Toan 1-Chuong2
92
Các phép toán trên ma tr“n Đnh thøc Ma tr“n nghch đ£o H/ng cıa ma tr“n Bài gi£ng: TOÁN CAO CP 1 Chương II: MA TRN - ĐNH THC Đàm Thanh Phương, Ngô M/nh Tưng Ngày 12 tháng 10 năm 2010 Đàm Thanh Phương, Ngô M/nh Tưng Bài gi£ng: TOÁN CAO CP 1 Chương II: MA TRN - ĐNH
Transcript of Toan 1-Chuong2
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1
Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng
Ngày 12 tháng 10 năm 2010
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Chương II: Ma trận, định thức
2.1 Các phép toán trên ma trận.
2.2 Định thức.
2.3 Ma trận nghịch đảo.
2.4 Hạng của ma trận.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Chương II: Ma trận, định thức
2.1 Các phép toán trên ma trận.
2.2 Định thức.
2.3 Ma trận nghịch đảo.
2.4 Hạng của ma trận.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Chương II: Ma trận, định thức
2.1 Các phép toán trên ma trận.
2.2 Định thức.
2.3 Ma trận nghịch đảo.
2.4 Hạng của ma trận.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Chương II: Ma trận, định thức
2.1 Các phép toán trên ma trận.
2.2 Định thức.
2.3 Ma trận nghịch đảo.
2.4 Hạng của ma trận.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Chương II: Ma trận, định thức
2.1 Các phép toán trên ma trận.
2.2 Định thức.
2.3 Ma trận nghịch đảo.
2.4 Hạng của ma trận.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa ma trậnCác ví dụCác phép tính trên ma trận
Định nghĩa ma trận
Định nghĩa ma trận
Cho m, n là hai số nguyên dương. Bảng mxn số thực gồm m hàng,n cột được gọi là ma trận loại mxn.
A =
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...am1 am2 ... amn
(1)
hay A = (aij)mxn, i = 1, · · · ,m là số hàng, j = 1, · · · , n là số cột.
aij là phần tử nằm ở hàng i , cột j của ma trận.
Ma trận hàng: Ma trận chỉ có một hàng, A = (a1j)j=1,...,n
Ma trận cột: Ma trận chỉ có một cột, A = (ai1)i=1,...,m.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa ma trậnCác ví dụCác phép tính trên ma trận
Định nghĩa ma trận
Định nghĩa ma trận
Cho m, n là hai số nguyên dương. Bảng mxn số thực gồm m hàng,n cột được gọi là ma trận loại mxn.
A =
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...am1 am2 ... amn
(1)
hay A = (aij)mxn, i = 1, · · · ,m là số hàng, j = 1, · · · , n là số cột.
aij là phần tử nằm ở hàng i , cột j của ma trận.
Ma trận hàng: Ma trận chỉ có một hàng, A = (a1j)j=1,...,n
Ma trận cột: Ma trận chỉ có một cột, A = (ai1)i=1,...,m.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa ma trậnCác ví dụCác phép tính trên ma trận
Định nghĩa ma trận
Định nghĩa ma trận
Cho m, n là hai số nguyên dương. Bảng mxn số thực gồm m hàng,n cột được gọi là ma trận loại mxn.
A =
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...am1 am2 ... amn
(1)
hay A = (aij)mxn, i = 1, · · · ,m là số hàng, j = 1, · · · , n là số cột.
aij là phần tử nằm ở hàng i , cột j của ma trận.
Ma trận hàng: Ma trận chỉ có một hàng, A = (a1j)j=1,...,n
Ma trận cột: Ma trận chỉ có một cột, A = (ai1)i=1,...,m.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa ma trậnCác ví dụCác phép tính trên ma trận
Định nghĩa ma trận
Định nghĩa ma trận
Cho m, n là hai số nguyên dương. Bảng mxn số thực gồm m hàng,n cột được gọi là ma trận loại mxn.
A =
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...am1 am2 ... amn
(1)
hay A = (aij)mxn, i = 1, · · · ,m là số hàng, j = 1, · · · , n là số cột.
aij là phần tử nằm ở hàng i , cột j của ma trận.
Ma trận hàng: Ma trận chỉ có một hàng, A = (a1j)j=1,...,n
Ma trận cột: Ma trận chỉ có một cột, A = (ai1)i=1,...,m.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa ma trậnCác ví dụCác phép tính trên ma trận
Một số khái niệm
Ma trận chuyển vị: At , chuyển hàng thành cột, giữ nguyênthứ tự hàng cột.
Ma trận vuông cấp n: Số hàng bằng số cột bằng n. Các phầntử a11, a22, ..., ann là các phần tử nằm trên đường chéo chính.
Ma trận đối xứng: Là ma trận vuông có các phần tử nằm ở vịtrí đối xứng bằng nhau: aij = aji
Ma trận chéo: là ma trận vuông mà các phần tử nằm ngoàiđường chéo chính đều bằng không.
Ma trận đơn vị cấp n: Là ma trận vuông mà các phần tử trênđường chéo chính bằng 1, còn các phần tử khác bằng 0.
Ma trận không: Là ma trận mà mọi phần tử đều bằng không.
Hai ma trận được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng cấp vàcác phần tử ở vị trí tương ứng bằng nhau.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa ma trậnCác ví dụCác phép tính trên ma trận
Một số khái niệm
Ma trận chuyển vị: At , chuyển hàng thành cột, giữ nguyênthứ tự hàng cột.
Ma trận vuông cấp n: Số hàng bằng số cột bằng n. Các phầntử a11, a22, ..., ann là các phần tử nằm trên đường chéo chính.
Ma trận đối xứng: Là ma trận vuông có các phần tử nằm ở vịtrí đối xứng bằng nhau: aij = aji
Ma trận chéo: là ma trận vuông mà các phần tử nằm ngoàiđường chéo chính đều bằng không.
Ma trận đơn vị cấp n: Là ma trận vuông mà các phần tử trênđường chéo chính bằng 1, còn các phần tử khác bằng 0.
Ma trận không: Là ma trận mà mọi phần tử đều bằng không.
Hai ma trận được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng cấp vàcác phần tử ở vị trí tương ứng bằng nhau.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa ma trậnCác ví dụCác phép tính trên ma trận
Một số khái niệm
Ma trận chuyển vị: At , chuyển hàng thành cột, giữ nguyênthứ tự hàng cột.
Ma trận vuông cấp n: Số hàng bằng số cột bằng n. Các phầntử a11, a22, ..., ann là các phần tử nằm trên đường chéo chính.
Ma trận đối xứng: Là ma trận vuông có các phần tử nằm ở vịtrí đối xứng bằng nhau: aij = aji
Ma trận chéo: là ma trận vuông mà các phần tử nằm ngoàiđường chéo chính đều bằng không.
Ma trận đơn vị cấp n: Là ma trận vuông mà các phần tử trênđường chéo chính bằng 1, còn các phần tử khác bằng 0.
Ma trận không: Là ma trận mà mọi phần tử đều bằng không.
Hai ma trận được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng cấp vàcác phần tử ở vị trí tương ứng bằng nhau.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa ma trậnCác ví dụCác phép tính trên ma trận
Một số khái niệm
Ma trận chuyển vị: At , chuyển hàng thành cột, giữ nguyênthứ tự hàng cột.
