Choque Oblicuo y Ondas de Expansión.

UNEXPO

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITCNICA

ANTONIO JOS DE SUCRE

VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ

DEPARTAMENTO DE INGENIERA MECNICA

SECCIN DE TERMOFLUIDOS

DINAMICA DE GASES

DINAMICA DE

GASES (322678)

Profesor: LUIS M. BUSTAMANTE

Puerto Ordaz. 2013.

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB.

Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.

U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniera Mecnica. Seccin de Termofluidos. Choque Oblicuo y Ondas de Expansin. Dinmica de Gases.

2

CAPITULO VII

CHOQUE OBLICUO Y ONDAS DE EXPANSIN

7.1 Origen de la Onda de Choque Oblicua. 7.2 Choque Oblicuo. Ecuaciones. 7.3 Flujo Supersnico sobre Cuas y Conos. 7.4 Choque Polar. 7.5 Reflexin Regular en los Lmites de un

Slido. 7.6 Diagrama de Presin-Deflexin 7.7 Interseccin de Ondas de Choque Oblicuas

de Familias Opuestas 7.8 Interseccin de Ondas Oblicuas de Familias

Similares. 7.9 Ondas de Expansin Prandtl-Meyer. 7.10 Resumen de ecuaciones. 7.11 Aplicaciones. 7.12 Problemas. 7.13 Tablas. 7.14 Bibliografa. 7.15 Anexo.




3

CAPTULO VII

CHOQUE OBLICUO Y ONDAS DE EXPANSIN

7.1.- ORIGEN DE LA ONDA DE CHOQUE OBLICUA.

La onda de choque normal, ya considerada, es en cierto modo un caso especial

de una familia ms general de ondas de choque oblicuas que ocurren en un campo de

flujo supersnico. Los choques oblicuos ocurren generalmente cuando el flujo

supersnico es retornado en si mismo, como se muestra en la figura 7.1a. Aqu, el

campo de flujo supersnico, que originalmente era uniforme y paralelo a la superficie,

es obligado a girar. En el punto A, toda la corriente supersnica es desviada hacia

arriba a travs de un ngulo ., (giro cncavo), Este cambio, en la direccin de la

corriente, hace que se genere una onda de choque. La corriente aguas abajo del

choque es tambin uniforme y paralela a la superficie. Al otro lado de la onda de

choque, el nmero de Mach puede continuar siendo supersnico o

disminuye, y la presin, la temperatura y la densidad aumentan.

1 2

11 M12

12

12

1

TT

pp

MM2

bA

1 2

11 M 12

12

12

1

TT

pp

MM2

a

A

OblicuaChoquedeOnda .ExpansindeOnda

. . . 7.1FIGURA ConvexoGirobCncavoGiroaesquinaunasobreoSupersnicFlujo




4

En el caso contrario, cundo el campo de flujo supersnico se aleja bruscamente

de s, (giro convexo), ver la figura 7.1b, se esta generando una onda de expansin.

Aqu, toda la corriente es desviada hacia abajo a travs de un de ngulo . Esta onda

de expansin se despliega en forma de abanico, existirn, as, infinitas ondas de

expansin. La corriente es desviada hasta que vuelve a ser paralela a la superficie. Al

otro lado del onda de expansin, el nmero de Mach aumenta y la presin, la

temperatura, y la densidad disminuyen.

Los choques oblicuos y las ondas de expansin son habituales en los flujos

supersnicos bi y tridimensionales. Estas ondas son intrnsecamente bidimensionales

en la naturaleza, en contraste con las ondas de choque ya estudiadas, que son de

carcter unidimensional. Es decir, las propiedades del campo de flujo estn en funcin

de las coordenadas x e y . La idea central de este captulo es presentar los cambios

que se generan en las propiedades de un campo de flujo al existir ondas de choque

bidimensionales.

Las ondas de choque oblicuas y las ondas de expansin, al igual que las ondas

de choque normal, son generadas por perturbaciones que crean colisiones moleculares

a una determinada velocidad del sonido, algunas de las cuales se unen al final

generando choques y otras se separaran en forma de ondas de expansin.

7.2.- CHOQUE OBLICUO. ECUACIONES.

La geometra de un campo de flujo con una onda de choque oblicua es mostrada

en la figura 7.2 La velocidad aguas arriba del campo de flujo es 1V y la corriente es

paralela a la superficie. El nmero de Mach correspondiente es 1M . El choque oblicuo

se genera con un ngulo con respecto a 1V . Detrs de la onda de choque, la

corriente es desviada en un ngulo . La velocidad y el nmero de Mach, luego de la

onda de choque, son 2V y 2M respectivamente. Los componentes de 1V ,

perpendiculares y paralelos a la onda de choque, son 1u y 1w , respectivamente; y en




5

forma anloga, los componentes de 2V perpendiculares y paralelos a la onda de

choque, son 2u y 2w , respectivamente, tal y como se muestra la figura 7.2. De esta

forma se pueden considerar que existen, corriente arriba de la onda de choque,

nmeros de Mach normales y tangenciales, denominados 1nM y 1tM ,

Respectivamente. De forma semejante, existe los nmeros de Mach 2nM y 2tM ,

normales y tangenciales a la onda de choque, aguas abajo de la onda de choque

oblicua.

Considrese el volumen de control abcdef , y 21 AA , siendo 1A el rea de la

cara a y 2A el rea de la cara b . Ambas caras son paralelas a la onda de choque.

Aplicando la forma integral de la ecuacin de continuidad a este volumen de control

para un flujo permanente, se tiene

2211 uu (7.1)

La forma integral de la ecuacin del momentum es una ecuacin vectorial y por

facilidades de calculo, debe ser resuelta en sus dos componentes paralelos y

bc

d

ef

a2V

1V

22 ,MV

1 2

11,MV

11, nu M22 , nu M

11, tw M22 , tw M

.OblicuaChoquedeOndaunadeGeometra 9.2 FIGURA




6

perpendiculares a la onda de choque oblicua. Considerando el volumen de control

abcdef , flujo permanente y sin fuerzas de masa, se tiene

0222111 wuwu (7.2)

dividiendo la ecuacin (7.2) por (7.3), se deduce que

21 ww (7.3)

ste es un resultado sorprendente, es decir, el componente tangencial de la

velocidad del flujo se conserva a travs de la onda de choque oblicua.

retornando a la figura 7.2 y desarrollando componente normal, se tiene

21222111 ppuuuu

o

22222

111 upup (7.3a)

Aplicando la forma integral de la ecuacin de la energa al volumen de control

abcdef y para un flujo adiabtico, permanente y sin fuerzas de masa.

22

2221

2

1112211

22u

Veu

Veupup

o

22

2

2211

2

11

22u

Vhu

Vh

(7.4)




7

dividiendo la ecuacin (7.4) por (7.2),

22

2

22

2

11

Vh

Vh (7.5)

Por la geometra Fig. 7.2, se tiene que 222 wuV y como 21 ww

2221222221212221 uuwuwuVV

por lo tanto, la ecuacin (7.5) se convierte en

22

2

22

2

11

uh

uh (7.6)

Observando las ecuaciones (7.2), (73a), y (7.6) cuidadosamente, se nota que son

idnticas a las ecuaciones de continuidad, momentum y energa del choque normal.

Adems, en ambos grupos de ecuaciones las velocidades son normales a la onda de

choque. Por lo tanto, los cambios que se generan en una onda de choque oblicua son

gobernados por el componente normal de la velocidad. Aplicando el lgebra a la figura

7.2, se tiene

MM Senn 11 (7.7)

para un gas calricamente perfecto,

21

12

2

1

2

1

1

n

n

k

k

M

M

(7.8)

1M1

21 2

1

2

1

n

k

k

p

p (7.9)




8

1

1

2

1

2

2

2

2

1

1

2

n

n

n

k

k

k

M

M

M (7.10)

2

1

1

2

!

2

p

p

T

T (7.11)

Ntese que el nmero de Mach luego de la onda de choque oblicua, 2M , puede

ser calculado de 2nM de la forma,

Sen

n22

MM (7.12)

En el captulo que trato el tema de la onda de choque normal, se enfatiz que

las propiedades eran una funcin de una variable solamente y esa variable era el

nmero de Mach antes de la onda de choque normal. Ahora, de la ecuacin (7.7) a la

(7.11), se observa que los cambios a travs de la onda de choque oblicua son una

funcin de dos variables, tanto como 1M , como . Se observa tambin que el choque

normal en realidad slo un caso especial de los choques oblicuos cuando 2/ .

La ecuacin (7.12) muestra que 2M no puede ser calculado hasta que el ngulo

de desviacin del flujo sea obtenido. Sin embargo es tambin una funcin nica de

1M y , por la geometra de la figura 7.2

1

1tanw

u (7.13)




9

2

2tanw

u - (7.14)

combinando las ecuaciones. (7.13) y (7.14), donde 21 ww

1

2

tan

tan

u

u

(7.15)

y asociando la ecuacin. (7.15) con las ecuaciones (7.2), (7.7), y (7.8), se obtiene

2

M

M

senk

senk2

1

22

1

1

12

tan

tan

(7.16)

con un poco de manipulacin trigonomtrica, la ecuacin (7.16) puede ser expresada

como

22cos

1cot2tan

2

1

22

1

k

sen

M

M (7.17)

la ecuacin (7.17) es denominada la relacin M y establece el ngulo como

una funcin nica de 1M y .

