catalogo_matematica
Transcript of catalogo_matematica
Projeto dos alunos
Bruna Y Otsuka 1155Bruno Rafael Meneguetti 1142Emerson Luiz Pereira 1260Fabiane Oliveieri 1341Ferencz Sebok Junior 1230Heitor Flavio de Lima 1222Katiane de Souza Siltratildeo 1101Leandro R Breda 1258Marcelo Reis 1136Osmir AP Vieira 1299Patrick Fabiano Nunes 1257Roberval Adame -------Rogeacuterio Brandatildeo Silva 1231
Professora Eliane Matesco Cristovatildeo
Sumaacuterio
Lista de Imagens
O Laboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica (LEM) vinculado ao Curso de Licencia-tura em Matemaacutetica da Faculdade de Administraccedilatildeo e Artes de Limeira (FAAL) teve suas atividades iniciadas entre o segundo semestre do ano de 2007 e primeiro semes-tre do ano de 2008 a partir do trabalho realizado com licenciandos em Matemaacutetica nas disciplinas Estatiacutestica e Praacutetica de Ensino
Diante da aceitaccedilatildeo e sucesso da ldquoI Mostra de Jogosrdquo do laboratoacuterio no ano de 2008 a pesquisa com formandos naquelas jaacute citadas disciplinas e oficinas com alunos de Educaccedilatildeo Baacutesica passaram a constituir uma das metas do LEM A oficializaccedilatildeo do LEM ocorreu com o lanccedilamento deste cataacutelogo ainda no mesmo ano
A ecircnfase dada agrave pesquisa agrave confecccedilatildeo e agrave aplicaccedilatildeo de jogos de estrateacutegia jogos para trabalhar conteuacutedos e quebra-cabeccedilas possibilitou seu reconhecimento e valorizaccedilatildeo Entretanto na busca de atingir a meta de oferecer aos que procuram o LEM orientaccedilatildeo e assessoria na confecccedilatildeo de jogos e na montagem de laboratoacuterios para fins didaacuteticos estamos reunindo neste material a apresentaccedilatildeo de _____ jogos que estatildeo confeccionados no acervo do referido laboratoacuterio
Os jogos mencionados acima foram adaptados ou apreendidos por transmissatildeo oral conforme referecircncia bibliograacutefica
Esta primeira versatildeo do cataacutelogo foi organizada pela atual professora de Praacutetica de Ensino escrita pelos alunos da turma 2007 e editado por uma aluna do curso de Design
Nossa pretensatildeo eacute poder atualizar este cataacutelogo de acordo com aumento no volume de produccedilotildees presentes no LEM com o desenvolvimento deste trabalho junto aos alunos das novas turmas do curso de Licenciatura em Matemaacutetica que jaacute teratildeo como exemplo o trabalho realizado pela primeira turma de Matemaacutetica da FAAL
APRESENTACcedilAtildeO
1 Agrave eacutepoca ministradas pela Professora Zionice Garbelini Martos Rodrigues atual coordenadora do curso2 Professora Eliane Matesco Cristovatildeo Alunos da licenciatura ______ Alunas de Design Mariana Dias e Silvia Helena Bito Ricardo
1
Tangram
OrigemConta-se que um dia na China haacute 4000 anos o Imperador Tan partiu o seu espelho
quadrado quando o deixou cair ao chatildeo O espelho partiu-se em sete bocados Tan apesar de um pouco aborrecido com a perda do espelho descobriu uma forma de se entreter foi construindo figuras e mais figuras usando sempre as sete peccedilas sem as sobrepor Assim se pensa ter aparecido o conhecido puzzle chinecircsTangram Este puzzle tambeacutem conhecido pela ldquoplaca das sete astuacuteciasrdquo possibilita a construccedilatildeo de diversas figuras a partir de sete poliacutegonos muito simples
ObjetivoO objetivo pedagoacutegico do Tangram assim como qualquer outro quebra-cabeccedila eacute
desenvolver e aprimorar o raciociacutenio loacutegico e a criatividade atraveacutes de uma brincadeira muito divertida Atraveacutes da comparaccedilatildeo e mediccedilotildees de suas peccedilas podem ser explorados conceitos como periacutemetro aacuterea classificaccedilatildeo e semelhanccedila de triacircngulos aleacutem das pro-priedades dos quadrilaacuteteros que podem ser exploradas durante os recortes
2
1deg Passo Construir um quadrado a partir de uma folha de sulfite A4 medindo cerca de 20 cm de lado
2deg Passo Marque o veacutertice superior esquerdo com um quadradinho vermelho o superior direito com um quadradinho verde o veacutertice inferior esquerdo com um quadra-dinho amarelo e o veacutertice inferior direito com um quadradinho azul
3deg Passo Faccedila uma dobra unindo o quadradinho vermelho ao azul de modo a obter uma rasura que corresponda a uma ligaccedilatildeo entre o quadradinho verde e o amarelo Com a ajuda da reacutegua passe uma reta com o laacutepis formalizando a uniatildeo do quadradinho verde ao amarelo no qual originaraacute uma diagonal do quadrado maior
4deg Passo Agora faccedila a dobra unindo o quadradinho verde ao amarelo obtendo uma rasura que une o quadradinho vermelho ao azul posteriormente trace uma reta com o apoio da reacutegua e do laacutepis do quadradinho vermelho ateacute a diagonal formada na uniatildeo do quadradinho verde com o amarelo
5deg Passo Marque uma bolinha de cor preta no centro do quadrado Ela deveraacute coincidir com o ponto de encontro da reta traccedilada no 4deg passo com a diagonal obtida no 3deg passo
6deg Passo Agora encoste o quadradinho azul na bolinha preta de modo a obter uma rasura formando uma paralela inferior a diagonal Depois passe o laacutepis sobre a rasura ob-tida formando o triacircngulo meacutedio
7deg Passo Agora passe uma reta iniciando-a no centro do triacircngulo meacutedio feito no 6deg passo levando-a ateacute o centro da diagonal onde se encontra a bolinha preta Essa reta coincidiraacute com a rasura que teve origem no 4deg passo
8deg Passo Agora encoste o quadradinho amarelo na bolinha preta de modo a obter uma rasura com a dobra Faccedila uma reta com o laacutepis para definir a rasura dando origem assim a um triacircngulo pequeno e um quadrado
9deg Passo Finalmente faccedila uma bolinha alaranjada no veacutertice do triacircngulo meacutedio que se encontra no centro da reta que liga o quadradinho verde ao azul Depois encoste a bolinha alaranjada na bolinha preta Com a dobra realizada obteraacute uma rasura que forma-raacute um outro triacircngulo pequeno e um paralelogramo Recorte os traccedilos e estaacute pronto
Como construir
Haacute diversas maneiras de jogar com o Tangram A mais conhecida eacute a de montar um quadrado mas tambeacutem haacute como construir vaacuterias figuras tais como coelho gato casa pessoa outras figuras geomeacutetricas enfim atividade eacute o que natildeo falta com o Tangram
Como jogar
httpwwwcefetspbredugueratomat_cur_tangranhtmh t t p n e t e s c o l a p r g o v b r n e t e s c o l a e s c o l a 0 8 7 0 4 5 0 0 5
construC3A7C3A3o_de_tangranhtm
Referecircncias
3
Geoplano
ObjetivoO Geoplano eacute um recurso didaacutetico-pedagoacutegico dinacircmico e manipulaacutevel utilizado
para auxiliar professores no trabalho com figuras e formas geomeacutetricas planas e tem o objetivo de desenvolver o raciociacutenio loacutegico e a aprendizagem de vaacuterios ou quase todos os conceitos de geometria tais como o conceito de medida de veacutertice de aresta de lado de simetria aacuterea periacutemetro facilita o desenvolvimento das habilidades de exploraccedilatildeo espa-cial comparaccedilatildeo aleacutem de contribuir para exploraccedilatildeo de problemas geomeacutetricos e algeacutebri-cos possibilitando a afericcedilatildeo de conjecturas e podendo-se registrar o trabalho em papel ou reproduzi-lo em papel quadriculado
Como construirO Geoplano eacute um pedaccedilo de madeira de forma quadrada com vaacuterios pregos cra-
vados a meia altura formando um quadriculado A distacircncia entre os pregos cravados tanto na horizontal como na vertical tem de ser a mesma pois devem ser formados vaacuterios
4
Eacute um recurso pedagoacutegico mais usado para a construccedilatildeo de conhecimentos do que um jogo mas pode ser divertido usa-lo para a construccedilatildeo de figuras fazer desenhos mesmo como quadrado triacircngulo cubo vaacuterias figuras geomeacutetricas aleacutem de ser possiacutevel construir figuras como animais objetos ateacute paisagens depende muito da criatividade da pessoa envolvida em tal atividade
Como jogar
Referecircncias
BOLT Brian Divertimentos Matemaacuteticos Lisboa 1990BOLT Brian e HOBBS David 101 Problemas de Matemaacutetica Lisboa 1991RANCHAL Carmen Jaloacuten El geoplano actividades para el aula VII Jornadas Anda-
luzas de Educacioacuten Matemaacutetica ldquoThalesrdquo p 473-4861995MACHADO Rosa Maria Nuacutemeros a filosofia dos gregos que ainda sobrevive Dis-
sertaccedilatildeo de mestrado ndash FE - Unicamp 1993httpmathematikospsicoufrgsbrdisciplinasufrgsmat01039031webfoliosgi-
ganteoqueegeoplanohtmlhttpwwwcempemfaeunicampbrlapemmeccursosel6542001pedro_e_fa-
bioEL654geoplanogeoplanohtm
quadrados Eacute importante deixar claro que para a manipulaccedilatildeo do Geoplano eacute necessaacuterio utilizar-se de elaacutesticos do tipo para amarrar dinheiro de preferecircncia de cores variadas Existem vaacuterios tipos de Geoplano Oval Circular Trelissado mas o mais conhecido eacute o Geoplano Quadrado A seguir estatildeo os trecircs passos para auxiliar na construccedilatildeo de um Ge-oplano
1deg Passo cortar um pedaccedilo de madeira de modo a deixaacute-lo quadrado2deg Passo Com o auxilio de uma reacutegua e um laacutepis fazer vaacuterios riscos na vertical e
horizontal no pedaccedilo quadrangular da madeira formando um tipo de aacuterea quadriculada3deg Passo Cravar pregos nos ligamentos das linhas feitas com laacutepis verticais com
horizontais
5
OrigemA cidade alematilde de Koenisberg eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia A prefeitura do muni-
ciacutepio fica em uma de suas duas ilhas a de Kneiphof Todos os bairros estatildeo interligados por sete pontes A questatildeo eacute seraacute possiacutevel numa uacutenica caminhada passar por todas elas sem cruzar nenhuma mais de uma vez Para responder o matemaacutetico suiacuteccedilo Leonard Euler montou no seacuteculo XVIII um diagrama no qual cada arco representa uma ponte e cada ponto ou veacutertice uma margem Euler descobriu que eacute possiacutevel atravessar um diagrama e voltar ao ponto inicial se todos os seus veacutertices forem pares isto eacute se cada um deles esti-ver ligado a um nuacutemero par de arcos Ele tambeacutem concluiu que se houver no maacuteximo dois veacutertices iacutempares tambeacutem daacute para atravessaacute-lo mas sem regressar ao ponto de partida Em Koenisberg todos os quatro veacutertices satildeo iacutempares
Portanto a travessia eacute impossiacutevel Ao estabelecer os uacutenicos caminhos possiacuteveis para atravessar as sete pontes Euler descobriu que a anaacutelise sobre a possibilidade desse trajeto era invariaacutevel mesmo que a forma do terreno mudasse continuamente No seu diagrama ele reduziu toda uma cidade a um conjunto de pontos e arcos Cada margem virou apenas um uacutenico ponto No entanto as relaccedilotildees entre eles permaneceram inalteradas Este estu-
Ponte de Euler
6
Pegue o pedaccedilo de barbante e tente percorrer todas as portas lembrando que o barbante soacute pode passar uma vez por cada porta
Dica Comece por um cocircmodo com nuacutemero iacutempar de portas
A ponte pode ser construiacuteda com qualquer material desde que mantenha o de-senho das portas e suas posiccedilotildees conforme a figura acima Para auxiliar no percurso e tambeacutem na preservaccedilatildeo do jogo pode-se usar para as tentativas do caminho um pedaccedilo de barbante
Percorrer todas as portas apenas uma vez desenvolvendo o raciociacutenio loacutegico e o pensamento e conceito utilizados na tipografia
Como jogar
Como construir
Objetivo
Referecircnciaswwwmatucpt~almaescolaspontesptwikipediaorgwikiSete_pontes_de_Koumlnigsberg
do resultou no que hoje eacute chamado de Topologia Embora tenha nascido no seacuteculo XVIII a topologia continua sendo um objeto de estudos e ainda oferece poucas aplicaccedilotildees praacuteticas no dia-a-dia Uma delas estaacute no mundo das telecomunicaccedilotildees e da informaacutetica
Para montar redes globais de sateacutelites e computadores grandes empresas usam a topologia para interligar os caminhos em que suas informaccedilotildees trafegam Ela ajuda a estabelecer a melhor conexatildeo entre os pontos quando natildeo a uacutenica O mundo pode se deformar totalmente mas as redes de comunicaccedilatildeo que unem sua casa a qualquer outro lugar seratildeo sempre as mesmas
7
Trabalhar com os alunos contas de adiccedilatildeo e subtraccedilatildeo com nuacutemeros inteiros quem somar mais pontos em trecircs rodadas vence a partida
Objetivo
OrigemA cidade alematilde de Koenisberg eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia A prefeitura do municiacute-
pio fiDesenvolvido pelas alunas Bruna Yuri Otsuka Fabiane Gusicuma
Boliche Matemaacutetico
8
Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes
Nuacutemero de participantes Indeterminado
Como jogar
Material 12 Garrafas Pet Papel Colorido para encapar1 Bola para arremessar nas garrafasSepare 12 Garrafas Pet pequenas e as encape com papel colorido fazendo anota-
ccedilotildees nuacutemeros inteiros positivos e nuacutemeros inteiros negativos em um dos seus lados
Como construir
9
OrigemUma sugestatildeo para sua construccedilatildeo pode ser encontrada no livro de Matemaacutetica do
professor Imenes
ObjetivoTrabalhar a multiplicaccedilatildeo de dois nuacutemeros naturais sob o enfoque do raciociacutenio
combinatoacuterio no qual verificarmos quantas possibilidades existem de formar com duas coleccedilotildees
Copos Combinatoacuterios
10
Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes
Nuacutemero de participantes Indeterminado
Como jogar
Material3 copos plaacutesticosTiras de papeacuteis com diferentes coleccedilotildees (cores nuacutemeros objetos)Parafusos ou elaacutesticosFita adesiva transparenteColoque as tiras com a fita adesiva na borda superior externa dos copos encaixe
um dentro do outro com o parafuso ou o elaacutestico permitindo que os mesmos se movi-mentem
Como construir
ReferecircnciasAulas do 1ordm Sem LPM ndash FAAL ndash Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues
11
Gobangue
ObjetivoFormar no tabuleiro uma linha com cinco peccedilas adjacentes na horizontal ou na
vertical ou na diagonal onde a melhor estrateacutegia para ter mais chances de obter a vitoacuteria eacute a dissimulaccedilatildeo distrair o adversaacuterio fazendo algumas jogadas nas extremidades do tabu-leiro para ele natildeo perceber a sua jogada principal
Como construirUm tabuleiro (de Damas) 10 x 10 e 100 (cem) fichas sendo 50 pretas e 50 brancas
12
O participante que escolheu as 50 peccedilas pretas inicia o jogo cada jogador alterna-damente na sua vez coloca uma peccedila no tabuleiro procurando atingir o objetivo
Como jogar
ReferecircnciasLaboratoacuterio do Ensino da Matemaacutetica ndash UNG (Universidade de Guarulhos)
13
Jogo do Xsup2
OrigemJogo criado pelo aluno Wilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP
Como construirUm tabuleiro onde constam potecircncias (quadrados dos nuacutemeros 1 a 10) dispostas
nos lados de um quadrado ou nas linhas de um X 40 (quarenta) fichas (vinte na cor verde e vinte na cor marrom) e 3 (trecircs) dados (dois com faces numeradas de 1 a 5 e uma nula iden-tificada com a cor vermelha e um com trecircs faces com a indicaccedilatildeo X e trecircs faces com 1048709)
14
Cada participante na sua vez joga os trecircs dados adiciona os pontos obtidos nos dados numeacutericos eleva o resultado (soma) ao quadrado a potecircncia obtida seraacute marcada no tabuleiro com sua peccedila ou no X ou no 1048709 conforme a indicaccedilatildeo sorteada no terceirodado
Nota observar que os dados numeacutericos tecircm uma face nulaSe os dois dados numeacutericos indicarem no sorteio faces nulas o participante passa
a vez para o adversaacuterio Se a casa da potecircncia obtida jaacute estiver preenchida o jogador passa a vez para o adversaacuterio O participante que completar a figura X ou 1048709 com suas peccedilasvenceraacute o jogo
Como jogar
ReferecircnciasWilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP
15
OrigemO Jogo da Velha denominado Tic Tac Toe ou Nough and Crosses em Inglecircs eacute um
jogo simples e praacutetico que natildeo possui origem conhecida Todavia sua popularidade eacute in-ternacional desde a antiguidade Haacute registros de que o jogo existia na eacutepoca do Impeacuterio Romano mas natildeo haacute provas de que tenha sido criado pelos Romanos fato este que nos faz crer que o Jogo da Velha pode ser mais antigo do que se pensa
Uma soluccedilatildeo para melhorar o tradicional Jogo da Velha eacute passar da bidimensiona-lidade para a tridimensionalidade
ObjetivoEacute conseguir formar uma linha vertical horizontal ou diagonal de trecircs X ou O A di-
ficuldade todavia reside no aspecto de que o jogo se daacute por turnos o que o torna muito simples a tarefa de seu oponente travar suas jogadas marcando um dos quadrados conse-quumlentes aos seus
Jogo da Velha
16
Por ser demais conhecido dispensa o ensino de suas regras podendo ser jogado sobre um tabuleiro ou mesmo sendo riscado em um papel
Para construiacute-lo em folha de papel desenhe duas linhas horizontais e duas linhas verticais formando um tabuleiro onde seratildeo preenchidos com o X ou com o O
Para construiacute-lo na tridimensionalidade desenhar o tabuleiro em 3 placas de ma-deira fazer o lsquoXrsquo e o lsquoOrsquo de isopor e depois colocar os tabuleiros de uma forma que fiquem um sobre o outro aumentando o grau de dificuldade do jogo
Cada um dos jogadores que se enfrentam na disputa do jogo poderaacute marcar qual-quer um dos espaccedilos externos ou mesmo interno com um dos seus sinais X ou O sendo que nenhum dos jogadores poderaacute marcar um sinal igual ao do adversaacuterio Em suma cada jogador em turnos alternados deveraacute marcar um dos nove espaccedilos
Como construir
Como jogar
ReferecircnciashttpptwikipediaorgwikiJogo_da_velha
17
OrigemCarl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu ateacute 1855 Eacute considerado um dos maio-
res matemaacuteticos de todos os tempos Gauss teve a estatura de Arquimedes e de Newton e seus campos de interesse excederam os de ambos Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemaacutetica e para a Teoria dos Nuacutemeros Seu pai era jardineiro e assistente de um co-merciante e enquanto crianccedila mostrou grande talento para a matemaacutetica Sua produccedilatildeo intelectual foi precoce existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a foacutermula da soma dos n primeiros termos de uma progressatildeo aritmeacutetica Diz a histoacuteria que sua professora primaacuteria para manter a classe ocupada lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100 tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilizaccedilatildeo da foacutermula da PA Sn = n(a1 + an) 2
Curva de Gauss
18
Objetivo
Como construir
Como jogar
Mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental Mas pode tambeacutem mostrar como se distribuem os dados em vaacuterias situaccedilotildees originadas de eventos mutuamente independentes A distribuiccedilatildeo de Gauss aparece frequentemente nas esta-tiacutesticas Experimentalmente processos aleatoacuterios independentes levam agrave distribuiccedilatildeo de Gauss ou a uma distribuiccedilatildeo normal
Em uma prancha onde se monta o arranjo de triacircngulos e as colunas pode ser de madeira polida pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas de acordo com a foto acima Os obstaacuteculos triangulares satildeo de madeira dura Podem tambeacutem ter a forma de hexaacutegonos Devem ser fixos na prancha As bolinhas de gude ou vidro Dependendo do tamanho de sua prancha podem ser necessaacuterias umas 100 bolinhas ou mais Seraacute neces-saacuterio ainda um funil plaacutestico por onde as bolinhas devem passar
Colocar as bolinhas com o auxilio do funil despejando-as aleatoriamente e verifi-que as figuras formadas dentro da prancha
Referecircnciashttpwwwwikipediacomhttpwwwsearaufcbrsugestoesfisicaespec4htmAulas de estatiacutestica 2ordm Sem 2007 Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues ndash FAAL
- Limeira SP
19
Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo
ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos
O Fatiacutedico 13
20
Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-
ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
21
Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5
(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro
ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-
ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo
Torre de Hanoacutei
22
Como jogar
Observaccedilotildees
Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor
1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento
2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos
3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos
4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
23
ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos
Jogo dos Palitos
Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos
24
Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo
Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
25
ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro
Tabuleiro Enigmaacutetico
26
Como construir
Como jogar
Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo
Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente
Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha
leva agrave peccedila
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
27
ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes
Pentaminoacutes
28
Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo
com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5
quadrados) em diferentes formas
Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as
peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com
a figura
Soluccedilatildeo
ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
29
SoacutelidosGeomeacutetricos
Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico
Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria
Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas
Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo
Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico
soacutelido geomeacutetricofigura plana
30
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo
Prismas
Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)
Faces (Laterais)
Base
Arestas(Encontro das Faces
31
A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide
O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais
Piracircmides
Base
Veacutertice Principal
Veacutertices
Arestas
Faces
32
Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo
Soacutelidos de revoluccedilatildeo
Aresta
Linha Geratriz
Figura Geradora
Eixo
Facey
Superfiacutecie Ciliacutendrica
Base Inferior
33
A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo
Esfera
x
y
Superfiacutecie Esfeacuterica
Centro da Esfera
Raio da Esfera
Diacircmetroda Esfera
34
O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta
Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior
Cone
Referecircncias
Figura Geradora
Veacutertice
Superfiacutecie Cocircnica
Base
x
yEixo
Aresta
Sumaacuterio
Lista de Imagens
O Laboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica (LEM) vinculado ao Curso de Licencia-tura em Matemaacutetica da Faculdade de Administraccedilatildeo e Artes de Limeira (FAAL) teve suas atividades iniciadas entre o segundo semestre do ano de 2007 e primeiro semes-tre do ano de 2008 a partir do trabalho realizado com licenciandos em Matemaacutetica nas disciplinas Estatiacutestica e Praacutetica de Ensino
Diante da aceitaccedilatildeo e sucesso da ldquoI Mostra de Jogosrdquo do laboratoacuterio no ano de 2008 a pesquisa com formandos naquelas jaacute citadas disciplinas e oficinas com alunos de Educaccedilatildeo Baacutesica passaram a constituir uma das metas do LEM A oficializaccedilatildeo do LEM ocorreu com o lanccedilamento deste cataacutelogo ainda no mesmo ano
A ecircnfase dada agrave pesquisa agrave confecccedilatildeo e agrave aplicaccedilatildeo de jogos de estrateacutegia jogos para trabalhar conteuacutedos e quebra-cabeccedilas possibilitou seu reconhecimento e valorizaccedilatildeo Entretanto na busca de atingir a meta de oferecer aos que procuram o LEM orientaccedilatildeo e assessoria na confecccedilatildeo de jogos e na montagem de laboratoacuterios para fins didaacuteticos estamos reunindo neste material a apresentaccedilatildeo de _____ jogos que estatildeo confeccionados no acervo do referido laboratoacuterio
Os jogos mencionados acima foram adaptados ou apreendidos por transmissatildeo oral conforme referecircncia bibliograacutefica
Esta primeira versatildeo do cataacutelogo foi organizada pela atual professora de Praacutetica de Ensino escrita pelos alunos da turma 2007 e editado por uma aluna do curso de Design
Nossa pretensatildeo eacute poder atualizar este cataacutelogo de acordo com aumento no volume de produccedilotildees presentes no LEM com o desenvolvimento deste trabalho junto aos alunos das novas turmas do curso de Licenciatura em Matemaacutetica que jaacute teratildeo como exemplo o trabalho realizado pela primeira turma de Matemaacutetica da FAAL
APRESENTACcedilAtildeO
1 Agrave eacutepoca ministradas pela Professora Zionice Garbelini Martos Rodrigues atual coordenadora do curso2 Professora Eliane Matesco Cristovatildeo Alunos da licenciatura ______ Alunas de Design Mariana Dias e Silvia Helena Bito Ricardo
1
Tangram
OrigemConta-se que um dia na China haacute 4000 anos o Imperador Tan partiu o seu espelho
quadrado quando o deixou cair ao chatildeo O espelho partiu-se em sete bocados Tan apesar de um pouco aborrecido com a perda do espelho descobriu uma forma de se entreter foi construindo figuras e mais figuras usando sempre as sete peccedilas sem as sobrepor Assim se pensa ter aparecido o conhecido puzzle chinecircsTangram Este puzzle tambeacutem conhecido pela ldquoplaca das sete astuacuteciasrdquo possibilita a construccedilatildeo de diversas figuras a partir de sete poliacutegonos muito simples
ObjetivoO objetivo pedagoacutegico do Tangram assim como qualquer outro quebra-cabeccedila eacute
desenvolver e aprimorar o raciociacutenio loacutegico e a criatividade atraveacutes de uma brincadeira muito divertida Atraveacutes da comparaccedilatildeo e mediccedilotildees de suas peccedilas podem ser explorados conceitos como periacutemetro aacuterea classificaccedilatildeo e semelhanccedila de triacircngulos aleacutem das pro-priedades dos quadrilaacuteteros que podem ser exploradas durante os recortes
2
1deg Passo Construir um quadrado a partir de uma folha de sulfite A4 medindo cerca de 20 cm de lado
2deg Passo Marque o veacutertice superior esquerdo com um quadradinho vermelho o superior direito com um quadradinho verde o veacutertice inferior esquerdo com um quadra-dinho amarelo e o veacutertice inferior direito com um quadradinho azul
3deg Passo Faccedila uma dobra unindo o quadradinho vermelho ao azul de modo a obter uma rasura que corresponda a uma ligaccedilatildeo entre o quadradinho verde e o amarelo Com a ajuda da reacutegua passe uma reta com o laacutepis formalizando a uniatildeo do quadradinho verde ao amarelo no qual originaraacute uma diagonal do quadrado maior
4deg Passo Agora faccedila a dobra unindo o quadradinho verde ao amarelo obtendo uma rasura que une o quadradinho vermelho ao azul posteriormente trace uma reta com o apoio da reacutegua e do laacutepis do quadradinho vermelho ateacute a diagonal formada na uniatildeo do quadradinho verde com o amarelo
5deg Passo Marque uma bolinha de cor preta no centro do quadrado Ela deveraacute coincidir com o ponto de encontro da reta traccedilada no 4deg passo com a diagonal obtida no 3deg passo
6deg Passo Agora encoste o quadradinho azul na bolinha preta de modo a obter uma rasura formando uma paralela inferior a diagonal Depois passe o laacutepis sobre a rasura ob-tida formando o triacircngulo meacutedio
7deg Passo Agora passe uma reta iniciando-a no centro do triacircngulo meacutedio feito no 6deg passo levando-a ateacute o centro da diagonal onde se encontra a bolinha preta Essa reta coincidiraacute com a rasura que teve origem no 4deg passo
8deg Passo Agora encoste o quadradinho amarelo na bolinha preta de modo a obter uma rasura com a dobra Faccedila uma reta com o laacutepis para definir a rasura dando origem assim a um triacircngulo pequeno e um quadrado
9deg Passo Finalmente faccedila uma bolinha alaranjada no veacutertice do triacircngulo meacutedio que se encontra no centro da reta que liga o quadradinho verde ao azul Depois encoste a bolinha alaranjada na bolinha preta Com a dobra realizada obteraacute uma rasura que forma-raacute um outro triacircngulo pequeno e um paralelogramo Recorte os traccedilos e estaacute pronto
Como construir
Haacute diversas maneiras de jogar com o Tangram A mais conhecida eacute a de montar um quadrado mas tambeacutem haacute como construir vaacuterias figuras tais como coelho gato casa pessoa outras figuras geomeacutetricas enfim atividade eacute o que natildeo falta com o Tangram
Como jogar
httpwwwcefetspbredugueratomat_cur_tangranhtmh t t p n e t e s c o l a p r g o v b r n e t e s c o l a e s c o l a 0 8 7 0 4 5 0 0 5
construC3A7C3A3o_de_tangranhtm
Referecircncias
3
Geoplano
ObjetivoO Geoplano eacute um recurso didaacutetico-pedagoacutegico dinacircmico e manipulaacutevel utilizado
para auxiliar professores no trabalho com figuras e formas geomeacutetricas planas e tem o objetivo de desenvolver o raciociacutenio loacutegico e a aprendizagem de vaacuterios ou quase todos os conceitos de geometria tais como o conceito de medida de veacutertice de aresta de lado de simetria aacuterea periacutemetro facilita o desenvolvimento das habilidades de exploraccedilatildeo espa-cial comparaccedilatildeo aleacutem de contribuir para exploraccedilatildeo de problemas geomeacutetricos e algeacutebri-cos possibilitando a afericcedilatildeo de conjecturas e podendo-se registrar o trabalho em papel ou reproduzi-lo em papel quadriculado
Como construirO Geoplano eacute um pedaccedilo de madeira de forma quadrada com vaacuterios pregos cra-
vados a meia altura formando um quadriculado A distacircncia entre os pregos cravados tanto na horizontal como na vertical tem de ser a mesma pois devem ser formados vaacuterios
4
Eacute um recurso pedagoacutegico mais usado para a construccedilatildeo de conhecimentos do que um jogo mas pode ser divertido usa-lo para a construccedilatildeo de figuras fazer desenhos mesmo como quadrado triacircngulo cubo vaacuterias figuras geomeacutetricas aleacutem de ser possiacutevel construir figuras como animais objetos ateacute paisagens depende muito da criatividade da pessoa envolvida em tal atividade
Como jogar
Referecircncias
BOLT Brian Divertimentos Matemaacuteticos Lisboa 1990BOLT Brian e HOBBS David 101 Problemas de Matemaacutetica Lisboa 1991RANCHAL Carmen Jaloacuten El geoplano actividades para el aula VII Jornadas Anda-
luzas de Educacioacuten Matemaacutetica ldquoThalesrdquo p 473-4861995MACHADO Rosa Maria Nuacutemeros a filosofia dos gregos que ainda sobrevive Dis-
sertaccedilatildeo de mestrado ndash FE - Unicamp 1993httpmathematikospsicoufrgsbrdisciplinasufrgsmat01039031webfoliosgi-
ganteoqueegeoplanohtmlhttpwwwcempemfaeunicampbrlapemmeccursosel6542001pedro_e_fa-
bioEL654geoplanogeoplanohtm
quadrados Eacute importante deixar claro que para a manipulaccedilatildeo do Geoplano eacute necessaacuterio utilizar-se de elaacutesticos do tipo para amarrar dinheiro de preferecircncia de cores variadas Existem vaacuterios tipos de Geoplano Oval Circular Trelissado mas o mais conhecido eacute o Geoplano Quadrado A seguir estatildeo os trecircs passos para auxiliar na construccedilatildeo de um Ge-oplano
1deg Passo cortar um pedaccedilo de madeira de modo a deixaacute-lo quadrado2deg Passo Com o auxilio de uma reacutegua e um laacutepis fazer vaacuterios riscos na vertical e
horizontal no pedaccedilo quadrangular da madeira formando um tipo de aacuterea quadriculada3deg Passo Cravar pregos nos ligamentos das linhas feitas com laacutepis verticais com
horizontais
5
OrigemA cidade alematilde de Koenisberg eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia A prefeitura do muni-
ciacutepio fica em uma de suas duas ilhas a de Kneiphof Todos os bairros estatildeo interligados por sete pontes A questatildeo eacute seraacute possiacutevel numa uacutenica caminhada passar por todas elas sem cruzar nenhuma mais de uma vez Para responder o matemaacutetico suiacuteccedilo Leonard Euler montou no seacuteculo XVIII um diagrama no qual cada arco representa uma ponte e cada ponto ou veacutertice uma margem Euler descobriu que eacute possiacutevel atravessar um diagrama e voltar ao ponto inicial se todos os seus veacutertices forem pares isto eacute se cada um deles esti-ver ligado a um nuacutemero par de arcos Ele tambeacutem concluiu que se houver no maacuteximo dois veacutertices iacutempares tambeacutem daacute para atravessaacute-lo mas sem regressar ao ponto de partida Em Koenisberg todos os quatro veacutertices satildeo iacutempares
Portanto a travessia eacute impossiacutevel Ao estabelecer os uacutenicos caminhos possiacuteveis para atravessar as sete pontes Euler descobriu que a anaacutelise sobre a possibilidade desse trajeto era invariaacutevel mesmo que a forma do terreno mudasse continuamente No seu diagrama ele reduziu toda uma cidade a um conjunto de pontos e arcos Cada margem virou apenas um uacutenico ponto No entanto as relaccedilotildees entre eles permaneceram inalteradas Este estu-
Ponte de Euler
6
Pegue o pedaccedilo de barbante e tente percorrer todas as portas lembrando que o barbante soacute pode passar uma vez por cada porta
Dica Comece por um cocircmodo com nuacutemero iacutempar de portas
A ponte pode ser construiacuteda com qualquer material desde que mantenha o de-senho das portas e suas posiccedilotildees conforme a figura acima Para auxiliar no percurso e tambeacutem na preservaccedilatildeo do jogo pode-se usar para as tentativas do caminho um pedaccedilo de barbante
Percorrer todas as portas apenas uma vez desenvolvendo o raciociacutenio loacutegico e o pensamento e conceito utilizados na tipografia
Como jogar
Como construir
Objetivo
Referecircnciaswwwmatucpt~almaescolaspontesptwikipediaorgwikiSete_pontes_de_Koumlnigsberg
do resultou no que hoje eacute chamado de Topologia Embora tenha nascido no seacuteculo XVIII a topologia continua sendo um objeto de estudos e ainda oferece poucas aplicaccedilotildees praacuteticas no dia-a-dia Uma delas estaacute no mundo das telecomunicaccedilotildees e da informaacutetica
Para montar redes globais de sateacutelites e computadores grandes empresas usam a topologia para interligar os caminhos em que suas informaccedilotildees trafegam Ela ajuda a estabelecer a melhor conexatildeo entre os pontos quando natildeo a uacutenica O mundo pode se deformar totalmente mas as redes de comunicaccedilatildeo que unem sua casa a qualquer outro lugar seratildeo sempre as mesmas
7
Trabalhar com os alunos contas de adiccedilatildeo e subtraccedilatildeo com nuacutemeros inteiros quem somar mais pontos em trecircs rodadas vence a partida
Objetivo
OrigemA cidade alematilde de Koenisberg eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia A prefeitura do municiacute-
pio fiDesenvolvido pelas alunas Bruna Yuri Otsuka Fabiane Gusicuma
Boliche Matemaacutetico
8
Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes
Nuacutemero de participantes Indeterminado
Como jogar
Material 12 Garrafas Pet Papel Colorido para encapar1 Bola para arremessar nas garrafasSepare 12 Garrafas Pet pequenas e as encape com papel colorido fazendo anota-
ccedilotildees nuacutemeros inteiros positivos e nuacutemeros inteiros negativos em um dos seus lados
Como construir
9
OrigemUma sugestatildeo para sua construccedilatildeo pode ser encontrada no livro de Matemaacutetica do
professor Imenes
ObjetivoTrabalhar a multiplicaccedilatildeo de dois nuacutemeros naturais sob o enfoque do raciociacutenio
combinatoacuterio no qual verificarmos quantas possibilidades existem de formar com duas coleccedilotildees
Copos Combinatoacuterios
10
Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes
Nuacutemero de participantes Indeterminado
Como jogar
Material3 copos plaacutesticosTiras de papeacuteis com diferentes coleccedilotildees (cores nuacutemeros objetos)Parafusos ou elaacutesticosFita adesiva transparenteColoque as tiras com a fita adesiva na borda superior externa dos copos encaixe
um dentro do outro com o parafuso ou o elaacutestico permitindo que os mesmos se movi-mentem
Como construir
ReferecircnciasAulas do 1ordm Sem LPM ndash FAAL ndash Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues
11
Gobangue
ObjetivoFormar no tabuleiro uma linha com cinco peccedilas adjacentes na horizontal ou na
vertical ou na diagonal onde a melhor estrateacutegia para ter mais chances de obter a vitoacuteria eacute a dissimulaccedilatildeo distrair o adversaacuterio fazendo algumas jogadas nas extremidades do tabu-leiro para ele natildeo perceber a sua jogada principal
Como construirUm tabuleiro (de Damas) 10 x 10 e 100 (cem) fichas sendo 50 pretas e 50 brancas
12
O participante que escolheu as 50 peccedilas pretas inicia o jogo cada jogador alterna-damente na sua vez coloca uma peccedila no tabuleiro procurando atingir o objetivo
Como jogar
ReferecircnciasLaboratoacuterio do Ensino da Matemaacutetica ndash UNG (Universidade de Guarulhos)
13
Jogo do Xsup2
OrigemJogo criado pelo aluno Wilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP
Como construirUm tabuleiro onde constam potecircncias (quadrados dos nuacutemeros 1 a 10) dispostas
nos lados de um quadrado ou nas linhas de um X 40 (quarenta) fichas (vinte na cor verde e vinte na cor marrom) e 3 (trecircs) dados (dois com faces numeradas de 1 a 5 e uma nula iden-tificada com a cor vermelha e um com trecircs faces com a indicaccedilatildeo X e trecircs faces com 1048709)
14
Cada participante na sua vez joga os trecircs dados adiciona os pontos obtidos nos dados numeacutericos eleva o resultado (soma) ao quadrado a potecircncia obtida seraacute marcada no tabuleiro com sua peccedila ou no X ou no 1048709 conforme a indicaccedilatildeo sorteada no terceirodado
Nota observar que os dados numeacutericos tecircm uma face nulaSe os dois dados numeacutericos indicarem no sorteio faces nulas o participante passa
a vez para o adversaacuterio Se a casa da potecircncia obtida jaacute estiver preenchida o jogador passa a vez para o adversaacuterio O participante que completar a figura X ou 1048709 com suas peccedilasvenceraacute o jogo
Como jogar
ReferecircnciasWilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP
15
OrigemO Jogo da Velha denominado Tic Tac Toe ou Nough and Crosses em Inglecircs eacute um
jogo simples e praacutetico que natildeo possui origem conhecida Todavia sua popularidade eacute in-ternacional desde a antiguidade Haacute registros de que o jogo existia na eacutepoca do Impeacuterio Romano mas natildeo haacute provas de que tenha sido criado pelos Romanos fato este que nos faz crer que o Jogo da Velha pode ser mais antigo do que se pensa
Uma soluccedilatildeo para melhorar o tradicional Jogo da Velha eacute passar da bidimensiona-lidade para a tridimensionalidade
ObjetivoEacute conseguir formar uma linha vertical horizontal ou diagonal de trecircs X ou O A di-
ficuldade todavia reside no aspecto de que o jogo se daacute por turnos o que o torna muito simples a tarefa de seu oponente travar suas jogadas marcando um dos quadrados conse-quumlentes aos seus
Jogo da Velha
16
Por ser demais conhecido dispensa o ensino de suas regras podendo ser jogado sobre um tabuleiro ou mesmo sendo riscado em um papel
Para construiacute-lo em folha de papel desenhe duas linhas horizontais e duas linhas verticais formando um tabuleiro onde seratildeo preenchidos com o X ou com o O