Ma trận vuông cấp n: Số hàng bằng số cột bằng n. Các phầntử a11, a22, ..., ann là các phần tử nằm trên đường chéo chính.
Ma trận đối xứng: Là ma trận vuông có các phần tử nằm ở vịtrí đối xứng bằng nhau: aij = aji
Ma trận chéo: là ma trận vuông mà các phần tử nằm ngoàiđường chéo chính đều bằng không.
Ma trận đơn vị cấp n: Là ma trận vuông mà các phần tử trênđường chéo chính bằng 1, còn các phần tử khác bằng 0.
Ma trận không: Là ma trận mà mọi phần tử đều bằng không.
Hai ma trận được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng cấp vàcác phần tử ở vị trí tương ứng bằng nhau.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa ma trậnCác ví dụCác phép tính trên ma trận
Một số khái niệm
Ma trận chuyển vị: At , chuyển hàng thành cột, giữ nguyênthứ tự hàng cột.
Ma trận vuông cấp n: Số hàng bằng số cột bằng n. Các phầntử a11, a22, ..., ann là các phần tử nằm trên đường chéo chính.
Ma trận đối xứng: Là ma trận vuông có các phần tử nằm ở vịtrí đối xứng bằng nhau: aij = aji
Ma trận chéo: là ma trận vuông mà các phần tử nằm ngoàiđường chéo chính đều bằng không.
Ma trận đơn vị cấp n: Là ma trận vuông mà các phần tử trênđường chéo chính bằng 1, còn các phần tử khác bằng 0.
Ma trận không: Là ma trận mà mọi phần tử đều bằng không.
Hai ma trận được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng cấp vàcác phần tử ở vị trí tương ứng bằng nhau.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa ma trậnCác ví dụCác phép tính trên ma trận
Một số khái niệm
Ma trận chuyển vị: At , chuyển hàng thành cột, giữ nguyênthứ tự hàng cột.
Ma trận vuông cấp n: Số hàng bằng số cột bằng n. Các phầntử a11, a22, ..., ann là các phần tử nằm trên đường chéo chính.
Ma trận đối xứng: Là ma trận vuông có các phần tử nằm ở vịtrí đối xứng bằng nhau: aij = aji
Ma trận chéo: là ma trận vuông mà các phần tử nằm ngoàiđường chéo chính đều bằng không.
Ma trận đơn vị cấp n: Là ma trận vuông mà các phần tử trênđường chéo chính bằng 1, còn các phần tử khác bằng 0.
Ma trận không: Là ma trận mà mọi phần tử đều bằng không.
Hai ma trận được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng cấp vàcác phần tử ở vị trí tương ứng bằng nhau.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa ma trậnCác ví dụCác phép tính trên ma trận
Một số khái niệm
Ma trận chuyển vị: At , chuyển hàng thành cột, giữ nguyênthứ tự hàng cột.
Ma trận vuông cấp n: Số hàng bằng số cột bằng n. Các phầntử a11, a22, ..., ann là các phần tử nằm trên đường chéo chính.
Ma trận đối xứng: Là ma trận vuông có các phần tử nằm ở vịtrí đối xứng bằng nhau: aij = aji
Ma trận chéo: là ma trận vuông mà các phần tử nằm ngoàiđường chéo chính đều bằng không.
Ma trận đơn vị cấp n: Là ma trận vuông mà các phần tử trênđường chéo chính bằng 1, còn các phần tử khác bằng 0.
Ma trận không: Là ma trận mà mọi phần tử đều bằng không.
Hai ma trận được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng cấp vàcác phần tử ở vị trí tương ứng bằng nhau.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa ma trậnCác ví dụCác phép tính trên ma trận
Các ví dụ I
A =
(1 2 30 5 4
); có ma trận chuyển vị là At =
1 02 53 4
Ma trận vuông: B =
5 −1 03 8 20 6 4
Ma trận chéo: C =
1 0 00 4 00 0 −2
Ma trận đối xứng: D =
1 0 50 3 75 7 2
Ma trận đơn vị cấp 3: I =
1 0 00 1 00 0 1
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa ma trậnCác ví dụCác phép tính trên ma trận
Các ví dụ II
Ma trận hàng: E =(
x y z)
Ma trận cột: F =
xyz
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa ma trậnCác ví dụCác phép tính trên ma trận
Các phép tính trên ma trận
Phép cộng hai ma trận cùng loại
Cho hai ma trận cùng loại A = (aij)mxn; B = (bij)mxn. Khi đó ma
trận tổng C = A + B = (cij)mxn; trong đócij = aij + bij ; i = 1, ...,m; j = 1, ..., n
Phép nhân một ma trận với một số
Cho ma trận A = (aij)mxn và số thực k . Khi đó k .A = (k .aij)mxn;i = 1, ...,m; j = 1, ..., n
Ví dụ. A =
(1 2 30 5 4
); B =
(2 0 −43 −5 2
).
Ta có: A + B =
(3 2 −13 0 6
); 2A =
(2 4 60 10 8
)
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa ma trậnCác ví dụCác phép tính trên ma trận
Các phép tính trên ma trận
Phép cộng hai ma trận cùng loại
Cho hai ma trận cùng loại A = (aij)mxn; B = (bij)mxn. Khi đó ma
trận tổng C = A + B = (cij)mxn; trong đócij = aij + bij ; i = 1, ...,m; j = 1, ..., n
Phép nhân một ma trận với một số
Cho ma trận A = (aij)mxn và số thực k . Khi đó k .A = (k .aij)mxn;i = 1, ...,m; j = 1, ..., n
Ví dụ. A =
(1 2 30 5 4
); B =
(2 0 −43 −5 2
).
Ta có: A + B =
(3 2 −13 0 6
); 2A =
(2 4 60 10 8
)
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa ma trậnCác ví dụCác phép tính trên ma trận
Các phép tính trên ma trận
Phép cộng hai ma trận cùng loại
Cho hai ma trận cùng loại A = (aij)mxn; B = (bij)mxn. Khi đó ma
trận tổng C = A + B = (cij)mxn; trong đócij = aij + bij ; i = 1, ...,m; j = 1, ..., n
Phép nhân một ma trận với một số
Cho ma trận A = (aij)mxn và số thực k . Khi đó k .A = (k .aij)mxn;i = 1, ...,m; j = 1, ..., n
Ví dụ. A =
(1 2 30 5 4
); B =
(2 0 −43 −5 2
).
