Chuong02

Chương II

TÌM NGHIỆM THỰC GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH MỘT BIẾN

1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm

1.1 Nghiệm của phương trình: Nếu f() = 0 thì là 1 nghiệm của phương trình f(x) = 0 Ý nghĩa hình học của nghiệm:

- Các nghiệm của phương trình f(x) = 0 là hoành độ giao điểm của đường cong (C): y = f(x) với trục hòanh.

M)0,( 1

y=f(x)

)0,( 2 x

y

1, 2 là nghiệm của phương trình f(x)=0

Hình 2.1

1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt) Có thể biến đổi phương trình f(x) = 0 về dạng g(x) = h(x). Khi đó nghiệm của f(x)=0 là các hoành độ giao điểm của 2 đường cong (C1): y=g(x) và (C2): y=h(x)

Hình 2.2

y (C1): y=g(x)

M

1 2

(C2): y=H(x)

N

1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt)Định lý: Nếu f(x) liên tục trên [a,b] và f(a) trái dấu với f(b), tức là:

f(a).f(b)<0 Thì phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thực trong [a,b]

y y=g(x)

a b

Nf(b)

f(a)x

1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt)1.2) Khoảng phân ly nghiệm:

(a,b) gọi là khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x)=0 nếu trên (a,b) phương trình chỉ có duy nhất 1 nghiệm thực.

Ví dụ 1.1: Trên (-2, -1) phương trình x3-3x+1=0 chỉ có duy 1 nghiệm (-2,-1) là một khoảng phân ly nghiệm.

Định lý: Nếu f(x) khả vi liên tục trên trên [a,b], f’(x) không đổi dấu trên (a,b), và f(a).f(b)<0 thì f(x) có duy nhất một nghiệm trên (a,b).

Suy ra, (a,b) là một khoảng phân ly nghiệm của phương trình.

1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt)

y

a

b

y=f(x)

x

y

a

b

y=f(x)

x

b

y

a

y=f(x)

x

y

a

y=f(x)

f’(x)>0f(a)<0f(b)>0

f’(x)>0f(a)<0f(b)>0

f’(x)<0f(a)>0f(b)<0

f’(x)<0f(a)>0f(b)<0

1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt)Ví dụ 1.2: Xét hàm f(x) = x3-3x+1.

Ta có: f’(x) = 3x2 – 3=0

x = -1 hoặc x = 1

Bảng xét dấu f’(x)

f’(x)>0, x (-2,-1) hơn nữa f(-2). f(-1)=(-1).(3)=-3<0

Vậy (-2, -1) là một khoảng phân ly nghiệm

Tương tự, (-1,1) và (1,2) cũng là các khoảng phân ly nghiệm

- -1 1 x

f’(x) 0 0+ - +

1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt)

1.3) Tìm khỏang phân ly nghiệm của phương trình:

- Nếu f’(x) liên tục, xét dấu của f(x) tại 2 mút của miền xác định và tại những điểm mà f’(x) = 0 Ước lượng khỏang phân ly nghiệm.

- Hoặc vẽ đồ thị của hàm y=f(x) trên giấy kẻ ô vuông Ước lượng nghiệm gần đúng (hòanh độ giao điểm của đồ thị với trục hòanh)

- Trường hợp y=f(x) khó vẽ đồ thị, có thể biến đổi y=f(x) về hàm tương đương h(x)=g(x). Vẽ đồ thị y=h(x) và y=g(x) Ước lượng các hòanh độ giao điểm -> xác định khỏang phân ly nghiệm.

1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt)Ví dụ 1.3: Tìm các khỏang phân ly nghiệm của phương trình

5x3 - 19x + 3 = 0

Xét f(x) = 5x3 - 19x + 3 Tính f’(x) = 15x2 – 19; f’(x) = 0 Bảng biến thiên

15

19;

15

1921 xx

Vậy có thể lấy (-3;-2); (0;1); (1,5;2) là các khỏang phân ly nghiệm của phương trình 5x3 - 19x + 3 = 0.

15

19

15

19

f(x)

0 +

0 -+f’(X)

+-X

17,26

-11,26-

Nếu f(x0)=0 x0 là nghiệm đúng. Dừng.

