Một đường thẳng bất kì đi qua tiêu điểm của parabol đã cho và cắt parabol tại hai điểm phân

biệt A và B. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ A và B đến trục của parabol là một đại lượng không đổi.

Bài 9.167 : Chp parabol (P) : y2= 6x. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(4; 1)và cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt

A, B sao cho M là trung điểm của đoạn AB.

Bài 9.168 : Cho parabol (P) : y2= 64x và đường thẳng ∆ : 4x−3y+46= 0. Hãy viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường

thẳng ∆, tiếp xúc với parabol (P) và có bán kính nhỏ nhất.

Bài 9.169 : Cho parabol (P) : y2= 8x và điểm I(2; 4) nằm trên parabol. Xét góc vuông thay đổi quay quanh điểm I và hai cạnh góc

vuông cắt parabol tại hai điểm M và N (khác với điểm I). Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 9.170 : Cho điểm A và đường thẳng ∆ cố định không qua A. Tìm tập hợp điểm M là tâm của đường tròn (C) luôn qua A và tiếp

xúc ∆.

Bài 9.171 : Cho hình vuông ABCD có E là trung điểm BC. M là điểm di động trên cạnh AB. Gọi N, P lần lượt là giao điểm của MD

và MC với AE. Gọi H là giao điểm của NC và DP, I là giao điểm của đường trung trực của đoạn thẳng DH với đường thẳng vuông

góc với AH tại H. Chứng minh rằng khi M di động trên cạnh AB thì I di động trên một đường cố định.

Bài 9.172 : Cho đường tròn (O) tiếp xúc với đường thẳng d tại A. Tìm quỹ tích tâm I của các đường tròn tiếp xúc với (O) và tiếp xúc

với d lần lượt tại hai điểm M,N phân biệt.

Bài 9.173 : Cho đường tròn (O) cố định tâm O và hai đường kính AB,CD vuông góc nhau. M là điểm tùy ý trên (O), H là hình chiếu

của M trên CD. Tìm tập hợp giao điểm I của OM và AH khi M di động trên (O).



WWW.VNMATH.COM


9.7 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng qua các kì thi tuyển sinh ĐH

Bài 9.174 (CĐ08) : Tìm điểm A thuộc trục hoành và điểm B thuộc trục tung sao cho A và B đối xứng nhau qua đường thẳng d :

x − 2y + 3 = 0.

Bài 9.175 (CĐ09) : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C(−1;−2), đường trung tuyến kẻ từ A và đường cao kẻ

từ B lần lượt có phương trình là 5x + y − 9 = 0 và x + 3y − 5 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A và B.

Bài 9.176 (CĐ09) : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng ∆1 : x − 2y − 3 = 0 và ∆2 : x + y + 1 = 0. Tìm tọa độ

điểm M thuộc đường thẳng ∆1 sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆2 bằng1√2

.

Bài 9.177 (A02) : Trong mặt phẳng Oxy, xét tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng BC là√

3x− y−√

3 = 0, các đỉnh

A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Bài 9.178 (A04) : Cho hai điểm A(0; 2), B(−√

3;−1). Tìm toạ độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB.

Bài 9.179 (A05) : Cho hai đường thẳng : d1 : x − y = 0 và d2 : 2x + y − 1 = 0.

Tìm toạ độ các đỉnh hình vuông ABCD biết đỉnh A thuộc d1, đỉnh C thuộc d2 và các đỉnh B,D thuộc trục hoành.

Bài 9.180 (A06) : Cho các đường thẳng : d1 : x + y + 3 = 0, d2 : x − y − 4 = 0, d3 : x − 2y = 0.

Tìm toạ độ điểm M trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường

thẳng d2.

Bài 9.181 (A07) : Cho tam giác ABC có A(0; 2), B(−2;−2) và C(4;−2). Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung

điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H,M,N.

Bài 9.182 (A08) : Viết phương trình elíp (E), biết rằng (E) có tâm sai bằng√

53

và hình chữ nhật cơ sở của (E) có cho vi bằng 20.

Bài 9.183 (A09) : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) là giao điểm của hai đường chéo AC

và BD. Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng ∆ : x + y − 5 = 0. Viết phương trình

đường thẳng AB.

Bài 9.184 (A09) : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2+y2+4x+4y+6= 0 và đường thẳng∆ : x+my−2m+3=

0, với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C). Tìm m để ∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác

IAB lớn nhất.

Bài 9.185 (A10) : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 :√

3x + y = 0 và d2 :√

3x − y = 0. Gọi (T ) là đường tròn

tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của (T ), biết tam giác ABC có

diện tích bằng√

32

và điểm A có hoành độ dương.

Bài 9.186 (A10) : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6); đường thẳng đi qua trung điểm của các

cạnh AB và AC có phương trình x + y − 4 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1;−3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của

tam giác đã cho.

Bài 9.187 (B02) : Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I�

12

; 0�

, phương trình đường thẳng AB : x − 2y + 2 = 0 và AB = 2AD. Tìm toạ

độ các đỉnh A, B,C,D biết đỉnh A có hoành độ âm.

Bài 9.188 (B03) : Cho tam giác ABC có AB = AC,ÔBAC = 90◦. Biết M(1;−1) là trung điểm cạnh BC và G�

23

; 0�

là trọng tâm tam

giác ABC. Tìm toạ độ các đỉnh A, B,C.

Bài 9.189 (B04) : Cho hai điểm A(1; 1), B(4;−3). Tìm điểm C thuộc đường thẳng x− 2y− 1 = 0 sao cho khoảng cách từ C đến đường

thẳng AB bằng 6.

Bài 9.190 (B05) : Cho hai điểm A(2; 0) và B(6; 4). Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng

cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5.

Bài 9.191 (B06) : Cho đường tròn (C) : x2+ y2 − 2x − 6y + 6 = 0 và điểm M(−3; 1). Gọi T1, T2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ

từ M đến (C). Viết phương trình đường thẳng T1T2.



WWW.VNMATH.COM


Bài 9.192 (B07) : Cho điểm A(2; 2)và các đường thẳng

d1 : x + y − 2 = 0 và d2 : x + y − 8 = 0.

Tìm toạ độ các điểm B,C lần lượt thuộc d1, d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.

Bài 9.193 (B08) : Tìm toạ độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(−1;−1),

đường phân giác trong của góc A có phương trình x − y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x + 3y − 1 = 0,

Bài 9.194 (B09) : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x − 2)2 + y2=

45

và hai đường thẳng ∆1 : x − y = 0,

∆2 : x − 7y = 0. Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính của đường tròn (C1) biết đường tròn (C1) tiếp xúc với các đường thẳng ∆1,∆2

và tâm K thuộc đường tròn (C).

Bài 9.195 (B09) : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(−1; 4) và các đỉnh B,C thuộc đường

thẳng ∆ : x − y − 4 = 0. Xác định toạ độ các điểm B,C và biết diện tích tam giác ABC bằng 18.

Bài 9.196 (B10) : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C(−4; 1), phân giác trong góc A có phương

trình x + y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương.

Bài 9.197 (B10) : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(2;√

3) và elip (E) :x2

3+

Y2

2= 1. Gọi F1 và F2 là các tiêu điểm của (E)

(F1 có hoành độ âm); M là giao điểm có tung độ dương của đường thẳng AF1 với (E); N là điểm đối xứng của F2 qua M. Viết phương

trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF2.

Bài 9.198 (D02) : Cho elíp (E) :x2

16+

y2

9= 1. Xét điểm M chuyển động trên tia Ox và điểm N chuyển động trên tia Oy sao cho đường

thẳng MN luôn tiếp xúc với (E). Xác định toạ độ điểm M,N để MN có độ dài nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.

Bài 9.199 (D03) : Cho đường tròn (C) : (x − 1)2 + (y − 2)2 = 4 và đường thẳng d : x − y − 1 = 0.

Viết phương trình đường tròn (C′) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d. Tìm toạ độ các giao điểm của (C) và (C′).

Bài 9.200 (D04) : Cho tam giác ABC có các đỉnh A(−1; 0), B(4; 0),C(0;m), với m , 0. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC

theo m. Xác định m để tam giác GAB vuông tại G.

Bài 9.201 (D05) : Cho điểm C(2; 0) và elíp (E) :x2

4+

y2

1= 1. Tìm toạ độ các điểm A, B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng

nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác đều.

Bài 9.202 (D06) : Cho đường tròn (C) : x2+ y2 − 2x − 2y + 1 = 0 và đường thẳng d : x − y + 3 = 0. Tìm toạ độ điểm M nằm trên d

sao cho đường tròn tâm M có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C), tiếp xúc ngoài với đường tròn (C).

Bài 9.203 (D07) : Cho đường tròn (C) : (x − 1)2 + (y + 2)2 = 9 và đường thẳng d : 3x − 4y + m = 0.

Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B là các tiếp điểm) sao cho tam

giác PAB đều.

Bài 9.204 (D08) : Cho parabol (P) : y2= 16x và điểm A(1; 4). Hai điểm phân biệt B,C (B và C khác A) di động trên (P) sao cho gócÔBAC = 90◦. Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 9.205 (D09) : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có M(2; 0) là trung điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến

và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7x − 2y − 3 = 0 và 6x − y − 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng AC.

Bài 9.206 (D09) : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x − 1)2 + y2= 1. Gọi I là tâm của (C). Xác định toạ độ

điểm M thuộc (C) sao cho ÔIMO = 30◦.

Bài 9.207 (D10) : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3;−7), trực tâm là H(3;−1), tâm đường tròn ngoại tiếp

là I(−2; 0). Xác định tọa độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương.

Bài 9.208 (D10) : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0; 2)và ∆ là đường thẳng đi qua O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A

trên ∆. Viết phương trình đường thẳng ∆, biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH.


Bài 9.209 : Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M(1; 1)và cùng với các đường thẳng 2x−3y+4 = 0, 3x+2y+5 = 0 tạo thành

một tam giác cân.



WWW.VNMATH.COM


Bài 9.210 : Viết phương trình các cạnh của hình vuông ABCD biết A(−4; 5)và đường chéo BD : 7x − y + 8 = 0.

Bài 9.211 : Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(1; 6)và hai trung tuyến có phương trình x−2y+1 = 0 và 3x−y−2 = 0.

Bài 9.212 : Cho đường tròn (C) : x2+ y2 − 2x + 6y − 15= 0 và điểm A(2; 1).

Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt (C) tại hai điểm M,N sao cho A là trung điểm của MN.

Bài 9.213 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0; 2), B(−2;−2) và C(4;−2). Gọi H là chân đường cao kẻ từ

B ; M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và BC. Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H,M,N.

Bài 9.214 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x − 1)2 + (y − 2)2 = 4 và đường thẳng d : x − y − 1 = 0.

Viết phương trình đường tròn (C′) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d và tìm tọa độ các giao điểm của (C) và (C′).

Bài 9.215 : Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC có ba đỉnh là A(−1; 7), B(4;−3),C(−4; 1).

Bài 9.216 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 0) và đường thẳng d : x −√

3y + 2 = 0. Tìm tọa độ điểm B nằm trên

trục hoành và điểm C nằm trên đường thẳng d sao cho ∆ABC đều.

Bài 9.217 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng dLx + y − 3 = 0 và e-líp (E) :x2

4+

y2

1= 1. Tìm tọa độ điểm M

thuộc (E) có khoảng cách đến d là ngắn nhất.

Bài 9.218 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elíp (E) :x2

4+ y2= 1 và đường thẳng d : y = 2. Lập phương trình tiếp tuyến với

(E), biết tiếp tuyến tạo với d một góc 30◦.

Bài 9.219 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆ : x + y − 1 = 0, các điểm A(0;−1), B(2; 1). Tứ giác ABCD là hình

thoi có tâm nằm trên ∆. Tìm tọa độ các điểm C,D.

Bài 9.220 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC trọng tâm G�

53

;−13

�, đường tròn đi qua trung điểm của các cạnh

có phương trình x2+ y2 − 2x + 4y = 0. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài 9.221 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho A(3; 3) và đường thẳng d : x + y − 2 = 0. Lập phương trình đường tròn đi qua A

cắt d tại B,C sao cho AB⊥AC và AB = AC.

Bài 9.222 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, AB = AC, ÔBAC = 90◦, đường thẳng AB có phương trình

x − y + 1 = 0, trọng tâm là G(3; 2)và tung độ của điểm A lớn hơn 3. Tìm tọa độ các đỉnh A, B,C.

Bài 9.223 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, choi tam giác ABC với A(4; 2), B(1; 2)và tâm đường tròn nội tiếp tam giác là I(2; 3).

Xác định tọa độ điểm C.

Bài 9.224 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4; 6), phương trình các đường thẳng chứa đường cao và trung

tuyến kẻ từ C lần lượt là 2x − y + 13= 0; 6x − 13y + 29= 0. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Bài 9.225 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, xét elip (E) đi qua điểm M(−2;−3) và có phương trình một đường chuẩn là x+8 = 0.

Viết phương trình chính tắc của elip.

Bài 9.226 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P) : y2= 8x. Đường thẳng d đi qua tiêu điểm của (P) và cắt (P) tại hai

điểm A, B. Viết phương trình đường thẳng d biết AB = 8.

Bài 9.227 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng ∆1 : 2x + y + 3 = 0, ∆2 : 3x − 2y − 1 = 0, ∆ : 7x − y + 8 = 0.

Tìm điểm P ∈ ∆1, Q ∈ ∆2 sao cho ∆ là đường trung trực của đoạn PQ.

Bài 9.228 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm K(3; 2). Đường tròn (C) : x2+ y2 − 2x − 4y + 1 = 0 với tâm là I. Tìm điểm

M ∈ (C) sao cho ÔIMK = 60◦.

Bài 9.229 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn

(C1) : x2+ y2+ 10x − 39= 0, (C2) : x2

+ y2 − 10x + 21= 0.

1. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với (C1) và (C2) đồng thời có tâm thuộc đường thẳng y = 3.

2. Chứng minh rằng tâm các đường tròn đồng thời tiếp xúc với (C1) và (C2) nằm trên một đường Hypebol. Viết phương trình

Hypebol đó.



WWW.VNMATH.COM


Bài 9.230 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) :x2

9+

y2

5= 1 và đường thẳng d :

√5x + 3

√2y − 3

√10= 0. Gọi A, B là

các giao điểm của (E) và d. Tìm tọa độ điểm C trên (E) sao cho tam giác ABC cân tại C.

Bài 9.231 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆1 : y− 2x = 0 và ∆2 : y+ 2x = 0. Gọi A ∈ ∆1, B ∈ ∆2 thỏa mãn−−→OA.−−→OB = 3. Hãy tìm tập hợp trung điểm M của AB.

Bài 9.232 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, đường phân giác trong của góc A có phương trình x + 2y − 5 = 0,

đường cao đi qua A có phương trình 4x + 13y − 10= 0 và điểm C(4; 3). Tìm tọa độ điểm B.

Bài 9.233 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2+ y2+ 6x − 2y + 6 = 0 và các điểm B(2;−3),C(4; 1). Xác

định tọa độ điểm A thuộc đường tròn sao cho tam giác ABC cân tại A và có diện tích nhỏ nhất.

Bài 9.234 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2+ y2

= 1. Tìm các giá trị thực của m để trên đường thẳng

y = m tồn tại đúng hai tiếp tuyến với (C) sao cho góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 60◦.

Bài 9.235 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho Hypebol (H) : 4x2 − y2= 4. Tìm điểm N trên (H) sao cho N nhìn hai tiêu điểm

góc 120◦.

Bài 9.236 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2+ y2

+ 4x − 6y + 9 = 0, điểm K(−1; 4) và đường thẳng

∆ : x− y− 3 = 0. Tìm các điểm trên đường thẳng ∆ để từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn (C) sao cho đường thẳng đi qua các

tiếp điểm cũng đi qua K.

Bài 9.237 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn

(C1) : x2+ y2 − 4x − 2y + 4 = 0 và (C2) : x2

+ y2 − 2x − 6y + 6 = 0.

Chứng minh rằng hai đường tròn cắt nhau và viết phương trình các tiếp tuyến chung của chúng.

Bài 9.238 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 1), B(3; 3). Viết phương trình đường tròn đi qua A, B và nhận Ox

làm tiếp tuyến.

Bài 9.239 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A(1; 0), B(0; 2)và giao điểm I

của hai đường chéo nằm trên đường thẳng y = x. Tìm tọa độ các đỉnh C,D.

Bài 9.240 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 2), đường trung tuyến BM : 2x + y + 1 = 0 và phân

giác trong CD : x + y − 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC.

Bài 9.241 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật có diện tích bằng 12, tâm I thuộc đường thẳng d : x − y − 3 = 0 và

có hoành độ điểm I bằng92

, trung điểm của một cạnh là giao điểm của d và trục Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.

Bài 9.242 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x − 1)2+ (y+ 2)2 = 4. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C)

biết tiếp tuyến đi qua điểm A(−1; 2). Tìm tọa độ các tiếp điểm tương ứng.

Bài 9.243 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm I biết A(−2; 2) và trọng tâm các tam giác ABC và IBC lần

lượt là G�

43

; 2�

, G′�

73

;53

�. Viết phương trình đường thẳng CD.



WWW.VNMATH.COM

WWW.VNMATH.COM

Chương 10

Mở đầu về hình học không gian. Quan hệ songsong

Sau khi học xong mục này, học sinh cần biết :

1. Một mặt phẳng được xác định nếu biết một trong các điều kiện sau đây :

(a) Mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

(b) Mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó.

(c) Mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau.

(d) Mặt phẳng đi qua hai đường thẳng song song.

(e) Mặt phẳng đi qua một đường thẳng và song song với một đường thẳng chéo với đường thẳng ấy.

(f) Mặt phẳng đi qua một điểm và song song với một mặt phẳng không chứa đường thẳng ấy.

(g) Mặt phẳng đi qua một điểm và song song với hai đường thẳng chéo nhau.

2. Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song :

(a) Hai đường thẳng đồng phẳng và không có điểm chung.

(b) Hai mặt phẳng phân biệt cắt nhau và lần lưựơt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với

ít nhất một trong hai đường thẳng ấy.

(c) Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

(d) Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt (P) thì giao tuyến song song với a.

(e) Hai mặt phẳng phân biệt cắt nhau và cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường

thẳng đó.

(f) Nếu hai mặt phẳng song song bị cắt bởi mặt phẳng thứ ba thì hai giao tuyến song song với nhau.

(g) Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b và b không song song với l thì hai hình chiếu a′, b′ của a và b theo

phương l lên mặt phẳng (P) song song hoặc trùng nhau.

(h) Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì hình chiếu a′ của a trên (P) song song với a.

3. Dấu hiệu nhận biết đường thẳng song song với mặt phẳng :

(a) Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng không có điểm chung thì chúng song song với nhau.

(b) Nếu a ∥ b, a 1 (P), b ⊂ (P) thì a ∥ (P).

(c) Nếu a ⊂ (P), (P) ∥ (Q) thì a ∥ (Q).

(d) Nếu ba đường thẳng chắn trên hai cát tuyến những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì ba đoạn thanửg đó cùng song song với

một mặt phẳng (mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai trong ba đường thẳng trên).

191

WWW.VNMATH.COM


(e) a ∥ b, a ∥ (P), b 1 (P),⇒ b ∥ (P).

(f) a ∥ (P), (P) ∥ (Q), a 1 (Q)⇒ a ∥ (Q).

4. Dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng song song :

(a) Hai mặt phẳng không có điểm chung thì song song với nhau.

(b) Nếu một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau và cùng song song với một mặt phẳng khác thì ahi mặt phẳng đó sóng

song.

(c) Nếu hai đường thẳng cắt nhau của một mặt phẳng lần lượt song song với hai đường thẳng của mặt phẳng khác thì hai mặt

phẳng đó song song.

(d) Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

10.1 Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) ; xác định giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P) ; chứng minh ba điểm

thẳng hàng và ba đường thẳng đồng quy ; tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng ; chứng minh bốn điểm đồng phẳng.

Vấn đề 1 : Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

�Giao tuyến của hai mặt phẳng là một đường thẳng. Vì vậy ta cần xác định được hai giao điểm của hai mặt phẳng đó. Muốn xác

định giao điểm của hai mặt phẳng ta chọn hai đường thẳng a ⊂ (P) và b ⊂ (Q) sao cho a ∩ b = {M}. Khi đó M là một giao điểm

của hai mặt phẳng đó.

Bài 10.1 : Trong mặt phẳng (α) cho tứ giác ABCD có các cạnh đối AB và CD không song song với nhau. Gọi S là một điểm không

thuộc mặt phẳng (α).

1. Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (S AC) và (S BD).

2. Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (S AB) và (S CD).

Vấn đề 2 : Xác định giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P)

�

1. Phương pháp chung là cần tìm đường thẳng ∆ ⊂ (P) và ∆ cắt a, giao điểm đó chính là giao điểm của a và (P).

2. Cách tìm đường thẳng ∆: Chọn mặt phẳng (Q) sao cho a ⊂ (Q), (Q) ∩ (P) = ∆ ⇒ ∆ ∩ a = a ∩ (P). Thường ta chọn mặt phẳng

(Q) sao cho dễ xác định giao tuyến với mặt phẳng (P).

Bài 10.2 : Cho tam giác ABC và một điểm O nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Trên các đoạn thẳng OA,OB,OC ta lần lượt lấy các điểm

A′, B′,C′ không trùng với đầu mút các đoạn thẳng đó. Gọi M là một điểm thuộc mặt phẳng (ABC) và nằm trong tam giác ABC. Tìm

điểm chung (giao điểm) của :

1. Đường thẳng B′C′ với mặt phẳng (OAM). 2. Đường thẳng OM với mặt phẳng (A′B′C′).



WWW.VNMATH.COM


Vấn đề 3 : Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng và ba đường thẳng đồng quy

�Muốn chứng minh ba điểm A, B,C thẳng hàng ta chứng minh A, B,C cùng nằm trên hai mặt phẳng phân biệt (P), (Q). Khi đó A, B,C

thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng đó, nên chúng thẳng hàng.

Còn nếu muốn chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng quy, ta xác định giao điểm của hai trong ba đường thẳng rồi chứng minh giao

điểm đó thuộc đường thẳng còn lại. Hoặc có thể dùng định lí giao tuyến của ba mặt phẳng.

Bài 10.3 : Cho tam giác ABC và một điểm O nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Gọi A′, B′,C′ lần lượt là các điểm lấy trên OA,OB,OC và

không trùng với đầu mút các đoạn thẳng đó. Chứng minh rằng các cặp đường thẳng A′B′ và AB, B′C′ và BC, C′A′ và CA cắt nhau lần

lượt tại D, E, F thì ba điểm D, E, F thẳng hàng.

Bài 10.4 : Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F,G là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh AB, AC, BD sao cho EF cắt BC tại I, EG cắt AD tại

H. Chứng minh rằng CD, IG,HF đồng quy.

Vấn đề 4 : Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng

�Muốn tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α) ta tìm các đoạn giao tuyến của (α) giao với các mặt (bên và đáy) của hình

chóp.

Chú ý : Mặt phẳng (α) cắt mỗi mặt bên tại không quá hai điểm trong của các cạnh của mặt bên đó.

Bài 10.5 : Cho hình chóp tứ giác S .ABCD. Điểm C′ nằm trên cạnh S C. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (ABC′).

Bài 10.6 : Cho bốn điểm A, B,C,D không đồng phẳng.

1. Điểm D thuộc những mặt phẳng nào ?

2. Chứng minh AC và BD chéo nhau.

3. Gọi Bx là đường thẳng đi qua B và song song với AD và M ∈ AD. Gọi J là trung điểm đoạn BM. Nếu điểm M di động trên

đường thẳng AD, điểm B di động trên đường thẳng Bx, chứng minh rằng khi đó đường thẳng CJ luôn luôn nằm trong mặt phẳng

cố định.

Bài 10.7 : Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Trên a ta lấy hai điểm phân biệt A, B và trên b lấy hai điểm phân biệt C,D.

1. Chứng minh rằng AC và BD chéo nhau.

2. Gọi M là một điểm trên đoạn AC, N là điểm trên đoạn BD. Khi đó đường thẳng MN có thể song song với AB hoặc CD được

không ?

3. Gọi O là điểm trên đoạn MN. Chứng minh rằng AO cắt CN và BO cắt DM.

Bài 10.8 : Cho mặt phẳng (α) xác định bởi đường thẳng a và điểm A không thuộc a. Gọi a′ là đường thẳng đi qua A và song song với

a. Lấy một điểm M trên a và một điểm B nằm ngoài mặt phẳng (α).

1. Chứng minh rằng điểm M thuộc mặt phẳng (α).

2. Tìm điểm chung của các cặp mặt phẳng (ABM) và (α), (ABM) và (a′, B), (ABM) và (a, B).

3. Tìm điểm chung của ba mặt phẳng (α), (a′, B), (ABM).

4. Gọi I,K lần lượt là các trung điểm của các đoạn thẳng AB và MB . Chứng minh rằng IK song song với mặt phẳng (α).



WWW.VNMATH.COM


Bài 10.9 : Gọi (α) là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O và c là một đường thẳng cắt (α) tại I khác O.

1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (O, c).

2. Gọi M là một điểm nằm trên c và không trùng với I. Tìm giao tuyến m của hai mặt phẳng (M, a) và (M, b). Chứng minh rằng

khi M di động trên đường thẳng c, giao tuyến m này luôn nằm trong một mặt phẳng cố đinh.

Bài 10.10 : Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Gọi K là một điểm lấy trên cạnh BD sao cho

BK = 3KD.

1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNK) với mặt phẳng (BCD).

2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNK) với mặt phẳng (ACD).

Bài 10.11 : Cho hình chóp S .ABCD với đáy ABCD là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song. Tìm giao tuyến của các cặp mặt

phẳng sau:

1. (S AC) và (S BD) ; 2. (S AB) và (S CD) ; 3. (S AD) và (S BC).

Bài 10.12 : Cho hình chóp S .ABCD với đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M,N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn

BC,CD, S O. Xác định thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng (MNP).

Bài 10.13 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh S B, S D . Lấy một

điểm P trên cạnh S C sao cho S P = 3PC. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt (S AC), (S AB), (S AD) và (ABCD) của

hình chóp.

Bài 10.14 : Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt lấy trên các cạnh AC, BC sao cho MN không song song với AB. Gọi O là một điểm

thuộc miền trong tam giác ABD. Tìm giao điểm của AB và AD với mặt phẳng (OMN).

Bài 10.15 : Cho hình chóp S .ABCD. Gọi M là một điểm trên cạnh S C.

1. Tìm giao điểm của AM với mặt phẳng (S BD).

2. Lấy một điểm N trên cạnh BC. Tìm giao điểm của S D và mặt phẳng (AMN).

Bài 10.16 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của S C.

1. Tìm giao điểm I của đường thẳng AM với mặt phẳng (S BD). Chứng minh rằng IA = 2IM.

2. Tìm giao điểm P của đường thẳng S D với mặt phẳng (ABM).

3. Gọi N là một điểm tuỳ ý trên cạnh AB. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (S BD).

Bài 10.17 : Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N là hai điểm lần lượt lấy trên AC, AD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Tìm giao điểm của:

1. MN và mặt phẳng (ABG). 2. AG và mặt phẳng (BMN).

Bài 10.18 : Cho hình chóp S .ABCD. Gọi I,K là hai điểm cố định trên S A và S C với S I = 2IA và S K = 13KC. Một mặt phẳng (α)

quay quanh IK cắt S B tại M và S D tại N. Gọi O là giao điểm của AC và BD.

1. Chứng minh rằng ba đường thẳng IK,MN, S O đồng quy.

2. Gọi {E} = AD ∩ BC và {F} = IN ∩ MK. Chứng minh rằng ba điểm S , E, F thẳng hàng.

3. Gọi {P} = IN ∩ AD và {Q} = MK ∩ BC. Chứng minh rằng khi (α) thay đổi đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố đinh.

Bài 10.19 : Cho hình chóp S .ABCD. Gọi I là một điểm trên cạnh AD và K là một điểm trên cạnh S B.

1. Tìm giao điểm E, F của IK và DK với mặt phẳng (S AC).

2. Gọi {O} = AD ∩ BC, {M} = S C ∩ OK. Chứng minh rằng bốn điểm A, E, F,M thẳng hàng.

Bài 10.20 : Cho tứ diện ABCD. Trên đoạn CA,CB, BD cho lần lượt các điểm M,N, P sao cho MN không song song với AB , NP

không song song với CD. Gọi (α) là mặt phẳng xác định bởi ba điểm M,N, P nói trên. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (α) và tứ diện

ABCD.



WWW.VNMATH.COM


Bài 10.21 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M,N, E là ba điểm lần lượt lấy trên AD,CD, S O. Tìm thiết

diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng (MNP).

Bài 10.22 : Cho hình chóp S .ABCD. Trong tam giác S BC lấy một điểm M và trong tam giác S CD lấy một điểm N.

1. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (S AC).

2. Tìm giao điểm của cạnh S C với mặt phẳng (AMN).

3. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (AMN).

Bài 10.23 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh S C.

1. Tìm giao điểm I của đường thẳng AM với mặt phẳng (S BD). Chứng minh rằng IA = 2IM.

2. Tìm giao điểm F của đường thẳng S D với mặt phẳng (ABM). Chứng minh rằng F là trung điểm của cạnh S D và tứ giác ABMF

là một hình thang.

3. Gọi N là điểm tuỳ ý trên cạnh BC. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (AMN).

Bài 10.24 : Cho hình chóp S .ABCD. Gọi M,N là các điểm lần lượt trên các đoạn BC và S D.

1. Tìm giao điểm I của đường thẳng BN với mặt phẳng (S AC) và giao điểm K của đường thẳng MN với mặt phẳng (S AC).

2. Tìm thiết diện của hình chóp S .ABCD với mặt phẳng (BCN).

Bài 10.25 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M,N lần lượt là các điểm trên các đoạn S B và AD. Đường thẳng

BN cắt CD tại I.

1. Chứng minh rằng ba điểm M, I và trọng tâm G của tam giác S AD thẳng hàng.

2. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (CGM). Chứng minh rằng trung điểm của đoạn S A thuộc thiết diện nay.

3. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (AGM).

Bài 10.26 : Cho chóp S .ABCD có đáy ABCD là một tứ giác có các cặp cạnh đối không song song. Gọi M là một điểm tùy ý nằm trên

cạnh S C (M không trùng với C và S ), mặt phẳng (ABM) cắt S D tại N.

1. Gọi I là giao điểm của BM và AN. Chứng minh rằng khi điểm M di động trên cạnh S C thì I di động trên một đoạn thẳng cố

định. Hãy xác định đoạn thẳng đó.

2. Gọi J là giao điểm của AM và BN. Chứng minh rằng khi M di động trên cạnh S C thì J di động trên một đoạn thẳng cố định.

Bài 10.27 : Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Cho M và N nằm trên các cạnh BC và AD sao choBMMC=

ANND= 3. Chứng minh rằng M,N, I, J luôn đồng phẳng.

10.2 Hai đường thẳng song song

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (dùng quan hệ song song) ; chứng minh hai đường thẳng song song ; chứng minh hai đường thẳng

chéo nhau

Vấn đề 1 : Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (dùng quan hệ song song)

�Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) có điểm chung S và lần lượt chứa hai đường thẳng song song d và d′ thì giao tuyến củ (α) và (β) là

đường thẳng ∆ đi qua S và song song với d và d′.

Bài 10.28 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây.



WWW.VNMATH.COM


1. (S AC) và (S BD) ; 2. (S AB) và (S CD) ; 3. (S AD) và (S BC).

Bài 10.29 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB,CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và

G là trọng tâm tam giác S AB.

1. Tìm giao tuyến của (S AB) và (IJG).

2. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG). Thiết diện là hình gì? Tìm điều kiện đối với AB và CD để thiết diện là

hình bình hành.

Vấn đề 2 : Chứng minh hai đường thẳng song song

�1. Dùng định nghĩa ( Chứng minh chúng cùng thuộc một mặt phẳng, rồi áp dụng các phương pháp chứng minh thông thường,

thường áp dụng định lí Talet).

2. Dùng phản chứng

3. Dùng định lí giao tuyến của ba mặt phẳng.

4. Dùng tính chất : Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song

song với hai đường thẳng đó, hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

5. Dùng tính chất bắc cầu

Bài 10.30 : Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ABD. Chứng minh rằng IJ ∥ CD.

Bài 10.31 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thang với hai cạnh đáy AB và CD (AB > CD). Gọi M,N lần lượt là trung

điểm S A, S B.

1. Chứng minh MN ∥ CD ;

2. Gọi P là giao điểm của S C và mặt phẳng (ADN), I là giao điểm AN và DP. Chứng minh rằng S I ∥ AB. Tứ giác S ABI là hình

gì.

Vấn đề 3 : Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau

�Chúng ta thường dùng phương pháp phản chứng.

Bài 10.32 : Cho d1, d2 là hai đường thẳng chéo nhau. Trên d1, lấy hai điểm phân biệt A, B và trên d2 lấy hai điểm phân biệt C,D.

Chứng minh rằng AC và BD chéo nhau.

Bài 10.33 : Cho tam giác ABC nằm trong mặt phẳng (α). Gọi Bx,Cy là hai nửa đường thẳng song song và nằm về cùng một phía đối

với mặt phẳng (α). M,N là hai điểm lần lượt di động trên Bx,Cy sao cho CN = 2BM.

1. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định I khi M,N di động.

2. E thuộc đoạn AM và EM =13

EA, IE cắt AN tại F. Gọi Q là giao điểm của BE và CF. Chứng minh rằng AQ song song với Bx

và (QMN) chứa một đường thẳng cố định khi M,N thay đổi.

Bài 10.34 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M,N, P,Q lần lượt là các điểm nằm trên BC, S C, S D, AD sao cho

MN ∥ BS ,NP ∥ CD,MQ ∥ CD.



WWW.VNMATH.COM


1. Chứng minh rằng PQ ∥ S A.

2. Gọi K là giao điểm của MN và PQ, chứng minh rằng S K ∥ AD.

3. Qua Q dựng các đường thẳng Qx ∥ S C và Qy ∥ S B. Tìm giao điểm của Qx với (S AB) và của Qy với (S CD).

Bài 10.35 : Cho hình chóp S .ABCD đáy là hình thang, các cạnh đáy AD = a, BC = b. I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác

S AD, S BC.

1. Tìm đoạn giao tuyến của (ADJ) với mặt phẳng (S BC) và đoạn giao tuyến của (BCI) với mặt phẳng (S AD).

2. Tính độ dài đoạn giao tuyến của hai mặt phẳng (ADJ) và (BCI) giới hạn bởi hai mặt phẳng (S AB) và (S CD).

Bài 10.36 : Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a. I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi K là một điểm trên cạnh BD với

KB = 2KD.

1. Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK). Chứng minh thiết diện là hình thang cân.

2. Tính diện tích thiết diện theo a.

Bài 10.37 : Cho hình chóp S .ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, mặt bên S AB là tam giác đều, ÔS AD = 900. Gọi Dx là đường

thẳng qua D và song song với S C.

1. Tìm giao điểm I của Dx và mặt phẳng (S AB). Chứng minh AI ∥ S B.

2. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (AIC). Tính diện tích thiết diện.

10.3 Đường thẳng và mặt phẳng song song

Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng ; tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, dựng thiết diện song song với một đường thẳng

; dựng một mặt phẳng chứa một đường thẳng và song song với đường thẳng khác, xác định giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng ;

dựng mặt phẳng qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau a và b

Vấn đề 1 : Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

�1. Dùng định nghĩa (thường là phản chứng).

2. Dùng tiêu chuẩn : Nếu một đường thẳng d không nằm trên mặt phẳng (α) và song song với một đường thẳng a nào đó nằm trên

(α) thì đường thẳng d song song với mặt phẳng (α).

Chú ý : Nếu a không có sẵn ta thường chọn một mặt phẳng (β) chứa d và lấy a là giao tuyến của (α) và (β).

Bài 10.38 : Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi O,O′ lần lượt là tâm của các hình

bình hành ABCD và ABEF; G1,G2 lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và ABE. Chứng minh rằng :

1. OO′ song song với mặt phẳng (ADF) và (BCE) ; 2. G1G2 song song với mặt phẳng (CEF).

Vấn đề 2 : Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. Dựng thiết diện song song với một đường thẳng

�Ta có thể dùng định lí sau : Cho đường thẳng d ∥ (α). Nếu d ⊂ (β) và (α) ∩ (β) = d′ thì d′ ∥ d.



WWW.VNMATH.COM


Bài 10.39 : Cho hình chóp S .ABCD. M,N là hai điểm trên AB,CD và (α) là mặt phẳng qua MN và song song với S A.

1. Tìm các giao tuyến của (α) với (S AB) và (S AC).

2. Xác định thiết diện của hình chóp với (α). Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang.

Bài 10.40 : Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′, đáy là tam giác đều cạnh a. Các mặt bên ABB′A′, ACC′A′ là các hình vuông. Gọi I, J là

tâm các mặt bên nói trên và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

1. Chứng minh rằng IJ ∥ (ABC).

2. Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng (OIJ). Chứng minh rằng thiết diện là hình thang cân và tính diện tích thiết diện.

Bài 10.41 : Cho hình chóp S .ABCD, đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M,N lần lượt là trung điểm S A và CD.

1. Chứng minh rằng (OMN) ∥ (S BC) ;

2. Gọi AE, AF là các đường phân giác trong của các tam giác ACD và S AB. Gọi I là trung điểm S E, J là một điểm trên (ABCD)

và cách đều AB và CD. Chứng minh rằng IJ ∥ (S AB).

3. Giả sử hai tam giác S AD, ABC đều cân tại A. Chứng minh rằng EF ∥ (S AD).

Vấn đề 3 : Dựng một mặt phẳng chứa một đường thẳng và song song với đường thẳng khácXác định giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng

�Cho a, b chéo nhau. Ta sẽ dựng mặt phẳng (P) chứa a và b ∥ (P) như sau :

Cách 1 : Xét một đường thẳng c cắt a và c ∥ b. Khi đó (P) là mặt phẳng chứa a và c.

Cách 2 : Xét một mặt phẳng (Q) chứa b, (R) chứa a. Ta có (R) ∩ (P) = a, (Q) ∩ (R) = c và giả sử c ∩ a = {M} thì (P) ∩ (Q) là đường

thẳng d qua M và song song với b.

Vậy (P) là mặt phẳng chứa a và d.

Bài 10.42 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là một điểm nằm giữa hai điểm S và C ; (α) là mặt phẳng chứa

AM và song song với BD.

1. Hãy xác định các giao điểm E, F của mặt phẳng (α) lần lượt với các cạnh S B, S D.

2. Gọi I là giao điểm của ME và CB, J là giao điểm của MF và CD. Chứng minh rằng ba điểm I, A, J thẳng hàng.

Bài 10.43 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Hãy xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua

trung điểm M của AB, song song với các đường thẳng BD và S A.

Bài 10.44 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB,CD.

1. Chứng minh MN song song với (S BC) và (S AD) ;

2. Gọi P là trung điểm S A. Chứng minh S B và S C đều song song với mặt phẳng (MNP).

3. Gọi G1,G2 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và S BC. Chứng minh G1G2 song song với mặt phẳng (S AB).

Bài 10.45 : Cho hình chóp S .ABCD, đáy là hình thang với các cạnh đáy AB,CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AD, BC và G là trọng

tâm tam giác S AB.

1. Tìm giao tuyến của cặp mặt phẳng (S AB) và (IJG) ;

2. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (IJG). Tìm điều kiện của AB,CD để thiết diện là hình bình hành.



WWW.VNMATH.COM


Bài 10.46 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác S AB và S AD, M là trung

điểm CD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (IJM).

Bài 10.47 : Cho hình chóp S .ABCD. Gọi M,N là hai điểm trên AB,CD; (α) là mặt phẳng qua M và song song với S A.