Esta relacin es vital para el anlisis de los choques oblicuos, y los resultados

obtenidos de ella son graficados en el anexo F1 para k = 1,4. Examinando la grfica del

anexo F.1, se concluye lo siguiente:

1. Para un valor dado de 1M existe un ngulo de desviacin mximo ( MAX ). Si

fsicamente es mayor a MAX para este ngulo no existe solucin de choque oblicuo.




10

2. Para cualquier ngulo menor al mximo existirn dos valores de provenientes

de la relacin M . Los cambios a travs de la onda de choque oblicua son ms

fuertes en la medida en que aumenta, esto se demuestra analizando las ecuaciones

(7.8) y (7.9), es decir, el nmero de Mach puede continuar siendo supersnico, luego de

la onda de choque oblicua, en la medida en que el ngulo disminuya. Se ha

establecido que para valores altos de la onda de choque es fuerte; y para valores

pequeos de la onda de choque es dbil. Por lo general, en la naturaleza, la solucin

de de choque dbil es la que generalmente ocurre.

3. Si 0 , entonces 2

, correspondiendo a un choque normal, y para ,

corresponde a una onda de Mach.

4. Para un determinado ngulo de desviacin, el ngulo de la onda de choque puede

aumentar o disminuir, si la solucin de la onda de choque es fuerte o dbil

respectivamente. Adems el ngulo de Mach puede aumentar o disminuir a medida de

que el ngulo de la onda aumente o disminuya y a medida de que la solucin de la onda

de choque sea dbil o fuerte.

Estas observaciones son importantes, y deben ser estudiadas cuidadosamente.

Es importante tener una visin preliminar del comportamiento fsico de las ondas de

choque oblicuas. Si se considera la figura del anexo F.1, junto con las relaciones del

choque oblicuo dadas por las ecuaciones (7.7) hasta la (7.12), se puede observar, por

ejemplo, que para un nmero de Mach fijo, cuando es incrementado, , p2, T2 y 2

aumentan mientras 2M disminuye.

7.3.- FLUJO SUPERSNICO SOBRE CUAS Y CONOS.

Las propiedades del choque oblicuo ya estudiadas representan la solucin

exacta para un campo de flujo sobre una cua o una esquina de compresin

bidimensional. Las lneas de corriente aguas arriba de la onda de choque oblicua son




11

y

x

1

2

2V

2yV

2xV

1V

11 VVx 01 yV

FIGURA 7.3.- Plano Fsico (x,y)

paralelas a la superficie de la cua. La presin sobre la superficie de la cua es

constante e igual a 2p .

Las ondas de choque oblicuas tambin se generan en la punta de un cono. Las

propiedades de este choque oblicuo son dadas por las relaciones ya estudiadas. Sin

embargo, a raz de que el campo de flujo sobre el cono es, intrnsecamente, en tres

dimensiones, el campo de flujo entre la onda de choque y la superficie del cono no es

totalmente uniforme. Las lneas de corriente son curvas y la presin sobre la superficie

del cono tampoco es uniforme. El hecho de existir una tercera dimensin, permite que el

flujo pueda moverse ms cmodamente, aliviando algunos de los obstculos creados

por la presencia del cuerpo cnico. Esto es llamado como el efecto aliviador en tres

dimensiones", que es caracterstico de todos flujos tridimensionales.

7.4.- CHOQUE POLAR.

Otra de las formas de estudiar el flujo supersnico con onda de choque es

grficamente y en el caso del flujo supersnico con choque oblicuo la forma grfica de

estudiarlo es bajo el mtodo del choque polar. El cual se describe a continuacin.

Considrese un choque oblicuo con una velocidad, corriente arriba de la onda,

de 1V y un ngulo de desviacin de , como se indica en la fig. 7.3. Tambin,

considrese un sistema de coordenadas cartesianas x y, en donde el eje x est en la

yV

xV

2yV

2xV

2V

A0

B

1xV

FIGURA 7.4.-Plano Hologrfico.




12

direccin de 1V . La figura 7.3 se denominar plano fsico (x,y). Defnase 1xV , 1yV , 2xV , y

2yV como las componentes x y de las velocidades delante y detrs de la onda de choque

oblicua respectivamente.

Seguidamente se trazan estas

velocidades en un grfico en donde los

ejes corresponden a xV y yV , como se

indica en la Fig. 7.4. Este grfico de

componentes de velocidad se

denominar plano hologrfico. La

lnea OA representa la velocidad 1V ,

(velocidad delante de la onda de choque). La lnea OB representa la velocidad 2V ,

(velocidad detrs de la onda de choque). A su vez, el punto A, en el plano hologrfico,

representa el campo de flujo en su totalidad en la regin 1 del plano fsico de la Fig. 7.3.

Similarmente, el punto B, del plano hologrfico, representa el campo de flujo en su

totalidad en la regin 2 del plano fsico. Si ahora el ngulo de la desviacin en Fig. 7.3

se incrementa a C , entonces la velocidad 2V se orientar en un ngulo de C y la

magnitud de la velocidad disminuye porque la onda de choque oblicua se pone ms

fuerte. Esta condicin se muestra como el punto C del diagrama hologrfico que se

muestra en la Fig. 7.5, el cual representa como la velocidad aguas abajo de la onda de

choque polar vara al aumentar el ngulo de desviacin para una velocidad fija aguas

arriba de la onda de choque oblicua. El

lugar geomtrico de la unin todos los

puntos de las puntas de los vectores de

las velocidades 2V , para una velocidad

1V determinada, se denomina choque

polar. Los puntos A , B y C , en las

figuras 7.4 y 7.5, son justamente tres

puntos sobre el choque polar para una

velocidad dada 1V .

B

C

C

B

A

2V

2V

1V

yV

xV

. 7.5FIGURA 1VvelocidadunaparaPolarChoque

max

B

A

aVx

.

7.6FIGURA

polarmtodoelutilizando

geomtricanConstruci

C

H

D

1M

SnicoCirculo

aVy

O




13

Por conveniencia, se graficarn las velocidades en forma no dimensional,

dividiendo por a , (definida en captulo anterior), (ver Fig. 7.6). Recordando que el

campo de flujo a travs de la onda de choque, entonces a es la misma delante y

detrs de de la onda de choque. De igual forma, se obtendr un choque polar de la

unin de todos los posibles 2M para un

1M dado, como se muestra en la figura Fig.

7.6. La conveniencia de utilizar M est en que, cuando M , 45,2M . El choque

polar, para una gama amplia de nmeros de Mach, se puede graficar en un mismo

grfico. En la figura 7.6 se indica un circulo cuando 1M , este se denomina circulo

snico. Dentro de este crculo, todas las velocidades son subsnicas; fuera de l, todas

las velocidades son supersnicas.

De la figura 7.6 se pueden enumerar las siguientes propiedades del choque

polar.

1. Para un ngulo de desviacin dado, el choque polar es cortado en dos puntos, B y

D. Estos puntos representan la solucin dbil y fuerte respectivamente del choque

oblicuo. El punto D esta dentro del circulo snico como se esperaba.

2. La lnea OC, dibujada tangente al choque polar, representa el mximo ngulo de

desviacin max para un valor dado de

1M , (tambin para un 1M dado). Para MAX ,

no hay solucin para choque oblicuo.

3. Los puntos E y A representan la condicin de que no existe desviacin del campo de

flujo. El punto E es la solucin del choque normal; el punto A corresponde a la lnea de

Mach.

4. Si se traza una lnea travs de A y B, y la lnea OH es trazada perpendicular a AB,

entonces el ngulo HOA es el ngulo de la onda de choque correspondientemente a

la solucin del choque en el punto B. Esto puede demostrarse por el simple argumento




14

geomtrico de que la componente tangencial de la velocidad se conserva a travs de la

onda de choque.

La ecuacin analtica para el choque polar (Vy/a* contra Vx/a*) puede ser

obtenida por del choque oblicuo El resultado es dado por la siguiente ecuacin:

2

1

2

1

1

2

1**

*)(1

2

*/

*

MM

M

a

Vx

y

aV

a

Vy x .

7.5.- REFLEXIN REGULAR EN LOS LMITES DE UN SLIDO

Considrese una onda de choque oblicua sobre las paredes de un slido como

se muestra en la Fig. 7.7.

El campo de flujo, antes de encontrarse con la perturbacin, es paralelo a las

paredes del slido. El

flujo en la regin 1, con

un Mach 1M , se desva

con un ngulo en el

punto A. Si se crea una

onda de choque oblicua,

sta se produce con un

ngulo 1 , chocando

con la pared superior en el punto B. En la regin 2 las lneas de corriente tendrn un

ngulo de inclinacin de . Todas las condiciones en la regin 2 se definen

singularmente por 1M y a travs de las relaciones del choque oblicuo discutidas

anteriormente. En el punto B, para que el campo de flujo permanezca tangente a la

pared superior, las lneas de corriente deben desviarse un ngulo . Esto slo puede

producirse por una segunda onda de choque, originada en B, con suficiente energa

FIGURA 7.7.- Reflexin de una onda de choque oblicua.