Nếu f(x0) 0 và sai số x0 thì x0 là nghiệm gần đúng cần tìm với sai số x0 Dừng.

2.Phương pháp chia đôi (Bisection)

Bài toán: Giả sử (a,b) là khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x) = 0. Tìm nghiệm thực gần đúng của phương trình trong (a,b), sai số .

20

bax

Chọn x0 là điểm giữa [a,b] làm nghiệm gần đúng.

y

x0ab

f(x)

x

2.1. Nội dung của phương pháp:

2. Phương pháp chia đôi (tiếp theo)

Nếu f(x0) 0 và sai số x0 > thì xét dấu f(a).f(x0):

Nếu f(a).f(x0) < 0 thì khoảng phân ly nghiệm mới (a,x0)

Nếu f(a).f(x0) >0 thì khoảng phân ly nghiệm mới (x0,b) Lặp lại phương pháp chia đôi với khoảng phân ly nghiệm mới. Quá trình lặp lần lược cho ta các nghiệm gần đúng x0, x1,…. Và kết

thúc khi tìm được xn với sai số xn≤y

x0ab

f(x)

xx1

x2


Ví dụ 1.2:

Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x3 + 4x2 - 1 = 0 trên (0,1) theo phương pháp chia đôi với 5 lần lặp.

Đặt: f(x) = x3 + 4x2 - 1

Ta có f’(x) = 3x2+8x

f’(x) = 0 x = 0 hoặc x = -8/3

Bảng xét dấu f’(x)


Ta thấy: f’(x) > 0 x (0,1)

Và f(0)=-1; f(1)=4 f(0).f(1)=-4<0

Vậy (0,1) là khoảng phân ly nghiệm.

Kết quả thực hiện của 5 lần lặp (với phương pháp chia đôi)

Nghiệm gần đúng tìm được là x 0,46875


2.2. Đánh giá sai số: Gọi là nghiệm đúng. Ta có:

Bước 0:

Bước 2:

… Bước n:

),(2

1100 abx

),(2

1))(

2

1(

2

1211

ababx

).(2

11

abnxn

(2.1)

)(2

110

abx

)(2

121

abx

2.3. Sự hội tụ về nghiệm:

Ta có:

).(2

11

abxnn

2. Phương pháp chia đôi (tt)

0)].(2

1[limlim

1

abxnn

nn

Vậy dãy {xn} hội tụ về nghiệm của phương trình khi n.

0lim

nn

x

2.4. Ưu nhược điểm của phương pháp

Ưu điểm:Đơn giản, dễ lập trình. Nhược điểm: Hội tụ về nghiệm chậm.

2. Phương pháp chia đôi (tt)Ví dụ 1.3: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x3 + 4x2 - 1 = 0

trên (0,1) với sai số = 0,1 bằng phương pháp chia đôi.

• x0 = (a+b)/2=(0+1)/2 =0,5; Sai số: x0 = ½*(b-a)=1/2=0,5 > = 0,1f(0).f(0,5) = -0,125 < 0 Thay b = 0,5; a=0 (không đổi)

• x1 = (a+b)/2=(0+0,5)/2 =0,25;Sai số: x1 = ½*(0,5-0)=0,25 > = 0,1f(0).f(0,25) = 0,73>0 Thay a = 0,25; b=0,5 (không đổi)

• x2=(a+b)/2=(0,25+0,5)/2 =0,375;Sai số:x2=½*(0,5-0,25)=0,125> = 0,1f(0,25).f(0,375) = 0,28>0 Thay a=0,375;b=0,5 (không đổi)

• x3=(a+b)/2=(0,375+0,5)/2 =0,4375;Sai số: x3 = ½*(0,5-0,375)=0,0625< = 0,1

Do x3 < = 0,1 nên x =x3= 0,4375 là nghiệm gần đúng cần tìm.