1. Tìm giao tuyến của (α) với các mặt phẳng (S AB) và (S AC).

2. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α);

3. Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang.

Bài 10.48 : Cho lăng trụ ABC.A′B′C′. Gọi H là trung điểm A′B′.

1. Chứng minh CB′ song song với mặt phẳng (AHC′);

2. Tìm giao điểm của AC′ với (BCH);

3. Mặt phẳng (α) qua trung điểm của CC′, song song với AH và CB′. Xác định thiết diện và tỉ số mà các đỉnh của thiết diện chia

các cạnh tương ứng của lăng trụ.

10.4 Hai mặt phẳng song song

Chứng minh hai mặt phẳng song song ; tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, thiết diện cắt bởi một mặt phẳng song song với một mặt

phẳng cho trước.

Vấn đề 1 : Chứng minh hai mặt phẳng song song

�

1. Dùng định nghĩa (thường là phản chứng).

2. Chứng minh chúng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba.

3. Dùng tiêu chuẩn : Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng a và b cắt nhau và hai đường thẳng này cùng song song với một

mặt phẳng (β) cho trước thì hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau.

Bài 10.49 : Cho hình chóp S .ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của S A, S D.

1. Chứng minh rằng (OMN) song song với (S BC).

2. Gọi P là trung điểm của AB, Q trên đoạn ON sao cho OQ = 3ON. Chứng minh rằng PQ ∥ (S BC).

Vấn đề 2 : Tìm giao tuyến của hai mặt phẳngThiết diện cắt bởi một mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước

�Chúng ta thường dùng định lí : Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song thì mọi mặt phẳng (γ) đã cắt (α) đều phải cắt (β) và các giao

tuyến của chúng song.

Bài 10.50 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình bình hành tâm O với AC = a, BD = b, tam giác S BD đều. Một mặt phẳng (α) di

động song song với mặt phẳng (S BD) và đi qua điểm I trên đoạn AC khác A và C.

1. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (α).



WWW.VNMATH.COM


2. Tính diện tích thiết diện theo a, b và x = AI.

Bài 10.51 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M,N lần lượt là trung điểm S A, S D.

1. Chứng minh (OMN) ∥ (S BC) ;

2. Gọi P,Q là trung điểm AB và ON. Chứng minh PQ ∥ (S BC).

Bài 10.52 : Cho tứ diện ABCD, gọi G1,G2,G3 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ADB.

1. Chứng minh rằng (G1G2G3) ∥ (BCD).

2. Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng (G1G2G3). Tính diện tích thiết diện, biết diện tích tam giác là s.

3. M là điểm di động trong tứ diện sao cho G1M luôn song song với mặt phẳng (ACD). Tìm tập hợp những điểm M.



WWW.VNMATH.COM

WWW.VNMATH.COM

Chương 11

Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc

Sau khi học xong chương này, học sinh cần biết :

1. Để có hai đường thẳng d và d′ vuông góc, có thể chứng minh :

• −→u .−→v = 0, ở đó −→u và −→v lần lượt là vectơ chỉ phương của d và d′.

• Góc giữa chúng bằng 90◦.

• d song song với đường thẳng ∆, còn d′ vuông góc với ∆ (∆ là đường thẳng nào đó).

• d⊥(α) mà (α) chứa d′, hoặc d′⊥(β) mà (β) chứa d.

• Khi d và d′ cắt nhau, có thể sử dụng các phương pháp trong hình học phẳng như trung tuyến của tam giác cân, định lí đảo

của định lí Pytago, . . .

2. Để có đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α), có thể chứng minh :

• d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (α).

• d ∥ d′ mà d′⊥(α).

• d⊥(β) mà (β) ∥ (α).

• d là trục của tam giác ABC nằm trên mặt phẳng (α) (nghĩa là chứng minh d chứa hai điểm cách đều A, B,C).

• d là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với (α).

• Sử dụng tính chất hai mặt phẳng vuông góc : nếu (α)⊥(β) mà d nằm trong (β) và d vuông góc với giao tuyến của (β) và

(α) thì d⊥(α).

3. Để có hai mặt phẳng vuông góc, có thể chứng minh :


• Mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

• Mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng song song với mặt phẳng kia.

4. Ngoài ra, chúng ta cần biết xác định góc, xác định khoảng cách giữa các yếu tố.

Hệ thức lượng trong tam giác vuôngCho tam giác ABC vuông tại A, AH, AM tương ứng là đường cao, trung tuyến xuất phát từ A.

A

B CH M

201


WWW.VNMATH.COM

Chương 11

Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc

Sau khi học xong chương này, học sinh cần biết :

1. Để có hai đường thẳng d và d′ vuông góc, có thể chứng minh :

• −→u .−→v = 0, ở đó −→u và −→v lần lượt là vectơ chỉ phương của d và d′.


• d song song với đường thẳng ∆, còn d′ vuông góc với ∆ (∆ là đường thẳng nào đó).

• d⊥(α) mà (α) chứa d′, hoặc d′⊥(β) mà (β) chứa d.

• Khi d và d′ cắt nhau, có thể sử dụng các phương pháp trong hình học phẳng như trung tuyến của tam giác cân, định lí đảo

của định lí Pytago, . . .

2. Để có đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α), có thể chứng minh :

• d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (α).

• d ∥ d′ mà d′⊥(α).

• d⊥(β) mà (β) ∥ (α).

• d là trục của tam giác ABC nằm trên mặt phẳng (α) (nghĩa là chứng minh d chứa hai điểm cách đều A, B,C).

• d là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với (α).

• Sử dụng tính chất hai mặt phẳng vuông góc : nếu (α)⊥(β) mà d nằm trong (β) và d vuông góc với giao tuyến của (β) và

(α) thì d⊥(α).

3. Để có hai mặt phẳng vuông góc, có thể chứng minh :


• Mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

• Mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng song song với mặt phẳng kia.

4. Ngoài ra, chúng ta cần biết xác định góc, xác định khoảng cách giữa các yếu tố.

Hệ thức lượng trong tam giác vuôngCho tam giác ABC vuông tại A, AH, AM tương ứng là đường cao, trung tuyến xuất phát từ A.

A

B CH M

201

WWW.VNMATH.COM


• AB2+ AC2

= BC2 (Định lí Pytago);

•1

AH2=

1AB2+

1AC2

; AH =AB.AC

BC;

• AB2= BH.BC; AC2

= CH.BC;

• AM =BC2

, nếu bC = 30◦ thì AB =BC2

.

Nhắc lại một số hệ thức lượng trong tam giác.Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a,CA = b; ha, hb, hc và ma,mb,mc lần lượt là độ các đường cao và các đường trung tuyến xuất

phát từ A, B,C; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; S là diện tích tam giác ABC; và p =a + b + c

2là

nửa chu vi tam giác.

1. Định lí hàm số cosin :

a2= b2

+ c2 − 2bc cosA; cosA =b2+ c2 − a2

2bc.

2. Định lí hàm số sin :a

sinA=

bsinB

=c

sinC= 2R⇒ a = 2R sinA.

3. Công thức trung tuyến :

m2a =

2(b2+ c2) − a2

4.

4. Công thức diện tích tam giác:

(a) Tam giác thường

S =12

a.ha =12

b.c. sinA =abc4R= pr =

Èp(p − a)(p − b)(p − c)⇒ ha =

2Sa,R =

abc4S, r =

Sp.

(b) Tam giác ABC vuông tại A thì S =12

AB.AC và nếu là tam giác vuông cân cạnh a thì S =a2

2.

(c) Tam giác ABC đều cạnh a thì S =a2√

34

và đường cao bằnga√

32

;

5. Diện tích hình vuông cạnh a là S = a2.

6. Diện tích hình chữ nhật cạnh a, b là S = ab.

7. Diện tích hình bình hành ABCD là S = đáy.cao = AB.AD. sinÔBAD =12

AC.BD. sin(AC, BD).

8. Diện tích hình thoi ABCD là S = đáy.cao = AB.AD. sinÔBAD =12

AC.BD.

9. Diện tích hình thang là S =( đáy lớn + đáy nhỏ ) × cao

2.

10. Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc là S =12

tích hai đường chéo.

11.1 Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ

Vấn đề 1 : Biểu thị một vectơ qua ba vectơ không đồng phẳng

�Nếu ba vectơ −→a ,−→b ,−→c không đồng phẳng thì vectơ

−→d bất kì biểu thị được một cách duy nhất qua ba vectơ −→a ,−→b ,−→c ; nghĩa là tồn tại duy

nhất bộ ba số m, n, p sao cho−→d = m−→a + n

−→b + p−→c .

Bài 11.1 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Đặt−−→AA′ = −→a ,−−→AB =

−→b ,−−→AD = −→c . Gọi I là tâm hình bình hành CDD′C′, J là điểm trên

cạnh B′C′ sao cho JB′ = k.JC′ (k ∈ R cho trước). Hãy biểu thị các vectơ−−→CB′,

−→AI,−→IJ theo ba vectơ −→a ,−→b ,−→c .

Bài 11.2 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′. Đặt −→a = −−→AC′,−→b =−−→BA′,−→c = −−→CB′. Gọi M là trung điểm AA′ và G là trong tâm tam giác

ABC. Hãy biểu diễn các vectơ−−→AA′,−−−→B′G,

−−−→MN theo ba vectơ −→a ,−→b ,−→c .



WWW.VNMATH.COM


Vấn đề 2 : Chứng minh các đẳng thức vectơ

�1. Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp để biến đổi vế này thành vế kia và ngược lại.

2. Sử dụng các tính chất của các phép toán vectơ và các tính chất hình học của hình đã cho.

Bài 11.3 : Cho hình hộp ABCD.EFGH. Chứng minh rằng−−→AB +

−−→AD +

−−→AE =

−−→AG.

Bài 11.4 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng−−→S A +

−−→S C =

−−→S B +

−−→S D.

Bài 11.5 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD. Chứng minh rằng−−→S A2+−−→S C2

=−−→S B2+−−→S D2.

Bài 11.6 : Cho đoạn thẳng AB. Trên đường thẳng AB lấy điểm C sao choCACB=

mn

, với m, n > 0. Chứng minh rằng với S bất kì ta

luôn có−−→S C =

nm + n

−−→S A +

mm + n

−−→S B.

Bài 11.7 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Gọi O và O′ theo thứ tự là tâm của hai hình vuông ABCD và A′B′C′D′.

1. Hãy biểu diễn các vectơ−−→AO,−−−→AO′ theo các vectơ

−−→AA′,−−→AB,−−→AD.

2. Chứng minh rằng−−→AD +

−−−→D′C′ +

−−−→D′A′ =

−−→AB.

Bài 11.8 : Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B,C,D phân biệt và không thẳng hàng. Chứng minh rằng điều kiện cần và

đủ để bốn điểm A, B,C,D tạo thành một hình bình hành là :−−→OA +

−−→OC =

−−→OB +

−−→OD.

Vấn đề 3 : Chứng minh các điểm thẳng hàng và quan hệ song song

�1. Để chứng minh ba điểm A, B,C thẳng hàng ta có thể

• Chứng minh vectơ hai−−→AB và

−−→AC cùng phương, tức là

−−→AB = k

−−→AC.

• Chọn một điểm I nào đó và chứng minh−→IC = m

−−→OA + n

−−→OB với m + n = 1.

2. Hai đường thẳng phân biệt AB và CD song song với nhau khi và chỉ khi hai vectơ−−→AB và

−−→CD cùng phương.

3. Đường thẳng AB không nằm trên (P) và AB ∥ (P) khi và chỉ khi có một đường thẳng CD ⊂ (P) sao cho AB ∥ CD hoặc−−→AB = x−→u + y−→v trong đó các vectơ −→u và −→v có giá song song hoặc nằm trên (P).

Bài 11.9 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Xét các điểm M,N lần lượt trên các đường thẳng A′C và C′D sao cho−−−→MA′ = k

−−→MC,

−−−→NC′ = l

−−→ND (k và l đều khác 1). Đặt

−−→BA = −→a ,

−−→BB′ =

−→b ,−−→BC = −→c .

1. Hãy biểu thị các vectơ−−→BM và BN qua các vectơ −→a ,−→b ,−→c .

2. Xác định các số k, l để đường thẳng MN song song với đường thẳng BD′.

Bài 11.10 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. M là một điểm trên đường thẳng AB sao cho−−→MA = m

−−→AB. Tìm điểm N trên đường thẳng

B′C và điểm P trên đường thẳng A′C′ sao cho ba điểm M,N, P thẳng hàng (m , 0).

Bài 11.11 : Cho tứ diện ABCD, M và N là các điểm lần lượt thuộc AB và CD sao cho−−→MA = −2

−−→MB,−−→ND = −2

−−→NC. Các điểm I, J,K

lần lượt thuộc AD,MN, BC sao cho−→IA = k

−→ID,−−→JM = k

−−→JN,−−→KB = k

−−→KC. Chứng minh rằng các điểm I, J,K thẳng hàng.

Bài 11.12 : Cho hai đường thẳng ∆,∆1 cắt ba mặt phẳng song song (α), (β), (γ) lần lượt tại A, B,C và A1, B1,C1. Với điểm O bất kì

trong không gian, đặt−→OI =

−−−→AA1,

−−→OJ =

−−−→BB1,

−−→OK =

−−−→CC1. Chứng minh rằng ba điểm I, J,K thẳng hàng.



WWW.VNMATH.COM


Bài 11.13 : Cho tứ diện ABCD. Gọi B0,C0,D0 lần lượt là trọng tâm các tam giác ACD, ADB và ABC. Gọi G và G0 là trọng tâm tam

giác BCD và B0C0D0. Chứng minh rằng ba điểm A,G0,G thẳng hàng.

Bài 11.14 : Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1. M là điểm trên cạnh AD sao cho−−→AM =

13−−→AD. N là điểm trên đường thẳng BD1, P là

điểm trên đường thẳng CC1 sao cho ba điểm M,N, P thẳng hàng. Tính

��−−−→MN��−−→NP�� .

Bài 11.15 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Một đường thẳng ∆ cắt các đường thẳng AA′, BC,C′D′ lân lượt tại M,N, P sao cho−−−→NM = 2

−−→NP. Tính

MAMA′

.

Bài 11.16 : Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1.

1. Chứng minh rằng đỉnh A, trọng tâm G của tam giác BDA1 và đỉnh C1 thuộc một đường thẳng.

2. Tính tỉ sốGAGC1

.

Bài 11.17 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của mặt phẳng ABB′A′. M là một điểm trên OB′.

Mặt phẳng (MD′C) cắt BC′ ở I và DA′ ở J. Chứng minh rằng ba điểm I,M, J thẳng hàng.

Bài 11.18 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′. Gọi G và G′ lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và A′B′C′, gọi I là giao điểm của

hai đường thẳng AB′ và A′B. Chứng minh rằng hai đường thẳng GI và GG′ song song với nhau.

Bài 11.19 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1, gọi E, F là những điểm lần lượt nằm trên các đường chéo CA1, AB1 của các mặt

bên sao cho EF ∥ BC1. Tìm tỉ sốEFBC1

, xác định vị trí của E, F.

Bài 11.20 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1, điểm M là trung điểm cạnh bên AA1. Trên đường chéo AB1, BC1 của các mặt

bên lần lượt lấy các điểm E, F sao cho EF ∥ CM. Tìm tỉ sốEFCM


Bài 11.21 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1. Gọi M,N lần lượt là trung điểm cạnh bên AA1,CC1. Hai điểm E, F lần lượt trên

các đường thẳng CM, AB1 sao cho EF ∥ BN. Tìm tỉ sốEFBN


Bài 11.22 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1. Gọi M,N, P lần lượt là các điểm trên các cạnh bên AA1, BB1,CC1 sao choAMAA1

=B1NBB1

=C1PCC1

=34

. Hai điểm E, F lần lượt trên các đường thẳng CM, A1N sao cho EF ∥ B1P. Tìm tỉ sốEFB1P

.

Bài 11.23 : Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1. Chứng minh rằng tồn tại điểm M duy nhất thuộc đường thẳng AC và điểm N duy nhất

thuộc DC1 sao cho MN ∥ BD1. Tính tỉ sốMNBD1

.

Bài 11.24 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Gọi M,N lần lượt là các điểm thuộc AD′ và DB sao cho−−→MA = k

−−−→MD′,

−−→ND = k

−−→NB

(k , 0, k , 1).

1. Chứng minh rằng MN ∥ (A′BC) ;

2. Khi đường thẳng MN ∥ A′C, chứng minh rằng MN vuông góc với AD′ và DB.

Bài 11.25 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Gọi M,N lần lượt là trung điểm CD và DD′; G,G′ lần lượt là trọng tâm của các tứ diện

A′D′MN và BCC′D′. Chứng minh rằng đường thẳng GG′ và mặt phẳng (ABB′A′) song song với nhau.

Vấn đề 4 : Chứng minh các vectơ đồng phẳng

�Muốn chứng minh các vectơ −→a ,−→b ,−→c đồng phẳng chúng ta có thể :

1. Dựa vào định nghĩa : Chứng tỏ các vectơ −→a ,−→b ,−→c có giá cùng song song với một mặt phẳng.

2. Ba vectơ −→a ,−→b ,−→c đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n duy nhất sao cho −→c = m−→a + n−→b , trong đó −→a ,−→b là hai vectơ không

cùng phương.

Bài 11.26 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Hãy xét sự đồng phẳng của các vectơ :



WWW.VNMATH.COM


1.−−→AB,−−−→A′C′,

−−−→B′D′ ; 2.

−−→AB,−−→BB′,−−−→B′C′ ; 3.

−−→AB,−−−→B′D,

−−−→C′D′.

Bài 11.27 : Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho−−→AM = 3

−−−→MD và trên cạnh BC lấy điểm N sao cho

−−→NB = −3

−−→NC.

Chứng minh rằng ba vectơ−−→AB,−−→DC,−−−→MN đồng phẳng.

Bài 11.28 : Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABFE và K là giao điểm hai đường

chéo của hình bình hành BCGF. Chứng minh rằng ba vectơ−−→BD,−→IK,−−→GF đồng phẳng.

Bài 11.29 : Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên các cạnh AC và BD ta lần lượt lấy các

điểm M,N sao choAMAC=

BNBD= k (k > 0).

Chứng minh rằng ba vectơ−−→PQ,−−→PM,−−→PN đồng phẳng.

Bài 11.30 : Cho hai hình bình hành ABCD và AB′C′D′ có chung đỉnh A. Chứng minh rằng các vectơ−−→BB′,

−−−→CC′,

−−−→DD′ đồng phẳng.

Bài 11.31 : Cho hai ngũ giác đều OABCD và OA′B′C′D′ có chung đỉnh O và nằm trên hai mặt phẳng phân biệt. Chứng minh rằng

các vectơ−−→AA′,−−→BB′,−−−→CC′,

−−−→DD′ đồng phẳng.

Bài 11.32 : Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Các điểm M,N lần lượt thuộc các cạnh AD và BB1 sao cho AM = BN. Chứng

minh rằng ba vectơ−−−→MN,

−−→AB,−−−→B1D đồng phẳng.

Bài 11.33 : Cho tứ diện OABC. Gọi M,N, P là ba điểm trong không gian được xác định từ các hệ thức vectơ sau :

−−→OM =

−−→OA + α

−−→OB − 2

−−→OC;−−→ON = (α + 1)

−−→OA + 2

−−→OB +

−−→OC;−−→OP = (α − 2)

−−→OB + 2

−−→OC

với α là số thực. Tìm α để ba vectơ−−→OM,

−−→ON,−−→OP đồng phẳng.

Bài 11.34 : Cho góc tam diện Oxyz. Chứng minh rằng các phân giác trong của các góc dyOz,dzOx và phân giác ngoài của dxOy thuộc

một mặt phẳng.

Bài 11.35 : Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1. Gọi α là mặt phẳng đi qua đỉnh D1 song song với DA1 và AB1. Mặt phẳng này cắt đường

thẳng BC1 tại M, và giả sử−−→BM = k

−−−→BC1. Hãy tính k ?

Bài 11.36 : Cho tứ diện ABCD. Gọi P,Q là trung điểm các cạnh AB và CD. R, S là hai điểm theo thứ tự thuộc hai cạnh AC và BD sao

choARAC=

BSBD

. Chứng minh rằng bốn điểm P,Q,R, S thuộc một mặt phẳng.

Bài 11.37 : Cho lăng trụ ABC.A′B′C′. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BB′ và A′C′. Điểm K thuộc B′C′ sao cho−−−→KC′ = −2

−−−→KB′.

Chứng minh rằng bốn điểm A, I, J,K cùng thuộc một mặt phẳng.

Bài 11.38 : Cho tứ diện ABCD ; I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD ; M là điểm thuộc AC sao cho−−→MA = k1

−−→MC ; N là điểm

thuộc BD sao cho−−→NB = k2

−−→ND. Chứng minh rằng các điểm I, J,M,N cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi k1 = k2.

Bài 11.39 : Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M,N, P,Q lần lượt thuộc AB, BC,CD,DA sao cho−−→AM =

13−−→AB,−−→BN =

23−−→BC,−−→AQ =

12−−→AD,−−→DP = k

−−→DC. Hãy xác định k để bốn điểm P,Q,M,N cùng nằm trên một mặt phẳng.

11.2 Hai đường thẳng vuông góc

Vấn đề 1 : Tính góc giữa hai vectơ

�1. Dùng trực tiếp định nghĩa : Nếu

−−→OA = −→a ,−−→OB =

−→b thì (−→a ,−→b ) = (

−−→OA,−−→OB) =ÔAOB. Đặc biệt

• Góc giữa hai vectơ chung gốc hoặc chung ngọn tính bởi công thức

(−−→OA,−−→OB) = (

−−→AO,−−→BO) =ÔAOB.



WWW.VNMATH.COM


• Góc giữa hai vectơ có gốc của vectơ này là ngọn của vectơ kia tính bởi công thức

(−−→AO,−−→OB) = (

−−→OA,−−→BO) = 180◦ − (

−−→OA,−−→OB) = 180◦ −ÔAOB.

2. Dùng hệ quả của tích vô hướng : cos(−→u ,−→v ) =−→u .−→v|−→u |.|−→v |

.

Bài 11.40 : Cho tứ diện đều ABCD, gọi H là trung điểm AB. Tính góc giữa các cặp vectơ sau:

1.−−→AC và

−−→CD; 2.

−−→CH và

−−→CD.

Bài 11.41 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Tính góc giữa các cặp vectơ sau:

1.−−−→A′C′ và

−−→AB; 2.

−−−→A′C′ và

−−→AB′; 3.

−−→A′B và

−−−→B′D′.

Bài 11.42 : Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = 1. Gọi M là trung điểm AB. Tính góc giữa

hai vectơ−−→OM và

−−→BC.

Bài 11.43 : Cho hình chóp tam giác S .ABC có S A = S B = S C = AB = AC = a và BC = a√

2. Tính góc giữa hai vectơ−−→AB và

−−→S C.

Vấn đề 2 : Tính góc giữa hai đường thẳng a và b

�

1. Dùng trực tiếp định nghĩa : Lấy hai đường thẳng a′ và b′ cùng đi qua một điểm lần lượt song song hoặc trùng với a và b. Góc

giữa a và b bằng góc giữa a′ và b′.

2. Tính qua góc giữa hai vectơ, cụ thể

• Nếu (×−−→AB,−−→CD) ≤ 90◦ thì (×AB,CD) = (

×−−→AB,−−→CD).

• Nếu (×−−→AB,−−→CD) > 90◦ thì (×AB,CD) = 180◦ − (

×−−→AB,−−→CD).

Nếu tính theo phương pháp vectơ thì cos(AB,CD) =

��cos(×−−→AB,−−→CD)

��.Bài 11.44 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

1. AC và DA′; 2. BD và AC′.

Bài 11.45 : Cho tứ diện OABC, có OA = OB = OC = a và OA⊥OB,OB⊥OC,OC⊥OA. Gọi M là trung điểm của OB. Tính côsin góc

giữa các cặp đường thẳng :

1. AM và BC ; 2. AM và OP, với P là trung điểm BC.

Bài 11.46 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thoi, cạnh bên S A = AB và S A⊥BC.

1. Tính góc giữa hai đường thẳng S D và BC.

2. Gọi I, J lần lượt là các điểm thuộc S B và S D sao cho IJ ∥ BD. Chứng minh rằng góc giữa hai đường thẳng AC và IJ không

phụ thuộc vào vị trí của I và J.

Bài 11.47 : Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a, gọi M là trung điểm của BC. Tính côsin góc giữa hai đường thẳng AB và

DM.



WWW.VNMATH.COM


Bài 11.48 : Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh BC, AD. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD, biết

AB = CD = 2a và MN = a√

3.

Bài 11.49 : Cho tứ diện ABCD. Gọi M là một điểm trên cạnh AB (M không trùng với A và B). Tìm vị trí của M để mặt phẳng qua M

và vuông góc với AC, BD cắt tứ diện theo thiết diện có diện tích lớn nhất.

Vấn đề 3 : Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

�Muốn chứng minh AB⊥CD ta thường chứng minh góc giữa AB và CD bằng 90◦ hoặc chứng minh

−−→AB.−−→CD = 0.

Bài 11.50 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và BB′. Chứng minh rằng MN⊥A′C.

Bài 11.51 : Cho tứ diện ABCD có ABD là tam giác đều cạnh a, BCD là tam giác cân có CB = b, AC = c.

1. Chứng minh rằng AC⊥BD ; 2. Tính cosin góc giữa hai vectơ−−→AB,−−→CD.

Bài 11.52 : Trên các đường chéo D1A, A1B, B1C,C1D của các mặt của hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 lấy các điểm M,N, P,Q sao

cho :−−−−→D1M = k

−−−→D1A;

−−→BN = k

−−−→BA1;

−−−→B1P = k

−−−→B1C;

−−→DQ = k

−−−→DC1.

Tìm số thực k để MN⊥PQ.

Bài 11.53 : Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Chứng minh rằng OA⊥CD.

Bài 11.54 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a. Trên các cạnh DC và BB′ ta lần lượt lấy các điểm M,N không

trùng với đầu mút sao cho DM = BN. Chứng minh rằng AC′⊥MN.

Bài 11.55 : Cho tứ giác ABCD. Gọi M,N, P,Q lần lượt là trung điểm các đoạn AC, BD, BC, AD và có MN = PQ. Chứng minh rằng

AB⊥CD.

Bài 11.56 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Chứng minh rằng AC⊥B′D′. Chứng minh rằng nếuÔABC =ÕB′BA =ÕB′BC = 60◦ thì A′B′CD là hình vuông.

Bài 11.57 : Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm M,N lần lượt thuộc các đường thẳng BC, AD sao cho−−→MB = k

−−→MC và

−−→NA = k

−−→ND, với k là

số thực khác 0 cho trước. Đặt α = (−−−→MN,

−−→BA), β = (

−−−→MN,

−−→CD). Tìm mối liên hệ giữa AB và CD để α = β = 45◦.

Bài 11.58 : Cho hai tam giác cân ABC và DBC có chung cạnh đáy BC và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau.

1. Chứng minh rằng AD⊥BC.

2. Gọi M,N là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB,DB sao cho−−→MA = k

−−→MB,−−→ND = k

−−→NB. Tính góc giữa hai đường thẳng

MN và BC.

Bài 11.59 : Cho tứ diện ABCD có CD =43

AB. Gọi I, J,K lần lượt là trung điểm của BC, AC, BD. Biết JK =56

AB, tính góc giữa các

đường thẳng CD với các đường thẳng IJ và AB.

Bài 11.60 : Cho tứ diện ABCD có BC = AD = a, AC = BD = b, AB = CD = c. Đặt α, β, γ là góc giữa BC và AD, AC và BD, AB và

CD. Chứng minh rằng trong ba số hạng a2 cosα, b2 cosβ, c2 cosγ có một số hạng bằng tổng hai số hạng còn lại.

11.3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Vấn đề 1 : Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P)

�1. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng phân biệt cắt nhau và nằm trong (P).



WWW.VNMATH.COM


2. Chứng minh đường thẳng a song song với đường thẳng b mà b vuông góc với (P).

3. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với (Q) mà (Q) song song với (P).

Bài 11.61 : Cho hình chóp S .ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, cạnh bên S A vuông góc với đáy. Gọi I là trung điểm BC.

1. Kẻ đường thẳng qua A vuông góc với S I tại H. Chứng minh rằng AH⊥(S BC).

2. Gọi G1,G2 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và S BC. Chứng minh rằng G1G2⊥(ABC).

Bài 11.62 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình thoi và S A = S C.

1. Chứng minh rằng AC⊥(S BD).

2. Kẻ đường thẳng qua S vuông góc với (ABCD) tại I. Chứng minh rằng I cách đều A và C.

Bài 11.63 : Cho hình chóp S .ABC có S A = S B = S C = a, ÔAS B = 90◦,ÔBS C = 60◦,ÔAS C = 120◦. Gọi O là trung điểm cạnh AC.

Chứng minh rằng S O⊥(ABC).

Bài 11.64 : Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là hai tam giác đều, gọi I là trung điểm cạnh BC.

1. Chứng minh rằng BC⊥(AID).

2. Vẽ đường cao AH của tam giác AID. Chứng minh rằng AH⊥(BCD).

Bài 11.65 : Cho hình chóp S .ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = a√

3, mặt bên S BC vuông tại B, mặt bên S CD

vuông tại D và có S D = a√

5.

1. Chứng minh rằng S A⊥(ABCD) và tính S A.

2. Mặt phẳng qua A vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB,CD tại I, J. gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên S C. Hãy

xác định các giao điểm K, L của S B, S D với (HIJ). Chứng minh rằng AK⊥(S BC), AL⊥(S CD).

3. Tính diện tích tứ giác AKHL.

Bài 11.66 : Cho tam giác ABC. Gọi (α) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CA tại A và (β) là mặt phẳng vuông góc với đường

thẳng CB tại B. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau và giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng (ABC).

Bài 11.67 : Cho hình chóp S .ABC có S A = S B = S C. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy ABC. Chứng minh rằng

S O⊥(ABC). Hãy tổng quát hóa bài toán.

Bài 11.68 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác cân, có AB = AC = a và ÔBAC = 120◦, đồng thời S A = S B = S C = 2a.

Gọi D là điểm đối xứng của A qua trung điểm của BC.

1. Chứng minh rằng BC⊥(S AD); 2. Tính góc giữa S B và (ABC).

Bài 11.69 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông (bA = 90◦), đáy lớn AD = 2a và AB = BC = a, đồng thời

S A = S C = S D. Gọi M là trung điểm AD. Chứng minh rằng S M⊥(ABCD) và AC⊥(S BM).

Vấn đề 2 : Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau

�

1. Chứng minh đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia.

2. Dùng định lí ba đường vuông góc : Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong (P).

Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a′ của a trên (P).

3. Chứng minh đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng song song với đường thẳng kia.



WWW.VNMATH.COM


Bài 11.70 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông tâm O và có cạnh S A⊥(ABCD). Gọi H, I,K lần lượt là hình chiếu vuông

góc của điểm A trên các cạnh S B, S C, S D.

1. Chứng minh rằng BC⊥(S AB),CD⊥(S AD), BD⊥(S AC).

2. Chứng minh rằng S C⊥(AHK) và điểm I ∈ (AHK).

3. Chứng minh rằng HK⊥(S AC), từ đó suy ra HK⊥AI.

Bài 11.71 : Hình chóp S .ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O và có S A = S C, S B = S D.

1. Chứng minh rằng S O⊥(ABCD).

2. Gọi I,K lần lượt là trung điểm các cạnh BA, BC. Chứng minh rằng IK⊥(S BD) và IK⊥S D.

Bài 11.72 : Cho tứ diện ABCD. Chứng minh các cặp cạnh đối diện của tứ diện này vuông góc với nhau từng đôi một.

Bài 11.73 (Bài toán cơ bản) : Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau. Kẻ OH vuông góc với mặt

phẳng (ABC) tại H. Chứng minh rằng:

1. OA⊥BC,OB⊥CA,OC⊥AB.

2. H là trực tâm của tam giác ABC.

3.1

OH2=

1OA2

+1

OB2+

1OC2

.

4. Tam giác ABC nhọn

5. sin2α + sin2 β + sin2 γ = 1, trong đó α, β, γ là góc giữa các đường thẳng OA,OB,OC với mặt phẳng (ABC).

6. S 2∆ABC = S 2

∆OAB + S 2∆OBC + S 2

∆OCA .

Bài 11.74 : Hình chóp S .ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD và có cạnh bên S A vuông góc với mặt phẳng đáy. Chứng minh các

mặt bên của hình chóp đã cho là các tam giác vuông.

Bài 11.75 : Cho chóp S .ABC có tam giác ABC vuông tại B, S A⊥(ABC).

1. Chứng minh rằng BC⊥(S AB).

2. Gọi AH là đường cao của tam giác S AB. Chứng minh rằng AH⊥S C.

Bài 11.76 : Cho hình chóp S .ABCD, đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên S AB là tam giác đều, S CD là tam giác vuông cân đỉnh S .

Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB,CD.

1. Tính các cạnh của tam giác S IJ và chứng minh rằng S I⊥(S CD), S J⊥(S AB).

2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. Chứng minh rằng S H⊥AC.

3. Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM⊥S A. Tính AM theo a.

Bài 11.77 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên S AB là tam giác đều và S C = a√

2. Gọi H,K là

trung điểm AB, AD.

1. Chứng minh rằng S H⊥(ABCD) ; 2. Chứng minh rằng AC⊥S K,CK⊥S D.

Bài 11.78 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′. Gọi H là trực tâm tam giác ABC và biết rằng A′H⊥(ABC). Chứng minh rằng

1. AA′⊥BC và AA′⊥B′C′.

2. Gọi MM′ là giao tuyến của mặt phẳng (AHA′) với mặt bên BCC′B′, trong đó M ∈ BC và M′ ∈ B′C′. Chứng minh rằng tứ giác

BCC′B′ là hình chữ nhật và MM′ là đường cao của hình chữ nhật đó.



WWW.VNMATH.COM


Bài 11.79 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có cạnh bên S A vuông góc với mặt đáy là (ABC). Gọi D là

điểm đối xứng của B qua trung điểm O của cạnh AC. Chứng minh rằng CD⊥CA,CD⊥(S CA).

Bài 11.80 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và S A = a, hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABCD)

trùng với trung điểm M của cạnh AB; gọi N là trung điểm AD.

1. Chứng minh rằng BC⊥(S AB) và CN⊥(S D).

2. Tính góc giữa hai đường thẳng S D và AC.

Bài 11.81 : Cho hình chóp S .ABCD có ABCD là hình chữ nhật và S A = S B. Chứng minh rằng CD⊥(S IJ), trong đó I, J tương ứng là

trung điểm của AB và CD.

Bài 11.82 : Cho hình chóp S .ABC có đáy là tam giác vuông tại A; S A⊥(ABC) và H thuộc cạnh AC và thỏa mãn S H2= HA.HC.

Chứng minh rằng S C⊥(S AB).

Bài 11.83 : Cho hình chóp S .ABC có ÔBS C = 120◦; ÔCS A = 60◦; ÔAS B = 90◦ và S A = S B = S C. Chứng minh rằng ABC là tam giác

vuông và S I⊥(ABC), trong đó I là trung điểm của BC.

Vấn đề 3 : Xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P)

�1. Sử dụng định nghĩa : Nếu a không vuông góc với (P) thì góc giữa a và (P) bằng góc giữa a và hình chiếu vuông góc a′ của a

trên mặt phẳng (P).

2. Nếu a ∥ (P) hoặc a ⊂ (P) thì góc giữa a và (P) bằng 0◦.

3. Nếu a⊥(P) thì góc giữa a và (P) bằng 90◦.

4. Nếu a không vuông góc với (P) và cắt (P) tại A, ta chọn một điểm B trên a (B không trùng với A) và xác định hình chiếu vuông

góc H của B lên (P). Khi đó góc giữa a và (P) bằng ÔBAH.

(P)

A

B

Hϕ

a

a′

Bài 11.84 : Cho hình chóp tứ giác S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A vuông góc với đáy và S A = a. Tính góc giữa

nỗi cạnh bên của hình chóp với mặt đáy.

Bài 11.85 : Cho hình chóp tứ giác S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A vuông góc với đáy và S A = a√

6. Tính góc

giữa

1. S C và (ABCD); 2. S C và (S AB); 3. S B và (S AC); 4. AC và (S BC).

Bài 11.86 : Cho lăng trụ đều ABC.A′B′C′ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên AA = a√

2.

1. Tính góc giữa đường thẳng BC′ và (ABB′A′).



WWW.VNMATH.COM


2. Gọi M là trung điểm CC′. Tính tang của góc giữa đường thẳng BM và (A′B′C′).

Bài 11.87 : Cho tam giác ABC cân tại A, có bA = 120◦, BC = a√

3. Lấy điểm D ở ngoài mặt phẳng chứa tam giác sao cho DA = a.

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DBC.

1. Chứng minh rằng AO⊥(DBC).

2. Tính góc giữa đường thẳng DA và mặt phẳng (BCD) khi ÔBDC = 90◦.

Bài 11.88 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và có tâm O, biết S A⊥(ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm

các cạnh S A và BC. Biết rằng góc giữa MN và (ABCD) bằng 60◦.

1. Tính độ dài MN và S O; 2. Tính góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (S BD).

Bài 11.89 : Cho hình chóp S .ABC có ABC là tam giác cân, AB = AC = a,ÔBAC = α. Biết S A, S B, S C đều hợp với mặt phẳng (ABC)

một góc α.

1. Chứng minh rằng hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

2. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC).

Bài 11.90 : Cho lăng trụ đều ABC.A′B′C′ có cạnh đáy bằng a. Đường chéo BC′ của mặt bên BCC′B′ hợp với ABB′A′ góc 30◦.

1. Tính AA′.

2. Tính khoảng cách từ trung điểm M của AC đến mặt phẳng (BA′C′).

3. Gọi N là trung điểm của cạnh BB′. Tính góc giữa MN và mặt phẳng (BA′C′).

Bài 11.91 : Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy ABC vuông cân tại A, AA′ vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đoạn nối trung điểm M của

AB và trung điểm N của B′C′ có độ dài bằng a, MN hợp với đáy góc α và mặt bên (BCC′B′) góc β.

1. Tính các cạnh đáy và cạnh bên của lăng trụ theo a và α; 2. Chứng minh rằng cosα =√

2 sinβ.

Bài 11.92 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = 2a. Mặt phẳng (α) qua BC hợp với AC góc

30◦, cắt S A, S D lần lượt tại M và N. Tính diện tích tứ giác BCNM.

Bài 11.93 : Cho hình chóp S .ABC có các cạnh bên S A, S B, S C cùng tạo với đáy một góc α. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam

giác đáy ABC. Chứng minh rằng S O⊥(ABC). Hãy tổng quát hóa bài toán.

Bài 11.94 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, có AB = a, AC = a√

3. Các cạnh bên S A, S B, S C cùng tạo

với đáy một góc 60◦. Tính góc tạo bởi

1. S A và (S BC); 2. S A và BC.

Bài 11.95 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, có AB = a, AD = a√

2.Các cạnh bên S A, S B, S C, S D cùng tạo

với đáy một góc 45◦. Gọi M là trung điểm AD.

1. Chứng minh rằng BM⊥S A; 2. Tính góc giữa BM và S C.

Vấn đề 4 : Dựng mặt phẳng qua điểm M cho trước và vuông góc với một đường thẳng d cho trước

�Gọi (α) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với d.

1. Dựng hai đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với d và có ít nhất một đường thẳng qua điểm M. Mặt phẳng xác định bởi hai

đường thẳng nói trên chính là mặt phẳng (α).



WWW.VNMATH.COM


2. Nếu có sẵn hai đường thẳng cắt nhau hay chéo nhau a, b cùng vuông góc với d thì chọn (α) ∥ a (hoặc chứa a) và (α) ∥ b (hoặc

chứa b).