B

1

2

A

1

2 31M

2M

3M

reflejadaOnda




15

como para girar el flujo un ngulo . Este segundo choque se denomina choque

reflejado; su intensidad esta condicionado por los valores de 2M y , generando las

consecuentes propiedades en la regin 3. Si 12 MM , la onda de choque reflejada es

ms dbil que la onda incidente, y el ngulo , que se genera con la pared superior,

no es igual a 1 .

7.6.- DIAGRAMA DE PRESIN-DEFLEXION

Las ondas de choque discutidas en la seccin anterior son un ejemplo de los

diferentes procesos de interaccin entre las ondas de choque oblicuas y alguna

superficie de un slido. Existen otros tipos de procesos de interaccin que involucran el

choque oblicuo y la onda de expansin con los lmites de un slido. Para entender

algunas de estas interacciones, se introduce la definicin de diagrama de presin-

deflexin, el cual no es otra cosa que el lugar geomtrico de todos los posibles valores

de las presiones estticas pueden tener detrs de una onda de choque oblicua, como

una funcin del ngulo de la desviacin y las condiciones del campo de flujo aguas

arriba de la onda de choque.

Considrese la Fig. 7.8, la cual muestra, en su parte superior, las dos formas en

que se pueden generan las ondas de choque oblicuas. La figura superior izquierda

muestra una onda que es girada hacia la izquierda, es denominada as porque, si se

esta sobre la onda y se observa aguas abajo, se nota que la onda gir a la izquierda. El

flujo realiza una deflexin de 2 hacia arriba, el cual ser considerado como positiva. En

contraste, la figura superior derecha muestra una onda que es girada hacia la derecha.

El flujo realiza una deflexin de 2 hacia abajo, el cual ser considerado como negativo.

La presin esttica aguas arriba de la onda de choque dnde 0 , es 1p ; la presin

esttica aguas abajo de la onda de choque, dnde 2 , es 2p . Estas dos

condiciones se ilustran por los puntos 1 y 2, respectivamente en un grfico presin

versus ngulo de deflexin en la figura 7.8. Para el movimiento hacia la derecha de la




16

onda, si 22 en la magnitud absoluta, (pero diferentes en signo), la presin en regin

2' ser 2p . Esta condicin es indicada por el punto 2' de Fig. 7.8. Cundo el rango del

ngulo de desviacin son todos los

posibles tal que MAX para una solucin del choque oblicuo, el lugar geomtrico de

todos los posibles valores de las presiones, para un 1M y 1p dados; estn graficados

en el diagrama presin-deflexin de la figura 7.8. El lbulo derecho de esta figura

corresponde a positivo, el lbulo izquierdo para negativos.

7.7.- INTERSECCIN DE ONDAS DE CHOQUE OBLICUAS DE FAMILIAS

OPUESTAS

Considrese las intersecciones de las diferentes ondas de choques indicadas en

la figura 7.9. El campo de flujo es uniforme y paralelo a la superficie con un valor del

nmero de Mach mayor a la unidad. Debido a los ngulos de desviacin 1 y 2 , se

generan ondas de choque oblicuas con sus respectivos ngulos de onda 1 y 2 . Estas

se refractan en el punto C y se generan otras ondas de choque y no necesariamente

izquierdalahaciaGiro derechalahaciaGiro

1M 1M

2M

2M

1

1 2

22

2 p

22

2222 pp

1p1

. M Pr 7.8FIGURA 1 dadounparaDeflexinesinDiagrama




17

ondas de choque oblicuas, las cuales continan reflejndose y retractndose, hasta que

el nivel de energa de las mismas sea tal que no se genere ninguna onda de choque

Este proceso genera las diferentes propiedades del campo de flujo en las

diferentes zonas, tales como la 2, 3, 4 y 4. Al existir zonas conjuntas como la 4 y 4, las

cuales poseen diferentes propiedades, existir una lnea imaginaria denominada lnea

de deslizamiento en la cual existe una discontinuidad en los cambio de la entropa. Sin

embargo, se toman las siguientes condiciones fsicas bsicas, necesarias para los

clculos:

1. La presin debe ser la misma, '44 pp de lo contrario la lnea de deslizamiento sera

curva, inconsistente con la geometra de la superficie

2. Las velocidades en las regiones 4 y 4' deben de tener la misma direccin, aunque no

necesariamente la misma magnitud. Si las velocidades tuvieran direcciones diferentes,

existira la nulidad del campo de flujo en la vecindad de la lnea de deslizamiento, lo

cual es una situacin fsica insostenible.

2

3

4

4

A

B

C

D

F

1 2

3 4 4E

11M

FIGURA 7.9.- Interseccin de ondas de choque de familias opuestas.




18

Estas dos condiciones, junto con las propiedades conocidas en regin 1 y los

ngulos 2 y 3 , determinan completamente las propiedades de las diferentes zonas de

choque. Las temperaturas y densidades, as como la entropa y la magnitud de las

velocidades, son diferentes en las regiones 4 y 4'.

Se observa en la figura 7.9, que si 32 , los procesos de reflexin y refraccin

son simtricos y no existir ninguna lnea de deslizamiento.

7.8.- INTERSECCIN DE ONDAS OBLICUAS DE FAMILIAS SIMILARES.

Considrese una esquina de compresin tal y como se indica en la figura 7.10,

en dnde el campo de flujo supersnico, en la regin 1, es desviado un ngulo , con la

consecuencia de generarse una onda de choque oblicua en el punto B. Ahora

considrese una onda de Mach generada en el punto A, aguas arriba de la onda de

choque. La onda de Mach se interceptar con la onda de choque, o por el contrario se

alegar de la misma. La anterior se puede comprobar aplicando la ecuacin (7.7),

escrita en los trminos de velocidad, es decir:

senVu 11

11 M

MachdeOnda

MachdeOnda

A B

C

1

2

ChoquedeOnda

1 2

FIGURA 7.10.- Onda de Mach antes y despus de una onda de choque oblicua.




19

de aqu

1

1

V

usen (7.18)

recordando la ecuacin (7.1)

1

11

V

asen (7.19)

Ya se ha demostrado que, para existir el choque normal, la componente normal

de la velocidad del campo de flujo aguas arriba de la onda de choque debe ser

supersnica. De este modo, 11 au y por consiguiente, de las ecuaciones (7.18) y

(7.19), 1 . Por consiguiente, refirindose a la figura 7.10, la onda de Mach en A

interceptar a la onda de choque.

Considerando ahora una onda de Mach generada en el punto C, aguas abajo de

la onda de choque. De la ecuacin (7.12)

senVu 22

de aqu

2

2

V

usen (7.20)

recordando la ecuacin (7.1)

2

22

V

asen (7.21)




20

Ya se ha demostrado que el componente normal de la velocidad del campo de flujo

aguas abajo de la onda de choque es subsnica. De este modo, 22 au y por

consiguiente, de las ecuaciones (7.20) y (7.21), 2 . Por consiguiente,

refirindose a la figura 7.10, la onda de Mach en C interceptar a la onda de choque.

7.9.- ONDAS DE EXPANSION PRANDTL-MEYER.

Cuando un flujo supersnico gira alrededor de s mismo segn lo discutido

anteriormente, se crea una onda de expansin como lo indicada en la figura 7.1b. Esto

es directamente contrario a la situacin cuando el flujo gira alrededor de s mismo con la

formacin de una onda de choque oblicua como la indicada en la figura 7.1a. Las ondas

de expansin son la anttesis de las ondas de choque oblicuas. Para apreciar esto ms

completamente, algunos aspectos cualitativos que experimenta el campo de flujo que

atraviesa una onda de expansin se detallan como sigue:

1. 12 MM . Una esquina de expansin es el medio para aumentar el nmero de Mach.

2. .1 ,1 ,11

2

1

2

1

2 T

Tp

p

La presin, densidad, y la temperatura disminuyen a

travs de una onda de expansin.

3. El abanico creado por las infinitas ondas de expansin es una regin de expansin

continua, integrada por un nmero infinito de las ondas del Mach, limitado, aguas

arriba de la corriente. por 1 y aguas abajo por 2 (vase la figura 7.11, donde

1

11

Marcsen y

2

21

Marcsen ).




21

4. Las lneas de corriente a travs de una onda de expansin son lneas curvadas

lisas.

5. Puesto que la onda de

expansin ocurre con una sucesin

continua de las ondas del mach, y

0ds para cada onda del mach, la

onda de expansin es isentrpica.

Las ondas de expansin que se

crean en una esquina convexa

aguda, tal y como se ensea en las

figuras 7.1b y 7.11, son denominadas ondas de expansin centradas y gracias a los

trabajos realizados por Prandtl en 1907, seguido por Meyer en 1908, se crea lo que se

conoce como la teora de las ondas de expansin de Prandtl-Meyer.