Ta có: A + B =
(3 2 −13 0 6
); 2A =
(2 4 60 10 8
)Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa ma trậnCác ví dụCác phép tính trên ma trận
Phép nhân hai ma trận
Phép nhân một ma trận hàng với một ma trận cột
Giả sử U là ma trận 1xn, V là ma trận nx1
U =(
u1 u2 ... un
); V =
v1
v2...vn
Tích của U và V được xác định:
U · V = (u1.v1 + u2.v2 + ...+ un.vn)1x1
Chú ý. Muốn nhân ma trận A với ma trận B thì số cột của A phảibằng số hàng của B
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa ma trậnCác ví dụCác phép tính trên ma trận
Phép nhân hai ma trận
Phép nhân một ma trận hàng với một ma trận cộtGiả sử U là ma trận 1xn, V là ma trận nx1
U =(
u1 u2 ... un
); V =
v1
v2...vn
Tích của U và V được xác định:
U · V = (u1.v1 + u2.v2 + ...+ un.vn)1x1
Chú ý. Muốn nhân ma trận A với ma trận B thì số cột của A phảibằng số hàng của B
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa ma trậnCác ví dụCác phép tính trên ma trận
Phép nhân hai ma trận
Phép nhân một ma trận hàng với một ma trận cộtGiả sử U là ma trận 1xn, V là ma trận nx1
U =(
u1 u2 ... un
); V =
v1
v2...vn
Tích của U và V được xác định:
U · V = (u1.v1 + u2.v2 + ...+ un.vn)1x1
Chú ý. Muốn nhân ma trận A với ma trận B thì số cột của A phảibằng số hàng của B
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa ma trậnCác ví dụCác phép tính trên ma trận
Phép nhân hai ma trận
Cho A = (aik) là ma trận loại (mxp), B = (bkj) là ma trận loại(pxm). Ma trận tích C = A.B = (cij) là ma trận loại mxn, trong
đó mỗi phần tử của C được xác định bằng (Hàng i của A). (Cột jcủa B)
cij = ai1.b1j + ai2.b2j + ...+ aip.bpj
i = 1, 2, ...,m; j = 1, 2, ..., n
Ví dụ Cho các ma trận
A =
(3 1 42 0 5
); B =
1 3 0 01 1 0 00 0 1 1
; Tìm ma trận C = A.B
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa ma trậnCác ví dụCác phép tính trên ma trận
Phép nhân hai ma trận
Cho A = (aik) là ma trận loại (mxp), B = (bkj) là ma trận loại(pxm). Ma trận tích C = A.B = (cij) là ma trận loại mxn, trong
đó mỗi phần tử của C được xác định bằng (Hàng i của A). (Cột jcủa B)
cij = ai1.b1j + ai2.b2j + ...+ aip.bpj
i = 1, 2, ...,m; j = 1, 2, ..., n
Ví dụ Cho các ma trận
A =
(3 1 42 0 5
); B =
1 3 0 01 1 0 00 0 1 1
; Tìm ma trận C = A.B
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa ma trậnCác ví dụCác phép tính trên ma trận
Giải
C sẽ là ma trận loại 2x4 với các phần tử được xác định:
c11 = 3× 1 + 1× 1 + 4× 0 = 4;c12 = 3× 3 + 1× 1 + 4× 0 = 10c13 = 3× 0 + 1× 0 + 4× 1 = 4;c14 = 3× 0 + 1× 0 + 4× 1 = 4;c21 = 2× 1 + 0× 1 + 5× 0 = 2;c22 = 2× 3 + 0× 1 + 5× 0 = 6;c23 = 2× 0 + 0× 0 + 5× 1 = 5;c24 = 2× 0 + 0× 0 + 5× 1 = 5.
Ma trận tích:
C =
(4 10 4 42 6 5 5
)
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa ma trậnCác ví dụCác phép tính trên ma trận
Tính chất
Nếu các ma trận thỏa mãn điều kiện nhân: A là ma trận loại(mxp), B là ma trận loại (pxq), C là ma trận loại (qxn) thìtích A.B .C có tính chất kết hợp: A.(B .C ) = (A.B).C
Phép nhân hai ma trận không có tính chất giao hoán
Nếu A,B thỏa mãn điều kiện nhân thì At ,Bt cũng thỏa mãnđiều kiện nhân và ta có: (A.B)t = Bt .At .
Trong phép nhân hai ma trận, hệ thức A.B = 0 chưa chắc đãkéo theo hoặc A = 0, hoặc B = 0
Tính chất của ma trận đơn vị: Mọi ma trận đơn vị I nhân vớima trận vuông A cùng cấp ta luôn có: I .A = A.I = A
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa ma trậnCác ví dụCác phép tính trên ma trận
Tính chất
Nếu các ma trận thỏa mãn điều kiện nhân: A là ma trận loại(mxp), B là ma trận loại (pxq), C là ma trận loại (qxn) thìtích A.B .C có tính chất kết hợp: A.(B .C ) = (A.B).C
Phép nhân hai ma trận không có tính chất giao hoán
Nếu A,B thỏa mãn điều kiện nhân thì At ,Bt cũng thỏa mãnđiều kiện nhân và ta có: (A.B)t = Bt .At .
Trong phép nhân hai ma trận, hệ thức A.B = 0 chưa chắc đãkéo theo hoặc A = 0, hoặc B = 0
Tính chất của ma trận đơn vị: Mọi ma trận đơn vị I nhân vớima trận vuông A cùng cấp ta luôn có: I .A = A.I = A
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa ma trậnCác ví dụCác phép tính trên ma trận
Tính chất
Nếu các ma trận thỏa mãn điều kiện nhân: A là ma trận loại(mxp), B là ma trận loại (pxq), C là ma trận loại (qxn) thìtích A.B .C có tính chất kết hợp: A.(B .C ) = (A.B).C
Phép nhân hai ma trận không có tính chất giao hoán
Nếu A,B thỏa mãn điều kiện nhân thì At ,Bt cũng thỏa mãnđiều kiện nhân và ta có: (A.B)t = Bt .At .
Trong phép nhân hai ma trận, hệ thức A.B = 0 chưa chắc đãkéo theo hoặc A = 0, hoặc B = 0
Tính chất của ma trận đơn vị: Mọi ma trận đơn vị I nhân vớima trận vuông A cùng cấp ta luôn có: I .A = A.I = A
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa ma trậnCác ví dụCác phép tính trên ma trận
Tính chất
Nếu các ma trận thỏa mãn điều kiện nhân: A là ma trận loại(mxp), B là ma trận loại (pxq), C là ma trận loại (qxn) thìtích A.B .C có tính chất kết hợp: A.(B .C ) = (A.B).C
Phép nhân hai ma trận không có tính chất giao hoán
Nếu A,B thỏa mãn điều kiện nhân thì At ,Bt cũng thỏa mãnđiều kiện nhân và ta có: (A.B)t = Bt .At .
Trong phép nhân hai ma trận, hệ thức A.B = 0 chưa chắc đãkéo theo hoặc A = 0, hoặc B = 0
Tính chất của ma trận đơn vị: Mọi ma trận đơn vị I nhân vớima trận vuông A cùng cấp ta luôn có: I .A = A.I = A
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa ma trậnCác ví dụCác phép tính trên ma trận
Tính chất
Nếu các ma trận thỏa mãn điều kiện nhân: A là ma trận loại(mxp), B là ma trận loại (pxq), C là ma trận loại (qxn) thìtích A.B .C có tính chất kết hợp: A.(B .C ) = (A.B).C
Phép nhân hai ma trận không có tính chất giao hoán
Nếu A,B thỏa mãn điều kiện nhân thì At ,Bt cũng thỏa mãnđiều kiện nhân và ta có: (A.B)t = Bt .At .
Trong phép nhân hai ma trận, hệ thức A.B = 0 chưa chắc đãkéo theo hoặc A = 0, hoặc B = 0
Tính chất của ma trận đơn vị: Mọi ma trận đơn vị I nhân vớima trận vuông A cùng cấp ta luôn có: I .A = A.I = A
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa định thứcTính chất của định thức
Định nghĩa định thức
Cho A là ma trận vuông cấp n. Định thức của ma trận A làmột số, ký hiệu là det(A) hoặc |A|.
