Chuong2: ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ, môn thống kê ứng dụng

CHƯƠNG 2

ƯỚC LƯỢNG CÁC THAM SỐ THỐNG KÊ

Th.S HUỲNH TỐ UYÊN1

BÀI TOÁN ƯỚC LƯỢNG

2

1. Ước lượng điểm

2. Ước lượng khoảng:.

Ước lượng tỉ lệ (1 tổng thể và 2 tổng thể) Ước lượng trung bình (1 tổng thể và 2 tổng thể)Ước lượng phương sai (1 tổng thể và 2 tổng thể)

Ước lượng không chệch, ước lượng hiệu quả, ước lượng vững, ước lượng đủ.

ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM

3

Ước lượng điểm : Ta chứng minh được rằng giá trị trung bình, tỉ lệ vàphương sai mẫu hiệu chỉnh thỏa mãn tất cả các tínhchất của ước lượng như: không chệch, hiệu quả, vững và đầy đủ.

Do đó, các đặc trưng này lần lượt là ước lượng điểmcủa trung bình, tỉ lệ và phương sai tổng thể.

( )

( )

( )

µ

σ

=

=

=2 2

E X

E f P

E S

µ

σ

≈

≈

≈2 2

X

P f

S

ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG

4

Ước lượng khoảng : Gọi θ là đặc trưng của tổng thể mà ta cần ước lượng. Giả sử dựa vào mẫu, ta tìm được θ1, θ2 sao choP(θ1≤ θ ≤ θ2 ) = 1-α . Khi đó

(θ1,θ2 ) là khoảng ước lượng của θ.

1-α là độ tin cậy của ước lượng.

là độ chính xác của ước lượng1 2

1

2θ θ−

1 2

1

2θ θ−

θ1θ 2θ

Bề rộng của ước lượng

5

Độ tin cậy 1 � �

0

0,0252

α=0,025

2

α=

1 0,95α− =

+ Khi X có PP chuẩn thì

Khoảng 68% giá trị rơi vào � � �

Khoảng 95% giá trị rơi vào � � 2�

Khoảng 99,7% giá trị rơi vào � � 3�

Vậy hầu như toàn bộ giá trị đều nằm

trong khoảng ±3σ

6

1.1. ƯỚC LƯỢNG TỈ LỆ

Ta cần ước lượng tỉ lệ P cho tổng thểTa chọn UL không chệch của P là f (tỉ lệ của mẫu được

lấy từ mẫu định tính gồm n phần tử của mẫu ( 30), ta tính được là tỉ lệ các phần tử có tính chất T trong mẫu.)) để UL cho P.

� � � � � � � Vậy ta cần tính sai số UL: (Đối với từng dạng bài ta sẽ có cách tính khác nhau

- Kết luận: � � � � hay khoảng ước lượng của P là � � � � ; � � với độ tin cậy � � � cho trước

7

2.1. BÀI TOÁN ƯỚC LƯỢNG TỈ LỆ 1 TỔNG THỂ

Bước 1

Bước 2

Bước 3

Kếtluận

vôùi m = soá phaàn töû coù tính chaát A trong maãum

fn

=

/ 2

(1 )f fZ

nαε

−=

( )p f ε∈ ±

Với độ tin cậy 1- αααα, tỉ lệ các phần tử có tínhchất A trong tổng thể được ước lượng trongkhoảng f p fε ε− ≤ ≤ +

8

Cách tìm p, f, trong ULTS

- Độ chính xác (sai số ước lượng) được tính bởi công thức:

2

(1 )f fZ

nαε−

=

+ Nếu đồ thị cân đối (KĐ 2 bên) ta tìm��

� ta tra bảng hàm

Laplace sao cho

2

1 1( )

2 2 2Zα

α αϕ

−= − =

(Với1 � α là độ tin cậy

cho trước)

+ Nếu đồ thị lệch (KĐ 1 bên) ta tìm �� ta tra bảng hàm

Laplace sao cho:�� !

��

9

CÁCH TRA BẢNG LAPLACE (PP CHUẨN HÓA)

2

1( )

2Zα

αϕ

−=

Cho độ tin cậy 95%, tìm��"à��/�

a) Tìm ��/�(�%,%�'

Ta có theo định nghĩahàm, ta có: 0,5-0,025=0,475

Tìm 0,475 trong

bảng tra rồi chiếu

lên và xuống, sau

đó cộng 2 đã được

chiếu vuông gốc đó

lại

0,475

0,06

1,9

Vậy � �%,%�' � 0,475

→ �%,%�' � 1,96

Vậy ��/� � 1,96

Tương tự: 0,5-0,05=0,45

� �%,%' � 0,45

→ �%,%' � 1,64~1,65

Vậy �� 1,64

αϕ α= −

1( )