Bài 11.96 : Cho chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, với AB = BC = a, AD = 2a, S A⊥(ABCD) và S A = 2a.

Gọi M là điểm trên cạnh AB, (α) là mặt phẳng qua M, vuông góc với AB. Đặt AM = x (0 < x < a).

1. Tìm thiết diện của hình chóp S .ABCD với (α). Thiết diện là hình gì?

2. Tính diện tích thiết diện theo a và x. Tìm vị trí của M trên cạnh AB để thiết diện có diện tích lớn nhất.

Bài 11.97 : Cho tứ diện S ABC có ABC là tam giác đều cạnh bằng a, S A⊥(ABC) và S A = 2a. Gọi (α) là mặt phẳng qua B và vuông

góc với S C. Tìm thiết diện của diện S ABC với (α) và tính diện tích của thiết diện này.

Bài 11.98 : Cho hình tứ diện S ABC có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, S A⊥(ABC), S A = a. Tìm thiết diện của tứ diện S ABC

với mặt phẳng (α) và tính diện tích thiết diện trong các trường hợp sau:

1. (α) qua S và vuông góc với BC.

2. (α) qua A và vuông góc với trung tuyến S I của tam giác S BC.

3. (α) qua trung điểm M của S C và vuông góc với BC.

Bài 11.99 : Cho hình chóp tứ giác S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S AB là tam giác đều nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy.

M là trọng tâm của tam giác BCD, (α) đi qua M và vuông góc với AB, (β) đi qua M và vuông góc với CJ (J là điểm giữa đoạn AB).

Hãy xác định và tính diện tích các thiết diện của hình chóp cắt bởi các mặt phẳng (α) và (β).

Bài 11.100 : Cho hình chóp tam giác S .ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a, S A = 2a. Các mặt phẳng (S AC) và (S BC) cùng

vuông góc với (ABC) và M là trung điểm của các cạnh AB. Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp khi cắt bởi

1. mặt phẳng qua M và vuông góc với AB. 2. mặt phẳng qua M và vuông góc với S C.

Bài 11.101 : Cho hình chóp tam giác S .ABC có S A = S B = S C = AB = AC = BC = a, M là một điểm thuộc đoạn AB sao cho

AM = x (với 0 < x < a). Xác định và tính thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng qua M và vuông góc với S A. Tìm vị trí của

M để diện tích thiết diện là lớn nhất.

Bài 11.102 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a. Hai điểm M,N lần lượt là trung điểm của AB,CC′. Hãy xác định

và tính diện tích thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng trung trực của MN.

Bài 11.103 : Cho hình chóp S .ABC, trong đó ABC là tam giác vuông tại A, với AB = a,ÔABC = 600. Cạnh S C = a và vuông góc với

(ABC). Giả sử M là một điểm trên đoạn S A sao cho AM = x (M không trùng với A và S ). Xác định và tính diện tích thiết diện của

hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng qua M và vuông góc với S A. Tìm vị trí của M để thiết diện có diện tích lớn nhất.

Bài 11.104 : Cho lăng trụ đứng OAB.O′A′B′ có đáy là tam giác vuông cân tại O với OA = OB = a, chiều cao AA′ = a√

2. Gọi M là

trung điểm của OA, (α) là mặt phẳng qua M và vuông góc với A′B. Hãy xác định và tính diện tích thiết diện của lăng trụ cắt bởi (α).

Bài 11.105 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD). Qua A xác định mặt phẳng (α) vuông góc

với S C cắt S B, S C, S D lần lượt tại E,K,H. Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi (α) khi S A = a√

2.

Bài 11.106 : Trong mặt phẳng (P) vẽ hình thoi tạo bởi hai tam giác đều ABD và CBD có cạnh bằng a. Vẽ đường thẳng vuông góc với

mặt phẳng (P) tại A và lấy trên đó điểm S sao cho AS = a. Từ M trên đường chéo AC của hình thoi, ta vẽ mặt phẳng (Q) vuông góc

với AC. Đặt CM =x√

32

.

1. Tùy theo x, khảo sát hình dạng của thiết diện của hình chóp cắt bởi (Q). Tính diện tích của thiết diện.

2. Tìm x để diện tích thiết diện đạt giá trị lớn nhất.

Bài 11.107 : Cho hình chóp S .ABC, trong đó ABC là tam giác vuông tại A, với AB = a, ÔABC = 600. Cạnh S C = a và vuông góc với

(ABC). Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng qua M ∈ S A và vuông góc với S A. Đặt AM = x. Tính diện tích thiết diện

và xác định vị trí của M để thiết diện có diện tích lớn nhất.



WWW.VNMATH.COM


11.4 Hai mặt phẳng vuông góc

Vấn đề 1 : Xác định góc giữa hai mặt phẳng

�Giả sử cần tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), ta có các phương pháp sau :

1. Sử dụng định nghĩa : Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Nghĩa là,

lấy a⊥(P) và b⊥(Q) thì góc giữa (P) và (Q) là góc giữa a và b.

2. Giả sử c = (P) ∩ (Q). Xét mặt phẳng (R) vuông góc với c, lần lượt cắt (P) và (Q) theo các giao tuyến a và b. Lúc đó, góc ϕ giữa

(P) và (Q) bằng góc giữa hai đường thẳng a và b.

Trong nhiều bài toán thường có sẵn đường thẳng AB (A ∈ (P) và B ∈ (Q)) vuông góc với c, ta chỉ cần kẻ AH vuông góc với c

tại H. Lúc này mặt phẳng (R) chính là mặt phẳng (ABH) và góc ϕ là góc ÔAHB (nếu ÔAHB ≤ 90◦) và là góc 180◦ −ÔAHB (nếuÔAHB > 90◦). Trong thực hành thường dùng công thức cosϕ =��cosÔAHB

��.3. Sử dụng định lí hình chiếu : Giả sử đa giác H nằm trong mặt phẳng (P) có hình chiếu lên mặt phẳng (Q) là đa giác H

′. Khi

đó, cosϕ =S ′

Svới S ′ là diện tích hình H

′ và S là diện tích hình H .

Bài 11.108 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = a√

3. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau

1. (S BC) và (ABCD); 2. (S CD) và (ABCD); 3. (S BC) và (S CD).

Bài 11.109 : Cho tứ diện S ABC có ÔABC = 90◦, AB = 2a, BC = a√

3, S A = 2a và S A⊥(ABC).

1. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (S BC).

2. Mọi M là trung điểm của AB. Tính độ dài đường cao AK của tam giác AMC.

3. Tính tanϕ, với ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (S MC).

Bài 11.110 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Tính góc giữa hai mặt phẳng

1. (ABCD) và (A′B′C′D′); 2. (ABCD) và (CDD′C′); 3. (ACC′A′) và (ABB′A′); 4. (A′BD) và (ABCD).

Bài 11.111 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = x.

1. Xác định x để hai mặt phẳng (S BC) và (S DC) tạo với nhau góc 60◦.

2. Với x được xác định từ trên, hãy tính góc giữa hai mặt phẳng (S BC) và (S AD).

Bài 11.112 : Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a√

5 và ÔBAC = 120◦. Gọi M là trung điểm cạnh CC1.

Chứng minh rằng MB⊥MA1 và tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM).

Bài 11.113 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a, S A⊥(ABCD) và

S A = a√

3. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau:

1. (S AD) và (S BC); 2. (S CD) và (S BC).

Bài 11.114 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân, với AB = BC = a, S A⊥(ABC), S A = a. Gọi E và F lần lượt

là trung điểm các cạnh AB và AC. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau:

1. (S AC) và (S BC); 2. (S EF) và (S BC).



WWW.VNMATH.COM


Bài 11.115 : Cho ba tia Ox,Oy,Oz không đồng phẳng sao cho dxOy = 90◦, dyOz =dzOx = 60◦. Tính góc giữa hai mặt phẳng (yOz) và

(zOx).

Bài 11.116 : Trong mặt phẳng (α) cho đường tròn (C ) tâm O bán kính R. Trên đường thẳng vuông góc với (α) tại O lấy điểm S sao

cho OS = R. Gọi M và N là hai điểm khác nhau trên (C ), a và b là hai tiếp tuyến với (C ) tại M và N. Tính góc giữa hai mặt phẳng

(S , a) và (S , b) trong mỗi trường hợp sau :

1. MN là đường kính của đường tròn; 2. ÕMON = 90◦.

Bài 11.117 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Các mặt phẳng (S AB) và (S CD) là các tam giác vuông lần lượt

tại A và C, cùng hợp với đáy một góc α, biết ÔABC = ϕ.

1. Chứng minh rằng S O⊥(ABCD);

2. Chứng minh (S BC) và (S AD) cùng hợp với đáy (ABCD) một góc β thỏa mãn cotβ = cotα cosϕ.

Bài 11.118 : Cho hình chóp S .ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, ÔBAC = α, S A⊥(ABC) và S A = a. Gọi ϕ là góc giữa

hai mặt bên (S AC) và (S BC).

1. Chứng minh rằng tanα. tanβ =

√1+ cos2αcosα

; 2. Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện gì để β = 60◦.

Bài 11.119 : Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc. Gọiα, β, γ lần lượt là góc tạo bởi các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB)

với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng cos2α + cos2 β + cos2 γ = 1.

Bài 11.120 : Cho lăng trụ đứng ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc ÔBAD = 60◦. Gọi M,N lần lượt là trung điểm

các cạnh AA′ và CC′.

1. Chứng minh bốn điểm B′,M,D,N đồng phẳng. Tứ giác B′MDN là hình gì ?

2. Tính độ dài AA′ theo a để tứ giác B′MDN là hình vuông.

3. Khi tứ giác B′MDN là hình vuông, hãy tính góc giữa hai mặt phẳng (B′MDN) và (ABCD).

Vấn đề 2 : Chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc

�

1. Chứng minh góc giữa (P) và (Q) bằng 90◦.

2. Chứng minh (P) chứa đường thẳng a, trong đó a⊥(Q).

Bài 11.121 : Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm BC, D là điểm đối xứng của A qua I. Trên đường thẳng vuông góc với

mặt phẳng (ABCD) tại D, lấy điểm S sao cho S D =a√

62

. Chứng minh rằng (S BC)⊥(S AD) và (S AB)⊥(S AC).

Bài 11.122 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông, S A⊥(ABCD).

1. Chứng minh rằng (S AC)⊥(S BD).

2. Tính góc giữa hai mặt phẳng (S AB) và (S BC).

3. Gọi BE,DF là hai đường cao của tam giác S BD. Chứng minh rằng (ACF)⊥(S BC), (AEF)⊥(S AC).

Bài 11.123 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a,OB =a√

33, S O⊥(ABCD), S O =

a√

63

.

1. Chứng minh rằng ÔAS C = 90◦.

2. Chứng minh rằng (S AB)⊥(S AD).



WWW.VNMATH.COM


3. Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (S BC) và (ABC).

Bài 11.124 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A vuông góc với đáy. Gọi M,N lần lượt là hai điểm

nằm trên BC,DC sao cho BM =a2

; DN =3a4

. Chứng minh rằng (S AM)⊥(S MN).

Bài 11.125 : Cho hình chóp tam giác đều S .ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Tính đường cao S O theo a để hai mặt phẳng (S AB)

và (S AC) vuông góc với nhau.

Bài 11.126 : Cho hình vuông ABCD tâm O và có cạnh bằng a. Trên hai tia Bx và Dy cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) ở cùng

nửa mặt phẳng (ABCD) lấy hai điểm M,N sao cho BM.DN =a2

2. Đặt ÕBOM = α,ÕDON = β.

1. Chứng minh rằng tanα. tanβ = 1. Có kết luận gì về hai góc này ? Chứng minh rằng (ACM)⊥(ACN).

2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên MN. Tính độ dài đoạn OH. Từ đó chứng minh AH⊥HC và (AMN)⊥(CMN).

Vấn đề 3 : Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P)

�

1. Lấy mặt phẳng (Q) chứa a mà (Q)⊥(P), (P) ∩ (Q) = c rồi chứng minh a⊥c.

2. Chứng minh a là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với (P).

Bài 11.127 : Cho tam giác ABC vuông tại B. Một đoạn AD vuông góc với mặt phẳng (ABC). Từ điểm A trong mặt phẳng (ABD) ta vẽ

AH vuông góc với BD, chứng minh AH⊥(BCD).

Bài 11.128 : Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt (ABC), (ABD) cùng vuông góc với mặt (DBC). Vẽ các đường cao BE,DF của tam

giác BCD, vẽ đường cao DK của tam giác ACD.

1. Chứng minh rằng AB⊥(BCD).

2. Chứng minh rằng (ABE)⊥(ADC), (DFK)⊥(ADC).

3. Gọi O và H lần lượt là trực tâm của hai tam giác BCD và ACD. Chứng minh rằng OH⊥(ADC).

Bài 11.129 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình chữ nhật, các cạnh AB = a√

2, AD = a, tam giác S AB đều và nằm trong mặt

phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm AB.

1. Chứng minh rằng S M⊥(ABCD); BC⊥(S AB) và AC⊥S D. 2. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (S CD).

Bài 11.130 : Cho hình vuông ABCD. Gọi S là điểm trong không gian sao cho S AB là tam giác đều và (S AB)⊥(ABCD).

1. Chứng minh rằng (S AB)⊥(S AD) và (S AB)⊥(S BC).

2. Tính góc giữa hai mặt phẳng (S AD) và (S BC).

3. Gọi H và I lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh rằng (S HC)⊥(S DI).

Bài 11.131 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác đều có cạnh bằng a, tam giác S AB vuông tại S và có ÔS AB = 30◦. Tính

góc giữa mặt phẳng (ABC) và (S BC).

Bài 11.132 : Cho hình chóp S .ABC có tam giác ABC vuông tại A, ÔABC = 60◦, M là trung điểm AB. Các mặt phẳng (S AB) và (S CM)

cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết góc giữa S C và (ABC) là 60◦, tính góc giữa hai mặt phẳng (S BC) và (ABC).

Bài 11.133 : Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác vuông cân tại B. Hai mặt phẳng (ABB′A′) và (ACB′) cùng vuông góc với

(ABC).

1. Chứng minh rằng BCC′B′ là hình chữ nhật.



WWW.VNMATH.COM


2. Biết góc giữa hai mặt phẳng (BCC′B′) và (A′B′C′) bằng 30◦. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACC′A′).

Bài 11.134 : Cho hình vuông ABCD. Mặt phẳng (P) vuông góc với (ABCD) theo giao tuyến AB. Điểm M di động sao cho ÕAMB =ÕAMD = 90◦.

1. Chứng minh rằng M thuộc mặt phẳng trung trục của BD;

2. Giả sử MD cắt (P) tại M′. Chứng minh rằng AM′⊥BM′.

Bài 11.135 : Cho hai hình vuông ABCD và ABEF cạnh a và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Trên hai cạnh AC, BF lần

lượt lấy hai điểm M và N sao cho AM = BN = x (0 < x < a√

2).

1. Chứng minh rằng AF⊥(ABCD).

2. Gọi M1 là hình chiếu vuông góc của M trên AB. Chứng minh rằng MM1⊥M1N và MN ∥ (CDEF).

3. Tính MN theo a và x. Tìm x để MN nhỏ nhất.

4. Khi MN nhỏ nhất hãy chứng minh MN vuông góc với AC, BF và MN ∥ DE.

Vấn đề 4 : Dựng mặt phẳng (Q) chứa a và vuông góc với (P) (giả thiết a không vuông góc với (P))

�Từ một điểm trên a, dựng đường thẳng b vuông góc với (P). Mặt phẳng (a, b) chính là mặt phẳng (Q) cần dựng.

Bài 11.136 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a, góc ÔBAD = 60◦. Đường thẳng S O⊥(ABCD) và S O =3a4

.

Gọi E là trung điểm của BC, F là trung điểm của BE.

1. Chứng minh rằng (S OF)⊥(S BC).

2. Gọi O′, A′ lần lượt là hình chiếu vuông góc của O, A trên (S BC). Tính độ dài các đoạn thẳng OO′, AA′.

3. Gọi (P) là mặt phẳng qua AD và vuông góc với (S BC). Xác định thiết diện cắt bởi (P) và tính diện tích thiết diện đó. Tính góc

giữa (P) và (ABCD).

Bài 11.137 : Cho hình chóp S .ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = a. Gọi (α) là mặt phẳng chứa AB và

vuông góc với mặt (S CD).

1. Dựng mặt phẳng (α). Mặt phẳng (α) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì?

2. Tính diện tích thiết diện đó.

Bài 11.138 : Cho hình chóp S .ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = a. Xác định và tính diện tích thiết diện

của hình chóp S .ABCD với mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau đây:

1. (α) qua tâm O của đáy, trung điểm M của S D và vuông góc với (ABCD).

2. (α) qua A, trung điểm N của CD và vuông góc với (S BC).

Bài 11.139 : Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a√

2. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các

cạnh AB và A′C′. Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng (α) qua MN và vuông góc với mặt phẳng (BCC′B′). Tính diện tích

thiết diện và tính góc tạo bởi mặt phẳng (α) với mặt phẳng đáy.

Bài 11.140 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình thang vuông ABCD vuông tại A và D, có AB = 2a, AD = DC = a, có cạnh

S A⊥(ABCD) và S A = a.

1. Chứng minh rằng (S AD)⊥(S CD) và (S AC)⊥(S CB).

2. Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (S BC) và (ABCD), tính tanϕ.



WWW.VNMATH.COM


3. Gọi (α) là mặt phẳng chứa S D và vuông góc với (S AC). Hãy xác định (α) và tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt

phẳng (α).

Bài 11.141 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD). Qua A xác định mặt phẳng (α) vuông góc

với S C cắt S B, S C, S D lần lượt tại E,K,H. Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi (α) khi S A = a√

2.

Bài 11.142 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD), S A = a. Xác định và tính diện tích thiết diện

của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) chứa AN và vuông góc với (S BC), trong đó N là trung điểm của CD.

11.5 Khoảng cách

Vấn đề 1 : Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ cho trước

�1. Trong mặt phẳng xác định bởi điểm M và đường thẳng ∆ vẽ MH⊥∆) tại H. Ta có d(M,∆) = MH.

2. Trong không gian dựng mặt phẳng (α) qua M và (α)⊥∆, cắt ∆ tại H. Ta có d(M,∆) = MH.

Bài 11.143 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O, cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = a. Gọi I là trung điểm cạnh

S C và M là trung điểm đoạn AB.

1. Chứng minh rằng OI⊥(ABCD). 2. Tính d(I,CM).

Bài 11.144 : Cho hình chóp S .ABC; ABC là tam giác vuông cân (AB = AC = a); S B⊥(ABC) và S B = a. Tính khoảng cách từ S đến

CM, với M thuộc đoạn AB và AM =a3

.

Bài 11.145 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, S A = AB = 2a,ÔABC = 60◦ và S A⊥(ABCD).

1. Chứng minh : BD⊥S C, từ đó suy ra khoảng cách từ O đến S C.

2. Tính d(O; S B) và d(D; S C).

Bài 11.146 : Cho tam giác ABC với AB = 7cm, BC = 5cm, CA = 8cm. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A lấy

điểm O sao cho AO = 4cm. Tính d(O, BC).

Bài 11.147 : Cho tam giác ABC vuông tại B (AB = a; BC = 2a). Ax và Cy cùng vuông góc với (ABC) và ở về cùng một phía. Lấy

M ∈ Ax và N ∈ Cy với AM = a,CN = a√

5. Chứng minh rằng AB⊥(BCy). Tính khoảng cách từ M đến BN.

Bài 11.148 : Cho góc vuông xOy và một điểm A nằm ngoài mặt phẳng xOy. Khoảng cách từ A đến Ox,Oy đều bằng a và AO =a√

72

.

Tính khoảng cách từ A đến (xOy).

Vấn đề 2 : Dựng đường thẳng đi qua một điểm A cho trước và vuông góc với một mặt phẳng (P) cho trước.Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P)

�

Bước 1 : Dựng mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với (P).

Bước 2 : Gọi c là giao tuyến của (P) và (Q). Trong (Q) kẻ đường thẳng qua A vuông góc với c tại H, AH chính là đường thẳng cần

dựng và AH là khoảng cách từ H đến mặt phẳng (P).

Nếu đã biết khoảng cách từ B đến (P), để tính khoảng cách từ A đến (P) chúng ta có thể sử dụng mối quan hệ sau :



WWW.VNMATH.COM


1. Nếu AB ∥ (P) thì d(A, (P)) = d(B, (P)).

2. Nếu AB ∩ (P) = {O} thìd(A, (P))d(B, (P))

=OAOB

.

α

O

A

α

O

A

B

B

Bài 11.149 (Bài toán có bản) : Cho hình chóp S .ABC có S A⊥(ABC). Hãy dựng hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (S BC).

Bài 11.150 (Bài toán cơ bản) : Một đoạn thẳng AB không vuông góc với mặt phẳng (α) cắt mặt phẳng này tại trung điểm O của đoạn

thẳng đó. Các đường thẳng vuông góc với (α) qua A và B lần lượt cắt mặt phẳng (α) tại A′ và B′. Chứng minh rằng ba điểm A′,O, B′

thẳng hàng và AA′ = BB′.

Như vậy ta có hệ quả của bài toán này là : Hai điểm A và B phân biệt cách đều (P) (hoặc ∆) khi và chỉ khi AB ∥ (P) hoặc trung điểm

M của AB thuộc (P) (tương ứng ∆).

Bài 11.151 : Cho hình chóp S .ABC có S A⊥(ABC), tam giác ABC đều cạnh a và S A = a√

2. Xác định và tính khoảng cách từ A đến

mặt phẳng (S BC).

Bài 11.152 : Cho tứ diện O.ABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a,OB = b,OC = c. Xác định và tính khoảng

cách từ O đến mặt phẳng (ABC).

Bài 11.153 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, các cạnh bên cùng bằng 2a. Gọi O là giao điểm hai đường chéo ở

đáy.

1. Chứng minh rằng S O⊥(ABCD).

2. Xác định và tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (S BC).

Bài 11.154 : Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 6a; BC = BD = 5a; AC = AD = a√

73. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống

(BCD). Chứng minh rằng H nằm trên trung tuyến BI của tam giác BCD. Tính d(A, (BCD)).

Bài 11.155 : Cho hình chóp S .ABC có ABC là tam giác vuông tại B (AB = 2a, BC = a); S A⊥(ABC). Tính d(B, (S AC)).

Bài 11.156 : Cho hình chóp S .ABC có S A = h, S A⊥(ABC); M là điểm thuộc đoạn S B sao choMSMB=

12

, I là trung điểm của CM.

Tính d(I, (ABC)).

Bài 11.157 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = 2a. Xác định và tính

1. d(A, (S CD)); 2. d(O, (S CD)); 3. d(B, (S CD)); 4. d(C, (S BD)).

Bài 11.158 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = a√

3. Gọi G là trọng tâm tam giác S AB.

Tính d(G, (S AC)).

Bài 11.159 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, , S A⊥(ABCD) và S A = a√

3, G là trọng tâm tam

giác S AB. Tính



WWW.VNMATH.COM


1. d(M, (ABCD)); 2. d(A, (S BC)); 3. d(O, (S BC)); 4. d(G, (S AC)).

Bài 11.160 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Xác định và tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng cho dưới

đây.

1. Điểm A và mặt phẳng (BDB′D′) ; 2. Điểm A và mặt phẳng (A′BD).

Bài 11.161 : Cho tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Tính d(B, (ACD)).

Bài 11.162 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Xác định và tính khoảng cách từ điểm A′ đến mặt phẳng (AB′D′).

Bài 11.163 : Cho hình chóp đều S .ABC cạnh a. Xác định chân đường vuông góc hạ từ A đến mặt phẳng (S BC) và tính d(A, (S BC)).

Bài 11.164 : Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh bằng a và AC = a. Từ trung điểm H của cạnh AB dựng S H⊥(ABCD) với S H = a.

1. Tính d(H, (S CD)). Từ đó suy ra khoảng cách từ O đến mặt phẳng (S CD).

2. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (S BC).

Bài 11.165 : Cho góc vuông dxOy và một điểm M nằm ngoài mặt phẳng chứa góc vuông, OM = 23cm và khoảng cách từ M tới hai

cạnh Ox,Oy đều bằng 17cm. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng chứa góc vuông.

Bài 11.166 : Cho tam giác ABC vuông tại A, có cạnh AB = a nằm trong mặt phẳng (α), cạnh AC = a√

2 và tạo với (α) một góc 60◦.

1. Tính khoảng cách CH từ C tới (α). 2. Chứng minh rằng cạnh BC tạo với (α) một góc bằng 45◦.

Bài 11.167 : Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, AB = 2a, S A = 4a. Tính :

1. d(O; (S AB)) ; 2. d(A; (S CD)).

Bài 11.168 : Cho tứ diện DABC, có ABC là tam giác vuông tại A, S B = a, AC = 2a. Các mặt (DAB) và (DAC) cùng hợp với (ABC)

góc α, mặt bên (S BC) vuông góc với (ABC).

1. Tính khoảng cách d từ D đến (ABC) theo a và α ; 2. Tìm số đo α khi biết d =2a√

3, khi đó hãy tính d(C; (DAB)).

Bài 11.169 : Cho hình chóp S .ABC có góc tạo bởi hai mặt phẳng (S BC) và (ABC) là 60◦. Các tam giác S BC và ABC đều, AB = a.

Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (S AC) trong mỗi trường hợp sau :

1. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABC) nằm miền trong tam giác ABC.

2. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABC) nằm miền ngoài tam giác ABC.

Bài 11.170 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a, S A = a và S A⊥(ABCD), gọi M là trung điểm S C. Tính

1. d(A, (S CD));

2. d(B, (S CD));

3. d(O, (S CD));

4. d(C, (S BD));

5. d(M, (ABCDC));

6. d(M, (S AD)).

Bài 11.171 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a√

3 và các cạnh bên cùng hợp với đáy một

góc 60◦.

1. Tình d(S , (ABC)), d(A, (S BC)), d(C, (S AB));

2. Tính cosin góc giữa S B và AC;

3. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (S BC) và (S AC).

Vấn đề 3 : Đoạn vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

�Ta xét các trường hợp sau đây:



WWW.VNMATH.COM


b

B

A

a

A M′

B Mb

b′a

α I H

AB

O

a b

b′

α

a) b) c)

a) Giả sử a, b là hai đường thẳng chéo nhau và a⊥b.

- Ta dựng mặt phẳng (α) chứa a và vuông góc với b tại B.

- Trong (α) dựng BA⊥a tại A, ta được độ dài đoạn BA là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b (hình a).

b) Giả sử a và b là hai đường thẳng chéo nhau nhưng không vuông góc với nhau.

Cách 1 : - Ta dựng mặt phẳng (α) chứa a và song song với b (hình b).

- Lấy một điểm M tùy ý trên b dựng MM′⊥(α) tại M′.

- Từ A dựng AB ∥ MM′ cắt b tại B, độ dài đoạn AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.

Cách 2 : - Ta dựng mặt phẳng (α)⊥a tại O, (α) cắt b tại I (hình c).

- Dựng hình chiếu vuông góc của b là b′ trên (α).

- Trong mặt phẳng (α), vẽ OH⊥b′ tại H.

- Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B.

- Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A.

Độ dài đoạn AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.

Chú ý : Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b ta thường làm như sau :

• Ta dựng mặt phẳng (α) chứa a và song song với b (hình b).

• Lấy điểm M ∈ b. Ta có d(a, b) = d(b, (α)) = d(M, (α)).

Bài 11.172 : Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau và OA = OB = OC = a. Gọi I là trung điểm BC. Hãy

dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng:

1. OA và BC; 2. AI và OC.

Bài 11.173 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh a, góc ÔBAD = 60◦, S O⊥(ABCD), S O =3a4

.

1. Tính d(O, (S BC)) và d(A, (S BC)); 2. Tính d(AD, S B).

Bài 11.174 : Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh

AB, A′C′, B′C′. Tính khoảng các giữa các cặp đường thẳng sau :

1. DE và AB′; 2. A′B và B′C′.

Bài 11.175 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, có cạnh S A = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của:



WWW.VNMATH.COM


1. S B và CD; 2. S C và BD; 3. S C và AB; 4. AC và S D.

Bài 11.176 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và AD. Tính các khoảng cách :

1. d(A, (CDD′C′)) ;

2. d(A,CC′) ;

3. d(AA′, (BB′D′D)) ;

4. d((AIA′), (CJC′)) ;

5. d(BD, A′C) ;

6. d(AA′, BD′) ;

7. d(AI, JC′).

Bài 11.177 : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′, mặt đáy ABC là tam giác cân tại đỉnh A có bA = 120◦, cạnh bên bằng a.

1. Tính d(A, (BB′C′C)).

2. Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AA′ và B′C.

Bài 11.178 : Cho tứ diện ABCD có AD = BC = a, AC = BD = b, AB = x,CD = y. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và

CD.

Bài 11.179 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Tính d(A, (BDA′)), d((A′BD), (CB′D′)), d(A′D,D′C).

Bài 11.180 : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có cạnh bên AA′ = a, đáy ABC là tam giác vuông tại A có BC = 2a, AB = a√

3.

Tính d(AA′, (BCC′B′)), d(A′, (ABC′)), d(A, (A′BC)).

Bài 11.181 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và S A = S B = S C = S D = a√

2. Tính d(S , (ABCD)), d(AD, S B).

Bài 11.182 : Cho hình chóp S .ABC có S A vuông góc với mặt phẳng đáy và S A = a√

2, đáy ABC là tam giác vuông tại B có BA = a.

Gọi M là trung điểm của AB. Tính d(S M, BC).

Bài 11.183 : Cho hai tia chéo nhau Ax và By hợp với nhau góc 60◦, nhận AB = a làm đoạn vuông góc chung. Trên By, lấy điểm C sao

cho BC = a. Tính d(C, (B, Ax)), d(C, Ax) và tìm điểm cách đều các đỉnh A, B,C,D.

Bài 11.184 : Cho tứ diện ABCD có bốn mặt là bốn tam giác có diện tích bằng nhau. Chứng minh rằng đoạn nối trung điểm hai cạnh

đối diện cũng là đoạn vuông góc chung của hai cạnh đó.

Bài 11.185 : Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có cạnh bên bằng h. Biết khoảng cách giữa A′B′ và BC′ bằng d. Tính cạnh

đáy của hình lăng trụ theo d và h.

Bài 11.186 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông với AB = AC = a, S A⊥(ABC), S A =a√

22

. Tính góc giữa hai mặt

phẳng (S AC) và (S BC); tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và S C, với I là trung điểm BC.

Bài 11.187 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thang, ÔCBA = ÔBAD = 90◦, S A = AB = BC = a và AD = 2a. Biết hai mặt

phẳng (S AB) và (S AD) cùng vuông góc với đáy.

1. Tính d(S , (BCD)); d(A, (S CD)); d(AD, (S BC)).

2. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (S CD) và (ABCD).

3. Tính d(S A,CD), d(BC, S D), d(S B,CD).

Bài 11.188 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có ABC và ABB′ là hai tam giác đều cạnh a và nằm trong hai mặt phẳng vuông

góc với nhau.

1. Tính d(B′, (ABC)); d(A, (BCC′B′)).

2. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB′ và CC′.

Bài 11.189 : Cho khối chóp S .ABC có tam giác ABC đều cạnh A, chân đường cao của hình chóp trùng với trung điểm của BC và góc

giữa S A và mặt phẳng (ABC) bằng 60◦.

1. Tính d(S A, BC); d(B, (S AC)).

2. Gọi G là trọng tâm tam giác S BC. Tính góc giữa (ABC) và (ABG), từ đó suy ra diện tích của tam giác ABG.



WWW.VNMATH.COM


11.6 Khối đa diện và thể tích khối đa diện

Vấn đề 1 : Phương pháp trực tiếp tìm thể tích khối chóp

�Sử dụng công thức V =

13

S .h với hình chóp và V = S .h với hình lăng trụ, trong đó S là diện tích đáy còn h là độ dài đường cao.

1. Phương pháp xác định trực tiếp chân đường cao :

Dưới đây là một số đặc điểm thường gặp của hình chóp và vị trí chân đường cao tương ứng.

• Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy thì cạnh bên đó chính là đường cao.

• Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và đường đi qua tâm của đáy (các cạnh bên bằng nhau).

• Hình chóp có hai mặt phẳng (cùng chứa đỉnh) vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao tuyến của hai mặt phẳng đó.

• Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao chính

là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

• Hình chóp có một mặt (chứa đỉnh) vuông góc với đáy, thì đường cao chính là đường cao (xuất phát từ đỉnh) của mặt bên

đó.

• Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau hoặc các mặt bên có các đường cao (xuất phát từ đỉnh) bằng

nhau thì chân đường cao cách đều các cạnh của đáy. Nếu lúc này đáy là tam giác thì chân đường cao chính tâm đường tròn

nội tiếp hoặc ngoại tiếp tam giác đáy.

2. Phương pháp gián tiếp xác định độ dài đường cao : Chúng ta sử dụng các phương pháp xác định khoảng cách từ một điểm đến

mặt phẳng, cụ thể

• Nếu AB ∥ (P) thì d(A, (P)) = d(B, (P));

• Nếu AB ∩ (P) = {O} thìd(A, (P))d(B, (P))

=OAOB

.

Bài 11.190 : Cho chóp đều S .ABCD có cạnh đáy bằng a, ÔS AC = 45◦. Tính thể tích hình chóp S .ABCD.

Bài 11.191 : Cho hình chóp S .ABC có S B = S C = BC = CA = a; hai mặt bên (ABC) và (AS C) cùng vuông góc với (S BC). Tính thể

tích khối chóp.

Bài 11.192 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh a. Lấy M ∈ AB,N ∈ C′D′. Chứng minh rằng tứ diện B′A′MN có thể tích

không đổi.

Bài 11.193 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Tính thể tích khối tứ

diện AB′MN.

Bài 11.194 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; (S AC)⊥(ABCD); ÔAS C = 90◦ và S A tạo với đáy một góc α. Tính

thể tích khối chóp.

Bài 11.195 : Cho hình chóp S .ABC có ÔBAC = 90◦,ÔABC = α; S BC là tam giác đều cạnh a, (S BC)⊥(ABC). Tính thể tích khối chóp.

Bài 11.196 : Cho tứ diện ABCD có AD = b và 5 cạnh còn lại đều bằng a. Tính thể tích khối tứ diện.

Bài 11.197 : Cho hình chóp đều S .ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Tính cạnh của hình chóp biết thể tích của khối chóp bằng9a3√

22

.

Bài 11.198 : Cho hình chóp tam giác đều S .ABC. Biết khoảng cách từ A đến (S BC) bằng d, góc giữa AB và mặt phẳng (S BC) là bằng

α. Tính thể tích và diện tích xung quanh của khối chóp.

Bài 11.199 : Cho khối chóp tam giác đều S .ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a. Các cạnh bên tạo với đáy một góc bằng 60◦.

Tính thể tích khối chóp đó.



WWW.VNMATH.COM


Bài 11.200 : Cho khối chóp S .ABC có đáy là tam giác cân, AB = AC = 5a, BC = 6a. Các mặt bên tạo với đáy một góc 60◦, chân

đường cao của hình chóp nằm trong miền trong tam giác ABC. Hãy tính thể tích khối chóp đó.

Bài 11.201 : Cho khối chóp tam giác đều S .ABC có chiều cao bằng h và góc AS B bằng 2ϕ. Hãy tính thể tích khối chóp.

Bài 11.202 : Cho khối chóp S .ABC có S A⊥(ABC); đáy là tam giác ABC cân tại A, độ dài trung tuyến AD bằng a, cạnh bên S B tạo

với đáy một góc α và tạo với mặt (S AD) góc β. Tính thể tích khối chóp.

Bài 11.203 : Cho tứ diện ABCD. Gọi d là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD, α là góc giữa hai đường thẳng đó. Chứng

minh rằng

VABCD =16

AB.CD.d. sinα.

Bài 11.204 : Cho khối chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và S A⊥(ABC), S C = a. Hãy tìm góc giữa hai mặt

phẳng (S CB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất.

Bài 11.205 : Cho khối chóp tứ giác đều S .ABCD mà khoảng cách từ A đến mặt phẳng (S BC) bằng 2a. Với giá trị nào của góc giữa

mặt bên và mặt đáy của khối chóp thì thể tích của khối chóp nhỏ nhất.

Bài 11.206 : Tính thể tích khối tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau :

AB = CD = a; AC = BD = b; AB = BC = c.

Bài 11.207 : Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng h. Tính thể tích khối chóp A.BC′A′.

Bài 11.208 : Cho đường tròn đường kính AB nằm trên mặt phẳng (P) và một điểm M di động trên đường tròn. Trên đường thẳng

vuông góc với mặt phẳng (P) tại A, lấy một điểm S . Mặt phẳng (Q) qua A vuông góc với S B tại K cắt S M tại H. Tìm vị trí của M để

thể tích khối chóp S .AHK lớn nhất. Chứng minh rằng khi đó cung ÷AM nhỏ hơn cung ÷BM.

Bài 11.209 : Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC = 2a. Cạnh bên của lăng trụ bằng a và

vuông góc với đáy.

1. Chứng minh rằng 6 đỉnh của lăng trụ nằm trên một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đó.

2. Tính thể tích và diện tích toàn phần của lăng trụ đó.

3. Tính góc giữa mặt phẳng (CA′B′) và mặt đáy (ABC).

Bài 11.210 : Cho lăng trụ đứng ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc bA = 60◦. Đường chéo A′C của lăng trụ hợp

với đáy một góc bằng 60◦.

1. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích của khối lăng trụ đó.

2. Hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa DD′ cắt các cạnh AB, A′B′, BC và B′C′ lần lượt tại M,M′,N và N′. Giả sử AM = x, BN = y.

Tìm x, y để (P) và (Q) chia lăng trụ thành ba phần tương đương (có thể tích bằng nhau).

Bài 11.211 : Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác cân tại A. Góc giữa AA′ và BC′ là 30◦ và khoảng cách giữa

chúng bằng a. Góc giữa hai mặt bên chứa AA′ là 60◦. Tính thể tích khối lăng trụ.

Bài 11.212 : Cho lăng trụ đều ABC.A′B′C′. Mặt phẳng (A′BC) cách A một khoảng bằnga√

34

và hợp với BC′ một góc α với sinα =√

1510

. Tính thể tích khối lăng trụ.

Bài 11.213 : Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều cạnh a và A′A = A′B = A′C = b.

1. Chứng minh rằng BCC′B′ là hình chữ nhật.

2. Xác định b theo a để mặt bên (ABB′A′) hợp với đáy góc 60◦.

3. Tính thể tích và diện tích toàn phần của khối lăng trụ theo a với giá trị b vừa tìm được.

Bài 11.214 : Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều cạnh a. Đỉnh A′ có hình chiếu trùng với tâm O của tam giác ABC.

Cạnh bên hợp với đáy một góc 45◦.

1. Tính thể tích của khối lăng trụ.



WWW.VNMATH.COM


2. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của lăng trụ đó.

Bài 11.215 : Cho lăng trụ ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bên bằng a hợp với đáy một góc α, đáy là hình thoi góc bA = α và AC = 2a. Mặt

chéo ACC′A′ vuông góc với đáy.

1. Chứng minh rằng BDD′B′ là hình chữ nhật và các mặt bên bằng nhau.

2. Tính thể tích khối lăng trụ.


Bài 11.216 : Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác cân tại A, BC = 2a, ÔBAC = 2α. Đỉnh A′ cách đều ba đỉnh A, B,C. Các

cạnh bên hợp với đáy một góc 60◦.



Bài 11.217 : Cho lăng trụ ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc bA = 60◦. Hình chiếu của A′ xuống dưới mặt phẳng

(ABCD) trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. Cho biết ÕBAA′ = 45◦.