Ký hiệu Dij là định thức thu được từ A bằng cách bỏ đi hàngi , cột j của ma trận A và được gọi là định thức con của A.
Phần bù đại số của phần tử aij là đại lượng: Aij = (−1)i+j ·Dij
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa định thứcTính chất của định thức
Định nghĩa định thức
Cho A là ma trận vuông cấp n. Định thức của ma trận A làmột số, ký hiệu là det(A) hoặc |A|.Ký hiệu Dij là định thức thu được từ A bằng cách bỏ đi hàngi , cột j của ma trận A và được gọi là định thức con của A.
Phần bù đại số của phần tử aij là đại lượng: Aij = (−1)i+j ·Dij
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa định thứcTính chất của định thức
Định nghĩa định thức
Cho A là ma trận vuông cấp n. Định thức của ma trận A làmột số, ký hiệu là det(A) hoặc |A|.Ký hiệu Dij là định thức thu được từ A bằng cách bỏ đi hàngi , cột j của ma trận A và được gọi là định thức con của A.
Phần bù đại số của phần tử aij là đại lượng: Aij = (−1)i+j ·Dij
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa định thứcTính chất của định thức
Định nghĩa định thức bằng quy nạp
a, k = 1, A = [a11]⇒ |A| = a11
b, k = 2,
A =
[a11 a12
a21 a22
]⇒ |A| = a11 ·a22−a12 ·a21 = a11 ·A11 +a12 ·A12
c, k = 3,
A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
⇒ |A| = a11A11 + a12A12 + a13A13
d, k = n,
A =
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...an1 an2 ... ann
⇒ |A| = a11A11+a12A12+ ...+a1nA1n
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa định thứcTính chất của định thức
Định nghĩa định thức bằng quy nạp
a, k = 1, A = [a11]⇒ |A| = a11
b, k = 2,
A =
[a11 a12
a21 a22
]⇒ |A| = a11 ·a22−a12 ·a21 = a11 ·A11 +a12 ·A12
c, k = 3,
A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
⇒ |A| = a11A11 + a12A12 + a13A13
d, k = n,
A =
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...an1 an2 ... ann
⇒ |A| = a11A11+a12A12+ ...+a1nA1n
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa định thứcTính chất của định thức
Định nghĩa định thức bằng quy nạp
a, k = 1, A = [a11]⇒ |A| = a11
b, k = 2,
A =
[a11 a12
a21 a22
]⇒ |A| = a11 ·a22−a12 ·a21 = a11 ·A11 +a12 ·A12
c, k = 3,
A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
⇒ |A| = a11A11 + a12A12 + a13A13
d, k = n,
A =
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...an1 an2 ... ann
⇒ |A| = a11A11+a12A12+ ...+a1nA1n
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa định thứcTính chất của định thức
Định nghĩa định thức bằng quy nạp
a, k = 1, A = [a11]⇒ |A| = a11
b, k = 2,
A =
[a11 a12
a21 a22
]⇒ |A| = a11 ·a22−a12 ·a21 = a11 ·A11 +a12 ·A12
c, k = 3,
A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
⇒ |A| = a11A11 + a12A12 + a13A13
d, k = n,
A =
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...an1 an2 ... ann
⇒ |A| = a11A11+a12A12+ ...+a1nA1n
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa định thứcTính chất của định thức
Ví dụ
Tính D =
∣∣∣∣∣∣3 1 5−1 2 1−2 4 3
∣∣∣∣∣∣
GiảiD = 3A11 + 1A12 + 5A13
A11 = (−1)1+1
∣∣∣∣ 2 41 3
∣∣∣∣ = 2
A12 = (−1)1+2
∣∣∣∣ −1 1−2 3
∣∣∣∣ = 1
A13 = (−1)1+3
∣∣∣∣ −1 2−2 4
∣∣∣∣ = 0
A = 3.2 + 1.1 + 5.0 = 7
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa định thứcTính chất của định thức
Ví dụ
Tính D =
∣∣∣∣∣∣3 1 5−1 2 1−2 4 3
∣∣∣∣∣∣Giải
D = 3A11 + 1A12 + 5A13
A11 = (−1)1+1
∣∣∣∣ 2 41 3
∣∣∣∣ = 2
A12 = (−1)1+2
∣∣∣∣ −1 1−2 3
∣∣∣∣ = 1
A13 = (−1)1+3
∣∣∣∣ −1 2−2 4
∣∣∣∣ = 0
A = 3.2 + 1.1 + 5.0 = 7
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa định thứcTính chất của định thức
Ví dụ
Tính D =
∣∣∣∣∣∣3 1 5−1 2 1−2 4 3
∣∣∣∣∣∣Giải
D = 3A11 + 1A12 + 5A13
A11 = (−1)1+1
∣∣∣∣ 2 41 3
∣∣∣∣ = 2
A12 = (−1)1+2
∣∣∣∣ −1 1−2 3
∣∣∣∣ = 1
A13 = (−1)1+3
∣∣∣∣ −1 2−2 4
∣∣∣∣ = 0
A = 3.2 + 1.1 + 5.0 = 7
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa định thứcTính chất của định thức
Ví dụ
Tính D =
∣∣∣∣∣∣3 1 5−1 2 1−2 4 3
∣∣∣∣∣∣Giải
D = 3A11 + 1A12 + 5A13
A11 = (−1)1+1
∣∣∣∣ 2 41 3
∣∣∣∣ = 2
A12 = (−1)1+2
∣∣∣∣ −1 1−2 3
∣∣∣∣ = 1
A13 = (−1)1+3
∣∣∣∣ −1 2−2 4
∣∣∣∣ = 0
A = 3.2 + 1.1 + 5.0 = 7
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa định thứcTính chất của định thức
Ví dụ
Tính D =
∣∣∣∣∣∣3 1 5−1 2 1−2 4 3
∣∣∣∣∣∣Giải
D = 3A11 + 1A12 + 5A13
A11 = (−1)1+1
∣∣∣∣ 2 41 3
∣∣∣∣ = 2
A12 = (−1)1+2
∣∣∣∣ −1 1−2 3
∣∣∣∣ = 1
A13 = (−1)1+3
∣∣∣∣ −1 2−2 4
∣∣∣∣ = 0
A = 3.2 + 1.1 + 5.0 = 7
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa định thứcTính chất của định thức
Ví dụ
Tính D =
∣∣∣∣∣∣3 1 5−1 2 1−2 4 3
∣∣∣∣∣∣Giải
D = 3A11 + 1A12 + 5A13
A11 = (−1)1+1
∣∣∣∣ 2 41 3
∣∣∣∣ = 2
A12 = (−1)1+2
∣∣∣∣ −1 1−2 3
∣∣∣∣ = 1
A13 = (−1)1+3
∣∣∣∣ −1 2−2 4
∣∣∣∣ = 0
A = 3.2 + 1.1 + 5.0 = 7
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa định thứcTính chất của định thức
Tính chất
Xét định thức D cấp n. Để thuận tiện cho việc phát biểu cáctính chất của định thức ta ký hiệu A1,A2, ...,An là các cột củađịnh thức và ta viết D = D(A1,A2, ...,An) .