2Z

Ngược lại nếu cho /�/0 � �, 12 tìm �. Tra

bảng ta được 3, 4 ��

0� 3, 564 ⇒

�

0� 3, 304

10

CÁCH TRA BẢNG LAPLACE (PP CHUẨN HÓA)

0

0,0252

α=0,025

2

α=

1 0,95α− =

0,025 1,96Z =0,025 1,96Z− = −

2

1( )

2Zα

αϕ

−=

11

Ví dụ

Ví dụ 6.1. Trước ngày bầu cử chủ tịch nước, người ta phỏng vấn ngẫu nhiên 1800 cử tri thì thấy có 1180 ngườiủng hộ ứng cử viên A. Với độ tin cậy 95%, hỏi ứng cửviên đó thu được tối thiểu bao nhiêu % số phiếu bầu?

Tổng thể:

Tính chất T quan tâm:

Mẫu:

Kích thước mẫu:

Số phần tử có tính chất T:

12

Ví dụ+ Vậy tỉ lệ mẫu là:

11800,6556

1800

kf

n= = = .

+ Tra bảng hàm Laplace ta thấy

αα

ϕ ϕ−

= = = =

2

1 0,95( ) 0,475 (1,96)

2 2Z

2

1,96Zα⇒ =

+ Độ chính xác của ước lượng là:

αε− −

= = =

2

(1 ) 0,6556(1 0,6556)1,96 0,0220

1800

f fZ

n

Do đó tỉ lệ tổng thể ủng hộ ứng cử viên A là: 0,6556 0,022p = ±

Hay khoảng ước lượng cần tìm là: ( )0,6336;0,6776 .

Vậy tối thiểu ứng cử viên A sẽ thu được 63,36% số phiếu bầu.

13

Ví dụ

Bưu điện Tp HCM nghiên cứu về cước điện thoại cốđịnh trên địa bàn Tp. Mẫu ngẫu nhiên gồm 100 giađình được chọn từ các Quận , Huyện như sau:Cước trả hàng tháng

( ngàn đồng)Số hộ

<60 10

60-80 15

80-100 22

100-120 27

120-140 12

140-160 9

>160 5

a)Hãy ước lượng tỉ lệ hộgia đình có mức cướcđiện thoại hàng tháng từ100 ngàn đồng trở lên, với độ tin cậy 90%?b) Nếu muốn bài toánước lượng đạt độ chínhxác 5% với khoảng tin cậy 99% thì cần điều trabao nhiêu hộ gia đình?

14

1.2. XÁC ĐỊNH CỠ MẪU CHO BÀI TOÁN ƯỚC LƯỢNG TỈ LỆ

* Từ công thức tính độ chính xác của bài toán ướclượng tỉ lệ, ta có:

2/ 2 / 2 2

(1 ) (1 )f f f fZ n Z

nα αε

ε

− −= ⇒ =

* Ta có công thức tỉ lệ mẫu:

Mà

⇒Số phần tử có tính chất A trong tổng thể:

⇒Tổng số phần tử trong tổng thể:

f p fε ε− ≤ ≤ +

vôùi M = soá phaàn töû coù tính chaát A trong toång theåM

pN

=

( ) ( )f N M f Nε ε− ≤ ≤ +

M MN

f fε ε≤ ≤

+ −

15

1.2. XÁC ĐỊNH CỠ MẪU CHO BÀI TOÁN ƯỚC LƯỢNG TỈ LỆ

Ví dụ b): Nếu muốn bài toán ước lượng ở ví dụ trên đạt độchính xác 5% với khoảng tin cậy 99% thì cần điều trabao nhiêu hộ gia đình?Giải:

Vậy cần điều tra ít nhất 661 hộ gia đình.

/ 2 0,005

2/ 2 2

0,05 ; 2,575 ; 0,53

(1 )660,675

Z Z f

f fn Z

α

α

ε

ε

= = = =

−⇒ = =

16

Ví dụ

Ví dụ 6.6. Kiểm tra ngẫu nhiên 100 sản phẩmtrong từng lô hàng thấy có 20 phế phẩm.a) Hãy ước lượng tỉ lệ phế phẩm của lô hàng

với độ tin cậy 99%

(� ��%

!%%,��

�� 2,576, � 0,103

b) Nếu muốn sai số ước lượng là 0,04 thì độtin cậy của ước lượng là bao nhiêu?c) Nếu muốn độ tin cậy 99% và sai số ướclượng là 0,04 thì cần phải điều tra bao nhiêusản phẩm?

17

Ví dụ

Ví dụ 6.6. Kiểm tra ngẫu nhiên 100 sản phẩmtrong từng lô hàng thấy có 20 phế phẩm.b) Nếu muốn sai số ước lượng là 0,04 thì độtin cậy của ước lượng là bao nhiêu?