Para construiacute-lo na tridimensionalidade desenhar o tabuleiro em 3 placas de ma-deira fazer o lsquoXrsquo e o lsquoOrsquo de isopor e depois colocar os tabuleiros de uma forma que fiquem um sobre o outro aumentando o grau de dificuldade do jogo
Cada um dos jogadores que se enfrentam na disputa do jogo poderaacute marcar qual-quer um dos espaccedilos externos ou mesmo interno com um dos seus sinais X ou O sendo que nenhum dos jogadores poderaacute marcar um sinal igual ao do adversaacuterio Em suma cada jogador em turnos alternados deveraacute marcar um dos nove espaccedilos
Como construir
Como jogar
ReferecircnciashttpptwikipediaorgwikiJogo_da_velha
17
OrigemCarl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu ateacute 1855 Eacute considerado um dos maio-
res matemaacuteticos de todos os tempos Gauss teve a estatura de Arquimedes e de Newton e seus campos de interesse excederam os de ambos Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemaacutetica e para a Teoria dos Nuacutemeros Seu pai era jardineiro e assistente de um co-merciante e enquanto crianccedila mostrou grande talento para a matemaacutetica Sua produccedilatildeo intelectual foi precoce existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a foacutermula da soma dos n primeiros termos de uma progressatildeo aritmeacutetica Diz a histoacuteria que sua professora primaacuteria para manter a classe ocupada lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100 tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilizaccedilatildeo da foacutermula da PA Sn = n(a1 + an) 2
Curva de Gauss
18
Objetivo
Como construir
Como jogar
Mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental Mas pode tambeacutem mostrar como se distribuem os dados em vaacuterias situaccedilotildees originadas de eventos mutuamente independentes A distribuiccedilatildeo de Gauss aparece frequentemente nas esta-tiacutesticas Experimentalmente processos aleatoacuterios independentes levam agrave distribuiccedilatildeo de Gauss ou a uma distribuiccedilatildeo normal
Em uma prancha onde se monta o arranjo de triacircngulos e as colunas pode ser de madeira polida pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas de acordo com a foto acima Os obstaacuteculos triangulares satildeo de madeira dura Podem tambeacutem ter a forma de hexaacutegonos Devem ser fixos na prancha As bolinhas de gude ou vidro Dependendo do tamanho de sua prancha podem ser necessaacuterias umas 100 bolinhas ou mais Seraacute neces-saacuterio ainda um funil plaacutestico por onde as bolinhas devem passar
Colocar as bolinhas com o auxilio do funil despejando-as aleatoriamente e verifi-que as figuras formadas dentro da prancha
Referecircnciashttpwwwwikipediacomhttpwwwsearaufcbrsugestoesfisicaespec4htmAulas de estatiacutestica 2ordm Sem 2007 Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues ndash FAAL
- Limeira SP
19
Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo
ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos
O Fatiacutedico 13
20
Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-
ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
21
Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5
(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro
ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-
ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo
Torre de Hanoacutei
22
Como jogar
Observaccedilotildees
Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor
1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento
2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos
3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos
4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
23
ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos
Jogo dos Palitos
Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos
24
Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo
Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
25
ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro
Tabuleiro Enigmaacutetico
26
Como construir
Como jogar
Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo
Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente
Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha
leva agrave peccedila
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
27
ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes
Pentaminoacutes
28
Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo
com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5
quadrados) em diferentes formas
Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as
peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com
a figura
Soluccedilatildeo
ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
29
SoacutelidosGeomeacutetricos
Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico
Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria
Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas
Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo
Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico
soacutelido geomeacutetricofigura plana
30
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo
Prismas
Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)
Faces (Laterais)
Base
Arestas(Encontro das Faces
31
A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide
O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais
Piracircmides
Base
Veacutertice Principal
Veacutertices
Arestas
Faces
32
Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo
Soacutelidos de revoluccedilatildeo
Aresta
Linha Geratriz
Figura Geradora
Eixo
Facey
Superfiacutecie Ciliacutendrica
Base Inferior
33
A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo
Esfera
x
y
Superfiacutecie Esfeacuterica
Centro da Esfera
Raio da Esfera
Diacircmetroda Esfera
34
O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta
Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior
Cone
Referecircncias
Figura Geradora
Veacutertice
Superfiacutecie Cocircnica
Base
x
yEixo
Aresta
Lista de Imagens
O Laboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica (LEM) vinculado ao Curso de Licencia-tura em Matemaacutetica da Faculdade de Administraccedilatildeo e Artes de Limeira (FAAL) teve suas atividades iniciadas entre o segundo semestre do ano de 2007 e primeiro semes-tre do ano de 2008 a partir do trabalho realizado com licenciandos em Matemaacutetica nas disciplinas Estatiacutestica e Praacutetica de Ensino
Diante da aceitaccedilatildeo e sucesso da ldquoI Mostra de Jogosrdquo do laboratoacuterio no ano de 2008 a pesquisa com formandos naquelas jaacute citadas disciplinas e oficinas com alunos de Educaccedilatildeo Baacutesica passaram a constituir uma das metas do LEM A oficializaccedilatildeo do LEM ocorreu com o lanccedilamento deste cataacutelogo ainda no mesmo ano
A ecircnfase dada agrave pesquisa agrave confecccedilatildeo e agrave aplicaccedilatildeo de jogos de estrateacutegia jogos para trabalhar conteuacutedos e quebra-cabeccedilas possibilitou seu reconhecimento e valorizaccedilatildeo Entretanto na busca de atingir a meta de oferecer aos que procuram o LEM orientaccedilatildeo e assessoria na confecccedilatildeo de jogos e na montagem de laboratoacuterios para fins didaacuteticos estamos reunindo neste material a apresentaccedilatildeo de _____ jogos que estatildeo confeccionados no acervo do referido laboratoacuterio
Os jogos mencionados acima foram adaptados ou apreendidos por transmissatildeo oral conforme referecircncia bibliograacutefica
Esta primeira versatildeo do cataacutelogo foi organizada pela atual professora de Praacutetica de Ensino escrita pelos alunos da turma 2007 e editado por uma aluna do curso de Design
Nossa pretensatildeo eacute poder atualizar este cataacutelogo de acordo com aumento no volume de produccedilotildees presentes no LEM com o desenvolvimento deste trabalho junto aos alunos das novas turmas do curso de Licenciatura em Matemaacutetica que jaacute teratildeo como exemplo o trabalho realizado pela primeira turma de Matemaacutetica da FAAL
APRESENTACcedilAtildeO
1 Agrave eacutepoca ministradas pela Professora Zionice Garbelini Martos Rodrigues atual coordenadora do curso2 Professora Eliane Matesco Cristovatildeo Alunos da licenciatura ______ Alunas de Design Mariana Dias e Silvia Helena Bito Ricardo
1
Tangram
OrigemConta-se que um dia na China haacute 4000 anos o Imperador Tan partiu o seu espelho
quadrado quando o deixou cair ao chatildeo O espelho partiu-se em sete bocados Tan apesar de um pouco aborrecido com a perda do espelho descobriu uma forma de se entreter foi construindo figuras e mais figuras usando sempre as sete peccedilas sem as sobrepor Assim se pensa ter aparecido o conhecido puzzle chinecircsTangram Este puzzle tambeacutem conhecido pela ldquoplaca das sete astuacuteciasrdquo possibilita a construccedilatildeo de diversas figuras a partir de sete poliacutegonos muito simples
ObjetivoO objetivo pedagoacutegico do Tangram assim como qualquer outro quebra-cabeccedila eacute
desenvolver e aprimorar o raciociacutenio loacutegico e a criatividade atraveacutes de uma brincadeira muito divertida Atraveacutes da comparaccedilatildeo e mediccedilotildees de suas peccedilas podem ser explorados conceitos como periacutemetro aacuterea classificaccedilatildeo e semelhanccedila de triacircngulos aleacutem das pro-priedades dos quadrilaacuteteros que podem ser exploradas durante os recortes
2
1deg Passo Construir um quadrado a partir de uma folha de sulfite A4 medindo cerca de 20 cm de lado
2deg Passo Marque o veacutertice superior esquerdo com um quadradinho vermelho o superior direito com um quadradinho verde o veacutertice inferior esquerdo com um quadra-dinho amarelo e o veacutertice inferior direito com um quadradinho azul
3deg Passo Faccedila uma dobra unindo o quadradinho vermelho ao azul de modo a obter uma rasura que corresponda a uma ligaccedilatildeo entre o quadradinho verde e o amarelo Com a ajuda da reacutegua passe uma reta com o laacutepis formalizando a uniatildeo do quadradinho verde ao amarelo no qual originaraacute uma diagonal do quadrado maior
4deg Passo Agora faccedila a dobra unindo o quadradinho verde ao amarelo obtendo uma rasura que une o quadradinho vermelho ao azul posteriormente trace uma reta com o apoio da reacutegua e do laacutepis do quadradinho vermelho ateacute a diagonal formada na uniatildeo do quadradinho verde com o amarelo
5deg Passo Marque uma bolinha de cor preta no centro do quadrado Ela deveraacute coincidir com o ponto de encontro da reta traccedilada no 4deg passo com a diagonal obtida no 3deg passo
6deg Passo Agora encoste o quadradinho azul na bolinha preta de modo a obter uma rasura formando uma paralela inferior a diagonal Depois passe o laacutepis sobre a rasura ob-tida formando o triacircngulo meacutedio
7deg Passo Agora passe uma reta iniciando-a no centro do triacircngulo meacutedio feito no 6deg passo levando-a ateacute o centro da diagonal onde se encontra a bolinha preta Essa reta coincidiraacute com a rasura que teve origem no 4deg passo
8deg Passo Agora encoste o quadradinho amarelo na bolinha preta de modo a obter uma rasura com a dobra Faccedila uma reta com o laacutepis para definir a rasura dando origem assim a um triacircngulo pequeno e um quadrado
9deg Passo Finalmente faccedila uma bolinha alaranjada no veacutertice do triacircngulo meacutedio que se encontra no centro da reta que liga o quadradinho verde ao azul Depois encoste a bolinha alaranjada na bolinha preta Com a dobra realizada obteraacute uma rasura que forma-raacute um outro triacircngulo pequeno e um paralelogramo Recorte os traccedilos e estaacute pronto
Como construir
Haacute diversas maneiras de jogar com o Tangram A mais conhecida eacute a de montar um quadrado mas tambeacutem haacute como construir vaacuterias figuras tais como coelho gato casa pessoa outras figuras geomeacutetricas enfim atividade eacute o que natildeo falta com o Tangram
Como jogar
httpwwwcefetspbredugueratomat_cur_tangranhtmh t t p n e t e s c o l a p r g o v b r n e t e s c o l a e s c o l a 0 8 7 0 4 5 0 0 5
construC3A7C3A3o_de_tangranhtm
Referecircncias
3
Geoplano
ObjetivoO Geoplano eacute um recurso didaacutetico-pedagoacutegico dinacircmico e manipulaacutevel utilizado
para auxiliar professores no trabalho com figuras e formas geomeacutetricas planas e tem o objetivo de desenvolver o raciociacutenio loacutegico e a aprendizagem de vaacuterios ou quase todos os conceitos de geometria tais como o conceito de medida de veacutertice de aresta de lado de simetria aacuterea periacutemetro facilita o desenvolvimento das habilidades de exploraccedilatildeo espa-cial comparaccedilatildeo aleacutem de contribuir para exploraccedilatildeo de problemas geomeacutetricos e algeacutebri-cos possibilitando a afericcedilatildeo de conjecturas e podendo-se registrar o trabalho em papel ou reproduzi-lo em papel quadriculado
Como construirO Geoplano eacute um pedaccedilo de madeira de forma quadrada com vaacuterios pregos cra-
vados a meia altura formando um quadriculado A distacircncia entre os pregos cravados tanto na horizontal como na vertical tem de ser a mesma pois devem ser formados vaacuterios
4
Eacute um recurso pedagoacutegico mais usado para a construccedilatildeo de conhecimentos do que um jogo mas pode ser divertido usa-lo para a construccedilatildeo de figuras fazer desenhos mesmo como quadrado triacircngulo cubo vaacuterias figuras geomeacutetricas aleacutem de ser possiacutevel construir figuras como animais objetos ateacute paisagens depende muito da criatividade da pessoa envolvida em tal atividade
Como jogar
Referecircncias
BOLT Brian Divertimentos Matemaacuteticos Lisboa 1990BOLT Brian e HOBBS David 101 Problemas de Matemaacutetica Lisboa 1991RANCHAL Carmen Jaloacuten El geoplano actividades para el aula VII Jornadas Anda-
luzas de Educacioacuten Matemaacutetica ldquoThalesrdquo p 473-4861995MACHADO Rosa Maria Nuacutemeros a filosofia dos gregos que ainda sobrevive Dis-
sertaccedilatildeo de mestrado ndash FE - Unicamp 1993httpmathematikospsicoufrgsbrdisciplinasufrgsmat01039031webfoliosgi-
ganteoqueegeoplanohtmlhttpwwwcempemfaeunicampbrlapemmeccursosel6542001pedro_e_fa-
bioEL654geoplanogeoplanohtm
quadrados Eacute importante deixar claro que para a manipulaccedilatildeo do Geoplano eacute necessaacuterio utilizar-se de elaacutesticos do tipo para amarrar dinheiro de preferecircncia de cores variadas Existem vaacuterios tipos de Geoplano Oval Circular Trelissado mas o mais conhecido eacute o Geoplano Quadrado A seguir estatildeo os trecircs passos para auxiliar na construccedilatildeo de um Ge-oplano
1deg Passo cortar um pedaccedilo de madeira de modo a deixaacute-lo quadrado2deg Passo Com o auxilio de uma reacutegua e um laacutepis fazer vaacuterios riscos na vertical e
horizontal no pedaccedilo quadrangular da madeira formando um tipo de aacuterea quadriculada3deg Passo Cravar pregos nos ligamentos das linhas feitas com laacutepis verticais com
horizontais
5
OrigemA cidade alematilde de Koenisberg eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia A prefeitura do muni-
ciacutepio fica em uma de suas duas ilhas a de Kneiphof Todos os bairros estatildeo interligados por sete pontes A questatildeo eacute seraacute possiacutevel numa uacutenica caminhada passar por todas elas sem cruzar nenhuma mais de uma vez Para responder o matemaacutetico suiacuteccedilo Leonard Euler montou no seacuteculo XVIII um diagrama no qual cada arco representa uma ponte e cada ponto ou veacutertice uma margem Euler descobriu que eacute possiacutevel atravessar um diagrama e voltar ao ponto inicial se todos os seus veacutertices forem pares isto eacute se cada um deles esti-ver ligado a um nuacutemero par de arcos Ele tambeacutem concluiu que se houver no maacuteximo dois veacutertices iacutempares tambeacutem daacute para atravessaacute-lo mas sem regressar ao ponto de partida Em Koenisberg todos os quatro veacutertices satildeo iacutempares
Portanto a travessia eacute impossiacutevel Ao estabelecer os uacutenicos caminhos possiacuteveis para atravessar as sete pontes Euler descobriu que a anaacutelise sobre a possibilidade desse trajeto era invariaacutevel mesmo que a forma do terreno mudasse continuamente No seu diagrama ele reduziu toda uma cidade a um conjunto de pontos e arcos Cada margem virou apenas um uacutenico ponto No entanto as relaccedilotildees entre eles permaneceram inalteradas Este estu-
Ponte de Euler
6
Pegue o pedaccedilo de barbante e tente percorrer todas as portas lembrando que o barbante soacute pode passar uma vez por cada porta
Dica Comece por um cocircmodo com nuacutemero iacutempar de portas
A ponte pode ser construiacuteda com qualquer material desde que mantenha o de-senho das portas e suas posiccedilotildees conforme a figura acima Para auxiliar no percurso e tambeacutem na preservaccedilatildeo do jogo pode-se usar para as tentativas do caminho um pedaccedilo de barbante
Percorrer todas as portas apenas uma vez desenvolvendo o raciociacutenio loacutegico e o pensamento e conceito utilizados na tipografia
Como jogar
Como construir
Objetivo
Referecircnciaswwwmatucpt~almaescolaspontesptwikipediaorgwikiSete_pontes_de_Koumlnigsberg
do resultou no que hoje eacute chamado de Topologia Embora tenha nascido no seacuteculo XVIII a topologia continua sendo um objeto de estudos e ainda oferece poucas aplicaccedilotildees praacuteticas no dia-a-dia Uma delas estaacute no mundo das telecomunicaccedilotildees e da informaacutetica
Para montar redes globais de sateacutelites e computadores grandes empresas usam a topologia para interligar os caminhos em que suas informaccedilotildees trafegam Ela ajuda a estabelecer a melhor conexatildeo entre os pontos quando natildeo a uacutenica O mundo pode se deformar totalmente mas as redes de comunicaccedilatildeo que unem sua casa a qualquer outro lugar seratildeo sempre as mesmas
7
Trabalhar com os alunos contas de adiccedilatildeo e subtraccedilatildeo com nuacutemeros inteiros quem somar mais pontos em trecircs rodadas vence a partida
Objetivo
OrigemA cidade alematilde de Koenisberg eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia A prefeitura do municiacute-
pio fiDesenvolvido pelas alunas Bruna Yuri Otsuka Fabiane Gusicuma
Boliche Matemaacutetico
8
Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes
Nuacutemero de participantes Indeterminado
Como jogar
Material 12 Garrafas Pet Papel Colorido para encapar1 Bola para arremessar nas garrafasSepare 12 Garrafas Pet pequenas e as encape com papel colorido fazendo anota-
ccedilotildees nuacutemeros inteiros positivos e nuacutemeros inteiros negativos em um dos seus lados
Como construir
9
OrigemUma sugestatildeo para sua construccedilatildeo pode ser encontrada no livro de Matemaacutetica do
professor Imenes
ObjetivoTrabalhar a multiplicaccedilatildeo de dois nuacutemeros naturais sob o enfoque do raciociacutenio
combinatoacuterio no qual verificarmos quantas possibilidades existem de formar com duas coleccedilotildees
Copos Combinatoacuterios
10
Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes
Nuacutemero de participantes Indeterminado
Como jogar
Material3 copos plaacutesticosTiras de papeacuteis com diferentes coleccedilotildees (cores nuacutemeros objetos)Parafusos ou elaacutesticosFita adesiva transparenteColoque as tiras com a fita adesiva na borda superior externa dos copos encaixe
um dentro do outro com o parafuso ou o elaacutestico permitindo que os mesmos se movi-mentem
Como construir
ReferecircnciasAulas do 1ordm Sem LPM ndash FAAL ndash Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues
11
Gobangue
ObjetivoFormar no tabuleiro uma linha com cinco peccedilas adjacentes na horizontal ou na
vertical ou na diagonal onde a melhor estrateacutegia para ter mais chances de obter a vitoacuteria eacute a dissimulaccedilatildeo distrair o adversaacuterio fazendo algumas jogadas nas extremidades do tabu-leiro para ele natildeo perceber a sua jogada principal
Como construirUm tabuleiro (de Damas) 10 x 10 e 100 (cem) fichas sendo 50 pretas e 50 brancas
12
O participante que escolheu as 50 peccedilas pretas inicia o jogo cada jogador alterna-damente na sua vez coloca uma peccedila no tabuleiro procurando atingir o objetivo
Como jogar
ReferecircnciasLaboratoacuterio do Ensino da Matemaacutetica ndash UNG (Universidade de Guarulhos)
13
Jogo do Xsup2
OrigemJogo criado pelo aluno Wilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP
Como construirUm tabuleiro onde constam potecircncias (quadrados dos nuacutemeros 1 a 10) dispostas
nos lados de um quadrado ou nas linhas de um X 40 (quarenta) fichas (vinte na cor verde e vinte na cor marrom) e 3 (trecircs) dados (dois com faces numeradas de 1 a 5 e uma nula iden-tificada com a cor vermelha e um com trecircs faces com a indicaccedilatildeo X e trecircs faces com 1048709)
14
Cada participante na sua vez joga os trecircs dados adiciona os pontos obtidos nos dados numeacutericos eleva o resultado (soma) ao quadrado a potecircncia obtida seraacute marcada no tabuleiro com sua peccedila ou no X ou no 1048709 conforme a indicaccedilatildeo sorteada no terceirodado
Nota observar que os dados numeacutericos tecircm uma face nulaSe os dois dados numeacutericos indicarem no sorteio faces nulas o participante passa
a vez para o adversaacuterio Se a casa da potecircncia obtida jaacute estiver preenchida o jogador passa a vez para o adversaacuterio O participante que completar a figura X ou 1048709 com suas peccedilasvenceraacute o jogo
Como jogar
ReferecircnciasWilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP
15
OrigemO Jogo da Velha denominado Tic Tac Toe ou Nough and Crosses em Inglecircs eacute um
jogo simples e praacutetico que natildeo possui origem conhecida Todavia sua popularidade eacute in-ternacional desde a antiguidade Haacute registros de que o jogo existia na eacutepoca do Impeacuterio Romano mas natildeo haacute provas de que tenha sido criado pelos Romanos fato este que nos faz crer que o Jogo da Velha pode ser mais antigo do que se pensa
Uma soluccedilatildeo para melhorar o tradicional Jogo da Velha eacute passar da bidimensiona-lidade para a tridimensionalidade
ObjetivoEacute conseguir formar uma linha vertical horizontal ou diagonal de trecircs X ou O A di-
ficuldade todavia reside no aspecto de que o jogo se daacute por turnos o que o torna muito simples a tarefa de seu oponente travar suas jogadas marcando um dos quadrados conse-quumlentes aos seus
Jogo da Velha
16
Por ser demais conhecido dispensa o ensino de suas regras podendo ser jogado sobre um tabuleiro ou mesmo sendo riscado em um papel
Para construiacute-lo em folha de papel desenhe duas linhas horizontais e duas linhas verticais formando um tabuleiro onde seratildeo preenchidos com o X ou com o O
Para construiacute-lo na tridimensionalidade desenhar o tabuleiro em 3 placas de ma-deira fazer o lsquoXrsquo e o lsquoOrsquo de isopor e depois colocar os tabuleiros de uma forma que fiquem um sobre o outro aumentando o grau de dificuldade do jogo
Cada um dos jogadores que se enfrentam na disputa do jogo poderaacute marcar qual-quer um dos espaccedilos externos ou mesmo interno com um dos seus sinais X ou O sendo que nenhum dos jogadores poderaacute marcar um sinal igual ao do adversaacuterio Em suma cada jogador em turnos alternados deveraacute marcar um dos nove espaccedilos
Como construir
Como jogar
ReferecircnciashttpptwikipediaorgwikiJogo_da_velha
17
OrigemCarl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu ateacute 1855 Eacute considerado um dos maio-
res matemaacuteticos de todos os tempos Gauss teve a estatura de Arquimedes e de Newton e seus campos de interesse excederam os de ambos Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemaacutetica e para a Teoria dos Nuacutemeros Seu pai era jardineiro e assistente de um co-merciante e enquanto crianccedila mostrou grande talento para a matemaacutetica Sua produccedilatildeo intelectual foi precoce existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a foacutermula da soma dos n primeiros termos de uma progressatildeo aritmeacutetica Diz a histoacuteria que sua professora primaacuteria para manter a classe ocupada lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100 tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilizaccedilatildeo da foacutermula da PA Sn = n(a1 + an) 2
Curva de Gauss
18
Objetivo
Como construir
Como jogar
Mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental Mas pode tambeacutem mostrar como se distribuem os dados em vaacuterias situaccedilotildees originadas de eventos mutuamente independentes A distribuiccedilatildeo de Gauss aparece frequentemente nas esta-tiacutesticas Experimentalmente processos aleatoacuterios independentes levam agrave distribuiccedilatildeo de Gauss ou a uma distribuiccedilatildeo normal
Em uma prancha onde se monta o arranjo de triacircngulos e as colunas pode ser de madeira polida pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas de acordo com a foto acima Os obstaacuteculos triangulares satildeo de madeira dura Podem tambeacutem ter a forma de hexaacutegonos Devem ser fixos na prancha As bolinhas de gude ou vidro Dependendo do tamanho de sua prancha podem ser necessaacuterias umas 100 bolinhas ou mais Seraacute neces-saacuterio ainda um funil plaacutestico por onde as bolinhas devem passar
Colocar as bolinhas com o auxilio do funil despejando-as aleatoriamente e verifi-que as figuras formadas dentro da prancha
Referecircnciashttpwwwwikipediacomhttpwwwsearaufcbrsugestoesfisicaespec4htmAulas de estatiacutestica 2ordm Sem 2007 Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues ndash FAAL
- Limeira SP
19
Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo
ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos
O Fatiacutedico 13
20
Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-
ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
21
Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5
(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro
ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-
ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo
Torre de Hanoacutei
22
Como jogar
Observaccedilotildees
Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor
1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento
2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos
3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos
4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
23
ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos
Jogo dos Palitos
Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos
24
Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo
Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
25
ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro
Tabuleiro Enigmaacutetico
26
Como construir
Como jogar
Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo
Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente
Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha
leva agrave peccedila
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
27
ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes
Pentaminoacutes
28
Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo
com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5
quadrados) em diferentes formas
Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as
peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com
a figura
Soluccedilatildeo
ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
29
SoacutelidosGeomeacutetricos
Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico
Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria
Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas
Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo
Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico
soacutelido geomeacutetricofigura plana
30
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo
Prismas
Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)
Faces (Laterais)
Base
Arestas(Encontro das Faces
31
A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide
O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais
Piracircmides
Base
Veacutertice Principal
Veacutertices
Arestas
Faces
32
Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo
Soacutelidos de revoluccedilatildeo
Aresta
Linha Geratriz
Figura Geradora
Eixo
Facey
Superfiacutecie Ciliacutendrica
Base Inferior
33
A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo
Esfera
x
y
Superfiacutecie Esfeacuterica
Centro da Esfera
Raio da Esfera
Diacircmetroda Esfera
34
O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta
Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior
Cone
Referecircncias
Figura Geradora
Veacutertice
Superfiacutecie Cocircnica
Base
x
yEixo
Aresta
O Laboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica (LEM) vinculado ao Curso de Licencia-tura em Matemaacutetica da Faculdade de Administraccedilatildeo e Artes de Limeira (FAAL) teve suas atividades iniciadas entre o segundo semestre do ano de 2007 e primeiro semes-tre do ano de 2008 a partir do trabalho realizado com licenciandos em Matemaacutetica nas disciplinas Estatiacutestica e Praacutetica de Ensino
Diante da aceitaccedilatildeo e sucesso da ldquoI Mostra de Jogosrdquo do laboratoacuterio no ano de 2008 a pesquisa com formandos naquelas jaacute citadas disciplinas e oficinas com alunos de Educaccedilatildeo Baacutesica passaram a constituir uma das metas do LEM A oficializaccedilatildeo do LEM ocorreu com o lanccedilamento deste cataacutelogo ainda no mesmo ano
A ecircnfase dada agrave pesquisa agrave confecccedilatildeo e agrave aplicaccedilatildeo de jogos de estrateacutegia jogos para trabalhar conteuacutedos e quebra-cabeccedilas possibilitou seu reconhecimento e valorizaccedilatildeo Entretanto na busca de atingir a meta de oferecer aos que procuram o LEM orientaccedilatildeo e assessoria na confecccedilatildeo de jogos e na montagem de laboratoacuterios para fins didaacuteticos estamos reunindo neste material a apresentaccedilatildeo de _____ jogos que estatildeo confeccionados no acervo do referido laboratoacuterio
Os jogos mencionados acima foram adaptados ou apreendidos por transmissatildeo oral conforme referecircncia bibliograacutefica
Esta primeira versatildeo do cataacutelogo foi organizada pela atual professora de Praacutetica de Ensino escrita pelos alunos da turma 2007 e editado por uma aluna do curso de Design
Nossa pretensatildeo eacute poder atualizar este cataacutelogo de acordo com aumento no volume de produccedilotildees presentes no LEM com o desenvolvimento deste trabalho junto aos alunos das novas turmas do curso de Licenciatura em Matemaacutetica que jaacute teratildeo como exemplo o trabalho realizado pela primeira turma de Matemaacutetica da FAAL
APRESENTACcedilAtildeO
1 Agrave eacutepoca ministradas pela Professora Zionice Garbelini Martos Rodrigues atual coordenadora do curso2 Professora Eliane Matesco Cristovatildeo Alunos da licenciatura ______ Alunas de Design Mariana Dias e Silvia Helena Bito Ricardo
1
Tangram
OrigemConta-se que um dia na China haacute 4000 anos o Imperador Tan partiu o seu espelho
quadrado quando o deixou cair ao chatildeo O espelho partiu-se em sete bocados Tan apesar de um pouco aborrecido com a perda do espelho descobriu uma forma de se entreter foi construindo figuras e mais figuras usando sempre as sete peccedilas sem as sobrepor Assim se pensa ter aparecido o conhecido puzzle chinecircsTangram Este puzzle tambeacutem conhecido pela ldquoplaca das sete astuacuteciasrdquo possibilita a construccedilatildeo de diversas figuras a partir de sete poliacutegonos muito simples
ObjetivoO objetivo pedagoacutegico do Tangram assim como qualquer outro quebra-cabeccedila eacute
desenvolver e aprimorar o raciociacutenio loacutegico e a criatividade atraveacutes de uma brincadeira muito divertida Atraveacutes da comparaccedilatildeo e mediccedilotildees de suas peccedilas podem ser explorados conceitos como periacutemetro aacuterea classificaccedilatildeo e semelhanccedila de triacircngulos aleacutem das pro-priedades dos quadrilaacuteteros que podem ser exploradas durante os recortes
2
1deg Passo Construir um quadrado a partir de uma folha de sulfite A4 medindo cerca de 20 cm de lado
2deg Passo Marque o veacutertice superior esquerdo com um quadradinho vermelho o superior direito com um quadradinho verde o veacutertice inferior esquerdo com um quadra-dinho amarelo e o veacutertice inferior direito com um quadradinho azul
3deg Passo Faccedila uma dobra unindo o quadradinho vermelho ao azul de modo a obter uma rasura que corresponda a uma ligaccedilatildeo entre o quadradinho verde e o amarelo Com a ajuda da reacutegua passe uma reta com o laacutepis formalizando a uniatildeo do quadradinho verde ao amarelo no qual originaraacute uma diagonal do quadrado maior
4deg Passo Agora faccedila a dobra unindo o quadradinho verde ao amarelo obtendo uma rasura que une o quadradinho vermelho ao azul posteriormente trace uma reta com o apoio da reacutegua e do laacutepis do quadradinho vermelho ateacute a diagonal formada na uniatildeo do quadradinho verde com o amarelo
5deg Passo Marque uma bolinha de cor preta no centro do quadrado Ela deveraacute coincidir com o ponto de encontro da reta traccedilada no 4deg passo com a diagonal obtida no 3deg passo
6deg Passo Agora encoste o quadradinho azul na bolinha preta de modo a obter uma rasura formando uma paralela inferior a diagonal Depois passe o laacutepis sobre a rasura ob-tida formando o triacircngulo meacutedio
7deg Passo Agora passe uma reta iniciando-a no centro do triacircngulo meacutedio feito no 6deg passo levando-a ateacute o centro da diagonal onde se encontra a bolinha preta Essa reta coincidiraacute com a rasura que teve origem no 4deg passo
8deg Passo Agora encoste o quadradinho amarelo na bolinha preta de modo a obter uma rasura com a dobra Faccedila uma reta com o laacutepis para definir a rasura dando origem assim a um triacircngulo pequeno e um quadrado
9deg Passo Finalmente faccedila uma bolinha alaranjada no veacutertice do triacircngulo meacutedio que se encontra no centro da reta que liga o quadradinho verde ao azul Depois encoste a bolinha alaranjada na bolinha preta Com a dobra realizada obteraacute uma rasura que forma-raacute um outro triacircngulo pequeno e um paralelogramo Recorte os traccedilos e estaacute pronto
Como construir
Haacute diversas maneiras de jogar com o Tangram A mais conhecida eacute a de montar um quadrado mas tambeacutem haacute como construir vaacuterias figuras tais como coelho gato casa pessoa outras figuras geomeacutetricas enfim atividade eacute o que natildeo falta com o Tangram
Como jogar
httpwwwcefetspbredugueratomat_cur_tangranhtmh t t p n e t e s c o l a p r g o v b r n e t e s c o l a e s c o l a 0 8 7 0 4 5 0 0 5
construC3A7C3A3o_de_tangranhtm
Referecircncias
3
Geoplano
ObjetivoO Geoplano eacute um recurso didaacutetico-pedagoacutegico dinacircmico e manipulaacutevel utilizado
para auxiliar professores no trabalho com figuras e formas geomeacutetricas planas e tem o objetivo de desenvolver o raciociacutenio loacutegico e a aprendizagem de vaacuterios ou quase todos os conceitos de geometria tais como o conceito de medida de veacutertice de aresta de lado de simetria aacuterea periacutemetro facilita o desenvolvimento das habilidades de exploraccedilatildeo espa-cial comparaccedilatildeo aleacutem de contribuir para exploraccedilatildeo de problemas geomeacutetricos e algeacutebri-cos possibilitando a afericcedilatildeo de conjecturas e podendo-se registrar o trabalho em papel ou reproduzi-lo em papel quadriculado
Como construirO Geoplano eacute um pedaccedilo de madeira de forma quadrada com vaacuterios pregos cra-
vados a meia altura formando um quadriculado A distacircncia entre os pregos cravados tanto na horizontal como na vertical tem de ser a mesma pois devem ser formados vaacuterios
4
Eacute um recurso pedagoacutegico mais usado para a construccedilatildeo de conhecimentos do que um jogo mas pode ser divertido usa-lo para a construccedilatildeo de figuras fazer desenhos mesmo como quadrado triacircngulo cubo vaacuterias figuras geomeacutetricas aleacutem de ser possiacutevel construir figuras como animais objetos ateacute paisagens depende muito da criatividade da pessoa envolvida em tal atividade
Como jogar
Referecircncias
BOLT Brian Divertimentos Matemaacuteticos Lisboa 1990BOLT Brian e HOBBS David 101 Problemas de Matemaacutetica Lisboa 1991RANCHAL Carmen Jaloacuten El geoplano actividades para el aula VII Jornadas Anda-
luzas de Educacioacuten Matemaacutetica ldquoThalesrdquo p 473-4861995MACHADO Rosa Maria Nuacutemeros a filosofia dos gregos que ainda sobrevive Dis-
sertaccedilatildeo de mestrado ndash FE - Unicamp 1993httpmathematikospsicoufrgsbrdisciplinasufrgsmat01039031webfoliosgi-
ganteoqueegeoplanohtmlhttpwwwcempemfaeunicampbrlapemmeccursosel6542001pedro_e_fa-
bioEL654geoplanogeoplanohtm
quadrados Eacute importante deixar claro que para a manipulaccedilatildeo do Geoplano eacute necessaacuterio utilizar-se de elaacutesticos do tipo para amarrar dinheiro de preferecircncia de cores variadas Existem vaacuterios tipos de Geoplano Oval Circular Trelissado mas o mais conhecido eacute o Geoplano Quadrado A seguir estatildeo os trecircs passos para auxiliar na construccedilatildeo de um Ge-oplano
1deg Passo cortar um pedaccedilo de madeira de modo a deixaacute-lo quadrado2deg Passo Com o auxilio de uma reacutegua e um laacutepis fazer vaacuterios riscos na vertical e
horizontal no pedaccedilo quadrangular da madeira formando um tipo de aacuterea quadriculada3deg Passo Cravar pregos nos ligamentos das linhas feitas com laacutepis verticais com
horizontais
5
OrigemA cidade alematilde de Koenisberg eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia A prefeitura do muni-
ciacutepio fica em uma de suas duas ilhas a de Kneiphof Todos os bairros estatildeo interligados por sete pontes A questatildeo eacute seraacute possiacutevel numa uacutenica caminhada passar por todas elas sem cruzar nenhuma mais de uma vez Para responder o matemaacutetico suiacuteccedilo Leonard Euler montou no seacuteculo XVIII um diagrama no qual cada arco representa uma ponte e cada ponto ou veacutertice uma margem Euler descobriu que eacute possiacutevel atravessar um diagrama e voltar ao ponto inicial se todos os seus veacutertices forem pares isto eacute se cada um deles esti-ver ligado a um nuacutemero par de arcos Ele tambeacutem concluiu que se houver no maacuteximo dois veacutertices iacutempares tambeacutem daacute para atravessaacute-lo mas sem regressar ao ponto de partida Em Koenisberg todos os quatro veacutertices satildeo iacutempares
Portanto a travessia eacute impossiacutevel Ao estabelecer os uacutenicos caminhos possiacuteveis para atravessar as sete pontes Euler descobriu que a anaacutelise sobre a possibilidade desse trajeto era invariaacutevel mesmo que a forma do terreno mudasse continuamente No seu diagrama ele reduziu toda uma cidade a um conjunto de pontos e arcos Cada margem virou apenas um uacutenico ponto No entanto as relaccedilotildees entre eles permaneceram inalteradas Este estu-
Ponte de Euler
6
Pegue o pedaccedilo de barbante e tente percorrer todas as portas lembrando que o barbante soacute pode passar uma vez por cada porta
Dica Comece por um cocircmodo com nuacutemero iacutempar de portas
A ponte pode ser construiacuteda com qualquer material desde que mantenha o de-senho das portas e suas posiccedilotildees conforme a figura acima Para auxiliar no percurso e tambeacutem na preservaccedilatildeo do jogo pode-se usar para as tentativas do caminho um pedaccedilo de barbante
Percorrer todas as portas apenas uma vez desenvolvendo o raciociacutenio loacutegico e o pensamento e conceito utilizados na tipografia
Como jogar
Como construir
Objetivo
Referecircnciaswwwmatucpt~almaescolaspontesptwikipediaorgwikiSete_pontes_de_Koumlnigsberg