Tính chất 1. Định thức của ma trận tích bằng tích các địnhthức của từng ma trận. Det(A.B) = Det(A).Det(B)
Tính chất 2. Nếu một định thức có một cột được phân tíchthành tổng của hai cột, chẳng hạn Aj = Aj
1 + Aj2 thì ta có
thể phân tích định thức thành tổng hai định thức:
D(A1, ..., A1
j + A2j , ...An
)= D
(A1, ..., A1
j , ..., An
)+D
(A1, ...,A
2j , ...An
)Tính chất 3. Có thể đưa thừa số chung của một cột rangoài dấu định thức.
D (A1, ..., kAj , ...An) = kD (A1, ...,Aj , ...,An) .
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa định thứcTính chất của định thức
Tính chất
Xét định thức D cấp n. Để thuận tiện cho việc phát biểu cáctính chất của định thức ta ký hiệu A1,A2, ...,An là các cột củađịnh thức và ta viết D = D(A1,A2, ...,An) .
Tính chất 1. Định thức của ma trận tích bằng tích các địnhthức của từng ma trận. Det(A.B) = Det(A).Det(B)
Tính chất 2. Nếu một định thức có một cột được phân tíchthành tổng của hai cột, chẳng hạn Aj = Aj
1 + Aj2 thì ta có
thể phân tích định thức thành tổng hai định thức:
D(A1, ..., A1
j + A2j , ...An
)= D
(A1, ..., A1
j , ..., An
)+D
(A1, ...,A
2j , ...An
)Tính chất 3. Có thể đưa thừa số chung của một cột rangoài dấu định thức.
D (A1, ..., kAj , ...An) = kD (A1, ...,Aj , ...,An) .
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa định thứcTính chất của định thức
Tính chất
Xét định thức D cấp n. Để thuận tiện cho việc phát biểu cáctính chất của định thức ta ký hiệu A1,A2, ...,An là các cột củađịnh thức và ta viết D = D(A1,A2, ...,An) .
Tính chất 1. Định thức của ma trận tích bằng tích các địnhthức của từng ma trận. Det(A.B) = Det(A).Det(B)
Tính chất 2. Nếu một định thức có một cột được phân tíchthành tổng của hai cột, chẳng hạn Aj = Aj
1 + Aj2 thì ta có
thể phân tích định thức thành tổng hai định thức:
D(A1, ..., A1
j + A2j , ...An
)= D
(A1, ..., A1
j , ..., An
)+D
(A1, ...,A
2j , ...An
)
Tính chất 3. Có thể đưa thừa số chung của một cột rangoài dấu định thức.
D (A1, ..., kAj , ...An) = kD (A1, ...,Aj , ...,An) .
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa định thứcTính chất của định thức
Tính chất
Xét định thức D cấp n. Để thuận tiện cho việc phát biểu cáctính chất của định thức ta ký hiệu A1,A2, ...,An là các cột củađịnh thức và ta viết D = D(A1,A2, ...,An) .
Tính chất 1. Định thức của ma trận tích bằng tích các địnhthức của từng ma trận. Det(A.B) = Det(A).Det(B)
Tính chất 2. Nếu một định thức có một cột được phân tíchthành tổng của hai cột, chẳng hạn Aj = Aj
1 + Aj2 thì ta có
thể phân tích định thức thành tổng hai định thức:
D(A1, ..., A1
j + A2j , ...An
)= D
(A1, ..., A1
j , ..., An
)+D
(A1, ...,A
2j , ...An
)Tính chất 3. Có thể đưa thừa số chung của một cột rangoài dấu định thức.
D (A1, ..., kAj , ...An) = kD (A1, ...,Aj , ...,An) .
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa định thứcTính chất của định thức
Tính chất
Tính chất 4. Đổi chỗ hai cột thì định thức đổi dấu.D (A1, ...,Ai , ...,Aj , ...An) = −D (A1, ...,Aj , ...,Ai , ...An)
Hệ quả. Định thức có hai cột bằng nhau thì bằng không.
Tính chất 5. Nếu một cột là tổ hợp tuyến tính của các cộtkhác thì định thức bằng không,
Hệ quả. Nếu thêm vào một cột một tổ hợp tuyến tính củacác cột khác thì định thức không đổi.D (A1, ..., Aj +
∑αιAi , ..., An) = D (A1, ..., Aj , ..., An) .
Tính chất 6. det (At) = det (A). Các tính chất đã phát biểutrên cột cũng đúng trên hàng.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa định thứcTính chất của định thức
Tính chất
Tính chất 4. Đổi chỗ hai cột thì định thức đổi dấu.D (A1, ...,Ai , ...,Aj , ...An) = −D (A1, ...,Aj , ...,Ai , ...An)
Hệ quả. Định thức có hai cột bằng nhau thì bằng không.
Tính chất 5. Nếu một cột là tổ hợp tuyến tính của các cộtkhác thì định thức bằng không,
Hệ quả. Nếu thêm vào một cột một tổ hợp tuyến tính củacác cột khác thì định thức không đổi.D (A1, ..., Aj +
∑αιAi , ..., An) = D (A1, ..., Aj , ..., An) .
Tính chất 6. det (At) = det (A). Các tính chất đã phát biểutrên cột cũng đúng trên hàng.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa định thứcTính chất của định thức
Tính chất
Tính chất 4. Đổi chỗ hai cột thì định thức đổi dấu.D (A1, ...,Ai , ...,Aj , ...An) = −D (A1, ...,Aj , ...,Ai , ...An)
Hệ quả. Định thức có hai cột bằng nhau thì bằng không.
Tính chất 5. Nếu một cột là tổ hợp tuyến tính của các cộtkhác thì định thức bằng không,
Hệ quả. Nếu thêm vào một cột một tổ hợp tuyến tính củacác cột khác thì định thức không đổi.D (A1, ..., Aj +
∑αιAi , ..., An) = D (A1, ..., Aj , ..., An) .
Tính chất 6. det (At) = det (A). Các tính chất đã phát biểutrên cột cũng đúng trên hàng.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa định thứcTính chất của định thức
Tính chất
Tính chất 4. Đổi chỗ hai cột thì định thức đổi dấu.D (A1, ...,Ai , ...,Aj , ...An) = −D (A1, ...,Aj , ...,Ai , ...An)
Hệ quả. Định thức có hai cột bằng nhau thì bằng không.
Tính chất 5. Nếu một cột là tổ hợp tuyến tính của các cộtkhác thì định thức bằng không,
Hệ quả. Nếu thêm vào một cột một tổ hợp tuyến tính củacác cột khác thì định thức không đổi.D (A1, ..., Aj +
∑αιAi , ..., An) = D (A1, ..., Aj , ..., An) .
Tính chất 6. det (At) = det (A). Các tính chất đã phát biểutrên cột cũng đúng trên hàng.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa định thứcTính chất của định thức
Tính chất
Tính chất 4. Đổi chỗ hai cột thì định thức đổi dấu.D (A1, ...,Ai , ...,Aj , ...An) = −D (A1, ...,Aj , ...,Ai , ...An)
Hệ quả. Định thức có hai cột bằng nhau thì bằng không.
Tính chất 5. Nếu một cột là tổ hợp tuyến tính của các cộtkhác thì định thức bằng không,
Hệ quả. Nếu thêm vào một cột một tổ hợp tuyến tính củacác cột khác thì định thức không đổi.D (A1, ..., Aj +
∑αιAi , ..., An) = D (A1, ..., Aj , ..., An) .