� 0,04, tìm 1 � � tức phải tìm��

�

Ta có

2 2

(1 )(1 )

f f nZ Z

n f fα αε ε−

= ⇒ =−

( ) ( )/2 /21

1 2. 68,22

Z Zα αα

ϕ α ϕ−

= ⇒ − = =

18

Ví dụ

Ví dụ 6.6. Kiểm tra ngẫu nhiên 100 sản phẩmtrong từng lô hàng thấy có 20 phế phẩm.c) Nếu muốn độ tin cậy 99% và sai số ướclượng là 0,04 thì cần phải điều tra bao nhiêusản phẩm?

� 0,04 và 1 � � � 0,99 tức phải tìm n

Ta có

( )

2

22

2

(1 ). (1 ) 663,4

Zf f

Z n f fn

α

αεε

−= ⇒ = − =

' 664n⇒ =

19

CM CÔNG THỨC UL TỈ LỆ 1TT

Nếu có thể điều tra một mẫu có kích thước khá lớn ( 100 thì ta có thể

chọn thống kê 8 � 9 ��:;< =

:��;: ~>�3, � . Do đó với độ tin cậy �1 � � cho

trước, có thể tìm được cặp giá trị �! và �� sao cho �! � �� . Từ đó tìmđược các giá trị tới hạn chuẩn tương ứng là ?!;�@

và ?�Athỏa mãn điều

kiện � B C ?!;�@� �!và � B D ?�A

� ��.

Từ đó � ?!;�@C B C ?�A

� 1 � �! � �� 1 � �.

Thay giá trị của B vào và sử dụng tính chất �?�@� ?!;�@

sau phép biến đổi

tương đương ta có:

P(�?�@<

�:;< =

:��;: <?�A

� 1 � �

⟺ P(�?�@. ��1 � �<�: � < =< ��1 � � ?�A

� 1 � �

� � �� 1 � �

?�A

C G C � �� 1 � �

?�@

� 1 � �.

Như vậy, với độ tin cậy �1 � � , khoảng tin cậy của G có dạng

: �: � � :

=H�0

, : �: � � :

=H��

.

20

1.3. ƯỚC LƯỢNG TỈ LỆ 2 TỔNG THỂ

Tỉ lệ phần tử có tính chất A của 2 tổng thể làP1 , P2. Giả sử ta có 2 mẫu ngẫu nhiên gồm n1 , n2

phần tử (n1 , n2 ≥40) và f1 , f2 là tỉ lệ các phần tử cótính chất A trong 2 mẫu.

Khi đó với độ tin cậy 1- α cho trước, nếu tatìm được a, b sao cho a ≤ P1 - P2 ≤ b thì (a,b) chínhlà khoảng ước lượng khác biệt giữa tỉ lệ hai tổng thể1 và 2+ Nếu 0 < a < b ⇒ P1 > P2 (0 nằm bên trái (a,b)

+ Nếu a < b < 0 ⇒ P1 < P2 (0 nằm bên phải (a,b)

+ Nếu a < 0 < b ⇒ P1 = P2 (0 nằm giữa (a,b)

21

1.3. ƯỚC LƯỢNG TỈ LỆ 2 TỔNG THỂ

Bước 1

Bước 2

Bước 3

Kếtluận

1 2 1 2, , ,n n f f

1 1 2 2/ 2

1 2

(1 ) (1 )f f f fZ

n nαε

− −= +

( )1 2 1 2P P f f ε− ∈ − ±

Với độ tin cậy 1- α, chênh lệch giữa tỉ lệ cácphần tử có tính chất A trong tổng thể 1 vàtổng thể 2 được ước lượng trong khoảng …

22

Ví dụ (bài tập 11)

Doanh nghiệp dự định đưa sản phẩm củamình vào hai thị trường khác nhau.

Bán thử sản phẩm cho 100 khách hàngtiềm năng của thị trường thứ nhất thì có 50 ngườimua.

Còn với thị trường thứ hai, khi bán thử sảnphẩm cho 50 khách hàng tiềm năng thì có 20 người mua.

Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng mức độchênh lệch về thị phần mà doanh nghiệp có thể đạtđược tại hai thị trường đó.

23

Ví dụ thực hành

Kết quả điều tra từ mẫu ngẫu nhiên 1000 người

ở mỗi TP cho thấy năm 2015, tỉ lệ thất nghiệp ở

TP A là 7,5%, ở TP B là 7,2%. Hãy ước lượng

khoảng tin cậy 99% cho khác biệt về tỉ lệ giữa 2

TP A và B

GiảiGI � 0,075, GJ � 0,072, I � J � 10000, ��/�

� �%.%%' � 2,575

Vì vậy �0,027 C GI � GJ C 0,033Kết luận: với độ tin cậy 99% tỉ lệ thất nghiệp ở 2 TP là bằng nhau.

ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH

24

1. ULTB trên 1 tổng thể

2. Bài toán xác định cỡ mẫu

3. ULTB trên 2 tổng thể

25

2.1 ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH TRÊN 1 TỔNG THỂ

BiếtChưa biết Chưa biết

Bước 1

Bước 2

Bước 3

Kết

luận

2σ2σ 2σ

30n ≥ 30n <

2

Zn

α

σε =

X

( )Xµ ε∈ ±

,X S

2

SZ

nαε =

( )Xµ ε∈ ±

,X S

/ 2; 1n

St

nαε −=

( )Xµ ε∈ ±

Với độ tin cậy 1- α, trung bình tổng thể được

ước lượng trong khoảng( );X Xε ε− +

26

Khi n>30 các PP dần về PP chuẩn tắc(ĐLGHTT)

PHƯƠNG PHÁP 1: So sánh trung bình (Mean) v à trung vị KL

Mo Mo = Me= Mean Mo MeMe

Skewness <0 Skewness =0 Skewness >0

Lệch phảiLệch trái

Mean Mean

Cân đối

eX M< e

X M>e

X M=

[email protected]: hệ số bất đối xứng

, MốO�P%

27


Bài tập 1: Một tổ chức xã hội vừa thực hiện một nghiên cứuvề chi phí cho việc sử dụng thuốc lá và thu đượcđộ lệch chuẩn bằng 60 ngàn đồng. Số liệu điều tratrên mẫu 81 người hút thuốc lá thường xuyên chothấy mức chi trung bình 1 tuần là 150 ngàn đồng.Tìm khoảng tin cậy 95% cho mức chi tiêu trungbình hàng tuần của những người hút thuốc láthường xuyên?Nhận xét: bài toán có dạng 1

28


B1: Ta có trung bình (ngàn đồng) độ lệch chuẩn (ngàn đồng)

B2: α=5%

B3:

Với độ tin cậy 95%, mức chi tiêu trung bình hàngtuần của những người hút thuốc lá thường xuyênđược ước lượng trong khoảng 137 ngàn đồng đến164 ngàn đồng

150X =60σ =

2

601,96. 13,067 (ngaøn ñoàng)

81Z

nα

σε = = =

/ 2 0,025 1,96Z Zα⇒ = =

( ) ( )

( )

150 13,067 150 13,067

136,933 163,067

X Xε µ ε µ

µ

− < < + ⇔ − < < +

⇔ < <

29


Bài tập 2: Bưu điện Tp HCM nghiên cứu về cước điện thoại cốđịnh trên địa bàn Tp. Mẫu ngẫu nhiên gồm 100 giađình được chọn từ các Quận , Huyện như sau:Cước trả hàng tháng


<60 10

60-80 15

80-100 22

100-120 27

120-140 12

140-160 9

>160 5

Ước lượng tiềncước trung bình củacác hộ gia đình vớiđộ tin cậy 95% ?

Nhận xét: bài toáncó dạng 2

50

70

90

110

130

150

170

30


Hướng dẫn sử dụng máy tính bỏ túi:FX 500MS, 570MS

Bước 1: Xóa bộ nhớ thống kê: Shift + Mode + 3+ = + ACBước 2: Vào SD : Mode + 2 ( hoặc Mode +Mode +1 )Bước 3: Nhập số liệu: Xi + Shift + ; + ni + M+

Bước 4: Gọi kết quả: Shift + 2 + 1 + = �Shift + 2 + 3 + = � S

FX570ESBước 1: Xóa bộ nhớ thống kê: Shift + 9 + 3+ = + ACBước 2: Vào SD : Shift + Mode + Mũi tên xuống + 4+ 1Bước 3: Nhập số liệu: Mode +3 +1 , nhập xong nhấn ACBước 4: Gọi kết quả: Shift + 1 + 5 + 2 + = �

Shift + 1 + 5 + 4 + = � S

X

X

31


B1: Ta có trung bình (ngàn đồng)độ lệch chuẩn (ngàn đồng)

B2: α=5%

B3:

Với độ tin cậy 95%, tiền cước điện thoại cố địnhtrung bình hàng tháng của các hộ gia đình khoảng 96 đến 109 ngàn đồng

102,6X =

31,8652S =

2

31,86521,96. 6,246

100

SZ

nαε = = =

/ 2 0,025 1,96Z Zα⇒ = =

( ) ( )

( )

102,6 6,246 102,6 6,246

96,354 108,846

X Xε µ ε µ

µ

− < < + ⇔ − < < +

⇔ < <

32


Bài tập 3: Một hãng hàng không nghiên cứu thời gian trungbình làm thủ tục nhập cảnh cho 1 hành khách. Mộtmẫu 16 khách hàng được chọn ngẫu nhiên, kết quảthời gian hoàn thành thủ tục nhập cảnh (phút) nhưsau:

14 ; 15; 14; 15; 12; 18; 12; 20; 22 ; 19; 18; 19; 20; 19; 18; 18

Với độ tin cậy 95% , ước lượng khoảng thời giantrung bình để hoàn thành thủ tục nhập cảnh chomột hành khách (giả thiết thời gian làm thủ tụcnhập cảnh có phân phối chuẩn)Nhận xét: bài toán có dạng 3

33

2.2. XÁC ĐỊNH CỠ MẪU CHO BÀI TOÁN ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH

2

/ 2/ 2

ZZ n

nα

α

σσε

ε

= ⇒ =

Từ công thức tính độ chính xác cho bài toán

ước lượng trung bình ta có:

2

/ 2/ 2

Z SSZ n

nα

αεε

= ⇒ =

Đã biết phương sai

Chưa biết phương sai

34


Bài tập 4: (xét BT 1)Một tổ chức xã hội vừa thực hiện một nghiên cứu về chi phí

cho việc sử dụng thuốc lá và thu được độ lệch chuẩn bằng 60

ngàn đồng. Số liệu điều tra trên mẫu 81 người hút thuốc lá

thường xuyên cho thấy mức chi trung bình 1 tuần là 150 ngàn

đồng.

Tìm khoảng tin cậy 95% cho mức chi tiêu trung bình hàng tuầncủa những người hút thuốc lá thường xuyên?

Trong bài tập 1, nếu muốn ước lượng chi tiêu trungbình cho thuốc lá đạt độ chính xác là 12 ngàn đồng vàđộ tin cậy 99% thì cần điều tra bao nhiêu người?

35


Trong bài tập 1, nếu muốn ước lượng chi tiêu trungbình cho thuốc lá đạt độ chính xác là 12 ngàn đồng vàđộ tin cậy 99% thì cần điều tra bao nhiêu người?

Giải:

Vậy ta cần điều tra ít nhất 166 người

22,575.60

165,7612

n

= =

0,005

2

12; 2,575; 60Z Zαε σ= = = =

2

/ 2/ 2

ZZ n

nα

α

σσε

ε

= ⇒ =

36


Trở lại Bài tập 2: Bưu điện Tp HCM nghiên cứu về cước điện thoại cốđịnh trên địa bàn Tp. Mẫu ngẫu nhiên gồm 100 giađình được chọn từ các Quận , Huyện như sau:Cước trả hàng tháng


<60 10

60-80 15

80-100 22

100-120 27

120-140 12

140-160 9

>160 5

a) Ước lượng tiềncước trung bình củacác hộ gia đình vớiđộ tin cậy 95% ?b) Nếu muốn ước lượng

tiền cước trung bình đạtđộ chính xác là 5 ngàn

đồng và độ tin cậy 99%

thì cần điều tra thêm

bao nhiêu người nữa?

37


Trong bài tập 2, nếu muốn ước lượng tiền cước trungbình đạt độ chính xác là 5 ngàn đồng và độ tin cậy99% thì cần điều tra thêm bao nhiêu người nữa?

Giải:

Vậy ta cần điều tra thêm 170 người.

2

/ 2

2

Z SSZ n

nα

αεε

= ⇒ =

22,575.31,8652

269,315

n

= =

0,005

2

5; 2,575; 31,8652Z Z Sαε = = = =

38

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Phỏng vấn 5 gia đình có 3 người về chi phí hành thángcho nhu yếu phẩm với giả thiết phân phối chuẩn thuđược các số liệu sau: 150 ngàn đồng, 180 ngàn đồng, 200 ngàn, 250 ngàn và 300 ngàn. Vậy phải phỏng vấnbao nhiêu gia đình cùng loại để với độ tin cậy 95% saisố cho việc ước lượng chi phí trung bình hàng thángcho nhu yếu phẩm không vượt quá 30 ngàn đồng.

39

2.3. ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH TRÊN 2 TỔNG THỂ

Gọi µ1,µ2 là trung bình của 2 tổng thể. Khi đó nếuta tìm được a, b sao cho a ≤ µ1 - µ2 ≤ b thì (a,b)

chính là khoảng ước lượng khác biệt giữa trungbình hai tổng thể 1 và 2

Nếu 0 < a < b ⇒ µ1 > µ2

Nếu a < b < 0 ⇒ µ1 < µ2

Nếu a < 0 < b ⇒ µ1 = µ2

Để ước lượng sự khác biệt giữa trung bình 2 tổngthể thì điều quan trọng nhất là phải phân biệt được

2 mẫu đại diện là độc lập hay phụ thuộc.