Bài 11.218 : Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A1B1C1D1 có khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A1D bằng 2 và độ dài dg

chéo mặt bên bằng 5.

1. Hạ AK⊥A1D (K ∈ A1D). Chứng minh rằng AK = 2.

2. Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A1B1C1D1.

Bài 11.219 : Đáy của khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 là một tam giác đều. Mặt phẳng (A1BC) tạo với đáy một góc 30◦ và tam giác

A1BC có diện tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.

Bài 11.220 : Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A1B1C1D1 có đáy là hình bình hành và ÔBAD = 45◦. Các đường chéo AC1 và DB1 lần lượt

tạo với đáy AC1 và DB1 lần lượt tạo với đáy những góc 45◦ và 60◦. Hãy tính thể tích của khối lăng trụ nếu biết chiều cao của nó bằng 2.

Bài 11.221 : Cho khối hộp ABCD.A1B1C1D1 có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a, ÕA1AB = ÔBAD = ÕA1AD = α (0◦ < α < 90◦).

Hãy tính thể tích của khối hộp.

Bài 11.222 : Cho khối hộp ABCD.A′B′C′D′ có đáy là hình chữ nhật với AB = a√

3, AD = a√

7. Hai mặt bên (ABB′A′) và (ADD′A′)

lần lượt tạo với đáy những góc 45◦ và 60◦. Hãy tính thể tích của khối lăng trụ nếu biết cạnh bên bằng 1.

Bài 11.223 : Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 mà mặt bên ABB1A1 có diện tích bằng 4. Khoảng cách giữa CC1 và mặt phẳng

(ABB1A1) bằng 7. Hãy tính thể tích khối lăng trụ.

Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác vuông cân với cạnh huyền AB bằng√

2. Cho biết mặt phẳng (AA1B) vuông góc với

mặt phẳng (ABC), AA1 =√

3, góc ÕA1AB nhọn, góc giữa mặt phẳng (AA1C) và mặt phẳng (ABC) bằng 60◦. Hãy tính thể tích khối lăng

trụ.

Bài 11.224 : Cho hai đường thẳng chéo nhau Ax, By. Gọi C và D là hai điểm di động lần lượt trên Ax, By sao choa

AC+

bBD= k (a, b

là độ dài cho trước, k là số thực dương cho trước).

1. Chứng minh rằng đoạn CD luôn luôn cắt một đoạn thẳng cố định.

2. Xác định vị trí của C,D để thể tích tứ diện ABCD nhỏ nhất.

Bài 11.225 : Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A, ta lấy điểm M. Gọi H là trực

tâm của tam giác ABC,K là trực tâm của tam giác BCM.

1. Chứng minh rằng MC⊥(BHK) và HK⊥(BCM).

2. Khi M thay đổi trên d, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của thể tích tứ diện KABC.



WWW.VNMATH.COM


Bài 11.226 : Trên cạnh AD của hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a, lấy điểm M sao cho AM = x(0 ≤ x ≤ a). Trên nửa đường

thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng hình vuông tại điểm A, lấy điểm S sao cho S A = y(y > 0).

1. Chứng minh rằng (S AB)⊥(S BC).

2. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (S CA).

3. Tính thể tích khối chóp S .ABCM theo a, y và x.

4. Biết rằng x2+ y2= a2. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S .ABCM.

Bài 11.227 : Hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là một tam giác vuông tại a và AC = b, bC = 60◦. Đồng thời đường chéo

BC′ của mặt bên BB′C′C tạo với mặt phẳng (AA′C′C) một góc 30◦.

1. Tính độ dài đoạn A′C ; 2. Tính thể tích của khối lăng trụ.

Bài 11.228 : Cho chóp tứ giác đều S .ABCD.

1. Biết AB = a và S A = l, tính thể tích khối chóp theo a và l.

2. Biết S A = l và góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng α. Tính thể tích khối chóp theo α và l.

Bài 11.229 : Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD.

1. Biết AB = a và góc giữa mặt bên và đáy bằng α, tính thể tích khối chóp theo a và α.

2. Biết độ dài của đoạn thẳng nối đỉnh hình chóp với trung điểm của một cạnh đáy bằng d và góc giữa cạnh bên và đáy bằng ϕ,

tính thể tích khối chóp theo d và ϕ.

Bài 11.230 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có tất cả các cạnh đáy đều bằng a. Hơn nữa góc tạo thành bởi cạnh bên và mặt đáy

bằng 60◦ và hình chiếu H của đỉnh A lên mặt phẳng (A′B′C′) trùng với trung điểm của cạnh B′C′.

1. Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy.

2. Tính góc giữa hai đường thẳng BC và AC′.

3. Tính góc giữa mặt phẳng (ABB′A′) và mặt đáy.

4. Tính thể tích của khối lăng trụ.

Bài 11.231 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên S AD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc

với đáy. Gọi M,N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh S B, BC,CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ

diện CMNP.

Bài 11.232 : Cho lăng trụ đều ABC.A′B′C′ có chiều cao bằng h và hai đường thẳng AB′, BC′ vuông góc nhau. Tìm thể tích khối lăng

trụ đó.

Bài 11.233 : Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có độ dài cạnh đáy AB bằng a và góc S AB bằng α. Tính thể tích khối chóp S .ABCD

theo a và α.

Bài 11.234 : Cho hình chóp S .ABCD, đáy là hình chữ nhật có AB = 2a, BC = a. Các cạnh bên của hình chóp đều bằng a√

2. Tính thể

tích khối chóp S .ABCD theo a.

Bài 11.235 : Cho hình lập phương OBCD.O1B1C1D1 có độ dài mỗi cạnh bằng a.

1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng O1B và B1C.

2. Gọi N là trung điểm của BD1. Tính thể tích khối chóp ONBB1.

3. Gọi M là một điểm bất kì thuộc OO1. Chứng minh rằng tỉ số thể tích khối chóp MBCC1B1 và hình lăng trụ OCBO1B1C1 không

phục thuộc vào vị trí điểm M.

Bài 11.236 : Chứng minh rằng nếu một tứ diện chỉ có đúng một cạnh có độ dài lớn hơn 1 thì thể tích của tứ diện đó lớn nhất là18

.

Bài 11.237 : Kí hiệu S và V lần lượt là diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp đều n - giác.



WWW.VNMATH.COM


1. Với các giá trị cho trước n và S , hãy tìm giá trị lớn nhất của thể tích V .

2. Tính các cạnh đáy và đường cao của tất cả các hình chóp với n = 4, S = 114,V = 64.

Bài 11.238 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a√

2, S A = a và S A vuông góc với mặt phẳng

(ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và S C; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (S AC) vuông

góc với mặt phẳng (S MB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.

Bài 11.239 : Cho hình chóp tam giác S .ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, S A = 2a và S A vuông góc với mặt phẳng (ABC).

Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng S B và S C. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM.

Bài 11.240 : Cho hình chóp S .ABCD đều có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng ω (0◦ < ω < 90◦). Tính tancủa góc

giữa hai mặt phẳng (S AB), (ABCD). Tính thể tích khối chóp theo a, ω.

Bài 11.241 : Cho hình chóp S .ABC. Đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh S A vuông góc với đáy, góc ÔACB = 60◦, BC = a, S A = a.

Gọi M là trung điểm cạnh S B. Chứng minh mặt phẳng (S AB) vuông góc với mặt phẳng (S BC). Tính thể tích khối tứ diện MABC.

Bài 11.242 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thang, ÔBAD =ÔABC = 90◦, AB = BC = a, AD = 2a, S A vuông góc với đáy

và S A = 2a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm S A, S D. Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích khối chóp S .BCNM

theo a.

Bài 11.243 : Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA′ = a√

2. Gọi M là trung

điểm cạnh BC. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B′C.

Bài 11.244 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, S A = a, S B = a√

3 và mặt phẳng (S AB) vuông góc với

mặt đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích khối chóp S .BMDN và tính cosin góc giữa hai đường

thẳng S M,DN.

Bài 11.245 : Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a√

3 và hình

chiếu vuông góc của đỉnh A′ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A′.ABC và tính cosin

của góc giữa hai đường thẳng AA′, B′C′.

Bài 11.246 : Cho tứ diện ABCD có BC = CD = a, BC là đoạn vuông góc chung giữa AB và CD, góc giữa−−→BA và

−−→CD bằng 60◦ và

AD⊥AB. Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a.

Bài 11.247 : Cho hình chóp đều S .ABCD có cạnh đáy bằng a, các cạnh bên tạo với đáy một góc ϕ. Mặt phẳng qua AC, vuông góc với

(S AD) cắt cạnh S D tại E. Tính thể tích khối đa diện S BCEA theo a và ϕ.

Bài 11.248 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác S AB đều, góc giữa mặt bên (S AB) và đáy bằng

60◦, I là trung điểm S C. Tính thể tích khối chóp S AIB.

Bài 11.249 : Trong không gian cho hình chóp S .ABCD với ABCD là hình thoi tâm O, có cạnh a, góc ÔABC = 60◦, chiều cao S O của

hình chóp bằnga√

32

. Gọi M là trung điểm AD, (P) là mặt phẳng qua BM và song song với S A, cắt S C tại K.

Tính thể tích khối chóp K.BCDM.

Bài 11.250 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD, AD = a√

2,CD = 2a. Cạnh S A vuông góc với đáy và S A =

3a√

2. Gọi K là trung điểm AB. Chứng minh rằng mặt phẳng (S AC) vuông góc với mặt phẳng (S DK) và tính thể tích khối chóp S .CDK

theo a.

Bài 11.251 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều cạnh a, các cạnh AA′ = A′B = CA′, biết góc giữa mặt

bên ABB′A′ tạo với đáy của lặng trụ một góc bằng 60◦. Chứng minh rằng BCC′B′ là hình chữ nhật và tính thể tích khối lăng trụ theo a.

Bài 11.252 : Cho hình vuông ABCD cạnh a nằm trên mặt phẳng (P). Dựng hai nửa đường thẳng Bx và Dy cùng vuông góc với mặt

phẳng (P) và nằm cùng phía với mặt phẳng (P). Trên hai nửa đường thẳng Bx,Dy lần lượt lấy hai điểm M ∈ Bx,N ∈ Dy sao cho

BM = b,DN = c (b, c > 0). Tính thể tích khối tứ diện ACMN theo a, b, c. Khi M,N thay đổi trên Bx,Dy sao cho (ACM)⊥(ACN), hãy

xác định b, c theo a để thể tích khối tứ diện ACMN là nhỏ nhất.

Bài 11.253 : Trong mặt phẳng (p) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao chi AC = R. Trên

đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho Û((S AB), (S BC)) = 60◦. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của A trên S B, S C.

Chứng minh rằng tam giác AHK vuông và tính thể tích khối chóp S .ABC.



WWW.VNMATH.COM


Bài 11.254 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình chữ nhật, với AB = a, AD = 2a, cạnh S A vuông góc với đáy, cạnh S B tạo với

mặt đáy một góc 60◦. Trên cạnh S A lấy điểm M sao cho AM =a√

33

. Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh S D tại N. Tính thể tích khối chóp

S .BCNM.

Bài 11.255 : Cho hình hộp đứng ABCD.A′B′C′D′ có các cạnh AB = AD = a, AA′ =a√

32,ÔBAD = 60◦. Gọi M,N lần lượt là trung

điểm của A′D′, A′B′. Chứng minh rằng AC′⊥(BDMN) và tính thể tích A.BDMN.

Bài 11.256 : Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a, BC = b. Hai mặt phẳng (BCD) và (ABC) vuông góc với nhau và góc ÔBDC = 90◦.

Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a và b.

Bài 11.257 : Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a và góc ÔBAC = 120◦, cạnh bên BB′ = a.

Gọi I là trung điểm CC′. Chứng minh rằng tam giác AB′I vuông ở A. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB′I).

Bài 11.258 : Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có A′.ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA′ = b. Gọi α là góc

giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A′BC). Tính tanα và thể tích khối đa diện A′BB′C′C.

Vấn đề 2 : Tính thể tích hình chóp một cách gián tiếp

�1. Ta thường phải so sánh đường cao, diện tích đáy của hình chóp, diện tích đáy của hình chóp phải tính với một hình chóp đã biết

(hay dễ tính toán hơn).

2. Dùng phương pháp chia tách khối đa diện.

3. Sử dụng kết quả sau: Cho khối chóp S .ABC. Trên tia S A, S B, S C lần lượt lấy ba điểm A′, B′,C′ khác với S . Khi đó

VS .ABC

VS .A′B′C′=

S AS A′.

S BS B′.

S CS C′.

Chú ý : Công thức tỉ số thể tích trên chỉ áp dụng cho hai hình chóp tam giác có chung đỉnh và chung các cạnh bên.

Bài 11.259 : Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V . Gọi M, P lần lượt là trung điểm của AB và CD, N thuộc cạnh AD sao cho

DA = 3NA. Tính thể tích tứ diện BMNP theo P.

Bài 11.260 : Cho hình chóp S .ABCD có thể tích là V; ABCD là hình bình hành. Gọi M,N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh

BC,CD, S D. Tính thể tích tứ diện AMNP theo V .

Bài 11.261 : Cho hình chóp S .ABC có đáy là tam giác vuông ở B. Cạnh S A vuông góc với đáy. Từ A kẻ đường AD vuông góc với S B

và AE vuông góc với S C. Biết AB = a, BC = b, S A = c. Hãy tính thể tích hình chóp S .ADE.

Bài 11.262 : Cho hình chóp đều S .ABCD. Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với S C cắt S B, S C, S D lần lượt tại B′,C′,D′. Biết rằng

AB = a,S B′

S B=

23

.

1. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S .AB′C′D′ và S .ABCD.

2. Tính thể tích khối chóp S .AB′C′D′.

Bài 11.263 : Cho hình chóp đều S .ABCD có cạnh đáy và đường cao cùng bằng a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm S B, S D ; P là giao

điểm của mặt phẳng (AMN) với S C. Tính thể tích khối chóp S .AB′C′D′.

Bài 11.264 : Cho chóp S .ABCD đáy là hình vuông, cạnh a, có S A⊥(ABCD). Mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với S C, cắt

S B, S C, S D lần lượt tại B′,C′,D′ và biếtS B′

S B=

23

. Tính thể tích hình chóp S .AB′C′D′.

Bài 11.265 : Cho chóp S .ABCD đáy là hình vuông tâm O, cạnh a, có S A⊥(ABCD) và S A = a√

2. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu

của A lên S B và S D. Chứng minh rằng S C⊥(AHK). Tính thể tích khối chóp OAHK.

Bài 11.266 : Cho hình chóp S .ACBD có đáy là hình thoi cạnh a, ÔBAD = 60◦, S A⊥(ABCD) và S A = a. Gọi C′ là trung điểm của S C.

Mặt phẳng (P) đi qua AC′ và song song với BD cắt các cạnh S B, S D lần lượt tại B′,D′. Tính thể tích khối chóp S .AB′C′D′.



WWW.VNMATH.COM


Bài 11.267 : Cho khối chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S A vuông góc với mặt phẳng đáy và S A = 2a. Gọi B′,D′ lần lượt

là hình chiếu vuông góc của A trên S B và S D. Mặt phẳng (AB′D′) cắt S C tại C′. Tính thể tích khối chóp S .AB′C′D′.

Bài 11.268 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a và điểm K thuộc CC′ sao cho CK =2a3

. Mặt phẳng (α) đi qua

A,K và song song với BD chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích hai khối đa diện đó.

Bài 11.269 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình thoi cạnh a,ÔBAD = 60◦, S A⊥(ABCD), S A = a. Gọi C′ là trung điểm S C. Mặt

phẳng (P) đi qua AC′ và song song với BD, cắt các cạnh S B, S D của hình chóp tại B′,D′. Tính thể tích khối chóp S .AB′C′D′.

Bài 11.270 : Cho hình chóp S .ABC, có S A = a, S B = b, S C = c. Tính thể tích khối chóp S .ABC, biết :

1. ÔAS B =ÔBS C =ÔCS A = 60◦ ; 2. ÔAS B = 90◦; ÔBS C = 120◦; ÔCS A = 60◦.

Bài 11.271 : Biết thể tích khối hộp ABCD.A′B′C′D′ là V . Tính thế tích khối tứ diện ACB′D′.

Bài 11.272 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB = a, BC = b, AA′ = c. Gọi M,N lần lượt là trung điểm A′B′, B′C′. Tính

tỉ số giữa thể tích khối chóp D′.DMN và thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′.

Bài 11.273 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB = a, BC = b, BB′ = c. Gọi E và F lần lượt là những điểm thuộc các cạnh

BB′ và DD′ sao cho BE =12

EB′,DF =12

FD′. Mặt phẳng (AEF) chia khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ thành hai khối đa diện (H)

và (H′). Gọi (H′) là khối đa diện chứa đỉnh A′. Hãy tính thể tích của (H).

Bài 11.274 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB = a, BC = b, AA′ = c. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của B′C′ và

C′D′. Mặt phẳng (AEF) chia hình hộp đó thành hai hình đa diện (H) và (H′), trong đó (H) là hình đa diện chứa đỉnh A′. Tính thể tích

của (H) và (H′).

Bài 11.275 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Gọi E, F lần lượt là trung điểm B′C′,C′D′. Mặt phẳng (AEF) chia hình hộp đó thành

hai hình đa diện (H) và (H′), trong đó (H) là hình đa diện chứa đỉnh A′. Tính tỉ số số giữa thể tích hình đa diện (H) và thể tích hình đa

diện (H′).

Bài 11.276 : Cho khối hộp MNPQ.M′N′P′Q′ có thể tích V . Tính thể tích khối tứ diện P′MNP theo V .

Bài 11.277 : Trên cạnh PQ của tứ diện MNPQ lấy điểm I sao cho PI =13

PQ. Tính tỉ số thể tích của hai tứ diện MNIQ và MNIP.

Bài 11.278 : Cho hình chóp đều S ABCD. Đáy là ABCD là hình vuông có cạnh bằng 2a. Cạnh bên S A = a√

5. Một mặt phẳng (P) đi

qua AB và vuông góc với mặt phẳng (S CD), và (P) lần lượt cắt C và S D tại C′ và D′.

1. Tính diện tích tứ giác ABC′D′.

2. Tính thể tích của khối đa diện ABCDD′C′.

Bài 11.279 : Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a.

1. Tính thể tích khối chóp.

2. Gọi M,N, P là trung điểm của AB, AD, S C. Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng

nhau.

Vấn đề 3 : Dùng công thức thể tích để giải một số bài toán hình học

�

1. Chúng ta có thể dùng công thức tỉ số thể tích để chứng minh một số hệ thức.

2. Hoặc dùng công thức thể tích để tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng hoăc tính diện tích đa giác đáy, cụ thể

d(A, (S BC)) =3.VS ABC

S ∆S BCvà tổng quát h =

3VS đáy

.



WWW.VNMATH.COM


Bài 11.280 : Cho tứ diện ABCD và điểm M ở miền trong của tứ diện. Đường thẳng AM cắt mặt phẳng (BCD) tại A′, BM cắt mặt

phẳng (ACD) tại B′, CM cắt mặt phẳng (ABD) tại C′, DM cắt mặt phẳng (ABC) tại D′. Chứng minh rằng :

VM.BCD

VABCD=

MA′

AA′

và suy raMA′

AA′+

MB′

BB′+

MC′

CC′+

MD′

DD′= 1.

Bài 11.281 : Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD. Một mặt phẳng cắt các cạnh S A, S B, S C, S D lần lượt tại A′, B′,C′,D′. Chứng minh

rằng1

S A′+

1S C′

=1

S B′+

1S D′.

Bài 11.282 : Cho tứ diện ABCD và M là một điểm nằm miền trong tam giác BCD. Vẽ MB′ ∥ AB (B′ ∈ (ACD)); MC′ ∥ AC

(C′ ∈ (ABD)); MD′ ∥ AD (D′ ∈ (ABC)). Chứng minh rằng BM và AB′ cắt nhau trên CD vàVMACD

VBACD=

MB′

BA. Từ đó suy ra

MB′

BA+

MC′

CA+

MD′

DA= 1.

Bài 11.283 : Cho tứ diện ABCD cso điểm O nằm trong tứ diện và cách đều các mặt của tứ diện một khoảng bằng r. Gọi hA, hB, hC, hD

lần lượt là khoảng cách từ các điểm A, B,C,D đến các cạnh đối diện. Chứng minh rằng

1r=

1hA+

1hB+

1hC+

1hD.

Bài 11.284 : Cho hình chóp tam giác S .ABC có đáy là tam giác vuông ở B. Cạnh S A vuông góc với đáy. Biết AB = a, BC = b, S A = c.

Hãy tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (S BC).

Bài 11.285 : Cho hai đường thẳng chéo nhau d và d′. Trên d lấy hai điểm A và B, trên d′ lấy hai điểm C và D sao cho AB = a,CD = c.

Biết góc giữa d và d′ bằng 60◦ và khoảng cách giữa d và d′ bằng h.

1. Tính thể tích tứ diện ABCD.

2. Giả sử BC vuông góc với CD và BC = b. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).

Bài 11.286 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB = a, BC = 2a, AA′ = a. Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho AM = 3MD.

1. Tính thể tích hình chóp M.AB′C.

2. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB′C).

Bài 11.287 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a; M,N lần lượt là trung điểm của AB và C′D′. Chứng minh rằng

A′MCN là hình thoi và tính khoảng cách từ B′ đến (A′MCN).

Bài 11.288 : Cho hình chóp S .ABC, đáy là tam giác đều cạnh a√

3, đường cao S A = a. Mặt phẳng qua A và vuông góc với S B tại H

cắt S C tại K. Tính S K và diện tích tam giác AHK.

Bài 11.289 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a. Tính thể tích khối tứ diện BDC′B′ và suy ra khoảng cách từ B′

đến (BDC′).

Bài 11.290 : Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V; M,N, P lần lượt là các điểm trên các cạnh AC, AD, BD sao choCMCA=

DNDA=

DPDB=

23

. Biết d(D, (MNP)) = h, tính diện tích tam giác MNP.

Bài 11.291 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a. Gọi K là trung điểm DD′. Tính khoảng cách giữa CK và A′D.

Bài 11.292 : Trong không gian, cho các điểm A, B,C theo thứ tự thuộc các tia Ox,Oy,Oz vuông góc với nhau từng đôi một sao cho

OA = a(a > 0),OB = a√

2,OC = c(c > 0). Gọi D là đỉnh đối diện với O của hình chữ nhật AOBD và M là trung điểm của đoạn BC,

(P) là mặt phẳng đi qua A,M và cắt mặt phẳng (OCD) theo một đường thẳng vuông góc với đường thẳng AM.

1. Gọi E là giao điểm của (P) với đường thẳng OC, tính độ dài của đoạn thẳng OE.

2. Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khối chóp C.AOBD bởi mặt phẳng (P).

3. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (P).



WWW.VNMATH.COM


11.7 Phân loại một số hình khối đa diện

11.7.1 Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

Bài 11.293 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, hai đáy là AD = 2a, BC = a. Biết AB = a, S A = a√

2

và S A⊥(ABCD).

1. Chứng minh các tam giác S BC và S DC là các tam giác vuông.

2. Kẻ AJ⊥S B, AH⊥S C. Chứng minh rằng : (JAH)⊥(S DC).

3. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau : (S DC) và (ABCD) ; (S DC) và (S AD).

4. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng AD và S B ; AD và S C.

Bài 11.294 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, S A vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và S A = a. Gọi E

trung điểm của cạnh CD. Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến BE.

Bài 11.295 : Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC = a. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại điểm A lấy

điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (S BC) bằng 60◦. Tính độ dài đoạn thẳng S A theo a.

Bài 11.296 : Cho hình chóp O.ABC, với OA,OB,OC đôi một vuông góc và OA = a,OB = b,OC = c.

1. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC).

2. Chứng minh rằng tam giác ABC nhọn.

3. Gọi α, β, γ lần lượt là góc tạo bởi các mặt (OBC), (OCA), (OAB) với mặt (ABC). Chứng minh rằng cos2α+ cos2 β + cos2 γ = 1.

Bài 11.297 (B06) : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a√

2, S A = a và S A vuông góc với mặt

phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và S C; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (S AC)

vuông góc với mặt phẳng (S MB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.

Bài 11.298 (D02) : Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC); AC = AD = 4cm ; AB = 3cm ; BC = 5cm.

Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD).

Bài 11.299 (D06) : Cho hình chóp tam giác S .ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, S A = 2a và S A vuông góc với mặt phẳng

(ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng S B và S C. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM.

Bài 11.300 (D07) : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình thang, ÔABC = ÔBAD = 90◦, BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh bên S A vuông

góc với đáy và S A = a√

2. Gọi H là hình chiếu của A trên S B. Chứng minh rằng tam giác S CD vuông và tính theo a khoảng cách từ

H đến mặt phẳng (S CD).

Bài 11.301 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên S A vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC). Tính

khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (S BC) theo a, biết rằng S A =a√

62

.

Bài 11.302 : Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA,OB,OC đôi một vuông góc và α, β, γ lần lượt là các góc giữa mặt phẳng (ABC) với

các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB). Chứng minh rằng :

cosα + cosβ + cosγ ≤√

3.

Bài 11.303 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a, cạnh S A vuông góc với đáy và S A = 2a.

Gọi M là trung điểm của S C. Chứng minh rằng tam giác AMB cân tại M và tính diện tích tam giác AMB theo a.

Bài 11.304 : Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại A, AD = a, AC = b, AB = c.

Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c và chứng minh rằng :

2S ≥p

abc(a + b + c).

Bài 11.305 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh S A vuông góc với đáy, cạnh S B tạo

với mặt phẳng đáy một góc 60◦. Trên cạnh S A lấy điểm M sao cho AM =a√

32

. Mặt phẳng (BCM) cắt S D tại N. Tính thể tích khối

chóp S .BCNM.



WWW.VNMATH.COM


Bài 11.306 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ÔBAD = 60◦, S A vuông góc với mặt phẳng (ABCD), S A = a.

Gọi C′ là trung điểm của cạnh S C. Mặt phẳng (P) đi qua AC′ và song song với BD, cắt các cạnh S B, S D của hình chóp lần lượt tại

B′,D′. Tính thể tích khối chóp S .AB′C′D′.

Bài 11.307 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, S A vuông góc với đáy. Cho AB = a, S A = a√

2. Gọi H và

K lần lượt là hình chiếu của A lên S B, S D. Chứng minh S C⊥(AHK) và tính thể tích hình chóp O.AHK.

Bài 11.308 : Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn sao cho AC = R. Trên

đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (S AB) và (S BC) bằng 60◦. Gọi H,K lầ lượt là hình

chiếu vuông góc của A trên S B, S C. Chứng minh tam giác AHK vuông và tính VS .ABC.

11.7.2 Hình chóp đều

ĐỊNH NGHĨA : Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau (đường cao vuông góc với đáy tại tâm

đáy).

Chóp tứ giác thì chọn gốc tọa độ là tâm đáy ; chóp tam giác thì chọn gốc tọa độ là trung điểm M của BC (hình dưới) :

S

A

B C

D

O

x

y

z

S

A

B

C

MO

x

z

y

Câu hỏi : Hãy tìm tọa độ các đỉnh của hình chóp trong mỗi trường hợp ở trên, biết độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h.

Các yếu tố xác định hình chóp đều : biết cạnh dáy là a và

1. độ dài đường cao là h ;

2. độ dài cạnh bên bằng b, khi đó sẽ tính được chiều cao ;

3. góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng α, khi đó sẽ tính được chiều cao ;

4. góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng β, khi đó sẽ tính được chiều cao.

Câu hỏi 1 : Cho hình chóp đều S .ABCD có cạnh đáy bằng a. Hãy gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ Oxyz như hình trên và tìm tọa độ

các đỉnh của hình chóp trong mỗi trường hợp sau :

1. Đường cao bằng a√

2 ;

2. Cạnh bên bằng a√

3 ;

3. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 30◦ ;

4. Côsin góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng23

.

Câu hỏi 2 : Hãy làm bài toán trên với giả thiết là hình chóp đều S .ABC có độ dài cạnh đáy bằng a.

Chú ý : Tứ diện đều là tứ diện có tất cả các cạch bằng nhau.

Bài 11.309 : Cho hình tứ diện đều có tất cả các cạnh bằng a = 6√

2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và BC.

Bài 11.310 : Cho khối chóp đều S .ABCD có AB = a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60◦. Tính thể tích khối chóp S .ABCD theo a.

Bài 11.311 (B07) : Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm

của S A, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai

đường thẳng MN và AC.



WWW.VNMATH.COM


Bài 11.312 (A02) : Cho hình chóp tam giác đều S .ABC có đỉnh S , có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M,N lần lượt là các trung điểm các

cạnh S B và S C. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (S BC).

Bài 11.313 (B04) : Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng ϕ (0◦ < ϕ < 90◦).

Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (S AB) và (ABCD) theo ϕ. Tính thể tích khối chóp S .ABCD theo a và ϕ.

Bài 11.314 : Cho hình chóp đều S .ABC, đáy có cạnh bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc bằng ϕ, với (0◦ < ϕ < 90◦). Tính thể tích

khối chóp S .ABC và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (S BC).

Bài 11.315 : Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi S H là đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung

điểm I của S H đến mặt phẳng (S BC) bằng b. Tính thể tích khối chóp S .ABCD.

Bài 11.316 : Tính thể tích khối tứ diện ABCD, biết AB = a; AC = b; AD = c và các góc BAC,CAD,DAB đều bằng 60◦.

11.7.3 Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy

Giải sử mặt bên (S AB) vuông góc với đáy (AB là cạnh đáy và đáy có thể là tam giác hoặc tứ giác), ta có quy trình vẽ hình như sau :

Bước 1 : Vẽ đa giác đáy ;

Bước 2 : Vẽ đường S H của hình chóp, H ∈ AB. tùy thuộc vào tính chất của tam giác S AB mà ta có vị trí của H, chẳng hạn S AB là

tam giác cân tại S thì H là trung điểm của AB. Dựa vào các yếu tố có thể tính được chiều cao S H.

Bài 11.317 : Cho hình chóp S .ABC với tam giác S AB cân tại S , tam giác ABC vuông cân tại C và (S AB)⊥(ABC).

1. Kẻ S H⊥(ABC). Chứng minh H là trung điểm cạnh AB và CH⊥(S AB).

2. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BC. Chứng minh rằng :

(a) (S HM)⊥(S AC) và (S HN)⊥(ABC).

(b) Hai mặt bên (S AC) và (S BC) cùng tạo với đáy (ABC) hai góc bằng nhau.

(c) d(H, (S AC)) = d(H, (S BC)).

3. Gọi D là điểm đối xứng của C qua H. Chứng minh rằng S .ADBC là hình chóp tứ giác đều.

Bài 11.318 (A07) : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên S AD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng

vuông góc với đáy. Gọi M,N, P lân lượt là trung điểm các cạnh S B, BC,CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích khối

tứ diện CMNP.

Bài 11.319 (B08) : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, S A = a, S B = a√

3 và mặt phẳng (S AB) vuông

góc với mặt đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích khối chóp S .BMDN và tính cosin góc giữa hai

đường thẳng S M,DN.


Xác định và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a và b.


3, mặt bên S BC là tam giác đều và vuông

góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S .ABC.

Bài 11.322 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S A = AB = a, mặt phẳng (S AB) vuông góc với mặt phẳng đáy

(ABCD), tam giác S AB vuông. Tính bán kính mặt cầu ngọai tiếp hình chóp S .ABD.

Bài 11.323 : Đáy của một hình chóp là một tam giác vuông có cạnh huyền bằng a và một góc nhọn bằng 60◦. Mặt bên chứa cạnh

huyền vuông góc với đáy, các mặt còn lại cùng hợp với đáy một góc α.

1. Tính thể tích khối chóp này.

2. Một mặt phẳng qua cạnh huyền của tam giác đáy và cắt cạnh đối diện tại trung điểm. Tính tỉ số thể tích hai phần của hình chóp

cắt bởi mặt phẳng đó.

Bài 11.324 : Cho hình chóp S .ABC có bằng bên (S BC) vuông góc với đáy, hai mặt bên (S AB) và (S AC) cùng lập với đáy góc 45◦,

đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và có AB = a đồng thời S BC là tam giác nhọn. Tính thể tích khối chóp.



WWW.VNMATH.COM


Bài 11.325 : Cho hình chóp S .ABC có hai tam giác ABC và S BC là hai tam giác đều cạnh a và (S BC) vuông góc với đáy. Tính thể

tích khối chóp.

Bài 11.326 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên S AB là tam giác đều và vuông góc với đáy. Gọi H

là trung điểm của AB và M là một điểm di động trên đường thẳng BC.

1. Chứng minh rằng : S H⊥(ABCD). Tính thể tích hình chóp S .ABCD.

2. Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc của S lên DM.

3. Tính khoảng cách từ S đến DM theo a và x = CM.

11.7.4 Hình chóp có hai mặt vuông góc với đáy

Nếu hai mặt vuông góc với đáy thì giao tuyến của hai mặt phẳng này sẽ vuông góc với đáy. Vì vậy ta cũng sẽ xác định được ngay

phương của đường cao.

Bài 11.327 : Cho hình chóp S .ABC, tam giác đáy ABC có AB = a, B = 45◦,C = 30◦, hai mặt bên (S AB) và (S AC) vuông góc với đáy

(ABC), S A =a√

62

. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên BC.

1. Chứng minh rằng : (S AH)⊥(S BC) và tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (S AC).

2. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (S BC).

Bài 11.328 : Cho hình chóp S .ABC có đáy là tam giác ABC cân tại A và có trung tuyến AD = a. Hai mặt bên S AB và S AC vuông góc

với đáy. Cạnh bên S B hợp với đáy một góc α và hợp với mặt phẳng (S AD) một góc β.

1. Chứng minh rằng : S B2= S A2

+ AD2+ BD2.


3. Tính khoảng cách từ A đến (S BC).

Bài 11.329 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình thoi, góc nhọn A = α. Hai mặt bên (S AB) và (S AD) vuông góc với đáy và hai

mặt bên còn lại hợp với đáy góc β, biết S A = a.

1. Tính thể tích và diện tích xung quanh khối chóp.

2. Tính cosin góc giữa S B và mặt phẳng (S AC).

11.7.5 Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau

Nếu các cạnh bên của hình chóp là bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau thì đường cao của hình chóp

sẽ đi qua tâm (đường tròn ngoại tiếp) của đa giác đáy.

Bài 11.330 : Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S .ABC, biết S A = S B = S C = a, ÔAS B = 60◦, ÔBS C = 90◦,ÔCS A = 120◦.

Bài 11.331 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a, BC = a. Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và

cùng bằng a√

2.


2. Gọi M,N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,CD, S C, S D. Chứng minh S N vuông góc với (MEF).

3. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (S CD).

Bài 11.332 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng a, ÔBAD = 60◦. Biết S O =3a4

và S O⊥(ABCD).

Gọi H và K lần lượt là trung điểm BC và BH.

1. Chứng minh rằng : (S OK)⊥(S BC).

2. Tính góc giữa hai mặt phẳng (S BC) và (ABCD).



WWW.VNMATH.COM


3. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (S BC).

4. Cho (P) là mặt phẳng qua AD và vuông góc với mặt phẳng (S BC). Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (P).

Tính diện tích thiết diện đó.

Bài 11.333 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, với ÔBAD = 60◦, các cạnh S A = S B = S D = a√

3.

1. Chứng minh tam giác S BC vuông ; 2. Tính khoảng cách giữa S C và AD.

11.7.6 Hình hộp - Hình lăng trụ

Bài 11.334 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ với AB = a, BC = b,CC′ = c.

1. Tính khoảng cách từ điểm A đến (A′BD).

2. Tính khoảng cách từ điểm A′ tới đường thẳng C′D.

3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC′ và CD′.

Bài 11.335 : Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A′ cách đều ba điểm A, B,C và cạnh bên

AA′ tạo với mặt đáy góc 60◦.

1. Tính thể tích khối lăng trụ đó.

2. Chứng minh mặt bên BCC′B′ là hình chữ nhật.

3. Tính diện tích xung quanh của khối lăng trụ đó.

Bài 11.336 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Trên các cạnh AA′, BC,C′D′ lần lượt lấy các điểm M,N, P sao cho

AM = CN = D′P = t, với 0 < t < a. Chứng minh rằng (MNP) ∥ (ACD′) và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.

Bài 11.337 (A03) : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng (A′BC) và (A′CD).

Bài 11.338 (D08) : Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA′ = a√

2. Gọi M là

trung điểm cạnh BC. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B′C.

Bài 11.339 (A08) : Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a√

3 và

hình chiếu vuông góc của đỉnh A′ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A′.ABC và tính

cosin của góc giữa hai đường thẳng AA′, B′C′.

Bài 11.340 (B03) : Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc ÔBAD = 60◦. Gọi M là trung

điểm cạnh AA′ và N là trung điểm cạnh CC′. Chứng minh rằng bốn điểm B′,M,D,N cùng thuộc một mặt phẳng. Tính độ dài cạnh

AA′ theo a để tứ giác B′MDN là hình vuông.

Bài 11.341 : Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung điểm của đoạn AA1. Chứng minh BM⊥B1C

và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và B1C.

Bài 11.342 : Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác cân, với AB = AC = a và góc ÔBAC = 120◦, cạnh bên BB′ = a.


Bài 11.343 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Tìm điểm M thuộc cạnh AA′ sao cho mặt phẳng (BD′M) cắt hình lập phương

theo một thiết diện có diện tích nhỏ nhất.

Bài 11.344 : Cho hình hộp đứng ABCD.A′B′C′D′ có các cạnh AB = AD = a AA′ =a√

32

và góc ÔBAD = 60◦. Gọi M,N lần lượt là

trung điểm các cạnh A′D′, A′B′. Chứng minh rằng AC′ vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.

Bài 11.345 : Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có A′ABC là hình chóp đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA′ = b. Gọi α là góc giữa hai

mặt phẳng (ABC) và (A′BC). Tính tanα và thể tích khối đa diện A′BB′C′C.

Bài 11.346 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a và điểm K thuộc cạnh CC′ sao cho CK =2a3

. Mặt phẳng (α) đi

qua A,K và song song với BD, chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích của hai khối đa diện đó.



WWW.VNMATH.COM


Bài 11.347 : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a√

5 và ÔBAC = 120◦. Gọi M là trung điểm của cạnh

CC1. Chứng minh MB⊥MA1 và tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM).

Bài 11.348 : Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông AB = AC = a, AA1 = a√

2. Gọi M,N lần lượt là trung

điểm của đoạn AA1 và BC1. Chứng minh MN là đường vuông góc chung của các đường thẳng AA1 và BC1. Tính VM.A1BC1.

Bài 11.349 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có đoạn nối hai tâm của hai mặt bên kề nhau làa√

22

.

1. Tính thể tích hình lập phương.

2. Lấy điểm M trên BC. Mặt phẳng (MB′D) cắt A′D′ tại N. Chứng minh rằng MN⊥C′D.

3. Tính góc giữa hai mặt phẳng (A′BD) và mặt phẳng (ABCD).

Bài 11.350 : Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác đều tâm O và hình chiếu của C′ trên đáy (ABC) trùng với O. Biết

khoảng cách từ O đến CC′ bằng a. Gọi E là hình chiếu của A lên CC′ và góc ÔAEB = 120◦.

1. Chứng minh mặt bên ABB′A′ là hình chữ nhật.

2. Tính thể tích lăng trụ.

3. Tính góc giữa mặt bên BCC′B′ và mặt đáy ABC.

Bài 11.351 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có các mặt đều là hình thoi cạnh a. Ba cạnh xuất phát từ đỉnh A tạo với nhau các góc

nhọn bằng nhau và cùng bằng α.