Tính chất 6. det (At) = det (A). Các tính chất đã phát biểutrên cột cũng đúng trên hàng.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa định thứcTính chất của định thức
Tính chất
Định lý khai triển
Có thể khai triển định thức của ma trận vuông A theo bất kỳ hàngcột nào.det(A) = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ...+ ainAin; i = 1, 2, ..., n (khai triểntheo hàng i)det(A) = a1jA1j + a2jA2j + ...+ anjAnj ; j = 1, 2, ..., n (khai triểntheo cột j)
Các bước khai triển định thức:
Bước 1: Chọn một hàng (hay một cột) tùy ý.
Bước 2: Chọn một phần tử khác không tùy ý của hàng (cột)vừa chọn. Sử dụng các tính chất của định thức để khử cácphần tử còn lại.
Bước 3: Khai triển định thức theo hàng (cột) vừa chọn.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa định thứcTính chất của định thức
Tính chất
Định lý khai triển
Có thể khai triển định thức của ma trận vuông A theo bất kỳ hàngcột nào.det(A) = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ...+ ainAin; i = 1, 2, ..., n (khai triểntheo hàng i)det(A) = a1jA1j + a2jA2j + ...+ anjAnj ; j = 1, 2, ..., n (khai triểntheo cột j)
Các bước khai triển định thức:
Bước 1: Chọn một hàng (hay một cột) tùy ý.
Bước 2: Chọn một phần tử khác không tùy ý của hàng (cột)vừa chọn. Sử dụng các tính chất của định thức để khử cácphần tử còn lại.
Bước 3: Khai triển định thức theo hàng (cột) vừa chọn.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa định thứcTính chất của định thức
Tính chất
Định lý khai triển
Có thể khai triển định thức của ma trận vuông A theo bất kỳ hàngcột nào.det(A) = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ...+ ainAin; i = 1, 2, ..., n (khai triểntheo hàng i)det(A) = a1jA1j + a2jA2j + ...+ anjAnj ; j = 1, 2, ..., n (khai triểntheo cột j)
Các bước khai triển định thức:
Bước 1: Chọn một hàng (hay một cột) tùy ý.
Bước 2: Chọn một phần tử khác không tùy ý của hàng (cột)vừa chọn. Sử dụng các tính chất của định thức để khử cácphần tử còn lại.
Bước 3: Khai triển định thức theo hàng (cột) vừa chọn.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa định thứcTính chất của định thức
Ví dụ
Tính định thức:
D =
∣∣∣∣∣∣3 1 5−1 2 1−2 4 3
∣∣∣∣∣∣
Chọn cột 1
Sử dụng phần tử a21 = −1 để khử hai phần tử còn lại của cộtmột
h2.(3) + h1 → h1
h2.(−2) + h3 → h3
Định thức sau khi biến đổi là:
D =
∣∣∣∣∣∣0 7 8−1 2 10 0 1
∣∣∣∣∣∣
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa định thứcTính chất của định thức
Ví dụ
Tính định thức:
D =
∣∣∣∣∣∣3 1 5−1 2 1−2 4 3
∣∣∣∣∣∣Chọn cột 1
Sử dụng phần tử a21 = −1 để khử hai phần tử còn lại của cộtmột
h2.(3) + h1 → h1
h2.(−2) + h3 → h3
Định thức sau khi biến đổi là:
D =
∣∣∣∣∣∣0 7 8−1 2 10 0 1
∣∣∣∣∣∣
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa định thứcTính chất của định thức
Ví dụ
Tính định thức:
D =
∣∣∣∣∣∣3 1 5−1 2 1−2 4 3
∣∣∣∣∣∣Chọn cột 1
Sử dụng phần tử a21 = −1 để khử hai phần tử còn lại của cộtmột
h2.(3) + h1 → h1
h2.(−2) + h3 → h3
Định thức sau khi biến đổi là:
D =
∣∣∣∣∣∣0 7 8−1 2 10 0 1
∣∣∣∣∣∣Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa định thứcTính chất của định thức
Ví dụ
Khai triển định thức theo cột 1:
D = a21.A21 = (−1) (−1)2+1
∣∣∣∣ 7 80 1
∣∣∣∣ = 7
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩaVí dụ
Định nghĩa
Ma trận vuông A là khả nghịch nếu tồn tại ma trận B cùng cấpsao cho A · B = B · A = I . Khi đó ta nói ma trận B là ma trậnnghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A−1
Định lý
Điều kiện cần và đủ để ma trận A khả nghịch là det(A) 6= 0
Các bước tìm ma trận nghịch đảo1. Tính det(A). Nếu det(A) = 0 thì kết luận không có ma trậnnghịch đảo.2. Chuyển vị A thành At rồi thay các phần tử của At bởi các phầnbù đại số tương ứng, được ma trận phụ hợp A.
3. Cuối cùng ta có A−1 =1
det (A)A.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩaVí dụ
Định nghĩa
Ma trận vuông A là khả nghịch nếu tồn tại ma trận B cùng cấpsao cho A · B = B · A = I . Khi đó ta nói ma trận B là ma trậnnghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A−1
Định lý
Điều kiện cần và đủ để ma trận A khả nghịch là det(A) 6= 0
Các bước tìm ma trận nghịch đảo1. Tính det(A). Nếu det(A) = 0 thì kết luận không có ma trậnnghịch đảo.2. Chuyển vị A thành At rồi thay các phần tử của At bởi các phầnbù đại số tương ứng, được ma trận phụ hợp A.
3. Cuối cùng ta có A−1 =1
det (A)A.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩaVí dụ
Định nghĩa
Ma trận vuông A là khả nghịch nếu tồn tại ma trận B cùng cấpsao cho A · B = B · A = I . Khi đó ta nói ma trận B là ma trậnnghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A−1
Định lý
Điều kiện cần và đủ để ma trận A khả nghịch là det(A) 6= 0
Các bước tìm ma trận nghịch đảo1. Tính det(A). Nếu det(A) = 0 thì kết luận không có ma trậnnghịch đảo.
2. Chuyển vị A thành At rồi thay các phần tử của At bởi các phầnbù đại số tương ứng, được ma trận phụ hợp A.
3. Cuối cùng ta có A−1 =1
det (A)A.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩaVí dụ
Định nghĩa
Ma trận vuông A là khả nghịch nếu tồn tại ma trận B cùng cấpsao cho A · B = B · A = I . Khi đó ta nói ma trận B là ma trậnnghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A−1
Định lý
Điều kiện cần và đủ để ma trận A khả nghịch là det(A) 6= 0
Các bước tìm ma trận nghịch đảo1. Tính det(A). Nếu det(A) = 0 thì kết luận không có ma trậnnghịch đảo.2. Chuyển vị A thành At rồi thay các phần tử của At bởi các phầnbù đại số tương ứng, được ma trận phụ hợp A.
3. Cuối cùng ta có A−1 =1
det (A)A.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩaVí dụ
Định nghĩa
Ma trận vuông A là khả nghịch nếu tồn tại ma trận B cùng cấpsao cho A · B = B · A = I . Khi đó ta nói ma trận B là ma trậnnghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A−1
Định lý
Điều kiện cần và đủ để ma trận A khả nghịch là det(A) 6= 0
Các bước tìm ma trận nghịch đảo1. Tính det(A). Nếu det(A) = 0 thì kết luận không có ma trậnnghịch đảo.2. Chuyển vị A thành At rồi thay các phần tử của At bởi các phầnbù đại số tương ứng, được ma trận phụ hợp A.