40


• Là mẫu được chọn theo cách một quan sát ở mẫu 1 tương xứng với 1 quan sát ở mẫu 2. Mục đích : kiểm tra sự tác động của các nhântố bên ngoài

Hai mẫu phụ thuộc:

• Doanh số bán hàng của A trước và sau khi thực hiện khuyến mãi; doanhsố bán hàng của A và B trong cùng 1 tháng (mẫu phụ thuộc theo nghĩatừng cặp doanh số trước và sau khi KM được thu thập ở cùng 1 cửa hàng

• Doanh số bán của 2 mặt hàng X và Y ở 10 cửa hàng (mẫu phụ thuộctheo nghĩa cả 2 doanh số của 2 mặt hàng X và Yđều được thu thập cùng10 cửa hàng như nhau)

• Tiền lương sau khi ra trường của Nam sinh viên và Nữ sinh viên. (mẫuphối hợp từng cặp theo nghĩa cả Nam , Nữ được xem là có năng lục vàkinh nghiệm như nhau).

Ví dụ:

41


• Là hai mẫu được chọn từ 2 tổng thể độc lập, sao cho một quan sát được chọn vào mẫu 1 không ảnh hưởng xác suất chọn được mộtquan sát khác vào mẫu 2

Hai mẫu độc lập:

• Nam và Nữ, ai dùng tiền điện thoại nhiềuhơn.

• Năng suất cây trồng khi dùng 2 loại phânbón.

Ví dụ:

42


Ước lượng sự khác biệt giữa trung bình 2 tổng thể khi 2 mẫu đại diện là phụ thuộc

Bước 1

Bước 2

Bước 3

Kếtluận

( )2

1 11 2 ; ;

1

n n

i ii i

i i i d

d d d

d X X d Sn n

= =

−

= − = =−

∑ ∑

( )1; / 2d

n

St

nα

ε−

=

( )1 2 dµ µ ε− ∈ ±

43


Bài tập 6: Công ty cấp nước áp dụng cácbiện pháp tiết kiệm nước. Lượng nước sử dụng hàngtháng ( m3 )ở 10 hộ gia đìnhtrước và sau khi áp dụng biệnpháp tiết kiệm nước:Giả sử lượng nước tiêu thụchênh lệch có phân phốichuẩn, hãy ước lượng sự khácbiệt giữa lượng nước tiêu thụtrung bình trước và sau khi ápdụng biện pháp tiết kiệm

Hộ giađình

Trước Sau

1 7 7

2 20 16

3 40 32

4 15 16

5 33 30

6 4 5

7 25 22

8 16 12

9 14 10

10 22 18

44


Bước 1: Hộ giađình

Trước( X1i )

Sau( X2i )

1 7 7 0

2 20 16 4

3 40 32 8

4 15 16 -1

5 33 30 3

6 4 5 -1

7 25 22 3

8 16 12 4

9 14 10 4

10 22 18 4

1 2i i id X X= −

45


Bước 1:

( )

31

2

31

282,8 ( )

10

2,7809 ( )1

n

ii

n

ii

d

d

d mn

d d

S mn

=

=

= = =

−

= =−

∑

∑

( )

( )

9;0,0251; / 2

1; / 2

2,262; 2,7809; 10

2,78092,262.

10

dn

dn

t t S n

St

n

α

αε

−

−

= = = =

= =

Bước 2:

46


Bước 3:Gọi µ1,µ2 là lượng nước tiêu thụ trung bình trướcvà sau khi áp dụng biện pháp tiết kiệm nước.

Vậy với độ tin cậy 95%, khoảng ước lượng chênhlệch giữa lượng nước trước và sau khi áp dụng biệnpháp tiết kiệm là từ 0,8108 m3 đến 4,7892 m3. Vậycó thể nói biện pháp tiết kiệm nước đã làm giảmlượng nước tiêu thụ.

1 2

31 20,8108 4,7892 ( )

d d

m

ε µ µ ε

µ µ

− ≤ − ≤ +

⇔ ≤ − ≤


Biếtn1 và n2 ≥ 30

Chưa biết

Bước 1

Bước 2

Bước 3

2 21 2,σ σ

2 21 2

1 22

Zn n

α

σ σε = +

1 2,X X

Ước lượng sự khác biệt giữa trung bình 2 tổng thể khi 2 mẫu đại diện là độc lập

2 21 2,σ σ

1 2 1 2, , ,X X S S

2 21 2

1 22

S SZ

n nαε = +

( )1 2 1 2X Xµ µ ε− ∈ − ±

48

3. ƯỚC LƯỢNG TRÊN 2 MẪUn1 hoặc n2 < 30 Chưa biết

Bước 1

Bước 2

Bước 3

2 21 2,σ σ

1 2 1 2, , ,X X S S

αε = +

2 21 2

1 2

( )

2

.df S St

n n

( )1 2 1 2X Xµ µ ε− ∈ − ±

2 21 2σ σ= 2 2

1 2σ σ≠

1 2 1 2, , ,X X S S

αε = +1 2

( )