1. Chứng minh rằng hình chiếu H của A′ trên (ABCD) nằm trên đường chéo AC.

2. Tính thể tích hình hộp.

3. Tính góc của đường chéo CA′ và mặt đáy của hình hộp.


Bài 11.352 : Cho hình vuông ABCD và tam giác S AB đều cạnh a ở trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi I, J,K lần lượt là

trung điểm các cạnh AB,CD, BC.

1. Chứng minh rằng S I⊥(ABCD).

2. Tính góc giữa S A, S B, S C và (ABCD).

3. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên S J. Chứng minh rằng IH⊥(S CD). Từ đó suy ra góc giữa S I và (S CD).

4. Chứng minh rằng S AD và S BC là các tam giác vuông. Tính khoảng cách từ I đến (S KD).

5. Chứng minh (S AD), (S BC) cùng vuông góc với (S AB). Tính góc giữa S C, S D và (S AB).

Bài 11.353 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD tâm O, cạnh bên S A vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi E, F,G,H

lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên S B, S C, S D, S O. Chứng minh rằng

1. Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.

2. (S BC)⊥(S AB) và (S CD)⊥(S AD).

3. Nếu ABCD là hình vuông thì AH⊥(S BD) và H là trực tâm tam giác S BD.

4. Các điểm A, E, F,G đồng phẳng và (S AC)⊥(AEFG).

5. Tứ giác AEFG nội tiếp và−−→S E.vecS B =

−−→S F.−−→S C =

−−→S G.−→S I.

6. Nếu ABCD là hình vuông thì hai đường chéo của tứ giác AEFG vuông góc với nhau.

Bài 11.354 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, cạnh bên S A vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa S C

và (S AB) bằng 30◦. Gọi E, F,G,H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên S B, S C, S D, S O.



WWW.VNMATH.COM


1. Tính góc giữa

(a) S B và (ABCD), (S AD), (S CD), (S AC), (AEFG).

(b) (S AB) và (S CD); (S AD) và (S BC); (S BC) và (S CD).

(c) (AEFG) và các mặt phẳng của hình chóp.

2. Tính khoảng cách theo a

(a) Từ A đến (S BC), (S CD), (S BD).

(b) Giữa BD và (AEFG).

(c) Giữa các cạnh đối diện của tứ diện S BCD.

3. Trên cạnh AB lấy một điểm M và đặt AM = x (0 < x < a). Mặt phẳng (Q) qua M và vuông góc với AB cắt CD, S C, S B theo thứ

tự N, P,Q.

(a) Xác định hình dạng của thiết diện MNPQ. Tính theo a và x chu vi và diện tích của thiết diện đó.

(b) Gọi I là trung điểm của S C, J là hình chiếu vuông góc của I trên CM. Tìm tập hợp của J khi x biến thiên trong khoảng

(0;a).

Bài 11.355 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình thang vuông có đường cao AD = a và AB ∥ CD, với AB = 2a, CD = a,

S A⊥(ABCD), S A = a√

2.

1. Tính khoảng cách

(a) Từ điểm A đến các mặt phẳng (S CD) và (S BC).

(b) Từ các điểm B,C,D đến các mặt phẳng của hình chóp không chứa nó.

(c) Từ CD đến (S AB); AB đến (S CD); DE đến (S BC) với E là trung điểm AB.

(d) Giữa S A và BC; S B và C; S D và AB; S D và BC; S C và AB; S C và AD.

2. Tính góc giữa hai mặt phẳng (S BC) và (S CD).

3. Gọi M là điểm di động trên cạnh AD với AM = x (M không trùng với A và D). Mặt phẳng (Q) qua M song song với (S CD) cắt

BC, S B, S A theo thứ tự tại N, P,Q.

(a) Hỏi tứ giác MNPQ là hình gì? Tính diện tích MNPQ theo a và x.

(b) Tìm quỹ tích giao điểm I của MQ và NP khi M chạy trên AD.

Bài 11.356 : Trong mặt phẳng (α) cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng d vuông góc với (α) tại A lấy điểm

S . Gọi M là một điểm thuộc đường tròn tâm O; D, E theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A trên S B, S M. Giả sử S A = R√

3, góc

giữa S M và (α) bằng 60◦. Tính

1. Góc giữa S A và (S BM); S B và (S AM); S M và (S AB); S M và (ADE).

2. Góc giữa (S BM) và (α); (S BM) và (S AB); (ADE) và (S AM).

3. Khoảng cách từ M đến (S AB); từ S đến (ADE); từ A đến (S BM). Khoảng cách giữa các cạnh đối nhau của hình tứ diện S ABM.

4. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm I, đặt AI = x (0 < x < 2R). Mặt phẳng qua I vuông góc với AM cắt AM, S M, S B lần lượt tại

J,K, L. Xác định hình dạng và tính diện tích thiết diện IJKL theo R, x. Tìm x để IJKL có diện tích lớn nhất.

Bài 11.357 : Cho ba nửa đường thẳng S x, S y, S z không đồng phẳng và vuông góc với nhau từng đôi một. Trên S x, S y, S z lần lượt lấy

các điểm A, B,C khác điểm S . Đặt S A = a, S B = b, S C = c. Gọi α, β, γ là góc giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (S BC),

(S CA), (S AB). Lấy P,Q,R lần lượt là trung điểm các cạnh BC,CA, AB. Gọi G,H,O, r lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn

ngoại tiếp và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi D là điểm đối xứng của H qua S . Chứng minh rằng

1. Các cặp đối của tứ diện S ABC vuông góc với nhau từng đôi một và cos2α + cos2 β + cos2 γ = 1.



WWW.VNMATH.COM


2. S H⊥(ABC) và1

S H2=

1a2+

1b2+

1c2

.

3. S 2ABC = S 2

S BC + S 2S AC + S 2

S AB, S 2S BC = S HBC.S ABC.

4.√

3S ABC ≥ S S BC + S S CA + S S AB ≥92

S H2, (BC +CA + AB)2 ≤ 6(a2+ b2+ c2).

5. Tam giác ABC có cả ba góc đều nhọn và a2 tanA = b2 tanB = c2 tanC = 2S ABC.

Bài 11.358 : Hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, S O⊥(ABCD). Giả sử OB =a√

32

, S B = S D = a.

1. Chứng minh rằng tam giác S AC vuông tại S , S C⊥BD, (S AC)⊥(S BD).

2. Giả sử ÔBDA = 60◦, S O =3a4

. Gọi E là trung điểm BC, F là trung điểm BE. Chứng minh rằng (S OF)⊥(S BC).

3. Tính khoảng cách từ O và A đến mặt phẳng (S BC).

4. Gọi (α) là mặt phẳng qua AD và vuông góc với mặt phẳng (S BC). Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi (α). Tính diện tích

thiết diện này và góc giữa (α) và mặt phẳng (ABCD).

5. Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc của O trên (S CD) khi S di động trên đường thẳng qua O và vuông góc với (ABCD).

Bài 11.359 : Cho hình chóp tứ giác tứ đều S .ABCD, có AB = a, S A = a√

2. Qua điểm A dựng mặt phẳng (α) vuông góc với S C.

1. Dựng thiết diện tạo bởi (α)với hình chóp.

2. Mặt phẳng (α) chia khối chóp trên thành 2 phần có tỉ số thể tích bằng bao nhiêu?

Bài 11.360 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông, mặt bên S AB là tam giác đều và vuông góc với đáy. Tinh thể tích

khối chóp S .ABCD biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và S C bằng a.

Bài 11.361 : Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều và BCD là tam giác cân tại D. Cho biết AB = a,CD = a√

5, góc giữa hai

mặt phẳng (ABC) và (BCD) bằng 30◦. Tính khoảng cách giữa AD và BC.

Bài 11.362 : Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có AB = 1,CC′ = m. Tìm m biết rằng góc giữa hai đường thẳng AB′ và BC′ bằng

60◦.

Bài 11.363 : Cho tứ diện ABCD có AD⊥(ABC), AB = AD = 1, AC = 2, ÔBAC = ϕ (0◦ < ϕ < 90◦). Gọi H,K lần lượt là hình chiếu

vuông gó của B lên AC và CD. Đường thẳng HK cắt tia đối của tia AD tại E. Chứng minh BE⊥CD và tính thể tích khối tứ diện BCDE.

Bài 11.364 : Cho hình chóp S .ABC có S C ⊥ (ABC) và tam giác ABC vuông tại B. Biết AB = a, AC = a√

3. Góc giữa 2 mặt phẳng

(S AC) và (S AB) bằng α với tanα =

É136

. Tính thể tích khối chóp S .ABC theo a.

Bài 11.365 : Cho tứ diện OABC có các góc phẳng ở đỉnh O đều bằng 90◦. Biết rằng diện tích tam giác ABC bằng 1 và tổng diện tích

các tam giác OAB, OBC, OCA bằng√

3. Tính thể tích khối tứ diện OABC.

Bài 11.366 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a√

2, CD = 2a, S A⊥(ABCD), S A = 3a√

2. Gọi K là

trung điểm của AB. Chứng minh rằng (S AC)⊥(S KD) và tính thể tích khối chóp S .CDK.

Bài 11.367 : Cho hình hộp đứng ABCD.A′B′C′D′ có AB = AD = a, AA′ =a√

32

và ÔBAD = 60◦. Gọi M và N lầ lượt là trung điểm

A′D′ và A′B′. Chứng minh rằng AC′ vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích khối đa diện ABDMN.

Bài 11.368 : Cho hình lặng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có cạnh đáy bằng a. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A′C bằnga√

155

. Tính thể tích của khối lăng trụ.

Bài 11.369 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = a, CD = 2a. Cạnh bên S D vuông

góc với mặt phẳng (ABCD), S D = a√

3.

1. Tính thể tích khối chóp S .ABCD theo a.

2. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (S BC).

Bài 11.370 : Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, ÔACB = 60◦, đường chéo BC′ của mặt bên

BB′C′C tạo với mặt bên (AA′C′C) một góc 30◦.



WWW.VNMATH.COM


1. Tính thể tích khối tứ diện C′ABC.

2. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ.

Bài 11.371 : Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (C ) tâm O đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại O lấy

điểm S sao cho OS = R√

3. I là điểm thuộc đoạn OS với S I =2R√

3. M là một điểm thuộc (C ) (M không trùng với A và B). H là hình

chiếu của I trên S M. Tìm vị trí của M trên (C ) để tứ diện ABHM có thể tích lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.

Bài 11.372 : Cho hình chóp S .ABC có đáy là tam giác nhọn và cân ở A, có AB = AC = a; bB = bC = α. Các cạnh bên S A, S B, S C cùng

tạo với đáy một góc β (0◦ < β < 90◦). Tính thể tích khối chóp S .ABC.

Bài 11.373 : Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có AA′ = a√

2 và A′B⊥B′C. Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Chứng minh

rằng A′B⊥B′M. Tính thể tích khối chóp A′.ABC.

Bài 11.374 : Cho hình chóp S .ABCD có S A = x và tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng a. Chứng minh rằng BD⊥(S AC). Tìm x

theo a thể thể tích khối chóp S .ABCD bằnga3√

26

.

Bài 11.375 : Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông với AB = BC = a, cạnh bên AA′ = a√

2. M là điểm trên

AA′ sao cho−−→AM =

13−−→AA′. Tính thể tích khối tứ diện MA′BC′.

Bài 11.376 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a và−−→S A.−−→S B =

−−→S B.−−→S C =

−−→S C.−−→S A =

a2

2. Tính thể tích khối

chóp S .ABC theo a.

Bài 11.377 : Trong không gian cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với

mặt phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho mặt phẳng (S BC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 60◦. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ

diện S ABC.

Bài 11.378 : Cho hình chóp S .ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, mặt bên (S BC) vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại tạo với

đáy một góc α. Tính thể tích khối chóp S .ABC.

Bài 11.379 : Hình chóp tứ giác đều S .ABCD có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (S BC) bằng 2. Với giá trị nào của góc α giữa mặt

bên và mặt đáy của chóp thì thể tích của chóp nhỏ nhất?

Bài 11.380 : Co lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác vuông cân với AB = AC = a, cạnh bên AA′ = a√

2. M là trung điểm

của A′B′. Dựng và tính diện tích của thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với BC′.

Bài 11.381 : Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, BC,CD đôi một vuông góc với nhau và AB = BC = CD = a. Gọi C′,D′ lần lượt là

hình chiếu vuông góc của B trên AC và AD. Tính thể tích tứ diện ABC′D′.

Bài 11.382 : Cho hình chóp S .ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại đỉnh B, BA = BC = 2a, hình chiếu vuông góc của S trên

mặt phẳng đáy (ABC) là trung điểm E của AB và S E = 2a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của EC, S C; M là điểm di động trên tia đối

của tia BA sao cho góc ÕECM = α (0◦ < α < 90◦) và H là hình chiếu vuông góc của S trên MC. Tính thể tích của khối tứ diện EHIJ

theo a, α và tìm α để thể tích đó lớn nhất.

Bài 11.383 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S A = a√

3 và S A vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối

tứ diện S ACD và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng S B và AC.

Bài 11.384 : Cho tứ diện ABCD và các điểm M,N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, BD, AC sao cho BC = 4BM, BD = 2BN, AC = 3AP.

Mặt phẳng (MNP) cắt AD tại Q. Tính tỉ sốAQAD

và tỉ số thể tích hai phần của khối tứ diện ABCD được phân chia bởi mặt phẳng (MNP).

Bài 11.385 : Cho hình chóp S .ABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vuông, S A = S B = S C = a. Gọi N,M, E lần lượt là trung điểm

của các cạnh AB, AC, BC ; D là điểm đối xứng của S qua E ; I là giao điểm của đường thẳng AD với mặt phẳng (S MN). Chứng minh

rằng AD vuông góc với S I và tính theo a thể tích của khối tứ diện MBS I.

Bài 11.386 : Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a, các mặt ACD và BCD vuông góc với nhau. Hãy

tính theo a thể tích khối tứ diện ABCD và tính số đo của góc giữa hai đường thẳng AD, BC.

Bài 11.387 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D có cạnh bằng a. K là giao điểm của AC′ và mặt phẳng (A′BD). Tính thể tích tứ

diện KCC′D′ và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (KC′D′).



WWW.VNMATH.COM

Chương 12

Mặt cầu và khối tròn xoay

12.1 Mặt cầu, khối cầu

�Điều kiện cần và đủ để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của hình chóp có đường tròn ngoại tiếp; điều kiện cần và đủ để một

hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp là hình lăng trụ đó phải là một hình lăng trụ đứng và có đáy là một đa giác có đường tròn ngoại tiếp.

Phương pháp chung để xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp và khối lăng trụ là :

(i) Xác định tâm (đường tròn ngoại tiếp) của đa giác đáy.

(ii) Xác định trục của đáy (là đường thẳng qua tâm đáy và vuông góc với đáy).

(iii) Xác định mặt trung trực của một cạnh bên. Mặt trung trực này cắt trục của đáy tại đâu thì đó là tâm của mặt cầu ngoại tiếp.

Chú ý :

1. Nếu có một cạnh bên nào đó vuông góc với đáy (tổng quát là đồng phẳng với trục của đáy), ta thay việc dựng mặt phẳng trung

trực bởi dựng đường trung trực của cạnh bên này trong mặt phẳng tạo bởi đường trung trực và trục của đáy.

2. Tâm mặt cầu ngoại tiếp cũng có thể xác định là giao của trục của đa giác đáy và trục của một mặt bên.

Bài 12.1 : Cho tam giác cân ABC có ÔBAC = 120◦ và đường cao AH = a√

2. Trên đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại

A lấy hai điểm I và J ở về hai phía của điểm A sao cho IBC là tam giác đều và JBC là tam giác vuông cân.

1. Tính theo a độ dài các cạnh của tam giác ABC.

2. Tính theo a độ dài AI, AJ.

3. Chứng minh rằng BIJ,CIJ là các tam giác vuông.

4. Xác định tâm và tính theo a bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện IJBC.

5. Xác định tâm và tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện IABC.

Bài 12.2 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình chữ nhật và S A vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi B′,C′,D′ lần lượt là hình chiếu

vuông góc của A trên S B, S C, S D. Chứng minh rằng

1. Các điểm A, B′,C′,D′ đồng phẳng.

2. Bảy điểm A, B,C,D, B′,C′,D′ nằm trên một mặt cầu.

3. Hình chóp S .ABCD nội tiếp một mặt cầu.

239


WWW.VNMATH.COM

WWW.VNMATH.COM

Chương 12

Mặt cầu và khối tròn xoay

12.1 Mặt cầu, khối cầu

�Điều kiện cần và đủ để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của hình chóp có đường tròn ngoại tiếp; điều kiện cần và đủ để một

hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp là hình lăng trụ đó phải là một hình lăng trụ đứng và có đáy là một đa giác có đường tròn ngoại tiếp.

Phương pháp chung để xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp và khối lăng trụ là :

(i) Xác định tâm (đường tròn ngoại tiếp) của đa giác đáy.

(ii) Xác định trục của đáy (là đường thẳng qua tâm đáy và vuông góc với đáy).

(iii) Xác định mặt trung trực của một cạnh bên. Mặt trung trực này cắt trục của đáy tại đâu thì đó là tâm của mặt cầu ngoại tiếp.

Chú ý :

1. Nếu có một cạnh bên nào đó vuông góc với đáy (tổng quát là đồng phẳng với trục của đáy), ta thay việc dựng mặt phẳng trung

trực bởi dựng đường trung trực của cạnh bên này trong mặt phẳng tạo bởi đường trung trực và trục của đáy.

2. Tâm mặt cầu ngoại tiếp cũng có thể xác định là giao của trục của đa giác đáy và trục của một mặt bên.

Bài 12.1 : Cho tam giác cân ABC có ÔBAC = 120◦ và đường cao AH = a√

2. Trên đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại

A lấy hai điểm I và J ở về hai phía của điểm A sao cho IBC là tam giác đều và JBC là tam giác vuông cân.

1. Tính theo a độ dài các cạnh của tam giác ABC.

2. Tính theo a độ dài AI, AJ.

3. Chứng minh rằng BIJ,CIJ là các tam giác vuông.

4. Xác định tâm và tính theo a bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện IJBC.

5. Xác định tâm và tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện IABC.

Bài 12.2 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình chữ nhật và S A vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi B′,C′,D′ lần lượt là hình chiếu

vuông góc của A trên S B, S C, S D. Chứng minh rằng

1. Các điểm A, B′,C′,D′ đồng phẳng.

2. Bảy điểm A, B,C,D, B′,C′,D′ nằm trên một mặt cầu.

3. Hình chóp S .ABCD nội tiếp một mặt cầu.

239

WWW.VNMATH.COM


Bài 12.3 : Cho tam giác ABC vuông tại C. Đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A. Điểm S thay đổi trên ∆ (S khác A).

Hạ AD⊥S C và AE⊥S B. Chứng minh rằng

1. Các điểm A, B,C,D, E thuộc cùng một mặt cầu.

2. Bốn điểm B,C,D, E cùng một đường tròn.

Bài 12.4 : Cho hình chóp tam giác đều S .ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, mặt bên tạo với đáy góc ϕ. Tính bán kính của mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp.

Bài 12.5 : Cho tứ diện ABCD có bán kính mặt cầu nội tiếp r. Gọi S tp là tổng diện tích các mặt của tứ diện; hA, hB, hC, hD lần lượt là

độ dài đường cao xuất phát từ A, B,C,D của tứ diện. Chứng minh rằng

1. VABCD =13

r.S tp.

2.1r=

1hA+

1hB+

1hC+

1hD

.

Bài 12.6 : Cho hình chóp đều S .ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của S B và S D. Biết AM⊥CN. Tính

bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S .ABCD.

Bài 12.7 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A vuông góc với đáy, cạnh bên S B = a√

3.

1. Tính thể tích khối chóp S .ABCD.

2. Chứng minh rằng trung điểm của cạnh S C là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S .ABCD.

Bài 12.8 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là nửa lục giác đều, AB = 2a, BC = CD = DA = a, S A vuông góc với đáy, S A = h. Mặt

phẳng qua A vuông góc với S B, cắt S B, S C, S D lần lượt tại B′,C′,D′.

1. Chứng minh rằng tứ giác A, B′,C′,D′ nội tiếp một đường tròn.

2. Chứng minh rằng các điểm A, B,C,D, B′,C′,D′ thuộc cùng một mặt cầu.

3. Tính thể tích khối chóp S .AB′C′D′.

4. Tính diện tích tứ giác AB′C′D′.

Bài 12.9 : Cho tứ diện ABCD có AB = CD = c, AD = BC = a, AC = BD = b. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

Bài 12.10 : Cho tứ diện OABC vuông tại O, OA = a, OB = b, OC = c. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

Bài 12.11 : Cho tứ diện OABC vuông tại O. Gọi R, r, h lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp, chiều cao kẻ từ O của tứ diện.

Chứng minh rằng

1.hr≤ 1+

√3. 2.

Rr≥ 3+ 3

√3

2.

Bài 12.12 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, S A vuông góc với đáy, S C tạo với đáy góc 45◦ và tạo với mặt

phẳng (S AB) góc 30◦. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bài 12.13 : Cho tam giác đều ABC. Đường thẳng∆ vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A. Điểm M thay đổi trên∆. Kẻ BE⊥AC, BF⊥MC

(E ∈ AC, F ∈ MC). Đường thẳng EF cắt đường thẳng ∆ tại N. Chứng minh rằng

1. AM.AN không đổi.

2. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MNBC có tâm thuộc đường thẳng cố định.

Bài 12.14 : 1. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a. Hãy xác định tâm và tính bán kính mặt cầu (tính theo a)

trong các trường hợp sau :

(a) Mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình lập phương ;

(b) Mặt cầu tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương ;

(c) Mặt cầu tiếp xúc với 6 mặt bên của hình lập phương.



WWW.VNMATH.COM


2. Chứng minh rằng : có vô số mặt cầu đi qua hai điểm cố định A và B cho trước. Hãy tìm tập hợp tâm các mặt cầu đó.

Bài 12.15 : 1. Cho hai đường tròn C1 và C2 có tâm O1 và O2. Hai đường tròn này nằm trong hai mặt phẳng khác nhau và có chung

nhau dây cung AB. Chứng minh rằng có duy nhất một mặt cầu đi qua cả hai đường tròn C1 và C2.

2. Cho đường thẳng a cố định và một điểm M cố định không thuộc đường thẳng a. Gọi O là một điểm di động trên đường thẳng a.

Vẽ mặt cầu (S ) có tâm O và bán kính R = OM. Chứng minh rằng : mặt cầu (S ) luôn luôn đi qua một đường tròn cố định.

Bài 12.16 : 1. Cho mặt cầu S (O; R) và một điểm A sao cho OA = 2R. Qua A kẻ một tiếp tuyến tới mặt cầu (và giả sử B là tiếp

điểm) và kẻ một cát tuyến cắt mặt cầu tại C và D, biết : CD = R√

3.

(a) Tính độ dài AB theo R ;

(b) Tính khoảng cách từ O tới đường thẳng CD.

2. Cho mặt cầu S (O; R) và một điểm A thuộc mặt cầu này. Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A sao cho góc giữa đường thẳng OA và

mặt phẳng (Q) là 30◦.

(a) Tính diện tích thiết diện (theo R) của mặt cầu với mặt phẳng (Q).

(b) Kẻ đường thẳng ∆ đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (Q). Đường thẳng ∆ cắt mặt cầu tại B. Tính độ dài cạnh AB theo

R.

Bài 12.17 : 1. Cho mặt cầu S (O; R) tiếp xúc với mặt phẳng (Q) tại điểm I. Gọi M là điểm thuộc mặt cầu này. Từ M kẻ hai

tiếp tuyến với mặt cầu S (O; R) sao cho hai tiếp tuyến này cắt mặt phẳng (Q) tại A và B. Biết MA⊥MB. Chứng minh rằng :

AB2= IA2

+ IB2.

2. Cho mặt phẳng (Q) và hai điểm A và B cố định nằm về một phía của mặt phẳng (Q) sao cho đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Q)

tại điểm I. Gọi mặt cầu S (O; R) là mặt cầu thay đổi nhưng luôn đi qua A và B đồng thời tiếp xúc với mặt phẳng (Q). Gọi M là

tiếp điểm của mặt cầu S (O; R) với mặt phẳng (Q). Chứng minh rằng : điểm M di động trên một đường tròn cố định C nào đó.

Bài 12.18 : 1. Cho hình chóp tam giác đều S .ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b. Hãy xác định tâm và tính bán kính của

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó theo a và b.

2. Cho ba đoạn thẳng S A, S B, S C đôi một vuông góc với nhau tạo thành một tứ diện S ABC, với S A = a, S B = b, S C = c. Xác

định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó theo a, b, c.

Bài 12.19 : Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có 9 cạnh đều bằng a.

1. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngaoij tiếp hình lăng trụ đã cho ;

2. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu nói trên (tính theo a).

Bài 12.20 : Cho hình chóp S .ABC có S A = S B = S C = a và có chiều cao bằng h. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp

hình chóp đó (tính theo a và h). Tính diện tích của mặt cầu đó.

Bài 12.21 : Trong mặt phẳng (Q) cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Lấy một điểm S thuộc đường thẳng Ax vuông góc với (Q).

Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với S C. Mặt phẳng (P) cắt S B, S C, S D lần lượt tại M,N, E.

1. Chứng minh rằng : bảy điểm A, B,C,D,M,N, E là cùng thuộc một mặt cầu.

2. Tính diện tích của mặt cầu đó theo a và thể tích của khối cầu đó.

Bài 12.22 : Cho tứ diện S ABC có S A⊥(ABC) và S A = a, S B = b, S C = c. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

đã cho trong các trường hợp sau :

1. có ÔBAC = 90◦ ; 2. có ÔBAC = 60◦ và b = c ; 3. có ÔBAC = 120◦ và b = c.

Bài 12.23 : Cho mặt cầu S (O; R) và mặt phẳng (Q) cách tâm O một khoảng bằng h (0 < h < R). Mặt phẳng cắt mặt cầu (Q) theo

đường tròn C . Vẽ đường thẳng d đi qua điểm A cố định thuộc đường tròn C và d⊥(Q). Đường thẳng d cắt mặt cầu S (O; R) tại B. Gọi

CD là đường kính di động của đường tròn C .

1. Chứng minh rằng : AD2+ BC2 và AC2

+ BD2 là không đổi.



WWW.VNMATH.COM


2. Tìm vị trí của đường kính CD để diện tích tam giác BCD là lớn nhất.

3. Kẻ BH⊥CD với H ∈ CD. Tìm tập hợp điểm H khi CD di động.

Bài 12.24 : Cho hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a và có đường cao AH. Gọi O là trung điểm của AH. Xác định tâm và tính bán

kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD.

Bài 12.25 : Cho hình chóp S .ABCD có S A = a là chiều cao của hình chóp và đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, có

AB = BC = a và AD = 2a. Gọi E là trung điểm của cạnh AD. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S .CDE.

Bài 12.26 : Cho hình cầu đường kính AA′ = 2R. Gọi H là điểm trên đoạn AA′ sao cho AH =4R3

, mặt phẳng (Q) đi qua H và vuông

góc với AA′ cắt hình cầu theo đường tròn C .

1. Tính diện tích đường tròn C ;

2. Giả sử tam giác BCD là tam giác đều nội tiếp đường tròn C . Hãy tính thể tích hình tứ diện ABCD và A′BCD theo R.

Bài 12.27 : 1. Chứng minh rằng : Nếu tứ diện ABCD có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của nó thì tứ diện đó có tổng các cặp

cạnh đối diện là bằng nhau.

2. Cho hình chóp tam giác đều S .ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a√

2. Một mặt cầu đi qua đỉnh A và tiếp xúc với hai

cạnh S B, S C tại E và F là trung điểm của mỗi cạnh.

(a) Chứng minh rằng : mặt cầu đó đi qua M và N là trung điểm của AB và AC.

(b) Gọi giao điểm thứ hai của mặt cầu với đường thẳng S A là D. Tính độ dài của AD và S D.

Bài 12.28 : Cho tứ diện ABCD có AB = BC = CA = BD = a, AD = b và mặt phẳng (ACD)⊥(BCD).

1. Chứng minh rằng : ACD là tam giác vuông ;

2. Tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ;

3. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Bài 12.29 : Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Vẽ đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi S là một điểm

bất kì trên d với S . A.

1. Tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S ABC ;

2. Cho S A = h cho trước. Hãy tính diện tích và thể tích của hình cầu ngoại tiếp tứ diện S ABC ;

3. Gọi A′ là điểm đối xúng của A qua tâm mặt cầu nói trên. Chứng minh rằng : khi S thay đổi trên đường thẳng d thì A′ luôn thuộc

một đường thẳng cố định.

Bài 12.30 : Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua cạnh BC và (P)⊥(ABC). Gọi (C ) là đường tròn đường kính

BC và đường tròn này nằm trong mặt phẳng (P). Gọi S là điểm di động trên đường tròn (C ). Chứng minh rằng :

1. Tổng T = S A2+ S B2

+ S C2 là một số không đổi ;

2. Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S ABC là một điểm cố định (nếu S . B và C).

Bài 12.31 : Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao S H =a2

.

1. Chứng minh rằng : tồn tại mặt cầu tâm H tiếp xúc với tất cả các mặt bên của hình chóp. Tính bán kính R của mặt cầu đó theo a.

2. Gọi (Q) là mặt phẳng song song với (ABCD) và khoảng cách giữa hai mặt phẳng này là x, với 0 < x < R. Gọi S td là diện tích

thiết diện tạo bởi mặt phẳng (Q) với hình chóp nhưng nó bỏ đi phần nằm trong mặt cầu. Hãy xác định x để S td = πR2.

Bài 12.32 : Cho hình chóp S .ABCD với đáy ABCD là tứ giác có AC⊥BD tại H và S H là đường cao của hình chóp đã cho.

1. Chứng minh rằng : bốn tâm mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S .HAB, S .HBC, S .HCD, S .HDA là bốn điểm O1,O2,O3,O4 sẽ

tạo thành hình chữ nhật.



WWW.VNMATH.COM


2. Gọi M,N, E, F là hình chiếu của điểm H lần lượt trên AB, BC,CD,DA. Chứng minh rằng : hình chóp S .MNEF có mặt cầu

ngoại tiếp.

Tính diện tích thiết diện của mặt cầu ấy khi cắt bởi (ABCD), nếu biết ME = a,ÔBAC = α◦ và ÔBDC = β◦.

Bài 12.33 : Cho hình chóp S .ABC có S A⊥(ABC); AB = c, AC = b,ÔBAC = α◦. Gọi M,N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A

trênS B, S C. Chứng minh rằng : các điểm A, B,C,M,N cùng thuộc một mặt cầu và tính bán kính của mặt cầu đó theo b, c, α◦.

Bài 12.34 : Cho hai tia Ax, By chéo nhau và Ax⊥By. Biết AB là đoạn vuông góc chung của Ax và By. Lấy một điểm C thuộc tia Ax và

điểm D thuộc tia By.

1. Tìm tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a, b, c ở đó b = AC và c = BD.

2. Cho C và D di động trên Ax và By sao cho AC + BD = CD. Chứng minh rằng : đường thẳng CD luôn tiếp xúc với mặt cầu

đường kính AB.

Bài 12.35 : Cho trước mặt cầu tâm O bán kính R và một điểm A cố định thuộc mặt cầu. Ba tia At1, At2, At3 là ba tia thay đổi, đôi một

vuông góc với nhau và cắt mặt cầu tại các điểm B,C,D.

1. Chứng minh rằng : hình hộp dựng trên ba cạnh AB, AC, AD có một đường chéo cố định và mặt phẳng (BCD) luôn luôn đi qua

một điểm cố định.

2. Chứng minh rằng : hình chiếu H của điểm D trên đường thẳng BC luôn thuộc một mặt cầu cố định.

Bài 12.36 : Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R nằm trong mặt phẳng (P). Gọi C là điểm đối xứng với O qua A. Lấy điểm S sao

cho : S C⊥(P) và S C = 2R. Tính thể tích của khối cầu đi qua đường tròn đã cho và đi qua điểm S .

Bài 12.37 : Cho tam giác ABC vuông ở A có BC = 2a, ÔACB = 30◦. Xét hai tia Bx,Cy cùng hướng và vuông góc với mặt phẳng (ABC).

1. Hãy xác định vị trí của điểm E trên tia Bx sao cho mặt cầu đường kính BE tiếp xúc với Cy.

2. Hãy xác định vị trí điểm F thuộc tia Cy sao cho mặt cầu đường kính tiếp xúc với Bx.

3. Với các điểm E, F tìm được ở trên, hỏi đa diện ABCFE có mặt cầu ngoại tiếp không ? Hãy tính thể tích của khối đa diện đó.

Bài 12.38 : Trong vô số các hình hộp nội tiếp một mặt cầu bán kính R cho trước. Hãy tìm hình hộp thỏa mãn một trong các tính chất

sau :

1. Thể tích của hình hộp đạt giá trị lớn nhất.

2. Tổng độ dài các cạnh của hình hộp đạt giá trị lớn nhất.

Bài 12.39 : 1. Trong vô số các hình chóp tam giác đều nội tiếp một mặt cầu bán kính R cho trước. Hãy tìm hình chóp chữ số thể

tích lớn nhất.

2. Hãy mở rộng bài toán cho hình chóp n-giác đều.

12.2 Mặt tròn xoay. Mặt trụ, hình trụ và khối trụ

Bài 12.40 : Cho trước mặt phẳng (P) có điểm cố định A thuộc mặt phẳng (P) và điểm cố định B < (P), ở đó hình chiếu vuông góc H

của điểm B lên mặt phẳng (P) là không trùng với A. Gọi M là một điểm di động trên mặt phẳng (P) sao cho ÕABM = ÕBMH. Chứng

minh rằng : điểm M luôn nằm trên một mặt trụ tròn xoay có trục là đường thẳng AB.

Bài 12.41 : Cho mặt trụ tròn xoay (T ) và một điểm S cố định nằm ngoài (T ). Gọi d là một đường thẳng thay đổi nhưng luôn đi qua

S và cắt mặt trụ (T ) tại A và B. Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh rằng : trung điểm I đó luôn luôn nằm trên một mặt trụ cố

định nào đó.

Bài 12.42 : Một khối trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao h = R√

3. Lấy điểm A thuộc đường tròn (O) và điểm B thuộc đường

tròn (O′) là hai đường tròn đáy của khối trụ đã cho, sao cho góc tạo bởi đường thẳng AB và trục của khối trụ là 30◦.

1. Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua AB và mặt phẳng (Q) song song với trục của khối trụ. Hãy tính diện tích thiết diện của mặt phẳng

(Q) với khối trụ (tính theo R).



WWW.VNMATH.COM


2. Tính góc giữa hai bán kính OA và O′B.

3. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB với trục của khối trụ.

Bài 12.43 : Một hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và tâm O′ và bán kính R. Chiều cao của hình trụ h = R√

2. Lấy điểm A

thuộc đường tròn (O) và điểm B thuộc đường tròn (O′) sao cho OA⊥O′B.

1. Chứng minh rằng : các mặt của tứ diện OABO′ là những tam giác vuông. Tính thể tích của tứ diện này theo R.

2. Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua AB và (Q) ∥ OO′. Tính khoảng cách giữa đường thẳng OO′ và mặt phẳng (Q) theo R.

3. Chứng minh rằng : (Q) tiếp xúc với mặt trụ (T ) có trục OO′, bán kính bằngR√

22

dọc theo một đường sinh.

Bài 12.44 : Cho một hình trụ có đáy là hai đường tròn (O) và (O′) có bán kính R = 50cm, chiều cao hình trụ là h = 50cm.

1. Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ được tạo nên.

2. Lấy điểm A thuộc đường tròn (O) và điểm B thuộc đường tròn (O′) là hai đường tròn đáy của hình trụ. Biết AB = 100cm. Tính

khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ.

Bài 12.45 : Cho hình chóp tam giác đều S .ABC có S A = a và góc giữa mặt bên và đáy là α◦. Gọi (T ) là hình trụ có đường tròn đáy

là đường tròn nội tiếp tam giác ABC và chiều cao của hình trụ là bằng chiều cao của hình chóp S .ABC. Tính diện tích xung quanh của

hình trụ (T ). Hỏi các mặt bên : S AB, S BC, S CA cắt hình trụ (T ) theo giao tuyến thế nào ?

Bài 12.46 : Cho một khối trụ có chiều cao bằng 20cm và bán kính đáy bằng 10cm. Kẻ hai bán kính OA và O′B lần lượt nằm trên hai

đáy của khối trụ sao cho góc giữa chúng bằng 30◦. Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua AB′ và (Q) song song với trục của khối trụ. Hãy tính

diện tích thiết diện giữa khối trụ và mặt phẳng (Q).

Bài 12.47 : Cho một khối trụ có bán kính bằng R và có thiết diện qua trục là một hình vuông.

1. Tính diện tích xung quanh của khối trụ đó theo R.

2. Vẽ hình trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ đã cho. Hãy tính thể tích của lăng trụ đó theo R.

3. Gọi V là thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nói trên và V ′ là thể tích của khối trụ. Hãy tính tỉ số :VV ′

.

Bài 12.48 : Một hình trụ có diện tích xung quanh là S , diện tích đáy bằng diện tích mặt cầu bán kính a. Hãy tính :

1. Thể tích của hình trụ đã cho theo a và S .

2. Diện tích thiết diện đi qua trục của hình trụ.

Bài 12.49 : Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục hình trụ là một hình vuông.

1. Tính thể tích và diện tích của hình cầu ngoại tiếp hình trụ theo R.

2. Một mặt phẳng (P) song song với trục của hình trụ, cắt đáy của hình trụ theo một dây cung có độ dài bằng bán kính đáy của

hình trụ. Tính diện tích các thiết diện của hình trụ đã cho và hình cầu ngoại tiếp hình trụ khi bị cắt bởi mặt phẳng (P) (tính theo

R).

Bài 12.50 : Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao OO′ = h. Gọi A và B là hai điểm thay đổi trên hai đường tròn (O) và

(O′) là hai đường tròn đáy sao cho AB = a không đổi (h < a <√

h2 + 4R2).

1. Chứng minh rằng : Góc giữa hai đường thẳng AB và OO′ là không đổi.

2. Chứng minh rằng : Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OO′ là không đổi.

Bài 12.51 : Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R, có trục OO′ = h. Một mặt phẳng (P) thay đổi đi qua tâm O, tạo với đáy hình trụ góc

α◦ cho trước và cắt hai đáy hình trụ theo các dây cung AB và CD (dây AB đi qua O).

1. Tính diện tích tứ giác ABCD theo R và h.

2. Chứng minh rằng : hình chiếu vuông góc K của điểm O′ lên mặt phẳng (P) luôn luôn thuộc một đường tròn cố định.



WWW.VNMATH.COM


Bài 12.52 : Cho hình lăng trụ lục giác đều ABCDEF.A′B′C′D′E′F′ có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính theo a và h diện

tích :

1. xung quanh và thể tích hình trụ ngoại tiếp lăng trụ đó.

2. toàn phần và thể tích hình trụ nội tiếp hình lăng trụ đã cho.

Bài 12.53 : Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD là hình thang cân với đáy nhỏ AB = a, đáy lớn CD = 4a, hai cạnh

bên bằng5a2

, chiều cao lăng trụ bằng h.

1. Chứng minh rằng : tồn tại một hình trụ nội tiếp hình lăng trụ đã cho.

2. Tính diện tích toàn phần và thể tích hình lăng trụ đó theo a và h.

Bài 12.54 : Cho hình trụ có trục O1O2. Một mặt phẳng (α) ∥ O1O2 cắt hình trụ theo thiết diện là một hình chũ nhật ABCD. Gọi O là

tâm của thiết diện đó. Biết bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD là bán kính đường tròn đáy của hình trụ đã cho. Hãy

tính góc ÖO1OO2.