do resultou no que hoje eacute chamado de Topologia Embora tenha nascido no seacuteculo XVIII a topologia continua sendo um objeto de estudos e ainda oferece poucas aplicaccedilotildees praacuteticas no dia-a-dia Uma delas estaacute no mundo das telecomunicaccedilotildees e da informaacutetica
Para montar redes globais de sateacutelites e computadores grandes empresas usam a topologia para interligar os caminhos em que suas informaccedilotildees trafegam Ela ajuda a estabelecer a melhor conexatildeo entre os pontos quando natildeo a uacutenica O mundo pode se deformar totalmente mas as redes de comunicaccedilatildeo que unem sua casa a qualquer outro lugar seratildeo sempre as mesmas
7
Trabalhar com os alunos contas de adiccedilatildeo e subtraccedilatildeo com nuacutemeros inteiros quem somar mais pontos em trecircs rodadas vence a partida
Objetivo
OrigemA cidade alematilde de Koenisberg eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia A prefeitura do municiacute-
pio fiDesenvolvido pelas alunas Bruna Yuri Otsuka Fabiane Gusicuma
Boliche Matemaacutetico
8
Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes
Nuacutemero de participantes Indeterminado
Como jogar
Material 12 Garrafas Pet Papel Colorido para encapar1 Bola para arremessar nas garrafasSepare 12 Garrafas Pet pequenas e as encape com papel colorido fazendo anota-
ccedilotildees nuacutemeros inteiros positivos e nuacutemeros inteiros negativos em um dos seus lados
Como construir
9
OrigemUma sugestatildeo para sua construccedilatildeo pode ser encontrada no livro de Matemaacutetica do
professor Imenes
ObjetivoTrabalhar a multiplicaccedilatildeo de dois nuacutemeros naturais sob o enfoque do raciociacutenio
combinatoacuterio no qual verificarmos quantas possibilidades existem de formar com duas coleccedilotildees
Copos Combinatoacuterios
10
Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes
Nuacutemero de participantes Indeterminado
Como jogar
Material3 copos plaacutesticosTiras de papeacuteis com diferentes coleccedilotildees (cores nuacutemeros objetos)Parafusos ou elaacutesticosFita adesiva transparenteColoque as tiras com a fita adesiva na borda superior externa dos copos encaixe
um dentro do outro com o parafuso ou o elaacutestico permitindo que os mesmos se movi-mentem
Como construir
ReferecircnciasAulas do 1ordm Sem LPM ndash FAAL ndash Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues
11
Gobangue
ObjetivoFormar no tabuleiro uma linha com cinco peccedilas adjacentes na horizontal ou na
vertical ou na diagonal onde a melhor estrateacutegia para ter mais chances de obter a vitoacuteria eacute a dissimulaccedilatildeo distrair o adversaacuterio fazendo algumas jogadas nas extremidades do tabu-leiro para ele natildeo perceber a sua jogada principal
Como construirUm tabuleiro (de Damas) 10 x 10 e 100 (cem) fichas sendo 50 pretas e 50 brancas
12
O participante que escolheu as 50 peccedilas pretas inicia o jogo cada jogador alterna-damente na sua vez coloca uma peccedila no tabuleiro procurando atingir o objetivo
Como jogar
ReferecircnciasLaboratoacuterio do Ensino da Matemaacutetica ndash UNG (Universidade de Guarulhos)
13
Jogo do Xsup2
OrigemJogo criado pelo aluno Wilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP
Como construirUm tabuleiro onde constam potecircncias (quadrados dos nuacutemeros 1 a 10) dispostas
nos lados de um quadrado ou nas linhas de um X 40 (quarenta) fichas (vinte na cor verde e vinte na cor marrom) e 3 (trecircs) dados (dois com faces numeradas de 1 a 5 e uma nula iden-tificada com a cor vermelha e um com trecircs faces com a indicaccedilatildeo X e trecircs faces com 1048709)
14
Cada participante na sua vez joga os trecircs dados adiciona os pontos obtidos nos dados numeacutericos eleva o resultado (soma) ao quadrado a potecircncia obtida seraacute marcada no tabuleiro com sua peccedila ou no X ou no 1048709 conforme a indicaccedilatildeo sorteada no terceirodado
Nota observar que os dados numeacutericos tecircm uma face nulaSe os dois dados numeacutericos indicarem no sorteio faces nulas o participante passa
a vez para o adversaacuterio Se a casa da potecircncia obtida jaacute estiver preenchida o jogador passa a vez para o adversaacuterio O participante que completar a figura X ou 1048709 com suas peccedilasvenceraacute o jogo
Como jogar
ReferecircnciasWilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP
15
OrigemO Jogo da Velha denominado Tic Tac Toe ou Nough and Crosses em Inglecircs eacute um
jogo simples e praacutetico que natildeo possui origem conhecida Todavia sua popularidade eacute in-ternacional desde a antiguidade Haacute registros de que o jogo existia na eacutepoca do Impeacuterio Romano mas natildeo haacute provas de que tenha sido criado pelos Romanos fato este que nos faz crer que o Jogo da Velha pode ser mais antigo do que se pensa
Uma soluccedilatildeo para melhorar o tradicional Jogo da Velha eacute passar da bidimensiona-lidade para a tridimensionalidade
ObjetivoEacute conseguir formar uma linha vertical horizontal ou diagonal de trecircs X ou O A di-
ficuldade todavia reside no aspecto de que o jogo se daacute por turnos o que o torna muito simples a tarefa de seu oponente travar suas jogadas marcando um dos quadrados conse-quumlentes aos seus
Jogo da Velha
16
Por ser demais conhecido dispensa o ensino de suas regras podendo ser jogado sobre um tabuleiro ou mesmo sendo riscado em um papel
Para construiacute-lo em folha de papel desenhe duas linhas horizontais e duas linhas verticais formando um tabuleiro onde seratildeo preenchidos com o X ou com o O
Para construiacute-lo na tridimensionalidade desenhar o tabuleiro em 3 placas de ma-deira fazer o lsquoXrsquo e o lsquoOrsquo de isopor e depois colocar os tabuleiros de uma forma que fiquem um sobre o outro aumentando o grau de dificuldade do jogo
Cada um dos jogadores que se enfrentam na disputa do jogo poderaacute marcar qual-quer um dos espaccedilos externos ou mesmo interno com um dos seus sinais X ou O sendo que nenhum dos jogadores poderaacute marcar um sinal igual ao do adversaacuterio Em suma cada jogador em turnos alternados deveraacute marcar um dos nove espaccedilos
Como construir
Como jogar
ReferecircnciashttpptwikipediaorgwikiJogo_da_velha
17
OrigemCarl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu ateacute 1855 Eacute considerado um dos maio-
res matemaacuteticos de todos os tempos Gauss teve a estatura de Arquimedes e de Newton e seus campos de interesse excederam os de ambos Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemaacutetica e para a Teoria dos Nuacutemeros Seu pai era jardineiro e assistente de um co-merciante e enquanto crianccedila mostrou grande talento para a matemaacutetica Sua produccedilatildeo intelectual foi precoce existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a foacutermula da soma dos n primeiros termos de uma progressatildeo aritmeacutetica Diz a histoacuteria que sua professora primaacuteria para manter a classe ocupada lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100 tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilizaccedilatildeo da foacutermula da PA Sn = n(a1 + an) 2
Curva de Gauss
18
Objetivo
Como construir
Como jogar
Mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental Mas pode tambeacutem mostrar como se distribuem os dados em vaacuterias situaccedilotildees originadas de eventos mutuamente independentes A distribuiccedilatildeo de Gauss aparece frequentemente nas esta-tiacutesticas Experimentalmente processos aleatoacuterios independentes levam agrave distribuiccedilatildeo de Gauss ou a uma distribuiccedilatildeo normal
Em uma prancha onde se monta o arranjo de triacircngulos e as colunas pode ser de madeira polida pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas de acordo com a foto acima Os obstaacuteculos triangulares satildeo de madeira dura Podem tambeacutem ter a forma de hexaacutegonos Devem ser fixos na prancha As bolinhas de gude ou vidro Dependendo do tamanho de sua prancha podem ser necessaacuterias umas 100 bolinhas ou mais Seraacute neces-saacuterio ainda um funil plaacutestico por onde as bolinhas devem passar
Colocar as bolinhas com o auxilio do funil despejando-as aleatoriamente e verifi-que as figuras formadas dentro da prancha
Referecircnciashttpwwwwikipediacomhttpwwwsearaufcbrsugestoesfisicaespec4htmAulas de estatiacutestica 2ordm Sem 2007 Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues ndash FAAL
- Limeira SP
19
Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo
ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos
O Fatiacutedico 13
20
Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-
ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
21
Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5
(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro
ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-
ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo
Torre de Hanoacutei
22
Como jogar
Observaccedilotildees
Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor
1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento
2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos
3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos
4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
23
ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos
Jogo dos Palitos
Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos
24
Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo
Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
25
ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro
Tabuleiro Enigmaacutetico
26
Como construir
Como jogar
Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo
Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente
Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha
leva agrave peccedila
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
27
ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes
Pentaminoacutes
28
Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo
com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5
quadrados) em diferentes formas
Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as
peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com
a figura
Soluccedilatildeo
ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
29
SoacutelidosGeomeacutetricos
Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico
Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria
Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas
Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo
Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico
soacutelido geomeacutetricofigura plana
30
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo
Prismas
Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)
Faces (Laterais)
Base
Arestas(Encontro das Faces
31
A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide
O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais
Piracircmides
Base
Veacutertice Principal
Veacutertices
Arestas
Faces
32
Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo
Soacutelidos de revoluccedilatildeo
Aresta
Linha Geratriz
Figura Geradora
Eixo
Facey
Superfiacutecie Ciliacutendrica
Base Inferior
33
A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo
Esfera
x
y
Superfiacutecie Esfeacuterica
Centro da Esfera
Raio da Esfera
Diacircmetroda Esfera
34
O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta
Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior
Cone
Referecircncias
Figura Geradora
Veacutertice
Superfiacutecie Cocircnica
Base
x
yEixo
Aresta
1
Tangram
OrigemConta-se que um dia na China haacute 4000 anos o Imperador Tan partiu o seu espelho
quadrado quando o deixou cair ao chatildeo O espelho partiu-se em sete bocados Tan apesar de um pouco aborrecido com a perda do espelho descobriu uma forma de se entreter foi construindo figuras e mais figuras usando sempre as sete peccedilas sem as sobrepor Assim se pensa ter aparecido o conhecido puzzle chinecircsTangram Este puzzle tambeacutem conhecido pela ldquoplaca das sete astuacuteciasrdquo possibilita a construccedilatildeo de diversas figuras a partir de sete poliacutegonos muito simples
ObjetivoO objetivo pedagoacutegico do Tangram assim como qualquer outro quebra-cabeccedila eacute
desenvolver e aprimorar o raciociacutenio loacutegico e a criatividade atraveacutes de uma brincadeira muito divertida Atraveacutes da comparaccedilatildeo e mediccedilotildees de suas peccedilas podem ser explorados conceitos como periacutemetro aacuterea classificaccedilatildeo e semelhanccedila de triacircngulos aleacutem das pro-priedades dos quadrilaacuteteros que podem ser exploradas durante os recortes
2
1deg Passo Construir um quadrado a partir de uma folha de sulfite A4 medindo cerca de 20 cm de lado
2deg Passo Marque o veacutertice superior esquerdo com um quadradinho vermelho o superior direito com um quadradinho verde o veacutertice inferior esquerdo com um quadra-dinho amarelo e o veacutertice inferior direito com um quadradinho azul
3deg Passo Faccedila uma dobra unindo o quadradinho vermelho ao azul de modo a obter uma rasura que corresponda a uma ligaccedilatildeo entre o quadradinho verde e o amarelo Com a ajuda da reacutegua passe uma reta com o laacutepis formalizando a uniatildeo do quadradinho verde ao amarelo no qual originaraacute uma diagonal do quadrado maior
4deg Passo Agora faccedila a dobra unindo o quadradinho verde ao amarelo obtendo uma rasura que une o quadradinho vermelho ao azul posteriormente trace uma reta com o apoio da reacutegua e do laacutepis do quadradinho vermelho ateacute a diagonal formada na uniatildeo do quadradinho verde com o amarelo
5deg Passo Marque uma bolinha de cor preta no centro do quadrado Ela deveraacute coincidir com o ponto de encontro da reta traccedilada no 4deg passo com a diagonal obtida no 3deg passo
6deg Passo Agora encoste o quadradinho azul na bolinha preta de modo a obter uma rasura formando uma paralela inferior a diagonal Depois passe o laacutepis sobre a rasura ob-tida formando o triacircngulo meacutedio
7deg Passo Agora passe uma reta iniciando-a no centro do triacircngulo meacutedio feito no 6deg passo levando-a ateacute o centro da diagonal onde se encontra a bolinha preta Essa reta coincidiraacute com a rasura que teve origem no 4deg passo
8deg Passo Agora encoste o quadradinho amarelo na bolinha preta de modo a obter uma rasura com a dobra Faccedila uma reta com o laacutepis para definir a rasura dando origem assim a um triacircngulo pequeno e um quadrado
9deg Passo Finalmente faccedila uma bolinha alaranjada no veacutertice do triacircngulo meacutedio que se encontra no centro da reta que liga o quadradinho verde ao azul Depois encoste a bolinha alaranjada na bolinha preta Com a dobra realizada obteraacute uma rasura que forma-raacute um outro triacircngulo pequeno e um paralelogramo Recorte os traccedilos e estaacute pronto
Como construir
Haacute diversas maneiras de jogar com o Tangram A mais conhecida eacute a de montar um quadrado mas tambeacutem haacute como construir vaacuterias figuras tais como coelho gato casa pessoa outras figuras geomeacutetricas enfim atividade eacute o que natildeo falta com o Tangram
Como jogar
httpwwwcefetspbredugueratomat_cur_tangranhtmh t t p n e t e s c o l a p r g o v b r n e t e s c o l a e s c o l a 0 8 7 0 4 5 0 0 5
construC3A7C3A3o_de_tangranhtm
Referecircncias
3
Geoplano
ObjetivoO Geoplano eacute um recurso didaacutetico-pedagoacutegico dinacircmico e manipulaacutevel utilizado
para auxiliar professores no trabalho com figuras e formas geomeacutetricas planas e tem o objetivo de desenvolver o raciociacutenio loacutegico e a aprendizagem de vaacuterios ou quase todos os conceitos de geometria tais como o conceito de medida de veacutertice de aresta de lado de simetria aacuterea periacutemetro facilita o desenvolvimento das habilidades de exploraccedilatildeo espa-cial comparaccedilatildeo aleacutem de contribuir para exploraccedilatildeo de problemas geomeacutetricos e algeacutebri-cos possibilitando a afericcedilatildeo de conjecturas e podendo-se registrar o trabalho em papel ou reproduzi-lo em papel quadriculado
Como construirO Geoplano eacute um pedaccedilo de madeira de forma quadrada com vaacuterios pregos cra-
vados a meia altura formando um quadriculado A distacircncia entre os pregos cravados tanto na horizontal como na vertical tem de ser a mesma pois devem ser formados vaacuterios
4
Eacute um recurso pedagoacutegico mais usado para a construccedilatildeo de conhecimentos do que um jogo mas pode ser divertido usa-lo para a construccedilatildeo de figuras fazer desenhos mesmo como quadrado triacircngulo cubo vaacuterias figuras geomeacutetricas aleacutem de ser possiacutevel construir figuras como animais objetos ateacute paisagens depende muito da criatividade da pessoa envolvida em tal atividade
Como jogar
Referecircncias
BOLT Brian Divertimentos Matemaacuteticos Lisboa 1990BOLT Brian e HOBBS David 101 Problemas de Matemaacutetica Lisboa 1991RANCHAL Carmen Jaloacuten El geoplano actividades para el aula VII Jornadas Anda-
luzas de Educacioacuten Matemaacutetica ldquoThalesrdquo p 473-4861995MACHADO Rosa Maria Nuacutemeros a filosofia dos gregos que ainda sobrevive Dis-
sertaccedilatildeo de mestrado ndash FE - Unicamp 1993httpmathematikospsicoufrgsbrdisciplinasufrgsmat01039031webfoliosgi-
ganteoqueegeoplanohtmlhttpwwwcempemfaeunicampbrlapemmeccursosel6542001pedro_e_fa-
bioEL654geoplanogeoplanohtm
quadrados Eacute importante deixar claro que para a manipulaccedilatildeo do Geoplano eacute necessaacuterio utilizar-se de elaacutesticos do tipo para amarrar dinheiro de preferecircncia de cores variadas Existem vaacuterios tipos de Geoplano Oval Circular Trelissado mas o mais conhecido eacute o Geoplano Quadrado A seguir estatildeo os trecircs passos para auxiliar na construccedilatildeo de um Ge-oplano
1deg Passo cortar um pedaccedilo de madeira de modo a deixaacute-lo quadrado2deg Passo Com o auxilio de uma reacutegua e um laacutepis fazer vaacuterios riscos na vertical e
horizontal no pedaccedilo quadrangular da madeira formando um tipo de aacuterea quadriculada3deg Passo Cravar pregos nos ligamentos das linhas feitas com laacutepis verticais com
horizontais
5
OrigemA cidade alematilde de Koenisberg eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia A prefeitura do muni-
ciacutepio fica em uma de suas duas ilhas a de Kneiphof Todos os bairros estatildeo interligados por sete pontes A questatildeo eacute seraacute possiacutevel numa uacutenica caminhada passar por todas elas sem cruzar nenhuma mais de uma vez Para responder o matemaacutetico suiacuteccedilo Leonard Euler montou no seacuteculo XVIII um diagrama no qual cada arco representa uma ponte e cada ponto ou veacutertice uma margem Euler descobriu que eacute possiacutevel atravessar um diagrama e voltar ao ponto inicial se todos os seus veacutertices forem pares isto eacute se cada um deles esti-ver ligado a um nuacutemero par de arcos Ele tambeacutem concluiu que se houver no maacuteximo dois veacutertices iacutempares tambeacutem daacute para atravessaacute-lo mas sem regressar ao ponto de partida Em Koenisberg todos os quatro veacutertices satildeo iacutempares
Portanto a travessia eacute impossiacutevel Ao estabelecer os uacutenicos caminhos possiacuteveis para atravessar as sete pontes Euler descobriu que a anaacutelise sobre a possibilidade desse trajeto era invariaacutevel mesmo que a forma do terreno mudasse continuamente No seu diagrama ele reduziu toda uma cidade a um conjunto de pontos e arcos Cada margem virou apenas um uacutenico ponto No entanto as relaccedilotildees entre eles permaneceram inalteradas Este estu-
Ponte de Euler
6
Pegue o pedaccedilo de barbante e tente percorrer todas as portas lembrando que o barbante soacute pode passar uma vez por cada porta
Dica Comece por um cocircmodo com nuacutemero iacutempar de portas
A ponte pode ser construiacuteda com qualquer material desde que mantenha o de-senho das portas e suas posiccedilotildees conforme a figura acima Para auxiliar no percurso e tambeacutem na preservaccedilatildeo do jogo pode-se usar para as tentativas do caminho um pedaccedilo de barbante
Percorrer todas as portas apenas uma vez desenvolvendo o raciociacutenio loacutegico e o pensamento e conceito utilizados na tipografia
Como jogar
Como construir
Objetivo
Referecircnciaswwwmatucpt~almaescolaspontesptwikipediaorgwikiSete_pontes_de_Koumlnigsberg
do resultou no que hoje eacute chamado de Topologia Embora tenha nascido no seacuteculo XVIII a topologia continua sendo um objeto de estudos e ainda oferece poucas aplicaccedilotildees praacuteticas no dia-a-dia Uma delas estaacute no mundo das telecomunicaccedilotildees e da informaacutetica
Para montar redes globais de sateacutelites e computadores grandes empresas usam a topologia para interligar os caminhos em que suas informaccedilotildees trafegam Ela ajuda a estabelecer a melhor conexatildeo entre os pontos quando natildeo a uacutenica O mundo pode se deformar totalmente mas as redes de comunicaccedilatildeo que unem sua casa a qualquer outro lugar seratildeo sempre as mesmas
7
Trabalhar com os alunos contas de adiccedilatildeo e subtraccedilatildeo com nuacutemeros inteiros quem somar mais pontos em trecircs rodadas vence a partida
Objetivo
OrigemA cidade alematilde de Koenisberg eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia A prefeitura do municiacute-
pio fiDesenvolvido pelas alunas Bruna Yuri Otsuka Fabiane Gusicuma
Boliche Matemaacutetico
8
Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes
Nuacutemero de participantes Indeterminado
Como jogar
Material 12 Garrafas Pet Papel Colorido para encapar1 Bola para arremessar nas garrafasSepare 12 Garrafas Pet pequenas e as encape com papel colorido fazendo anota-
ccedilotildees nuacutemeros inteiros positivos e nuacutemeros inteiros negativos em um dos seus lados
Como construir
9
OrigemUma sugestatildeo para sua construccedilatildeo pode ser encontrada no livro de Matemaacutetica do
professor Imenes
ObjetivoTrabalhar a multiplicaccedilatildeo de dois nuacutemeros naturais sob o enfoque do raciociacutenio
combinatoacuterio no qual verificarmos quantas possibilidades existem de formar com duas coleccedilotildees
Copos Combinatoacuterios
10
Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes
Nuacutemero de participantes Indeterminado
Como jogar
Material3 copos plaacutesticosTiras de papeacuteis com diferentes coleccedilotildees (cores nuacutemeros objetos)Parafusos ou elaacutesticosFita adesiva transparenteColoque as tiras com a fita adesiva na borda superior externa dos copos encaixe
um dentro do outro com o parafuso ou o elaacutestico permitindo que os mesmos se movi-mentem
Como construir
ReferecircnciasAulas do 1ordm Sem LPM ndash FAAL ndash Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues
11
Gobangue
ObjetivoFormar no tabuleiro uma linha com cinco peccedilas adjacentes na horizontal ou na
vertical ou na diagonal onde a melhor estrateacutegia para ter mais chances de obter a vitoacuteria eacute a dissimulaccedilatildeo distrair o adversaacuterio fazendo algumas jogadas nas extremidades do tabu-leiro para ele natildeo perceber a sua jogada principal
Como construirUm tabuleiro (de Damas) 10 x 10 e 100 (cem) fichas sendo 50 pretas e 50 brancas
12
O participante que escolheu as 50 peccedilas pretas inicia o jogo cada jogador alterna-damente na sua vez coloca uma peccedila no tabuleiro procurando atingir o objetivo
Como jogar
ReferecircnciasLaboratoacuterio do Ensino da Matemaacutetica ndash UNG (Universidade de Guarulhos)
13
Jogo do Xsup2
OrigemJogo criado pelo aluno Wilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP
Como construirUm tabuleiro onde constam potecircncias (quadrados dos nuacutemeros 1 a 10) dispostas
nos lados de um quadrado ou nas linhas de um X 40 (quarenta) fichas (vinte na cor verde e vinte na cor marrom) e 3 (trecircs) dados (dois com faces numeradas de 1 a 5 e uma nula iden-tificada com a cor vermelha e um com trecircs faces com a indicaccedilatildeo X e trecircs faces com 1048709)
14
Cada participante na sua vez joga os trecircs dados adiciona os pontos obtidos nos dados numeacutericos eleva o resultado (soma) ao quadrado a potecircncia obtida seraacute marcada no tabuleiro com sua peccedila ou no X ou no 1048709 conforme a indicaccedilatildeo sorteada no terceirodado
Nota observar que os dados numeacutericos tecircm uma face nulaSe os dois dados numeacutericos indicarem no sorteio faces nulas o participante passa
a vez para o adversaacuterio Se a casa da potecircncia obtida jaacute estiver preenchida o jogador passa a vez para o adversaacuterio O participante que completar a figura X ou 1048709 com suas peccedilasvenceraacute o jogo
Como jogar
ReferecircnciasWilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP
15
OrigemO Jogo da Velha denominado Tic Tac Toe ou Nough and Crosses em Inglecircs eacute um
jogo simples e praacutetico que natildeo possui origem conhecida Todavia sua popularidade eacute in-ternacional desde a antiguidade Haacute registros de que o jogo existia na eacutepoca do Impeacuterio Romano mas natildeo haacute provas de que tenha sido criado pelos Romanos fato este que nos faz crer que o Jogo da Velha pode ser mais antigo do que se pensa
Uma soluccedilatildeo para melhorar o tradicional Jogo da Velha eacute passar da bidimensiona-lidade para a tridimensionalidade
ObjetivoEacute conseguir formar uma linha vertical horizontal ou diagonal de trecircs X ou O A di-
ficuldade todavia reside no aspecto de que o jogo se daacute por turnos o que o torna muito simples a tarefa de seu oponente travar suas jogadas marcando um dos quadrados conse-quumlentes aos seus
Jogo da Velha
16
Por ser demais conhecido dispensa o ensino de suas regras podendo ser jogado sobre um tabuleiro ou mesmo sendo riscado em um papel
Para construiacute-lo em folha de papel desenhe duas linhas horizontais e duas linhas verticais formando um tabuleiro onde seratildeo preenchidos com o X ou com o O
Para construiacute-lo na tridimensionalidade desenhar o tabuleiro em 3 placas de ma-deira fazer o lsquoXrsquo e o lsquoOrsquo de isopor e depois colocar os tabuleiros de uma forma que fiquem um sobre o outro aumentando o grau de dificuldade do jogo
Cada um dos jogadores que se enfrentam na disputa do jogo poderaacute marcar qual-quer um dos espaccedilos externos ou mesmo interno com um dos seus sinais X ou O sendo que nenhum dos jogadores poderaacute marcar um sinal igual ao do adversaacuterio Em suma cada jogador em turnos alternados deveraacute marcar um dos nove espaccedilos
Como construir
Como jogar
ReferecircnciashttpptwikipediaorgwikiJogo_da_velha
17
OrigemCarl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu ateacute 1855 Eacute considerado um dos maio-
res matemaacuteticos de todos os tempos Gauss teve a estatura de Arquimedes e de Newton e seus campos de interesse excederam os de ambos Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemaacutetica e para a Teoria dos Nuacutemeros Seu pai era jardineiro e assistente de um co-merciante e enquanto crianccedila mostrou grande talento para a matemaacutetica Sua produccedilatildeo intelectual foi precoce existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a foacutermula da soma dos n primeiros termos de uma progressatildeo aritmeacutetica Diz a histoacuteria que sua professora primaacuteria para manter a classe ocupada lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100 tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilizaccedilatildeo da foacutermula da PA Sn = n(a1 + an) 2
Curva de Gauss
18
Objetivo
Como construir
Como jogar
Mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental Mas pode tambeacutem mostrar como se distribuem os dados em vaacuterias situaccedilotildees originadas de eventos mutuamente independentes A distribuiccedilatildeo de Gauss aparece frequentemente nas esta-tiacutesticas Experimentalmente processos aleatoacuterios independentes levam agrave distribuiccedilatildeo de Gauss ou a uma distribuiccedilatildeo normal
Em uma prancha onde se monta o arranjo de triacircngulos e as colunas pode ser de madeira polida pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas de acordo com a foto acima Os obstaacuteculos triangulares satildeo de madeira dura Podem tambeacutem ter a forma de hexaacutegonos Devem ser fixos na prancha As bolinhas de gude ou vidro Dependendo do tamanho de sua prancha podem ser necessaacuterias umas 100 bolinhas ou mais Seraacute neces-saacuterio ainda um funil plaacutestico por onde as bolinhas devem passar
Colocar as bolinhas com o auxilio do funil despejando-as aleatoriamente e verifi-que as figuras formadas dentro da prancha
Referecircnciashttpwwwwikipediacomhttpwwwsearaufcbrsugestoesfisicaespec4htmAulas de estatiacutestica 2ordm Sem 2007 Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues ndash FAAL
- Limeira SP
19
Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo
ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos
O Fatiacutedico 13
20
Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-
ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
21
Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5
(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro
ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-
ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo
Torre de Hanoacutei
22
Como jogar
Observaccedilotildees
Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor
1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento
2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos
3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos
4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
23
ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos
Jogo dos Palitos
Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos
24
Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo
Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
25
ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro
Tabuleiro Enigmaacutetico
26
Como construir
Como jogar
Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo
Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente
Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha
leva agrave peccedila
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
27
ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes
Pentaminoacutes
28
Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo
com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5
quadrados) em diferentes formas
Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as
peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com
a figura
Soluccedilatildeo
ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
29
SoacutelidosGeomeacutetricos
Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico
Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria
Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas
Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo
Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico
soacutelido geomeacutetricofigura plana
30
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo
Prismas
Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)
Faces (Laterais)
Base
Arestas(Encontro das Faces
31
A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide
O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais
Piracircmides
Base
Veacutertice Principal
Veacutertices
Arestas
Faces
32
Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo
Soacutelidos de revoluccedilatildeo
Aresta
Linha Geratriz
Figura Geradora
Eixo
Facey
Superfiacutecie Ciliacutendrica
Base Inferior
33
A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo
Esfera
x
y
Superfiacutecie Esfeacuterica
Centro da Esfera
Raio da Esfera
Diacircmetroda Esfera
34
O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta
Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior
Cone
Referecircncias
Figura Geradora
Veacutertice
Superfiacutecie Cocircnica
Base
x
yEixo
Aresta
2
1deg Passo Construir um quadrado a partir de uma folha de sulfite A4 medindo cerca de 20 cm de lado
2deg Passo Marque o veacutertice superior esquerdo com um quadradinho vermelho o superior direito com um quadradinho verde o veacutertice inferior esquerdo com um quadra-dinho amarelo e o veacutertice inferior direito com um quadradinho azul
3deg Passo Faccedila uma dobra unindo o quadradinho vermelho ao azul de modo a obter uma rasura que corresponda a uma ligaccedilatildeo entre o quadradinho verde e o amarelo Com a ajuda da reacutegua passe uma reta com o laacutepis formalizando a uniatildeo do quadradinho verde ao amarelo no qual originaraacute uma diagonal do quadrado maior
4deg Passo Agora faccedila a dobra unindo o quadradinho verde ao amarelo obtendo uma rasura que une o quadradinho vermelho ao azul posteriormente trace uma reta com o apoio da reacutegua e do laacutepis do quadradinho vermelho ateacute a diagonal formada na uniatildeo do quadradinho verde com o amarelo
5deg Passo Marque uma bolinha de cor preta no centro do quadrado Ela deveraacute coincidir com o ponto de encontro da reta traccedilada no 4deg passo com a diagonal obtida no 3deg passo
6deg Passo Agora encoste o quadradinho azul na bolinha preta de modo a obter uma rasura formando uma paralela inferior a diagonal Depois passe o laacutepis sobre a rasura ob-tida formando o triacircngulo meacutedio
7deg Passo Agora passe uma reta iniciando-a no centro do triacircngulo meacutedio feito no 6deg passo levando-a ateacute o centro da diagonal onde se encontra a bolinha preta Essa reta coincidiraacute com a rasura que teve origem no 4deg passo
8deg Passo Agora encoste o quadradinho amarelo na bolinha preta de modo a obter uma rasura com a dobra Faccedila uma reta com o laacutepis para definir a rasura dando origem assim a um triacircngulo pequeno e um quadrado
9deg Passo Finalmente faccedila uma bolinha alaranjada no veacutertice do triacircngulo meacutedio que se encontra no centro da reta que liga o quadradinho verde ao azul Depois encoste a bolinha alaranjada na bolinha preta Com a dobra realizada obteraacute uma rasura que forma-raacute um outro triacircngulo pequeno e um paralelogramo Recorte os traccedilos e estaacute pronto
Como construir
Haacute diversas maneiras de jogar com o Tangram A mais conhecida eacute a de montar um quadrado mas tambeacutem haacute como construir vaacuterias figuras tais como coelho gato casa pessoa outras figuras geomeacutetricas enfim atividade eacute o que natildeo falta com o Tangram
Como jogar
httpwwwcefetspbredugueratomat_cur_tangranhtmh t t p n e t e s c o l a p r g o v b r n e t e s c o l a e s c o l a 0 8 7 0 4 5 0 0 5
construC3A7C3A3o_de_tangranhtm
Referecircncias
3
Geoplano
ObjetivoO Geoplano eacute um recurso didaacutetico-pedagoacutegico dinacircmico e manipulaacutevel utilizado
para auxiliar professores no trabalho com figuras e formas geomeacutetricas planas e tem o objetivo de desenvolver o raciociacutenio loacutegico e a aprendizagem de vaacuterios ou quase todos os conceitos de geometria tais como o conceito de medida de veacutertice de aresta de lado de simetria aacuterea periacutemetro facilita o desenvolvimento das habilidades de exploraccedilatildeo espa-cial comparaccedilatildeo aleacutem de contribuir para exploraccedilatildeo de problemas geomeacutetricos e algeacutebri-cos possibilitando a afericcedilatildeo de conjecturas e podendo-se registrar o trabalho em papel ou reproduzi-lo em papel quadriculado
Como construirO Geoplano eacute um pedaccedilo de madeira de forma quadrada com vaacuterios pregos cra-
vados a meia altura formando um quadriculado A distacircncia entre os pregos cravados tanto na horizontal como na vertical tem de ser a mesma pois devem ser formados vaacuterios
4
Eacute um recurso pedagoacutegico mais usado para a construccedilatildeo de conhecimentos do que um jogo mas pode ser divertido usa-lo para a construccedilatildeo de figuras fazer desenhos mesmo como quadrado triacircngulo cubo vaacuterias figuras geomeacutetricas aleacutem de ser possiacutevel construir figuras como animais objetos ateacute paisagens depende muito da criatividade da pessoa envolvida em tal atividade
Como jogar
Referecircncias
BOLT Brian Divertimentos Matemaacuteticos Lisboa 1990BOLT Brian e HOBBS David 101 Problemas de Matemaacutetica Lisboa 1991RANCHAL Carmen Jaloacuten El geoplano actividades para el aula VII Jornadas Anda-
luzas de Educacioacuten Matemaacutetica ldquoThalesrdquo p 473-4861995MACHADO Rosa Maria Nuacutemeros a filosofia dos gregos que ainda sobrevive Dis-
sertaccedilatildeo de mestrado ndash FE - Unicamp 1993httpmathematikospsicoufrgsbrdisciplinasufrgsmat01039031webfoliosgi-
ganteoqueegeoplanohtmlhttpwwwcempemfaeunicampbrlapemmeccursosel6542001pedro_e_fa-
bioEL654geoplanogeoplanohtm
quadrados Eacute importante deixar claro que para a manipulaccedilatildeo do Geoplano eacute necessaacuterio utilizar-se de elaacutesticos do tipo para amarrar dinheiro de preferecircncia de cores variadas Existem vaacuterios tipos de Geoplano Oval Circular Trelissado mas o mais conhecido eacute o Geoplano Quadrado A seguir estatildeo os trecircs passos para auxiliar na construccedilatildeo de um Ge-oplano
1deg Passo cortar um pedaccedilo de madeira de modo a deixaacute-lo quadrado2deg Passo Com o auxilio de uma reacutegua e um laacutepis fazer vaacuterios riscos na vertical e
horizontal no pedaccedilo quadrangular da madeira formando um tipo de aacuterea quadriculada3deg Passo Cravar pregos nos ligamentos das linhas feitas com laacutepis verticais com
horizontais
5
OrigemA cidade alematilde de Koenisberg eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia A prefeitura do muni-
ciacutepio fica em uma de suas duas ilhas a de Kneiphof Todos os bairros estatildeo interligados por sete pontes A questatildeo eacute seraacute possiacutevel numa uacutenica caminhada passar por todas elas sem cruzar nenhuma mais de uma vez Para responder o matemaacutetico suiacuteccedilo Leonard Euler montou no seacuteculo XVIII um diagrama no qual cada arco representa uma ponte e cada ponto ou veacutertice uma margem Euler descobriu que eacute possiacutevel atravessar um diagrama e voltar ao ponto inicial se todos os seus veacutertices forem pares isto eacute se cada um deles esti-ver ligado a um nuacutemero par de arcos Ele tambeacutem concluiu que se houver no maacuteximo dois veacutertices iacutempares tambeacutem daacute para atravessaacute-lo mas sem regressar ao ponto de partida Em Koenisberg todos os quatro veacutertices satildeo iacutempares
Portanto a travessia eacute impossiacutevel Ao estabelecer os uacutenicos caminhos possiacuteveis para atravessar as sete pontes Euler descobriu que a anaacutelise sobre a possibilidade desse trajeto era invariaacutevel mesmo que a forma do terreno mudasse continuamente No seu diagrama ele reduziu toda uma cidade a um conjunto de pontos e arcos Cada margem virou apenas um uacutenico ponto No entanto as relaccedilotildees entre eles permaneceram inalteradas Este estu-
Ponte de Euler
6
Pegue o pedaccedilo de barbante e tente percorrer todas as portas lembrando que o barbante soacute pode passar uma vez por cada porta
Dica Comece por um cocircmodo com nuacutemero iacutempar de portas
A ponte pode ser construiacuteda com qualquer material desde que mantenha o de-senho das portas e suas posiccedilotildees conforme a figura acima Para auxiliar no percurso e tambeacutem na preservaccedilatildeo do jogo pode-se usar para as tentativas do caminho um pedaccedilo de barbante
Percorrer todas as portas apenas uma vez desenvolvendo o raciociacutenio loacutegico e o pensamento e conceito utilizados na tipografia
Como jogar
Como construir
Objetivo
Referecircnciaswwwmatucpt~almaescolaspontesptwikipediaorgwikiSete_pontes_de_Koumlnigsberg
do resultou no que hoje eacute chamado de Topologia Embora tenha nascido no seacuteculo XVIII a topologia continua sendo um objeto de estudos e ainda oferece poucas aplicaccedilotildees praacuteticas no dia-a-dia Uma delas estaacute no mundo das telecomunicaccedilotildees e da informaacutetica