La teora de las ondas de expansin de Prandtl-Meyer puede ser explicada

basndose en la figura 7.11. En base a unos valores de 1M , 1p , 1T y 2 dados, se

pueden calcular los valores de 2M , 2p y 2T . El anlisis se puede comenzar

considerando los cambios infinitesimales a travs de una onda muy dbil,

(esencialmente una onda de Mach), producida por una desviacin infinitesimal del flujo,

d , segn lo ilustrado en la figura. 7.12. De la ley de senos

1

1

1 1

T

p

M

2

2

2

T

p

M

PosteriorMachdeLnea

AnteriorMachdeLnea

1 2

2

FIGURA 7.-11.- Lneas de Expansin Prandtl-Mayer

V

MachdeOnda

V

2

2

d2

d

dVV

FIGURA 7.12.- Construccin geomtrica de los cambios infinitesimales a travs de una onda de choque oblicua




22

dsen

sen

V

dVV

2

2 (7.22)

De las identidades trigonomtricas,

cos22

sensen (7.23)

sendsendddsen

coscoscos

2 (7.24)

y sustituyendo la ecuacin (7.23) y (7.24) dentro de (7.22), se obtiene

sendsendV

dV

coscos

cos1 (7.25)

Para un pequeo d , se puede hacer la suposicin de que, para ngulos

pequeos, dsend y 1cos d . Entonces la ecuacin (7.25) se convierte en

tan1

1

cos

cos1

dsendV

dV

(7.26)

recordando la serie de expansin para x < 1

...11

1 32

xxxx




23

la ecuacin (7.26) puede ser expandida, ignorando de trminos de segundo orden y de

una orden mayor, como

...tan11 dV

dV (7.26 a)

As, de la ecuacin (7.26a)

tan

VdV

d (7.27)

sin embargo, a partir de la ecuacin (7.1)

M

1sin 1

y escrita como

1

1tan

2

M (7.28)

y sustituyndola en la (7.27), se obtiene

V

dVMd 12 (7.29)

La ecuacin (7.29) es la ecuacin diferencial que gobierna el flujo de Prandtl-Meyer.

Obsrvese, de ella, los siguientes aspectos:

1. Es una ecuacin aproximada para un valor finito de d , pero se convierte en una

igualdad verdadera cuando 0d .




24

2. Fue derivada estrictamente en base de una geometra, donde solamente la

condicin fsica est asociada a la definicin de una onda del Mach. Por lo tanto, es

una relacin general para los gases perfectos, los gases que reaccionan

qumicamente y los gases reales.

3. Es tratada para ngulos infinitesimalmente pequeos de ondas de expansin d ,

Para analizar totalmente la onda de expansin de Prandtl-Meyer la ecuacin

(7.29) debe ser integrada sobre el ngulo completo 2 y en las regiones 1 a 2,

V

dVMd

M

M

2

1

2

2

1

1

(7.30)

La integral en el lado derecho se puede evaluar despus de que V

dV se obtenga

en trminos de M. De la definicin del nmero de Mach,

MaV

aMV lnlnln (7.31)

diferenciando la ecuacin (7.31)

a

da

M

dM

V

dV (7.32)

relacionndola a un gas calrico perfecto, la ecuacin adiabtica de la energa puede

ser de nuevo escrita como

2

2

2

11 M

k

T

T

a

a oo




25

o, solucionando para a

21

2

2

11

M

kaa o (7.33)

diferenciando la ecuacin (7.33)

dMMk

Mk

a

da1

2

2

11

2

1

(7.34)

y substituyendo la ecuacin (7.34) en la (7.32), se obtiene

M

dM

MkV

dV

2

2

11

1

(7.35)

La ecuacin (7.35) es la relacin deseada para V

dV en trminos de M,.

Substituyndola en la ecuacin (7.29):

2

1 2

2

2

2

1

2

11

10

M

MM

dM

Mk

Md

(7.36)

En la ecuacin (7.36), el trmino




26

M

dM

Mk

MM

2

2

2

11

1 (7.37)

se denomina la funcin de Prandtl-Meyer, y se representa por el smbolo . Realizando

la integracin, la ecuacin (7.37) se convierte en

1tan11

1tan

1

1 2121

MM

k

k

k

kM (7.38)

La constante de integracin que debiera aparecer en la ecuacin (7.38) no es

importante, porque cae hacia fuera cuando la ecuacin (7.38) es sustituida dentro de la

ecuacin (7.36). Por conveniencia, se elige como cero 0M cuando 1M ,

Finalmente se puede ahora escribir la ecuacin (7.36), combinndola con la (7.37),

como

122 MM (7.39)

donde M es dado por la ecuacin (7.38) para un gas calrico perfecto. La funcin de

Prandtl-Meyer es tabulada, en funcin de M, en el anexo F.2 para k = 1.4, junto con los

valores del ngulo de Mach, para la conveniencia de los futuros clculos.

Retornando a la figura. 7.12 y en base a las ecuaciones (7.39) y (7.38), la forma

de clculo de una onda de expansin Prandtl-Meyer, es como sigue:

1. Obtener 1M del anexo F.2 para el valor de 1M dado.

2. Calcular 2M de la ecuacin (7.39) con el valor de 2 dado y 1M obtenido en el

paso 1.

3. Obtener el 2M del anexo F.2 que corresponde al valor de 2M del paso 2.




27

4. Reconociendo de que la expansin es isentrpica, los valores de oT y op

permanecen constantes a travs de la onda, por lo tanto las ecuaciones. (3.28) y

(3.30) deben utilizarse para estimar las propiedades del campo de flujo despus de

la onda de expansin

2

1

2

2

2

1

2

11

2

11

Mk

Mk

T

T

y

1

2

1

2

2

2

1

2

11

2

11

kk

Mk

Mk

p

p

7.10.- RESUMEN DE FORMULAS.

2211 uu

(7.1)

0222111 wuwu

(7.2)

21 ww

(7.3)

2

222

2

111 upup

(7.3a)

22

2

2211

2

11

22u

Vhu

Vh

(7.4)

22

2

22

2

11

Vh

Vh

(7.5)

22

2

22

2

11

uh

uh

(7.6)

SenMMn 11

(7.7)

21

12

2

1

2

1

1

n

n

Mk

Mk

(7.8)

11

21 2

1

2

1

nM

k

k

p

p



U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniera Mecnica. Seccin de Termofluidos.

Choque Oblicuo y Ondas de Expansin. Dinmica de Gases.

28

(7.9)

1

1

2

1

2

2

2

2

1

1

2

n

n

n

Mk

k

kM

M

(7.10)

2

1

1

2

!

2

p

p

T

T

(7.11)

Sen

MM

n22

(7.12)

1

1tanw

u

(7.13)

2

2tanw

u -

(7.14)

1

2

tan

tan

u

u

(7.15)

2

senMk

senMk2

1

22

1

1

12

tan

tan

(7.16)

22cos

1cot2tan

2

1

22

1

kM

senM

(7.17)

1

1

V

usen

(7.18)

1

11

V

asen

(7.19)

2

2

V

usen

(7.20)

2

22

V

asen

(7.21)

dsen

sen

V

dVV

2

2

(7.22)

cos22

sensen

(7,23)





29

sendsend

ddsen

coscos

cos2

(7.24)

sendsendV

dV

coscos

cos1

(7.25)

tan1

1

cos

cos1

dsendV

dV

(7.26)

...tan11 dV

dV

(7.26 a)

tan

VdV

d

(7.27)

1

1tan

2

M

(7.28)

V

dVMd 12

(7.29)

V

dVMd

M

M

2

1

2

2

1

1

(7.30)

aMV lnlnln

(7.31)

a

da

M

dM

V

dV

(7.32)

21

2

2

11

M

kaa o

(7.33)

dMMk

Mk

a

da1

2

2

11

2

1

(7.34)

M

dM

MkV

dV

2

2

11

1

(7.35)

2

1 2

2

2

2

1

2

11

10

M

MM

dM

Mk

Md

(7.36)





30

M

dM

Mk

MM

2

2

2

11

1

(7.37)

1tan11

1tan

1

1 2121

MM

k

k

k

kM

(7.38)

122 MM

(7.39)



7.11.- APLICACIONES

N 1.- Circula aire sobre una cua tipo diamante cuyo ngulo cncavo y convexo es de 2 y tiene

una inclinacin convexa, con relacin a las lneas de corriente horizontales, de 8. En la cara

frontal de la cua y en la zona superior de la misma se generan ondas de expansin. En el

vrtice convexo superior de la cua igualmente se generan ondas de expansin. Al final de la

cua se genera una onda de choque oblicua a causa de una perturbacin cncava cuyo ngulo

es de 4. Aguas abajo de sta ltima onda de choque, resultan las siguientes propiedades y

relaciones: presin esttica y de estancamiento 51,77 kPa y 1341,89 kPa respectivamente y

p4/p3 = p(luego de la onda de choque)/p(antes de la onda de choque) = 1,34953. Determine las

siguientes propiedades aguas arriba de la cua: a) el nmero de Mach; b) la presin esttica; c)

la presin de estancamiento; y d) las lneas de Mach anterior y posterior de todas las ondas de

expansin. ( R = 287 J/kg K; k = 1,4)

Solucin. 1.- Leer.