Giải thuật của phương pháp chia đôi

Input a,b,

l=a; r=b;

x = (l+r)/2; y = f(x);

x>

r = x l = x

y*f(l)<0

Output: X

T

T

T F

y=0F

x = 0Break

x= r - l

F

Bài toán: Giả sử (a,b) là khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x)=0. Tìm nghiệm thực gần đúng của f(x)=0 trên (a,b) với sai số cho trước.

3.1) Nội dung của pp: Thay cung AB bởi dây trương cung AB

AB cắt trục hoành tại điểm (x1,0). Nếu |x1-| , x1: nghiệm gần đúng cần tìm. Nếu không, lặp lại phương pháp dây cung với khoảng phân ly mới (x1,b)

hoặc (a, x1) tùy theo tính chất của f(x)

bA

x1

f(x)

3. Phương pháp dây cung

a

B

Nếu f(x1).f(a)<0 thì (a,x1) là khoảng phân ly nghiệm mới

Nếu f(x1).f(a)>0 thì (x1,b) là khoảng phân ly nghiệm mới

3. Phương pháp dây cung

x2

a

B

bA

A1

Với khoảng phân ly nghiệm mới (x1,b), tính được nghiệm gần đúng x2 bằng phương pháp dây cung

x1

Quá trình lặp kết thúc khi tìm được nghiệm gần đúng xn có sai số

xn ≤

3.2. Công thức tính nghiệm (tt)

Để xây dựng công thức tính nghiệm, ta xét thêm tính tăng giảm và lồi lõm của đường cong f(x). Giả sử f’ và f’’ không đổi dấu trên (a,b)

a

b

a

ba

b

f’(x)>0,f’’(x)<0

f(a)<0, f(b)>0

a

b

f’(x)<0,f’’(x)<0

f(a)>0, f(b)<0

f’(x)<0,f’’(x)>0

f(a)>0, f(b)<0

f’(x)>0,f’’(x)>0

f(a)<0, f(b)>0


Chọn x0=a

Ở bước thứ n, phương trình đường thẳng AnB là:

n

n

n

n

xb

xx

xfbf

xfy

)()(

)(B

b

xn

An

xn+1

An-1

Xn+1 là nghiệm của hệ:

0

)()(

)(

y

xb

xx

xfbf

xfy

n

n

n

n

ax

bfxf

bxxfxx

n

nnnn

0

1 )()(

)).((

(3.1)

Trường hợp: f’(x).f’’(x)>0 :

- Chọn x0= b

- Phương trình đường thẳng AB0:


0

0

0

0

)()(

)(

xa

xx

xfaf

xfy

Trường hợp: f’(x).f’’(x)<0 :

aX0=b

f’(x)>0,f’’(x)<0

f(a)<0, f(b)>0

f’(x)<0,f’’(x)>0

f(a)>0, f(b)<0

B0

x1

B1

a

X0=bx1

B0B1

A

x1: là nghiệm của

hệ: )(

)()(

)(

0

)()(

)(

00

0010

0

0

0

axafxf

xfxx

y

xa

xx

xfaf

xfy


Bước n, phương trình đường thẳng ABn:

Nghiệm gần đúng Xn+1 cần tìm là nghiệm của hệ:

0

)()(

)(

y

xa

xx

xfaf

xfy

n

n

n

n

)()(

)).((1 afxf

axxfxx

n

nnnn

a

X0=bx1

B0B1

A

n

n

n

n

xa

xx

xfaf

xfy

)()(

)(

(3.1)

Với X0=b

3.2. Công thức tính nghiệm(tt) Từ 2 trường hợp trên, ta rút ra công thức tính nghiệm chung:

)()(

))((1 dfxf

dxxfxx

n

nnnn

Trong đó:

d=b, x0 = a nếu f(b) cùng dấu với f’’(x) (hay f’(x).f’’(x)>0)

d=a, x0 = b Nếu f(a) cùng dấu với f’’(x) (hay f’(x).f’’(x)<0)

(3.3)

Phương pháp dây cungVí dụ: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x3-3x+1=0 trên (1,5; 2)

bằng phương pháp dây cung với 3 lần lặp (nghĩa là giá trị của nghiệm cần tìm lần lượt là x0, x1, x2 và x3.