Para montar redes globais de sateacutelites e computadores grandes empresas usam a topologia para interligar os caminhos em que suas informaccedilotildees trafegam Ela ajuda a estabelecer a melhor conexatildeo entre os pontos quando natildeo a uacutenica O mundo pode se deformar totalmente mas as redes de comunicaccedilatildeo que unem sua casa a qualquer outro lugar seratildeo sempre as mesmas
7
Trabalhar com os alunos contas de adiccedilatildeo e subtraccedilatildeo com nuacutemeros inteiros quem somar mais pontos em trecircs rodadas vence a partida
Objetivo
OrigemA cidade alematilde de Koenisberg eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia A prefeitura do municiacute-
pio fiDesenvolvido pelas alunas Bruna Yuri Otsuka Fabiane Gusicuma
Boliche Matemaacutetico
8
Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes
Nuacutemero de participantes Indeterminado
Como jogar
Material 12 Garrafas Pet Papel Colorido para encapar1 Bola para arremessar nas garrafasSepare 12 Garrafas Pet pequenas e as encape com papel colorido fazendo anota-
ccedilotildees nuacutemeros inteiros positivos e nuacutemeros inteiros negativos em um dos seus lados
Como construir
9
OrigemUma sugestatildeo para sua construccedilatildeo pode ser encontrada no livro de Matemaacutetica do
professor Imenes
ObjetivoTrabalhar a multiplicaccedilatildeo de dois nuacutemeros naturais sob o enfoque do raciociacutenio
combinatoacuterio no qual verificarmos quantas possibilidades existem de formar com duas coleccedilotildees
Copos Combinatoacuterios
10
Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes
Nuacutemero de participantes Indeterminado
Como jogar
Material3 copos plaacutesticosTiras de papeacuteis com diferentes coleccedilotildees (cores nuacutemeros objetos)Parafusos ou elaacutesticosFita adesiva transparenteColoque as tiras com a fita adesiva na borda superior externa dos copos encaixe
um dentro do outro com o parafuso ou o elaacutestico permitindo que os mesmos se movi-mentem
Como construir
ReferecircnciasAulas do 1ordm Sem LPM ndash FAAL ndash Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues
11
Gobangue
ObjetivoFormar no tabuleiro uma linha com cinco peccedilas adjacentes na horizontal ou na
vertical ou na diagonal onde a melhor estrateacutegia para ter mais chances de obter a vitoacuteria eacute a dissimulaccedilatildeo distrair o adversaacuterio fazendo algumas jogadas nas extremidades do tabu-leiro para ele natildeo perceber a sua jogada principal
Como construirUm tabuleiro (de Damas) 10 x 10 e 100 (cem) fichas sendo 50 pretas e 50 brancas
12
O participante que escolheu as 50 peccedilas pretas inicia o jogo cada jogador alterna-damente na sua vez coloca uma peccedila no tabuleiro procurando atingir o objetivo
Como jogar
ReferecircnciasLaboratoacuterio do Ensino da Matemaacutetica ndash UNG (Universidade de Guarulhos)
13
Jogo do Xsup2
OrigemJogo criado pelo aluno Wilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP
Como construirUm tabuleiro onde constam potecircncias (quadrados dos nuacutemeros 1 a 10) dispostas
nos lados de um quadrado ou nas linhas de um X 40 (quarenta) fichas (vinte na cor verde e vinte na cor marrom) e 3 (trecircs) dados (dois com faces numeradas de 1 a 5 e uma nula iden-tificada com a cor vermelha e um com trecircs faces com a indicaccedilatildeo X e trecircs faces com 1048709)
14
Cada participante na sua vez joga os trecircs dados adiciona os pontos obtidos nos dados numeacutericos eleva o resultado (soma) ao quadrado a potecircncia obtida seraacute marcada no tabuleiro com sua peccedila ou no X ou no 1048709 conforme a indicaccedilatildeo sorteada no terceirodado
Nota observar que os dados numeacutericos tecircm uma face nulaSe os dois dados numeacutericos indicarem no sorteio faces nulas o participante passa
a vez para o adversaacuterio Se a casa da potecircncia obtida jaacute estiver preenchida o jogador passa a vez para o adversaacuterio O participante que completar a figura X ou 1048709 com suas peccedilasvenceraacute o jogo
Como jogar
ReferecircnciasWilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP
15
OrigemO Jogo da Velha denominado Tic Tac Toe ou Nough and Crosses em Inglecircs eacute um
jogo simples e praacutetico que natildeo possui origem conhecida Todavia sua popularidade eacute in-ternacional desde a antiguidade Haacute registros de que o jogo existia na eacutepoca do Impeacuterio Romano mas natildeo haacute provas de que tenha sido criado pelos Romanos fato este que nos faz crer que o Jogo da Velha pode ser mais antigo do que se pensa
Uma soluccedilatildeo para melhorar o tradicional Jogo da Velha eacute passar da bidimensiona-lidade para a tridimensionalidade
ObjetivoEacute conseguir formar uma linha vertical horizontal ou diagonal de trecircs X ou O A di-
ficuldade todavia reside no aspecto de que o jogo se daacute por turnos o que o torna muito simples a tarefa de seu oponente travar suas jogadas marcando um dos quadrados conse-quumlentes aos seus
Jogo da Velha
16
Por ser demais conhecido dispensa o ensino de suas regras podendo ser jogado sobre um tabuleiro ou mesmo sendo riscado em um papel
Para construiacute-lo em folha de papel desenhe duas linhas horizontais e duas linhas verticais formando um tabuleiro onde seratildeo preenchidos com o X ou com o O
Para construiacute-lo na tridimensionalidade desenhar o tabuleiro em 3 placas de ma-deira fazer o lsquoXrsquo e o lsquoOrsquo de isopor e depois colocar os tabuleiros de uma forma que fiquem um sobre o outro aumentando o grau de dificuldade do jogo
Cada um dos jogadores que se enfrentam na disputa do jogo poderaacute marcar qual-quer um dos espaccedilos externos ou mesmo interno com um dos seus sinais X ou O sendo que nenhum dos jogadores poderaacute marcar um sinal igual ao do adversaacuterio Em suma cada jogador em turnos alternados deveraacute marcar um dos nove espaccedilos
Como construir
Como jogar
ReferecircnciashttpptwikipediaorgwikiJogo_da_velha
17
OrigemCarl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu ateacute 1855 Eacute considerado um dos maio-
res matemaacuteticos de todos os tempos Gauss teve a estatura de Arquimedes e de Newton e seus campos de interesse excederam os de ambos Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemaacutetica e para a Teoria dos Nuacutemeros Seu pai era jardineiro e assistente de um co-merciante e enquanto crianccedila mostrou grande talento para a matemaacutetica Sua produccedilatildeo intelectual foi precoce existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a foacutermula da soma dos n primeiros termos de uma progressatildeo aritmeacutetica Diz a histoacuteria que sua professora primaacuteria para manter a classe ocupada lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100 tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilizaccedilatildeo da foacutermula da PA Sn = n(a1 + an) 2
Curva de Gauss
18
Objetivo
Como construir
Como jogar
Mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental Mas pode tambeacutem mostrar como se distribuem os dados em vaacuterias situaccedilotildees originadas de eventos mutuamente independentes A distribuiccedilatildeo de Gauss aparece frequentemente nas esta-tiacutesticas Experimentalmente processos aleatoacuterios independentes levam agrave distribuiccedilatildeo de Gauss ou a uma distribuiccedilatildeo normal
Em uma prancha onde se monta o arranjo de triacircngulos e as colunas pode ser de madeira polida pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas de acordo com a foto acima Os obstaacuteculos triangulares satildeo de madeira dura Podem tambeacutem ter a forma de hexaacutegonos Devem ser fixos na prancha As bolinhas de gude ou vidro Dependendo do tamanho de sua prancha podem ser necessaacuterias umas 100 bolinhas ou mais Seraacute neces-saacuterio ainda um funil plaacutestico por onde as bolinhas devem passar
Colocar as bolinhas com o auxilio do funil despejando-as aleatoriamente e verifi-que as figuras formadas dentro da prancha
Referecircnciashttpwwwwikipediacomhttpwwwsearaufcbrsugestoesfisicaespec4htmAulas de estatiacutestica 2ordm Sem 2007 Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues ndash FAAL
- Limeira SP
19
Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo
ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos
O Fatiacutedico 13
20
Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-
ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
21
Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5
(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro
ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-
ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo
Torre de Hanoacutei
22
Como jogar
Observaccedilotildees
Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor
1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento
2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos
3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos
4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
23
ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos
Jogo dos Palitos
Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos
24
Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo
Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
25
ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro
Tabuleiro Enigmaacutetico
26
Como construir
Como jogar
Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo
Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente
Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha
leva agrave peccedila
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
27
ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes
Pentaminoacutes
28
Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo
com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5
quadrados) em diferentes formas
Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as
peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com
a figura
Soluccedilatildeo
ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
29
SoacutelidosGeomeacutetricos
Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico
Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria
Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas
Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo
Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico
soacutelido geomeacutetricofigura plana
30
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo
Prismas
Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)
Faces (Laterais)
Base
Arestas(Encontro das Faces
31
A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide
O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais
Piracircmides
Base
Veacutertice Principal
Veacutertices
Arestas
Faces
32
Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo
Soacutelidos de revoluccedilatildeo
Aresta
Linha Geratriz
Figura Geradora
Eixo
Facey
Superfiacutecie Ciliacutendrica
Base Inferior
33
A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo
Esfera
x
y
Superfiacutecie Esfeacuterica
Centro da Esfera
Raio da Esfera
Diacircmetroda Esfera
34
O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta
Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior
Cone
Referecircncias
Figura Geradora
Veacutertice
Superfiacutecie Cocircnica
Base
x
yEixo
Aresta
3
Geoplano
ObjetivoO Geoplano eacute um recurso didaacutetico-pedagoacutegico dinacircmico e manipulaacutevel utilizado
para auxiliar professores no trabalho com figuras e formas geomeacutetricas planas e tem o objetivo de desenvolver o raciociacutenio loacutegico e a aprendizagem de vaacuterios ou quase todos os conceitos de geometria tais como o conceito de medida de veacutertice de aresta de lado de simetria aacuterea periacutemetro facilita o desenvolvimento das habilidades de exploraccedilatildeo espa-cial comparaccedilatildeo aleacutem de contribuir para exploraccedilatildeo de problemas geomeacutetricos e algeacutebri-cos possibilitando a afericcedilatildeo de conjecturas e podendo-se registrar o trabalho em papel ou reproduzi-lo em papel quadriculado
Como construirO Geoplano eacute um pedaccedilo de madeira de forma quadrada com vaacuterios pregos cra-
vados a meia altura formando um quadriculado A distacircncia entre os pregos cravados tanto na horizontal como na vertical tem de ser a mesma pois devem ser formados vaacuterios
4
Eacute um recurso pedagoacutegico mais usado para a construccedilatildeo de conhecimentos do que um jogo mas pode ser divertido usa-lo para a construccedilatildeo de figuras fazer desenhos mesmo como quadrado triacircngulo cubo vaacuterias figuras geomeacutetricas aleacutem de ser possiacutevel construir figuras como animais objetos ateacute paisagens depende muito da criatividade da pessoa envolvida em tal atividade
Como jogar
Referecircncias
BOLT Brian Divertimentos Matemaacuteticos Lisboa 1990BOLT Brian e HOBBS David 101 Problemas de Matemaacutetica Lisboa 1991RANCHAL Carmen Jaloacuten El geoplano actividades para el aula VII Jornadas Anda-
luzas de Educacioacuten Matemaacutetica ldquoThalesrdquo p 473-4861995MACHADO Rosa Maria Nuacutemeros a filosofia dos gregos que ainda sobrevive Dis-
sertaccedilatildeo de mestrado ndash FE - Unicamp 1993httpmathematikospsicoufrgsbrdisciplinasufrgsmat01039031webfoliosgi-
ganteoqueegeoplanohtmlhttpwwwcempemfaeunicampbrlapemmeccursosel6542001pedro_e_fa-
bioEL654geoplanogeoplanohtm
quadrados Eacute importante deixar claro que para a manipulaccedilatildeo do Geoplano eacute necessaacuterio utilizar-se de elaacutesticos do tipo para amarrar dinheiro de preferecircncia de cores variadas Existem vaacuterios tipos de Geoplano Oval Circular Trelissado mas o mais conhecido eacute o Geoplano Quadrado A seguir estatildeo os trecircs passos para auxiliar na construccedilatildeo de um Ge-oplano
1deg Passo cortar um pedaccedilo de madeira de modo a deixaacute-lo quadrado2deg Passo Com o auxilio de uma reacutegua e um laacutepis fazer vaacuterios riscos na vertical e
horizontal no pedaccedilo quadrangular da madeira formando um tipo de aacuterea quadriculada3deg Passo Cravar pregos nos ligamentos das linhas feitas com laacutepis verticais com
horizontais
5
OrigemA cidade alematilde de Koenisberg eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia A prefeitura do muni-
ciacutepio fica em uma de suas duas ilhas a de Kneiphof Todos os bairros estatildeo interligados por sete pontes A questatildeo eacute seraacute possiacutevel numa uacutenica caminhada passar por todas elas sem cruzar nenhuma mais de uma vez Para responder o matemaacutetico suiacuteccedilo Leonard Euler montou no seacuteculo XVIII um diagrama no qual cada arco representa uma ponte e cada ponto ou veacutertice uma margem Euler descobriu que eacute possiacutevel atravessar um diagrama e voltar ao ponto inicial se todos os seus veacutertices forem pares isto eacute se cada um deles esti-ver ligado a um nuacutemero par de arcos Ele tambeacutem concluiu que se houver no maacuteximo dois veacutertices iacutempares tambeacutem daacute para atravessaacute-lo mas sem regressar ao ponto de partida Em Koenisberg todos os quatro veacutertices satildeo iacutempares
Portanto a travessia eacute impossiacutevel Ao estabelecer os uacutenicos caminhos possiacuteveis para atravessar as sete pontes Euler descobriu que a anaacutelise sobre a possibilidade desse trajeto era invariaacutevel mesmo que a forma do terreno mudasse continuamente No seu diagrama ele reduziu toda uma cidade a um conjunto de pontos e arcos Cada margem virou apenas um uacutenico ponto No entanto as relaccedilotildees entre eles permaneceram inalteradas Este estu-
Ponte de Euler
6
Pegue o pedaccedilo de barbante e tente percorrer todas as portas lembrando que o barbante soacute pode passar uma vez por cada porta
Dica Comece por um cocircmodo com nuacutemero iacutempar de portas
A ponte pode ser construiacuteda com qualquer material desde que mantenha o de-senho das portas e suas posiccedilotildees conforme a figura acima Para auxiliar no percurso e tambeacutem na preservaccedilatildeo do jogo pode-se usar para as tentativas do caminho um pedaccedilo de barbante
Percorrer todas as portas apenas uma vez desenvolvendo o raciociacutenio loacutegico e o pensamento e conceito utilizados na tipografia
Como jogar
Como construir
Objetivo
Referecircnciaswwwmatucpt~almaescolaspontesptwikipediaorgwikiSete_pontes_de_Koumlnigsberg
do resultou no que hoje eacute chamado de Topologia Embora tenha nascido no seacuteculo XVIII a topologia continua sendo um objeto de estudos e ainda oferece poucas aplicaccedilotildees praacuteticas no dia-a-dia Uma delas estaacute no mundo das telecomunicaccedilotildees e da informaacutetica
Para montar redes globais de sateacutelites e computadores grandes empresas usam a topologia para interligar os caminhos em que suas informaccedilotildees trafegam Ela ajuda a estabelecer a melhor conexatildeo entre os pontos quando natildeo a uacutenica O mundo pode se deformar totalmente mas as redes de comunicaccedilatildeo que unem sua casa a qualquer outro lugar seratildeo sempre as mesmas
7
Trabalhar com os alunos contas de adiccedilatildeo e subtraccedilatildeo com nuacutemeros inteiros quem somar mais pontos em trecircs rodadas vence a partida
Objetivo
OrigemA cidade alematilde de Koenisberg eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia A prefeitura do municiacute-
pio fiDesenvolvido pelas alunas Bruna Yuri Otsuka Fabiane Gusicuma
Boliche Matemaacutetico
8
Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes
Nuacutemero de participantes Indeterminado
Como jogar
Material 12 Garrafas Pet Papel Colorido para encapar1 Bola para arremessar nas garrafasSepare 12 Garrafas Pet pequenas e as encape com papel colorido fazendo anota-
ccedilotildees nuacutemeros inteiros positivos e nuacutemeros inteiros negativos em um dos seus lados
Como construir
9
OrigemUma sugestatildeo para sua construccedilatildeo pode ser encontrada no livro de Matemaacutetica do
professor Imenes
ObjetivoTrabalhar a multiplicaccedilatildeo de dois nuacutemeros naturais sob o enfoque do raciociacutenio
combinatoacuterio no qual verificarmos quantas possibilidades existem de formar com duas coleccedilotildees
Copos Combinatoacuterios
10
Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes
Nuacutemero de participantes Indeterminado
Como jogar
Material3 copos plaacutesticosTiras de papeacuteis com diferentes coleccedilotildees (cores nuacutemeros objetos)Parafusos ou elaacutesticosFita adesiva transparenteColoque as tiras com a fita adesiva na borda superior externa dos copos encaixe
um dentro do outro com o parafuso ou o elaacutestico permitindo que os mesmos se movi-mentem
Como construir
ReferecircnciasAulas do 1ordm Sem LPM ndash FAAL ndash Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues
11
Gobangue
ObjetivoFormar no tabuleiro uma linha com cinco peccedilas adjacentes na horizontal ou na
vertical ou na diagonal onde a melhor estrateacutegia para ter mais chances de obter a vitoacuteria eacute a dissimulaccedilatildeo distrair o adversaacuterio fazendo algumas jogadas nas extremidades do tabu-leiro para ele natildeo perceber a sua jogada principal
Como construirUm tabuleiro (de Damas) 10 x 10 e 100 (cem) fichas sendo 50 pretas e 50 brancas
12
O participante que escolheu as 50 peccedilas pretas inicia o jogo cada jogador alterna-damente na sua vez coloca uma peccedila no tabuleiro procurando atingir o objetivo
Como jogar
ReferecircnciasLaboratoacuterio do Ensino da Matemaacutetica ndash UNG (Universidade de Guarulhos)
13
Jogo do Xsup2
OrigemJogo criado pelo aluno Wilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP
Como construirUm tabuleiro onde constam potecircncias (quadrados dos nuacutemeros 1 a 10) dispostas
nos lados de um quadrado ou nas linhas de um X 40 (quarenta) fichas (vinte na cor verde e vinte na cor marrom) e 3 (trecircs) dados (dois com faces numeradas de 1 a 5 e uma nula iden-tificada com a cor vermelha e um com trecircs faces com a indicaccedilatildeo X e trecircs faces com 1048709)
14
Cada participante na sua vez joga os trecircs dados adiciona os pontos obtidos nos dados numeacutericos eleva o resultado (soma) ao quadrado a potecircncia obtida seraacute marcada no tabuleiro com sua peccedila ou no X ou no 1048709 conforme a indicaccedilatildeo sorteada no terceirodado
Nota observar que os dados numeacutericos tecircm uma face nulaSe os dois dados numeacutericos indicarem no sorteio faces nulas o participante passa
a vez para o adversaacuterio Se a casa da potecircncia obtida jaacute estiver preenchida o jogador passa a vez para o adversaacuterio O participante que completar a figura X ou 1048709 com suas peccedilasvenceraacute o jogo
Como jogar
ReferecircnciasWilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP
15
OrigemO Jogo da Velha denominado Tic Tac Toe ou Nough and Crosses em Inglecircs eacute um
jogo simples e praacutetico que natildeo possui origem conhecida Todavia sua popularidade eacute in-ternacional desde a antiguidade Haacute registros de que o jogo existia na eacutepoca do Impeacuterio Romano mas natildeo haacute provas de que tenha sido criado pelos Romanos fato este que nos faz crer que o Jogo da Velha pode ser mais antigo do que se pensa
Uma soluccedilatildeo para melhorar o tradicional Jogo da Velha eacute passar da bidimensiona-lidade para a tridimensionalidade
ObjetivoEacute conseguir formar uma linha vertical horizontal ou diagonal de trecircs X ou O A di-
ficuldade todavia reside no aspecto de que o jogo se daacute por turnos o que o torna muito simples a tarefa de seu oponente travar suas jogadas marcando um dos quadrados conse-quumlentes aos seus
Jogo da Velha
16
Por ser demais conhecido dispensa o ensino de suas regras podendo ser jogado sobre um tabuleiro ou mesmo sendo riscado em um papel
Para construiacute-lo em folha de papel desenhe duas linhas horizontais e duas linhas verticais formando um tabuleiro onde seratildeo preenchidos com o X ou com o O
Para construiacute-lo na tridimensionalidade desenhar o tabuleiro em 3 placas de ma-deira fazer o lsquoXrsquo e o lsquoOrsquo de isopor e depois colocar os tabuleiros de uma forma que fiquem um sobre o outro aumentando o grau de dificuldade do jogo
Cada um dos jogadores que se enfrentam na disputa do jogo poderaacute marcar qual-quer um dos espaccedilos externos ou mesmo interno com um dos seus sinais X ou O sendo que nenhum dos jogadores poderaacute marcar um sinal igual ao do adversaacuterio Em suma cada jogador em turnos alternados deveraacute marcar um dos nove espaccedilos
Como construir
Como jogar
ReferecircnciashttpptwikipediaorgwikiJogo_da_velha
17
OrigemCarl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu ateacute 1855 Eacute considerado um dos maio-
res matemaacuteticos de todos os tempos Gauss teve a estatura de Arquimedes e de Newton e seus campos de interesse excederam os de ambos Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemaacutetica e para a Teoria dos Nuacutemeros Seu pai era jardineiro e assistente de um co-merciante e enquanto crianccedila mostrou grande talento para a matemaacutetica Sua produccedilatildeo intelectual foi precoce existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a foacutermula da soma dos n primeiros termos de uma progressatildeo aritmeacutetica Diz a histoacuteria que sua professora primaacuteria para manter a classe ocupada lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100 tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilizaccedilatildeo da foacutermula da PA Sn = n(a1 + an) 2
Curva de Gauss
18
Objetivo
Como construir
Como jogar
Mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental Mas pode tambeacutem mostrar como se distribuem os dados em vaacuterias situaccedilotildees originadas de eventos mutuamente independentes A distribuiccedilatildeo de Gauss aparece frequentemente nas esta-tiacutesticas Experimentalmente processos aleatoacuterios independentes levam agrave distribuiccedilatildeo de Gauss ou a uma distribuiccedilatildeo normal
Em uma prancha onde se monta o arranjo de triacircngulos e as colunas pode ser de madeira polida pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas de acordo com a foto acima Os obstaacuteculos triangulares satildeo de madeira dura Podem tambeacutem ter a forma de hexaacutegonos Devem ser fixos na prancha As bolinhas de gude ou vidro Dependendo do tamanho de sua prancha podem ser necessaacuterias umas 100 bolinhas ou mais Seraacute neces-saacuterio ainda um funil plaacutestico por onde as bolinhas devem passar
Colocar as bolinhas com o auxilio do funil despejando-as aleatoriamente e verifi-que as figuras formadas dentro da prancha
Referecircnciashttpwwwwikipediacomhttpwwwsearaufcbrsugestoesfisicaespec4htmAulas de estatiacutestica 2ordm Sem 2007 Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues ndash FAAL
- Limeira SP
19
Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo
ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos
O Fatiacutedico 13
20
Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-
ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
21
Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5
(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro
ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-
ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo
Torre de Hanoacutei
22
Como jogar
Observaccedilotildees
Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor
1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento
2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos
3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos
4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
23
ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos
Jogo dos Palitos
Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos
24
Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo
Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
25
ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro
Tabuleiro Enigmaacutetico
26
Como construir
Como jogar
Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo
Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente
Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha
leva agrave peccedila
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
27
ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes
Pentaminoacutes
28
Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo
com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5
quadrados) em diferentes formas
Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as
peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com
a figura
Soluccedilatildeo
ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
29
SoacutelidosGeomeacutetricos
Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico
Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria
Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas
Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo
Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico
soacutelido geomeacutetricofigura plana
30
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo
Prismas
Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)
Faces (Laterais)
Base
Arestas(Encontro das Faces
31
A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide
O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais
Piracircmides
Base
Veacutertice Principal
Veacutertices
Arestas
Faces
32
Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo
Soacutelidos de revoluccedilatildeo
Aresta
Linha Geratriz
Figura Geradora
Eixo
Facey
Superfiacutecie Ciliacutendrica
Base Inferior
33
A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo
Esfera
x
y
Superfiacutecie Esfeacuterica
Centro da Esfera
Raio da Esfera
Diacircmetroda Esfera
34
O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta
Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior
Cone
Referecircncias
Figura Geradora
Veacutertice
Superfiacutecie Cocircnica
Base
x
yEixo
Aresta
4
Eacute um recurso pedagoacutegico mais usado para a construccedilatildeo de conhecimentos do que um jogo mas pode ser divertido usa-lo para a construccedilatildeo de figuras fazer desenhos mesmo como quadrado triacircngulo cubo vaacuterias figuras geomeacutetricas aleacutem de ser possiacutevel construir figuras como animais objetos ateacute paisagens depende muito da criatividade da pessoa envolvida em tal atividade
Como jogar
Referecircncias
BOLT Brian Divertimentos Matemaacuteticos Lisboa 1990BOLT Brian e HOBBS David 101 Problemas de Matemaacutetica Lisboa 1991RANCHAL Carmen Jaloacuten El geoplano actividades para el aula VII Jornadas Anda-
luzas de Educacioacuten Matemaacutetica ldquoThalesrdquo p 473-4861995MACHADO Rosa Maria Nuacutemeros a filosofia dos gregos que ainda sobrevive Dis-
sertaccedilatildeo de mestrado ndash FE - Unicamp 1993httpmathematikospsicoufrgsbrdisciplinasufrgsmat01039031webfoliosgi-
ganteoqueegeoplanohtmlhttpwwwcempemfaeunicampbrlapemmeccursosel6542001pedro_e_fa-
bioEL654geoplanogeoplanohtm
quadrados Eacute importante deixar claro que para a manipulaccedilatildeo do Geoplano eacute necessaacuterio utilizar-se de elaacutesticos do tipo para amarrar dinheiro de preferecircncia de cores variadas Existem vaacuterios tipos de Geoplano Oval Circular Trelissado mas o mais conhecido eacute o Geoplano Quadrado A seguir estatildeo os trecircs passos para auxiliar na construccedilatildeo de um Ge-oplano
1deg Passo cortar um pedaccedilo de madeira de modo a deixaacute-lo quadrado2deg Passo Com o auxilio de uma reacutegua e um laacutepis fazer vaacuterios riscos na vertical e
horizontal no pedaccedilo quadrangular da madeira formando um tipo de aacuterea quadriculada3deg Passo Cravar pregos nos ligamentos das linhas feitas com laacutepis verticais com
horizontais
5
OrigemA cidade alematilde de Koenisberg eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia A prefeitura do muni-
ciacutepio fica em uma de suas duas ilhas a de Kneiphof Todos os bairros estatildeo interligados por sete pontes A questatildeo eacute seraacute possiacutevel numa uacutenica caminhada passar por todas elas sem cruzar nenhuma mais de uma vez Para responder o matemaacutetico suiacuteccedilo Leonard Euler montou no seacuteculo XVIII um diagrama no qual cada arco representa uma ponte e cada ponto ou veacutertice uma margem Euler descobriu que eacute possiacutevel atravessar um diagrama e voltar ao ponto inicial se todos os seus veacutertices forem pares isto eacute se cada um deles esti-ver ligado a um nuacutemero par de arcos Ele tambeacutem concluiu que se houver no maacuteximo dois veacutertices iacutempares tambeacutem daacute para atravessaacute-lo mas sem regressar ao ponto de partida Em Koenisberg todos os quatro veacutertices satildeo iacutempares
Portanto a travessia eacute impossiacutevel Ao estabelecer os uacutenicos caminhos possiacuteveis para atravessar as sete pontes Euler descobriu que a anaacutelise sobre a possibilidade desse trajeto era invariaacutevel mesmo que a forma do terreno mudasse continuamente No seu diagrama ele reduziu toda uma cidade a um conjunto de pontos e arcos Cada margem virou apenas um uacutenico ponto No entanto as relaccedilotildees entre eles permaneceram inalteradas Este estu-
Ponte de Euler
6
Pegue o pedaccedilo de barbante e tente percorrer todas as portas lembrando que o barbante soacute pode passar uma vez por cada porta
Dica Comece por um cocircmodo com nuacutemero iacutempar de portas
A ponte pode ser construiacuteda com qualquer material desde que mantenha o de-senho das portas e suas posiccedilotildees conforme a figura acima Para auxiliar no percurso e tambeacutem na preservaccedilatildeo do jogo pode-se usar para as tentativas do caminho um pedaccedilo de barbante
Percorrer todas as portas apenas uma vez desenvolvendo o raciociacutenio loacutegico e o pensamento e conceito utilizados na tipografia
Como jogar
Como construir
Objetivo
Referecircnciaswwwmatucpt~almaescolaspontesptwikipediaorgwikiSete_pontes_de_Koumlnigsberg
do resultou no que hoje eacute chamado de Topologia Embora tenha nascido no seacuteculo XVIII a topologia continua sendo um objeto de estudos e ainda oferece poucas aplicaccedilotildees praacuteticas no dia-a-dia Uma delas estaacute no mundo das telecomunicaccedilotildees e da informaacutetica
Para montar redes globais de sateacutelites e computadores grandes empresas usam a topologia para interligar os caminhos em que suas informaccedilotildees trafegam Ela ajuda a estabelecer a melhor conexatildeo entre os pontos quando natildeo a uacutenica O mundo pode se deformar totalmente mas as redes de comunicaccedilatildeo que unem sua casa a qualquer outro lugar seratildeo sempre as mesmas
7
Trabalhar com os alunos contas de adiccedilatildeo e subtraccedilatildeo com nuacutemeros inteiros quem somar mais pontos em trecircs rodadas vence a partida
Objetivo
OrigemA cidade alematilde de Koenisberg eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia A prefeitura do municiacute-
pio fiDesenvolvido pelas alunas Bruna Yuri Otsuka Fabiane Gusicuma
Boliche Matemaacutetico
8
Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes
Nuacutemero de participantes Indeterminado
Como jogar
Material 12 Garrafas Pet Papel Colorido para encapar1 Bola para arremessar nas garrafasSepare 12 Garrafas Pet pequenas e as encape com papel colorido fazendo anota-
ccedilotildees nuacutemeros inteiros positivos e nuacutemeros inteiros negativos em um dos seus lados
Como construir
9
OrigemUma sugestatildeo para sua construccedilatildeo pode ser encontrada no livro de Matemaacutetica do
professor Imenes
ObjetivoTrabalhar a multiplicaccedilatildeo de dois nuacutemeros naturais sob o enfoque do raciociacutenio
combinatoacuterio no qual verificarmos quantas possibilidades existem de formar com duas coleccedilotildees
Copos Combinatoacuterios
10
Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes
Nuacutemero de participantes Indeterminado
Como jogar
Material3 copos plaacutesticosTiras de papeacuteis com diferentes coleccedilotildees (cores nuacutemeros objetos)Parafusos ou elaacutesticosFita adesiva transparenteColoque as tiras com a fita adesiva na borda superior externa dos copos encaixe
um dentro do outro com o parafuso ou o elaacutestico permitindo que os mesmos se movi-mentem
Como construir
ReferecircnciasAulas do 1ordm Sem LPM ndash FAAL ndash Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues
11
Gobangue
ObjetivoFormar no tabuleiro uma linha com cinco peccedilas adjacentes na horizontal ou na
vertical ou na diagonal onde a melhor estrateacutegia para ter mais chances de obter a vitoacuteria eacute a dissimulaccedilatildeo distrair o adversaacuterio fazendo algumas jogadas nas extremidades do tabu-leiro para ele natildeo perceber a sua jogada principal
Como construirUm tabuleiro (de Damas) 10 x 10 e 100 (cem) fichas sendo 50 pretas e 50 brancas
12
O participante que escolheu as 50 peccedilas pretas inicia o jogo cada jogador alterna-damente na sua vez coloca uma peccedila no tabuleiro procurando atingir o objetivo
Como jogar
ReferecircnciasLaboratoacuterio do Ensino da Matemaacutetica ndash UNG (Universidade de Guarulhos)
13
Jogo do Xsup2
OrigemJogo criado pelo aluno Wilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP
Como construirUm tabuleiro onde constam potecircncias (quadrados dos nuacutemeros 1 a 10) dispostas
nos lados de um quadrado ou nas linhas de um X 40 (quarenta) fichas (vinte na cor verde e vinte na cor marrom) e 3 (trecircs) dados (dois com faces numeradas de 1 a 5 e uma nula iden-tificada com a cor vermelha e um com trecircs faces com a indicaccedilatildeo X e trecircs faces com 1048709)
14
Cada participante na sua vez joga os trecircs dados adiciona os pontos obtidos nos dados numeacutericos eleva o resultado (soma) ao quadrado a potecircncia obtida seraacute marcada no tabuleiro com sua peccedila ou no X ou no 1048709 conforme a indicaccedilatildeo sorteada no terceirodado
Nota observar que os dados numeacutericos tecircm uma face nulaSe os dois dados numeacutericos indicarem no sorteio faces nulas o participante passa
a vez para o adversaacuterio Se a casa da potecircncia obtida jaacute estiver preenchida o jogador passa a vez para o adversaacuterio O participante que completar a figura X ou 1048709 com suas peccedilasvenceraacute o jogo
Como jogar
ReferecircnciasWilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP
15
OrigemO Jogo da Velha denominado Tic Tac Toe ou Nough and Crosses em Inglecircs eacute um
jogo simples e praacutetico que natildeo possui origem conhecida Todavia sua popularidade eacute in-ternacional desde a antiguidade Haacute registros de que o jogo existia na eacutepoca do Impeacuterio Romano mas natildeo haacute provas de que tenha sido criado pelos Romanos fato este que nos faz crer que o Jogo da Velha pode ser mais antigo do que se pensa
Uma soluccedilatildeo para melhorar o tradicional Jogo da Velha eacute passar da bidimensiona-lidade para a tridimensionalidade
ObjetivoEacute conseguir formar uma linha vertical horizontal ou diagonal de trecircs X ou O A di-
ficuldade todavia reside no aspecto de que o jogo se daacute por turnos o que o torna muito simples a tarefa de seu oponente travar suas jogadas marcando um dos quadrados conse-quumlentes aos seus
Jogo da Velha
16
Por ser demais conhecido dispensa o ensino de suas regras podendo ser jogado sobre um tabuleiro ou mesmo sendo riscado em um papel
Para construiacute-lo em folha de papel desenhe duas linhas horizontais e duas linhas verticais formando um tabuleiro onde seratildeo preenchidos com o X ou com o O
Para construiacute-lo na tridimensionalidade desenhar o tabuleiro em 3 placas de ma-deira fazer o lsquoXrsquo e o lsquoOrsquo de isopor e depois colocar os tabuleiros de uma forma que fiquem um sobre o outro aumentando o grau de dificuldade do jogo
Cada um dos jogadores que se enfrentam na disputa do jogo poderaacute marcar qual-quer um dos espaccedilos externos ou mesmo interno com um dos seus sinais X ou O sendo que nenhum dos jogadores poderaacute marcar um sinal igual ao do adversaacuterio Em suma cada jogador em turnos alternados deveraacute marcar um dos nove espaccedilos
Como construir
Como jogar
ReferecircnciashttpptwikipediaorgwikiJogo_da_velha
17
OrigemCarl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu ateacute 1855 Eacute considerado um dos maio-
res matemaacuteticos de todos os tempos Gauss teve a estatura de Arquimedes e de Newton e seus campos de interesse excederam os de ambos Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemaacutetica e para a Teoria dos Nuacutemeros Seu pai era jardineiro e assistente de um co-merciante e enquanto crianccedila mostrou grande talento para a matemaacutetica Sua produccedilatildeo intelectual foi precoce existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a foacutermula da soma dos n primeiros termos de uma progressatildeo aritmeacutetica Diz a histoacuteria que sua professora primaacuteria para manter a classe ocupada lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100 tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilizaccedilatildeo da foacutermula da PA Sn = n(a1 + an) 2
Curva de Gauss
18
Objetivo
Como construir
Como jogar
Mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental Mas pode tambeacutem mostrar como se distribuem os dados em vaacuterias situaccedilotildees originadas de eventos mutuamente independentes A distribuiccedilatildeo de Gauss aparece frequentemente nas esta-tiacutesticas Experimentalmente processos aleatoacuterios independentes levam agrave distribuiccedilatildeo de Gauss ou a uma distribuiccedilatildeo normal
Em uma prancha onde se monta o arranjo de triacircngulos e as colunas pode ser de madeira polida pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas de acordo com a foto acima Os obstaacuteculos triangulares satildeo de madeira dura Podem tambeacutem ter a forma de hexaacutegonos Devem ser fixos na prancha As bolinhas de gude ou vidro Dependendo do tamanho de sua prancha podem ser necessaacuterias umas 100 bolinhas ou mais Seraacute neces-saacuterio ainda um funil plaacutestico por onde as bolinhas devem passar