2.- Datos: p4 = 51,77 kPa; po4 = 1341,89

kPa; p4/p3 = 1,34953; 4 = 4; 1 = 8; 2 =

2; k = 1,4; R = 287 J/kg K.

3.- Pregunta: Determinar las siguientes

propiedades aguas arriba de la cua: a) el

nmero de Mach; b) la presin esttica; c) la

presin de estancamiento; y d) las lneas de

Mach anterior y posterior de cada onda de

expansin.

4.- Esquema:

5.- Hiptesis: Flujo isentrpico. Gas

Calricamente perfecto

6.- Leyes y Ecuaciones. Conservacin de la

masa. Segunda Ley. Energa. Tablas de

Prandtl-Meyer. Tablas Isentrpicas. Tablas

de choque normal.

11

21 21

1

2

nM

k

k

p

p

8

2

p

po

4

3

2

1



sen

MM n22

senMMn 11

122 MM

1

2

2

2

3

3

2

2

11

2

11

k

k

Mk

Mk

p

p

7.- Desarrollo.

1

1

21 23

3

4nM

k

k

p

p

1

1

2

13

4

3

k

k

p

p

M n

1

14,1

4,12

134953,13 x

M n

14000,129960,13 nM

se puede estimar tambin Mn3 por medio de

p4/p3 y las tablas de choque normal, dando

as el mismo resultado.

Por las tablas de choque normal y Mn3 se

determina:

Mn4 = 0,88204

03858,085,1341

77,51

4

4 op

p

por las tablas de flujo isentrpico se tiene:

M4 = 2,77

4

88204,077,2 44

sensen

MM n

31843,077,2

88204,04sen

31843,04 sen

568,1831843,01sens

568,224568,18

senMMn 33

97045,2

568,22

14,133

sensen

MM n



34953,13

4

p

p

kPap

p 362,3834953,1

77,51

34953,1

43

3 1932,49M

por el dibujo 3 = 4, entonces:

3 = (M3) (M2) => (M2) = (M3) - 3

(M2) = 49,1932 4 = 45,193

por la tabla de Prandtl-Meyer

M2 = 2,7735

1

2

2

2

3

3

2

2

11

2

11

k

k

Mk

Mk

p

p

14,1

4,1

2

2

7735,22

14,11

97045,22

14,11

kPaxxpp

p

p

723,5134828,1362,3834828,1

34828,108913,153846,2

76471,2

32

5,3

5,3

3

2

por el dibujo 2 = 6, entonces:

2 = (M2) (M1) => (M1) = (M2) 2

(M1) = 45,193 6 = 39,193

a) por la tabla de Prandtl-Meyer

M1 = 2,503

b)

1

2

1

2

2

2

1

2

11

2

11

k

k

Mk

Mk

p

p

14,1

4,1

2

2

503,22

14,11

7735,22

14,11

51821,112670,125300,2

53846,2 5,35,3

2

1

p

p

kPaxxpp 53,7851821,1723,5151821,121

c) por las tablas de flujo isentrpico y con M1

= 2,503

p/po = p1/po1 = 0,05853 =>



po1 = p1/0,05853 = 78,53/0,05853 = 1341,71

kPa

d)

1) Angulo de la lnea anterior de la primera

onda de expansin = sen-1(1/M1) = sen-

1(1/2,503) = 23,55

2.- Angulo de la lnea posterior de la primera

onda de expansin = sen-1(1/M2) 6 = sen-

1(1/2,773) - 6 = 15,14

3.- Angulo de la lnea anterior de la segunda

onda de expansin = sen-1(1/M2) = sen-

1(1/2,7725) = 21,14

4.- Angulo de la lnea posterior de la

segunda onda de expansin = sen-1(1/M3)

4 = sen-1(1/2,970) - 4 = 15,67

RESULTADOS:

a) M1 = 2,503

b) p1 = 78,53 kPa

c) po1 = 1341,71 kPa

d) 1.- Angulo de la lnea anterior de la

primera onda de expansin = 23,55


primera onda de expansin = 15,13

3.- Angulo de la lnea anterior de la

segunda onda de expansin = 21,13


segunda onda de expansin = 15,67



N 2.- En un tnel supersnico para aire, (fig. n 1a), en la entrada del difusor se

forma un sistema de dos pares de ondas de choque inclinadas respecto al eje del

tnel (fig. n 1b). con esto, las ondas AB, AB son oblicuas, con relacin al flujo de la

zona de trabajo, en tanto que las ondas CB, CB, son normales en lo que atae al

flujo tras las ondas de choque AB, AB. Determine la presin de estancamiento, con

el fin de obtener un flujo con nmero M1 = 3 en la zona de trabajo y vencer en la

salida del difusor la contrapresin atmosfrica pB = 1,275x105 Pa a una velocidad del

flujo correspondiente a MB = 0,3. El ngulo de la perturbacin es de 30.

Solucin 1.- Leer. 2.- Datos: M1 = 3. = 30. pB = 1,275x105 Pa (atm). MB = 0.3. k = 1.4 3.- Pregunta: Determinar la presin de

estancamiento, con el fin de obtener un

flujo con nmero M1 = 3 en la zona de

trabajo y vencer en la salida del difusor

la contrapresin atmosfrica pB =

1,275x105 Pa a una velocidad del flujo

correspondiente a MB = 0,3.

4,. Esquema o dibujo.

M1 =

3

A

C

C

B(B)

A

3

0

P0

1

P0

2

P0

3

PB =

1,275x1

05 Pa

MB = 0.3

Fig. n 1a

M1 MB

pB

po

Fig. n

1b

M1

A

C

C

B(B)

A

30



5.- Hiptesis. Flujo isentrpico en todo el ducto. 6.- Leyes y ecuaciones. Tablas de Flujo isentrpico. Tablas de choque normal. Grafico M.

22cos

12

12

21

2

kM

senMctgtg ;

1232

11

k

k

B

B

o Mk

p

P;

1

1

2

1/2

12

12

22

n

nn

Mk

k

kMM ;

sen

MM n22 ; senMMn 11

7.- Desarrollo. a) por el grafico M = 51 Ajustando se tiene que = 52 para = 29,99.

b) senMMn 11 = 2.36

c) por la tabla de choque normal y para M = 2.36; se tiene: po2 /po1 = 0,5615

d) utilizando

1

1

2

1/2

12

12

22

n

nn

Mk

k

kMM =

0,28. entonces: Mn2 = 0,5275 = 0,53 utilizando la tabla de choque normal se comprueba que Mn2 = 0,5286 = 0,53

e)

sen

MM n22 = 1,41

f) por la tabla de choque normal y para M2 = 1,41; se tiene: po3 /po2 = 0,95566

g) utilizando 123

2

11

k

k

B

B

o Mk

p

P =

1,06; se tiene po3 = 1,36x10

5 Pa h) po2 = 1,36x10

5 Pa/0,95566 = 1,42x105 Pa i) po1 = 1,42x10

5 Pa/0,5615 = 1,42x105 Pa RESULTADO:

po1 = 1,42x105 Pa



N 3.- Circula aire a travs de un ducto con un nmero de Mach de 4,5 y a una

temperatura de estancamiento de 60 C. Aguas abajo del ducto se encuentran dos

perturbaciones cncavas, con relacin al flujo, una en la cara superior y la otra en la

cara inferior del ducto, las cuales generan un par de ondas de choque oblicuas.

Estas ondas se refractan en otro par de ondas de choque de carcter normal,

continuando el flujo con la misma direccin original. Determine: a) las condiciones de

velocidad y temperatura estticas para el estado posterior a las ondas de choque

normal; y b) el cambio de entropa para las ondas de choque normal. El ngulo de la

perturbacin cncava inferior es de 30 y el de la perturbacin cncava superior es

de 20. (R 0 287 j/kg K; k = 1,4)

Solucin 1.- Leer. 2.- Datos: T0 = 60 C = 333 K; p0

=3,35x105 kPa; M1 = 4,5; 1 = 30; 2 =

20; k = 1,4; R = 287 J/kg K.

3.- Pregunta: Determine a) las

condiciones de velocidad y temperatura

estticas para el estado posterior a las

ondas de choque normales; b) el cambio

de entropa para las ondas de choque

normal.

4.- Esquema:

5.- Hiptesis: Flujo sin friccin e isentrpico. Gas Calricamente perfecto 6.- Leyes y Ecuaciones. Conservacin

de la masa. Segunda Ley. Energa.

Tablas de Flujo Isentrpico; de choque

normal y de Funcin Prandtl-Mayer.