Giải:

Công thức nghiệm tổng quát:

Đặt f(x) = x3 – 3x+1

f’(x)=3x2-3; f’(x)=0 x = -1 x = 1

f’’(x) =6x; f’’(x)=0 x = 0;

Bảng xét dấu:

)()(

))((1 dfxf

dxxfxx

n

nnnn

Phương pháp dây cung

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy:

f’(x)>0 và f’’(x)>0 x(1,5; 2) và f(1,5)=-1,125<0 ; f(2)=3>0

Vậy, chọn x0 = 1,5; d = 2

Áp dụng công thức tính nghiệm:

Ta tính được:

)()(

))((1 dfxf

dxxfxx

n

nnnn

...)2()(

)2)((

0

0001

fxf

xxfxx

?)2()(

)2)((

2

2223

fxf

xxfxx

...)2()(

)2)((

1

1112

fxf

xxfxx

3.3) Đánh giá sai số

Để đánh giá sai số của phương pháp dây cung, ta sử dụng thêm định lý Lagrange

Định lý Lagrange:

Cho hàm số f(x) liên tục trên [a,b], có đạo hàm trong (a, b) thì tồn tại một số c(a,b) sao cho:

f(b)-f(a) = f’(c)(b-a)

a bc

A

B Ý nghĩa hình học:

Tiếp tuyến với đường cong y=f(x) tại Điểm (c,f(c)) song song với AB

3.3) Đánh giá sai số của phương pháp dây cung

Áp dụng:

Gọi là nghiệm đúng. f(x) liên tục trên [xn, ] (hoặc [, xn ] nếu f’(x).f’’(x)<0) và f(x) có đạo hàm trên (xn, ) (hoặc (, xn) nếu f’(x).f’’(x)<0). Theo định lý Lagrange, c(xn, ) sao cho:

nn xcffxf .)(')()(

m

xf nxn

)(Vậy có thể chọn sai số tuyệt đối giới hạn cho

xn là:

)('

)(

)('

)()(

cf

xf

cf

fxfx nnn

Nếu số m thoả: 0< m ≤ f’(x), x[a,b] thì m

xf

cf

xfx nnn

)(

)('

)(

Hơn nữa, nếu số M,m thoả 0< m ≤ f’(x), x[a,b] thì sai số cũng có thể chọn là:

1

nnx xxm

mMn

Phương pháp dây cung (tiếp theo)

Ví dụ: Dùng phương pháp dây cung tìm nghiệm gần đúng của phương trình 5x3-x2-x-1=0 trên đoạn [0,5;1,5] với sai số không quá 0,02.

Giải: Đặt f(x) = 5x3-x2-x-1

f’(x)=15x2-2x-1; f’(x)=0 x1=-1/5; x2 =1/3

f’’(x)=30x-2 x=1/15

Xét dấu f’ va f’’:

X - -1/5 1/5 1/3 -

f’ + 0 - 0 +

f’’ - 0 +

Phương pháp dây cung (tiếp theo) Ta thấy: f(x) liên tục

f’(x)>0; f’’(x)>0 x [0.5,1.5]

f(0,5) = -1.125<0 ; f(1.5) = 12.125>0

(0.5,1.5) là khoảng phân ly nghiệm của phương trình.

Công thức tính nghiệm:

|f’(x)||f’(0.5)|=1.75 x (0.5,1.5) (m la 1.75)

Vậy có thể chọn biểu thức dánh giá sai số:

xn=|f(xn)|/1.75

)5,1()(

)5,1)((

5,0

1

111

0

fxf

xxfxx

x

n

nnnn

Phương pháp dây cung (tiếp theo)

x f(x) Sai số

0,5 -1,125 0,642857

0,584906 -0,9265 0,529426

0,649866 -0,69992 0,399952

0,696262 -0,49337 0,281926

0,727688 -0,33056 0,18889

0,748184 -0,21387 0,122214

0,761215 -0,13524 0,077278

0,769365 -0,08427 0,048153

0,774407 -0,05203 0,02973

0,777508 -0,03194 0,018251 0.02

x=0.777508 là nghiệm gần đúng cần tìm với sai số không quá 0.02

Phương pháp dây cung (tiếp theo) Sự hội tụ về nghiệm: Giả sử là nghiệm đúng. Dãy các nghiệm gần