Colocar as bolinhas com o auxilio do funil despejando-as aleatoriamente e verifi-que as figuras formadas dentro da prancha
Referecircnciashttpwwwwikipediacomhttpwwwsearaufcbrsugestoesfisicaespec4htmAulas de estatiacutestica 2ordm Sem 2007 Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues ndash FAAL
- Limeira SP
19
Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo
ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos
O Fatiacutedico 13
20
Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-
ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
21
Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5
(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro
ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-
ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo
Torre de Hanoacutei
22
Como jogar
Observaccedilotildees
Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor
1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento
2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos
3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos
4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
23
ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos
Jogo dos Palitos
Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos
24
Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo
Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
25
ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro
Tabuleiro Enigmaacutetico
26
Como construir
Como jogar
Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo
Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente
Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha
leva agrave peccedila
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
27
ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes
Pentaminoacutes
28
Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo
com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5
quadrados) em diferentes formas
Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as
peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com
a figura
Soluccedilatildeo
ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
29
SoacutelidosGeomeacutetricos
Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico
Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria
Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas
Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo
Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico
soacutelido geomeacutetricofigura plana
30
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo
Prismas
Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)
Faces (Laterais)
Base
Arestas(Encontro das Faces
31
A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide
O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais
Piracircmides
Base
Veacutertice Principal
Veacutertices
Arestas
Faces
32
Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo
Soacutelidos de revoluccedilatildeo
Aresta
Linha Geratriz
Figura Geradora
Eixo
Facey
Superfiacutecie Ciliacutendrica
Base Inferior
33
A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo
Esfera
x
y
Superfiacutecie Esfeacuterica
Centro da Esfera
Raio da Esfera
Diacircmetroda Esfera
34
O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta
Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior
Cone
Referecircncias
Figura Geradora
Veacutertice
Superfiacutecie Cocircnica
Base
x
yEixo
Aresta
5
OrigemA cidade alematilde de Koenisberg eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia A prefeitura do muni-
ciacutepio fica em uma de suas duas ilhas a de Kneiphof Todos os bairros estatildeo interligados por sete pontes A questatildeo eacute seraacute possiacutevel numa uacutenica caminhada passar por todas elas sem cruzar nenhuma mais de uma vez Para responder o matemaacutetico suiacuteccedilo Leonard Euler montou no seacuteculo XVIII um diagrama no qual cada arco representa uma ponte e cada ponto ou veacutertice uma margem Euler descobriu que eacute possiacutevel atravessar um diagrama e voltar ao ponto inicial se todos os seus veacutertices forem pares isto eacute se cada um deles esti-ver ligado a um nuacutemero par de arcos Ele tambeacutem concluiu que se houver no maacuteximo dois veacutertices iacutempares tambeacutem daacute para atravessaacute-lo mas sem regressar ao ponto de partida Em Koenisberg todos os quatro veacutertices satildeo iacutempares
Portanto a travessia eacute impossiacutevel Ao estabelecer os uacutenicos caminhos possiacuteveis para atravessar as sete pontes Euler descobriu que a anaacutelise sobre a possibilidade desse trajeto era invariaacutevel mesmo que a forma do terreno mudasse continuamente No seu diagrama ele reduziu toda uma cidade a um conjunto de pontos e arcos Cada margem virou apenas um uacutenico ponto No entanto as relaccedilotildees entre eles permaneceram inalteradas Este estu-
Ponte de Euler
6
Pegue o pedaccedilo de barbante e tente percorrer todas as portas lembrando que o barbante soacute pode passar uma vez por cada porta
Dica Comece por um cocircmodo com nuacutemero iacutempar de portas
A ponte pode ser construiacuteda com qualquer material desde que mantenha o de-senho das portas e suas posiccedilotildees conforme a figura acima Para auxiliar no percurso e tambeacutem na preservaccedilatildeo do jogo pode-se usar para as tentativas do caminho um pedaccedilo de barbante
Percorrer todas as portas apenas uma vez desenvolvendo o raciociacutenio loacutegico e o pensamento e conceito utilizados na tipografia
Como jogar
Como construir
Objetivo
Referecircnciaswwwmatucpt~almaescolaspontesptwikipediaorgwikiSete_pontes_de_Koumlnigsberg
do resultou no que hoje eacute chamado de Topologia Embora tenha nascido no seacuteculo XVIII a topologia continua sendo um objeto de estudos e ainda oferece poucas aplicaccedilotildees praacuteticas no dia-a-dia Uma delas estaacute no mundo das telecomunicaccedilotildees e da informaacutetica
Para montar redes globais de sateacutelites e computadores grandes empresas usam a topologia para interligar os caminhos em que suas informaccedilotildees trafegam Ela ajuda a estabelecer a melhor conexatildeo entre os pontos quando natildeo a uacutenica O mundo pode se deformar totalmente mas as redes de comunicaccedilatildeo que unem sua casa a qualquer outro lugar seratildeo sempre as mesmas
7
Trabalhar com os alunos contas de adiccedilatildeo e subtraccedilatildeo com nuacutemeros inteiros quem somar mais pontos em trecircs rodadas vence a partida
Objetivo
OrigemA cidade alematilde de Koenisberg eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia A prefeitura do municiacute-
pio fiDesenvolvido pelas alunas Bruna Yuri Otsuka Fabiane Gusicuma
Boliche Matemaacutetico
8
Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes
Nuacutemero de participantes Indeterminado
Como jogar
Material 12 Garrafas Pet Papel Colorido para encapar1 Bola para arremessar nas garrafasSepare 12 Garrafas Pet pequenas e as encape com papel colorido fazendo anota-
ccedilotildees nuacutemeros inteiros positivos e nuacutemeros inteiros negativos em um dos seus lados
Como construir
9
OrigemUma sugestatildeo para sua construccedilatildeo pode ser encontrada no livro de Matemaacutetica do
professor Imenes
ObjetivoTrabalhar a multiplicaccedilatildeo de dois nuacutemeros naturais sob o enfoque do raciociacutenio
combinatoacuterio no qual verificarmos quantas possibilidades existem de formar com duas coleccedilotildees
Copos Combinatoacuterios
10
Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes
Nuacutemero de participantes Indeterminado
Como jogar
Material3 copos plaacutesticosTiras de papeacuteis com diferentes coleccedilotildees (cores nuacutemeros objetos)Parafusos ou elaacutesticosFita adesiva transparenteColoque as tiras com a fita adesiva na borda superior externa dos copos encaixe
um dentro do outro com o parafuso ou o elaacutestico permitindo que os mesmos se movi-mentem
Como construir
ReferecircnciasAulas do 1ordm Sem LPM ndash FAAL ndash Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues
11
Gobangue
ObjetivoFormar no tabuleiro uma linha com cinco peccedilas adjacentes na horizontal ou na
vertical ou na diagonal onde a melhor estrateacutegia para ter mais chances de obter a vitoacuteria eacute a dissimulaccedilatildeo distrair o adversaacuterio fazendo algumas jogadas nas extremidades do tabu-leiro para ele natildeo perceber a sua jogada principal
Como construirUm tabuleiro (de Damas) 10 x 10 e 100 (cem) fichas sendo 50 pretas e 50 brancas
12
O participante que escolheu as 50 peccedilas pretas inicia o jogo cada jogador alterna-damente na sua vez coloca uma peccedila no tabuleiro procurando atingir o objetivo
Como jogar
ReferecircnciasLaboratoacuterio do Ensino da Matemaacutetica ndash UNG (Universidade de Guarulhos)
13
Jogo do Xsup2
OrigemJogo criado pelo aluno Wilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP
Como construirUm tabuleiro onde constam potecircncias (quadrados dos nuacutemeros 1 a 10) dispostas
nos lados de um quadrado ou nas linhas de um X 40 (quarenta) fichas (vinte na cor verde e vinte na cor marrom) e 3 (trecircs) dados (dois com faces numeradas de 1 a 5 e uma nula iden-tificada com a cor vermelha e um com trecircs faces com a indicaccedilatildeo X e trecircs faces com 1048709)
14
Cada participante na sua vez joga os trecircs dados adiciona os pontos obtidos nos dados numeacutericos eleva o resultado (soma) ao quadrado a potecircncia obtida seraacute marcada no tabuleiro com sua peccedila ou no X ou no 1048709 conforme a indicaccedilatildeo sorteada no terceirodado
Nota observar que os dados numeacutericos tecircm uma face nulaSe os dois dados numeacutericos indicarem no sorteio faces nulas o participante passa
a vez para o adversaacuterio Se a casa da potecircncia obtida jaacute estiver preenchida o jogador passa a vez para o adversaacuterio O participante que completar a figura X ou 1048709 com suas peccedilasvenceraacute o jogo
Como jogar
ReferecircnciasWilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP
15
OrigemO Jogo da Velha denominado Tic Tac Toe ou Nough and Crosses em Inglecircs eacute um
jogo simples e praacutetico que natildeo possui origem conhecida Todavia sua popularidade eacute in-ternacional desde a antiguidade Haacute registros de que o jogo existia na eacutepoca do Impeacuterio Romano mas natildeo haacute provas de que tenha sido criado pelos Romanos fato este que nos faz crer que o Jogo da Velha pode ser mais antigo do que se pensa
Uma soluccedilatildeo para melhorar o tradicional Jogo da Velha eacute passar da bidimensiona-lidade para a tridimensionalidade
ObjetivoEacute conseguir formar uma linha vertical horizontal ou diagonal de trecircs X ou O A di-
ficuldade todavia reside no aspecto de que o jogo se daacute por turnos o que o torna muito simples a tarefa de seu oponente travar suas jogadas marcando um dos quadrados conse-quumlentes aos seus
Jogo da Velha
16
Por ser demais conhecido dispensa o ensino de suas regras podendo ser jogado sobre um tabuleiro ou mesmo sendo riscado em um papel
Para construiacute-lo em folha de papel desenhe duas linhas horizontais e duas linhas verticais formando um tabuleiro onde seratildeo preenchidos com o X ou com o O
Para construiacute-lo na tridimensionalidade desenhar o tabuleiro em 3 placas de ma-deira fazer o lsquoXrsquo e o lsquoOrsquo de isopor e depois colocar os tabuleiros de uma forma que fiquem um sobre o outro aumentando o grau de dificuldade do jogo
Cada um dos jogadores que se enfrentam na disputa do jogo poderaacute marcar qual-quer um dos espaccedilos externos ou mesmo interno com um dos seus sinais X ou O sendo que nenhum dos jogadores poderaacute marcar um sinal igual ao do adversaacuterio Em suma cada jogador em turnos alternados deveraacute marcar um dos nove espaccedilos
Como construir
Como jogar
ReferecircnciashttpptwikipediaorgwikiJogo_da_velha
17
OrigemCarl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu ateacute 1855 Eacute considerado um dos maio-
res matemaacuteticos de todos os tempos Gauss teve a estatura de Arquimedes e de Newton e seus campos de interesse excederam os de ambos Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemaacutetica e para a Teoria dos Nuacutemeros Seu pai era jardineiro e assistente de um co-merciante e enquanto crianccedila mostrou grande talento para a matemaacutetica Sua produccedilatildeo intelectual foi precoce existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a foacutermula da soma dos n primeiros termos de uma progressatildeo aritmeacutetica Diz a histoacuteria que sua professora primaacuteria para manter a classe ocupada lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100 tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilizaccedilatildeo da foacutermula da PA Sn = n(a1 + an) 2
Curva de Gauss
18
Objetivo
Como construir
Como jogar
Mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental Mas pode tambeacutem mostrar como se distribuem os dados em vaacuterias situaccedilotildees originadas de eventos mutuamente independentes A distribuiccedilatildeo de Gauss aparece frequentemente nas esta-tiacutesticas Experimentalmente processos aleatoacuterios independentes levam agrave distribuiccedilatildeo de Gauss ou a uma distribuiccedilatildeo normal
Em uma prancha onde se monta o arranjo de triacircngulos e as colunas pode ser de madeira polida pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas de acordo com a foto acima Os obstaacuteculos triangulares satildeo de madeira dura Podem tambeacutem ter a forma de hexaacutegonos Devem ser fixos na prancha As bolinhas de gude ou vidro Dependendo do tamanho de sua prancha podem ser necessaacuterias umas 100 bolinhas ou mais Seraacute neces-saacuterio ainda um funil plaacutestico por onde as bolinhas devem passar
Colocar as bolinhas com o auxilio do funil despejando-as aleatoriamente e verifi-que as figuras formadas dentro da prancha
Referecircnciashttpwwwwikipediacomhttpwwwsearaufcbrsugestoesfisicaespec4htmAulas de estatiacutestica 2ordm Sem 2007 Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues ndash FAAL
- Limeira SP
19
Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo
ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos
O Fatiacutedico 13
20
Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-
ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
21
Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5
(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro
ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-
ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo
Torre de Hanoacutei
22
Como jogar
Observaccedilotildees
Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor
1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento
2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos
3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos
4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
23
ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos
Jogo dos Palitos
Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos
24
Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo
Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
25
ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro
Tabuleiro Enigmaacutetico
26
Como construir
Como jogar
Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo
Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente
Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha
leva agrave peccedila
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
27
ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes
Pentaminoacutes
28
Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo
com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5
quadrados) em diferentes formas
Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as
peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com
a figura
Soluccedilatildeo
ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
29
SoacutelidosGeomeacutetricos
Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico
Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria
Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas
Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo
Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico
soacutelido geomeacutetricofigura plana
30
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo
Prismas
Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)
Faces (Laterais)
Base
Arestas(Encontro das Faces
31
A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide
O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais
Piracircmides
Base
Veacutertice Principal
Veacutertices
Arestas
Faces
32
Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo
Soacutelidos de revoluccedilatildeo
Aresta
Linha Geratriz
Figura Geradora
Eixo
Facey
Superfiacutecie Ciliacutendrica
Base Inferior
33
A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo
Esfera
x
y
Superfiacutecie Esfeacuterica
Centro da Esfera
Raio da Esfera
Diacircmetroda Esfera
34
O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta
Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior
Cone
Referecircncias
Figura Geradora
Veacutertice
Superfiacutecie Cocircnica
Base
x
yEixo
Aresta
6
Pegue o pedaccedilo de barbante e tente percorrer todas as portas lembrando que o barbante soacute pode passar uma vez por cada porta
Dica Comece por um cocircmodo com nuacutemero iacutempar de portas
A ponte pode ser construiacuteda com qualquer material desde que mantenha o de-senho das portas e suas posiccedilotildees conforme a figura acima Para auxiliar no percurso e tambeacutem na preservaccedilatildeo do jogo pode-se usar para as tentativas do caminho um pedaccedilo de barbante
Percorrer todas as portas apenas uma vez desenvolvendo o raciociacutenio loacutegico e o pensamento e conceito utilizados na tipografia
Como jogar
Como construir
Objetivo
Referecircnciaswwwmatucpt~almaescolaspontesptwikipediaorgwikiSete_pontes_de_Koumlnigsberg
do resultou no que hoje eacute chamado de Topologia Embora tenha nascido no seacuteculo XVIII a topologia continua sendo um objeto de estudos e ainda oferece poucas aplicaccedilotildees praacuteticas no dia-a-dia Uma delas estaacute no mundo das telecomunicaccedilotildees e da informaacutetica
Para montar redes globais de sateacutelites e computadores grandes empresas usam a topologia para interligar os caminhos em que suas informaccedilotildees trafegam Ela ajuda a estabelecer a melhor conexatildeo entre os pontos quando natildeo a uacutenica O mundo pode se deformar totalmente mas as redes de comunicaccedilatildeo que unem sua casa a qualquer outro lugar seratildeo sempre as mesmas
7
Trabalhar com os alunos contas de adiccedilatildeo e subtraccedilatildeo com nuacutemeros inteiros quem somar mais pontos em trecircs rodadas vence a partida
Objetivo
OrigemA cidade alematilde de Koenisberg eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia A prefeitura do municiacute-
pio fiDesenvolvido pelas alunas Bruna Yuri Otsuka Fabiane Gusicuma
Boliche Matemaacutetico
8
Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes
Nuacutemero de participantes Indeterminado
Como jogar
Material 12 Garrafas Pet Papel Colorido para encapar1 Bola para arremessar nas garrafasSepare 12 Garrafas Pet pequenas e as encape com papel colorido fazendo anota-
ccedilotildees nuacutemeros inteiros positivos e nuacutemeros inteiros negativos em um dos seus lados
Como construir
9
OrigemUma sugestatildeo para sua construccedilatildeo pode ser encontrada no livro de Matemaacutetica do
professor Imenes
ObjetivoTrabalhar a multiplicaccedilatildeo de dois nuacutemeros naturais sob o enfoque do raciociacutenio
combinatoacuterio no qual verificarmos quantas possibilidades existem de formar com duas coleccedilotildees
Copos Combinatoacuterios
10
Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes
Nuacutemero de participantes Indeterminado
Como jogar
Material3 copos plaacutesticosTiras de papeacuteis com diferentes coleccedilotildees (cores nuacutemeros objetos)Parafusos ou elaacutesticosFita adesiva transparenteColoque as tiras com a fita adesiva na borda superior externa dos copos encaixe
um dentro do outro com o parafuso ou o elaacutestico permitindo que os mesmos se movi-mentem
Como construir
ReferecircnciasAulas do 1ordm Sem LPM ndash FAAL ndash Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues
11
Gobangue
ObjetivoFormar no tabuleiro uma linha com cinco peccedilas adjacentes na horizontal ou na
vertical ou na diagonal onde a melhor estrateacutegia para ter mais chances de obter a vitoacuteria eacute a dissimulaccedilatildeo distrair o adversaacuterio fazendo algumas jogadas nas extremidades do tabu-leiro para ele natildeo perceber a sua jogada principal
Como construirUm tabuleiro (de Damas) 10 x 10 e 100 (cem) fichas sendo 50 pretas e 50 brancas
12
O participante que escolheu as 50 peccedilas pretas inicia o jogo cada jogador alterna-damente na sua vez coloca uma peccedila no tabuleiro procurando atingir o objetivo
Como jogar
ReferecircnciasLaboratoacuterio do Ensino da Matemaacutetica ndash UNG (Universidade de Guarulhos)
13
Jogo do Xsup2
OrigemJogo criado pelo aluno Wilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP
Como construirUm tabuleiro onde constam potecircncias (quadrados dos nuacutemeros 1 a 10) dispostas
nos lados de um quadrado ou nas linhas de um X 40 (quarenta) fichas (vinte na cor verde e vinte na cor marrom) e 3 (trecircs) dados (dois com faces numeradas de 1 a 5 e uma nula iden-tificada com a cor vermelha e um com trecircs faces com a indicaccedilatildeo X e trecircs faces com 1048709)
14
Cada participante na sua vez joga os trecircs dados adiciona os pontos obtidos nos dados numeacutericos eleva o resultado (soma) ao quadrado a potecircncia obtida seraacute marcada no tabuleiro com sua peccedila ou no X ou no 1048709 conforme a indicaccedilatildeo sorteada no terceirodado
Nota observar que os dados numeacutericos tecircm uma face nulaSe os dois dados numeacutericos indicarem no sorteio faces nulas o participante passa
a vez para o adversaacuterio Se a casa da potecircncia obtida jaacute estiver preenchida o jogador passa a vez para o adversaacuterio O participante que completar a figura X ou 1048709 com suas peccedilasvenceraacute o jogo
Como jogar
ReferecircnciasWilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP
15
OrigemO Jogo da Velha denominado Tic Tac Toe ou Nough and Crosses em Inglecircs eacute um
jogo simples e praacutetico que natildeo possui origem conhecida Todavia sua popularidade eacute in-ternacional desde a antiguidade Haacute registros de que o jogo existia na eacutepoca do Impeacuterio Romano mas natildeo haacute provas de que tenha sido criado pelos Romanos fato este que nos faz crer que o Jogo da Velha pode ser mais antigo do que se pensa
Uma soluccedilatildeo para melhorar o tradicional Jogo da Velha eacute passar da bidimensiona-lidade para a tridimensionalidade
ObjetivoEacute conseguir formar uma linha vertical horizontal ou diagonal de trecircs X ou O A di-
ficuldade todavia reside no aspecto de que o jogo se daacute por turnos o que o torna muito simples a tarefa de seu oponente travar suas jogadas marcando um dos quadrados conse-quumlentes aos seus
Jogo da Velha
16
Por ser demais conhecido dispensa o ensino de suas regras podendo ser jogado sobre um tabuleiro ou mesmo sendo riscado em um papel
Para construiacute-lo em folha de papel desenhe duas linhas horizontais e duas linhas verticais formando um tabuleiro onde seratildeo preenchidos com o X ou com o O
Para construiacute-lo na tridimensionalidade desenhar o tabuleiro em 3 placas de ma-deira fazer o lsquoXrsquo e o lsquoOrsquo de isopor e depois colocar os tabuleiros de uma forma que fiquem um sobre o outro aumentando o grau de dificuldade do jogo
Cada um dos jogadores que se enfrentam na disputa do jogo poderaacute marcar qual-quer um dos espaccedilos externos ou mesmo interno com um dos seus sinais X ou O sendo que nenhum dos jogadores poderaacute marcar um sinal igual ao do adversaacuterio Em suma cada jogador em turnos alternados deveraacute marcar um dos nove espaccedilos
Como construir
Como jogar
ReferecircnciashttpptwikipediaorgwikiJogo_da_velha
17
OrigemCarl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu ateacute 1855 Eacute considerado um dos maio-
res matemaacuteticos de todos os tempos Gauss teve a estatura de Arquimedes e de Newton e seus campos de interesse excederam os de ambos Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemaacutetica e para a Teoria dos Nuacutemeros Seu pai era jardineiro e assistente de um co-merciante e enquanto crianccedila mostrou grande talento para a matemaacutetica Sua produccedilatildeo intelectual foi precoce existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a foacutermula da soma dos n primeiros termos de uma progressatildeo aritmeacutetica Diz a histoacuteria que sua professora primaacuteria para manter a classe ocupada lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100 tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilizaccedilatildeo da foacutermula da PA Sn = n(a1 + an) 2
Curva de Gauss
18
Objetivo
Como construir
Como jogar
Mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental Mas pode tambeacutem mostrar como se distribuem os dados em vaacuterias situaccedilotildees originadas de eventos mutuamente independentes A distribuiccedilatildeo de Gauss aparece frequentemente nas esta-tiacutesticas Experimentalmente processos aleatoacuterios independentes levam agrave distribuiccedilatildeo de Gauss ou a uma distribuiccedilatildeo normal
Em uma prancha onde se monta o arranjo de triacircngulos e as colunas pode ser de madeira polida pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas de acordo com a foto acima Os obstaacuteculos triangulares satildeo de madeira dura Podem tambeacutem ter a forma de hexaacutegonos Devem ser fixos na prancha As bolinhas de gude ou vidro Dependendo do tamanho de sua prancha podem ser necessaacuterias umas 100 bolinhas ou mais Seraacute neces-saacuterio ainda um funil plaacutestico por onde as bolinhas devem passar
Colocar as bolinhas com o auxilio do funil despejando-as aleatoriamente e verifi-que as figuras formadas dentro da prancha
Referecircnciashttpwwwwikipediacomhttpwwwsearaufcbrsugestoesfisicaespec4htmAulas de estatiacutestica 2ordm Sem 2007 Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues ndash FAAL
- Limeira SP
19
Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo
ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos
O Fatiacutedico 13
20
Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-
ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
21
Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5
(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro
ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-
ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo
Torre de Hanoacutei
22
Como jogar
Observaccedilotildees
Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor
1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento
2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos
3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos
4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
23
ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos
Jogo dos Palitos
Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos
24
Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo
Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
25
ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro
Tabuleiro Enigmaacutetico
26
Como construir
Como jogar
Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo
Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente
Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha
leva agrave peccedila
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
27
ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes
Pentaminoacutes
28
Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo
com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5
quadrados) em diferentes formas
Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as
peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com
a figura
Soluccedilatildeo
ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
29
SoacutelidosGeomeacutetricos
Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico
Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria
Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas
Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo
Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico
soacutelido geomeacutetricofigura plana
30
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo
Prismas
Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)
Faces (Laterais)
Base
Arestas(Encontro das Faces
31
A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide
O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais
Piracircmides
Base
Veacutertice Principal
Veacutertices
Arestas
Faces
32
Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo
Soacutelidos de revoluccedilatildeo
Aresta
Linha Geratriz
Figura Geradora
Eixo
Facey
Superfiacutecie Ciliacutendrica
Base Inferior
33
A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo
Esfera
x
y
Superfiacutecie Esfeacuterica
Centro da Esfera
Raio da Esfera
Diacircmetroda Esfera
34
O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta
Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior
Cone
Referecircncias
Figura Geradora
Veacutertice
Superfiacutecie Cocircnica
Base
x
yEixo
Aresta
7
Trabalhar com os alunos contas de adiccedilatildeo e subtraccedilatildeo com nuacutemeros inteiros quem somar mais pontos em trecircs rodadas vence a partida
Objetivo
OrigemA cidade alematilde de Koenisberg eacute cortada pelo Rio Pregoacutelia A prefeitura do municiacute-
pio fiDesenvolvido pelas alunas Bruna Yuri Otsuka Fabiane Gusicuma
Boliche Matemaacutetico
8
Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes
Nuacutemero de participantes Indeterminado
Como jogar
Material 12 Garrafas Pet Papel Colorido para encapar1 Bola para arremessar nas garrafasSepare 12 Garrafas Pet pequenas e as encape com papel colorido fazendo anota-
ccedilotildees nuacutemeros inteiros positivos e nuacutemeros inteiros negativos em um dos seus lados
Como construir
9
OrigemUma sugestatildeo para sua construccedilatildeo pode ser encontrada no livro de Matemaacutetica do
professor Imenes
ObjetivoTrabalhar a multiplicaccedilatildeo de dois nuacutemeros naturais sob o enfoque do raciociacutenio
combinatoacuterio no qual verificarmos quantas possibilidades existem de formar com duas coleccedilotildees
Copos Combinatoacuterios
10
Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes
Nuacutemero de participantes Indeterminado
Como jogar
Material3 copos plaacutesticosTiras de papeacuteis com diferentes coleccedilotildees (cores nuacutemeros objetos)Parafusos ou elaacutesticosFita adesiva transparenteColoque as tiras com a fita adesiva na borda superior externa dos copos encaixe
um dentro do outro com o parafuso ou o elaacutestico permitindo que os mesmos se movi-mentem
Como construir
ReferecircnciasAulas do 1ordm Sem LPM ndash FAAL ndash Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues
11
Gobangue
ObjetivoFormar no tabuleiro uma linha com cinco peccedilas adjacentes na horizontal ou na
vertical ou na diagonal onde a melhor estrateacutegia para ter mais chances de obter a vitoacuteria eacute a dissimulaccedilatildeo distrair o adversaacuterio fazendo algumas jogadas nas extremidades do tabu-leiro para ele natildeo perceber a sua jogada principal
Como construirUm tabuleiro (de Damas) 10 x 10 e 100 (cem) fichas sendo 50 pretas e 50 brancas
12
O participante que escolheu as 50 peccedilas pretas inicia o jogo cada jogador alterna-damente na sua vez coloca uma peccedila no tabuleiro procurando atingir o objetivo
Como jogar
ReferecircnciasLaboratoacuterio do Ensino da Matemaacutetica ndash UNG (Universidade de Guarulhos)
13
Jogo do Xsup2
OrigemJogo criado pelo aluno Wilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP
Como construirUm tabuleiro onde constam potecircncias (quadrados dos nuacutemeros 1 a 10) dispostas
nos lados de um quadrado ou nas linhas de um X 40 (quarenta) fichas (vinte na cor verde e vinte na cor marrom) e 3 (trecircs) dados (dois com faces numeradas de 1 a 5 e uma nula iden-tificada com a cor vermelha e um com trecircs faces com a indicaccedilatildeo X e trecircs faces com 1048709)
14
Cada participante na sua vez joga os trecircs dados adiciona os pontos obtidos nos dados numeacutericos eleva o resultado (soma) ao quadrado a potecircncia obtida seraacute marcada no tabuleiro com sua peccedila ou no X ou no 1048709 conforme a indicaccedilatildeo sorteada no terceirodado
Nota observar que os dados numeacutericos tecircm uma face nulaSe os dois dados numeacutericos indicarem no sorteio faces nulas o participante passa
a vez para o adversaacuterio Se a casa da potecircncia obtida jaacute estiver preenchida o jogador passa a vez para o adversaacuterio O participante que completar a figura X ou 1048709 com suas peccedilasvenceraacute o jogo
Como jogar
ReferecircnciasWilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP
15
OrigemO Jogo da Velha denominado Tic Tac Toe ou Nough and Crosses em Inglecircs eacute um
jogo simples e praacutetico que natildeo possui origem conhecida Todavia sua popularidade eacute in-ternacional desde a antiguidade Haacute registros de que o jogo existia na eacutepoca do Impeacuterio Romano mas natildeo haacute provas de que tenha sido criado pelos Romanos fato este que nos faz crer que o Jogo da Velha pode ser mais antigo do que se pensa
Uma soluccedilatildeo para melhorar o tradicional Jogo da Velha eacute passar da bidimensiona-lidade para a tridimensionalidade
ObjetivoEacute conseguir formar uma linha vertical horizontal ou diagonal de trecircs X ou O A di-
ficuldade todavia reside no aspecto de que o jogo se daacute por turnos o que o torna muito simples a tarefa de seu oponente travar suas jogadas marcando um dos quadrados conse-quumlentes aos seus
Jogo da Velha
16
Por ser demais conhecido dispensa o ensino de suas regras podendo ser jogado sobre um tabuleiro ou mesmo sendo riscado em um papel
Para construiacute-lo em folha de papel desenhe duas linhas horizontais e duas linhas verticais formando um tabuleiro onde seratildeo preenchidos com o X ou com o O
Para construiacute-lo na tridimensionalidade desenhar o tabuleiro em 3 placas de ma-deira fazer o lsquoXrsquo e o lsquoOrsquo de isopor e depois colocar os tabuleiros de uma forma que fiquem um sobre o outro aumentando o grau de dificuldade do jogo
Cada um dos jogadores que se enfrentam na disputa do jogo poderaacute marcar qual-quer um dos espaccedilos externos ou mesmo interno com um dos seus sinais X ou O sendo que nenhum dos jogadores poderaacute marcar um sinal igual ao do adversaacuterio Em suma cada jogador em turnos alternados deveraacute marcar um dos nove espaccedilos
Como construir
Como jogar
ReferecircnciashttpptwikipediaorgwikiJogo_da_velha
17
OrigemCarl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu ateacute 1855 Eacute considerado um dos maio-
res matemaacuteticos de todos os tempos Gauss teve a estatura de Arquimedes e de Newton e seus campos de interesse excederam os de ambos Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemaacutetica e para a Teoria dos Nuacutemeros Seu pai era jardineiro e assistente de um co-merciante e enquanto crianccedila mostrou grande talento para a matemaacutetica Sua produccedilatildeo intelectual foi precoce existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a foacutermula da soma dos n primeiros termos de uma progressatildeo aritmeacutetica Diz a histoacuteria que sua professora primaacuteria para manter a classe ocupada lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100 tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilizaccedilatildeo da foacutermula da PA Sn = n(a1 + an) 2
Curva de Gauss
18
Objetivo
Como construir
Como jogar
Mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental Mas pode tambeacutem mostrar como se distribuem os dados em vaacuterias situaccedilotildees originadas de eventos mutuamente independentes A distribuiccedilatildeo de Gauss aparece frequentemente nas esta-tiacutesticas Experimentalmente processos aleatoacuterios independentes levam agrave distribuiccedilatildeo de Gauss ou a uma distribuiccedilatildeo normal
Em uma prancha onde se monta o arranjo de triacircngulos e as colunas pode ser de madeira polida pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas de acordo com a foto acima Os obstaacuteculos triangulares satildeo de madeira dura Podem tambeacutem ter a forma de hexaacutegonos Devem ser fixos na prancha As bolinhas de gude ou vidro Dependendo do tamanho de sua prancha podem ser necessaacuterias umas 100 bolinhas ou mais Seraacute neces-saacuterio ainda um funil plaacutestico por onde as bolinhas devem passar
Colocar as bolinhas com o auxilio do funil despejando-as aleatoriamente e verifi-que as figuras formadas dentro da prancha
Referecircnciashttpwwwwikipediacomhttpwwwsearaufcbrsugestoesfisicaespec4htmAulas de estatiacutestica 2ordm Sem 2007 Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues ndash FAAL
- Limeira SP
19
Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo
ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos
O Fatiacutedico 13
20
Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-
ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
21
Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5
(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro
ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-
ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo
Torre de Hanoacutei
22
Como jogar
Observaccedilotildees
Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor
1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento
2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos
3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos
4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
23
ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos
Jogo dos Palitos
Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos
24
Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo
Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
25
ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro
Tabuleiro Enigmaacutetico
26
Como construir
Como jogar
Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo
Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente
Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha
leva agrave peccedila
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
27
ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes
Pentaminoacutes
28
Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo
com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5
quadrados) em diferentes formas
Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as
peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com
a figura
Soluccedilatildeo
ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
29
SoacutelidosGeomeacutetricos
Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico
Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria
Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas
Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo
Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico
soacutelido geomeacutetricofigura plana
30
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo
Prismas
Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)
Faces (Laterais)
Base
Arestas(Encontro das Faces
31
A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide
O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais
Piracircmides
Base
Veacutertice Principal
Veacutertices
Arestas
Faces
32
Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo
Soacutelidos de revoluccedilatildeo
Aresta
Linha Geratriz
Figura Geradora
Eixo
Facey
Superfiacutecie Ciliacutendrica
Base Inferior
33
A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo
Esfera
x
y
Superfiacutecie Esfeacuterica
Centro da Esfera
Raio da Esfera
Diacircmetroda Esfera
34
O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta
Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior
Cone
Referecircncias
Figura Geradora
Veacutertice
Superfiacutecie Cocircnica
Base
x
yEixo
Aresta
8
Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes
Nuacutemero de participantes Indeterminado
Como jogar
Material 12 Garrafas Pet Papel Colorido para encapar1 Bola para arremessar nas garrafasSepare 12 Garrafas Pet pequenas e as encape com papel colorido fazendo anota-
ccedilotildees nuacutemeros inteiros positivos e nuacutemeros inteiros negativos em um dos seus lados
Como construir
9
OrigemUma sugestatildeo para sua construccedilatildeo pode ser encontrada no livro de Matemaacutetica do
professor Imenes
ObjetivoTrabalhar a multiplicaccedilatildeo de dois nuacutemeros naturais sob o enfoque do raciociacutenio
combinatoacuterio no qual verificarmos quantas possibilidades existem de formar com duas coleccedilotildees
Copos Combinatoacuterios
10
Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes
Nuacutemero de participantes Indeterminado
Como jogar
Material3 copos plaacutesticosTiras de papeacuteis com diferentes coleccedilotildees (cores nuacutemeros objetos)Parafusos ou elaacutesticosFita adesiva transparenteColoque as tiras com a fita adesiva na borda superior externa dos copos encaixe
um dentro do outro com o parafuso ou o elaacutestico permitindo que os mesmos se movi-mentem
Como construir
ReferecircnciasAulas do 1ordm Sem LPM ndash FAAL ndash Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues
11
Gobangue
ObjetivoFormar no tabuleiro uma linha com cinco peccedilas adjacentes na horizontal ou na
vertical ou na diagonal onde a melhor estrateacutegia para ter mais chances de obter a vitoacuteria eacute a dissimulaccedilatildeo distrair o adversaacuterio fazendo algumas jogadas nas extremidades do tabu-leiro para ele natildeo perceber a sua jogada principal
Como construirUm tabuleiro (de Damas) 10 x 10 e 100 (cem) fichas sendo 50 pretas e 50 brancas
12
O participante que escolheu as 50 peccedilas pretas inicia o jogo cada jogador alterna-damente na sua vez coloca uma peccedila no tabuleiro procurando atingir o objetivo
Como jogar
ReferecircnciasLaboratoacuterio do Ensino da Matemaacutetica ndash UNG (Universidade de Guarulhos)
13
Jogo do Xsup2
OrigemJogo criado pelo aluno Wilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP
Como construirUm tabuleiro onde constam potecircncias (quadrados dos nuacutemeros 1 a 10) dispostas
nos lados de um quadrado ou nas linhas de um X 40 (quarenta) fichas (vinte na cor verde e vinte na cor marrom) e 3 (trecircs) dados (dois com faces numeradas de 1 a 5 e uma nula iden-tificada com a cor vermelha e um com trecircs faces com a indicaccedilatildeo X e trecircs faces com 1048709)
14
Cada participante na sua vez joga os trecircs dados adiciona os pontos obtidos nos dados numeacutericos eleva o resultado (soma) ao quadrado a potecircncia obtida seraacute marcada no tabuleiro com sua peccedila ou no X ou no 1048709 conforme a indicaccedilatildeo sorteada no terceirodado
Nota observar que os dados numeacutericos tecircm uma face nulaSe os dois dados numeacutericos indicarem no sorteio faces nulas o participante passa
a vez para o adversaacuterio Se a casa da potecircncia obtida jaacute estiver preenchida o jogador passa a vez para o adversaacuterio O participante que completar a figura X ou 1048709 com suas peccedilasvenceraacute o jogo
Como jogar
ReferecircnciasWilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP
15
OrigemO Jogo da Velha denominado Tic Tac Toe ou Nough and Crosses em Inglecircs eacute um
jogo simples e praacutetico que natildeo possui origem conhecida Todavia sua popularidade eacute in-ternacional desde a antiguidade Haacute registros de que o jogo existia na eacutepoca do Impeacuterio Romano mas natildeo haacute provas de que tenha sido criado pelos Romanos fato este que nos faz crer que o Jogo da Velha pode ser mais antigo do que se pensa
Uma soluccedilatildeo para melhorar o tradicional Jogo da Velha eacute passar da bidimensiona-lidade para a tridimensionalidade
ObjetivoEacute conseguir formar uma linha vertical horizontal ou diagonal de trecircs X ou O A di-
ficuldade todavia reside no aspecto de que o jogo se daacute por turnos o que o torna muito simples a tarefa de seu oponente travar suas jogadas marcando um dos quadrados conse-quumlentes aos seus
Jogo da Velha
16
Por ser demais conhecido dispensa o ensino de suas regras podendo ser jogado sobre um tabuleiro ou mesmo sendo riscado em um papel
Para construiacute-lo em folha de papel desenhe duas linhas horizontais e duas linhas verticais formando um tabuleiro onde seratildeo preenchidos com o X ou com o O
Para construiacute-lo na tridimensionalidade desenhar o tabuleiro em 3 placas de ma-deira fazer o lsquoXrsquo e o lsquoOrsquo de isopor e depois colocar os tabuleiros de uma forma que fiquem um sobre o outro aumentando o grau de dificuldade do jogo
Cada um dos jogadores que se enfrentam na disputa do jogo poderaacute marcar qual-quer um dos espaccedilos externos ou mesmo interno com um dos seus sinais X ou O sendo que nenhum dos jogadores poderaacute marcar um sinal igual ao do adversaacuterio Em suma cada jogador em turnos alternados deveraacute marcar um dos nove espaccedilos
Como construir
Como jogar
ReferecircnciashttpptwikipediaorgwikiJogo_da_velha
17
OrigemCarl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu ateacute 1855 Eacute considerado um dos maio-
res matemaacuteticos de todos os tempos Gauss teve a estatura de Arquimedes e de Newton e seus campos de interesse excederam os de ambos Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemaacutetica e para a Teoria dos Nuacutemeros Seu pai era jardineiro e assistente de um co-merciante e enquanto crianccedila mostrou grande talento para a matemaacutetica Sua produccedilatildeo intelectual foi precoce existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a foacutermula da soma dos n primeiros termos de uma progressatildeo aritmeacutetica Diz a histoacuteria que sua professora primaacuteria para manter a classe ocupada lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100 tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilizaccedilatildeo da foacutermula da PA Sn = n(a1 + an) 2
Curva de Gauss
18
Objetivo
Como construir
Como jogar
Mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental Mas pode tambeacutem mostrar como se distribuem os dados em vaacuterias situaccedilotildees originadas de eventos mutuamente independentes A distribuiccedilatildeo de Gauss aparece frequentemente nas esta-tiacutesticas Experimentalmente processos aleatoacuterios independentes levam agrave distribuiccedilatildeo de Gauss ou a uma distribuiccedilatildeo normal
Em uma prancha onde se monta o arranjo de triacircngulos e as colunas pode ser de madeira polida pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas de acordo com a foto acima Os obstaacuteculos triangulares satildeo de madeira dura Podem tambeacutem ter a forma de hexaacutegonos Devem ser fixos na prancha As bolinhas de gude ou vidro Dependendo do tamanho de sua prancha podem ser necessaacuterias umas 100 bolinhas ou mais Seraacute neces-saacuterio ainda um funil plaacutestico por onde as bolinhas devem passar
Colocar as bolinhas com o auxilio do funil despejando-as aleatoriamente e verifi-que as figuras formadas dentro da prancha
Referecircnciashttpwwwwikipediacomhttpwwwsearaufcbrsugestoesfisicaespec4htmAulas de estatiacutestica 2ordm Sem 2007 Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues ndash FAAL
- Limeira SP
19
Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo
ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos
O Fatiacutedico 13
20
Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-
ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
21
Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5
(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro
ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-
ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo
Torre de Hanoacutei
22
Como jogar
Observaccedilotildees
Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor
1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento
2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos
3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos
4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
23
ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos
Jogo dos Palitos
Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos
24
Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo
Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
25
ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro
Tabuleiro Enigmaacutetico
26
Como construir
Como jogar
Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo
Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente
Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha
leva agrave peccedila
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
27
ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes
Pentaminoacutes
28
Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo
com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5
quadrados) em diferentes formas
Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as
peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com
a figura
Soluccedilatildeo
ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
29
SoacutelidosGeomeacutetricos
Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico
Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria
Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas
Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo
Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico
soacutelido geomeacutetricofigura plana
30
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo
Prismas
Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)
Faces (Laterais)
Base
Arestas(Encontro das Faces
31
A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide
O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais
Piracircmides
Base
Veacutertice Principal
Veacutertices
Arestas
Faces
32
Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo
Soacutelidos de revoluccedilatildeo
Aresta
Linha Geratriz
Figura Geradora
Eixo
Facey
Superfiacutecie Ciliacutendrica
Base Inferior
33
A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo
Esfera
x
y
Superfiacutecie Esfeacuterica
Centro da Esfera
Raio da Esfera
Diacircmetroda Esfera
34
O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta
Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior
Cone
Referecircncias
Figura Geradora
Veacutertice
Superfiacutecie Cocircnica
Base
x
yEixo
Aresta
9
OrigemUma sugestatildeo para sua construccedilatildeo pode ser encontrada no livro de Matemaacutetica do
professor Imenes
ObjetivoTrabalhar a multiplicaccedilatildeo de dois nuacutemeros naturais sob o enfoque do raciociacutenio
combinatoacuterio no qual verificarmos quantas possibilidades existem de formar com duas coleccedilotildees
Copos Combinatoacuterios
10
Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes
Nuacutemero de participantes Indeterminado
Como jogar
Material3 copos plaacutesticosTiras de papeacuteis com diferentes coleccedilotildees (cores nuacutemeros objetos)Parafusos ou elaacutesticosFita adesiva transparenteColoque as tiras com a fita adesiva na borda superior externa dos copos encaixe
um dentro do outro com o parafuso ou o elaacutestico permitindo que os mesmos se movi-mentem
Como construir
ReferecircnciasAulas do 1ordm Sem LPM ndash FAAL ndash Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues
11
Gobangue
ObjetivoFormar no tabuleiro uma linha com cinco peccedilas adjacentes na horizontal ou na
vertical ou na diagonal onde a melhor estrateacutegia para ter mais chances de obter a vitoacuteria eacute a dissimulaccedilatildeo distrair o adversaacuterio fazendo algumas jogadas nas extremidades do tabu-leiro para ele natildeo perceber a sua jogada principal
Como construirUm tabuleiro (de Damas) 10 x 10 e 100 (cem) fichas sendo 50 pretas e 50 brancas
12
O participante que escolheu as 50 peccedilas pretas inicia o jogo cada jogador alterna-damente na sua vez coloca uma peccedila no tabuleiro procurando atingir o objetivo
Como jogar
ReferecircnciasLaboratoacuterio do Ensino da Matemaacutetica ndash UNG (Universidade de Guarulhos)
13
Jogo do Xsup2
OrigemJogo criado pelo aluno Wilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP
Como construirUm tabuleiro onde constam potecircncias (quadrados dos nuacutemeros 1 a 10) dispostas
nos lados de um quadrado ou nas linhas de um X 40 (quarenta) fichas (vinte na cor verde e vinte na cor marrom) e 3 (trecircs) dados (dois com faces numeradas de 1 a 5 e uma nula iden-tificada com a cor vermelha e um com trecircs faces com a indicaccedilatildeo X e trecircs faces com 1048709)
14
Cada participante na sua vez joga os trecircs dados adiciona os pontos obtidos nos dados numeacutericos eleva o resultado (soma) ao quadrado a potecircncia obtida seraacute marcada no tabuleiro com sua peccedila ou no X ou no 1048709 conforme a indicaccedilatildeo sorteada no terceirodado
Nota observar que os dados numeacutericos tecircm uma face nulaSe os dois dados numeacutericos indicarem no sorteio faces nulas o participante passa
a vez para o adversaacuterio Se a casa da potecircncia obtida jaacute estiver preenchida o jogador passa a vez para o adversaacuterio O participante que completar a figura X ou 1048709 com suas peccedilasvenceraacute o jogo
Como jogar
ReferecircnciasWilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP
15
OrigemO Jogo da Velha denominado Tic Tac Toe ou Nough and Crosses em Inglecircs eacute um
jogo simples e praacutetico que natildeo possui origem conhecida Todavia sua popularidade eacute in-ternacional desde a antiguidade Haacute registros de que o jogo existia na eacutepoca do Impeacuterio Romano mas natildeo haacute provas de que tenha sido criado pelos Romanos fato este que nos faz crer que o Jogo da Velha pode ser mais antigo do que se pensa
Uma soluccedilatildeo para melhorar o tradicional Jogo da Velha eacute passar da bidimensiona-lidade para a tridimensionalidade
ObjetivoEacute conseguir formar uma linha vertical horizontal ou diagonal de trecircs X ou O A di-
ficuldade todavia reside no aspecto de que o jogo se daacute por turnos o que o torna muito simples a tarefa de seu oponente travar suas jogadas marcando um dos quadrados conse-quumlentes aos seus
Jogo da Velha
16
Por ser demais conhecido dispensa o ensino de suas regras podendo ser jogado sobre um tabuleiro ou mesmo sendo riscado em um papel
Para construiacute-lo em folha de papel desenhe duas linhas horizontais e duas linhas verticais formando um tabuleiro onde seratildeo preenchidos com o X ou com o O
Para construiacute-lo na tridimensionalidade desenhar o tabuleiro em 3 placas de ma-deira fazer o lsquoXrsquo e o lsquoOrsquo de isopor e depois colocar os tabuleiros de uma forma que fiquem um sobre o outro aumentando o grau de dificuldade do jogo
Cada um dos jogadores que se enfrentam na disputa do jogo poderaacute marcar qual-quer um dos espaccedilos externos ou mesmo interno com um dos seus sinais X ou O sendo que nenhum dos jogadores poderaacute marcar um sinal igual ao do adversaacuterio Em suma cada jogador em turnos alternados deveraacute marcar um dos nove espaccedilos
Como construir
Como jogar
ReferecircnciashttpptwikipediaorgwikiJogo_da_velha
17
OrigemCarl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu ateacute 1855 Eacute considerado um dos maio-
res matemaacuteticos de todos os tempos Gauss teve a estatura de Arquimedes e de Newton e seus campos de interesse excederam os de ambos Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemaacutetica e para a Teoria dos Nuacutemeros Seu pai era jardineiro e assistente de um co-merciante e enquanto crianccedila mostrou grande talento para a matemaacutetica Sua produccedilatildeo intelectual foi precoce existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a foacutermula da soma dos n primeiros termos de uma progressatildeo aritmeacutetica Diz a histoacuteria que sua professora primaacuteria para manter a classe ocupada lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100 tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilizaccedilatildeo da foacutermula da PA Sn = n(a1 + an) 2
Curva de Gauss
18
Objetivo
Como construir
Como jogar
Mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental Mas pode tambeacutem mostrar como se distribuem os dados em vaacuterias situaccedilotildees originadas de eventos mutuamente independentes A distribuiccedilatildeo de Gauss aparece frequentemente nas esta-tiacutesticas Experimentalmente processos aleatoacuterios independentes levam agrave distribuiccedilatildeo de Gauss ou a uma distribuiccedilatildeo normal
Em uma prancha onde se monta o arranjo de triacircngulos e as colunas pode ser de madeira polida pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas de acordo com a foto acima Os obstaacuteculos triangulares satildeo de madeira dura Podem tambeacutem ter a forma de hexaacutegonos Devem ser fixos na prancha As bolinhas de gude ou vidro Dependendo do tamanho de sua prancha podem ser necessaacuterias umas 100 bolinhas ou mais Seraacute neces-saacuterio ainda um funil plaacutestico por onde as bolinhas devem passar
Colocar as bolinhas com o auxilio do funil despejando-as aleatoriamente e verifi-que as figuras formadas dentro da prancha
Referecircnciashttpwwwwikipediacomhttpwwwsearaufcbrsugestoesfisicaespec4htmAulas de estatiacutestica 2ordm Sem 2007 Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues ndash FAAL
- Limeira SP
19
Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo
ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos
O Fatiacutedico 13
20
Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-
ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
21
Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5
(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro
ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-
ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo
Torre de Hanoacutei
22
Como jogar
Observaccedilotildees
Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor
1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento
2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos
3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos
4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
23
ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos
Jogo dos Palitos
Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos
24
Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo
Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
25
ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro
Tabuleiro Enigmaacutetico
26
Como construir
Como jogar
Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo
Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente
Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha
leva agrave peccedila
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
27
ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes
Pentaminoacutes
28
Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo
com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5
quadrados) em diferentes formas
Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as
peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com
a figura
Soluccedilatildeo
ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
29
SoacutelidosGeomeacutetricos
Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico
Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria
Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas
Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo
Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico
soacutelido geomeacutetricofigura plana
30
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo
Prismas
Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)
Faces (Laterais)
Base
Arestas(Encontro das Faces
31
A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide
O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais
Piracircmides
Base
Veacutertice Principal
Veacutertices
Arestas
Faces
32
Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo
Soacutelidos de revoluccedilatildeo
Aresta
Linha Geratriz
Figura Geradora
Eixo
Facey
Superfiacutecie Ciliacutendrica
Base Inferior
33
A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo
Esfera
x
y
Superfiacutecie Esfeacuterica
Centro da Esfera
Raio da Esfera
Diacircmetroda Esfera
34
O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta
Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior
Cone
Referecircncias
Figura Geradora
Veacutertice
Superfiacutecie Cocircnica
Base
x
yEixo
Aresta
10
Coloque as latas (ou garrafas) formando um triacircngulo determine uma distacircncia para jogar a bola nas latas e some os pontos obtidos Cada rodada corresponde a trecircs jo-gadas e deve ser revezada entre cada um dos participantes
Nuacutemero de participantes Indeterminado
Como jogar
Material3 copos plaacutesticosTiras de papeacuteis com diferentes coleccedilotildees (cores nuacutemeros objetos)Parafusos ou elaacutesticosFita adesiva transparenteColoque as tiras com a fita adesiva na borda superior externa dos copos encaixe
um dentro do outro com o parafuso ou o elaacutestico permitindo que os mesmos se movi-mentem
Como construir
ReferecircnciasAulas do 1ordm Sem LPM ndash FAAL ndash Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues
11
Gobangue
ObjetivoFormar no tabuleiro uma linha com cinco peccedilas adjacentes na horizontal ou na
vertical ou na diagonal onde a melhor estrateacutegia para ter mais chances de obter a vitoacuteria eacute a dissimulaccedilatildeo distrair o adversaacuterio fazendo algumas jogadas nas extremidades do tabu-leiro para ele natildeo perceber a sua jogada principal
Como construirUm tabuleiro (de Damas) 10 x 10 e 100 (cem) fichas sendo 50 pretas e 50 brancas
12
O participante que escolheu as 50 peccedilas pretas inicia o jogo cada jogador alterna-damente na sua vez coloca uma peccedila no tabuleiro procurando atingir o objetivo
Como jogar
ReferecircnciasLaboratoacuterio do Ensino da Matemaacutetica ndash UNG (Universidade de Guarulhos)
13
Jogo do Xsup2
OrigemJogo criado pelo aluno Wilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP
Como construirUm tabuleiro onde constam potecircncias (quadrados dos nuacutemeros 1 a 10) dispostas
nos lados de um quadrado ou nas linhas de um X 40 (quarenta) fichas (vinte na cor verde e vinte na cor marrom) e 3 (trecircs) dados (dois com faces numeradas de 1 a 5 e uma nula iden-tificada com a cor vermelha e um com trecircs faces com a indicaccedilatildeo X e trecircs faces com 1048709)
14
Cada participante na sua vez joga os trecircs dados adiciona os pontos obtidos nos dados numeacutericos eleva o resultado (soma) ao quadrado a potecircncia obtida seraacute marcada no tabuleiro com sua peccedila ou no X ou no 1048709 conforme a indicaccedilatildeo sorteada no terceirodado
Nota observar que os dados numeacutericos tecircm uma face nulaSe os dois dados numeacutericos indicarem no sorteio faces nulas o participante passa
a vez para o adversaacuterio Se a casa da potecircncia obtida jaacute estiver preenchida o jogador passa a vez para o adversaacuterio O participante que completar a figura X ou 1048709 com suas peccedilasvenceraacute o jogo
Como jogar
ReferecircnciasWilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP
15
OrigemO Jogo da Velha denominado Tic Tac Toe ou Nough and Crosses em Inglecircs eacute um
jogo simples e praacutetico que natildeo possui origem conhecida Todavia sua popularidade eacute in-ternacional desde a antiguidade Haacute registros de que o jogo existia na eacutepoca do Impeacuterio Romano mas natildeo haacute provas de que tenha sido criado pelos Romanos fato este que nos faz crer que o Jogo da Velha pode ser mais antigo do que se pensa
Uma soluccedilatildeo para melhorar o tradicional Jogo da Velha eacute passar da bidimensiona-lidade para a tridimensionalidade
ObjetivoEacute conseguir formar uma linha vertical horizontal ou diagonal de trecircs X ou O A di-
ficuldade todavia reside no aspecto de que o jogo se daacute por turnos o que o torna muito simples a tarefa de seu oponente travar suas jogadas marcando um dos quadrados conse-quumlentes aos seus
Jogo da Velha
16
Por ser demais conhecido dispensa o ensino de suas regras podendo ser jogado sobre um tabuleiro ou mesmo sendo riscado em um papel
Para construiacute-lo em folha de papel desenhe duas linhas horizontais e duas linhas verticais formando um tabuleiro onde seratildeo preenchidos com o X ou com o O
Para construiacute-lo na tridimensionalidade desenhar o tabuleiro em 3 placas de ma-deira fazer o lsquoXrsquo e o lsquoOrsquo de isopor e depois colocar os tabuleiros de uma forma que fiquem um sobre o outro aumentando o grau de dificuldade do jogo
Cada um dos jogadores que se enfrentam na disputa do jogo poderaacute marcar qual-quer um dos espaccedilos externos ou mesmo interno com um dos seus sinais X ou O sendo que nenhum dos jogadores poderaacute marcar um sinal igual ao do adversaacuterio Em suma cada jogador em turnos alternados deveraacute marcar um dos nove espaccedilos
Como construir
Como jogar
ReferecircnciashttpptwikipediaorgwikiJogo_da_velha
17
OrigemCarl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu ateacute 1855 Eacute considerado um dos maio-
res matemaacuteticos de todos os tempos Gauss teve a estatura de Arquimedes e de Newton e seus campos de interesse excederam os de ambos Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemaacutetica e para a Teoria dos Nuacutemeros Seu pai era jardineiro e assistente de um co-merciante e enquanto crianccedila mostrou grande talento para a matemaacutetica Sua produccedilatildeo intelectual foi precoce existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a foacutermula da soma dos n primeiros termos de uma progressatildeo aritmeacutetica Diz a histoacuteria que sua professora primaacuteria para manter a classe ocupada lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100 tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilizaccedilatildeo da foacutermula da PA Sn = n(a1 + an) 2
Curva de Gauss
18
Objetivo
Como construir
Como jogar
Mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental Mas pode tambeacutem mostrar como se distribuem os dados em vaacuterias situaccedilotildees originadas de eventos mutuamente independentes A distribuiccedilatildeo de Gauss aparece frequentemente nas esta-tiacutesticas Experimentalmente processos aleatoacuterios independentes levam agrave distribuiccedilatildeo de Gauss ou a uma distribuiccedilatildeo normal
Em uma prancha onde se monta o arranjo de triacircngulos e as colunas pode ser de madeira polida pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas de acordo com a foto acima Os obstaacuteculos triangulares satildeo de madeira dura Podem tambeacutem ter a forma de hexaacutegonos Devem ser fixos na prancha As bolinhas de gude ou vidro Dependendo do tamanho de sua prancha podem ser necessaacuterias umas 100 bolinhas ou mais Seraacute neces-saacuterio ainda um funil plaacutestico por onde as bolinhas devem passar
Colocar as bolinhas com o auxilio do funil despejando-as aleatoriamente e verifi-que as figuras formadas dentro da prancha
Referecircnciashttpwwwwikipediacomhttpwwwsearaufcbrsugestoesfisicaespec4htmAulas de estatiacutestica 2ordm Sem 2007 Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues ndash FAAL
- Limeira SP
19
Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo
ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos
O Fatiacutedico 13
20
Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-
ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
21
Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5
(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro
ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-
ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo
Torre de Hanoacutei
22
Como jogar
Observaccedilotildees
Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor
1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento
2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos
3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos
4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
23
ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos
Jogo dos Palitos
Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos
24
Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo
Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
25
ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro
Tabuleiro Enigmaacutetico
26
Como construir
Como jogar
Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo
Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente
Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha
leva agrave peccedila
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
27
ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes
Pentaminoacutes
28
Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo
com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5
quadrados) em diferentes formas
Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as
peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com
a figura
Soluccedilatildeo
ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
29
SoacutelidosGeomeacutetricos
Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico
Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria
Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas
Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo
Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico
soacutelido geomeacutetricofigura plana
30
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo
Prismas
Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)
Faces (Laterais)
Base
Arestas(Encontro das Faces
31
A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide
O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais
Piracircmides
Base
Veacutertice Principal
Veacutertices
Arestas
Faces
32
Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo
Soacutelidos de revoluccedilatildeo
Aresta
Linha Geratriz
Figura Geradora
Eixo
Facey
Superfiacutecie Ciliacutendrica
Base Inferior
33
A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo
Esfera
x
y
Superfiacutecie Esfeacuterica
Centro da Esfera
Raio da Esfera
Diacircmetroda Esfera
34
O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta
Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior
Cone
Referecircncias
Figura Geradora
Veacutertice
Superfiacutecie Cocircnica
Base
x
yEixo
Aresta
11
Gobangue
ObjetivoFormar no tabuleiro uma linha com cinco peccedilas adjacentes na horizontal ou na
vertical ou na diagonal onde a melhor estrateacutegia para ter mais chances de obter a vitoacuteria eacute a dissimulaccedilatildeo distrair o adversaacuterio fazendo algumas jogadas nas extremidades do tabu-leiro para ele natildeo perceber a sua jogada principal
Como construirUm tabuleiro (de Damas) 10 x 10 e 100 (cem) fichas sendo 50 pretas e 50 brancas
12
O participante que escolheu as 50 peccedilas pretas inicia o jogo cada jogador alterna-damente na sua vez coloca uma peccedila no tabuleiro procurando atingir o objetivo
Como jogar
ReferecircnciasLaboratoacuterio do Ensino da Matemaacutetica ndash UNG (Universidade de Guarulhos)
13
Jogo do Xsup2
OrigemJogo criado pelo aluno Wilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP
Como construirUm tabuleiro onde constam potecircncias (quadrados dos nuacutemeros 1 a 10) dispostas
nos lados de um quadrado ou nas linhas de um X 40 (quarenta) fichas (vinte na cor verde e vinte na cor marrom) e 3 (trecircs) dados (dois com faces numeradas de 1 a 5 e uma nula iden-tificada com a cor vermelha e um com trecircs faces com a indicaccedilatildeo X e trecircs faces com 1048709)
14
Cada participante na sua vez joga os trecircs dados adiciona os pontos obtidos nos dados numeacutericos eleva o resultado (soma) ao quadrado a potecircncia obtida seraacute marcada no tabuleiro com sua peccedila ou no X ou no 1048709 conforme a indicaccedilatildeo sorteada no terceirodado
Nota observar que os dados numeacutericos tecircm uma face nulaSe os dois dados numeacutericos indicarem no sorteio faces nulas o participante passa
a vez para o adversaacuterio Se a casa da potecircncia obtida jaacute estiver preenchida o jogador passa a vez para o adversaacuterio O participante que completar a figura X ou 1048709 com suas peccedilasvenceraacute o jogo
Como jogar
ReferecircnciasWilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP
15
OrigemO Jogo da Velha denominado Tic Tac Toe ou Nough and Crosses em Inglecircs eacute um
jogo simples e praacutetico que natildeo possui origem conhecida Todavia sua popularidade eacute in-ternacional desde a antiguidade Haacute registros de que o jogo existia na eacutepoca do Impeacuterio Romano mas natildeo haacute provas de que tenha sido criado pelos Romanos fato este que nos faz crer que o Jogo da Velha pode ser mais antigo do que se pensa
Uma soluccedilatildeo para melhorar o tradicional Jogo da Velha eacute passar da bidimensiona-lidade para a tridimensionalidade
ObjetivoEacute conseguir formar uma linha vertical horizontal ou diagonal de trecircs X ou O A di-
ficuldade todavia reside no aspecto de que o jogo se daacute por turnos o que o torna muito simples a tarefa de seu oponente travar suas jogadas marcando um dos quadrados conse-quumlentes aos seus
Jogo da Velha
16
Por ser demais conhecido dispensa o ensino de suas regras podendo ser jogado sobre um tabuleiro ou mesmo sendo riscado em um papel
Para construiacute-lo em folha de papel desenhe duas linhas horizontais e duas linhas verticais formando um tabuleiro onde seratildeo preenchidos com o X ou com o O
Para construiacute-lo na tridimensionalidade desenhar o tabuleiro em 3 placas de ma-deira fazer o lsquoXrsquo e o lsquoOrsquo de isopor e depois colocar os tabuleiros de uma forma que fiquem um sobre o outro aumentando o grau de dificuldade do jogo
Cada um dos jogadores que se enfrentam na disputa do jogo poderaacute marcar qual-quer um dos espaccedilos externos ou mesmo interno com um dos seus sinais X ou O sendo que nenhum dos jogadores poderaacute marcar um sinal igual ao do adversaacuterio Em suma cada jogador em turnos alternados deveraacute marcar um dos nove espaccedilos
Como construir
Como jogar
ReferecircnciashttpptwikipediaorgwikiJogo_da_velha
17
OrigemCarl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu ateacute 1855 Eacute considerado um dos maio-
res matemaacuteticos de todos os tempos Gauss teve a estatura de Arquimedes e de Newton e seus campos de interesse excederam os de ambos Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemaacutetica e para a Teoria dos Nuacutemeros Seu pai era jardineiro e assistente de um co-merciante e enquanto crianccedila mostrou grande talento para a matemaacutetica Sua produccedilatildeo intelectual foi precoce existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a foacutermula da soma dos n primeiros termos de uma progressatildeo aritmeacutetica Diz a histoacuteria que sua professora primaacuteria para manter a classe ocupada lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100 tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilizaccedilatildeo da foacutermula da PA Sn = n(a1 + an) 2
Curva de Gauss
18
Objetivo
Como construir
Como jogar
Mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental Mas pode tambeacutem mostrar como se distribuem os dados em vaacuterias situaccedilotildees originadas de eventos mutuamente independentes A distribuiccedilatildeo de Gauss aparece frequentemente nas esta-tiacutesticas Experimentalmente processos aleatoacuterios independentes levam agrave distribuiccedilatildeo de Gauss ou a uma distribuiccedilatildeo normal
Em uma prancha onde se monta o arranjo de triacircngulos e as colunas pode ser de madeira polida pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas de acordo com a foto acima Os obstaacuteculos triangulares satildeo de madeira dura Podem tambeacutem ter a forma de hexaacutegonos Devem ser fixos na prancha As bolinhas de gude ou vidro Dependendo do tamanho de sua prancha podem ser necessaacuterias umas 100 bolinhas ou mais Seraacute neces-saacuterio ainda um funil plaacutestico por onde as bolinhas devem passar
Colocar as bolinhas com o auxilio do funil despejando-as aleatoriamente e verifi-que as figuras formadas dentro da prancha
Referecircnciashttpwwwwikipediacomhttpwwwsearaufcbrsugestoesfisicaespec4htmAulas de estatiacutestica 2ordm Sem 2007 Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues ndash FAAL
- Limeira SP
19
Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo
ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos
O Fatiacutedico 13
20
Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-
ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
21
Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5
(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro
ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-
ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo
Torre de Hanoacutei
22
Como jogar
Observaccedilotildees
Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor
1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento
2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos
3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos
4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
23
ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos
Jogo dos Palitos
Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos
24
Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo
Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
25
ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro
Tabuleiro Enigmaacutetico
26
Como construir
Como jogar
Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo
Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente
Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha
leva agrave peccedila
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
27
ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes
Pentaminoacutes
28
Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo
com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5
quadrados) em diferentes formas
Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as
peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com
a figura
Soluccedilatildeo
ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
29
SoacutelidosGeomeacutetricos
Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico
Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria
Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas
Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo
Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico
soacutelido geomeacutetricofigura plana
30
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo
Prismas
Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)
Faces (Laterais)
Base
Arestas(Encontro das Faces
31
A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide
O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais
Piracircmides
Base
Veacutertice Principal
Veacutertices
Arestas
Faces
32
Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo
Soacutelidos de revoluccedilatildeo
Aresta
Linha Geratriz
Figura Geradora
Eixo
Facey
Superfiacutecie Ciliacutendrica
Base Inferior
33
A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo
Esfera
x
y
Superfiacutecie Esfeacuterica
Centro da Esfera
Raio da Esfera
Diacircmetroda Esfera
34
O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta
Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior
Cone
Referecircncias
Figura Geradora
Veacutertice
Superfiacutecie Cocircnica
Base
x
yEixo
Aresta
12