Grafico de relacinM.

senMMn 11 ; ,)(

22

sen

MM n ;

kRTa ; a

uM ;

,

22cos

12

21

22

1

kM

senMctgtg

7.- Desarrollo.

a) Con M1 = 4,5 y 1 = 30 entonces 3 =

43,539

Con M1 = 4,5 y 2 = 20 entonces 2 =

30,938

30

M1

po To

20

1

2

3

4 5



Mn1-3 = M1xsen3 = 4,5xsen(43,539) =

3,10

Mn1-2 = M1xsen2 = 4,5xsen(30,938) =

2,31

De las tablas de choque normal:

Mn2-3 = 0,47038

Mn2-2 = 0,53322

Entonces:

00925,2

30539,43

47038,0

13

323

sensen

MM n

81017,2

20938,30

53322,0

22

222

sensen

MM n

De las tablas de choque normal se

tiene:

M4 = 0,57565

M5 = 0,48746

Con los valores de los nmeros de

Mach calculados se estiman los

siguientes valores por las tablas de flujo

isentrpico y de choque normal.

a) M = 4,5 y con las tablas de flujo

isentrpico:

T/To = T1/To1 = 0,19802

b) M = 3,10 y con las tablas de choque

normal:

Ty/Tx = T3/T1 = 2,8062

c) M = 2,31 y con las tablas de choque

normal:

Ty/Tx = T2/T1 = 1,9560

d) M = 2,009 y con las tablas de choque

normal:

poy/pox = po5/po3 = 0,71619

Ty/Tx = T5/T3 = 1,6956

e) M = 2,8107 y con las tablas de

choque normal:

poy/pox = po4/po2 = 0,38618



Ty/Tx = T4/T2 = 2,4622

De tal forma que:

T1 = To1x0,19802 = 333x0,19802 =

65,94 K

T3 = T1x2,8062 = 65,94x2,8062 = 185,04

K

T2 = T1x1,9560 = 65,94x1,9560 = 128,98

K

T5 = T3x1,6956 = 185,04x1,6956 =

313,75 K

T4 = T2x2,4622 = 128,98x2,4622 =

317,57 K

Por lo tanto

smxxkxRxTa /06,35575,3132874,155

smxxkxRxTa /21,35757,3172874,144

smxxaMu /63,20521,35757565,0444

smxxaMu /08,17406,35548746,0555

b)

71619,0ln287ln3

535 x

p

pRs

o

o

kgKJxs /80,95334,028735

38618,0ln287ln2

424 x

p

pRs

o

o

kgKJxs /94,272951,028724

RESULTADOS:

T4 = 317,57 K

T5 = 313,75 K

u4 = 205,63 m/s

u5 = 152,94 m/s

s5-3 = 95,80 J/kg K

s4-2 = 272,94 J/kg K

7.12.- PROBLEMAS PROPUESTOS



7.1.- Aire a un M = 2.0 y p = 68,95 kPa (abs) es forzado a circular por una

perturbacin superficial con un ngulo de deflexin de 10 y se genera una onda

de choque oblicua. Determine: a) el ngulo de la onda ; b) M2;; y c) p2

7.2.- Fluye aire sobre una cua con M = 3. El ngulo de deflexin es de 10. Una

onda de choque oblicua dbil se refleja un una superficie que conserva la horizontal

con el eje de simetra longitudinal de la cua. Determine: a) el nmero de Mach

luego del reflejo de la onda en la pared; y b) el ngulo de reflejo de la onda en la

pared.

7.3.- Fluye aire sobre una cuya con M = 2,829; po = 101325 Pa y To = 20 C. El

ngulo de inclinacin de la onda de choque oblicua es de 45. Determine: a) el

nmero de Mach despus de la onda de choque; b) la direccin de las lneas de

corriente directamente despus de la onda de choque, y c) al ngulo de Mach.

7.4.- Un flujo supersnico con M = 3 forma una onda de choque oblicua como

resultado de encontrarse con una esquina cuyo ngulo de deflexin es de 30.

Determine: a) los posibles ngulos de reflejo ; y b) los posibles nmeros de Mach.

7.5.- Dos ondas de choque oblicua se interceptan formando entre si un ngulo de

120. Determine: a) el ngulo de las ondas de choque reflejadas si el flujo de aire

debe salir paralelo a su original; y b) el nmero de Mach despus de reflejadas las

ondas de choque. Considere un M = 2 antes de la intercepcin de las ondas.

7.6.- En un tnel supersnico para aire, (fig. n 1a), en la entrada del difusor se

forma un sistema de dos pares de ondas de choque inclinadas respecto al eje del

tnel (fig. n 1b). con esto, las ondas AB, AB son oblicuas, con relacin al flujo de la

zona de trabajo, en tanto que las ondas CB, CB, son igualmente oblicuas en lo que

atae al flujo tras las ondas de choque AB, AB. Determine la presin de

estancamiento, con el fin de obtener un flujo con nmero M1 = 3 en la zona de



trabajo y vencer en la salida del difusor la contrapresin atmosfrica pB = 1,275x105

Pa a una velocidad del flujo correspondiente a MB = 0,3. El ngulo de la perturbacin

es de 30.

7.7.- En la zona de trabajo de un tnel aerodinmico se encuentra un cuerpo

cuneiforme. La circulacin alrededor de ste va acompaada por la formacin de

una onda de choque oblicua que incide en la pared opuesta a la cua. Tras la onda

de choque la velocidad no es paralela a la pared, por lo que ella interacciona con el

flujo provocando la aparicin de una onda reflejada, detrs de la cual el flujo se hace

paralelo a la pared. Determine el ngulo de reflexin de la onda de choque, a

condicin de que delante de la onda el nmero de M1 = 5 y el ngulo cua = 15.

7.8.- Fluye aire sobre una superficie convexa de 20 con un M1 = 3 y p1 = 200 kPa.

Determine la presin y el nmero de Mach para luego de la onda de expansin.

7.9.- Un flujo de aire supersnico con M1 = 2; T1 = 0 C y p1 = 20 kPa (abs), da vuelta

a una esquina convexa. Si M2 = 4, Qu ngulo deber tener la esquina? Calcule

tambin T2 y u2.

Fig. n 1a

M1 MB

pB

po

Fig. n1b

1b

M1

A

C

C

B(B)

A

30



7.10.- Un campo de flujo con M1 = 3,2 y p1 = 50 kPa se dirige hacia dos esquinas de

30 cada una. Calcule el nmero de Mach y la presin en la ultima zona del campo

de flujo si: a) primero se genera una onda de choque oblicua y luego ana onda de

expansin; b) primero se genera una onda de expansin y luego ana onda de

choque oblicua.

7.11.- Fluye aire a travs de una cua tipo diamante cuyo ngulo cncavo y convexo

es de 15 en condicin supersnica. Se genera una onda de choque oblicua en la

cara frontal de la cua y en el vrtice convexo se generan ondas de expansin.

Aguas debajo de las ondas de expansin la presin esttica y la de estancamiento

valen 0,1 atm 2,596 atm respectivamente. Determine el nmero de Mach antes de la

onda de choque oblicua.

7.12.- Un campo de flujo circula sobre una placa plana la cual tiene una inclinacin

convexa; con relacin a las lneas de corriente horizontales, de 8. El nmero de

Mach es de 2,5; p1 = 100 kPa; po1 = 1709 kPa; y la funcin de Prandatl-Meyer para

M1 [(M1)] vale 39,124. En la zona superior de la placa se generan ondas de

expansin y en la zona inferior de la placa se generan ondas de choque oblicuo.

Determine: 1) para la zona superior: a) nmero de Mach; b) presin esttica; y

funcin Prandatl-Meyer. 2) para la zona inferior: a) ngulo de inclinacin de la onda

de choque; b) nmero de Mach; y c) presin esttica.

7.13.- Un campo de flujo circula sobre una cua tipo diamante cuyo ngulo cncavo

y convexo es de 2 y tiene una inclinacin convexa, con relacin a las lneas de

corriente horizontales, de 8. El nmero de Mach es de 2,5; p1 = 100 kPa; po1 = 1709

kPa; y la funcin de Prandatl-Meyer para M1 [(M1)] vale 39,124. En la cara frontal

de la cua y en la zona superior de la cua se generan ondas de expansin y en la

zona inferior de la misma se generan ondas de choque oblicuo. En los vrtices

convexos de la cua igualmente se generan ondas de expansin. Determine: 1) para

las zonas donde se generan ondas de expansin: a) nmero de Mach; b) presin

esttica; y funcin Prandatl-Meyer. 2) para la zona donde se genera onda de choque



oblicuo: a) ngulo de inclinacin de la onda de choque; b) nmero de Mach; y c)

presin esttica.



7.13.- TABLAS.