Bài 12.55 : Cho một hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông, diện tích xung quanh bằng 4π.

1. Tính diện tích toàn phần của hình trụ ;

2. Tính thể tích của khối trụ ;

3. Tính thể tích của khối lăng trụ n-giác đều nội tiếp hình trụ ;

4. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình trụ ;

5. Một mặt phẳng (α) song song với trục của hình trụ và cắt hình trụ đó theo thiết diện ABB1A1. Biết một cạnh của thiết diện là

một dây cung của đường tròn đáy và chắn một cung tròn 120◦. Hãy tính diện tích thiết diện đó.

Bài 12.56 : Xét nột hình trụ nội tiếp một mặt cầu tâm O có bán kính R cho trước. Biết rằng diện tích thiết diện qua trục của hình trụ

này là lớn nhất (so với các hình trụ khác cùng nội tiếp mặt cầu đã cho).

1. Tính thể tích V và diện tích toàn phần S tp của hình trụ đã cho theo R.

2. Tính thể tích của lăng trụ n-giác đều ngoại tiếp hình trụ đã cho.

3. Tính diện tích thiết diện của hình trụ khi cắt bởi một mặt phẳng song song với trục hình trụ và cách trục một khoảng bằngR2

.

Bài 12.57 : Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 nội tiếp trong một hình trụ cho trước, góc giữa đường thẳng B1D và (ABB1A1) là 30◦.

Khoảng cách từ trục hình trụ đến mặt phẳng (ABB1A1) là3a2

. Tính thể tích hình hộp đã cho và thể tích hình cầu ngoại tiếp hình hộp,

biết đường chéo của đáy hình hộp là 5a.

Bài 12.58 : Cho hai điểm A, B cố định. Gọi d là một đường thẳng di động luôn luôn đi qua A và d luôn cách điểm B một khoảng bằng

BH = a =AB2

. Chứng minh rằng : đường thẳng d luôn luôn nằm trên một mặt nón tròn xoay.

Bài 12.59 : Cho khối nón tròn xoay có đường cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm. Một mặt phẳng (P) đi qua đỉnh của khối nón và

có khoảng cách tới tâm O của đáy là 12cm. Hãy xác định thiết diện của mặt phẳng (P) với khối nón đã cho và tính diện tích thiết diện

đó.

Bài 12.60 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a. Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Hãy tính diện tích xung quanh

và thể tích của khối nón N có đỉnh là tâm O và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông A′B′C′D′.

Bài 12.61 : Cho một hình nón N có đỉnh là điểm D, có O là tâm đường tròn đáy, có độ dài đường sinh bằng l và có góc giữa đường

sinh với mặt đáy bằng α◦.

1. Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón N theo l và α◦.

2. Gọi I là một điểm trên đường cao DO của hình nón sao choDIDO= k. Tính diện tích thiết diện của hình nón với mặt phẳng (Q)

đi qua I và vuông góc với trục hình nón (tính theo l, α◦, k).

Bài 12.62 : Cho một hình nón N có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh bằng a.



WWW.VNMATH.COM


1. Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình nón N đã cho (tính theo a).

2. Một mặt phẳng (Q) đi qua đỉnh của hình nón và tạo với mặt phẳng đáy góc 60◦. Tính diện tích thiết diện được tạo nên bởi hình

nón N và mặt phẳng (Q).

Bài 12.63 : Cho hình chóp tam giác đều S .ABC có các cạnh bên bằng a và có góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng α◦. Vẽ hình nón N

có đỉnh S và có đường tròn đáy nội tiếp tam giác đều ABC - gọi là hình nón nội tiếp hình chóp đã cho. Hãy tính diện tích xung quanh

của hình nón N theo a và α◦.

Bài 12.64 : Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có chiều cao S O = h và ÔS AB = α◦ (α > 45◦). Vẽ hình nón N có đỉnh S và có đường

tròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD. Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón N đó theo h và α◦.

Bài 12.65 : Cho khối nón N có bán kính đáy R = 12cm và có góc ở đỉnh bằng 120◦. Hãy tính diện tích của thiết diện đi qua hai

đường sinh vuông góc với nhau.

Bài 12.66 : Cho hình nón N có bán kính đáy bằng R, đường cao S O. Một mặt phẳng (P) cố định vuông góc với S O tại A, cắt hình

nón N theo đường tròn có bán kính bằng R1. Gọi mặt phẳng (Q) là mặt phẳng thay đổi và vuông góc với S O tại B (điểm B nằm giữa

O và A). Mặt phẳng (Q) cắt hình nón theo thiết diện là một đường tròn có bán kính bằng x.

Hãy tính x theo R và R1 nếu biết mặt phẳng (Q) chia khối tròn xoay trong hình nón nằm giữa (P) và đay hình nón thành hai phần

có thể tích bằng nhau.

Bài 12.67 : Cho hình nón N có bán kính đáy bằng R, góc giữa đường sinh và đáy của hình nón bằng α◦. Một mặt phẳng (P) song

song với đáy hình nón và cách đáy hình nón một khoảng bằng h, và cắt hình nón N theo một đường tròn (C ).

1. Tính bán kính của đường tròn (C ) theo R, h, α◦ ;

2. Tính diện tích và thiết diện phần hình nón nằm giữa đáy hình nón N và mặt phẳng (P).

Bài 12.68 : Cho hình nón N có bán kính đáy bằng R, đường cao S O. Lấy một điểm A thuộc đường cao S O sao cho S A =13

S O. Gọi

(P) là mặt phẳng vuông góc với S O tại A. Một mặt phẳng (Q) qua trục hình nón cắt khối tròn xoay nằm trong khối nón N - khối đó

nằm giữa mặt phẳng (P) và đáy hình nón - theo thiết diện là hình tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau. Hãy tính thể tích khối

tròn xoay của khối nón N nằm giữa (P) và mặt phẳng chứa đáy hình nón (tính theo R).

Bài 12.69 : Cho hình chóp S , ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, có bB = 60◦. Biết rằng có một hình nón nội tiếp hình chóp đã

cho với bán kính đáy là r, góc giữa đường sinh và đáy hình nón là β◦.

1. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón theo r và β◦ ;

2. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình chóp theo r và β◦.

Bài 12.70 : Gọi (C ) là đường tròn chứa các điểm tiếp xúc của mặt xung quanh hình nón với mặt cầu nội tiếp hình nón đó. Đường tròn

(C ) chia mặt xung quanh của hình nón thành hai phần. Hãy tính tỉ số diện tích của hai phần đó, biết diện tích hình cầu bằng diện tích

đáy hình nón.

Bài 12.71 : Cho hình nón N có bán kính đáy R và chiều cao bằng 4R.

1. Tính diện tích toàn phần của hình trụ nội tiếp hình nón, biết bán kính đáy hình trụ bằng r - tính theo R và r (Hình trụ được gọi

là nội tiếp hình nón nếu có một đường tròn đáy của hình trụ nằm trên mặt xung quanh của hình nón và đáy còn lại của hình trụ

nằm trong mặt đáy của hình nón).

2. Tính bán kính đáy r và chiều cao h của hình trụ nội tiếp hình nón theo R để diện tích toàn phần của hình trụ đạt giá trị lớn nhất.

Bài 12.72 : 1. Tìm hình nón có thể tích lớn nhất sao cho hình nón đó phải nội tiếp một mặt cầu bán kính R cho trước.

2. Tìm hình nón có thể tích nhỏ nhất sao cho hình nón đó phải ngoại tiếp một mặt cầu bán kính r cho trước.

Bài 12.73 : Tìm hình tròn có thể tích lớn nhất biết diện tích toàn phần của nó bằng diện tích hình tròn có bán kính bằng a cho trước.

Bài 12.74 : Đường cao của hình nón gấp hai lần bán kính đáy của nó. Tính tỉ số thể tích của hình cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình nón

đó.

Bài 12.75 : Trong tất cả các hình nón nội tiếp hình cầu bán kính R cho trước, tìm hình nón có diện tích xung quanh lớn nhất. Với hình

nón ấy, xét hình trụ nội tiếp hình nón. Tìm chiều cao của hình trụ đó, biết thiết diện qua trục hình trụ là hình vuông.



WWW.VNMATH.COM


Bài 12.76 : Một mặt phẳng (Q) đi qua hai đường sinh của hình nón, cắt mặt đáy của hình nón theo một dây cung có độ dài gấp k lần

đường cao hình nón. Gọi α◦ là góc giữa mặt phẳng (Q) và mặt đáy của hình nón. Biết α =12

góc tạo bởi hai đường sinh của hình nón

mà hai đường sinh đó nằm trong (Q). Hãy tính cosα theo k.

Bài 12.77 : Cho hình nón N có đỉnh S , đường cao S O. Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng

cách từ điểm O tới AB là bằng a. Biết ÔS AO = 30◦ và ÔS AB = 60◦. Tính diện tích xung quanh của hình nón N theo a.

Bài 12.78 : Cho hai điểm cố định A và B, ở đó AB = a. Với mỗi điểm C trong không gian sao cho tam giác ABC đều, kí hiệu AE là

đường cao của tam giác ABC và d là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Trong mặt phẳng chứa d và AE, xét đường tròn

đường kính AE. Gọi S là một giao điểm của đường tròn này và đường thẳng d.

1. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón ngoại tiếp hình chóp S .ABC (tính theo a).

2. Chứng minh rằng : khi điểm C thay đổi thì điểm S luôn thuộc một đường tròn cố định và mỗi đường thẳng S A, S B luôn thuộc

một mặt nón cố định.



WWW.VNMATH.COM

WWW.VNMATH.COM




WWW.VNMATH.COM

Chương 13

Phương pháp không gian toạ độ trong không gian

13.1 Hệ toạ độ trong không gian

Vấn đề 1 : Tìm tọa độ của một vectơ và các yếu tố liên quan đến vectơ thỏa mãn một số điều kiện cho trước

�Sử dụng các định nghĩa có tính liên quan đến vectơ : tọa độ của vectơ, độ dài của vectơ, tổng (hiệu) của hai vectơ, tọa độ trung điểm,

tọa độ trọng tâm, . . .

Bài 13.1 : Viết toạ độ của các vectơ sau đây :

−→a = 4−→j ;−→b = −−→i + 2

−→j ;−→c = 3

−→i + 2

−→j − −→k .

Bài 13.2 : Cho các vectơ −→a = (−3; 1; 2),−→b = (1; 3; 4),−→c = (−3; 2; 0).

1. Hãy xác định toạ độ các vectơ 3−→a , 3−→a − 2−→b ,−→a − 3

−→b + 2−→c .

2. Hãy biểu diễn vectơ−→d = (−1; 0; 2)theo ba vectơ −→a ,−→b ,−→c .

Bài 13.3 : Cho hai vectơ −→a và−→b tạo với nhau một góc 120◦. Tìm |−→a + −→b | và |−→a − −→b | biết |−→a | = 3, |−→b | = 5.

Bài 13.4 : Cho vectơ −→a = (1;−3; 4).

1. Tìm y0 và z0 để cho vectơ−→b = (2;y0; z0) cùng phương với −→a .

2. Tìm tọa độ của vectơ −→c biết rằng −→a và −→c ngược hướng và |−→c | = 2|−→a |.

Bài 13.5 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′, biết A(1; 0; 1), B(2; 1; 2),D(1;−1; 1),C′(4; 5;−5). Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình

hộp.

Bài 13.6 : Trong không gian Oxyz, xét hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′, cạnh đáy bằng a, cạnh bên AA′ = 2a, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0),

D(0;a; 0), A′(0; 0; 2a).

1. Xác định toạ độ các đỉnh còn lại.

2. Xác định toạ độ−−−→DB′.

3. Xác định toạ độ trung điểm M của đoạn BA′.

4. Xác định toạ độ trọng tâm tam giác B′CD.

Vấn đề 2 : Ứng dụng của tích vô hướng và tích có hướng

�1. Sử dụng các công thức

249


WWW.VNMATH.COM


• S ∆ABC =12

��[−−→AB,−−→AC]

�� ;

• V h.hộp ABCD.A′B′C′D′ =

��[−−→AB,−−→AD].−−→AA′�� ;

• VABCD =16

��[−−→AB,−−→AC].−−→AD�� ;

• d(AB,CD) =

��[−−→AB,−−→CD].

−−→AC��[−−→AB,

−−→CD]

�� ;

• d(M, AB) =|[−−→MA,

−−→MB]|

|−−→AB|=|[−−→MA,

−−→AB]|

|−−→AB|;

• cos(−→u ,−→v ) =−→u .−→v|−→u |.|−→v |

;

• sin(−→u ,−→v ) =

��[−→u ,−→v ]��

|−→u |.|−→v |;

• cosA = cos(−−→AB,−−→AC) ;

• cos(AB,CD) =��cos(−−→AB,−−→CD)

��.2. Hai vectơ −→u và −→v cùng phương khi và chỉ khi [−→u ,−→v ] =

−→0 (tương đương với tọa độ tương ứng tỉ lệ).

3. Ba điểm A, B,C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ−−→AB và

−−→AC cùng phương.

4. −→u⊥−→v khi và chỉ khi −→u .−→v = 0.

5. Bốn điểm A, B,C,D đồng phẳng khi và chỉ khi [−−→AB,−−→AC].−−→AD = 0.

Bài 13.7 : Cho vectơ −→a = (2; 4; 0),−→b = (−3; 2; 1),−→c = (1; 2− 1).

1. Tính cosin của các góc sau : (−→a ,−→b ), (−→b ,−→c ), (−→c ,−→a ).

2. Tính các tích vô hướng −→a .−→b ,−→b .−→c ,−→c .−→a .

3. Tìm toạ độ của vectơ −→v sao cho −→v⊥−→a ,−→v⊥−→b và |−→v | = |−→c |.

Bài 13.8 : Cho ba điểm A(2; 3; 1), B(1; 1; 3),C(−2; 4; 1).

1. Chứng minh rằng ba điểm A, B,C tạo thành một tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm của tam giác ABC.

2. Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

3. Tìm điểm E trên mặt phẳng (Oxy) sao cho ABCE là hình thang với hai đáy là AB và CE.

Bài 13.9 : Cho tam giác ABC với A(1; 2;−1), B(2;−1; 3),C(−4; 7; 5).

1. Tìm điểm D sao cho tam giác ABD nhận C làm trọng tâm.

2. Tìm độ dài đường phân giác trong của tam giác ABC vẽ từ B.

Bài 13.10 : Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có điểm C(−2; 2; 2)và trọng tâm G(−1; 1; 2).

1. Tìm toạ độ các đỉnh A, B của tam giác ABC biết A nằm trên mặt phẳng (Oxy) và B thuộc Oz.

2. Gọi H là trung điểm BC, E là điểm đối xứng của H qua A. Tìm toạ độ điểm K trên đường thẳng AC để B, E,K thẳng hàng.

Bài 13.11 : Cho tam giác ABC có A(2; 0; 1), B(1;−1; 2),C(2; 3; 1).

1. Chứng minh tam giác ABC có bA là góc tù.

2. Tính chu vi tam giác ABC.

3. Tìm điểm M trên Oy sao cho tam giác MBC vuông tại M.

Bài 13.12 : Cho tam giác ABC có A(2; 3; 1), B(0;−1; 2),C(1; 0; 3).

1. Tìm toạ độ chân đường cao H hạ từ đỉnh A của tam giác ABC.

2. Tìm toạ độ giao điểm D của đường thẳng AH với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài 13.13 : Cho hai điểm A(3; 0;−1), B(1; 3;−2),C(3;−4; 1).

1. Tìm điểm M trên trục Ox sao cho MA = MB.



WWW.VNMATH.COM


2. Tìm điểm N trên mặt phẳng (Oyz) sao cho NA = NB = NC.

3. Tìm điểm P trên mặt phẳng Oxy sao cho |−−→PA +−−→PB +

−−→PC| đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 13.14 : Tìm tọa độ điểm M trong mỗi trường hợp sau đây

1. M trên trục Oy và cách đều hai điểm A(3; 1;−4), B(−2; 3; 0).

2. M trên mặt phẳng (Oxz) và cách đều ba điểm A(3; 1;−4), B(−2; 1; 0),C(4; 5;−2).

Bài 13.15 : Trong không gian cho 4 điểm A(4; 2;−2), B(1; 2;−5).C(0; 1;−1),D(2; 0;−3). Chứng minh rằng :

1. Bốn điểm A, B,C,D không đồng phẳng.

2. Tứ diện ABCD có các cạnh đối diện vuông góc với nhau.

Bài 13.16 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 biết :

A(−2; 4; 1), B(1;−1; 2), A1(5;−1; 0),C1(−2; 0; 1).

1. Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của lăng trụ.

2. Một mặt phẳng (P) qua A, trung điểm M của BC và trung điểm N của A1B1. Tìm toạ độ giao điểm của (P) với B1C1.

Bài 13.17 : Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1. Biết A(−3; 2; 1),C(4; 2; 0), B1(−2; 1; 1),D1(3; 5; 4).

1. Xác định toạ độ các đỉnh A1,C1, B,D và tâm K của hình hộp.

2. Tìm điểm M trên đường thẳng AA1 sao cho KM =

√592

.

Bài 13.18 : Cho hình chóp S .ABCD có :

S�

3; 3;132

�, A(1; 2;3), B(−1; 4; 6),C(2; 1; 10),D(4;−1; 7).

1. Chứng minh rằng ABCD là hình chữ nhật và S I⊥(ABCD), trong đó I là giao điểm của AC và BD.

2. Tính thể tích hình chóp.

Bài 13.19 : Tính tích có hướng của các cặp vectơ sau đây :

1. −→a = (1; 1; 2),−→b = (3; 3; 6)

2. −→a = (−2; 1; 3),−→b = (1; 3;−4)

3. −→a = (−1; 1;−2),−→b = (2; 3;−7)

4. −→a = (1; 1; 0),−→b = (0; 0; 1)

Bài 13.20 : Xét sự đồng phẳng của bộ ba vectơ −→a ,−→b ,−→c sau đây :

1. −→a = (−3; 1; 1),−→b = (2; 3; 5),−→c = (−4; 1; 0). 2. −→a = (2; 1;−1),

−→b = (3; 1; 2),−→c = (−2;−1; 1).

Bài 13.21 : Cho hai điểm A(−3; 2; 1), B(1; 3;−4). Tìm điểm C trên mặt phẳng (Oxy) sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn OC = 1

và các vectơ−−→OA,−−→OB,−−→OC đồng phẳng.

Bài 13.22 : Cho hai điểm A(1; 2;−1), B(−2; 1; 3). Tìm điểm M thuộc Ox sao cho tam giác AMB có diện tích nhỏ nhất.

Bài 13.23 : Cho các điểm A(1; 0; 1), B(0; 0; 2),C(0; 1; 1),D(−2; 1; 0).

1. Chứng minh A, B,C,D là các đỉnh của một tứ diện.

2. Tìm toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD và góc tạo bởi hai đường thẳng AC và BD.

3. Tính thể tích của tứ diện ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).

Bài 13.24 : Cho tam giác ABC có A(−2; 0; 1), B(0;−1; 1),C(0; 0;−1).

1. Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC và tính bán kính của đường tròn đó.

2. Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC.



WWW.VNMATH.COM


Bài 13.25 : Cho tam giác ABC có A(0; 0; 2), B(0; 1; 0),C(1; 2; 3).

1. Tìm toạ đọ điểm S trên Oy để tứ diện S ABC có thể tích bằng 8.

2. Tìm toạ độ hình chiếu H của O trên mặt phẳng (ABC).

Bài 13.26 : Cho hai điểm A(−3;−2; 1), B(1; 3;−4). Tìm điểm C trên mặt phẳng (Oyz) sao cho các điều kiện sau được thoả mãn :

OC = 1 và các vectơ−−→OA,−−→OB,−−→OC đồng phẳng.

Bài 13.27 : Cho ba điểm A(−2; 1; 3), B(1; 1; 1),C(−4;−3; 2).

1. Chứng minh A, B,C không thẳng hàng. Tính diện tích tam giác ABC.

2. Tìm điểm D trên trục Oy sao cho tứ diện ABCD có thể tích bằng12

.

Vấn đề 3 : Lập phương trình của mặt cầu

�

1. Muốn viết được phương trình mặt cầu cần biết tâm I(a; b; c) và bán kính R của mặt cầu đó. Khi đó, phương trình mặt cầu là

(S ) : (x − a)2+ (y − b)2

+ (z − c)2= R2.

2. Ta có A ∈ (S ) khi và chỉ khi IA = R.

3. (S ) tiếp xúc với ∆ khi và chỉ khi d(I,∆) = R.

4. (S ) tiếp xúc với mặt phẳng (P) khi và chỉ khi d(I, (P)) = R.

5. Nếu M(xM; yM; zM) thì

(a) d(M, (Oxy)) = |zM |, d(M, (Oyz)) = |xM |, d(M, (Ozx)) = |yM |.

(b) d(M,Ox) =È

y2M + z2

M , d(M,Oy) =È

x2M + z2

M , d(M,Oz) =È

x2M + y2

M.

(c) Hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox có tọa độ (xM; 0; 0).

(d) Hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (Oxy) có tọa độ (xM; yM; 0).

Bài 13.28 : Lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau đây :

1. Nhận I(2; 0; 3)là tâm và bán kính R = 4.

2. Nhận AB làm đường kính với A(−2; 3; 5), B(0; 1;−1).

3. Nhận I(3; 4;−1) làm tâm và tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz).

4. Nhận I(6; 3;−4) làm tâm và tiếp xúc với trục Oz.

Bài 13.29 : Lập phương trình mặt cầu trong mỗi trường hợp sau đây :

1. Có tâm trên trục hoành và đi qua hai điểm A(−2; 4; 1), B(1; 4;−5).

2. Có tâm nằm trên mặt phẳng (Oyz) và đi qua ba điểm A(2;−1; 5), B(2; 1; 1),C(−3; 0; 2).

3. Đi qua bốn điểm A(−1; 3; 4), B(3; 1; 5),C(−2; 1;−2),D(0; 2; 3).

Bài 13.30 : Cho mặt cầu (S ) : x2+ y2+ z2 − 4x + 2y − 4z = 0.

1. Xác định tạo độ tâm và tính bán kính của (S ).

2. Tìm toạ độ giao điểm A, B,C (khác gốc O) của (S ) với các trục toạ độ. Tính thể tích tứ diện OABC.



WWW.VNMATH.COM


Bài 13.31 : Cho mặt cầu (S ) có phương trình x2+ y2+ z2+ x − y + z − 1 = 0.

1. Chứng minh rằng (Oxy) cắt mặt cầu (S ) theo một đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn này.

2. Trục Oz cắt mặt cầu tại hai điểm A, B. Tính độ dài đoạn AB.

Bài 13.32 : Cho mặt cầu (S ) : x2+ y2+ z2 − 3x − y + z +

12= 0.

1. Chứng minh rằng mặt cầu (S ) tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz). Tìm toạ độ tiếp điểm A.

2. Chứng minh rằng mặt cầu (S ) tiếp xúc với Ox tại B. Tìm toạ độ điểm B.

Bài 13.33 : Cho S (−2; 2;−3), A(−2; 2; 1), B(2; 4; 1),C(4; 0; 1),D(0;−2; 1).

1. Chứng minh rằng ABCD là hình vuông và S A là đường cao của hình chóp S .ABCD. Tính thể tích hình chóp đó.

2. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S .ABCD.

Bài 13.34 : Cho mặt cầu (S m) : x2+ y2+ z2 − 4mx + 4y + 2mz + m2

+ 4m = 0. Tìm m để (S m) là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất.

Bài 13.35 : Cho mặt cầu (S m) : x2+ y2+ z2 − 2mx+ 2my− 4mz+ 5m2

+ 2m+ 3 = 0. Xác định tham số m để (S m) là một mặt cầu. Tìm

tập hợp tâm I của mặt cầu (S m) khi m thay đổi.

Vấn đề 4 : Phương pháp tọa độ giải hình học không gian

�Bước 1 : Tạo một góc tam diện (có chung đỉnh và ba cạnh đôi một vuông góc). Góc tam diện này có hai trục Ox,Oy thường nằm trên

mặt đáy và trục Oz vuông góc với đáy.

Bước 2 : Tìm tọa độ của bốn điểm : gốc, các điểm nằm trên các trục Ox,Oy,Oz.

Bước 3 : Tìm tọa độ các điểm, các vectơ có liên quan, và đưa bài toán về hình học giải tích thông thường.

Bài 13.36 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a.

1. Gọi I là trung điểm A′C, J là trung điểm AB′. Chứng minh rằng AJ⊥A′I.

2. Gọi G là trọng tâm tam giác BA′C′. Chứng minh rằng B′,G,D thẳng hàng.

Bài 13.37 : Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Gọi M,N, P lần lượt là trung điểm của BB1,CD, A1D1. Tính góc và khoảng cách

giữa C1N và MP.

Bài 13.38 : Cho hình chóp S .ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, S A vuông góc với đáy, M thuộc cạnh CD sao cho DM =a2

và

N thuộc cạnh BC sao cho BN =3a4

. Chứng minh rằng MN⊥(S AN) từ đó suy ra mặt phẳng (S AN)⊥(S MN).

Bài 13.39 : Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có cạnh đáy bằng a, chiều cao 2a. Gọi O là giao điểm của AC và BD, M và N lần lượt

là trung điểm của S A và BC.

1. Tính thể tích tứ diện OS MN.

2. Đường thẳng MN cắt (S BD) tại điểm P. Tính OP.

3. Gọi K là trung điểm cạnh CD, I là điểm thay đổi trên cạnh S O với OI = m. Xác định m sao cho các đường thẳng AB, S C,KI

cùng song song với một mặt phẳng.

Bài 13.40 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = b, S A⊥(ABCD) và S C = c. Gọi E là điểm đối

xứng của C qua B.

1. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của S B, S D. Chứng minh rằng các vectơ−−→AE,−−→AM,−−→AN đồng phẳng.

2. Cho M,N thay đổi lần lượt trên các tia S B, S D sao choS MS D= x,

S NS B= y. Tìm điều kiện của x, y sao cho các vectơ

−−→AC,−−→AM,−−→AN

đồng phẳng.



WWW.VNMATH.COM


13.2 Phương trình mặt phẳng

Vấn đề 1 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có một vectơ pháp tuyến cho trước

�1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

(a) Vectơ −→n , −→0 được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (α).

Một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến, các vectơ pháp tuyến luôn cùng phương.1

(b) Nếu hai vectơ −→u ,−→v không cùng phương và có giá của chúng song song (hoặc nằm trên) (α) thì vectơ −→n = [−→u ,−→v ] là một

vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Ax + By +Cz + D = 0 với A2+ B2

+ C2 , 0.

Khi đó −→n = (A; B; C) là một vectơ pháp tuyến của (α). Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(x0; y0; z0) và có vectơ pháp tuyến−→n = (A; B; C) có phương trình

A(x − x0) + B(y − y0) +C(z − z0) = 0.

3. Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng :

Giả sử mặt phẳng (P) cắt ba trục tọa độ lần lượt tại ba điểm A(a; 0; 0), B(0;b; 0), C(0; 0;c). Khi đó phương trình của mặt phẳng

(P) làxa+

yb+

xc= 1.

4. Phương trình các mặt phẳng tọa độ

(Oxy) : z = 0; (Oyz) : x = 0; (Ozx) : y = 0.

Bài 13.41 : Cho hai điểm A(2; 3;−4), B(4;−1; 0). Viết phương trình của mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

Bài 13.42 : Cho tam giác ABC có : A(−1; 2; 3), B(2;−4; 3),C(4; 5; 6).

1. Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BC.

2. Viết phương trình mặt phẳng qua A, B,C.

Bài 13.43 : Trong không gian Oxyz cho điểm M(30; 15; 6).

1. Hãy viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua các hình chiếu vuông góc của M trên các trục tọa độ.

2. Tìm tọa độ hình chiếu H của O trên mặt phẳng (α).

Bài 13.44 : Cho điểm A(2;−3; 4). Viết phương trình mặt phẳng (α) qua các hình chiếu của điểm A trên các trục toạ độ.

Bài 13.45 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm G(1; 2; 3)và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B,C sao cho G là trọng tâm của

tam giác ABC.

Bài 13.46 : Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau đây

1. Cắt các trục tọa độ tại các điểm A(3; 0; 0), B(0;−2; 0),C(0; 0; 5).

2. Qua điểm H(2; 3; 1)và cắt các trục Ox,Oy,Oz tại ba điểm A, B,C sao cho H là trực tâm tam giác ABC.

3. Qua điểm M(2; 3; 1)và cắt các trục Ox,Oy,Oz tại ba điểm A, B,C sao cho tam giác ABC là tam giác đều.

1Nếu −→n = (a; b; c) có a , 0 là một vectơ pháp tuyến thì ta luôn có thể chọn a = 1 hay một giá trị khác 0 bất kì



WWW.VNMATH.COM


4. Qua điểm G(2; 3; 1)và cắt các trục Ox,Oy,Oz tại ba điểm A, B,C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC.

5. Qua điểm N(1; 1; 1)và cắt ba tia Ox,Oy,Oz tại ba điểm A, B,C sao cho OA + OB + OC là nhỏ nhất.

Bài 13.47 : Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M(1; 2; 3)và cắt ba tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại A, B,C sao cho thể tích của tứ

diện OABC nhỏ nhất.

Bài 13.48 : Viết phương trình mặt phẳng (α) qua hai điểm A(4;−2; 1), B(1; 1;−2)và song song với trục Ox.

Vấn đề 2 : Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

�Nếu (α) : Ax + By + Cz + D = 0 và (α′) : A′x + B′y + C′z + D′ = 0 có các vectơ pháp tuyến tương ứng là −→n α = (A; B; C) và−→n α′ = (A′; B′; C′) thì

1. (α) và (α′) cắt nhau khi và chỉ khi −→n α và −→n α′ không cùng phương.

2. (α) và (α′) song song khi và chỉ khi −→n α và −→n α′ cùng phương và có điểm M ∈ (α) thì M < (α′).

3. (α) và (α′) trùng nhau khi và chỉ khi −→n α và −→n α′ cùng phương và có điểm M ∈ (α) thì M ∈ (α′).

4. (α) và (α′) vuông góc với nhau khi và chỉ khi −→n α.−→n α′ = 0.

Chú ý :

• Nếu (P) : Ax + By +Cz + D = 0 và (Q) ∥ (P) thì (Q) có dạng Ax + By +Cz + D′ = 0 với D′ , D.

• Nếu (α)⊥(α′) khi đó −→n α′ sẽ có giá song song với (hoặc nằm trên) mặt phẳng (α).

Bài 13.49 : Xét vị trí tương đối của mỗi cặp mặt phẳng cho bởi mỗi phương trình

1. x + 2y − z + 5 = 0 và 2x + 3y − 7z + 10= 0;

2. 3x + 2y − z + 5 = 0 và 6x + 4y − 2z + 10= 0;

3. x + 2y − z + 5 = 0 và −x − 2y + z + 10= 0;

Bài 13.50 : Cho hai mặt phẳng

(α) : 2x − my + 3z − 6+ m = 0 và (α′) : (m + 3)x − 2y + (5m + 1)z − 10= 0.

Với giá trị nào của m, hai mặt phẳng đó

1. Song song với nhau. 2. Trùng nhau. 3. Cắt nhau. 4. Vuông góc với nhau.

Bài 13.51 : Vẫn hỏi như bài tập 13.50 với hai mặt phẳng

(α) : 2x − my + 10z + m + 1 = 0 và (α′) : x − 2y + (3m + 1)z − 10= 0.

Bài 13.52 : Tìm m để hai mặt phẳng

(α) : (m + 2)x + (2m + 1)y + 3z + 2 = 0 và (α′) : (m + 1)x + 2y + (m + 1)z − 1 = 0.

1. song song. 2. vuông góc. 3. cắt nhau.

Bài 13.53 : Cho đường thẳng A(1;−1; 2)và mặt phẳng (α) : 2x − y + z − 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và song song

với (α).



WWW.VNMATH.COM


Bài 13.54 : Cho hai điểm P(3; 1;−1),Q(2;−1; 4)và (α) : 2x − y + 3z − 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (R) qua hai điểm P,Q và

vuông góc với mặt phẳng (α).

Bài 13.55 : Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A(1; 3;−2) và vuông góc với hai mặt phẳng

(α) : x − 3y + 2z + 5 = 0 và (α′) : 3x − 2y + 5z + 4 = 0.

Bài 13.56 : Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M(2;−1; 2), song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng 2x− y+3z+4 = 0.

Bài 13.57 : Viết phương trình mặt phẳng (α), biết mặt phẳng (α)

1. qua điểm M(1;−1; 5),N(0; 0; 1)và cùng phương với trục Oz.

2. qua điểm M(1;−1; 5)và song song với mặt phẳng (Oxy).

Bài 13.58 : Cho ba mặt phẳng

(α1) : 2x − z = 0; (α2) : x + y − z + 5 = 0; (α3) : 7x − y + 4z − 3 = 0.

Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng (α1) và (α2) đồng thời vuông góc với mặt phẳng (α3).

Bài 13.59 : Cho hai mặt phẳng

(P) : 2x − y + 3z + 1 = 0 và (Q) : x + y − z + 5 = 0.

Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) đồng thời vuông góc với mặt phẳng (R) : 3x−y+1 = 0.

Bài 13.60 : Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M(3; 4; 1)và giao tuyến của hai mặt phẳng

(P) : 19x − 6y − 4z + 27= 0 và (Q) : 42x − 8y + 3z + 11= 0.

Bài 13.61 : Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa giao tuyến của hai mặt phẳng

(β) : x + y − z + 1 = 0 và (γ) : y + z = 0

đồng thời

1. vuông góc với mặt phẳng (P) : 2x + 3y − z = 0. 2. tạo với trục Oy một góc 45◦.

Vấn đề 3 : Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

�Khoảng cách từ điểm M(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (α) : Ax + By +Cz + D = 0 là

d(M, (α)) =|Ax0 + By0 +Cz0 + D|√

A2 + B2 +C2.

Chú ý :

• Nếu (P) ∥ (Q) thì d((Q), (P)) = d(M, (P)) với M là một điểm trên (Q).

• Nếu AB ∥ (P) thì d(A, (P)) = d(B, (P)).

Với bài toán viết phương trình mặt phẳng khi biết khoảng cách ta thường làm như sau :

– Giả sử −→n = (a; b; c) ,−→0 là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

– Từ các dữ kiện bài toán ta tìm được 2 phương trình chứa a, b, c.

– Xét hai trường hợp

∗ Nếu a = 0, thay vào các điều kiện ta tìm được b, c.

∗ Nếu a , 0, chọn a = 1 (hoặc một giá trị khác 0 bất kì), thay vào các điều kiện ta tìm được b, c.



WWW.VNMATH.COM


Bài 13.62 : Tìm trên trục Oz các điểm cách đều A(2; 3; 4)và mặt phẳng (α) : 2x + 3y + z − 17= 0.

Bài 13.63 : Tìm trên trục Oy điểm M cách đều hai mặt phẳng

(α) : x + y − z + 1 = 0 và (α′) : x − y + z − 5 = 0.

Bài 13.64 : Cho (P) : 2x − 3y + 6z + 19= 0 và điểm A(−2; 4; 3). Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A và song song với (P). Tính

khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Bài 13.65 : Tìm trên trục tung các điểm :

1. Cách đều hai mặt phẳng

(α) : x + y − z − 1 = 0 và (α′) : x − y + z − 5 = 0.

2. Cách đều điểm A(1; 2; 3)và mặt phẳng (α) : x + y − z + 3 = 0.

Bài 13.66 : Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A(2;−1; 0), B(5; 1; 1) và khoảng cách từ điểm M�

0; 0;12

�đến mặt

phẳng (α) bằng7

6√

3.

Bài 13.67 : Lập phương trình của mặt phẳng (α) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng

(P) : x − 3y + 7z + 36= 0 và (Q) : 2x + y − z − 15= 0

đồng thời (α) cách gốc tọa độ một khoảng bằng 3.

Bài 13.68 : Cho hai mặt phẳng (P) : 3x + 2y − 2 = 0 và (Q) : 2x + y − 2z − 2 = 0.

1. Tìm trên giao tuyến của (P) và mặt phẳng (Oxy) một điểm M cách đều (Q) và (Oxz).

2. Tìm tập hợp những điểm cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q).

Bài 13.69 : Cho hai mặt phẳng (P) : −3x + y + z − 1 = 0, (Q) : 4x + 3y − z − 5 = 0 và hai điểm A(1; 2; 4), B(−3; 2; 2).

1. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến ∆. Tìm tọa độ giao điểm của ∆ với ba mặt phẳng tọa độ.

2. Tìm điểm M trên ∆ sao cho M cách đều A và B.

3. Tìm điểm N trên ∆ sao cho tứ diện OABN có thể tích bằng13

.

Bài 13.70 : Cho mặt phẳng (P) : −2x + 3y − z + 3 = 0 và điểm A(1; 1; 1).

1. Chứng minh rằng điểm A không nằm trên (P). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P).

2. Tìm tọa độ điểm B đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P).

3. Tìm trên trục Ox điểm M, trên mặt phẳng (P) điểm N sao cho A là trung điểm của đoạn MN.

Bài 13.71 : Tìm điểm M trên trục Oy trong mỗi trường hợp sau đây :

1. M cách đều điểm A và mặt phẳng 3x + 4y − z = 0.

2. M cách đều hai mặt phẳng 3x − 2y + 2z − 1 = 0 và 4x + y − 1 = 0.

3. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng 2x + y + 2z − 3 = 0 gấp hai lần khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Oxy).

Vấn đề 4 : Góc giữa hai mặt phẳng



WWW.VNMATH.COM


�Nếu (α) : Ax + By + Cz + D = 0 và (α′) : A′x + B′y + C′z + D′ = 0 có các vectơ pháp tuyến tương ứng là −→n α = (A; B; C) và−→n α′ = (A′; B′; C′) thì góc ϕ giữa hai mặt phẳng (α) và (α′) được tính theo công thức

cosϕ =��cos(−→n α,−→n α′ )

�� = ��−→n α.−→n α′ ��|−→n α|.|−→n α′ |

.

Chú ý : Với bài toán viết phương trình mặt phẳng khi biết góc giữa hai mặt phẳng ta thường làm như sau :

• Giả sử −→n = (a; b; c) ,−→0 là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

• Từ các dữ kiện bài toán ta tìm được 2 phương trình chứa a, b, c.

• Xét hai trường hợp

– Nếu a = 0, thay vào các điều kiện ta tìm được b, c.

– Nếu a , 0, chọn a = 1 (hoặc một giá trị khác 0 bất kì), thay vào các điều kiện ta tìm được b, c.

Bài 13.72 : Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng (P) : x + 2y −√

5z = 0 một góc bằng 60◦.

Bài 13.73 : Viết phương trình mặt phẳng (α) qua A(2; 0; 0), B(0; 2; 0)và tạo với mặt phẳng (Oyz) một góc 60◦.

Bài 13.74 : Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm A(1; 2;−1) và :

1. vuông góc với các mặt phẳng

(β) : 2x − y + 3z − 1 = 0 và (γ) : x + y + z − 2 = 0.

2. vuông góc với (P) : x − y + 2z = 0 và song song với đường thẳng d :x − 1

2=

y + 11=

z2

.

3. qua điểm B(2; 0; 1)và vuông góc với mặt phẳng (Q) : x + 2y − z + 1 = 0.

4. qua điểm C(2; 1; 0)và tạo với (Oxy) một góc 60◦.

Bài 13.75 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho

(α) : mx + 2y + mz − 12= 0 và (β) : x + my + z + 7 = 0.

Tìm tham số m để góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) bằng 45◦.

Bài 13.76 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm M(3; 0; 0)và N(0; 0; 1)đồng thời

tạo với mặt phẳng (Oxy) một gócπ

3.


(P) : 5x − 2y + 5z − 1 = 0 và (Q) : x − 4y − 8z + 12= 0.

Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua gốc tọa độ O, vuông góc với mặt phẳng (P) và hợp với mặt phẳng (Q) một góc 45◦.

Bài 13.78 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′, biết A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A′(0; 0; 1).

Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng CD′ và tạo với mặt phẳng (BB′D′D) một góc nhỏ nhất.

Vấn đề 5 : Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

�Cho mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = 0 và mặt cầu (S ) tâm I(a; b; c), bán kính R.

1. Nếu d(I, (P)) > R thì mặt cầu (S ) và mặt phẳng (P) không có điểm chung.



WWW.VNMATH.COM


2. Nếu d(I, (P)) = R thì mặt cầu (S ) và mặt phẳng (P) có một điểm A chung. Khi đó (P) được gọi là mặt phẳng tiếp diện và A được

gọi là tiếp điểm, đồng thời IA⊥(P).

3. Nếu d(I, (P)) < R thì mặt cầu (S ) và mặt phẳng (P) cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn. Khi đó tâm J của đường tròn là

hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P), và bán kính r của đường tròn được tính theo công thức

r2= R2 − d2(I, (P)).

Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo một đường tròn có bán kính lớn nhất khi và chỉ khi (P) đi qua tâm I.

Bài 13.79 : Cho bốn điểm A(3; 6;−2), B(6; 0; 1), C(−1; 2; 0), D(0; 4; 1).

1. Viết phương trình mặt cầu (S ) đi qua bốn điểm A, B,C,D.

2. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S ) tại điểm A.

Bài 13.80 : 1. Viết phương trình mặt cầu có tâm I(−2; 1; 1)và tiếp xúc với mặt phẳng (α) : x + 2y − 2z + 5 = 0.

2. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S ) : x2+ y2+ z2 − 6x − 2y + 4z + 5 = 0 tại điểm M(4; 3; 0).

Bài 13.81 : Cho mặt cầu (S ) : x2+ y2+ z2 − x − y − z +

12= 0.

1. Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Oy và tiếp xúc với mặt cầu.

2. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu biết tiếp diện cắt ba tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại A, B,C sao cho OA = OB = OC.

Bài 13.82 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 4; 2)và mặt phẳng (P) có phương trình : x + 2y + z − 1 = 0.

1. Hãy tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P). 2. Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với (P).

Bài 13.83 : Cho ba điểm A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1)và mặt phẳng (P) : x + y + z − 2 = 0.

Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B,C và có tâm thuộc mặt phẳng (P).

Bài 13.84 : Cho mặt phẳng (P) : 2x + 2y + z − m2 − 3m = 0 và mặt cầu (S ) : (x − 1)2 + (y + 1)2 + (z − 1)2 = 9. Tìm m để mặt phẳng

(P) tiếp xúc với mặt cầu (S ).

Với m vừa tìm được, hãy xác định tọa độ tiếp điểm của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S ).

Bài 13.85 : Cho mặt cầu (S ) : x2+ y2+ z2 − 2x − 2z − m2

= 0 và mặt phẳng (P) : 3x + 6y − 2z − 22= 0.

Xác định tham số m để (P) cắt (S ) theo giao tuyến là đường tròn (C) có diện tích bằng 2π.

Bài 13.86 : Cho mặt cầu (S ) : (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 = 14 và điểm M(−1;−3;−2). Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua M

và cắt (S ) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất.

Bài 13.87 : Cho mặt cầu (S ) : (x − 3)2 + (y + 2)2 + (z − 1)2 = 9 và mặt phẳng (P) : x + 2y + 2z + 11= 0.

Tìm điểm M trên mặt cầu (S ) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là ngắn nhất.

Bài 13.88 : Xác định tâm và bán kính đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S ) và mặt phẳng (P), với

(S ) : x2+ y2+ z2 − 2(x + y + z) − 22= 0 và (P) : 3x − 2y + 6z + 14= 0.

Bài 13.89 : Cho hai mặt phẳng song song (P1) và (P2) có phương trình

(P1) : 2x − y + 2z − 1 = 0 và (P2) : 2x − y + 2z + 5 = 0

và điểm A(−1; 1; 1)nằm trong khoảng giữa hai mặt phẳng đó. Gọi (S ) là mặt cầu bất kì đi qua A và tiếp xúc cả hai mặt phẳng (P1) và

(P2).

1. Chứng minh rằng bán kính mặt cầu (S ) là một hàng số và tính bán kính đó.

2. Gọi I là tâm mặt cầu (S ). Chứng minh rằng I luôn thuộc một đường tròn cố định. Xác định tâm và bán kính đường tròn đó.

Bài 13.90 : Viết phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S ) : (x − 1)2 + (y + 3)2 + (z − 2)2 = 49 tại điểm M(7;−1; 5).

Bài 13.91 : Viết phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S ) : x2+ y2+ z2− 2x− 4y− 6z− 2 = 0 và song song với mặt phẳng

(P) : 4x + 3y − 12z + 1 = 0.



WWW.VNMATH.COM


13.3 Phương trình đường thẳng

Trong chương trình toán 12, chúng ta không xét dạng tổng quát của đường thẳng, tuy nhiên trong tài liệu này khi chúng ta viết :

Cho đường thẳng ∆ :

8<:Ax + By +Cz + D = 0

A′x + B′y +C′z + D′ = 0thì chúng ta hiểu rằng đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng

(P) : Ax + By +Cz + D = 0 và (Q) : A′x + B′y +C′z + D′ = 0.

Vấn đề 1 : Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng

�Cho đường thẳng d đi qua điểm M(x0; y0; z0).

1. Xác định vectơ chỉ phương −→u = (a; b; c) ,−→0 của đường thẳng :

(a) Nếu −→u , −→0 có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d thì −→u là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

(b) Nếu có −→n 1 và −→n 2 cùng vuông góc với d thì vectơ −→u = [−→n 1,−→n 2] ,

−→0 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

2. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d lần lượt có dạng

d :

8>><>>:x = x0 + at

y = y0 + bt

z = z0 + ct

hoặc d :x − x0

a=

y − y0

b=

z − z0

c( nếu a, b, c đều khác 0).

Bài 13.92 : Viết phương trình tham số và chính tắc của các đường thẳng sau :

1. Đi qua điểm A(2; 0;−1) và có vectơ chỉ phương −→u = (−1; 3; 5).

2. Đi qua hai điểm A(2; 3;−1) và B(1; 2; 4).

Bài 13.93 : Viết phương trình tham số của các đường thẳng sau, tìm một điểm mà đường thẳng đi qua và tìm một vectơ chỉ phương

của đường thẳng đó, biết :

1. d :x − 2

3=

y−3=

z + 31

; 2. d : x =y − 1

2=

z3

. 3. d :x − 2−3

=y + 1

2= −z + 1.

Bài 13.94 : Viết phương trình chính tắc của các đường thẳng sau, tìm một điểm mà đường thẳng đi qua và tìm một vectơ chỉ phương

của đường thẳng đó, biết :

1. d :

8>><>>:x = 1+ 2t

y = −3+ t

z = 5− 3t.

2. d :

8>><>>:x = 5

y = 2+ 3t

z = 1+ t.

3. d :

8>><>>:x = t

y = 1+ 2t

z = 5− 3t.

Vấn đề 2 : Tìm điểm trên đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước

�



WWW.VNMATH.COM


1. Chuyển đường thẳng về dạng tham số

8>><>>:x = x0 + at

y = y0 + bt

z = z0 + ct.

2. Điểm M nằm trên đường thẳng nên M(x0 + at; y0 + bt; z0 + ct).

3. Chuyển các đặc trưng hình học của M sang điều kiện về vectơ.

Bài 13.95 : Cho đường thẳng d có phương trình

8>><>>:x = 2t

y = −1+ 3t

z = 2+ 2t.

Tìm điểm M trên đường thẳng d thỏa mãn

1. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng 2x − y − z − 3 = 0 là√

6.

2. M cách đều hai mặt phẳng (Oxy) và (Oyz).

3. Hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (Oxy) nằm trên mặt cầu tâm O bán kính là 2√

2.

Bài 13.96 : Cho hai đường thẳng d :x2=

y3=

z − 11

, d′ :

8>><>>:x = 1+ 2t

y = −1− 3t

z = −1+ t

và mặt phẳng (P) : 3x − y − z = 0.

1. Tìm điểm A trên d, điểm B trên d′ sao cho AB vuông góc với mặt phẳng (P).

2. Tìm điểm C trên d, điểm D trên d′ sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P) và trọng tâm tam giác OCD nằm trên

mặt phẳng (Oxz).

Bài 13.97 : Cho đường thẳng d :x − 1

2=

y3= z và mặt phẳng (P) : 2x − 3y − 2z − 6 = 0. Xác định các điểm A, B,C,D sao cho A, B

nằm trên d; S nằm trên (P) và S .ABCD là hình chóp tứ giác đều nhận gốc tọa độ O làm tâm của đáy có thể tích bằng196√

103

.

Vấn đề 3 : Vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆ và ∆′ trong không gian

�Giả sử ∆ đi qua M0 và có một vectơ chỉ phương −→u và đường thẳng ∆′ đi qua M′0 và có một vectơ chỉ phương

−→u′.

1. ∆ và ∆′ trùng nhau khi và chỉ khi

8<:[−→u ,−→u′] = −→0

[−→u ,−−−−−→M0M′0] =−→0 ⇔ M0 ∈ ∆ thì M0 cũng thuộc ∆′.

2. ∆ và ∆′ song song khi và chỉ khi

8<:[−→u ,−→u′] = −→0

[−→u ,−−−−−→M0M′0] ,−→0 ⇔ M0 ∈ ∆ thì M0 không thuộc ∆′.

3. ∆ và ∆′ cắt nhau khi và chỉ khi

8<:[−→u ,−→u′] =, −→0

[−→u ,−→u′].−−−−−→M0M′0 = 0.

4. ∆ và ∆′ chéo nhau khi và chỉ khi [−→u ,−→u′].−−−−−→M0M′0 , 0.

Bài 13.98 : Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau. Tìm tọa độ giao điểm của chúng nếu có. Viết phương trình mặt phẳng

chứa hai đường thẳng đó nếu chúng đồng phẳng.



WWW.VNMATH.COM


1. d :x − 1

2=

y − 71=

z − 34

; d′ :x − 6

3=

y + 1−2=

z + 21

;

2. d :x − 1

2=

y − 2−2=

z1

; d′ :x−2=

y + 83=

z − 41

;

3. d :x − 2

4=

y−6=

z + 1−8

; d′ :x − 7−6

=y − 2

9=

z12

;

4. d :x − 1

9=

y − 66=

z − 33

; d′ :x − 7

6=

y − 64=

z − 52

;

5. d :

8>><>>:x = 9t

y = 5t

z = −3+ t

; d′ là giao tuyến của hai mặt phẳng :

(α) : 2x − 3y − 3z − 9 = 0 và (α′) : x − 2y + z + 3 = 0.

Bài 13.99 : Với các đường thẳng cho trong bài tập 13.98, trong trường hợp d và d′ chéo nhau hãy viết phương trình mặt phẳng (Q)

chứa d và (Q) song song với d′ và viết phương trình mặt phẳng (R) qua A(−1; 2; 3)đồng thời (R) song song với cả d và d′.

Bài 13.100 : Xét vị trí tương đối của cặp đường thẳng cho bởi các phương trình sau :

d1 :x − 1

2=

y − 2−2=

z1

; và d2 :

8>><>>:x = −2t

y = −5+ 3t

z = 4.

Bài 13.101 : Cho hai đường thẳng

∆ :

8>><>>:x = 1+ 2t

y = −1+ t

z = −t

và ∆′ :

8>><>>:x = 3− t′

y = 2t′

z = −1+ t′.

1. Xác định vị trí tương đối giữa ∆ và ∆′. 2. Tìm giao điểm (nếu có) của ∆ và ∆.

Vấn đề 4 : Vị trí tương đối giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P)

�Giả sử ∆ đi qua M0 và có một vectơ chỉ phương −→u và mặt phẳng (P) đi qua M1 và có một vectơ pháp tuyến −→n .

1. ∆ nằm trên (P) khi và chỉ khi

8<:−→u .−→n = 0

M0 ∈ ∆ thì M0 cũng thuộc (P).

2. ∆ song song với (P) khi và chỉ khi

8<:−→u .−→n = 0

M0 ∈ ∆ thì M0 không thuộc (P).

3. ∆ và (P) cắt nhau khi và chỉ khi −→u .−→n , 0.

Bài 13.102 : Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α), tìm giao điểm của chúng nếu có, biết :

1. d :x − 12

4=

y − 93=

z − 11

, (α) : 3x + 5y − z − 2 = 0;

2. d :x + 1

2=

y − 34=

z3

, (α) : 3x − 3y + 2z − 5 = 0;

3. d :x − 9

8=

y − 12=

z − 33

, (α) : x + 2y − 4z + 1 = 0;



WWW.VNMATH.COM


4. d :x − 7

5=

y − 11=

z − 54

, (α) : 3x − y + 2z − 5 = 0;

5. d là giao tuyến của hai mặt phẳng :

(P) : 3x + 5y + 7z + 16= 0 và (Q) : 2x − y + z − 6 = 0,

(α) : 5x − z − 4 = 0.

Bài 13.103 : Xác định giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) trong những trường hợp sau :

1. d :

8>><>>:x = 12+ 4t

y = 9+ 3t

z = 1+ t

và (P) : 3x + 5y − z − 2 = 0.

2. d là giao tuyến hai mặt phẳng : x + y + z − 2 = 0; x + 2y − z − 1 = 0 và (P) : x + y + 2z − 1 = 0.

Bài 13.104 : Cho đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng

(α) : 2kx + y − z + 1 = 0 và (α′) : x − ky + z − 1 = 0.

Với giá trị nào của k thì đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (Oyz).

Bài 13.105 : Xét vị trí tương đối của đường thẳng d :x − 12

4=

y − 93=

z − 11

và mặt phẳng (α) : 3x + 5y − z − 2 = 0.

Vấn đề 5 : Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

�Giả sử ∆ đi qua M0 và có một vectơ chỉ phương −→u . Khoảng cách từ điểm M(x0; y0; z0) đến đường thẳng ∆ là

d(M,∆) =

��h−−−−−→M0M1,−→ui��

|−→u |.

Với bài toán viết phương trình đường thẳng khi biết khoảng cách ta thường làm như sau :

• Giả sử −→u = (a; b; c) ,−→0 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng.





Chú ý : Với hai đường thẳng ∆, ∆′ và mặt phẳng (P), ta có :

1. Nếu ∆ cắt ∆′ thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.

2. Nếu ∆ song song với ∆′ thì khoảng cách giữa chúng bằng khoảng cách từ một điểm M ∈ ∆′ đến ∆.

3. Nếu ∆ và ∆′ chéo nhau thì khoảng h cách giữa chúng tính theo công thức

h =

��[−→u ,−→u′].−−−−−→M0M′0

��[−→u ,−→u′]�� .

4. Nếu ∆ ∥ (P) thì khoảng cách giữa ∆ và (P) bằng khoảng cách từ một điểm thuộc ∆ đến (P).

Bài 13.106 : Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng cho trong bài tập 13.98.



WWW.VNMATH.COM


Bài 13.107 : Cho đường thẳng ∆ :x − 1

2=

y1=

z + 13

, ∆′ :x − 6

2=

y + 1−2

=z + 2

1, mặt phẳng (P) : x − 2y + 2z − 5 = 0 và điểm

A(1; 0; 2).

1. Tính các khoảng cách từ A và O đến các đường thẳng ∆ và ∆′.

2. Tìm điểm M trên Ox sao cho khoảng cách từ M đến ∆ bằng 2√

2.

3. Tìm điểm M trên Oy sao cho M cách đều ∆ và A.

4. Tìm điểm M trên Oz sao cho M cách đều ∆ và (P).

5. Tìm điểm M trên Ox sao cho M cách đều ∆ và ∆′.

6. Tìm điểm M thuộc ∆ sao cho khoảng cách từ M đến ∆′ bằng 10.

7. Tìm điểm M thuộc ∆ sao cho M cách đều ∆′ và (P).

Bài 13.108 : Cho đường thẳng d :

8>><>>:x = 3+ 2t

y = −2+ t

z = −1− t

và mặt phẳng (P) : x + y + z + 2 = 0.

Gọi A là giao điểm của d và (P). Viết phương trình ∆ nằm trong (P) sao cho ∆⊥d và d(A,∆) =√

42.

Bài 13.109 : Cho đường thẳng d có phương trình

8>><>>:x = −1− t

y = 3+ 2t

z = 4+ 3t.

1. Tìm điểm M trên trục Ox cách d một khoảng bằng√

217

.

2. Tìm điểm N trên đường thẳngx2=

y3=

z − 11

cách d một khoảng bằng13√

4214

.

Bài 13.110 : Cho đường thẳng d :x + 1−1=

y − 22=

z3

và mặt phẳng (P) : 2x + y + mz − 1 = 0.

1. Tìm điểm M nằm trên giao tuyến của (P) với (Oxy) và có khoảng cách đến d bằng√

262

.

2. Tìm m sao cho d ∥ (P). Khi đó hãy tính khoảng cách từ d đến (P).

Bài 13.111 : Cho đường thẳng d :x − 1

1=

y + 32=

z + 2−1

.

1. Tìm điểm M trên trục Ox sao cho khoảng cách từ M đến d là5√

22

.

2. Tìm điểm N trên mặt phẳng (Oyz) sao cho d(N,Oy) = d(N,Oz) =3√15

d(N, d).

Bài 13.112 : Cho đường thẳng d :

8>><>>:x = 2+ 4t

y = 3+ 2t

z = −3+ t

và mặt phẳng (P) : −x + y + 2z + 5 = 0.

1. Chứng minh rằng d nằm trên (P).

2. Viết phương trình đường thẳng d′ nằm trong (P), song song với d và cách d một khoảng√

14.

Vấn đề 6 : Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu

�Giả sử ∆ đi qua M0 và có một vectơ chỉ phương −→u và mặt cầu (S ) tâm I(a; b), bán kính R.

1. Nếu d(I,∆) > R thì mặt cầu (S ) và ∆ không có điểm chung.



WWW.VNMATH.COM


2. Nếu d(I,∆) = R thì mặt cầu (S ) và ∆ có một điểm A chung. Khi đó ∆ được gọi là tiếp tuyến và A được gọi là tiếp điểm, đồng

thời IA⊥∆.

3. Nếu d(I,∆) < R thì mặt cầu (S ) và ∆ cắt nhau tại hai điểm A và B. Khi đó độ dài AB được tính theo công thức

AB2

4= R2 − d2(I, (P)).

Bài 13.113 : Cho mặt cầu (S ) : (x + 2)2 + (y − 1)2 + (z + 5)2 = 109và đường thẳng d :

8>><>>:x = −5+ 3t

y = −1+ 5t

z = 9− 4t.

Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt cầu. Viết phương trình các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại các giao điểm trên.

Bài 13.114 : Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng

(α) : 5x − 4y + 3z + 20= 0 và (α′) : 3x − 4y + z − 8 = 0.

Viết phương trình mặt cầu có tâm I(2; 3;−1) và cắt d tại hai điểm A, B sao cho AB = 16.

Bài 13.115 : Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu

(S ) : x2+ y2+ z2 − 10x + 2y + 26z − 113= 0

và song song với hai đường thẳng :

d1 :x + 5

2=

y − 1−3=

z + 132

; d1 :

8>><>>:x = −1+ 3t

y = −1− 2t

z = 8.

Bài 13.116 : Cho đường thẳng d :x2=

y − 11=

z + 12

và hai mặt phẳng

(P) : x + y − 2z + 5 = 0; (Q) : 2x − y + z + 2 = 0.

Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q).

Bài 13.117 : Viết phương trình mặt cầu (S ) trong mỗi trường hợp sau :

1. có tâm I(1; 4;−7) và tiếp xúc với mặt phẳng (α) : 6x + 6y − 7z + 42= 0.

2. có tâm H(6;−8; 3)và tiếp xúc với trục Oz.

Bài 13.118 : Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm nằm trên đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng x + y + z + 1 = 0 và

x − y + z − 1 = 0 đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng (α) : x + 2y + 2z + 3 = 0 và (β) : x + 2y + 2z + 7 = 0.

Bài 13.119 : Cho đường thẳng d :x2=

y − 11=

z + 12

và hai mặt phẳng

(α) : x + y − 2z + 5 = 0 và (β) : 2x − y + z + 2 = 0.

1. Gọi A và B lần lượt là giao điểm của d với hai mặt phẳng (α) và (β). Tính độ dài đoạn thẳng AB.

2. Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm thuộc đường thẳng d và tiếp xúc với hai mặt phẳng (α) và (β).

Bài 13.120 : Cho điểm I(2; 3;−1) và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng 5x − 4y + 3z + 20= 0 và 3x − 4y + z − 8 = 0.

1. Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc H của điểm I trên đường thẳng d.

2. Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A và B sao cho độ dài đoạn AB = 10.

Bài 13.121 : Cho mặt cầu (S ) : x2+ y2+ z2 − 4x + 6y + 6z + 17 = 0 và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng x + y = 0 và

3y − 2z − 1 = 0.

Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu (S ) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2.



WWW.VNMATH.COM


Bài 13.122 : Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng 2x − 2y − z + 1 = 0 và x + 2y − 2z − 4 = 0 và mặt cầu (S ) :

x2+ y2+ z2+ 4x − 6y + m = 0.

Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S ) tại hai điểm M,N sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 9.

Bài 13.123 : Cho ba điểm A(2; 4; 1), B(−1; 4; 0), C(0; 0;−3).

1. Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

2. Cho đường thẳng d :

8>><>>:x = 2− 5t

y = 4+ 2t

z = 1.

Chứng minh rằng d cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại hai điểm phân biệt. Tìm tọa độ hai giao điểm đó.

Bài 13.124 : Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng 8x− 11y+ 8z− 30= 0 và x− y− 2z = 0, mặt cầu (S ) : x2+ y2+ z2+

2x − 6y + 4z − 15= 0.

Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d và tiếp xúc với mặt cầu (S ).

Vấn đề 7 : Góc giữa hai đường thẳng ; góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

�Giả sử ∆ đi qua M0 và có một vectơ chỉ phương −→u , đường thẳng ∆′ đi qua M′0 và có một vectơ chỉ phương

−→u′ và mặt phẳng (P) :

Ax + By + Cz + D = 0 có vectơ pháp tuyến là −→n = (A; B; C) thì góc ϕ1 giữa hai đường thẳng ∆ và ∆′; góc ϕ2 giữa ∆ và (P) tính theo

công thức.

cosϕ1 =

��cos(−→u ,−→u′)�� = ��−→u .−→u′��|−→u |.|−→u′|

và sinϕ2 =��cos(−→u ,−→n )

�� = ��−→u .−→n ��|−→u |.|−→n |

.

Chú ý : Với bài toán viết phương trình đường thẳng khi biết góc ta thường làm như sau :

• Giả sử −→u = (a; b; c) ,−→0 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng.





Bài 13.125 : Tìm góc tạo bởi đường thẳng d :x + 1

2=

y − 11=

z − 21

với trục Ox.

Bài 13.126 : Tìm góc tạo bởi giữa đường thẳng d :x + 3

2=

y + 11=

z − 31

và mặt phẳng (α) : x + 2y − z + 5 = 0.

Bài 13.127 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x − z sinα + cosα = 0 và

y − z cosα − sinα, với α là số thực. Tính góc tạo bởi đường thẳng ∆ và trục Oz.

Bài 13.128 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng : ∆1 là giao tuyến của hai mặt phẳng x − ay − z − 1 = 0 và

y − 2 = 0 ; ∆2 là giao tuyến của hai mặt phẳng ax + 3y − a − 3 = 0 và z − 1 = 0.

Xác định a để ∆1 và ∆2 hợp với nhau một góc 45◦.

Bài 13.129 : Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1;−5; 3) và tạo với hai trục tọa độ Ox,Oy các góc bằng nhau và bằng

60◦.


(α) : x − y + z − 5 = 0 và ∆ :x1=

y − 22=

z2.

Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(3;−1; 1), nằm trong mặt phẳng (α) và hợp với đường thẳng ∆ một góc 45◦.



WWW.VNMATH.COM


Bài 13.131 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :x + 4

2=

y − 31=

z + 1−1

. Gọi α, β, γ lần lượt là góc hợp bởi ∆

với các trục tọa độ Ox,Oy,Oz.

Chứng minh rằng cos2α + cos2 β + cos2 γ = 1.

Chú ý :

• Khẳng định này còn đúng với đường thẳng ∆ bất kì.

• Một khẳng định tương tự là thay đường thẳng ∆ bởi mặt phẳng (P) bất kì và góc α, β, γ lầ góc hợp bởi (P) với các mặt phẳng tọa

độ.


d :x − 3

1=

y − 42=

z + 3−1

và (α) : 2x + y + z − 1 = 0.

Tính số đo góc tạo bởi đường thẳng d và mặt phẳng (α).

Bài 13.133 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d1 là giao tuyến của hai mặt phẳng x + y − 2 = 0 và y + z − 2 = 0

; d2 :x − 2

2=

y − 31=

z + 5−1

.

Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d1 và tạo với đường thẳng d2 một góc bằng 60◦.


∆ :

8>><>>:x = −t

y = −1+ 2t

z = 2+ t

và (α) : 2x − y − 2z − 2 = 0.

Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆ và tạo với mặt phẳng (α) một góc nhỏ nhất.

Vấn đề 8 : Phương trình đường thẳng biết đường thẳng đó song song, hoặc vuông góc với đường thẳng hoặc mặt phẳngkhác, hoặc nằm trên mặt phẳng khác

�Dựa vào các quan hệ song song, vuông góc, nằm trong để xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng như trong vấn đề 1.

Chú ý :

• Nếu ∆ ∥ ∆′ thì−→u′∆ cũng là một vectơ chỉ phương của ∆.

• Nếu ∆⊥(P) thì −→n P cũng là một vectơ chỉ phương của ∆.

• Nếu ∆⊥∆′ thì−→u′∆ vuông góc với ∆.

• Nếu ∆ ⊂ (P) hoặc ∆ ∥ (P) thì −→n P vuông góc với ∆.

• Khi viết phương trình theo trường hợp này phải kiểm tra tính song song hoặc nằm trong của đường thẳng cần viết.

Bài 13.135 : Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau :

1. Đi qua M(4; 3; 1)và song song với đường thẳng ∆ :

8>><>>:x = 1+ 2t

y = −3t

z = 3+ 2t.

2. Đi qua điểm M(−2; 1; 0)và vuông góc với mặt phẳng (P) : x + 2y − 2z + 1 = 0.



WWW.VNMATH.COM


3. Đi qua điểm M(2;−1; 1)và vuông góc với hai đường thẳng

∆1 :x−1=

y + 11=

z + 6−2

và ∆2 :

8>><>>:x = t

y = 1− 2t

z = 0.

4. Đi qua điểm M(1; 4;−2) và song song với các mặt phẳng

(α) : 6x + 2y + 2z + 3 = 0 và (β) : 3x − 5y − 2z − 1 = 0.

5. Đi qua điểm A(1; 1;−2), song song với (P) : x − y − z − 1 = 0 và vuông góc với d :x + 1

2=

y − 11=

z − 23

Bài 13.136 : Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; 1; 1), song song với mặt phẳng (P) : x + 2y − z + 1 = 0 và vuông góc

với đường thẳng d :x + 2

1=

y−2=

z + 13

.

Bài 13.137 : Tìm tập hợp những điểm M trong không gian cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(−1; 2; 0), C(2;−3; 2).

Bài 13.138 : Cho đường thẳng d :x + 1

2=

y − 11=

z − 23

và mặt phẳng (α) : x − y − z − 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ qua

A(1; 1;−2), song song với (α) và vuông góc với d.

Bài 13.139 : Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) : 2x−y+z+5 = 0 và (α′) : 2x−z+3 = 0.

Bài 13.140 : Cho đường thẳng ∆

8>><>>:x = 2+ 2t

y = −1+ 3t

z = −4+ 3t.

Viết phương trình đường thẳng ∆ dưới dạng giao tuyến của hai mặt phẳng lần lượt song song với Ox và Oy.

Vấn đề 9 : Phương trình đường thẳng ∆ biết ∆ cắt ∆′

�

1. Viết ∆′ theo tham số t hoặc t′.

2. Giả sử ∆ cắt ∆′ tại A. Do A ∈ ∆′ nên A có tọa độ theo tham số t hoặc t′.

3. Từ các dữ kiện bài toán ta thiết lập được phương trình để tìm được các tham số t và t′. Từ đó viết được đường thẳng ∆.

Chú ý :

1. −→n 1⊥−→n 2 khi và chỉ khi −→n 1.−→n 2 = 0.

2. −→n 1 cùng phương −→n 2 khi và chỉ khi [−→n 1,−→n 2] =

−→0 (hoặc tọa độ tương ứng tỉ lệ).

3. Ba điểm A, B,C thẳng hàng khi và chỉ khi−−→AB và

−−→AC cùng phương.

4. Các bài toán dạng này có thể sử dụng phương pháp giao tuyến của hai mặt phẳng.


∆1 :

8>><>>:x = 8+ t

y = 5+ 2t

z = 8− t

và ∆2 :

8>><>>:x = 3− 7t′

y = 1+ 2t′

z = 1+ 3t′.

1. Chứng minh rằng hai đường thẳng đó chéo nhau.

2. Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.



WWW.VNMATH.COM


Bài 13.142 : Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(4; 1; 4), B(3; 3; 1),C(1; 5; 5; )và D(1; 1; 1).

1. Chứng minh rằng A, B,C,D là bốn đỉnh của một tứ diện.

2. Viết phương trình đường vuông góc chung giữa AC và BD.

Bài 13.143 : Cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình :

d1 :

8>><>>:x = −2+ 3t

y = t

z = 1− 2t

và

8>><>>:x = −2+ 2t′

y = −t′

z = 2+ t′.

Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(1; 1; 1)và cắt đồng thời d1, d2.

Bài 13.144 : Cho ba đường thẳng

d1 :x − 2

3=

y + 24=

z − 11

; d2 :x − 7

1=

y − 32=

z − 9−1

; d3 :x + 1

3=

y + 3−2=

z − 2−1.

Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt đồng thời d1 và d2 đồng thời song song với d3.


d1 :x − 1

3=

y − 21=

z1

và d2 :

8>><>>:x = −1

y = t

z = 1+ t.

Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(0; 1; 1), vuông góc với d1 và cắt d2.

Bài 13.146 : Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; 1; 1), cắt d :x + 1

2=

y1=

z−1

và song song với (P) : x+3y+z−1= 0.

Bài 13.147 : Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (α) : x + 2y − z + 1 = 0 và cắt các đường thẳng

∆1 :x − 1

2=

y + 11=

z − 2−1

và ∆2 :x − 2

1=

y−1=

z + 12.

Bài 13.148 : Cho mặt phẳng (α) : x + 2y − z − 2 = 0 và đường thẳng d :x + 1

2=

y − 2−1=

z + 23

.

Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (α), vuông góc với d và cắt d.

Bài 13.149 : Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P) : x + 2z = 0 và cắt hai đường thẳng

d1 :

8>><>>:x = 1− t

y = t

z = 4t

và d2 :

8>><>>:x = 2− t′

y = 4+ 2t′

z = 1.


d1 :

8>><>>:x = 1+ t

y = −1− t

z = 2

và d2 :

8>><>>:x = 3− t′

y = 1+ 2t′

z = t′.

Lập phương trình mặt cầu (S ) có đường kính là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d1 và d2.

Bài 13.151 : Cho hai đường thẳng d1 :x − 1

1=

y − 12=

z − 12

và d2 :x−1=

y + 1−2=

z − 32

.

1. Tìm tọa độ giao điểm I của d1 và d2.

2. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua d1 và d2.

3. Viết phương trình đường thẳng d qua M(0;−1; 2)cắt d1 và d2 lần lượt tại A và B khác I sao cho AI = AB.



WWW.VNMATH.COM


Vấn đề 10 : Hình chiếu và tính đối xứng

�

1. Hình chiếu H của A xuống ∆. Có một số cách sau :

(a) Gọi (P) là mặt phẳng chứa A và vuông góc với ∆. Khi đó H là giao điểm của (P) và ∆.

(b) Giả sử H ∈ ∆, nên H có tọa độ thỏa mãn ∆ (theo t). Do AH⊥∆ nên−−→AH.−→u ∆ = 0. Tìm được t, từ đó suy ra H.

2. Hình chiếu H của A xuống (P). Có một số cách sau :

(a) Gọi ∆ là mặt phẳng chứa A và vuông góc với (P). Khi đó H là giao điểm của (P) và ∆.

(b) Giả sử H ∈ ∆, nên H có tọa độ thỏa mãn (P). Do AH⊥(P) nên [−−→AH,−→n (P)] =

−→0 . Tìm được H.

3. Hình chiếu vuông góc ∆′ của ∆ xuống (P).

(a) Gọi (Q) là mặt phẳng chứa ∆ và (Q)⊥(P).

(b) Khi đó hình chiếu vuông góc ∆′ là giao tuyến của (P) và (Q).

4. Hình chiếu ∆′ theo phương đường thẳng d của ∆ xuống (P).

(a) Gọi (Q) là mặt phẳng chứa ∆ và (Q) cùng phương với d ((Q) song song hoặc (Q) chứa d).

(b) Khi đó hình chiếu vuông góc ∆′ là giao tuyến của (P) và (Q).

5. Tìm điểm đối xứng A′ của A qua d hoặc (P).

(a) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d hoặc (P).

(b) Khi đó H là trung điểm của AA′, tức là

8<:xA′ = 2xH − xA

yA′ = 2yH − yA.

Bài 13.152 : Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng d :x − 1

2=

y − 23=

z + 34

trên các mặt phẳng tọa độ.

Bài 13.153 : Viết phương trình tham số hình chiếu vuông góc của đường thẳng d :

8>><>>:x = 2− t

y = 2t

z = −1+ 2t

trên (α) : x + y + z − 3 = 0.

Bài 13.154 : Tìm điểm đối xứng của điểm M(1;−3; 7)đối với mặt phẳng (α) : 2x + 5y − 2z − 6 = 0.

Bài 13.155 : Tính khoảng cách từ điểm M(2; 3; 1)đến đường thẳng d :x + 2

1=

y − 12=

z + 1−2

.

Bài 13.156 : Tính khoảng các giữa các cặp đường thẳng

d1 :x − 1

2=

y + 31=

z − 4−2

và d2 :x + 2−4

=y − 1−2=

z + 14.

Bài 13.157 : Cho mặt phẳng (P) : 6x + 3y + 2z − 6 = 0 và điểm A(0; 0; 1).

1. Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm A trên (P).

2. Tìm tọa độ điểm A′ là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng (P).

Bài 13.158 : Cho tứ diện ABCD có A(4; 1; 4), B(3; 3; 1),C(1; 5; 5),D(1; 1; 1). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của D trên mặt phẳng

(ABC).



WWW.VNMATH.COM


Bài 13.159 : Cho mặt phẳng (P) : 3x + 6y − z − 2 = 0 và đường thẳng d :

8>><>>:x = 8+ 4t

y = 6+ 3t

z = t.

Viết phương trình đường thẳng d′ đối xứng với d qua mặt phẳng (P).


3=

y + 22=

z−1

và điểm M(4;−3; 2). Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên đường thẳng d.

Bài 13.161 : Cho đường thẳng ∆ :

8>><>>:x = 1+ 2t

y = 2− t

z = 3t

và điểm M(2;−1; 3).

Tìm điểm M′ đối xứng với điểm M qua đường thẳng ∆.


∆1 :x − 3−7

=y − 1

2=

z − 13

và ∆2 :x − 7

1=

y − 32=

z − 9−1.

Viết phương trình chính tắc đường thẳng ∆3 đối xứng với ∆2 qua ∆1.

Bài 13.163 : Trong không gian Oxyz cho đường thẳng

d :x + 1

1=

y − 12=

z − 3−2

và (P) : 2x − 2y + z − 3 = 0

Viết phương trình hình chiếu vuông góc d′ của d trên (P).

Bài 13.164 : Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng :

(α) : 5x − 4y − 2z − 5 = 0 và (α′) : x + 2z − 2 = 0

và mặt phẳng (P) : 2x − y + z − 1 = 0. Viết phương trình hình chiếu vuông góc d′ của d trên mặt phẳng (P).

Vấn đề 11 : Bài toán cực trị

�1. Mối quan hệ đường vuông góc và đường xiên.

2. Bất đẳng thức tam giác và các bất đẳng thức kinh điển.

3. Hoặc đưa về bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm một biến.

4. Nếu ∆ qua M cố định và ∆ song song với mặt phẳng (P) cố định thì ∆ nằm trên mặt phẳng (Q) qua M và song song với (P).

5. Nếu ∆ qua M cố định và ∆ vuông góc với ∆′ cố định thì ∆ nằm trên mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với ∆′.

Bài 13.165 : Cho điểm A(−1; 2; 3), đường thẳng d và mặt phẳng (P) lần lượt có phương trình

d :x − 1

2=

y1=

z + 2−2

và (P) : x − y + 5z − 6 = 0.

1. Trong các điểm thuộc d, tìm điểm cách A một khoảng ngắn nhất.

2. Tìm điểm M thuộc (P) sao cho AM ngắn nhất.

Bài 13.166 : Vẫn hỏi như bài 13.165 với giá trị lúc này là A(0; 2; 0), đường thẳng d và mặt phẳng (P) lần lượt có phương trình

d :

8>><>>:x = 1+ t

y = −2+ 3t

z = t

và (P) : 3y − 4z + 1 = 0.



WWW.VNMATH.COM



∆ :x2=

y − 21=

z + 1−2

và ∆′ :

8>><>>:x = 1+ 2t

y = t

z = 5− t.

1. Chứng minh rằng ∆ và ∆′ chéo nhau.

2. Tìm hai điểm A và B lần lượt thuộc ∆ và ∆′ sao cho AB đạt giá trị nhỏ nhất.

3. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, (P) song song với cả hai đường thẳng ∆ và ∆′.


∆ :x − 1

1=

y + 22=

z + 1−2

và ∆′ :

8>><>>:x = 2t

y = 1− t

z = 2− 2t.

1. Chứng minh rằng ∆ và ∆′ chéo nhau.

2. Tìm hai điểm A và B lần lượt thuộc ∆ và ∆′ sao cho AB đạt giá trị nhỏ nhất.

3. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆ và (P) song song với ∆′.

Bài 13.169 : Cho A(0; 2; 1), B(2;−1; 1). Tìm điểm M trên đường thẳng ∆ :x − 1

2=

y−1=

z + 23

sao cho

1. Tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất. 2. Tam giác ABM có diện tích nhỏ nhất.

Bài 13.170 : Cho đường thẳng ∆ :x1=

y − 12=

z + 1−2

và hai điểm A(0; 1; 2), B(−1; 2; 3). Tìm điểm M thuộc ∆ sao cho

1. MA2+ MB2 đạt giá trị nhỏ nhất.

2. MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.

3. |2−−→MA − −−→MB| đạt giá trị nhỏ nhất.

4. |2−−→MA +−−→MB| đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 13.171 : Cho mặt phẳng (P) : x − 2y + 2z − 3 = 0 và hai điểm A(0; 1; 2), B(−1; 2; 3). Tìm điểm M thuộc (P) sao cho

1. MA2+ MB2 đạt giá trị nhỏ nhất.

2. MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.

3. |2−−→MA − −−→MB| đạt giá trị nhỏ nhất.

4. |2−−→MA +−−→MB| đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 13.172 : Cho mặt phẳng (P) : 2x − y + 2z − 5 = 0 và mặt cầu (S ) : (x − 1)2 + y2+ (z − 2)2 = 9.

1. Tìm điểm M thuộc (S ) sao cho M cách (P) một khoảng

(a) lớn nhất; (b) nhỏ nhất.