O participante que escolheu as 50 peccedilas pretas inicia o jogo cada jogador alterna-damente na sua vez coloca uma peccedila no tabuleiro procurando atingir o objetivo
Como jogar
ReferecircnciasLaboratoacuterio do Ensino da Matemaacutetica ndash UNG (Universidade de Guarulhos)
13
Jogo do Xsup2
OrigemJogo criado pelo aluno Wilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP
Como construirUm tabuleiro onde constam potecircncias (quadrados dos nuacutemeros 1 a 10) dispostas
nos lados de um quadrado ou nas linhas de um X 40 (quarenta) fichas (vinte na cor verde e vinte na cor marrom) e 3 (trecircs) dados (dois com faces numeradas de 1 a 5 e uma nula iden-tificada com a cor vermelha e um com trecircs faces com a indicaccedilatildeo X e trecircs faces com 1048709)
14
Cada participante na sua vez joga os trecircs dados adiciona os pontos obtidos nos dados numeacutericos eleva o resultado (soma) ao quadrado a potecircncia obtida seraacute marcada no tabuleiro com sua peccedila ou no X ou no 1048709 conforme a indicaccedilatildeo sorteada no terceirodado
Nota observar que os dados numeacutericos tecircm uma face nulaSe os dois dados numeacutericos indicarem no sorteio faces nulas o participante passa
a vez para o adversaacuterio Se a casa da potecircncia obtida jaacute estiver preenchida o jogador passa a vez para o adversaacuterio O participante que completar a figura X ou 1048709 com suas peccedilasvenceraacute o jogo
Como jogar
ReferecircnciasWilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP
15
OrigemO Jogo da Velha denominado Tic Tac Toe ou Nough and Crosses em Inglecircs eacute um
jogo simples e praacutetico que natildeo possui origem conhecida Todavia sua popularidade eacute in-ternacional desde a antiguidade Haacute registros de que o jogo existia na eacutepoca do Impeacuterio Romano mas natildeo haacute provas de que tenha sido criado pelos Romanos fato este que nos faz crer que o Jogo da Velha pode ser mais antigo do que se pensa
Uma soluccedilatildeo para melhorar o tradicional Jogo da Velha eacute passar da bidimensiona-lidade para a tridimensionalidade
ObjetivoEacute conseguir formar uma linha vertical horizontal ou diagonal de trecircs X ou O A di-
ficuldade todavia reside no aspecto de que o jogo se daacute por turnos o que o torna muito simples a tarefa de seu oponente travar suas jogadas marcando um dos quadrados conse-quumlentes aos seus
Jogo da Velha
16
Por ser demais conhecido dispensa o ensino de suas regras podendo ser jogado sobre um tabuleiro ou mesmo sendo riscado em um papel
Para construiacute-lo em folha de papel desenhe duas linhas horizontais e duas linhas verticais formando um tabuleiro onde seratildeo preenchidos com o X ou com o O
Para construiacute-lo na tridimensionalidade desenhar o tabuleiro em 3 placas de ma-deira fazer o lsquoXrsquo e o lsquoOrsquo de isopor e depois colocar os tabuleiros de uma forma que fiquem um sobre o outro aumentando o grau de dificuldade do jogo
Cada um dos jogadores que se enfrentam na disputa do jogo poderaacute marcar qual-quer um dos espaccedilos externos ou mesmo interno com um dos seus sinais X ou O sendo que nenhum dos jogadores poderaacute marcar um sinal igual ao do adversaacuterio Em suma cada jogador em turnos alternados deveraacute marcar um dos nove espaccedilos
Como construir
Como jogar
ReferecircnciashttpptwikipediaorgwikiJogo_da_velha
17
OrigemCarl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu ateacute 1855 Eacute considerado um dos maio-
res matemaacuteticos de todos os tempos Gauss teve a estatura de Arquimedes e de Newton e seus campos de interesse excederam os de ambos Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemaacutetica e para a Teoria dos Nuacutemeros Seu pai era jardineiro e assistente de um co-merciante e enquanto crianccedila mostrou grande talento para a matemaacutetica Sua produccedilatildeo intelectual foi precoce existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a foacutermula da soma dos n primeiros termos de uma progressatildeo aritmeacutetica Diz a histoacuteria que sua professora primaacuteria para manter a classe ocupada lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100 tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilizaccedilatildeo da foacutermula da PA Sn = n(a1 + an) 2
Curva de Gauss
18
Objetivo
Como construir
Como jogar
Mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental Mas pode tambeacutem mostrar como se distribuem os dados em vaacuterias situaccedilotildees originadas de eventos mutuamente independentes A distribuiccedilatildeo de Gauss aparece frequentemente nas esta-tiacutesticas Experimentalmente processos aleatoacuterios independentes levam agrave distribuiccedilatildeo de Gauss ou a uma distribuiccedilatildeo normal
Em uma prancha onde se monta o arranjo de triacircngulos e as colunas pode ser de madeira polida pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas de acordo com a foto acima Os obstaacuteculos triangulares satildeo de madeira dura Podem tambeacutem ter a forma de hexaacutegonos Devem ser fixos na prancha As bolinhas de gude ou vidro Dependendo do tamanho de sua prancha podem ser necessaacuterias umas 100 bolinhas ou mais Seraacute neces-saacuterio ainda um funil plaacutestico por onde as bolinhas devem passar
Colocar as bolinhas com o auxilio do funil despejando-as aleatoriamente e verifi-que as figuras formadas dentro da prancha
Referecircnciashttpwwwwikipediacomhttpwwwsearaufcbrsugestoesfisicaespec4htmAulas de estatiacutestica 2ordm Sem 2007 Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues ndash FAAL
- Limeira SP
19
Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo
ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos
O Fatiacutedico 13
20
Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-
ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
21
Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5
(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro
ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-
ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo
Torre de Hanoacutei
22
Como jogar
Observaccedilotildees
Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor
1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento
2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos
3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos
4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
23
ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos
Jogo dos Palitos
Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos
24
Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo
Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
25
ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro
Tabuleiro Enigmaacutetico
26
Como construir
Como jogar
Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo
Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente
Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha
leva agrave peccedila
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
27
ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes
Pentaminoacutes
28
Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo
com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5
quadrados) em diferentes formas
Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as
peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com
a figura
Soluccedilatildeo
ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
29
SoacutelidosGeomeacutetricos
Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico
Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria
Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas
Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo
Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico
soacutelido geomeacutetricofigura plana
30
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo
Prismas
Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)
Faces (Laterais)
Base
Arestas(Encontro das Faces
31
A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide
O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais
Piracircmides
Base
Veacutertice Principal
Veacutertices
Arestas
Faces
32
Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo
Soacutelidos de revoluccedilatildeo
Aresta
Linha Geratriz
Figura Geradora
Eixo
Facey
Superfiacutecie Ciliacutendrica
Base Inferior
33
A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo
Esfera
x
y
Superfiacutecie Esfeacuterica
Centro da Esfera
Raio da Esfera
Diacircmetroda Esfera
34
O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta
Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior
Cone
Referecircncias
Figura Geradora
Veacutertice
Superfiacutecie Cocircnica
Base
x
yEixo
Aresta
13
Jogo do Xsup2
OrigemJogo criado pelo aluno Wilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP
Como construirUm tabuleiro onde constam potecircncias (quadrados dos nuacutemeros 1 a 10) dispostas
nos lados de um quadrado ou nas linhas de um X 40 (quarenta) fichas (vinte na cor verde e vinte na cor marrom) e 3 (trecircs) dados (dois com faces numeradas de 1 a 5 e uma nula iden-tificada com a cor vermelha e um com trecircs faces com a indicaccedilatildeo X e trecircs faces com 1048709)
14
Cada participante na sua vez joga os trecircs dados adiciona os pontos obtidos nos dados numeacutericos eleva o resultado (soma) ao quadrado a potecircncia obtida seraacute marcada no tabuleiro com sua peccedila ou no X ou no 1048709 conforme a indicaccedilatildeo sorteada no terceirodado
Nota observar que os dados numeacutericos tecircm uma face nulaSe os dois dados numeacutericos indicarem no sorteio faces nulas o participante passa
a vez para o adversaacuterio Se a casa da potecircncia obtida jaacute estiver preenchida o jogador passa a vez para o adversaacuterio O participante que completar a figura X ou 1048709 com suas peccedilasvenceraacute o jogo
Como jogar
ReferecircnciasWilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP
15
OrigemO Jogo da Velha denominado Tic Tac Toe ou Nough and Crosses em Inglecircs eacute um
jogo simples e praacutetico que natildeo possui origem conhecida Todavia sua popularidade eacute in-ternacional desde a antiguidade Haacute registros de que o jogo existia na eacutepoca do Impeacuterio Romano mas natildeo haacute provas de que tenha sido criado pelos Romanos fato este que nos faz crer que o Jogo da Velha pode ser mais antigo do que se pensa
Uma soluccedilatildeo para melhorar o tradicional Jogo da Velha eacute passar da bidimensiona-lidade para a tridimensionalidade
ObjetivoEacute conseguir formar uma linha vertical horizontal ou diagonal de trecircs X ou O A di-
ficuldade todavia reside no aspecto de que o jogo se daacute por turnos o que o torna muito simples a tarefa de seu oponente travar suas jogadas marcando um dos quadrados conse-quumlentes aos seus
Jogo da Velha
16
Por ser demais conhecido dispensa o ensino de suas regras podendo ser jogado sobre um tabuleiro ou mesmo sendo riscado em um papel
Para construiacute-lo em folha de papel desenhe duas linhas horizontais e duas linhas verticais formando um tabuleiro onde seratildeo preenchidos com o X ou com o O
Para construiacute-lo na tridimensionalidade desenhar o tabuleiro em 3 placas de ma-deira fazer o lsquoXrsquo e o lsquoOrsquo de isopor e depois colocar os tabuleiros de uma forma que fiquem um sobre o outro aumentando o grau de dificuldade do jogo
Cada um dos jogadores que se enfrentam na disputa do jogo poderaacute marcar qual-quer um dos espaccedilos externos ou mesmo interno com um dos seus sinais X ou O sendo que nenhum dos jogadores poderaacute marcar um sinal igual ao do adversaacuterio Em suma cada jogador em turnos alternados deveraacute marcar um dos nove espaccedilos
Como construir
Como jogar
ReferecircnciashttpptwikipediaorgwikiJogo_da_velha
17
OrigemCarl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu ateacute 1855 Eacute considerado um dos maio-
res matemaacuteticos de todos os tempos Gauss teve a estatura de Arquimedes e de Newton e seus campos de interesse excederam os de ambos Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemaacutetica e para a Teoria dos Nuacutemeros Seu pai era jardineiro e assistente de um co-merciante e enquanto crianccedila mostrou grande talento para a matemaacutetica Sua produccedilatildeo intelectual foi precoce existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a foacutermula da soma dos n primeiros termos de uma progressatildeo aritmeacutetica Diz a histoacuteria que sua professora primaacuteria para manter a classe ocupada lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100 tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilizaccedilatildeo da foacutermula da PA Sn = n(a1 + an) 2
Curva de Gauss
18
Objetivo
Como construir
Como jogar
Mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental Mas pode tambeacutem mostrar como se distribuem os dados em vaacuterias situaccedilotildees originadas de eventos mutuamente independentes A distribuiccedilatildeo de Gauss aparece frequentemente nas esta-tiacutesticas Experimentalmente processos aleatoacuterios independentes levam agrave distribuiccedilatildeo de Gauss ou a uma distribuiccedilatildeo normal
Em uma prancha onde se monta o arranjo de triacircngulos e as colunas pode ser de madeira polida pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas de acordo com a foto acima Os obstaacuteculos triangulares satildeo de madeira dura Podem tambeacutem ter a forma de hexaacutegonos Devem ser fixos na prancha As bolinhas de gude ou vidro Dependendo do tamanho de sua prancha podem ser necessaacuterias umas 100 bolinhas ou mais Seraacute neces-saacuterio ainda um funil plaacutestico por onde as bolinhas devem passar
Colocar as bolinhas com o auxilio do funil despejando-as aleatoriamente e verifi-que as figuras formadas dentro da prancha
Referecircnciashttpwwwwikipediacomhttpwwwsearaufcbrsugestoesfisicaespec4htmAulas de estatiacutestica 2ordm Sem 2007 Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues ndash FAAL
- Limeira SP
19
Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo
ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos
O Fatiacutedico 13
20
Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-
ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
21
Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5
(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro
ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-
ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo
Torre de Hanoacutei
22
Como jogar
Observaccedilotildees
Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor
1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento
2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos
3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos
4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
23
ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos
Jogo dos Palitos
Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos
24
Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo
Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
25
ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro
Tabuleiro Enigmaacutetico
26
Como construir
Como jogar
Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo
Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente
Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha
leva agrave peccedila
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
27
ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes
Pentaminoacutes
28
Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo
com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5
quadrados) em diferentes formas
Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as
peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com
a figura
Soluccedilatildeo
ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
29
SoacutelidosGeomeacutetricos
Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico
Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria
Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas
Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo
Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico
soacutelido geomeacutetricofigura plana
30
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo
Prismas
Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)
Faces (Laterais)
Base
Arestas(Encontro das Faces
31
A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide
O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais
Piracircmides
Base
Veacutertice Principal
Veacutertices
Arestas
Faces
32
Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo
Soacutelidos de revoluccedilatildeo
Aresta
Linha Geratriz
Figura Geradora
Eixo
Facey
Superfiacutecie Ciliacutendrica
Base Inferior
33
A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo
Esfera
x
y
Superfiacutecie Esfeacuterica
Centro da Esfera
Raio da Esfera
Diacircmetroda Esfera
34
O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta
Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior
Cone
Referecircncias
Figura Geradora
Veacutertice
Superfiacutecie Cocircnica
Base
x
yEixo
Aresta
14
Cada participante na sua vez joga os trecircs dados adiciona os pontos obtidos nos dados numeacutericos eleva o resultado (soma) ao quadrado a potecircncia obtida seraacute marcada no tabuleiro com sua peccedila ou no X ou no 1048709 conforme a indicaccedilatildeo sorteada no terceirodado
Nota observar que os dados numeacutericos tecircm uma face nulaSe os dois dados numeacutericos indicarem no sorteio faces nulas o participante passa
a vez para o adversaacuterio Se a casa da potecircncia obtida jaacute estiver preenchida o jogador passa a vez para o adversaacuterio O participante que completar a figura X ou 1048709 com suas peccedilasvenceraacute o jogo
Como jogar
ReferecircnciasWilson Sabino Roque Universidade de GuarulhosSP
15
OrigemO Jogo da Velha denominado Tic Tac Toe ou Nough and Crosses em Inglecircs eacute um
jogo simples e praacutetico que natildeo possui origem conhecida Todavia sua popularidade eacute in-ternacional desde a antiguidade Haacute registros de que o jogo existia na eacutepoca do Impeacuterio Romano mas natildeo haacute provas de que tenha sido criado pelos Romanos fato este que nos faz crer que o Jogo da Velha pode ser mais antigo do que se pensa
Uma soluccedilatildeo para melhorar o tradicional Jogo da Velha eacute passar da bidimensiona-lidade para a tridimensionalidade
ObjetivoEacute conseguir formar uma linha vertical horizontal ou diagonal de trecircs X ou O A di-
ficuldade todavia reside no aspecto de que o jogo se daacute por turnos o que o torna muito simples a tarefa de seu oponente travar suas jogadas marcando um dos quadrados conse-quumlentes aos seus
Jogo da Velha
16
Por ser demais conhecido dispensa o ensino de suas regras podendo ser jogado sobre um tabuleiro ou mesmo sendo riscado em um papel
Para construiacute-lo em folha de papel desenhe duas linhas horizontais e duas linhas verticais formando um tabuleiro onde seratildeo preenchidos com o X ou com o O
Para construiacute-lo na tridimensionalidade desenhar o tabuleiro em 3 placas de ma-deira fazer o lsquoXrsquo e o lsquoOrsquo de isopor e depois colocar os tabuleiros de uma forma que fiquem um sobre o outro aumentando o grau de dificuldade do jogo
Cada um dos jogadores que se enfrentam na disputa do jogo poderaacute marcar qual-quer um dos espaccedilos externos ou mesmo interno com um dos seus sinais X ou O sendo que nenhum dos jogadores poderaacute marcar um sinal igual ao do adversaacuterio Em suma cada jogador em turnos alternados deveraacute marcar um dos nove espaccedilos
Como construir
Como jogar
ReferecircnciashttpptwikipediaorgwikiJogo_da_velha
17
OrigemCarl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu ateacute 1855 Eacute considerado um dos maio-
res matemaacuteticos de todos os tempos Gauss teve a estatura de Arquimedes e de Newton e seus campos de interesse excederam os de ambos Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemaacutetica e para a Teoria dos Nuacutemeros Seu pai era jardineiro e assistente de um co-merciante e enquanto crianccedila mostrou grande talento para a matemaacutetica Sua produccedilatildeo intelectual foi precoce existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a foacutermula da soma dos n primeiros termos de uma progressatildeo aritmeacutetica Diz a histoacuteria que sua professora primaacuteria para manter a classe ocupada lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100 tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilizaccedilatildeo da foacutermula da PA Sn = n(a1 + an) 2
Curva de Gauss
18
Objetivo
Como construir
Como jogar
Mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental Mas pode tambeacutem mostrar como se distribuem os dados em vaacuterias situaccedilotildees originadas de eventos mutuamente independentes A distribuiccedilatildeo de Gauss aparece frequentemente nas esta-tiacutesticas Experimentalmente processos aleatoacuterios independentes levam agrave distribuiccedilatildeo de Gauss ou a uma distribuiccedilatildeo normal
Em uma prancha onde se monta o arranjo de triacircngulos e as colunas pode ser de madeira polida pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas de acordo com a foto acima Os obstaacuteculos triangulares satildeo de madeira dura Podem tambeacutem ter a forma de hexaacutegonos Devem ser fixos na prancha As bolinhas de gude ou vidro Dependendo do tamanho de sua prancha podem ser necessaacuterias umas 100 bolinhas ou mais Seraacute neces-saacuterio ainda um funil plaacutestico por onde as bolinhas devem passar
Colocar as bolinhas com o auxilio do funil despejando-as aleatoriamente e verifi-que as figuras formadas dentro da prancha
Referecircnciashttpwwwwikipediacomhttpwwwsearaufcbrsugestoesfisicaespec4htmAulas de estatiacutestica 2ordm Sem 2007 Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues ndash FAAL
- Limeira SP
19
Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo
ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos
O Fatiacutedico 13
20
Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-
ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
21
Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5
(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro
ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-
ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo
Torre de Hanoacutei
22
Como jogar
Observaccedilotildees
Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor
1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento
2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos
3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos
4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
23
ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos
Jogo dos Palitos
Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos
24
Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo
Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
25
ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro
Tabuleiro Enigmaacutetico
26
Como construir
Como jogar
Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo
Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente
Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha
leva agrave peccedila
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
27
ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes
Pentaminoacutes
28
Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo
com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5
quadrados) em diferentes formas
Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as
peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com
a figura
Soluccedilatildeo
ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
29
SoacutelidosGeomeacutetricos
Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico
Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria
Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas
Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo
Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico
soacutelido geomeacutetricofigura plana
30
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo
Prismas
Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)
Faces (Laterais)
Base
Arestas(Encontro das Faces
31
A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide
O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais
Piracircmides
Base
Veacutertice Principal
Veacutertices
Arestas
Faces
32
Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo
Soacutelidos de revoluccedilatildeo
Aresta
Linha Geratriz
Figura Geradora
Eixo
Facey
Superfiacutecie Ciliacutendrica
Base Inferior
33
A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo
Esfera
x
y
Superfiacutecie Esfeacuterica
Centro da Esfera
Raio da Esfera
Diacircmetroda Esfera
34
O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta
Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior
Cone
Referecircncias
Figura Geradora
Veacutertice
Superfiacutecie Cocircnica
Base
x
yEixo
Aresta
15
OrigemO Jogo da Velha denominado Tic Tac Toe ou Nough and Crosses em Inglecircs eacute um
jogo simples e praacutetico que natildeo possui origem conhecida Todavia sua popularidade eacute in-ternacional desde a antiguidade Haacute registros de que o jogo existia na eacutepoca do Impeacuterio Romano mas natildeo haacute provas de que tenha sido criado pelos Romanos fato este que nos faz crer que o Jogo da Velha pode ser mais antigo do que se pensa
Uma soluccedilatildeo para melhorar o tradicional Jogo da Velha eacute passar da bidimensiona-lidade para a tridimensionalidade
ObjetivoEacute conseguir formar uma linha vertical horizontal ou diagonal de trecircs X ou O A di-
ficuldade todavia reside no aspecto de que o jogo se daacute por turnos o que o torna muito simples a tarefa de seu oponente travar suas jogadas marcando um dos quadrados conse-quumlentes aos seus
Jogo da Velha
16
Por ser demais conhecido dispensa o ensino de suas regras podendo ser jogado sobre um tabuleiro ou mesmo sendo riscado em um papel
Para construiacute-lo em folha de papel desenhe duas linhas horizontais e duas linhas verticais formando um tabuleiro onde seratildeo preenchidos com o X ou com o O
Para construiacute-lo na tridimensionalidade desenhar o tabuleiro em 3 placas de ma-deira fazer o lsquoXrsquo e o lsquoOrsquo de isopor e depois colocar os tabuleiros de uma forma que fiquem um sobre o outro aumentando o grau de dificuldade do jogo
Cada um dos jogadores que se enfrentam na disputa do jogo poderaacute marcar qual-quer um dos espaccedilos externos ou mesmo interno com um dos seus sinais X ou O sendo que nenhum dos jogadores poderaacute marcar um sinal igual ao do adversaacuterio Em suma cada jogador em turnos alternados deveraacute marcar um dos nove espaccedilos
Como construir
Como jogar
ReferecircnciashttpptwikipediaorgwikiJogo_da_velha
17
OrigemCarl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu ateacute 1855 Eacute considerado um dos maio-
res matemaacuteticos de todos os tempos Gauss teve a estatura de Arquimedes e de Newton e seus campos de interesse excederam os de ambos Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemaacutetica e para a Teoria dos Nuacutemeros Seu pai era jardineiro e assistente de um co-merciante e enquanto crianccedila mostrou grande talento para a matemaacutetica Sua produccedilatildeo intelectual foi precoce existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a foacutermula da soma dos n primeiros termos de uma progressatildeo aritmeacutetica Diz a histoacuteria que sua professora primaacuteria para manter a classe ocupada lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100 tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilizaccedilatildeo da foacutermula da PA Sn = n(a1 + an) 2
Curva de Gauss
18
Objetivo
Como construir
Como jogar
Mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental Mas pode tambeacutem mostrar como se distribuem os dados em vaacuterias situaccedilotildees originadas de eventos mutuamente independentes A distribuiccedilatildeo de Gauss aparece frequentemente nas esta-tiacutesticas Experimentalmente processos aleatoacuterios independentes levam agrave distribuiccedilatildeo de Gauss ou a uma distribuiccedilatildeo normal
Em uma prancha onde se monta o arranjo de triacircngulos e as colunas pode ser de madeira polida pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas de acordo com a foto acima Os obstaacuteculos triangulares satildeo de madeira dura Podem tambeacutem ter a forma de hexaacutegonos Devem ser fixos na prancha As bolinhas de gude ou vidro Dependendo do tamanho de sua prancha podem ser necessaacuterias umas 100 bolinhas ou mais Seraacute neces-saacuterio ainda um funil plaacutestico por onde as bolinhas devem passar
Colocar as bolinhas com o auxilio do funil despejando-as aleatoriamente e verifi-que as figuras formadas dentro da prancha
Referecircnciashttpwwwwikipediacomhttpwwwsearaufcbrsugestoesfisicaespec4htmAulas de estatiacutestica 2ordm Sem 2007 Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues ndash FAAL
- Limeira SP
19
Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo
ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos
O Fatiacutedico 13
20
Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-
ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
21
Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5
(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro
ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-
ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo
Torre de Hanoacutei
22
Como jogar
Observaccedilotildees
Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor
1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento
2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos
3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos
4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
23
ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos
Jogo dos Palitos
Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos
24
Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo
Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
25
ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro
Tabuleiro Enigmaacutetico
26
Como construir
Como jogar
Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo
Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente
Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha
leva agrave peccedila
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
27
ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes
Pentaminoacutes
28
Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo
com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5
quadrados) em diferentes formas
Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as
peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com
a figura
Soluccedilatildeo
ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
29
SoacutelidosGeomeacutetricos
Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico
Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria
Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas
Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo
Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico
soacutelido geomeacutetricofigura plana
30
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo
Prismas
Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)
Faces (Laterais)
Base
Arestas(Encontro das Faces
31
A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide
O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais
Piracircmides
Base
Veacutertice Principal
Veacutertices
Arestas
Faces
32
Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo
Soacutelidos de revoluccedilatildeo
Aresta
Linha Geratriz
Figura Geradora
Eixo
Facey
Superfiacutecie Ciliacutendrica
Base Inferior
33
A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo
Esfera
x
y
Superfiacutecie Esfeacuterica
Centro da Esfera
Raio da Esfera
Diacircmetroda Esfera
34
O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta
Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior
Cone
Referecircncias
Figura Geradora
Veacutertice
Superfiacutecie Cocircnica
Base
x
yEixo
Aresta
16
Por ser demais conhecido dispensa o ensino de suas regras podendo ser jogado sobre um tabuleiro ou mesmo sendo riscado em um papel
Para construiacute-lo em folha de papel desenhe duas linhas horizontais e duas linhas verticais formando um tabuleiro onde seratildeo preenchidos com o X ou com o O
Para construiacute-lo na tridimensionalidade desenhar o tabuleiro em 3 placas de ma-deira fazer o lsquoXrsquo e o lsquoOrsquo de isopor e depois colocar os tabuleiros de uma forma que fiquem um sobre o outro aumentando o grau de dificuldade do jogo
Cada um dos jogadores que se enfrentam na disputa do jogo poderaacute marcar qual-quer um dos espaccedilos externos ou mesmo interno com um dos seus sinais X ou O sendo que nenhum dos jogadores poderaacute marcar um sinal igual ao do adversaacuterio Em suma cada jogador em turnos alternados deveraacute marcar um dos nove espaccedilos
Como construir
Como jogar
ReferecircnciashttpptwikipediaorgwikiJogo_da_velha
17
OrigemCarl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu ateacute 1855 Eacute considerado um dos maio-
res matemaacuteticos de todos os tempos Gauss teve a estatura de Arquimedes e de Newton e seus campos de interesse excederam os de ambos Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemaacutetica e para a Teoria dos Nuacutemeros Seu pai era jardineiro e assistente de um co-merciante e enquanto crianccedila mostrou grande talento para a matemaacutetica Sua produccedilatildeo intelectual foi precoce existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a foacutermula da soma dos n primeiros termos de uma progressatildeo aritmeacutetica Diz a histoacuteria que sua professora primaacuteria para manter a classe ocupada lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100 tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilizaccedilatildeo da foacutermula da PA Sn = n(a1 + an) 2
Curva de Gauss
18
Objetivo
Como construir
Como jogar
Mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental Mas pode tambeacutem mostrar como se distribuem os dados em vaacuterias situaccedilotildees originadas de eventos mutuamente independentes A distribuiccedilatildeo de Gauss aparece frequentemente nas esta-tiacutesticas Experimentalmente processos aleatoacuterios independentes levam agrave distribuiccedilatildeo de Gauss ou a uma distribuiccedilatildeo normal
Em uma prancha onde se monta o arranjo de triacircngulos e as colunas pode ser de madeira polida pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas de acordo com a foto acima Os obstaacuteculos triangulares satildeo de madeira dura Podem tambeacutem ter a forma de hexaacutegonos Devem ser fixos na prancha As bolinhas de gude ou vidro Dependendo do tamanho de sua prancha podem ser necessaacuterias umas 100 bolinhas ou mais Seraacute neces-saacuterio ainda um funil plaacutestico por onde as bolinhas devem passar
Colocar as bolinhas com o auxilio do funil despejando-as aleatoriamente e verifi-que as figuras formadas dentro da prancha
Referecircnciashttpwwwwikipediacomhttpwwwsearaufcbrsugestoesfisicaespec4htmAulas de estatiacutestica 2ordm Sem 2007 Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues ndash FAAL
- Limeira SP
19
Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo
ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos
O Fatiacutedico 13
20
Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-
ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
21
Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5
(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro
ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-
ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo
Torre de Hanoacutei
22
Como jogar
Observaccedilotildees
Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor
1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento
2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos
3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos
4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
23
ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos
Jogo dos Palitos
Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos
24
Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo
Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
25
ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro
Tabuleiro Enigmaacutetico
26
Como construir
Como jogar
Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo
Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente
Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha
leva agrave peccedila
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
27
ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes
Pentaminoacutes
28
Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo
com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5
quadrados) em diferentes formas
Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as
peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com
a figura
Soluccedilatildeo
ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
29
SoacutelidosGeomeacutetricos
Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico
Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria
Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas
Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo
Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico
soacutelido geomeacutetricofigura plana
30
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo
Prismas
Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)
Faces (Laterais)
Base
Arestas(Encontro das Faces
31
A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide
O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais
Piracircmides
Base
Veacutertice Principal
Veacutertices
Arestas
Faces
32
Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo
Soacutelidos de revoluccedilatildeo
Aresta
Linha Geratriz
Figura Geradora
Eixo
Facey
Superfiacutecie Ciliacutendrica
Base Inferior
33
A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo
Esfera
x
y
Superfiacutecie Esfeacuterica
Centro da Esfera
Raio da Esfera
Diacircmetroda Esfera
34
O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta
Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior
Cone
Referecircncias
Figura Geradora
Veacutertice
Superfiacutecie Cocircnica
Base
x
yEixo
Aresta
17
OrigemCarl Friedrich Gauss nasceu em 1777 e viveu ateacute 1855 Eacute considerado um dos maio-
res matemaacuteticos de todos os tempos Gauss teve a estatura de Arquimedes e de Newton e seus campos de interesse excederam os de ambos Gauss contribuiu para todos os ramos da Matemaacutetica e para a Teoria dos Nuacutemeros Seu pai era jardineiro e assistente de um co-merciante e enquanto crianccedila mostrou grande talento para a matemaacutetica Sua produccedilatildeo intelectual foi precoce existe um conto que ilustra como Gauss deduziu a foacutermula da soma dos n primeiros termos de uma progressatildeo aritmeacutetica Diz a histoacuteria que sua professora primaacuteria para manter a classe ocupada lhe passou a tarefa de fazer uma soma de 1 a 100 tarefa que Gauss cumpriu quase que de imediato com a utilizaccedilatildeo da foacutermula da PA Sn = n(a1 + an) 2
Curva de Gauss
18
Objetivo
Como construir
Como jogar
Mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental Mas pode tambeacutem mostrar como se distribuem os dados em vaacuterias situaccedilotildees originadas de eventos mutuamente independentes A distribuiccedilatildeo de Gauss aparece frequentemente nas esta-tiacutesticas Experimentalmente processos aleatoacuterios independentes levam agrave distribuiccedilatildeo de Gauss ou a uma distribuiccedilatildeo normal
Em uma prancha onde se monta o arranjo de triacircngulos e as colunas pode ser de madeira polida pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas de acordo com a foto acima Os obstaacuteculos triangulares satildeo de madeira dura Podem tambeacutem ter a forma de hexaacutegonos Devem ser fixos na prancha As bolinhas de gude ou vidro Dependendo do tamanho de sua prancha podem ser necessaacuterias umas 100 bolinhas ou mais Seraacute neces-saacuterio ainda um funil plaacutestico por onde as bolinhas devem passar