TABLA F2.- Funcin Prandtl-Meyer y Angulo de Mach para un gas calricamente perfecto con calor especifico y peso molecular constante

k = 1,4

M M M

1.0000 0.000E+00 9.000E+01 1.5000 1.191E+01 4.181E+01 2.0000 2.638E+01 3.000E+01

1.0125 6.240E-02 8.099E+01 1.5125 1.227E+01 4.139E+01 2.0125 2.672E+01 2.979E+01

1.0250 1.751E-01 7.732E+01 1.5250 1.264E+01 4.098E+01 2.0250 2.707E+01 2.959E+01

1.0375 3.191E-01 7.455E+01 1.5375 1.301E+01 4.057E+01 2.0375 2.741E+01 2.939E+01

1.0500 4.874E-01 7.225E+01 1.5500 1.338E+01 4.018E+01 2.0500 2.775E+01 2.920E+01

1.0625 6.758E-01 7.025E+01 1.5625 1.375E+01 3.979E+01 2.0625 2.809E+01 2.900E+01

1.0750 8.815E-01 6.847E+01 1.5750 1.412E+01 3.941E+01 2.0750 2.843E+01 2.881E+01

1.0875 1.102E+00 6.686E+01 1.5875 1.449E+01 3.904E+01 2.0875 2.876E+01 2.862E+01

1.1000 1.336E+00 6.538E+01 1.6000 1.486E+01 3.868E+01 2.1000 2.910E+01 2.844E+01

1.1125 1.582E+00 6.401E+01 1.6125 1.523E+01 3.833E+01 2.1125 2.943E+01 2.825E+01

1.1250 1.839E+00 6.273E+01 1.6250 1.560E+01 3.798E+01 2.1250 2.976E+01 2.807E+01

1.1375 2.106E+00 6.154E+01 1.6375 1.597E+01 3.764E+01 2.1375 3.010E+01 2.789E+01

1.1500 2.381E+00 6.041E+01 1.6500 1.634E+01 3.731E+01 2.1500 3.043E+01 2.772E+01

1.1625 2.665E+00 5.934E+01 1.6625 1.671E+01 3.698E+01 2.1625 3.075E+01 2.754E+01

1.1750 2.956E+00 5.833E+01 1.6750 1.707E+01 3.666E+01 2.1750 3.108E+01 2.737E+01

1.1875 3.254E+00 5.736E+01 1.6875 1.744E+01 3.634E+01 2.1875 3.141E+01 2.720E+01

1.2000 3.558E+00 5.644E+01 1.7000 1.781E+01 3.603E+01 2.2000 3.173E+01 2.704E+01

1.2125 3.868E+00 5.556E+01 1.7125 1.818E+01 3.573E+01 2.2125 3.206E+01 2.687E+01

1.2250 4.184E+00 5.472E+01 1.7250 1.854E+01 3.543E+01 2.2250 3.238E+01 2.671E+01

1.2375 4.505E+00 5.391E+01 1.7375 1.891E+01 3.514E+01 2.2375 3.270E+01 2.655E+01

1.2500 4.830E+00 5.313E+01 1.7500 1.927E+01 3.485E+01 2.2500 3.302E+01 2.639E+01

1.2625 5.159E+00 5.238E+01 1.7625 1.964E+01 3.457E+01 2.2625 3.334E+01 2.623E+01

1.2750 5.493E+00 5.166E+01 1.7750 2.000E+01 3.429E+01 2.2750 3.365E+01 2.608E+01

1.2875 5.830E+00 5.096E+01 1.7875 2.036E+01 3.402E+01 2.2875 3.397E+01 2.592E+01

1.3000 6.170E+00 5.028E+01 1.8000 2.073E+01 3.375E+01 2.3000 3.428E+01 2.577E+01

1.3125 6.514E+00 4.963E+01 1.8125 2.109E+01 3.349E+01 2.3125 3.460E+01 2.562E+01

1.3250 6.860E+00 4.900E+01 1.8250 2.145E+01 3.323E+01 2.3250 3.491E+01 2.547E+01

1.3375 7.209E+00 4.839E+01 1.8375 2.181E+01 3.297E+01 2.3375 3.522E+01 2.533E+01

1.3500 7.561E+00 4.779E+01 1.8500 2.216E+01 3.272E+01 2.3500 3.553E+01 2.518E+01

1.3625 7.914E+00 4.722E+01 1.8625 2.252E+01 3.247E+01 2.3625 3.583E+01 2.504E+01

1.3750 8.270E+00 4.666E+01 1.8750 2.288E+01 3.223E+01 2.3750 3.614E+01 2.490E+01

1.3875 8.628E+00 4.611E+01 1.8875 2.323E+01 3.199E+01 2.3875 3.644E+01 2.476E+01

1.4000 8.987E+00 4.558E+01 1.9000 2.359E+01 3.176E+01 2.4000 3.675E+01 2.462E+01

1.4125 9.348E+00 4.507E+01 1.9125 2.394E+01 3.153E+01 2.4125 3.705E+01 2.449E+01

1.4250 9.710E+00 4.457E+01 1.9250 2.429E+01 3.130E+01 2.4250 3.735E+01 2.435E+01

1.4375 1.007E+01 4.408E+01 1.9375 2.464E+01 3.107E+01 2.4375 3.765E+01 2.422E+01

1.4500 1.044E+01 4.360E+01 1.9500 2.499E+01 3.085E+01 2.4500 3.795E+01 2.409E+01

1.4625 1.080E+01 4.314E+01 1.9625 2.534E+01 3.063E+01 2.4625 3.824E+01 2.396E+01

1.4750 1.117E+01 4.268E+01 1.9750 2.569E+01 3.042E+01 2.4750 3.854E+01 2.383E+01

1.4875 1.154E+01 4.224E+01 1.9875 2.603E+01 3.021E+01 2.4875 3.883E+01 2.370E+01

2.5000 52.56842 23.57812 3.0000 64.61849 19.47118 3.5000 72.50943 16.60151

2.5125 52.93007 23.45377 3.0125 64.86070 19.38714 3.5125 72.66555 16.54073



2.5250 53.28849 23.33077 3.0250 65.10032 19.30385 3.5250 72.81995 16.48040

2.5375 53.64369 23.20909 3.0375 65.33737 19.22128 3.5375 72.97266 16.42051

2.5500 53.99565 23.08872 3.0500 65.57187 19.13943 3.5500 73.12369 16.36107

2.5625 54.34440 22.96962 3.0625 65.80384 19.05829 3.5625 73.27308 16.30205

2.5750 54.68994 22.85179 3.0750 66.03331 18.97785 3.5750 73.42082 16.24347

2.5875 55.03227 22.73519 3.0875 66.26030 18.89809 3.5875 73.56695 16.18532

2.6000 55.37140 22.61981 3.1000 66.48484 18.81902 3.6000 73.71148 16.12758

2.6125 55.70735 22.50563 3.1125 66.70694 18.74062 3.6125 73.85443 16.07026

2.6250 56.04011 22.39264 3.1250 66.92663 18.66288 3.6250 73.99583 16.01336

2.6375 56.36971 22.28080 3.1375 67.14394 18.58580 3.6375 74.13567 15.95686

2.6500 56.69615 22.17011 3.1500 67.35888 18.50936 3.6500 74.27400 15.90076

2.6625 57.01944 22.06054 3.1625 67.57148 18.43356 3.6625 74.41081 15.84506

2.6750 57.33961 21.95208 3.1750 67.78177 18.35839 3.6750 74.54614 15.78976

2.6875 57.65665 21.84471 3.1875 67.98976 18.28385 3.6875 74.67999 15.73484

2.7000 57.97058 21.73841 3.2000 68.19548 18.20991 3.7000 74.81238 15.68031

2.7125 58.28143 21.63317 3.2125 68.39895 18.13659 3.7125 74.94334 15.62617

2.7250 58.58920 21.52897 3.2250 68.60019 18.06386 3.7250 75.07288 15.57240

2.7375 58.89391 21.42580 3.2375 68.79923 17.99172 3.7375 75.20101 15.51900

2.7500 59.19557 21.32364 3.2500 68.99609 17.92017 3.7500 75.32776 15.46597

2.7625 59.49421 21.22247 3.2625 69.19079 17.84920 3.7625 75.45313 15.41331

2.7750 59.78984 21.12228 3.2750 69.38336 17.77879 3.7750 75.57715 15.36101

2.7875 60.08248 21.02306 3.2875 69.57382 17.70895 3.7875 75.69982 15.30907

2.8000 60.37214 20.92478 3.3000 69.76218 17.63966 3.8000 75.82118 15.25749

2.8125 60.65885 20.82745 3.3125 69.94848 17.57092 3.8125 75.94122 15.20625

2.8250 60.94262 20.73104 3.3250 70.13273 17.50273 3.8250 76.05997 15.15536

2.8375 61.22347 20.63553 3.3375 70.31495 17.43507 3.8375 76.17744 15.10482

2.8500 61.50142 20.54093 3.3500 70.49518 17.36794 3.8500 76.29365 15.05462

2.8625 61.77650 20.44721 3.3625 70.67342 17.30133 3.8625 76.40862 15.00475

2.8750 62.04872 20.35436 3.3750 70.84971 17.23524 3.8750 76.52235 14.95521

2.8875 62.31811 20.26237 3.3875 71.02405 17.16967 3.8875 76.63486 14.90601

2.9000 62.58468 20.17122 3.4000 71.19648 17.10460 3.9000 76.74616 14.85713

2.9125 62.84846 20.08092 3.4125 71.36702 17.04002 3.9125 76.85628 14.80858

2.9250 63.10946 19.99143 3.4250 71.53568 16.97594 3.9250 76.96522 14.76034

2.9375 63.36771 19.90276 3.4375 71.70248 16.91235 3.9375 77.07300 14.71242

2.9500 63.62324 19.81488 3.4500 71.86746 16.84924 3.9500 77.17963 14.66482

2.9625 63.87605 19.72780 3.4625 72.03062 16.78661 3.9625 77.28513 14.61753