2. Chứng minh rằng (P) cắt (S ) theo giao tuyến là một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.

3. Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện của (S ), biết tiếp diện đó song song với (P).

Bài 13.173 : Cho A(1; 2; 3), B(0; 2;−1)và đường thẳng ∆ :x1=

y + 21=

z − 23

. Viết phương trình mặt phẳng (P), biết

1. (P) qua B và cách A một khoảng lớn nhất;

2. (P) chứa B, (P) ∥ ∆ và (P) cách ∆ một khoảng lớn nhất.

3. (P) chứa ∆ và cách A một khoảng


4. (P) chứa B,O và cách A một khoảng



WWW.VNMATH.COM



5. (P) chứa B, (P) ∥ ∆ và cách A một khoảng


6. (P) chứa ∆ và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc


7. (P) chứa A, ∆ ∥ (P) và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc


8. (P) chứa ∆ và tạo với trục Ox một góc


Bài 13.174 : Cho A(1; 0; 2), B(0; 0; 1), mặt phẳng (P) : x − 2y + 2z − 5 = 0 và đường thẳng ∆ :

8>><>>:x = 1

y = 1+ t

z = t.

Viết phương trình đường thẳng d, biết

1. d đi qua A, cắt ∆ và cách B một khoảng


2. d qua A, d ∥ (P) và d cách B một khoảng


3. d qua A, d⊥∆ và d cách B một khoảng


4. d nằm trong (P), d ∥ ∆ và B cách d một khoảng nhỏ nhất.

5. d nằm trong (P), d⊥(Q) và B cách d một khoảng nhỏ nhất, với (Q) : 4x + y − z − 3 = 0.

13.4 Hình học không gian trong các kì thi tuyển sinh ĐH

Bài 13.175 (CĐ08) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 1; 3)và đường thẳng d có phương trình

x1=

y−1=

z − 12.

1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d.

2. Tìm toạn độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MOA cân tại đỉnh O.

Bài 13.176 (CĐ08) : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thang, ÔBAD = ÔABC = 90◦, AB = BC = a, AD = 2a, S A vuông

góc với đáy và S A = 2a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm S A và S D. Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích khối

chóp S .BCNM theo a.



WWW.VNMATH.COM


Bài 13.177 (CĐ09) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các mặt phẳng (P1) : x+ 2y+ 3z+ 4 = 0 và (P2) : 3x+ 2y− z+ 1 = 0.

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; 1; 1), vuông góc với hai mặt phẳng (P1) và (P2).

Bài 13.178 (CĐ09) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 1; 0), B(0; 2; 1)và trọng tâm G(0; 2;−1). Viết

phương trình đường thẳng ∆ đi qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC).

Bài 13.179 (CĐ09) : Cho tứ giác đều S .ABCD có AB = a, S A = a√

2. Gọi M,N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh S A, S B và

CD. Chứng minh rằng đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng S P. Tính theo a thể tích khối tứ diện AMNP.

Bài 13.180 (CĐ10) : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (S AB) vuông góc với mặt phẳng đáy,

S A = S B, góc giữa đường thẳng S C và mặt phẳng đáy bằng 45◦. Tính theo a thể tích của khối chóp S .ABCD.

Bài 13.181 (CĐ10) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;−2; 3), B(−1; 0; 1)và mặt phẳng (P) : x + y + z+ 4 = 0.

1. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P).

2. Viết phương trình mặt cầu (S ) có bán kính bằngAB6

có tâm thuộc đường thẳng AB và (S ) tiếp xúc với (P).

Bài 13.182 (CĐ10) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳngx−2=

y − 11=

z1

và mặt phẳng (P) : 2x− y+ 2z− 2 = 0.

1. Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P).

2. Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho M cách đều gốc tọa độ O và mặt phẳng (P).

Bài 13.183 (A02) : Cho hình chóp tam giác đều S .ABC có đỉnh S , có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M,N lần lượt là các trung điểm các

cạnh S B và S C. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (S BC).

Bài 13.184 (A02) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng :

∆1 :

8<:x − 2y + z − 4 = 0

x + 2y − 2z + 4 = 0và ∆2 :

8>><>>:x = 1+ t

y = 2+ t

z = 1+ 2t.

1. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆1 và song song với đường thẳng ∆2.

2. Cho điểm M(2; 1; 4). Tìm toạ độ điểm H thuộc đường thẳng ∆2 sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất.

Bài 13.185 (A03) : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng (A′BC) và (A′CD).

Bài 13.186 (A03) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có A trùng với gốc toạ độ,

B(a; 0; 0),D(0;a; 0), A′(0; 0;b) với (a > 0, b > 0). Gọi M là trung điểm cạnh CC′.

1. Tính thể tích khối tứ diện BDA′M theo a và b.

2. Xác định tỉ sốab

để hai mặt phẳng (A′BD) và (MBD) vuông góc với nhau.

Bài 13.187 (A04) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình thoi, AC cắt BD tại gốc toạ độ O.

Biết A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S (0; 0; 2√

2). Gọi M là trung điểm của cạnh S C.

1. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng S A, BM.

2. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng S D tại điểm N. Tính thể tích khối chóp S .ABMN.

Bài 13.188 (A04) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) lần lượt có phương trình

d :x − 1−1=

y + 32=

z − 31

và (P) : 2x + y − 2z + 9 = 0.

1. Tìm toạ độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2.

2. Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ nằm trong mặt

phẳng (P), biết ∆ đi qua A và vuông góc với d.

Bài 13.189 (A06) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ với A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0),

A′(0; 0; 1). Gọi M,N là trung điểm AB,CD.



WWW.VNMATH.COM


1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A′C và MN.

2. Viết phương trình mặt phẳng chứa A′C và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc α biết cosα =1√6

.

Bài 13.190 (A06) : Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O′, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy

tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O′ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO′AB.

Bài 13.191 (A07) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng

d1 :x2=

y − 1−1=

z + 21

và d2 :

8>><>>:x = −1+ 2t

y = 1+ t

z = 3.

1. Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau.

2. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) : 7x + y − 4z = 0 và cắt hai đường thẳng d1, d2.

Bài 13.192 (A07) : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên S AD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng

vuông góc với đáy. Gọi M,N, P lân lượt là trung điểm các cạnh S B, BC,CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích khối

tứ diện CMNP.

Bài 13.193 (A08) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2; 5; 3)và đường thẳng d :x − 1

2=

y1=

z − 22

.

1. Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d.

2. Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (α) lớn nhất.

Bài 13.194 (A08) : Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a√

3 và

hình chiếu vuông góc của đỉnh A′ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A′.ABC và tính

cosin của góc giữa hai đường thẳng AA′, B′C′.

Bài 13.195 (A09) : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai

mặt phẳng (S BC) và (ABCD) bằng 60◦. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (S BI) và (S CI) cùng vuông góc với mặt

phẳng (ABCD), tính thể tích của khối chóp S .ABCD theo a.

Bài 13.196 (A09) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng

(P) : 2x − 2y − z − 4 = 0 và mặt cầu (S ) : x2+ y2+ z2 − 2x − 4y − 6z − 11= 0.

Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S ) theo một đường tròn. Xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó.

Bài 13.197 (A09) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng

(P) : x − 2y + 2z − 1 = 0 và hai đường thẳng ∆1 :x + 1

1=

y1=

z + 96,∆2 :

x − 12=

y − 31=

z + 1−2.

Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng

(P) bằng nhau.

Bài 13.198 (A10) : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB

và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết S H vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và S H = a√

3. Tính thể tích khối chóp S .CDNM

và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và S C theo a.

Bài 13.199 (A10) : Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :x − 1

2=

y1=

z + 2−1

và mặt phẳng (P) : x − 2y + z = 0. Gọi C

là giao điểm của ∆ với (P), M là điểm thuộc ∆. Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC =√

6.

Bài 13.200 (A10) : Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 0;−2) và đường thẳng ∆ :x + 2

2=

y − 23=

z + 32

. Tính khoảng

cách từ A đến ∆. Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt ∆ tại hai điểm B và C sao cho BC = 8.

Bài 13.201 (B02) : Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng a.

1. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A1B và B1D.



WWW.VNMATH.COM


2. Gọi M,N, P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB1,CD, A1D1. Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C1N.

Bài 13.202 (B03) : Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc ÔBAD = 60◦. Gọi M là trung

điểm cạnh AA′ và N là trung điểm cạnh CC′. Chứng minh rằng bốn điểm B′,M,D,N cùng thuộc một mặt phẳng. Tính độ dài cạnh

AA′ theo a để tứ giác B′MDN là hình vuông.

Bài 13.203 (B04) : Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng ϕ (0◦ < ϕ < 90◦).

Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (S AB) và (ABCD) theo ϕ. Tính thể tích khối chóp S .ABCD theo a và ϕ.

Bài 13.204 (B04) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(−4;−2; 4)và đường thẳng d :

8>><>>:x = −3+ 2t

y = 1− t

z = −1+ 4t.

Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, cắt và vuông góc với đường thẳng d.

Bài 13.205 (B05) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với A(0;−3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0),

B1(4; 0; 4).

1. Tìm toạ độ các đỉnh A1,C1. Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCC1B1).

2. Gọi M là trung điểm A1B1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A,M và song song với BC1. Mặt phẳng (P) cắt

đường thẳng A1C1 tại điểm N. Tính độ dài MN.

Bài 13.206 (B06) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2)và hai đường thẳng

d1 :x2=

y − 11=

z + 1−1

và d2 :

8>><>>:x = 1+ t

y = −1− 2t

z = 2+ t.

1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1 và d2.

2. Tìm toạ độ điểm M ∈ d1, N ∈ d2 sao cho ba điểm A,M,N thẳng hàng.

Bài 13.207 (B06) : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a√

2, S A = a và S A vuông góc với mặt

phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và S C; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (S AC)

vuông góc với mặt phẳng (S MB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.

Bài 13.208 (B07) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S ) : x2+ y2

+ z2 − 2x + 4y + 2z − 3 = 0 và mặt phẳng

(P) : 2x − y + 2z − 14= 0.

1. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S ) theo một đường tròn có bán kính bằng 3.

2. Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S ) sao cho khoảng cách từ M đến (P) là lớn nhất.

Bài 13.209 (B07) : Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm

của S A, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai

đường thẳng MN và AC.

Bài 13.210 (B08) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; 2), B(2;−2; 1),C(−2; 0; 1).

1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B,C.

2. Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z − 3 = 0 sao cho MA = MB = MC.

Bài 13.211 (B08) : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, S A = a, S B = a√

3 và mặt phẳng (S AB) vuông

góc với mặt đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích khối chóp S .BMDN và tính cosin góc giữa hai

đường thẳng S M,DN.

Bài 13.212 (B09) : Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có BB′ = a. góc giữa đường thẳng BB′ và mặt phẳng (ABC) bằng 60◦; tam giác

ABC vuông tại C và ÔBAC = 60◦. Hình chiếu vuông góc của điểm B′ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Tính thể

tích khối chóp A′.ABC theo a.



WWW.VNMATH.COM


Bài 13.213 (B09) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1; 2; 1), B(−2; 1; 3), C(2;−1; 1) và

D(0; 3; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).

Bài 13.214 (B09) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x−2y+2z− 5 = 0 và hai điểm A(−3; 0; 1), B(1;−1; 3).

Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là

nhỏ nhất.

Bài 13.215 (B10) : Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A′BC) và (ABC) bằng 60◦. Gọi

G là trọng tâm tam giác A′BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.

Bài 13.216 (B10) : Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1; 0; 0), B(0;b; 0),C(0; 0;c), trong đó b, c dương và mặt phẳng

(P) : y − z + 1 = 0. Xác định b và c, biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng

(ABC) bằng 13.

Bài 13.217 (B10) : Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :x2=

y − 11=

z2

. Xác định tọa độ điểm M trên trục hoành sao

cho khoảng cách từ M đến ∆ bằng OM.

Bài 13.218 (D02) : Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC); AC = AD = 4cm ; AB = 3cm ; BC = 5cm.

Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD).

Bài 13.219 (D02) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng

(P) : 2x − y + 2 = 0v đường thẳng dm :

8<:(2m + 1)x + (1− m)y + m − 1 = 0

mx + (2m + 1)z + 4m + 2 = 0(m là tham số ).

Xác định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P).

Bài 13.220 (D03) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng :

dk :

8<:x + 3ky − z + 2 = 0

kx − y + z + 1 = 0.

Tìm k để đường thẳng dk vuông góc với mặt phẳng (P) : x − y − 2z + 5 = 0.

Bài 13.221 (D03) : Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng ∆. Trên ∆ lấy hai điểm A, B với

AB = a. Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD vuòng vuông góc với ∆ và AC = BD = AB.

Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).

Bài 13.222 (D04) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1. Biết A(a; 0; 0), B(−a; 0; 0), C(0; 1; 0),

B1(−a; 0;b), với a > 0, b > 0.

1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B1C và AC1 theo a, b.

2. Cho a, b thay đổi, nhưng luôn thoả mãn : a + b = 4. Tìm a, b để khoảng cách giữa hai đường thẳng B1C và AC1 lớn nhất.

Bài 13.223 (D04) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; 1), B(1; 0; 0),C(1; 1; 1)và mặt phẳng (P) : x+y+z−2 = 0.

Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B,C và có tâm thuộc mặt phẳng (P).

Bài 13.224 (D05) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng :

d1 :x − 1

3=

y + 2−1=

z + 12

và d2 :

8<:x + y − z − 2 = 0

x + 3y − 12= 0.

1. Chứng minh rằng d1 và d2 song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng d1 và d2.

2. Mặt phẳng toạ độ (Oxz) cắt hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tại các điểm A, B. Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc toạ độ).

Bài 13.225 (D06) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, điểm A(1; 2; 3)và cho hai đường thẳng :

d1 :x − 2

2=

y + 2−1=

z − 31

; d2 :x − 1−1

=y − 1

2=

z + 11.



WWW.VNMATH.COM


1. Tìm tạo độ điểm A′ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1.

2. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, vuông góc với d1 và cắt d2.

Bài 13.226 (D06) : Cho hình chóp tam giác S .ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, S A = 2a và S A vuông góc với mặt phẳng

(ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng S B và S C. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM.

Bài 13.227 (D07) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2), B(−1; 2; 4)và đường thẳng

∆ :x − 1−1=

y + 21=

z2.

1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB).

2. Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho MA2+ MB2 nhỏ nhất.

Bài 13.228 (D07) : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình thang, ÔABC = ÔBAD = 90◦, BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh bên S A vuông

góc với đáy và S A = a√

2. Gọi H là hình chiếu của A trên S B. Chứng minh rằng tam giác S CD vuông và tính theo a khoảng cách từ

H đến mặt phẳng (S CD).

Bài 13.229 (D08) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(3; 3; 0), B(3; 0; 3), C(0; 3; 3), D(3; 3; 3).

1. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B,C,D.

2. Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài 13.230 (D08) : Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA′ = a√

2. Gọi M là

trung điểm cạnh BC. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B′C.

Bài 13.231 (D09) : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA′ = 2a, A′C = 3a. Gọi M là

trung điểm của đoạn thẳng A′C′, I là giao điểm của AM và A′C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến

mặt phẳng (IBC).

Bài 13.232 (D09) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2; 1; 0), B(1; 2; 2),C(1; 1; 0)và mặt phẳng (P) : x+y+z−20=

0. Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P).

Bài 13.233 (D09) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng∆ :x + 2

1=

y − 21=

z−1

và mặt phẳng (P) : x+2y−3z+4 =

0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng ∆.

Bài 13.234 (D10) : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A = a ; hình chiếu vuông góc của đỉnh

S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AH =AC4

. Gọi CM là đường cao của tam giác S AC. Chứng minh M là trung

điểm của S A và tính thể tích khối tứ diện S MBC theo a.

Bài 13.235 (D10) : Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) : x + y + z − 3 = 0 và (Q) : x − y + z − 1 = 0. Viết phương

trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R) bằng 2.

Bài 13.236 (D10) : Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆1 :

8>><>>:x = 3+ t

y = t

z = t

và ∆2 :x − 2

2=

y − 11=

z2

. Xác định tọa

độ điểm M thuộc ∆1 sao cho khoảng cách từ M đến ∆2 bằng 1.


Bài 13.237 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên S A vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC). Tính

khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (S BC) theo a, biết rằng S A =a√

62

.

Bài 13.238 : Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA,OB,OC đôi một vuông góc và α, β, γ lần lượt là các góc giữa mặt phẳng (ABC) với

các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB). Chứng minh rằng :

cosα + cosβ + cosγ ≤√

3.



WWW.VNMATH.COM


Bài 13.239 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x − y + z + 3 = 0 và hai điểm A(−1;−3;−2), B(−5; 7; 12).

1. Tìm toạ độ điểm A′ là điểm đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P).

2. Giả sử M là một điểm chạy trên mặt phẳng (P), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : MA + MB.

Bài 13.240 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, S A vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và S A = a. Gọi E

trung điểm của cạnh CD. Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến BE.

Bài 13.241 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng :

∆ :

8<:2x + y + z + 1 = 0

x + y + z + 2 = 0và mặt phẳng (P) : 4x − 2y + z − 1 = 0.

Viêt phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng ∆ trên mặt phẳng (P).

Bài 13.242 : Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC = a. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại điểm A lấy

điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (S BC) bằng 60◦. Tính độ dài đoạn thẳng S A theo a.

Bài 13.243 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng :

d1 :

8<:x − az − a = 0

y − z + 1 = 0và d2 :

8<:ax + 3y − 3 = 0

x − 3z − 6 = 0.

1. Tìm a để hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau.

2. Với a = 2, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d2 và song song với đường thẳng d1. Tính khoảng cách giữa d1 và

d2 khi a = 2.

Bài 13.244 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng

d :

8<:2x − 2y − z + 1 = 0

x + 2y − 2z − 4 = 0và mặt cầu (S ) : x2

+ y2+ z2+ 4x − 6y + m = 0.

Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S ) tại hai điểm M và N sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 9.

Bài 13.245 : Tính thể tích khối tứ diện ABCD, biết AB = a; AC = b; AD = c và các góc BAC,CAD,DAB đều bằng 60◦.

Bài 13.246 : Cho hình tứ diện đều có tất cả các cạnh bằng a = 6√

2. Hãy xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường

thẳng AD và BC.

Bài 13.247 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(2; 3; 2), B(6;−1;−2), C(−1;−4; 3), D(1; 6;−5). Tính góc

giữa hai đường thẳng AB và CD. Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng CD sao cho tam giác ABM co chu vi nhỏ nhất.

Bài 13.248 : Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác cân, với AB = AC = a và góc ÔBAC = 120◦, cạnh bên BB′ = a.



Xác định và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a và b.

Bài 13.250 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng

d1 :x1=

y + 12=

z1

và d2 :

8<:3x − z + 1 = 0

2x + y − 1 = 0.

1. Chứng minh rằng d1, d2 chéo nhau và vuông góc với nhau.

2. Viết phương trình đường thẳng d cắt cả hai đường thẳng d1, d2 và song song với đường thẳng ∆ :x − 4

1=

y − 74=

z − 3−2

.

Bài 13.251 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Tìm điểm M thuộc cạnh AA′ sao cho mặt phẳng (BD′M) cắt hình lập phương

theo một thiết diện có diện tích nhỏ nhất.



WWW.VNMATH.COM


Bài 13.252 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện OABC với A(0; 0;a√

3), B(a; 0; 0), C(0;a√

3; 0), với (a > 0). Gọi M

là trung điểm BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OM.

Bài 13.253 : Cho hình chóp đều S .ABC, đáy có cạnh bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc bằng ϕ, với (0◦ < ϕ < 90◦). Tính thể tích

khối chóp S .ABC và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (S BC).

Bài 13.254 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm I(0; 0; 1),K(3; 0; 0). Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm

I,K và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc bằng 30◦.

Bài 13.255 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + 2y + z − m2 − 3m = 0 (m là tham số) và mặt cầu

(S ) : (x − 1)2 + (y + 1)2 + (z − 1)2 = 9.

Tìm m để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S ). Với m tìm được, hãy xác định toạ độ tiếp điểm của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S ).

Bài 13.256 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a, cạnh S A vuông góc với đáy và S A = 2a.

Gọi M là trung điểm của S C. Chứng minh rằng tam giác AMB cân tại M và tính diện tích tam giác AMB theo a.

Bài 13.257 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 1; 1), B(0;−1; 3)và đường thẳng d :

8<:3x − 2y − 11= 0

y + 3z − 8.

1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của đoạn AB và vuông góc với AB. Gọi K là giao điểm của đường thẳng d

và mặt phẳng (P), chứng minh rằng d vuông góc với IK.

2. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng có phương trình x + y − z + 1 = 0.

Bài 13.258 : Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại A, AD = a, AC = b, AB = c.

Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c và chứng minh rằng :

2S ≥p

abc(a + b + c).

Bài 13.259 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 1; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2).

1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc toạ độ O và vuông góc với BC. Tìm toạ độ giao điểm của AC với mặt phẳng (P).

2. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.

Bài 13.260 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; 0), C(0; 4; 0), S (0; 0; 4).

1. Tìm toạ độ điểm B thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật. Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm

O, B,C, S .

2. Tìm toạ độ điểm A1 đối xứng với điểm A qua đường thẳng S C.


d1 :x1=

y1=

z2

và d2 :

8>><>>:x = −1− 2t

y = t

z = 1+ t

(t là tham số )

1. Xét vị trí tương đối của d1 và d2.

2. Tìm toạ độ điểm M thuộc d1 và điểm N thuộc d2 sao cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng (P) : x − y + z = 0 và độ

dài đoạn MN =√

2.

Bài 13.262 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(5; 2;−3) và mặt phẳng (P) : 2x + 2y − z + 1 = 0.

1. Gọi M1 là hình chiếu của M lên mặt phẳng (P). Xác định toạ độ điểm M1 và tính độ dài đoạn MM1.

2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và chứa đường thẳng :x − 1

2=

y − 11=

z − 5−6.

Bài 13.263 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho lăng trụ đứng OAB.O1A1B1 với A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), O1(0; 0; 4).

1. Tìm toạ độ các điểm A1, B1. Viểt phương trình mặt cầu qua bốn điểm O, A, B,O1.



WWW.VNMATH.COM


2. Gọi M lsà trung điểm của AB. Mặt phẳng (P) qua M vuông góc với O1A và cắt OA,OA1 lần lượt tại N,K. Tính độ dài đoạn NK.

Bài 13.264 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 với A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), D1(0; 2; 2).

1. Xác định toạ độ các điểm còn lại của hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh rằng hai mặt

phẳng (AB1D1) và (AMB1) vuông góc nhau.

2. Chứng minh rằng tỉ số khoảng cách từ điểm N thuộc đường thẳng AC1 (N . A) tới 2 mặt phẳng (AB1D1) và (AMB1) không phụ

thuộc vào vị trí của điểm N.

Bài 13.265 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(0; 2; 0), A′(0; 0; 2).

1. Chứng minh A′C vuông góc với BC. Viết phương trình mặt phẳng (ABC′).

2. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của B′C′ trên mặt phẳng (ABC′).

Bài 13.266 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có các cạnh AB = AD = a, AA′ =a√

32

và góc ÔBAD = 60◦. Gọi M,N lần lượt là trung

điểm các cạnh A′D′, A′B′. Chứng minh rằng AC′ vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.

Bài 13.267 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) : 3x + 2y − z + 4 = 0 và hai điểm A(4; 0; 0), B(0; 4; 0). Gọi I là

trung điểm của đoạn thẳng AB.

1. Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (α).

2. Xác định toạ độ điểm K sao cho KI vuông góc với mặt phẳng (α) đồng thời K cách đều gốc tạo độ và mặt phẳng (α).

Bài 13.268 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh S A vuông góc với đáy, cạnh S B tạo

với mặt phẳng đáy một góc 60◦. Trên cạnh S A lấy điểm M sao cho AM =a√

32

. Mặt phẳng (BCM) cắt S D tại N. Tính thể tích khối

chóp S .BCNM.

Bài 13.269 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + y − z + 5 = 0 và các điểm A(0; 0; 4), B(2; 0; 0).

1. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên mặt phẳng (P).

2. Viết phương trình mặt cầu đi qua O, A, B và tiếp xúc với mặt phẳng (P).

Bài 13.270 : Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có A′ABC là hình chóp đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA′ = b. Gọi α là góc giữa hai

mặt phẳng (ABC) và (A′BC). Tính tanα và thể tích khối đa diện A′BB′C′C.


∆1 :

8>><>>:x = 1+ t

y = −1− t

z = 2

và ∆2 :x − 3−1

=y − 1

2=

z1.

1. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng ∆1 và song song với đường thẳng ∆2.

2. Xác định điểm A trên ∆1 và điểm B trên ∆2 sao cho đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.

Bài 13.272 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ÔBAD = 60◦, S A vuông góc với mặt phẳng (ABCD), S A = a.

Gọi C′ là trung điểm của cạnh S C. Mặt phẳng (P) đi qua AC′ và song song với BD, cắt các cạnh S B, S D của hình chóp lần lượt tại

B′,D′. Tính thể tích khối chóp S .AB′C′D′.

Bài 13.273 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 4x − 3y + 11z − 26= 0 và hai đường thẳng

d1 :x−1=

y − 32=

z + 13

; d2 :x − 4

1=

y1=

z − 32.


2. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên (P), đồng thời ∆ cắt cả d1, d2.

Bài 13.274 : Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi S H là đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung

điểm I của S H đến mặt phẳng (S BC) bằng b. Tính thể tích khối chóp S .ABCD.



WWW.VNMATH.COM


Bài 13.275 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(1; 2; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 3).

1. Viết phương trình đường thẳng qua O và vuông góc với mặt phẳng (ABC).

2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa OA, sao cho khoảng cách từ B đến (P) bằng khoảng cách từ C đến (P).

Bài 13.276 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a và điểm K thuộc cạnh CC′ sao cho CK =2a3

. Mặt phẳng (α) đi

qua A,K và song song với BD, chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích của hai khối đa diện đó.

Bài 13.277 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(−1; 3;−2), B(−3; 7;−18)và mặt phẳng (P) : 2x − y + z + 1 = 0.

1. Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (P).

2. Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất.

Bài 13.278 : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a√

5 và ÔBAC = 120◦. Gọi M là trung điểm của cạnh

CC1. Chứng minh MB⊥MA1 và tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM).

Bài 13.279 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0),C(2; 4; 6)và đường thẳng d :

8<:6x − 3y + 2z = 0

6x + 3y + 2z − 24= 0.

1. Chứng minh các đường thẳng AB và OC chéo nhau.

2. Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với d và cắt các đường thẳng AB,OC.

Bài 13.280 : Cho hình chóp S .ABC, góc giữa hai mặt phẳng (S BC) và (ABC) bằng 60◦; các tam giác ABC và S BC là các tam giác

đều cạnh a. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (S AC).

Bài 13.281 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(−3; 5;−5), B(5;−3; 7)và mặt phẳng (P) : x + y + z = 0.

1. Tìm giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng (P).

2. Tìm điểm M ∈ (P) sao cho MA2+ MB2 nhỏ nhất.

Bài 13.282 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, S A vuông góc với đáy. Cho AB = a, S A = a√

2. Gọi H và

K lần lượt là hình chiếu của A lên S B, S D. Chứng minh S C⊥(AHK) và tính thể tích khối tứ diện OAHK.

Bài 13.283 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2; 0; 0),M(0;−3; 6).

1. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) : x + 2y − 9 = 0 tiếp xúc với mặt cầu tâm M, bán kính OM. Tìm toạ độ tiếp điểm.

2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa A,M và cắt các trục Oy,OZ tại các điểm tương ứng B,C sao cho VOABC = 3.

Bài 13.284 : Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn sao cho AC = R. Trên

đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (S AB) và (S BC) bằng 60◦. Gọi H,K lầ lượt là hình

chiếu vuông góc của A trên S B, S C. Chứng minh tam giác AHK vuông và tính VS .ABC.

Bài 13.285 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d :x − 3

2=

y + 21=

z + 1−1

và mặt phẳng (P) : x + y + z + 2 = 0.

1. Tìm giao điểm M của d và (P).

2. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong (P) sao cho ∆⊥d và khoảng cách từ M đến ∆ bằng√

42.

Bài 13.286 : Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông AB = AC = a, AA1 = a√

2. Gọi M,N lần lượt là trung

điểm của đoạn AA1 và BC1. Chứng minh MN là đường vuông góc chung của các đường thẳng AA1 và BC1. Tính VM.A1BC1.

Bài 13.287 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x − 2y + 2z − 1 = 0 và các đường thẳng

d1 :x − 1

2=

y − 3−3=

z2

và d2 :x − 5

6=

y4=

z + 5−5.

1. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d1 và (Q)⊥(P).

2. Tìm các điểm M ∈ d1,N ∈ d2 sao cho MN ∥ (P) và cách (P) một khoảng bằng 2.

Bài 13.288 : Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung điểm của đoạn AA1. Chứng minh BM⊥B1C

và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và B1C.



WWW.VNMATH.COM


Bài 13.289 : Cho khối chóp đều S .ABCD có AB = a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60◦. Tính thể tích khối chóp S .ABCD theo a.

Bài 13.290 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(−1; 2; 3)và đường thẳng d :x − 2

1=

y − 12=

z1

.

1. Hãy tìm tọa độ của hình chiếu vuông góc của A trên d.

2. Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d.

Bài 13.291 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2;−3) và mặt phẳng (P) : 2x + 2y − z + 9 = 0.

1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P).

2. Tìm tọa độ điểm A′ đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P).


3, mặt bên S BC là tam giác đều và vuông

góc với mặt phẳng đáy. Tính theo A thể tích khối chóp S .ABC.

Bài 13.293 : 1. Trong không gian Oxyz tìm phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm M(−4;−9; 12), A(2; 0; 0)và cắt trục Oy,Oz

lần lượt tại B,C sao cho OB = 1+ OC (B,C không trùng với gốc O).

2. Tìm phương trình của mặt phẳng (Q) qua điểm M(−4;−9; 12)và cắt trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A0, B0,C0 sao cho8<:OC0 = OA0 + OB0

4OC0

=1

OA0+

1OB0.

Bài 13.294 : Tìm phương trình mặt phẳng đi qua điểm (1; 0;−2) và vuông góc với cả hai mặt phẳng

(P1) : 2x + y − z − 2 = 0 và (P2) : x − y − z − 3 = 0.

Bài 13.295 : Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua hai điểm A(2; 1; 1), B(3; 2; 2)và vuông góc với mặt phẳng x + 2y −5z − 3 = 0.

Bài 13.296 : Viết phương trình của mặt phẳng đi qua điểm A(1; 0; 2), song song với vectơ −→v = (2; 3; 1)và vuông góc với mặt phẳng

2x − y − 5z + 1 = 0.

Bài 13.297 : Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm (0; 2; 0), (2; 0; 0)và tạo với mặt phẳng (Oyz) một góc 60◦.

Bài 13.298 : 1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm (3; 4; 1)và qua giao tuyến của hai mặt phẳng 19x − 6y − 4z + 27= 0 và

42x − 8y + 3z + 11= 0.

2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm (4;−3; 2)và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng

x − y + 2z − 3 = 0

2x − y − 3z = 0.

Bài 13.299 : Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm (1; 4;−2) và song song với đường thẳng8<:6x + 2y + 2z + 3 = 0

3x − 5y − 2z − 1 = 0.

Bài 13.300 : Tìm phương trình tham số của đường thẳng nằm trong mặt phẳng x + 3y − z + 4 = 0 và vuông góc với đường thẳng8<:x − 2z − 3

y − 2z = 0tại giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.

Bài 13.301 : Lập phương trình của đường thẳng đi qua điểm (3; 2; 1)vuông góc với đường thẳngx2=

y4=

z + 31

và cắt đường thẳng

đó.

Bài 13.302 : Tìm phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm (−4;−5; 3)và cắt cả hai đường thẳngx + 1

3=

y + 3−3=

z − 2−1

,x − 2

2=

y + 13=

z − 1−5

.



WWW.VNMATH.COM


Bài 13.303 : Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm (0; 1; 1)vuông góc với đường thẳngx − 1

3=

y + 21=

z1

và cắt

đường thẳng

8<:x + y − z + 2 = 0

x + 1 = 0.

Bài 13.304 : Tìm phương trình của đường thẳng qua điểm (3;−1;−4) cắt trục Oy và song song với mặt phẳng 2x + y = 0.


2=

y − 11=

z − 23

và mặt phẳng (P) : x − y − z − 1 = 0.

1. Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M(1; 1;−2), song song với (P) và vuông góc với d.

2. Gọi N là giao điểm của d và (P). Tìm điểm K trên d sao cho KM = KN.

Bài 13.306 : Cho đường thẳng d có phương trìnhx − 3

2=

y−1=

z − 13

mà mặt phẳng (P) có phương trình x + y + z = 0.

1. Xác định giao điểm A của d và (P).

2. Viết phương trình của đường thẳng ∆ qua A vuông góc với d và nằm trong (P).

Bài 13.307 : Trong không gian với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxyz cho :

d :

8>><>>:x = 1+ 2t

y = 2− t

z = 3t;

và (P) : 2x − y − 2z + 1 = 0.

1. Tìm toạ độ các điểm thuộc đường thẳng d sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó đến mặt phẳng (P) bằng 1.

2. Gọi K là điểm đối xứng của điểm I(2;−1; 3)qua đường thẳng d. Hãy xác định toạ độ điểm K.

Bài 13.308 : Trong không gian Oxyz, cho (P) : x + y + z + 1 = 0 và d :x − 1

1=

y − 22=

z − 13. Viết phương trình hình chiếu vuông

góc của d trên mặt phẳng (P).

Bài 13.309 : Cho hai đường thẳng :

d :

8<: 2x − 3y − 2 = 0

x + 3z + 2 = 0,∆ :

8<: 2x − 3y + 9 = 0

y + 2z + 1 = 0.

1. Chứng minh d//∆. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆ và d.

2. Tìm toạ độ điểm N đối xứng với điểm M(−2; 3;−4) qua d.

Bài 13.310 : Cho A(0; 1; 1)và hai đường thẳng :

d1 :x − 1

3=

y + 21=

z1, d2 :

8<:x + y − z + 2 = 0

x + 1 = 0.

Lập phương trình đường thẳng qua A, vuông góc với d1 và cắt d2.

Bài 13.311 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng :

∆1 :

8>><>>:x = 2+ 2t

y = −1+ t

z = 1,

và ∆2 :

8>><>>:x = 1

y = 1+ t′

z = 3− t′.

1. Chứng tỏ ∆1 và ∆2 chéo nhau. Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa ∆1 và song song với ∆2.

2. Tính khoảng cách giữa ∆1 và ∆2.

Bài 13.312 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(2;−1; 1)và đường thẳng ∆ :

8<:y + z − 4 = 0

2x − y − z + 2 = 0.



WWW.VNMATH.COM


1. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A và vuông góc với ∆.

2. Xác định toạ độ điểm B đối xứng với A qua ∆.

Bài 13.313 : Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz, cho tứ diện S ABC với các đỉnh

S (−2; 2; 4), A(−2; 2; 0), B(−5; 2; 0),C(−2; 1; 1).

Tính khoảng cách giữa 2 cạnh đối S A và BC.

Bài 13.314 : Trong không gian với hệ toạ độ Đề Các vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng song song :

d1 :x + 7

3=

y − 5−1=

z − 94

và d1 :x3=

y + 4−1=

z + 184.

1. Viết phương trình mặt phẳng chứa d1 và d2. 2. Tính khoảng cách giữa d1 và d2.

Bài 13.315 : Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz xét đường thẳng có phương trình :

∆ :x4=

y − 43=

z + 1−2

và mặt phẳng có phương trình (P) : x − y + 3z + 8 = 0. Viết phương trình chính tắc của hình chiếu vuông góc của đường thẳng ∆ trên

mặt phẳng (P).

Bài 13.316 : Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0;b; 0),C(0; 0;c) với a, b, c > 0.

1. Chứng tỏ rằng tam giác ABC không thể là tam giác vuông.

2. Tính thể tích hình chóp OABC và diện tích tam giác ABC theo a, b, c.

Bài 13.317 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác cân tại đỉnh A. Các cạnh bên của hình chóp tạo với đáy các góc bằng β.

1. Chứng minh hình chóp có các cạnh bên bằng nhau.

2. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng mặt phẳng (S AI) vuông góc với mặt phẳng ABC.

3. Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên S I. Chứng minh rằng AK vuông góc với mặt phẳng (S BC).

4. Cho biết góc ÔBAC = α, khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABC là d. Tính diện tích của tam giác ABC theo d, α, β.

Bài 13.318 : Cho góc tam diện ba mặt vuông Oxyz. Trên Ox,Oy,Oz lần lượt lấy các điểm A, B,C.

1. Tính diện tích tam giác ABC và khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) theo OA = a,OB = b,OC = c.

2. Giả sử A, B,C thay đổi nhưng luôn có : OA + OB + OC + AB + BC + CA = k không đổi. Hãy xác định giá trị lớn nhất của thể

tích tứ diện OABC.

3. Giả sử điểm A cố định còn B và C thay đổi sao cho OB + OC = OA. Hãy xác định vị trí của B và C sao cho thể tích tứ diện

OABC là lớn nhất. Chứng minh rằng khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC lại là nhỏ nhất.


d1 :x − 3

2=

y − 32=

z − 31

và d2 :

8<:5x − 6y − 6z + 13= 0

x − 6y + 6z − 7 = 0.


2. Gọi I là giao điểm của d1 và d2. Tìm tọa độ các điểm A, B lần lượt thuộc d1, d2 sao cho tam giác IAB cân tại I và có diện tích

bằng√

4142

.

Bài 13.320 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng

(P) : 2x + 3y − 3z + 1 = 0 và đường thẳng d :x − 3

2=

y9=

z + 51

và ba điểm A(4; 0; 3), B(−1;−1; 3), C(3; 2; 6).



WWW.VNMATH.COM


1. Viết phương trình mặt cầu (S ) đi qua ba điểm A, B,C và có tâm thuộc mặt phẳng (P).

2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu (S ) theo một đường tròn có bán kính lớn nhất.

Bài 13.321 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1; 1; 1), B(2a; 0; 0), C(a; b; 0), D(a; 0;c), E(0; 0; 2), F(a; b; c),

G(5; 1; 1)và H(18; 0; 0), trong đó a, b, c là các số thực dương. Biết bốn điểm A, B,C,D nằm trên mặt phẳng (P) và bốn điểm E, F,G,H

nằm trên mặt phẳng (Q). Xác định a, b, c và viết phương trình mặt phẳng (P).

Bài 13.322 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1; 4; 2), B(−1; 2; 4)và đường thẳng d :x − 1−1=

y + 21=

z2

.

1. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho

(a) |−−→MA +−−→MB| nhỏ nhất;

(b) MA2+ MB2 nhỏ nhất ;

(c) MA + MB nhỏ nhất ;

(d) Diện tích tam giác AMB nhỏ nhất.

2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất.

3. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc nhỏ nhất.

4. Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa d và tạo với trục Oy một góc lớn nhất.

5. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A và cắt d sao cho khoảng cách từ B đến ∆ là

(a) lớn nhất ; (b) nhỏ nhất.

Bài 13.323 : Cho mặt phẳng (α) : x − y + 2z = 0 và các điểm A(1; 2;−1), B(3; 1;−2),C(1;−1; 1). Tìm điểm M thuộc (α) sao cho :

1. MA + MB nhỏ nhất ;

2. |MA − MB| nhỏ nhất ;

3. MA2 − MB2 − MC2 lớn nhất ;

4.−−→MA +

−−→MB +

−−→MC nhỏ nhất.



Chuyên đề LTĐH

Education

Transcript of Chuyên đề LTĐH