Colocar as bolinhas com o auxilio do funil despejando-as aleatoriamente e verifi-que as figuras formadas dentro da prancha
Referecircnciashttpwwwwikipediacomhttpwwwsearaufcbrsugestoesfisicaespec4htmAulas de estatiacutestica 2ordm Sem 2007 Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues ndash FAAL
- Limeira SP
19
Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo
ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos
O Fatiacutedico 13
20
Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-
ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
21
Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5
(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro
ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-
ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo
Torre de Hanoacutei
22
Como jogar
Observaccedilotildees
Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor
1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento
2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos
3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos
4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
23
ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos
Jogo dos Palitos
Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos
24
Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo
Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
25
ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro
Tabuleiro Enigmaacutetico
26
Como construir
Como jogar
Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo
Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente
Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha
leva agrave peccedila
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
27
ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes
Pentaminoacutes
28
Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo
com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5
quadrados) em diferentes formas
Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as
peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com
a figura
Soluccedilatildeo
ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
29
SoacutelidosGeomeacutetricos
Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico
Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria
Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas
Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo
Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico
soacutelido geomeacutetricofigura plana
30
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo
Prismas
Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)
Faces (Laterais)
Base
Arestas(Encontro das Faces
31
A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide
O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais
Piracircmides
Base
Veacutertice Principal
Veacutertices
Arestas
Faces
32
Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo
Soacutelidos de revoluccedilatildeo
Aresta
Linha Geratriz
Figura Geradora
Eixo
Facey
Superfiacutecie Ciliacutendrica
Base Inferior
33
A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo
Esfera
x
y
Superfiacutecie Esfeacuterica
Centro da Esfera
Raio da Esfera
Diacircmetroda Esfera
34
O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta
Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior
Cone
Referecircncias
Figura Geradora
Veacutertice
Superfiacutecie Cocircnica
Base
x
yEixo
Aresta
18
Objetivo
Como construir
Como jogar
Mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental Mas pode tambeacutem mostrar como se distribuem os dados em vaacuterias situaccedilotildees originadas de eventos mutuamente independentes A distribuiccedilatildeo de Gauss aparece frequentemente nas esta-tiacutesticas Experimentalmente processos aleatoacuterios independentes levam agrave distribuiccedilatildeo de Gauss ou a uma distribuiccedilatildeo normal
Em uma prancha onde se monta o arranjo de triacircngulos e as colunas pode ser de madeira polida pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas de acordo com a foto acima Os obstaacuteculos triangulares satildeo de madeira dura Podem tambeacutem ter a forma de hexaacutegonos Devem ser fixos na prancha As bolinhas de gude ou vidro Dependendo do tamanho de sua prancha podem ser necessaacuterias umas 100 bolinhas ou mais Seraacute neces-saacuterio ainda um funil plaacutestico por onde as bolinhas devem passar
Colocar as bolinhas com o auxilio do funil despejando-as aleatoriamente e verifi-que as figuras formadas dentro da prancha
Referecircnciashttpwwwwikipediacomhttpwwwsearaufcbrsugestoesfisicaespec4htmAulas de estatiacutestica 2ordm Sem 2007 Profa Zionice Garbeline Martos Rodrigues ndash FAAL
- Limeira SP
19
Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo
ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos
O Fatiacutedico 13
20
Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-
ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
21
Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5
(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro
ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-
ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo
Torre de Hanoacutei
22
Como jogar
Observaccedilotildees
Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor
1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento
2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos
3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos
4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
23
ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos
Jogo dos Palitos
Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos
24
Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo
Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
25
ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro
Tabuleiro Enigmaacutetico
26
Como construir
Como jogar
Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo
Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente
Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha
leva agrave peccedila
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
27
ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes
Pentaminoacutes
28
Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo
com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5
quadrados) em diferentes formas
Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as
peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com
a figura
Soluccedilatildeo
ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
29
SoacutelidosGeomeacutetricos
Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico
Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria
Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas
Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo
Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico
soacutelido geomeacutetricofigura plana
30
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo
Prismas
Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)
Faces (Laterais)
Base
Arestas(Encontro das Faces
31
A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide
O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais
Piracircmides
Base
Veacutertice Principal
Veacutertices
Arestas
Faces
32
Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo
Soacutelidos de revoluccedilatildeo
Aresta
Linha Geratriz
Figura Geradora
Eixo
Facey
Superfiacutecie Ciliacutendrica
Base Inferior
33
A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo
Esfera
x
y
Superfiacutecie Esfeacuterica
Centro da Esfera
Raio da Esfera
Diacircmetroda Esfera
34
O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta
Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior
Cone
Referecircncias
Figura Geradora
Veacutertice
Superfiacutecie Cocircnica
Base
x
yEixo
Aresta
19
Como construirMontar sobre uma prancha de madeira obstaacuteculos de acordo com a figura abaixo
ObjetivoObter apenas seis quadrados com a retirada de oito palitos
O Fatiacutedico 13
20
Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-
ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
21
Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5
(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro
ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-
ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo
Torre de Hanoacutei
22
Como jogar
Observaccedilotildees
Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor
1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento
2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos
3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos
4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
23
ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos
Jogo dos Palitos
Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos
24
Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo
Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
25
ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro
Tabuleiro Enigmaacutetico
26
Como construir
Como jogar
Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo
Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente
Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha
leva agrave peccedila
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
27
ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes
Pentaminoacutes
28
Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo
com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5
quadrados) em diferentes formas
Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as
peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com
a figura
Soluccedilatildeo
ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
29
SoacutelidosGeomeacutetricos
Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico
Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria
Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas
Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo
Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico
soacutelido geomeacutetricofigura plana
30
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo
Prismas
Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)
Faces (Laterais)
Base
Arestas(Encontro das Faces
31
A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide
O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais
Piracircmides
Base
Veacutertice Principal
Veacutertices
Arestas
Faces
32
Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo
Soacutelidos de revoluccedilatildeo
Aresta
Linha Geratriz
Figura Geradora
Eixo
Facey
Superfiacutecie Ciliacutendrica
Base Inferior
33
A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo
Esfera
x
y
Superfiacutecie Esfeacuterica
Centro da Esfera
Raio da Esfera
Diacircmetroda Esfera
34
O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta
Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior
Cone
Referecircncias
Figura Geradora
Veacutertice
Superfiacutecie Cocircnica
Base
x
yEixo
Aresta
20
Como jogarInicie o jogo com os 36 palitos formando os 13 quadrados conforme a configura-
ccedilatildeo Retire 8 (oito) palitos de modo a atingir o objetivo do jogo Natildeo eacute permitido o movimento de palitos
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
21
Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5
(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro
ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-
ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo
Torre de Hanoacutei
22
Como jogar
Observaccedilotildees
Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor
1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento
2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos
3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos
4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
23
ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos
Jogo dos Palitos
Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos
24
Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo
Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
25
ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro
Tabuleiro Enigmaacutetico
26
Como construir
Como jogar
Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo
Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente
Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha
leva agrave peccedila
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
27
ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes
Pentaminoacutes
28
Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo
com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5
quadrados) em diferentes formas
Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as
peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com
a figura
Soluccedilatildeo
ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
29
SoacutelidosGeomeacutetricos
Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico
Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria
Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas
Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo
Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico
soacutelido geomeacutetricofigura plana
30
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo
Prismas
Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)
Faces (Laterais)
Base
Arestas(Encontro das Faces
31
A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide
O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais
Piracircmides
Base
Veacutertice Principal
Veacutertices
Arestas
Faces
32
Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo
Soacutelidos de revoluccedilatildeo
Aresta
Linha Geratriz
Figura Geradora
Eixo
Facey
Superfiacutecie Ciliacutendrica
Base Inferior
33
A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo
Esfera
x
y
Superfiacutecie Esfeacuterica
Centro da Esfera
Raio da Esfera
Diacircmetroda Esfera
34
O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta
Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior
Cone
Referecircncias
Figura Geradora
Veacutertice
Superfiacutecie Cocircnica
Base
x
yEixo
Aresta
21
Como construirEste trabalho eacute composto de um tabuleiro retangular com trecircs pinos fixos e de 5
(cinco) discos de tamanhos diferentes furados no centro
ObjetivoTransferir a pilha de discos de um pino para outro conseguindo completar a trans-
ferecircncia com o nuacutemero miacutenimo possiacutevel de movimentos obedecendo agraves regras do jogo
Torre de Hanoacutei
22
Como jogar
Observaccedilotildees
Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor
1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento
2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos
3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos
4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
23
ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos
Jogo dos Palitos
Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos
24
Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo
Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
25
ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro
Tabuleiro Enigmaacutetico
26
Como construir
Como jogar
Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo
Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente
Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha
leva agrave peccedila
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
27
ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes
Pentaminoacutes
28
Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo
com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5
quadrados) em diferentes formas
Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as
peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com
a figura
Soluccedilatildeo
ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
29
SoacutelidosGeomeacutetricos
Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico
Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria
Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas
Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo
Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico
soacutelido geomeacutetricofigura plana
30
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo
Prismas
Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)
Faces (Laterais)
Base
Arestas(Encontro das Faces
31
A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide
O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais
Piracircmides
Base
Veacutertice Principal
Veacutertices
Arestas
Faces
32
Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo
Soacutelidos de revoluccedilatildeo
Aresta
Linha Geratriz
Figura Geradora
Eixo
Facey
Superfiacutecie Ciliacutendrica
Base Inferior
33
A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo
Esfera
x
y
Superfiacutecie Esfeacuterica
Centro da Esfera
Raio da Esfera
Diacircmetroda Esfera
34
O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta
Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior
Cone
Referecircncias
Figura Geradora
Veacutertice
Superfiacutecie Cocircnica
Base
x
yEixo
Aresta
22
Como jogar
Observaccedilotildees
Mova ininterruptamente um disco de cada vez nunca permitindo que um disco fique acima de um menor
1 Imaginando uma pilha com apenas 1 (um) disco para a transferecircncia seraacute neces-saacuterio 1 (um) movimento
2 Imaginando uma pilha com 2 (dois) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 3 (trecircs) movimentos
3 Imaginando uma pilha com 3 (trecircs) discos para a transferecircncia seratildeo necessaacuterios 7 (sete) movimentos
4 Podemos concluir que este jogo pode ser expresso pela seguinte equaccedilatildeo m = 2n - 1 onde m eacute o nuacutemero miacutenimo de jogadas e n eacute o nuacutemero de discos (n isin N)
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
23
ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos
Jogo dos Palitos
Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos
24
Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo
Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
25
ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro
Tabuleiro Enigmaacutetico
26
Como construir
Como jogar
Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo
Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente
Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha
leva agrave peccedila
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
27
ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes
Pentaminoacutes
28
Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo
com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5
quadrados) em diferentes formas
Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as
peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com
a figura
Soluccedilatildeo
ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
29
SoacutelidosGeomeacutetricos
Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico
Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria
Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas
Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo
Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico
soacutelido geomeacutetricofigura plana
30
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo
Prismas
Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)
Faces (Laterais)
Base
Arestas(Encontro das Faces
31
A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide
O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais
Piracircmides
Base
Veacutertice Principal
Veacutertices
Arestas
Faces
32
Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo
Soacutelidos de revoluccedilatildeo
Aresta
Linha Geratriz
Figura Geradora
Eixo
Facey
Superfiacutecie Ciliacutendrica
Base Inferior
33
A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo
Esfera
x
y
Superfiacutecie Esfeacuterica
Centro da Esfera
Raio da Esfera
Diacircmetroda Esfera
34
O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta
Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior
Cone
Referecircncias
Figura Geradora
Veacutertice
Superfiacutecie Cocircnica
Base
x
yEixo
Aresta
23
ObjetivoObter trecircs quadrados com o movimento de quatro palitos
Jogo dos Palitos
Como construirUm tabuleiro com dezesseis palitos
24
Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo
Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
25
ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro
Tabuleiro Enigmaacutetico
26
Como construir
Como jogar
Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo
Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente
Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha
leva agrave peccedila
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
27
ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes
Pentaminoacutes
28
Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo
com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5
quadrados) em diferentes formas
Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as
peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com
a figura
Soluccedilatildeo
ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
29
SoacutelidosGeomeacutetricos
Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico
Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria
Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas
Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo
Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico
soacutelido geomeacutetricofigura plana
30
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo
Prismas
Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)
Faces (Laterais)
Base
Arestas(Encontro das Faces
31
A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide
O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais
Piracircmides
Base
Veacutertice Principal
Veacutertices
Arestas
Faces
32
Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo
Soacutelidos de revoluccedilatildeo
Aresta
Linha Geratriz
Figura Geradora
Eixo
Facey
Superfiacutecie Ciliacutendrica
Base Inferior
33
A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo
Esfera
x
y
Superfiacutecie Esfeacuterica
Centro da Esfera
Raio da Esfera
Diacircmetroda Esfera
34
O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta
Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior
Cone
Referecircncias
Figura Geradora
Veacutertice
Superfiacutecie Cocircnica
Base
x
yEixo
Aresta
24
Como jogarInicie o jogo com os 16 palitos formando os 5 quadrados conforme a configuraccedilatildeo
Movimente apenas 4 palitos de modo a atingir o objetivo do jogo
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
25
ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro
Tabuleiro Enigmaacutetico
26
Como construir
Como jogar
Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo
Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente
Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha
leva agrave peccedila
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
27
ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes
Pentaminoacutes
28
Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo
com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5
quadrados) em diferentes formas
Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as
peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com
a figura
Soluccedilatildeo
ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
29
SoacutelidosGeomeacutetricos
Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico
Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria
Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas
Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo
Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico
soacutelido geomeacutetricofigura plana
30
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo
Prismas
Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)
Faces (Laterais)
Base
Arestas(Encontro das Faces
31
A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide
O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais
Piracircmides
Base
Veacutertice Principal
Veacutertices
Arestas
Faces
32
Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo
Soacutelidos de revoluccedilatildeo
Aresta
Linha Geratriz
Figura Geradora
Eixo
Facey
Superfiacutecie Ciliacutendrica
Base Inferior
33
A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo
Esfera
x
y
Superfiacutecie Esfeacuterica
Centro da Esfera
Raio da Esfera
Diacircmetroda Esfera
34
O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta
Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior
Cone
Referecircncias
Figura Geradora
Veacutertice
Superfiacutecie Cocircnica
Base
x
yEixo
Aresta
25
ObjetivoDescobrir a peccedila que falta no tabuleiro
Tabuleiro Enigmaacutetico
26
Como construir
Como jogar
Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo
Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente
Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha
leva agrave peccedila
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
27
ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes
Pentaminoacutes
28
Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo
com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5
quadrados) em diferentes formas
Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as
peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com
a figura
Soluccedilatildeo
ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
29
SoacutelidosGeomeacutetricos
Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico
Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria
Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas
Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo
Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico
soacutelido geomeacutetricofigura plana
30
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo
Prismas
Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)
Faces (Laterais)
Base
Arestas(Encontro das Faces
31
A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide
O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais
Piracircmides
Base
Veacutertice Principal
Veacutertices
Arestas
Faces
32
Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo
Soacutelidos de revoluccedilatildeo
Aresta
Linha Geratriz
Figura Geradora
Eixo
Facey
Superfiacutecie Ciliacutendrica
Base Inferior
33
A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo
Esfera
x
y
Superfiacutecie Esfeacuterica
Centro da Esfera
Raio da Esfera
Diacircmetroda Esfera
34
O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta
Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior
Cone
Referecircncias
Figura Geradora
Veacutertice
Superfiacutecie Cocircnica
Base
x
yEixo
Aresta
26
Como construir
Como jogar
Um tabuleiro 6 x 6 com siacutembolos impressos conforme a ilustraccedilatildeo e oito peccedilas cada uma com um dos siacutembolos que figuram no jogo
Analise a distribuiccedilatildeo no tabuleiro dos oito siacutembolos distintos Coloque na casa vazia o siacutembolo que o completa logicamente
Estrateacutegia A sequumlecircncia que aparece na leitura por linha
leva agrave peccedila
ReferecircnciasLaboratoacuterio de Ensino da Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
27
ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes
Pentaminoacutes
28
Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo
com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5
quadrados) em diferentes formas
Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as
peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com
a figura
Soluccedilatildeo
ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
29
SoacutelidosGeomeacutetricos
Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico
Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria
Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas
Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo
Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico
soacutelido geomeacutetricofigura plana
30
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo
Prismas
Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)
Faces (Laterais)
Base
Arestas(Encontro das Faces
31
A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide
O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais
Piracircmides
Base
Veacutertice Principal
Veacutertices
Arestas
Faces
32
Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo
Soacutelidos de revoluccedilatildeo
Aresta
Linha Geratriz
Figura Geradora
Eixo
Facey
Superfiacutecie Ciliacutendrica
Base Inferior
33
A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo
Esfera
x
y
Superfiacutecie Esfeacuterica
Centro da Esfera
Raio da Esfera
Diacircmetroda Esfera
34
O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta
Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior
Cone
Referecircncias
Figura Geradora
Veacutertice
Superfiacutecie Cocircnica
Base
x
yEixo
Aresta
27
ObjetivoFormar uma piracircmide com as 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes
Pentaminoacutes
28
Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo
com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5
quadrados) em diferentes formas
Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as
peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com
a figura
Soluccedilatildeo
ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
29
SoacutelidosGeomeacutetricos
Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico
Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria
Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas
Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo
Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico
soacutelido geomeacutetricofigura plana
30
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo
Prismas
Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)
Faces (Laterais)
Base
Arestas(Encontro das Faces
31
A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide
O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais
Piracircmides
Base
Veacutertice Principal
Veacutertices
Arestas
Faces
32
Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo
Soacutelidos de revoluccedilatildeo
Aresta
Linha Geratriz
Figura Geradora
Eixo
Facey
Superfiacutecie Ciliacutendrica
Base Inferior
33
A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo
Esfera
x
y
Superfiacutecie Esfeacuterica
Centro da Esfera
Raio da Esfera
Diacircmetroda Esfera
34
O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta
Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior
Cone
Referecircncias
Figura Geradora
Veacutertice
Superfiacutecie Cocircnica
Base
x
yEixo
Aresta
28
Como construirEm tiras de madeiras ou em palitos desenhar e montar os Pentaminoacutes de acordo
com as figuras (11)Este trabalho eacute composto de 12 (doze) peccedilas de pentaminoacutes (peccedila formada por 5
quadrados) em diferentes formas
Como jogarEncaixe as peccedilas umas nas outras e busque atingir o objetivo do jogo Vale virar as
peccedilas em qualquer sentido e ateacute colocaacute-las com a face voltada para baixo A piracircmide possui uma janela equivalente a 4 (quatro) quadrados de acordo com
a figura
Soluccedilatildeo
ReferecircnciasJogo obtido por transmissatildeo oralLaboratoacuterio de Ensino de Matemaacutetica da Universidade de Guarulhos SP
29
SoacutelidosGeomeacutetricos
Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico
Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria
Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas
Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo
Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico
soacutelido geomeacutetricofigura plana
30
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo
Prismas
Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)
Faces (Laterais)
Base
Arestas(Encontro das Faces
31
A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide
O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais
Piracircmides
Base
Veacutertice Principal
Veacutertices
Arestas
Faces
32
Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo
Soacutelidos de revoluccedilatildeo
Aresta
Linha Geratriz
Figura Geradora
Eixo
Facey
Superfiacutecie Ciliacutendrica
Base Inferior
33
A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo
Esfera
x
y
Superfiacutecie Esfeacuterica
Centro da Esfera
Raio da Esfera
Diacircmetroda Esfera
34
O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta
Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior
Cone
Referecircncias
Figura Geradora
Veacutertice
Superfiacutecie Cocircnica
Base
x
yEixo
Aresta
29
SoacutelidosGeomeacutetricos
Sabemos que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano Quando uma figura geomeacutetrica tem pontos situados em diferentes planos temos um soacute-lido geomeacutetrico
Os soacutelidos geomeacutetricos tecircm trecircs dimensotildees comprimento largura e altura Embora existam infinitos soacutelidos geomeacutetricos apenas alguns que apresentam determinadas pro-priedades satildeo estudados pela geometria
Satildeo separados do resto do espaccedilo por superfiacutecies que os limitam E essas superfiacute-cies podem ser planas ou curvas
Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies planas temos o prisma o cubo e as piracircmides Dentre os soacutelidos geomeacutetricos limitados por superfiacutecies curvas te-mos o cilindro o cone e a esfera que satildeo tambeacutem chamados de soacutelidos de revoluccedilatildeo
Podemos determinar um Soacutelido Geomeacutetrico pelas seguintes caracteriacutesticas ares-tas veacutertices faces aacuterea total Abaixo podemos verificar a diferenccedila entre uma figura plana e um soacutelido geomeacutetrico
soacutelido geomeacutetricofigura plana
30
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo
Prismas
Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)
Faces (Laterais)
Base
Arestas(Encontro das Faces
31
A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide
O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais
Piracircmides
Base
Veacutertice Principal
Veacutertices
Arestas
Faces
32
Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo
Soacutelidos de revoluccedilatildeo
Aresta
Linha Geratriz
Figura Geradora
Eixo
Facey
Superfiacutecie Ciliacutendrica
Base Inferior
33
A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo
Esfera
x
y
Superfiacutecie Esfeacuterica
Centro da Esfera
Raio da Esfera
Diacircmetroda Esfera
34
O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta
Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior
Cone
Referecircncias
Figura Geradora
Veacutertice
Superfiacutecie Cocircnica
Base
x
yEixo
Aresta
30
O prisma eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-lo como uma pilha de poliacutegonos iguais muito proacuteximos uns dos outros como mostra a ilustraccedilatildeo
Prismas
Veacutertices (Cantos) (Encontro das Arestas)
Faces (Laterais)
Base
Arestas(Encontro das Faces
31
A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide
O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais
Piracircmides
Base
Veacutertice Principal
Veacutertices
Arestas
Faces
32
Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo
Soacutelidos de revoluccedilatildeo
Aresta
Linha Geratriz
Figura Geradora
Eixo
Facey
Superfiacutecie Ciliacutendrica
Base Inferior
33
A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo
Esfera
x
y
Superfiacutecie Esfeacuterica
Centro da Esfera
Raio da Esfera
Diacircmetroda Esfera
34
O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta
Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior
Cone
Referecircncias
Figura Geradora
Veacutertice
Superfiacutecie Cocircnica
Base
x
yEixo
Aresta
31
A piracircmide eacute outro soacutelido geomeacutetrico limitado por poliacutegonos Podemos imaginaacute-la como um conjunto de poliacutegonos semelhantes dispostos uns sobre os outros que dimi-nuem de tamanho indefinidamente Outra maneira de imaginar a formaccedilatildeo de uma piracirc-mide consiste em ligar todos os pontos de um poliacutegono qualquer a um ponto P do espaccedilo Eacute importante que vocecirc conheccedila tambeacutem os elementos da piracircmide
O nome da piracircmide depende do poliacutegono que forma sua base Na figura ao lado temos uma piracircmide quadrangular pois sua base eacute um quadrado O nuacutemero de faces da piracircmide eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono que forma sua base mais um Cada lado do poliacutegono da base eacute tambeacutem uma aresta da piracircmide O nuacutemero de arestas eacute sempre igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base vezes dois O nuacutemero de veacutertices eacute igual ao nuacutemero de lados do poliacutegono da base mais um Os veacutertices satildeo formados pelo encontro de trecircs ou mais arestas O veacutertice principal eacute o ponto de encontro das arestas laterais
Piracircmides
Base
Veacutertice Principal
Veacutertices
Arestas
Faces
32
Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo
Soacutelidos de revoluccedilatildeo
Aresta
Linha Geratriz
Figura Geradora
Eixo
Facey
Superfiacutecie Ciliacutendrica
Base Inferior
33
A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo
Esfera
x
y
Superfiacutecie Esfeacuterica
Centro da Esfera
Raio da Esfera
Diacircmetroda Esfera
34
O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta
Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior
Cone
Referecircncias
Figura Geradora
Veacutertice
Superfiacutecie Cocircnica
Base
x
yEixo
Aresta
32
Alguns soacutelidos geomeacutetricos chamados soacutelidos de revoluccedilatildeo podem ser formados pela rotaccedilatildeo de figuras planas em torno de um eixo Rotaccedilatildeo significa accedilatildeo de rodar dar uma volta completa A figura plana que daacute origem ao soacutelido de revoluccedilatildeo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando a superfiacutecie de revoluccedilatildeo eacute chamada linha geratriz O cilindro o cone e a esfera satildeo os principais soacutelidos de revoluccedilatildeo
Soacutelidos de revoluccedilatildeo
Aresta
Linha Geratriz
Figura Geradora
Eixo
Facey
Superfiacutecie Ciliacutendrica
Base Inferior
33
A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo
Esfera
x
y
Superfiacutecie Esfeacuterica
Centro da Esfera
Raio da Esfera
Diacircmetroda Esfera
34
O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta
Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior
Cone
Referecircncias
Figura Geradora
Veacutertice
Superfiacutecie Cocircnica
Base
x
yEixo
Aresta
33
A esfera tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado por uma superfiacutecie curva cha-mada superfiacutecie esfeacuterica Podemos imaginar a formaccedilatildeo da esfera a partir da rotaccedilatildeo de um semiciacuterculo em torno de um eixo que passa pelo seu diacircmetro Veja os elementos da esfera na figura abaixo
Esfera
x
y
Superfiacutecie Esfeacuterica
Centro da Esfera
Raio da Esfera
Diacircmetroda Esfera
34
O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta
Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior
Cone
Referecircncias
Figura Geradora
Veacutertice
Superfiacutecie Cocircnica
Base
x
yEixo
Aresta
34
O cone tambeacutem eacute um soacutelido geomeacutetrico limitado lateralmente por uma superfiacutecie curva A formaccedilatildeo do cone pode ser imaginada pela rotaccedilatildeo de um triacircngulo retacircngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos A figura plana que forma a base do cone eacute o ciacuterculo O veacutertice eacute o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do ciacuterculo No desenho estaacute representado apenas o contorno da superfiacutecie cocircnica O encontro da superfiacutecie cocircnica com a base daacute origem a uma aresta
Aulas de Geometria Espacial Prof Maria de Lurdes ndash Faal - 2008Ferencz Sebok Junior
Cone
Referecircncias
Figura Geradora
Veacutertice
Superfiacutecie Cocircnica
Base
x
yEixo
Aresta