2.9750 64.12619 19.64149 3.4750 72.19199 16.72444 3.9750 77.38950 14.57054

2.9875 64.37366 19.55595 3.4875 72.35159 16.66275 3.9875 77.49277 14.52386

4.0000 77.59495 14.47748 4.5000 80.91683 12.83956 5.0000 83.13651 11.53693

4.0125 77.69604 14.43140 4.5125 80.98366 12.80339 5.0125 83.18175 11.50777

4.0250 77.79606 14.38561 4.5250 81.04982 12.76742 5.0250 83.22655 11.47875

4.0375 77.89503 14.34012 4.5375 81.11531 12.73166 5.0375 83.27094 11.44988

4.0500 77.99295 14.29492 4.5500 81.18016 12.69609 5.0500 83.31490 11.42116

4.0625 78.08984 14.25000 4.5625 81.24436 12.66073 5.0625 83.35846 11.39258

4.0750 78.18571 14.20537 4.5750 81.30792 12.62557 5.0750 83.40161 11.36415

4.0875 78.28058 14.16102 4.5875 81.37085 12.59060 5.0875 83.44435 11.33585

4.1000 78.37445 14.11695 4.6000 81.43316 12.55583 5.1000 83.48669 11.30770

4.1125 78.46733 14.07315 4.6125 81.49485 12.52125 5.1125 83.52864 11.27969

4.1250 78.55925 14.02963 4.6250 81.55593 12.48686 5.1250 83.57020 11.25182

4.1375 78.65020 13.98638 4.6375 81.61641 12.45266 5.1375 83.61138 11.22409

4.1500 78.74021 13.94340 4.6500 81.67630 12.41865 5.1500 83.65217 11.19649



4.1625 78.82927 13.90069 4.6625 81.73560 12.38483 5.1625 83.69258 11.16903

4.1750 78.91741 13.85824 4.6750 81.79431 12.35119 5.1750 83.73261 11.14171

4.1875 79.00464 13.81605 4.6875 81.85245 12.31774 5.1875 83.77228 11.11452

4.2000 79.09095 13.77411 4.7000 81.91002 12.28447 5.2000 83.81158 11.08746

4.2125 79.17638 13.73244 4.7125 81.96703 12.25137 5.2125 83.85052 11.06054

4.2250 79.26092 13.69102 4.7250 82.02348 12.21846 5.2250 83.88910 11.03375

4.2375 79.34458 13.64985 4.7375 82.07938 12.18573 5.2375 83.92732 11.00708

4.2500 79.42739 13.60893 4.7500 82.13473 12.15317 5.2500 83.96520 10.98055

4.2625 79.50934 13.56826 4.7625 82.18955 12.12079 5.2625 84.00272 10.95414

4.2750 79.59044 13.52783 4.7750 82.24384 12.08858 5.2750 84.03991 10.92787

4.2875 79.67072 13.48764 4.7875 82.29760 12.05654 5.2875 84.07675 10.90172

4.3000 79.75017 13.44770 4.8000 82.35084 12.02467 5.3000 84.11325 10.87569

4.3125 79.82880 13.40799 4.8125 82.40357 11.99297 5.3125 84.14943 10.84979

4.3250 79.90663 13.36852 4.8250 82.45579 11.96144 5.3250 84.18527 10.82401

4.3375 79.98367 13.32928 4.8375 82.50751 11.93008 5.3375 84.22079 10.79836

4.3500 80.05992 13.29027 4.8500 82.55873 11.89888 5.3500 84.25598 10.77283

4.3625 80.13539 13.25150 4.8625 82.60946 11.86785 5.3625 84.29086 10.74742

4.3750 80.21010 13.21295 4.8750 82.65970 11.83698 5.3750 84.32541 10.72213

4.3875 80.28404 13.17463 4.8875 82.70946 11.80627 5.3875 84.35966 10.69696

4.4000 80.35724 13.13653 4.9000 82.75874 11.77572 5.4000 84.39360 10.67190

4.4125 80.42969 13.09865 4.9125 82.80756 11.74533 5.4125 84.42723 10.64697

4.4250 80.50142 13.06099 4.9250 82.85591 11.71509 5.4250 84.46055 10.62215

4.4375 80.57242 13.02355 4.9375 82.90379 11.68501 5.4375 84.49358 10.59745

4.4500 80.64270 12.98633 4.9500 82.95123 11.65509 5.4500 84.52631 10.57286

4.4625 80.71227 12.94932 4.9625 82.99821 11.62532 5.4625 84.55874 10.54839

4.4750 80.78115 12.91252 4.9750 83.04475 11.59571 5.4750 84.59089 10.52404

4.4875 80.84933 12.87594 4.9875 83.09085 11.56625 5.4875 84.62275 10.49979

5.5000 84.65432 10.47566 6.0000 85.71338 9.59405 6.5000 86.46456 8.84986

5.5125 84.68561 10.45164 6.0125 85.73542 9.57391 6.5125 86.48031 8.83274

5.5250 84.71662 10.42772 6.0250 85.75728 9.55386 6.5250 86.49592 8.81568

5.5375 84.74735 10.40392 6.0375 85.77894 9.53390 6.5375 86.51142 8.79869

5.5500 84.77781 10.38023 6.0500 85.80043 9.51402 6.5500 86.52678 8.78177

5.5625 84.80800 10.35665 6.0625 85.82173 9.49422 6.5625 86.54202 8.76491

5.5750 84.83792 10.33317 6.0750 85.84285 9.47450 6.5750 86.55713 8.74812

5.5875 84.86758 10.30980 6.0875 85.86379 9.45487 6.5875 86.57212 8.73139

5.6000 84.89697 10.28654 6.1000 85.88455 9.43532 6.6000 86.58699 8.71472

5.6125 84.92611 10.26338 6.1125 85.90514 9.41585 6.6125 86.60173 8.69812

5.6250 84.95498 10.24032 6.1250 85.92556 9.39646 6.6250 86.61636 8.68158

5.6375 84.98361 10.21737 6.1375 85.94580 9.37715 6.6375 86.63086 8.66511

5.6500 85.01197 10.19453 6.1500 85.96587 9.35791 6.6500 86.64525 8.64869

5.6625 85.04009 10.17178 6.1625 85.98577 9.33876 6.6625 86.65952 8.63234

5.6750 85.06797 10.14914 6.1750 86.00550 9.31969 6.6750 86.67367 8.61605

5.6875 85.09559 10.12660 6.1875 86.02507 9.30069 6.6875 86.68771 8.59983

5.7000 85.12298 10.10416 6.2000 86.04447 9.28178 6.7000 86.70163 8.58366

5.7125 85.15012 10.08182 6.2125 86.06371 9.26294 6.7125 86.71544 8.56756

5.7250 85.17703 10.05958 6.2250 86.08279 9.24417 6.7250 86.72914 8.55151

5.7375 85.20370 10.03743 6.2375 86.10171 9.22549 6.7375 86.74273 8.53553

5.7500 85.23014 10.01539 6.2500 86.12047 9.20687 6.7500 86.75620 8.51960

5.7625 85.25635 9.99344 6.2625 86.13908 9.18834 6.7625 86.76957 8.50374

5.7750 85.28233 9.97159 6.2750 86.15752 9.16988 6.7750 86.78283 8.48793

5.7875 85.30808 9.94983 6.2875 86.17582 9.15149 6.7875 86.79598 8.47219



5.8000 85.33362 9.92817 6.3000 86.19396 9.13318 6.8000 86.80902 8.45650

5.8125 85.35892 9.90660 6.3125 86.21195 9.11494 6.8125 86.82196 8.44087

5.8250 85.38401 9.88513 6.3250 86.22979 9.09677 6.8250 86.83479 8.42530

5.8375 85.40889 9.86375 6.3375 86.24748 9.07868 6.8375 86.84752 8.40978

5.8500 85.43354 9.84246 6.3500 86.26502 9.06065 6.8500 86.86015 8.39433

5.8625 85.45799 9.82127 6.3625 86.28242 9.04270 6.8625 86.87268 8.37893

5.8750 85.48222 9.80017 6.3750 86.29968 9.02482 6.8750 86.88510 8.36358

5.8875 85.50624 9.77916 6.3875 86.31679 9.00702 6.8875 86.89743 8.34829

5.9000 85.53006 9.75823 6.4000 86.33376 8.98928 6.9000 86.90965 8.33306

5.9125 85.55367 9.73740 6.4125 86.35059 8.97161 6.9125 86.92178 8.31789

5.9250 85.57708 9.71666 6.4250 86.36727 8.95401 6.9250 86.93381 8.30277

5.9375 85.60029 9.69601 6.4375 86.38383 8.93648 6.9375 86.94574 8.28770

5.9500 85.62330 9.67544 6.4500 86.40024 8.91902 6.9500 86.95757 8.27269

5.9625 85.64611 9.65496 6.4625 86.41652 8.90163 6.9625 86.96931 8.25774

5.9750 85.66873 9.63457 6.4750 86.43266 8.88431 6.9750 86.98096 8.24283

5.9875 85.69115 9.61427 6.4875 86.44868 8.86705 6.9875 86.99251 8.22799



7.14.- BIBLIOGRAFA.

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7.15.- ANEXO.

Choque Oblicuo y Ondas de Expansión.

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