2

1 1.dfpt Sn n

( ) ( )2 21 1 2 2

1 2

1 1

2p

n S n SS

n n

− + −=

+ −

1 2 2df n n= + −

22 21 2

1 2

2 22 21 2

1 2

1 21 1

S S

n ndf

S S

n n

n n

+

= +

− −

49


Bài tập 7: Từ một chuồng nuôi lợn, chọn cân ngẫu nhiên 4 con lợn thu được trọng lượng tương ứng là 64, 66, 89 và77 Kg. Từ một chuồng khác lấy ra 3 con đem cân thu đượctrọng lượng là 56, 71 và 73 Kg. Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng sự khác biệt vềtrọng lượng trung bình của hai chuồng lợn đó, giảthiết trọng lượng của lợn phân phối chuẩn, cả haichuồng cùng nuôi một giống lợn và được chăm sócnhư nhau.

50


Phân tích: Chưa biết phương sai; n1 , n2 < 30 � dạng 3Cả hai chuồng cùng nuôi một giống lợn và đượcchăm sóc như nhau nên có thể cho là phương sai củachúng bằng nhau.GiảiBước 1:

1

2

21

22

74

66,67

132,67

86,33

X

X

S

S

=

=

=

=

51


Bước 2: ( ) ( )2 21 1 2 2

1 2

1 1

2

3*132,67 2*86,3410,687

4 3 2

p

n S n SS

n n

− + −=

+ −

+= =

+ −

1 2/ 2; / 2; 2 0,025;5 2,57df n nt t tα α + −= = =

/ 2;

1 2

1 1. 20,98df pt S

n nαε = + =

Bước 3:1 2 1 2 1 2

1 213,64 28,3

X X X Xε µ µ ε

µ µ

− − ≤ − ≤ − +

⇔ − ≤ − ≤

52


Với khoảng tin cậy 95%, sự khác biệt giữa trọnglượng lợn trung bình của 2 chuồng lợn là từ -13,64kg đến 28,3 kg.Ta thấy khoảng ước lượng có chứa giá trị 0 nên ta cóthể kết luận rằng không sự khác biệt về trọng lượngtrung bình của 2 chuồng nuôi lợn

53

VÍ DỤ THỰC HÀNH

Bài tập 8:Một công ty đang xem xét kế hoạch giảm chi phí sảnxuất thông qua việc xây dựng 1 dây chuyền sản suấtmới . Sau khi xây dựng xong, người ta thấy 40 sảnphẩm được sản xuất với thời gian trung bình 46,5 phút/sản phẩm, độ lệch chuẩn là 8 phút. Theo số liệucũ, dây chuyền sản xuất cũ sản xuất 38 sản phẩm vớithời gian trung bình là 51,2 phút/sản phẩm, độ lệchchuẩn 9.5 phút. Hãy ước lượng khoảng tin cậy 95% cho sự khác biệt về thời gian sản xuất giữa 2 dâychuyền cũ và mới?

54

3.1. ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI 1 TỔNG THỂ

Giả sử ĐLNN X có phân phối chuẩn, ta cần ướclượng phương sai σ2 với độ tin cậy 1- α cho trước.

Ta xét 2 trường hợp sau:TH1: Đã biết trung bình tổng thể µ

TH2: Chưa biết trung bình tổng thể µ

55

3.1. ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI

TH 1Đãbiết�

( )

*2 *22

2 ( ) 2

2*

( )/ 2 /

2

1 2

1

1vô ùi

n

i

n

i

n

iS x nn

nS nS

α α

σχ χ

µ=

−

=

≤

−

≤

∑

Trong đó là phân phối chi

bình phương với bậc tự do n, tra ở bảng tra 3

2( ) 2( )/ 2 1 / 2;n n

α αχ χ −

56


TH 2chưabiết�

Trong đó là phân phối chi

bình phương với bậc tự do n-1, tra ở bảng tra 3

2( 1) 2( 1)/ 2 1 /2;n n

α αχ χ− −

−

( ) ( )

( )

2 22

2( 1) 2( 1)/ 2 1 /

2

2

2

1

1vôùi

1

1 1

n

n

i i

n

i

n S n

x nn

S

S X

α α

σχ χ− −

−

=

− −≤ ≤

= −−∑

57


Bài tập 12 :Mức hao phí nguyên liệu cho một sản phẩm là biếnngẫu nhiên phân phối chuẩn với trung bình là 20 gam. Để ước lượng mức độ phân tán của mức haophí này người ta cân thử 25 sản phẩm thu được bảngkết quả sau

Với độ tin cậy 1- α = 90%, ước lượng phương saiσ2 ?