3. Cuối cùng ta có A−1 =1
det (A)A.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩaVí dụ
Định nghĩa
Ma trận vuông A là khả nghịch nếu tồn tại ma trận B cùng cấpsao cho A · B = B · A = I . Khi đó ta nói ma trận B là ma trậnnghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A−1
Định lý
Điều kiện cần và đủ để ma trận A khả nghịch là det(A) 6= 0
Các bước tìm ma trận nghịch đảo1. Tính det(A). Nếu det(A) = 0 thì kết luận không có ma trậnnghịch đảo.2. Chuyển vị A thành At rồi thay các phần tử của At bởi các phầnbù đại số tương ứng, được ma trận phụ hợp A.
3. Cuối cùng ta có A−1 =1
det (A)A.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩaVí dụ
Ví dụ
Chứng tỏ rằng ma trận A khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo.
A =
1 2 −13 0 24 −2 5
Ta có:
det (A) =
∣∣∣∣∣∣1 2 −13 0 24 −2 5
∣∣∣∣∣∣ = −4.Chuyển vị ma trận A ta được:
At =
1 3 42 0 −2−1 2 5
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩaVí dụ
Ví dụ
Chứng tỏ rằng ma trận A khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo.
A =
1 2 −13 0 24 −2 5
Ta có:
det (A) =
∣∣∣∣∣∣1 2 −13 0 24 −2 5
∣∣∣∣∣∣ = −4.Chuyển vị ma trận A ta được:
At =
1 3 42 0 −2−1 2 5
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩaVí dụ
Ví dụ
Thay các phần tử của At bởi phần bù đại số của nó ta được matrận phụ hợp:
A =
4 −8 4−7 9 −5−6 10 6
Vậy ma trận nghịch đảo của ma trận A là:
A−1 =1
det (A)A =
−1 2 −17
4
−94
5
43
2
−52
3
2
Ma trận
B =
1 1 11 2 −11 0 3
có det(B) = 0 nên không có ma trận nghịch đảo.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩaVí dụ
Ví dụ
Thay các phần tử của At bởi phần bù đại số của nó ta được matrận phụ hợp:
A =
4 −8 4−7 9 −5−6 10 6
Vậy ma trận nghịch đảo của ma trận A là:
A−1 =1
det (A)A =
−1 2 −17
4
−94
5
43
2
−52
3
2
Ma trận
B =
1 1 11 2 −11 0 3
có det(B) = 0 nên không có ma trận nghịch đảo.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩaVí dụ
Ví dụ
Thay các phần tử của At bởi phần bù đại số của nó ta được matrận phụ hợp:
A =
4 −8 4−7 9 −5−6 10 6
Vậy ma trận nghịch đảo của ma trận A là:
A−1 =1
det (A)A =
−1 2 −17
4
−94
5
43
2
−52
3
2
Ma trận
B =
1 1 11 2 −11 0 3
có det(B) = 0 nên không có ma trận nghịch đảo.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩaVí dụ
Ví dụ
Thay các phần tử của At bởi phần bù đại số của nó ta được matrận phụ hợp:
A =
4 −8 4−7 9 −5−6 10 6
Vậy ma trận nghịch đảo của ma trận A là:
A−1 =1
det (A)A =
−1 2 −17
4
−94
5
43
2
−52
3
2
Ma trận
B =
1 1 11 2 −11 0 3
có det(B) = 0 nên không có ma trận nghịch đảo.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa hạng của ma trậnCác phép biến đổi sơ cấp trên ma trậnBài tập
Định nghĩa hạng của ma trận
Cho A là ma trận loại mxn. Nếu ta lấy ra k hàng và k cột thìcác phần tử nằm trên giao điểm của các hàng và các cột lấyra đó lập nên một ma trận vuôn cấp k.
Định thức của ma trận vuông cấp k đó gọi là định thức concấp k trích từ ma trận A
Định nghĩa
Cấp lớn nhất của các định thức con khác không trích từ ma trận Ađược gọi là hạng của ma trận AHạng của ma trận A được ký hiệu là r(A)
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa hạng của ma trậnCác phép biến đổi sơ cấp trên ma trậnBài tập
Định nghĩa hạng của ma trận
Cho A là ma trận loại mxn. Nếu ta lấy ra k hàng và k cột thìcác phần tử nằm trên giao điểm của các hàng và các cột lấyra đó lập nên một ma trận vuôn cấp k.
Định thức của ma trận vuông cấp k đó gọi là định thức concấp k trích từ ma trận A
Định nghĩa
Cấp lớn nhất của các định thức con khác không trích từ ma trận Ađược gọi là hạng của ma trận AHạng của ma trận A được ký hiệu là r(A)
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa hạng của ma trậnCác phép biến đổi sơ cấp trên ma trậnBài tập
Định nghĩa hạng của ma trận
Cho A là ma trận loại mxn. Nếu ta lấy ra k hàng và k cột thìcác phần tử nằm trên giao điểm của các hàng và các cột lấyra đó lập nên một ma trận vuôn cấp k.
Định thức của ma trận vuông cấp k đó gọi là định thức concấp k trích từ ma trận A
Định nghĩa
Cấp lớn nhất của các định thức con khác không trích từ ma trận Ađược gọi là hạng của ma trận AHạng của ma trận A được ký hiệu là r(A)
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa hạng của ma trậnCác phép biến đổi sơ cấp trên ma trậnBài tập
Ví dụ
Tìm hạng của các ma trận sau:
A =
(1 2 72 4 −1
)B =
1 2 −3−1 −2 34 8 −120 0 0
Giải
Hạng của A lớn nhất là bằng 2. Ta có:∣∣∣∣ 1 72 −1
∣∣∣∣ = −15 6= 0.
Vậy r(A) = 2
det(B) = 0. Mọi định thức con cấp≥ 2 của B đều bằngkhông. Vậy r(B) = 1.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa hạng của ma trậnCác phép biến đổi sơ cấp trên ma trậnBài tập
Ví dụ
Tìm hạng của các ma trận sau:
A =
(1 2 72 4 −1
)B =
1 2 −3−1 −2 34 8 −120 0 0
Giải
Hạng của A lớn nhất là bằng 2. Ta có:∣∣∣∣ 1 72 −1
∣∣∣∣ = −15 6= 0.
Vậy r(A) = 2
det(B) = 0. Mọi định thức con cấp≥ 2 của B đều bằngkhông. Vậy r(B) = 1.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa hạng của ma trậnCác phép biến đổi sơ cấp trên ma trậnBài tập
Ví dụ
Tìm hạng của các ma trận sau:
A =
(1 2 72 4 −1
)B =
1 2 −3−1 −2 34 8 −120 0 0
Giải
Hạng của A lớn nhất là bằng 2. Ta có:∣∣∣∣ 1 72 −1
∣∣∣∣ = −15 6= 0.
Vậy r(A) = 2
det(B) = 0. Mọi định thức con cấp≥ 2 của B đều bằngkhông. Vậy r(B) = 1.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa hạng của ma trậnCác phép biến đổi sơ cấp trên ma trậnBài tập
Ví dụ
Tìm hạng của các ma trận sau:
A =
(1 2 72 4 −1
)B =
1 2 −3−1 −2 34 8 −120 0 0
Giải
Hạng của A lớn nhất là bằng 2. Ta có:∣∣∣∣ 1 72 −1
∣∣∣∣ = −15 6= 0.