đúng Trong trường hơp 1:

a=x0<x1<x2<…<xn< <b

Dãy {xn} tăng nghiêm cách và bị chặn trên bởi , nên:

Trong trường hơp 2:

a< <xn<xn-1<…<x1<x0=b

Dãy {xn} giảm nghiêm cách và bị chặn dưới bởi , nên:

Ưu nhược điểm của phương pháp dây cung: Ưu điểm: Biết xn, chỉ cần tính một giá trị của f(xn) để tính xn+1 Nhược điểm: Tốc độ hội tụ về nghiệm chậm

n

nxlim

n

nxlim

Giải thuật của phương pháp dây cung (1)

input: a,b,m,

x = a;d = b

err> Kết quả:x±err

y = f(x)x = x-y*(x-d)/(y -f(d))err = |f(x)|/m

SĐ

f(t).f(a)>0

t=(a.f(b)-b.f(a))/(f(b)-f(a)

x = b; d = a

đ s

Giải thuật của phương pháp dây cung (2)

Bài toán: Giả sử với f(a)*f(b)<0, và f’(x), f’’(x) không đổi dấu trên (a,b). Tìm 1 nghiệm gần đúng của f(x)=0 trên (a,b) với sai số cho trước.

4.1 Nội dung của pp:

- Thay đường cong f(x) trên

[a,b] bởi tiếp tuyến (T) với

đường cong tại điểm A hoặc

B, hoành độ giao điểm x1

của (T) với trục hoành xem

như nghiệm gần đúng của phương trình

4. Phương pháp tiếp tuyến (Phương pháp Newton)

x1

b

(T)

f(x)

a

B

4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến:

a) Trường hợp 1: f’(x).f’’(x)>0

aX0=b

f’(x)<0,f’’(x)<0

f(a)>0, f(b)<0

a

x0=b

f’(x)>0,f’’(x)>0

f(a)<0, f(b)>0

x1

x1f(x)

(T0)

4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến(TT):

(T0)(T1)

f(x)

X0=bX1

X2

B0 B

B1


Cho x0 = b

Phương trình tiếp tuyến (T0) tại B0(x0,f(x0)):

y-f(x0) = f’(x0)(x-x0)

(T0) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x1 là nghiệm của hệ:

x1 xem như nghiệm gần đúng của phương trình, nếu cần chính xác hơn, ta thay x0 bởi x1, lặp lại tính toán trên để tính x2 (chính xác hơn x1) .Lặp lại cho đến khi đạt độ chính xác theo yêu cầu.

0

))((')( 0100

y

xxxfxfy

)('

)(

0

001 xf

xfxx


Công thức tính nghiệm tổng quát: Giả sử ở bước thứ n, xác định được nghiệm gần đúng xn.

- Phương trình tiếp tuyến (Tn) với đường cong f(x) tại Bn(xn,f(xn)) là:

y-f(xn) = f’(xn)(x-xn)

- Hoành độ giao điểm (xn+1) của tiếp tuyến Tn với trục hoành là nghiệm của hệ:

0

))((')( 1

y

xxxfxfy nnnn

)('

)(1

n

nnn xf

xfxx


b) Trường hợp f’(x).f’’(x)<0:

f’(x)>0, f’’(x)<0

f(a)<0, f(b)>0f’(x)<0, f’’(x)>0

f(a)>0, f(b)<0

a

b a

b

Lấy x0= a, phương trình tiếp tuyến (T0) với f(x) tại A0(x0, f(x0)):

y-f(x0) = f’(x0).(x-x0)

Nghiệm gần đúng x1 là nghiệm của hệ:

4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến(TT): Xét f’(x)>0, f’’(x)<0 (trường hợp f’(x)<0 và f’’(x)>0 tương tự)

0

))((')( 0100

y

xxxfxfy

(T0) (T1)

x=a x1 x2

b

A0A

A1

)(')(

01 0

0

xfxfxx

4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến(TT): Tổng quát: Giả sử tìm được nghiệm gần đúng xn, xây

dựng công thức tính xn+1:

- Phương trình tiếp tuyến (Tn) của f(x) tại An(xn, f(xn)) là:

y-f(xn) = f’(xn).(x-xn)

Nghiệm gần đúng xn+1 là nghiệm của hệ:

0

))((')(1

y

xxxfxfy nnn n

)('

)(1

n

nn xf

xfxx

n


Kết luận: Từ 2 trường hợp, ta rút ra công thức tính nghiệm gần đúng xn+1 theo xn là:

)('

)(1

n

nn xf

xfxx

n

Với: X0 = a nếu f’’(a) cùng dấu với f(a)

X0 = b nếu f’’(b) cùng dấu với f(b)

4.3 Sự hội tụ đến nghiệm của pp tiếp tuyến

Giả sử nghiệm đúng của phương trình trên (a,b)

Dãy các nghiệm gần đúng tìm được là:

- Dãy giảm và bị chặn dưới bởi (trường hợp 1)

a < <xn <xn-1 <…<x0<b

- Dãy tăng và bị chặn trên bởi (trường hợp 2)

a < x0 <x1 <…<xn< <b

Nên:

n

nxlim

4.4 Đánh giá sai số của PP tiếp tuyến Giả sử là nghiệm đúng của phương trình. m1, m2 là các số thỏa điều

kiện 0<m1≤|f’(x)| và |f’’(x)|≤m2 <+∞. Ta có:

2

))((''))((')()(

21

111

nnnnnnn

xxcfxxxfxfxf

21

221

1111

11

)(2

))((''2

1)(

0))((')()('

)(

nnnnn

nnnnn

nnn

xxm

xxcfxf

xxxfxfxf

xfxx

1

)(

m

xfx nn

nxnnn xxm

mx

21

1

2 )(2

(Xem cách tính sai số trong PP dây cung)

Hơn nữa, khai triển Taylor của f(xn) tại xn-1. Ta được

Giải thuật của PP tuyếp tuyến (1)

Input: a,b,, m

f(t).f(a)>0

x = b x = a

x = x –f(x)/f’(x)x = |f(x)|/m

x>

output: x± x

T

F

T F

t=(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a))

Giải thuật của PP tuyếp tuyến (2)

Input: a,b,

f(t).f(a)<0

x0 = b x0 = a

x1 = x0 –f(x)/f’(x)err = |x1-x0|

err<=

output: x1± err

S

Đ

S Đ

t=(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a))

Trong thực hành thường chọn sai số của xn: = |xn-xn-1|

5. Phương pháp lặp đơn

Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x)=0 trên (a,b).Phương pháp dây cung và tiếp tuyến là trường hợp đặt

biệt của PP lặp Nội dung của pp: Biến đổi f(x) = 0 về dạng x =(x) với

(x) liên tục trên (a,b)- Lấy x = x0 [a, b] làm nghiệm gần đúng ban đầu- Tính x1 = (x0)- Tính x2 = (x1)- …..- Tính xn = (xn-1)

Nếu xn hội tụ về khi n +∞ thì là nghiệm đúng của phương trình. Các xi là các nghiệm gần đúng

5. Phương pháp lặp (tt)

Ví dụ: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình

5x3 - x2 - x-1 = 0 (*) trên (0.5; 1.5)

Ta có:

(*) x = 5x3 - x2 – 1

Hoặc

(*)

Hoặc

(*)

Giả sử chọn công thức (c). Các nghiệm gần đúng tìm được:

3

2

5

1

xxx

15 3 xxx

(a)

(b)

(c)

5. Phương pháp lặp (tt)

Dãy các giá trị xi tính được từ phương trình:

5x3-x2-x-1 = 0 (*)

bằng cách biến đổi phương trình đã cho về dạng:

3

2

5

1

xxx

5. PHƯƠNG PHÁP LẶP (tt) Sự hội tụ về nghiệm của phương pháp

Định lý:

Giả sử (a,b) là khỏang phân ly nghiệm của phương trình f(x)=0;

f(x)=0 x= (x)

Và(x) và ’(x) là các hàm số tiên tục trên [a,b].