Hao phí nguyên liệu(gam)

19.5 20.0 20.5

Số sản phẩm tương ứng 5 18 2

58


Giải:Ta có µ=20 ⇒TH1⇒

*2 *22

2 ( ) 2 ( )/ 2 1 / 2n n

nS nS

α α

σχ χ −

≤ ≤

( )

( ) ( ) ( )

2*2

1

2 2 2

1

119,5 20 .5 20 20 .18 20,5 20 .2

250,07

n

i ii

S x nn

µ=

= −

= − + − + −

=

∑

2( ) 2(25)/ 2 0,05

2( ) 2(25)1 / 2 0,95

37,6525

14,611396

n

n

α

α

χ χ

χ χ−

= =

= =

59


Giải:Vậy với độ tin cậy 90%, ước lượng độ phân tán củamức hao phí nhiên liệu là

2

2

25.0,07 25.0,07

37,6525 14,611396

0,046478 0,11977

σ

σ

≤ ≤

⇔ ≤ ≤

60


Bài tập 12 : Mức hao phí nguyên liệu cho một sản phẩm làbiến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với trung bình là 20 gam. Để ước lượng mức độ phân tán của mức hao phí này người tacân thử 25 sản phẩm thu được bảng kết quả sau

a)Với độ tin cậy 1- α = 90%, ước lượng phương sai σ2 ?b) Trong trường hợp không biết trước trung bình µ,

hãy ước lượng phương sai σ2 với độ tin cậy1- α = 90%

Hao phí nguyên liệu (gam) 19.5 20.0 20.5Số sản phẩm tương ứng 5 18 2

61


Giải:

2 20, 263S =

2( 1) 2(24)/2 0,05

2( ) 2(24)1 /2 0,95

36,4150

13,848422

n

n

α

α

χ χ

χ χ

−

−

= =

= =

( ) ( )2 2225 1 0,263 25 1 0,263

36,4150 13,848422σ

− −≤ ≤

62


Bài tập 14:Khảo sát 100 người làm việc ở 1 công ty, ta có kếtquả sau:

Hãy ước lượng phương sai của thu nhập với độ tin cậy 95%

Thu nhập(triệu đồng/tháng)

Sốngười

Thu nhập(triệu đồng/tháng)

Sốngười

1-2 2 5-6 172-3 5 6-7 163-4 8 7-8 244-5 12 8-10 16

63


( ƯỚC LƯỢNG TỈ SỐ 2 PHƯƠNG SAI )

Giả sử ta có 2 tổng thểTổng thể 1: ĐLNN X1 có phân phối chuẩn, phương

sai σ12 chưa biết

Tổng thể 2: ĐLNN X2 có phân phối chuẩn, phươngsai σ2

2 chưa biết

Ta cần tìm khoảng ước lượng của tỉ số2122

σ

σ

64



( ) ( )2 1 2 1

2 2 21; 1 1; 11 1 1

1 / 2 / 22 2 22 2 2

n n n nS SF F

S Sα α

σ

σ

− − − −

− ≤ ≤

Trong đó

là phân phối Fisher , tra ở bảng tra 4.

Chú ý: trong bảng tra, ta chỉ có giá trị

nên ta áp dụng công thức để tính

( ) ( )2 1 2 11; 1 1; 11 / 2 / 2;n n n nF Fα α

− − − −

−

( )2 11; 1/ 2n n

Fα

− −

( )

( )2 1

1 2

1; 11 / 2 1; 1

/ 2

1n n

n nF

Fα

α

− −

− − −=

65



Bài tập 15: Giá cổ phiếu của hai công ty A và B là các biến ngẫunhiên phân phối chuẩn. Theo dõi giá cổ phiếu củahai công ty đó trong 10 ngày tìm được phương saimẫu tương ứng là 0.51 và 0.2; với độ tin cậy 90% hãy ước lượng tỷ số của hai phương sai giá cổ phiếucủa hai công ty đó.Giải:Ta có: n1=10, s1

2=0,51 ; n2=10, s22=0,2

( ) ( )9;9 9;90,05 0,95

13,18 0,3145

3,18F F= ⇒ = =

66

ƯỚC LƯỢNG HIỆU HAI TỈ LỆ

Giả sử từ tổng thể có tỉ lệ G!, G� ta rút ra mẫu NN độc lập có kích thước tương ứng !, �.Nếu ! D 30"à� D 30OQìthống kê hiệu �! � ��xấp xỉ chuẩn (theo ĐLGHTT) thõa mãn:+ S �! � �� G! � G�.

+ T �! � �� U@�!;U@

V@+UA�!;UA

VA

Khi đó thống kê

B ��! � �� G! � G�

G! 1 � G!!

�G��1 � G�

�

~W�0,1

Chuong2: ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ, môn thống kê ứng dụng

Business

Transcript of Chuong2: ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ, môn thống kê ứng dụng