Vậy r(A) = 2
det(B) = 0. Mọi định thức con cấp≥ 2 của B đều bằngkhông. Vậy r(B) = 1.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa hạng của ma trậnCác phép biến đổi sơ cấp trên ma trậnBài tập
Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận
Định nghĩa
Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận là các phép biến đổi sau:
1, Phép chuyển vị ma trận2, Phép đổi chỗ các hàng hoặc các cột3, Bỏ khỏi ma trận một hàng hoặc một cột gồm toàn phần tửkhông4, Bỏ khỏi ma trận một hàng hoặc một cột là tổ hợp của các hàngcột khác.5, Nhân một hàng hoặc một cột với một số khác không.6, Cộng vào một hàng hoặc một cột một tổ hợp các hàng cột khác
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa hạng của ma trậnCác phép biến đổi sơ cấp trên ma trậnBài tập
Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận
Định nghĩa
Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận là các phép biến đổi sau:1, Phép chuyển vị ma trận
2, Phép đổi chỗ các hàng hoặc các cột3, Bỏ khỏi ma trận một hàng hoặc một cột gồm toàn phần tửkhông4, Bỏ khỏi ma trận một hàng hoặc một cột là tổ hợp của các hàngcột khác.5, Nhân một hàng hoặc một cột với một số khác không.6, Cộng vào một hàng hoặc một cột một tổ hợp các hàng cột khác
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa hạng của ma trậnCác phép biến đổi sơ cấp trên ma trậnBài tập
Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận
Định nghĩa
Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận là các phép biến đổi sau:1, Phép chuyển vị ma trận2, Phép đổi chỗ các hàng hoặc các cột
3, Bỏ khỏi ma trận một hàng hoặc một cột gồm toàn phần tửkhông4, Bỏ khỏi ma trận một hàng hoặc một cột là tổ hợp của các hàngcột khác.5, Nhân một hàng hoặc một cột với một số khác không.6, Cộng vào một hàng hoặc một cột một tổ hợp các hàng cột khác
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa hạng của ma trậnCác phép biến đổi sơ cấp trên ma trậnBài tập
Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận
Định nghĩa
Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận là các phép biến đổi sau:1, Phép chuyển vị ma trận2, Phép đổi chỗ các hàng hoặc các cột3, Bỏ khỏi ma trận một hàng hoặc một cột gồm toàn phần tửkhông
4, Bỏ khỏi ma trận một hàng hoặc một cột là tổ hợp của các hàngcột khác.5, Nhân một hàng hoặc một cột với một số khác không.6, Cộng vào một hàng hoặc một cột một tổ hợp các hàng cột khác
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa hạng của ma trậnCác phép biến đổi sơ cấp trên ma trậnBài tập
Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận
Định nghĩa
Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận là các phép biến đổi sau:1, Phép chuyển vị ma trận2, Phép đổi chỗ các hàng hoặc các cột3, Bỏ khỏi ma trận một hàng hoặc một cột gồm toàn phần tửkhông4, Bỏ khỏi ma trận một hàng hoặc một cột là tổ hợp của các hàngcột khác.
5, Nhân một hàng hoặc một cột với một số khác không.6, Cộng vào một hàng hoặc một cột một tổ hợp các hàng cột khác
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa hạng của ma trậnCác phép biến đổi sơ cấp trên ma trậnBài tập
Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận
Định nghĩa
Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận là các phép biến đổi sau:1, Phép chuyển vị ma trận2, Phép đổi chỗ các hàng hoặc các cột3, Bỏ khỏi ma trận một hàng hoặc một cột gồm toàn phần tửkhông4, Bỏ khỏi ma trận một hàng hoặc một cột là tổ hợp của các hàngcột khác.5, Nhân một hàng hoặc một cột với một số khác không.
6, Cộng vào một hàng hoặc một cột một tổ hợp các hàng cột khác
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa hạng của ma trậnCác phép biến đổi sơ cấp trên ma trậnBài tập
Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận
Định nghĩa
Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận là các phép biến đổi sau:1, Phép chuyển vị ma trận2, Phép đổi chỗ các hàng hoặc các cột3, Bỏ khỏi ma trận một hàng hoặc một cột gồm toàn phần tửkhông4, Bỏ khỏi ma trận một hàng hoặc một cột là tổ hợp của các hàngcột khác.5, Nhân một hàng hoặc một cột với một số khác không.6, Cộng vào một hàng hoặc một cột một tổ hợp các hàng cột khác
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa hạng của ma trậnCác phép biến đổi sơ cấp trên ma trậnBài tập
Bài tập I
Bài 1: Cho các ma trận A =
3 1 00 3 00 0 3
, J =
0 1 00 0 00 0 0
1) Chứng minh rằng A = 3J + I với I là ma trận đơn vị cấp ba.2) Tính J2 và bằng phương pháp quy nạp hãy chứng minh
rằng An = 3nI + anJ với an là một số có thể xác định được. Viếtma trận An.
Bài 2: Cho ma trận A =
0 1 0−1 2 01 0 −1
1) Tính A2 và A3. Nghiệm lại rằng ta có A3 − A2 − A + I = 0
với I là ma trận đơn vị cấp ba.2) Chứng tỏ rằng ma trận A là khả nghịch. Hãy suy ra A−1 từ
hệ thức trên.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa hạng của ma trậnCác phép biến đổi sơ cấp trên ma trậnBài tập
Bài tập II
Bài 3: Tính các định thức
1)
∣∣∣∣∣∣3 0 11 2 5−1 4 2
∣∣∣∣∣∣ ; 2)
∣∣∣∣∣∣∣∣x 1 1 11 x 1 11 1 x 11 1 1 x
∣∣∣∣∣∣∣∣ ; 3)
∣∣∣∣∣∣1 a a2
1 b b2
1 c c2
∣∣∣∣∣∣Bài 4: Tính các định thức
1)
∣∣∣∣∣∣a + b ab a2 + b2
b + c bc b2 + c2
c + a ca c2 + a2
∣∣∣∣∣∣ ; 2)
∣∣∣∣∣∣∣∣−a b c db −a d cc d −a bd c b −a
∣∣∣∣∣∣∣∣Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa hạng của ma trậnCác phép biến đổi sơ cấp trên ma trậnBài tập
Bài tập III
Bài 5: Chứng tỏ rằng các ma trận sau đây là khả nghịch và tìm matrận nghịch đảo của chúng:
A =
1 1 11 2 41 3 9
; B =
1 −a 0 00 1 −a 00 0 1 −a0 0 0 1
Bài 6: Tìm hạng của các ma trận sau:
A =
1 3 −2 12 5 2 11 1 6 13−2 −6 8 10
; B =
1 −2 −5 −8−1 1 1 51 2 11 4
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Các phép toán trên ma trậnĐịnh thức
Ma trận nghịch đảoHạng của ma trận
Định nghĩa hạng của ma trậnCác phép biến đổi sơ cấp trên ma trậnBài tập
Bài tập IV
Bài 7: Cho ma trận A =
−m 3 5m0 1 21 0 m
a, Tìm m để A khả nghịchb, Tìm A−1 khi m = 0.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương II: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