Nếu |’(x)| q < 1 x[a,b], x0[a,b] thì dãy {xn}, n=0,1,2,… nhận được từ: xn = (xn-1) hội tụ đến nghiệm của phương trình f(x)=0.

5. PHƯƠNG PHÁP LẶP (tt) Chứng minh:

Giả sử là nghiệm đúng

Ta có: = ()

x1 = (x0)

x1 - = (x0) - ()

Theo định lý Lagrange, c1(x0, ) nếu x0< hoặc c1 (, x0) nếu < x0 sao cho: (x0) - () =’(c1).(x0- )

|x1- |=|’(c).(x0- )| q.|x0- |

5. PHƯƠNG PHÁP LẶP (tt) Tương tự:

|x2- |= q.|x1- |

|x3- |= q.|x2- |

|xn- |= q.|xn-1- |……

Do q<1 và x0 [a, b] nên xi [a, b] i = 1, 2,…, nHơn nữa:

0lim 0

xqnn

0xqx nn

Và

Nên xn hội tụ về nghiệm khi n+

5. PHƯƠNG PHÁP LẶP (tt)Ví dụ 1.5.2: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình

5x3 – 20x + 3 = 0 trên [0,1]

Ta có: (0, 1) là khỏang phân ly nghiệm của phương trình.

Phương trình đã cho tương đương với:

32 5/)320()( xxx

3195)( 31 xxxx

20

35)(

3

3

x

xx

5. PHƯƠNG PHÁP LẶP (tt)

14,91915)( 21' xx

166,1

5320

3

4)(

3

22

'

X

x

Khi x =0.8

Khi x = 0.5

175,04

3

4

3)(

2

3'

xx x [0;1]

5. PHƯƠNG PHÁP LẶP (tt) Vậy có thể chọn phép biến đổi tương đương:

5x3 – 20x + 3 = 0 x = 3(x) = (5x3+3)/20

Với |’3(x)| =|3x2/4| 0,75=q<1 trên [0;1]

Ta có công thức lặp:

xn = (5x3n-1+3)/20

Các nghiệm gần đúng tìm được sau 5 lần lặp(xn)

X=0,150859 là nghiệm gần đúng


Đánh giá sai số:|xn - | q|xn-1- | = q|xn-1 + xn – xn - |

q|xn-1 - xn| + q| xn - |

(1 - q)| xn - | q|xn-1 - xn|

11

nnn xxq

qx

011xx

q

qx

n

n

Hoặc có thể dùng công thức:

Giải thuật cho phương pháp lặpIn x0, q,

Xpre = xx = (xpre)err = q|x-xpre|/(1-q)

x = x0

err> Out: xĐ S

Ví dụ: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình 5x3-19x+3 =0

trên [0;1] với sai số không quá 0,01 bằng phương pháp lặp.

Giải: Phương trình tương đương với: x = (x)=(5x3+3)/20

|’(x)|=|3/4x2| q = 0,75<1. Vậy dãy xn+1 = (5xn3+3)/20 hội tụ về

nghiệm của phương trình.

Chọn x0 = 0;


01,045,0015,075,01

)75,0(1

x15,020

3)0(1 x

15086,020

3)15,0(5)15,0(

3

2

x 01,000258,015,015086,075,01

)75,0(2

x

Với x2 = 0,15086 thì sai số x2 = 0,01. Vậy x2 là nghiệm gần đúng cần tìm.

Bài tập chương 2

1. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình -x3+5x+2=0 trên (2,3) với sai số không quá 0,03

a) Bằng phương pháp chia đôi.

b) Bằng phương pháp dây cung.

c) Bằng phương pháp tiếp tuyến.

2. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình sinx – x +1/2=0 với sai số không quá 0.02:

b) Bằng phương pháp dây cung.

c) Bằng phương pháp tiếp tuyến.

Bài tập chương 2

3. Tìm các nghiệm gần đúng x1,x2,x3 của phương trình sau bằng phương pháp lặp:

x3 + x – 1000=0

Chuong02

Documents

Transcript of Chuong02